河南省开封市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题
2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟(三)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==+>，则集合A B =U （ ）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1答案：A通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集. 解：对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-， 从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U . 故选：A. 点评：本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题. 2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．答案：C先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求. 解：由题意可知3223iz i i+==-，从而23,24,z i z i i z i =+∴+=+∴+==.点评：本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．为了贯彻素质教育，培养各方面人才，使每位学生充分发挥各自的优势，实现卓越发展，某高校将其某- -学院划分为不同的特色专业，各专业人数比例相关数据统计.如图，每位学生限修一门专业.若形体专业共300人，则下列说法错误的是（ ）A ．智能类专业共有630人B ．该学院共有3000人C ．非文化类专业共有1800人D ．动漫类专业共有800人 答案：D根据形体专业所占比例和人数可求出总人数，分别求出文化类和智能类所占比例，根据比例和总人数可求出不同专业的人数，进而可得答案. 解： 该学院共有300300010%=人，B 正确； 由题意可知，文化类共有115%18%12%10%5%40%-----=， 而智能类共有40%3%6%10%21%---=， 所以智能类专业共有300021%630⨯=人，A 正确； 非文化类专业共有300060%1800⨯=人，C 正确； 动漫类专业共有15%3000450⨯=人，故D 错误. 故选：D. 点评：本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.4．已知数列{}n a 是等比数列，48,a a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．22±B ．2C ．2±D ．2-根据韦达定理可得48,a a 均为正数，再通过等比数列的性质可得6a . 解：方程2840x x -+=的两根分别为48,a a ，48480084a a a a +>⎧∴⎨>==⎩，∴4800a a >⎧⎨>⎩，由等比数列性质可知24864a a a ==，62a ∴=±又26460,2a a q a =>∴=.故选：B. 点评：本题考查等比数列性质，考查运动知识解决问题的能力，是基础题. 5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<答案：D先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小. 解：Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即b a c <<. 故选：D. 点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要答案：B通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可. 解：当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥； 反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂， 所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．206+B ．216+C ．20D ．392答案：A由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图，根据面积公式求出每个面的面积相加即可. 解：由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图()()''''111123,1223,222222ABCE CED C AA D S S S ∆=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯⨯=在'AED ∆中，''22125,22AE ED AD =+== 可计算'AD 3'122362AED S ∆∴=⨯=，从而可得该几何体的表面积为332634206++⨯=+. 故选：A. 点评：本题考查切割体的三视图，考察空间想象能力以及运算求解能力，本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．随着交通事业的快速发展，中国高铁在我国各地已普遍建成，并投入使用，加强了各地的联系.已知某次列车沿途途经河南的安阳焦作､洛阳､郑州.开封五个城市，这五个城市有各自有名的景点：红旗渠､云台山､白马寺､二七塔､清明上河园某小朋友对河南比较陌生，他将五个景点与五个城市进行连线(一个城市对一个景点)，则他至少能连正确两对的方法数共有（ ） A ．4种 B ．5种C ．31种D ．36种答案：C分别算出该小朋友连正确两对，连正确3对，连正确4对(即5对)的方法数，相加即可. 解：该小朋友连正确两对的方法数为25220C ⨯=种； 连正确3对的方法数为35110C ⨯=种；连正确4对(即5对)的方法数为1种，至少连正确两对的方法数共有2010131++=种， 故选：C. 点评：本题考查排列组合中典型的不在其位问题，考察分析､解决问题的能力，本题问“至少”，不细心易只计算“连正确两对”的情况；另外学生会出现连正确4对与5对分开来算的情况.9．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-； ③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增.其中正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1答案：B通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.解：由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ， 又由12f A π⎛⎫=⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又(0)2f =，可得sin 26A π=， 所以4A =， 从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确.故选：B. 点评：本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.10．已知实数,a b 满足,a b R +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173B ．174C ．163D ．194答案：C由31a b +=得()()283a b a b +++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值.解：因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭ ()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C. 点评：本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．如图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，,E F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则FM =u u u u r（ ）A ．171515a b -r rB ．171515a b +r rC ．241515a b -r rD ．241515a b -r r答案：A连接,FA FD ，由,,E M A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，将,FE FA u u u r u u u r用,AB AC u u u r u u u r表示，则可得21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理,,D M C 由三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用平面向量基本定理列方程组求解. 解：连接,FA FD ，。
2020届开封市高三一模数学试卷(理科)+答案
2020年开封市高三一模数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-x-6＜0}，B=N，则A∩B=（）A. {-1，0，1，2}B. {0，1，2}C. {-2，-1，0，1}D. {0，1}2.在复平面内，复数对应的点位于直线y=x的左上方，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，0）B. （-∞，1）C. （0，+∞）D. （1，+∞）3.设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（1，-2），则tan2α=（）A. B. C. D.5.已知定义在[m-5，1-2m]上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）=2x-1，则f（m）的值为（）A. -15B. -7C. 3D. 156.某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%．其中E 等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有（）A. 45人B. 660人C. 880人D. 900人7.国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为（）A. 17米B. 22米C. 3l米D. 35米8.已知{F n}是斐波那契数列，则F1=F2=1，F n=F n-1+F n-2（n∈N*且n≥3），如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，则n=（）A. 10B. 18C. 20D. 229.设m=ln2，n=lg2，则（）A. m-n＞mn＞m+nB. m-n＞m+n＞mnC. m+n＞mn＞m-nD. m+n＞m-n＞mn10.已知F为双曲线C：的右焦点，圆O：x2+y2=a2+b2与C在第一象限、第三象限的交点分别为M，N，若△MNF的面积为ab，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 2 D.11.将函数f（x）=a sin x+b cos x的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，若g（x）的对称中心为坐标原点，则关于函数f（x）有下述四个结论：①f（x）的最小正周期为2π②若f（x）的最大值为2，则a=1③f（x）在[-π，π]有两个零点④f（x）在区间[-，]上单调其中所有正确结论的标号是（）A. ①③④B. ①②④C. ②④D. ①③12.已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则m=______．14.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为______．15.设点P为函数f（x）=ln x-x3上任意一点，点Q为直线2x+y-2=0上任意一点，则P，Q两点距离的最小值为______．16.若数列{a n}满足，则称数列{a n}为“差半递增”数列．若数列{a n}为“差半递增”数列，且其通项a n与前n项和S n满足，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a n+1+n=2a n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．18.底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA=DH=DB=4，AE=CG=3．