无反馈耦合混沌振子的反向同步
一个修改的统一混沌系统的反馈同步
[收稿日期]2008209210 [基金项目]国家自然科学基金项目(60503027)。
[作者简介]谢承蓉(19772),女,2000年大学毕业,硕士,讲师,现主要从事混沌控制与同步方面的研究工作。
一个修改的统一混沌系统的反馈同步 谢承蓉 (郧阳师范高等专科学校数学系,湖北丹江口442700) 徐玉华 (郧阳师范高等专科学校数学系,湖北丹江口442700;东华大学信息科学与技术学院,上海201620)[摘要]提出一个修改的统一混沌系统,分析了它的动力学特征。
然后讨论了它的混沌同步问题。
基于L yapunov 稳定性理论,使用2种非线性反馈控制方案,得到了修改的统一混沌系统同步的充分条件。
数值仿真表明了这2种方案的有效性。
[关键词]统一混沌系统;线性;非线性;反馈;混沌同步[中图分类号]O23112;TN91112[MR (2000)主题分类号]93C10 [文献标识码]A [文章编号]167321409(2008)042N011203自从1963年Lorenz [1]发现混沌吸引子以来,混沌动力学作为非线性科学的一个重要分支引起了广大科学技术人员的高度重视。
由于混沌具有初值敏感性,人们普遍认为混沌同步非常困难,直到1990年Pecora 和Carroll 提出了驱动响应同步方法,使Lorenz 混沌系统能够实现同步,混沌同步理论和应用才迅速成为一个新的研究热点,近年来,由于混沌同步在保密通信、信号处理、电路设计等领域表现出强劲的应用前景,各国学者高度重视并投入到这一研究领域中来,使得混沌控制和同步方法得到了蓬勃发展[2～8]。
1999年,Chen 发现了一个与Lorenz 系统类似但不拓扑等价的混沌系统———Chen 系统[9],2002年L ü等提出一种新的混沌系统———统一混沌系统[10]: x =(25a +10)(y -x ) y =(28-35a )x -xz +(29a -1)y z =xy -a +83z (1)式中,a ∈[0,1]是参数。
全局耦合混沌系统同步与反同步研究
振子为
X = F ( Xi ) .
m
(1 )
中于单向同步 (或反同步 ) 问题 , 即单向传送信号 的发射系统与接收系统间的同步 (或反同步 ). 然 而从实际应用的角度考虑 , 系统间的双向耦合同步 (或反同步 ) 更具有实际意义 , 尤其是近些年来有 关复杂网络同步问题的研究更促进了科学工作者将 系统间的同步研究拓展到更一般层面上 , 探索复杂 系统同步特性及规律 . 在物理 、生物科学等领域复 杂网络的同步都有极其重要的应用价值 . 混沌系统间的同步 (或反同步 ) 研究是研究系 统单一存在的同步 (或反同步 ) 情形 . 但是 , 在耦 合混沌系统间能否同时存在同步与反同步现象 ? 本 文利用文献 [ 7 ] 提出的同步方法 , 从理论上论证 在一个相互 耦合的 系统中同步 和反同 步存在的 条 件 , 并在改进的 Chua π s电路连续系统和一维离散系 统中 , 得到实现同步和反同步的具体解析条件 , 并 利用数值分 析和仿 真实验验证 了理论 结果的正 确 性.
首先考虑连续混沌系统情况 . 设 3 个等同混沌
(4)
1 ( d + 2 d2 ) . 3 1
收稿日期 : 2008203 217; 修回日期 : 2008 207 204 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 70 571053 , 1040 5018 ) ; 深圳市科技计划基金资助项目 ( 20042 5) 作者简介 : 吴迎春 ( 1984 2 ) , 女 (汉族 ) , 安徽省黄山市人 , 深圳大学和东北师范大学联合培养硕士研究生 . E 2 ma il: w u yc601 @ 1261 co m
其中 , H 为 m × m 阶常数矩阵 , 且所有特征值的实 部小于零 . 以下论证混沌系统 ( 3 ) 同步和反同步 现象共存在 . 由式 1 X1 = S + 3 1 X2 = S + 3
双稳态系统,单稳态系统,耦合振子系和混沌系统的随机共振现象
双稳态系统，单稳态系统，耦合振子系和混沌系统的随机共振现象随机共振是指系统在一个外部随机扰动的作用下，出现共振现象的现象。
它是一种非线性系统中常见的现象，也是一个重要的研究课题。
本文将介绍双稳态系统、单稳态系统、耦合振子系和混沌系统中的随机共振现象。
首先介绍双稳态系统。
双稳态系统是指系统具有两个稳定平衡点的系统。
在一个双稳态系统中，当外部随机扰动的幅度足够小时，系统将在一个稳定平衡点附近振荡，并且能够保持在该平衡点附近。
然而，当外部随机扰动的幅度达到一定阈值时，系统会突然跳跃到另一个稳定平衡点附近，并保持在该平衡点附近。
这种现象被称为双稳态系统的随机共振现象。
接下来介绍单稳态系统。
单稳态系统是指系统只具有一个稳定平衡点的系统。
在一个单稳态系统中，当外部随机扰动的幅度足够小时，系统将在稳定平衡点附近振荡，并能够保持在该平衡点附近。
然而，当外部随机扰动的幅度进一步增大时，系统将发生共振现象，振幅会突然增大，系统将不再保持在原来的稳定平衡点附近，而是在一个更大的范围内振荡。
这种现象被称为单稳态系统的随机共振现象。
然后介绍耦合振子系。
耦合振子系是指由多个振子组成的系统。
在一个耦合振子系中，当外部随机扰动的幅度较小时，每个振子将在自己的平衡位置附近振荡。
然而，当外部随机扰动的幅度逐渐增大时，系统中的振子将发生共振现象，振幅会突然增大，并且振子之间的相位关系可能会发生变化。
这种现象被称为耦合振子系的随机共振现象。
最后介绍混沌系统。
混沌系统是指具有确定性规律却表现出不可预测行为的系统。
在一个混沌系统中，当外部随机扰动的幅度很小时，系统将在一个局部的稳定状态中运动。
然而，当外部随机扰动的幅度增大时，系统将进入混沌状态，振幅和相位将变得非常不规则和难以预测。
这种现象被称为混沌系统的随机共振现象。
总之，双稳态系统、单稳态系统、耦合振子系和混沌系统中都存在着随机共振现象。
随机共振现象的发生与外部随机扰动的幅度密切相关，一定范围内的扰动可以引起系统的共振现象，但过大的扰动可能导致系统进入不稳定状态。
走向混沌的道路第三四节
一个动力学系统运动的充分发展是进入混 沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？ 沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？这是非 线性动力学研究中的一个重要问题。 线性动力学研究中的一个重要问题。
同步、 第三节 同步、锁模与混沌
1. 同步与锁模 2. 魔梯与混沌 3. 受驱贝耐特对流实验 4. 受驱单摆的混沌道路
θ i +1 = θ i + Ω − ( K / 2π ) sin 2πθ i
2. 魔梯与混沌
标准映射迭代运算
θ i+1 = θ i + Ω
θ + 0.4 θ i+1 = i θ i + 0.4 − 1 当θ i < 0.6时 当θ i > 0.6时
2. 魔梯与混沌
标准映射迭代运算
θ i+1 = θ i + Ω
x = A sin(ωt + φ )
三个特征量：振幅A、频率ω与相位φ，频率是固有的，振幅与相位决 定于初始条件。 非线性振子，如范德玻耳振子，达芬振子等. 非线性振子 三个特征量：振幅、频率与相位都与系统紧密相关的，并且最终达到的振 动状态与初始条件无关。
1. 同步与锁模
同步与锁模的概念
如果两个非线性振子 间发生耦合，就会发生： 一个振子的状态依赖于 另一个振子的振幅； 或者 一个振子的振动频率锁 定在另一个振子的振动频 率上； 或者 两个振子同步地以一个 共同的频率振动。
1. 同步与锁模
圆周映射
由图可给出以下关系：
BC = τ/T + f (θ i+1 ) = µ + f (θ i+1 ) + 某整数
AB = 1 − θ i + θ i+1 + 某整数
超混沌Chen系统和超混沌Lorenz系统的反同步
B
T 1
(
x)
=
-
B1 ( x) , B2 ( x)
张嗣瀛 (1925 - ) ,男 ,山东章丘人 ,东北大学教授 ,博士生导师 ,中国科学院院士·
314
东北大学学报 (自然科学版) 第 30 卷
时不同结构混沌系统之间的同步行为又是广泛存
在的 ,特别是在生物系统和社会系统中·例如 ,血 液循环系统和呼吸系统之间就存在着混沌同步行
令驱动系统 (1) 与响应系统 (2) 的反同步误差 e = x + y ,可得误差系统如下 :
e = x + y = f ( x , t) + g ( y , t) + u · (3)
定义 1 对于混沌系统 (1) 和 (2) ,若存在一个 控制器 u ,在任意初始状态 ( x (0) , y (0) ) 下 ,均有
x4 = x2 x3 + rx4 ,
将其作为驱动系统·其中 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 为状态 变量 , a , b , c , d , r 为系统参数·当 a = 35 , b = 3 , c = 12 , d = 7 , 01085 < r ≤01798 时 , 系统 ( 5) 处于 超混沌状态·
lim e ( t) = lim y ( t) + x ( t) = 0 (4)
t →∞
t →∞
成立 ,则称混沌系统 (1) 和 (2) 反同步·
超混沌 Chen 系统[6 ]的数学模型为
x1 = a ( x2 - x1) + x4 ,
x2 = dx1 - x1 x3 + cx2 , (5)
x3 = x1 x2 - bx3 ,
双稳态系统,单稳态系统,耦合振子系和混沌系统的随机共振现象共3篇
双稳态系统，单稳态系统，耦合振子系和混沌系统的随机共振现象共3篇双稳态系统，单稳态系统，耦合振子系和混沌系统的随机共振现象1随机共振现象是振动系统中常见的一种现象，它表现为系统在一定的外部扰动下出现了共振现象，但不同于传统的谐振共振，它不是由于外力与系统本身的特性频率相等而产生，而是由于系统内部有噪声、混沌及随机因素的存在而发生的。
在振动系统研究中，随机共振现象是一个十分值得关注的研究领域，因为它与生活中诸多现象的产生和控制息息相关。
在振动系统中，有两种经典的系统类型：双稳态系统和单稳态系统。
双稳态系统指具有两个稳态的系统，即系统在一定条件下可以有两个平衡位置，此时系统呈现双峰型的能势图。
而单稳态系统则指系统只有一个稳态，即系统在一定条件下只有一个平衡位置，此时系统呈现单峰型的能势图。
这两种系统类型与随机共振现象的产生密切相关。
在双稳态系统中，当外部扰动达到一定阈值时，系统会从其中一个稳态转移到另一个稳态，这时系统会发生共振现象。
这种转移的过程可以用激励-响应法进行分析，即在系统的激励作用下，系统的响应随时间的变化呈现出一定的周期性、异周期性或随机性。
随机共振现象的产生是由于系统内部的随机因素的作用，这些随机因素可以是系统内的噪声或环境扰动等。
此时，系统的响应会表现出连续的随机性，呈现出随机共振现象。
在单稳态系统中，系统内部的随机因素同样可以引发随机共振现象，但与双稳态系统不同的是，单稳态系统中的随机共振现象与系统的响应幅值密切相关。
当系统内部的随机因素逐渐加强时，系统的响应会呈现出持续增加的态势，直至绕过系统本身的稳态形成共振现象。
这种现象与双稳态系统中的随机共振现象有所不同，它更倾向于呈现出单调增长的响应特征。
耦合振子系中的随机共振现象是由于系统内部的混沌因素的影响而产生的。
在耦合振子系中，两个振子之间存在一定的相互作用，它们的响应呈现出一定的周期性或异周期性，且其中一个或两个振子的响应呈现出混沌特征。
化学同步现象的例子
化学同步现象的例子等红绿灯时，所有的汽车转向灯21秒后会以同一频率闪烁。
在持续鼓掌的会场，7秒后所有的掌声会汇成同一个节奏。
甚至住在一个宿舍的女生。
在几个月后就形成同一个排卵周期。
仿佛冥冥中有一股看不见的神秘力量，指挥混沌的万物形成同步的秩序，这就是神奇的万物同步现象，让哈佛混沌物理学博士斯托加茨等大量科学家为之着迷。
