江苏各地2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(10)圆锥曲线

江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第10部分:圆锥曲线一、填空题：2．(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2288kx ky-=的渐近线方程为；2．y=±【解析】由题知2280x y-=即y=±.2. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)若双曲线()22221,0x ya ba b-=>的离心率为2，则ba= ▲ .【解析】222,3,c b ba a a====9. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)已知双曲线C:22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点、右焦点分别为A、F,它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为 .91【解析】由题意知：()()2,0,,0,,0aB A a F cc⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2aa cc=-，即2210e e--=，解得1e=10．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是▲ ．10．(【解析】双曲线22221x ya b-=的一条渐近线为by xa=，点()1,2在该直线的上方，由线性规划知识，知：2ba>，所以221()5bea=+<，故(e∈4. (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是▲．4．【解析】根据焦点坐标在x轴上，可设抛物线标准方程为22y px=，有22p=，4p=，抛物线标准方程为28y x= 1. (江苏省泰州市2011届高三年级第一次模拟)双曲线1322=-yx的离心率是。

1. 2【解答】由题知2221,3,4a b c===于是离心率2cea==。

7. (江苏省南京市2011年3月高三第二次模拟考试)若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为3，则M到该抛物线焦点的距离为________。

326．(江苏省南京外国语学校2011年3月高三调研)若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为 21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ．5523．(江苏省宿豫中学2011年3月高考第二次模拟考试)椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是34，10、(江苏省宿豫中学2011年3月高考第二次模拟考试)设双曲线C ：22221x y ab -=（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，O 为坐标原点．若以F 为圆心，FO 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点A （不同于O 点），则△OAF 的面积为 ab 12．(江苏省盐城市2011届高三年级第一次调研)在ABC ∆中,60ACB ∠=,sin :sin 8:5A B =,则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 ▲ .12. 713【解析】设,,BC m AC n ==则()2228,2,22cos605m m n a c m n mn n ︒=+==+-先求得1610,1313m a n a ==，代入得2219674,.16913c a e ==二、解答题：18．(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)（16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点P ，设椭圆的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为．⑴求椭圆E 的方程及圆O 的方程；⑵若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上任意一点N ，有MNNQ 为定值；且当M在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上．18．解：⑴2,2e a =∴=，又222,a b c a b =+∴= 22221x y ab +=过点(22P ,22421a b ∴+=解得2228,4,a b c ===∴椭圆方程：22184x y +=()()4,0,0,2,A B ∴直线AB 的方程为240x y +--，则圆心O 到直线AB 的距离d =圆O的半径2r ==∴圆的方程：224x y +=.⑵右准线的方程为4x=，由题可设()()004,,,M t N x y 定点(),Q x yMN 与NQ 的比值是常数并且Q 不同于M ，22,NQ NM λλ∴=是正常数并且不等于1，即()()()()22220004x x y y x y t λλ-+-=-+-将22004x y +=代入有()22200002248220xx yy x y x ty t λλλ--+++=--++，有无数组()00,x y ，从而()2224420x y t x y t λλλ⎧=⎪⎪=⎨⎪++=+⎪⎩解得：1λ=（舍去）或2416t λ=+于是定值为：2NM NQ =，又2416,t λ+=代入得224,x y λ+=于是22x y x +=，故Q 在圆心1(,0)2，半径为12的定圆上.18．(江苏省泰州中学2011年3月高三调研）（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，12F F、分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2．⑴求椭圆C 的方程；⑵设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与椭圆的右准线 l 有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．18、(江苏省宿豫中学2011年3月高考第二次模拟考试)给定椭圆C ：)0(,12222>>=+b a b y a x ，称圆心在原点O 、半径为22b a +的圆是椭圆C 的“伴椭圆” ，若椭圆C 的一个焦点为)0,2(2F ,其短轴上的一个端点到2F 距离为3；（1）、求椭圆C 的方程及其“伴椭圆”的方程；（2）、若倾斜角为︒45的直线与椭圆C 只有一个公共点，且与椭圆C 的“伴椭圆”相交于M 、N 两点，求弦MN 的长。

（3）、若点P 是椭圆C “伴椭圆”上一动点，过点P 作直线21,l l ，使得21,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，求证：21l l ⊥。

