第十三章 协方差分析
协方差分析
第十一节协方差分析(analysis of covariance)在各种试验设计中，对应变量（dependent variable）Y 研究时，常希望其他可能影响Y的变量在各组间保持基本一致，以达到均衡可比。
例如：比较几种药物的降压作用，各试验组在原始血压、性别、年龄等指标应无差异。
第十一节协方差分析有时这些变量不能控制，须在统计分析时，通过一定方法来消除这些变量的影响后，再对应变量y作出统计推断。
称这些影响变量为协变量（Covariate）。
如果所控制的变量是分类变量时，可用多因素的方差分析；当要控制的变量是连续型变量时，可用协方差分析，以消除协变量的影响，或将协变量化成相等后，对y的修正均数进行方差分析。
第十一节协方差分析例如：比较几种不同饲料对动物体重增加的作用，可把动物的进食量作为协变量。
比较大学生和运动员的肺活量时，可把身高作为协变量。
比较治疗后二组舒张压的大小，可把治疗前的舒张压作为协变量。
第十一节协方差分析协方差分析的基本原理：协方差分析是把直线回归和方差分析结合起来的一种统计分析方法。
当不同处理结果的y值受协变量x的影响时，先找出y与x的直线关系，求出把x值化为相等后y的修正均数，然后进行比较，这样就能消除x对y的影响，更恰当地评价各种处理的作用。
协方差分析的步骤±观察指标服从正态分布、方差齐性、各观察相互独立H检验分组因素与协变量x是否有交互作用。
对上例，即是否雌雄羔羊进食量相同，它们的体重增加量却不相同。
如检验结果分组因素与协变量x间没有交互作用，即说明雌雄羔羊进食量相同的情况下，它们的体重增加量是相同的。
进行第二项检验：H检验协变量与应变量之间是否存在线性关系。
如果不存在线性关系，则不能简单地运用协方差分析，因为协方差分析是利用协变量x与应变量y之间的线性回归关系扣除协变量x对y的影响。
必要时可考虑进行变量转换。
如果检验结果协变量与应变量之间存在线性关系，则进行第三项检验：H进一步扣除x对y影响的前提下，检验各组的修正均数差别是否有统计学意义。
协方差分析优质课件专业知识讲座
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结论： 本资 料不 宜做 协方 差分 析
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结论： 本资 料可 以做 协方 差分 析
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协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行 统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分 述如下。
一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。
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但在有些情况下，即使作出很大努力也难以 使试验控制达到预期目的。例如：
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药物临床疗效研究
混杂因
患者的状况（性别、年龄
素
药物
病情
疗效
举
例
心 理 因
其他因 素
素
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各组间的效应进行比较，必须保持组间的
影响因素（混杂因素的比例）相同，组间
才具有可比性。
23. 协方差分析
23. 协方差分析一、基本原理1. 基本思想在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。
如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。
这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。
例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。
检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。
协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。
协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。
前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。
协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。
当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协方差分析。
2. 协方差分析需要满足的条件（1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差；（2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。
否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设；（3） 自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除；（4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。
协方差分析(Analysis_of_Covariance)PPT资料35页
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
FEyy(ad)jS1 k1 S1 N2k
Eyy(ad)jEyybw2Exx
k
S1 Eyy
b E 2 wi xxi
i1
k
[(Eyybw2Exx)(Eyy bwi2Exxi )]/(k1)
对于芬兰白酒专卖的问题，交通事故显然不是仅仅与销售方式有关，而把其 他变量都归为随机误差又太过粗糙．这样。我们就想到了引入其他变量．在
协方差分析的模型中，我们称之为协变量．
下面我们再看协方差分析数据结构：
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
从离差分解的角度我们来解释协方差分析
对于方差分析:
总离差=分组变量离差+随机误差(组内离差)
对于协方差分析:
总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差
Mslab @ TianjinUniv
在方差分析中，协变量离差包含在了随机误差中. 在协方差分析中，单独将其分离出来.