这是一些节拍器，它们的摆动频率都是完全不同的。
最开始拨动它们的时候，所有的节拍器完全都是混乱而嘈杂的，但是没过几秒，它们开始神奇的趋于一致。
最后它们居然完全以同一频率和方向摆动，就像一只被严格训练的仪仗方队，这就是最简单的同步现象。
究其原理，是因为它们在同一个平台上面互相振动影响，发生了物理学上的“耦合振子”的运动场，这种相互的影响最终迫使它们完全同步。
更有趣的是，将物理上的这种耦合同步放大到宇宙空间，一切星体都在被迫同步，同步的程度和耦合强度成正比。
地球和月球的相互围绕，迫使较小的月球被潮汐锁定，木星的三颗卫星不仅被木星潮汐锁定，三个卫星的周期还存在1：4的同步关系。
将同步缩小到微观物理空间也完全成立。
上万亿个电子在超导体中步调完全一致地前进，使电流在零电阻的状态下流过，物体内部空间中结晶，比如雪花就是数万亿个水分子自发同步凝结成宏观对称的结晶。
然而神奇的同步现象是超出了物理界的，在化学、生物、甚至社会心理领域都存在难以解释的同步。
2000年6月10日伦敦千禧桥开放，但是两天后就被关闭了。
因为警察发现桥上人群很快就会同步走，造成桥体的剧烈摇晃。
我们知道军队过桥只能走便步，以避免同步走引起桥体共振倒塌。
但是千禧桥的情况相反，是桥体的可晃动性，让桥上的行人像前面的节拍器一样，耦合力在默默的让他们的同步。
这是第一次人类发现同步对人群集体行为的影响。
然而同步绝不仅在物理振动耦合中触发。
昆虫学家发现在同一片树林中的萤火虫，它们闪光的频率很快在几分钟内完全达成一致，形成整片萤火虫同步闪耀的壮观场景。
反步自适应方法实现混沌系统的同步
文 章 编号 ：０６— ３ ８ ２ １ ） ２—０ ７ ０ １０ ９ ４ （０ ０ ０ １ ５— ５
计
算
机
仿
真
２０ 月 ０ 年２ １
反 步 自适 应 方 法 实 现 混 沌 系 统 的 同 步
王 宇野 ， 红珍 ， 许 郭黎 利
（ 哈尔滨工程 大学信 息与通信工程学 院， 黑龙 江 哈尔滨 １０ ０ ） ５ ０ １ 摘要 ： 针对基 于滞环非线性参数未 知的多涡卷混 沌系统 ， 出了一种 自适 应反步变结 构的控制方 案来实现其 同步。通过逐 提 步修正 的方法设计镇定控制器 ， 在每一步把状态坐标 的变化 、 不确定参数 的调节 函数和一个 Ｌａ ｕｏ ｙｐｎ ｖ函数的虚拟 系统 的镇 定 函数联 系起来 ， 以达到实现系统 的全局调节 。采用所设计 的控制器实现 了两个混沌 系统的 同步控制 ， 使得误差 系统在有 限时间内到达所设定 的滑模 面， 并沿着滑模 面渐进收敛 到原点 ， 同时估计 出系统 中存 在的未知参 数。由于 自适应算 法和滑
模 方 法 的使 用 ， 制 器 对 参 数 扰 动 和外 部 干扰 具 有 较 强 的抑 制 作用 ， 论 分 析 和 仿 真 结 果 验 证 了所 提 出方 法 的 有 效 性 。 控 理
关键词 ： 自适应 ； 反步控制 ； 多涡卷 ； 滞环 ； 滑模控制
中 图 分 类 号 ： Ｐ ７ Ｔ２ ３ 文 献 标 识 码 ： Ａ
ｉ ｅ ｉｎ ｄ ｂ ｔ ｐ—ｂ ｓｄ ｓｇ ｅ ｙ ａ ｓｅ ｙ—ｓｅ ｒ ｃ ｄ ｒ ｎｅ ｌ ｃｎ ｔ ｐ ｐ ｏ ｅ ｕ ｅ ｉ ｔｒａ ｉ ｇ，ａ ａ ｈ ｓｅ ｔ ｃ ｔｐ，ａ ｃ ｏｄ ｎ ｔ ａ ｓ ｒ ａｉｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｄ ｓｇ ｆａ ｅ ｏ ｒ ｉ ａｅ ｔ ｎ ｆｍ ｔ ｎ ｈ ｅ ｉｎ ｏ ｒ ｏ ｏ
不同结构混沌系统的自适应同步和反同步
不同结构混沌系统的自适应同步和反同步3蔡 娜1) 井元伟1) 张嗣瀛1)2)1)(东北大学信息科学与工程学院,沈阳 110004)2)(青岛大学复杂性科学研究所,青岛 266071)(2008年6月6日收到;2008年7月17日收到修改稿) 针对不同结构混沌系统的同步与反同步问题进行了研究.在系统参数已知时,采用主动控制法实现混沌系统的同步与反同步,并将主动控制器的设计方法进行了推广.在参数未知时,基于Lyapunov 稳定性理论和自适应控制方法,给出了自适应控制器和参数自适应律,实现了参数均未知且结构不同的驱动系统和响应系统的同步与反同步.在控制器的设计过程中,将驱动系统和响应系统进行互换,讨论了互换前后的控制器和自适应律之间的关系.数值仿真结果说明了所提出设计方法的有效性.关键词:混沌同步,反同步,主动控制法,自适应控制法PACC :05453国家自然科学基金(批准号:62074009)资助的课题. E 2mail :caina302@11引言1990年,Pecora 和Carroll[1]利用驱动2响应概念提出了混沌系统的同步性问题.这种同步是对混沌系统施加控制,使该系统的轨道与另一混沌系统(或另一演化规律相同但是初值不同的同类混沌系统)的轨道渐近趋向一致.由于其在保密通信等领域的广泛应用,混沌同步问题受到了前所未有的关注,现已成为非线性系统研究领域的热点之一.至今,除了最初的完全同步人们又提出了许多种混沌同步,如广义同步[2]、相同步[3]、射影同步[4]、延迟同步[5]、反同步[6]等.在周期混沌系统中,反同步是一个值得关注的现象.迄今为止,人们已提出了许多方法用以实现混沌同步或反同步,主要有主动控制法[6,7]、自适应控制方法[8,9]、线性反馈控制法[10]、滑模控制法[11,12]等.由于实际应用中不同结构混沌系统的广泛存在,对于不同结构混沌系统同步与反同步的研究已取得了一些研究成果.例如,李爽等[13]采用反馈控制和自适应控制相结合的方法实现了不同结构混沌系统的同步;Zhang 等[14]采用自适应的方法实现了参数未知的不同结构混沌系统同步.文献[15,16]给出了实现不同结构混沌系统反同步的充分条件.本文主要是基于以上研究成果,利用主动控制法的简单有效且不需要确定Lyapunov 函数的优点,在参数已知的条件下,采用该控制方法实现了两个不同结构混沌系统的同步与反同步.并将主动控制器设计过程中需要确定的常数矩阵推广成一种与系统状态相关的形式.在驱动系统和响应系统的参数均未知的条件下,基于Lyapunov 稳定性理论给出了自适应控制器,以及系统未知参数的自适应律,实现了混沌系统的自适应同步与反同步.在控制器与自适应律的设计过程中将驱动系统与响应系统互换,研究了互换前后的控制器和自适应律之间的关系.数值仿真结果证明了本文所提出设计方法的有效性.21基于主动控制法的同步与反同步控制器设计2111主动同步控制器设计及其仿真 考虑如下形式的两个混沌系统x ・=A 1x +f 1(x ),(1)y ・=A 2y +g 1(y ),(2)其中,x =[x 1,x 2,…,x n ]T与y =[y 1,y 2,…,y n ]T为系统的状态变量,A 1和A 2为系数矩阵,f 1(x )与g 1(y )为非线性向量函数.在参数已知的条件下,分第58卷第2期2009年2月100023290Π2009Π58(02)Π0802212物 理 学 报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.58,N o.2,February ,2009ν2009Chin.Phys.S oc.两种情况来讨论不同结构混沌系统的同步.情况1 将系统(1)作为驱动系统,受控的响应系统为y・=A2y+g1(y)+U1(x,y).(3) 令系统(3)与(1)的同步误差为e=y-x,可得误差动态系统如下e・=y・-x・=A2y+g1(y)-A1x-f1(x)+U1(x,y)=A2(y-x)+A2x+g1(y)-A1x-f1(x)+U1(x,y)=A2e+(A2-A1)x+g1(y)-f1(x)+U1(x,y).(4) 定义1 对于两个不同结构的混沌系统(1)和(3),如果存在一个控制器U1(x,y),使得系统(1)和(3)的状态在任意初始状态(x(0),y(0))下,均有lim t→∞e(t)=limt→∞y(t)-x(t)=0成立.则称混沌系统(1)和(3)达到同步.采用主动控制法实现两个不同结构混沌系统的同步,就是为响应系统(3)设计适当的控制器,使得误差系统(4)在该控制器的作用下,渐近稳定到原点.为此选取如下形式的控制器:U1=V1-(A2-A1)x+f1(x)-g1(y).(5)将(5)式代入(4)式可得e・=A2e+V1.(6)此时,系统(6)是一个线性系统.可以通过设计V1,使得系统(6)满足Lyapunov稳定性条件.不妨设V1 =Pe,将系统(6)化成e・=Me(7)的形式.于是,只要保证系统(7)在原点渐近稳定即可实现系统(3)和系统(1)的同步.矩阵P的选取方法有很多种,在以往文献中利用主动控制法实现混沌同步时所设计的P都是常数矩阵[6,7],且保证矩阵M的特征值均具有负的实部.在本文中我们将常数矩阵推广成与系统状态相关的矩阵(常数矩阵为本文的一种特殊情况),并且通过对矩阵P的设计将系统(6)化成e・=B(e)e的形式.其具体性质由下面的定理给出.定理1 考虑如下的非线性系统e・=B(e)e,(8)其中,e=[e1,e2,…,e n]T为状态变量.若系数矩阵B(e)满足B(e)=B1(e)+B2(e),并且B T1(e)= -B1(e),B2(e)=diag{b1,b2,…,b n},b i<0(i=1,2,…,n),那么系统状态全局渐近稳定.证明 选择如下Lyapunov函数V=e T e,则它沿着系统(8)关于时间的导数为V=e・T e+e T e・=e T Be+e T B T e=e T(B+B T)e=2e T diag{b1,b2,…,b n}e.因为B2(e)=diag{b1,b2,…,b n},b i<0(i=1,2,…,n),所以V≤0,则系统(8)全局渐近稳定.考虑超混沌R ssler系统和广义Lorenz系统的主动同步.设超混沌R ssler系统为驱动系统,有x・1=-x2-x3,x・2=x1+a1x2+x4,x・3=b1+x1x3,x・4=-c1x3+d1x4.(9)广义Lorenz系统为受控的响应系统,有y・1=a2(y2-y1)+c2y4+u1,y・2=d2y1-y1y3-y2+u2,y・3=y1y2-b2y3+u3,y・4=-y1-a2y4+u4.(10)其中,参数a1=0125,b1=310,c1=015,d1=0105和a2=110,b2=017,c2=115,d2=2610时,系统(9)和(10)处于超混沌状态.首先将系统(9)和(10)分别化成系统(1)和(3)的形式,其中A1=0-1-101012501000000-0150105,f1(x)=310+x1x3,A2=-11011001152610-10000-0170-100-1,g1(y)=-y1y3y1y2.3082期蔡 娜等:不同结构混沌系统的自适应同步和反同步U 1=[u 1,u 2,u 3,u 4]T为控制输入.设驱动系统(9)与响应系统(10)之间的误差状态为e i (t )=y i -x i (i =1,2,3,4).由(10)与(9)式相减可得误差状态方程为e ・1(t )=-e 1+e 2+115e 4-x 1+2x 2+x 3+115x 4+u 1,e ・2(t)=26e 1-e 2+25x 1-1125x 2-x 4-y 1y 3+u 2,e ・3(t)=-017e 3-017x 3+y 1y 2+x 1x 3-3+u 3,e ・4(t)=-e 1-e 4-x 1+015x 3-1105x 4+u 4.(11) 为了使得系统(9)和(10)实现同步,根据(5)式选取如下形式的控制器:u 1=-x 2e 3-015e 4+x 1-2x 2-x 3-115x 4,u 2=-27e 1-(x 1+e 1)e 3-25x 1+1125x 2+x 4+y 1y 3,u 3=x 2e 1+(x 1+e 1)e 2+017x 3-y 1y 2+x 1x 3+3,u 4=x 1-015x 3+1105x 4.(12)则误差系统(11)在控制器(12)的作用下能够化成非线性系统(8)的形式,根据定理1则有误差系统(11)全局渐近稳定,即驱动系统与响应系统达到了同步.