2011西城北区中考数学一模试题+答案

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西城区2010-2011学年度第一学期初三期末数学试题及答案(北区)

北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15° 3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan ∠ACB 的值为（）.A ．1B ．13C ．12 D ． 4．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（）.A ．2(3)2y x =++B ．2(3)2y x =--C ．2(6)2y x =--D ．2(3)2y x =-+ 5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-. 若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切，切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于，则扇形OCED 的面积等于（）. A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π 8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，P A 的中点为Q .当点Q 也落在 ⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（）. A ．12 B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ，若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 .11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA 为半径作⊙O 若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P 的坐标为 .12．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．计算：26tan 30cos45︒︒-︒． 14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60AC D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ．求AD 的长．16．右图为抛物线cbxxy++-=2的一部分，它经过A(1,0)-，B(0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．17.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度.取1.414，1.732）18．对于抛物线243y x x=-+.（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程2430x x t-+-=（t为实数）在1-＜x＜72的范围内有解，则t的取值范围是．四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分）19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC= 8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转α角（090α︒<<︒），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE= °，点C到直线l的距离等于，α= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，α= °．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC . （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC=8，tan B =12，求AD 的长.22．请阅读下面材料：若10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下：证明：∵ 10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，∴ 20112022 , ,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩且 1x ≠2x . ①-②得 221212()()0a x x b x x -+-=.∴ []1212()()0x x a x x b -++=. ∴ 12bx x a+=-.又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a=-， ∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ，① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 24. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）. （1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-，求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标；（4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ，则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3）设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2011.19.35. 10. 相交. 11. (1-，(1,-.（每个2分） 12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分） 13．解： 26tan 30cos45︒︒-︒ 26=⨯……………………………………………………………3分 322=- 12=……………………………………………………………………………5分14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分（2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC∴ 2sin 60ACAB ==︒，BC =1．……………………2分 ∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分∴ AD ……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴ 10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩ ……………………………………………………………1分解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………2分∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分（2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)， ∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分17．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°，∴ BD =AD =50(m)． …………………………………………2分在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°， ∴CD =． ………………………………4分 ∴ BC= BD+CD=50+1)136.6=≈(m)．……5分答：这栋楼约高136.6 m ．18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)-； ………………………………………3分（2）列表：……………………………4分图象如图3所示． ……………………………5分（3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．……………………………1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ，∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ． ………………………………………………………2分 ∴ △BDE ∽△CAD ． ………………………………………………………3分（2）解：由（1）得DB ACBE CD=．…………………………………………………………4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===．………………………………………………5分 20．解：（1）∠DCE = 60 °，点C 到直线lα= 30 °； …………………3分（2）α= 45 °． ………………………………………………………………………4分21．（1）证明：∵ OD ⊥AC 于点E ， ∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．∵ ∠D=∠BFC ，∠BFC=∠1， ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°． ∴ OA ⊥AD 于点A ．………………………1分 ∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2分（2）解：∵ OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC=8，∴ 42ACAE EC ===．………………………………………………………3分∵ ∠B =∠C ，tan B =12，∴ 在Rt △CEF 中，∠CEF =90°，tan C =12．∴ tan 2EF EC C =⋅=．设⊙O 的半径为r ，则2OE r =-．在Rt △OAE 中，由勾股定理得 222OA OE AE =+，即 222(2)4r r =-+．解得 r =5．……………………………………………………………………4分∴ 在Rt △OAE 中，4tan 23AE OE ∠==．∴ 在Rt △OAD 中，420tan 2533AD OA =⋅∠=⨯=． ………………………5分 22．解：（1）结论：自变量取1x ，2x 时函数值相等． ……………………………………1分证明：∵ 11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线2y ax bx c =++上不同的两点，由题意得 21112222 ,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩1x ≠2x ． ①-②，得 []221212121212()()()()y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++.……………………………………………………………2分∵ 直线122x x x +=是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴， ∴ 1222x x bx a+==-. ∴ 12bx x a+=-.∴ []121212()()0y y x x a x x b -=-++=，即12y y =.………………3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵ 二次函数21y x bx =+-当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数21y x bx =+-的对称轴为直线20112x =.∴ 201122b -=，2011b =-.∴ 二次函数的解析式为220111y x x =--. …………………………………4分 ∵20112012(1)22+-=，由（1）知，当x = 2012的函数值与1x =-时的函数值相等. ∵ 当x =1-时的函数值为2(1)2011(1)12011--⨯--=，∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解：（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※ …………………………………………1分 ① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =. ………………………………………………………2分∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2.∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分） ② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=.…………………4分整理，得 1()21m k k m k+-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.……………………………………………5分（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .………6分当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0. ∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………………6分∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.…………6分结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图6）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根 …………………………………………7分24.解：（1）抛物线2()y ax a c x c =-++与x 轴交点的横坐标是关于x 2()0ax a c x c -++=（其中a ≠ 0，a ≠c ）的解.解得 11x =，2cx a=. ………………………………………………………… 1分 ∴ 抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)，(,0)ca.……………………………… 2分（2）抛物线2()y ax a c x c =-++的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c a a+--.∵ 经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-，22() ,42 ,()().a c a ck a a a c c k a a c a c c a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪∴-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分将其代入①、② 得 1 ,4201.ak k ⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 2a =-.∴ 所求抛物线的解析式为 222y x x =-+.…………………………………… 4分（3）作PE ⊥x 轴于点E ， PF ⊥y 轴于点F .（如图7）抛物线222y x x =-+的顶点A 的坐标11(,)22，点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,1). 设点P 的坐标为(,)m n .∵ 点P 在x 轴上方的抛物线222y x x =-+上，∴ 222n m m =-+，且0＜m ＜1，102n <<. ∴ tan PE n POB OE m ∠==，tan PF m POC OF n∠==. ∵ 1tan tan 4POB POC ∠=∠， ∴ 224m n =.解得 m =2n ，或2m n =-（舍去）. ………………………………………………5分将m =2n 代入222n m m =-+，得2830n n -=.解得138n =，20n =（舍去）. ∴ 324m n ==. ∴ 点P 的坐标为33(,)48. …………………………………………………………6分（4）N 关于n 的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分说明：二次函数222y x x =-+的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值，此时y 随x 的增大而减小，∴ 222n n --＜y ≤222n n -+，其中的整数有2221n n --+，2222n n --+，…222n n -+.22(22)(22)4N n n n n n =-+---=.25.（1）当''A B 边经过点B 时，α= 60 °； ………………………………………… 1分（2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4.（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）证明：① 当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）.（阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分）∵ DE ∥''A B ，∴ CD CE CA CB =''. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ，∠ACD=∠BCE .∴CD CE CA CB =. ∴ △CAD ∽△CBE . ……………2分∴ ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 边上，∠CBD=60°，∴ 2CBD CBE ∠=∠，即 m =2. ………………………………………3分② 当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）.与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 的延长线上，180120CBD CBA ∠=︒-∠=︒，∴ 4CBD CBE ∠=∠，即 m =4. ……………………………………4分（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣（3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A =30°，BC =1，∴ AB = 2 ，AC ABC S =. 由 △CAD ∽△CBE 得AD BE AC BC=. ∵ AD =x ，∴ 1BE =，BE x =. ①当点D 在AB 边上时，AD =x ，2BD AB AD x =-=-，∠DBE=90°. 此时，11(2)22BDE S S BD BE x ==⨯=-= . 当S =13ABC S ∆=. 整理，得 2210x x -+=.解得 121x x ==，即AD =1.…………………5分此时D 为AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE .（如图10） ∴ EC = EB .∵ ''90A CB ∠=︒，点E 在'CB 边上，∴ 圆心E 到'A C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6分 ②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，2BD x =-，∠DBE=90°.（如图9）. 11(2)22BDE S S BD BE x ==⨯=-= . 当S =13ABC S ∆=. 整理，得 2210x x --=.解得 11x =21x =.即AD =……………………………………………………………… 7分此时∠BCE=α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°，∴ ∠CBE ＜∠BCE .∴ EC ＜EB ，即圆心E 到'A C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相交. ……………………………………………………8分。