（1）求证：EG⊥DF；（2）求二面角A-HF-C的正弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，已知点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足：RQ⊥PF，PQ⊥l．（1）求动点Q的轨迹方程E；（2）若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求的最大值．20.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，列需要检验n次；②混合检验，将其k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（Ⅰ）运用概率统计的知识，若Eξ1=Eξ2，试求p关于k的函数关系式p=f（k）；（Ⅱ）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094．21.已知函数f（x）=a•e-x+sin x，a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=1时，证明：∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；（2）若函数f（x）在（0，）上存在两个极值点，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设P是曲线C1上一点，此时参数φ=，将射线OP绕原点O逆时针旋转交曲线C2于点Q，记曲线C1的上顶点为点T，求△OTQ的面积．23.已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：（1）++≥3；（2）＞2．答案和解析1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】114.【答案】4815.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1）由已知{a n}为等差数列，记其公差为d．①当n≥2时，，两式相减可得d+1=2d，所以d=1，②当n=1时，a2+1=2a1+1，所以a1=1．所以a n=1+n-1=n；（2），，所以=．【解析】（1）设等差数列的公差为d，将已知等式中的n换为n-1，相减可得公差d=1，再令n=1，可得首项，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式可得S n，求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．18.【答案】（1）证明：连接AC，由可知四边形AEGC为平行四边形，所以EG∥AC．由题意易知AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF，因为BD∩BF=B，所以EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，所以EG⊥DF．（2）解：设AC∩BD=O，EG∩HF=P，由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，所以EH∥FG，同理可得：EF∥HG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以，从而OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O-xyz，OP=3，DH=4，由平面几何知识，得BF=2．则，，F（0，2，2），H（0，-2，4），所以，，．设平面AFH的法向量为，由，可得，令y=1，则z=2，，所以．同理，平面CFH的一个法向量为．设平面AFH与平面CFH所成角为θ，则，所以．【解析】（1）连接AC，证明EG∥AC．推出EG⊥BD，EG⊥BF，证明EG⊥平面BDHF，然后证明EG⊥DF．（2）OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O-xyz，OP=3，DH=4，求出平面AFH的法向量，平面CFH的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的正弦函数值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，即|QP|=|QF|，又因为PQ⊥l，即Q点到点F的距离和到直线l的距离相等，设Q（x，y），则，化简得y2=4x，所以动点Q的轨迹方程E为：y2=4x．（2）由题可知直线PF的斜率存在且不为0，设直线PF：y=k（x-1），CD：，则，联立可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1•x2=1．因为向量，方向相反，所以=，同理，设C（x3，y3），D（x4，y4），可得，所以，因为，当且仅当k2=1，即k=±1时取等号，所以的最大值为-16．【解析】（1）由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，Q点到点F的距离和到直线l的距离相等，设Q（x，y），运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，化简可得所求轨迹方程；（2）由题可知直线PF的斜率存在且不为0，设直线PF：y=k（x-1），CD：，分别联立抛物线方程，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，结合基本不等式可得所求最大值．本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线和两点的距离公式，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，则．计算，，所以，由E（ξ1）=E（ξ2），得k=k+1-k（1-p）k，所以（k∈N*且k≥2）．（Ⅱ），，所以，即．设，，x＞0，当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，4）上单调递增；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（4，+∞）上单调递减．且f（8）=ln8-2=3ln2-2＞0，，所以k的最大值为8．【解析】（1）利用古典概型、排列组合求出恰好经过3次检验能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）（Ⅰ）由E（ξ1）=k，ξ2的取值为1，k+1，计算对应概率与数学期望值，由E（ξ1）=E（ξ2）求得p的值；（Ⅱ）由题意得，即，设，利用导数判断f（x）的单调性，从而求得k的最大值．本题考查了概率、函数关系式、实数的最大值的求法，也考查了离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题．21.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=e-x+sin x，f′（x）=-e-x+cos x，当x≤0时，-e-x≤-1，则f′（x）≤0（x≤0）所以f（x）在（-∞，0]上单调递减，f（x）≥f（0）=1；所以：∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；（2）函数f（x）在（0，）上存在两个极值点；则f′（x）=0在（0，）上有两个不等实数根；即f′（x）=-ae-x+cos x=0在（0，）上有两个不等实数根；即a=e x cos x在（0，）上有两个不等实数根；设g（x）=e x cos x，则g′（x）=e x（cos x-sin x）；当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；又g（0）=1，，；故实数a的取值范围为：【解析】（1）求出f′（x）=-e-x+cos x，得出f′（x）≤0，则f（x）在（-∞，0]上单调递减，结论可证．（2）函数f（x）在（0，）上存在两个极值点；则f′（x）=0在（0，）上有两个不等实数根，分离参数得a=e x cos x在（0，）上有两个不等实数根；设g（x）=e x cos x，讨论函数g（x）的单调性即可解决；本题考查不等式证明，根据函数极值个数求参数的范围，函数零点问题，考查分离参数法，属于难题．22.【答案】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程为，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0．由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程为x2+y2=2；（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，∴|OQ|=，|OT|=1，则=．【解析】（1）由（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程．由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程可求；（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，求出|OQ|=，|OT|=1，再求出∠QOT的正弦值，代入三角形面积公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：（1）a，b，c＞0，++≥3•；当且仅当a=b=c取等号，故原命题成立；（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证＞2，只需证明，即证2，则有，即，所以，同理，，三式左右相加得2，故命题得证．【解析】（1）利用三元的均值不等式直接证明即可；（2）要证＞2，只需证明，即证2，由，即得，累加即可证明．考查了基本不等式的应用，中档题．第11页，共11页。
河南省开封市2020届高三下学期第三次模拟考试数学(理)答案
，点 F2 到直线 l :
y
kx m 的距离 d2
km .
k2 1
d1d2
k m
k2 1
km
k2 1
m2 k2 k2 1
2k 2 1 k 2 k2 1
1. ……11 分
综上，可知当直线 l 与椭圆 C 相切时，点 F1 ， F2 到直线 l 的距离之积为定值 1.……12 分
20.解：（1） f (x) aex axex 1 ……1 分 x
x0ex0
ln x0 x0
1 1
x0 x0
1 1，……11
分
所以 m 1．……12 分
21.解：（1）根据散点图可判断， y cxd 更适合作为 y 关于 x 的回归方程类型. ……1 分
对 y cxd 两边取对数，得 ln y ln c d ln x ，即 v ln c du ，
y kx m
联立
x2
2
y2
得 1
1 2k 2
x2 4kmx 2m2 2 0, ……8 分
4km2 4 1 2k2 2m2 2 8 m2 2k2 1 0 ，m2 1 2k2 ……9 分
点 F1 到直线 l : y
kx m 的距离 d1
k m k2 1
z
x
1
27x3
x，z
x
2
9x 3
1 ，令
z
x
0，得
x=27，……5
分
当 x 0, 27 时， z x 0，z x 单调递增；
（理科） ·2·
x0 2 e x0
ln x0
0
x0 e x0
ln x0 x0
(ln
1
ln
河南省2020 年高三第三次模拟考试理科数学试卷-含答案
）
SABO
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
10．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多
边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是
一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形
和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长
3
上单调递增， f (log2 9) f (2 2 ) f ( 5) ，即 b a c ，故选：C.
7.【答案】B
b 在 a 上投影为 2 ，即
b
cos
a ,
b
2
b
0
cos a,b 0 又
cos
a,
b
1,
0
b 2
超标的概率均为 p(0 p 1) ，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （1）当 p 1 时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；
2
（2）若每套环境监测系统运行成本为 300 元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费 用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要 100 万元.现以此方案实施，问该企 业的环境监测费用是否会超过预算(全年按 9000 小时计算)？并说明理由.
BAC BAA1 60 ，A1AC 的角平分线 AD
交 CC1 于 D .
（1）求证:平面 BAD 平面 AA1C1C ；
（2）求二面角 A B1C1 A1 的余弦值.
