第八章 直线与圆的方程
直线方程和圆的方程概念及知识点拓展(高中数学)
直线与圆的概念公式及拓展一．直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角α的范围[)π，0。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。
注意几种角的范围：异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π； 直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，； 二面角[]π，0； 两向量的夹角[]π，0；2.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率k ， 即k=tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率。
直线方程：Ax+By+C=0的斜率BAk -=。
方向向量：若()n m a ,=为直线的方向向量，则直线的斜率mn k =。
已知直线上两点：过两点()),(,,2211y x y x 的直线的斜率1212x x y y k --=。
二．直线方程的五种形式：1.点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程)(00x x k y y -=-，它不包括垂直于x 轴的直线。
2.斜截式：已知直线斜率为k ，在y 轴上的截距b ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线。
3.两点式：已知直线过了P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于x 轴的直线。
4.截距式：已知直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ( a ≠0，b ≠0)则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.直线的一般式方程：任何直线都可以写成Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的形式。
拓展：1.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。
直线的斜率为1或直线过原点，则直线两截距互为相反数； 直线的斜率为-1或直线过原点，则直线两截距相等。
2.设直线方程的一些常用技巧：（1）已知直线y 轴截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b 。
第八章 直线与圆的方程
直线的几个基本量1．过(1,2),(3,2)A B --的直线的斜率k = ，倾斜角α= . 2．①已知曲线2y ax =在点(1,)a 处的切线的斜率为2，则a = .②已知函数()l o g (32)1(0,a f x x a a =-+>≠的图象恒过定点A ，若直线:210l m x y +-=经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离为 .3．直线1x =的斜率 ，倾斜角为 .4．直线221x yy a b -=-在轴上截距为 ，在x 轴上的截距为 ，斜率为 .5．直线l 的倾斜角α满足60135α︒<≤︒且90α≠︒，则斜率k 的范围为 . 6．直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，①若AB 中点为(1,2)C -，则直线AB 的斜率为 ，原点到直线l 的距离为 ；②若AB 过点(1,2)C -，且截距相等，则直线AB 的斜率= .7．已知两点(1,1)A -、(3,3)B ，点(5,)C a 在直线AB 上，则a = .8．定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x cf x =（c 为正常数）；（2）当24x ≤≤时，()1|3|f x x =--.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c = .（规定：当0x x =时，()f x 取得极大值，则称点00(,()()x f x f x 为的一个极大值点） 例1．①求经过点(1,0)A 与2(,3)B m m R ∈的直线的斜率.②求直线cos 20x θ+=的倾斜角的取值范围.例2．经过(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连结(1,2)A -、(2,1)B 的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 和倾斜角α的范围.例3．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈.（1）求证：直线恒过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）求原点O 到直线l 距离的最大值.例4．（备选题）已知向量(1,2),(4,5)a b =-=-，过点(3,1)A -，且与向量2a b - 共线的光线l 射到x 轴上点B ，经过x 轴反射后过点(5,)C m . （1）求B 点坐标；（2）当动点(,)P x y 沿着三角形ABC 边上运动时，求yx的取值范围.直线方程2．已知直线l 过点(5,2)A -，且在y 轴上截距为3-，则l 的方程为 . 3．过点(3,2),(1,2)-的直线方程为 ，过点(3,0),(0,2)-的直线方程为 . 4．已知直线：2(1)(23)4m x m m y -++-=，当倾斜角为90︒时m = ；当过点(1,1)-时m = .5．已知直线:30l Ax By ++=，当 时，I 能作为一个函数的图象；当 时，l 仅通过第二、三、四象限；若l 在两轴上的截距相等，则l 的倾斜角= .6．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为 . 7．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p在线段AO 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点,E F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则OF 的方程：11()0x y p a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.8．直线10ax y +-=与线段AB 恒有公共点，(2,2),(3,1)A B --，则a 的取值范围为 . 例1．已知直线m 过点(2,1)A -，分别求m 的方程； （1）倾斜角的正弦值为45；（2）(1,2),(3,4)B C --到m 的距离相等；（3）在x 轴上的截距为y 轴上截距的两倍；（4）(1,2)B --到m 的距离为1.例2．过点(2,1)P 作直线m 交x 轴正半轴分别于A 、B ，分别求m 的方程.（1）ABO S ∆最小；（2）||||AO OB +最小；（3）||||6PA PB =.例3．已知过点(2,3)P -的直线l 与12:320,:510l x y l x y +-=++=分别相交于点A 、B且12AP AB =，求l 的方程.例4．（备选题）已知直线111:10l a x b y ++=，和直线222:10l a x b y ++=的交点为(2,1)P -，（1）求过两点122(,),(,)A a b B a b --的直线方程，（2）求当原点O 到1l 的距离最大时1l 方程.两直线的位置关系1．①2y ax =-与(2)10a x y --+=垂直，则a = .②“3a =-”是310ax y ++=与2(1)10x a y +++=平行的 条件. ③{(,)|210}{(,)|210}x y x y x y x y +-=-+= = .④若(1,2),(2,1),(,0)A B C A -可作为一个三角形的三个顶点，则a 的取值范围为 . 2．直线20ax y a +--=在两轴上的截距相等，则a = . 3．与0Ax By C ++=平行的直线方程可设为 . 与0Ax By C ++=垂直的直线方程可设为 .4．经过11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=的交点的直线方程可设为 ，其中不含直线 .5．已知：过点(2,),(,4)A m B m -的直线与直线210x y +-=，若平行，则m = ，若垂直，m = . 6．两直线43410,203x y x y +-=++=之间的距离d = . 7．已知直线:(21)10l mx m y m +--+=可看作是经过两直线 和 的交点的直线系方程，所以直线l 必过点 ，若22a b +=，则直线1ax by +=必定过点 . 8．若直线2330x y +-=与450ax y --=及两轴围成的四边形有外接圆，则a = . 例1．已知直线1:(3)453l m x y m ++=-，直线2:2(5)8l x m y ++=，分别求m 的值，使得1l 和2l .（1）相交；（2）垂直；（3）平行；（4）(2,1),(4,1)A B --到1l 的距离相等.例2．已知三条直线123:20,:10,:20l mx y l x y l x my -+=+-=+-=（1）若三条直线能围成一个三角形，求m 的取值范围；（2）当2m =-时，求2l 关于1l 对称的直线方程.例3．直线12:1,:1l y mx l x my =+=-+相交于点P ，其中常数m 满足||1m <.（1）求证：1l 、2l 分别过定点,A B ；（2）用m 表示点P 的坐标；（3）用m 表示ABP ∆的面积S ，当m 为何值时，面积S 最大？并求出这个最大值.例4．（备选题）已知正方形ABCD 的中心在原点，四个顶点都在曲线3()(0)f x ax bx a =+>上，（1）若正方形的一个顶点为(2,1)，求,a b 的值，并求出此时函数()f x 的单调增区间； （2）若正方形ABCD 唯一确定，试求出b 的值.简单的线性规则1．0Ax By C ++>表示在平面内直线:0l Ax By C ++=一侧所有点组成的平面区域，l 应画成 （实、虚）线，通常用特殊点（如 ）来确定区域；0Ax By C ++≥所表示区域的边界应画成 （实、虚）线.2．y kx b >+表示直线y kx b =+的 （上方、下方）区域.3．设111222(,),(,)P x y P x y ，直线:0L Ax By C ++=，则点1P 、2P 在L 同一侧⇔ ，直线L 与线段12PP 有公共点⇔ .4．ABC ∆三个顶点坐标为(0,4),(2,0),(2,0)A B C -，则ABC ∆内任一点(,)x y 所满足的条件 .5．①点(1,2)P -关于原点的对称点在区域30x ay ++=的上方，则a 的范围为 . ②若(21)10ax a y +-+<表示直线(21)10ax a y +-+=上方区域，则a 的范围是 .③若点(,3)P a 到直线3310x y -+=距离为4，且不在不等式23x y +>表示的平面区域内，则a = .④已知点(,)a b 与点(1,2)在直线3280x y +-=同侧，则3(1)21a b -+-的取值范围为 .6．已知,x y 满足1,4,20x x y ax by ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则a b ca++= . 7．若不等式组50,,02x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .8．