2011-05西城初三数学一模答案

北京市西城区2011年初三一模试卷数学答案及评分标准2011. 5 一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）11题阅卷说明：全对得4分，仅填①或③得2分，其余情况均不得分.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.解：原式=1412+-………………………………………………………4分=12-．…………………………………………………………………………5分14.解：302(1)33.xx x+>⎧⎨-+⎩，≥由①得3x>-．1分由②得x≤1．…………………………………………………………………………3分∴原不等式组的解集是3-＜x≤1．………………………………………………4分∵1，∴x=5分15.解：（1）如图1.设直线l的解析式为y kx b=+(k，b为常数且k≠0).∵直线l经过点(0,2)B，点(1,1)P，∴2,1.bk b=⎧⎨+=⎩解得1,2.kb=-⎧⎨=⎩∴直线l的解析式为2y x=-+．……………………………………………2分（2）∵直线l的解析式为2y x=-+，∴ 点A 的坐标为(2,0)．………………………………………………………3分 ∵ 点P 的坐标为(1,1)， ∴ 12AOP P S OA y ∆=⨯⨯＝12112⨯⨯=．………………………………………5分 16. 证明：如图2.（1）∵ BF 平分ABC ∠，∴ ABF CBF ∠=∠．………………1分在△ABF 与△CBF 中，,,,AB CB ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBF ． ………………………………………………………2分 ∴ AF CF =．………………………………………………………………3分（2）∵ AF CF =，∴ FCA FAC ∠=∠．……………………………………………………… 4分 ∵ AF ∥DC ，∴ FAC DCA ∠=∠．∴ FCA DCA ∠=∠，即CA 平分DCF ∠． ………………………………5分 17. 解：由题意，2214202b a b a ∆=-⨯=-=．…………………………………………1分 ∴ 22b a =． ………………………………………………………………………2分∴ 原式222211ab a a b =-++- ……………………………………………………3分2222ab a b a =+- 2222222a a a a a a a ⋅==+-．…………………………………………………4分 ∵ 0a ≠，∴ 原式2222a a==．………………………………………………………………5分18. 解：（1）………………………………………………………………………………4分阅卷说明：每空1分．（2）72．………………………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：设抢修车每小时行驶x 千米，则吉普车每小时行驶x 5.1千米．151154 1.5x x-=．………………………………………………………………………2分解得20x =． ………………………………………………………………………3分经检验，20x =是原方程的解，并且符合题意． ………………………………4分 ∴ 1.530x =.答：抢修车每小时行驶20千米，吉普车每小时行驶30千米．………………………5分 20．解：如图3．（1）由题意，点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称，∴AM A M '=，BN B N '=． ………………………………………………1分设BN B N x '==，则9CN x =-． ∵ 正方形ABCD ， ∴ o 90C ∠=．∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '=3， ∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =．∴ 5BN =2分（2）∵ 正方形ABCD ，∴ AD ∥BC ，o 90A ∠=．∵ 点M ，N 分别在AD ，BC 边上， ∴ 四边形ABNM 是直角梯形． ∵ '5BN B N ==，9BC =，∴ 4NC =． ∴ 4sin 15∠=，4tan 13∠=． ∵ 1290∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，∴ 31∠=∠． ∴ 4sin 3sin 15∠=∠=．在Rt △ DB P '中，∵90 D ∠=︒，6DB DC B C ''=-=，4sin 35DB PB '∠=='， ∴ 152PB '=． ∵ 9A B AB ''==，∴ 32A P AB PB ''''=-=． ∵ 43∠=∠，∴ 4tan 4tan 33∠=∠=．在Rt △ A MP '中，∵ 90 A A '∠=∠=︒，32A P '=，4tan 43A M A P '∠=='， ∴ 2A M '=．…………………………………………………………………4分 ∴ 1163()(25)9222ABNM S AM BN AB =+⨯=⨯+⨯=梯形．…………………5分 21．（1）证明：连接BO ．（如图4）∵ AB ＝AD ，∴ ∠D ＝∠ABD ．∵ AB ＝AO ，∴ ∠ABO ＝∠AOB ．又∵ 在△OBD 中，∠D +∠DOB +∠ABO +∠ABD ＝180°，∴ ∠OBD ＝90°．∴ BD ⊥BO ．…………………………………………………………………1分∵ 点B 在⊙O 上，∴ BD 是⊙O 的切线． ……………………………………………………2分（2）解：∵ ∠C ＝∠E ，∠CAF ＝∠EBF ，∴ △ACF ∽△BEF ． ………………………………………………………3分 ∵ AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∴ ∠ABC ＝90°．∵ 在Rt △BF A 中，∠ABF ＝90°，cos ∠BF A ＝32=AF BF ， ∴24()9BEF ACF S BF S AF ∆∆==．………………………………………………………4分又∵ BEF S ∆＝8 ，∴ ACF S ∆＝18 ． ……………………………………………………………5分22．解：（1）1∶2，121 ．……………………………………………………………………2分（24分（3 …………5分阅卷说明：第（2）问全对得2分，仅填正三角形或正六边形得1分，其余情况均不得分；第（3）问其它符合题意的图形同样给分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（1）证明：∵ 2360a b c ++=，∴12362366b a b c ca a a a++==-=-． ………………………………………1分 ∵ a ＞0，c ＜0，∴0c a <，0ca ->． ∴ 1023b a +>． ……………………………………………………………2分（2）解：∵ 抛物线经过点P 1(,)2m ，点Q (1,)n ，∴ 11 ,42.a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ ① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0，∴ 223a b c +=-，223ab c =--． ∴ 111211()42424312b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0．………3分2(2)33a an a b c a c c c =++=+--+=-＞0．………………………4分∴ 0mn <．…………………………………………………………………5分 ② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上． ∵ 0m <，0n >，∴ 点P 1(,)2m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方． ∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧）， ∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足2112x <<．（如图6所示）………………………………………6分 ∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a =-，由抛物线的对称性可1222x x ba+=-，由（1）知123b a -<，∴ 12123x x +<．∴ 12221332x x <-<-，即116x <．…………………………………… 7分 24．解：（1）∠AOB= 30 °，α= 60 °．…………………………………………………2分（2）∵A ，B (4,0)，△OAB 绕点O 顺时针旋转α角得到△OCD ，（如图7）∴ OA =OB=OC=OD=4．由（1）得 30BOC AOB ∠=︒=∠．∴ 点C 与点A 关于x 轴对称，点C的坐标为2)-． ∵ 点C ，D ，F 落在同一反比例函数ky x=（k ≠0）的图象上， ∴C C k x y =⋅=-∵ 点F 是由点A 沿x 轴负方向平移m 个单位得到，∴ 2F y =，F x ==-F的坐标为(-．……………3分 ∴ 点F 与点A 关于y 轴对称，可设经过点A ，B ，F 的抛物线的解析式为2y ax c =+．∴22, 160.a c a c ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得1 ,2 8.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴ 所求抛物线的解析式为2182y x =-+． …………………………………4分（3）满足条件的点P 的个数为 5 ．………………………………………………5分抛物线2182y x =-+的顶点为(0,8)M ．∵ △EFG 是由△OAB 沿x 轴负方向平移m 个单位得到，∴m FA ==，E O x x m =-=-，∠FEG=∠AOB=30°． ∴ 点E的坐标为(-．可得直线EF 的解析式为4y =+．∵ 点H 21482x x +=-+的解，整理，得23240x +-=．解得 12x x ==-∴ 点H 的坐标为16)3．由抛物线的对称性知符合题意的1P 点的坐标为16()3．……………6分可知△AFM 是等边三角形，∠MAF= 60°．由A ，M 两点的坐标分别为A ，(0,8)M ，可得直线AM 的解析式为8y =+．过点H 作直线AM 的平行线l ，设其解析式为y b =+（b ≠8）．将点H 的坐标代入上式，得163b =+．解得283b =，直线l 的解析式为283y =+．∵ 直线l 与抛物线的交点的横坐标是方程 2281832x +=-+的解．整理，得2380x -+=．解得12x x =．∴ 点2P 22)3满足HA M AM P S S ∆∆=2，四边形2P MFA 的面积与四边形MF AH 的面积相等．（如图8）……………………………………………7分点2P 关于y 轴的对称点3P 也符合题意，其坐标为3P 22()3．………8分综上所述，位于直线EF 上方的点P 的坐标分别为1P 16()3，2P 22)3，3P 22()3． 25．解：（1）如图9，∠APE= 45 °. ……………………2分（2）解法一：如图10，将AE 平移到DF ，连接BF ，EF ……………………3则四边形AEFD 是平行四边形． ∴ AD ∥EF ，AD=EF ．∵ AC ，CD ，∴3=BD AC ，3==DF CDAE CD ． ∴ AC CD BD DF =．……………………………………………………4分 ∵ ∠C =90°，∴ 18090BDF C ∠=︒-∠=︒． ∴ ∠C=∠BDF ．∴ △ACD ∽△BDF ．………………5分∴AD ACBF BD =1=∠2． ∴ EF AD BF BF=．∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF ⊥AD ．∴ BF ⊥EF ．…………………………………………………………6分∴ 在Rt △BEF 中，tan BF BEF EF ∠==． ∴ ∠APE =∠BEF =30°．…………………………………………7分解法二：如图11，将CA 平移到DF ，连接AF ，BF ，EF ．………………3分则四边形ACDF 是平行四边形． ∵ ∠C =90°，∴ 四边形ACDF 是矩形，∠AFD =∠CAF = 90°，∠1+∠2=90°．∵ 在Rt △AEF 中，tan 3AE AEAF CD ∠===在Rt △BDF 中，tan 1BD BDDF AC∠==∴ 3130∠=∠=︒．∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =∴ ∠AFD =∠EFB ． …………………4 又∵DF AF BF EF = ∴ △ADF ∽△EBF ． ………………………………………………5分∴ ∠4=∠5．…………………………………………………………6分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，∴ ∠APE =∠3=30°．………………………………………………7分。

北京西城区初三一模数学试题含答案.doc

2011年北京西城区初三一模数学试题（含答案）
参考答案
一、选择题ACAB CCDB
二、填空题9.2(3)y x - 10.8 11.①③ 12.5；5n 三、解答题
13.1
2- 14.－3＜x ≤1
；x = 15.2y x =-+；1AOP S =
17.由根的判别式得22b a =，代入原式化简得2 18.（1）300；60；99；132；9 （2）72°
19.抢险车20km/时，吉普车30km/时。

注意分式方程要检验
20.（1）BN=5；（2）163
(25)922
S =+⨯=
21.（1）连接BO ，证明略；
（2）易证△ABO 为正三角形，于是∠E=∠C=30°，所以△BFE ∽△AFC 由cos ∠BFA=
2
3
BF AF = 设△AOC 面积为S ，因此有239
()824
S ==，解得S=18 22.（1）1:2；121 （2）正三角形、正六边形（3）如图
24.（1）30°；60°
(2)21
82
y x =-+；
（3）5个；22
)3；22(
)3；16()3
25.（1）如图，
E
F
C D
过点E 作EF ⊥AE ，使EF=BD ，构造全等三角形，易证△DCA ≌△AEF （SAS ）从而△AFD 是等腰直角三角形再利用四边形EFDB 是平行四边形得EB ∥FD ，于是∠APE=∠ADF=45°
（2）如图
F
D
C
方法同（1），构造相似，判断含30°的直角三角形，从而得∠APE 是30°。

北京市2011年数学中考模拟试卷及答案

ABCDE 122010~2011学年九年级综合水平质量调研数学试卷 2011.3学校___________________班级_______________姓名________________学号_____________ 考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，25道小题，满分120分，考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校．班级．姓名．学号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.注意事项 1．考生要按规定的要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范. 2．考试结束后，试卷和机读答题卡由监考人一并收回.第一卷（机读卷32分）一选择题本题32分，每小题 4 分1. 4的算术平方根是A ．2B ．±2C ．16D ．±16 2. 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于 A . 90° B . 135° C . 150°D . 270°第2题图3.布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球．．的概率是 A ．13 B ．16 C ．12 D ． 564.某班的9名同学的体重分别是（单位：千克）： 61，59， 70，59，65，67，59， 63，57，这组数据的众数和中位数分别是A ．59，61B ．59，63C ．59，65D ． 57，615.全球可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水、保护水，是我们每一位公民义不容辞的责任．其中数字0.00003用科学记数法表示为 A ．4103-⨯ B ．5103-⨯ C ．4103.0-⨯ D ．5103.0-⨯6.如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成. 现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体. 则下列选择方案中，能够完成任务的为A．模块②，④，⑤B．模块①，③，⑤C．模块①，②，⑤D．模块③，④，⑤一选择题本题32 分，每小题4分7. 如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是A．16π B．36π C．52π D．81π8. 矩形ABCD中，8cm6cmAD AB==，．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：2cm)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的第8题图第7题图注意事项1．第Ⅱ卷包括4道填空题和13道解答题，共8页.答题前要认真审题，看清题目要求，按要求认真作答.2．答题时字迹要工整，画图要清晰，卷面要整洁.3．考生除画图可以用铅笔外，答题必须用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔.第二卷（非机读卷88分）二填空题本题共16分，每小题4分9.若分式2x4x2--的值为0，则x的值为．10. 如图，点A、B、C是半径为6的⊙O上的点，30B∠=︒,则的长为_____________.第10题图11. 如图，在△ABC中，D、E分别AB、AC边上的点，DE∥BC．若AD＝3，DB＝5，DE＝1.2，则BC＝．第11题图12. 如图，在ABC∆中，α=∠A，ABC∠的平分线与ACD∠的平分线交于点1A，得1A∠，则1A∠= ．BCA1∠的平分线与CDA1∠的平分线交于点2A，得2A∠，……，BCA2009∠的平分线与CDA2009∠的平分线交于点2010A，得2010A∠，则2010A∠= ．第12题图ACOABCCAEDB三解答题本题共30分，每小题5 分13. （本小题5分）(31)4sin6027-+-14. （本小题5分）解不等式组31422xx x->-⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．15. （本小题5分）如图，E F、是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE DF∥，求证：AF CE=。

