02章2

第二章平面汇交力系与平面力偶系注意：1、平面内力对点之矩。

2、平面内力对轴之矩。

3、空间上力对点之矩。

2、空间上力对轴之矩。

力对刚体的作用效应使刚体的运动状态发生改变--------移动和转动。

移动效应------用力矢来衡量。

转动效应------用力矩来衡量。

矩心力臂F 1、力矩的定义：力F 使物体绕O 点转动效应的物理量称为力F 对O 点之矩，简称为力矩。

O 称为矩心。

点到力的作用线的垂直距离称为力臂。

一、平面力对点之矩：§2-3 平面力对点之矩的概念及计算()0M Fr F=⨯Fh F m o ±=)(2OAB=±∆_3、力矩的单位：牛顿米(N·m) 或千牛顿米(kN·m)+力矩的矢量表达式？2、力矩的代数表达式：（１）平面中力矩是代数量。

力矩与力的大小和其作用线位置有关，其绝对值等于力与力臂的乘积。

rα（２）力矩的正负号规定：取绕矩心逆时针转动为正，反之为负。

代数量可以用矢量表示。

5、注意：•⑴、力F 对O 点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关。

•⑵、力的作用线通过矩心时，力矩等于零。

•⑶、互相平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。

•⑷、作用于物体上的力可以对物体内外任意点取矩计算。

4、力矩的解析表达式()()()sin cos OO y O xy xM F M F M F x F y F x F y F θθ=-=⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅ 计算力矩时，用正交分力较简单。

例1标准直齿圆柱齿轮啮合传动，D 2=120mm , F=1400N ,试计算主动轮O 1对轮O 2 的力矩。

Fd F m O -=)(2202cos 2cos ααD r d ==2201()cos 79.2O m F FD N mα=-=- 解：选被动轮O 2为研究对象，受力分析如图F0?α=()()()22220cos 792O O t O rM F M F M F D F α=+=-⋅=-⋅N m利用正交分力计算简单。

FtF rF二、力对轴之矩：力对轴之矩是力使物体绕某轴转动效果的度量。

想象用手推门的感觉。

(F)(F)z O M M F h==±⋅注意：力F 、矩心O 、平面、转轴的位置关系。

力对点之矩与力对轴之矩的关系。

OFhZ1、力对轴之矩等于该力对过矩心O 且垂直于平面的轴的矩。

力对点之矩＝力对某特殊轴之矩。

OFAZ这个空间力对轴之矩？只存在两种转动方向O F AxyF ZFhZ2、空间力矢对轴之矩：等于该力在与轴垂直的平面上的投影对轴与平面交点之矩。

xy z (F)(F )(F ) (F )F z z z O xy xy M M M M h=+==±⋅结论：力对轴之矩是力使物体绕某轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直该轴的平面上的投影对这个平面与该轴的交点的矩。

按右手定则确定其正负号：四指握拳方向与力对轴之矩转向一致，拇指指向与坐标轴正向一致为正，反之为负。

三、汇交力系的合力矩定理：1、平面汇交力系的合力矩定理：⑴、平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩，等于力系中各分力对同一点的矩的代数和。

()()o y iy o i m R R l F l m F =⋅=⋅=∑∑ F 2F 3F 4F 5F 1ＡR O()()0A A i m R m F ==∑()()O O i m R m F =∑ yx 如此建立坐标系，合力对点之矩如何计算？xR yRF 2F 3F 4F 5F 1Ａyx R O平面汇交力系的合力对任一轴的矩等于力系中各力对同一轴的矩的代数和。

()()Z Z i m R m F =∑⑵、力对轴的合力矩定理：xR yR hR h=⋅注意：这根轴过Ｏ点且垂直于平面。

()?O i m F =∑()() ?0y y iy m R m F ==∑()()0x x ix m R m F ==∑2、汇交力系的合力矩定理的推导:＊12R i n F F F F F =∑=+++ 即()()O R O iM F M F =∑ 对于平面汇交力系,上式为代数式。

()()0R iM F M F =∑ 12R nr F r F r F r F ⨯=⨯+⨯++⨯§2-4 平面力偶理论一.力偶和力偶矩:dFFO1、力偶：等值、反向、但不共线的一对平行力所组成的力系，称为力偶。

并记为（F ，F ´）。

力偶是最简单的特殊力系。

力偶作用面：力偶中两个力所在的平面。

力偶臂：两个力作用线间的垂直距离。

力偶的作用效应：力偶对物体没有移动效应，只有转动效应。

2、力偶矩：力偶对物体转动效应的度量。

在力偶作用面内，力偶对任意一点O 点之矩为：dFF '(,') , m F F Fd m Fd=±=±+_()(')'()'''o o o m m F m F Fx F x d Fx F x F d F d=+=-++=-++=o力偶矩是一个代数值，其大小与矩心O 位置无关。

