演示文稿第九章拉普拉斯变换
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（优选）第九章拉普拉斯变换
9.0 引言 Introduction
连续时间对应的复频域是用直角坐标
s j 表示的复数平面，简称为S平面或
连续时间复频域（s域）.
e • S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 st , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
S平面
j j0
s0 0 j0
1
(s 1)(s 2)
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
Im s平面
××
Re
-2 -1
2 Re{s} 1
例：已知一绝对可积的信号x(t)有一个极点在s=2，回 答以下问题：
（a) x(t)可能是有限持续期吗？ （b)x(t)是左边的吗？ （c)x(t)是右边的吗？ （d)x(t)是双边的吗？
一般把使积分 X (s) x(t)est dt 收敛的s值的范
围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。
Im(s)
Re{s} a
a
Re(s)
Im{s}
Im{s}
-a Re{s}
-a
Re{s}
Re{s} a
Re{s} a
零极点：Poles and Zeros of X(s)
只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合， X(s)就一定是有理的,具有如下形式：
s5 (s 1)(s 2)
×
×
ROC : 1 Re{s} 2
-1
2
Re{s} 5
9.3 拉氏反变换 The Inverse Laplace Transform
信号x(t)的拉氏变换为：
X( + j ) = F{x(t)e-t } = [x(t)e-t ]e-jtdt -
利用傅立叶反变换：
X (s) N(s) D(s)
• N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式。
• 使N(s)=0的根为X(s) 的零点，在s平面上用“o”表 示。
• 使D(s)=0的根为X(s) 的极点，在s平面上用“×” 表示。
例
x(t) (t) 4 etu(t) 1 e2tu(t)
3
3
L{ (t)} (t)estdt 1
(s 1)(s 2)
求其可能有的所有的收敛域
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
Re{s} 1
X
(s )
(s
1
1)(s
2)
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
Re{s} 2
X (s )
X (s) 1 4 1 1 1
Im
3 s 1 3 s 2
(s 1)2
x
x
, Re{s} 2 -1 1 2
Re
(s 1)(s 2)
请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?
9.2 拉氏变换收敛域的性质： The Region of Convergence for Laplace Transform
性质1:拉氏变换收敛域的形状：
X (s) 1 sa
(2)x(t) eatu(t) X (s) 1 sa
Re{s} a Re{s} a
(3)x(t) u(t) X (s) 1 s
Re{s} 0
(4)x(t) (t) X (s) 1
Re{s}为整个s平面
拉普拉斯变换的收敛域与零极点
收敛域：Region of Convergence ( ROC )
0
• S平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指
数信号集 {e jt }
9.1 拉氏变换 The Laplace Transform
一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：
X (s) x(t)estdt
记作： x(t) L X (s)
或 X (s) L{x(t)}
几个典型信号的拉氏变换
(1)x(t) eatu(t)
答案：(b)（d)可能
时域信号x(t)的特点
有限长时间信号 左边时间信号 右边时间信号 双边时间信号
拉氏变换X(s)的ROC
整个S平面 某一左半平面 某一右边平面 某一带状收敛区域
例：有多少个信号在其收敛域内都有如下所示的
拉氏变换：
X
(s)
(s
2)(s
s 1 3)(s2
s
1)
jIm{s}
3
×2 × × -1/2
性质7：如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，那么它的 ROC是被极点所界定或延伸到无限远。
性质8： 如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，若x(t) 是右边信号，则其ROC在s平面上位于最右边极点 的右边；若x(t) 是左边信号，则其ROC在s平面上位
于最左边极点的左边。
例
X (s )
1
定在ROC内。
1 0
x(t) e-1t
Im{s} 0
s平面
e-0t
Re{s}
T2 t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0
这条线位于ROC内，那么ROC就一定是由s平面的
一条带状区域所组成，直线 Re{s} 0 位于带中。
Im
R Im
S-plane Re
Im
L Re
R
L Re
x(t)et F 1{X ( j)}
1 X ( j)e jtd
2
x(t)et 1 X ( Biblioteka Baidu)e jtd
2
两边同乘以 e t
x(t) 1 X ( j)e( j)td
2
即可从拉氏变换中恢复x(t)：
X(s)的ROC在s平面内由平行于jω轴的带状区域所组成。 Im
R Im
S-plane Re
Im
LRe R LRe
××
Im{s}
s平 面
Re{s}
性质2：对有理拉氏变换来说，ROC内不包括任何极点。
性质3：如果x(t)是有限持续期，并且是绝对可积的，那 么ROC就是整个s平面。
Im{s} s平面
Re{s}
Re{s}
-3 -2
× 13 2
例：x(t) 2etu(t) e2tu(t)
求其拉氏变换X(s)，并画零极点图以及收敛域。
解：
L{2etu(t)}
2 s 1
L{e2tu(t)} 1
X (s) 2 1s 2
s 1 s 2
ROC : Re{s} 1
ROC : Re{s} 2
Im{s}
性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0 的全部s值
都一定在ROC内。
1 0
0 Im{s}
s平面
Re{s}
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 Re{s} 0 • 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0的全部s值都一
9.0 引言 Introduction
连续时间对应的复频域是用直角坐标
s j 表示的复数平面，简称为S平面或
连续时间复频域（s域）.