为了说明所设计控制器的有效性,采用四阶龙格-库塔法进行数值仿真,初始状态分别为(x 1(0),x 2(0),x 3(0),x 4(0))=(-1,2,-3,4)和(y 1(0),y 2(0),y 3(0),y 4(0))=(1,3,0,5),则误差状态初始值为(e 1(0),e 2(0),e 3(0),e 4(0))=(2,1,3,1).图1给出了驱动系统(9)和响应系统(10)之间的误差状态曲线,由仿真结果可以看出随着时间的增加,误差状态e 1(t ),e 2(t ),e 3(t )和e 4(t ),能够迅速地趋近于零,这表明该方法能够有效地实现不同结构混沌系统的同步.情况2 将情况1中的驱动系统和响应系统互换.即系统(2)作为驱动系统,则受控的响应系统为x ・=A 1x +f 1(x )+U 2(x ,y ).(13) 令同步误差状态为e =x -y ,则误差系统为图1 超混沌R ssler 系统和广义Lorenz 系统的同步误差状态曲线e ・=x ・-y・=A 1x +f 1(x )-A 2y -g 1(y )+U 2(x ,y )=A 2(x -y )-A 2x +A 1x +f 1(x )-g 1(y )+U 2(x ,y )=A 2e +(A 1-A 2)x +f 1(x )-g 1(y )+U 2(x ,y ).(14) 选取如下控制器:U 2=V 2+(A 2-A 1)x +g 1(y )-f 1(x ).(15)将(15)代入(14)式可得e ・=A 2e +V 2.(16)关于V 2的选取方法有很多种,为了讨论互换前后控制器之间的关系,不妨令V 2=V 1.则控制器(15)为U 2=V 1+(A 2-A 1)x +g 1(y )-f 1(x ).(17)在该控制器的作用下,系统(14)全局渐近稳定.注1 从情况1和2的讨论过程可以看出,当驱动系统与响应系统相互交换时,互换前后控制器之间的关系为U 2=U 1+2[(A 2-A 1)x -f 1(x )+g 1(y )].下面以广义Lorenz 系统作为驱动系统,超混沌R ssler 系统作为受控的响应系统,对所设计的控制器的有效性进行数值仿真.其系统参数与系统状态的初始值同情况1.则图2为系统(9)和(10)互换之后的同步误差状态曲线.从仿真结果可以看出在控制器(17)的作用下,两个不同结构混沌系统达到了同步.2121主动反同步控制器设计及其仿真 采用主动控制的方法实现不同结构混沌系统的反同步,与211节实现两个不同结构混沌系统同步的分析过程类似,分成两种情况来讨论.情况1 将系统(1)作为驱动系统,受控的响应系统为y ・=A 2y +g 1(y )+U 3(x ,y ).(18) 令系统(18)与(1)的反同步误差为e =y +x ,可得误差动态系统为e ・=y ・+x・=A 1x +f 1(x )+A 2y +g 1(y )+U 3(x ,y )408物 理 学 报58卷图2 广义Lorenz 系统和超混沌R ssler 系统的同步误差状态曲线图3 超混沌R ssler 系统和广义Lorenz 系统反同步过程的仿真曲线 (a )x 1,y 1的反同步曲线,(b )x 2,y 2的反同步曲线,(c )x 3,y 3的反同步曲线,(d )x 4,y 4的反同步曲线=A 2(x +y )-A 2x +A 1x +f 1(x )+g 1(y )+U 3(x ,y )=A 2e+(A 1-A 2)x +f 1(x )+g 1(y )+U 3(x ,y ).(19) 定义2 对于两个不同结构的混沌系统(1)和(18),如果存在一个控制器U 3,使得系统(1)和(18)的状态在任意初始状态(x (0),y (0))下,均有lim t →∞e (t )=lim t →∞y (t )+x (t )=0成立.则称混沌系统(1)和(18)达到反同步.从混沌反同步的定义可以看出,利用主动控制法实现两个不同结构混沌系统反同步的问题,可以转化成误差系统(19)在原点的渐近稳定性问题.选取如下形式的控制器:U 3=V 3-(A 1-A 2)x -f 1(x )-g 1(y ).(20) 将(20)代入(19)式可得e ・=A 2e +V 3.(21)通过选取适当的V 3,使系统(21)在原点渐近稳定即可实现混沌系统的反同步.为了研究问题方便不妨令V 3=V 1.此时控制器(20)为U 3=V 1-(A 1-A 2)x -f 1(x )-g 1(y ).(22) 混沌同步控制器(5),(17)与反同步控制器(22)之间的关系如下:U 3=U 1+2[(A 2-A 1)x -f 1(x )],U 3=U 2-2g 1(y ). 下面仍以超混沌R ssler 系统和广义Lorenz 系统为例进行数值仿真.以超混沌R ssler 系统作为驱动系统,广义Lorenz 系统作为响应系统.系统参数和状态初始值的选取与211节数值仿真的取值相一致.图3为超混沌R ssler 系统的状态x i (i =1,2,3,5082期蔡 娜等:不同结构混沌系统的自适应同步和反同步4)和广义Lorenz 系统的状态y i (i =1,2,3,4)之间的反同步仿真曲线.由仿真结果可以看出两个混沌系统的状态轨迹振幅相等运动方向相反,即两个混沌系统在控制器(22)的作用下达到了反同步.情况2 如果将系统(2)作为驱动系统,受控的响应系统为x ・=A 1x +f 1(x )+U 4(x ,y ).(23)令系统(23)与(2)的反同步误差为e =x +y ,则误差动态系统为e ・=A 2e +(A 1-A 2)x +f 1(x )g 1(y )+U 4(x ,y ).该误差系统与(19)式相同,所以可以在同一个控制器的作用下达到全局渐近稳定.从212节的情况1,2的分析结果可以得出结论,在实现两个不同结构混沌系统(相同阶)的反同步时,驱动系统与响应系统互换并不影响控制器的设计.即互换前后混沌系统可以在同一控制器U 4(x ,y )=U 3(x ,y )的作用下实现反同步.为了说明上述分析结果的正确性,采用四阶龙格2库塔法进行数值仿真,系统参数以及初始状态的取值同211节.图4为超混沌R ssler 系统和广义Lorenz 系统互换之后的状态反同步仿真曲线.由仿真结果可以看出两个混沌系统的状态轨迹振幅相等运动方向相反,即互换之后的两个混沌系统在控制器(22)的作用下仍可达到反同步.图4 广义Lorenz 系统和超混沌R ssler 系统反同步过程的仿真曲线 (a )y 1,x 1的反同步曲线,(b )y 2,x 2的反同步曲线,(c )y 3,x 3的反同步曲线,(d )y 4,x 4的反同步曲线 综上,两个不同结构混沌系统实现同步时,驱动系统和响应系统互换之后,控制器发生了明显的变化.而对于两个不同结构混沌系统,则可在同一控制器的作用下实现反同步,这是混沌反同步的独特之处.31自适应同步与反同步控制器设计 上一节在参数已知的条件下,采用主动控制法,针对不同结构混沌系统的同步与反同步问题进行了研究.然而在实际应用中,一般混沌系统的参数常常608物 理 学 报58卷是未知或不确定的.因此,要实现参数未知的混沌系统的同步与反同步对实际的混沌系统至关重要,而且驱动系统和响应系统的参数均未知的情况更加具有研究价值.针对上述问题本节基于Lyapunov 稳定性理论和自适应控制方法,设计了不同结构混沌系统的自适应同步与反同步控制器,并对驱动系统和响应系统的未知参数进行在线估计.3111自适应同步控制器设计及其仿真 考虑如下形式的两个混沌系统:x ・=f (x )+F (x ) θ1,(24)y ・=g (y )+G (y ) θ2.(25) 情况1 将系统(24)作为驱动系统,受控的响应系统为y ・=g (y )+G (y ) θ2+U 5(x ,y ),(26)其中,x =[x 1,x 2,…,x n ]T与y =[y 1,y 2,…,y n ]T为系统的状态变量,f (x )与g (y )为连续的向量函数,F (x )和G (y )为矩阵函数,U 5(x ,y )为控制输入, θ1和 θ2为系统参数.当f (x )≠g (y ),F (x )≠G (y ),时,系统(24)和(26)是不同结构的混沌系统,否则为相同结构的混沌系统.令响应系统(26)与驱动系统(24)的同步误差为e =y -x ,可得如下误差动态系统:e ・=y ・-x・=g (y )+G (y ) θ2-f (x )-F (x ) θ1+U 5(x ,y ).(27) 由于混沌系统对初始条件的敏感依赖,初始条件的微小变化最终将导致系统之间动态行为的巨大差异,所以混沌系统的同步较难实现.对于结构不同且系统参数均未知的驱动系统和响应系统的混沌同步实现起来就更加困难.于是该问题的研究具有一定的理论意义.基于Lyapunov 稳定性理论和自适应控制方法,选取如下自适应控制器和参数自适应律:U 5(x ,y )=K e -g (y )-G (y )θ2+f (x )+F (x )θ1,(28)θ1=-F T (x )e , θ2=G T(y )e ,(29)其中,K 是系数矩阵且具有和矩阵B 相同的性质,参数θ1,θ2分别是“未知”参数 θ1, θ2的估计.根据以上的分析,我们有如下的定理成立.定理2 对于不同结构的混沌系统(24)和(26),在控制器(28)和参数自适应律(29)的作用下,受控的响应系统(26)在任意初始状态下,均能实现与驱动系统(24)的自适应同步.证明 选取如下Lyapunov 函数V =12(e T e + θT 1 θ1+ θT2 θ2),其中, θ1=θ1- θ1, θ2=θ2- θ2.沿着系统(27)对时间求导,可得V =12(e ・T e +e T e ・+ θ・T1 θ1+ θT 1 θ・1+ θ・T 2 θ2+ θT 2 θ・2)=12[g (y )-f (x )+G (y ) θ2-F (x ) θ1+U 5(x ,y )]Te +12e T[g (y )-f (x )+G (y ) θ2-F (x ) θ1+U 5(x ,y )]+12( θT 1 θ1+ θT 1 θ1+ θT 2 θ2+ θT2 θ2)=12[g (y )-f (x )+G (y )(θ2- θ2)-F (x )(θ1- θ1)+U 5(x ,y )]T e +12e T[g (y )-f (x )+G (y )(θ2- θ2)-F (x )(θ1- θ1)+U 5(x ,y )]+12( θT 1 θ1+ θT 1 θ1+ θT 2 θ2+ θT2 θ2)=12[g (y )-f (x )+G (y )(θ2- θ2)-F (x )(θ1- θ1)+U 5(x ,y )]T e +12e T[g (y )-f (x )+G (y )(θ2- θ2)-F (x )(θ1- θ1)+U 5(x ,y )]+12( θT 1 θ1+ θT 1 θ1+ θT 2 θ2+ θT 2 θ2).将(28)和(29)式代入上式可得V =12e T (K T+K )e .因为K 具有和矩阵B 相同的性质,所以 V ≤0.但是 V 半负定,不能直接得出误差系统在原点渐近稳定,所以结合Barbalat 引理[17]可得出lim t →∞‖e (t )‖=0,即响应系统(26)和驱动系统(24)全局渐近同步.证毕.以Lorenz 混沌系统和混沌L ü系统为例,说明所设计的自适应控制器以及自适应律的有效性.令Lorenz 系统为驱动系统,有7082期蔡 娜等:不同结构混沌系统的自适应同步和反同步x ・1=a ～1(x 2-x 1),x ・2=b ～1x 1-x 1x 3-x 2,(30)x ・1=x 1x 2-c ～1x 3.受控的L ü系统为y ・1=a ～2(y 2-y 1)+u 1,y ・2=-y 1y 3+b ～2y 2+u 2,y ・3=y 1y 2-c ～2y 3+u 3.(31)其中,参数a ～1=10,b ～1=28,c ～1=8Π3和a ～2=36,b ～2=20,c ～2=3时,系统(30)和(31)均处于混沌状态.