2011年中考数学试题及答案

2011年九年级教学质量检测数学试题注意事项：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题,84分；共120分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷选择题 (共36分)一、选择题 (本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来填入题后的括号内，每小题选对得3分.) 1.下列根式中与18是同类二次根式的是( ). A .321 B .27 C .6 D .32.抛物线y ＝2x 2＋4x －3的顶点坐标是（）.A ．（1，－5）B ．（－1，－5）C ．（－1，－4）D ．（－2，－7） 3.国家游泳中心——“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，其工程占地面积为62828平方米，将62828用科学记数法表示是（保留三个有效数字）（）. A .62.8×103 B .6.28×104 C .6.2828×104 D .0.62828×105 4.数据0，-1，6，1，x 的众数为-1，则这组数据的方差是（）. A ．2B ．534C ．2D ．5265.如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段OM 的长的取值范围是（）. A .3≤OM ≤5 B .4≤OM ≤5 C .3＜OM ＜5 D .4＜OM ＜56.小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为（）. A .21 B .π63C .π93 D .π33第6题图第11题图7.如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC =12，BD =10，AB =m ，那么m 的取值范围是( ).A ．1＜m ＜11B ．2＜m ＜22C ．10＜m ＜12D ．5＜m ＜68.如图，P 1、P 2、P 3是双曲线上的三点．过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形P 1A 1O 、P 2A 2O 、P 3A 3O ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3，则( )． A .S 1<S 2<S 3 B .S 2<S 1<S 3 C .S 1<S 3<S 2 D .S 1=S 2=S 39.直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为（）.A .1x >-B .1x <-C .2x <-D .无法确定10.如图，将A B C △沿D E 折叠，使点A 与B C边的中点F 重合，下列结论中①EF AB ∥且12E F A B =；②BAF C AF ∠=∠；③DE AF 21S ADFE∙=四边形；④2B D F F E C B A C ∠+∠=∠，一定正确的个数是（）. A ．1B ．2C ．3D .411.若关于x 的一元二次方程ax 2+2x -5=0的两根中有且仅有一根在0和1 之间（不含0和1），则a 的取值范围是（）. A .a ＜3 B .a ＞3 C .a ＜-3 D .a ＞-312.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A = 100°，∠C = 30°，则∠DFE 的度数是（）.A .55°B .60°C .65°D .70°DABCO第7题图xb +x第9题图第8题图第12题图第16题图第Ⅱ卷非选择题（共84分）二、填空题（本题共5小题，共15分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．） 13.当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解.14.已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧--≥-0125a ＞x x 无解，则a 的取值范围是 .15.已知关于的一元二次方程012)1(2=-++x x k 有两个不相同的实数根，则k 的取值范围是 .16.如图，梯形ABCD 中，BC AD //，1===AD CD AB ，︒=∠60B直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PD PC +的最小值是 .17.在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝b 2；当a ＜b 时，a ⊕b ＝a ．则当x ＝2时，（1⊕x ）－（3⊕x ）的值为．三、解答题（本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）18.（本题满分8分）据《生活报》报道，有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课表．为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？（3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？图2图1最喜欢的体育活动项目的人数/人育活动项目19.（本题满分9分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题：（1）求y 与x 的关系式；（2）当x 取何值时，y 的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？20.（本题满分9分）经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处，测得∠ACB=68°.（1）求所测之处江的宽度（.48.268tan ,37.068cos ,93.068sin ≈≈≈ ）；（2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.21.（本题满分10分）如图，B D 为圆O 的直径，A B A C =，A D 交B C 于E ，2A E =，4E D =．（1）求证：A B E A D B △∽△，并求A B 的长；（2）延长D B 到F ，使B F B O =，连接F A ，那么直线F A 与⊙O 相切吗？为什么？22.（本题满分10分）荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．（1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来,并求出最低的租车费用．C23.(本题满分11分)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，过D点作DE∥AC 交BC的延长线于E点.（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若AD=3，BC=7，求梯形ABCD的面积.24.（本题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M 经过原点O ，且与x 轴、y轴分别相交于A (-6，0)，B （0，-8）两点．（1）请求出直线AB 的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D ，E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得115PDE ABCS S =△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．数学参考答案一、选择题1.A2.B3.B4.B5.B6.C7.A8.D9.B10.B11.B12.C 二、填空题13.-6 14.a ≥3 15.k ＞-2，且k ≠-1 16.3 17.-318.解：（1）由图1知：4810181050++++=（名）………2分答：该校对50名学生进行了抽样调查．（2）本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人．………………3分x181003650⨯=％％………………………………………….4分∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36％．（3）1(302624)20-++=％％％％ 20020100÷=％（人）…6分8100100016050⨯⨯=％（人）答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．………8分 19.解：⑴ y ＝(x －50)∙ w ＝(x －50) ∙ (－2x ＋240)＝－2x 2＋340x －12000，∴y 与x 的关系式为：y ＝－2x 2＋340x －12000．.......3分 ⑵ y ＝－2x 2＋340x －12000＝－2 (x －85) 2＋2450，∴当x ＝85时，y 的值最大． ……………………………6分 ⑶ 当y ＝2250时，可得方程－2 (x －85 )2＋2450＝2250．解这个方程，得 x 1＝75，x 2＝95．根据题意，x 2＝95不合题意应舍去．∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．…………9分20.解：（1）在BAC Rt ∆中， 68=∠ACB ，∴24848.210068tan =⨯≈⋅= AC AB （米）答：所测之处江的宽度约为248米…………………………………3分（2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即可得分……………9分21.（1）证明：A B A C = ，ABC C ∴=∠∠，C D = ∠∠，ABC D ∴=∠∠．又BAE D AB = ∠∠，ABE AD B ∴△∽△．A B A E A D A B∴=． AB 2=AD ·AE=（AE+ED ）·AE=（2+4）×2=12.AB ∴=． ……………………………………………………5分（2）直线F A 与⊙O 相切．理由如下：连接O A ．BD 为⊙O 的直径，∴∠．BD ∴====1122B F B O B D ∴===⨯=AB = ，BF BO AB ∴==．90OAF ∴= ∠．∴直线F A 与⊙O 相切． ……………………………………10分22.解：（1）设租用一辆甲型汽车的费用是元，租用一辆乙型汽车的费用是元．由题意得解得答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元．……………………………………………………………3分（2）设租用甲型汽车辆，则租用乙型汽车辆．由题意得解得……………………………………………………6分由题意知，为整数，或或共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．方案一的费用是（元）；方案二的费用是（元）；方案三的费用是（元），所以最低运费是4900元．……………9分答：共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．最低运费是4900元．……………………………………………10分 23.证： ⑴∵AD ∥BC ∴AD ∥CE 又∵DE ∥AC∴四边形ACED 是平行四边形……………… 3分 ⑵过D 点作DF ⊥BE 于F 点 ……………………4分∵DE ∥AC ，AC ⊥BD ∴DE ⊥BD ，即∠BDE=90° 由⑴知DE=AC ，CE=AD=3∵四边形ABCD 是等腰梯形∴AC=DB ………………………………………7分 ∴DE=DB ……………………………………8分∴△DBE 是等腰直角三角形，∴△DFB 也是等腰直角三角形 ∴DF=BF=21(7－3)+3=5……………………9分(也可运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)()2553721DF BC)(AD 21S ABCD=⨯+=∙+=梯形……11分注：⑴过对角线交点O 作OF ⊥BC 于F ，延长FO 交AD 于H ，于是OH ⊥AD由△ABC ≌△DCB ，得到△OBC 是等腰直角三角形，OF=21BC=27同理OH=21AD=23，高HF=52327=+⑵过A 作AF ⊥BC 于F ，过D 作DH ⊥BC 于H ，由△AFC ≌△DHB得高AF=FC=21(AD+BC)=5⑶DOA COD BOC AOB ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=梯形(进行计算)24. 解：（1）设直线AB 的函数表达式为(y kx b k =+∵直线AB经过(60)(08)A B --，，，，∴由此可得60,8.k b b -+=⎧⎨=-⎩解得4,38.k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴直线AB的函数表达式为483y x =--． (4)分（2）在R t AO B △中，由勾股定理，得10AB ===，x∵圆M 经过O A B ，，三点，且90AO B ∠=°，AB∴为圆M 的直径，∴半径5M A =，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，M N x ⊥∵，∴由垂径定理，得132A N O N O A ===．在R t A M N △中，4M N ===，541C N M C M N ∴=-=-=，∴顶点C 的坐标为(31)-，，设抛物线的表达式为2(3)1y a x =++，它经过(08)B -，，∴把0x =，8y =-代入上式，得28(03)1a -=++，解得1a =-，∴抛物线的表达式为22(3)168y x x x =-++=---．…………8分（3）如图，连结A C ，B C ，35213521ON MC 21AN MC 21S S S BMC AMC ABC ⨯⨯+⨯⨯=∙+∙=+=∆∆∆ =15在抛物线268y x x =---中，设0y =，则2680x x ---=，解得12x =-，24x =-．D E ∴，的坐标分别是(40)-，，(20)-，， 2D E ∴=；设在抛物线上存在点()P x y ，，使得111511515P D E A B C S S =⨯=△△＝，则1y 221y DE 21S PDE =⨯⨯=∙=∆，1y ∴=±，当1y =时，2681x x ---=，解得123x x ==-，1(31)P ∴-，；当1y =-时，2681x x ---=-，解得13x =-+，23x =--2(3)P ∴-+-1，3(3)P ---1．综上所述，这样的P 点存在，且有三个，1(31)P -，，2(3)P -+-1，3(31)P ---．…………………….12分。

西城区2010 2011度第一学期初三期末数学试题及答案北区

北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学2011.11．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