其大小为：其正负规定：3、力偶矩的单位：牛顿米（N·m) 或千牛顿米(kN·m)o FAF’xd力偶矩就是力矩。

y xoF ’d F力偶无合力⑴、用力矢F 和力偶臂d 表示。

⑵、用弧线、箭头和m 表示。

⑶、用直线、箭头和m 表示。

⑷、用矢量表示。

dFFmmmo二、力偶的基本性质：⑴、力偶向任意轴上的投影的代数和等于零，故力偶对物体只有转动效应。

⑵、力偶无合力，本身又不平衡，力和力偶是静力学中两个基本要素。

4、力偶的图示表达：⑶、力偶对任意一点之矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。

⑷、力偶只能与力偶合成、平衡。

三、力偶的等效定理及其推论:作用在同一刚体上（同一平面内）的两个力偶，只要它们的力偶矩矢相等，则两力偶必等效。

记住这句话啊。

FMFdFMF dFαMF αd/αFMFd(a)(b)(c)(d)•在保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力和力偶臂的大小，而不影响它对刚体的作用。

•只要等效，力偶可以在平行平面之间平移。

•只要等效，力偶可以在同一平面之内平移。

(一) 、合成：•1、平面力偶系的合成结果为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。

∑=im M 12341211223412() m=m R d p p d m m m m F d F d m m m m =⋅=+⋅=++=⋅+⋅=++利用力偶等效定理：故四、平面力偶系的合成和平衡条件(二)、平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩代数和等于零。

=∑im•空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩矢等于零。

i M m ==∑该力偶系中各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和等于零。

（将矢量式写成解析表达式）000x ix y iy z iz M M M M M M ⎧==⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩∑∑∑平衡方程：例题2：工件上作用有三个力偶如图2-21所示。

已知：其力偶矩分别为m 1=m 2=10N·m ，m 3=20N·m ，固定螺柱A 和B 的距离l=200mm 。

求两光滑螺柱所受的水平力。

F A 为正，表明所设方向是正确的。

螺柱A 、B 所受的力与F A 、F B 大小相等，方向相反。

解：取工件为研究对象。

其受力如图所示。

由平衡方程：∑=0M 0321=---M M M l F A lM M M F A 321++=200NA F =解得200B A F F N==想想看！如果使m 1或m 2或m 3的方向相反，结果会是怎样的？例题3：机构如图所示，不计自重。

圆轮上的销子A放在摇杆BC 上的光滑导槽内。

圆轮上作用一力偶，其力偶矩m1=2kN·m，OA=r=0.5m。

图示位置时,OA与OB垂直，α=30°，系统平衡。

求作用于摇杆BC上力偶的矩m2及铰链O、B处的约束力。

解：1、取圆轮为研究对象，受力如图（b）所示。

F A与F O组成一力偶，由平衡方程∑=0M1sin0 AM F rα-=即：其中。

得18kN 1sin30A M F r ==︒解得（）∑=0M 20 (2)sin A r M F α'-+=A AF F ='2148M M KN m==⋅18sin 30O B A M F F F KNr ====︒2、取摇杆为研究对象，画受力图。

由平衡方程：例题4*：图示电动机轴通过联轴器与工作轴相连接，联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径AC=BD= 150mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩m=2.5kN·m，试求每个螺栓所受的力为多少?解: 取联轴器为研究对象。

作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶，每个螺栓的反力，其方向如图所示。

如假设四个螺栓的受力均匀，即P1=P2=P3=P4=P，则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。

于是由:0∑=m BDAC BD P AC P m ==⨯-⨯-0kN AC m P 33.815.025.22=⨯==(每个螺栓所受的力)解：qlx q ⋅='0012llx P q dx qdx qll '==⋅=⎰⎰由合力矩定理200ll A x m P h q x x q x l'=⋅=⋅⋅=⋅⎰⎰d d 得l h 2=例5*、已知：q , l ；求：合力及合力作用线位置。

取微元如图，计算x 处的载荷集度方程：合力大小：由合力投影定理第六版P38 作业：2---12、13、16第七版P65 作业：2---6、8、问题：求A 、B 两处的约束力。

N 、By N Ay 只有 可能形成力偶 ,与M-M平衡.N N 、By CX N N Ay AX 因=0 ,只有可能形成力偶 ,与M平衡.二、空间中力对点之矩---力对点之矩矢*在研究空间力系时，各力作用线不在同一平面内，各力使刚体绕同一点转动时，其转轴的方位各不相同。

因此，要确定空间一个力对某点之矩，必须用矢量表示。

FhF m o =)( Fr F M O ⨯=)(1、空间力对点之矩矢的三要素：以r 表示由点到A 的矢径，则矢积r ×F 的模等于该力矩的大小，指向与力矩转向符合右手规则。

⑴、力矩的大小（模）----转动效应的强度。

不同的空间力矩对同一矩心，其转动效应是不同的，转动方向不同，转动平面不同，转动轴的方位不同。

⑵、转轴的方位-----力矩矢作用面的法线方向。

⑶、力矩矢的转向----使刚体绕转轴转动的方向。

βO2F xzy2、力对点之矩矢是定位矢量：力矩矢必须注明是力对某点之矩。

3F 1F F 4()o m F3、力矩矢方向的确定：用“右手螺旋法则”统一起来“三要素”以右手四指表示力矩矢的转向，则拇指指向表示力矩矢的方向。