南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加卷
江苏省南京市2017-2018学年高三下学期三模数学试卷Word版含解析
2017-2018学年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知复数z=﹣1，其中i为虚数单位，则z的模为．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数0 1 2 3 4 ≥5概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是．3．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值．4．如图是一个算法流程图，则输出k的值是．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是．6．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．7．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2﹣=1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是．8．已知正六棱锥P﹣ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为．9．在△ABC中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则?的值为．10．记等差数列{a n}的前n项和为S n．若S k﹣1=8，S k=0，S k+1=﹣10，则正整数k= ．11．若将函数f（x）=|sin（ωx﹣）|（ω＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是．12．已知x，y为正实数，则+的最大值为．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C 相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为．14．已知a，t为正实数，函数f（x）=x2﹣2x+a，且对任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[﹣a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g（a），则函数g（a）的值域为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围．16．在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD=2BC，AB=PB，E为PA的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．17．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．（1）当θ=时，求点P距地面的高度PQ；（2）试确定θ的值，使得∠MPN取得最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：x=m+1与x轴的交点为B，BF2=m．（1）已知点（，1）在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A（﹣2，0）．①若椭圆C上存在点T，使得=，求椭圆C的离心率的取值范围；②当m=1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若=λ，=μ，求证：λ+μ为定值．19．已知函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．（1）令h（x）=f（x）+g（x），求证：h（x）是增函数；（2）直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l的条数，并说明理由．20．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项的和为S n，且对任意的m，n∈N*，都有（S m+n+S1）2=4a2m a2n．（1）求的值；（2）求证：{a n}为等比数列；（3）已知数列{c n}，{d n}满足|c n|=|d n|=a n，p（p≥3）是给定的正整数，数列{c n}，{d n}的前p项的和分别为T p，R p，且T p=R p，求证：对任意正整数k（1≤k≤p），c k=d k．选修4-1：几何证明选讲21．如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE?CD=BD?CE．选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，直线l：x﹣y+4=0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：x﹣y+2a=0．（1）求实数a的值；（2）求A2．选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，设圆C：ρ=4cosθ与直线l：θ=（ρ∈R）交于A，B两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知实数x，y满足x＞y，求证：2x+≥2y+3．七、解答题（共2小题，满分20分）25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=，AB=1，BD=PA=2．（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．26．已知集合A是集合P n={1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N*）的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f（n）．（1）求f（3），f（4）；（2）求f（n）（用含n的式子表示）．。
江苏南京市高三年级第三次模拟考试数学试题附含答案解析
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学2018.05注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2•答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题的答案写在答题纸.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.集合A= {x| x 2+ x —6 = 0} , B= {x| x 2- 4 = 0}，贝U AU B= ▲_ .2. 已知复数z 的共轭复数是—.若z（2 —i）= 5,其中i为虚数单位，则-的模为▲3. 某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在［50 , 60］元的学生人数为▲S^1I-1While I v 8S—S+ 2I —I + 3End WhilePrint S（第4题图）4. 根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为▲.5•已知A, B, C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为▲x —y —3< 0,6. 若实数x, y满足x + 2y—5> 0,则丫的取值范围为▲.xy —2< 0,7. 已知a,卩是两个不同的平面，I , m是两条不同的直线，有如下四个命题:①若I丄a, I丄卩，贝U a//®；②若I丄a, a丄卩，贝U l 〃卩；③若I // a , I丄卩，贝U a丄卩；④若I // a , a丄卩，贝U l丄卩.其中真命题为▲（填所有真命题的序号）2 2x y&在平面直角坐标系xOy中，若双曲线孑一b2= i（a>0, b>0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为▲9. 若等比数列｛a n｝的前n项和为S, n€N*,且a i=1, 9=33,贝U a?的值为▲2x + x + a, O w x w 2,10. 若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)= 则f(a+1)—6X+ 18, 2v x w3, 的值为▲.11. 在平面直角坐标系xOy中，圆M x + y —6x—4y+ 8= 0与x轴的两个交点分别为A, B, 其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N,过点A作直线l与圆M圆N分别交于C, D两点•若D为线段AC的中点，则直线I的方程为▲.12. 在△ ABC中, AB=3,AC=2, D为边BC上一点.若広B 忌=5,卞C 怎D= —£,则匚B -T A C3的值为▲.c b13. 若正数a, b, c成等差数列，则+ 的最小值为▲.2a + b a+ 2c -----------14. 已知a, b€ R, e为自然对数的底数.若存在b€ ［—3e,—ej，使得函数f （x）= e x—ax —b在［1 , 3］上存在零点，贝U a的取值范围为▲.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，锐角a ,卩的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P, Q已知点P的横坐标为卑7，点Q的纵坐标为3^43.(1 )求COS2 a的值；(2)求2 a — 3的值.（第15题图）16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥 P — ABC 中, PA= 6,其余棱长均为2, M 是棱PC 上的一点，D, E 分别 为棱AB BC 的中点.(1) 求证：平面PBCL 平面ABC (2) 若PD//平面AEM 求PM 的长.其中AC 为2百米，ACL BC / A 为n^.若在半圆弧駅，线段AQ 线段AB 上各建一个观赏亭D, E, F ,再修两条栈道 DE DF,使DE// AB DF// AC(1)试用B 表示BD 的长;18. (本小题满分16分)已知过点M | , 0)的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)试问x 轴上是否存在定点 N,使得_N A •"N B 为定值.若存在，求出点 N 的坐标; 若不存在，请说明理由19. (本小题满分16分)32已知函数 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0)，记 f' (x )为 f (x )的导函数. (1) 若f (x )的极大值为0,求实数a 的值；(2) 若函数g ( x ) = f ( x ) + 6x ,求g ( x )在［0,1］上取到最大值时 x 的值；a a +217.(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB AC 和以BC 为直径的半圆弧 ©C 组成,(2 )试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2 2x yC ：孑+ R = 1(a >b >0)经过点P (8 , |),离心率C(第17题图)(3)若关于x 的不等式f(x) >f' (x)在【2,亍］上有解，求满足条件的正整数a的集合.20. (本小题满分16分)若数列｛a n｝满足：对于任意n € N* , a n+ I a +1 - a n + 2|均为数列｛a n｝中的项，则称数列｛a n｝为“ T数列”.2(1)若数列｛a n｝的前n项和2n , n€ M，求证：数列｛a n｝为“ T数列”；(2)若公差为d的等差数列｛a n｝为“ T数列”，求d的取值范围；(3)若数列｛a n｝为“T数列”，a1= 1，且对于任意n€ N*，均有a・v a n+1 —a2< a n+1,求数列｛a n｝的通项公式.南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1 •附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3•答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题 的答案写在答•纸.上对应题目的答案空格内•考试结束后，交回答题纸.21. 【选做题】在 A 、B C 、D 四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4— 1:几何证明选讲1在厶ABC 中, AC = q AB M 为边 AB 上一点，△ AMC 勺外接圆交 BC 边于点N, BN= 2AM 求证：CM 是/ ACB 勺平分线.B. 选修4— 2:矩阵与变换1 2 2 0已知矩阵A 0 1 , B = 0 1 下得到直线I 1,求直线I 1的方程.C. 选修4— 4:坐标系与参数方程2018.05，若直线I : x — y + 2= 0在矩阵AB 对应的变换作用在极坐标系中，已知圆 C 经过点P (2, ~3),圆心C 为直线 sin( B —~3)= —寸3与极 轴的交点，求圆 C 的极坐标方程.D. 选修4— 5:不等式选讲已知 a , b, c € (0 ,+s )，且 a + b + c = 1,求.2a + b + 2b + c + , 2c + a 的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ： y 2= 2px (p >0)的焦点为F ,点A (1 , a ) ( a > 0) 是抛物线 C 上一点，且 AF = 2. (1 )求p 的值；(2 )若M N 为抛物线C 上异于A 的两点，且 AML AN 记点M N 到直线y =— 2的距离 分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值.23. (本小题满分10分)n € N*且 n 》2.