2015届高三数学(文)湘教版一轮复习课时跟踪检测18 同角三角函数的基本关系与诱导公式]
2015届高考数学一轮总复习 4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式
2015届高考数学一轮总复习 4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式基础巩固强化一、选择题1．(文)设cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2[答案] B[解析] ∵sin80°＝1－cos 280° ＝1－cos 2(－80°)＝1－k 2，∴tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k.(理)(2012·辽宁理，7)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1[答案] A[解析] 解法1：由题意知，sin α－cos α＝2，sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，sin2α＝－1，∵α∈(0，π)．∴2α∈(0,2π)，∴2α＝3π2，α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.解法2：设tan α＝k ，则sin α＝k cos α，代入sin α－cos α＝2中得，cos α＝2k －1，∴sin α＝2kk －1，∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴2k 2(k －1)2＋2(k －1)2＝1，∴k ＝－1. 2．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝( ) A.1213 B.513 C ．－513D ．－1213[答案] D[解析] 在△ABC 中，由tan A ＝－512<0知，∠A 为钝角，所以cos A <0,1＋tan 2A ＝sin 2A ＋cos 2A cos 2A＝1cos 2A ＝169144，所以cos A ＝－1213，故选D. [点评] 学习数学要加强多思少算的训练，以提高思维能力，尤其是选择题，要注意结合其特点选取．本题中，tan A ＝－512，A 为三角形内角，即知A 为钝角，∴cos A <0，排除A 、B ；又由勾股数组5、12、13及tan A ＝sin A cos A 知，|cos A |＝1213，故选D.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝14，则sin2α＝( ) A ．－78B.78 C ．－3132D.3132[答案] A[解析] sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos2⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4－1＝2×⎝⎛⎭⎫142－1＝－78. 4．(2013·山东青岛高三教学评估)若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝( )A.153B ．－153C.53 D ．－53[答案] A[解析] ∵0<A <π，∴0<2A <2π.又∵sin2A ＝23，即2sin A cos A ＝23，∴0<A <π2.∵(sin A ＋cos A )2＝sin 2A ＋cos 2A ＋2sin A cos A ＝53，∴sin A ＋cos A ＝153. 5．(2012·广东六校联考)sin (－250°)cos70°cos 2155°－sin 225°的值为( )A ．－32B ．－12C.12 D.32[答案] C[解析] 原式＝－sin (270°－20°)cos (90°－20°)cos 225°－sin 225° ＝cos20°sin20°cos50°＝sin40°2cos50°＝cos50°2cos50°＝12，故选C.6．已知tan140°＝k ，则sin140°＝( ) A.k1＋k 2B.11＋k 2C ．－k1＋k 2D ．－11＋k 2[答案] C[解析] k ＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°， ∴tan40°＝－k ，∴k <0，sin40°＝－k cos40°， sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°， ∵sin 240°＋cos 240°＝1， ∴k 2cos 240°＋cos 240°＝1， ∴cos40°＝1k 2＋1，∴sin40°＝－k k 2＋1. 二、填空题7．(2013·江西临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin(α＋π2)＝________ [答案] －64[解析] 由题意得cos α＝x 5＋x 2＝24x ， 解得x ＝0或x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3. 即cos α＝－64，sin(α＋π2)＝cos α＝－64. 8．化简sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝______(k ∈Z )．[答案] －1[解析] 对参数k 分奇数、偶数讨论．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin (2n π＋π－α)·cos (2n π－α)sin (2n π＋2π＋α)·cos (2n π＋π＋α)＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1. 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式 ＝sin (2n π－α)·cos (2n π－π－α)sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋α) ＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1.所以sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝－1.9．函数y ＝tan x ＋lg cos x 的定义域是________________． [答案] {x |2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z }[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，cos x >0，如图，由tan x ≥0得，m π≤x <m π＋π2，m ∈Z ，由cos x >0得，2n π－π2<x <2n π＋π2，n ∈Z .∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .三、解答题10．(2013·长沙一中月考)已知6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，α∈(3π2，2π)．(1)求tan α的值； (2)求cos(α＋π3)的值．[解析] (1)∵α∈(3π2，2π)，∴cos α≠0，∵6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0， ∴6tan 2α＋5tan α－4＝0， 解得tan α＝－43或tan α＝12.∵α∈(3π2，2π)，∴tan α<0.故tan α＝12(舍去)，∴tan α＝－43.(2)∵α∈(3π2，2π)，∴由tan α＝－43，求得sin α＝－45，cos α＝35.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝35×12－(－45)×32＝3＋4310. 能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·天津耀华中学模拟)若sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2C ．－12D ．2[答案] D[解析] tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2(sin α＋cos α)2－1＝2，故应选D.(理)(2014·龙岩月考)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53[答案] A[解析] 由sin α＋cos α＝33平方得：1＋sin2α＝13， 即sin2α＝－23.又α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－153. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝33×(－153)＝－53.故选A. 解答本题要注意到sin α±cos α与sin αcos α之间的关系．12．已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ<0，则cos θ的取值范围是( ) A ．(－22，0) B ．(－1，－22) C ．(0，22) D ．(22，1) [答案] A[解析] 如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2k π＋5π4<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ，因此－22<cos θ<0.选A.13．(文)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝( )A.－1±52B.3＋12 C.5－12D.3－12[答案] C[解析] ∵tan x ＝sin(x ＋π2)，∴tan x ＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0， 解得sin x ＝－1±52，∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12.故选C. (理)(2013·北京海淀期中)已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形 [答案] C[解析] 由题意得，cos A cos B ＝12·2sin 2C2⇒cos A ·cos B ＝1－cos C2⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos(A ＋B )⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos A ·cos B －sin A ·sin B⇒cos A ·cos B ＋sin A ·sin B ＝1⇒cos(A －B )＝1⇒A －B ＝0⇒A ＝B ，所以△ABC 一定是等腰三角形，故选C.二、填空题14．设a ＝2tan70°1＋tan 270°，b ＝1＋cos109°2，c ＝32cos81°＋12sin99°，将a 、b 、c 用“<”号连接起来________．