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少3片，磁盘至少2盒，则不同的选购方式共有 种. 例1．（1）求不等式组13||1y x y x ≥-⎧⎨≤-+⎩所表示的平面区域的面积.（2）已知平面区域{(,)|1,0,0}A x y x y x y =+≤≥≥且，求平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积.（3）已知正数,,a b c 满足：534,ln ln ,bc a b c a c b a c c a-≤≤-≥+则的取值范围是 .例2．已知ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin ,6ABC B A C S ∆==（1）求ABC ∆的三边的长；（2）设P 是ABC ∆（含边界）内一点，P 到三边AC 、BC 、AB 的距离分别为,,x y z ，求2x y z ++的取值范围.例3．已知220240,330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩（1）求2z x y =+的最值；（2）求2z x y =-的最值；（3）22z x y =+的最值；（4）求22y z x +=+的最值.例4．（备选题）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C ，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C . 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?圆的方程1．（1）圆以(1,2)-为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 . （2）过点(2,2)-，圆心是(3,0)C 的圆的方程为 .（3）经过点(1,1),(1,3)A B -，圆心在x 轴上的圆的方程是 .2．若方程222(2)20a x a y ax a +++-=表示圆，则a = ，圆心坐标为 ，半径为 ，它关于点 对称，也关于直线 对称，它截x 轴所得弦长为 .3．圆的内接正方形一条对角线的两个顶点的坐标分别为(5,6)A 、(3,4)C -，则这个圆的方程是 .4．（1）圆222420x y x by b ++++=与x 轴相切，则b = .（2）过点(3,4)C 且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为12,r r ，则12||r r -= . 5．点(1,1)P 在圆22()()4x a y a -++=的内部，则a 的取值范围为 .6．(3,0)M 为圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点最长的弦的在直线方程为 ，以M 为中点的弦所在直线方程为 .7．圆22(3)(2)1x y ++-=上点到x 轴、y 轴距离之和的最大值为 .8．在平面直角坐标系xoy 中，已知点(0,2)A ，直线:40l x y +-=.点(,)B x y 是圆22:210C x y x +--=上的动点，,AD l BE l ⊥⊥，垂足分别为,D E ，则线段DE 的最大值为 .例1．根据下列条件分别求圆的方程. （1）ABC ∆顶点的坐标是(4,3),(5,2),(1,0)A B C ，求它的外接圆方程.（2）由,2y x x ==和0y =围成的三角形内切圆方程.（3）经过两圆22224,4440x y x y x y +=++-+=的交点，且关于直线210x y --=对称的圆的方程.例2．设圆C 满足：（1）截y 轴所得弦长为2；（2）被x 轴分成的两段弧长之比为3:1；（3）圆心到直线:20l x y -=距离最小，求圆的方程.例3．已知实数,x y 满足22410x y x +++=，（1）求y x的最值；（2）求22222x y x y +-+-的最值；（3）使30ax y +-≥恒成立的a 的取值范围.例4．（选做题）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.直线与圆的位置关系1．①若点(,)a b 在圆221x y +=内部，则直线1ax by +=与圆221x y +=的位置关系为 .②已知圆22222cos 2sin sin 0x y ax ay a θθθ+---=轴x 轴所得的弦长为16，则a = .③已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 方程为 .④设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是 .2．过圆222x y r +=上一点00(,)x y 的切线方程为 ，若点00(,)P x y 在圆外，作圆的两条切线，则过切点的方程是 .3．从原点向圆2212270x y y +-+=作两条切线,OA OB 则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 .ABO ∆的外接圆方程为 .4．与22(5)1x y ++=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 条. 5．（1）自（3，1）作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则l 的方程是 . （2）一直线过3(3,)2P --且被圆2225x y +=截得弦长为8，则此直线方程为 . 6．过点(1,1)A --的直线l 与圆222660x y x y +-++=相交，则直线l 的斜率的取值范围是 .7．在平面直角坐标系xOy 中，若与点(2,2)A 的距离为1且与点(,0)B m 的距离为3的直线恰有两点，则实数m 的取值范围为 .8．在平面直角坐标系xOy 中，设点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，定义：1212(,)||||d P Q x x y y =-+-，已知点M 为直线220x y -+=上的动点，（1）若(1,0)B 则使(,)d B M 取得最小值时点M 的坐标是 ；（2）若B 在圆22:1O x y +=上，则(,)d B M 的最小值为 .例1．已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于,P Q ，且0OP O Q ⋅=，O 为原点，求该圆的圆心坐标及半径.例2．已知P 在:90l x y +-=上，B 、A 都在圆22:228810C x y x y +---=上，直径PA 过圆心,45C BPA ∠=︒（1）当点P 的横坐标为4时，求直线PB 的方程. （2）求点P 的横坐标取值范围.例3．已知圆2224200x y x y +---=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--= （1）求证：不论m 取何值，直线l 与圆恒有两个不同的交点； （2）求直线l 被圆截得弦中点的轨迹方程.例4．（备选题）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.圆的综合1．两圆2240()x y a a R ++++-=∈和22140()x y b b R ++--+=∈恰有三条公切线，则11a b+的最小值为 . 2．设直线：10kx y -+=与圆22:4O x y +=相交于A 、B ，以OA 、OB 为邻边作OAMB ，则M 在圆O 上，则k = .3．已知圆22224540()x y ax ay a a R +--+-=∈，若存在过第一、二、三象限的直线l ，使对任意a R ∈，直线l 被圆截得的弦长都为2，则直线l 的方程为 .4．已知圆221:5O x y +=与圆：222:()20O x m y -+=相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度= .5．将直线20x y m -+=沿y 轴向上平移2个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数m = .6．过点(11,2)A 作圆22:241640C x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的弦共有 条. 7．已知直线:3l y x m =-+与圆22:4O x y +=在第一象限内有两个交点A 、B ，且直线OA 、OB 的倾斜角分别为,αβ，则tan()αβ+= .8．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 .例1．已知22:1,O x y M += 以(4,2)M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4（1）求M 的方程； （2）设P 为M 上任一点，过点P 向O 引一条切线，切点为Q ，平面上是否存在一定点A ，使得PQ PA恒为定值？若存在，求出A 点坐标.例2．已知22:(2)4C x y ++= ，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a .（1）若1l 、2l 都和C 相切，求直线1l 、2l 的方程.（2）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和C 外切，且与直线1l 、2l 都相切，求M 的方程；（3）当1a =-时，求1l 、2l 被C 所截得的弦长之和的最大值.例3．已知点P 在22:2O x y += 上，P 不在x 轴上，点Q 在直线:2l x =上，(1,0),A OQ AP⊥求证：直线PQ 是O 的切线.例4．（备选题）已知22:(2)1,M x y Q +-= 是X 轴上的动点，,QA QB 分别切M 于A 、B 两点（1）如果||3AB =，求直线MQ 的方程； （2）设M Q A B P = ，平面上是否存在定点N ，使PN 恒为定值？若存在，求N 点坐标；若不存在，说明理由.对称问题1．点(,)a b 关于原点、x 轴、y 轴的对称点坐标分别为 、 、 ；点(,)a b 关于直线,y x y x m ==+的对称点坐标分别为 、 ；点(,)a b 关于直线,y x y x m =-=-+的对称点坐标分别为 、 .2．已知ABC ∆中，BC 所在的直线方程为2310x y -+=，(1,2),A AB AC -=，直线l 过A 点，且与BC 垂直，则l 方程为 .3．①已知圆22(1)(2)3x y -++=关于直线30ax y +-=对称，则a = .②已知两圆22()(1)3x n y -++=、22()(2)x m y r +++=关于直线30x y +-=对称，则m n r ++= .4．定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，若,s t 满足不等式2(2)(2)f s x f t t 2-≤--，则当14x ≤≤时，t s 的取值范围是 .5．两圆相交于两点(1,3)和(,1)m -，两圆圆心都在直线0x y c -+=，则m c += .6．已知圆O 的半径为1，P 为圆O 外一点，过点P 向圆O 作两条切线,,,PA PB A B 为切点，则PA PB ⋅ 的最小值为 .7．已知点(1,3),(5,2)M N -，在x 轴上取一点P ，使得||PM PN -最大，则P 点坐标是 .8．已知点(,)P x y 为曲线|1|||1x y a -+-=上任一点，||PQ 的最大值为m ，则当m 的取值范围为2时，实数a 的取值范围为 . 例1．（1）求曲线3261212y x x x =-+-关于(1,2)-对称的曲线方程（2）三角形ABC 中，角C 平分线所在直线方程10x y +-=，直线BC 方程为310x y --=，求直线AC 方程.例2．自点(3,3)A -发出的光线l 射到y 轴上，被y 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=只有一个公共点，求反射光线所在的直线方程.例3．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 由圆弧1C 和圆弧2C 相接而成，两相接点M 、N 均在直线5x =上，圆弧1C 的圆心是坐标原点O ，半径为13，圆弧2C 过点(29,0)A .（Ⅰ）求圆弧2C 的方程；（Ⅱ）曲线C 上是否存在点P ，满足PA =？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由.（Ⅲ）已知直线:140l x my --=与曲线C 交于E 、F 两点，当33EF =时，求坐标原点O 到直线l 的距离.例4．（备选题）平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 中，2,1,AB AD AB ==、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，半矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，（1）设折痕所在的直线的斜率为k ，求折痕所在的直线方程；（2）将折痕长表示为k 的函数，并求折痕长的最大值.。