(1) 若 f n (1) = 7g n (1)，求 n 的值；(2) 对于每一个给定的正整数 n ,求关于x 的方程f n ( x ) + g n (x ) = 0所有解的集合.n — 1 已知 f n (X )= E i = 1n — iA n x (x + 1)…(x + i—1)n rg n (x ) = A+ x (x +1)…(x + n — 1)，其中 x € R,6分又因为卩为锐角，所以cos 3 =鲁•8分(2)1 -1 =7•因为点Q 的纵坐标为善”，所以sin 3所以 COS2 a = 2cos 2 a3.*3 14 •南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：i •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1. { — 3, - 2, 2} 2 • 5 3• 1504• 7 5• 262] 7 • ①③ 8.5 9• 410 • 211 • x + 2y — 4 = 0 12 • — 31314 • [e 2, 4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 •（本小题满分14分）COS a2 •［忏证明过程或演算步骤,因为点P 的横坐标为台7 P 在单位圆上，a 为锐角,分18.（本小题满分16分）因为a 为锐角，所以0 V 2a Vn.严n又 COS2 a > 0,所以 0 V 2 aV —,n n n又3为锐角，所以一2 V 2 a — 3 V —，所以2 a — 3 =三•14分 16.(本小题满分14分)(1)证明：如图1,连结PE因为△ PBC 勺边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PEL BC......................... 2分且 PE = )3,同理 AE= '3.因为PA={6,所以PE + A E = PA ，所以PE L AE ……4分因为 PEI BC PEI AE, B8 AE= E , AE BC 平面 ABC 所以PE 丄平面ABC因为PE 平面PBC 所以平面PBC L 平面ABC (2)解法一如图1，连接CD 交AE 于 O 连接OM因为PD//平面AEM PD 平面PDC 平面 AEI W 平面PDC= OM 所以PD// OM....................... 9分PM DO所以PC = DC................ 11分因为D, E 分别为AB BC 的中点，Cm AE= QDO 1所以O 为 ABC 重心，所以Dc = 3,1 2所以 PM= 3PO 3. ................... 14 分解法二如图2，取BE 的中点N,连接PN因为D, N 分别为AB BE 的中点， 所以DN// AE因为 a 为锐角，所以Sin a因此 sin2 a = 2sin 4护a COS a = 7所以 sin(2 a — 3 )X-壬=137 142 '-10分 12分COS a= 且 7，(图1)B又DN 平面AEM AE 平面AEM所以DN//平面AEM又因为PD/平面AEM DN 平面PDN PD平面PDN DNH PD= D,所以平面PD/平面AEM .....................................又因为平面AEM P平面PBC= ME平面PDN T平面PBC= PNPM NE所以ME/ PN所以PC= NC ........... 11分因为E, N分别为BC BE的中点，NE 1 1 2所以3,所以PM= 3卩°= 3 - ............. 14分17.（本小题满分14分）解：（1）连结DCn在厶ABC中, AC为2百米，ACL BC / A为-,3所以/ CBA=-6 , AB= 4 , BC= 2 3. ................ 2 分一n t所以DF= 4cos 0 si n(石 +0)，......................... 6 分且BF= 4cos20 ,所以DE= AF=4- 4cos20 , ....... 8 分所以DE+ DF= 4 —4cos20 + 4 cos 0 sin(才 + 0 )= . 3sin2 0 —cos2 0 + 3n=2 sin(2 0 —~) + 3.n n n所以当20弋=n ,即0=§时，DHDF有最大值5,此时E与c重合 (13)n因为BC为直径，所以/ BDC= y ,所以BD = BC cos 0 cos 0 . ............ 4分所以—sin( DFn0+石)BFnsin( — - 0 )BDsin / BFD12分n n 因为~3 w 0 <_2，n 5 n 6 < "6(2)在厶BDF中，/ DBF= 0 +： , / BFD=才,BD- 2 3cos 0 ,精品文档答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大. 14分分18.（本小题满分16分）精品文档当I 斜率不存在时,2y ),氏5，—y )，则 y 2= 1 2 2(5)24 25则-N A H NB = (5— n )「—y =(5— n )224 2 4 425=n — 5n —5,当 I 经过左？右顶点时， "N A "N B = ( — 2 — n )(2 — n ) = n — 4. 2 44 2令 n — n — = n — 4，得 n = 4.F 面证明当N 为(4 , 0)时，对斜率为k 的直线I : y = k (x —弓,恒有~NA5 =12.设 A (X i , y i ) , B (X 2, y 2),2X 2 ’4+y =1， 由 2 消去y = k (X —-),516 2 16 y ，得(4k + 1) X — kx + k — 4= 0, 52 516 2k5所以刘+X 2= 4k 77，16 / k — 4 25 X 1X 2 =4k + 1 '10分所以 NA NB = (X 1 — 4)( X 2— 4) + yy,22 2=(X 1 — 4)( X 2 — 4) + k (X 1— 5)( X 2—5)2 2 2=(k + 1)X 1X 2— (4 + k )( X 1' X 2) + 16+ k5 2512分16 2 , 16 2k — 4 k2 25 2 2 5 4 2=(k + 1) 2 — (4 + — k ) 2 + 16+ k(2)解法设 N (n , 0),解("离心率e =|=乎，所以c =a 2- c 2= 2a ,所以椭圆 2X"2'C 的方程为4b 因为椭圆c 经过点只5, 3「 16 9 5)，所以 25b 2'25bb 21.精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分,"2 八，16.2 八 16.2,, 2 2 4"2,,"2 八(k + 1)( 25k — 4) — —k (4 + 5k ) + 25k (4k + 1)4k 2+ 116 2 k 5 所以 X 1 + X 2 = ,4k + 1tt 22 2所以 NA NB = (X 3— n )( x 4— n ) + y 5y 2= (X 1 — n )( x 2— n ) + k (X 1 — 5)(x 2 — #162k一 422 2 5 24 2 =(k + 1)2— (n + - k ) 2 + n + k 4k + 1 ' 5 74k +125(k 2+ 1)(歎—4) — 16k 2( n + |k 2) + 加4 k 2 +1)2 4k 2+ 1+ nk 2 — 416 16 2 2则(—fn — f)k — 4 = 4入k +入对任意的实数k 恒成立, 5 52 , 16 16 2k — 4( — n — )k — 45 5 --- 为常数，设2=入，入为所以在 解法设Nn , .2—16k — 4 4k 2 + 1卜16=12.x 轴上存在定点 N (4 , 0), 使得 NA NB 为定值. 16分0)，当直线I 斜率存在时, 2:y = k (x —5)，y i )，B (x 2，y 2)，设 A (X 1, 2X -4 + y =1， 由 2消去 y = k (X —-),5y ， 得(4 k 22 + 1)x + 咏—4= 0,5 254k + 1卜n 2.12分’ 16 16、T T(—尹 R若NA NB 为常数，则 2—4k +1常数,卜16^k 2— 4 25X1X2=4k 2 + 1，2=(k + 1)X 1X 2— ( n +X 1 + X 2) + n 2+ 25 k 225精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分16 16—l n — = 4 入, 所以 5 5 '所以n = 4,入=—4,由 a n v a n% — a 2 v a n + 1 ,得 1 + (n — 1)t v t [2 + (2n — 1) t ] v 1 12分所以"N A ~NB = (2-4)2-y 2= (|- 4)2 - 25= 12,所以在x 轴上存在定点 N 4 , 0)，使得_NA ~NB 为定值. .................. 16分19.(本小题满分16分)32解：(1)因为 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0),所以 f' (x ) = 6x 2— 6ax = 6x ( x — a ). 令 f (x ) = 0，得 x = 0 或 a ................... 2分当 x € ( —a, 0)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增； 当 x € (0 , a )时，f' (x ) v 0, f ( x )单调递减； 当 x € (a ,+^)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增.2故 f ( x )极大值=f (0) = 3a — 2 = 0,解得 a = 3................... 4 分32(2) g ( x ) = f ( x ) + 6x = 2x — 3ax + 6x + 3a — 2 (a > 0),22则 g '(x ) = 6x — 6ax + 6= 6(x — ax + 1) , x € [0 , 1].2① 当 0v a w 2 时，△= 36( a — 4) < 0,所以g '(x ) > 0恒成立，g ( x )在[0 , 1]上单调递增， 贝U g ( x )取得最大值时x 的值为1....................... 6分a 2② 当 a >2 时，g '(x )的对称轴 x = 2> 1，且△= 36( a — 4) >0, g ' (1) = 6(2 — a )v 0, g ' (0) = 6> 0,所以g '(x )在(0 , 1)上存在唯一零点当 x € (0 , x o )时，g '(x ) > 0, g ( x )单调递增, 当 x € (x °, 1)时，g '(x ) v 0, g ( x )单调递减,综上，当0v a w 2时，g ( x )取得最大值时x 的值为1;a —寸 a 2— 4 当a >2时，g ( x )取得最大值时x 的值为 2....... 9分32(3) 设 h ( x ) = f ( x ) — f ' ( x) = 2x — 3( a + 2) x + 6ax + 3a — 2,a a + 2则h ( x ) > 0在Q —厂]有解......... 10分2 ,2 a + 2 2 a + 4h '(x ) = 6[x — (a + 2)x + a ] = 6[( x —^) —p],a a + 2 a 3 2因为h '(x )在g , ~^)上单调递减，所以 h '(x ) v h'Q = — ?a v 0,a a + 2、所以h ( x )在(2，—厂)上单调递减,当直线l 斜率不存在时, A (2, y ), B (|,- y )，则 y 2= 1X o =a — a — 42则g ( x )取得最大值时 x 的值为X 0 =a3 2所 以 h (2 )> 0, 即 a -3a - 6a + 4............................................ 12分3 2 2设 t ( a ) = a - 3a - 6a + 4 (a > 0),贝U t ' ( a ) = 3a - 6a -6, 当 a c (0 , 1 +、2) 时，t ' ( a ) v 0, t ( a )单调递减； 当 a c (1 + ,2,+s )时，t ' ( a ) >0, t (a )单调递增.因为 t (0) = 4 > 0 , t (1) =- 4 v 0,所以 t ( a )存在一个零点m C (0....... 14分因为 t (4) =-4 v 0, t (5) = 24 > 0，所以 t ( a )存在一个零点 n C (4 , 5), 所以t ( a ) w 0的解集为[m , n ],故满足条件的正整数 a 的集合为｛1 , 2, 3 , 4｝ ................. 16分(本小题满分16分)2 2(1 )当 n 》2 时，a n = S — S-1= 2n —2(n — 1) = 4n — 2,又 a 1= S= 2 = 4x 1-2，所以 a n = 4n — 2............. 2分所以 a n + | a n +1 — a n +2| = 4n — 2+ 4 = 4( n + 1) — 2 为数列｛a n ｝的第 n + 1 项， 因此数列｛a n ｝为“ T 数列”. .......... 4分(2)因为数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，所以 a n + | a n +1- a n +2| = a 1+ (n - 1) d +1 d | . 