将系统(30)和(31)分别化成系统(24)和(26)的形式,则有f (x )=-x 2-x 1x 3x 1x 2,F (x)=x 2-x 100x 1000-x 3,g (y )=-y 1y 3y 1y 2,G (y )=y 2-y 100y 200-y 3.U 5=[u 1,u 2,u 3]T为控制输入.设响应系统(31)与驱动系统(30)之间的误差状态为e i (t )=y i -x i (i =1,2,3),由(31)与(30)式相减,可得误差状态系统为e ・1(t)=a ～2(y 2-y 1)-a ～1(x 2-x 1)+u 1,e ・2(t)=-y 1y 3+b ～2y 2-b ～1x 1-x 1x 3-x 2+u 2,e ・3(t)=y 1y 2-c ～2y 3-x 1x 2-c ～1x 3+u 3.(32) 为了使得系统(30)和(31)实现自适应同步,根据(28)和(29)式可得系统的自适应控制器如下:u 1=-a ～2e 1+a ～2e 2-x 2e 3+a 1(x 2-x 1)-a 2(y 2-y 1),u 2=-a ～2e 1-e 2-(x 1+e 1)e 3+b 1x 1-x 1x 3-x 2+y 1y 3-b 2y 2,u 3=x 2e 1+(x 1+e 1)e 2-c ～2e 3+x 1x 2-c 1x 3-y 1y 2+c 2y 3.(33)参数自适应律为a ・1=(x 1-x 2)e 1,a ・2=(y 2-y 1)e 1,b ・1=-x 1e 2,b ・2=y 2e 2,c ・1=x 3e 3,c ・2=-y 3e 3.(34)其中a 1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2是对“未知”参数a ～1,b ～1,c ～1,a ～2,b ～2,c ～2的估计.为了说明本节设计的自适应控制器和自适应律对参数未知的不同结构混沌系统同步的有效性,下面对以上的结果进行仿真,数值模拟中采用步长为01001的四阶龙格2库塔方法,选取“未知”参数a ～1=10,b ～1=28,c ～1=8Π3和a ～2=36,b ～2=20,c ～2=3.初始状态分别取为(x 1(0),x 2(0),x 3(0))=(10,10,10)和(y 1(0),y 2(0),y 3(0))=(2,2,2),则误差状态初始值为(e 1(0),e 2(0),e 3(0))=(-8,-8,-8).自适应参数的初始值为(a ～1(0),b ～1(0),c ～1(0))=(3,3,3)和(a ～2(0),b ～2(0),c ～2(0))=(3,3,3).图5为Lorenz 系统和L ü系统的同步误差状态曲线,从仿真结果可以看出两个不同结构混沌系统的误差e 1(t ),e 2(t ),e 3(t )渐近趋近于零,即在控制器(33)的作用下,驱动系统(30)与响应系统(31)达到了自适应同步.图6是Lorenz 系统和L ü系统的参数收敛曲线,从仿真结果可以看出随着时间的增加,参数估计值最终能够收敛到一个常值.图5 Lorenz 系统和L ü系统的同步误差曲线情况2 将系统(25)作为驱动系统,受控的响808物 理 学 报58卷图6 Lorenz系统和Lü系统的参数收敛曲线 (a)参数a1,b1, c1的收敛曲线;(b)参数a2,b2,c2的收敛曲线应系统为x・=f(x)+F(x) θ1+U6(x,y).(35) 令响应系统(35)与驱动系统(25)的同步误差为e=x-y,可得误差动态系统为e・=x・-y・=f(x)+F(x) θ1-g(y)-G(y) θ2+U6(x,y).(36) 根据自适应控制法和参数估计方法,选取如下控制器和参数自适应律:U6(x,y)=Ke-f(x)-F(x)θ1+g(y)+G(y)θ2,(37)θ1=F T(x)e, θ2=-G T(y)e,(38)其中,K是系数矩阵,参数θ1,θ2分别是“未知”参数 θ1, θ2的估计.根据以上的分析,我们有以下定理成立.定理3 对于不同结构的混沌系统(25)和(35),在控制器(37)和参数自适应律(38)的作用下,响应系统(35)在任意初始状态下,均能实现与驱动系统(25)的自适应同步.该定理的证明过程与定理2的证明过程相同,在此不再赘述.注2 在驱动系统和响应系统参数均未知的情况下,采用自适应控制方法实现不同结构混沌系统同步时,如果驱动系统和响应系统互换,则互换前后的自适应律和自适应控制器之间存在着一定的关系.令θ11,θ12与θ21,θ22分别代表U5(x,y), U6(x,y)中的参数估计,即θ11=-F T(x)e,θ12= G T(y)e;θ21=F T(x)e,θ22=-G T(y)e,则θ11=- θ21, θ12=- θ22,结合(28)和(37)式可得U6(x,y)+ U5(x,y)=2K e.下面以Lü系统作为驱动系统,Lorenz系统作为受控的响应系统,采用步长为01001的四阶龙格2库塔方法,对本节设计的自适应同步控制器和参数自适应律进行数值仿真.系统“未知”参数以及状态的选取与311节情况1的取值相同.图7是驱动系统和响应系统互换之后的同步误差曲线,从仿真结果可以看出误差e1(t),e2(t),e3(t)可以趋近于零.图8是系统的参数收敛曲线,从仿真结果可以看出随着时间的增加,参数估计值最终能够收敛到一个常值.图7 Lü系统和Lorenz系统的同步误差曲线从上述仿真结果可以看出,在驱动系统和响应系统互换之后,无论是误差状态还是参数辨识的速度都比互换之前效果稍差.产生这种结果的原因是:在情况2中,为了使误差系统在控制器的作用下能够化成e・=K e的形式,所选择的K与情况1相同,其目的是为了便于说明驱动系统和响应系统互换前后自适应控制器和自适应律之间的关系.而矩阵K 是针对情况1的同步误差系统,按照对其改变较小的原则设计的,所以将其应用到情况2中,相对于情况2的误差系统变化就较大.9082期蔡 娜等:不同结构混沌系统的自适应同步和反同步图8 L ü系统和Lorenz 系统的参数收敛曲线 (a )参数a 1,b 1,c 1的收敛曲线,(b )参数a 2,b 2,c 2的收敛曲线3121自适应反同步控制器设计及其仿真 当驱动系统和响应系统参数均未知时,采用自适应控制的方法实现不同结构混沌系统反同步的讨论过程,与311节类似,分成两种情况.情况1 将系统(24)作为驱动系统,受控的响应系统为y ・=g (y )+G (y ) θ2+U 7(x ,y ).(39) 令响应系统(39)与驱动系统(24)的反同步误差为e =y +x ,可得误差系统为e ・=y ・+x・=f (x )+F (x ) θ1+g (y )+G (y ) θ2+U 7(x ,y ),(40)其控制器和自适应控制律如下:U 7=K e -f (x )-g (y )-F (x )θ1-G (y )θ2,(41)θ1=F T(x )e , θ2=G T(y )e ,(42)其中,K 是系数矩阵,与311节的K 相同,参数θ1,θ2分别是“未知”参数 θ1, θ2的估计.根据上面的分析,我们有如下的定理.定理4 对于不同结构的混沌系统(24)和(39),在控制器(41)和参数自适应律(42)的作用下,响应系统(39)在任意初始状态下,均能实现与驱动系统(24)的自适应反同步.注3 由自适应同步控制器(28)和(37)与反同步自适应控制器(41),可得它们之间的关系为U 7=U 5-2[f (x )+F (x )θ1],U 7=U 6-2[g (y )+G (y )θ2].为了说明混沌同步自适应律与反同步自适应律之间的关系,令θ31,θ32代表U 7(x ,y )中的参数估计,即θ31=F T (x )e , θ32=G T(y )e ,则有 θ31=- θ11, θ32= θ12与 θ31= θ21, θ32=- θ22.下面以Lorenz 系统作为驱动系统,L ü系统作为受控的响应系统.采用步长为01001的四阶龙格2库塔方法,对以上的分析结果进行数值仿真.初始状态分别取为(x 1(0),x 2(0),x 3(0))=(-011,-011,-011)和(y 1(0),y 2(0),y 3(0))=(5,5,5),则误差状态初始值为(e 1(0),e 2(0),e 3(0))=(511,511,511).系统“未知”参数的取值与311节情况1的取值相同.图9是Lorenz 系统和L ü系统的相应状态仿真曲线,驱动系统(24)与响应系统(39)的状态曲线等振幅但运动方向相反,即两个混沌系统在所设计控制器以及自适应参数的作用下达到了反同步.图10为两个混沌系统的参数收敛曲线.为了说明驱动系统与响应系统互换之后自适应控制器和自适应律与互换之前的关系.下面对互换之后的情况进行讨论.情况2 将系统(25)作为驱动系统,受控的响应系统为x ・=f (x )+F (x ) θ1+U 8(x ,y ).(43) 令响应系统(25)与驱动系统(43)的反同步误差为e =x +y ,,则误差动态系统为e ・=x ・+y・=f (x )+F (x ) θ1+g (y )+G (y ) θ2+U 8(x ,y ),与(40)式的表达形式相同.因此(43)式可以在(41),(42)式所示的控制器以及自适应律的作用下,实现与驱动系统(25)的自适应反同步.这样的结果说明了对于两个不同结构(阶数相同)的混沌系统,互换前后的混沌系统可以在同一控制器和自适应律的作用下实现它们之间的自适应反同步.018物 理 学 报58卷图9 Lorenz 系统和L ü系统的自适应反同步仿真曲线 (a )x 1,y 1的反同步曲线,(b )x 2,y 2的反同步曲线,(c )x 3,y 3的反同步曲线图10 Lorenz 系统和L ü系统的参数收敛曲线 (a )参数a 1,b 1,c 1的收敛曲线,(b )参数a 2,b 2,c 2的收敛曲线 “未知”参数以及系统状态初始值均与情况1相同,对驱动系统和响应系统互换后的混沌反同步进行数值仿真.图11为L ü系统与Lorenz 系统的相应状态仿真曲线,它们振幅相等,向着相反方向运动,即两个混沌系统在与情况1相同的自适应控制器和自适应参数的作用下实现了反同步.图12是这两个混沌系统的参数收敛曲线.41结论 本文研究了不同结构混沌系统的同步与反同步问题,并将其分成两种情况来讨论.首先在参数已知的情况下,采用主动控制法实现了两个混沌系统的同步与反同步,并将主动控制器设计时需要确定的常数矩阵推广成其元素与系统状态有关的形式.其次,在驱动系统和响应系统参数均未知的情况下,基于Lyapunov 稳定性理论和自适应控制方法,给出自适应控制器和参数自适应律.