2008高考数学冲刺复习专题(二)-数列
2008年高考全国卷2理科数学(含解析)
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【答案】B【解析】{}1,0,1,2--=M ，{}3,2,1,0,1-=N ，∴{}1,0,1-=N M【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别。
【评注】历年来高考数学第一个小题一般都是集合问题，都超简单。
其实集合问题是可以出难题的，但高考中的集合问题比较简单。
需要注意的是：很多复习书都把集合作为高考数学复习的起点，我认为这是不妥当的，高中的集合问题涉及到的集合知识并不多（就是一种表达方式），其难度主要体现在知识的综合性上，学生应当先学习其他知识，再在集合中综合。
建议把“数学的基本运算”作为高考数学复习的起点，学生花1个月的时间温习、强化初等数学的基本运算是必要的，重要的，也是值得的。
数学的基本运算具体包括的内容可以参考本人编写的《高考数学复习专用教材》 2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =【答案】A【解析】i b b a ab a i b ab bi a a bi a )3()3(33)(322332233-+-=--+=+，因是实数且0b ≠，所以2232303a b b b a =⇒=-【高考考点】复数的基本概念、基本运算，立方和公式（基本运算）【评注】很多学生没有学习过立方和公式，不会用立方和公式一步到位地展开，有人按32()()()a bi a bi a bi +=++进行展开，也有人按3()()()()a bi a bi a bi a bi +=+++进行展开，还有人用二项式定理进行展开，这都是可行的思路。
北京市2008年高三第二轮复习讲义：第9讲递推数列(数学)
第 9讲递推数列一、高考要求①理解数列的观点，认识数列通项公式的意义．②认识递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前几项；并能解决简单的实质问题．特别值得一提的是最近几年高考试卷对数列要求较高，已高出了考大纲求．二、两点解读要点：①求递推数列的通项公式②递推数列的乞降；③函数与数列综合；④数列与不等式联合；⑤数列与对数的综合．难点：①数阵数表类递推问题；②数列推理问题，常作为高考压轴题．三、课前训练1．若知足a n n( n2) ，则a4=（ C）a1 2 ，nan 11（A）4（ B）1（C）4（D）2 3532．若数列 a n知足： a n111且 a1 2 ，则a2008（ C）a n1（A）-1（B） 1（C） 2（D）23．定义“等和数列”：在一个数列中，假如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{ a n } 是等和数列，且a12，公和为5，那么 a18的值为3，这个数列的前 n 项和 S n的计算公式为当 n为偶数时 S n 5n ；当n为奇数时， S n 5 n1 4 ．已知数列{ a n}满足a1 1 ，222a nn 1a n 1 (n2) ，则通项公式 a n3n132四、典型例题例 1. 在数列{a n}中，a11，a2 2 且 a n 2a n 1( 1)n (n N * ) ，则 S100(C )（ A） 150（ B） 5050（ C） 2600（ D） 25148解：当 n 为奇数时， a n 2 a n 1 ( 1) n0 ，即a1a3a99 1，当 n 为偶数时， a n 2a n 1 ( 1)n2 ，即 a 2 , a 4 , a 6 , , a 100 成以 2 为首项， 2 为公差S 1005050 250(501)的等差数。
所以2 2 2600 ，应选 C例 2. 已知数列 { a n } 知足 a 11， a na 12a 2 3a 3(n 1)a n 1 ，则 n 2 时，数列 { a n } 的通项 a n（）（ A ）n!（ B ）( n1)! （ C ） n !（ D ） (n 1)!22解：在 a n a 12a 2 3a 3(n 1)a n 1 两边都加上 na n ，则有： na na nan 1 ，即 a n 1n 1（* ），a n当 n 2 时，由 a n a 1 2a 23a 3(n 1)a n 1 得 a 2 a 11，由（ * ）取 2，3， ， n 累乘可得： an 34 5n ，即 a nn!a 22例 3. 已知 f ( n 1)f (n) 1N*) ， f(1) 2 ，则 f (2007)_______f (n)(n1f ( n) 1 解： f (n1)f ( n) 11f (n 4)2)f ( n 所以 f (2007) f ( 2004 3)f (n 1) 1 1 1 1 f ( n 1) 1f ( n 1) 1， f ( n 2),1 f (n 1)f (n)f ( n 1) 1f (n),即 f (n) 是以周期为 4 的数列，1 1f (3)f (1)2例 4. 在数列 { a n } 中， a 1 3 ，且对随意大于 1 的正整数 n ，点 ( a n ,a n 1 )在直线x y3 0 上，则 a n =__________________解：点 (a , a ) 在直线 xy3 0，即a na n13 ，又 a 13 ，所以 a nnn 1是以 3 为首项， 3 为公差的等差数列，故a n3 (n 1)3 ，即 a n3n 2例5.数列{a n }的前 n 项和记为na1, an 1 n 2 S ( n1,2,3 ).S ，已知 1n n证明：（Ⅰ）数列 {S n} 是等比数列；（Ⅱ） S n 1 4a n．n解：（Ⅰ）∵ a n 1 S nS n , a n 1n2 2) S n n(S n 1 S n ),1S n ，∴ (nn整理得nS2( n 1)S ，所以 S n1S n. 故 { S n} 是以 2 为公比的等比数列； n 1nn 12nn（Ⅱ）由（Ⅰ）知S n 1 4 S n 1 (n 2) ，于是S n 1 4(n 1) S n 1 4a n (n 2)，n 1 n 1n 1又 a 23S 1 3 ，故 S 2 a 1a 24 ，所以关于随意正整数n 1，都有 S n 1 4a n。
专题02 数列-【李金柱梳理】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)(原卷版)
专题02数列题型简介数列一般作为全国卷第17题或第18题或者是19题，主要考查数列对应的求和运算以及相应的性质考察题型一般为：1错位相减求和2裂项相消求和3（并项）分组求和4数列插项问题5不良结构问题6数列与其他知识点交叉问题；在新高考改革情况下，对于数列的思辨能力有进一步的加强，务必要重视典例在线题型一：数列错位错位相减求和1．已知{}n a 为首项112a =的等比数列，且n a ，12n a +，24n a +成等差数列；又{}n b 为首项11b =的单调递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且1S ，2S，4S 成等比数列．(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．变式训练1．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，并且0n b ＞，11334223,1,19,2a b b S a b a ==+=-=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；(3)若()11N *·n n n c n a a +=∈，求数列{}n c 的前n 项和nM 题型二：裂项相消求和1已知数列{}n a 的前n 项的积记为n T ，且满足112n n na T a -=.(1)证明：数列{}n T 为等差数列；(2)设()()111nnn n n b T T +-+=，求数列{}nb 的前n 项和nS.1．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且1n a =+.(1)证明：{}n a 是等差数列.(2)设数列1n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若满足不等式n T m<的正整数n 的个数为3，求m 的取值范围.题型三：（并项）分组求和1.设{}n a 是首项为1的等比数列，且满足123,3,9a a a 成等差数列：数列{}n b 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且满足()21n n n S b b =+，则(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n T 为数列{}n n a b 的前n 项的和，证明：121412318n n n T --+≤⋅；(3)任意()()254,N ,,n n n n nb b a n nc a n +⎧--∈=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项的和．变式训练1．已知数列{}n a 满足11a =,11,2,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.(1)记2n n b a =,写出1b ,2b ,3b ,4b ,并猜想数列{}n b 的通项公式;(2)证明（1）中你的猜想;(3)若数列{}n a 的前n 项和为n S ,求2n S .题型四：数列插项问题1．记数列{an }的前n 项和为Sn ，对任意正整数n ，有2Sn ＝nan ，且a 2＝3.(1)求数列{an }的通项公式；(2)对所有正整数m ，若ak ＜2m ＜ak ＋1，则在ak 和ak ＋1两项中插入2m ，由此得到一个新数列{bn }，求{bn }的前40项和.变式训练1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N ．