中职数学基础模块下册第八章直线和圆的方程单元测试卷含参考答案
中职数学基础模块下册第八章直线和圆的方程单元测试卷含参考答案一、选择题：（每题3分，共30分）1.已知点M(2，-3)、N(-4，5)，则线段MN 的中点坐标是（ ）A ．（3,-4)B ．（-3,4)C ．(1,-1) D.（－1,1)2.直线过点A( -1，3)、B(2，-2)，则直线的斜率为( )A ．－53B ．－35C ． -1 D. 13.下列点在直线2x-3y-6=0上的是( )A.(2，-1)B. (0,2)C. (3,0)D.(6,-2)4．已知点A(2，5)，B(-1，1)，则|AB |＝( )A ．5B ．4 C. 3 D ．175．直线x+y+1＝0的倾斜角为( )A. 45º B ，90º C ．135º D ．180º6.直线2x+3y+6=0在y 轴上的截距为( )．A ．3B ．2C ．-3D ．-27．经过点P(-2，3)，倾斜角为45º的直线方程为( )A. x+y+5=0B.x-y+5=0C ．x-y-5=0 D. x+y-5=08.如果两条不重合直线1l 、2l 的斜率都不存在，那么( )A ．1l 与2l 重合B ．1l 与2l 相交C ．1l //2l D.无法判定9.已知直线y= -2x-5与直线y=ax-4垂直，则a ＝( )A ．-2B ． -21C ．2D ．2110.下列直线与3x-2y+5=0垂直的是( )；A ． 2x-3y-4=0B ．2x+3y-4=0 C.3x+2y-7=0 D ．6x-4y+8=011．直线2x-y+4=0与直线x-y+5＝0的交点坐标为( )．A ．(1，6)B ．(-1，6)C ．(2，-3)D ．(2，3)12.点(5，7)到直线4x-3y-1=0的距离等于( )A ．52B ．252C ．58 D ．8 13.已知圆的一般方程为0422=-+y y x ，则圆心坐标与半径分别是( )A. (0，2)， r=2 B ．(0，2)， r=4C ．(0,-2), r=2D ．(0，-2)， r=414．直线x+y=2与圆222=+y x 的位置关系是( )A.相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定15.点A(l ，3)，B （-5，1），则以线段AB 为直径的圆的标准方程是( )A ．10)2()2(22=-++y xB ．10)2()2(22=-++y xC. 10)3()1(22=-+-y x D ．10)3()1(22=-+-y x16.若点P(2，m)到直线3x-4y+2=0的距离为4，则m 的值为( )A. m=-3 B ． m=7 C ． m=-3或m=7 D ． m=3或m=7二、填空题17.平行于x 轴的直线的倾斜角为 ；18.平行于y 轴的直线的倾斜角为 ；19.倾斜角为60º的直线的斜率为 ;20.若点(2，-3)在直线mx-y+5 =0上，则m= ；21.过点(5，2)，斜率为3的直线方程为：22.在y 轴上的截距为5，且斜率为4的直线方程为：23.将y-4=31（x —6）化为直线的一般式方程为：24.过点(-1，2)且平行于x 轴的直线方程为25.过点(O ，-3)且平行于直线2x+3y-4=0的直线方程是26.两条平行直线3x+4y-2=0和3x+4y+3=0的距离是27.已知直线1l ：mx+2y-1=0与直线2l ：x-y-l=0互相垂直，则m= ；28.圆心在点(0，2)且与直线x-2y+9 =0相切的圆的方程为29.圆086422=++-+y x y x 的圆心坐标为 ，半径为 。
高考数学一轮复习第八章第二节第1课时系统知识__圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系讲义含解析
第二节圆与方程第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系1．圆的定义及方程点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：当F＝0时，圆过原点.当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上.当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点.当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A版教材P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________．答案：(x－2)2＋y2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝01．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard.[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|.[谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝D 2＋E 2－4F ＞交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λAx ＋By ＋C ＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化解析：选B ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________．解析：由题意知点M 在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________． 解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝05．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋y 2＝86．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 2圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)[提醒] 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交时：将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； 两圆圆心的连线垂直平分公共弦；x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λx 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0表示过两圆交点的圆系方程不包括C 2[小题练通]1.[人教A 版教材P133A 组T9]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋－2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有( ) A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝7－32＋[1－－2]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
专题08 直线和圆的方程(解答题)(11月)(人教A版2021)(原卷版)
专题08 直线和圆的方程（解答题）1．直角坐标系xOy 中，点A 坐标为()2,0-，点B 坐标为()4,3，点C 坐标为()1,3-，且()AM t AB t R =∈．（1）若CM AB ⊥，求t 的值；（2）当01t ≤≤时，求直线CM 的斜率k 的取值范围．2．已知ABC 的顶点()5,1A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，边AC 上的高BH 所在直线方程为250x y --=，（1）求顶点C 的坐标；（2）求ABC 的面积．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为3，宽为2，边,AB AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上，已知折痕所在直线的斜率为12-．（1）求折痕所在的直线方程；（2）若点P 为BC 的中点，求PEF 的面积．4．已知圆C 过点(4,2)A ，()1,3B ，它与x 轴的交点为()1,0x ，()2,0x ，与y 轴的交点为()10y ,，()20,y ，且12126x x y y +++=．（1）求圆C 的标准方程；（2）若(3,9)A --，直线:20l x y ++=，从点A 发出的一条光线经直线l 反射后与圆C 有交点，求反射光线所在的直线的斜率的取值范围．5．已知圆O 圆心为坐标原点，半径为43，直线l ：)4y x =+交x 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点（1）求BAO ∠（2）设圆O 与x 轴的两交点是1F ，2F ，若从1F 发出的光线经l 上的点M 反射后过点2F ，求光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程；（3）点P 是x 轴负半轴上一点，从点P 发出的光线经l 反射后与圆O 相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P 的坐标.6．一条光线从点()6,4P 射出，与x 轴相交于点()2,0Q ，经x 轴反射后与y 轴交于点H ． （1）求反射光线QH 所在直线的方程；（2）求P 点关于直线QH 的对称点P'的坐标．7．已知直线l ：()120kx y k k R -++=∈．（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．8．已知直线1:3470l x y +-=与2:3480l x y ++=．