19．已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
河南省开封市 2020届高三 第三次模拟考试(理科数学)(含答案)
10
由表中数据得： v
u =1.5，d
uivi nuv
i 1
10
ui 2
2
nu
30.5 101.51.5 46.5 101.51.5
1，3分 3
i 1
ln c v dˆu 1.5 1 1.5 1，所以c e, 3
1
所以 y 关于 x 的回归方程为 y ex3 ……4 分
（2）
y kx m
联立
x2
2
y2
得 1
1 2k 2
x2 4kmx 2m2 2 0, ……8 分
4km2 4 1 2k2 2m2 2 8 m2 2k2 1 0 ，m2 1 2k2 ……9 分
点 F1 到直线 l : y
kx m 的距离 d1
k m k2 1
因为函数 f (x) axex ln x b 在 x 1处的切线为 y 2e 1 x e ，
所以
f f
(1) ae (1) 2ae
b
e 1
1 2e
1
……3
分
解得 a 1,b 1 ……5 分
（2）由 f (x) mx 得： xex ln x 1 mx x 0 ，即 m xex ln x 1 ，
（理科） ·2·
x0 2 e x0
ln x0
0
x0 e x0
ln x0 x0
(ln
1
ln
)(e
1 x0
)
，
x0
由于 y
xex 在 (0, ) 单调递增，故 x0
ln
1 x0
ln x0 ，即 ex0
1 x0
，……9 分
(x) 在 (0, x0 ) 减，在 (x0 ， ) 增，
河南省开封市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题PDF版含答案
开封市2020届高三第三次模拟考试数学（理科）试题参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D A C C B B D D A C A D二、填空题（每小题5分，共20分）13.0 14.14- 15. 31+ 16.33322，（本题第一空3分，第二空2分） 三、解答题（共70分） 17.解：（1）由()12=2n n n n a a a +-，得()1=2+1n n na n a +，1=2+1n n a a n n +⋅， ……3分 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列. ……5分 （2）由（1）知，1=2n n a n -，1=2n n a n -⋅. ……7分 01231=1222+32+422n n S n -⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅()12312= 1222+32+122n n n S n n -⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+⋅ ……9分0121=22+2+22n n n S n --+⋅⋅⋅+-⋅ ……10分=122n n n S n --+-⋅ ……11分()=121n n S n +- ……12分18.（1）证明：连接AC ，ABCD 是边长为2的正方形， F 是BD 的中点，也是AC 的中点，又E 是PC 的中点，∴EF ∥P A ，∵EF ⊥CD ，∴P A ⊥CD ，……2分∵AD ⊥CD ，AD∩AP=A ，∴CD ⊥平面P AD ，……4分又∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面P AD ⊥平面ABCD .……5分（2）由（1）知EF ∥P A ,∴EF 与平面PDB 所的成角等于P A 与平面PDB 所成角，取AD 中点O ，连接PO ，∵△P AD 是边长为2的等边三角形，∴PO ⊥AD 且PO=3，由（1）知平面P AD ⊥平面ABCD ，故PO ⊥平面ABCD ，……7分以O 为原点，OA ,OF ,OP 所在直线分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ， 则O (0,0,0),A (1,0,0),B (1,2,0),P (0,0,3),D (-1,0,0),()()()1,0,3,1,2,3,1,0,3,PA PB PD =-=-=--……9分 设平面PDB 的法向量为(),,x y z =n ，则=0=0PB PD ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n n ,2y 3=03=0x+z x z ⎧-⎪⎨--⎪⎩，令z =1，∴()3,3,1=-n ，2321cos ,727PA PA PA ⋅-<>===-⋅nn n ，……11分 ∴EF 与平面PDB 所成角的正弦值为721.……12分19.（1）解：椭圆C 的上顶点A 与左、右焦点1F ，2F 构成一个面积为1的直角三角形. 1b c bc =⎧∴⎨=⎩1b c ∴==，……2分 2222a b c ∴=+=……4分 ∴椭圆C 的方程为22 1.2x y +=……5分 （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±， 点1F ，2F 到直线l 的距离之积为()()21211-+=……6分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220,k x kmx m +++-=……8分 ()()()()222224412228210km k m m k ∆=-+-=---=，2212m k ∴=+……9分 点1F 到直线:l y kx m =+的距离121k md k -+=+，点2F 到直线:l y kx m =+的距离22.1k m d k +=+ 222212222221 1.1111m k k k k m k m d d k k k k -+--++∴=⋅===++++……11分综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点1F ，2F 到直线l 的距离之积为定值1.……12分20.解：（1）1()x x f x ae axe x'=+-……1分 因为函数()ln x f x axe x b =-+在1x =处的切线为()21y e x e =--，所以(1)1(1)2121f ae b e f ae e =+=-⎧⎨'=-=-⎩……3分 解得1,1a b ==-……5分 （2）由()f x mx 得：()ln 10xxe x mx x --≥>，即ln 1x xe x m x--≤， 令ln 1()x xe x x x ϕ--=，则22ln ()x x e x x x ϕ+'=，……6分 令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增， 122211110e e h e e ee ⎛⎫=-<-= ⎪⎝⎭，()10h e =>，()h x 在1(,1)e 存在零点0x ， 即02000()ln 0x h x x e x =+=，……8分0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=， 由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln x x x ==-，即001x e x =，……9分 ()x ϕ在0(0,)x 减，在0(x ，)+∞增，000000ln 111()1x min x e x x x x x ϕ--+-===，……11分 所以1m ．……12分21.解：（1）根据散点图可判断，dy cx =更适合作为y 关于x 的回归方程类型. ……1分 对dy cx =两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即ln v c du =+， 由表中数据得：=1.5v u =，1011022130.5101.51.51346.5101.51.53，分==--⨯⨯===⋯⋯-⨯⨯-∑∑i i i i i u v nuv d u nu1ˆln 1.5 1.51,3c v du c e =-=-⨯==，所以 所以y 关于x 的回归方程为13y ex =……4分（2）()()12332791，-'=-=-z x x x z x x ，令()0，'=z x 得x =27，……5分 当()0,27∈x 时，()0，'>z x ()z x 单调递增； 当()27,∈+∞x 时，()0，'<z x ()z x 单调递减. ……7分 所以预计下一年投入x =27千万元时， 年利润z 取得最大值为()132727272754z =⨯-=千万元. ……8分（3）因为20.50.53，，μσμσ-=+=所以 ()()()()0.500.53220.95450.68270.68270.818692， 分μσμσμσμσμσμσ<≤=-<≤+=-<≤-+-<≤+-=+=⋯⋯P X P X P X P X ()()10.68270.532，μσ->=>+=P X P X ……10分10.6827()020.81864 2.2718 2.27().2元-=+⨯+⨯=≈E Y ……12分 22.解：（1）已知曲线1C 的参数方程为()cos 1sin ，为参数ϕϕϕ⎧⎨⎩==+x y ， 消去参数ϕ得()221:11C x y +-=.……1分将曲线1C 化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=.……2分联立曲线1C 和2C 极坐标方程23cos 2sinρθρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得： 交点A 的极坐标为3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，化为直角坐标为33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.……5分 （2）连结OA ，由（1）A 点极坐标3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭可得：33，，π=∠=OA AOx 将直线θα=与曲线1C 和2C 联立可得()()2sin ,,23cos ,B C αααα. 2sin ,23cos ,OB OC COx BOx ααα∴==∠=∠= 63AOB AOC πα∴∠=∠=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅分()211 =sin sin 2211 =323cos sin 32sin sin 2323 =3sin 3cos sin 3 =23sin 3 =38ABC AOC AOBS S S OA OC AOC OA OB AOB ππααααπαααπα∆∆∆∴=-⋅∠-⋅∠⎛⎫⎛⎫⋅⋅--⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⋯⋯分21sin 32πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，0,.10312ππαα⎛⎫∈∴=⋯⋯ ⎪⎝⎭，分 23.解：（1）由已知得：322122m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得1322m <≤，……3分 因为,m N *∈所以1m =..……5分 （2）3a b c ++=，……6分 1+1+1+3+++=11132222a b c a b c a b c a b c ∴++⋅+⋅+⋅≤++==……8分 当且仅当1===a b c 取等号所以a b c ++最大值为3．……10分。
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，B
39 ,
，抛物线上的点 P( x, y)(
1
x
24
24
2
（ 1）求直线 AP 斜率的取值范围；
（ 2） Q 是以 AB 为直径的圆上一点，且 AP BQ=0 ，求 AP PQ 的最大值．
21.（12 分） 已知函数 f x aex x 1. .