因为数列｛a n ｝为“T 数列”，所以任意 n C N*，存在 m€ N*，使得 a + ( n - 1) d + | d | = a m ,即有(m- n ) d 6分① 若 d >0,则存在 m = n + 1 C N*，使得(n — n ) d = | d | , ② 若 d v 0,则 m= n - 1.此时，当n = 1时，m= 0不为正整数，所以 d v 0不符合题意.综上，d >0...................... 8分(3 ) 因为 a n v a n + 1, 所以 a n + | a n + 1- a n + 2| = a n + a n +2 — a n + 1 .又因为 a n v a n + a n + 2— a n + 1 = a n + 2— (a n +1 — a n ) v a n + 2,且数列｛ a n ｝为“ T 数列”， 所以 a n + a n + 2— a n + 1= a n + 1, 即卩 a n + a n + 2= 2a n + 1 , 所以数列｛a n ｝为等差数列.......... 10分设数列｛a n ｝的公差为t (t >0)，则有a n = 1 + (n - 1)t ,0.1),20. 解: |d |nt ,整理得n(2t2—t) >t2-3t + 1, ①n(t —2t ) >2t —t —1.②22 t —3t + 1若2t —t v 0,取正整数N> 2t2 t，2 2 2则当n> N0时，n(2t —t) v (2 t —t) N0v t —3t +1，与①式对于任意n€ N*恒成立相矛盾，因此2t —t >0.同样根据②式可得t —2t2> 0,2 1所以2t —t = 0•又t >0,所以t = 21经检验当t = 2时，①②两式对于任意n € M恒成立，1所以数列｛a n｝的通项公式为a n = 1 + 2 (n —1)=n+ 1......................................... 16分2 -由a n v a n% —a2v a n + 1,得1 + (n —1)t v t [2 + (2n —1) t] v 112分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.05说明：1 •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.21 •【选做题】在A、B C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4—1:几何证明选讲证明：连结MN则/ BMN=Z BCA ........ 2分又/ MBI4Z CBA 因此△MB MA CBA .......... 4分AB BN所以AB T M N• .............................. 6分1 BN又因为AC T尹3所以M N T 2, 即卩BI T 2MN .......... 8分又因为BN= 2AM所以AM= MN所以CM是/ ACB勺平分线. ...... 10分B. 选修4—2:矩阵与变换12 2 022解：因为A= ,B= ，所以AB=........ 4分010 101设点P D(X0,y°）是l上任意 -点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(X, y)因为P D(X0,y0）在直线l : x-y + 2= 0 上, 所以X0-y°+ 2 = 0 •①X0x 22X0 X由AI B = ，即c1y。
南京市2018届高三年级学情调研数学附加卷
南京市2018届高三年级学情调研卷 数学附加题 2017.09 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ， DA ＝DC ．求证： CA ＝3CB ．B ．选修4—2：矩阵与变换设二阶矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1234． （1）求A －1；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C '：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t ，y ＝t（t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋cos θ，y ＝2a ＋sin θ（θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．（第21A 题）D ．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD ＝1．（1）若直线PB 与CD 所成角的大小为π3，求BC 的长； （2）求二面角B －PD －A 的余弦值．23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望． C D PB A （第22题）。
优质金卷：江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
1．【解析】分析:先化简集合A,B,再求得解.详解：由题得，，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查集合的化简和并集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)求集合的并集时，相同的元素只能写一次，所以不能写成，这违背了集合元素的互异性.点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模,意在考查学生对复数基础知识的掌握能力及基本的运算能力. (2)复数的共轭复数为.3．【解析】分析：由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数．详解：由频率分布直方图，得：每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为500×0.3=150．故答案为：150点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.4．【解析】分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．详解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7点睛：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键．点睛：（1）本题主要考查排列组合的知识，考查古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)相邻的问题一般利用捆绑法，先把A和B捆绑在一起，有种捆法，再把捆绑在一起的A和B看成一个整体，和第三个人排列有种排法，共有=4种方法.6．【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点O连线的斜率求解．详解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．的几何意义为可行域内的动点与定点O连线的斜率，∴k OA=2．由解得B（）.∴k OB=．∴则的取值范围是[，2]．故答案为：[，2]点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合思想方法.(2)表示两点所在直线的斜率，要记住这个差之比的结构表示的是两点所在直线的斜率.7．①③【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.8．【解析】分析：由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．详解：∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长，∴=2a，∴b=2a，∴e=．故答案为：点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质、离心率，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)求双曲线的离心率一般方法是根据已知找关于离心率的方程，所以在求离心率时，要想方设法找到方程.9．【解析】分析：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化简再利用通项公式即可得出．详解：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化为：q3+1=3，即q3=2，∴a7=q6=4．故答案为：4点睛：(1)本题主要考查等比数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（2）等比数列的前n项和，所以在利用等比数列前n项和公式计算时，一般都要就和分类讨论,否则容易出错.点睛：本题主要考查函数的周期性和分段函数求值，意在考查对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.11．【解析】分析：设直线l：y=k(x-4).先求出,,再根据求出k的值得解. 详解：由题得圆M的方程为：令y=0得或x=4,所以A(4，0),B(2，0).则圆N的方程为：因为(3)解（1）（2）（3）得k=.所以直线l的方程为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查直线的方程，直线与圆的位置关系,要在考查学生对这些基础知识的掌握能力、基本的运算能力和分析推理能力. (2)涉及直线与曲线的问题，经常要联立直线与曲线的方程得到韦达定理，这是一个常规的方法技巧，大家要理解掌握并灵活运用.12．【解析】分析：先建立直角坐标系，设C(2cosa,2sina),D(x,y),再求出x和cosa,最后求的值.详解：建立如下的直角坐标系,所以所以=故答案为：-3点睛：(1)本题主要考查平面向量的数量积和坐标运算、坐标法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. （2）本题的关键有两个，其一是要想到坐标法分析解答，设C(2cosa,2sina),D(x,y),其二是要善于从已知里找到方程求出x和cosa的值.13．【解析】分析：先利用2b=a+c消掉b得到,再令5a+c=x,2a+c=y，消去a,c，利用基本不等式求最小值.详解：因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以令5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当时取等号.故答案为：点睛：本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的关键是得到后，要想到转化，令5a+c=x,2a+c=y，则所以，把关于a，c的转化成关于新变量x,y的最值问题.转化是高中数学最普遍的数学思想，要灵活运用.14．【解析】分析：先转化为存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a的最大值和最小值得解.当直线y=ax+b过点且与相切时，最小，设切点为，则切线方程为，此时所以a的最小值为所以的取值范围为.故答案为：点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a的最大值和最小值.15．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出cosα＝，再利用二倍角公式求的值.(2)先求出sinβ＝，cosβ＝，再利用差角的正弦求sin(2α－β)的值，最后求的值.详解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．16．（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）先证明PE ⊥平面ABC，再证明平面平面.(2) 连接CD交AE于O，连接OM，先证明PD∥OM，再利用相似求出的长．详解：（1）证明：如图，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，所以PE⊥BC，且PE＝，同理AE＝．因为PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC ⊂平面ABC，所以PE ⊥平面ABC．因为PE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．所以PM＝PC＝．点睛：（1）本题主要考查面面垂直的证明和线面平行的性质定理，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. (2)对平面的转化是本题的关键，由线面平行得到线线平行PD∥OM，首先必须找到一个平面经过直线PD，且这个平面和平面AEM相交，再找到这两个平面的交线OM，对这个性质定理，学生要理解掌握并灵活运用.17．（1）；（2）与重合.【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF＝4cosθsin(＋θ)，再求出DE＝AF=4－4，再利用三角函数求DE＋DF的最大值.（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝cosθ，所以，所以DF＝4cosθsin(＋θ)，且BF＝4，所以DE＝AF=4－4，所以DE＋DF＝4－4＋4 sin(＋θ)= sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3．