Mslab TianjinUniv
协方差分析
Analysis of Covariance
ALBERT R.WLDT OLLI AHT
报告人:白寅
Mslab @ TianjinUniv
我们先来看一个问题：
芬兰由几十个小的自治区组成。在芬兰，白酒的批发和零售是国家垄 断的。几个世纪以来，法律规定白酒只能在城市自治区中销售。
k
n
方差分析和协方差分析协变量和控制变量
方差分析和协方差分析协变量和控制变量方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是用于比较两个或多个组之间差异的一种统计方法。
它常用于实验设计中，特别是当研究者希望判断不同组别对其中一变量的均值是否存在显著差异时。
方差分析的基本思想是通过分析组间变异和组内变异的差异性，来评估不同组别之间的差异是否超出了随机误差的范围。
在执行方差分析时，我们需要计算组间平方和（Sums of Squares Between Groups, SSBG）和组内平方和（Sums of Squares Within Groups, SSWG），并以此计算F值来进行假设检验。
协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）则是在方差分析基础上引入了协变量（covariate）的一种分析方法。
协变量是指与主要变量（研究变量）相关的、可能对变量之间关系产生影响的另一个变量。
协方差分析旨在通过控制协变量的影响，更准确地评估主要变量对因变量的影响。
具体而言，协方差分析会使用协变量与因变量的相关性来对因变量进行线性调整，将其影响减少到最低限度。
这样可以消除协变量对因变量的干扰，使比较组之间的差异更为准确。
在研究设计中，协变量和控制变量是常用的两种概念，用于控制和修正分析过程中的干扰因素。
在实验设计中，控制变量是指研究者通过依据主要变量的研究设计，将一些可能导致干扰的因素保持恒定。
例如，在比较两种不同药物对疾病治疗效果时，研究者可以将患者的性别、年龄、体重等因素作为控制变量，确保不同组别之间的差异主要来自于药物本身的影响。
而协变量则是在非实验研究中常用的，在测量研究变量之前，研究者会对协变量进行测量和记录，并在分析过程中加以控制。
例如，研究人员可能关注不同年龄组中学生的学业成就，但同时也要控制其他因素，如家庭背景、社会经济地位等，这些因素可能会干扰到学业成就与年龄之间的关系。
总之，方差分析和协方差分析是两种常用的统计分析方法，在不同的情境下用于数据的比较和解释。
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
协方差分析
__ __
ˆ Y1 Y1 bc ( X X 1 ) ˆ Y2 Y 2 bc ( X X 2 ) 两修正均数之差是： ˆ ˆ （ (Y1 Y2) Y1 Y2 ) bc ( X 1 X 2 )
__ __ __ __ _ __ __
合起来，检验两组或多组修正均数间有无差异
的一种统计方法，用于消除混杂因素对分析指
标的影响。
协方差分析概念
例如在研究饲料营养价值时，采用动物实验，若不考 虑动物进食量和初始体重的差别，直接用方差分析来比较 不同饲料组动物所增体重，以评价不同饲料的营养价值， 这样做是不恰当的。因为动物所增加的体重除与饲料的营 养价值有关外，还与动物的初始体重、进食量有关，而进 食量多少往往难以控制。若利用直线回归分析的方法找出 进食量与所增体重的数量关系，求得当进食量相等时（即 扣除进食量的影响），各饲料组动物所增体重的修正均数， 然后再用方差分析（或t检验方法）检验各修正均数间有 无差别，这样做才合理。
A N O VA 年龄 组间 组内 总数 平方和 1696.154 4500.000 6196.154 df 1 24 25 均方 1696.154 187.500 F 9.046 显著性 .006
协方差分析
估计 因变量: 胆固醇含量 对象 均值 标准误 a 壮族妇女 221.997 9.991 汉族妇女 237.003a 9.991 a. 模型中出现的协变量在下列值处进行评估: 年龄 = 46. 3846. 95% 置信区间 下限 上限 201.330 242.664 216.336 257.670
1306 154 .4 351.9692 26
V总＝n-1=26-1=25
协方差分析讲课课件
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
协方差分析
协方差分析
（3-2）
6
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差（covariance），记为COV(x,y)或 偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。 于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy， 均积MPxy表示为： （3-3）
7
。统计
学证明了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y)的无
1
例如：研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望 试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不 同，将影响到猪的增重。经研发现：增重与初始 重之间存在线性回归关系。但是，在实际试验中 很难满足试验仔猪初始重相同这一要求。 这时可 利用仔猪的初始重(记为x)与其增重(记为y)的回 归关系，将仔猪增重都矫正为初始重相同时的增 重，于是初始重不同对仔猪增重的影响就消除了。 由于矫正后的增重是应用统计方法将初始重控制 一致而得到的，故叫统计控制。统计控制是试验 控制的一种辅助手段。经过这种矫正，试验误差 2 将减小，对试验处理效应
36
表示初生重对50 根据平均初生重的不同
日龄重影响的性质和程度，且不包含处理间差异 来校正每一处理的50日龄平均重。校正50日龄平
公式中： 为第i处理校正50日龄平均重； 为第i处理实际50日龄平均重(见表3—2)； 为第i处理实际平均初生重(见表3—2)； 为全试验的平均数，
