上海青浦一中2017-2018学年高二下期中学业质量调研测试数学试卷
2017-2018学年上海市浦东新区高二(下)期中数学试卷
2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为．4．（3分）若复数z=，则|z|=5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为．10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．814．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不确定16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为2．【分析】复数a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b．【解答】解：复数a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b．∴复数1+2i的虚部为2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数虚部的概念．虽然概念简单，但实际训练中，往往望文生义，错误的答为bi．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于13【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【解答】解：关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），k ∈R．则a﹣3i也是此方程的一个根．∴a+3i+a﹣3i=﹣4，（a+3i）（a﹣3i）=k，解得a=﹣2．k=4+9=13．故答案为：13．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为60°．【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1=0化为y=x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ=60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．4．（3分）若复数z=，则|z|=【分析】复数代数形式的乘除运算法则求出z=﹣1﹣i，由此能求出|z|．【解答】解：∵复数z=======﹣1﹣i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为2【分析】由曲线方程可知：曲线y=为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（x轴上侧），从而根据曲线y=与直线x=m有且只有一个公共点，可求实数m的值．【解答】解：由题意，曲线y=为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（x轴上侧）与直线L：y=m（L∥x轴）有且只有一个公共点∴m=2故答案为：2．【点评】本题以圆为载体，考查直线与圆的位置关系，关键是利用圆的特殊性．6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z 1，再由其虚部为0求得t值．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=t+4i，∴z 1=（3+4i）（t﹣4i）=（3t+16）+（4t﹣12）i，由z 1是实数，得4t﹣12=0，即t=3．故答案为：3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是2【分析】直接利用复数模的公式列式，再由三角函数最值的求法得答案．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ，∴|z﹣i|=|cosθ+（sinθ﹣1）i|==．∴当sinθ=﹣1时，|z﹣i|的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题考查复数的模，考查三角函数最值的求法，是基础题．8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为【分析】求得双曲线的标准方程，则求得焦点和顶点坐标，即可求得a和c，则b2=a2﹣c2，即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：双曲线=1可得双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为（，0），（，0），顶点坐标为（3，0），（﹣3，0），由题意设椭圆的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），顶点坐标为（，0），（，0），则a=2，c=3，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：，故答案为：，【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查双曲线的简单几何性质，属于基础题．9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为（2，2）．【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，即可得到结论．．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，∵A（3，2），∴P点的纵坐标y=2，此时由y2=2x得x=，即P（2，2），故答案为：（2，2）【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数形结合的思想和抛物线定义的应用，利用抛物线的定义是解决本题的关键．10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为50【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．【解答】解：根据题意双曲线=1，双曲线图象如图：|AF2|﹣|AF1|=2a=16 ①|BF2|﹣|BF1|=2a=16 ②而|AB|=9，①+②得：|AF2|+|BF2|=41，∴周长为50．故答案为：50．【点评】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为（x﹣5）2+y2=16．【分析】求出椭圆的右焦点得到圆心，再求出双曲线的渐近线，由圆心到渐近线的距离得到圆的半径，由此可以得到圆的方程．【解答】解：∵c2=169﹣144=25，∴椭圆的右焦点为F（5，0），∴所求圆的圆心坐标是（5，0）．∵双曲线的渐近线方程是，由点到直线的距离公式可知（5，0）到的距离=4，∴所求圆的半径为4．故所求圆的方程是（x﹣5）2+y2=16．答案：（x﹣5）2+y2=16．【点评】求出圆的圆心和半径，就得到圆的方程．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是[1，]【分析】化简|PA|=m|PB|，通过距离公式以及基本不等式转化求解最值即可．【解答】解：设P（，y），由题意可得m2====1+，1≤m2≤1+=3，∴1≤m≤，当且仅当y2=2时，m取得最大值，y=0时，m取得最小值，则m的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，基本不等式的应用，运用基本不等式求出m2≤3，是解题的关键．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】先根据抛物线的方程求出p的值，即可得到答案．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．14．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆【分析】分情况讨论，可得当P不在直线F1F2上时或在直线F1F2上且在F1、F2两点之外时，都有|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；只有点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，符合题意．由此得到本题答案．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=5，且|F1F2|=5∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|①当点P不在直线F1F2上时，根据三角形两边之和大于第三边，得|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；②当点P在直线F1F2上时，若点P在F1、F2两点之外时，可得|PF1|+|PF2|＞5，得到|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；若点P在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|，符合题意．综上所述，得点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间或与F1、F2重合，故点P的轨迹是线段F1F2．故选：B．【点评】本题给出动点P满足的条件，求P点的轨迹，着重考查了动点轨迹的求法和椭圆的定义等知识，属于基本知识的考查．15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不确定【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．【解答】解：椭圆得∴c1=，∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），双曲线：有则半焦距c2=∴则实数m=±1故选：C．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆双曲线的标准方程．在求曲线方程的问题中，巧识方程，解题时要充分注意．16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb【分析】求出双曲线的渐近线，结合直线的斜率求出直线的倾斜角即可得到结论．【解答】解：双曲线的标准方程为x2﹣=1（b＞1），则渐近线方程为y=±bx，直线的倾斜角为α，由y=bx得渐近线的斜率b=tanα，cosα=，则α=arctanb，b＞1，，双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，θ=π﹣2arctanb．也可以是：2arctan；也可以是arccos．双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为：2arctanb．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的夹角问题，求出双曲线的渐近线是解决本题的关键．比较基础．三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入|z|2+（z+）i=1﹣i，由复数相等的条件列式求解．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则由|z|2+（z+）i=1﹣i，得：a2+b2+2ai=1﹣i，∴，即或．故z=﹣或．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．【分析】根据题意，设出双曲线的方程为﹣x2=t，将点（1，1）的坐标代入方程，计算可得t的值，将方程变形即可得答案．【解答】解：根据题意，要求双曲线的渐近线为y=±x，设其方程为﹣x2=t，又由双曲线经过点（1，1），则﹣1=t，则t=﹣，则双曲线的方程为﹣x2=﹣，即2x2﹣y2=1．则双曲线的方程为2x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，关键是由双曲线的渐近线方程设出其方程．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．【分析】根据题意，分析可得抛物线的开口向上或向左，据此分2种情况讨论，分析设出抛物线的方程，将M的坐标代入计算可得p的值，综合2种情况即可得答案．【解答】解：根据题意，要求抛物线经过点M（﹣2，4），则该抛物线开口向上或向左，若抛物线开口向左，设其方程为y2=﹣2px，又由其经过点M（﹣2，4），则有16=（﹣2）×p×（﹣2），解可得p=4，此时抛物线的方程为y2=﹣8x，若抛物线开口向上，设其方程为x2=2py，又由其经过点M（﹣2，4），则有（﹣2）2=2p×4，解可得p=，此时抛物线的方程为x2=y，综合可得：抛物线的方程为x2=y或y2=﹣8x．【点评】本题考查抛物线的标准方程，关键是依据点M的坐标，分析抛物线开口的方向，设出其方程．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．【分析】椭圆的焦点F1（﹣2，0）、F2（2，0），焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），c=2 ，a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，即可求得椭圆的方程；将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，根据中点坐标公式即可求得线段AB的中点坐标．【解答】解：椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；由，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．【分析】（1）方程表示圆时：分母相等且为正；表示双曲线时：分母异号，列出方程或不等式求解即可．（2）点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，推出m关于t的表达式，利用基本不等式求解表达式的范围，然后推出m的范围．【解答】解：（1）因为方程表示圆时，4﹣t=t﹣2＞0，解得t=3，此时，此方程表示圆．因为方程表示双曲线时，（4﹣t）（t﹣2）＜0，即t＜2或t＞4，所以当t＜2或t ＞4时，此方程表示双曲线．（2）点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，方程≠1，即m2≠（4﹣t）•（）=，当t＞2时，≥3+2，当t＜2时，≤3﹣2．可得m∈（3﹣2，3+2）．【点评】（1）本小题主要考查圆锥曲线的共同特征，圆、双曲线的方程特征是解题的关键，属于基础题；（2）本小题考查函数与方程思想的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。
上海市青浦区2017年中考二模数学试卷含答案
100.580.560.540.5图1青浦区2017学年九年级第二次学业质量调研测试数学试卷 2018.4（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．下列实数中，有理数是（ ▲ ） （A ；（B ）2.1；（C ）π；（D ）135．2．下列方程有实数根的是（ ▲ ）（A ）4+2=0x ； （B 1-； （C ）2+21=0x x -；（D ）111x x x =--． 3．已知反比例函数1y x=，下列结论正确的是（ ▲ ） （A ）图像经过点（-1，1）；（B ）图像在第一、三象限；（C ）y 随着x 的增大而减小； （D ）当1x >时，1y <． 4．用配方法解方程241=0x x -+，配方后所得的方程是（ ▲ ）（A ）2(2)=3x -； （B ）2(+2)=3x ； （C ）2(2)=3x --；（D ）2(+2)=3x -． 5． “a 是实数，20a ≥”这一事件是（ ▲ ）（A ）不可能事件； （B ）不确定事件； （C ）随机事件； （D ）必然事件． 6． 某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图1所示，成绩的中位数落在（ ▲ ）（A ）50.5~60.5分； （B ）60.5~70.5分； （C ）70.5~80.5分； （D ）80.5~90.5分．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7．计算：32()=a a ÷- ▲ ． 8．因式分解：24=a a - ▲ ． 9．函数y 的定义域是 ▲ ．010．不等式组1020.x x +≥⎧⎨->⎩，的整数解是 ▲ ．11．关于x 的方程=2(1)ax x a +≠的解是 ▲ ． 12．抛物线2(3)+1y x =-的顶点坐标是 ▲ ．13．掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为合数的概率是 ▲ ．14．如果点1P （2，1y ）、2P （3，2y ）在抛物线2+2y x x =-上，那么1y ▲ 2y ．（填“>”、 “<”或 “=”）15．如图2，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 在边AD 上，且AF ︰FD=2︰1，如果AB a =，BC b =，那么EF = ▲ ．16．如图3，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P 、P '所在的直线都经过同一点O ，且有(0)OP k OP k '=⋅≠，那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O 叫做位似中心．已知ABC ∆与A B C '''∆是关于点O 的位似三角形，3OA OA '=，则ABC ∆与A B C '''∆的周长之比是 ▲ ．17．如图4，在△ABC 中，BC=7，AC=，tan 1C =，点P 为AB 边上一动点（点P 不与点B 重合），以点P 为圆心，PB 为半径画圆，如果点C 在圆外，那么PB 的取值范围是 ▲ ．18．已知，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9， BC =12，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且CD ︰CE =3︰4．将△CDE 绕点D 顺时针旋转，当点C 落在线段DE 上的点F 处时，BF恰好是∠ABC 的平分线，此时线段CD 的长是 ▲ ．图3A BCDE F 图 2图4POP'三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．(本题满分10分)计算：1012152(3)2-+--+（）．20．(本题满分10分)先化简，再求值：25+3222x x x x ⎛⎫--÷⎪++⎝⎭（），其中x =．21. (本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=3，BC =4，∠ABC 的平分线交边AC 于点D ，延长BD 至点E ，且BD=2DE ，联结AE ． （1）求线段CD 的长； （2）求△ADE 的面积.22．（本题满分10分）如图6，海中有一个小岛A ，该岛四周11海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B 处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C 处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？（参考数据：1.411.73≈）23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，MFDA东AB C图6D C BA图5且DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）已知：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处． （1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标． ．