（1）若()11,A x y 、()22,B x y 两点分别在直线1l 、2l 上运动，求AB 的中点D 到原点的最短距离；（2）若()2,3M ，直线l 过点M ，且被直线1l 、2l 截得的线段长为l 的方程． 9．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=．（1）若直线l 过点(2,3)A 且被圆C 截得的弦长为l 的方程；（2）若直线l 过点(1,0)B 与圆C 相交于P ，Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．10．（1）已知直线l 过点()3,4P -，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的一般式方程；（2）已知直线l 过点()3,2P 且与x 轴，y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，求ABO 面积最小值及这时直线l 的一般式方程；（3）已知直线l 经过点()2,2P -，且与第一象限的平分线(0)y x x =≥，y 轴（原点除外）分别交于A ，B 两点，直线l ，射线(0)y x x =≥，y 轴围成的三角形OAB 的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由．11．设集合L ={|l 直线l 与直线3y x =相交，且以交点的横坐标为斜率}．（1）是否存在直线0l 使0l L ∈，且0l 过点()1,5，若存在，请写出0l 的方程；若不存在，请说明理由；（3）设(0,)a ∈+∞，点()3,P a -与集合L 中的直线的距离最小值为()f a ，求()f a 的解析式．12．已知直线:20l x y --=和点(1,1),(1,1)A B -，（1）直线l 上是否存在点C ，使得ABC 为直角三角形，若存在，请求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）在直线l 上找一点P ，使得APB ∠最大，求出P 点的坐标．13．已知过点(,)P m n 的直线l 与直线:240l x y '++=垂直．（1） 若12m =，且点P 在函数11y x=-的图象上，求直线l 的一般式方程；14．已知直线1:21l y x =-，2:1l y x =-+的交点为P ，求（1）过点P 且与直线32y x =-+平行的直线l 的方程；（2）以点P 为圆心，且与直线3410x y ++=相交所得弦长为125的圆的方程． 15．（1）一条直线经过()2,3A -，并且它的斜率是直线y x =斜率的2倍，求这条直线方程； （2）求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.16．求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，被直线0x y -=截得的弦长的圆的方程.17．（1）求圆221:10C x y +=的切线方程，使得它经过点(2M （2）圆()()222:122C x y ++-=的切线在x y 、轴上截距相等，求切线方程 18．已知圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 交于两点()04A -，，()02B -， （1）求圆C 的标准方程（2）求圆C 上的点到直线210x y --=距离的最大值和最小值19．求圆221:10100C x y x y +--=与圆2226240C x y x y +-+-=：的公共弦长．20．已知圆22:414450C x y x y +--+=．（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）若直线7:2l y x =与圆C 相交于A B 、两点，求AB 的长； 21．已知圆1C 与y 轴相切于点()03，，圆心在经过点()2,1与点()2,3--的直线l 上 （1）求圆1C 的方程；（2）若圆1C 与圆2C ：226350x y x y +--+=相交于M 、N 两点，求两圆的公共弦MN的长．22．已知圆1C 过点1)-，且圆心在直线1y =，圆222:420C x y x y +-+=．（1）求圆1C 的标准方程；（2）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；23．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程． 24．已知点(2,)P a （0a >）在圆C ：22(1)2x y -+=上．（1）求P 点的坐标；（2）求过P 点的圆C 的切线方程．25．已知直线1l ，2l 的方程分别为20x y -=，230x y -+=，且1l ，2l 的交点为P ． （1）求P 点坐标；（2）若直线l 过点P ，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形面积为92，求直线l 的方程． 26．圆C 经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上．（1）求圆C 的方程；（2）圆内有一点52,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求以该点为中点的弦所在的直线的方程． 27．ABC 中，(0,1)A ，AB 边上的高线方程为240x y +-=，AC 边上的中线方程为230x y +-=，求,,AB BC AC 边所在的直线方程.28．根据下列条件求直线方程：（1）已知直线过点(2,2)P -且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1；（2）已知直线过两直线3210x y -+=和340x y ++=的交点，且垂直于直线340x y ++=．29．已知直线1:0l x y -=，2:230l x y +-=，3:240l ax y -+=．（1）若点P 在1l 上，且到直线2l 的距离为，求点P 的坐标；（2）若2l //3l ，求2l 与3l 的距离．30．如图，在ABC 中，(5,2)A -，(7,4)B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求ABC 的面积．31．已知点(5,1)A 关于x 轴的对称点为B ，关于原点的对称点为C ．（1）求ABC 中过AB ，BC 边上中点的直线方程；（2）求AC 边上高线所在的直线方程．32．已知直线1:10l ax y a +++=与22(:1)30l x a y +-+=．（1）当0a =时，求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）若12l l ，求a 的值．33．已知直线l 的方程为210x y -+=．（1）求过点()3,2A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求过l 与1l 的交点B ，且倾斜角是直线l 的一半的直线2l 的方程．34．已知点(1,2),(1,4),(5,2)A B C -，求ABC ∆的边AB 上的中线所在的直线方程．35．已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,3)C ．（1）求AB 边上的高线所在的直线方程；（2）求ABC ∆的面积．36．已知直线()():20l m n x m n y m n ++++-=及点()4,5P（1）证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程37．如图所示，在平行四边形OABC 中，点(1,3),(3,0)C A ．（1）求直线AB 的方程；（2）过点C 作CD AB ⊥于点D ，求直线CD 的方程．38．求适合下列条件的直线方程：（1）已知()2,3A -，()3,2B -，求线段AB 的垂直平分线的方程；（2）求经过点()2,3A -并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程．39．已知ABC ∆的顶点()3,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为210x y --=，B ∠的角平分线BN 所在直线方程为20x y -=．（1）求顶点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程．40．已知点(3,2)A ，直线l ：210x y ++=．（1）求直线l 关于点A 对称的直线方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的重心坐标． 41．已知两个定点()0,4A ，()0,1B ，动点P 满足2PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-．（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；42．已知圆C 经过点()31A ，和点()20B -，，且圆心C 在直线24y x =-上． （1）求圆C 的方程；（2）过点()14D -，的直线l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程． 43．已知圆C ： ()2215x y +-=，直线:10.l mx y m -+-=（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；（2）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，若AB l 的方程．44．某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度AD 为，行车道总宽度BC 为，侧墙面高EA ，FD 为2m ，弧顶高MN 为5m ．（1）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．45．已知圆1C 过点)，()1,1-，且圆心在直线1y =上，圆222:420C x y x y +-+=． （1）求圆1C 的标准方程；（2）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（3）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程．46．已知直线240x y +-=与圆224:20(0)C x y mx y m m+--=>相交于点M N 、，且||||OM ON =（O 为坐标原点）．（1）求圆C 的标准方程；（2）若(0,2)A ，点P Q 、分别是直线20x y ++=和圆C 上的动点，求||||PA PQ +的最小值及求得最小值时的点P 的坐标．47．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为2230x y x y +-+=，点()1,1P 是圆C 上一点．（1）若M ，N 为圆C 上两点，若四边形MONP 的对角线MN 的方程为20x y m ++=，求四边形MONP 面积的最大值；（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，试判断直线AB 的斜率是否为定值，并说明理由．48．已知坐标平面上两个定点()0,4A ，()0,0O ，动点(),M x y 满足：3MA OM =． （1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C ，过点1,12N ⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l 被C所截得的线段的长为直线l 的方程．