(1)求证：12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭是等比数列；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.题型五不良结构问题1．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =且2a ，5a ，14a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，在①21n n S =-，*n ∈N ；②21n n S b =-，*n ∈N ；③121n n S S +=+，*n ∈N 这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若11b =，且______，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.变式训练1．在①89a =，②520S =，③2913a a +=这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，___________，___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)若存在n *∈N ，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.题型六数列与其他知识点交叉问题1．为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为α，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为β”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X ．(1)求X 的分布列；(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，()0,1,,8i p i =⋅⋅⋅表示“甲小朋友的当前累计得分为i 时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则00p =，81p =，11(1,2,,7)i i i i bp cp a i p p -+=++=⋅⋅⋅，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.6β=．（i ）证明：{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=⋯为等比数列；（ii ）根据4p 的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．变式训练1．已知函数()cos 2f x x =，()sin g x x =.(1)判断函数()2ππ4H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；(2)设函数()()sin h x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<），若函数2πh x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式；(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,π)n 内恰有147个零点.模拟尝试一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项之积为()()1*22n n n S n -=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设公差不为0的等差数列{}n b 中，11b =，___________，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .请从①224b b =；②358b b +=这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.2．已知数列{}n a 的前n 项和为11131,3,31n n n n n S S a S ++-==-.(1)求23,S S 及{}n a 的通项公式；(2)若()()()()()()()32122311111111n n n n a a a a a a a a a a λ-+++≤------- 对任意的*2,N n n ≥∈恒成立，求λ的最小值.3．在数列{}n a 中，21716a =，*113,N 44n n a a n +=+∈．(1)证明：数列{}1n a -是等比数列；(2)令123n n n b a +=⋅+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1340n S <．4．已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足1325162,12,4,a S b b a ====．(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)将数列{}n a 中与数列{}n b 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T ．5．已知{}n a 为首项112a =的等比数列，且n a ，12n a +，24n a +成等差数列；又{}n b 为首项11b =的单调递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且1S ，2S，4S 成等比数列．(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．6．设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，且满足()*21N n n T a n =-∈．(1)证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，证明：14n S <．7．设{}n a 是首项为1的等比数列，且满足123,3,9a a a 成等差数列：数列{}n b 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且满足()21n n n S b b =+，则(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n T 为数列{}n n a b 的前n 项的和，证明：121412318n n n T --+≤⋅；(3)任意()()254,N ,,n n n n nb b a n nc a n +⎧--∈=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项的和．真题再练一、解答题1．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．2．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}nb 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．4．（2022·北京·统考高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．5．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．6．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.nn n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.8．（2020·山东·统考高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．9．（2020·海南·高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.。
高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)
城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。
专题08 数列小题综合(学生卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)
专题08数列小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1数列的增减性（10年3考）2022·全国乙卷、2022·北京卷2021·全国甲卷、2020·北京卷1.掌握数列的有关概念和表示方法，能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式，理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题，该内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和，需综合复习3.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数考点2递推数列及数列的通项公式（10年6考）2023·北京卷、2022·北京卷、2022·浙江卷2021·浙江卷、2020·浙江卷、2020·全国卷2019·浙江卷、2017·上海卷考点3等差数列及其前n项和（10年10考）2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·北京卷、2020·浙江卷、2020·山东卷、2020·全国卷、2019·全国卷2019·江苏卷、2019·北京卷、2019·全国卷、2019·全国卷、2018·北京卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2016·浙江卷、2015·重庆卷2015·全国卷、2015·全国卷、2016·北京卷、2016·江苏卷、2015·广东卷、2015·陕西卷、2015·安徽卷、2015·全国卷考点4等比数列及其前n项和（10年10考）2023·全国甲卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷2017·全国卷、2017·北京卷、2017·江苏卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2015·浙江卷2015·全国卷、2015·全国卷、2015·湖南卷2015·广东卷、2015·安徽卷列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n 项和。