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9-1，已知扇形MON，∠MON =90，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC =BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA = x ，∠COM 的正切值为y ． （1）如图9-2，当AB ⊥OM 时，求证：AM =AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.青浦区2017学年九年级第二次学业质量调研测试评分参考一、选择题：1．B；2．C；3．B；4．A；5．D；6．C．二、填空题：7．a；8．()4-a a；9．3≥-x；10．101、、-；11．21-a；12．（3，1）；13．13；14．>；15．2132-b a；16．1︰3；17．358<<PB；18．6．三、解答题：19．解：原式212-+．································································（8分）=1． ·············································································（2分）20．解：原式=()2245223--+⨯++x xx x，·····························································（5分）=()()()233223+-+⨯++x x xx x， ·······················································（1分）=33-+xx.··················································································（1分）当=x2.············································（3分）21．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H． ···············································（1分）∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴DH = DC=x， ········································································（1分）则AD=3-x．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5. ··········································（1分）O MNDCBA图9-1O MNDCBA图9-2NMO备用图∵sin ∠==HD BCBAC AD AB， ∴435=-x x ，·········································································· （1分） ∴43=x . ················································································ （1分）（2）1141052233=⋅=⨯⨯=ABD S AB DH . ············································· （1分）∵BD=2DE ， ∴2==ABD ADES BDSDE， ································································ （3分） ∴1015323=⨯=ADES. ······························································· （1分） 22．解：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ． ······················································ （1分）由题意，得∠BAH =60°，∠CAH =45°，BC =10． ···································· （1分） 设AH =x ，则CH =x ． ······································································· （1分） 在Rt △ABH 中，∵tan ∠=BH BAH AH ，∴10tan 60+︒=xx， ······································· （3分）10=+x，解得513.65=≈x ， ······································ （2分）∵13.65>11， ················································································ （1分）∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险． ································· （1分） 答：货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ， ············································· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ，································ （1分） ∴AE //DC ， ·········································································· （1分）∴=FM AMMD MC． ··································································· （1分） ∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ··················································· （1分） ∴=FM DM MD MB， ··································································· （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ． ·········································· （1分）由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ········································································ （1分） ∴3==DF BF a ． ·································································· （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF， ··················································· （1分） ∴=AF EF ， ········································································· （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ··················································· （1分）24．解：（1）∵顶点C 在直线2x =上，∴22=-=bx a，∴4=-b a ． ··············· （1分） 将A （3，0）代入23y ax bx =++，得933=0++a b ， ·················· （1分） 解得1=a ，4=-b ． ································································ （1分） ∴抛物线的解析式为243=-+y x x ． ·········································· （1分） （2）过点C 作CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．∵243=-+y x x =()221=--x ，∴C （2，1-）． ························· （1分）∵1==CM MA ，∴∠MAC =45°，∴∠ODA =45°， ∴3==OD OA ． ···································································· （1分） ∵抛物线243=-+y x x 与y 轴交于点B ，∴B （0，3），∴6=BD ． ········································································ （1分） ∵抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积， ∴12262122==⨯⨯⋅=⨯=BCDEBCDSSBD CN ． ························ （1分）（3）联结CE .∵四边形BCDE 是平行四边形，∴点O 是对角线CE 与BD 的交点，即 OE OC ==（i ）当CE 为矩形的一边时，过点C 作1CF CE ⊥，交x 轴于点1F ，设点1F a （,0），在1Rt OCF 中，22211=OF OC CF +， 即 22(2)5a a =-+，解得 52a =，∴点152F （,0） ································ （1分） 同理，得点252F （-,0） ······································································ （1分） （ii ）当CE 为矩形的对角线时，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧分别交x 轴于点3F 、4F ，可得34=OF OF OC ==3F ）、4F （） ····· （2分） 综上所述：满足条件的点有152F （,0），252F （-,0），3F ）），4F （）． 25．解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ·························· （1分）∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ······················ （1分） ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△ABM ， ·································································· （1分） ∴AC =AM ． ············································································ （1分）（2）过点D 作DE //AB ，交OM 于点E ． ·············································· （1分）∵OB ＝OM ，OD ⊥BM ，∴BD ＝DM ． ··········································· （1分） ∵DE //AB ，∴=MD MEDM AE，∴AE ＝EM ， ∵OM，∴AE＝)12x ． ··············································· （1分） ∵DE //AB ，∴2==OA OC DMOE OD OD ， ···························································· （1分） ∴2=DM OA OD OE，∴=y（0<≤x ···················································· （2分）（3）（i ） 当OA =OC 时， ∵111222===DM BM OC x ， 在Rt △ODM中，==OD ∵=DM y OD，1=x2=x，或2=x （舍）．（2分） （ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ，∵∠ACO >∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO >∠AOC ， ∴此种情况不存在． ·································································· （1分）（ⅲ）当CO =CA 时，则∠COA =∠CAO=α，∵∠CAO >∠M ，∠M =90α︒-，∴α>90α︒-，∴α>45︒， ∴290α∠=>︒BOA ，∵90∠≤︒BOA ，∴此种情况不存在． ········ （1分）。
2017—2018学年第二学期高二年级期中考试数学(理)试卷解析版
2017～2018学年第二学期高二年级期中考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数ii+310对应的点的坐标为( A )A ．)3,1(B ．)1,3(C ．)3,1(-D ．)1,3(-2.已知随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，若15.0)6()2(=>=<ξξP P ，则=<≤)42(ξP （ B ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 3.设)(x f 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数)('x f 的图象可能是（ B ）4.用反证法证明命题：“若0)1)(1)(1(>---c b a ，则c b a ,,中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( B )A ．假设c b a ,,都大于1B ．假设c b a ,,都不大于1C ．假设c b a ,,至多有一个大于1D ．假设c b a ,,至多有两个大于15.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，从)(*N k k n ∈=到1+=k n 时，等式左边应添加的式子是( B )A ．222)1(k k +- B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D.]1)1(2)[1(312+++k k6.3名志愿者完成4项工作，每人至少1项，每项由1人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.在62)12(xx -的展开式中，含7x 的项的系数是（ D ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．2408.函数xe xf x2)(=的导函数是（ C ）A ．xe xf 2'2)(= B ．x e x f x 2'2)(= C ．22')12()(x e x x f x -= D ．22')1()(x e x x f x -=9.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对),(b a 为（ C ）A ．)3,3(-B ．)4,11(-C ．)11,4(-D ．)3,3(-或)11,4(-10.若等差数列}{n a 公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d.类似，若各项均为正数的等比数列}{n b 公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列}{n n T 公比为( C )A.2q B ．2q C.q D.n q 11.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率=)|(B A P ( C )A.21691 B.185 C.9160 D.2112.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，都有2)()(2'<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ B ）A ．}1|{±≠x xB ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设),(~p n B ξ，若有4)(,12)(==ξξD E ，则=p 2/3 14.若函数32)1(21)(2'+--=x x f x f ，则=-)1('f -1 15.如图所示，阴影部分的面积是 32/316.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题：②函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0． 其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）设复数i m m m m z )23()32(22+++--=，试求实数m 的取值，使得 （1）z 是纯虚数； （2）z 对应的点位于复平面的第二象限． 解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0分5302303222 =∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--m m m m m （2）当复数对应的点在第二象限时，分103102303222<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>++<--m m m m m 18.（本小题满分12分) 在数列}{n a 中，已知)(13,2*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）计算432,,a a a 的值，并猜想出}{n a 的通项公式； （2）请用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）72123213112=+⨯=+=a a a ,19213,132********=+==+=a a a a a a于是猜想出分5562-=n a n （2）①当1=n 时，显然成立；②假设当)(*N k k n ∈=时，猜想成立，即562-=k a k 则当1+=k n 时，5)1(6216215623562131-+=+=+-⨯-=+=+k k k k a a a k k k ， 即当1+=k n 时猜想也成立． 综合①②可知对于一切分12562,*-=∈n a N n n 19.（本小题满分12分)“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望． 解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,23821)0(22021505===C C C X P ，3815)1(22011515===C C C X P ， 191)2(22001525===C C C X P , 所以随机变量X 的分布列为：分62192381380 =⨯+⨯+⨯=∴EX（2）合格机器人的件数可能是0,1,2,3，相应的不合格机器人的件数为3,2,1,0.所以ξ的可能取值为1,3，有题意知：1122213331319(1)()()()()444416P C C ξ==+=，3333331317(3)()()()()444416P C C ξ==+= 所以随机变量ξ的分布列为：分128163161)( =⨯+⨯=∴ξE 20.