x2-2(new1)

1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 5 1 → 0 −1 −1 − 1 → 0 −1 −1 −1 3 1 4 −2 0 − 5 − 5 −5 0 0 0 0
⋯ , a1n ) ⋯, a2 n ) ⋯
α 2 = (0,
⋯
a22 , ⋯
α r = (0, ⋯ , 0, arr , ⋯ , arn ) α r +1 = ⋯ = α m = θ
α1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性无关, 且任意r+1个向量都线性相关
故得 A 的行向量组的秩 = r = 秩(A)。 结论1 结论1 阶梯形矩阵的秩等于其行向量组的秩。
A
→
初等行变换
即得
a3 = − a1 − a2 , a5 = 4a1 + 3a2 − 3a4
定理2.2.5 设 A 是 m × p矩阵， B 是 p × n 矩阵， 定理 矩阵， 矩阵， 则 秩（ AB ） , min{秩（A ）秩（ B）}
证
设矩阵 C = AB , 则 C 和 A 用其列向量表示为
定义2.2.1 2
设 α1 ,α2 ,...,αm 是m个n元向量。若
其中存在r个向量线性无关，但任意r+1 个向量都 + 线性相关，则称向量组 α1 ,α2 ,...,αm 的秩为r,记为秩 { α1 ,α2 ,...,αm }。 向量组 α 1 ,α 2 ,...,α m 线性相关的充 分必要条件是：秩{α 1 ,α 2 ,...,α m }< }<m 定理2.2.1 2 定义2.2.2 设向量组 α 1 ,α 2 ,...,α m 的秩为r, 2 则α 1 ,α 2 ,...,α m 中任意r 个线性无关的向量都称为
A = (α1 ,α2 ,⋯,αm )
m 个 n 维行向量所组成 的向量组 β 1 , β 2 ,⋯ β m ,
T T T
构成一个 m × n 矩阵
β1T T β2 B= ⋮ T β m
例1 考虑阶梯形矩阵
a11 0 ⋯ A= 0 0 ⋯ 0
线性相关； 可见秩(α 1 , α 2 , α 3 ) = 2，向量组α 1 , α 2 , α 3 线性相关； 秩(α 1 , α 2 ) = 2, 向量组α 1 , α 2 线性无关.
求其秩及一组极大无关组。 例 已知向量组 β 1 , β 2 ,⋯ , β n， 解 令 A = [ β 1 , β 2 ,⋯ , β n ] 设
α1
α2 2
α jj α
α αnn
类似地 , 矩阵A = (a ij )m×n 又有m 个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 ⋮ ⋮ A= ai1 ai 2 ⋮ ⋮ a m1 a m 2
T 1 T 2
⋯ a1 n ⋯ a2n ⋯ ⋮ ⋯ a in ⋯ ⋮ ⋯ a mn
§2.2 向量组的秩
一 向量组的秩
( 3,5,4),α 4 = (1,1,−2)与向量组 β 1 = ( 0,1,1), β 2 = (1,0,1), β 3 = (1,1,0), β 4 = (1,1,1) 都线性相关，
将 α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 按列排成矩阵 例2.2.1 向量组 α 1 = (1,2,3),α 2 = ( 2,3,1),α 3 = 例
故 a 1 , a 2 , a 4 , 为列向量组的一个极大无关组.
线性表示， 要把 a 3 , a 5用 a1 , a 2 , a 4线性表示，必须将 A再变 成行最简形矩阵 . 为行简化的阶梯矩阵。 为行简化的阶梯矩阵。
' a1 1 0 0 0 ' ' ' ' a2 a3 a4 a5 0 −1 0 4 1 −1 0 3 0 0 1 −3 0 0 0 0
→
R 2 −R 1
1 0 2 0 2 2 1 5 7
→
R 3 −R 1
5 1 0 2 1 0 2 R3− R2 2 → 0 2 2 0 2 2 ， 0 5 5 0 0 0
故 A的行向量组的秩 ≤ A′ 的行向量组的秩。
′ ′ ′ 秩 { α 1 ,α 2 ,α 3 }＝秩 { α 1 ,α 2 ,α 3 }
结论2 结论2
矩阵的初等行变换不改变行向量组的秩。
定理2.2.3 矩阵的秩等于它的行向量组的秩， 定理2.2.3 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，
也等于它的列向量组的秩. 也等于它的列向量组的秩.
二 矩阵的秩
例如 矩阵A = (a ij )m×n
a11 a12 ⋯ a1 j ⋯ a1n a 21 a 22 ⋯ a 2 j ⋯ a 2 n A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a a m 2 ⋯ a mj ⋯ a mn m1
向量组 α1, α2,⋯, αn 称为矩阵 A的列向量组 .