2008年高考数列专题热点复习指导学习方法
2008年高考数列专题热点复习指导学习方法 3.数列{an}满足a1=1且an+1=(1+-)an+-(n1)(Ⅰ)用数学归纳法证明：an2(n2)；(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)0成立，证明：an证明(Ⅰ)当n=2时，a2=(1+-)·1+-=22，不等式成立；假定n=k时，ak2，ak+1=(1+-)·ak+-2(1+-)+-，∵1+->1，->0∴ak+12由上面n=2与n=k+1，可知不等式an2，对n=2，3，…成立。
证明(Ⅱ)an+1=(1+-)·an+-由(Ⅰ)an1，n=1，2，3，…易得--∴an+1an·(1+-+-)两边取以e为底的对数，∵e>1，∴lnan+1lnan+ln[1+(-+-)] 又由(Ⅱ)给出的条件ln(1+x)0上面的不等式可变形为：lnan+1-lnan-+-即lnan-lnan-1-+-lnan-1-lnan-2-+-……lna2-lna1-+-把以上n-1个不等式相加：lnan-lna1-+-+…+-+-+-+…+-∵lna1=0又-+-+…+-=1--+---+…+---=1--，-+-+…+-=1--，∴lnan1--+1--=2---- ∴an注第(Ⅱ)问是把不等式证明的比较法，放缩法与数列的基本方法与等比数列求和融在一起，这种综合题不单单是内容的综合，深入到数学方法的综合。
4.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N+(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设数列{bn}满足an(--1)=1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1>log2(an+3)，n∈N+。
解：(Ⅰ)a1=S1>16Sn-6Sn-1=an2+3an+2-(a2n-1+3an-1+2)6an=(an+an-1)(an-an-1)+3(an-an-1)(an+an-1)(an-an-1)-3(an+an-1)=0∵an>0，an-1>0∴an-an-1=3又6a1=a21+3a1+2，a1>1，∴a1=2∴an=3n-1分析(2)--1=-，-=-bn=log2-Tn=b1+b2+…+bn=log2-g-g-g…g-=log2(1+-)(1+-)(1+-)…(1+-)3Tn+1=log22g(1+-)3g(1+-)3g(1+-)3g…g(1+-)3在不等式证明中，解决连乘最为困难，所以要考其他途径变形由二项式定理(1+x)n=1+C1nx+…+Cnnxn(x>0)有(1+x)n>1+C1nx=1+nx研究3Tn+1等式中右边的连续两项：(1+-)3>1+-=-[1+-]3>1+-=-这样的变形乘积项就能打破，下面有：3Tn+1>log2(2g-g-g…g-g-)=log2(3n+2)=log2(an+3).注：二项展开式在处理不等量关系及近似计算中起重要的简化作用。
2008年高考数学考试试题分类汇编——数列
2008年高考数学试题分类汇编数列一． 选择题：1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ）A ．138B ．135C ．95D ．232.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（B ）A ．1B ．2C ．12D ．543.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ C ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞（Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =B （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）156.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a = AA ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ）A ．64B ．100C ．110D ．1208.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n｝前7项的和为CA.63B.64C.127D.1289.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ D ） A ．16B ．24C ．36D ．4810.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =C （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n --21） 11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ C ） A. 2B. 4C.152D.172二． 填空题：1.（四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为______4_____。
2008年高考试题分类(4)(数学-数列)
4 数列一、选择题1．（北京 7）．已知等差数列a n 中， a 2 6 ， a 5 15 ，若b n a 2n ，则数列 b n 的前 5 项和等于 （ C ）A ．30B ． 45C ． 90D ． 1862．（广东 4）记等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，若 S 1=4,S 4=20,则该数列的公差d= （ B ）A.7B.6C.3D.23．（宁夏 8）设等比数列 a n 的公比 q=2，前 n 项和为 S n ，则S 4=（C）a 2A ． 2B ． 41517 C ．D ．221) ，则 a n4．（江西 5）在数列 { a n } 中， a 1 2 ， a n1a n ln(1（ A ）nA ． 2 ln nB ． 2 (n 1)ln nC ． 2 n ln nD ． 1 n ln n5．（全国Ⅰ 7）已知等比数列 { a n } 知足 a 1 a 2 3， a 2 a 3 6 ，则 a 7 （ A）A ．64B ．81C ． 128D ． 2436．（福建 3）设 { a n } 是等差数列，若 a 2 3, a 7 13，则数列 { a n } 前 8 项和为（ C）Ａ． 128Ｂ． 80Ｃ． 64Ｄ． 567．（上海 14）若 a 是首项为 l ，公比为 a3各项的和为 a ，则 a 的值是（ B ）的无量等比数列， 且 an2nＡ． 1Ｂ． 2Ｃ．1Ｄ． 5248．(天津 4) 若等差数列 a n 的前 5项和 S 5 25 ，且 a 2 3 ，则 a 7（B ）A ．12B ．13C ． 14D ． 159．（浙江 4）已知 a n a 2 2， a 51是等比数列，，则公比 q = ( D )4（ A ）1 （B ） 2（C ）212（ D ）210．(重庆 1)已知｛ a n ｝为等差数列， a 2+a 8=12,则 a 5 等于( C)(A)4(B)5(C)6(D)711．(陕西 4) 已知 { a n } 是等差数列， a 1 a 2 4 ， a 7 a 8 28 ，则该数列前10 项和 S 10 等于（ B ）A ．64B ．100C ． 110D ． 120二、填空题1．（安徽 15） 在数列 { a n } 在中， a n 4n 5 ， a 1 a 2a nan 2 bn ， n N * ,此中 a, b 为常数，则2ab－ 12．（宁夏）已知a n为， a1 a322 ， a67 ，则 a5． 153．（江苏 10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 678910。
高考总复习二轮数学精品课件 专题2 数列 培优拓展(二) 数列中的情境创新与数学文化
1
A,a2=192×2=96,故此人第二天走了九十六里路,A
对于
正确;
对于 B,后五天所走的路程为 378-192=186 里,
则第一天比后五天多走的路程是 192-186=6 里,B 正确;
对于
对于
1
48
1
C,a3=192×4=48,而378 > 8,C 错误;
1
1
1
D,a4+a5+a6=192×(8 + 16 + 32)=42,
天起,每天比前一天多织多少尺布?”已知 1 匹=4 丈,1 丈=10 尺,若这个月有
30 天,记该女子这个月中第 n 天所织布的尺数为 an,bn=2 ,则( BD )
A.b10=8b5
B.数列{bn}是等比数列
3 + 5 + 7
209
C.a1b30=105
D.