[答案] b <c <a[解析] a ＝2tan70°1＋tan 270°＝2sin70°cos70°cos 270°＋sin 270°＝sin140°， b ＝1＋cos109°2＝1－cos71°2＝sin35.5°＝sin144.5°， c ＝sin60°cos81°＋cos60°sin81°＝sin141°， ∵y ＝sin x 在(90°，180°)内单调递减， ∴a >c >b .15．(2012·唐山二模)若3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋12sin2θ的值是________．[答案] 65[分析] 利用诱导公式可将条件式化简得到sin θ＝k cos θ(或tan θ＝k )结合sin 2θ＋cos 2θ＝1可求得sin θ与cos θ代入待求值式可获解(或将待求式除以1＝sin 2θ＋cos 2θ，分子分母都化为tan θ的表示式获解)．[解析] ∵3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sin θ－cos θ＝0，即tan θ＝13.∴cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ1＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋(13)2＝43109＝65.[点评] 形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α、cos α的一次齐次式和二次齐次式．若已知tan α＝m ，求涉及它们的三角式的值时，常作①1的代换，②sin α＝m cos α代入，③选择题常用直角三角形法求解，④所给式是分式时，常用分子、分母同除以cos k α(k ＝1,2，…)变形．三、解答题16．(文)(2014·龙湾中学月考)已知向量a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，且a ⊥b . (1)求sin α的值； (2)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． [解析] (1)∵a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，且a ⊥b . ∴a ·b ＝(cos α，1)·(－2，sin α)＝－2cos α＋sin α＝0. ∴cos α＝12sin α.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝45.∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α＝－255.(2)由(1)可得cos α＝－55，则tan α＝2. tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－3.(理)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f ⎝⎛⎭⎫32α＋π2＝2326，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (4π＋2α)的值． [解析] (1)由题意得m ·n ＝0，所以， f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos2ωx 2＋3sin2ωx2＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12， 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π. 又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6＋12. 所以f ⎝⎛⎭⎫32α＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋12 ＝cos α＋12＝2326，解得cos α＝513，因为α是第一象限角，故sin α＝1213，所以，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (4π＋2α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22·1cos α－sin α＝－13214.考纲要求理解同角三角函数的基本关系式，能利用平方关系和商数关系进行化简、求值和证明有关问题． 能利用单位圆中的三角函数线推导出有关的诱导公式，能利用诱导公式化简任意角的三角函数值．补充说明1．怎样计算任意角的三角函数值计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：(1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；(2)正化主：当已知角不在区间[0°，360°)时，可用k·360°＋α的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间[0°，360°)上的角的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)．2．证明三角恒等式的常用方法证明三角恒等式的主要思考方法有：(1)化繁为简，即从等式较繁的一边出发，利用三角公式及变形技巧，逐步变形到等式的另一边．(2)左右归一，当欲证式两边都比较复杂时，把两边分别变形化简，得到同一个式子．(3)转换命题，即把原命题转化为它的等价命题，简化证明过程．3．三角函数求值中直角三角形的运用先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直角三角形．，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可．4．同角三角函数关系的六边形法则记忆：上弦中切下割，左正右余中1，倒数对角线、平方倒三角、乘积两边夹、商数依次除．应用：寻找解题途径．如已知sinα①利用平方关系可求cosα，进而求tanα，cotα.②利用倒数关系可求cscα，进而可求cotα等．5．三角形中的诱导公式在三角形ABC中常用到以下结论：sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，sin(A 2＋B 2)＝sin(π2－C 2)＝cos C 2，cos(A 2＋B 2)＝cos(π2－C 2)＝sin C 2.6．求角的一般步驟求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角． 备选习题1．(2013·青岛期末)sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.32[答案] C[解析] sin45°cos15°＋cos225°sin15° ＝sin45°cos15°－cos45°sin15° ＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12.2．(2013·吉林四平期末)若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos2θ[答案] C[解析] ∵θ为第一象限角，∴θ2为第一象限角或第三角限角，所以选C.3．若sin76°＝m ，则cos7°＝______. [答案]2m ＋22[解析] ∵sin76°＝m ，∴cos14°＝m ， 即2cos 27°－1＝m ，∴cos7°＝2＋2m2.。
高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式及其应用 考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测：19 同角三角函数的基本关系与诱导公式 含答案
课时跟踪检测(十九) 同角三角函数的基本关系与诱导公式第Ⅰ组：全员必做题1．(2014²皖北模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝( ) A ．－35B.35C.45D ．－452．(2013²辽宁五校第二次联考)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－π＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33B.33C ．－ 3 D. 34．(2013²石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13 5．已知f(α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.136．(2014²成都一模)已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________．7．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝________.8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________. 9．求值：sin(－1 200°)²cos 1 290°＋cos(－1 020°)²sin(－1 050°)＋tan 945°.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.第Ⅱ组：重点选做题1．(2014²周口一模)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－22．(2013²黄冈二模)已知函数f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)，且f(4)＝3，则f(2 013)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α)＝35，故选B.2．选A ∵1－π＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0，故原式＝sin θ－cos θ. 3．选D cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.4．选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0， tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010. 5．选C ∵f(α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12.6．解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.答案：2557．解析：原式＝cos α²sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：08．解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3109．解：原式＝－sin 1 200°²cos 1 290°＋cos 1 020°²(－sin 1 050°)＋tan 945°＝－sin 120°²cos 210°＋c os 300°²(－sin 330°)＋tan 225°＝(－sin 60°)²(－cos 30°)＋cos 60°²sin 30°＋tan 45°＝32³32＋12³12＋1＝2. 10．解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin α＋cos α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.第Ⅱ组：重点选做题1．选B 由cos α＋2sin α＝－5，可知cos α≠0，两边同除以cos α得，1＋2tan α＝－51cos α，两边平方得(1＋2tan α)2＝5cos 2α＝5(1＋tan 2α)，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2.2．选D ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β) ＝asin α＋bcos β＝3，∴f(2 013)＝asin(2 013π＋α)＋bcos(2 013π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β) ＝－asin α－bcos β ＝－(asin α＋bcos β)＝－3. 即f(2 013)＝－3.。