1 2 r
α 1 ,α 2 ,...,α m 的一个部分组。若 α i1 ,α i2 ,...,α ir
线性无关，并且每个 α j（j=1,2,…,m）均可由
α i1 ,α i2 ,...,α ir 线性表出，则 α i1 ,α i2 ,...,α ir 是向量组
α 1 ,α 2 ,...,α m 的极大无关组。
C = ( c1 ,⋯ , c n ), A = ( a1 ,⋯ , a p ).
而
B = (bij )，
由
b11 ⋯ b1n (c1 ,⋯, cn ) = (a1 ,⋯, a p ) ⋮ ⋮ b ⋯ b pn p1
ci = b1i a1 + b2 i a2 + ⋯ b pi a p
的列向量组线性表示， 知矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r (C ) ≤ r ( A).
因 C = B A ,由上段 证明知 r (C ) ≤ r ( B ),
T T T T T
即 r (C ) ≤ r ( B ).
例 2.2.7 设 A是 m×n矩阵 ， B是 n×m矩阵 ， 是 × 矩阵， 是 × 矩阵， 矩阵 矩阵 并且AB = I，则B的列向量组线性无关。 的列向量组线性无关。 并且 ， 的列向量组线性无关 证明（法一） 证明（法一）因为 AB = I，所以 ， 秩(B)≥秩(AB) = 秩(I) = m . 秩 又 秩(B)≤min{ n ，m }≤ m， ， 故秩(B) = m，即B的列向量组的秩为 ，恰等于 的列向量组的秩为m， 故秩 ， 的列向量组的秩为 列向量的个数m 于是B的列向量组线性无关 的列向量组线性无关。 列向量的个数 ，于是 的列向量组线性无关。
行 A → A′ （阶梯形）
（1） 设 A′ 有 r 个非零行， 则 秩 { β 1 ,⋯ , β n } = r (2) 设 A′ 的主元（各非零行的首非零元）在第
j1 , j2 ,⋯ , jr 列，则 β j1 , β j2 ,⋯, β jr 是一个极大
无关组
说明
（1）最大无关组不唯一 ; ）
法二） （ 法二 ） 设 B 的列向量组为 b 1, b 2 , L , b m ，
T m
α αT 2
T 1
α α
T i
T m
的行向量组． 向量组 α , α , …，α 称为矩阵 的行向量组． ， 称为矩阵A的行向量组
反之， 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 成一个矩阵
m 个n 维列向量所组成的向量组α 1 , α 2 , ⋯ , α m , 构成一个n × m 矩阵
a12 ⋯ a1r a22 ⋯ a2 r ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ arr ⋯ ⋯ 0 0
⋯ ⋯ ⋯ a11 , a22 ,⋯ ,
⋯ a1n ⋯ a2 n ⋯ ⋯ ⋯ arn ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 arr ≠ 0
其行向量组为 组 α1 = (a11 , a12 ,
（2）向量组与它的最大无 关组是等价的 .
例3
设矩阵 2 −1 −1 1 1 1 −2 1 A = 4 −6 2 −2 3 6 −9 7 2 4 4 9
的列向量组的一个极大无关组， 求矩阵 A 的列向量组的一个极大无关组 ， 并把不 属极大无关组的列向量用极大无关组线性表示 .
两个非零行
把 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 按列排成矩阵
0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 → 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 −2 −1
三个非零行。 三个非零行。 与它们等价的阶梯形矩阵中阶梯的个数不同。
解 分析 对矩阵（ ），施行初等行变换变 对矩阵（ α 1， α 2， α 3），施行初等行变换变
可同时看出矩阵（ 成行阶梯形矩阵 , 可同时看出矩阵（ α 1， α 2， α 3） 的秩， 及（ α 1， α 2）的秩，利用定理 2即可得出结论 .
1 0 2 (α 1 ,α 2 ,α 3 ) = 1 2 4 1 5 7
例 已知向量组 a 1, a 2 , ..., a s , a s + 1, ..., a m 假设 每个 a j ( j = s +1, s+2, …, m)均可由a 1, a 2 , ..., a s 线 均可由 性表出， 性表出，则 秩{ a 1, a 2 , ..., a s }=秩{a 1, a 2 , ..., a s , a s + 1, ..., a m } 秩
例 设 A是 3 × 4 矩阵。对A按行分块， α1 A = α 2 α 3 对A作一次初等行变换得到矩阵A'