1.3一元二次方程的应用6课件
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一元二次方程的应用-几何问题数学九年级上册同步教学课件(人教版)
D.x2+3x+16=0
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
3. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P
沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从 点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的
围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的
长各是多少米？
25 m
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
A
D
(80 − 2x)x = 600.
整理得 x2 − 40x + 300 = 0，
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的 性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是 求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围
成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是
B
C
解得 x1 = 10，x2 = 30. 当 x = 10 时，80 − 2x = 60 > 25(舍去)；
当 x = 30 时，80 − 2x = 20 < 25.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 30 m，20 m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12
一元二次方程(公式法)课件
的根的情况。
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实数根。
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实数根，即一个重
根。
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实数根，有两个共轭复根。
方程的解与根的关系
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。
根
对于一元二次方程，其解也称为根。根据判别式的不同情况，方程可能有两个不相等的实数根、两个 相等的实数根（一个重根）或无实数根。在有实数根的情况下，可以通过求根公式求解得到。
03 公式法的推导与证明
配方法推导公式
01
02
03
04
05
将一元二次方程 化为一般…
ax² + bx + c = 0
移项
配方
开方
求解
将常数项移到等号右边， 得到 ax² + bx = -c
等式两边同时加上一次项系 数一半的平方，即 (b/2)²， 得到 a(x + b/2a)² = (b²4ac)/4a
标准形式与系数
一元二次方程的标准形式
$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a neq 0$。
系数
在一元二次方程中，$a$、$b$、$c$ 分别称为二次项系数、一次项系数和常数 项。
根的判别式
01
02
03
04
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方程
对方程两边同时开平方，得 到 x + b/2a = ±√((b²4ac)/4a)
整理得到一元二次方程的解 为 x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实数根。
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实数根，即一个重
根。
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实数根，有两个共轭复根。
方程的解与根的关系
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。
根
对于一元二次方程，其解也称为根。根据判别式的不同情况，方程可能有两个不相等的实数根、两个 相等的实数根（一个重根）或无实数根。在有实数根的情况下，可以通过求根公式求解得到。
03 公式法的推导与证明
配方法推导公式
01
02
03
04
05
将一元二次方程 化为一般…
ax² + bx + c = 0
移项
配方
开方
求解
将常数项移到等号右边， 得到 ax² + bx = -c
等式两边同时加上一次项系 数一半的平方，即 (b/2)²， 得到 a(x + b/2a)² = (b²4ac)/4a
标准形式与系数
一元二次方程的标准形式
$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a neq 0$。
系数
在一元二次方程中，$a$、$b$、$c$ 分别称为二次项系数、一次项系数和常数 项。
根的判别式
01
02
03
04
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方程
对方程两边同时开平方，得 到 x + b/2a = ±√((b²4ac)/4a)
整理得到一元二次方程的解 为 x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》课件(共6张PPT)
某水果批发商城经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出500kg。经市场调查发现，在进货 不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量就减少 20kg，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾 客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
拓展提高：
某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型 西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出 200千克，为了促销，该经营户决定降价销售， 经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克, 每天可多售出40千克,另外,每天的房租等固定 成本共24元,该经营户要想每天盈利200元,应 将每千克小桃，进价每千克40元，按每千克60元出 售，平均每天可售出100千克，后来经调查发现，单 价每降低2元，商场平均每天可多售出20千克。若商 场平均每天销售核桃的盈利要达到2240元， 请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾 客，应按原售价的几折出售？
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
实际问题与一元二次方程
营销问题
解一元二次方程应用题的一般步骤？
（1）审题 （2）设未知数 （3）列方程 （4）解方程 （5）答
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
一元二次方程是只含有一个未知 数，且该未知数的最高次数为2的 整式方程。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
《一元二次方程的应用》PPT(第2课时)
解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 6000 (1 x)2 3600
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产 品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量， 成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变 化状况．
(60－x－40)
100＋x×20 2
＝2
240，
化简，得 x2－10x＋24＝0，
解得 x1＝4，x2＝6； 答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元；
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽 可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，此时，售
价为 60－6＝54(元)，5640×100%＝90%.
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生 产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
甲种药品成本的年平均下降额为 (5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元），
2．某糖厂 2014年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2015 年的产量将是
ห้องสมุดไป่ตู้___a_(_1_-x_)__．2016年的产量将是___a_(1___x_)_2_．
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 两年后：
变化后的量 = 变化前的量 1 x2
乙种药品成本的年平均下降额为 (6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）．
一元二次方程在实际问题中的应用课件
由题可得 ( x + 0.6 + x ) ·( x – 0.4) ÷ 2 = 0.78，
整理：
x²– 0.1x – 0.9 = 0
解方程得：x1 = 1，x2 = -0.9（舍去）.
