子波基本理论与提取方法

子波基本理论与提取方法
1地震子波基本原理
由震源激发、经地下传播并被人们在地面或井中接收到的地震波通常是一个短的脉冲振动，称该振动为振动子波。

它可以理解为有确定起始时间和有限能量，在很短时间内衰减的一个信号。

地震子波其振动的一个根本属性是振动的非周期性。

因此，它的动力学参数应有别于描述周期振动的振幅、频率、相位等参数，而用振幅谱、相位谱等概念来描述。

子波一般是物理可实现的，特别是地震子波，作为一个物理滤波器的响应函数，自然是物理可实现的，所有必定为非零相子波，但不同子波相位延迟不同。

子波包括最小相位子波、最大相位子波、混合相位子波。

子波的Z 变换是一个多项式：
n n z b z b z b b z B ++++=...)(221
若此多项式的全部零点均在单位圆外，则为最小相位子波；在单位圆内，为最大相位子波；零点在单位圆的内外都有，则为混合相位子波。

2地震子波的数学模型
实际中的地震子波是一个很复杂的问题，因为地震子波与地层岩石性质有关，地层岩石性质本身就是一个复杂体。

为了研究方便，仍需要对地震子波进行模拟，目前普遍认为雷克提出的地震子波数学模型具有广泛的代表性，即称雷克子波。

最小相位的地震子波的数学模型为：
ft e t b at π2sin )(2-=
式中：f 为子波的主频；)ln(22M f =α为子波衰减系数；|/|21m m M =为最
大波峰值1m 和最大波谷值2m 之对比。

其波形大致如图所示：
3地震子波提取的基本方法
地震子波的提取方法有两大类：第一类是确定性子波提取方法；第二类是统计性子波提取方法。

确定性子波提取方法指的是利用测井资料首先计算出反射系
数序列，然后结合井旁地震道由褶积理论求出地震子波，它的优点是不需要对反射系数序列的分布作任何假设，能得到较为准确的子波，而统计性方法的优点是不需要测井信息也可以得到子波的估计，但缺点是需对所用的地震资料和地下的反射系数序列的分布进行某种假设，所得子波理论上的精度不是高很。

正是由于这个原因，所以本文将分别最这两种方法进行C 语言的编程实现，来对统计性子波提取方法和确定性子波进行地震信号反褶积的效果作一下对比和演示。

4统计性子波提取方法原理
虽然子波一般是未知的，但地震记录中包含有子波，因此，可以从地震记录中求取子波。

虽然目前求取地震子波的方法也很多，但下面还是介绍一下统计求取子波方法。

若将子波作为一般信号对待，则子波也可用)(t s 表示，假设反射系数是随机的白噪序列，则有地震记录)(t x 的自相关和子波)(t s 的自相关相等，于是有记录的振幅谱|)(|ωX 和子波的振幅谱|)(|ωS 相等
|)(||)(|ωωX S =
及其对数也相等
|)(|ln |)(|ln ωωX S =
理论已证明，当子波为最小相位时，其对数谱序列（或称复赛谱）)(n S ∧
是因果序列
ωωππωππ
d e S n S j ⎰-∧=|)(|ln 1)( 由于|)(|ln ωS 为实偶函数，因此)(n S ∧是实的因果序列。

任何实序列都可写成奇部和偶部序列之和，故)(n S ∧可写成：
)()()(n e S n o S n S ∧∧∧+= 即子波对数谱序列)(n S ∧的奇部)(n o S ∧和偶部)(n e S ∧
有下述两个性质：
第一，由于)(n S ∧
的因果性，起奇部和偶部有如下关系
)()()(n e S n sign n o S ∧∧=
)()()()()(n n o S n o S n sign n e S δ∧∧∧+= 式中，
1 0>n
=)(n sign 0 0=n
-1 0<n
第二，)(n S ∧
的偶部和奇部的傅里叶变换为其傅里叶变换的实部和虚部。

设)(n S ∧的傅里叶变换为)(Re )(f i S f r S ∧∧=，)(Im )(f S f i S ∧∧=，)(f S ∧为子波的对数谱，则
)()()(f i S i f r S f S ∧
∧∧+= 由傅里叶变换性质有
)()(f e S n e S F ∧∧=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ )()(f o S i n o S F ∧∧=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ 故有
)()()(f i S i f r S f S ∧
∧∧+= )()(f o S i f e S ∧
∧+=
即
)()(f r S f e S ∧∧=
)()(f i S f o S ∧∧= 于是求子波的方法可归结为：
1）用多道统计的方法获得可靠的子波对数谱的实部。

由子波谱
πωωωj e S S |)(|)(=
则有
|)(|ln )(ωωS S =∧
)(|)(|ln ωϕωi S +=
由若干道振幅谱的几何平均（或多道记录的相关函数平均）确定子波振幅谱的对数谱|)(|ln ωS 。

2）由子波振幅谱对数求子波相位谱)(|ωϕ。

计算公式为
)(|)(|ln n e S S IFT ∧
→ω
)()()(n e S n sign n o S ∧∧=
)()(ωϕFT n o S →∧ 3）计算子波)(t S 。

由)(ωS 及)(ωϕ得
)(|)(|)(t S e S S FT
j →=πωωω
由于干扰的影响和反射系数序列不完全相关性，故需对子波的振幅谱和相位谱进行整形处理，另外，这种方法理论上仅适应最小相位的情况，为适应混合相位记录，可以先采用指数滤波的方法使地震记录最小相位化，再对求取的子波进行反向指数加权。