e • S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 st , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
S平面
j j0
s0 0 j0
1
(s 1)(s 2)
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
Im s平面
××
Re
-2 -1
2 Re{s} 1
例：已知一绝对可积的信号x(t)有一个极点在s=2，回 答以下问题：
（a) x(t)可能是有限持续期吗？ （b)x(t)是左边的吗？ （c)x(t)是右边的吗？ （d)x(t)是双边的吗？
一般把使积分 X (s) x(t)est dt 收敛的s值的范
围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。
Im(s)
Re{s} a
a
Re(s)
Im{s}
Im{s}
-a Re{s}
-a
Re{s}
Re{s} a
Re{s} a
零极点：Poles and Zeros of X(s)
只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合， X(s)就一定是有理的,具有如下形式：
s5 (s 1)(s 2)
×
×
ROC : 1 Re{s} 2
-1
2
Re{s} 5
9.3 拉氏反变换 The Inverse Laplace Transform
信号x(t)的拉氏变换为：
X( + j ) = F{x(t)e-t } = [x(t)e-t ]e-jtdt -
利用傅立叶反变换：
X (s) N(s) D(s)
• N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式。
• 使N(s)=0的根为X(s) 的零点，在s平面上用“o”表 示。
• 使D(s)=0的根为X(s) 的极点，在s平面上用“×” 表示。
例
x(t) (t) 4 etu(t) 1 e2tu(t)
3
3
L{ (t)} (t)estdt 1
(s 1)(s 2)
求其可能有的所有的收敛域
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
Re{s} 1
X
(s )
(s
1
1)(s
2)
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
Re{s} 2
X (s )
X (s) 1 4 1 1 1
Im
3 s 1 3 s 2
(s 1)2
x
x
, Re{s} 2 -1 1 2
Re
(s 1)(s 2)
请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?
9.2 拉氏变换收敛域的性质： The Region of Convergence for Laplace Transform
性质1:拉氏变换收敛域的形状：
X (s) 1 sa
(2)x(t) eatu(t) X (s) 1 sa
Re{s} a Re{s} a
(3)x(t) u(t) X (s) 1 s
Re{s} 0
(4)x(t) (t) X (s) 1
Re{s}为整个s平面
拉普拉斯变换的收敛域与零极点
收敛域：Region of Convergence ( ROC )
0
• S平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指
数信号集 {e jt }
9.1 拉氏变换 The Laplace Transform
一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：
X (s) x(t)estdt
记作： x(t) L X (s)
或 X (s) L{x(t)}
几个典型信号的拉氏变换
(1)x(t) eatu(t)
答案：(b)（d)可能
时域信号x(t)的特点
有限长时间信号 左边时间信号 右边时间信号 双边时间信号
拉氏变换X(s)的ROC
整个S平面 某一左半平面 某一右边平面 某一带状收敛区域
例：有多少个信号在其收敛域内都有如下所示的
拉氏变换：
X
(s)
(s
2)(s
s 1 3)(s2
s
1)
jIm{s}
3
×2 × × -1/2
性质7：如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，那么它的 ROC是被极点所界定或延伸到无限远。
性质8： 如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，若x(t) 是右边信号，则其ROC在s平面上位于最右边极点 的右边；若x(t) 是左边信号，则其ROC在s平面上位
于最左边极点的左边。
例
X (s )
1
定在ROC内。
1 0
x(t) e-1t
Im{s} 0
s平面
e-0t
Re{s}
T2 t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0
这条线位于ROC内，那么ROC就一定是由s平面的
一条带状区域所组成，直线 Re{s} 0 位于带中。
Im
R Im
S-plane Re
Im
L Re
R
L Re
x(t)et F 1{X ( j)}
1 X ( j)e jtd
2
x(t)et 1 X ( Biblioteka Baidu)e jtd
2
两边同乘以 e t
x(t) 1 X ( j)e( j)td
2
即可从拉氏变换中恢复x(t)：
X(s)的ROC在s平面内由平行于jω轴的带状区域所组成。 Im
R Im
S-plane Re
Im
LRe R LRe
××
Im{s}
s平 面
Re{s}
性质2：对有理拉氏变换来说，ROC内不包括任何极点。
性质3：如果x(t)是有限持续期，并且是绝对可积的，那 么ROC就是整个s平面。
Im{s} s平面
Re{s}
Re{s}
-3 -2
× 13 2
例：x(t) 2etu(t) e2tu(t)
求其拉氏变换X(s)，并画零极点图以及收敛域。
解：
L{2etu(t)}
2 s 1
L{e2tu(t)} 1
X (s) 2 1s 2
s 1 s 2
ROC : Re{s} 1
ROC : Re{s} 2
Im{s}
性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0 的全部s值
都一定在ROC内。
1 0
0 Im{s}
s平面
Re{s}
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 Re{s} 0 • 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0的全部s值都一