（本小题满分12分)编号为5,4,3,2,1的五位学生随意入座编号为5,4,3,2,1的五个座位，每位学生坐一个座位．设与座位编号相同的学生人数是X .(1)试求恰好有3个学生与座位编号相同的概率)3(=X P ； (2)求随机变量X 的分布列及均值．解：(1)恰好有3个学生与座位编号相同，这时另两个学生与座位编号不同，所以分412112010)3(5525 ====A C X P(2)随机变量X 的一切可能值为0,1,2,3,4,5. 且121)3(,00)4(,120112011)5(5555=========X P A X P A X P ； 83120459)1(,61120202)2(55155525========A C X P A C X P301112044)]5()4()3()2()1([1)0(===+=+=+=+=-==X P X P X P X P X P X P 随机变量X 的分布列为故分1211205041236281300)( =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 21.（本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围． 解：（1）2),0(1)('=>+=a x x a x f )0(12)('>+=∴x xx f ， 3)1('=∴f ， 3=∴k又切点)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即：013=--y x 故曲线)(x f y =在1=x 处切线的切线方程为分4013 =--y x（2）)0(11)('>+=+=x xax x a x f ①当0≥a 时，0)('>x f ，所以)(x f 的单调递增区间为分6),0( +∞②当0<a 时，由0)('=x f ，得ax 1-= 在区间)1,0(a -上0)('>x f ，在区间),1(+∞-a上，0)('<x f . 所以，函数)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，单调递减区间为分8),1( +∞-a（3）由已知，转化为]1,0[,1)1()(,)()(2max max ∈+-=<x x x g x g x f ，2)(max =∴x g 由（2）知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意．）当0<a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减， 故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1()(max a af x f ---=-=， 所以2)ln(1<---a ，解得31e a -< 综上：分1213 ea -< 22.（本小题满分12分) 已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)1()1(2)1)(2(1121)('->+-+-=++-=x x x x x x x f 令0)('>x f 得11<<-x ，令0)('<x f 得1>x .)(x f ∴在)1,1(-上是增函数，在),1(+∞上是减函数. 2ln 41)1()(+-==∴f x f 极大值，)(x f 无极小值分4（2）因为函数)(x f 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以0112)('≤++=x ax x f 对任意的),1[+∞∈x 恒成立， 即)1(21+-≤x x a 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，4121)211(2121)21(21)1(2122-=-+-≥-+-=+-x x x分841-≤∴a（3）因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立， 即0)1ln(2≤-++x x ax 恒成立，令)0()1ln()(2≥-++=x x x ax x g ， 转化为0)(max ≤x g 即可.1)]12(2[1112)('+-+=-++=x a ax x x ax x g 当0=a 时，1)('+-=x x x g ，0>x ，0)('<∴x g 即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 当0>a 时，令0)('=x g 得，0=x 或121-=ax 若0121≤-a 即21≥a 时，),0(+∞∈x 有0)('>x g ， 则)(x g 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g ，不满足题设； 若0121>-a 即210<<a 时，)121,0(-∈a x 有0)('<x g ，),121(+∞-∈ax 有0)('>x g ， 则)(x g 在)121,0(-a 上单调递减，在),121(+∞-a上单调递增，无最大值，不满足题设； 当0<a 时，0>x ，0)('<∴x g即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 综上：实数a 的取值范围为分12]0,( -∞。
2017—2018学年度第二学期教学质量检查高二理科数学参考答案_最新修正版
2017—2018学年度第二学期教学质量检查高二理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.13.0 14.31015.1216. 3三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．解：（Ⅰ）因为()1+z i m i =-∴1122m m z i -+=-， ————1分∴z 的共轭复数i m m z 2121++-=，∴ z 在复平面内对应的点是11,22m m -+⎛⎫⎪⎝⎭， ————3分依题意117022m m -++-=————4分 ∴7m =————5分 （Ⅱ）∵1z ≤，∴2211122m m -+⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，————8分 ∴11m -≤≤.————10分18. 解: （Ⅰ）依题意得22⨯列联表为————2分————4分所以，在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有关系.————5分（Ⅱ）从A 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为23P = ————6分 随机抽取3人， X 的可能取值为0,1,2,3，2~(3,)3X B————8分()3110327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，()2132162133279P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22321124233279P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()3283327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ————10分∴X 的分布列为2323)(=⨯=X E————12分19.解：（Ⅰ）2dy c x=+更适宜作销量y 关于单价x 的回归方程类型. ————2分（Ⅱ）设21x w =，则dw c y += 由最小二乘法求系数公式可得：1011021()()16.2200.81()iii ii w w y y d w w ∧==--===-∑∑ ————4分ˆ20.6200.785ˆc y d w=-⨯-==，————6分 所以所求回归方程为2205y x =+.————8分（Ⅲ）设销售额为z ，则)0(,205>+==x xx xy z ————9分25205≥+==xx xy z ，即0452≥+-x x ， 解得10≤<x 或4≥x ————11分 当单价x 范围为10≤<x 或4≥x 时，该商品的销售额不小于25————12分20.解：（1）()123'2++=bx ax x f————1分由已知，()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=0132331'01231'b a f b a f————4分解得：1-=a ，1=b————5分此时()()()113123'2-+-=++-=x x x x x f 则13x <-或1x >时，()0'<x f ，；131<<-x 时，()0'>x f ， 即()x f 在1(,)3-∞-上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-131，上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，符合题意————7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡--311，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-131，上单调递增，在(]21，上单调递减。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版含答案
2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。
高二数学理2017-2018学年度第二学期中期质量检测试题
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第4页 共4页
A. -1 B. 1 C. -5 D. 3
2. 已知函数 f x ax3 3x2 2 ，若 f ' 1 4 ，则 a
A. 10 B. 13
3
3
3. 已知 a (2, 1,3) ， b
C. 16 D.
19
3
3
1, x,2 ，若 a b 0 ，则 x
A. -4 B. 8 C. -8 D. -6 4. 下列求导运算正确的是（ ）
22. 已知函数 f x lnx 1 ax2 2x, a R 2
（1）若 a 1 ，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
（2）若函数 f x 在定义域内是单调递增，求实数 a 的取值范围。
20．如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，梯形 ABCD ， AD // BC ， AB AD AC 3 ，
15. 已知函数 y f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值，则 a 的取值范围是 __________ 16. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED与平面 ABCD所成的锐二面角的余弦 值为 ________．
三、解答题（共 6 题， 17 题 10 分， 18-22 每题 12 分，共 70 分） 17. 求下列函数的导数 （1） y ex cos x
A. a // c, b // c
B. a // b, a c C. a // c, a b D. 以上都不对
高二第二学期期中数学试卷理科及答案
2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学试题（理）一、选择题（每题5分，共60分）1．设复数z满足11zz-+=2i,则z =A．35-45-B．35-+45i C．35+45i D．3545-i2.已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为A.2B.3C.5D.7 3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB→与AC→夹角为()A．30° B．45° C．60° D．90°4.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是( )A.5B.3或8C.3或5D.20 5．中心在原点，焦点在x轴上,若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1 C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝16．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n－1个式子为( )A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1n D．1＋122＋132＋…＋1n2<2n2n＋17．已知函数 的导函数 图象如图所示,则函数 有 A．两个极大值,一个极小值 B．两个极大值,无极小值 C．一个极大值,一个极小值 D．一个极大值,两个极小值 8．设a ≠0，a ∈R，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，14a9.三角形的面积为S=(a+b+c)·r,其中a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为 ( ) A.V=abcB.V=ShC.V= (S 1+S 2+S 3+S 4)· r(S 1,S 2,S 3,S 4分别为四面体的四个面的面积,r为四面体内切球的半径)D.V=(ab+bc+ac)·h(h为四面体的高)10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)11．若直线与抛物线 相交于 ， 两点，则 等于 A ．B ．C ．D ．12．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知()20d f x x ⎰＝8，则()202d f x x x ⎡⎤-⎣⎦⎰＝______14．若双曲线11622=-m x y 的离心率2=e ，则=m ______________．15．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示____________________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________． 三、解答题（17题10分，18—22每题12分）17．( 本小题满分10分)（1）已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。
2017-2018年上海市浦东新区高二(下)期中数学试卷和答案
2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为．4．（3分）若复数z=，则|z|=5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为．10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．814．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．不确定16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为2．【考点】A1：虚数单位i、复数．【解答】解：复数a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b．∴复数1+2i的虚部为2．故答案为：2．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于13【考点】&S：实系数多项式虚根成对定理．【解答】解：关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），k ∈R．则a﹣3i也是此方程的一个根．∴a+3i+a﹣3i=﹣4，（a+3i）（a﹣3i）=k，解得a=﹣2．k=4+9=13．故答案为：13．3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为60°．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1=0化为y=x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ=60°．故答案为：60°．4．（3分）若复数z=，则|z|=【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵复数z=======﹣1﹣i，∴|z|==．故答案为：．5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为2【考点】KE：曲线与方程．【解答】解：由题意，曲线y=为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（x轴上侧）与直线L：y=m（L∥x轴）有且只有一个公共点∴m=2故答案为：2．6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于3【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=t+4i，∴z 1=（3+4i）（t﹣4i）=（3t+16）+（4t﹣12）i，由z 1是实数，得4t﹣12=0，即t=3．故答案为：3．7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是2【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ，∴|z﹣i|=|cosθ+（sinθ﹣1）i|==．∴当sinθ=﹣1时，|z﹣i|的最大值是2．故答案为：2．8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为【考点】KI：圆锥曲线的综合．【解答】解：双曲线=1可得双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为（，0），（，0），顶点坐标为（3，0），（﹣3，0），由题意设椭圆的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），顶点坐标为（，0），（，0），则a=2，c=3，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：，故答案为：，9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为（2，2）．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，∵A（3，2），∴P点的纵坐标y=2，此时由y2=2x得x=，即P（2，2），故答案为：（2，2）10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为50【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：根据题意双曲线=1，双曲线图象如图：|AF2|﹣|AF1|=2a=16 ①|BF2|﹣|BF1|=2a=16 ②而|AB|=9，①+②得：|AF2|+|BF2|=41，∴周长为50．故答案为：50．11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为（x﹣5）2+y2=16．【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．【解答】解：∵c2=169﹣144=25，∴椭圆的右焦点为F（5，0），∴所求圆的圆心坐标是（5，0）．∵双曲线的渐近线方程是，由点到直线的距离公式可知（5，0）到的距离=4，∴所求圆的半径为4．故所求圆的方程是（x﹣5）2+y2=16．答案：（x﹣5）2+y2=16．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是[1，]【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：设P（，y），由题意可得m2====1+，1≤m2≤1+=3，∴1≤m≤，当且仅当y2=2时，m取得最大值，y=0时，m取得最小值，则m的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．