=
2 + 4 + 6
A.a4=12
2
C. Sn=+1
B.an+1=an+n+1
D.a100=4950
解析 各层球数为1,3,6,10,15,21,…,
所以a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n(n≥2,n∈N*),
显然可得an+1=an+n+1,因此选项A不正确,选项B正确;
当n≥2,n∈N*时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
奇数时,n+1为偶数,则an+2=an+1+n+1,an+1=an+n+1,可得an+2=an+2(n+1),当
高考数学 数列专题复习二 数列求和素材(教师版)
数列专题复习二 数列求和（教师版）1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩()3* ()()2221121216n n n n +++=++ ；()4* ()23333112314n n n ++++=+⎡⎤⎣⎦ ； 2.错位相消法：给12n n S a a a =+++ 各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n 项和n S .一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。
3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()3* ()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；()41a b=--；()5*1k=；5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。
6导数法：灵活利用求导法则有时也可以完成数列求和问题的解答. 7.递推法.8.奇偶分析法.一． 基本公式法例1． =+++++13742222n 练1．=++++98852 练2.123232323232-++++n =二．错位相消法例).0()12(531:112≠⋅-++++=-a an a a S n n ：求和.)1()1(21)12(1,1)1(2)12(1)12()(21)(1② ①②)12()32(53①)12(53101.2)]12(1[)12(531121112132122a aa aan S a aa an an aaa S a a n an a a a aSan a a S a a n nn n S a n nn n nnn n nn nn n n --+-⋅--=∴--+--=--++++=---+-++++=-++++=≠≠=⋅-+=-++++==----- 得时，，当时，解：当例2．已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+⋅-=-+++ 的前n 项和n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222⋅-+=. 解．当),12(22)52(2)32()12(,21-=⋅--⋅-=⋅-≥+n n n a n n nnn n 时;14,2.4)2(2,4;2111-=-=≥⎩⎨⎧-=≥=-==∴-n S S b n a n a a a n n n n n nn 时当得而 而.)2(141,111⎩⎨⎧≥-===n n b b b n得 )14(215211272)],14(211272[443232-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+-=∴n s n W nnn 记)14(2)54(2112722143-+-++⨯+⨯=∴+n n s n n ②， ①－②得)14(2)222(428143--++++=-+n s n n).54(2),54(24),45(24)14(2)12(322811112-=-+=∴-+-=---+=++++-n W n s n n n n n n n n 得练1. 已知数列.}{,)109()1(n n nn S n a n a 项和的前求⨯+=解. nn n b n a )109(,1=+=为等差数列 为等比数列，∴应运用错位求和方法：.)109()10(999),10()109(1099)109()1(])109(1[108159)109()1(])109()109()109[(59101:,)109()1()109(3)109(2109;)109()1()109(31092111321322nn n n nn nn n n nn n S n n n S n S n S ⨯+-=∴+-=⨯+--⨯+=⨯+-++++=⨯+++⨯+⨯=∴⨯+++⨯+⨯=++++ 两式相减得①练2. 已知数列nn n b 4249⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-033数列解答题b
2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编03数列与数学归纳法三、解答题(二)51、(广东省四校联合体第一次联考)已知函数且任意的、都有（1）若数列（2）求的值.解：（1）而（2）由题设，有又得上为奇函数. 由得于是故52、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn .求证：．解：（Ⅰ）∴当时，，即是等比数列．∴；……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，则有而故，解得，………………………………7分再将代入得成立，所以．………………………………………………………………8分（III）证明：由（Ⅱ）知，所以，………………………………………………… 9分由得所以，…………………… 12分从而．即． (14)分53、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列。
（I）求的值；（II）求的通项公式。
（III）（理做文不做）由数列中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b}，求的值。
解：（），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．……理4分（文6分）（）当时，由于，，……，所以。
又，，故．当n=1时，上式也成立，所以……理8分（文12分）（III）bn=32n-2-3n-1+2, ∴=9. (12)54、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)已知数列中，（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列前的和；（3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。
解：（1）∵，∴2分∴数列是以1为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列。