考生2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

须3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

知一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．．．2??.1. 抛物线）的对称轴为（2x?1y??2??2x??1x??1xx B．直线 D CA．直线．直线．直线，上，若∠C=15°AB为⊙O的直径，点C在⊙O2. 如图，.）则∠BOC =（D．15°C．30°．A60°B．45°×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都3. 如图，在8是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则）.∠ACB的值为（tan112．CB．A． 1 D．22322ky?x??6x?11ya(x?h)?.化成）4．用配方法将的形式为（222x?3)?x?3)y?2?(y?( A ．B．222?3)??2y?(x(y?x?6) ．C．DCAB的三边分别扩大一倍得到△5．如图，将△ABC 111 P点为位似中心的（顶点均在格点上），若它们是以）.点的坐标是（位似图形，则P3)?(4,?3)?3,(?．A． B4)(4)?3,?(?4,?．D C．. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这6x x100?2P?. （元）满足关系：P（件）与每件的销售价种商品每天的销售量200元的利润，根据题意，下面所列方程若商店在试销期间每天销售这种商品获得）.正确的是（2002x)?x(10030)(100(x??2x)?200? A． B ．200?100)?30)(2(x???(30?x)(1002x)200x C．D．12 （共页西城区九年级数学第一学期期末试卷第1 页）AB相切，=30°，⊙O与如图，△OAB中，OA=OB，∠A7. . 两点，连接CD于C，D切点为E，并分别交OA，OB32 ）.的面积等于（若CD 等于，则扇形OCED16248 ．πDC．πππB．． A 3333 O为圆心，，点P在以如图，OA=4，线段OA的中点为B8.也落在.当点QOB为半径的圆上运动，PA的中点为Q .）上时，cos∠OQB的值等于（⊙O1121 B．A．C．D．2433二、填空题（本题共16分，每小题分）4 E，D分别交AC，BC于点，DE9. 如图，在△ABC 中，∥AB . CDE，=2CD=3，则△与△CAB的周长比为若AD3cm. 两圆的半径分别为和4cm，若圆心距为5cm，则这两圆的位置关系为.10(2,0) ，以OA，为半径作⊙A11. 如图，平面直角坐标系xOy中，点O P的坐标为菱形，则点若点P，B都在⊙O上，且四边形AOPB.为00???a?bca4?b2；（2（a ≠012．抛物线）满足条件：1））；（cy?ax?bx?0a?）与（3x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；cc0c????c0ab?a?，其中所有正确结论的序号是；④．②；③34题分，第题每小题～175186分）分，第三、解答题（本题共31132??3sin606tan30???cos45 ．13．计算：20?3axx?4??x有实数根．的方程．若关于14的取值范围；）求（1a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．）若2（aABC°，∠=中，∠△Rt．已知：如图，在15ABCC9060°，=3 AB2=延长线上一点，且CB为，AC=DBD．的长．AD求页第西城区九年级数学第一学期期末试卷2 页）12 （共21,0)(? A．右图为抛物线，的一部分，它经过16cy??x??bx(0,3) 两点．B 1）求抛物线的解析式；（个单位，（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1 求平移后的抛物线的解析式．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B17.的俯角为60°，热气球与高的仰角为45°，看这栋高楼底部C 2 AD楼的水平距离为50m，求这栋楼的高度.1.414（，取 3 1.732）取2.18．对于抛物线3?4x?y?x；，顶点坐标为（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x ……y ……的一元二次方程（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x72的范围内有x＜（t为实数）在＜0??tx?4x?31?2．解，则t的取值范围是5分）四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题，．已知：如图，在△19ABC中，AB=AC= 5，BC= 8E分别为．=∠CBC，AB边上一点，∠ADED，∽△CAD；BDE （1）求证：△BE的长．2）若CD=2，求（，DE所示摆放在直线l上，=2ABCD20．两个长为2，宽为1的矩形和矩形EFGH如图1???90?0??逆时针绕点E）ABCD将矩形绕点D顺时针旋转角（，将矩形EFGH 旋转相同的角度．的DCEC，点到直线=°2C （1）当两个矩形旋转到顶点，F重合时（如图），∠?；°距离等于，=重合部分为正方形时，EFGH3（2）利用图思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形?°．=西城区九年级数学第一学期期末试卷第页）12 （共页321．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于. D=∠BFCF，连接BF，CF，∠点E，交⊙O于点O的切线；）求证：AD是⊙（11.，求AD 的长tan2）若AC=8，B =（ 2．请阅读下面材料：222c??bxy?ax),yA(x),yB(x）上不同的两点，证明直线0，若是抛物线（a ≠0102x?x21?x. 为此抛物线的对称轴 2 有一种方法证明如下：2c??y?axbx)xA(,y)B(x,y ，证明：∵（a 是抛物线≠0）上不同的两点，01022?,?c?ax?bx y ①?110xx ≠. 且∴?12②2,?c?ax?bx y??202220)?x?x?x)?bxa(( .①-②得2211??0?b?(x?x)(x?x)a .∴2211b?x?x?. ∴21ab2c?bx??yax?x?，（a 又∵抛物线≠0）的对称轴为a2xx?21?x. ∴直线为此抛物线的对称轴22c?bxy?ax?)yNM(x,y)(x,，是抛物线a （1）反之，如果≠ 0）上不同的（2121x?x21xx?x时函数值相等为该抛物线的对称轴，那么自变量取两点，直线，122吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；．．2）利用以上结论解答下面问题：（21??bxy?x 求时的函数值相等，已知二次函数时的函数值与= 4x = 2007当x.= 2012时的函数值x12 （共页西城区九年级数学第一学期期末试卷第4 页）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）2?(m?1)x?2)x?m?0(m.（其中m为实数）已知关于23. x的一元二次方程（1）若此方程的一个非零实数根为k，①当k = m时，求m的值；15??2kkm(?) 的关系式；②若记y与m为y，求k1＜m＜2）当2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.（42（其中a ≠c且a ≠0）. 24已知抛物线.c)x??(a?cy?ax（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）a?c，2）若经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为（k?x?y?)?(c,B a 求此抛物线的解析式；（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与y轴的交点为C，若k?y??x1，求点P的坐标；POCtantan?POB??4（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，1n?记它的整数函数值的个数为N，则N关于n的函数关系式为. ?角C顺时针旋转=30°.将其绕直角顶点含30°角的直角三角板ABC中，∠A25. ??，??1200??边与AB所在直线交于点（D，过点90°），得到Rt△且≠C'B'AC'AD作DE∥交边于点E，连接BE. ''BA'CB?= °B（1）如图1，当边经过点时，；'BA'（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；1S S=EB为半径作⊙E，当以点=，ADx，△BDE的面积为S，E为圆心，BC）（3 设=1ABC?3C'A E 时，求AD的长，并判断此时直线的位置关系.与⊙西城区九年级数学第一学期期末试卷第 5 页（共12 页）北京市西城区2010 —2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）1 2 3 4 5 6 7 8 题号CAACBBDA答案二、填空题（本题共16分，每小题4分）3(?1,3)(?1,?3).（每个，相交.10. . 11.2分）9.512.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）230??3sin60?6tan?cos45?13．解：332 2……………………………………………………………3 分?3?)?6?(?32232?2??2212. ……………………………………………………………………………5分??222?4(3?a??4)?4?4a.……………………………………………………1．解：14（1）分∵该方程有实数根，4?4a≥0．…………………………………………………………………2∴分?1．……………………………………………………………………≥3分解得a?1．…………………………………4分2）当a为符合条件的最小整数时，a =（2?4x?4?x0x?x??2．…………………，方程的根为此时方程化为5分213 AC=，90°，∠ABC=60°，Rt15．解：在△ABC中，∠C=AC，BC=1．……………………∴2分2?AB?sin60?1图∵D为CB延长线上一点，BD=2AB ，∴BD=4，CD=5．…………………………………………………………………4分22?27?ACAD?CD．……………………………………………………5分∴(?1,0)(0,3)两点，）∵抛物线经过A，B16．解：（1?1?b?c?0,?……………………………………………………………1分∴?c?3.?b?2,?…………………………………………………………………2分解得?3.c??2．……………………………………3 抛物线的解析式为分∴3?y?x?2x?西城区九年级数学第一学期期末试卷第6 页（共12 页）2(1,4) 的顶点坐标为2）∵抛物线，（3??2y??xx2,3)(?∴平移后的抛物线的顶点坐标为．221x?x????(x?2)4?3?y 5分．…………∴平移后的抛物线的解析式为，BDA=90°，∠BAD=45°17．解：在Rt△ABD中，∠…………………………………………2分∴BD=AD=50(m)．=60°，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD3?50CD?3AD 4分∴(m) ．………………………………35050?136.6?3?50(?1)分(m)=．……5 ∴BC= BD+CD2图．答：这栋楼约高136.6 m(0,3),0),(3,0)(1，顶点坐标为，与y）它与x轴交点的坐标为轴交点的坐标为18．解：（11)(2,?；………………………………………3分）列表：（24 2 3 x 0 1 ……3 0 3 0 -1 y ……分……………………………4 分……………………………5 图象如图3所示．3图8t??1? 6分（3）t的取值范围是．……………………分）4分，其余每小题519四、解答题（本题共分，第20题，AB=AC19．（1）证明：∵分C．……………………………1 ∠B=∠∴，∠CADADB =∠C+∠∵∠ADE+BDE=∠ 4 图，∠C ∠ADE= 分………………………………………………………2∠CAD．∴∠BDE =3分CAD．………………………………………………………∴△BDE∽△ACDB 4分．…………………………………………………………2 （）解：由（1）得?CDBE ，，CD=2= 5AB=AC，BC= 8 ∵6?BC?CDDB?．∴2?CD6DB?．5 ∴分……………………………………………… 2.4?BE??5AC?3 3分；到直线l的距离等于，…………………= 30 °DCE20．解：（1）∠= 60 °，点C?分………………………………………………………………………4（2）= 45 °．，于点EAC1）证明：∵OD⊥21．（90°．=1+∠2∠∴OEA=90°，∠1，，∠BFC=∠D=∵∠∠BFC ．OAD =90°，∠90°2∴∠D +∠=西城区九年级数学第一学期期末试卷第7 页（共12 页）5图∴OA⊥AD于点A．………………………1分∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线．……………………2分解：∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O （2）的弦，AC=8，AC∴．………………………………………………………3分4?AE?EC?21∵，B =，tan∠B=∠C21∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．2∴EF?EC?tanC?2．OE?r?2．的半径为r，则设⊙O222222AE??OAOE42)??(rr?．，即OAE中，由勾股定理得在Rt△解得r =5．……………………………………………………………………4分AE4∴在Rt△OAE中，．??tan?2OE3420∴分………………………5OAD中，．在Rt△2?OA?tan?5??AD?33xx时函数值相等．……………………………………1分22．解：（1）结论：自变量取，122?bx??axcy)y(x,)M(x,yN上不同的两点，，证明：∵为抛物线21122?,c??bx y?ax ①?111xx．且≠由题意得?122 y?ax?bx?c,②??222??22b?x)a(xx)?(x?x)?y?y?a(x??x)b(x?.①-②，得2112112212……………………………………………………………2分x?x2?bx??axcy（a ≠0）的对称轴，∵直线是抛物线21?x2x?xb. ∴21???x22ab ∴.?x??x???b0?x)?(xx)?a(x?yy?y?y.………………∴3分，即21212121（阅卷说明：其他代21a数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而没有用代数方法进行证明的不给分）2?bxx?1y?当x = 4 （2）∵二次函数时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，201121bxxy???.的对称轴为直线由阅读材料可知二次函数∴?x22011b2011?b?，∴ .??222?2011x?x?1y. …………………………………4二次函数的解析式为∴分西城区九年级数学第一学期期末试卷第8 页（共12 页）20112012?(?1)，∵?22x??1时的函数值相等x = 2012的函数值与. 由（1）知，当2?2011?(?1)?1(?1)?20111?，当∵x =时的函数值为∴当x = 2012时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）2?(m?1)x?(m?2)xm?0的实数根，为1）∵k23.解：（2?(m?1)k?m?2)km?0(.※…………………………………………1∴分①当k = m时，∵k为非零实数根，(m?2)m?(m?1)?1?0.，得0，方程※两边都除以m∴m ≠2?3m?2m?0.整理，得解得，. ………………………………………………………2分2m?m?1212?(m?1)x?m?0x(m?2)是关于∵x的一元二次方程，∴m ≠2.∴m= 1.……………………………………………………………………3分（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分）②∵k为原方程的非零实数根，m.…………………4分将方程※两边都除以k，得∴01)??(m?2)k?(m?k1 . 整理，得1??2k?mm(k?)k1 5分.∴……………………………………………4?)y?m(k??2k?5?mk22.………6分（2）解法一：1m(m?2)?2)??3m?6m?1??3(??[?m?1)](?4mm?1当＜m＜2时，m＞0，＜0. 2m?4∴＞0，＞1＞0，Δ＞0.1?3m(m?2)?2)?m(m?31∴当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.……………7分412?(m?1)x(m?2)x?my?的图象，时，函数m＜2 解法二：直接分析＜4∵该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，∴该抛物线必与x轴有两个不同交点. …………………………6分1∴当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.……………7分4222.…………6分解法三：4m16m???3(?1)?m?2)mm1)]m???[(??4(??3?西城区九年级数学第一学期期末试卷第9 页（共12 页）2关于m的图象可知，（如图结合6）4???3(m?1)?137当＜m≤1时，＜≤4；?4164.时，1＜＜m当1＜＜2?1.＞0m＜2时，∴当＜?41.2时，此方程有两个不相等的实数根当＜m＜∴4 …………………………………………7分6图2的方程轴交点的横坐标是关于x）抛物线与x24.解：（1c(a?c)x?y?ax?2）的解.a ≠c（其中a ≠0，0axa?(?c)x?c?c. …………………………………………………………1分解得，1x??x12ac(1,0)，.………………………………2 抛物线与x轴交点的坐标为分∴,0)(a2)c(a?a?c2.的顶点A的坐标为（2）抛物线c?c)xy?ax?(a?),?(a42aa?c ，经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为∵k?x?y?)c(,?B a①2?cac)?a(?,????k ?a24a?c?a?②,???k ?c?? a ?ca?a?c?③2.?cc)?(a?)?a ?c?(?aa?由③得c=0.……………………………………………………………………3分a1?,??k???将其代入①、②得24??.? 0?1?k?解得.2?a?2.……………………………………4所求抛物线的解析式为分∴x?y??2x2（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F.（如图7）112的顶点A的坐标抛物线，)(,xx?2y??222(1,0)(0,1). C的坐标为点B的坐标为，点(m,n).设点P的坐标为2上，轴上方的抛物线点P在x∵xx2?y??2图712＜1，.＜，且∴0m m22n??m??n0?2西城区九年级数学第一学期期末试卷第10 页（共12 页）PEnPFm，∴.?POC?tan?POB??tan?nOEmOF1 ∵，POC?tan?tan?POB422n?m4.∴n2??m分………………………………………………或5（舍去）.解得m=2n，22. ，得将m=2n代入02mn8n??n??2m3?3.（舍去）解得，0?n?n2183?m?2n. ∴433)(, . 的坐标为…………………………………………………………6分∴点P84 分………………………………………………7 （4）N关于n的函数关系式为N=4n .2为正整数）的范围内取n＜（说明：二次函数在的自变量xn≤x1n?x2x2?y??的增大而减小，随x 值，此时y22≤∴，＜y n?2nn?2n?2?2222.，…其中的整数有，n?2n??2n??2n2?2n?1?2n222.n4n)2(?n??N?(?2n2?2n)??60 °；…………………………………………分边经过点25.（1）当B时，1= 'BA'=2；m，点D在AB边上时，（2）猜想：①如图8.=4AB，点D在的延长线上时，m ②如图9（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）??0??90?.）在AB边上（如图8时，点D证明：①当?、的取值范围不扣分）②两种情况没写（阅卷说明：①DE∥，∵''BACECD .∴???CBCA.ACD=，∠∠BCE，由旋转性质可知，CA =CB= ''CBCACECD ∴.?CBCA CBE.……………2分△∴CAD∽△.∠A =∠30°CBE=∴8图CBD=60°，D∵点在AB边上，∠CBE2??CBD?分，即m∴=2. ………………………………………3???12090??.的延长线上（如图在AB9）时，点D当②.∠CBE=30°A =与①同理可得∠??180??CBA?120?CBD?的延长线上，，ABD∵点在CBE?4?CBD? 4m，即=4. ∴……………………………………分.）问用四点共圆方法证明的扣1分）2（阅卷说明：第（BC=1，，A90°中，∠△）解：在（3RtABCACB=，∠=30°（共西城区九年级数学第一学期期末试卷12 页）11 第页9图33?AC. ，，∴AB = 2 ?S ABC 2BEAD. CBE 得由△CAD∽△?BCAC ，=x ∵AD3BEx，. ∴?BEx?313x?AD?2?BD?AB ，，∠DBE=90°.①当点D在AB边上时，AD=x2x3??3x2113x.此时，??S?Sx)?BD??BE?(2BDE 62321.23x2?3x3?时，S = 当?S ABC?66320?x?x1?2 .整理，得10图1?x?x分，即AD 解得=1.…………………521）.CBE（如图1060°，∠BCE=30°=∠此时D为AB中点，∠DCB=.EC = EB∴边上，，点E在∵'CB?'?90?A'CB.EB等于⊙E的半径圆心E到的距离EC ∴CA'C'A 分…………………………………………………6E相切∴直线.与⊙2??xBD .9=x，）DBE=90°.（如图，∠②当点D在AB的延长线上时，AD.??S?S2)?x?BD?BE?(BDE 62322x23x3?113x1. =时，当S ?S ABC?66320??1x?2x 整理，得.23233xx?2???12x?x1.解得，（负值，舍去）212?1+AD7分即.………………………………………………………………??????12090=30°，，而，∠CBE此时∠BCE=.BCE ∠CBE＜∠∴.的半径EBEC小于⊙E的距离＜∴ECEB，即圆心E到CA'C'A分8.∴直线……………………………………………………相交与⊙E西城区九年级数学第一学期期末试卷第12 页（共12 页）。