8【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选：C．14．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=5，且|F1F2|=5∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|①当点P不在直线F1F2上时，根据三角形两边之和大于第三边，得|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；②当点P在直线F1F2上时，若点P在F1、F2两点之外时，可得|PF1|+|PF2|＞5，得到|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；若点P在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|，符合题意．综上所述，得点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间或与F1、F2重合，故点P的轨迹是线段F1F2．故选：B．15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．不确定【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．【解答】解：椭圆得∴c1=，∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），双曲线：有则半焦距c2=∴则实数m=±1故选：C．16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：双曲线的标准方程为x2﹣=1（b＞1），则渐近线方程为y=±bx，直线的倾斜角为α，由y=bx得渐近线的斜率b=tanα，cosα=，则α=arctanb，b＞1，，双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，θ=π﹣2arctanb．也可以是：2arctan；也可以是arccos．双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为：2arctanb．故选：D．三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．【考点】A8：复数的模．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则由|z|2+（z+）i=1﹣i，得：a2+b2+2ai=1﹣i，∴，即或．故z=﹣或．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：根据题意，要求双曲线的渐近线为y=±x，设其方程为﹣x2=t，又由双曲线经过点（1，1），则﹣1=t，则t=﹣，则双曲线的方程为﹣x2=﹣，即2x2﹣y2=1．则双曲线的方程为2x2﹣y2=1．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：根据题意，要求抛物线经过点M（﹣2，4），则该抛物线开口向上或向左，若抛物线开口向左，设其方程为y2=﹣2px，又由其经过点M（﹣2，4），则有16=（﹣2）×p×（﹣2），解可得p=4，此时抛物线的方程为y2=﹣8x，若抛物线开口向上，设其方程为x2=2py，又由其经过点M（﹣2，4），则有（﹣2）2=2p×4，解可得p=，此时抛物线的方程为x2=y，综合可得：抛物线的方程为x2=y或y2=﹣8x．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；由，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质；KE：曲线与方程．【解答】解：（1）因为方程表示圆时，4﹣t=t﹣2＞0，解得t=3，此时，此方程表示圆．因为方程表示双曲线时，（4﹣t）（t﹣2）＜0，即t＜2或t＞4，所以当t＜2或t ＞4时，此方程表示双曲线．（2）点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，方程≠1，即m2≠（4﹣t）•（）=，当t＞2时，≥3+2，当t＜2时，≤3﹣2．可得m∈（3﹣2，3+2）．。
最新17—18学年下学期高二期中考试数学试题(附答案)
2017学年第二学期高二期中考试数 学考生须知：1. 全卷分试卷和答卷. 试卷2页，答卷 2页，共 4页. 考试时间120分钟，满分150分.2. 本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效；选择题用答题卡的，把答案用2B 铅笔填涂在答题卡上.3. 请用钢笔或圆珠笔将班级、序号、姓名、座位号分别填写在答卷的相应位置上. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设()log (0a f x x a =>且1a ≠），若()12 2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ▲ ) A ．2 B ．2- C ．12-D ．122．已知()3sin 5πα+=，α为第三象限角，则tan α=( ▲ ) A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 3．已知平面向量()1,2a = ，()//a b b +，则b 可以是( ▲ )A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()2,1D ．()1,24．下列求导运算正确的是( ▲ ) A ．3211)1(xx x -='+B ．(2)2ln 2x x '=C ．2(sin )2cos x x x x '=D ．1(ln 2)2x x'=5．已知集合{}2|430A x x x =++≤，{}2|0B x x ax =-≤.若B A ⊆，则实数a 的取值范围是( ▲ )A ．33≤≤-aB ．0≥aC ．3-≤aD ．3-<a6．在R 上的可导函数)(x f 的图象如图所示，则关于x 的不等式0)(<'x f x 的解集是( ▲ )A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()0,1(+∞-C ．)2,1()1,2( --D ．),2()2,(+∞--∞7．若函数21()f x x ax x =++在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是( ▲ ) A ．[]1,0- B ．[)1,-+∞ C ．[]1,3-D ．[)3,+∞8．已知三棱台111ABC A B C -的底面是锐角三角形，则存在过点A 的平面( ▲ )A ．与直线BC 和直线11AB 都平行 B ．与直线BC 和直线11A B 都垂直C ．与直线BC 平行且与直线11A B 垂直D ．与直线BC 和直线11A B 所成的角相等9．设F 是双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若3AF BF =，则C 的离心率是( ▲ )A B CD ．210.设函数()()22()2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在()00,x ∈+∞，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值是 ( ▲ ) A ．12 B ．1 C ．15 D ．25二、填空题（本题共有7小题，其中第11、12、13、14小题每空3分，第15、16、17小题每空4分，共36分.）11.设集合{}{}|1,|2,S x x T x x =<=≤则S T = ▲ ；R T C S = ▲ .（R 表示实数集）12. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x ≤时，()23f x x x a =++，则a = ▲ ；当[]13x ∈，时，()f x 的取值范围是 ▲ .13. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若30A =︒，3a =，2c =，则si n C = ▲ ，b = ▲ .14.已知直线20x y +-=与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，P 是抛物线的弧AOB 上的动点，当ABP ∆的面积最大时，点P 的坐标是 ▲ ，此时ABP ∆的面积是 ▲ .15.已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()3f f x =的零点的个数是 ▲ .16. 已知a 、b 是平面内的两个单位向量，若()c a b a b -+≤- ，则c的最大值是▲ .17. 已知函数xxx a x f +-+=11ln 2)(，其中0>a .若()f x 有极值，则它的所有极值之和为 ▲ .三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=+-()0ω>的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.19.已知函数1)(23+++=bx ax x x f 在1-=x 处有极值2. （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）当[]t x ,1-∈时，设)(x f 的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面DABCD .12PA PB AB BC AD ====，G 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：//CG 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CA 与平面PAD 所成角的正弦值.21.已知椭圆22:13x C y +=，点P 是直线3x =上的动点，过点P 作椭圆的切线PA ，切点为A ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若切线PA 的斜率为1，求点A 的坐标；（Ⅱ）求AOP ∆的面积的最小值，并求出此时PA 的斜率.22.已知函数()2xf x e x =--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x >时，不等式()()1x k x f x '+>-恒成立，求整数k 的最大值.2017学年第二学期高二期中考试数学答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题（本题共有7小题，其中第11、12、13、14小题每空3分，第15、16、17小题每空4分，共36分）11.(],2-∞；[]1,2 12. 0；90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦13.1314.()1,2-；15. 416. 17. 0三、解答题(本大题共5题：其中第18题14分，第19、20、21、22题各15分，共74分)18.已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=+-()0ω>的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 解：（Ⅰ）∵1()2cos 222f x x x ωω=- …………………………2分 ()sin 26f x x πω⎛⎫∴=-⎪⎝⎭………………………………………2分,1T πω=∴= ……………………………………………………2分()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 3222262k x k πππππ∴+≤-≤+ ∴函数()f x 的单调递减区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦………………2分（Ⅱ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦………………………………2分 ∴()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………………………………………………4分 19.已知函数1)(23+++=bx ax x x f 在1-=x 处有极值2. （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）当[]t x ,1-∈时，设)(x f 的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式.解: （Ⅰ）()b ax x x f ++='232 ……………………………………………………2分()()⎩⎨⎧=-=-'2101f f⎩⎨⎧=+-+-=+-∴211023b a b a ,⎩⎨⎧-==∴11b a …………………………………………3分此时()()()1131232+-=-+='x x x x x f ，所以1-=x 是极大值点1)(23+-+=∴x x x x f ……………………………………………………2分 （Ⅱ）)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31上递增…………………………2分 若311<<-t ，则()1)()(23min +-+===t t t t f x f t g ……………………2分 若31≥t ，则272231)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f t g ……………………………………………2分 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-+-+=31,2722311,1)(23t t t t t t g ………………………………………………2分20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD .12PA PB AB BC AD ====，G 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：//CG 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CA 与平面PAD 所成角的正弦值. 解：（Ⅰ）取AD 的中点M ，则//GM PA ，所以//GM 平面PAB …………2分//CM AB ，//CM ∴平面PAB …………2分所以平面//CGM 平面PAB ……………1分CG ⊂ 平面CGM//CG ∴平面PAB . …………………………2分（Ⅱ）BC AB ⊥ ,侧面PAB ⊥底面ABCD BC ∴⊥平面PAB …………………………2分 B C P B ∴⊥ 设112PA PB AB BC AD =====，则PC CD ==CG PD ∴⊥ ……………………………………………………1分 BC ⊥ 平面PAB ，BC ∴⊥平面CGM BC CG ∴⊥，CG AD ∴⊥ CG ∴⊥平面PADCAG ∴∠即为所求角…………………………3分PDCG ∴=CA =sin CAG ∴∠=∴直线CA 与平面PAD…………………………2分 21.已知椭圆22:13x C y +=，点P 是直线3x =上的动点，过点P 作椭圆的切线PA ，切点为A ，O 为坐标原点. （Ⅰ）若切线PA 的斜率为1，求点A 的坐标；D（Ⅱ）求AOP ∆的面积的最小值，并求出此时PA 的斜率.解：（Ⅰ）设切线PA ：y x m =+2233y x m x y =+⎧⎨+=⎩得到2246330x mx m ++-=………2分 0∆=，得到24m =，所以2m =±……………2分 所以31,22A ⎛⎫-⎪⎝⎭或31,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭…………………2分 （Ⅱ）设切线PA ：y kx m =+2233y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得到222(13)6330k x kmx m +++-=…………………………2分0∆=，得到2213m k =+………………………………………1分23313A km kx k m--∴==+……………………………………………1分132AOP A S m x ∆∴=-133322k m m k m =⋅+=+…………………………2分 令m k t +=，则m t k =-，代入2213m k =+，得到222210k tk t ++-=0∆≥，得到223t ≥，所以t ≥ 所以()min 2AOP S ∆=2分此时6k =±.……………………………………………………1分 另解：设()00,A x y ，则00:13PA x xl y y +=……………………1分 所以0013,x P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭………………………………………………2分 0000001311322AOP x x S x y y y ∆--∴=⋅-=…………………………2分设直线3x =与y 轴的交点为M ，则112AOP AMS k ∆∴=，当AM 与椭圆相切时，AM k 最大，即AOP ∆的面积最小所以()3,0P ，此时1,A ⎛ ⎝⎭，所以6k =± …………2分∴()min AOP S ∆=2分 22.已知函数()2x f x e x =--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x >时，不等式()()1x k x f x '+>-恒成立，求整数k 的最大值. 解：（Ⅰ）()1xf x e '=-………………………………………………2分令()0f x '>，则0x >所以，()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增. ……………2分（Ⅱ）()()11xx k x e +>--令()()()11xg x x k e x =--++，则()min 0g x >…………………………………2分()()1xg x x k e'=-+………………………………………………1分 ①若1k ≤，则()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上递增，所以()()01g x g >=1k ∴≤成立………………………………………………………2分 ②若1k >，则()g x 在区间()0,1k -上递减，在()1,k -+∞上递增所以()()1min 110k g x g k e k -=-=-++>………………………………………2分即110k ek ---<()2x f x e x =-- 在区间()0,+∞上单调递增令1()1k h k ek -=--，则()h k 在()1,+∞上单调递增…………………………2分2(2)30,(3)40h e h e =-<=->，所以函数()h k 的零点()2,3∈∴整数k 的最大值是2………………………………………………2分。
上海市青浦一中高二数学下学期期中试题(含解析)
上海市青浦一中高二数学下学期期中试题（含解析）一：选择题。