为误差回归系数，
=7.1848
第一节
协方差分析的意义
协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行 统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述 如下。 一、对试验进行统计控制
为了提高试验的精确性和准确性 ，对处 理以外的一切条件都需要采取有效措施严加控 制，使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。 但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使试 验控制达到预期目的。
方差分析及协方差分析
方差分析及协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系和差异。
本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。
一、方差分析（Analysis of Variance）1.基本概念：方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异是否非随机的统计方法。
它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显著差异。
2.原理：方差分析的原理基于对总体变异的分解。
总体变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个体之间的差异。
方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断组间差异是否显著。
3.适用场景：方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生成绩的影响等。
4.步骤：方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。
二、协方差分析（Analysis of Covariance）1.基本概念：协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。
协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。
2.原理：协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。
通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。
3.适用场景：协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。
4.步骤：协方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的协方差分析模型、建立回归模型、计算协方差分析统计量和p值、进行结果解释。
总结：方差分析和协方差分析都是常用的统计分析方法，用于研究组间差异和变量之间的关系。
统计学与研究方法试题答案
统计学与研究方法试题答案第一章绪论1单选题1、总体是指（）A.全部研究对象B.全部研究对象中抽取的一份C.全部样本D.全部研究指标E.全部同质研究对象的某个变量的值2、统计学中所说的样本是指（）A.随意抽取的总体中任意部分B.有意识的选择总体中的典型部分C.依照研究者要求选取总体中有意义的一部分D.依照随机原则抽取总体中有代表性的一部分E.有目的的选择总体中的典型部分3、下列资料属等级资料的是（）A.白细胞计数B.住院天数C.门急诊就诊人数D.病人的病情分类E.ABO血型分类4、为了估计某年华北地区家庭医疗费用的平均支出，从华北地区的5个城市随机抽样调查了1500户家庭，他们的平均年医疗费用支出是997元，标准差是391元。
该研究中研究者感兴趣的总体是（）A.华北地区1500户家庭B.华北地区的5个城市C.华北地区1500户家庭的年医疗费用D.华北地区所有家庭的年医疗费用E.全国所有家庭的年医疗费用5、欲了解研究人群中原发性高血压病（EH）的患病情况，某研究者调查了1043人，获得了文化程度、高血压家族史、月人均收入、吸烟、饮酒、打鼾、脉压差、心率等指标信息。
则构成计数资料的指标有（）A.文化程度、高血压家族史吸烟、饮酒、打鼾B.月人均收入、脉压差、心率C.文化程度、高血压家族史、、打鼾D.吸烟、饮酒E.高血压家族史、饮酒、打鼾第二章计量资料统计描述及计数资料统计描述1、描述一组偏态分布资料的变异度，以（）指标较好。
A.全距B.标准差C.变异系数D.四分位数间距E.方差2、用均数和标准差可以全面描述（）资料的特征。
A.正偏态分布B.负偏态分布C.正态分布D.对称分布E.对数正态分布3、各观察值均加（或减）同一数后（）。
A.均数不变B.几何均数不变C.中位数不变D.标准差不变E.变异系数不变4、比较某地1~2岁和5~5.5岁儿童身高的变异程度。
宜用（）。
A.极差B.四分位数间距C.方差D.变异系数E.标准差5、偏态分布宜用（）描述其分布的集中趋势。
10.协方差分析-09 PPT课件
a. R Squared = .671 (Adjusted R Squared = .643)
有关参数估计
Par ameter Esti mates Dependent Variable: 胆固醇 Parameter Intercept YEAR [GROUP=1] [GROUP=2] a. This 95% Confidence Interval B Std. Error t Sig. Lower Bound Upper Bound 1.656 1.028 1.610 .121 -.471 3.783 9.417E-02 .018 5.162 .000 5.643E-02 .132 -.895 .406 -2.207 .038 -1.735 -5.619E-02 a 0 . . . . . parameter is set to zero because it is redundant.