则渠深为 1 – 0.4 = 0.6 m.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
5. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°；AC = 30cm，BC = 21 cm. 动点 P
1m/s. 经过几秒△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
解：设时间为 t 秒，则 Rt△PCQ 两边 PC ，CQ 长分别为 (8 – t )米与 (6
– t )米.
由题可得
(8－t)(6－t)＝ × ×6×8
整理：t²– 14t + 48 = 24
(4) 列：根据等量关系列出一元二次方程；
(5) 解：求方程的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
针 对 训 练
1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立、甲行率七，乙
行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会. 问甲乙行各几何.”
解方程得：t1 = 2，t2 =12（舍去）.
则经过 2 秒时△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
4. 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78m2，上口比渠
底宽 0.6m，渠深比渠底少 0.4m，求渠深.
解：设渠底为 x m，则上口为 (x + 0.6) m，渠深为 (x – 0.4) m，
整理：
x²– 0.1x – 0.9 = 0
解方程得：x1 = 1，x2 = -0.9（舍去）.
则渠深为 1 – 0.4 = 0.6 m.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
5. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°；AC = 30cm，BC = 21 cm. 动点 P
1m/s. 经过几秒△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
解：设时间为 t 秒，则 Rt△PCQ 两边 PC ，CQ 长分别为 (8 – t )米与 (6
– t )米.
由题可得
(8－t)(6－t)＝ × ×6×8
整理：t²– 14t + 48 = 24
(4) 列：根据等量关系列出一元二次方程；
(5) 解：求方程的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
针 对 训 练
1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立、甲行率七，乙
行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会. 问甲乙行各几何.”
解方程得：t1 = 2，t2 =12（舍去）.
则经过 2 秒时△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
4. 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78m2，上口比渠
底宽 0.6m，渠深比渠底少 0.4m，求渠深.
解：设渠底为 x m，则上口为 (x + 0.6) m，渠深为 (x – 0.4) m，
冀教版九年级数学上册《一元二次方程的应用》PPT教学课件(第1课时)
24.4 一元二次方程的应用
第1课时
学习目标
1 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识
方程模型的重要性.（难点）.
2 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，能运用一元二
次方程解决与面积有关的实际问题.（重、难点）
新课导入
复习交流
（1）列方程解应用题有哪些步骤？
①审题； ②设出未知数；
③列方程；④解方程；
与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面
积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如
何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
分析:这本书的长宽之比 9 ： 7 正中央的矩形长宽之
比 9 ： 7 ，上下边衬与左右边衬之比 9 ： 7 .
设中央长方形的长和宽分别为9a和7a.由此得到上下边衬
得(40-2x)(26-x)＝ 144×6 ，
整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2.
因为甬路的宽必须小于
40
2
m，即小于20 m，
我们利用“图形经过移动，它的面积
所以x ＝ 44 不符合题意，舍去，所以x ＝ 2.
大小不会改变”的性质，把纵、横两
答：甬路的宽为2 m.
解:设正方形的边长为 cm,
根据题意,得
(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.
整理,得x2+32x-68=0.
解这个方程,得1 = 2, 2 = −34(不合题意,舍去).
答:正方形的边长是2 cm.
例3 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上
修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余
第1课时
学习目标
1 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识
方程模型的重要性.（难点）.
2 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，能运用一元二
次方程解决与面积有关的实际问题.（重、难点）
新课导入
复习交流
（1）列方程解应用题有哪些步骤？
①审题； ②设出未知数；
③列方程；④解方程；
与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面
积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如
何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
分析:这本书的长宽之比 9 ： 7 正中央的矩形长宽之
比 9 ： 7 ，上下边衬与左右边衬之比 9 ： 7 .
设中央长方形的长和宽分别为9a和7a.由此得到上下边衬
得(40-2x)(26-x)＝ 144×6 ，
整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2.
因为甬路的宽必须小于
40
2
m，即小于20 m，
我们利用“图形经过移动，它的面积
所以x ＝ 44 不符合题意，舍去，所以x ＝ 2.
大小不会改变”的性质，把纵、横两
答：甬路的宽为2 m.
解:设正方形的边长为 cm,
根据题意,得
(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.
整理,得x2+32x-68=0.
解这个方程,得1 = 2, 2 = −34(不合题意,舍去).
答:正方形的边长是2 cm.