因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法. (2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DE＋DF sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3，再根据≤θ＜，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.18．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆C的方程. (2) 设N(n，0)，先讨论l斜率不存在的情况得到n=4,再证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．（2）设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，则＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－，当l经过左､右顶点时，＝(－2－n)(2－n)＝n2－4．令n2－n－＝n2－4，得n＝4．下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(4k2＋1)x2－k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－)＝(k2＋1)x1x2－(4＋k2)(x1＋x2)＋16＋k2＝(k2＋1) －(4＋k2) ＋16＋k2＝＋16＝12．所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得为定值．点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程和直线和椭圆的位置关系，考查向量的数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力基本计算能力. (2)对于定点定值问题，可以通过特殊情况先探究，再进行一般性的证明.本题就是这样探究的.先通过讨论l斜率不存在的情况得到n=4,=12，再证明斜率存在时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．19．（1）；（2）时，；时，；（3）.【解析】分析：（1）利用导数求函数的极大值，再解方程f (x)极大值＝0得到a的值. (2)利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值. (3) 设h (x)＝f(x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，先把问题转化为h (x)≥0在有解，再研究函数h(x)的图像性质分析出正整数a的集合.当x∈(a，＋∞)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增．故f (x)极大值＝f (0)＝3a－2＝0，解得a＝．（2）g (x)＝f (x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2（a＞0），则g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0，1]．①当0＜a≤2时，△＝36(a2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上单调递增，则g (x)取得最大值时x的值为1．②当a＞2时，g′(x)的对称轴x＝＞1，且△＝36(a2－4)＞0，g′(1)＝6(2－a)＜0，g′(0)＝6＞0，所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x0＝．当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g (x)单调递增，当x∈(x0，1)时，g′(x)＜0，g (x)单调递减，则g (x)取得最大值时x的值为x0＝．综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为．所以h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，当a∈(0，1＋)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；当a∈(1＋，＋∞)时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，所以t (a)≤0的解集为[m，n]，故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值、最值和利用导数研究不等式有解问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力运算能力.(2)本题的难点在解不等式h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．这里由于是高次不等式解答不了，所以要构造函数t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），通过函数的图像性质得到不等式的解.这是一种解题技巧.20．（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】分析：（1）先利用项和公式计算出a n＝4n－2，再利用“数列”证明.(2)利用“数列”的性质求的取值范围.(3)先证明数列{a n}为等差数列，再转化a n＜a－a＜a n＋1，再转化为n(2t2－t)＞t2－3t ＋1，n(t－2t2)＞2t－t2－1，分析得到公差t＝，求出数列的通项公式.（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．因为数列{a n}为“T 数列”，所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝a m，即有(m－n) d＝|d|．①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，②若d＜0，则m＝n－1．此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．综上，d≥0．（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，所以数列{a n}为等差数列．设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，由a n＜a－a＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①n(t－2t2)＞2t－t2－1．②若2t2－t＜0，取正整数N0＞，则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，因此2t2－t≥0．同样根据②式可得t－2t2≥0，所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋ (n－1)＝．点睛：（1）本题主要考查等差数列，考查新定义“T数列”，考查学生理解新定义及利用新定义解题的能力，考查学生分析推理能力. (2)本题的难点在第（3）问，得到n(2t2－t)＞t2－3t＋1，① ，n(t－2t2)＞2t －t2－1，② 后如何得到公差t的值，这里作为恒成立问题来探究t的值.21．证明见解析.点睛：本题主要考查几何证明选讲等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力. 22．.【解析】分析：先求出AB＝，再设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)，再求直线的方程．详解：因为A＝，B＝，所以AB＝．设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)．因为P0(x0，y0)在直线l: x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0．①由AB，即，得, 即,②将②代入①得x－4y＋4＝0，所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0．点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.23．.【解析】分析：先求出点P的直角坐标，再求出直线与极轴的交点C(2，0)，再求出圆C 的半径PC＝2，最后求圆的极坐标方程．点睛：本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本计算能力.24．.【解析】分析：利用柯西不等式求的最大值.详解：因为(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，即(＋＋)2≤9(a＋b＋c)．因为a＋b＋c＝1，所以(＋＋)2≤9，所以＋＋≤3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋的最大值为3.点睛：本题主要考查利用柯西不等式求最大值，利用柯西不等式求最值时，先要把式子配成柯西不等式的形式，(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，再利用柯西不等式.25．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用抛物线的定义求p的值.(2)先求出a的值，再联立直线的方程和抛物线的方程得到韦达定理，再求|(y1＋2) (y2＋2)|的值.详解：（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，所以＋1＝2，所以p＝2.点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义及简单几何性质，考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)本题的关键是看到d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|要联想到韦达定理,再利用韦达定理解答. 26．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用已知化简，解得n=15.（2）首先归纳猜想猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，再证明猜想，最后得到对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．详解：（1）因为f n(x)＝x(x＋1)…(x＋i－1)，所以f n(1)＝×1×…×i＝＝(n－1)×n!，g n(1)＝＋1×2×…×n＝2×n!，所以(n－1)×n!＝14×n!，解得n＝15．（2）因为f2(x)＋g2(x)＝2x＋2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)，f3(x)＋g3(x)＝6x＋3x(x＋1)＋6＋x(x＋1)(x＋2)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．面用数学归纳法证明：当n＝2时，命题成立；假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k)，＝(k+1)(x＋1)(x＋2)…(x＋k)＋x(x＋1)…(x＋k)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，即n＝k＋1时命题也成立．因此任意n∈N*且n≥2，有f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．点睛：(1)本题主要考查排列组合的运算，考查求和，考查数学归纳法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2)在利用数学归纳法证明时，必须要利用到前面的归纳假设f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x ＋2)…(x＋k)，否则就不是数学归纳法,为了利用这个假设，后面的f k＋1(x)＋g k＋1(x)必须分解出f k(x)＋g k(x)，f k＋1(x)＋g k＋1(x)=(k+1)[ f k(x)＋g k(x)]＋x(x＋1)…(x＋k).。
江苏省南京市高三数学第三次模拟考试试题(2021年整理)
其中 A 在 B 的右侧，以 AB 为直径的圆记为圆 N，过点 A 作直线 l 与圆 M，圆 N 分别交于
C,D 两点．若 D 为线段 AC 的中点，则直线 l 的方程为错误!．
12．在△ABC 中，AB=3,AC=2，D 为边 BC 上一点．若错误!·错误!＝5， 错误!·错误!＝－错误!,则
错误!·错误!的值为错误!． 13．若正数 a，b，c 成等差数列，则错误!＋错误!的最小值为错误!． 14．已知 a，b∈R，e 为自然对数的底数．若存在 b∈［－3e,－e2]，使得函数 f （x）＝ex－
③若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β； ④若 l∥α，α⊥β,则 l⊥β．
其中真命题为错误!(填所有真命题的序号）．
8．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线xa22－错误!＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线
的距离为 2a，则该双曲线的离心率为错误!．
9．若等比数列｛an｝的前 n 项和为 Sn,n∈N*，且 a1=1，S6=3S3，则 a7 的值为错误!． 10．若 f(x）是定义在 R 上的周期为 3 的函数,且 f(x）＝错误!则 f(a+1）的值为错误!． 11．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0 与 x 轴的两个交点分别为 A，B，