49．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）若1t =，求两条切线所在的直线方程；（2）求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标；（3）若两条切线,PA PB 与y 轴分别交于S T 、两点，求ST 的最小值．50．已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4．（1）求动圆圆心M 的轨迹方程C ；（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y ．若12112+=x x ，求证：直线l 过定点．51．如图，已知圆22:(4)4M x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 是直线l 上一动点，过点P 作圆的切线PA ､PB ，切点为A ､B ．（1）当P 的横坐标为165时，求APB ∠的大小； （2）求证：经过A ､P ､M 三点的圆N 必过定点，并求出所有定点的坐标．52．圆C ：22(3)1x y +-=，点(,0)P t 为x 轴上一动点，过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ．（1）若1t =，求切线和直线MN 的方程；（2）若两条切线PM ，PN 与直线1y =分别交于A ，B 两点，求ABC 面积的最小值．53．已知两个定点A （0，4），B （0，1），动点P 满足|P A |＝2|PB |，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y ＝kx ﹣4．（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k ＝1，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．54．已知ABC 的顶点()45A AB -，，边上的中线CM 所在直线方程为450x y AC --=，边上的高BH 所在直线方程为410x y --=，求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．55．已知三角形的三个顶点()2,0A -，()4,4B -，()0,2C ．（1）求线段BC 的垂直平分线所在直线方程；（2）求过AB 边上的高所在的直线方程；56．已知直线l 过点P (2，3)且与定直线l 0：y =2x 在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点B (a ，0)．（1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程．57．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,,P B C 坐标分别为0,12,(),(),0(0,2)，E 为线段BC 上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ，直线BP 与AC 交于点D ．（1）当E 点坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭时，求直线OD 的方程； （2）求BOE △与ABE △面积之和S 的最小值．58．已知()()221340m x m y m -++++=.（1）m 为何值时，点Q (3，4)到直线距离最大，最大值为多少；（2）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于AB 两点，求三角形AOB 面积的最小值及此时直线的方程．59．已知ABC 的三边所在直线的方程分别是43100AB l x y -+=：，2BC l y =：，345CA l x y -=：．（1）求与AB 边平行的中位线方程；（2）求AB 边上的高所在直线的方程．60．已知ABC 的三个顶点为()4,0A ，()0,2B ，()2,6C ．（1）求AC 边上的高BD 所在直线的方程；（2）求ABC 的外接圆的方程．61．已知直线l 经过点()2,3P -．（1）若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．62．直线l 1过点A (0，1)， l 2过点B (5，0)， l 1∥l 2且l 1与l 2的距离为5，求直线l 1与l 2的一般式方程．63．已知ABC ∆的三个顶点(4,6)A -，(4,0)B -，(1,4)C -，求：（1）AC 边上的高BD 所在直线的方程；（2）BC 的垂直平分线EF 所在直线的方程；（3）AB 边的中线的方程．64．已知圆C ：()()221+11x y --= （1）求过点A ()24，且与圆C 相切的直线方程．（2）若(),P x y 为圆C 上的任意一点，求()()2223x y +++的取值范围． 65．已知ABC 中，顶点()4,5A ，点B 在直线:220l x y -+=上，点C 在x 轴上，求ABC 周长的最小值．66．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -．（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标． 67．已知圆22:(4)1M x y +-=，直线:20l x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（1）若60APB ∠=，求P 点坐标；（2）若点P 的坐标为(1,2)，过P 作直线与圆M 交于C 、D 两点，当CD =线CD 的方程；（3）求证：经过A 、P 、M 三点的圆与圆M 的公共弦必过定点，并求出定点的坐标． 68．已知直线l 经过点(6,4)P ，斜率为k（1）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；（2）若1k =-，一条光线从点(6,0)M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回点M ，求光线所经过的路程．69．已知圆22:1O x y +=，圆()()221:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T （T 在第二象限）．（1）求1OO T ∠的正弦值；（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系；70．圆C ：22(3)1x y +-=，点(,0)P t 为x 轴上一动点，过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ．（1）若1t =，求切线方程；（2）若两条切线PM ，PN 与直线1y =分别交于A ，B 两点，求ABC 面积的最小值．71．已知圆C 轨迹方程为()22225x y -+=（1）设点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点M 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程；（2）设P 是直线60x y ++=上的点，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．。
圆直线方程
第 1 页 共 11 页直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。
理解圆的参数方程．§07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b ya x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.第 2 页 共 11 页（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 特例：点P(x,y)到原点O的距离：||OP =2. 定比分点坐标分式。
第8章 直线与圆的方程 三稿
第八章直线与圆的方程现实世界中有许多美妙的曲线.纵横交错的立交桥，行星运动的轨迹……都呈现几何曲线形状，而在数学领域，几何曲线的问题常常用代数方法来研究，使得曲线与代数方程息息相关．例如研究行星运行的轨道需要建立方程，等等.诸如此类的例子体现了几何(曲线)与代数(方程)的互相结合，而这些结合是通过建立坐标系来实现的．本章我们将在平面直角坐标系中，用方程表示圆和直线，并研究他们的相互位置关系，了解直线、圆在现实生活中的应用.本章学习目标学完本章内容，你将能够知道两点间距离公式及中点公式理解直线的倾斜角与斜率建立直线的方程判断两条直线的位置关系了解点到直线的距离公式求解圆的方程判断直线与圆的位置关系进行直线的方程与圆的方程的应用本章目录§8.1两点间距离公式及中点公式§8.2 直线的倾斜角与斜率§8.3 直线的方程§8.4 两条直线的位置关系§8.5点到直线的距离公式§8.6 圆的方程§8.7直线与圆的位置关系§8.8直线的方程与圆的方程应用举例§8.1 两点间距离公式及其中点公式在平面几何中，用有刻度的尺子可以测出两点间距离，用直尺和圆规可以确定线段中点位置。
那么，如果在平面直角坐标系里，给出两点的坐标，如何求两点间距离以及确定线段中点呢？ 1. 两点间距离公式 探究如图8-1，大海中有2个小岛,其中一个在灯塔 东60海里偏北80海里1P 点处,另一个在灯塔西10 海里偏北55海里2P 点处(),那么如何确定这两岛之 间的距离呢?类似的问题可以通过建立数学模型来解决，即如何求直角坐标平面上两点间距离的问题.一般地，设点11,1()P x y ，22,2()P x y 为直角坐标平面上的任意两点，以1P 为始点,、2P 为终点，作向量12PP uuu r （如图8-3），其坐标12PP uuu r =（2x - 1x ，2y -1y ），那么1P ，2P 两点间的距离12PP 就是向量12PP uuu r的模.由向量数量积的性质，有212PP =12p p uuuu r 2==21212121(,)(,)x x y y x x y y --⋅-- =212212)()(y y x x -+-从而12PP =212212)()(y y x x -+-这就是平面上任意两点1P ，2P 间的距离公式，简称为两点间距离公式.用两点间距离公式，可以计算平面直角坐标系内任意两个点之间的距离.例1 已知点M （8，10）和N （12，22），求线段MN 的长度. 解 根据平面内两点间的距离公式，得图8-2图8-1MN === 即线段MN 的长为20.例2 已知三角形的顶点分别为A （2，6），B （-4，3），C （1，0），求ABC ∆三条边的长.解 根据两点间距离公式，可得ABC ∆三条边的长分别为5345)63()24(22==-+--=AB6BC ===AC ==问题解决大海中有2个小岛,其中一个在灯塔东60海里偏北80海里1P 点处,另一个在灯塔西10海里偏北55海里2P 点处(如图8-2)，以灯塔为坐标原点建立坐标系，求这两岛之间的距离.练习 1、 填空题（1）原点O （0，0）到点P （2，-2）的距离是________. （2）已知两点A(1,3)和B （2，0），则线段AB 的长度是_________. （3）点A 1（-6，-2）到点2A （-4，5）的距离是_____________. （4）已知点M （8，0）和N （2，-1），则线段MN 的长度为______________. 2、选择题（1）已知两点P （-2，0）和Q （0，5），则P,Q 间的距离是( )A 、29B 、7C 、3D （2）已知两点M 1(0,1)和2M (6,5)，则线段12M M 的长度是( )A 、132B 、52、C 、10D 、2. 