2011年西城区初三一模试题答案(Word版)

北京市西城区2011年初三一模试卷数学答案及评分标准2011. 5 一、选择题（本题共32分，每小题4分）11题阅卷说明：全对得4分，仅填①或③得2分，其余情况均不得分.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.解：原式=1412+-………………………………………………………4分=12-．…………………………………………………………………………5分14.解：302(1)3xx+>⎧⎨-+⎩，由①得3x>-．………………………………………………………………………1分由②得x≤1．…………………………………………………………………………3分∴原不等式组的解集是3-＜x≤1．………………………………………………4分∵ 31>，∴ 3x =不是该不等式组的解．………………………………………………… 5分 15.解：（1）如图1.设直线l 的解析式为y kx b =+(k ，b 为常数且k ≠0). ∵ 直线l 经过点(0,2)B ，点(1,1)P ，∴ 2, 1.b k b =⎧⎨+=⎩ 解得 1,2.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线l 的解析式为2y x =-+． ……………………………………………2分（2）∵ 直线l 的解析式为2y x =-+，∴ 点A 的坐标为(2,0)．………………………………………………………3分 ∵ 点P 的坐标为(1,1)，∴ 12AOP P S OA y ∆=⨯⨯＝12112⨯⨯=．………………………………………5分16. 证明：如图2.（1）∵ BF 平分ABC ∠，∴ ABF CBF ∠=∠．………………1分在△ABF 与△CBF 中，,,,AB CB ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBF ． ………………………………………………………2分图图∴ AF CF =．………………………………………………………………3分（2）∵ AF CF =，∴ FCA FAC ∠=∠．……………………………………………………… 4分∵ AF ∥DC ， ∴ FAC DCA ∠=∠．∴ FCA DCA ∠=∠，即CA 平分DCF ∠． ………………………………5分 17. 解：由题意，2214202b a b a ∆=-⨯=-=．…………………………………………1分 ∴ 22b a =． ………………………………………………………………………2分∴ 原式222211ab a a b =-++- ……………………………………………………3分2222ab a b a=+- 2222222a a a a a a a⋅==+-．…………………………………………………4分 ∵ 0a ≠，∴ 原式2222a a==．………………………………………………………………5分18. 解：（1）………………………………………………………………………………4分阅卷说明：每空1分．（2）72．………………………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：设抢修车每小时行驶x 千米，则吉普车每小时行驶x 5.1千米．151154 1.5x x-=．………………………………………………………………………2分解得20x =． ………………………………………………………………………3分经检验，20x =是原方程的解，并且符合题意． ………………………………4分 ∴ 1.530x =.答：抢修车每小时行驶20千米，吉普车每小时行驶30千米．………………………5分 20．解：如图3．（1）由题意，点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称，∴AM A M '=，BN B N '=． ………………………………………………1分设BN B N x '==，则9CN x =-． ∵ 正方形ABCD ， ∴ o 90C ∠=．∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '=3，∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =．图。

2011年北京市各区一模数学试题分类解析(16)：复数

十六、复数1（2011西城一模理9）. 在复平面内，复数2i1i-对应的点到原点的距离为__2___. 2（2011西城一模文9）. 若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数a 等于___1 ___. 3（2011东城一模理9）如果2(i)(1i)m m ++是实数,那么实数m = 1- ． 4（2011东城一模文1）已知复数z 满足(1i)2z -=，则z 等于（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 5．（2011朝阳一模理9）复数13i z =+，21i z =-，则12z z 等于 1+2i .6（2011海淀一模理9）．复数3i1i-+= 12i - .7（2011门头沟一模理1）．在复平面内，复数1ii+对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限8（2011石景山一模理2）．若17()2ia bi ab i+=+∈-，R ，i 是虚数单位，则乘积ab 的值是（ C ） A ． 15- B ． 3 C ．3- D ．59（2011朝阳一模文9）．已知i 为虚数单位，则3i1i+-= 12i + .10（2011丰台文6）．程序框图如图所示，若输入a 的值是虚数单位i ，则输出的结果是(A)(A) -1 (B) i -1 (C) 0 (D) - i11（2011海淀一模文9）. 计算21i=+_____1i - _____________.12（2011石景山一模文2）．若17()2ia bi ab i+=+∈-，R ，i 是虚数单位，则乘积ab 的值是（ C ） A ． 15- B ． 3 C ．3- D ．5。

西城区初三数学年月试题北区.doc

北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15° 3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan ∠ACB 的值为（）.A ．1B ．13C ．12 D ． 2 4．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（）.A ．2(3)2y x =++B ．2(3)2y x =--C ．2(6)2y x =--D ．2(3)2y x =-+ 5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-. 若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切，切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于，则扇形OCED 的面积等于（）.A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π 8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，P A 的中点为Q .当点Q 也落在 ⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（）.A ．12B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ，若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 .11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA 为半径作⊙O 若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P 的坐标为 .12．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．计算：26tan 3060cos45︒︒-︒． 14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60AC D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ．求AD 的长．16．右图为抛物线c bx x y ++-=2的一部分，它经过A (1,0)-，B (0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B 的仰角为45°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为50m ，求这栋楼的高度.2取1.414，3 1.732）18．对于抛物线 243y x x =-+.（1）它与x 轴交点的坐标为，与y 轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=（t 为实数）在1-＜x ＜72的范围内有解，则t 的取值范围是．四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8，D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ．（1）求证：△BDE ∽△CAD ；（2）若CD =2，求BE 的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD 和矩形EFGH 如图1所示摆放在直线l 上，DE =2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转α角（090α︒<<︒），将矩形EFGH 绕点E 逆时针旋转相同的角度．（1）当两个矩形旋转到顶点C ，F 重合时（如图2），∠DCE = °，点C 到直线l 的距离等于，α= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD 和矩形EFGH 重合部分为正方形时，α= °．x … …y … …21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC . （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC=8，tan B =12，求AD 的长.22．请阅读下面材料：若10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下：证明：∵ 10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点， 20112022 ,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩ 且 1x ≠2x . ∴221212()()0a x x b x x -+-=.①-②得∴ []1212()()0x x a x x b -++=. ∴ 12bx x a+=-. 又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a=-， ∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ，① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.24. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）. （1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-，求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标；（4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ，则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3）设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.35. 10. 相交. 11.(-，(1,-.（每个2分） 12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．解：26tan 3060cos45︒︒-︒ 26=⨯……………………………………………………………3分 322=- 12=……………………………………………………………………………5分14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分（2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC ，∴ 2sin 60ACAB ==︒，BC =1．……………………2分 ∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分∴ AD =．……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴ 10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩……………………………………………………………1分解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………2分 ∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分（2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)，∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分17．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°，∴ BD =AD =50(m)． …………………………………………2分在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°， ∴ 3503CD AD ==(m) ． ………………………………4分 ∴ BC= BD+CD =50503+50(31)136.6=+≈(m)．……5分答：这栋楼约高136.6 m ．18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)-； ………………………………………3分（2）列表：……………………………4分图象如图3所示． ……………………………5分（3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．……………………………1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ，∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ． ………………………………………………………2分 ∴ △BDE ∽△CAD ． ………………………………………………………3分（2）解：由（1）得DB ACBE CD=．…………………………………………………………4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===．………………………………………………5分 20．解：（1）∠DCE = 60 °，点C 到直线l 的距离等于3，α= 30 °； …………………3分（2）α= 45 °． ………………………………………………………………………4分21．（1）证明：∵ OD ⊥AC 于点E ， ∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°． ∵ ∠D=∠BFC ，∠BFC=∠1， ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．∴ OA ⊥AD 于点A ．………………………1分 ∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2分 x … 0 1 2 3 4 …y … 3 0 -1 0 3 …图4 图3图2图5（2）解：∵ OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC=8，∴ 42ACAE EC ===．………………………………………………………3分 ∵ ∠B =∠C ，tan B =12，∴ 在Rt △CEF 中，∠CEF =90°，tan C =12．∴ tan 2EF EC C =⋅=．设⊙O 的半径为r ，则2OE r =-．在Rt △OAE 中，由勾股定理得 222OA OE AE =+，即 222(2)4r r =-+．解得 r =5．……………………………………………………………………4分∴ 在Rt △OAE 中，4tan 23AE OE ∠==．∴ 在Rt △OAD 中，420tan 2533AD OA =⋅∠=⨯=． ………………………5分22．解：（1）结论：自变量取1x ，2x 时函数值相等． ……………………………………1分证明：∵ 11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线2y ax bx c =++上不同的两点，由题意得 21112222, ,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩且1x ≠2x ． ①-②，得 []221212121212()()()()y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++. ……………………………………………………………2分∵ 直线122x x x +=是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴， ∴ 1222x x bx a+==-. ∴ 12bx x a+=-.∴ []121212()()0y y x x a x x b -=-++=，即12y y =.………………3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵ 二次函数21y x bx =+-当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数21y x bx =+-的对称轴为直线20112x =. ∴ 201122b -=，2011b =-. ∴ 二次函数的解析式为220111y x x =--. …………………………………4分 ∵20112012(1)22+-=，由（1）知，当x = 2012的函数值与1x =-时的函数值相等.∵ 当x =1-时的函数值为2(1)2011(1)12011--⨯--=，∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解：（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※ …………………………………………1分 ① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =. ………………………………………………………2分∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2.∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分） ② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=.…………………4分整理，得 1()21m k k m k+-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.……………………………………………5分（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .………6分当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………………6分 ∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.…………6分结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图6）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4. ∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根…………………………………………7分24.解：（1）抛物线2()y ax a c x c =-++与x 轴交点的横坐标是关于x 的方程ax （其中a ≠ 0，a ≠c ）的解.解得 11x =，2cx a=. ………………………………………………………… 1分 ∴ 抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)，(,0)ca .……………………………… 2分（2）抛物线2()y ax a c x c =-++的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c a a+--.∵ 经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-，22() ,42 , ()().a c a ck a a a c c k a a c a c c a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪∴-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分将其代入①、② 得 1 ,4201.ak k ⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 2a =-.∴ 所求抛物线的解析式为 222y x x =-+.…………………………………… 4分（3）作PE ⊥x 轴于点E ， PF ⊥y 轴于点F .（如图7）抛物线222y x x =-+的顶点A 的坐标11(,)22，点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,1).设点P 的坐标为(,)m n .∵ 点P 在x 轴上方的抛物线222y x x =-+上， ∴ 222n m m =-+，且0＜m ＜1，102n <<. ∴ tan PE n POB OE m ∠==，tan PF mPOC OF n∠==. ∵ 1tan tan 4POB POC ∠=∠， ∴ 224m n =.解得 m =2n ，或2m n =-（舍去）. ………………………………………………5分将m =2n 代入222n m m =-+，得2830n n -=. 解得138n =，20n =（舍去）. ∴ 324m n ==. ∴ 点P 的坐标为33(,)48. …………………………………………………………6分（4）N 关于n 的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分说明：二次函数222y x x =-+的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值，此时y 随x 的增大而减小，∴ 222n n --＜y ≤222n n -+，其中的整数有2221n n --+，2222n n --+，…222n n -+.22(22)(22)4N n n n n n =-+---=.25.（1）当''A B 边经过点B 时，α= 60 °； ………………………………………… 1分（2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4.（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）证明：① 当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）.（阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分）∵ DE ∥''A B ，∴ CD CE CA CB =''. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ，∠ACD=∠BCE . ∴CD CE CA CB =. ∴ △CAD ∽△CBE . ……………2分∴ ∠A =∠CBE=30°. ∵ 点D 在AB 边上，∠CBD=60°，∴ 2CBD CBE ∠=∠，即 m =2. ………………………………………3分② 当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）.与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 的延长线上，180120CBD CBA ∠=︒-∠=︒，∴ 4CBD CBE ∠=∠，即 m =4. ……………………………………4分（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣（3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A =30°，BC =1， ∴ AB = 2 ，AC=ABC S V . 由 △CAD ∽△CBE 得AD BE AC BC =. ∵ AD =x ，∴ 13BE =，3BE x =. ①当点D 在AB 边上时，AD =x ，2BD AB AD x =-=-，∠DBE=90°. 此时，2113323(2)22BDE x x x S S BD BE x -+==⨯=-⨯=V . 当S =13ABC S ∆时，23233x x -+=. 整理，得 2210x x -+=.解得 121x x ==，即AD =1.…………………5分此时D 为AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE .（如图10）∴ EC = EB .∵ ''90A CB ∠=︒，点E 在'CB 边上，∴ 圆心E 到'A C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6分②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，2BD x =-，∠DBE=90°.（如图9）.2113323(2)22BDE x x x S S BD BE x -==⨯=-⨯=V .当S =13ABC S ∆时，23233x x -=.整理，得 2210x x --=. 解得 112x =+，212x =-（负值，舍去）.即1+2AD =.……………………………………………………………… 7分此时∠BCE=α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°，∴ ∠CBE ＜∠BCE .∴ EC ＜EB ，即圆心E 到'A C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相交. ……………………………………………………8分图10。