（ 1）若 f x 的最小值为 0，求 a 的值；
3) ． 2
A. 63
B. 21
C. 21
D. 63
5.在平面直角坐标系 xOy中，角 与角 均以 Ox为始边，它们的终边关于 y 轴对称 .若 sin 1 ， 3
则 cos
A. 1
7 B.
9
C. 4 2 9
6.已知单位向量 a ， b 满足 a + b
7 D.
9 1，则 a 与 b 夹角的取值范围是
A. 0， 3
D. x |0 x 1
2.若 z 1 2i ，则 4i zz 1
A.1
B. 1
C. i
D. i
3.已知命题 p : n
2
N ,n
2n ，则
p为
A. n
2
N ,n
n
2
B. n
2
N ,n
n
2
C. n
2
N ,n
n
2
D. n N , n2=2 n
4.设等比数列 an 满足 a1 + a2 = – 1a,1 –a3 = –３，则 S6 =
为参数 ， P 是 C1 上的动点， M
如图，点 O 为长方形 ABCD 的中心， EC⊥平面 ABCD，BC= 2CD= 2，EC= 2 3 ，M 是线段 ED
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所以
f f
(1) ae (1) 2ae
b
e 1
1 2e
1
……3
分
解得 a 1,b 1 ……5 分
（2）由 f (x) mx 得： xex ln x 1 mx x 0 ，即 m xex ln x 1 ，
联立曲线
C1
和
C2
极坐标方程
2 3 cos 2 sin
得：
交点
A
的极坐标为
3,
3
，化为直角坐标为
3 2
,
3 2
.……5
分
（2）连结
OA
，由（1）
A
点极坐标
3,
3
可得：
OA
3，AOx ， 3
将直线 与曲线 C1 和 C2 联立可得 B 2sin, ,C 2 3 cos, .
x
令 ( x)
xex
ln x
x
1
，则 ( x)
x2ex x2
ln
x
，……6
分
令 h(x) x2ex ln x ， h(x) 在 (0, ) 单调递增，
h
1 e
1 e2
1
ee
1
e2 e2
1
0 ， h1
e
0
， h(x)
在 (1 ,1) 存在零点 e
x0
，
即 h(x0 ) x02ex0 ln x0 0 ，……8 分
16. 3 ，3 3 （本题第一空 3 分，第二空 2 分） 22
17.解：（1）由
n
an1
2an
河南省开封市2020届高三第三次模拟考试理科综合试题
开封市2020届高三第三次模拟考试理科综合试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 B 11 O 16 Mg 24 S 32 Cl 35．5 Mn 55 Ba 137第Ⅰ卷一、选择题（本题包括13小题，每小题6分，共78分，每小题只有一个合理的选项）1．用相同的培养液培养水稻和番茄，一段时间后，测定培养液中各种离子的浓度，结果如右图所示。
下列与离子吸收有关的叙述，错误的是A ．同种植物对不同离子的吸收速率不同B ．水稻吸收水分的速率大于吸收Mg 2＋、Ca 2＋的速率C ．番茄吸收大量的44SiO －，而水稻几乎不吸收44SiO －D ．植物对离子的吸收速率在一定范围内随O 2浓度增大而增大2．下列关于酶的叙述，错误的是A ．验证酶的专一性，自变量可以是酶或底物的种类B ．吞噬细胞可利用细胞内的酶来处理其摄取的病原体C ．DNA 聚合酶和RNA 聚合酶都能催化形成磷酸二酯键D ．探究酶作用的最适温度时，应设置高温、室温、低温三组实验3．下列关于细胞分裂的叙述错误的是A ．细胞分裂时要首先进行DNA 复制B ．染色体的自由组合不是配子多样性的唯一原因C ．等位基因的分离一定发生在减数第一次分裂的后期D ．有丝分裂与减数分裂均可发生基因突变和染色体变异4．下列有关人体内环境与稳态的叙述，正确的是A ．生成与回流的组织液中氧气的含量相等B ．剧烈运动时，肌细胞代谢产物会使组织液pH 升高C ．HIV 感染T 细胞后，可在T 细胞内完成逆转录过程D ．甲状腺激素的作用是通过分级调节和负反馈调节来实现的5．植物激素对植物的生长发育有显著影响。
2020年河南省开封市高考数学三模试卷(理科) (含解析)
2020年河南省开封市高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈R|0<x <1}，B ={x ∈R|(2x −1)(x +1)≤0}，则(∁R A)∩B( )A. [0,12] B. [−1,0]C. [12,1]D. (−∞,−1]∪[0,+∞)2. 在复平面内的平行四边形ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是6+8i ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是−4+6i ，则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是( )A. 2+14iB. 1+7iC. 2−14iD. −1−7i3. 设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a|a|>b|b|”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4. 近几年，在国家大力支持和引导下，中国遥感卫星在社会生产和生活各领域的应用范围不断扩大，中国人民用遥感卫星系统研制工作取得了显着成绩，逐步形成了气象、海洋、陆地资源和科学试验等遥感星系统．如图是2007−2018年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模(万亿)及增速(%)的统计图，则下列结论中错误的是( )A. 2017年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模达到2550亿元，较2016年增长20.40%B. 若2019年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模保持2018年的增速，总体产值规模将达3672亿元C. 2007−2018年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模逐年增加，但不与时间成正相关D. 2007−2018年中国卫星导航与位置服务产业总休产值规模的增速中有些与时间成负相关5. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为( )A. 1B. 2C. 32 D. 746. 为了得到函数y =3sin(2x +π4)的图象，只需把函数y =3sin2x 的图象上所有的点( )A. 向左平移π4单位 B. 向左平移π8个单位 C. 向右平移π4个单位D. 向右平移π8个单位7. 已知函数f(x)=x(x −c)2在x =2处取极大值，则常数c 的取值范围为( )A. 2B. 6C. 2或6D. −2或−68. 若不等式组{x +y ≤1x −y ≥−1y ≥0，所表示的平面区域被直线x +y =z 分成面积相等的两部分，则z =( )A. 12B. √22C. √2−1D. 2√2−19. 若θ是△ABC 的一个内角，且sinθ⋅cosθ=−18，则sinθ−cosθ的值为( )A. 54B. ±√52C. √52D. −√5210. 甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为45和34，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为( )A. 1920B. 35C. 25D. 72011.若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，f(2)=0，则f(3−x)>0的解集是()A. (−2,2)B. (−∞,1)∪(5,+∞)C. (1,5)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)12.已知三棱锥P−ABC,AC=√2,BC=1,AC⊥BC且PA=2PB,PB⊥平面ABC，其外接球体积为()A. 4π3B. 4π C. 32π3D. 4√3π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S5=30，则a7+a8+a9=________．14.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，a⃗⋅b⃗ =1，则a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=______．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1，F2，离心率为√3.若C上一点P满足|PF1|−|PF2|=2√3，则C的方程为______．16.已知，在△ABC中B=π3，b=2，S▵ABC的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n−n=2(a n−2)，(n∈N∗).(1)证明：数列{a n−1}为等比数列；(2)若b n=a n⋅log2(a n−1)，数列{b n}的前n项和为T n，求T n.18.如图，在四棱锥P−ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．(Ⅰ)求证BD⊥平面PAC;(Ⅱ)若PA=AB=BD，求PC与平面PBD所成角的正弦值．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,左焦点为F,P(−a4,5√32)是椭圆C上的一点,且PA⊥FP.(1)求椭圆C的方程(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求证:椭圆两焦点F1,F2到动直线的距离之积为定值.20. 函数f(x)=xe x −ax +b 的图象在x =0处的切线方程为：y =−x +1．(1)求a 和b 的值；(2)若f(x)满足：当x >0时，f(x)≥x 2+m ，求实数m 的取值范围．21. 某家庭为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表，经过统计分析，发现气温在一定范围内时，用电量与气温具有线性相关关系：(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中所得的线性回归方程，预测气温为8℃时的用电量；参考公式：用最小二乘法求线性回归方程，其中系数b ̂=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx2；a ̂=y −b ̂x ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数，0<α<π2)，曲线C 1：{x =2cosβ,y =4+2sinβ(β为参数)，l 1与C 1相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1的极坐标方程及点A 的极坐标；(2)已知直线l 2：θ=π6(ρ∈R)与圆C 2：ρ2−4√3ρcosθ+2=0交于B ，C 两点，记△AOB 的面积为S 1，△COC 2的面积为S 2，求S 1S 2+S2S 1的值．23. 设函数f(x)=|x +1|−|x|的最大值为m ．(1)求m 的值；(2)若正实数a ，b 满足a +b =m ，求a 2b+1+b 2a+1的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B ={x ∈R|(2x −1)(x +1)≤0}={x|−1≤x ≤12}， ∁R A ={x|x ≤0或x ≥1}， 则(∁R A)∩B ={x|−1≤x ≤0}． 故选B ．先求出集合B 与∁R A ，再求(∁R A)∩B ． 本题考查了集合的运算，属于基础题．2.答案：D解析：本题考查握复数的几何意义，向量的平行四边形法则．属于基础题． 利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出． 解：根据题意由平行四边形法则可得：{AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,8)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,6)，解得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,7)， ∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−7)，即DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是−1−7i ． 