【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-1)课时作业 第1章 3.3 常用逻辑用语]
《步步高 学案导学设计》 高中数学北师大版选修22【配套备课资源】第1章 2(一)
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§2（一）
问题2 证明过程有何特点？
答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最
本 终把要证明的结论变成一个显然成立的条件．
课
时 栏
小结 分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻
目
开 求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为
关
判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为
课 时
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
栏
目 开
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
关
小结 综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定
义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所
要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．
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从而a＝c，所以A＝C.
⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝π3，所以△ABC为等边三角形．
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§2（一）
小结 综合法的证明步骤如下：
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合
本
课 时
理选择相关定义、定理等；
栏 目
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证
开
关 明过程．
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§2（一）
跟踪训练1 在△ABC中，AACB＝ccooss BC，证明：B＝C.
本 课
证明
时
在△ABC中，由正弦定理及已知得ssiinn
CB＝ccooss
B C.
栏
目 于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin(B－C)＝0，
高二数学选修2-1全套导学案
试试：1. 分别用平行四边形法则和三
1
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
2
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
3
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
4
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
5
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
6
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
C 、
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
11
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》
14
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第1章 1.1
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1.1
猜想：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和． (2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能 导电． 回答 ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？
本 课 ②其结论一定正确吗？ 时 栏 答 ①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称 目 开 为归纳推理) 关
时 栏 要涉及某固定图形的个数，所以可以转化成数列问题来求解， 目 开 关 也可由图形的变化规律入手，求解．
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跟踪训练 2 在平面内观察： 凸四边形有 2 条对角线， 凸五边形有 5 条对角线， 凸六边形有 9 条对角线，
本 „ 课 由此猜想凸 n(n≥4 且 n∈N*)边形有几条对角线？ 时 栏 目 解 凸四边形有 2 条对角线， 开 凸五边形有 5 条对角线，比凸四边形多 3 条， 关
本 课 时 栏 目 开 关
堆只有一层，就一个球；第 2,3,4，„堆最底层(第一层)分别 按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒 放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f(n)表 示第 n 堆的乒乓球总数，则 f(3)＝______；f(n)＝______(答 案用含 n 的代数式表示)．
1.1
凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条， „„ 于是猜想凸 n 边形比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线．因此凸 n 1 边形的对角线条数为 2＋3＋4＋5＋„＋(n－2)＝2n(n－3)(n≥4 且 n∈N*)．
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1.1
本 课 时 栏 目 开 关
探究点四 归纳推理在算式问题中的应用 例 3 观察下列等式，并从中归纳出一般法则． (1)1＝12， 1＋3＝22， 1＋3＋5＝32， 1＋3＋5＋7＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝52， „„ (2)1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， „„
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第3章 1.2
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1.2
结论 问题1中点d叫作函数y＝f(x)的极小值点，f(d)叫作函数y
本 课 ＝f(x)的极小值；点e叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫作函数 时 栏 y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值 目 开 关 和极小值统称为极值．
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2．极小值点与极小值：如图，在包含x0 的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任
本 课 的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的 时 栏 极小值点 ，其函数值f(x0)为函数的 极小值 ． 目 开 关 3．如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)
何一点的函数值 都大于或等于 x0点
解析
1 A中f′(x)＝－x2，令f′(x)＝0无解，
∴A中函数无极值． B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0. 当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0. ∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1. C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.