2011北京西城中考一模数学(word解析)

2011年西城区中考一模数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．2-的相反数为（）．A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 2．上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会．据统计自2010年5月1日开幕至5月31日，累计参观人数约为8030000人．将8030000用科学记数法表示应为（）． A ．480310⨯ B ．580.310⨯ C ．68.0310⨯ D ．70.80310⨯3．以方程组21y x y x =-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点(,)x y 在（）．y xx y =⎧⎨=⎩A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．右图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字和最小是（）．A ．4B ．6C ．7D ．85．有四张形状、大小和质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张(不放回)，接着再随机抽取一张．则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（）．A ．12 B ．14 C ．16 D ．186．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图．则这组数据的众数和中位数分别是（）． A ．7，7 B ．8，7.5 C ．7，7.5 D ．8，67．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，60A ∠=︒，30B ∠=︒，若6AD CD ==，则AB 的长等于（）． A ．9 B ．12 C ．633+ D ．188．如图，点A 在半径为3的⊙O 内，3OA =，P 为⊙O 上一点，当OPA ∠取最大值时，PA 的长等于（）． A ．32 B ．6 C ．32D ．23 1 42 5 36325-=--3233=+325a a a =- 826a a a =⋅二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：269=x y xy y -+ ．10．如图，甲、乙两盏路灯相距20米．一天晚上，当小明从路灯甲走到距路灯乙底部4米处时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部．已知小明的身高为1.6米，那么路灯甲的高为米．11．定义[],,a b c 为函数2y ax bx c =++的特征数，下面给出特征数为[]2,14,21m m m --函数的一些结论：①当12m =时，函数图象的顶点坐标是（12，14-）；②当1m =-时，函数在1x >时，y 随x 增大而减小；③无论m 取何值，函数图象都经过同一个点．其中所有的正确结论为_________．(填写正确结论序号)12．如图1，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为；再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D （如图2），如此进行下去，正方形n n n n A B C D 的面积为．（用含有n 的式子表示，n为正整数）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：102124sin60(3)-+-︒--．14．解不等式组302(1)33x x x+>⎧⎨-+⎩≥，并判断3x =是否为该不等式组的解．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一条直线l 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点(0,2)B ，与正比例函数(0)y mx m =≠的图象相交于点(1,1)P ．（1）求直线l 的解析式；（2）求AOP △的面积．16．如图，在四边形ABCD 中，AB BC =，BF 平分ABC ∠，AF DC ∥，连接AC ，CF ．求证：（1）AF CF =；（2）CA 平分DCF ∠．17．已知关于x 的一元二次方程210(0)2ax bx a ++=≠有两个相等的实数根，求()()()22111ab a b b -++-的值．18．某中学就到校的方式问题对初三年级的所有学生进行了一次调查，并将调查结果制成了表格和扇形统计图，请你根据图表信息完成下列各题：（1）补全下表：（2）在扇形统计图中，“步行”对应的圆心角的度数为 ︒．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．在2011年春运期间，我国南方发生大范围冻雨灾害，导致某地电路出现故障，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米，抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车每小时分别行驶多少千米．20．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，'B 为CD 边上的点，3B C '=．将纸片沿某条直线折叠，使点B 落在点'B 处，点A 的对应点为A '，折痕分别与AD ，BC 边交于点M ，N ．（1）求BN 的长；（2）求四边形ABNM 的面积．初三学生人数步行人数骑车人数乘公交车人数其他方式人数 6021．如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB AD AO ==．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，BEF △的面积为8，且2cos 3BFA ∠=，求ACF △的面积．22．我们约定，若一个三角形（记为1A △）是由另一个三角形（记为A △）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180︒得到的，则称1A △是由A △复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由A △复制出1A △，又由1A △复制出2A △，再由2A △复制出3A △，形成了一个大三角形，记作B △．以下各题中的复制均是由A △开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形（指与A △全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．（1）图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现A B ∽△△，其相似比为_________．在图1的基础上继续复制下去得到C △，若C △的一条边上恰有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则C △中含有______个小三角形；（2）若A △是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是________；（3）请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．抛物线2y ax bx c =++，0a >，0c <，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>；（2）抛物线经过点1(,)2P m ，(1,)Q n ．①判断mn 的符号； ②若抛物线与x 轴的两个交点分别为点1(,0)A x ，点2(,0)B x （点A 在点B 左侧），请说明116x <，2112x <<．24．如图1，平面直角坐标系xOy 中，(23,2)A ，(4,0)B ．将OAB △绕点O 顺时针旋转α角（090α︒<<︒）得到OCD △（O ，A ，B 的对应点分别为O ，C ，D ），将OAB △沿x 轴负方向．．．平移m 个单位得到EFG △（0m >，O ，A ，B 的对应点分别为E ，F ，G ），α，m 的值恰使点C ，D ，F 落在同一反比例函数ky x=(0k ≠)的图象上．（1）AOB ∠= ︒，α= ︒；（2）求经过点A ，B ，F 的抛物线的解析式；（3）若（2）中抛物线的顶点为M ，抛物线与直线EF 的另一个交点为H ，抛物线上的点P 满足以P ，M ，F ，A 为顶点的四边形的面积与四边形MFAH 的面积相等（点P 不与点H 重合），请直接写出满足条件的点P 的个数，并求位于直线EF 上方的点P 的坐标．25．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D ，E 分别为CB ，CA 延长线上的点，BE 与AD 的交点为P ．（1）若BD AC =，AE CD =，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出APE ∠的度数；（2）若3AC BD =，3CD AE =，求APE ∠的度数．2011年西城区中考一模数学试卷答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A C ABC CD B二、填空题（本题共16分，每小题4分）91011 12 ()23y x -8①③5，5n三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式13=234122+-⨯-1=2-．14．解：302(1)33.x x x +>⎧⎨-+⎩，≥由①得3x >-．由②得1x ≤．∴原不等式组的解集是31x -<≤． ∵31>，∴3x =不是该不等式组的解．15．解：（1）设直线l 的解析式为y kx b =+(k ，b 为常数且0k ≠)． ∵直线l 经过点(0,2)B ，点(1,1)P ，∴2,1.b k b =⎧⎨+=⎩ 解得1,2.k b =-⎧⎨=⎩∴直线l 的解析式为2y x =-+．（2）∵直线l 的解析式为2y x =-+， ∴点A 的坐标为(2,0)． ∵点P 的坐标为(1,1)，∴12AOP P S OA y ∆=⨯⨯12112=⨯⨯=．16．证明：（1）∵BF 平分ABC ∠， ∴ABF CBF ∠=∠．在ABF △与CBF △中，AB CB ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF CBF ≅△△． ∴AF CF =．（2）∵AF CF =， ∴FCA FAC ∠=∠． ∵AF DC ∥，∴FAC DCA ∠=∠．∴FCA DCA ∠=∠，即CA 平分DCF ∠．17．解：由题意，2214202b a b a ∆=-⨯=-=．∴22b a =．∴原式222211ab a a b =-++- 2222ab a b a=+- 2222222a a a a a a a ⋅==+-． ∵0a ≠，∴原式2222a a==．18．解：（1）（2）36020%=72︒⨯︒．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：设抢修车每小时行驶x 千米，则吉普车每小时行驶1.5x 千米．151154 1.5x x -=．解得20x =．经检验，20x =是原方程的解，并且符合题意． ∴1.530x =．答：抢修车每小时行驶20千米，吉普车每小时行驶30千米．20．解：（1）由题意，点A 与点'A ，点B 与点B '分别关于直线MN 对称， ∴AM A M '=，BN B N '=．设BN B N x '==，则9CN x =-．初三学生人数步行人数骑车人数乘公交车人数其它方式人数300 60 99 132 9∴o 90C ∠=． ∴222CN B C B N ''+=． ∵3B C '=， ∴222(9)3x x -+=．解得5x =． ∴5BN =．（2）∵正方形ABCD ， ∴AD BC ∥，o 90A ∠=．∵点M ，N 分别在AD ，BC 边上， ∴四边形ABNM 是直角梯形． ∵'5BN B N ==，9BC =， ∴4NC =．∴4sin 15∠=，4tan 13∠=．∵1290∠+∠=︒，2390∠+∠=︒， ∴31∠=∠． ∴4sin 3sin 15∠=∠=．在Rt DB P '△中，∵90 D ∠=︒，6DB DC B C ''=-=，4sin 35DB PB '∠=='， ∴152PB '=． ∵9A B AB ''==， ∴32A P AB PB ''''=-=． ∵43∠=∠， ∴4tan 4tan 33∠=∠=．在Rt A MP '△中，∵90 A A '∠=∠=︒，32A P '=，4tan 43A M A P '∠=='， ∴2A M '=．∴1163()(25)9222ABNM S AM BN AB =+⨯=⨯+⨯=梯形．21．（1）证明：连接BO ． ∵AB AD =， ∴D ABD ∠=∠． ∵AB AO =，∴ABO AOB ∠=∠．又∵在OBD △中，180D DOB ABO ABD ∠+∠+∠+∠=︒， ∴90OBD ∠=︒． ∴BD BO ⊥． ∵点B 在⊙O 上，∴BD 是⊙O 的切线．（2）解：∵C E ∠=∠，CAF EBF ∠=∠， ∴ACF BEF ∽△△． ∵AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上， ∴90ABC ∠=︒．∵在Rt BFA △中，90ABF ∠=︒，2cos 3BF BFA AF ∠==， ∴24()9BEF ACF S BF S AF ∆∆==．又∵8BEF S ∆=， ∴18ACF S ∆=．22．解：（1）1:2，121．（2）正三角形或正六边形．（3）如图．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（1）证明：∵2360a b c ++=，∴12362366b a b c ca a a a ++==-=-． ∵0a >，0c <， ∴0c a<，0ca ->．∴1023b a +>．（2）解：∵抛物线经过点1(,)2P m ，点(1,)Q n ，∴11 ,42 .a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ ①∵2360a b c ++=，0a >，0c <，∴223a b c +=-，223ab c =--． ∴1112111()042424312b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-<． 2(2)033a an a b c a c c c =++=+--+=->．∴0mn <． ②由0a >知抛物线2y ax bx c =++开口向上． ∵0m <，0n >，∴点1(,)2P m 和点(1,)Q n 分别位于x 轴下方和x 轴上方．∵点A ，B 的坐标分别为1(,0)A x ，2(,0)B x （点A 在点B 左侧），∴由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足2112x <<． ∵抛物线的对称轴为直线2b x a =-，由抛物线的对称性可1222x x b a +=-，由（1）知123b a -<， ∴12123x x +<．∴12221332x x <-<-，即116x <．24．解：（1）30AOB ∠=︒，60α=︒．（2）∵(23,2)A ，(4,0)B ，OAB △绕点O 顺时针旋转α角得到OCD △， ∴4OA OB OC OD ====．由（1）得30BOC AOB ∠=︒=∠．∴点C 与点A 关于x 轴对称，点C 的坐标为(23,2)-． ∵点C ，D ，F 落在同一反比例函数ky x=（0k ≠）的图象上， ∴43C C k x y =⋅=-．∵点F 是由点A 沿x 轴负方向平移m 个单位得到， ∴2F y =，43232F x -==-，点F 的坐标为(23,2)-． ∴点F 与点A 关于y 轴对称，可设经过点A ，B ，F 的抛物线的解析式为2y ax c =+．∴2 (23)2, 160.a c a c ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得1 ,2 8.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴所求抛物线的解析式为2182y x =-+．（3）满足条件的点P 的个数为5．抛物线2182y x =-+的顶点为(0,8)M ．∵EFG △是由OAB △沿x 轴负方向平移m 个单位得到， ∴43m FA ==，43E O x x m =-=-，30FEG AOB ∠=∠=︒．∴点E 的坐标为(43,0)-．可得直线EF 的解析式为343y x =+． ∵点H 的横坐标是方程2314832x x +=-+的解，整理，得2323240x x +-=．解得1243,233x x ==-． ∴点H 的坐标为4316(,)33．由抛物线的对称性知符合题意的1P 点的坐标为4316(,)33-．可知AFM △是等边三角形，60MAF ∠=︒．由A ，M 两点的坐标分别为(23,2)A ，(0,8)M ，可得直线AM 的解析式为38y x =-+．过点H 作直线AM 的平行线l ，设其解析式为3y x b =-+（8b ≠）．将点H 的坐标代入上式，得1643333b =-⨯+．解得283b =，直线l 的解析式为2833y x =-+．∵直线l 与抛物线的交点的横坐标是方程22813832x x -+=-+的解．整理，得236380x x -+=．解得1433x =，2233x =． ∴点2P 2322(,)33满足2P AM HAM S S ∆∆=，四边形2P MFA 的面积与四边形MFAH 的面积相等．点2P 关于y 轴的对称点3P 也符合题意，其坐标为3P 2322(,)33-．综上所述，位于直线EF 上方的点P 的坐标分别为1P 4316(,)33-，2P 2322(,)33，3P 2322(,)33-．25．解：（1）45APE ∠=︒．（2）解法一：将AE 平移到DF ，连接BF ，EF ．则四边形AEFD 是平行四边形． ∴AD EF ∥，AD EF =． ∵3AC BD =，3CD AE =，∴3AC BD=，3CD CDAE DF ==．∴AC CDBD DF =． ∵90C ∠=︒，∴18090BDF C ∠=︒-∠=︒．∴C BDF ∠=∠． ∴ACD BDF ∽△△．∴3AD ACBF BD ==，12∠=∠． ∴3EF ADBF BF==． ∵1390∠+∠=︒， ∴2390∠+∠=︒． ∴BF AD ⊥． ∴BF EF ⊥．∴在Rt BEF △中，3tan 3BF BEF EF ∠==． ∴30APE BEF ∠=∠=︒．解法二：将CA 平移到DF ，连接AF ，BF ，EF ．则四边形ACDF 是平行四边形． ∵90C ∠=︒，∴四边形ACDF 是矩形，90AFD CAF ∠=∠=︒，1290∠+∠=︒．∵在Rt AEF △，3tan 33AE AE AF CD ∠===，在Rt BDF △中，3tan 13BD BD DF AC ∠===， ∴3130∠=∠=︒．∴321290∠+∠=∠+∠=︒，即90EFB ∠=︒． ∴AFD EFB ∠=∠．又∵32DF AF BF EF ==， ∴AD F EBF ∽△△． ∴45∠=∠．∵435APE ∠+∠=∠+∠， ∴330APE ∠=∠=︒．2011年西城区中考一模数学试卷答案部分解析一、选择题 1. 【答案】A【解析】2-的相反数是2，故选A ．2. 【答案】C【解析】8030000用科学记数法表示为68.0310⨯，故选C ．3. 【答案】A【解析】方程组21y x y x =-+⎧⎨=-⎩的解为3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点31(,)22在第一象限，故选A ．4. 【答案】B【解析】由图可知，1的对面是5，2的对面是6，3的对面是4，原正方体相对两个面上的数字和最小为6，故选B ．5. 【答案】C【解析】从四张卡片中随机抽取一张(不放回)，接着再随机抽取一张，一共有12种可能，而这四个算式中，只有第二个和第四个计算正确，抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是16，故选C ．6. 【答案】C【解析】这组数据的众数是7，中位数是第10个数和第11个数平均数为7.5，故选C ．7. 【答案】D【解析】过C 作CE AB ⊥于E ，过D 作DF AB ⊥于F ，∵60A ∠=︒，6AD CD ==，∴132AF AD ==，33CE DF ==，又∵30B ∠=︒，∴9BE =，6EF CD ==，36918AB AF EF BE =++=++=，故选D ．8. 【答案】B【解析】依题可知，点A 在以O 为圆心，3为半径的小圆上，当且仅当PA 与小圆相切时，OPA ∠取最大值，即OA PA ⊥．在Rt OAP △中，3OP =，3OA =，由勾股定理可知6AP =，故选B ．二、填空题9. 【答案】()23y x -【解析】分解因式22269=(69)(3)x y xy y y x x y x -+-+=-．故答案为：()23y x -．10. 【答案】8【解析】由平行出相似可知，4 1.6=20h，8h =．故答案为：8．11. 【答案】①③【解析】由题可知，①当12m =时，2y x x =-，该函数图像的顶点坐标是（12，14-）； ②当1m =-时，2253y x x =-+-，对称轴为54x =，函数在54x >时，y 随x 增大而减小；③无论m 取何值，[]22(14)21(1)2(21)y mx m x m x mx m =+-+-=---，函数图象都经过与x 轴一个点(1,0)．故答案为：①③．12. 【答案】5；5n【解析】依题可知，新正方形1111A B C D 的边长为5，所以正方形1111A B C D 的面积为5；新正方形2222A B C D 的边长为2(5)，所以正方形2222A B C D 的面积为25；这是一个等比数列，下一个新正方形的边长始终是前一个正方形边长的5倍，所以下一个新正方形的面积是前一个的5倍，故正方形n n n n A B C D 的面积为5n ．故答案为：5；5n ．。