4分（2）9分（3）当且仅当时取等号，所以，即，∴的最大值为－4855、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）记,求证：.解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程的两根，且数列的公差d>0，∴a3=5，a5=9，公差∴………………3分又当n=1时，有b1=S1=1－当∴数列{bn}是等比数列，∴…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知…………9分∴∴…………………………12分56、(河北省正定中学高2008届一模)设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有，记Sn为数列{an}的前n项和.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若（为非零常数，n∈N+），问是否存在整数，使得对任意n∈N+，都有bn+1>bn.解：（1）在已知式中，当n=1时，∵a1>0∴a1=1………………………………………………………………1分当n≥2时，①②①－②得，∵an>0∴==2Sn－an∵a1=1适合上式…………………………3分.当n≥2时，=2Sn－1－an－1 ④③－④得－=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+ an－1∵an+an－1>0 ∴an－an－1=1∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n………………5分（2）∵∴⑤………………………………………………………….7分当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为⑥依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………………………..9分当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为⑦依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，∴……………………………………………………………………………..11分∴∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1>bn……………………………12分57、已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．（1）求数列的通项公式．（2）若，求数列的前项和．（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.解：（1）点都在函数的图像上，,当时，当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为…….3分（2）由求导可得过点的切线的斜率为，..①由①×4，得②①-②得：………………………………………………………………..7分（3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.又，,解得ｍ＝27.所以，设等差数列的公差为，则，所以的通项公式为…………12分58、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知是数列的前项和，，且，其中.(1)求数列的通项公式；(2)(理科)计算的值. ( 文科) 求.解：①---------2分又也满足上式，（）数列是公比为2，首项为的等比数列 ----------- 4分-------------- 6分②②-------------（9分）于是---------------（12分）59、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)函数对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.（1）求的值；（2）数列的通项公式。
2008年高考数学试题分类汇编数列2008年高考数学试题分类汇编数列
数列作业一． 选择题：1.已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．23 2. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a的值是（ ）A ．1 B ．2 C ．12 D ．543.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-4.已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞（Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞5.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）156.在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 7.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64B ．100C ．110D ．1208.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为A.63B.64C.127D.1289.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16B ．24C ．36D ．4810.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n --21） 11.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A. 2B. 4C.152D.172二． 填空题：1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为___________。
北京市2008年高三第二轮复习讲义：第10讲数列的综合应用(数学)
第 10 讲数列的综合应用一、高考要求高考对数列的考察比较全面，要点是等差、等比数列的定义、通项公式、前 n项和公式、等差（比）中项及等差和等比性质的灵巧运用；在能力要求上，主要考察学生的运算能力，逻辑思想能力以及剖析问题和解决问题的能力，此中考察思想能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．二、两点解读要点：等差和等比数列基本观点和公式的应用；难点：由递推公式求通项以及数列与不等式等知识的综合问题．三、课前训练1．假如等比数列 {a n}的首项为正数，公比大于1，那么数列log 1 a n( D)3（ A）是递加的等比数列（ B）是递减的等比数列（ C）是递加的等差数列（ D）是递减的等差数列2．在△ ABC中， tanA 是以 4 为第三项， 4 为第七项的等差数列的公差，tanB 是以1为第3三项， 9 为第六项的等比数列的公比则这个三角形是（ B）（ A）钝角三角形（ B）锐角三角形（ C）等腰直角三角形（ D）非等腰直角三角形3．若数列 a n知足：a11, a n 1 2a n , n N *，则 a1 a2a n2n14．《莱因德纸草书》 ( Rhind Papyrus )是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目 : 把 100 个面包分给 5 个人 , 使每个所得成等差数列 ,且使最大的三份之和的1是较7小的两份之和 , 则最小 1 份的量为53四、典型例题例 1. 在各项均不为零的等差数列{ a n } 中，若a n 1a n2an 10( n 2) ，则S2n 14n（）（A）2（Ｂ）0（Ｃ）1（Ｄ）2解：由{ a n } 是等差数列，当 n 2 时， a n 1 a n 12a n ，又a n 1a n2an 10 ，故可解得：a n 2，又S2 n 1(a1a2n 1 )(2n1)4n2a n (2n 1)2，应选A 4n24n2例 2．已知f ( x)为偶函数，且 f (2 x) f (2 x) ，当2x 0时f (x)2x，若n N* ，a n f (n) ，则a2007（）（A）2006（ B）－ 2006（C）4（D）14解：由 f (x) 为偶函数可得： f (x) f ( x) ，又由 f (2 x) f ( 2 x)可得 f (x) f ( x4) ，因此 f (x) f ( x 4) ，即 f ( x) 的周期为4，a 2007 f (2007) f (2004 3) f (3) f (1 1)2例 3. 