例3 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上
修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余
一元二次方程ppt课件
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
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一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程的应用-ppt课件
难
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
一元二次方程ppt课件
定义
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
《一元二次方程的应用》PPT教学课件(第2课时)
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
3．某市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于有关部
门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商
为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050
元的均价开盘销售．若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百
年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年
废气减少的百分率各是多少?
【思考】
(1)题目中的已知量和未知量分别是什么?
(工业废气年排放量为300万立方米和两年内使
废气年排放量减少到144万立方米;每年废气减
少的百分率)
(2)未知量之间的数量关系是什么?
第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分
价的百分率都为x，则x满足( D )
A．16(1＋2x)＝25
B．25(1－2x)＝16
C．16(1＋x)2＝25
D．25(1－x)2＝16
2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，
如果每月的增长率x相同，那么 ( C )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196x
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）.
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
课堂小结
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，
x为增长率，2为增长次数，b为
增长后的量
平均变化
率问题
注意：增长
率不可为负，
但可以超过1
注意：下降
率不能超过1
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
3．某市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于有关部
门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商
为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050
元的均价开盘销售．若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百
年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年
废气减少的百分率各是多少?
【思考】
(1)题目中的已知量和未知量分别是什么?
(工业废气年排放量为300万立方米和两年内使
废气年排放量减少到144万立方米;每年废气减
少的百分率)
(2)未知量之间的数量关系是什么?
第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分
价的百分率都为x，则x满足( D )
A．16(1＋2x)＝25
B．25(1－2x)＝16
C．16(1＋x)2＝25
D．25(1－x)2＝16
2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，
如果每月的增长率x相同，那么 ( C )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196x
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）.
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
课堂小结
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，
x为增长率，2为增长次数，b为
增长后的量
平均变化
率问题
注意：增长
率不可为负，
但可以超过1
注意：下降
率不能超过1
《一元二次方程的应用》课件 (同课异构)2022年精品课件
解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得 5(1－x)2，
解得 x1=20%，x2=1.8 〔舍去〕 ∴平均每次下调的百分率为20%.
〔2〕小华准备到李伟处购置5吨该蔬菜，因数量多， 李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打 九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试 问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
120 120 3. x x2
两边同乘x(x+2)，整理，得，
x2+2x－80=0.
解这个方程，得，
x1=-10，x2=8. 经检验x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不
符合题意，所以取x=8.
答：原来这组学生是8人.
方法点拨
解分式方程应用题时，所得根不仅要检验根是 否为增根，还要考虑它是否符合题意.
讲授新课
一 平均变化率问题与一元二次方程
探究归纳
填空：
1. 前年生产1吨甲种药品的本钱是5000元，随着生产
技术的进步，去年生产1吨甲种药品的本钱是4650 元，
那么下降率是7% .如果保持这个下降率，那么现
在生产1吨甲种药品的本钱是
元.
下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量
2. 前年生产1吨甲种药品的本钱是5000元，随着生产 技术的进步，设下降率是x,那么去年生产1吨甲种药品 的本钱是5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，那么 现在生产1吨甲种药品的本钱5是000(1-x)2 元.
解：设正方体的棱长为x㎝,那么x 3 27, 这就是要求一个数,使它的立方等于27. 因为 33 2 7 , 所以 x=3. 正方体的棱长为3㎝.
想一想 (1)什么数的立方等于-8？ -2 (2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又
解得 x1=20%，x2=1.8 〔舍去〕 ∴平均每次下调的百分率为20%.
〔2〕小华准备到李伟处购置5吨该蔬菜，因数量多， 李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打 九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试 问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
120 120 3. x x2
两边同乘x(x+2)，整理，得，
x2+2x－80=0.
解这个方程，得，
x1=-10，x2=8. 经检验x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不
符合题意，所以取x=8.
答：原来这组学生是8人.
方法点拨
解分式方程应用题时，所得根不仅要检验根是 否为增根，还要考虑它是否符合题意.
讲授新课
一 平均变化率问题与一元二次方程
探究归纳
填空：
1. 前年生产1吨甲种药品的本钱是5000元，随着生产
技术的进步，去年生产1吨甲种药品的本钱是4650 元，
那么下降率是7% .如果保持这个下降率，那么现
在生产1吨甲种药品的本钱是
元.
下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量
2. 前年生产1吨甲种药品的本钱是5000元，随着生产 技术的进步，设下降率是x,那么去年生产1吨甲种药品 的本钱是5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，那么 现在生产1吨甲种药品的本钱5是000(1-x)2 元.