中点坐标公式如图8-4，已知线段1P 2P 两个端点的坐标为1P 1,1()x y ，22,2()P x y ，设线段1P 2P 的中点为),(y x P ，那么中点P 的坐标能否用1P 和2P 的坐标表示出来呢？ 考察向量P 1和向量2PP ，有P 1=),(11y y x x --，2PP =),(22y y x x --因为P 1与2PP相等，从而⎩⎨⎧-=--=-y y y y xx x x 2121解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2,22121y y y x x x这样，中点P 的坐标就可以由点1P ，2P 的坐标表示出来了，这个公式叫作中点坐标公式，简称中点公式.中点公式告诉我们，线段1P 2P 中点的横坐标是两个端点1P 与2P 的横坐标和的一半，而中点的纵坐标是两个端点1P 与2P 的纵坐标和的一半.例3已知点A （9，-2）和B （-1，3），求线段AB 中点Q 的坐标. 解 设点Q 的坐标为(x,y)，根据中点坐标公式，有9(1)8422x +-===，21212=+-=y 所以，线段AB 中点Q 的坐标是1(4,)2例4已知线段MN ，它的中点坐标是(3，2)，端点N 的坐标是(1,-2)，求另一个端点M 的坐标.解 设端点M 的坐标为(x ,y )，根据中点坐标公式，有213x +=，2=22y-+ 解得3215,22(2)6x y =⨯-==⨯--=.图8-3所以，端点M 的坐标为（5，6）例5 已知三角形的三个顶点分别为A （12，2），B （-3，4），C （2，6），(1)画出该三角形；（2）求三角形中BC 边上的中线AD 的长.解 （1） 该三角形如图8-4（2）设BC 边上的中点D 的坐标为（x,y ），由中点坐标公式得21223-=+-=x ，5264=+=y D 点的坐标为 )5,21(- ，所以AD ===思考交流在例5中，如何求解AB 边上的中位线的长度. 练习 1、填空题（1） 已知原点O （0，0）和原点P （4，-2），那么线段OP 的中点坐标是___________.（2） 已知点M 1（-1，3）和2M （5，0），那么线段12M M 的中点坐标是_____________.（3） 已知点P （6，-2）和Q （3，-8）那么线段PQ 的中点坐标x图8-4是_____________.2、选择题已知两点A1（10，0）和2A（-2，4），则线段A12A的中点坐标是( )A．(4,2) B．（-1，4）C．（-6,2）D．（-1，2）习题1.已知两点P（2，-1）和Q（-3，-7），求线段PQ的长度.2.已知两点A（3，4）和B（5，-8），求线段AB的中点坐标.3.已知线段AB，它的中点坐标是(-1，2)，端点B的坐标是（-5，7），求另一个端点A的坐标.4.已知线段AB，它的中点坐标是(0，-4)，端点A的坐标是（12，-5），求另一个端点B的坐标.5.已知两点M（-3，m）和N（n，10），且线段MN的中点坐标是(3,-4)，求m，n.6. 在ABCD中，已知四点(3,0),(3,0),(0,4)A B C-，D（6，4）.求：（1）边BC的长；（2）ABCD的对角线中点.§8.2 直线的倾斜角和斜率日常生活中，我们也经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，即=升高量坡度前进量这里的“坡度”类似于倾斜角α图8-5）.探究如果一条直线仅过一个已知点，它就不能被确定，进一步地，再给定它的倾斜程度，就能被确定了．可见，确定直线位置的要素除了两点之外,还可以有直线上一点和直线的方向．通过建立直角坐标系,图8-5点可以用坐标来刻画，那么直线的方向用什么刻画呢？ 1.直线的倾斜角如图8-6，我们把一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0︒.设一条直线的倾斜角为α，则α的取值范围是0°≤α＜180︒.并且，任何一条直线都有唯一的倾斜角. 倾斜角的大小确定了直线的方向. 2.直线的斜率在直角坐标系中,我们也可以类似地利用这种方法刻画直线的倾斜程度.倾斜角不是90︒时，我们把倾斜角α的正切叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示,即tan k α=（90α≠︒）例如，倾斜角α=60︒时，这条直线的斜率tan 60k =︒=冒泡：如果已知直线上2个点的坐标，能求直线的斜率吗？ 已知直线过两点1,1()P x y ，22(,)Q x y ，且12x x ≠(如图8-6）,那么直线PQ 的斜率为211221tan ()y y k x x x x α-==≠-即 211221()y y k x x x x -=≠-图8-6图8-7如果12x x =（图8-6（2）），那么直线PQ 的倾斜角为90︒，其斜率不存在.对于不垂直于x 轴的定直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的斜率总是相等的.直线的倾斜角α与其斜率k 之间有如下关系：表8-1例1.在同一坐标系中，画出过点A （-2，3），倾斜角α分别为下列各值的直线，并求其斜率（近似值精确到0.01）. （1）α=30︒; （2）α=0︒； （3）α=140︒. 解：所画图如图8-8. (1) tan 303k =︒=（2）tan00k =︒=； (3)tan1400.84k =︒≈-.图8-8例2. 分别求经过下列两点的直线的斜率， 并画图.（1）(3,2)Q ，1(1,3)P --； （2）(3,2)Q ，2(5,2)P -； （3）(3,2)Q ，3(3,2)P -. 解：（1）1325134k --==--； （2）222253k --==--；（3）322033k -==--.如图8-9.问题解决给出直线的倾斜角α，分别为零角、锐角、钝角，求直线的斜率.观察并结合表8-1，验证斜率的正负值. 练习1. 已知下列直线都经过点(0,1)-,倾斜角分别如下，求各直线的斜率k （近似值精确到0.01）并画图：（1）=35α︒； （2）=100α︒； （3）3=4πα. 2. 分别求经过下列两点的直线的斜率： （1）（1，-7），（3，0）； （2）（-3，4），（2，-1）；（3）（-1），.3. 填空：（1） 已知直线l 垂直于x 轴，则直线l 的倾斜角是__________，斜率____________；（2） 已知直线l 垂直于y 轴，则直线l 的倾斜角是____________，斜图8-9率_____________；（3） 直线l 倾斜角α的取值范围是________________； （4） 已知直线AB 的斜率为1，那么它的倾斜角是___________. 习题1．判断下列说法是否正确：（1） 在直角坐标系中，每一条直线有且只有一个倾斜角； （2） 在直角坐标系中，每一条直线有且只有一个斜率； （3） 在直角坐标系中，任意一组平行直线具有相同的斜率； （4）在直角坐标系中，①当 0k >时，直线一定通过第一、三象限； ②当0k <时，直线一定通过第二、四象限；2．过点(1,3)A -和点(4,3)B -的直线的斜率为_____________． 3． 直线l 经过原点和点(4,4)-，则直线l 的倾斜角为（ ） A 、45︒ B 、135︒ C 、45︒或135︒ D 、4π-§8.3 直线的方程我们知道，一次函数y kx b =+的图象是一条直线，如果把,x y 看作未知数，y kx b =+也是一个方程.为了更好的研究直线及其方程，我们先来考虑确定直线的要素. 如前所述，直线的位置既可以由两点确定，也可由一点和一个方向确定． 1. 直线的点斜式方程 探究如图8-9，直线l 经过点(1,3)A -，斜率 为-2，设点P (,)x y 为直线l 上点除A 以外 的任意一点，那么点P 的坐标(,)x y 满 足什么条件呢？这个条件可以用一个式子表示吗？设直线l 经过点111(,)P x y ，斜率为k ，直线上1P 以外的任意一点P 的坐标是（,)x y ，则1PP 的斜率等于k ，即11y y k x x -=-， 故得到方程11()y y k x x -=-，显然，点111(,)P x y 也满足此方程.一般地，方程11()y y k x x -=-叫做直线的点斜式方程.例1．求满足下列条件的直线的方程： （1）直线经过点(2,3)P -，斜率为2；（2）求过点(2,P ，且倾斜角为45的直线方程. 解：（1） 由题意，得 1x =-2，1y =3，斜率k =2由直线的点斜式方程11()y y k x x -=-，得 32(2)y x -=+ 即 270x y -+=（2）由题意，得112,tan 451x y k ====，由直线的点斜式方程得()1(2)y x -=⨯- 整理得，所求直线方程为20x y --=例2.（1）直线经过点(1,4)P -；且平行于y 轴. （2）直线经过点1(10,)2P ，且平行于x 轴. 解：（1） 由题意，得 直线上每一点的横坐标都等于1-， 即 1x =- （2）解：由题意，得 1x =10，1y =12，斜率k =0，由直线的点斜式方程11()y y k x x -=-，得 10(10)2y x -=⋅- 整理得，所求直线方程为12y =思考交流当直线l 与x 轴垂直（倾斜角90a =）时，其方程能用点斜式表示吗？ 能表达它的方程吗？当直线l 平行于x 轴或与x 轴重合（倾斜角0a =）时，能表达它的方程吗？问题解决如图8-10，等腰梯形ABCD 中， （1）求线段AB 的斜率. （2）求线段AB 所在直线方程. （3）求线段AB 的方程. 练习根据下列条件，写出直线的方程； （1）经过点（1，-2），斜率为7； （2）经过点（-6，1），斜率为-4； （3）经过点（3，-8）倾斜角为60︒； （4，与x 轴交点的横坐标为-6； （5）经过点（13，-1），且平行于x 轴.2. 直线的斜截式方程 探究小萌和小华以相同速度k 分别在前后在相隔10米处同时出发，沿相同线路前行，经过t 时间他俩走过路程s后分别在哪里？如何用函图8-10数关系刻画这一过程？已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，能求出直线l 的方程吗？根据直线的点斜式方程，将（0，b ），k 代入，得直线l 的方程为(0)y b k x -=- 即 y k x b=+ 我们称b 为直线l 在y 轴上的截距，这个方程由直线l 的斜率和它在y 轴上的截距确定.方程y kx b =+叫作直线的斜截式方程．例3．求下列直线的方程（1）在y 轴上的截距为8，斜率为3.5； （2）经过点（0，-5），倾斜角为135︒；（3）在y 轴上的截距为-1，过点B （-2，）.解:（1）由题意，得 73.5,82k b ===，由斜截式方程，得782y x =+整理，得 7280x y -+=（2）由题意，得 tan1351,5k b =︒=-=-，由斜截式方程，得5,50y x x y =--++=整理，得.例4．已知三角形的顶点为(5,0),(3,3)A B --，(0,2)C （图8-11），试求这个三角形三边所在直线的方程.解: 因为直线AB 过点(5,0),(3,3)A B --，由斜率公式， 得3033(5)8k --==---，再由点斜式方程，得30[(5)]8y x -=---整理，得38150x y ++=因此，直线AB 的方程为38150x y ++= 因为直线BC 在y 轴上的截距为b =2，斜率是2(3)5033k --==--， 由斜截式方程，得523y x =-+整理，得 5360x y +-=因此，直线BC 的方程为5360x y +-=.同理，对于直线AC (b = 2)，求斜截式方程并整理，得直线AC 的方程为25100x y -+=.思考交流如何解释直线的斜截式方程与一次函数的关系？任何一条直线都有y 轴上的截距吗？ 练习1． 