1.直线与平面所成角的范围______．【答案】0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 由直线与平面所成角的定义可得.【详解】解：根据直线与平面所成角的定义可得直线与平面所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查直线和平面所成的角基本概念.2.已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-，则a b +=____．【解析】【分析】 利用空间向量的坐标运算法则求出a b +，由此能求出结果. 【详解】解：∵(1,4,2),(2,1,3)ab =-=- ∴()=1,3,5a b +-- ∴()1a b +=-=【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模，熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.3.已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-，且//l α，则m =____【答案】1-【解析】【分析】由题意可得，根据线面平行可得d n ⊥，则=0d n ，进而得到4950m +-=，解得即可.【详解】解：由题意可得d n ⊥，则4950m +-=解得1m =-【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为___． 【答案】2π 【解析】【分析】由题意可得，AD ⊥平面11ABB A ，从而得到1AD A B ⊥，即可得到答案.【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，∵AD ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A∴1AD A B ⊥∴异面直线1A B 与AD 所成的角的大小为2π 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，线面垂直的性质定理.5.已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为_．【答案】50π【解析】【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论.【详解】解：设底面的半径为r ，则sin 3010=5r =⨯∴该圆锥的侧面积510=50S ππ=⨯⨯故答案为：50π【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.6.二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【答案】60【解析】【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴故答案为：60【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.7.下列四个结论中假命题的序号是_____．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若直线a ，b 是异面直线，则与a ，b 都相交的两条直线是异面直线．【答案】①④【解析】【分析】根据空间中线面的位置关系的判定和性质或举反例即可判断.【详解】解：对于①，若l α⊥，则α内任意两条直线都与l 垂直，显然命题①是假命题； 对于②，由平行公理可知命题②是真命题；对于③，将直线a 平移到b 的位置，由于b c ⊥，故而a c ⊥，故命题③是真命题； 对于④，在直线a 上取P 点，在直线b 上取点A ，B ，则PA ，PB 都与a ，b 相交，显然PA ，PB 相交，故命题④是假命题.故答案为：①④【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系和性质，熟练掌握直线与平面之间的位置关系是解决此题的关键.8.互不重合的三个平面可以把空间分成_____个部分【答案】4、6、7、8【解析】分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；五种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行(联想三棱柱三个侧面的关系)，则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点(联想墙角三个墙面的关系)，则可将空间分为8部分；故互不重合的三个平面可以把空间分成4、6、7、8个部分.【点睛】本题以平面分空间的分类讨论为载体，考查了空间中平面与平面之间的位置关系，考查了学生的空间想象能力.9.已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____.【答案】1【解析】【分析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ．【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3， ∴EO∥CD，且EO 1CD 12==，FO∥AB，且FO 1AB 2==1， ∴∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角， ∴πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=， 当∠EOF π3=时，△EOF 是等边三角形，∴EF＝1．当2πEOF 3∠=时，EF ==故答案为：1．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题10.设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45，且两地所在纬度圈上的弧长为24R，则A、B之间的球面距离是_____（结果用含有R的代数式表示）【答案】3Rπ【解析】【分析】由题意可得：北纬45圈的半径是22R，并且得到AB R=，所以A、B两地所在的球心角为60︒，即可得出答案.【详解】解：由题意可得：北纬452∵在北纬45圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于24R∴过A、B两点的小圆的圆心角为90，即AB R=∴A、B两地所在的球心角为60︒∴A、B两地间的球面距离为3Rπ故答案为：3R π. 【点睛】本题考查球面距离及相关计算，解决此类问题的关键是熟练掌握球面距离以及解三角形的有关知识，考查学生的计算能力与想象能力.11.已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且12PA PB PC ===，，D 为面ABC 上的动点，则PD 的最小值为___． 【答案】23【解析】【分析】根据题意利用等体积法计算P 点到平面ABC 的距离，即为PD 的最小值.【详解】解：∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且1PA PB ==，=2PC∴AB AC BC ===∴C 点到AB 的距离为2∴ABC ∆的面积为1322设点P 到平面ABC 的距离为h ，则11131123232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ ∴23h = 即PD 的最小值为23故答案为：23【点睛】本题考查了点、线、面间的距离计算，考查了等体积法.12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为_______。
上海市青浦区2017年中考二模数学试卷--附答案
100.580.560.540.5图1青浦区2017学年九年级第二次学业质量调研测试数学试卷 2018.4（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．下列实数中，有理数是（ ▲ ） （A 2；（B ）2.1；（C ）π；（D ）135．2．下列方程有实数根的是（ ▲ ）（A ）4+2=0x ； （B 22=1x --； （C ）2+21=0x x -；（D ）111x x x =--． 3．已知反比例函数1y x=，下列结论正确的是（ ▲ ） （A ）图像经过点（-1，1）；（B ）图像在第一、三象限；（C ）y 随着x 的增大而减小； （D ）当1x >时，1y <． 4．用配方法解方程241=0x x -+，配方后所得的方程是（ ▲ ）（A ）2(2)=3x -； （B ）2(+2)=3x ； （C ）2(2)=3x --；（D ）2(+2)=3x -． 5． “a 是实数，20a ≥”这一事件是（ ▲ ）（A ）不可能事件； （B ）不确定事件； （C ）随机事件； （D ）必然事件． 6． 某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图1所示，成绩的中位数落在（ ▲ ）（A ）50.5~60.5分； （B ）60.5~70.5分； （C ）70.5~80.5分； （D ）80.5~90.5分．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7．计算：32()=a a ÷- ▲ ． 8．因式分解：24=a a - ▲ ． 9．函数=3y x +的定义域是 ▲ ．010．不等式组1020.x x +≥⎧⎨->⎩，的整数解是 ▲ ．11．关于x 的方程=2(1)ax x a +≠的解是 ▲ ． 12．抛物线2(3)+1y x =-的顶点坐标是 ▲ ．13．掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为合数的概率是 ▲ ．14．如果点1P （2，1y ）、2P （3，2y ）在抛物线2+2y x x =-上，那么1y ▲ 2y ．（填“>”、 “<”或 “=”）15．如图2，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 在边AD 上，且AF ︰FD=2︰1，如果AB a =，BC b =，那么EF = ▲ ．16．如图3，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P 、P '所在的直线都经过同一点O ，且有(0)OP k OP k '=⋅≠，那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O 叫做位似中心．已知ABC ∆与A B C '''∆是关于点O 的位似三角形，3OA OA '=，则ABC ∆与A B C '''∆的周长之比是 ▲ ．17．如图4，在△ABC 中，BC=7，AC =32，tan 1C =，点P 为AB 边上一动点（点P 不与点B 重合），以点P 为圆心，PB 为半径画圆，如果点C 在圆外，那么PB 的取值范围是 ▲ ．18．已知，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9， BC =12，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且CD ︰CE =3︰4．将△CDE 绕点D 顺时针旋转，当点C 落在线段DE 上的点F 处时，BF 恰好是∠ABC 的平分线，此时线段CD 的长是 ▲ ．图3 ABCDE F图 2图4POP'三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．(本题满分10分)计算：10121552(3)2-+---+（）．20．(本题满分10分)先化简，再求值：25+3222x x x x ⎛⎫--÷⎪++⎝⎭（），其中3x =．21. (本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=3，BC =4，∠ABC 的平分线交边AC 于点D ，延长BD 至点E ，且BD=2DE ，联结AE ． （1）求线段CD 的长； （2）求△ADE 的面积.22．（本题满分10分）如图6，海中有一个小岛A ，该岛四周11海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B 处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C 处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？（参考数据： 2 1.41≈3 1.73）23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，且DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，MFDA东AB C图6ED C BA图5求证：四边形ABED 是平行四边形.24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）已知：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点 A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处． （1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标． ．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9-1，已知扇形MON 2，∠MON =90，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC =BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA = x ，∠COM 的正切值为y ．（1）如图9-2，当AB ⊥OM 时，求证：AM =AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.OMNDCBAOMNDCBANMOABOxy 备用图ABOxy 图8青浦区2017学年九年级第二次学业质量调研测试评分参考一、选择题：1．B ； 2．C ； 3．B ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二、填空题：7．a ； 8．()4-a a ； 9．3≥-x ； 10．101、、-； 11． 21-a ； 12．（3，1）； 13．13； 14．>； 15．2132-b a ； 16．1︰3； 17．3508<<PB ； 18．6．三、解答题：19．解：原式5+5212-+． ································································ （8分）=51． ············································································· （2分）20．解：原式=()2245223--+⨯++x x x x ， ····························································· （5分） =()()()233223+-+⨯++x x x x x ， ······················································· （1分）=33-+x x . ·················································································· （1分） 当3=x 3333-+32. ············································ （3分） 21．解：（1）过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ． ··············································· （1分）∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°， ∴DH = DC =x ， ········································································ （1分） 则AD =3-x ． ∵∠C =90°，AC=3，BC =4，∴AB =5. ·········································· （1分）∵sin ∠==HD BCBAC AD AB， ∴435=-x x ，·········································································· （1分） ∴43=x . ················································································ （1分）（2）1141052233=⋅=⨯⨯=ABD S AB DH . ············································· （1分）∵BD=2DE ， ∴2==ABD ADES BDSDE， ································································ （3分） ∴1015323=⨯=ADES. ······························································· （1分） 22．解：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ． ······················································ （1分）由题意，得∠BAH =60°，∠CAH =45°，BC =10． ···································· （1分） 设AH =x ，则CH =x ． ······································································· （1分） 在Rt △ABH 中，∵tan ∠=BH BAH AH ，∴10tan 60+︒=xx， ······································· （3分） 310=+x x ，解得53513.65=≈x ， ······································ （2分）∵13.65>11， ················································································ （1分）∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险． ································· （1分） 答：货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ， ············································· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ，································ （1分） ∴AE //DC ， ·········································································· （1分）∴=FM AMMD MC． ··································································· （1分） ∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ··················································· （1分） ∴=FM DM MD MB， ··································································· （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ． ·········································· （1分）由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ········································································ （1分） ∴3==DF BF a ． ·································································· （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF， ··················································· （1分） ∴=AF EF ， ········································································· （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ··················································· （1分）24．