解：设正方体的棱长为x㎝,那么x 3 27, 这就是要求一个数,使它的立方等于27. 因为 33 2 7 , 所以 x=3. 正方体的棱长为3㎝.
想一想 (1)什么数的立方等于-8？ -2 (2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又
一元二次方程的应用课件
02
一元二次方程的应用场景
几何问题
直角三角形问题
在直角三角形中，常常需要利用一元 二次方程来求解某一边的长度。例如 ，已知直角三角形的两个直角边长度 ，求斜边的长度。
勾股定理问题
勾股定理是一元二次方程在几何中应 用的一个典型例子。已知直角三角形 的两条直角边，我们可以利用勾股定 理来求解斜边的长度。
检验解的有效性
解出方程后需要进行检验，确保解是 有效的，避免出现不符合原方程的解 。
解法的拓展与提高
拓展解法的应用范围
通过学习更多的一元二次方程的解法，可以拓展解法的应用范围 ，解决更多的问题。
提高计算能力
通过不断的练习和总结，可以提高计算能力，减少计算失误，提高 解题效率。
掌握多种解法
掌握多种一元二次方程的解法，可以更加灵活地解决问题，根据实 际情况选择最合适的解法。
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
详细描述
一元二次方程的应用ppt 课件
• 一元二次方程的基本概念 • 一元二次方程的应用场景 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程的实际应用案例 • 一元二次方程的解法总结与反思
01
一元二次方程的基本概念
一元二次方程的定义
总结词
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的方 程。
详细描述
一元二次方程的一般形式包含了三个项：ax^2、bx 和 c，其中 a、b、c 是常 数，且 a ≠ 0。这个形式是所有一元二次方程的基础。
北师大版九年级上册数学《应用一元二次方程》一元二次方程PPT研讨课件
几何问题 行程问题
设
列
检
答
面积问题
动点问题
第二章 一元二次方程
应用一元二次方程
第2课时
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会用一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率 问题.（重点、难点）
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问 题解决问题的能力．
导入新课
问题引入
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数 学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长 了10%，问他第三次数学成绩是多少？
作为等量关系列方程为：200+200(1+x) +200(1+x)2=950
例4 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月
、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长
率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0，
x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为2750元.
例2：某超市将进价为30元的商品按定价40元出售时，能卖600件已知该商品 每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得10000元的利润，且尽量减少库存 ，售价应为多少？
解析：销售利润=（每件售价-每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元， 则售价为（40+x）元，销售量为（600-10x）件，根据等量关系列方程即可. 解：设每件商品涨价x元，根据题意，得
一元二次方程的应用(习题课)精品PPT教学课件
成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均 收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚 而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。
（3）如果修建3公顷大棚收益如何？
解：当修建３公顷大棚时： 75000×3－（27000×3+9000×32）
=
2020/12/6
18
拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬 菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜 等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设 备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方 成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均 收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚 而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。
2020/12/6
b=180
x
7
方法四
a=100
80
b=180
2020/12/6
8
方法五
a=100
80
b=180
2020/12/6
9
方法六
a=100
80
b=180
2020/12/6
10
方法七 a=100
80
b=180
2020/12/6
11
方法八
a=100
80
b=180
2020/12/6
12
=
当修建2公顷大棚时：
75000×10 －27000×10 +9000 × (10 ) 2
3
3
3
=
所以修建２公顷与10 公顷大棚效益没有差别． 3
2020/12/6
17
拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬 菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜 等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设 备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方
（3）如果修建3公顷大棚收益如何？
解：当修建３公顷大棚时： 75000×3－（27000×3+9000×32）
=
2020/12/6
18
拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬 菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜 等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设 备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方 成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均 收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚 而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。
2020/12/6
b=180
x
7
方法四
a=100
80
b=180
2020/12/6
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方法五
a=100
80
b=180
2020/12/6
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方法六
a=100
80
b=180
2020/12/6
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方法七 a=100
80
b=180
2020/12/6
11
方法八
a=100
80
b=180
2020/12/6
12
=
当修建2公顷大棚时：
75000×10 －27000×10 +9000 × (10 ) 2