答 可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定 是极值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0) ＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同． 例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当 x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
步步高高中数学 步步高选修2-1 第二章 2.2.2(二)
2．2.2 椭圆的简单几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．知识点一 点与椭圆的位置关系思考 点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)有几种位置关系？答案 点P 与椭圆有三种位置关系：在椭圆外、在椭圆内、在椭圆上．梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程梳理 (1)将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，将y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 代入上式，得AB ＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，所以AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1·x 2均可由根与系数的关系得到．(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交.类型一 直线与椭圆的位置关系例1 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交． (2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点． (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点． (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1 (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33答案 (1)C (2)C解析 (1)因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点． (2)把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.类型二 直线与椭圆的相交弦问题例2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ (x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)方法一 设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系． 跟踪训练2 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练3 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，求|PM →|的最小值． 解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心， 1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1答案 A解析 由题意知a 24＋12＜1，解得－2＜a ＜ 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交 答案 C解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B解析 椭圆的右焦点为F (1,0)，由点到直线的距离公式得d ＝33＋1＝32.选B. 4．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3 B.11 C ．2 2 D.10答案 D解析 设与直线x ＋2y －2＝0平行的直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得，(－2y －m )2＋4y 2－16＝0，即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0得2y 2＋my －4＋m 24＝0.Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫m24－4＝0, 即－m 2＋32＝0， ∴m ＝±4 2.∴两直线间距离最大是当m ＝42时， d max ＝|2＋42|5＝10. 5．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB |＝________.答案423解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1， 解得A ，B 两个不同的点的坐标分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－43，－13，故|AB |＝ 169＋169＝4 23.(1)点P (x 0，y 0)和椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的关系①P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；②P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；③P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.(2)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a，称为通径．(3)如图，P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为b 2·tan θ2.(4)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0)有相同的离心率．一、选择题1．线段|AB |＝4，N 为AB 的中点，动点P 满足条件|P A |＋|PB |＝6，当P 点在同一平面内运动时，|PN |的最大值M ，最小值m 分别是( ) A ．M ＝4，m ＝ 3 B ．M ＝3，m ＝ 5 C ．M ＝5，m ＝ 5 D ．M ＝3，m ＝ 3答案 B解析 由|P A |＋|PB |＝6>|AB |＝4，∴P 的轨迹是以A 、B 为焦点，N 为中心的椭圆． 则M ＝|PN |max ＝a ＝3，m ＝|PN |min ＝b ＝a 2－c 2＝9－4＝ 5.2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 答案 C解析 把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8答案 D解析 显然m >0且m ≠4， 当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2； 当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8. 4．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 为( ) A ．(－2,0) B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)答案 D解析 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2， 即P (0，－1)或(0,1)时，取“＝”．5．已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1 B. 2 C.32 D. 3答案 D解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 6．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，c >0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．[12，1)B ．(0，12]C ．[22，1) D ．(0，22] 答案 B解析 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部， ∴只需⎩⎪⎨⎪⎧2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12.7．已知椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM 的斜率为2，则nm 的值为( )A.22 B.12C. 2 D ．2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)， 由题意可得y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 0x 0＝2，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，①因为A ，B 在椭圆上，所以mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1，两式相减可得m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.② 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)，即－1＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)，所以－1＝－m n ·22，即n m ＝22.二、填空题8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点， 所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．10．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2. 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0， 由此解得k ＝23或k ＝38. 三、解答题11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)方法一 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .方法二 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2. 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1， 即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2.故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，则x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2， 则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k 1＋3k 2， 所以AB 的中点D 的坐标为(6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2)， 因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22＝1， 解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3， 因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以F 2M →·F 2N →＝0.即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0，所以4－x 23－y 23＝0， 所以4－2(9k 2＋1)1＋3k 2＝0.解得k ＝±33. 故直线l 的方程为y ＝±33(x －2)． 13．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程． 解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)， 所以1a 2＋94b2＝1.① 又因为离心率为12，所以c a ＝12， 所以b 2a 2＝34.② 解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线的倾斜角为π2时， A (－1，32)，B (－1，－32)， 2ABF S ＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227. 当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)， 代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3， x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以2ABF S＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2| ＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝|k | (－8k 24k 2＋3)2－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227， 所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1(k 2＝－1817舍去)， 所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。
《步步高 学案导学设计》 高中数学北师大版选修23【配套备课资源】第一章 2.(二)
§2(二)
•11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/132021/9/132021/9/13Sep-2113-Sep-21
•12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/132021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021
开 关
先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．
研一研·题型解法、解题更高效
§2(二)
跟踪训练 2 五个学生和一个老师站成一排照相，问老师不排
在两端的排法有多少种？
解 方法一 (先满足特殊位置)
本 由于排头和排尾两个位置有限制要求，因此先从五个学生中选
课 时
出两个坐在排头和排尾，有 A52种方法，余下的四人可任意站，
A31＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15，
本 即一共可以表示 15 种不同的信号．
课 时
(2)由分步乘法计数原理，分配方案种数共有
栏
目 开
N＝A44·A44＝576.