定义一个“等积数列” ：在一个数列中，假如每一项与它后一项的积都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列” ，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列 { a n } 是等积数列，且 a1 2 ，公积为 5，则这个数列的前n 项和S n的计算公式为：．解：这个数列为2，5，2，5，2，5，，若 n 是偶数，则 S n n2n59n ，22222249n n是正偶数 ,n 1n 159n14若 n 是奇数，则 S n2．故 S n22249n14n是正奇数 .例 4．将正奇数按以下规律填在 5 列的数表中：则 20071357排在该表的第行，第列．（行是从上1513119往下数，列是从左往右数）17192123312927251 列偶数行是以15 为首项， 16解：认真察看可发现第为公差的等差数列，因此通项公式可写为 a n8n 1，此中 n 取正偶数，当n 250时， a2501999，数下来在第251 行上有：第二个数开始分别为2001， 2003， 2005， 2007，因此， 2007 排在该表的第251 行，第5 列 .例 5．已知函数 f ( x)bx c的图象过原点，且对于点（1,1）成中心对称．x1（Ⅰ）求函数 f (x) 的分析式；（Ⅱ）若数列 {a n } (n N*) 知足： a n 0, a 1 1, a n1f ( a n ) 2，求数列 {a n } 的通项公式 a n ；（Ⅲ）若数列 { a n } 的前 n 项的和为 S n , 判断 S n 与 2 的大小关系，并证明你的结论．解： ( Ⅰ ) 由于函数 f (x)bx c的图象过原点，即f (0)0 ，因此 c =0，即 f ( x)bx . 又x 1x 1 bxbb的图象对于点（ -1 ， 1）成中心对称，因此 b 1， f ( x)x函数 f (x)1x1xx 1( Ⅱ ) 由题意 a n2a n1111f ( a n ) ，开方取正得：a n 1 a n，即n+1 =a n +1，因此 n +11aa－1 =1. ∴数列 { 1 }是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列．a na n∴ 1 1 ，∴ a n = 1=1+(n － 1)=n ，即 a n = n n 2 ．a n( Ⅲ ) 当 n ≥2时，a n = 1 1 = 1 － 1n 2 < n(n-1) ．n-1 n因此 S n a 1 a 2a n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ，故 S n 22 2 3n 1 2 nn。
2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-032数列填空题.doc
2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编03数列与数学归纳法二、填空题1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……试用 n 表示出第n 个图形的边数 ____________n a =. 答案：3×4n －1.2、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知数列{}n a 的通项公式为101212321,n n n n n a a C a C a C -=++++则…1n n n a C ++=_________。
答案：2n＋3n.3、(江苏省启东中学高三综合测试二)设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对于所有自然数n ，有_______. ,lim ,2的取值范围是则若成立t t a S a t tS nn n nn <+=∞→答案：),22(3+∞ 4、(江苏省启东中学高三综合测试三)如图，第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1,2,3,…)，则第n －2个图形中共有 个顶点。
答案：n 2+n5、(江苏省启东中学高三综合测试四)在数列{}n a 和{}n b 中，n b 是n a 与1+n a 的等差中项，21=a 且对任意∈n N *都有031=-+n n a a ，则数列{}n b 的通项公式为 ___ _______．6、(江西省五校2008届高三开学联考)如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ΔABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线。
旋转一圈．然后又以A 为圆心AA 3为半径画弧…，这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度=n l ．(用π表示即可)解析: =n l πππ)3(2)31(332)3321(322n n n n n +=+⋅=++++ 7、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且S 9=18，S n =240，若a n －4=30(n >9)，则n = ． 答案：158、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，记T n ＝2n S n，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立．则M 的最小值是__________． 本题主要考查等差数列的通项公式，前n 项和公式，数列的最大值等. 解析：由a 4－a 2＝8，可得公差d ＝4，再由a 3＋a 5＝26，可得a 1＝1 故S n ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ∴T n ＝2n －1n ＝2－1n要使得T n ≤M ，只需M ≥2即可故M 的最小值为2 答案：29、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-（k为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比. 现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0； ⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32n n a =-+,则数列{}n a 是等差比数列； ⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为______________. 答案：⑴⑶⑷10、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)设函数21123()n n f x a a x a x a x -=++++，1(0)2f =，数列{}n a 满足2*(1)()n f n a n N =∈，则数列{}n a 的通项n a 等于 . 答案：1(1)n n +11、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)在正项等比数列}{n a 中，a 3a 7=4，则数列{n a 2log }的前9项之和为 . 答案：912、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)如图所示，△ABC 中，AB =AC =23，∠B 1AB =∠B 1BA =30°，过B 1作∥B 1A 1∥BA ，过A 1作A 1B 2∥AB 1，过B 2作B 2A 2∥B 1A 1，过A 2作A 2B 3∥A 1B 2，过B 3作B 3A 3∥B 2A 2，……. 若将线段B n A n 的长度记为a n ，线段A n B n+1的长度记为3,2,1(,=n b n ……），则=+11b a .用心 爱心 专心)]()()[(lim 2211n n x b a b a b a ++++++∞→ = .