一、协方差分析概述
1、关于协变量
在实际研究过程中，实验结果常常受一些非 处理因素（即混杂因素）的影响，在统计学上把 这些混杂因素称为协变量。 若忽视协变量（混杂因素）的作用，直接对
资料进行分析，则会因为混杂因素的影响而得出
片面的结论。
一、协方差分析概述
2、基本思想
协方差分析是将直线回归和方差分析结合应用的一种 统计方法，用来消除混杂因素对分析指标的影响。其基本
a y bx
一、协方差分析概述
应用条件要求 1= 2，但由于抽样误差b1与
b2不一定恰恰相等，故取公共斜率（bc）
组内l xy bc 组内l xx
, 则：y1 y 1 bc ( x1 x 1 ) , y2 y 2 bc ( x 2 x 2 )
第十三章 协方差分析
SS总 SS回
S S回 b l XY
S S 修 正＋ S S 组 内 残 差
（ l2 ）组 内 XY =（ l Y Y ）组 内 － （ lXX ）组 内
- xi )
2
SS修正 SS总残 SS组内残差
总 残 差＝ N － 2
修 正＝ k －1
SS组内残差
组 内 残 差＝ 总 残 差－ 修 正
32
1. 进行各组间线性趋势的初步判断： 绘制散点图
33
1. 进行各组间线性趋势的初步判断： 绘制散点图
34
1. 进行各组间线性趋势的初步判断： 绘制散点图
35
1. 进行各组间线性趋势的初步判断： 绘制散点图
120
增 重ห้องสมุดไป่ตู้（ Y） kg
110
100
90 C增 重 80 C初 始 重 量 B增 重 70 B初 始 重 量 A增 重 60 10 20 30 40 A初 始 重 量
XY 组内
420.87 2 1238.38 227.64 175.25
21 1 20
2 ˆ 修正均数 (Y Y ) 934.84 227.64 707.20
22 20 2
MS组内 227.64 / 20 11.38 MS修正 707.20/2 353.60 353.60 F 31.07 11.38 F0.05(2,20) 3.49
10
问题的解决
在实际工作中，类似于以上的影响因素在实验 设计时是难以控制的，如何扣除或均衡这些不可 控因素的影响，可在统计分析阶段采用协方差分 析的方法。
11
协方差分析是将线性回归分析和方 差分析结合起来的一种统计方法。
第13章差异检验.
检验假设的步骤
提出假设： 原假设和对立假设 原假设（H。）：又称为虚无假设，它是我 们要检验的假设。对立假设（H1），是当原 假设被否定时即可成立的假设。假设有单边 检验和双边检验
（三） 配对样本t检验，用于两个相关样本的平均
数差异是否显著的的检验。通常是指对同一观察对象 在使用某种新方法前后的两组数据进行比照，用于判 断两组数据的均值是否有显著差异，并判断这种新方 法的有效性 例如：某公司进行为期一个月的促销，促销前后的销 售量比对如下（抽查十家商店），问这次促销活动是 否有效果。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
单因素方差分析
消费者对四个行业的投诉次数
观察值 (j) 零售业 57 55 46 45 54 53 47 行业( A ) 旅游业 航空公司 家电制造业 62 51 70 49 49 68 60 48 63 54 55 69 56 47 60 55
1 2 3 4 5 6 7
单因素方差分析
解：设四个行业被投诉次数的均值分别为， m1 、 m2 、 m3、m4 ，则需要检验如下假设 H0: m1 = m2 = m3 = m4 (四个行业的服务质量无显著差异) H1: m1 ，m2 ，m3， m4不全相等 (有显著差异)
什么是方差分析?