讨论了以上两种情况的驱动系统和响应系统发生互换前后的控制器和自适应律之间的关系,并针对每一种情况进行了数值仿真,结果证明了本文所设计控制器和自适应律的可行性与有效性.1182期蔡 娜等:不同结构混沌系统的自适应同步和反同步图11 Lü系统和Lorenz系统的自适应反同步仿真曲线 (a)y1,x1的反同步曲线,(b)y2,x2的反同步曲线,(c)y3,x3的反同步曲线图12 Lü系统和Lorenz系统的参数收敛曲线 (a)参数a1,b1,c1的收敛曲线,(b)参数a2,b2,c2的收敛曲线[1]Pecora L M,Carroll T L1990Phys.Rev.Lett.64821[2]W ang Y W,G uan Z H2006Chaos Solitons.Fract.2797[3]M eng J,W ang X Y2007Phys.Lett.A369294[4]Li G H2006Chaos Soliton.Fract.29490[5]Chen Y,Chen X,G u S2007Nonlinear Anal.91929[6]W ang X Y,W ang MJ2007Acta Phys.Sin.566843(in Chinese)[王兴元、王明军2007物理学报566843][7]Li G H2005Chaos Soliton.Fract.2687[8]Zhang G,Liu Z R,Zhang J B2008Phys.Lett.A372447[9]Hu J,Chen S H,Chen L2005Phys.Lett.A339455[10]Chen H H2008Phys.Lett.A3721841[11]Haeri M,Emadzadeh A A2007Chaos Soliton.Fract.31119[12]Chiang T Y,Lin J S,Liao T L,Y an J J2008Nonlinear Anal.682629[13]Li S,Xu W,Li R H,Li Y P2006Acta Phys.Sin.555681(inChinese)[李 爽、徐 伟、李瑞红、李玉鹏2006物理学报555681]218物 理 学 报58卷[14]Zhang H G,Huang W ,W ang Z L ,Chai T Y 2006Phys .Lett .A 350363[15]Li W L ,Chen X Q ,Shen Z P 2008Phys .A 3873747[16]Li G H ,Zhou S P 2007Chaos Soliton .Fract .32516[17]W ang X Y,Wu X J 2006Acta Phys .Sin .55605(in Chinese )[王兴元、武相军2006物理学报55605]Adaptive synchronization and anti 2synchronization of two different chaotic systems 3Cai Na 1) Jing Y uan 2W ei 1) Zhang S i 2Y ing 1)2)1)(College o f In formation Science and Engineering ,Northeastern Univer sity ,Shenyang 110004,China )2)(Institute o f Complexity Science ,Qingdao Univer sity ,Qingdao 266071,China )(Received 6June 2008;revised manuscript received 17July 2008)AbstractChaos synchronization and anti 2synchronization of tw o chaotic systems w ith different structures are investigated.When the parameters are known in advance ,the synchronization and anti 2synchronization are realized by the active control.The method of designing controllers w ith active control is generalized.When the parameters are com pletely unknown ,the adaptive controllers and the adaptive laws of parameters are given based on the Lyapunov stability theory and adaptive control method ,which realizes adaptive synchronization and anti 2synchronization of tw o different chaotic systems ,and identifies the unknown parameters.The drive system and response system are interchanged during the controller designing.The relationship of the controllers and the adaptive laws before and after the interchangement are investigated.The numerical simulation results verify the effectiveness of the proposed scheme.K eyw ords :chaos synchronization ,anti 2synchronization ,active control method ,adaptive control method PACC :05453Project support by the National Natural Science F oundation of China (G rant N o.62074009). E 2mail :caina302@3182期蔡 娜等:不同结构混沌系统的自适应同步和反同步。
耦合超混沌系统的同步翻译
耦合超混沌系统的同步杨李新，楚岩东，张建刚，李先锋校对信息校对历史：收于2009.3.30，联系人何吉环摘要混沌同步，作为一个很重要的热点，已经成为非线性科学的一个活跃的研究课题。
过去的数十年以来，混沌同步已经宣告了这一点。
这篇文章介绍了耦合超混沌系统的同步，基于lyapunov稳定理论。
系统的近似稳定由lyapunov函数来保证。
并做了数值仿真来表明这个方法在chen和rossler超混沌系统的有效性。
一、引言混沌在非线性科学领域扮演了一个非常重要的角色。
在过去的几年里混沌同步的潜在使用已经得到显著的关注[3-24]。
自从pecora和carroll[1]在1990提出混沌同步方法来使两个一样的混沌系统在不同条件下同步以来，报道了许多不同的方法，研究某些类型的混沌同步控制的方式，P-C同步[2]，反馈控制方式[3,21]，适应控制方式[5]。
现存的问题是如何实现超混沌系统的同步，特别是耦合超混沌系统，由上面提到的方式作为激励，本论文的目的是提出一个新的技术来实现混沌系统的同步。
本设计旨在设计关于耦合超混沌系统的一个新方式，基于线性连续系统的lyapunov稳定性原理。
本论文主要框架如下。
在第二部分，我们讨论耦合超混沌系统的同步设计。
在第三、第四部分，我们描述一个使用这种同步方法的chen混沌系统和rossler混沌系统。
而提出数值计算是为了阐述提出混沌途径方法。
二、总体方案(设计)考虑一个N维混沌系统，方程形式如下[1]x=(xf)另外一个相同的N维混沌系统，方程形式如下()y f[2]y=状态变量x,y属于实数；u,v为耦合多项式。
()()⎩⎨⎧-=-=i i i i i i y x k v x y k u 相互耦合系统描述如下：()()⎩⎨⎧==u y f y u x f x,, [3] 如果()()0lim =-∞→t y t x t ,那么耦合混沌系统取得了同步。
定义1.函数()i i i xx -φ如下所示： ()⎪⎩⎪⎨⎧<=<-==>=>=0,00,100,00,00,1,i i i i i i i i i i i x x x x x xx x xx 或或者或φ [4] 对于四维线性时变系统()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=+++=4443432421414343332321313424323222121241431321211114x t a x t a x t a x t a xx t a x t a x t a x t a x x t a x t a x t a x t a xx t a x t a x t a x t a x[5] 我们假定()t a ij 是连续的，并且满足()()()04,3,2,1,0,t t j i t a t a ii ij ≥∀=≤ 然后系数矩阵()t A 分块如下：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎩⎨⎧=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=t A t A t A t A t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t A 2221121144434241343332312423222114131211 ()()()(){}()()()(){}()()()(){}()()()(){}t a t a t a t a b t a t a t a t a b t a t a t a t a b t a t a t a t a b t t t t t t t t 44344333224232413121241423131212222111110000sup sup sup sup ++=++=++=++=∞≤≤∞≤≤∞≤≤∞≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211b b b b B 系统[5]的lyapunov 函数如下：432211,x x V x x V +=+= 那么()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()2221114322212144444343332423214131444343242141443433323213134433221211143222111424143231322212121114243232221212414313212111122111V b V b x x b x x b x t a t a x t a t a x t a t a x t a t a x t a x t a x t a x t a x t a x t a x t a x t a x xDV V b V b x x b x x b x t a t a x t a t a x t a t a x t a t a x t a x t a x t a x t a x t a x t a x t a x t a x xDV +=+++≤+++++++≤+++++++=+=+=+++≤+++++++≤+++++++=+=φφφφφφφφ我们构造一辅助方程⎩⎨⎧+=+=******22212122121111V b V b V V b V b V [6] 如果系数满足以下条件：是非负数是正常数2112211222112211,,.2.,0,0.1b b b b b b b b ><-<<-<βββ那么时变系统[6]的原点是渐近稳定的。
一种实现混沌同步的非线性反馈方法
中 图分类号 ｔ Ｐ ７ Ｔ ２ ３
文献 标识 码 ｔＡ
１ 引 言
混 沌 同 步近 年 来 一 直 是 非 线 性 科 学 研 究 的热 点 之 一 。 迄 今 为 止 ， 实 现 混沌 同步 有 很 多 的 方 法 ： Ｐ ｃ ｒ— ｒｏｌ提 出的 驱 动一 响应 同步 法 、Ｏ ｅ ｏａＣａｒ ｌ ＧＹ 控 制 方 法 、变 量 反 馈 方 法 等 等 。但 是 这 些 方 法 多 用 于 讨 论 两 个 全 同系 统 的 混沌 同步 。 文 中给 出 的 混 沌 同 步 方 法 主 要 是 将 混 沌 系 统 的 同步 问 题 转 换 为研 究 误 差 系 统 的状 态 反 馈 镇 定 问 题 。通 过 选 取 合 适 的控 制 项 以保 证 误 差 闭 环 系统 的特 征 值 全 为 负实 现 混 沌 同步 。文 献 ［～ ］ 用 这 种 思 １ ３使
制 理 论 角 度 进 一 步 讨 论 该方 法 。最 后 以新 型 混沌 系统 一 Ｌ讧系 统 及 Ｌ ｕ系 统 为 例进 行 了数 值 模 拟 。 ｉ
２ 混 沌 同 步 Hale Waihona Puke 理 考虑两个混沌系统：
Ｘ （ ， ＝， Ｘ） （） ０ ＝Ｘ０ （） １ Ｙ ＝ｇ １ ＋ （ ， （ ） ｕｔ ， ） ｙ ０ ＝ｒ （） ｏ （） ２
想 实 现 了全 同 Ｌ ｒｎ 统 、 同 Ｒ ｓｌｒ ｏｅｚ系 全 ｏｓ 系统 以及 全 同 Ｃ ｅ ｅ ｈｎ系 统 的 混沌 同 步 。本 文 将 该 思 想 应 用 于 异 结 构 混 沌 系 统 ，给 出 一种 实现 异 结 构 混 沌 同 步 的 非线 性 反馈 方 法 ，然 后 结 合 可 能 的 实 际 需 求 从 最 优 控