高中数学必修一课时跟踪检测(三十三) 同角三角函数的基本关系 (3)
课时跟踪检测（三十三） 同角三角函数的基本关系A 级——学考合格性考试达标练1．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．2．已知sin φ＝－35，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－43B ．43C ．－34D ．34解析：选C ∵sin φ＝－35，∴cos 2φ＝1－sin 2φ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝1625，又|φ|<π2，即－π2<φ<π2，∴cos φ＝45，从而tan φ＝sin φcos φ＝－3545＝－34.3．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.4．若α为第三象限角，则cos α1－sin2α＋2sin α1－cos2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0， ∴原式＝－cos αcos α－2sin αsin α＝－3.5．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是( ) A.73 B.75 C.54D.53解析：选B 1＋sin θcos θ＝sin2θ＋cos2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋1＋tan θtan2θ＋1＝22＋1＋222＋1＝75.6．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．解析：由已知条件可得角θ的终边在第三象限，∴cos θ＝－1－sin2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 答案：－357．已知sin α－2co s α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α＝________．解析：易知cos α≠0，由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.答案：－23168．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________． 解析：原式＝sin240°＋cos240°－2sin 40°cos 40°＝（sin 40°－cos 40°）2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40° 9．化简下列各式： (1)sin 760°1－cos240°；(2)tan α1sin2α－1(其中α是第二象限角)．解：(1)sin 760°1－cos240°＝sin （2×360°＋40°）sin240°＝sin 40°|sin 40°|＝sin 40°sin 40°＝1. (2)因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.故tan α 1sin2α－1＝tan α 1－sin2αsin2α＝tan αcos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αs in α ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15，①两边平方，得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又∵sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0， ∴sin A －cos A ＝75.②由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin Acos A＝45－35＝－43.B 级——面向全国卷高考高分练1．已知α是第三象限角，若tan α＝12，则cos α＝( )A ．－55B ．－255C.55D.255解析：选B ∵tan α＝12，∴cos 2α＝11＋tan2α＝11＋14＝45，又α是第三象限角，因此cos α＝－45＝－255，故选B. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝（1＋cos α）sin α·(1－cos α)＝1－cos2αsin α＝sin2αsin α＝sin α. 3．已知角α终边上一点P 的坐标为(a ，3a )(a ≠0)，则cos α－sin αsin α＋cos α的值是( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选D 由正切函数的定义可得tan α＝3，因此cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan αtan α＋1＝－12，故选D.4．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 5．化简：tan2x ＋1tan x·sin 2x ＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x sin 2x ＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x sin 2x ＝1sin xcos x ·sin 2x ＝sin x cos x ＝tan x . 答案：tan x 6．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1t an2α＝________． 解析：∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin2α＋cos2αsin αcos α＝3，∴sin αcos α＝13，tan 2α＋1tan2α＝⎝⎛⎭⎫tan α＋1tan α2－2tan α·1tan α＝9－2＝7.答案：1377．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝⎛⎭⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. 证明：左边＝sin α⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α＋cos α⎝⎛⎭⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin2αcos α＋cos α＋cos2αsin α＝sin2 α＋cos2αsin α＋sin2α＋cos2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边． 即原等式成立．8．已知tan2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求tan α的值； (2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值．解：(1)由tan2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13. (2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.C 级——拓展探索性题目应用练已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m 的值．解：设直角三角形的一个锐角为β， 因为方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0中， Δ＝4(m ＋1)2－4×4m ＝4(m －1)2≥0， 所以当m ∈R 时，方程恒有两实根．又因为sin β＋cos β＝m ＋12，sin βcos β＝m4，所以由以上两式及sin 2β＋cos 2β＝1， 得1＋2×m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122，解得m ＝±3.当m ＝3时，sin β＋cos β＝3＋12>0，sin β·cos β＝34>0，满足题意；当m ＝－3时，sin β＋cos β＝1－32<0，这与β是锐角矛盾，舍去．综上，m ＝3.。
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式
• ＝asin α＋bcos β＝3. • ∴f(2 014)＝asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β) • ＝asin α＋bcos β＝3 • ∴f(2 014)＝3.
• 【答案】
C
本题易出现的错误主要有两个方面
• 【易错警示】
• (1)代入f(4)＝3后不会利用诱导公式转化或转化错误． • (2) 将 f(2 014) 代入后得出关系式，不会利用整体代换思想导致误 解．
题型三 三角函数式的化简与求值
2 π 已知 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 2＜α＜π.求下列各式的值： 3
(1)sin α－cos α； (2)sin
3
π 3 π －α＋cos ＋α. 2 2
2 【解】 由 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ ， 3 2 得 sin α＋cos α＝ ，① 3 2 将①两边平方，得 1＋2sin α· cos α＝9， 7 故 2sin α· cos α＝－ . 9 π 又 ＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. 2
7 (2)由(1)得 sin x－cos x＝－5， 1 sin x＋cos x＝5 故由 sin x－cos x＝－7 5 3 4 ，得 sin x＝－5，cos x＝5，