C．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P（2,π3 )，圆心 C 为直线 rsin(θ－π3 )＝－ 3与极轴的 交点，求圆 C 的极坐标方程．
D．选修 4—5：不等式选讲
已知 a，b，c∈（0，＋∞），且 a＋b＋c＝1,求错误!＋错误!＋错误!的最大值． 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应 写出
南京三模(十四)数学答案整理后
2018届南京高三年级第三次模拟考试(十四)数学参考答案1. {－3，－2，2}2. 53. 1504. 75. 236. ⎣⎡⎦⎤211，27. ①③8. 59. 4 10. 211. x ＋2y －4＝0 12. －3 13. 25914. [e 2，4e ] 15. 解：(1) 因为点P 的横坐标为277，点P 在单位圆上，α为锐角， 所以cos α＝277，(2分) 所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17.(4分) (2) 因为点Q 的纵坐标为3314， 所以sin β＝3314.(6分) 因为β为锐角，所以cos β＝1314.(8分) 因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，(10分) 所以sin (2α－β)＝437×1314－17×3314＝32.(12分) 因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜π2. 又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2， 所以2α－β＝π3.(14分) 16. 解：(1) 如图，连结PE.因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点，所以PE ⊥BC ，(2分)且PE ＝3，同理AE ＝ 3.因为PA ＝6，所以PE 2＋AE 2＝PA 2，所以PE ⊥AE.(4分)因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC.因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(7分)(2) 如图，连结CD 交AE 于点O ，连结OM.因为PD ∥平面AEM ，PD ⊂平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，所以PD ∥OM ，(9分)所以PM PC ＝DO DC.(11分) 因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ，所以O 为△ABC 的重心，所以DO DC ＝13， 所以PM ＝13PC ＝23.(14分) 17. 解：(1) 连结DC.在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，A 为π3， 所以∠CBA ＝π6，AB ＝4(百米)，BC ＝23(百米)．(2分) 因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2， 所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ(百米)．(4分)(2) 在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ， 所以DF sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝BF sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝BD sin π3， 所以DF ＝4cos θsin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ，(6分) 且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF ＝4－4cos 2θ，(8分)所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4cos θsin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝3sin 2θ－cos 2θ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋3.(12分)因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6， 所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时点E 与点C 重合．(13分) 故当点E 与点C 重合时，两条栈道长度之和最大．(14分)18. 解：(1) 因为离心率e ＝c a ＝32， 所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ，(2分)所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1. 因为椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫85，35，所以1625b 2＋925b 2＝1， 所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(4分) (2) 设N(n ，0)，当l 斜率不存在时，A ⎝⎛⎭⎫25，y ，B ⎝⎛⎭⎫25，－y ，则y 2＝1－⎝⎛⎭⎫2524＝2425， 则NA →·NB →＝⎝⎛⎭⎫25－n 2－y 2＝⎝⎛⎭⎫25－n 2－2425＝n 2－45n －45，(6分) 当l 经过左、右顶点时，NA →·NB →＝(－2－n)(2－n)＝n 2－4.令n 2－45n －45＝n 2－4，解得n ＝4.(8分) 下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －25，恒有NA →·NB →＝n 2－4＝12. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －25，消去y ， 得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1，(10分) 所以NA →·NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2⎝⎛⎫x 1－25⎝⎛⎭⎫x 2－25 ＝(k 2＋1)x 1x 2－⎝⎛⎭⎫4＋25k 2(x 1＋x 2)＋16＋425k 2(12分) ＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－⎝⎛⎭⎫4＋25k 2165k 24k 2＋1＋16＋425k 2 ＝（k 2＋1）⎝⎛⎭⎫1625k 2－4－165k 2⎝⎛⎭⎫4＋25k 2＋4k 2＋1425k 2（4k 2＋1）4k 2＋1＋16 ＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12， 所以在x 轴上存在定点N(4，0)，使得NA →·NB →为定值．(16分)19. 解：(1) 因为f(x)＝2x 3－3ax 2＋3a －2(a ＞0)，所以f′(x)＝6x 2－6ax ＝6x(x －a)．令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝a.(2分)当x ∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增；当x ∈(0，a)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．故f(x)极大值＝f(0)＝3a －2＝0，解得a ＝23.(4分) (2) g(x)＝f(x)＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2(a ＞0)，则g′(x)＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，Δ＝36(a 2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g(x)在[0，1]上单调递增，所以当g(x)取得最大值时x 的值为1. (6分)②当a ＞2时，g ′(x)的对称轴x ＝a 2＞1，且Δ＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a)＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42. 当x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＞0，g(x)单调递增；当x ∈(x 0，1)时，g ′(x)＜0，g(x)单调递减，则g(x)取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42.(8分) 综上，当0＜a ≤2时，g(x)取得最大值时x 的值为1；当a ＞2时，g(x)取得最大值时x 的值为a －a 2－42.(9分) (3) 设h(x)＝f(x)－f′(x)＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，则h(x)≥0在⎣⎡⎦⎤a 2，a ＋22上有解．(10分) h ′(x)＝6[x 2－(a ＋2)x ＋a]＝6⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －a ＋222－a 2＋44. 因为h′(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋22上单调递减， 所以h′(x)＜h′⎝⎛⎭⎫a 2＝－32a 2＜0， 所以h(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋22上单调递减，所以h ⎝⎛⎭⎫a 2≥0，即a 3－3a 2－6a ＋4≤0. (12分) 设t(a)＝a 3－3a 2－6a ＋4(a ＞0)，则t′(a)＝3a 2－6a －6，当a ∈(0，1＋3)时，t ′(a)＜0，t(a)单调递减；当a ∈(1＋3，＋∞)时，t ′(a)＞0，t(a)单调递增．因为t(0)＝4＞0，t(1)＝－4＜0，所以t(a)存在一个零点m ∈(0，1)，(14分)因为t(4)＝－4＜0，t(5)＝24＞0，所以t(a)存在一个零点n ∈(4，5)，所以t(a)≤0的解集为[m ，n]，故满足条件的正整数a 的集合为{1，2，3，4}．(16分)20. 解：(1) 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2.又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2，(2分)所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，所以数列{a n }为“T 数列”．(4分)(2) 因为数列{a n }是公差为d 的等差数列，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1)d ＋|d|.因为数列{a n }为“T 数列”，所以对于任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1)d ＋|d |＝a m ，即有(m －n )d ＝|d |.(6分) ①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n )d ＝|d |；②若d ＜0，则m ＝n －1，此时，当n ＝1时，m ＝0，不为正整数，所以d ＜0不符合题意．综上所述，实数d 的取值范围是[0，＋∞)．(8分)(3) 因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1.因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”， 所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列．(10分)设数列{a n }的公差为t (t ＞0)，则a n ＝1＋(n －1)t .由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ，(12分)整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1, ①n (t －2t 2)＞2t －t 2－1. ②若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋12t 2－t ， 则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t )N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾， 因此2t 2－t ≥0.同理根据②式可得t －2t 2≥0，所以2t 2－t ＝0.又t ＞0，所以t ＝12. 经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12.(16分) 21. A. 证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA .(2分)又∠MBN ＝∠CBA ，所以△MBN ∽△CBA ，(4分)所以AB AC ＝BN MN.