耦合非线性振子的一些同步行为
１ 耦 合 非 线 性 振 子 的 一 些 动 力学 行 为
采取 周期性 边界 条件 ， 如下耦 合 Ｄｕ ｆ ｚ ＋ ・ ｓｃ） （ １ ｘ） （ｉ１ ｚ） — ； ｇｃ （ ｔ＋ｅｚ一一 ｉ＋ｅｘ＋一 ｏ ｏ
这些 时空 扩展系 统一般 指单 个一 阶非 线性 常微 分方 程 （ ） 非线性 离散 映象 的耦 合 ． 中 ， 组 或 其 时空连续 系统 的耦 合情 况下 ， 系 统 之 间 的 同步 现 象 的研 究 日益 引 起 极 大 的兴 趣 ．１ ９ 各 ９ ６年 Ｍ． Ｒｏｅ ｂｕ 用 两 个 Ｇ． ｓｎ ｌｍ
近年 来 ， 复杂 系统动 力学 研究 的兴 趣 已经转 移 到像 光学 、 物 等时 空 扩展 系 统上 ． 些 系统 展 示 了 对 生 这 丰富多 彩 的时空 动力学 现象 ． 如 ： 间 和 时 间周 期 结 构 、 波 以及 时 间 和 空 间混 沌 和 混沌 同步 等 【 ｊ 例 空 行 ｌ ．
（＝ ， Ｎ） Ｊ １…，
（） １
这 里 Ｎ 表 示振 子数 ， 代表 阻尼 系数 ， 和 ｇ分别 代表 强迫 力 的频 率 和 振 幅 ，ｅ 耦 合 系 数 ． Ｎ 为 取
＝５ 参 数 ＝０ ２ ， ＝１ ０ ｇ＝０ ２ （ 单个 振子 ， 上述参 数下 具有 混沌 轨道 ， 图 １ ｂ ） ， ．２ ．， ．６ 对 在 如 （ ）；
维普资讯
第２ ２卷
第 ５期
内蒙 古 民族 大 学 学 报 （ 自然科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＩｎ ｒＭｏ ｇ ｆ ｉｅｓ ｙ ｆｒＮａｉｎ ｌ ｅ ｏ ｒ ａ ｎ ｅ ｎ ｏ ａＵｎｖ ｒｉ ｏ ｔ ａｉ ｓ ｏ ｉ ｔ ｏ ｔ ｉ
耦合映射系统各种同步态的调控
／， 、 ’
＝“ １ ｔ１ ／ ） （ ） （ 一Ｏ －３ １一 （ ） ＝ｕ （ ） １一
／
其 中 “ ＝“ １ ／１一 ） 当 卢＝１时 ， ， ＋ （ 一Ｏ （ ） ． Ｍ ＝“ ＝ 眦 １一 ） 在 这 种传 统耦 合 方 式 下 ， （ ． 当耦 合 映射 固 定 ， ／固定 时 ， 即 Ｌ 同步 态 只能 是 和 单 个 映射 独 立 存 在
时 的动力 学行 为相 同 的态． 果组 成 系 统 的单 个 映射 如 处在 混沌 态 ， 同步 态 也 只 能 是 混 沌 态 ； 果 组 成 系 那 如 统 的单个 映 射 处 在 周 期 态 ， 同步 态 也 只能 是 周 期 那 态． 下面 讨论 当 ≠１时的几种 情形 ：
（ ）令 卢为一 常 数 ， ０＜ ＜１ 由 ／ １ 且 ． Ｌ ＝Ｍ １一 （
产 生规 则 同步 态 ， 同步 态之 间的转化 是通 过倍 周期 分 叉的形 式进行 的 ． 该结论 为探 索由 固定 系统 组
成 的复 杂 网络 如何 实现 同步提 供 了一 个很 好 的途 径．
关键词： 映射 系统 ； 混沌 同步 ； 则 同步 ； 周期 分 叉 规 倍
中图分类号 ： ５ ５ ０ ４ 文献 标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ９— ９２ ２ １ ）３— ０ ３ ０ １０ ７ ０ （０ ２ ０ ０ ３ — ４
（ 解放军理工大学 理学院 ， 江苏 南京 ２ １０ ） １ １ １
摘 要： 在传统的耦合方式下， 只能产生和单个振子独立存在 时动力学行 为相 同的 同步态． 文章
提 出一种 新的耦 合 方式 ， 这种 耦合 方 式下 ， 于 固定 的全 同振 子 组成 的 系统能 够产 生 多种 形式 的 在 对 同步态． 以全局耦 合 的 固定映射 系统为例 ， 明在新 的耦 合 方式 下 ， 说 不仅 能产 生 混沌 同步 态 ， 而且 能
延迟耦合混沌系统的同步与控制
用 ． 因为复 杂 系统 同步在 自然界 的重要 性 和 普遍 性 ， 所 以， 如 何增 强 混 沌 系统 同步 是 大 家想 达 到 的 目标
之一． 增强 网络 同步性 这 方面 的工作 大体 主要 分 两类 ｊ ： 一是 改 变 网络 的拓 扑 结构 （ 节点 或 者 边 ）
修 回 日期 ： ２ ０ １ ７— ０ ６— ２ ２
基金项 目： 江苏省高校 自然科学基金资助项 目（ １ ４ Ｋ Ｊ Ｂ １ ４ ０ ０ ０ ７ ） ． 作者简介 ： 王海军 ， 博士 ， 南京晓庄学 院电子工程 学 院副教 授 ， 主要研 究方 向 ： 非线 性物理 与 复杂 网络． Ｅ — ｍ ａ ｉ ｌ ： ｈ ａ ｉ ｊ ｕ ｎ ｗ＠
（ 南京晓庄学院 电子工程学院 ， 江苏 南京 ２ １ １ １ ７ １ ）
摘 要： 文章研 究 了基 于延迟耦 合 下的 混沌 系统 同步稳 定 性 问题 ． 通 过 理论 分 析 和 数值 计 算延
迟耦 合混 沌 系统 的最 大横 向 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数 ， 发 现 没有延 迟耦 合情 形 下 ， 无 论 如何 调 节耦 合 强度 ， 均 无 法使 得 两 系统达 到稳 定 同步． 但在 延 迟耦合 下 ， 通过 调 节 延迟 时 间与耦 合 强度 的 大 小 ， 不但 能使 得 混沌 系统 的稳定 同步 区间变 大 ， 而且 同步 速度加 快 ． 另外 ， 根据 最大横 向 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指数 的稳 定 区 域． 通过调 节延 迟 时 间和耦 合 强度 来对 混 沌 同步 稳定性 进行 控制 ， 可 以将 系统任 意控 制 到 同步 态或
无流边界条件下耦合系统中混沌同步的研究
北京邮电大学硕士学位论文无流边界条件下耦合系统中混沌同步的研究姓名：***申请学位级别：硕士专业：物理电子学指导教师：肖井华20050310理学院刘文远无流边界条件下耦合系统中混沌同步的研究摘要自从１９９０年Ｐｅｃｏｒａ和Ｃａｒｒｏｌｌ的早期工作开始，混沌同步已经成为非线形科学的一个热点。
特别是耦合的混沌系统的同步引起了人们极大的兴趣。
惠更斯时代的同步概念（仅涉及周期运动，表现为各种形式的锁频或锁相）在人们对耦合混沌系统的深入研究下已扩展为多种形式的混沌同步，其中包括完全同步，广义同步，相同步，滞后同步，部分同步等等新的内容。
本文主要讨论耦合系统中的完全同步。
在完全同步中，同步混沌的稳定理论已被提出，同步混沌的分岔行为已被广泛研究。
但是以往大部分工作都是基于周期边界条件的，而零流边界条件在自然界中更为广泛，在该条件下，系统同步问题还没有得到足够研究。
本文运用本征值分析法研究无流边界条件下耦合系统的同步问题。
我们发现在该条件下，耦合矩阵的本征值谱与周期边界条件下的有很大不同，分为两部分：孤立的零本征值和其他Ｎ＿１个连续的成线性分布的本征值。
因而其同步问题也与周期边界条件下的有很大的不同。
本文的第一章是序言部分，详尽介绍了混沌研究中关于混沌同步的研究成果即现状。
在第二章中，我们详细介绍了本征值分析法。
在第三章中，我们运用本征值分析法讨论周期边界条件和无流边界条件下的耦合系统的同步问题，并作了比较。
在第四章中，我们给出了数值结果。
关键字：无流边界条件、耦合系统、混沌同步ＳＹＮＣＨＲｏＮＩＺＡＴＩｏＮＩＮＣｏＵＰＬＥＤＣＨＡｏＴＩＣＳＹＳＴＥＭＳＷＩＴＨＮ０．ＦＬＵＸＢＯＵＮＤＡＲＹＣＯＮＤＩＴＩＯＮＡＢＳＴＲＡＣＴＳｉｎｃｅＰｅｃｏｒａａｎｄＣａｒｒｏｌｌ’ｓｐｉｏｎｅｅｒｉｎｇｗｏｒｋｉｎ１９９０．ｃｈａｏｓｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｈａｓｂｅｅｎａｈｏｔｓｐｏｔｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｉｅｎｃｅ．Ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ，ｃｈａｏｓｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｉｎｃｏｕｐｌｅｄｃｈａｏｔｉｃｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｓｈａｓｄｒａｗｎｌｏｔｓｏｆａｔｔｅｎｔｉｏｎ．Ｉｎｔｈｉｓｎｅｗｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ，ｔｈｅｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｃｏｎｃｅｐｔｉｎｔｈｅＨｕｙｇｅｎｉｉａｇｅ，ｗｈｉｃｈｏｎｌｙｒｅｌａｔｅｄｔｏｖａｒｉｏｕｓｋｉｎｄｓｏｆｆｒｅｑｕｅｎｃｙ—ｌｏｃｋｉｎｇｏｒｐｈａｓｅ—ｌｏｃｋｉｎｇｏｆｐｅｒｉｏｄｉｃｍｏｔｉｏｎｓ，ｈａｓｂｅｅｎｅｘｔｅｎｄｅｄｔｏａｖａｒｉｅｔｙｏｆｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｃｏｍｐｌｅｔｅｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ，ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ，ｐｈａｂｅｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ，ｐａｒｔｉａｌｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ，ｅｔｃ．Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ，ｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｉｅｓｏｆｔｈｅｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓｃｈａｏｓｈａｖｅｂｅｅｎｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｄｔｈｅｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓｃｈａｏｓｈａｓａｌｓｏｂｅｅｎｓｔｕｄｉｅｄｔｈｏｒｏｕｇｈｌｙ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｍｏｓｔｏｆｔｈｅｗｏｒｋｉＳｄｏｎｅｏｎｐｅｒｉｏｄｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｔｈｏｕｇｈｎｏ—ｆｌｕｘｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｓｍｏｒｅｏｆｔｅｎｓｅｅｎｉｎｒｅａｌｓｙｓｔｅｍｓ，ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｉｎｔｈｏｓｅｓｙｓｔｅｍｓｈａｓｎｏｔｂｅｅｎｐａｉｄｅｎｏｕｇｈａｔｔｅｎｔｉｏｎ。
耦合半导体激光器的多调制延时混沌同步
耦合半导体激光器的多调制延时混沌同步胡菊菊;马军山;高小燕【摘要】为了研究多调制延时混沌系统的动力学,用数值计算法研究了非相干光反馈与非相干光注入半导体激光器的多常数延时与多调制延时混沌同步,由于该系统是基于非相干注入的,所以不需要接收激光器与发送激光器频率完全匹配.另外,研究了非相干光反馈半导体激光器输出自相关函数.结果表明,多常数延时和多调制延时两种情况下都能获得高质量的同步,但在多调制延时系统中自相关函数的延时标识可以被隐藏,这一特性大大提高了系统的安全性,非常适用于混沌保密通信系统.【期刊名称】《激光技术》【年(卷),期】2010(034)004【总页数】4页(P440-442,455)【关键词】激光光学;混沌同步;非相干光反馈与非相干光注入;多常数延时;多调制延时【作者】胡菊菊;马军山;高小燕【作者单位】上海理工大学,光电信息与计算机工程学院,上海,200093;江西师范大学,物理与通信电子学院,南昌,330022;上海理工大学,光电信息与计算机工程学院,上海,200093;上海理工大学,光电信息与计算机工程学院,上海,200093【正文语种】中文【中图分类】TN248.4;TN929.1引言近年来人们一直致力于非线性谐振子混沌同步的研究[1-2]。