解：（1）∵顶点C 在直线2x =上，∴22=-=bx a，∴4=-b a ． ··············· （1分） 将A （3，0）代入23y ax bx =++，得933=0++a b ， ·················· （1分） 解得1=a ，4=-b ． ································································ （1分） ∴抛物线的解析式为243=-+y x x ． ·········································· （1分） （2）过点C 作CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．∵243=-+y x x =()221=--x ，∴C （2，1-）． ························· （1分）∵1==CM MA ，∴∠MAC =45°，∴∠ODA =45°， ∴3==OD OA ． ···································································· （1分） ∵抛物线243=-+y x x 与y 轴交于点B ，∴B （0，3），∴6=BD ． ········································································ （1分） ∵抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积， ∴12262122==⨯⨯⋅=⨯=BCDEBCDSSBD CN ． ························ （1分）（3）联结CE .∵四边形BCDE 是平行四边形，∴点O 是对角线CE 与BD 的交点， 即 5OE OC ==（i ）当CE 为矩形的一边时，过点C 作1CF CE ⊥，交x 轴于点1F ，设点1F a （,0），在1Rt OCF 中，22211=OF OC CF +， 即 22(2)5a a =-+，解得 52a =，∴点152F （,0） ································ （1分） 同理，得点252F （-,0） ······································································ （1分） （ii ）当CE 为矩形的对角线时，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧分别交x 轴于点3F 、4F ，可得 34=5OF OF OC ==35F （,0）、45F （-,0）····· （2分） 综上所述：满足条件的点有152F （,0），252F （-,0），35F （,0）），45F （-,0）． 25．解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ·························· （1分）∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ······················ （1分） ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△ABM ， ·································································· （1分） ∴AC =AM ． ············································································ （1分） （2）过点D 作DE //AB ，交OM 于点E ． ·············································· （1分）∵OB ＝OM ，OD ⊥BM ，∴BD ＝DM ． ··········································· （1分） ∵DE //AB ，∴=MD MEDM AE，∴AE ＝EM ， ∵OM 2，∴AE ＝)122x ． ··············································· （1分） ∵DE //AB ，∴2==OA OC DMOE OD OD ， ···························································· （1分） ∴2=DM OA OD OE， ∴2=+y x （02<≤x ···················································· （2分）（3）（i ） 当OA =OC 时， ∵111222===DM BM OC x ， 在Rt △ODM 中，222124=-=-OD OM DM x ∵=DM y OD， 2121224=+-x x x ．解得142-=x ，或142--=x （舍）．（2分） （ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ，∵∠ACO >∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO >∠AOC ， ∴此种情况不存在． ·································································· （1分） （ⅲ）当CO =CA 时，则∠COA =∠CAO=α，∵∠CAO >∠M ，∠M =90α︒-，∴α>90α︒-，∴α>45︒， ∴290α∠=>︒BOA ，∵90∠≤︒BOA ，∴此种情况不存在． ········ （1分）。
高二数学理2017-2018学年度第二学期中期质量检测试题及答案
2017-2018学年度第二学期中期质量检测高二数学（理科）试卷满分：150分 时间：120分钟注意事项：1．答题前请在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（共12题，每小题5分，共60分）1．曲线曲线在32y x =-点x=－1处切线的斜率为( ) A. -1 B. 1 C. -5 D. 3 2. 已知函数()3232f x ax x =++，若()'14f -=，则()a =A.103 B. 133 C. 163 D. 1933.已知(2,1,3)a =-，()1,,2b x =-，若0a b ⋅=，则()x =A. -4B. 8C. -8D. -6 4. 下列求导运算正确的是（ ）'211.1A x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ()'2.cos 2sin B x x x x =- ()'3.33log e x x C = ()'21.ln 2logx D x =5．若(2,2,2)a =--，()2,0,4b =，则a与b 的夹角的余弦值为（ ）A.15B. 5-15- D.0 6.已知(2,3,1)a =--，()2,0,4b =，()4,6,2c =--，则下列结论正确的是（ ）.//,//A a c b c .//,B a b a c ⊥ .//,C a c a b ⊥ D.以上都不对7．已知函数()()3'0,3f x x f x ==，则0x 的值为（ ）A. -1B. 1C. 1或或9.已知曲线2122y x =-上一点 21,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，则过点 P 的切线的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 135D. 60 9．函数22ln y x x =-的单调增区间为（ ） A. （﹣∞，﹣1）和（0，1） B. （1，+∞） C. （﹣1，0）和（1，+∞） D. （0，1）10. 函数()31443f x x x =-+在[]0,3上的最值是（ ）A. 最大值是4,最小值是13-B. 最大值是2,最小值是13-C. 最大值是4,最小值是43-D. 最大值是2,最小值是43-11.若2x =- 或4x =是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点，则有（ ）.2,4A a b =-= .3,24B a b =-=- .1,3C a b == .2,4D a b ==-12．已知()y x f x =⋅'的图象如图所示，则()f x 的一个可能图象是（ ）A.B.C.D.二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13．函数ln y x x =-的单调递减区间是_________14．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则()()44f f -'=__________． 15.已知函数()()3261y f x x ax a x ==++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是__________ 16. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．三、解答题（共6题，17题10分，18-22每题12分，共70分） 17.求下列函数的导数（1）cos x e xy x=（2）()1ln 21y x x=--18.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4PD PC ==,6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F G 、分别在线段AB BC 、上，且2AF FB =,2CG GB =. （1）证明： PE FG ⊥；（2）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. 已知函数()3293f x x x x a --=+（a 为常数） （1）求()f x 的单调区间；（2）函数()f x 在[]2,2-上的最大值为10，求a 的值20．如图，四棱锥P ABCD-中，PA ABCD ⊥平面，梯形ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =,N 为PC 的中点． （1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值21．已知函数()32f x x x a bx c +=++在点0x 处取得极小值5-，其导函数()'y f x =的图像经过点()0,0和点()2,0，（1）求,a b 的值；（2）求0x 及函数()f x 的表达式22. 已知函数()()21ln ,22f x x ax x a R -=-∈（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在定义域内是单调递增，求实数a 的取值范围。
上海市浦东新区2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题(含精品解析)
2017-2018学年第二学期高二数学期末质量检测一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1. 抛物线的准线方程是________.【答案】【解析】分析：利用抛物线的准线方程为，可得抛物线的准线方程.详解：因为抛物线的准线方程为，所以抛物线的准线方程为，故答案为.点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.2. 设复数满足，则＝__________.【答案】【解析】分析：由可得，再利用两个复数代数形式的除法法则化简，结合共轭复数的定义可得结果.详解：满足，，所以，故答案为.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 若一个球的体积为，则该球的表面积为_________.【答案】【解析】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为.4. 在正四面体P-ABC，已知M为AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为____.【答案】【解析】分析：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得即为与所成的角或其补角，利用余弦定理可得结果.详解：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得，，故即为与所成的角或其补角，因为是正四面体，不妨设令其棱长为，则由正四面体的性质可求得，故，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理的应用以及异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角的做题步骤分为三步，分别为：作角、证角、求角，尤其是第二步证明过程不可少，是本题易失点分，切记.5. 若复数满足，则的取值范围是________【答案】【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果.详解：因为复数满足，在复平面内设复数对应的点为，则到的距离之和为，所以点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，可得最小距离是与的距离，等于；最大距离是与的距离，等于；即的取值范围是，故答案为.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题.复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.6. —个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，则该四面体的体积为________.【答案】【解析】分析：满足条件的四面体为正方体的一个角，利用三棱锥的体积计算公式即可得出结果.详解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的一个角，该四面体的体积，故答案为.点睛：本题主要考查空间直角坐标系与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象力、推理能力与计算能力，属于中档题.7. 若复数为纯虚数，则实数=______.【答案】【解析】分析：纯虚数的表现形式是中，且，根据这个条件，列出关于的方程组，从而可得结果.详解：复数为纯虚数，且，，故答案为.点睛：本题主要考查纯虚数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于简单题.8. 以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是_______.【答案】【解析】分析：由椭圆的焦点为，顶点为，可得双曲线的焦点与顶点，从而可得双曲线方程.详解：椭圆的焦点为，顶点为，双曲线的顶点与焦点分别为，可得，所以双曲线方程是，故答案为.点睛：本题考查椭圆与双曲线的简单性质应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，解题时要认真注意审题，特别注意考虑双曲线的焦点位置.9. 将圆心角为，面积为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___．【答案】【解析】分析：由扇形的面积公式求出扇形的半径，得到圆锥的母线长，由弧长公式得圆锥底面半径，由勾股定理求得圆锥的高，由圆锥的体积公式可得结果.详解：如图，设扇形的半径为，则，即，圆锥的母线长为，设圆锥底面半径为，由，解得，则圆锥的高为，圆锥的体积为，故答案为.点睛：本题考查圆锥的体积公式，圆锥的侧面展开图、考查数形结合的解题思想方法，明确圆锥侧面展开图中的量与圆锥中的量之间的关系是解题的关键，本题属于中档题.10. 球的半径为，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为和，则这两个平面之间的距离是_______.【答案】7或1【解析】分析：两条平行的平面可能在球心的同旁或两旁，应分两种情况进行讨论，分别利用勾股定理求解即可.详解：球心到两个平面的距离分别为，，故两平面之间的距离（同侧）或（异侧），故答案为或.点睛：本题考查球的截面性质，属于中档题.在解答与球截面有关的问题时，一定要注意性质的运用.11. 三棱锥V-ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：设的中点为，连接，由余弦定理可得，利用三角函数的有界性可得结果.详解：设的中点为，连接，则是二面角的平面角，可得，在三角形中由余弦定理可得，，即的取值范围是，为故答案为.点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.12. 给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行.其中正确命题的序号是____.【答案】④【解析】分析：由三点可能共线可判断①错；由点可能在直线上可判断②错；由两直线可能相交、异面判断③错；根据公理可判定④正确.详解：①不共线的三点确定一个平面，故①错误；②一条直线和直线外一点确定一个平面，故②错误；③垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故③错误；④平行于同一直线的两直线平行，故④正确，故答案为④.点睛：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推理的合理运用. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.二、选择题(本大题共有4小题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13. 在空间中，“直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的( )．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】若“直线平面”则“直线与平面内无穷多条直线都垂直”，正确；反之，若“直线与平面内无穷多条直线都垂直”则“直线平面”是错误的，故直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的充分非必要条件.故选A.14. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】略视频15. 设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（）.A. 垂直B. 平行C. 直线在平面内D. 直线在平面内或平行【答案】D【解析】∵直线的一个方向向量，平面的一个法向量∴∴直线在平面内或平行故选D.16. 对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得，（1）正确；设，则，，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知，（3）正确，即正确命题的个数是，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17. 已知关于的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一个模为的虚根，求实数k的值．【答案】1【解析】分析：设两根为、，则，，得，利用韦达定理列方程可求得的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得或，设两根为、，则，，得，．所以．18. 如图，正四棱柱的底面边长，若异面直线与所成角的大小为，求正四棱柱的体积.【答案】16【解析】分析：由正四棱柱的性质得，从而，进而，由此能求出正四棱柱的体积.详解：∵∴为与所成角且∵，∴点睛：本题主要考查异面直线所成的角、正四棱柱的性质以及棱柱的体积的公式，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角.19. 已知双曲线，为上的任意点。