答案：)13(4);13(34++ 13、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)数列a n {}满足：1112,1(2,3,4,)n n a a n a -==-=，则4a =____________；若a n {}有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++的通项公式，其中A ,B ,ω,ϕ均为实数，且0A >，0ω>，2πϕ<，则此通项公式可以为n a =____________（写出一个即可）. 答案：2，()2311sin[]332n k a n ππ+=-+（k ∈N ） （注意：答案不唯一，如写成21)332sin(3+-=ππn a n 即可） 14、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为 颗；第n 件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用n 表示).答案：66，1322++n n15、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且243a a a ，，成等差数列，则q =__________ .答案：－12或116、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)数列{}n a 中，23=a ，15=a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 是等差数列，则=11a 答案：017、(山东省博兴二中高三第三次月考)观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，则可以猜想的结论为：________________.答案：222111211(,2)23n n N n n n-++++<∈≥ 18、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为 。
2008年高考数学、物理复习-数列专题热点指导学习方法
2008年高考数学、物理复习:数列专题热点指导学习方法10.已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且-=λ-，-λ-(λ为非零参数，n=2，3，4，…)(Ⅰ)若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；(Ⅱ)当λ>0时，证明--(n∈N*)；当λ>1时，证明-+-+…+- 解(Ⅰ)n=2-=λ-→x3=λ；n=3-=λ-→x4=λ3 n=4-=λ-→x5=λ6∵x1，x3，x5成等比∴x32=x1·x5→λ2=λ6，λ≠0∴λ=±1(Ⅱ)-=λ-=λ2-=…=λn-1-，∴-=λn-1y1=y2=2>0，λ>0→yn>0-λ-λ2-…λn-1-∴-λn-1→--∴--(Ⅲ)由已知x1=x2=1，y1=y2=2，y3λy2，x3=λx2又λ>1，∴y3>x3 进一步易推得yn>xn-=-，yn+1-xn+1λn-1yn-λn-1xn=λn-1(yn-xn)>0----=-∴--，(n2)-+-+…+-1+-+…+- 注：第(Ⅱ)问是用逐次代入法解决等量与不等量递推。
(三)综合题与应用题综合题主要是数列与函数，数列与不等式的综合.数列部分的应用题是以“增长率”为基础加以变化.1.已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f‘(x)=6x-2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图像上。
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn=-，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn 解(Ⅰ)∵f(x)的图像经过坐标原点∴f(0)=c=0又f‘(x)=2ax+b=6x-2∴a=3，b=-2∴f(x)=3x2-2xSn=f(n)=3n2-2n，a1=S1=1Sn-1=3(n-1)2-3(n-1)an=Sn-Sn-1=6n-5，n2a1=1也满足上式∴an=6n-5，(n=1，2，…)(Ⅱ)bn=-=-[---]Tn=-(1--) m>10--g(n)=10--，n↑，g(n)↑-g(n)=10∴m=10注：本题是函数与数列综合，第(Ⅱ)问要有极限思想。
0Iocode2008高考数学复习资料数列(2轮)(苏北中学)
七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。
吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。
情也成空，且作“挥手袖底风”罢。
是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。
乃书于纸上。
毕而卧。
凄然入梦。
乙酉年七月初七。
-----啸之记。
2008高考数学复习资料数列(2轮)(苏北中学)1．数列}{n a 的前n 项和为1,1=a S n ，且)(121*+∈+=N n S a n n 。
[适合文科使用]（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项均为正数，其前n 项的和为n T ，且153=T ，又2211,b a b a ++，33b a +成等比数列，求n T 。
解：（1）当2≥n 时，n n n n n n n a a a S S a a 3,2)12()12(111=∴=+-+=-+-+，又11231212a S a ⋅=+=+=，即}{n a 是首项为1，公比为3的等比数列，故13-=n n a 。
（2）设等差数列{}n b 的公差为)0(>d d ，则由153=T ，得52=b ，依题意有2)35()95)(15(+=+++-d d ，得2=d 。
故n nn n n T n 222)1(32+=⨯-+=。
2．已知数列}{n a ，其中2(,3,1111≥⋅==--n a a a n n n 且)*∈N n 。
（1） 求数列}{n a 的通项公式； （2） 设函数)(2log)(3*∈-=Nn n a n f n ，且数列}{n b 的前n 项和为)(n f ，求数列}{n b 的通项公式。
解：（1）2(,311≥⋅=--n a a n n n 且)*∈N n 。
113--=∴n n n a a ，,3,,3,311223112--===n n n a a a a a a)1(21123123-+++-=⋅⋅⋅∴n n n a a a a a a2)1(13,1-=∴=n n n a a（2）2)1()(2522)1(23log2log)(122)1(33-==∴∈-=--=-=-=*-f b Nn n nn n n n n a n f n n n当2≥n 时，3)]1(5)1[(21)5(21)1()(22-=-----=--=n n n n nn f n f b n1=n 时，1231b =-=-也满足上式，故数列}{n b 的通项公式为)(3*∈-=N n n b n 。
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（Ⅰ）分别求出数列{ an }与数列{ bn }的通项公式；
（Ⅱ）（理）设 O 为坐标原点， Sn 表示 OAn Bn 的面积，求数列{Sn} 的前 n 项和Tn 。
【解】：（Ⅰ）∵
f (x) (ln x)
1 ，k x
f (an )
1 an
， f (an ) ln an
∴曲线
∴ an1 an =2，即 an+1－an=2, (n 1) n
于uu是uu数uur列{an}是公差为 2 的uu等uu差ur 数列，又 a1=－3，uu故uuuaunr= －u3uu+u2ur(n－1)=2n－5.
∵ BnBn1 1,bn1 bn , AnCn 1, an , 又BnBn1与AnCn 共线.