(6分) 因为AC ＝12AB ， 所以BN MN＝2，即BN ＝2MN .(8分) 因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，所以CM 是∠ACB 的平分线．(10分)B. 解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2201.(4分) 设P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，点P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到点P (x ，y )． 因为点P 0(x 0，y 0)在直线l ：x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0. ①由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2y 0＝x ，y 0＝y ，(6分) 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y .② 将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0.(10分)C. 解：在直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2. 所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)．(4分)因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π3， 所以圆C 的半径PC ＝22＋22－2×2×2×cos π3＝2，(6分) 所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ.(10分) D. 解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b )2＋(2b ＋c )2＋(2c ＋a )2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a )2，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9(a ＋b ＋c )．(4分)因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9，(6分) 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为3.(10分)22. 解：(1) 因为A(1，a)(a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2，所以p 2＋1＝2，所以p ＝2.(3分)(2) 由(1)得抛物线方程为y 2＝4x.因为A(1，a)(a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2.(4分)设直线AM 方程为x －1＝m(y －2)(m ≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝m （y －2），y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my ＋8m －4＝0， 即(y －2)(y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2.(6分)因为AM ⊥AN ，所以－1m 代替m ，得y 2＝－4m－2，(8分) 所以d 1d 2＝|(y 1＋2)(y 2＋2)|＝|4m ×⎝⎛⎭⎫－4m |＝16.(10分) 23. 解：(1) 因为f n (x)＝∑n －1i ＝1A n －i n x(x ＋1)…(x ＋i －1)， 所以f n (1)＝∑n －1i ＝1A n －i n ×1×…×i ＝∑n －1i ＝1n ！＝(n －1)×n ！，g n (1)＝A n n ＋1×2×…×n ＝2×n ！， 所以(n －1)×n ！＝14×n ！，解得n ＝15.(3分)(2) 因为f 2(x)＋g 2(x)＝2x ＋2＋x(x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，f 3(x)＋g 3(x)＝6x ＋3x(x ＋1)＋6＋x(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x)＋g n (x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)．(5分)下面用数学归纳法证明：当n ＝2时，命题成立；假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )．因为f k ＋1(x )＝∑k i ＝1A k ＋1－i k ＋1x(x ＋1)…(x ＋i －1) ＝∑k －1i ＝1(k ＋1)A k －i k x(x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1k ＋1x(x ＋1)…(x ＋k －1) ＝(k ＋1)f k (x)＋(k ＋1)x(x ＋1)…(x ＋k －1)，所以f k ＋1(x)＋g k ＋1(x)＝(k ＋1)f k (x)＋(k ＋1)x(x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k ＋1)[f k (x)＋x(x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k k ]＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k ＋1)[f k (x)＋g k (x)]＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k ＋1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k)＋x(x ＋1)·…·(x ＋k)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k)(x ＋k ＋1)，即当n ＝k ＋1时命题也成立．因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )．(9分)所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n }．(10分)。
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加卷
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2018.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在△ABC 中， AC ＝12AB ，M 为边AB 上一点，△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，BN ＝2AM ，求证：CM 是∠ACB 的平分线．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 0 1 ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0 0 1 ，若直线l : x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点P （2，π3），圆心C 为直线ρsin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值．A(第21A 题图)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2． （1）求p 的值；（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ⊥AN ．记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．23．(本小题满分10分) 已知f n (x )＝i ＝1∑n －1An －i n x (x ＋1)…(x ＋i －1)，g n (x )＝A nn ＋x (x ＋1)…(x ＋n －1)，其中x ∈R ，n ∈N *且n ≥2．（1）若f n (1)＝7g n (1)，求n 的值；（2）对于每一个给定的正整数n ，求关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合．(第22题图)。
江苏省南京市2018届高三考前模拟检测数学试题及答案详解
ABNMD C A 南京市2018届高三数学考前综合题一．填空题1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；②若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号）2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ．3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ．4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则daq的值是 ．6．已知函数f (x )＝－34x ＋1x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最大值是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝b 24相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是 ．9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN →＝ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB →，则r 的取值范围是 ．11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是 ．12．已知函数f (x )＝x 2－[k 2＋(2－a )k ＋4－a ]x ＋1，a ，k ∈R ．对于任意k ＞0有：任意x 1∈[－1，0]，任意x 2∈[k ，k ＋2]，f (x 1)≥f (x 2)成立，则a 的最大值是 ．13．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b 取最小值时，b 的值为 ．14．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ． 二．解答题15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f '(x )是f (x )的导函数．（1）求函数F (x )＝f (x )f '(x )＋3f 2(x )的最大值和最小正周期；（2）若f (x )＝2f '(x )，求sin(2x ＋π4)的值．16．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0． （1）求角B 的大小；（2）若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．17．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝3．求证：（1）P A ⊥平面PCD ；（2）求点C 到平面PBD 的距离．18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，相距2千米，∠BAC ＝30°．小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．（1）若v ＝12，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m ＜t )小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．PABCDABC岸边30°rr h19. 某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元. （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值.20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至100米的圆环面为第2区，…，50(n －1)米至50n 米的圆环面为第n 区，n ∈N *，n ≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n ＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n 区减少2%，n ∈N *．设第n 区火山灰的总重量为a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝64，以O 1(9，0)为圆心的圆记为圆O 1，已知圆O 1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21． （1）求圆O 1的标准方程；（2）求过点M (5，5)且与圆O 1相切的直线的方程；（3）已知直线l 与x 轴不垂直，且与圆O ，圆O 1都相交，记直线l 被圆O ，圆O 1截得的弦长分别为d ，d 1．若dd 1＝2，求证：直线l 过定点．