3
3
3
=
所以修建２公顷与10 公顷大棚效益没有差别． 3
2020/12/6
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拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬 菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜 等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设 备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方
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方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知 长方形钢片的长为30cm，宽为20cm，要使制成 的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框 的框边宽。
200cm2
20－2x
30－2x
练习二：如图，在一块长为92m，宽为60m的 矩形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水 渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块， 水渠应挖多宽？
解：设水渠应挖 x m宽，则矩形小块的长
为
92 2 x 3
m，宽为
60 x 2
m，依题意得：
92 2 x 60 x 885 3 2
化为一般形式：x2－106x＋105＝0
(x－1)(x－105)＝0
∴x1＝1，x2＝105 (不合题意，舍去) 答：水渠应挖 1 m宽。
已知矩形(记为A)长为4，宽为1，是否 存在另一个矩形(记为B),使得这个矩形 的周长和面积都为原来矩形周长和面积 的一半?如果存在,求出这个矩形的长和 宽；如果不存在,试说明理由。 A B
一元二次方程的应用 -----------面积问题
有一块面积为150米2的长方形场鸡 场的一边靠墙（墙长18米），另一 边用竹篱笆围成，如果竹篱笆长35 米,鸡场的长与宽各是多少？
18m
鸡场
有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长a=10米）， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB正方形的边长为 x cm，则长方体 (10－2x)cm 的底面边长为___________，依题意得： (10－2x)2＝81 10－2x＝±9 1 19 ∴x1＝ x2＝ (不合题意，舍去)
答：剪去的正方形的边长为0.5cm。
2 2
练习一：如图，在长方形钢片上挖去一个长
92 2 x 3 60 x 2
例题
• 要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm,正 中央是一个与整个 封面长宽比例相同的长方形。 如果要使四周的 彩色边衬所占面积是封面面积的 ¼，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何 设计四周边衬宽度？
例：一种铁栅栏护窗的正面为120cm、宽为 100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成 的菱形，如图，菱形的水平方向的对角线比 竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积 1 是护窗正面矩形面积的 。 5 (1)求菱形的两条对角线的长度； (2)求组成菱形的每一根铁条的长度
a
A D B (1)求S与x的函数关系式 （2）如果要围成面积为45 平方米的花圃，AB的长是多少？ （3）能围成面积比45 平方米更大的花圃吗？如果能，请求 出最大的面积。并说明围法，如果不能，说明理由。 C
试一试：
如图，小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板 的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成 一个无盖的长方形盒子。如果要求长方体的底 面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
1、P24. 练习 1、2题 2、P27. A组 3题
练习：如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四 周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画. 如果要求挂画的面积是整个面积的72%,那么金 边的宽应是多少?
200cm2
20－2x
30－2x
练习二：如图，在一块长为92m，宽为60m的 矩形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水 渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块， 水渠应挖多宽？
解：设水渠应挖 x m宽，则矩形小块的长
为
92 2 x 3
m，宽为
60 x 2
m，依题意得：
92 2 x 60 x 885 3 2
化为一般形式：x2－106x＋105＝0
(x－1)(x－105)＝0
∴x1＝1，x2＝105 (不合题意，舍去) 答：水渠应挖 1 m宽。
已知矩形(记为A)长为4，宽为1，是否 存在另一个矩形(记为B),使得这个矩形 的周长和面积都为原来矩形周长和面积 的一半?如果存在,求出这个矩形的长和 宽；如果不存在,试说明理由。 A B
一元二次方程的应用 -----------面积问题
有一块面积为150米2的长方形场鸡 场的一边靠墙（墙长18米），另一 边用竹篱笆围成，如果竹篱笆长35 米,鸡场的长与宽各是多少？
18m
鸡场
有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长a=10米）， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB正方形的边长为 x cm，则长方体 (10－2x)cm 的底面边长为___________，依题意得： (10－2x)2＝81 10－2x＝±9 1 19 ∴x1＝ x2＝ (不合题意，舍去)
答：剪去的正方形的边长为0.5cm。
2 2
练习一：如图，在长方形钢片上挖去一个长
92 2 x 3 60 x 2
例题
• 要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm,正 中央是一个与整个 封面长宽比例相同的长方形。 如果要使四周的 彩色边衬所占面积是封面面积的 ¼，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何 设计四周边衬宽度？
例：一种铁栅栏护窗的正面为120cm、宽为 100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成 的菱形，如图，菱形的水平方向的对角线比 竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积 1 是护窗正面矩形面积的 。 5 (1)求菱形的两条对角线的长度； (2)求组成菱形的每一根铁条的长度
a
A D B (1)求S与x的函数关系式 （2）如果要围成面积为45 平方米的花圃，AB的长是多少？ （3）能围成面积比45 平方米更大的花圃吗？如果能，请求 出最大的面积。并说明围法，如果不能，说明理由。 C
试一试：
如图，小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板 的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成 一个无盖的长方形盒子。如果要求长方体的底 面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
1、P24. 练习 1、2题 2、P27. A组 3题
练习：如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四 周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画. 如果要求挂画的面积是整个面积的72%,那么金 边的宽应是多少?