故选D ．3.答案：C解析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键． 解：若a >b ，①a >b ≥0，不等式a|a|>b|b|等价为a ⋅a >b ⋅b ，此时成立．②0>a>b，不等式a|a|>b|b|等价为−a⋅a>−b⋅b，即a2<b2，此时成立．③a≥0>b，不等式a|a|>b|b|等价为a⋅a>−b⋅b，即a2>−b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|>b|b|，①当a>0，b>0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a−b)(a+b)>0，因为a+b>0，所以a−b>0，即a>b．②当a>0，b<0时，a>b．③当a<0，b<0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a−b)(a+b)<0，因为a+b<0，所以a−b>0，即a>b.即必要性成立，综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件，故选：C．4.答案：C解析：解：对于A，根据图中数据可知2017年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模达到2550亿元，较2016年增长20.40%，故A正确；对于B，2019年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模保持2018年的增速，即为20%，∴2019年总体产值规模为3060×(1+20%)=3672(亿元)，故B正确；对于C，根据正相关的定义，散点位于从左下角到右上角区域，则两个变量具有正相关关系，故C 错误；对于D，根据负相关的定义，散点位于从左上角到右下角区域，则两个变量具有负相关关系，故D 正确．故选：C．利用2007−2018年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模(万亿)及增速(%)的统计图，结合正相关、负相关的性质直接求解．本题考查命题真假的判断，考查统计图的性质、正相关、负相关的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得x=1，b=1x=2不满足条件|x −b|≤12，执行循环体，b =2，x =74 此时，满足条件|x −b|=14≤12，退出循环，输出x 的值为74． 故选：D ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 解：把函数y =3sin2x 的图象上所有的点向左平移π8个单位， 可得函数y =3sin2(x +π8)=3sin(2x +π4)的图象， 故选B ．7.答案：B解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．由已知函数f(x)=x(x −c)2在x =2处有极大值，则必有f′(2)=0，且在x =2的左侧附近f′(x)>0，右侧附近f′(x)<0，据此即可求出c 的值．熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键． 解：∵f′(x)=(x −c)2+2x(x −c)=3x 2−4cx +c 2， 且函数f(x)=x(x −c)2在x =2处有极大值， ∴f′(2)=0，即c 2−8c +12=0，解得c =6或2．经检验c =2时，函数f(x)在x =2处取得极小值，不符合题意，应舍去． 故c =6， 故选B ．。
2020年河南省开封市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷四
数学试卷一、选择题1.设集合{}21x A y y ==-,{}1B x x =≥,则()R A B ⋂=ð（ ）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,1-D ．[)1,+∞2.已知复数12i 2i 1i z z +=++，则z =（ ）ABCD3.在等比数列{}n a 中,131a a +=,5791120a a a a +++=,则1a =（ ） A ．16B ．13C ．2D ．44.如图，在正方形OABC 内任取一点M,则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ）A.14B.25 C. 13D.375.已知ππsin 3cos 36αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan2α=（ ）A ．-B ．C ．D6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B CD 8.已知函数()221log 2x f x x +=-,若()f a b =,则()4f a -=（ ）A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -9.已知将函数()()ππsin 06,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于π4x =对称，则ωϕ⋅=（ ） A ．3π4-B ．2π3-C ．2π3D ．34π10.已知实数,x y 满足13y x y ax ≤≤+≤+，若2y x -的最大值是3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞B ．[]1,3C ．(],2-∞D ．[)2,+∞11.已知函数()ln ,0,0x x f x ax x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,112.在一个圆锥内有一个半径为R 的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最小值为9π2，则R =（ ）A ．1B ．C ．2D 二、填空题13.已知向量a r ,b r 满足2a =r ,2b =r ,向量a r 在向量b r方向上的投影为1,则2a b -=r r ______. 14.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为 .15.在数列{}n a 中,1a a =,()11cos πn n a a n +=+,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若20192019S =-,则a =______.16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为,A B 点P 在曲线C 上，若PAB △中，π2PBA PAB ∠=∠+，则双曲线C 的渐近线方程为_______________. 三、解答题17.如图ABC △中,D 为BC 的中点,AB =4AC =,3AD =.(1).求边BC 的长；(2).点E 在边AB 上,若CE 是BCA ∠的角平分线,求BCE △的面积.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==， 90ACB ∠=︒.(1).求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；(2).若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值19.已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且3OA OB ⋅=-u u u r u u u r．(1).求抛物线C 的方程；(2).过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于,P Q 两点,记OAB △,OPQ △的面积分别为1S ,2S ,证明：221211S S +为定值. 20.2019年1月4日，据“央视财经”微信公众号消息，点外卖已成为众多消费者一大常规的就餐形式，外卖员也成为了一种职业.为调查某外卖平台外卖员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计得如下频率分布直方图：将上述调查所得到的频率视为概率.(1).求a 的值，并估计利用该外卖平台点外卖用户的平均送餐距离；(2).若该外卖平台给外卖员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元.①.记X 为外卖员送一份外卖的牧入（单位：元），求X 的分布列和数学期望；②.若外卖员一天的收入不低于150元，试利用上述数据估计该外卖员一天的送餐距离至少为多少千米？21.已知函数()2e x f x ax =-，且曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线()e 20x y +-=垂直. (1).求函数()f x 的单调区间；(2).求证：0x >时，()e e 1ln 1x x x x --≥-22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：2x y αα⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-. (1).求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2).若曲线1C 与2C 交于,A B 两点,,A B 的中点为M ,点()0,1P -,求PM AB ⋅ 的值. 23.已知函数()21f x x a x =--+. (1).当1a =时，求不等式()1f x ≥的解集；(2).若()20f x a --≤恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1.答案：C解析：集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1}＝（﹣1，+∞），B ＝{x |x ≥1}＝[1，+∞）， 则∁R B ＝（﹣∞，1）则A ∩（∁R B ）＝（﹣1，1）， 故选：C ． 2.答案：A 解析：由题()()()()()()123121217z 11233310i i i i ii i i i i +++++====+---+ 故z=故选：A 3.答案：B解析：因为()45713a a a a q +=+＝＝q 4，()891113a a a a q +=+所以q 8+q 4＝20，所以q 4＝4或q 4＝﹣5（舍）， 所以q 2＝2，13a a +211a a q =+=13a ＝1，所以1a 13=． 故选：B ． 4.答案：C解析：由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S 阴1=⎰（1）dx ＝（x 3223x -）101|3=，设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得：P （A ）11313S S ===阴正方形， 故选：B ．5.答案：A解析：由题11sin 3sin 22αααα⎫=-+⎪⎪⎝⎭，则tan α=故tan2α=22tan =1tan αα--故选：A 6.答案：C解析：三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD ：由正方体的性质得A ,,BC BCD ACD △△△ 为直角三角形，ABC △ 为正三角形 故选：C7.答案：D 解析：如图，c =，则222b c =，即222)2(a c c =﹣，则2223a c =，∴2223c a =，即e c a == 故选：D ． 8.答案：B解析：因为()()()()22222213log log log 42222x xf x f x x x -++-=+==--- 故函数()f x 关于点（2,1）对称，则()4f a -=2b - 故选：B 9.答案：A解析：()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则12k Z ∈，k ，得()12=3k k πωπ- ，即()12=3k k ω-，又06ω<<，故=3ω，=4πϕ-，则ωϕ⋅=34π-故选：A 10.答案：A 解析：令z y 2x =-当3a >时，不等式组的可行域如图阴影所示：将目标函数变形得y ＝2x +z ，由题知z 无最大值，舍去 当13a <?