关 即共有 576 种不同的分配方案．
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§2(二)
题型二 元素“在”与“不在”问题
例 2 用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字
开 关
因此符合条件的三位数的个数是 A130－A29＝648.
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§2(二)
小结 解决排列应用题，常用的方法有直接法和间接法．
本 排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排
课 时
列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某
步步高高中数学 步步高选修2-1 第二章 2.2.1(一)
2．2.1椭圆及其标准方程(一)学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．思考2在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否为椭圆？答案笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长．绳长大于两图钉间的距离．若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆．若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆．梳理(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在知识点二思考 若两定点A 、B 间的距离为6，动点P 到两定点的距离之和为10，如何求出点P 的轨迹方程？答案 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)．设P (x ，y )，依题意得|P A |＋|PB |＝10, 所以(x －3)2＋y 2＋(x ＋3)2＋y 2＝10，即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.梳理 (1)标准方程的两种形式形式一：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，其中b 2＝a 2－c 2.形式二：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，表示中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程，其中b 2＝a 2－c 2.(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系b 2＝a 2－c 2类型一 椭圆定义的应用例1 点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹．解 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3,0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆． 反思与感悟 椭圆定义的双向运用(1)判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆．(2)求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a .跟踪训练1 (1)已知A (－5,0)，B (5,0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．点(2)已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .则动点P 的轨迹E 为____________． 答案 (1)C (2)以A ，F 为焦点的椭圆 解析 (1)因为|AC |＋|BC |＝10＝|AB |， 所以点C 的轨迹是线段AB ，故选C.(2)由题意得|P A |＝|PB |.所以|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以A ，F 为焦点的椭圆．类型二 求椭圆的标准方程例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－12)的椭圆的标准方程．解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆标准方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (13)2a 2＋(13)2b 2＝1，0＋(－12)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为： y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(13)2a 2＋(13)2b 2＝1，(－12)2a 2＋0＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故标准方程为y 214＋x 215＝1.反思与感悟 求椭圆的标准方程的方法：(1)定义法：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值．(2)待定系数法：①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆方程一定是标准形式，就可以利用待定系数法先建立方程，然后依照题设条件，计算出方程中a ，b 的值，从而确定方程．②当不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常应进行分类讨论，但计算较复杂，此时，可设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必再考虑焦点的位置，用待定系数法结合题目给出的条件求出m ，n 的值即可．跟踪训练2 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程． 解 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝253，由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5. 即a ＝ 5.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴． 在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609，∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.类型三 椭圆中的焦点三角形问题例3 已知点P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2分别是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．解 由椭圆方程y 25＋x 24＝1可得a ＝5，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝1.又|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2 ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°， ∴4＝(25)2－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)． ∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－4 3. 反思与感悟 由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，焦点三角形常和椭圆的定义、正(余)弦定理、内角和定理及面积公式等综合考查．跟踪训练3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积． 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|. 从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4. 解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．直线C ．射线D ．圆答案 A解析 连接FP ，OF ，MF ，如图，由题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线， ∴|MP |＝|PF |，∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)． 又|MO |>|FO |，∴根据椭圆的定义可推断出点P 的轨迹是以F ，O 两点为焦点的椭圆．2．已知方程(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．2<m <72B.72<m <5 C ．2<m <5 D ．