【例8.1】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种， 分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道 、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、 经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见 表8-1。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。
第十三章 协方差分析
4.估计误差平方和（与回归分析一致）
总的 Y Y l
2
2
l XY YY
2
l
（13-10）
XX
=2555.96-1080.75 /720.5=934.84
2
Y Y =1238.38-420.872/175.25 组内
=227.64
（bc:公共回归系数，b lxy / lxx ）
data anocov1; do c=1 to 3; do i=1 to 8; input x y@@; output;end;end; cards; 15 85 13 83 11 65 12 76 12 80 16 91 14 84 17 90 17 97 16 90 18 100 18 95 21 103 22 106 19 99 18 94 22 89 24 91 20 83 23 95 25 100 27 102 30 105 32 110 ; proc glm; class c; model y=c x /solution SS3; /*solution:输出回归系数并检验*/ lsmeans c /*输出修正均数*/ /stderr /*输出修正均数的标准误*/ pdiff; /*输出修正均数两两比较的P值*/ run
1 2 3
1
0.0424 0.0013
2
0.04t;.0001
第三节 随机区组的协方差分析 例 13-2 为研究三种饲料对增加大白鼠 体重的影响，有人按随机区组设计将初始体 重相近的 36 只大白鼠分成 12 个区组，再将 每个区组的 3 只大白鼠随机分入 A、B、C 三种饲料组，但在实验设计时未对大白鼠的 进食量加以限制。 三组大白鼠的进食量 （X） 和所增体重（Y）的原始资料见表 13-6 上半 部。问扣除进食量因素的影响后，三种饲料 对增加大白鼠体重有无差别？
协方差分析(三版)
完全随机设计资料的 协方差分析
表13-1 kn对观测值x、y的单向分组资料的 一般形式
方法步骤
数据准备
数据分布检验 方差齐性检验
电脑运算
具体步骤
• •
Y ，积和 X jY j 1、计算各组 ，平方和 X 、 均数 X j Y j 及其合计项 2、利用合计项各数据计算校正数C1、C2、C3，以 及总变异的离均差平方和 l XX lYY ，积和 l XY 及自 由度 3、计算各处理组间的离均差平方和，积和及自由 度 4、列出协方差分析计算表填入上述结果，再由总 变异的及减去处理组相应各值，得到组内离均差平 方和及自由度
ˆ )2 ( Y Y
MS
总变异－白鼠间
ˆ )2 l l 2 l ( Y Y YY XY XX
Y
(YY)
Y
ˆ) (Y Y
ˆ Y) (Y
Y
X
残差平方和的分解
2 2 2 ˆ ˆ ˆ (Y Y ) 总 (Y Y ) 修正均数间 (Y Y )组内
总 修正均数间 组内
2 ˆ (Y Y ) 修正均数间 2 ˆ (Y Y )组内
修正均数间 组内
协变量假定均数
随机区组设计的协方差分析
例13-2 为研究A、B、C三种饲料对增加大白鼠体 重的影响，有人按随机区组设计将初始体重 相近的36只大白鼠分成12个区组，再将每个 区组的3只大白鼠随机分入A、B、C三种饲 料组，但在实验设计时未对大白鼠的进食量 加以限制。三组大白鼠的进食量(X)与所增 体重(Y)如下，问扣除进食量因素的影响后 ，三种饲料对增加大白鼠体重有无差别 ？
区组 （大白鼠）
扣除协变量影响： 用线性回归残差平方和表示 扣除区组的影响： 总变异－区组变异＝处理变异＋误差
协方差分析课件
求解模型如下：
令 bi i ,求 bi , b , 使
SS
i 1 s t j 1
y
ij
bi b x ij
2
最小。 记 n st
1 t y i y ij t j 1 1 s x i x ij s i 1
1 s t y y ij st i 1 j 1
2
最小。 上式对 , 求偏导数，并令其为零，可求 得 , 的估计为