2008 高考数学冲刺复习专题（二） ―――数列
教学目标
一、知识与技能 1、 了解数列在考纲中的要求。 2、 掌握通项公式的各种求法； 3、 掌握等差、等比数列的判断以及性质的应用。 4、 掌握数列求和的两种方法：1、错位相减法；2、裂项相消法。 二、过程与方法 通过总结、归纳以及评讲的过程是学生掌握知识与技能当中的内容。 三、情感态度与价值观 解决数列问题需要比较强的逻辑思维能力，通过解题让学生认识这一点，而逻辑思维在 生活中经常使用，故让学生感受到数学的实用性。
an
中， a1
3 ，前 n
项和 Sn 满足条件
Sn2 Sn
n4， n
n=1,2,3,…
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
【解】：（Ⅰ）设等差数列
an
的公差为 d ,由 Sn2 n 4
Sn
n
对一切正自然数 n 都成立可知，
当 n=1 时，得： S3 S1
3a1 3d a1
所以当 n 2 时， a1b1 a2b2 a3b3 L an-1bn-1 2n-1
②
①-②得，当 n
2 时， anbn
2n1 ，又 an
1 2n
1
，所以
bn
(2n 1)2n1
又 n=1 时， a1b1 21 ， a1 1所以 b1 2
2, n 1
因为，数列{ bn }是公差为 2 的等差数列，
所以 bn 2 2(n 1) 2n
所以 ln an 1 2n , ln an 2n 1，
数列{ an }的通项公式是 an e2n1
（Ⅱ）∵ Sn
SOAn Bn
1 2
|
bn
| | an
|
1 2n e2n1 2
当 n=1 时， a1 S1 3 ， an 2 1 1 3
故 an 2n 1, n N *
（Ⅱ）∵ 1
1
1( 1 1 )
anan1 (2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3
∴ Tn
1 a1a2
1
a2 a3
1 a3a4
an a2 (n 2) d 9 4(n 2) 4n 1，
(2) ∵ an log 2 bn ，∴ bn 2an 24n1 ，
∴ sn
b1
b2
bn
25
29
24n1
25[1 (24 )n ] 1 24
32 (2 4 n 63
当a 1
a2
a3
an
0 时， Tn
b1 b2
bn
1
即
na1
n(n 1) 2
d
0
，
a1
22
n
23
即 n=23 时， Tn 1
『变式训练』：已知数列｛ an ｝中，已知 a1
1 , an1
an 1 2an
，
（1）求证数列｛ 1 ｝是等差数列； an
【解】. (Ⅰ)∵数列 an 为等差数列,设公差为 d ,
由 a1 2, a1 a2 a3 12 ,得 3a2 12 , a2 4 , ∴d 2，
an a1 (n 1)d 2 (n 1) 2 2n .
(Ⅱ)∵ bn 3an 32n 9n ,
∴ bn1 9n1 9 ，
bn
9n
∴数列bn 是等比数列 .
例 4、(2007 韶关二模)已知等差数列{ an }中 a2 = 20 ， a1 a9 28 ，
(Ⅰ)求数列{ an }的通项公式；
(Ⅱ)若数列{ bn }满足 an log2 bn ，设 Tn b1 b2 b3 bn 且Tn 1 ，求 n 的值.
与向量 AnCn 共线，且点 An(n,an) (n∈N*)都在斜率为 2 的同一条直线 l 上. 若 a1=-3，b1=10.
(1)求数列{an}与{ bn }的通项公式； (2)求当 n 取何值时△AnBnCn 的面积 Sn 最小，并求出 Sn 的这个最小值。 【解】：(1)∵点 An(n,an) (n∈N*)都在斜率为 2 的同一条直线上，
1
an an1
1 (1 1 1 1 1 1 )
23 5 5 7
2n 1 2n 3
1 (1 1 ) 2 3 2n 3
n 6n 9
例
7、（2008
广州一摸改编）已知数列 {an }
中，
a1
5 ，数列
an 2n
1
为等差数列，求
C
在点
An (an ,
f
(an )) 处的切线方程为
y
ln
an
1 an
(x an )
又因为该切线与 y 轴的交点为 Bn (0, bn ) ，令 x 0 ，得 bn = ln an 1 ,
又已知 f (a1 ) ln a1 3，
所以 b1 ln a1 1 3 1 2
①-②得
an1
an
2an
，即当 n
2 时，恒有
an1 an
3
∴数列{an}第二项以后的所有项成等比数列， an 3 3n2 3n1(n 2) ,
又
a1
S1
1，
a2 a1
3 3 2
2，n 1
∴ an 3n1 ,
. n2
『变式训练』：1、在等差数列
综上，得
bn
(2n
-1)
2n-1,
n
2
三、数列求和
例 5、（2007 惠州三模）已知等差数列{ an }， a2 5, a4 17 ．
(1)．求an 的通项公式；
(2)．令 an log 2 bn ，求数列的前项和．
【解】．(1) a4 a2 2d ，∴17 9 2d d 4 ，
数列{an} 的前 n 项和 Sn ．
【解】：
由已知得：数列
an 2n
1
是首项为
a1 2
1
2
，公差为
1
的等差数列，
故有
an 1 2n
2
(n
1)
1
n
1
，即
an (n 1) 2n 1（ n N ）．
因此，有 Sn 2 2 3 22 4 23 L (n 1) 2n n ，
【解】：(Ⅰ) {an} 为等差数列 a1 a9 28 a1 a9 2a5 28 ，
a5 14 又 a2 20 设{ an }的公差为 d，a5 a2 3d ，∴d=2，
an 2n 24
(Ⅱ) an log 2 bn
bn 2an Tn b1 b2 bn 2a1a2 an
教学过程
一、数列的通项公式与递推公式
例 1、数列{an}的前 n 项和为 Sn ，a1 2 ，an1 2Sn 1(n N * ) .求数列{an} 的通项
an 【解】：∵ a1 2 an1 2Sn 1(n N * ) ①
所以 a2 2S1 1 3
当 n 2 时， an 2Sn1 -1②
（2）求数列｛ an ｝的通项公式；
பைடு நூலகம்
（3）（理）若对一切 n N ，等式 a1b1 a2b2 a3b3 L anbn 2n 恒成立，求数
列｛ bn ｝的通项公式。
【解】：（1）由 an1
an 1 2an
，得 an1
2anan1
an
，即 an
an1
2an an 1
∴1×(－an)－(－1)(bn+1 － bn )=0,即 bn+1－bn=an
两边同除以
an an 1
得，
1 an1
1 an
2 ，又 1 a1
1，
所以数列{ 1 } 是首项为 1， 公差为 2 的等差数列。 an
（2）由（1） 1 1 2(n 1) 2n 1 an
所以数列｛
an
｝的通项公式
an
1 2n 1
（3）因为对一切 n N ，有 a1b1 a2b2 a3b3 L anbn 2n ①
e3
1 e2n
1
e2
ne2n3