3 －5 sin x 3 ∴tan x＝cos x＝ 4 ＝－4. 5
• 【归纳提升】 (1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三 个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式 为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式， 往往化为关于tan α的式子．
π 17π 5π 5π 解析：sin 6 ＝sin(2π＋ 6 )＝sin 6 ＝sinπ－6
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ． 答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ ；cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝ . 答案 12 12解析 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝12.同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A ．－513 B.513 C ．－125 D.125答案 C解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得109cos 2α＝1， 所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ．答案 －3。
高考数学大一轮复习课时作业18同角三角函数的基本关系式与诱导公式理95
课时作业(十八) 第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式时间 / 45分钟 分值 / 100分 基础热身1.sin 585°的值为 ( ) A .√22B .-√22C .√32 D .-√322.已知sin (π3-α)=13,则cos (5π6-α)= ( )A .13B .-13C .2√23D .-√233.[2018·湖北八校联考] 已知sin(π+α)=-13,则tan (π2-α)的值为 ( ) A .2√2 B .-2√2 C .√24D .±2√24.[2018·重庆一中月考] 已知2sin α-cos α=0,则sin 2α-2sin αcos α的值为( )A .-35 B .-125 C .35D .1255.已知θ∈(-π2,0),若cos θ=√32,则sin θ= .能力提升6.在△ABC 中,若sin(A+B-C )=sin(A-B+C ),则△ABC 必是 ( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形7.[2018·湖北七市联考] 已知α∈(0,π),且cos α=-513,则sin (π2-α)·tan α=( )A .-1213B .-513C .1213 D .5138.[2018·柳州联考] 已知tan θ=4,则sin α+cos α17sin α+sin 2α4的值为 ( )A .1468 B .2168 C .6814 D .68219.[2019·安阳一模] 若1+cos αsin α=3,则cos α-2sin α= ( )A .-1B .1C .-25D .-1或-2510.[2018·合肥质检] 在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P (sin 5π3,cos5π3),则sin(π+α)=( ) A .-√32B .-12C .12D .√3211.[2018·贵州凯里一中月考] 若sin θ-cos θ=43,且θ∈(34π,π),则sin(π-θ)-cos(π-θ)= ( )A .-√23B .√23C .-43 D .4312.[2019·咸宁联考] 已知cos(π-α)=15,则sin (α+π2)= . 13.已知α∈(0,π2),tan α=3,则sin 2α+2sin αcos α= .14.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .15.(10分)已知-π<x<0,sin(π+x )-cos x=-15.(1)求sin x-cos x 的值; (2)求sin2α+2sin 2α1−tan α的值.16.(10分)已知关于x 的方程2x 2-(√3+1)x+m=0的不相同的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π).(1)求sin 2αsin α-cos α+cos α1−tan α的值; (2)求m 的值;(3)求方程的两根及此时θ的值. 难点突破17.(5分)[2018·浙江名校协作体模拟] 已知sin -π2-αcos (-7π2+α)=1225,且0<α<π4,则sinα= ,cos α= .18.(5分)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x+π)=f (x )+sin x ,当0≤x<π时,f (x )=0,则f (23π6)= .课时作业(十八)1.B [解析] sin 585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°)=-sin 45°=-√22,故选B . 2.B [解析] 由题意知cos (5π6-α)=cos [π2+(π3-α)]=-sin (π3-α)=-13.故选B .3.D [解析] ∵sin(π+α)=-13,∴sin α=13,∴cos α=±2√23,∴tan (π2-α)=cos αsin α=±2√2,故选D .4.A [解析] 由2sin α-cos α=0,得tan α=12,所以sin 2α-2sin αcosα=sin 2α-2sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α-2tan αtan 2α+1=(12)2-2×12(12)2+1=-35.故选A .5.-12[解析] 因为sin 2θ+cos 2θ=1,所以sin 2θ=1-cos 2θ=1-34=14.因为θ∈(-π2,0),所以sin θ=-12.6.C [解析] ∵A+B=π-C ,A+C=π-B ,∴sin(A+B-C )=sin(π-2C )=sin 2C ,sin(A-B+C )=sin(π-2B )=sin 2B ,则sin 2B=sin 2C ,∴B=C 或2B=π-2C ,即B=C 或B+C=π2,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选C .7.C [解析] 由α∈(0,π),且cos α=-513,可得sin α=1213,α∈(π2,π),故sin (π2-α)·tanα=cos α·sin αcos α=sin α=1213.8.B [解析]sin α+cos α17sin α+sin 2α4=tan α+117tan α+sin 2α4(sin 2α+cos 2α)=tan α+117tan α+tan 2α4(tan 2α+1)=4+168+1668=2168,故选B .9.C [解析] 由已知得3sin α=1+cos α>0,∴cos α=3sin α-1,两边平方得cos 2α=1-sin 2α=(3sin α-1)2,解得sin α=35,∴cos α-2sin α=3sin α-1-2sin α=sin α-1=-25,故选C .10.B [解析] 因为sin5π3=sin (2π−π3)=-sin π3=-√32,cos5π3=cos (2π−π3)=cos π3=12,所以P (-√32,12),所以sin α=12√(-√32)2+(12)2=12,则sin(π+α)=-sin α=-12.11.A [解析] 由sin θ-cos θ=43,得1-2sin θcos θ=169,所以2sin θcos θ=-79<0. 因为θ∈(34π,π),所以sin(π-θ)-cos(π-θ)=sin θ+cos θ=-√(sin α+cos α)2=-√1+2sin αcos α=-√23.故选A .12.-15 [解析] ∵cos(π-α)=15,∴cos α=-15,∴sin (α+π2)=cos α=-15.13.32 [解析] sin 2α+2sin αcos α=sin 2α+2sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tan αtan 2α+1=9+69+1=32.14.0 [解析] 原式=cos α√sin 2α+cos 2αcos 2α+sin α√sin 2α+cos 2αsin 2α=cos α|cos α|+sin α|sin α|,因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以cos α|cos α|+sin α|sin α|=-1+1=0. 15.解:(1)由已知得sin x+cos x=15,两边同时平方得sin 2x+2sin x cos x+cos 2x=125,整理得2sin x cos x=-2425,∴(sin x-cos x )2=1-2sin x cos x=4925.由-π<x<0知sin x<0, 又sin x+cos x>0,∴cos x>0,∴sin x-cos x<0,故sin x-cos x=-75. (2)sin2α+2sin 2α1−tan α=2sin α(cos α+sin α)1−sin αcos α=2sin αcos α(cos α+sin α)cos α-sin α=-2425×1575=-24175.16.解:(1)由题意知,sin θ≠cos θ, 且sin θ+cos θ=√3+12, 所以原式=sin 2αsin α-cos α+cos α1−sin αcos α=sin 2αsin α-cos α+cos 2αcos α-sin α=sin 2α-cos 2αsin α-cos α=sin θ+cos θ=√3+12. (2)由题意知,sin θ+cos θ=√3+12,sin θ·cos θ=α2.因为sin 2θ+2sin θcos θ+cos 2θ=1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2, 所以1+m=(√3+12)2, 解得m=√32.(3)由{sin α+cos α=√3+12,sin α·cos α=√34,得{sin α=√32,cos α=12或{sin α=12,cos α=√32.又θ∈(0,2π),所以θ=π3或θ=π6.17.35 45 [解析] 易知sin (-π2-α)cos (-7π2+α)=-cos α·(-sin α)=sin αcos α=1225.因为0<α<π4,所以0<sin α<cos α,故由{sin αcos α=1225,sin 2α+cos 2α=1,可得{sin α=35,cos α=45. 18.12 [解析] 由f (x+π)=f (x )+sin x ,得f (x+2π)=f (x+π)+sin(x+π)=f (x )+sin x-sinx=f (x ),所以f (23π6)=f (11π6+2π)=f (11π6)=f (π+5π6)=f (5π6)+sin5π6.因为当0≤x<π时,f (x )=0,所以f (23π6)=0+12=12.。
高三一轮复习精题组同角三角函数基本关系与诱导公式(有详细的答案解析)..