18、解：（1）因为c a ==，所以1b =……………………………………………2分所以椭圆的方程为2213x y +=，伴随圆的方程为224x y +=.……………………………4分（2）设直线l 的方程y x b =+，由2213y x b xy =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2246330x bx b ++-=由22(6)16(33)0b b ∆=--=得24b =…………………………6分 圆心到直线l的距离为d ==，所以||MN ==8分（3）①、当12,l l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =当1l方程为x =1l与伴随圆交于点1),-此时经过点1)-且与椭圆只有一个公共点的直线是1y =(或1)y =-，即2l 为1y =(或1)y =-，显然直线12,l l 垂直；同理可证1l方程为x =12,l l 垂直.……………………………………………10分②、当12,l l 都有斜率时，设点00(,),P x y 其中22004x y +=， 设经过点00(,),P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y k x x y =-+，由0022()13y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到22003(())30x kx y kx ++--=， 即2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=，………………………………………12分 []22200006()4(13)3()30k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⋅+--=⎣⎦，经过化简得到：2220000(3)210x k x y k y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=，………………………………14分 设12,l l 的斜率分别为12,k k ，因为12,l l 与椭圆都只有一个公共点，所以12,k k 满足方程2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=， 因而121k k ⋅=-，即12,l l 垂直.………………………………………………………………16分18. (江苏省苏州市2011年1月高三调研) （本小题满分16分）如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,BC 两点.⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点， 当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标.18.【解析】（1）由条件得()(1,0,,F A-AF k =因为,AB AF ⊥所以3AB k =-:3AB y x =-+令0,y =得3,x =所以点C 的坐标为()3,0.由22143y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得213240,x x -=解得10x =（舍）224.13x = 所以点B的坐标为2413⎛ ⎝⎭. 因为AB BC λ=，所以0,λ>且24813.245313AB BC λ===-（2）因为ACF △是直角三角形， 所以ACF △的外接圆的圆心为()1,0D ，半径为2.所以圆D 的方程为()2214x y -+=.因为AB 为定值，所以当PAB △的面积最大时点P 到直线AC 的距离最大.过D作直线AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点 .直线):1m y x =-与()2214x y -+=联立得2x=（舍）或0,x =所以点P 的坐标为(.21. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点()1,0F 的距离与定直线l ：1x =-的距离相等.⑴求动点P 的轨迹E 的方程;⑵过点F 作倾斜角为45︒的直线m 交轨迹E 于点,A B ，求AOB △的面积.21.【解析】（1）设(),P x y ，由抛物线定义知，点P 的轨迹E 为抛物线，方程为24.y x = （2）:1l y x =-，代入24,y x =消去x 得2440y y --=.设()()1122,,,,A x y B x y则21y y -=所以2111122AOB S OF y y ∆=⨯⨯-=⨯⨯=18. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)（本题满分16分） 在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C上的点到两焦点的距离之和为（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且3AF FB =.求过O 、A 、B 三点的圆的方程.18．【解析】本题考查椭圆的标准方程，圆的方程及平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查解析几何的基本思想、综合运算能力．（1）由题意，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，则2a a ==2分因为点()在椭圆2222:1x y C a b +=上，所以281112b +=，解得b =所以所求椭圆方程为221123x y +=．………………………………………………………5分 (2)设点112212(,),(,)(0,0)A x y B x y y y <>．点F 的坐标为(3,0)F ．由3AF FB =，得121233(3)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩，即12123123x x y y =-+⎧⎨=-⎩ ①………………7分则1122(5,),(3,),F M y F N y ==1212150F M F N y y ⋅=+=，又,A B 在椭圆C 上，所以22222222(312)(3)11231123x y x y ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得221033x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以10(3B ，代入①得A点坐标为(2,．…………………………………12分因为0OA AB =,所以OA AB ⊥．所以过,,O A B 三点的圆就是以OB 为直径的圆，其方程为2210033x y x y +--=．…………………………………16分18．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)（本小题满分16分）如图，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,)2P 12,F F 12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？ 请证明你的结论．18．【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，圆的方程及平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查解析几何的基本思想、综合运算能力．（1）12c e a ==，且过点3(1,)2P ，22222191,42,,a b a c a b c ⎧+=⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨⎪⎩ ∴椭圆方程为22143x y +=…………………………4分 (2)设点12(4,),(4,)M y N y 则1122(5,),(3,),F M y F N y ==1212150F M F N y y ⋅=+=，1215y y ∴=-，又2111111515MN y y y y y y =-=-=－+≥，MN ∴的最小值为10分 (3)圆心C 的坐标为12(4,)2y y +，半径212y y r -=.圆C的方程为2 221221() (4)()24y y y yx y+--+-=，整理得：2212128()160x y x y y y y y+--+++=.……………………………………16分1215y y=-，22128()10 x y x y y y∴+--++=令y=，得2810x x-+=，4x∴=.∴圆C过定点(4±.………………………………………………………………16分22. (江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)（本小题满分10分）已知动圆P过点1(0,)4F且与直线14y=-相切.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点F作一条直线交轨迹C于,A B两点，轨迹C在,A B两点处的切线相交于点N，M为线段AB的中点，求证：MN x⊥轴.18. (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)（本小题满分16分）已知椭圆E：22184x y+=的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.（1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（3）在平面上是否存在一点P，使得12GFGP=？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.第22题18．【解析】第（1）问先求出圆心坐标，再直接写出圆的方程；第（2）问先用中点坐标公式求出点G 的横坐标，再代入所求圆的方程求出纵坐标，注意有两解，则FG 的方程可写出；第（3）问是存在性问题，一般解法是先假设存在，再结合已知条件求之，若能求出，则存在，若求之无解，则不存在。