ˆ
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
ˆx ˆ y
由此可算得
ST
i 1 s t j 1
，并且 相互独立。
上述两个问题的模型可以推广到一般情况。
下面只讨论一个影响因素，一个协变量的 协方差分析模型。 设因素A有s个水平，每个水平试验t次。 数学模型：
yij bx ij i ij
i 1 ,2 , , s
2
j 1 ,2 , , t
s i 1
其中 εij ~N( 0 , σ ) ，并且 相互独立， α i 0
Ⅱ x y Ⅲ x y
此问题中，A1,A2,A3三个水平是可以控制 的，它们作为分类变量A的值，而苹果第一年产 量x是不可控制的，要分析x与苹果增加重量的 关系，我们把它作为普通变量，即协变量来处 理。 画出x与y的散点图，观察这两个量的关系 可看出，x与y之间有明显的线性关系。于是我 们假设：
（1）第一年重量x和增加重量y之间有线 性关系 y b0 bx 再考虑肥料因素对增重的影响，我们设： （2）施用肥料Ai ,苹果增重为μi （3）影响苹果增重的随机误差为 ij εij ~N( 0 , σ 2 )
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4.估计误差平方和（与回归分析一致）
总的 Y Y l
2
2
l XY YY
2
l
（13-10）
XX
=2555.96-1080.75 /720.5=934.84
2
Y Y =1238.38-420.872/175.25 组内
=227.64
第十三章
协 方 差 分 析
第一节 协方差分析基本思想、应用条件 协方差分析：线性回归与方差分析相结合 的一种统计分析方法 协变量：对指标 Y 有影响的未加或难以控制 的定量变量因素 X 基本思想：建立 Y 与 X 的线性回归关系，把 X 值化为相等后比较 Y 的修正均数
应用条件:
1.与方差分析条件相同； 2.各组 Y 与 X 有线性回归关系且斜率相同； 3.X 连续，不影响处理且不受处理影响
14667 18.625 98.000
19911 25.375 96.875
43681 19.250 92.208
1.H0:各总体增重的修正均数相等 H1:各总体增重的修正均数不全等 或全不等, α＝0.05 2. 列表计算（表 13-3） 3.⑴校正数 C1=(∑X) /N=462 /24=8893.5,
2
2
l
YY
Y j
2
n
C
2
2
(13-8)
j
=(654 +784 +775 )/8-204057.04=1317.58
2
2
X Y l C n
j j XY j
3
(13-9)
=(110×654+149×784+203×775)/8 -42600.25=659.88
⑷组内离均差平方和、积和 （组内）lXX=（总）lXX－（组间）lXX 720.5－545.25＝175.25 （组内）lYY=（总）lYY－（组间）lYY =2555.96-1317.58=1238.38 （组内）lXY=（总）lXY－（组间）lXY =1080.75-659.88=420.87
第二节 完全随机设计资料的协方差分析 例 13-1 为研究 A、B、C 三种饲料对猪 的催肥效果，用每种饲料喂养 8 头猪一段时 间， 测得每头猪的初始重量 （X） 和增重 （Y） 数据见表 13-3 上半部。试分析三种饲料对 猪的催肥效果是否相同？
表 13-3
X1
1 2 3 4 5 6 7 8 15 13 11 12 12 16 14 17
三种饲料喂养猪的初始重量与增重（kg）
A 饲料 B 饲料 C 饲料
Y1
85 83 65 76 80 91 84 90
X2
17 16 18 18 21 22 19 18
Y2
97 90 100 95 103 106 99 94
X3
22 24 20 23 25 27 30 32
Y3
89 91 83 95 100 102 105 110 X
修正均数 的估计误 差平方和
F=353.609382/ 11.380728= 31.07
Parameter Intercept x c 1 c 2 c 3
Standard Estimate Error
公共回归系数
t Value 5.47 9.42 3.75 7.20 .
Pr > |t| <.0001 <.0001 0.0013 <.0001 .
35.94 2.40 12.79 17.34 0.000
B B B B
6.58 0.25 3.41 2.41 .