以上都不正确答案 A解析 原方程可化简为x 285－m ＋y 28m －2＝1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧85－m <8m －2，85－m >0，8m －2>0，解得2<m <72.3．已知|AB |＝25，M 是线段AB 的中点，点P 在平面内运动且|P A |＋|PB |＝6，则|PM |的最大值和最小值分别是( )A ．3， 5B ．3,2C ．3， 3D ．4,2 答案 B解析 由题意，知点P 的轨迹是以点A ，B 为焦点的椭圆， 其长轴长为6，焦距为25，所以短轴长为4，易知|PM |的最大值为3，最小值为2.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，线段OF 1(O 为坐标原点)的中点为B 1，椭圆与y 轴上半轴的交点为A ，且△AOB 1为等腰直角三角形，则椭圆C 的标准方程是________________． 答案 x 220＋y 24＝1解析 由题意，得c ＝4.又点B 1为线段OF 1的中点， A 为上顶点，△AOB 1为等腰直角三角形， 所以b ＝|OA |＝|OB 1|＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝20， 所以椭圆C 的标准方程为x 220＋y 24＝1.5．已知椭圆的方程为：x 225＋y 216＝1，若C 为椭圆上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，并且|CF 1|＝2，则|CF 2|＝________. 答案 8解析 根据椭圆的定义，椭圆上的点到两定点的距离之和为10，因为|CF 1|＝2，所以|CF 2|＝8.(1)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．在解题过程中将|PF 1|＋|PF 2|看成一个整体，可简化运算．(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．(3)凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a (M 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M (x 0，y 0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．一、选择题1．已知椭圆x 29＋y 25＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．4C ．3D ．25－2 答案 B解析 由椭圆的定义知P 到两焦点的距离之和等于2a ＝6， 故所求距离为6－2＝4，故选B.2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5 答案 B解析 原方程可化简为x 2＋y 25k＝1，因c 2＝5k－1＝4，得k ＝1.3．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 答案 D 解析 由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1. 4．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．5．设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为( )A ．(0，π4]B ．(π4，π2)C ．(0，π4)D ．[π4，π2)答案 C解析 由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1， ∵α∈(0，π2)，∴0<α<π4.故选C.6．过椭圆9x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的三角形ABF 2的周长是( ) A.43 B ．4 C ．8 D ．2 2 答案 B解析 方程可化为x 219＋y 2＝1，∴焦点在y 轴上，且a 2＝1，∴a ＝1.∴△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＋|BF 1|＝2a ＋2a ＝4a ＝4.故选B. 二、填空题7．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________． 答案 15解析 由椭圆定义知|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|， 而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5， 所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.8．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________. 答案 8解析 由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝20.又∵|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＝8.9．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________． 答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10， ∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线， ∴|ON |＝12|ME |＝4.10．若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________． 答案6433解析 由已知得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|F 1F 2|＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°， 即144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝6433. 三、解答题11．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解 两定圆的圆心与半径分别为O 1(－3,0)，r 1＝1； O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R .则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.12．已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围． 解 (1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，① 且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43.所以12PF F S＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝33. (2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得F 1P →·F 2P →<0， 即(x ＋3，y )·(x －3，y )<0， 又y 2＝1－x 24，所以34x 2<2， 解得－263<x <263，所以点P 横坐标的取值范围是－263<x <263.13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．11 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A, ∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。
《步步高_学案导学设计》2013-2014学年_高中数学北师大
么吗？ 答 交点坐标是 P(1,1)．
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1.4
问题 3 怎样准确求出问题 1 中的两条直线的交点坐标？
答
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设 l1 与 l2 的交点为 P(x，y)，由于点 P 既在 l1 上，又在 l2
上，应该同时满足这两个方程，其坐标是这两个方程的解． x＋y＝2， x＝1. 联立两个方程 解得 x－y＝0 y＝1. 它对应的就是平面上的点 P(1,1)．
1 x＝2， 得 y＝－3. 4
线对应方程组成的方程组， 若方程组有一解两直线相交， 无解 两直线平行，两方程能化成同一个方程两直线重合；(2)利用 两直线的斜率及截距的关系．
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跟踪训练 1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求
1.4
出交点的坐标： (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
三角形． ①由(1)得，当 m＝2 时，三线共点，不能构成三角形， 1 ②当 l1∥l2 时，m＝－2，当 l1∥l3 时，m＝2，此时它们不能
1 综上所述：当 m≠± 2 且 m≠ 时，三条直线能构成三角形． 2
构成三角形.