§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式1． 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2． 下列各角的终边与角α的终边的关系3.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( × )(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π2，π]，则m <－5或m ≥3.( × )(5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－33.( × )(6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是－13.( √ )2． 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.3． 若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.4． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案 －23解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 5． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －15，x >2 000，则f [f (2 015)]＝________.答案 －1解析 ∵f [f (2 015)]＝f (2 015－15)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 23π＝－1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.(2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B.54C ．－34D.45思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x ，可得tan x ； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求． 答案 (1)43(2)D解析 (1)∵cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－35.又x ∈(π，2π)， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan x ＝sin x cos x ＝43. (2)sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.(1)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 答案 (1)A (2)25解析 (1)由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos xsin x －1＝12.(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25.题型二 诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 思维启迪 (1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值． 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.思维升华 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． (2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.答案 (1)－13 (2)－916解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. (2)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.题型三 三角函数式的求值与化简例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪 三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式． 解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23.(2)原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·(－sin (π＋α)) ＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.思维升华 在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．(1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0， 则sin (2π－α)·sin (π＋α)·cos (π＋α)sin (3π－α)·cos (π－α)＝________.答案 (1)D (2)－255解析 (1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518<0，∴α为钝角．故选D.(2)原式＝－sin α·(－sin α)·(－cos α)sin α·(－cos α)＝sin α，∵tan α＝2>0，∴α为第一象限角或第三象限角． 又sin α＋cos α<0，∴α为第三象限角， 由tan α＝sin αcos α＝2， 得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝－255.方程思想在三角函数求值中的应用典例：(5分)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.思维启迪 利用同角三角函数基本关系，寻求sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ和sin θcos θ的关系． 规范解答解析 方法一 因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.方法二 同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169.弦化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0. 所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.方法三 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713sin 2θ＋cos 2θ＝1得，⎩⎨⎧sin θ＝1213cos θ＝－513或⎩⎨⎧sin θ＝－513cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.答案 －125温馨提醒 三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用．利用已知条件sin θ＋cos θ＝713和公式sin 2θ＋cos 2θ＝1可列方程组解得sin θcos θ，sin θ－cos θ，也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin θ、cos θ.各解法中均要注意条件θ∈(0，π)的运用，谨防产生增解.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1． 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2． 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sinθcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1． 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．2． 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3． 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( )A.15B ．－15C.513D ．－513答案 D解析 ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14425sin 2α＝16925sin 2α＝1.又sin α<0，∴sin α＝－513.2． 已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.3． 已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于( )A.25B ．－25C.25或－25D ．－15答案 B解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B. 4． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12.5． 已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 ( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} 答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋α)sin α＋cos (2n π＋α)cos α＝2； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋π＋α)sin α＋cos (2n π＋π＋α)cos α＝－2. 故A 的值构成的集合为{－2,2}．二、填空题6． 化简：sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________. 答案 －1解析 原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1. 7． 如果cos α＝15，且α是第一象限的角，那么cos(α＋3π2)＝________. 答案 265 解析 ∵cos α＝15，α为第一象限角， ∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－(15)2＝265， ∴cos(α＋3π2)＝sin α＝265. 8． 化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝________.答案 1解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 三、解答题9． 已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值． 解 (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925. 又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)的值．解 由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝asin θcos θ＝a，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1． 已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是 ( ) A.229B ．－229C ．－19 D.19 答案 B解析 ∵sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229. 2． 当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是 ( )A.14B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 当0<x <π4时，0<tan x <1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x， 设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥1[t ＋(1－t )2]2＝4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立． 3． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 4． 已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f (π2 014)＋f (503π1 007)的值． 解 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f (π2 014)＋f (503π1 007) ＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014 ＝sin 2π2 014＋sin 2(π2－π2 014) ＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1. 5． 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π， 可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75.② ∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35， ∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.。
2015届高考数学一轮复习 课时跟踪检测19 三角函数图像与性质 文 湘教版