修正均数
c
Least Squares Means
y LSMEAN Standard Error Pr > |t| LSMEAN Number
1 2 3
94.9586305 99.5009807 82.1653887
160610.30
734037.04
1025164.57
X
j
272.23
274.62
492.40
346.42
37.10
45.70
118.74
67.18
Yj
修正项
C1=(∑X) /N=12471.1 /36=4320231.534 2 2 C2=(∑Y) /N=2418.5 /36=162476.174
表 13-6
区 组 X1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 256.9 271.6 210.2 300.1 262.2 304.4 272.4 248.2 242.8 342.9 356.9 198.2
三组大白鼠的进食量与增重（单位：g）
A组 Y1 27.0 41.7 25.0 52.0 14.5 48.8 48.0 9.5 37.0 56.5 76.0 9.2 X2 260.3 271.1 214.7 300.1 269.7 307.5 278.9 256.2 240.8 340.7 356.3 199.2 B组 Y2 32.0 47.1 36.7 65.0 39.0 37.9 51.5 26.7 41.0 61.3 102.1 8.1 X3 544.7 481.2 418.9 556.6 394.5 426.6 416.1 549.9 580.5 608.3 559.6 371.9 C组 Y3 160.3 96.1 114.6 134.8 76.3 72.8 99.4 133.7 147.0 165.8 169.8 54.3 X 1061.9 1023.9 843.8 1156.8 926.4 1038.5 967.4 1054.3 1064.1 1291.9 1272.8 769.3 合 计 Y 219.3 184.9 176.3 251.8 129.8 159.5 198.9 169.9 225.0 283.6 347.9 71.6
C3=∑X∑Y/N=12471.1×2418.5/36=837815.426
2
2
总变异: lXX=∑X -C1=4828381.61－
C1
2 2
4320231.534＝508150.076 lYY=∑Y -C2=238262.53－162476.174 ＝75786.356 lXY=∑XY-C3=1025164.57－ 837815.426＝187349.144
(13-4)
lYY=∑Y -C2=206613-204057.04=2555.96, (13-5) lXY=∑XY-C3=43681-42600.25=1080.75, (13-6) ⑶组间离均差平方和、积和
l
XX
X j
2
n
C
2
1
（13-7）
j
=(110 +149 +203 )/8-8893.5=545.25
协方差分析表 lXY lYY
720.50 545.25 175.25
Y Y
2
1080.75 2555.96 659.88 1317.58 420.87 1238.38 MS F
总 组内 修正均数
22 20 2
934.84 227.64 707.20 11.38 353.60 31.07
C3
白鼠间: （P218:表13-6右边合计） lXX=(1061.9 +1023.9 +„769 )/3
组内估计误差均方
Corrected 23 Total
Source x c
DF Type III SS Mean Square 1 1010.760432 1010.760432 2 707.218765 353.609382
检验修正 均数总差 异的F值
F Value 88.81 31.07
Pr > F <.0001 <.0001
C3 C2
饲料间:
（P218:表13-6下边合计）
2 2 2
lXX=(3266.8 +3295.5 +5908.8 )/12
C1
-4320231.534=383620.127
2 2 2
lYY=(445.2 +548.4 +1424.9 )/12
C2
-162476.174=48297627
lXY=(3266.8×445.2+3295.5×548.4+ 5908.8×1424.9)/12-837815.426= 135607.964
合计 Y
合 计 X1 Y1
8 110
2 j
X2
8 149 2803
Y2
784 77016
X3
8 203 5267
Y3
775 75645
X
24 462 9614
Y
2213 206613
nj
∑Xj (∑Yj)
654 53952
X
1544
Y
∑Xj Yj
2 j
9103 13.750 81.750
X j (Y j )
（bc:公共回归系数，b lxy / lxx ）
data anocov1; do c=1 to 3; do i=1 to 8; input x y@@; output;end;end; cards; 15 85 13 83 11 65 12 76 12 80 16 91 14 84 17 90 17 97 16 90 18 100 18 95 21 103 22 106 19 99 18 94 22 89 24 91 20 83 23 95 25 100 27 102 30 105 32 110 ; proc glm; class c; model y=c x /solution SS3; /*solution:输出回归系数并检验*/ lsmeans c /*输出修正均数*/ /stderr /*输出修正均数的标准误*/ pdiff; /*输出修正均数两两比较的P值*/ run