根据下列条件，写出直线的方程； （1）斜率为-3，在y 轴上的截距为-4； （2）经过点（0，-2），倾斜角为135︒； （3）经过两点（1，3），（-2，5）.2．已知一条直线经过点(1,5)P ，且与直线31y x =-+的斜率相等则该 直线的方程是_____________.3. 直线的一般式方程 探究关于x 、y 的二元一次方程0(Ax By C A B ++=、不全为0）都可以表示直线吗？直线方程的两种特殊形式（点斜式，斜截式）都可以整理成方程0(Ax By C A B ++=、不全为0）的形式.显然，它们都是关于x 和y 的二元一次方程.在平面直角坐标系中，任何关于x 、y 的二元一次方程0Ax By C ++=(0)A B 、不全为叫做直线的一般式方程.例5．写出下列图8-12中直线的方程，并化为一般式方程.（1） 解：如图（1），18030150α︒=-=，所以1tan tan1502k α===-，由点斜式方程，得11.522y x -=--（），得一般式方程为250x y +-=.（3）（2）（1）图8-12（2） 解：如图（2），已知直线上两点(4,1)-，(1,3)，得3121(4)5k -==--由点斜式方程，得 23(1)5y x -=-，整理得，一般式方程为 25130x y -+=.（3） 解：如图（3），直线在y 轴上的截距为3b =-，且直线过点（1，0），（0，-3），由斜率公式得30301k --==-，再由斜截式方程，得33y x =-，整理得，一般式方程为 330x y --=.冒泡：本章如无特别说明，所求直线方程均化为直线的一般式方程.例6．直线5100l x y +-=的方程为2，求直线的斜率以及它在y 轴上的截距，并作图.解：将直线l 的方程25100x y +-=写成22,5y x =-+因此直线l 的斜率为 25k =-；在方程25100x y +-=中，令0x =，得2y =；令0y =，得5x =，所以，直线l 在y 轴上的截距为3.且通过点（0，2），（5，0）画直线.注：以后如不特别说明，求直线方程的结果均指一般方程. 练习1．直线2360x y +-=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有图8-13（ ）A 、3,32k b =-=B 、2,23k b =-=-C 、3,32k b =-=-D 、2,23k b =-=2．求经过点(-1,3)，(4,-2)的直线的方程.3．写出过点P （2，-1），且分别满足下列条件的直线方程： (1) 直线l 垂直于y 轴； (2)直线l 过原点. 习题 1.填空（1）直线倾斜角α的取值范围是____________；若α是平角，则斜率k =_______;若已知两点A （1，-2 ），B （0,3 ），则斜率k =_________. （2）直线的点斜式方程是__________________；直线的斜截式方程是_______________；直线的一般方程是_____________________.2. 经过点)2,4(-F ，倾斜角是23π的直线方程是 （ ）（A ）)4(32--=-x y ； （B ）)2(34+-=-x y （C ）)4(32-=-x y ； （D ）)4(32--=+x y 3.根据下列条件，写出直线的方程； （1）斜率为2，在y 轴上的截距为-9； （2）经过点（8，-6），倾斜角为120︒； （3）经过两点（5，5），（-3，0）. （4）斜率是-3,且在y 上轴的截距为4； （5）过点(-π,0)，且与y 轴垂直.4．已知一条直线经过点(1,5)P ，且与直线31y x =-+的斜率相等，求该直线的方程.5．已知菱形的两条对角线长分别为8和6，试建立适当的直角坐标系， 求出菱形各边所在的直线方程．6．直线l 经过点（3，－1），且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程．§8.4 两条直线的位置关系我们知道，平面内两条直线有相交、平行、重合三种位置关系。
(完整版)职高数学第八章直线和圆的方程及答案
第8章直线和圆的方程练习8.1 两点间的距离与线段中点的坐标1.根据下列条件，求线段P 1P 2的长度：（1）P 1（0，-2）、P 2（3，0） （2）P 1（-3，1）、P 2（2，4）（3）P 1（4，-2）、P 2（1，2） （4）P 1（5，-2）、P 2（-1，6）2.已知A(2,3)、B （x ，1），且|AB 求x 的值。
3.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标：（1）P 1（2，-1）、P 2（3，4） （2）P 1（0，-3）、P 2（5，0）（3）P 1（3，2.5）、P 2（4，1.5） （4）P 1（6，1）、P 2（3，3）4.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标：（1）P 1（3，-1）、P 2（3，5） （2）P 1（-3，0）、P 2（5，0）（3）P 1（3，3.5）、P 2（4，2.5） （4）P 1（5，1）、P 2（5，3）参考答案：2.-1或53.(1) 53(,)22;(2) 53(,)22-;(3) 7(,2)2; (4) 9(,2)24. (1) (3,2);(2) (1,0);(3) (3.5,3); (4) (5,2)练习8.2.1 直线的倾斜角与斜率1．选择题（1）没有斜率的直线一定是（ ）A.过原点的直线B.垂直于y 轴的直线C.垂直于x 轴的直线D.垂直于坐标轴的直线(2)若直线l 的斜率为-1，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 90︒B. 0︒C. 45︒D. 135︒2已知直线的倾斜角，写出直线的斜率：（1）30,____k α=︒= （2）45,____k α=︒=（3）120,____k α=︒= （4）150,____k α=︒=参考答案：1.（1）C （2）D2.（1;(2) 1 ;(3) 练习8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程写出下列直线的点斜式方程（1）经过点A （2,5），斜率是4；（2）经过点B （2,3），倾斜角为45︒；（3）经过点C （-1,1），与x 轴平行；（4）经过点D （1,1），与x 轴垂直。
第八章 第五节 直线、圆的位置关系
3．两圆公切线的条数 ． (1)两圆内含时，公切线条数为0； 两圆内含时，公切线条数为 ； 两圆内含时 (2)两圆内切时，公切线条数为1； 两圆内切时，公切线条数为 ； 两圆内切时 (3)两圆相交时，公切线条数为2； 两圆相交时，公切线条数为 ； 两圆相交时 (4)两圆外切时，公切线条数为3； 两圆外切时，公切线条数为 ； 两圆外切时 (5)两圆相离时，公切线条数为4. 两圆相离时，公切线条数为 两圆相离时 因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系， 因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系， 反过来知道两圆公切线的条数， 反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位 置关系． 置关系．
条公切线． ∴两圆相交，故有2条公切线． 两圆相交，故有 条公切线 答案： 答案：2
直线与圆的位置关系有相离(没有公共点 、相切(只 直线与圆的位置关系有相离 没有公共点)、相切 只 没有公共点 有一个公共点)、相交(有两个公共点 三种，判断直线与圆 有两个公共点)三种 有一个公共点 、相交 有两个公共点 三种， 的位置关系主要有两种方法： 的位置关系主要有两种方法：一是圆心到直线的距离与圆 的半径比较大小； 的半径比较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组解的 个数． 个数．
3．已知0＜r＜ ．已知 ＜ ＜ 的位置关系是 A．外切 ． C．相交 ．
＋1，则圆 2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2 ，则圆x － ＋ ( B．内含 ． D．相离 ． )
解析：两圆连心线长|O1O2|＝ 解析：两圆连心线长 ＝ r1＋r2＝r＋ ＋ 所以 ＜r＋ ＋ ，|r1－r2|＝| ＝ ＜2 ＋1，－ ，－
5．两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0 ．两圆 ＋ － ＝ 与 － － ＝ 公切线的条数是__________． 公切线的条数是 ． 解析：两圆为 － 解析：两圆为(x－3)2＋(y＋3)2＝66和 ＋ 和 (x＋2)2＋(y－4)2＝64， ＋ － ， 两圆圆心距离
坐标系中直线与圆的方程
坐标系中直线与圆的方程在二维笛卡尔坐标系中，直线和圆是最基本的几何图形之一。
本文将详细探讨直线和圆在坐标系中的方程表示方法。
一、直线的方程表示直线可以用多种方式表示，其中最常见的两种形式是点斜式和一般式。
1. 点斜式方程：设直线上一点为P(x, y)，该直线的斜率为k，则直线的点斜式方程为：y - y₁ = k(x - x₁)其中，(x₁, y₁)为直线上已知的一点。
2. 一般式方程：一般式方程是直线的另一种常见表示形式，它可以写作：Ax + By + C = 0其中，A、B、C为实数，且A和B不全为0。
二、圆的方程表示在坐标系中，一个圆可以由其圆心和半径唯一确定。
根据圆的性质，圆的方程可以有三种不同的形式：标准方程、一般方程和截距方程。
1. 标准方程：设圆的圆心为C(h, k)，半径为r，则圆的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(x, y)为圆上的任意一点。
2. 一般方程：圆的一般方程表示为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为实数。
3. 截距方程：圆的截距方程表示为：(x - h)² + (y - k)² = a²其中，h、k分别表示圆心的横坐标和纵坐标，a表示半径。
三、直线与圆的方程当直线与圆相交时，可以通过方程求解得到交点的坐标。
1. 直线与圆相交：设直线的方程为L，圆的方程为C，求解L和C的交点的步骤如下：1) 将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x和y的二次方程；2) 解二次方程，求得x的值；3) 将x的值代入直线的方程，求得相应的y值；4) 得到交点的坐标。
2. 直线和圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种可能情况：1) 直线与圆相交，交点为两个；2) 直线与圆相切，交点为一个；3) 直线与圆相离，无交点。
总结：本文讨论了直线与圆在坐标系中的方程表示方法。
直线和圆的参数方程重要知识
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
重点辅导
1
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
M• 450 P x
O
的坐标为x, y,根据条件知
台风中心M移动形成的直线
图2 15
l 的方程为
x 300 40t cos1350 ,
y 40t sin1350 ,
t 为参数,t 0
x 300 20 2t ,
即 y 20 2t ,
t 为参数,t 0
重点辅导
18
当点M 300 20 2t,20 2t 在圆O内或在圆O上时,有
t为参数
②
思考 由M 0M te,你能得到直线l的参数 方 程②中 参 数t 的 几 何 意 义 吗?
重点辅导
4
因为e cos,sin ,所以| e | 1.由 M0M
te,得到| M0M || t | .所以,直线上的动点M 到定点M0的距离,等于② 中参数t 的绝对值.