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且两焦点F 1，F 2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l 1，l 2过右焦点F 2，且它们的斜率乘积为－12，设l 1，l 2分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D ．①求AB ＋CD 的值；②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求△OMN 面积的最大值．23．已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|，a∈R．（1）当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程；（2）当x∈[－1，1]时，求函数f(x)的最小值；（3）已知a＞0，且任意x≥1有f(x＋a)－f(1＋a)≥15a2ln x，求实数a的取值范围．24．已知函数f(x)＝x－x ln x，g(x)＝ax1＋x2，a∈R．（1）当a＞0时，求g(x)单调区间；（2）若a＝2，设0＜n＜m＜1，证明：f(m)＞g(n)；（3）证明：关于x的方程f(x)＝g(x)有唯一的实数解．25．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，则称数列{a n }具有性质P ． （1）若数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列{a n }是否具有性质P ； （2）若正项等差数列{b n }具有性质P ，求数列{b n }的公差；（3）已知正项数列{c n }具有性质P ，c 2＝3，且任意n ∈N *，有c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，求数列{c n }的通项公式．26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若数列{a n }为等差数列，求证：对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n；（2）若数列{a n }对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n ，求证：数列{a n }是等差数列．DCBA P三．理科附加题 27．在即将施行的新高考方案中，某科目可以每半年参加一次考试，然后取若干次考试的最高分作为最终成绩．某同学打算参加三次该科目考试，已知第一次考试达到优秀(得分大于或等于总分的80%)的概率为13，第二次考试达到优秀的概率为12，前两次考试相互独立，第三次考试受到前两次成绩的影响，如果前两次考试至少有一次达到优秀，则第三次考试达到优秀的概率为23，否则为12．（1）求该同学没能达到优秀的概率；（2）记该同学达到优秀的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及期望．28．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AB ＝23，BC ＝6． （1）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值；（2）若二面角P －BD －C 的大小为2π3，求AD 的长．29．已知在数列{a n}中，a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝4，且对于任意n∈N*有a n＋4＝a n＋3＋a n＋1＋a n．（1）求证：任意n∈N*，a2n＋1＝a2n＋a2n－1；（2）求证：任意n∈N*，a2n a2n＋2为整数．30．已知m∈N*，数列T：a1，a2，a3，…，a3m＋1满足如下条件：①a1，a2，a3，…，a3m＋1是1，2，3，…，3m＋1的一个全排列；②数列a1，a2，a3，…，a3m＋1的前n(1≤n≤3m＋1，n∈N*)项和S n均不能被3整除．（1）当m＝1时，写出所有符合条件的数列T；（2）写出满足条件的数列T的个数f (m)．南京市2018届高三数学考前综合题答案解析一．填空题1．【答案】④．【说明】考查基本的直线与直线，直线与平面，平面与平面基本位置关系的判断．2．【答案】2π3．【提示】因为f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成立，即3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝3sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ) 展开并整理得(3cos θ＋sin θ)sin x ＝0恒成立． 所以3cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－3，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3．【说明】本题考查函数的奇偶性，以及三角恒等变换，这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解． 3．【答案】2．【提示】由双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程y ＝±bax ，可得两条切线的斜率分别为±ba，则两条切线关于y 轴对称，则过抛物线C 1：x 2＝4y 焦点(0，1)的直线l 为y ＝1， 可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1，即a ＝b ，于是e ＝2．【说明】本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质，要能通过分析得到直线l 为y ＝1，这是本题的难点． 4．【答案】38．【提示】因为BD ＝2DC ，所以AD →＝13AB →＋23AC →由于AP →与AD →共线，设AP →＝mAD →，则⎩⎨⎧λ＝m3，μ＝2m 3，于是2λ＝μ，又2λ＋3μ＝1，解得λ＝18，μ＝14，所以λ＋μ＝38．【说明】本题考查平面向量表示，向量基本定理，共线定理以及三点共线的向量表示，本题可用基底法，也可通过坐标法解决．5．【答案】2【提示】S 2＝2a ，S 4＝a 1＋a 3＋a 2＋a 4＝2a ＋d ＋a ＋aq ＝3a ＋d ＋aq ， S 6＝a 1＋a 3＋a 5＋a 2＋a 4＋a 6＝3a ＋3d ＋a ＋aq ＋aq 2＝， 因为S 2：S 4：S 6＝1：3：6，所以(2a )：(3a ＋d ＋aq )：(4a ＋3d ＋aq ＋aq 2)＝1：3：6，即⎩⎨⎧d ＋aq ＝3a ，3d ＋aq ＋aq 2＝8a ，所以2aq －aq 2＝a ． 因为a ≠0，所以2q －q 2＝1即q ＝1， 所以d ＝2a ，从而daq＝2．【说明】本题考查等差、等比数列的基本量运算，需要学生有一定的运算能力． 6．【答案】2．【提示】设切线l 1，l 2的切点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＞x 2，因为f ′(x )＝－34－1x 2， 切线l 1，l 2平行，所以－34－1x 12＝－34－1x 22，因此有x 1＝－x 2＞0，切线l 1，l 2的方程分别为y ＝(－34－1x 12)x ＋2x 1，y ＝(－34－1x 22)x ＋2x 2，于是l 1，l 2之间的距离d ＝|2x 1－2x 2|(－34－1x 12)2＋1＝4x 1(－34－1x 12)2＋1＝42516x 12＋1x 12＋32≤452＋32＝2， 当且仅当x 1＝255时取等号，于是d 的最大值为2．【说明】本题考查导数的几何意义，基本不等式，解决问题时要有消元的意识．7．【答案】53．【提示】设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，OQ ，因为Q 为线段FP 中点，O 为线段F 1F 中点， 所以，PF 1＝b ，PF ＝2a －b ，又OQ ⊥PF ，所以PF 1⊥PF ，因此PF 12＋PF 2＝F 1F 2，所以b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，即b 2＋(2a －b )2＝4(a 2－b 2)，可得b a ＝23，所以e ＝53．【说明】本题考查椭圆的几何性质，要能运用几何特征简化运算，本题也可以设点求解． 8．【答案】[－223，223]．【提示】设x ＋2y ＝t ，则y ＝t －x2，代入x 2＋2xy ＋4y 2＝1得：x 2－tx ＋t 2－1＝0，则△＝t 2－4(t 2－1)≥0，解得－233≤t ≤233．【说明】注意利用方程有解，求参数的范围．这一方法在数列填空题中经常会用到，例如：已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，且S 2＋2，S 3＋4，S 4＋6成等比数列，则公差d 的最小值是 ．转化为关于a 1和d 的方程，看作关于a 1的方程有解，列出关于d 的不等式即可，答案－1．9．【答案】6．DCA【提示】设圆心为O ，则OM →·ON →＝2，OA →·OB →＝－4，于是AM →·BN →＝(OM →－OA →)·(ON →－OB →)＝OM →·ON →＋OA →·OB →－OA →·ON →－OB →·OM →＝2－4－OA →·ON →＋OA →·OM →＝－2－OA →·MN →＝－2＋12AB →·MN →＝1所以AB →·MN →＝6．【说明】本题考查的加减运算，数量积运算，体现了化归与转化的思想． 10．【答案】(2，32]．【提示】设B (x 0，y 0)，根据AP →＝2PB →，可得A (3－2x 0，3－2y 0)， 则有(1－2x 0)2＋(3－2y 0)2＝r 2，即(x 0－12)2＋(y 0－32)2＝r 24，又(x 0－2)2＋y 02＝r 2，故有r －r2≤(2－12)2＋(32)2≤r ＋r2，解得：2≤r ≤32，易知点P (1，1)在圆(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，所以r ＞2，从而r ∈(2，32]【说明】一般的解析几何中存在性问题，要能有轨迹思想的意识，把存在性问题转化为有解问题，注意几何与代数之间的相互转化． 11．【答案】4＋43．【提示】设△BCD 的面积为S ，则S ＝12×4³BC ×sin ∠BCD ＝2BC sin(∠ACD ＋π3)＝BC sin ∠ACD ＋3BC cos ∠ACD设∠ADC ＝α，则AC sin α＝2sin ∠ACD，于是AC sin ∠ACD ＝2sin α，即BC sin ∠ACD ＝2sin α，又BC cos ∠ACD ＝AC ×AC 2＋42－222AC ×4＝AC 2＋128＝22＋42－2³2³4cos α＋128＝4－2cos α，所以S ＝2sin α＋3(4－2cos α)＝4sin(α－π3)＋43，从而S 的最大值为4＋43，此时α＝5π6．【说明】本题考查正余弦定理及三角恒等变换，注意这类题容易设计成应用题，本题难点在如何选择变量建立函数． 12．【答案】22－1．【提示】由题意知：函数f (x )在区间[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在区间[k ，k ＋2]上的最大值． 结合函数f (x )的图像可知：对称轴x ＝k 2＋(2－a )k ＋4－a 2≥k ＋22，对任意k ＞0恒成立，ABNM即a ≤k 2＋k ＋2k ＋1，对任意k ＞0恒成立．因为k 2＋k ＋2k ＋1＝k ＋2k ＋1＝k ＋1＋2k ＋1－1≥22－1，当且仅当k ＝2－1时取等号，因此当k ＞0时，k 2＋k ＋2k ＋1的最小值为22－1，于是a ≤22－1，所以a 的最大值是22－1．【说明】本题的题意为：函数f (x )在[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在[k ，k ＋2]上的最大值．在这里不必去求最值，结合函数的图像，只要对称轴满足一定的条件即可． 13．【答案】ln3－13．【提示】在平面直角坐标系xOy 中，分别作出y ＝ln x 及y ＝a (x －2)＋b 的图像，不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，即直线y ＝a (x －2)＋b 恒在曲线y ＝ln x 的上方．a ＋b 最小，即直线y ＝a (x －2)＋b 与x ＝3交点的纵坐标最小．根据图像可知：a ＋b 的最小值为ln3，此时直线y ＝a (x －2)＋b 与曲线y ＝ln x 相切于点(3，ln3)，因此有：a ＝13，从而b ＝ln3－13．【说明】复杂的函数问题要善于数形相互转化，利用图像快速解决问题． 14．【答案】a ＞3518．【提示】易得f'(x )＝3x 2－a ．当a ≤0时，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意． 当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝±a 3， 易得函数f (x )在(－∞，－a 3)，(a3，＋∞)上单调递增，在(－a 3，a3)上单调递减， 在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知：当f (a3)＞0时，F (x )有且仅有一个零点；当f (a3)＝0时，F (x )有且仅有一个零点； 当f (a3)＜0时，要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者⎩⎨⎧f (23)≥0，a 3＜23，解得a ＞3518．【说明】本题考查函数的零点问题，应用数形结合，函数与方程的思想方法，分段函数的图象性质来解决两个函数取大后的零点问题．二．解答题 15．解：（1）因为f'(x )＝cos x －sin x ，所以F (x )＝f (x )f'(x )＋3f 2(x )＝cos 2x －sin 2x ＋3＋23sin x cos x＝3＋3sin2x ＋cos2x ＝3＋2sin(2x ＋π6)．