同步是混沌保密通信的前提,尤其是半导体激光器，作为现有光通信技术的关键器件及混沌光通信系统的潜能设备，它的同步更是倍受关注[3-5]，因为半导体激光器在不同的外部扰动如光反馈或光电反馈下，很容易迅速进入高维混沌状态。
这种宽带混沌载波已成功应用于实验室[6-7]和商用光纤光网络中进行吉赫兹每秒的信息传输[8]。
但迄今为止，绝大部分混沌系统都是研究单个延迟的，其安全性得不到保障[9-10]。
最近有研究指出多延迟系统比传统的单延迟系统具有更复杂的动力学[11]性质，MASOLLER等人[12]研究了附加延迟在耦合混沌映射中获得均匀稳定态所起的作用，SHAHVERDIEV等人[13]尤其强调了多反馈外腔激光器中附加时延的稳定作用。
一类新超混沌系统的同步与反同步
一类新超混沌系统的同步与反同步张树来【摘要】以一类新超混沌系统为例，研究了驱动系统和响应系统的同步与反同步问题，利用Ly⁃apunov 稳定性理论设计了控制器，实现了它们的同步与反同步，数值模拟结果验证了该方法的有效性。
% In this paper, the definition of chaos is introduced, and these methods of chaotic synchronization are recommended. Then, as an example of a class of new hyper-chaotic system, chaos synchronization and anti- syn⁃chronization of the drive system and the slave system are investigated. With the Lyapunov stability theory, the controller is constructed analytically to synchronize and anti-synchronize them. The numerical simulation results show that the proposed scheme is effective.【期刊名称】《常熟理工学院学报》【年(卷),期】2012(000)010【总页数】5页(P32-36)【关键词】超混沌系统;Lyapunov函数;同步;反同步【作者】张树来【作者单位】常熟理工学院数学与统计学院,江苏常熟 215500【正文语种】中文【中图分类】TP273;O415.5从1963年Lorenz在实验中发现第一个混沌吸引子以来，Lorenz系统就被作为第一个研究混沌的物理和数学模型，成为后人研究混沌理论的出发点和基石.在过去的几十年里，混沌控制与同步的理论在一些工程领域中得到了广泛的应用，如图像加密，保密通信和信息工程等，显示出了重要的应用价值[1-2]，所以对混沌控制与同步的理论研究已成为非线性控制理论研究的热点之一.由于混沌系统对初值极其敏感性，所以长期以来人们认为混沌系统是不可控制的，混沌同步就更加难以实现.自从Pecora和Carroll[3]在1990年利用电路实现混沌同步以来，混沌同步受到了各个领域学者的广泛关注.随着混沌控制与同步研究的不断深入，如广义同步、完全同步、耦合同步和超混沌系统同步方案[4-7]，近来又提出了混沌系统的反同步[8]等.目前对于混沌控制与同步研究方法很多，但是对于超系统之间的同步与反同步研究相对较少，在实际应用中特别是两个超混沌系统的同步与反同步容易应用于安全通信中，因此考虑两个超混沌系统的同步与反同步更具有重要的实用价值.本文利用Lyapunov的理论设计了相应的控制器，实现了两个超混沌系统的同步与反同步，并利用matlab工具进行了数值仿真，验证了其有效性.最近，T.Wang等人研究了一类新的四维超混沌系统[8]，系统如下：这里x1,x2,x3和x4为变量，a,b,c,d为参数.当a=2.1,b=0.6,c=30,d=0.7时，（1）为超混沌系统.图1为超混沌系统（1）的吸引子.将系统（1）作为驱动系统，相应地响应系统为：此处ui(i=1,2,3,4)为控制器.令系统（1）与系统（2）的同步误差为：令那么有：我们构建Lyapunov函数为：故此时若取所以即在控制器（7）的作用下，两个超混沌系统对应的时间序列可以达到同步.采用Runge-Kutta方法模拟，驱动系统和响应系统初值选为：x1(0)=100,x2(0)=5，x3(0)=100,x4(0)=-10，y1(0)=30,y2(0)=20,y3(0)=20,y4(0) =8，数值模拟得误差随时间变化如图2所示.由图2可见，e1,e2,e3,e4很快趋于0，系统达到了同步. 仍然将系统（1）作为驱动系统，（2）为响应系统，令系统（1）与系统（2）的同步误差为：令有：构建（5）式的Lyapunov函数，则此时若取则即在控制器（10）的作用下，驱动系统（1）与响应系统（2）达到了反同步.采用四阶Runge-Kutta方法模拟，驱动系统和响应系统初值选为：x1(0)=-10,x2(0)=-5，x3(0)=10,x4(0)=-10，y1(0)=21,y2(0)=20,y3(0)= 8,y4(0)=-9，数值模拟得误差随时间变化如图3所示.由图3可见，e1,e2,e3,e4很快趋于0，系统达到了同步.本文首先介绍了混沌及同步方法的内容，然后主要利用Lyapunov稳定性理论，根据实际情况设计了适当的控制器，对一类新的四维超混沌系统[9]与其对应响应系统的时间序列同步与反同步进行了研究，并利用matlab等工具进行了数值仿真，验证了其可行性与有效性.由于该方法设计的控制器比较简单，因而在实际工程应用中更容易实现，具有一定的应用价值.[2]Park J H.On synchronization of unified chaotic systems via nonlinearcontrol[J].Chaos Solitons Fract,2005,25:699-704.[3]Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Letter,1990,64(8):821-824.[4]张树来，吴志明.一个新时变混沌系统的耦合同步[J].常熟理工学院学报，2007，21（10）：24-28.[5]Mahmoud G M,Mahmoud E plete synchronization of chaotic complex nonlinear systems with uncertainparameters[J].NonlinearDyn,2010,62:875-882.[6]Kocarev L,Parlitz U.General Approach for Chaotic Synchronization with Applications to Communication[J].Phys Rev Lett,1995, 74(6):5028-5031. [7]于灵慧，房建成.Hénon混沌同步的自适应逆控制[J].控制理论与应用，2005，22（4）：623-626.[8]Kim C M,Rim S W,Kye W H,et al.Anti-synchronization of chaotico scillators[J].Physics Letters A,2003,320(1):39-46.[9]Wang T,Jia N.Chaos control and hybrid projective synchronization of several new chaotic systerms[J].Applied Mathematics and Computation,2012,218:7231-7240.。
无感蔡氏电路混沌同步控制实验
无感蔡氏电路混沌同步控制实验闵富红;彭光娅;叶彪明;王恩荣【摘要】A strong comprehensive nonlinear circuit experiment is designed, and based on linear feedback controller, the chaotic synchronization control for two Chua's circuits with different motion is realized.By using the nonlinear limiting amplitude function, the synchronous control circuit diagram of Chua's circuit without inductors is designed.Its circuit structure is simple, and its operation is easy.Through adjusting the resistance value of the potentiometer, the gain of the synchronous controller is changed.In the observation of the experimental results, the asymptotic synchronization is achieved for the drive system and responsesystem.Through the open experiment of nonlinear circuit, the students' innovative ability and scientific research ability are cultivated, and it is also helpful for the students to gain the deep learning and understanding of Nonlinear Circuit course.%设计了综合性强的非线性电路实验,基于合适的线性反馈控制器,实现运动行为不同的2个蔡氏电路系统的混沌同步控制.利用非线性限幅函数,设计等效无感蔡氏电路的同步控制电路图,电路结构简单易操作.通过调节电位器的阻值,改变同步控制器的增益,观测实验结果,驱动系统与响应系统达到渐近同步.通过非线性电路系统的开发式实验,培养了学生的创新能力和科研能力,有利于非线性电路课程的深入学习和理解.【期刊名称】《实验技术与管理》【年(卷),期】2017(034)002【总页数】5页(P43-46,49)【关键词】电路实验;蔡氏电路;同步控制【作者】闵富红;彭光娅;叶彪明;王恩荣【作者单位】南京师范大学电气与自动化工程学院, 江苏南京 210042;南京师范大学电气与自动化工程学院, 江苏南京 210042;南京师范大学电气与自动化工程学院, 江苏南京 210042;南京师范大学电气与自动化工程学院, 江苏南京 210042【正文语种】中文【中图分类】G642.3;TM132蔡氏电路是非线性电路中产生复杂动力学行为的最简单的混沌振荡电路之一,由美国加州大学蔡少棠教授[1-5]于1983年提出。
Lü混沌系统的同步与反同步
Lü混沌系统的同步与反同步
高智中
【期刊名称】《井冈山大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(032)004
【摘要】针对参数相同,初值不同的两个Lü混沌系统,基于Lyapunov第二方法研究了它们的同步与反同步问题.数值仿真结果证明了所设计的非线性控制器的正确性和有效性.