当 0 时,sin 0,所以,直线l的单位
(2)设l与圆 x 2 y2 ＝4相交于两点A，B，求点P
到A，B两点的距离之积．
解：(1)直线的参数方程是
x＝1＋
3 2t
y＝1＋12t
(t 是参数)．
重点辅导
7
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 A1＋ 23t1，1＋12t1，B1＋ 23t2，1＋21t2. 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
第八章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系
2 2 x ＋y －4＝0， 解析：由 2 2 得 x－y＋2＝0. x ＋y －4x＋4y－12＝0，
又圆 x2＋y2＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 长的一半为 4－2＝ 2， 所以所求弦长为 2 2. 答案：2 2 四、典例剖析 考点一 直线与圆的位置关系
2 ＝ 2.由勾股定理得弦 2
2
所以直线与圆相交． (2)法一：将直线方程代入圆的方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没 有公共点的充要条件是 Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得 k∈(－ 3， 3)． 法二：圆心(0，0)到直线 y＝kx＋2 的距离 d＝ 2 ，直线与圆没有公共点 k ＋1
2
的充要条件是 d>1，即 [答案]
3 所以切线方程为 y－ 3＝ 3 (x－1)， 即 x－ 3y＋2＝0. 4．若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则实数 m＝ ________． 解析：圆 C1 的圆心是原点(0，0)，半径 r1＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25 －m， 圆心 C2(3， 4)， 半径 r2＝ 25－m， 由两圆外切， 得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋ 25－m ＝5，所以 m＝9. 答案：9 5．(必修 2 P133 习题 4.2 A 组 T9 改编)圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y －12＝0 的公共弦长为________．
直于 l. (2)圆与直线 l 相交的情形：①圆心到 l 的距离小于半径，过圆心且垂直于 l 的直线平分 l 被圆截得的弦； ②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦； ③过圆内一点的所有弦中， 最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的 是过这点的直径． 3.(1)直线 y＝kx＋3 与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4 相交于 M，N 两点， 若|MN|≥2 3，则 k 的取值范围是生用书 P161]
2023年职高数学二轮复习——直线与圆的方程
第八章：直线与圆一、知识点汇总：1、两点间距离公式与中点坐标公式：①2122122211)()(),,(),,(y y x x AB y x B y x A -+-=则设 ②)2,2(2121y y x x ++中点坐标为 2、直线的斜率：⎪⎩⎪⎨⎧--==已知坐标时用）已知倾斜角时用()(tan 1212x x y y k k α 注意：直线倾斜角不存在轴时，直线斜率或者直线垂直k x 090=α 3、直线方程：①)(00x x k y y -=-点斜式：（已知点（ y x ,），斜率k ） ②b kx y +=斜截式： （b 叫直线在y 轴上的截距） ③ ）不同时为、一般式：0B A (0C By Ax =++，其中斜率BCb B A k -=-=截距, ④特殊直线的方程： 0y y = (1)垂直于x 轴或平行y 轴的直线方程：0x x =(2)垂直于y 轴或平行x 轴的直线方程：0y y = 0x x = 4、方向向量和法向量①方向向量：指与直线平行或重合的向量，其中一个方向向量),1(k a = ②法向量：指与直线垂直的向量，其中一个法向量),(B A n = 5、两直线的平行和垂直：① 212121b k k //b l l ≠=⇔， ② ⎩⎨⎧=+-=⇔⊥0121212121B B A A k k l l规律总结：①与直线0=++C By Ax 平行的直线是0=++D By Ax②与直线0=++C By Ax 垂直的直线是0=+-D Ay Bx1、点到直线的距离公式和平行线间的距离公式:22BA C By Ax d +++=2212BA C C d +-=平yxo2、圆的方程：①标准方程：222)()(r b y a x =-+- r b a 半径圆心),,( ②一般式方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x24),2,2(22FE D r ED -+=--半径圆心8、如图.圆半径为r ，圆心到直线距离为d.9、圆与直线的弦长：222||d r AB -=10、.,2222r y y x x y x r y x =+=+ ）的圆的切线方程为：上一点（经过圆二、题型训练1. 过两点C(-m,2),D(1,3m)的直线的斜率为21，则m=( ) A.1 B.75 C.53 D.21 2. 直线)2(31--=+x y 所过定点和倾斜角分别是（ ） A.（2,1），32π B.（2,-1），3π- C.（2,-1），32π D.（2,-1），65π 3.直线）象限时，此直线必不过第（当0,0,0a ,0>>>=++c b c by ax A. 一 B. 二 C. 三 D. 四4.过点（1，-1），且与直线,02=+-y x 平行的直线方程是（ ） A.02=+-y x B.02=++y x C.02y x =-+ D.02=--y x5.直线与02)1()1(:1=--++y a x a L 03)21()1(:2=+-+-y a x a L 垂直，则a=( ) A.0或1 B.1或-3 C.0 D.1位置d 与rdrd=rr d6. 已知A(0,2), B(-2,0),则线段AB 的垂直平分线方程为（ ） A.0=+y x B.01=-+y x C.02=+-y x D.02=-+y x7. 方程）的取值范围（表示圆的方程，则实数a 022=++-+a y x y x A.a<21 B. a>21 C. a<21- D. a>21- 8. 圆）的距离的最小值为（上的点到直线0254x 3122=-+=+y y x A.6 B.5 C.4 D.19. 以点A （-3,2）为圆心，且与y 轴相切的圆的标准方程为（ ）9)2()3(.22=-++y x A 4)2()3(.22=-++y x B 9)2()3(.22=++-y x C 4)2()3(.22=++-y x D10. 以两点A(5,5), B(-3,-1)为直径端点的圆的方程是（ ）25)2()1(.22=+++y x A 100)2()1(.22=-+-y x B 100)2()1(.22=++-y x C 25)2()1(.22=-+-y x D11在点Q （2,1）处与圆522=+y x 相切的直线方程为（ ）A. 2x+y -5=0B. 2x+y+5=0C. x -2y -5=0D. x -2y+5=0 12.过圆044222=---+y x y x 圆心，且在y 轴上的截距是该圆的半径的直线方程（ ）A. x -y+3=0B. x -y -3=0C. x+y+3=0D. x +y -3=0 13.x ²+y ²+(m-1)x+2my+m=0表示圆,则m 的取值范围是( )A. m ＞0B. 51≤m ≤1C. m ＞1或m ＜51D. R14.一条直线平行于3x+4y-6=0，且原点到直线的距离是9，则该直线方程是（ ）Ａ、3x+4y+45=0 Ｂ、3x+4y-45=0 Ｃ、3x+4y-45=0或3x+4y+45=0 Ｄ、4x-3y-45=015.直线01)1(:062:221=-+-+=++a y a x l y ax l 与直线垂直，则等于a ( )。
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第八章 直线和圆的方程（一）
一、选择题
1、直线023=++y x 的倾斜角是（ ）
A 、︒30
B 、︒60
C 、︒150
D 、︒120
2、直线0634=-+y x 的斜率是（ ）
A 、34-
B 、4
3- C 、34 D 、43 3、已知直线经过两点()3,1A 、()0,a B ，且直线的倾斜角为6
π，则a 等于（ ） A 、2- B 、 4 C 、0 D 、不存在
4、若点()2,1A ，()3,2-B 与()m C ,4在同一条直线上，则m 等于（ ）
A 、1
B 、37
C 、3
11 D 、5 5、过点()3,1-M 且与直线072=-+y x 平行的直线方程是（ ）
A 、052=-+y x
B 、052=--y x
C 、012=-+y x
D 、012=+-y x
6、(2002年)直线2640x y -+=与直线233
x y =+的位置关系是 ( ) A 、相交 B 、平行 C 、重合 D 、垂直
7、（2004年）已知直线经过两点A (,B (),0a 且直线的倾斜角为
6π，则a 等于( ) A 、 2- B 、4 C 、0 D 、不存在
8、（2005年）过点P ()2,1-且与直线3250x y -+=垂直的直线方程是（ ）
A 、3210x y -+=
B 、3280x y --=
C 、2310x y ++=
D 、2310x y +-=
9、（2009年）直线1:60l x ay ++=与直线()2:230l a x y a -++=平行，则a 的值为（ ）
A 、13-或
B 、13或
C 、3-
D 、1-
10、(10年)直线1:40l x my ++=与()22:21530l m x y m -++=垂直，则m 的值为（ ） A 、 3 B 、3- C 、 15 D 、15-
二、填空题
1、(2004年)过点P ()1
2、且与直线320x y -+=平行的直线方程是_____________________
2、过点()1,2-p ，且直线0523=+-x 垂直的直线方程是___ _____
3、(2006年)直线10x y +-=与直线20x y +-=的位置关系是_______________
4、直线320x y -+=与直线093=-+y x 的位置关系是_____ ______
5、直线3
24+=x y 与直线034=+-y x 的位置关系____ _____ 6、直线013=+-ky x 与直线022=+-x y 的位置关系是___ _____
7、已知直线015=++ky x 与直线023=--y x 垂直，则=k __ _____
8、直线0132=-+y x 在y 轴上的截距是__ _____
9、倾斜角是3
2π，且在y 轴上的截距是-5的直线方程是__ _____ 10、过点()1,2-M 和()3,4N 的直线方程是
三、解答题
1、求经过()1,1点且倾角是直线013=++y x 的2倍的直线方程
2、已知直线1l 与直线2l 01223=-+y x 的交点在x 轴上，并且21l l ⊥，求直线1l 在y 轴上的截距
3、求直线012-++y x 与直线2-=x y 交点的坐标。