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北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15° 3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan ∠ACB 的值为（）.A ．1B ．13C ．12 D ． 2 4．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（）.A ．2(3)2y x =++B ．2(3)2y x =--C ．2(6)2y x =--D ．2(3)2y x =-+ 5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-. 若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切，切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于，则扇形OCED 的面积等于（）.A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π 8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，P A 的中点为Q .当点Q 也落在 ⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（）.A ．12B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ，若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 .11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA 为半径作⊙O 若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P 的坐标为 .12．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．计算：26tan 3060cos45︒︒-︒． 14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60AC D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ．求AD 的长．16．右图为抛物线cbxxy++-=2的一部分，它经过A(1,0)-，B(0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．17.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度.取1.414，1.732）18．对于抛物线243y x x=-+.（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程2430x x t-+-=（t为实数）在1-＜x＜72的范围内有解，则t的取值范围是．四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分）19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC= 8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转α角（090α︒<<︒），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE= °，点C到直线l的距离等于，α= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，α= °．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC . （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC=8，tan B =12，求AD 的长.22．请阅读下面材料：若10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下：证明：∵ 10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点， 20112022 ,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩ 且 1x ≠2x . ∴221212()()0a x x b x x -+-=.①-②得∴ []1212()()0x x a x x b -++=. ∴ 12bx x a+=-. 又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a=-， ∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ，① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.24. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）. （1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-，求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标；（4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ，则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3）设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.35. 10. 相交. 11.(-，(1,-.（每个2分） 12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．解：26tan 3060cos45︒︒-︒ 26=⨯……………………………………………………………3分 322=- 12=……………………………………………………………………………5分14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分（2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC ，∴ 2sin 60ACAB ==︒，BC =1．……………………2分 ∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分∴ AD =．……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴ 10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩……………………………………………………………1分解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………2分 ∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分（2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)，∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分17．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°，∴ BD =AD =50(m)． …………………………………………2分在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°， ∴CD =． ………………………………4分 ∴ BC= BD+CD=50+1)136.6=≈(m)．……5分答：这栋楼约高136.6 m ．18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)-； ………………………………………3分（2）列表：……………………………4分图象如图3所示． ……………………………5分（3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．……………………………1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ，∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ． ………………………………………………………2分 ∴ △BDE ∽△CAD ． ………………………………………………………3分（2）解：由（1）得DB ACBE CD=．…………………………………………………………4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===．………………………………………………5分 20．解：（1）∠DCE = 60 °，点C 到直线lα= 30 °； …………………3分（2）α= 45 °． ………………………………………………………………………4分21．（1）证明：∵ OD ⊥AC 于点E ， ∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°． ∵ ∠D=∠BFC ，∠BFC=∠1， ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．∴ OA ⊥AD 于点A ．………………………1分 ∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2分（2）解：∵ OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC=8，∴ 42ACAE EC ===．………………………………………………………3分 ∵ ∠B =∠C ，tan B =12，∴ 在Rt △CEF 中，∠CEF =90°，tan C =12．∴ tan 2EF EC C =⋅=．设⊙O 的半径为r ，则2OE r =-．在Rt △OAE 中，由勾股定理得 222OA OE AE =+，即 222(2)4r r =-+．解得 r =5．……………………………………………………………………4分∴ 在Rt △OAE 中，4tan 23AE OE ∠==．∴ 在Rt △OAD 中，420tan 2533AD OA =⋅∠=⨯=． ………………………5分22．解：（1）结论：自变量取1x ，2x 时函数值相等． ……………………………………1分证明：∵ 11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线2y ax bx c =++上不同的两点，由题意得 21112222, ,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩且1x ≠2x ． ①-②，得 []221212121212()()()()y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++. ……………………………………………………………2分∵ 直线122x x x +=是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴， ∴ 1222x x bx a+==-. ∴ 12bx x a+=-.∴ []121212()()0y y x x a x x b -=-++=，即12y y =.………………3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵ 二次函数21y x bx =+-当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数21y x bx =+-的对称轴为直线20112x =. ∴ 201122b -=，2011b =-. ∴ 二次函数的解析式为220111y x x =--. …………………………………4分 ∵20112012(1)22+-=，由（1）知，当x = 2012的函数值与1x =-时的函数值相等.∵ 当x =1-时的函数值为2(1)2011(1)12011--⨯--=，∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解：（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※ …………………………………………1分 ① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =. ………………………………………………………2分∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2.∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分） ② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=.…………………4分整理，得 1()21m k k m k+-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.……………………………………………5分（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .………6分当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………………6分 ∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.…………6分结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图6）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4. ∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根…………………………………………7分24.解：（1）抛物线2()y ax a c x c =-++与x 轴交点的横坐标是关于x 的方程ax （其中a ≠ 0，a ≠c ）的解.解得 11x =，2cx a=. ………………………………………………………… 1分 ∴ 抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)，(,0)ca .……………………………… 2分（2）抛物线2()y ax a c x c =-++的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c a a+--.∵ 经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-，22() ,42 , ()().a c a ck a a a c c k a a c a c c a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪∴-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分将其代入①、② 得 1 ,4201.ak k ⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 2a =-.∴ 所求抛物线的解析式为 222y x x =-+.…………………………………… 4分（3）作PE ⊥x 轴于点E ， PF ⊥y 轴于点F .（如图7）抛物线222y x x =-+的顶点A 的坐标11(,)22，点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,1).设点P 的坐标为(,)m n .∵ 点P 在x 轴上方的抛物线222y x x =-+上， ∴ 222n m m =-+，且0＜m ＜1，102n <<. ∴ tan PE n POB OE m ∠==，tan PF mPOC OF n∠==. ∵ 1tan tan 4POB POC ∠=∠， ∴ 224m n =.解得 m =2n ，或2m n =-（舍去）. ………………………………………………5分将m =2n 代入222n m m =-+，得2830n n -=. 解得138n =，20n =（舍去）. ∴ 324m n ==. ∴ 点P 的坐标为33(,)48. …………………………………………………………6分（4）N 关于n 的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分说明：二次函数222y x x =-+的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值，此时y 随x 的增大而减小，∴ 222n n --＜y ≤222n n -+，其中的整数有2221n n --+，2222n n --+，…222n n -+.22(22)(22)4N n n n n n =-+---=.25.（1）当''A B 边经过点B 时，α= 60 °； ………………………………………… 1分（2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4.（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）证明：① 当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）.（阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分）∵ DE ∥''A B ，∴ CD CE CA CB =''. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ，∠ACD=∠BCE . ∴CD CE CA CB =. ∴ △CAD ∽△CBE . ……………2分∴ ∠A =∠CBE=30°. ∵ 点D 在AB 边上，∠CBD=60°，∴ 2CBD CBE ∠=∠，即 m =2. ………………………………………3分② 当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）.与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 的延长线上，180120CBD CBA ∠=︒-∠=︒，∴ 4CBD CBE ∠=∠，即 m =4. ……………………………………4分（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣（3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A =30°，BC =1， ∴ AB = 2 ，AC =ABC S. 由 △CAD ∽△CBE 得AD BE AC BC =. ∵ AD =x ，∴1BE =，BE =. ①当点D 在AB 边上时，AD =x ，2BD AB AD x =-=-，∠DBE=90°.此时，11(2)22BDE S S BD BE x ==⨯=-=. 当S =13ABC S ∆=. 整理，得 2210x x -+=.解得 121x x ==，即AD =1.…………………5分此时D 为AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE .（如图10） ∴ EC = EB .∵ ''90A CB ∠=︒，点E 在'CB 边上，∴ 圆心E 到'A C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6分 ②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，2BD x =-，∠DBE=90°.（如图9）.11(2)22BDE S S BD BE x ==⨯=-. 当S =13ABC S ∆=. 整理，得 2210x x --=.解得11x =+21x =.即AD =……………………………………………………………… 7分此时∠BCE=α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°，∴ ∠CBE ＜∠BCE .∴ EC ＜EB ，即圆心E 到'A C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相交. ……………………………………………………8分。