上海青浦区20172018高二数学下学期末试卷有答案
适用精选文件资料分享上海青浦区 2017-2018 高二数学放学期末试卷（有答案）青浦区 2017 学年第二学期高二年级期终学业质量调研数学试卷（满分150，时间 120 分钟）考生注意： 1. 答卷前 , 考生务必在答题纸大将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚 . 2. 请依据题号在答题纸各题答题地域内作答 , 超出答题地域书写的答案无效 ; 在稿本纸、试题卷上答题无效 . 3. 本试卷共有 21 道试题 , 可以使用规定型号计算器 .一填空题 ( 本大题满分 54 分) 本大题共有 12 题,1-6 每题 4 分,7-12每题 5 分. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 , 每个空格填对得分 , 不然一律得零分 1. 复数（是虚数单位）的虚部是【答案】 2. 平面直角坐标系中点到直线的距离为【答案】 3. 的睁开式中的常数项是【答案】 4. 已知正六棱柱的底面边长为，侧棱为，则该正六棱柱的体积为【答案】 5. 已知球的半径为，为球面上两点，若之间的球面距离是，则这两点间的距离等于【答案】6.如图，以长方体的极点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为【答案】7.过点的直线与圆订交于两点，当弦的长取最小值时，直线的倾斜角等于【答案】8. 抛物线上一动点到点的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为【答案】 9. 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是【答案】 10. 平面上两组平行线相互垂直，一组由条平行线构成，一组由条平行线构成，则它们能围成的矩形个数是【答案】 11. 设和是关于的方程的两个虚数根，若在复平面对应的点构成直角三角形，那么实数【答案】12.已知曲线的方程为，会集，若关于任意的，都存在，使得建立，则称曲线为曲线 . 以下方程所表示的曲线中 , 是曲线的有（写出全部曲线的序号）① ；② ；③ ；④ 【答案】①③二.选择题 ( 本大题满分 20分) 本大题共有 4 题, 每题有且只有一个正确答案 , 考生应在答题纸的相应编号上 , 将代表答案的小方格涂黑 ,选对得 5 分, 不然一律得零分 . 13.“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的一个（）【A】充分不用要条件【B】必需不充分条件【C】充要条件【D】既非充分也不用要条件【答案】14.曲线的图像（）【A】关于轴对称【B】关于原点对称, 但不关于直线对称【C】关于轴对称【D】关于直线对称，关于直线对称【答案】15.以下命题中 , 正确的命题是【A】若，则 4)-x 【B】若，则不行立【C】，则或【D】，则且【答案】16.如图，正方体，则以下四个命题：①点在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变；②点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变；③点在直线上运动时，二面角的大小不变；④点在直线上运动时，三棱锥的体积不变 . 此中的真命题是（）【A】①③ 【B】③④ 【C】①②④ 【D】①③④ 【答案】三、解答题 ( 本大题满分 76 分) 本大题共有 5 题, 解答以下各题一定在答题纸相应编号的规定地域内写出必需的步骤. 17. （本题满分 14分）本题共有 2 个小题，第（ 1）小题满分 7 分，第（ 2）小题满分 7分. 已知复数，此中是虚数单位， . （1）若，务实数的取值范围；（2）若是关于的方程的一个根，务实数与的值 . 【答案】（1）；（2）18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（ 1）小题满分 6 分，第（2）小题满分8 分. 以以下图圆锥中，为底面圆的两条直径，，且，，为的中点 . 求: （1）该圆锥的表面积；（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） .【答案】（1）；19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（ 1）小题满分 7 分，第（2）小题满分7 分. 已知四边形是矩形，平面，，点在线段上（不为端点），且满足，此中 . （1）若，求直线与平面所成的角的大小；（2）能否存在，使是的公垂线，即同时垂直？说明原由 . 【答案】（1）；（2）20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（ 3）小题 6 分. 已知椭圆的左右极点分别是 . 点在椭圆上，过该椭圆上任意一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且 . （1）求椭圆的方程；（2）求动点的轨迹的方程；（3）设直线（点不一样）与直线交于，为线段的中点，证明: 直线与曲线相切 . 【答案】（1）；（2）；（3）证明以下【分析】21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（ 3）小题 8 分. 在平面直角坐标系中，关于点、直线，我们称为点到直线的方向距离 . （1）设双曲线上的任意一点到直线，的方向距离分别为，求的值；（2）设点、到直线的方向距离分别为，试问能否存在实数，对任意的都有建立？说明原由；（3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试问的长与的大小 . 【答案】（1）；（2）；（3）【分析】。
2018-2019年上海市青浦一中高二下期中数学试卷及答案
青浦一中2018学年第二学期期中学业质量调研测试高二年级数学试卷一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1.直线与平面所成角的范围 ．2.已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-，则a b += ．3.已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-，且//l α，则m = ．4. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 所成的角大小为________．5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30∘，则该圆锥的侧面积为________．6. 二面角α−l −β为60∘，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是________．7. 下列四个结论中假命题的序号是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足a // b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；④若直线a ，b 是异面直线，则与a ，b 都相交的两条直线是异面直线．8. 互不重合的三个平面可以把空间分成________个部分．9.已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =________． 10. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45∘，且两地所在纬度圈上的弧长为 √24πR ，则A 、B 之间的球面距离是________（结果用含有R 的代数式表示）11. 已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA =PB =1，PC =2，D 为面ABC 上的动点，则PD 的最小值为________．12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 _______二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知圆锥的底面半径是1，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是( )A.2πB.3πC.4πD.5π2. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A.4B.8C.12D.163. 已知不同的直线m，n，不同的平面α，β，则下列命题正确的是（）①若m // α，n // α，则m // n②若m // α，m⊥β，则a⊥β．③若m⊥α，m⊥n，则n // α．④若m⊥a，n⊥β，a⊥β，则m⊥nA.②④B.②③C.③④D.①②4. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=√2，则下列结论2错误的是（B）A.AC⊥BFB.直线AE、BF所成的角为定值C.EF // 平面ABCD.三棱锥A−BEF的体积为定值三. 解答题（本大题满分76分）17. （本题满分14分）第（1）题满分6分，第（2）题满分8分.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB BC ==，18DD =，M 为棱11C D 的中点．（1）求四棱锥M ABCD -的体积；（2）求直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值．18. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分.如图,已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．（1）这种“浮球”的体积是多少cm 3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20. (本题满分16分）本题共2小题，第（1）题8分，第（2）题8分如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==，E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．21. (本题满分18分）本题共3小题，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分.如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AA 1+AB +AC =3，AB =AC =t(t >0)，P是侧棱AA1上的动点．（1）当AA1=AB=AC时，求证：A1C⊥平面ABC1；（2）记三棱锥P−BCC1的体积为V(t),求()v tt的最大值；（3）若二面角A−BC1−C的平面角的余弦值为√1010，试求实数t的值．参考答案一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1.直线与平面所成角的范围 ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-，则a b += ．3.已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-，且//l α，则m = ．1-4. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 所成的角大小为________．π25. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30∘，则该圆锥的侧面积为________． 50π6. 二面角α−l −β为60∘，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是________． 60∘7. 下列四个结论中假命题的序号是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足a // b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；④若直线a ，b 是异面直线，则与a ，b 都相交的两条直线是异面直线．①④8. 互不重合的三个平面可以把空间分成________个部分． 4、6、7、89.已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3，则EF =________．1或 10. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45∘，且两地所在纬度圈上的弧长为 √24πR ，则A 、B 之间的球面距离是________（结果用含有R 的代数式表示）π3R11. 已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA =PB =1，PC =2，D 为面ABC 上的动点，则PD 的最小值为________． 2312.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 _______.3√34二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知圆锥的底面半径是1，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是( B )A . 2πB .3πC .4πD .5π2. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（D ）A .4B .8C .12D .163. 已知不同的直线m ，n ，不同的平面α，β，则下列命题正确的是（A ）①若m // α，n // α，则m // n ②若m // α，m ⊥β，则a ⊥β．③若m ⊥α，m ⊥n ，则n // α． ④若m ⊥a ，n ⊥β，a ⊥β，则m ⊥nA .②④B .②③C .③④D .①②4. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF =√22，则下列结论错误的是（ B ）A .AC ⊥BFB .直线AE 、BF 所成的角为定值C .EF // 平面ABCD .三棱锥A −BEF 的体积为定值三. 解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）第（1）题满分6分，第（2）题满分8分.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB BC ==，18DD =，M 为棱11C D 的中点．（1）求四棱锥M ABCD -的体积；（2）求直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值．（1）因为长方体1111ABCD A B C D -，所以点M 到平面ABCD 的距离就是18DD =， (2)故四棱锥M ABCD -的体积为M ABCD V -=11128=33ABCD S DD ⋅⋅．……6 （2）（如图）联结1BC ，BM ，因为长方体1111ABCD A B C D -，且11M C D ∈，所以1MC ⊥平面11BCC B ，故直线BM 与平面11BCC B 所成角就是1MBC ∠， (8)在1Rt MBC ∆中，由已知可得111122MC C D ==，22111145BC BB B C =+=， 因此，11151045MC tan MBC BC ∠===， ……12 即直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值为5． (14)18. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分.如图,已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =， ……2分故2222534SO SB OB =-=-= ……4分从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=. ……6分（2）如图，取OB 中点H ，联结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH SO ∥，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角. ……8分由SO ⊥平面OAB ⇒PH ⊥平面OAB ⇒PH AH ⊥. 在OAH ∆中，由OA OB ⊥得22352AH OA OH =+=； ……11分 在Rt APH ∆中，90AHP O ∠=，122PH SB ==，352AH =， ……12 分 则35tan 4AH APH PH ∠==，所以异面直线SO 与PA 所成角的大小35arctan 4…14分19. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．（1）这种“浮球”的体积是多少cm 3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？ 解：（1）∵ 该“浮球”的圆柱筒直径d =6cm ，∴ 半球的直径也是6cm ，可得半径R =3cm ，∴ 两个半球的体积之和为V 球=43πR 3=43π⋅27=36πcm 3... (2)而V 圆柱=πR 2⋅ℎ=π×9×2=18πcm 3… ……4 ∴ 该“浮球”的体积是：V =V 球+V 圆柱=36π+18π=54π≈169.6cm 3 (6)（2）根据题意，上下两个半球的表面积是S 球表=4πR 2=4×π×9=36πcm 2... (8)而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S 圆柱侧=2πRℎ=2×π×3×2=12πcm 2 (10)∴ 1个“浮球”的表面积为S =36π+12π104=48104πm 2因此，2500个“浮球”的表面积的和为2500S =2500×48104π=12πm 2… ……12 ∵ 每平方米需要涂胶100克，∴ 总共需要胶的质量为：100×12π=1200π（克）... (14)20. (本题满分16分）本题共2小题，第（1）题8分，第（2）题8分如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==，E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）． 解：（1）因为正四棱锥P ABCD -，取AB 中点G ，连接PG ，PA AB ==PG ∴= (2)21=482S S S +=+⨯⨯=+全底侧（2）连接AC ，连接BD ，记ACBD O =，因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -． (9)因为PB AB ==Rt Rt POB AOB ≅△△．所以2OA OP ==．所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -．所以(2,1,1)AE =-，(2,1,1)AF =--． (11)设平面AEMF 的法向量为(,,)n x y z =，所以0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20.x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)n =． ......14 因为平面平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m = (15)设m 与n 的夹角为ϕ，cos1m n m nϕ⋅===⨯⋅arccos 5ϕ⇒=所以平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是． (16)21. (本题满分18分）本题共3小题，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分.如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AA 1+AB +AC =3，AB =AC =t(t >0)，P 是侧棱AA 1上的动点．（1）当AA 1=AB =AC 时，求证：A 1C ⊥平面ABC 1； （2）记三棱锥P −BCC 1的体积为V (t ),求()v t t的最大值； （3）若二面角A −BC 1−C 的平面角的余弦值为√1010，试求实数t 的值．