课时跟踪检测(十九) 三角函数图像与性质(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R2．(2013·洛阳统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 3．(2014·聊城期末)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．34．(2014·安徽黄山高三联考)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图像关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 5．(2013·浙江高考改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件． 6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．7．设f (x )＝1－2sin x .(1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·福州质检)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)试写出一个函数g (x )，使得g (x )f (x )＝cos 2x ，并求g (x )的单调区间．2.(创新题)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值．3．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 2．选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6，选A. 3．选B ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2， ∴ω≥32. 4．选B f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ， ∵其图像关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数， ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π6＝2cos 2x .易知f (x )的最小正周期为π，在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数． 5．解析：若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )；当φ＝π2时，f (x )为奇函数． 答案：必要不充分6．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1≤1， 即值域为[－1,1]；且当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1， 即x ＝π12时，y 取最大值． 答案：[－1,1] π127．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图像知：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z . (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3，∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3，∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值． 8．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝2sin π3＝62. (2)g (x )＝cos x －sin x .理由如下：因为g (x )f (x )＝(cos x －sin x )·(sin x ＋cos x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ， 所以g (x )＝cos x －sin x 符合要求．又g (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 由2k π＋π<x ＋π4<2k π＋2π，得2k π＋3π4<x <2k π＋7π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z . 由2k π<x ＋π4<2k π＋π，得2k π－π4<x <2k π＋3π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z . 2．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线y ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤23π，π， sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈⎣⎡⎤0，32， f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即此时y ＝g (x )的最大值为12. 3．解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2015高考数学一轮题组训练：4-2同角三角函数的基本关系式与诱导公式
第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝________.解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.答案 122．(2014·合肥模拟)sin 585°的值为________．解析 sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22.答案 －223．(2014·郑州模拟)1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝________. 解析 1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 sin 2－cos 24．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为________． 解析 由已知得tan α＝－13，则1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝103.答案 1035．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝________. 解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或 2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53. 答案 536．(2014·杭州模拟)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是________． 解析 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12. 答案 127．sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________． 解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 答案 －3348．(2013·江南十校第一次考试)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，又－π＜α＜－π2，∴7π12＜π12－α＜13π12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223. 答案 －223二、解答题9．化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )． 解 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α) ＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1.10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0，∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________. 解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79. 答案 －792．(2014·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是________．解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角．故sin α＝31010.答案 310103．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝45＋12＝912.答案 912二、解答题4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.。
高考数学一轮复习专题训练—同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝( )A.54B.－54C.53D.－53答案 A解析 原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.3.已知α为锐角，且cos α＝45，则sin(π＋α)＝( )A.－35B.35C.－45D.45答案 A解析 由题意得sin α＝1－cos 2α＝35，故sin(π＋α)＝－sin α＝－35.4.(2021·天津南开质检)cos 480°＝( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.故选A.5.(2021·成都诊断)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论错误的是( )A.θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152， 即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＝75.② ①＋②得sin θ＝45，①－②得cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43.6.(2021·海南期末)若cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.答案 15解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15.考点一 诱导公式的应用1.化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α答案 C解析 由诱导公式，得原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C.2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3，则角α＝( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 C解析 由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，又因为α为锐角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，所以有α－π3＝π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，解得α＝π4，故选C. 3.(2021·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________. 答案 －33解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33. 感悟升华 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考点二 同角三角函数基本关系及其应用角度1 切弦互化【例1】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( )A.12B.2C.35D.－38答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.(2)由f ′(x )＝2x 2，得tan α＝f ′(1)＝2， 故sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35.故选C.角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化【例2】(2020·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A.－23B.23C.－43D.43答案 A解析 由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－23， 则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A. 感悟升华 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.【训练1】 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( )A.－513B.513C.－125D.125(2)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.答案 (1)C (2)43或34解析 (1)因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125.(2)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925，∴sin αcos α＝1225，∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34.考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53B.23C.13D.59(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. (3)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 (1)A (2)－33(3)0 解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53.故选A. (2)∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 感悟升华 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【训练2】 (1)已知α是第四象限角，且3sin 2α＝8cos α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝( ) A.－223B.－13C.223D.13(2)(2020·上海徐汇区期中)若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 (1)C (2)35解析(1)∵3sin 2α＝8cos α，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫3sin 2α82＝1， 整理可得9sin 4α＋64sin 2α－64＝0， 解得sin 2α＝89或sin 2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－223，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋1 010π＋π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝223，故选C. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35.A 级 基础巩固一、选择题 1.tan 420°＝( ) A.－ 3 B. 3 C.33D.－33答案 B解析 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3. 2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1答案 B解析 由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知3s in(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33， ∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.4.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 5.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B.－35C.－3D.3答案 A 解析sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.7.(2021·四川名校联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( )A.－32B.－52C.52D.±32答案 B解析 ∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，∴A 为钝角，∴cos A －sin A <0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2 ＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝⎛⎭⎫－18＝－52. 8.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 二、填空题9.(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝________.答案 1解析 原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2 640°＋2 880°)＋tan(1 665°－1 620°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 45°＝sin 30°－cos 60°＋1＝12－12＋1＝1. 10.若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝________. 答案 35解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. 11.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案 －43解析 由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.答案 1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5， 又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.B 级 能力提升13.已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α≠0，所以 2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B. 14.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝10，则tan α＝( )A.－3B.3或13C.3D.13 答案 C解析 因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2α＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2αcos 2α＋sin 2α＝10，所以1＋6tan α＋9tan 2α1＋tan 2α＝10，所以tan α＝3. 15.(2021·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案 －74 34 解析 sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74.cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34. 16.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59， 所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23， 即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z . 所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z . 所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
4 sin sin 4 2 1 sin 8 . （ 2 ）灵活运用平方关系是化简的重 1 1 sin 8 ； n z
要手段之一。
例2、已知 tan 2 。
4 sin 2 cos （1）求 的值； 5 sin 3 cos
符 号 看 象 限 。
函 数 名 改 变 ，
以上九组公式称为诱导公式，其规 律可总结为：
奇变偶不变，
符号看象限。
例1、化简下列各式： sin k cos[(k 1) ] 1 . k Z sin[(k 1) ] cos(k ) 练习 练习 6 6 （1）分清 k 的奇偶，决定函数值符号 1 4sin cos n 1 4 n 1 化简下列各式： 2 sin . 2 是关键； 化简 4 cos
+ cotα + cosα
- sinα - cotα
tan(90°+α) =
sin(2700-α)
=
- cosα
cos(2700- α) = - sinα
tan(2700- α) = + cotα sin(270° +α) = - cosα cos(270° + α) = + sinα tan(270° + α) = - cotα
桂林装修 桂林装饰好啊，请各位稍等片刻！”说着一转身迈开大步直冲正面中间的一间房子去了。随着伙计的身影，耿正看到在这间房子的门口挂着写有 “柜房”的大木牌。只听伙计一边进门一边大声说：“耿掌柜，快去看，有一挂用红布蒙了的大骡车进咱们店了，一共三个人呢，说是 要见你！”话音刚落，那个让耿正兄妹三人经常回忆起来的，并且由于回忆而越来越熟悉的大哥快步走出来了。七年半过去了，昔日的 那个年轻大哥如今已经变成了一个结实的壮年汉子，但依然还是一脸的善良和慈祥模样。看着眼前这面带欣喜且激动不已的三个年青人， 耿大业一时间愣在了那里。略停顿一下，他试探着问：“请问，你们是？”耿正顺手将大白骡的缰绳递给那位报信的伙计。兄妹三人一 起上前眼含热泪给大哥深深施礼，耿正声音哽咽地说：“大哥，您可记得七年半之前的夏天，山那边发生溃坝的当晚，您和大嫂曾经挽 留落难的仨兄妹在您的小饭店里住了一夜，还„„”耿大业傻傻地张大嘴巴：“啊！你们是„„”“是我们！我们要回老家去了，特地 来看望您和大嫂的„„”“快请进屋说话！这骡车怎么„„”“咱们慢慢细说！”耿大业吩咐伙计将骡车赶进靠里边的大车棚内，将骡 子卸了喂上草料。伙计牵起大白骡进车棚去了。耿大业伸出有力的大手抓住耿正的双肩晃一晃，激动地大声说：“好兄弟，好兄弟啊！” 再转过来抓住耿直的双肩晃一晃，高兴地说：“小兄弟，你长大了，个头比你哥哥当年还高呢，长得也真像啊！”再仔细地端详耿英， 拍一拍她的肩膀，说：“好妹子，了不起啊！”他激动得不知道说什么好了：“七年多了，我和你们大嫂经常想起你们来，老惦念呢！ 咱们到家里说话，你们大嫂又快生娃了，在家里歇着呢。”说着朝大院的西北方向扬扬头，说：“喏，就在大院儿里„„”当他领着耿 正兄妹仨往家里走去时，一个胖墩墩的小男娃儿忽然从靠北边的屋子里跑了出来，口里还欢叫着：“爹，我在屋里就能听见是你回来 了！”一边说着，一边就高兴地向耿大业扑来。耿正和耿英同时蹲下身来准备抱他，小家伙却像泥鳅一样“哧溜”一下就窜到了耿大业 的身后。耿大业把小家伙拉到身前来，挨个儿指着耿正、耿直和耿英对他说：“小铁蛋儿，这是大叔叔、这是二叔叔、这是姑姑，快叫 啊！”小家伙眨巴着小眼睛看看三人，再抬头看看爹爹。耿大业再说一遍：“叫大叔叔、二叔叔、姑姑！”这一回，小家伙亮着小嗓子 叫了。耿英高兴地答应着将小家伙抱起来，欣喜地说：“你叫小铁蛋儿，好一个可爱的小铁蛋儿啊！”这边正高兴着呢，耿大嫂听着外 面热闹的说话声也出来了。她已经怀孕八个多月了，笨拙地挺着大肚子一边往前走一边问：“他爹，这是„„”耿英一看见大嫂如此模 样，赶快将小铁蛋儿递到耿
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第二节同角三角函数基本关系式及诱导公式 理
第二节 同角三角函数基本关系式及诱导公式)知识梳理一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：________________. 2．商数关系：________________.答案：1.sin 2α＋cos 2α＝1 2.sin αcos α＝tan α二、诱导公式诱导公式一：sin(α＋2k π)＝______，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z .诱导公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝____________，tan(π＋α)＝________.诱导公式三：sin(－α)＝______，cos(－α)＝______，tan(－α)＝______.诱导公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝__________， tan(π－α)＝________.诱导公式五：sin(2π－α)＝________，cos(2π－α)＝________，tan(2π－α)＝________.诱导公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝______，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________. 诱导公式七：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝______，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝______.答案：sin α cos α tan α －sin α －cos α tan α －sin α cos α －tan α sin α －cos α－tan α －sin α cos α －tan α cos α sin α cos α －sin α以上公式可概括为十字口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．基础自测1．sin 585°的值为( ) A.12 B ．－12 C.22 D ．－221．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x .2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.解析：sin 585°＝sin 225°＝－sin 45°＝－22. 答案：D2. 已知f (α)＝π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋απ＋α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( )A.12B.22C.32 D ．－12解析：f (α)＝－sin α－sin αsin α²tan α＝cos α，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12. 答案：A3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13. 答案：－134．若角α的终边在直线x －y ＝0上，则cos α1－sin 2α＋1－cos 2αsin α＝______.解析：依题意，角α的终边在第一或第三象限，当α的终边在第一象限时，在其终边上任取一点P 1(1,1)，则r ＝2，sin α＝12，cos α＝12，∴1－sin 2α＝1－cos 2α＝1－12＝12.∴cos α1－sin 2α＋1－cos 2αsin α＝1212＋1212＝2. 同理，当α的终边在第三象限时，在其终边上任取一点P 2(－1，－1)，则r ＝2，sinα＝－12，cos α＝－12.∴1－sin 2α＝1－cos 2α＝1－12＝12.∴cos α1－sin 2α＋1－cos 2αsin α＝－2. 综上所述，cos α1－sin 2α＋1－cos 2αsin α＝±2.答案：±21．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( )A.1－k 2kB ．－1－k 2k C.k1－k2D ．－k1－k2解析：∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k.故选B.答案：B2．已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝________.解析：cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝24.答案：241．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0 D.23解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 答案：B2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝______.答案：13。
高考数学复习讲义：同角三角函数的基本关系与诱导公式
返回
3．已知 tanπ6－α＝ 33，则 tan56π＋α＝________. 解析：tan56π＋α＝tanπ－π6＋α＝tan[ π－( π6－α ) ] ＝－tanπ6－α＝－ 33.
答案：－
3 3
返回
研透高考·深化提能
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函 数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．”
“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
①sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋
ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
②sin
α，cos
α的齐次分式如acssiinn
α＋bcos α＋dcos
αα的问题常采
用分式的基本性质进行变形．
(2)切化弦：利用公式tan
返回
(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则cos2α－1 sin2α＝(
)
7
25
A.5
B. 7