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解
解由
x＝ －1 ， 2＋k 得 3＋k y＝ ， 2＋k －1 3＋k 所以，l1 与 l2 的交点是 P( ， )． 2＋k 2＋k 又因为 l1，l2，l3 交于一点，即 P 点坐标满足直线 l3 的方程， －1 3＋k －(k＋1) －5＝0， 2＋k 2＋k
解得 k＝－7 或－2(舍去)．所以 k＝－7.
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《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学北师大版选修1-2【配套备课资源】第一章2
2.2独立性检验2．3独立性检验的基本思想2．4独立性检验的应用一、基础过关1．下面是一个2×2列联表：则表中a、b() A．94、96 B．52、50 C．52、60 D．54、522．用独立性检验来考察两个事件x与y是否有关系，当统计量χ2的值() A．越大，“x与y有关系”成立的可能性越小B．越大，“x与y有关系”成立的可能性越大C．越小，“x与y没有关系”成立的可能性越小D．与“x与y有关系”成立的可能性无关3．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到χ2≈3.852>3.841，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过() A．2.5% B．0.5% C．1% D．5%4．在吸烟与患肺病这两个变量的计算中，下列说法正确的是() A．若χ2的值大于6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法都不正确5．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表则推断“学生的性别与认为作业量大有关”，这种推断犯错误的概率不超过() A．0.1 B．0.05 C．0.9 D．0.956．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2＝7.097，则两个事件有关系的把握为() A．99% B．95%C．90% D．无关系二、能力提升7．如果χ2的值为8.654可以认为“两个研究对象Ⅰ和Ⅱ无关”的可信程度是________．8．下列说法正确的是________．(填序号)①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，χ2就越大；③χ2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据；④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．9．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：设H0，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为______．10．某县对在职的71名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：11．在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞行航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？12．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；(2)判断性别与休闲方式是否有关系．三、探究与拓展13．某教育机构为了研究人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度的关系，随机抽取了392名成年人进行调查，所得数据如下表所示：答案1．C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.A 7．0.01 8．② 9．4.882 5% 10．解 由公式得χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝71×(12×24－25×10)237×34×22×49≈0.08.∵χ2<2.706.∴我们没有理由说教龄的长短与支持新的数学教材有关． 11．解 根据题意，列出2×2列联表如下：由公式可得χ2＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689>2.706，故有90%的把握认为“在天气恶劣的飞行航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”． 12．解 (1)列联表如下：(2)假设“休闲方式与性别无关”，计算χ2＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201，∵χ2>3.841，∴有95%的把握认为性别与休闲方式有关． 13．解χ2＝392×(39×167－157×29)2196×196×68×324≈1.78.∵1.78≤2.706，∴我们没有理由说人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度有关．。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修1-2【配套备课资源】第二章 章末复习课
栏 目
(2)流程图描述动态过程，结构图刻画系统结构，描述的是一个静
开 态结构．
(3)流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其基本
单元之间由流程线连接，表示基本单元之间的先后顺序；结构图
则更多地表现为“树”形或“环”形结构，其基本要素之间一般
为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系．
研一研·题型解法、解题更高效
本 课 时
此时 p＝9＋2 8＝8.5，输出 p＝8.5，B 正确；
栏 目
当 x3＝10 时，|6－9|<|9－10|不成立，
开 此时 p＝9＋210＝9.5，输出 p＝9.5，C 不正确；
当 x3＝11 时，|6－9|<|9－11|不成立， 此时 p＝9＋211＝10，输出 p＝10，D 不正确．
章末复习课
本 课 时 栏 目 开
画一画·知识网络、结构更完善
本 课 时 栏 目 开
章末复习课
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题型一 流程图的画法及应用
流程图与结构图的区别：
本 (1)流程图是表示一系列活动相互作用、相互制约的顺序的框图，
课
时 而结构图是表示一个系统中各部分之间的组成结构的框图．
(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．
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章末复习课
题型二 结构图的画法及应用 例 3 画出《数学·必修 3》中第一章“统计”的知识结构图．
解
本 课 时 栏 目 开
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章末复习课
小结 在画结构图时应注意以下几点：
(1)画结构图与流程图一样，首先要确定组成结构图的基本要
统的整体特点．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修1-2【配套备课资源】第四章 章
目
开
＝－i－2 23＋3ii－i11003＝i－－1 i＝i－i＝0.