【总页数】3页(P38-40)
【作者】高智中
【作者单位】安徽科技学院理学院,安徽,凤阳233100
【正文语种】中文
【中图分类】O545
【相关文献】
1.一类超混沌系统的参数辨识和混沌反同步 [J], 杨丽新;何万生
2.Lorenz混沌系统与其超混沌系统的同步与反同步 [J], 张平伟;尹训昌;李娟
3.一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步 [J], 黄苏海;田立新
4.一个具有双混沌吸引子的系统——Newton-Leipnik混沌系统的反同步 [J], 豆福全;孙建安;段文山
5.超混沌Chen系统和超混沌Lorenz系统的反同步 [J], 蔡娜;井元伟;姜囡;张嗣瀛因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
相互耦合法实现光学二次谐波系统混沌同步_赵凤艳
３ 结 论
图４ Ｋ＝０．４５时，Ａ，Ｂ 两个系统 输出光强差随时间变化
图３ 输 出 的 结 果 表 明：对 于 初 始 条 件 不 同 的 Ａ 与Ｂ 两个二次谐波系统，Ａ 和Ｂ 两个系统基模输出 光强度差随时间发 生 变 化，当 二 次 谐 波 模 暂 态 消 失 后，耦合时间在 ２０ｓ 左 右 两 个 系 统 的 基 模 输 出 光 强 度差为零，说明此时 两 个 系 统 基 模 输 出 达 到 同 步 状 态．由图４可知当选 取 的 耦 合 参 数 不 同 时 两 个 不 同 的二次谐波系统的 光 强 输 出 不 同 步．在 耦 合 参 数 Ｋ ＝０．５ 时，Ａ，Ｂ 两 光 学 二 次 谐 波 系 统 混 沌 周 期 态 同 步图．
ＭＡＴＬＡＢ 数学应用软件数值模拟相应的结果．
（ｃ）周期轨道（三） （ｄ）周期轨道（四） 图 ２ 调 制 后 系 统 的 周 期 轨 道
由于 混 沌 对 系 统 的 初 始 条 件 高 度 敏 感，即 使 系
统的初始条件相差极小，Ａ 与Ｂ 两 个 系 统 的 输 出 结 果 将 大 相 径 庭 ．所 以 针 对 这 一 问 题 ，在 初 始 条 件 不 同 的两个系统中，采用 相 互 耦 合 法 不 仅 能 把 系 统 由 混 沌态控制到周期态，而 且 还 可 以 将 两 个 系 统 由 混 沌 状态控制到周期同步态．
少 ． ［１３－１６］ 由于 混 沌 系 统 具 有 对 初 始 条 件 高 度 敏 感，即 使
同 一 个 系 统 初 始 条 件 相 差 极 小 ，系 统 出 现 结 果 不 同 ． 针对这一问题，本文 提 出 采 用 了 相 互 耦 合 法 实 现 两 个系统混沌周期态 同 步，相 互 耦 合 法 能 避 免 这 种 情 况 的 出 现 ，即 使 混 沌 系 统 初 始 条 件 不 同 ，仍 可 以 把 两 个混沌系统的输出 控 制 在 一 定 的 周 期 轨 道 上，而 且 可实现周期态同步．相 互 耦 合 法 有 效 地 实 现 光 学 二 次谐波的混沌周期 态 同 步，同 时 为 研 究 光 学 高 次 谐 波系统混沌周期态 同 步 奠 定 基 础，因 此 研 究 相 互 耦 合法实现 光 学 二 次 谐 波 混 沌 同 步 具 有 重 要 的 现 实 意义．
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摘 要 ： 究无 反馈 对 称耦 合 混 沌振 子 的反 向 同步动 力 学行 为 ， 研 通过 理 论 分析 和 数值 计 算 确定 无反
馈 对 称耦 合 混 沌振 子 出现 反 向 同步 动 力学 的 必要 条件 、 合 方 式 以及 参数 区 间．结 果表 明 ， 耦 无反 馈
耦 合 比反 馈耦 合 具 有 更 大的反 向 同步参 数 区间．走 向反 向 同步 的过 程 中伴 随 着 丰 富的 动 力 学行 为
如 多态共存 和迟 滞现 象等 ．
关 键词 ： 无反 馈耦 合 ：混 沌振 子 ；反 向 同步
中图分 类号 ： ４ ． Ｎ９ １１ 文献标 识码 ： Ａ
Ａｎｔｐｈ ｓ ｙ ｈｒ ｎ ｚ ｔｏ ｎ Ｎ ｏ －ｆ ｅ ｉ ａ ｅ Ｓ ｎｃ ｏ ｉ ａ ｉ ｎ ｉ ｎ ｅ ｄｂａ ｋ Ｃｏ ｐｌｄ Ｃｈａ ｔｃＯ ｓ ｉｌ ｔ ｒ ｃ ｕ ｅ ｏ ｉ ｃｌａ ｏ ｓ
由反 向 同步变 为 完全 同步 ．在 许 多耦 合 混沌 振 子 或 映 象 中 ，也 可 以观 察 到反 向同步 现象 如 在洛 伦 兹 电
同步 并 在混 沌 电路 的基 础上 设 计并 实 现 两个 混 沌模
拟 电路 同步 ，混 沌 同步 的研 究 便成 为 许 多学 者 研 究
的焦点 ， 取 得 了显著 的成 果．混沌 同步 动力学 的研 并
ｔａ ｓｔ ｎ ｔ ｎ ｉ ａ ｅ ｓ ｎｃ ｒ ｎ ｚ ｔｏ ｕ ｈ ａ ｈ ｈｉｔ ｂ ｌ ｙ ａ ｄ ｈ ｓｅ ｅ ｉ． ｒ ｎ ｉｉ ｏ ａ ｔ ｏ ｐｈ ｓ ｙ ｈ ｏ ｉａｉ ｎ ｓ ｃ ｓｔ ｅ ｍｕ ｓａ ｉｉ ｎ ｙ ｔｒ ｓｓ ｔ Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｏ －￣ｅ ｂａ ｋ ｃ ｕ ｌ ；ｃ ｏ ｉ ｓ ｉｌ ｔｒ ；ａ ｔｐ ａ ｅ ｓ ｎｃ ｏ ｉａｉ ｎ ｎｎ ｄ ｃ ｏ ｐ ｅ ｈａ ｔｃ ｏ ｃｌａ ｏ ｓ ｎ ｉ ｈ ｓ ｙ ｈｒ ｎ ｚ ｔｏ
ｎ ｎ ｆ ｅ ｂ ｃ ｏ ｐ ｅ ｈ ｏ ｉ ｏ ｃ ｌ ｔ ｒ ｈ ｎ ｉ ｈ ￣ｅ ｂ ｃ ｏ ｐ ｉｇ ｏ ｅ ｏ — ｅ ｄ ａ ｋ ｃ ｕ ｌ ｄ ｃ ａ ｔ ｓ ｉ ａｏ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ ｅ ｃ ｌ ｄ ａ ｋ ｃ ｕ ｌ ｎ ．Ｒｉｈ ｄ ｎ ｍｉｓ ａ ｅ ｏ ｓ ｒ ｅ ｎ ｔ ｅ ｎ ｃ ｙ ａ ｃ ｒ ｂ ｅｖ ｄ ｉ ｈ
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Ｆ ｂ． ２ １ ｅ ０１
文章编 号 ：０ ７ １２ （０ ０ 一 ０ ７ ０ １０ — ２ ９ ２ １ ） ｌ ０ ０ — ４ １
无反 馈 耦 合 混 沌 振 子 的反 向 同步
刘 维 清， 卢 敏 ， 钟 建环
（ 西 理 ５ 大 学理 学 院 ， 江 １ ２ 江西 赣 州 ３ １０ ４ ００）
惠更 斯研 究两 个 相互 作 用 的钟摆 时 被 ｃｒ ｅｏａ等 提 出 利用 驱 动 响 应 法 来 实 现 混 沌 １
Ｂ ｎ ｅｔ ７ ２ ０ ｅ ｎ ｔ 等１ ］ ０ ２通 过实验 加 以验证 ， 在 结果表 明 ， 当
改 变钟 摆 和整 个钟 座 的质 量 之 比时 ，耦 合钟 摆 可 以
Ａｂｓｒ ｃ ： ｅ ａ ｔｐ ａ ｅ ｙ ｃ ｒ ｎｉａｉ ｎ ｙ ａ ｃ ｏ ｈ ｎ ｎ－ ｄｂ ｃ ｏ ｐ ｅ ｈ ｏｉ ｏ ｃ ｌａｏ ｓ ｒ ｘ ｌｒ ｄ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｎ ｉ ｈ ｓ ｓ ｎ ｈ ｏ ｚ ｔｏ ｄ ｎ ｍｉｓ ｆ ｔ ｅ ｏ ￣ｅ ａ ｋ ｃ ｕ ｌ ｄ ｃ ａ ｔｃ ｓ ｉｌｔ ｒ ａ ｅ ｅ ｐ ｏ ｅ ｔ ｅ ｒ ｔｃ ｌｙ ｎ ｎ ｍｅ ｉａ ｌ ．Ｔｈ ｎ ｃ ｓ ａ ｙ ｏ ｄｉ ｏ ｓ ｔ ｅ ｏ ｐ ｉ ｇ ｃ ｍｅ ｎ ｔ ｃ ｕ ｌｎ ｐ ｒ ｍｅ ｅ ｆｒ ｈ ｏ ｅｉ ａｌ ａ ｄ ｕ ｒｃ ｌｙ ｅ ｅ ｅ ｓ ｒ ｃ ｎ ｔ ｎ ， ｈ ｃ ｕ ｌｎ ｓ ｈｅ ａ ｄ ｈｅ ｏ ｐ ｉ ｇ ａ ａ ｔｒ ｏ ｉ ａ ｔｐ ｓ ｙ ｈｒｎｉａｉ ｎ ａ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔｄ．Ｌａ ｇ ｒ ｐ ｒ ｍｅ ｅ ｅ ｉ ｎ ｆ ｒａ ｔｐ ａ ｅ ｓ ｎ ｈ ｏ ｚ ｔｏ ａ ｅ ｆｕｎ ｎ ｔ ｅ ｎ ｉｈａ ｅ ｓ ｎｃ ｏ ｚ ｔｏ ｒ ｒ ｓ ｎ ｅ ｒ ｅ ａ ａ ｔｒ ｒ ｇｏ ｎ ｉ ｈ ｓ ｙ ｃ ｒ ｎｉａ ｉｎ ｃ ｎ ｂ ｏ ｏ ｄ ｉ ｈ
路 、 氏电路 、 至激 光 系统 中．Ｋ ｍ等同 出在耦合 蔡 甚 ｉ 指
混 沌 系统 中完 全 同步 与反 向同步 可 以共 存 ，并 具有
究 拓展 到 许 多形 式 的 同步 如 ： 义 同步 ［ 相 同步 ［ 广 ２ １ 、 ３ １ 、
各 自的吸 引域 ， 胡佳 等罔 采 用 自适应 控 制法 实 现 而 则 了单 向驱 动下 被驱 动 系统 与驱 动 系统达 到反 向 同步． 李 文玲 等 通过 控 制两 个完 全 相 同的 系统 ， 则 以使它
第３ ２卷 第 １ 期
２１ 年 ２ 月 ０１
江 西理 工 大 学 学报
Ｊｕ ｎ ｌ ｆ ｉｎ ｘ ｎｖ ｒｉ ｆ Ｓ ｉｎ ｅａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒａ ｏ ａ ｇ ｉ ｉｅｓ ｙｏ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏ ｙ Ｊ Ｕ ｔ ｏ
Ｖ ｏ．２ Ｎ ｏ． １ ， ３ １