时，不等式组的可行域如图阴影所示：将目标函数变形得y＝2x+z，由题知z最大时，直线的纵截距最大，在（0,3）取得最大3，符合题意；a≤时，不等式组的可行域如图阴影所示当1将目标函数变形得y＝2x+z，由题知z最大时，直线的纵截距最大，在（0,3）取得最大3，符合题意；a≤综上：3故选：A．11.答案：B解析：设g（x）＝﹣f（﹣x），则y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于原点对称，方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，由图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与y ＝lnx 切于点P （x 0，y 0）， 由f ′（x ）1x=， 则y ＝lnx 的切线为y ﹣lnx 001x =（x ﹣x 0）， 又此直线过点（0，0）， 所以lnx 0＝1， 所以x 0＝e ， 即f ′（e ）1e=， 即过原点的直线与y ＝lnx 相切的直线方程为y 1e=x ， 即所求a 的取值范围为01a e＜＜， 故选：B ． 12.答案：D解析：几何体如图一所示：其正视图如图二所示设圆锥的底面圆心为O , 半径为r ，高为h ,则OA h =,rh R =又圆锥体积223222222111πππ333h R h V r h h R h R h R===-- 令()f h = ()32221π3h R h R h R >-，则()()()222'222231π3h h R f h R h R -=- 当()()''0,;0,f h h f h R h >⇒><⇒<<，故()f h在),+∞单调递增，在()R单调递减，故()f h 在h =取得最小值，此时42min 22139ππ,332R V R R R R =⋅=⇒-故选：B 13.答案：解析：因为向量a r 在向量b r方向上的投影为1则cos 12a ba ab bθ⋅==∴⋅=r rr r r r ，∴|2a b -r r |==＝故答案为14.答案：23解析： ①.设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9，②.设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9，③.设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为45C =5，综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝23， 故答案为：23． 15.答案：1010解析：当n 为偶数，11n n a a +=+， 当n 为奇数，()11n n a a +=-+即1+=1n n a a + 故20n n a a ++= 即{}n a 为周期为4的数列， 又()()1234==1=21a a a a a a a a +-+=-+，，， 故()()()12341212a a a a a a a a +++=++-+-+=-故()20191235042+100812019S a a a a =⨯-++=-+-=-，则a =1010 故答案为101016.答案：y x =± 解析：如图过B 作BM ⊥x 轴， ∵∠PBA ＝∠P AB π2+，则∠P AB ＝∠PBM ， ∴∠P AB +∠PBx 2π=．即k P A •k PB ＝1．设P （x ，y ），又A （﹣a ，0），B （a ，0）．1y y x a x a⋅=+-，∴222x y a -=， ∴a ＝b ，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ， 故答案为：y ＝±x 17.答案：(1).因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，在ADB △和ADC △中由余弦定理，得222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⨯⨯，因为AB =，4AC =，3AD =，BD DC =，所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =. 所以边BC 的长为10.(2).由(1)知ADC △为直角三角形，所以14362ADC S =⨯⨯=△，212ABC ADC S S ==△△.因为CE 是BCA ∠的角平分线，所以1sin 21sin 2ACE BCEAC CE ACES S BC CE BCE ⨯⨯∠=⨯⨯∠△△42105AC BC ===. 所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S =+=+△△△△△7125BCE S ==△，所以607BCE S =△.即BCE △的面积为607.解析：18.答案：(1).因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A I 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1A C ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥.因为11B C BC ∥，所以111AC B C ⊥.因为11ACC A 是平行四边形，且1AA AC =， 所以11ACC A 是菱形，11AC AC ⊥.因为1111AC B C C ⋂=， 所以1A C ⊥平面11AB C .又1A C ⊂平面11A B C ， 所以平面11AB C ⊥平面11A B C .(2).取AC 的中点M ，连接1A M ，因为11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒， 所以1ACA ∆是正三角形，所以1A M AC ⊥，且1A M AC =.令122AA AC CB ===，则1A M =所以以C 为原点，以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过点C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()2,0,0A，(1C -，()0,1,0B，(1A ，()2,0,0CA =u u u r，(()111110,1,0CB CC C B CC CB =+=+=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u ur (=-，(1CA =u u u r.设平面1ACB 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则10n CA n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，所以20x x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得0x =，令1z =，则y =()0,n =r .由（1）知1A C ⊥平面11A B C，所以(1CA =u u u r是平面11A B C 的一个法向量，所以111cos ,CA n CA n CA n ⋅<>=⋅u u u r ru u u r r u u u rr ==.所以二面角11C AB C --.解析：19.答案：(1).设直线:1l x my =+,与22y px =联立消x 得:2220y pmy p --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，122y y p =-. 因为g x （），所以()()1112222111OA OB x x y m y y y y y m ⋅++==++u u u r u u u r()()2121211m y y m y y =++++()()221221213m p pm p =+-++=-+=-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.(2).由(1)知()1,0M 是抛物线C 的焦点，所以21212244AB x x p my my p m =++=+++=+. 原点到直线l的距离d =，所以()21412OAB S m =+=△. 因为直线'l 过点()1,0且'l l ⊥，所以OPQ S =△所以()()2222212111144141m S S m m +=+=++. 即221211S S +为定值14.解析：20.答案：(1).因为()0.050.1520.3011a +++⨯=，解得0.25a =.点外卖用户的平均送餐距离为0.050.50.25 1.50.3 2.50.25 3.50.15 4.5 2.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千米. (2).①由题意知X 的所有可能取值为3，5，9.()30.050.250.30P X ==+=；()50.300.250.55P X ==+=；(9)0.15P X ==. 所有X 的分布列为X 的数学期望为()30.3050.5590.155E X =⨯+⨯+⨯=（元）.②因为150530÷=，则估计外卖员一天至少要送30份外卖，所以该外卖员一天的送餐距离至少为30 2.781⨯=千米.解析：21.答案：(1).由()2e x f x ax =-，得()'e 2x f x ax =-.因为曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线()e 20x y +-=垂直，所以()'1e 2e 2f a =-=-，所以1a =，即()2e x f x x =-，()'e 2x f x x =-. 令()e 2x g x x =-，则()'e 2x g x =-.所以(),ln 2x ∈-∞时，()'0g x <，()g x 单调递减；()ln 2,x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 单调递增.所以()()min ln 222ln 20g x g ==->，所以()'0f x >，()f x 单调递增.即()f x 的单调增区间为(),-∞+∞，无减区间(2).由（1）知()2e x f x x =-，()1e 1f =-，所以()y f x =在1x =处的切线为()()()e 1e 21y x --=--，即()e 21y x =-+.令()()2e e 21x h x x x =----，则()()()'e 2e 2e e 21x x h x x x =---=---， 且()'10h =，()''e 2x h x =-，(),ln 2x ∈-∞时，()''0h x <，()'h x 单调递减；()ln 2,x ∈+∞时，()''0h x >，()'h x 单调递增.因为()'10h =，所以()()min ''ln 24e 2ln 20h x h ==--<，因为()'03e 0h =->，所以存在()00,1x ∈，使()00,x x ∈时，()'0h x >，()h x 单调递增； ()0,1x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；()1,x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增. 又()()010h h ==，所以0x >时，()0h x ≥，即()2e e 210x x x ----≥， 所以()2e e 21x x x ---≥. 令()ln x x x ϕ=-，则()11'1x x x xϕ-=-=.所以()0,1x ∈时，()'0x ϕ>，()x ϕ单调递增； ()1,x ∈+∞时，()'0x ϕ<，()x ϕ单调递减，所以()()11x ϕϕ≤=-，即ln 1x x +≤， 因为0x >，所以()2ln 1x x x +≤，所以0x >时，()()e e 21ln 1x x x x ---≥+， 即0x >时，()e e 1ln 1x x x x --≥-. 解析：22.答案：(1).曲线1C 的普通方程为()2225x y +-=.由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.(2).将两圆的方程()2225x y +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为10x y --=. 点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)代入22430x y x +-+=化简得240t -+=，所以12t t +=124t t =. 因为点M对应的参数为122t t +=，所以12122t t PM AB t t +⋅=⋅-=3= 解析：23.答案：(1).当1a =时，()3,22112,123,1x f x x x x x x ->⎧⎪=--+=--≤≤⎨⎪<-⎩， 当2x >时，31-≥，无解；当12x -≤≤时，121x -≥，得0x ≤，所以10x -≤≤； 当1x <-时，3≥1，符合.综上，不等式()1f x ≥的解集为(],0-∞.(2).因为()20f x a --≤恒成立等价于()max 2f x a ≤+， 因为()212121x a x x a x a --+≤--+=+， 所以212121a x a x a -+≤--+≤+.所以212a a +≤+，所以2212a a a --≤+≤+，解得11a -≤≤. 所以所求实数a 的取值范围为[]1,1-. 解析：。