7
24
C.25
D.25
返回
[解析] ∵sin α＋cos α＝15，
∴1＋2sin αcos α＝215，
∴2sin αcos α＝－2245，(cos α－sin α)2＝1＋2245＝4295.
3
课时跟踪检测
返回
突破点一 同角三角函数的基本关系
返回
抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R ) ． (2)商数关系： tan α＝csions ααα≠kπ＋π2，k∈Z .
返回
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
一轮复习专题18 三角函数(知识梳理)
专题18三角函数（知识梳理）一、知识点(一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
其中顶点，始边，终边称为角的三要素。
角可以是任意大小的。
(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。
①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。
(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。
(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。
集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。
2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ；rad 01745.01801≈π= 。
3、特殊角的三角函数值30 45 60 90 120 135 150 18006π4π3π2π32π43π65ππsin 021222312322210cos 1232221021-22-23-1-tan3313⨯3-1-33-0210 225 240 270 300 315 330 36067π45π34π23π35π47π611ππ24、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅n πk 2第一象限角平分线36045⋅+n π+πk 24x 轴负半轴360180⋅+n π+πk 2第二象限角平分线 360135⋅+n π+πk 243x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线360225⋅+n π+πk 245y 轴正半轴36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+n π+πk 247y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223第一、三象限角平分线18045⋅+n π+πk 4y 轴18090⋅+n π+πk 2第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43坐标轴90⋅n 2πk 象限角平分线9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。
湘教版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练28 同角三角函数基本关系式与诱导公式
课时规范练28 同角三角函数基本关系式与诱导公式基础 巩固练1.若sin A=13,则sin(6π-A)的值为( )A.13B.-13C.-2√23D.2√232.已知sin(α+β)=1,α,β均为锐角,且tan α=√22,则cos β=( ) A.√33B.√22C.√32D.√633.已知sin 2α=cos α-1,则sin α+3π2=( )A.1B.-1C.2D.-124.设sin 23°=m,则tan 67°=( ) A.-√1-m 2B.√1-m 2C.√1m2-m D.√1m 2-15.(多选题)已知角α的终边与单位圆交于点35,y 0,则sinα+2cosα3sinα-cosα=( )A.109B.-109C.-215D.156.(山西阳泉模拟)已知sin α+cos α=√63,0<α<π,则sin α-cos α=( ) A.-2√33 B.2√33C.-√33D.√337.已知α∈π2,π,且3cos 2α-sin α=2,则( )A.cos(π-α)=23B.tan(π-α)=√24C.sinπ2-α=√53D.cosπ2-α=√548.若sin (π4-α)=-25,则cos (π4+α)= . 9.tan (2π-x )sin (-2π-x )cos (6π-x )cos (π-x )sin(x+3π2)cos(π2-x)= .10.(山东烟台模拟)已知α∈0,π2,4sin α-3cos α=3,则tanα= .综合 提升练11.已知sin α=2cos α,则sinα-sin 3αsin(α+π2)=( )A.35B.25C.-25D.-3512.(广东河源模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边过点P(sin 138°,cos 138°),则tan(α+18°)=( ) A.√3B.√33C.-√3D.-√3313.已知tan α=cos α,则11-sinα−1sinα= .14.已知α为第二象限角,且满足sin α√1-cosα1+cosα+cos α√1-sinα1+sinα=75,则sin 2α= .创新 应用练15.若sin θ,cos θ是关于x 的方程x 2-ax+a=0的两个实数根,则实数a= .课时规范练28 同角三角函数基本关系式与诱导公式1.B 解析sin(6π-A)=sin(-A)=-sinA=-13.2.A 解析因为tanα=√22,所以sinαcosα=√22,又sin 2α+cos 2α=1,且α为锐角,所以sinα=√33,cosα=√63,因为sin(α+β)=1,α,β均为锐角,所以α+β=π2,β=π2-α,所以cosβ=cos (π2-α)=sinα=√33.3.B 解析∵sin 2α=1-cos 2α,又由题知sin 2α=cosα-1,∴1-cos 2α=cosα-1,即cos 2α+cosα-2=0,∴(cosα-1)(cosα+2)=0,∴cosα=1或cosα=-2(舍去),∴sin α+3π2=-cosα=-1.4.D 解析∵sin23°=m>0,∴cos67°=m,∴sin67°=√1-m 2,∴tan67°=√1-m 2m=√1m 2-1.5.AC 解析∵角α的终边与单位圆交于点35,y 0,∴925+y 02=1,∴y 0=±45,∴tanα=y 035=±43,当tanα=43时,sinα+2cosα3sinα-cosα=tanα+23tanα-1=109;当tanα=-43时,sinα+2cosα3sinα-cosα=tanα+23tanα-1=-215.故选AC.6.B 解析因为sinα+cosα=√63,所以(sinα+cosα)2=23,即sin 2α+2sinαcosα+cos 2α=23,所以2sinαcosα=-13.又0<α<π,所以cosα<0<sinα,所以sinα-cosα>0.因为(sinα-cosα)2=sin 2α-2sinαcosα+cos 2α=1+13=43,所以sinα-cosα=2√33.7.B 解析由题意得3(1-2sin 2α)-sinα=2,解得sinα=-12或sinα=13.又α∈π2,π,所以sinα=13,则cosα=-√1-sin 2α=-2√23,tanα=sinαcosα=-√24,所以cos(π-α)=-cosα=2√23,tan(π-α)=-tanα=√24,sin π2-α=cosα=-2√23,cos π2-α=sinα=13,故A,C,D 错误,B 正确.8.-25解析因为π4+α=π2−(π4-α),所以cos (π4+α)=cosπ2-π4-α=sinπ4-α=-25.9.sin x 解析tan(2π-x)=-tanx,sin(-2π-x)=sin(-x)=-sinx,cos(6π-x)=cos(-x)=c osx,cos(π-x)=-cosx,sin x+3π2=-cosx,cosπ2-x =sinx,原式=(-tanx )×(-sinx )×cosx×(-cosx )(-cosx )×sinx =tanx×cosx=sinx.10.247解析(方法一)由4sinα-3cosα=3,得4sinα=3+3cosα,两边同时平方得16(1-cos 2α)=9(1+2cosα+cos 2α),整理得25cos 2α+18cosα-7=0,解得cosα=725或cosα=-1,因为α∈0,π2,所以cosα=725,代入4sinα-3cosα=3,得sinα=2425,所以tanα=247. (方法二)将4sinα-3cosα=3两边同时平方,得16sin 2α-24sinαcosα+9cos 2α=9,即7sin 2α=24sinαcosα,① 又α∈0,π2,所以sinαcosα≠0,①式两边同时除以sinαcosα,可得7tanα=24,所以tanα=247.11.B 解析由sinα=2cosα,显然cosα≠0,可得tanα=2,所以sinα-sin 3αsin(α+π2)=sinα(1-sin 2α)cosα=sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=25,所以sinα-sin 3αsin(α+π2)=25.12.D 解析因为sin138°>0,cos138°<0,所以点P 在第四象限,即α为第四象限角,由三角函数定义得tanα=cos138°sin138°=cos (90°+48°)sin (90°+48°)=-sin48°cos48°=sin (-48°)cos (-48°)=tan(-48°),所以α=-48°+k·360°,k∈Z,所以tan(α+18°)=tan(-48°+k·360°+18°)=tan(-30°)=-tan30°=-√33. 13.1 解析由tanα=cosα,得sinαcosα=cosα,即sinα=cos 2α,则sinα=(1-sinα)·(1+sinα),即11-sinα=1+sinαsinα,所以11-sinα−1sinα=1+sinαsinα−1sinα=1.14.-2425解析由题意得sin α√1-cosα1+cosα+cos α√1-sinα1+sinα=sin α√(1-cosα)2(1+cosα)(1-cosα)+cos α√(1-sinα)2(1+sinα)(1-sinα)=sinα·1-cosα|sinα|+cosα·1-sinα|cosα|,因为α为第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,则有sinα·1-cosα|sinα|+cosα·1-sinα|cosα|=sinα·1-cosαsinα+cosα·1-sinα-cosα=sinα-cosα=75,两边同时平方得1-2sinαcosα=4925,故sin2α=-2425.15.1-√2 解析由题意得{Δ=a 2-4a ≥0,sinθ+cosθ=a ,sinθcosθ=a ,所以a≤0或a≥4,且sinθ+cosθ=sinθcosθ,所以(sinθ+cosθ)2=(sinθ·cosθ)2⇒1+2sinθcosθ=(sinθcosθ)2,即a2-2a-1=0.因为a≤0或a≥4,所以a=1-√2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时跟踪检测(十八) 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2014·皖北模拟)若sin＝，则cos＝( )
A．－ B.
C. D．－
2．(2013·辽宁五校第二次联考)若θ∈，则＝( )
A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ
C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ
3．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
4．(2013·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )
A. B.
C. D.
5．已知f(α)＝，则f 的值为( )
A. B．－
C．－ D.
6．(2014·成都一模)已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．
7．化简＋＝________.
8．若＝2，则sin(θ－5π)sin＝________.
9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
10．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2014·周口一模)若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝( )
A. B．2
C．－ D．－2
2．(2013·黄冈二模)已知函数f(x)＝a sin(πx＋α)＋b cos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 013)的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
答案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选B cos＝cos
＝sin＝，故选B.
2．选A ∵
＝＝|sin θ－cos θ|，
又θ∈，∴sin θ－cos θ>0，
故原式＝sin θ－cos θ.
3．选D cos＝sin φ＝，
又|φ|<，则cos φ＝，所以tan φ＝.
4．选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，
故sin α＝.
5．选C ∵f(α)＝＝－cos α，
∴f＝－cos＝
－cos＝－cos＝－.
6．解析：sin(π－α)＝sin α＝log8＝－，
又α∈，
得cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.
答案：
7．解析：原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
8．解析：由＝2，得sin θ＋cos θ＝
2(sin θ－cos θ)，
两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝，∴sin(θ－5π)sin＝sin θcos θ＝.
答案：
9．解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝×＋×＋1＝2.
10．解：由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝
＝＝.
第Ⅱ组：重点选做题
1．选B 由cos α＋2sin α＝－，可知cos α≠0，两边同除以cos α得，1＋2tan α＝－，两边平方得(1＋2tan α)2＝＝5(1＋tan2α)，∴tan2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2.
2．选D ∵f(4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)
＝a sin α＋b cos β＝3，
∴f(2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.即f(2 013)＝－3.。