西城一模试题试卷

北京市西城区2011年初三一模试卷化学2011.5可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S32Cl 35.5 Ca 40 Fe 56 Cu 64 Zn 65一、选择题（每小题只有一个选项符合题意。

共25个小题，每小题1分，共25分。

）1．空气成分中，体积分数约占78%的是A．氧气B．氮气C．二氧化碳D．稀有气体2．日常生活中的下列变化，属于化学变化的是A．干冰升华B．铁丝弯曲C．西瓜榨汁D．食物变质3．下列物质中，属于纯净物的是A．生铁B．洁净的空气C．蒸馏水D．澄清石灰水4．生活中常见的下列物质，属于溶液的是A．蔗糖水B．牛奶C．泥水D．花生油5．下列燃料燃烧后，产物对环境没有污染的是A．汽油B．氢气C．煤D．柴油6．下列物质在氧气中燃烧，火星四射，生成黑色固体的是A．木炭B．镁条C．红磷D．铁丝7．人体中缺少某种元素可能导致骨质疏松，该元素是A．铁B．锌C．钙D．碘氧气用途的是8．下列不属于．．．A．气焊B．灭火C．潜水D．急救9．下列物质中，能作钾肥的是A．尿素[ CO(NH2)2 ] B．氨水[ NH3•H2O]C．氯化钾[ KCl] D．磷矿粉[ Ca3(PO4)2 ]10．水果散发出诱人的香味，你能闻到香味的原因是A．分子在不断运动B．分子的质量很小C．分子之间有间隔D．分子的体积很小11．下图所示的化学实验基本操作中，正确的是A．倾倒液体B．点燃酒精灯C．加热液体D．过滤12．下列物质的化学式中，书写正确的是A．氯化铁FeCl2B．氮气N2C．氧化镁MgO2D．氯化锌ZnCl的是13．下列关于水的叙述错误．．A．自然界中的水都是混合物B．工业废水可直接排放C．水是生命活动不可缺少的物质D．肥皂水可以区分软水和硬水14．常温下，一些物质的pH如下，其中显酸性的物质是A．苹果汁pH=3 B．鸡蛋清pH=8C．牙膏pH=9 D．草木灰水pH=11的是15．下列做法错误．．A．活性炭可除去冰箱中的异味B．氢氧化钙可改良酸性土壤C．甲醛水溶液可用于浸泡水产品D．在冰雪上撒氯化钠可以使冰雪尽快融化16．小东发现野营篝火的火焰很小，便将木柴架空了一些，他这样做主要是为了A．使木柴与空气充分接触B．升高木柴的温度C．降低木柴的着火点D．方便添加木柴17．只用一种试剂经过一步操作便可鉴别HCl、NaOH和NaCl三种溶液，这种试剂是A. 碳酸钠溶液B. 稀硫酸C. 石蕊试液D. 石灰水的是18．下列有关环境和能源的说法错误．．A．使用乙醇汽油可以节约石油资源B．酸雨对农作物、建筑物等有破坏作用C．煤、石油、天然气等都是化石燃料D．为减少白色污染可将废弃塑料就地焚烧19．下列除杂方法正确的是A．用硫酸铜溶液除去铁粉中混有的铜粉B．用碳酸钙除去氯化钙溶液中混有的稀盐酸C ．用稀硫酸除去氯化钠中混有的碳酸钠D ．用点燃方法除去二氧化碳中混有的一氧化碳20．乙酰水杨酸（化学式为C 9H 8O 4）也叫阿司匹林，具有解热镇痛作用。

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北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15° 3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan ∠ACB 的值为（）.A ．1B ．13 C ．12D ．24．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（）. A ．2(3)2y x =++ B ．2(3)2y x =-- C ．2(6)2y x =-- D ．2(3)2y x =-+ 5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-. 若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切，切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于，则扇形OCED 的面积等于（）. A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，P A 的中点为Q .当点Q 也落在 ⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（）. A ．12B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ，若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 .11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA 为半径作⊙O 若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P 的坐标为 .12．抛物线2yax bx c=++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43c c a <<，其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．计算：26tan 3060cos 45︒-︒-︒． 14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60AC D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ．求AD 的长．16．右图为抛物线cbxxy++-=2的一部分，它经过A(1,0)-，B(0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．17.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度.取1.414，取1.732）18．对于抛物线243y x x=-+.（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程2430x x t-+-=（t为实数）在1-＜x＜72的范围内有解，则t的取值范围是．四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分）19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC= 8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转α角（090α︒<<︒），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE= °，点C到直线l的距离等于，α= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，α= °．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC . （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC=8，tan B =12，求AD 的长.22．请阅读下面材料：若10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线122x x x +=为此抛物线的对称轴.有一种方法证明如下：证明：∵ 10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，∴ 2011222 ,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩且 1x ≠2x . ①-②得 221212()()0a x x b x x -+-=.∴ []1212()()0x x a x x b -++=. ∴ 12b x x a+=-.又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a=-，∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴.（1）反之，如果11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ，① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.24. 已知抛物线2()y ax a c x c=-++（其中a ≠ c 且a ≠0）.（1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A 的直线yx k=-+与此抛物线的另一个交点为(,)a c B c a+-，求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线yx k=-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4PO B PO C∠=∠，求点P 的坐标；（4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ，则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'C B 边于点E ，连接BE .（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3）设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13A B C S ∆时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2011.19.35.10. 相交. 11. (-，(1,-.（每个2分）12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分） 13．解： 26tan 3060cos 45︒-︒-︒ 26322=⨯--……………………………………………………………3分3222=--122=-. ……………………………………………………………………………5分14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分（2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC∴2sin 60AC AB ==︒，BC =1．……………………2分∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分∴ AD ==．……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩ ……………………………………………………………1分解得 2, 3.b c =⎧⎨=⎩ …………………………………………………………………2分∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分（2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)， ∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分17．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°，∴ BD =AD =50(m)． …………………………………………2分在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°， ∴CD ==． ………………………………4分 ∴ BC= BD+CD=50+1)136.6=≈(m)．……5分答：这栋楼约高136.6 m ．18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)-； ………………………………………3分（2）列表：……………………………4分图象如图3所示． ……………………………5分（3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．……………………………1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ，∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ． ………………………………………………………2分 ∴ △BDE ∽△CAD ． ………………………………………………………3分（2）解：由（1）得D B AC BEC D=．…………………………………………………………4分∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6D B BC C D =-=． ∴62 2.45D B C D BE AC⨯⨯===． ………………………………………………5分20．解：（1）∠DCE = 60 °，点C 到直线lα= 30 °； …………………3分（2）α= 45 °． ………………………………………………………………………4分21．（1）证明：∵ OD ⊥AC 于点E ， ∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．∵ ∠D=∠BFC ，∠BFC=∠1， ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．∴ OA ⊥AD 于点A ．………………………1分 ∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2分（2）解：∵ OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC=8，∴ 42AC AEEC ===．………………………………………………………3分∵ ∠B =∠C ，tan B =12，∴ 在Rt △CEF 中，∠CEF =90°，tan C =12．∴ tan 2EFEC C =⋅=．设⊙O 的半径为r ，则2O E r =-．在Rt △OAE 中，由勾股定理得 222OA OE AE =+，即 222(2)4r r =-+．解得 r =5．……………………………………………………………………4分∴ 在Rt △OAE 中，4tan 23AE O E∠==．∴ 在Rt △OAD 中，420tan 2533ADO A =⋅∠=⨯=． ………………………5分22．解：（1）结论：自变量取1x ，2x 时函数值相等． ……………………………………1分证明：∵ 11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线2y ax bx c =++上不同的两点，由题意得21112222,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩1x ≠2x ．①-②，得 []221212121212()()()()y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++.……………………………………………………………2分∵ 直线122x x x +=是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴，∴ 1222x x bx a+==-.∴12b x x a+=-.∴ []121212()()0y y x x a x x b -=-++=，即12y y =.………………3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵ 二次函数21y x bx =+-当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数21y x bx =+-的对称轴为直线20112x=.∴ 201122b -=，2011b =-.∴ 二次函数的解析式为220111y x x =--. …………………………………4分 ∵20112012(1)22+-=，由（1）知，当x = 2012的函数值与1x =-时的函数值相等. ∵ 当x =1-时的函数值为2(1)2011(1)12011--⨯--=，∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解：（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※ …………………………………………1分 ① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =. ………………………………………………………2分∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2.∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分） ② ∵ k 为原方程的非零实数根， ∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0m m k m k ---+=.…………………4分整理，得 1()21m k k m k+-=-.∴1()254y m k k m k=+-+=+.……………………………………………5分（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+.………6分当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………………6分∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.…………6分结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图6）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根 …………………………………………7分24.解：（1）抛物线2()yax a c x c=-++与x 轴交点的横坐标是关于x 2()0ax a c x c -++=（其中a ≠ 0，a ≠c ）的解.解得11x =，2cx a=. ………………………………………………………… 1分∴ 抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)，(,0)c a .……………………………… 2分（2）抛物线2()yax a c x c=-++的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c aa+--.∵ 经过此抛物线顶点A 的直线y x k=-+与此抛物线的另一个交点为(,)a c B c a+-，22() ,42 , ()().a c a ck a aa c c k a a c a c c a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪∴-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分将其代入①、② 得 1 ,42 01.a k k ⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩解得2a =-.∴ 所求抛物线的解析式为 222y x x=-+.…………………………………… 4分（3）作PE ⊥x 轴于点E ， PF ⊥y 轴于点F .（如图7）抛物线222yx x=-+的顶点A 的坐标11(,)22，点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,1). 设点P 的坐标为(,)m n .∵ 点P 在x 轴上方的抛物线222y x x=-+上， ∴ 222n m m=-+，且0＜m ＜1，102n <<.∴ tan P E n P O B O Em∠==，tan PF m PO CO Fn∠==.∵1tan tan 4PO B PO C∠=∠，∴ 224m n =.解得 m =2n ，或2m n =-（舍去）. ………………………………………………5分将m =2n 代入222n m m =-+，得2830n n -=. 解得138n =，2n =（舍去）.∴ 324m n ==.∴ 点P 的坐标为33(,)48. …………………………………………………………6分（4）N 关于n 的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分说明：二次函数222yx x=-+的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值，此时y 随x 的增大而减小， ∴222n n --＜y ≤222n n -+，其中的整数有2221n n --+，2222n n --+， (2)22n n -+.22(22)(22)4N n n n n n=-+---=.25.（1）当''A B 边经过点B 时，α= 60 °； ………………………………………… 1分（2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4. （阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）证明：① 当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）.（阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分） ∵ DE ∥''A B ， ∴C D C E C A C B =''.由旋转性质可知，CA ='C A ，CB ='C B ，∠ACD=∠BCE .∴C D C E C AC B=.∴ △CAD ∽△CBE . ……………2分 ∴ ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 边上，∠CBD=60°， ∴ 2C BD C BE ∠=∠，即 m =2. ………………………………………3分 ② 当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）.与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 的延长线上，180120C BD C BA ∠=︒-∠=︒， ∴ 4C BD C BE ∠=∠，即 m =4. ……………………………………4分（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣（3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A =30°，BC =1， ∴ AB = 2 ，AC =2A B CS =.由 △CAD ∽△CBE 得 AD BE ACBC=.∵ AD =x ， ∴1B E =，3B Ex=.①当点D 在AB 边上时，AD =x ，2BD AB AD x =-=-，∠DBE=90°. 此时，11(2)2236BDE SS BD BE x ==⨯=-=.当S =13A B CS ∆66=.整理，得 2210x x -+=.解得 121x x ==，即AD =1.…………………5分此时D 为AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE .（如图10）∴ EC = EB .∵ ''90A CB ∠=︒，点E 在'C B 边上，∴ 圆心E 到'A C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6分 ②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，2BD x =-，∠DBE=90°.（如图9）.11(2)2236BD E S S BD BE x ==⨯=-=.当S =13A B CS ∆66=.整理，得 2210x x --=.解得 11x =+，21x =-（负值，舍去）.即AD =……………………………………………………………… 7分此时∠BCE=α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°， ∴ ∠CBE ＜∠BCE .∴ EC ＜EB ，即圆心E 到'A C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相交. ……………………………………………………8分。