2020年河南开封高三下学期高考模拟理科数学试卷(3月)-学生用卷
2020年河南开封高三下学期高考模拟理科数学试卷（3月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第1题5分已知集合A={x|x>−1}，B={x|lnx<0}，则A∩B=（）．A. {x|x>0}B. {x|x>1}C. {x|−1<x<1}D. {x|0<x<1}2、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第2题5分2016年高考真题全国卷III理科第2题5分2020~2021学年10月浙江绍兴诸暨市浙江省诸暨中学高三上学期月考第2题4分2019~2020学年9月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第2题2018~2019学年辽宁沈阳高二下学期期中文科市级重点高中协作校第4题5分=（）．若z=1+2i，则z⋅z−1A. 1B. −1C. iD. −i3、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第3题5分2019~2020学年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二上学期期中文科第2题3分2017~2018学年广东惠州惠阳区广东惠阳高级中学高二上学期期中期中第1题5分2016~2017学年北京西城区北京市第四中学高三上学期期中理科第2题5分2017~2018学年1月湖北宜昌远安县远安县第一高级中学高二上学期月考理科第1题5分设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为（）．A. ∀n∈N,n2>2nB. ∃n∈N,n2⩽2nC. ∀n ∈N ,n 2⩽2nD. ∃n ∈N ,n 2=2n4、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第4题5分设等比数列{a n }满足a 1+a 2=−1，a 1−a 3=−3，则S 6=（ ）．A. −63B. −21C. 21D. 635、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第5题5分2020年河南开封高三下学期高考模拟文科第7题5分在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos(α−β)=（ ）． A. −1B. −79C. 4√29D. 796、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第6题5分已知单位向量a →，b →满足|a →+b →|>1，则a →与b →夹角的取值范围是（ ）．A. [0,π3)B. [0,2π3) C. (π3,π]D. (2π3,π]7、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科（3月）第7题5分2015~2016学年北京丰台区北京市第十二中学高二上学期期中理科第6题5分2017~2018学年9月浙江杭州拱墅区杭州源清中学高三上学期月考理科第5题4分2020年河南开封高三下学期高考模拟文科（3月）第8题5分2017~2018学年四川成都锦江区成都树德中学外国语校区高一下学期期末理科第4题5分一个四面体的顶点在空间直角坐标系O−xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）．A.B.C.D.8、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第8题5分2020年河南开封高三下学期高考模拟文科第9题5分关于渐近线方程为x±y=0的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等，②离心率是√2，③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等，④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为√2．其中所有正确结论的编号是（）．A. ①②B. ①③C. ①②③D. ②③④9、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第9题5分函数y=cosx+ln|x|的图象大致为（）．A.B.C.D.10、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第10题5分2019~2020学年3月广东深圳龙华区深圳外国语学校龙华高中部高二下学期周测D卷第9题5分为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资．某工厂为了监控转产产品的质量，测得某批n件产品的正品率为98%，现从中任意有放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率为（）．A. 0.998816B. 0.9996C. 0.057624D. 0.00118411、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第11题5分在△ABC中，A=π2，AB=3，AC=4，动点P在△ABC的内切圆上，若AP→=λAB→+μAC→，则λ+μ的最大值为（）．A. 16B. 12C. 1D. 212、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第12题5分设a，b∈R，数列{a n}满足a1=a，a n+1=a n2+b，n∈N∗则（）．A. 当b=−6，a8>10B. 当b=−2，a8>10C. 当b=14，a8>10D. 当b=12，a8>10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第13题5分(1 x −x)10的展开式中x4的系数是．14、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第14题5分曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线与x轴交于点(−12,0)，则a=．15、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第15题5分已知F1，F2是椭圆E:x 2a2+y23=1的左，右焦点，点M在E上，且∠F1MF2=2π3，则△F1MF2的面积为．16、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第16题5分已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x)+f(2−x)=0，且当x∈(0,1)时，f(x)=x2．则f(1)=，g(x)=f(x)−|lg x|，则函数g(x)的零点共有个．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第17题12分△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosB=−1，，△2ABC的面积是否存在最大值?若存在，求对应三角形的三边；若不存在，说明理由．从①a+c=2，②b=√3a这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第18题12分如图，点O为长方形ABCD的中心，EC⊥平面ABCD，BC=2CD=2，EC=2√3，M是线段ED 上不同于E的动点，N是线段AC上的动点．(1) 求证：平面ABE⊥平面CBE．(2) 求二面角M−BE−N的取值范围．19、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第19题12分2020~2021学年陕西西安碑林区西安建筑科技大学附属中学高二下学期期中文科第22题12分海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如图：(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率．(2) 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3) 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．20、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第20题12分已知地物线x2=y，点A(−12,14)，B(32,94)，抛物线上的点P(x,y)(−12<x<32)．(1) 求直线AP斜率的取值范围．(2) Q是以AB为直径的圆上一点，且AP→⋅BQ→=0，求AP→⋅PQ→的最大值．21、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第21题12分已知函数f(x)=ae x−x−1．(1) 若f(x)的最小值为0，求a的值．(2) 设m为整数，且对于任意正整数n，(1+12)(1+122)⋯(1+12n)<m，求m的最小值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=4cosαy=4+4sinα（α为参数），P是C1上的动点，M是OP的中点，M点的轨迹为曲线C2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1) 求C1，C2的极坐标方程．(2) 射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年河南开封高三下学期高考模拟理科第23题10分2020年河南开封高三下学期高考模拟文科第23题10分已知函数f(x)=|x−12|，M为不等式f(x)+f(x+1)<2的解集．(1) 求M．(2) 证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．1 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 C;4 、【答案】 B;5 、【答案】 B;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 A;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】−120;14 、【答案】1;15 、【答案】3√3;16 、【答案】0;6;17 、【答案】①②;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;]．(2) [0,π3;19 、【答案】 (1) 0.4092．;(2) 有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．;(3) 52.35．;20 、【答案】 (1) (−1,1)．;(2) 27．16;21 、【答案】 (1) a=1．;(2) m的最小值为3．;22 、【答案】 (1) C1的极坐标方程为ρ=8sinθ，C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．;(2) |AB|=2√3．;23 、【答案】 (1) M={x|−1<x<1}．;(2) 证明见解析．;。
2020年河南省开封市第四高级中学高三数学理测试题含解析