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章末复习课
小结 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式 本 加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法．
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跟踪训练4 计算：2＋1i－12－i i2＋1－i－i51＋i2－1－1－i2 i011.
本 ∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
课 时
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
栏
目 开
即 21＝yx－ ＋62，
x2＋y2＝ －32＋42，
解得xy11＝ ＝－ 0 5 或xy22＝ ＝－ 4 3 . ∵|OA|≠|BC|， ∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.
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栏 基本思想在本章中非常重要．
目
开
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跟踪训练3 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i， 求x，y.
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，
本 课
∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
时 栏 目 开
章末复习课
小结 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的 数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复
本
课 数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现，它们得以相
时
栏 互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、
目
开 复数运算及模的最值问题等．
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3.3全称命题与特称命题的否定
课时目标理解全称命题、特称命题的含义，能正确地对全称命题和特称命题进行否定．
1．要说明一个全称命题是错误的，只需找出__________就可以了．
2．全称命题的否定是______________．
3．要证明一个特称命题是错误的，只要说明这个特称命题的否定是__________．
4．特称命题的否定是____________．
一、选择题
1．“a和b都不是偶数”的否定形式是()
A．a和b至少有一个是偶数
B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数
D．a和b都是偶数
2．命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是()
A．某些平行四边形不是矩形
B．任何平行四边形是矩形
C．每一个平行四边形都不是矩形
D．以上都不对
3．命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是()
A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称
B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称
C．存在一个原函数与反函数的图像不关于y＝x对称
D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称
4．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋1 998”的否定是()
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋1 998
B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋1 998
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋1 998
D．以上都不对
5．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()
A．不存在x0∈R,2x0>0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x>0
6．命题“任意四边形都有外接圆”的否定为()
A．任意四边形都没有外接圆
B．任意四边形不都有外接圆
C．有的四边形没有外接圆
D
二、填空题
7．命题“零向量与任意向量共线”的否定为___________________________________．8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：__________________________________________.
9．命题p：对任意x∈R，使f(x)≥m成立，则命题p的否定是______________．
三、解答题
10．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有些质数是奇数；
(2)所有二次函数的图象都开口向上；
(3)存在x0∈Q，x20＝5；
(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
11．已知命题“存在x0∈R，ax20－2ax0－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．能力提升
12．命题r：存在x∈R，使
1
x2＋4x－5
>0的否定为()
A．对任意x∈R，1
x2＋4x－5
<0 B．对任意x∈R，x2＋4x－5≤0
C．对任意x∈R，1
x2＋4x－5
≤0
D．对任意x∈R，1
x2＋4x－5
>0
全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在
3．3全称命题与特称命题的否定
知识梳理
1．一个反例 2.特称命题 3.正确的 4.全称命题
作业设计
1．A[在a、b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a偶b 奇，a奇b偶，a偶b偶，故选A.]
2．C[特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论．所以选C.]
3．C[要把隐含的全称量词找出变为存在量词，然后否定结论．]
4．C[特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．]
5．D[命题的否定是“对任意的x∈R,2x>0”．]
6．C
7．存在一个向量与零向量不共线
8．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根
9．存在x0∈R，使f(x0)<m成立
10．解(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
(3)“存在x0∈Q，x20＝5”是特称命题，其否定为“任意x∈Q，x2≠5”，真命题．
(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．
11．解因为命题“存在x0∈R，ax20－2ax0－3>0”的否定形式为：
对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知这个否定形式的命题是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a<0；
综合以上两种情形可知，实数a的取值范围是[－3，0]．
12．B[命题可等价转化为：存在x∈R，x2＋4x－5>0；根据固定的格式写它的否定形式为：任意x∈R，x2＋4x－5≤0.]。