【解答】（1）证法一：∵ AA 1⊥面ABC ，∴ AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ． 又∵ AA 1=AC ，∴ 四边形AA 1C 1C 是正方形， ∴ AC 1⊥A 1C ．…∵ AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，AA 1，AC ⊂平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC =A ， ∴ AB ⊥平面AA 1C 1C ．…又∵ AC 1⊂平面AA 1C 1C ，∴ AB ⊥AC 1．… ∵ AB ，AC 1⊂平面ABC 1，AB ∩AC 1=A ， ∴ A 1C ⊥平面ABC 1．…证法二：∵ AA 1⊥面ABC ，∴ AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ． 又∵ AB ⊥AC ，∴ 分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． (1)则A(0, 0, 0)，C 1(0, 1, 1)，B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，A 1(0, 0, 1)， ∴ A 1C →=(0,1,−1),AC 1→=(0,1,1),AB →=(1,0,0)， ∴ A 1C →⋅AC 1→=0,A 1C →⋅AB →=0∴ A 1C →⊥AC 1→,A 1C →⊥AB →．… ……3 又∵ AB ，AC 1⊂平面ABC 1，AB ∩AC 1=A ∴ A 1C ⊥平面ABC 1． ……4 证法三：∵ AA 1⊥面ABC ，∴ AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ． 又∵ AB ⊥AC ，∴ 分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．…则A(0, 0, 0)，C 1(0, 1, 1)，B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，A 1(0, 0, 1)， ∴ A 1C →=(0,1,−1),AC 1→=(0,1,1),AB →=(1,0,0)． 设平面ABC 1的法向量n →=(x,y,z)， 则{n →⋅AB →=x =0，解得{x =0y =−z．令z =1，则n →=(0,−1,1)，…∵ A 1C →=−n →，∴ A 1C ⊥平面ABC 1．…（2）解：∵ AA 1 // 平面BB 1C 1C ，∴ 点P 到平面BB 1C 1C 的距离等于点A 到平面BB 1C 1C 的距离∴ V =V P−BCC 1=V A−BCC 1=V C 1−ABC =16t 2(3−2t)=12t 2−13t 3(0<t <32)，……8 于是2()1132v t t t t =-+ 当34t =时，max ()3[]16v t t = ……10 （3）解：分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则A(0, 0, 0)，C 1(0, t, 3−2t)，B(t, 0, 0)，C(0, t, 0)，A 1(0, 0, 3−2t)，∴ A 1C →=(0,t,2t −3),AC 1→=(0,t,3−2t),AB →=(t,0,0)，CC 1→=(0,0,3−2t)，BC →=(−t,t,0)．…设平面ABC 1的法向量n 1→=(x 1,y 1,z 1)， 则110n AB tx ⋅==解得{x 1=0y 1=2t−3t z 1，令z 1=t ，则n 1→=(0,2t −3,t)． ……12 设平面BCC 1的法向量n 2→=(x 2,y 2,z 2)， 则212(32)0n CC t Z ⋅=-= 由于0<t <32，所以解得{x 2=y 2z 2=0．令y 2=1，则n 2→=(1,1,0)． ……14 设二面角A −BC 1−C 的平面角为θ，则有|cosθ|=|n 1→|⋅|n 2→|=|2t −3|⋅=√1010． ……16 化简得5t 2−16t +12=0，解得t =2（舍去）或t =65． (18)所以当t =65时，二面角A −BC 1−C 的平面角的余弦值为√1010。
青浦区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
青浦区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 已知数列，则5是这个数列的（ ） A ．第12项 B ．第13项C ．第14项D ．第25项2．函数是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3． 拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8D ．104． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5） C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）5． 下列命题的说法错误的是（ ）A ．若复合命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题B ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x+1≤0D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0” 6． 已知函数f （x ）=31+|x|﹣，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（﹣，）D ．7． 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．78． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞3D ．x ＜39． 高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A．112 B．114 C．116 D．12010．若复数（2+ai）2（a∈R）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣2 B．±2 C．0 D．211．如果点P在平面区域220,210,20x yx yx y-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q在曲线22(2)1x y++=上，那么||PQ的最小值为（）A1B1C. 1D112．设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题13．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为19.0，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于.14．设,x y满足条件,1,x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩，若z ax y=-有最小值，则a的取值范围为．15．已知（x2﹣）n）的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是．16．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．17．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是．18．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为．三、解答题19．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．20．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．21．已知x 2﹣y 2+2xyi=2i ，求实数x 、y 的值．22．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD 的长为多少时，三棱锥A ﹣BCD 的体积最大；（2）当三棱锥A ﹣BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小。
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青浦一中2017学年第二学期期中学业质量调研测试 高二年级数学试卷2018.4（ 考试时间：120分钟，满分：150分）学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 空间内两异面直线所成角的范围是2. 在空间直角坐标系中，点(2,4,6)P -关于y 轴对称点P '的坐标为3. 设(,4,3)x =r a ，(3,2,)y =-r b ，且//r r a b ，则x y ⋅=4. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u r的坐标为5. 如图，在长方体1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________6. 一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6， 则此三棱锥的侧面积为___________7. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于8. 在北纬450东经300有一座城市A,在北纬450东经1200有一座城市B,设地球半径为R, 则A 、B 两地之间的球面距离是9. 将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为 10. 如图，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60︒的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于11. 在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为12. ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC 1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，则S 的取值范围是二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α垂直”是“直线l 与平面α内无数条直线垂直”的（ ）条件（A ）充要 （B ）充分非必要 （C ）必要非充分 （D ） 既非充分又非必要14. 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ⋅等于（ ）（A ）41 （B ）43 （C ）41- （D ）43-15. 在正方体1111D C B A ABCD -的侧面11A ABB 内有一动点P 到直线11B A 与直线BC 的距离相等,则动点P 所在的曲线的形状为( )16. 如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的为（ ）（A ） O ﹣ABC 是正三棱锥（B ）直线AD 与OB 所成的角是45°（C ）二面角D ﹣OB ﹣A 为45° （D ）直线OB ∥平面ACDA 1B 1BAP(A)A 1B 1BAP(B)A 1B 1BAP(C)A 1B 1B AP(D)三. 解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）第（1）题满分6分，第（2）题满分8分.如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，22PA AD AB ===，E 是PB 的中点.（1）求三棱锥P ABC -的体积； （2）求异面直线EC 和AD 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)19. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分.用π2平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x ，圆锥母线的长为y . （1）建立y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）圆锥的母线与底面所成的角大小为3π，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米. (精确到0. 01m 3)EDB CAPD ACOE20. (本题满分16分）本题共3小题，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分. 如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB ，Q 为底面圆周上一点（1）如果QB 的中点为C ，SC OH ⊥，求证:⊥OH 平面SBQ ； （2）如果60AOQ ∠=︒,QB = （3）如果二面角A SB Q --大小为AOQ ∠的大小.21. (本题满分18分）本题共3小题，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分. 如图，已知四面体ABCD 中，23===DC DB DA ，且DC DB DA ,,两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心．（1）求点D 到面ABC 的距离；（2）过O 作AD OE ⊥，垂足为E ，求DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积；（3）将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角记为θ，求θcos 的取值范围．青浦一中2017学年第二学期期中学业质量调研测试 高二年级数学答案2018.4（ 考试时间：120分钟，满分：150分）一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. ]2,0(π2.(2,4,6)P '---3. 94. (4,3,2)-5. 56. 187. 9π8.3R π9.10.11. 0120 12. 24二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. B 14. C 15. B 16. D三. 解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）第（1）题满分6分，第（2）题满分8分. 解答参考：（1）∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ·AA 1 ……………………………3分 =12AB ·AC ·AA 1=12×4×2×5=20. ……………………………6分（2）解法一： 连接AM.∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥底面ABC.∴∠AMA 1是直线A 1M 与平面ABC 所成角. ……………………………10分 ∵△ABC 是直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，点M 是BC 的中点， ∴AM=12BC=12×42+22= 5.由AA 1⊥底面ABC ，可得AA 1⊥AM, ∴tan ∠A 1MA=AA 1AM =55= 5.∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan 5． ……………………………14分 （解法二：建立空间直角坐标系，用向量法解题相应给分）18. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分. 解答参考：(1) 依题意，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，高2PA =，2BC AD ==,1AB =∴12112ABC S =⋅⋅=△……………………………3分 故121233P ABCV -=⨯⨯=. ……………………………6分(2) 解法一：∵//BC AD ,所以ECB ∠或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ， ……9分 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，∴BC PAB ⊥面，∴BC PB ⊥,于是在Rt CEB ∆中，2BC =，12BE PB ===， …………12分tan BE BC θ===，∴异面直线EC 和AD 所成的角是. ………………14分 （解法二：建立空间直角坐标系，用向量法解题相应给分）19. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分. 解答参考：（1）πππ22=+xy x Θxx y 22-=∴ …………………………3分10,22<<∴-<∴<x xx x y x Θ …………………………6分（2）依题意，作圆锥的高SO ，SAO ∠是母线与底面所成的线面角， ………9分 设圆锥高h ，213cos==y x πΘ，x y 2= x h 3=∴ 32=∴x ，2=h ………11分 323331x h x V ππ== 399.0m ≈ ………13分答：所制作的圆锥形容器容积99.0立方米 ………14分20. (本题满分16分）本题共3小题，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分. 解答参考：（1）因为OS QB OC QB ⊥⊥,,所以⊥QB 平面OCS ,所以OH QB ⊥, …………2分 又SC OH ⊥,所以⊥OH 平面SBQ . ……………………4分（2）在AQB ∆中，AQB ∠是直角，且60AOQ ∠=︒,所以4=AB ,……………………6分 又三角形SAB 为等腰直角三角形，所以2=OS ， ……………………8分 所以πππ382431312=⋅⋅⋅==h r V 锥 ……………………10分（3）解法一：过Q 作AB QM ⊥,所以⊥QM 平面SAB , 再过M 作SB MP ⊥,连接PQ ,则SB PQ ⊥.所以MPQ ∠是二面角A SB Q --的平面角，所以=∠MPQ ，……………13分 令a MP 3=，则a MQ 6=，a MB 23=，所以030=∠MBQ ,所以AOQ ∠0602=∠=MBQ . ……………………16分 （解法二：建立空间直角坐标系，用向量法解题相应给分）21. (本题满分18分）本题共3小题，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分. 解答参考：（1）DA DB DC ==Q∴ D 在面ABC 内射影为正三角形ABC 的外心O∴ 线段DO 为所求距离 …………………………2分在RT DOA ∆中，6=DO …………………………4分（2）过E 作DO EH ⊥，经计算得2,32,6===OE OA DO ，由此得332=EH …………………………7分 所以DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体 的体积ππ9646)332(312=⋅=V ． …………………………10分（3）取AB 中点G ，连接OG ，以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则)6,0,0(D ，)0,0,32(-B ，)0,3,3(-C ， ……………12分 设)0,,(y x A ，则)0,3,33(-=，)6,,(y x --=， 所以26|3|cos y x +=θ …………………………14分在xoy 平面上，点A 的轨迹方程为1222=+y x ，令y x t +=3，则322||≤=t d ，所以34||0≤≤t ， 于是36cos 0≤≤θ,即cos θ∈ …………………………18分。