2020年河南省开封市第四高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个三棱锥的底面是等边三角形，各侧棱长均为，那么该三棱锥的体积最大时，它的高为（）A．B．C．1 D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥P﹣ABC中，设底面边长为a，求出高，可得体积，换元，利用导数确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，设底面边长为a，则高．所以它的体积，设y=﹣a6+9a4（a＞0），令t=a2（t＞0）则y=﹣t3+9t2，y'=﹣3t2+18t=﹣3t（t﹣6），所以函数y在（0，6）上单调递增，在（6，+∞）上单调递减，所以当t=6时y最大，V也最大，此时，故选C．【点评】本题考查三棱锥体积的计算，考查导数知识的运用，确定三棱锥体积的表达式是关键．2. 圆关于直线对称的圆的方程是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：答案：C解析：圆，圆心（1，0），半径，关于直线对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线上，C中圆的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。
3. 设、是两个非零向量，则“∥”是“?=||?||”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量数量积的意义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若?=||?||cos＜，＞=||?||，即cos＜，＞=1，故＜，＞=0，即∥且方向相同，即必要性成立，若＜，＞=π，满足∥但?=||?||cos＜，＞=﹣||?||，即充分性不成立，故“∥”是“?=||?||”成立的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积与向量夹角之间的关系是解决本题的关键．4. 若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n 等于（）A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1），此时最大值z=2×2﹣1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（﹣1，﹣1），最小值为z=﹣2﹣1=﹣3，故最大值m=3，最小值为n=﹣3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：C5. 如图：ＰＡ⊥⊙Ｏ所在的平面，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是⊙Ｏ上的一点，ＡＥ⊥ＰＣ，ＡＦ⊥ＰＢ，给出下列结论①ＡＥ⊥ＢＣ，②ＡＥ⊥ＰＢ，③ＡＦ⊥ＢＣ④ＡＥ⊥平面ＰＢＣ，其中正确命题的序号是（）（Ａ）①②（Ｂ）①③（Ｃ）①②④（Ｄ）①③④参考答案：C略6. 设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2＝3，a6＝11,则S7等于．A．13 B．35 C．49 D．63参考答案：7. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。
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开封市2020届高三第三次模拟考试
数学（理科）试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x｜x2－4x＋3＞0}，B＝{x｜2x－3＞0}，则集合（C R A）∩B＝
A．（－3，3
2
）B．（
3
2
，3）C．[1，
3
2
）D．（
3
2
，3]
2．如右图，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C在复平面内分别表示0，3＋2i，－2＋4i，则点B对应的复数为
A．1＋6i B．5－2i
C．1＋5i D．－5＋6i
3．已知a，b∈R，则“a＞b”是“a｜a｜＞b｜b｜”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是
A ．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加
B ．2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加
C ．2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人
数也近似相等
D ．2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30．5％
5．执行右面的程序框图，若输入x 的值为18，则输出的y ＝ A ．14 B ．12 C ．2 D ．4
6．为了得到函数()2sin 2cos2y x x ＝＋的图象，只需把函数
y ＝2sin2x 图象上所有的点
A ．向左平移
4
π个单位长度 B ．向左平移8
π个单位长度 C ．向右平移4
π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度 7．已知函数f （x ）＝x （x －c ）2在x ＝2处取极大值，则c ＝
A ．－2或－6
B ．2或6
C ．2
D ．6
8．若不等式组0043120x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩
≥，≥，＋－≤，所表示的平面区域被直线z ＝3x －4y 分为面积相等的两部
分，则z 的值是
A
．16－ B
．92
－ C
．6－ D
．16 9．已知A 是△ABC 的一个内角，且sinA ＋cosA ＝a ，其中a ∈（0，1），则关于tanA 的值，
以下答案中，可能正确的是
A ．－2
B ．－12
C ．12
D ．2 10．某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A 到过疫区，B 确定是受
A 感染的．对于C 因为难以判定是受A 还是受
B 感染的，于是假定他受A 和B 感染的概率都是12．同样也假定D 受A ，B 和
C 感染的概率都是13
．在这种假定下，B ，C ，D 中恰有两人直接受A 感染的概率是
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
11．若函数f （x ）对a ∀，b ∈R ，同时满足：（1）当a ＋b ＝0时有f （a ）＋f （b ）＝0；（2）
当a ＋b ＞0时有f （a ）＋f （b ）＞0，则称f （x ）为Ω函数．下列函数中：
①f （x ）＝x －sinx ，②f （x ）＝e x －e －x ，③f （x ）＝e x ＋e －x ，④()0010x f x x x
⎧⎪⎨⎪⎩，＝，＝－，≠， 是Ω函数的为
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
12．已知三棱锥D —ABC 中，DA ⊥平面ABC ，AB ＝AD ＝2，BC
AC ，则三棱锥D —
ABC 体积最大时，其外接球的体积为
A
．3 B
．3 C
．3 D
．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若5S ＝24a ，则7a ＝__________．
14．若平面向量a ，b 满足｜a ＋b
，｜a －b
a ·
b ＝__________．
15．已知F 1，F 2是双曲线C ：22
221x y a b
－＝（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点，若△POF 2为等边三角形，则C 的离心率e ＝__________．
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，c
＝tanA ＝2tanB ，
则cosA ＝__________，△ABC 的面积为__________．（本题第一空3分，第二空2分）
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知数列{n a }满足：1a ＝1，n （1n a ＋－2n a ）＝2n a ，n N ∈．
（1）证明：数列{n a n
}是等比数列； （2）求数列{n a }的前n 项和n S ．
18．（12分）
如图，四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△PAD 为等边三角形，
E ，
F 分别为PC 和BD 的中点，且EF ⊥CD ．
（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）求EF 与平面PDB 所成角的正弦值．
19．（12分）
已知椭圆C ：22
221x y a b
＋＝（a ＞b ＞0）的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为
1的直角三角形．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l 与椭圆C 相切，求证：点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值．
20．（12分）
已知函数f （x ）＝axe x －lnx ＋b 在x ＝1处的切线方程为y ＝（2e －1）x －e ．
（1）求a ，b 值；
（2）若f （x ）≥mx 恒成立，求实数m 的取值范围．
21．（12分）
当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科
技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖
端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用， 需了解该产品年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）和年利润z
（单位：千万元）的影响．根据市场调研与模拟，对收集的数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，…，
10）进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：
表中u i ＝lnx i ，v i ＝lny i ．
（1）根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝cx d 哪一个更适合作为年销售量y 关于年研发费
用x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
附：对于一组数据（u i ，v i ）（i ＝1，2，3，…，n ），其回归直线ˆˆˆv
u βα＝＋的斜率和截 距的最小二乘估计分别为
（2）已知年利润z 与x ，y 的关系为27z y x e
＝－（其中e 为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?
（3）科技升级后，该产品的效率X 大幅提高，经试验统计得X 大致服从正态分布N （0．52，
0．012）．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若X 不超过50％，不予奖励；若X 超过50％，但不超过53％，每件产品奖励2元；若X 超过53％，每件产品奖励4元．记Y 为每件产品获得的奖励，求E （Y ）（精确到0．01）．
附：若随机变量X ～N （μ，σ2）（σ＞0），则P （μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0．6827，P （μ－2σ
＜X≤μ＋2σ）＝0．9545．
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多选，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ⎧⎨⎩
＝＝＋（ϕ为参数）．以坐标 原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2
的极坐标方程为ρθ＝，曲线C 1和C 2在第一象限交于点A ．
（1）求点A 的直角坐标；
（2）直线θ＝α（α∈（0，
3π），ρ∈R ）与曲线C 1，C 2在第一象限分别交于点B ，C ，
若△ABC
α的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
关于x 的不等式｜x －2｜＜m （m N *∈）的解集为A ，且
32∈A ，12
∉A ． （1）求m 的值；
（2）设a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝3m。