所以当2x ＋π6＝π2＋2kπ，即x ＝π6＋kπ(k ∈Z )时，F (x )max ＝3＋2．函数F (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π．（2）因为f (x )＝2f'(x )，所以sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，即cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13．于是sin(2x ＋π4)＝22(sin2x ＋cos2x )＝22(2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x ＋cos 2x －sin 2x sin 2x ＋cos 2x)＝22(2tan x 1＋tan 2x ＋1－tan 2x 1＋tan 2x )＝22·2tan x ＋1－tan 2x1＋tan 2x＝22·2³13＋1－(13)21＋(13)2＝7210． 【说明】本题考查三角恒等变换以及三角函数的简单性质，注意公式和性质的熟练掌握．16．解：（1）因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0． 由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0，亦即2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，故cos B ＝－12．因为B ∈(0，π)，所以B ＝2π3．（2）由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，即12＝a 2＋c 2＋ac ．因为12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，所以ac ≤4，所以→AB ·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时取等号，所以→AB ·CB →的最小值为－2．【说明】本题考查三角恒等变换、向量数量积、正余弦定理．其中第二问要能利用基本不等式求最小值，也可以利用正弦定理建立函数，但过程复杂． 17． （1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ．又平面P AD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以CD ⊥平面P AD ．又AP ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AP ．因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，所以AD ＝2．因为AP ＝1，PD ＝3，所以AP 2＋PD 2＝AD 2，因此AP ⊥PD ．又CD ⊥AP ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以P A ⊥平面PCD ．（2） 解：设点C 到平面PBD 的距离为h ．由（1）知CD ⊥平面P AD ，因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD ． V 三棱锥B －PCD ＝13S △PCD ·P A ＝13³(12³2³3)³1＝33．因为AB ∥CD ，所以PD ⊥AB ．由（1）知AP ⊥PD ，又AP ∩AB ＝A ，AP ，AB ⊂平面APB ，所以PD ⊥平面APB ． 又PB ⊂平面APB ，所以PD ⊥PB ．因为底面ABCD 为正方形，且边长为2，所以BD ＝22，又PD ＝3，所以PB ＝5．PA BDrrh于是V 三棱锥C －PBD ＝13S △BPD ·h ＝13³(12³3³5)h ＝156h ．因为V 三棱锥B －PCD ＝V 三棱锥C －PBD ，所以156h ＝33，解得h ＝255．即点C 到平面PBD 的距离为255．【说明】考查直线与平面位置关系的判断；考查空间几何体体积的计算，点到平面距离的计算． 18．解：（1）设运动员游泳速度为x 千米/小时，由题意可知(xt )2＝22＋(12t )2－2×2×12t cos30°，整理得x 2＝4t 2－243t ＋144＝(2t －63)2＋36.由于0＜t ≤14，所以2t≥8，所以，当2t ＝63即t ＝39时，x 2取得最小值36，即x 最小值为6.答：运动员游泳速度的最小值为6千米/小时. （2）由题意知[8(t －m )]2＝(16m )2＋(vt )2－2×16m ×vt cos30°，两边同除以t 2得：192(m t )2＋(128－163v )mt ＋v 2－64＝0设mt＝k ，0＜k ＜1， 则有192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0，其中k ∈(0，1)，即关于k 的方程192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0在(0，1)上有解， 则必有△＝(128－163v )2－4³192×(v 2－64)≥0， 解得0＜v ≤1633，当v ＝1633时，可得k ＝13∈(0，1)，因此v 为最大值为1633.答：小船的最大速度为1633千米/小时.【说明】本题利用余弦定理解决简单的三角形问题，其中第二问，需要注意的是：要能利用方程有解，求参数的最值． 19.解：（1）由题意知πr 2h ＋12×43πr 3＝64π3，故h ＝23(32r 2－r )，由于h ≥2r ，因此23(32r2－r )≥2r ，解得0＜r ≤2，所以建造费y ＝2πr 2c ＋(2πrh ＋πr 2)³3＝π(2c －1)r 2＋128πr ，定义域为(0，2].（2）由（1）得y ′＝2π(2c －1)(r 3－642c －1)r 2，当642c －1≥8即3＜c ≤92时，y ′≤0恒成立，此时函数y ＝π(2c －1)r 2＋128πr在(0，2]上单调递减，因此r ＝2时，总建造费用y 最小； 当642c －1＜8即c ＞92时，令y ′＝0得r ＝3642c －1∈(0，2)， 当0＜r ＜3642c －1时，y ′＜0；当3642c －1＜r ＜2时，y ′＞0， 所以函数y ＝π(2c －1)r 2＋128πr在(0，3642c －1)上单调递减，在(3642c －1，2)上单调递增， 所以r ＝3642c －1时，总建造费用y 最小. 综上所述，当3＜c ≤92时，总建造费用y 最小时，r ＝2m ；当c ＞92时，总建造费用y 最小时，r ＝3642c －1m . 【说明】注意解决应用题时必要的讨论．20． 解：（1）设第n 区火山灰平均每平方米的重量为b n 千克，则b n ＝1000(1－2%)n －1＝1000³0.98n －1．设第n 区的面积为c n 平方米，则当n ≥2时，c n ＝π502n 2－π502(n －1)2＝2500π(2n －1)，又c 1＝2500π＝2500π(2×1－1)， 因此c n ＝2500π(2n －1)，n ∈N *．所以第n 区内火山灰的总重量为a n ＝b n c n ＝25³105π(2n －1)³0.98n －1(千克)．（2）a n ＋1－a n ＝25³105π(2n ＋1)³0.98n －25³105π(2n －1)³0.98n－1＝25³105π[(2n ＋1)³0.98－(2n －1)]³0.98n －1＝25³105π(－0.04n ＋1.98)³0.98n －1．当1≤n ≤49时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1， 当n ≥50时， a n ＋1－a n ＜0，即a n ＞a n ＋1， 所以，当n ＝50时，a n 最大． 答：第50区火山灰的总重量最大．【说明】关注数列应用题．21．解：（1）由题设得圆O 1的半径为4，所以圆O 1的标准方程为(x －9)2＋y 2＝16．（2）x ＝5，y ＝－940x ＋498．（3）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则O ，O 1到直线l 的距离分别为h ＝|m |1＋k 2，h 1＝|9k ＋m |1＋k 2， 从而d ＝264－(m )21＋k 2，d 1＝216－(9k ＋m )21＋k 2．由d d 1＝2，得d 2d 21＝64－m 21＋k 216－(9k ＋m )21＋k 2＝4， 整理得m 2＝4(9k ＋m )2，故m ＝±2(9k ＋m )， 即18k ＋m ＝0或6k ＋m ＝0，所以直线l 为y ＝kx －18k 或y ＝kx －6k ， 因此直线l 过定点(18，0)或直线l 过定点(6，0)．【说明】本题考查直线与圆．求直线方程时，不要忘记斜率不存在的讨论． 22．解：（1）x 22＋y 2＝1．（2）①设AB 的直线方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，消元y 并整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，于是AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22＋22k 21＋2k 2，同理CD ＝22＋22(－12k )21＋2(－12k)2＝42k 2＋22k 2＋1，于是AB ＋CD ＝22＋22k 21＋2k 2＋42k 2＋22k 2＋1＝32．②由①知x M ＝2k 21＋2k 2，y M ＝－k 1＋2k 2，x N ＝11＋2k 2，y N ＝k1＋2k 2， 所以M (2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2)，N (11＋2k 2，k 1＋2k 2)， 所以MN 的中点为T (12，0)，于是S ΔOMN ＝12OT ·|y M －y N |＝14|2k 1＋2k 2|＝12³|k|1＋2k2＝12³11|k |＋2|k|≤28， 当且仅当2|k |＝1|k|，即k ＝±22时取等号，所以△OMN 面积的最大值为28．【说明】本题考查直线与椭圆的相关知识．最后一问要能发现并利用直线MN 过定点，简化面积的运算，值得注意．23．解：（1）当x ＞1时，f (x )＝x 3＋3x －3，f (2)＝11．由f'(x )＝3x 2＋3，得f'(2)＝15．所以y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝15(x －2)＋11即15x －y －19＝0． （2）①当a ≤－1时，得f (x )＝x 3＋3x －3a ，因为f'(x )＝3x 2＋3＞0，所以f (x )在[－1，1]单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝－4－3a ． ②当a ≥1时，得f (x )＝x 3－3x ＋3a ，因为f'(x )＝3x 2－3≤0， 所以f (x )在[－1，1]单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2＋3a ．③当－1＜a ＜1时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3＋3x －3a ，a ＜x ＜1，x 3－3x ＋3a ，－1＜x ≤a ，由①②知：函数f (x )在(－1，a )单调递减，(a ，1)单调递增，所以f (x )min ＝f (a )＝a 3． 综上，当a ≤－1，f (x )min ＝－4－3a ；当－1＜a ＜1时，f (x )min ＝a 3； 当a ≥1时，f (x )min ＝－2＋3a ．（3）当a ＞0，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，即对任意x ≥1有(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3≥0． 设g (x )＝(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3，则g (1)＝0，g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x ．设h (x )＝g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x，因为a ＞0，x ≥1，所以h'(x )＝6(x ＋a )＋15a 2x 2＞0，所以h (x )在[1，＋∞)单调递增，所以h (x )≥h (1)，即g'(x )≥g'(1)＝3(1＋a )2＋3－15a 2＝－(a －1)(2a ＋1)， ① 当g'(1)≥0即0＜a ≤1时，所以g'(x )≥0恒成立，所以g (x )在[1，＋∞)单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，满足题意． ② 当g'(1)＜0即a ＞1时，因为g'(a )＝12a 2－15a ＋3＝3(a －1)(4a －1)＞0，且g'(x )在[1，＋∞)单调递增， 所以存在唯一的x 0＞1，使得g'(x 0)＝0，因此当1＜x ＜x 0时g'(x )＜0；当x ＞x 0时g'(x )＞0； 所以g (x )在(1，x 0)单调递减，(x 0，＋∞)单调递增． 所以g (x 0)＜g (1)＝0，不满足题意． 综上，0＜a ≤1．【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，绝对值函数处理方法，分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过g'(1)的大小来分类． 24．解：（1）因为g'(x )＝a (1－x )(1＋x )(1＋x 2)2，所以g (x )单调减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调增区间为(－1，1)． （2）因为f (x )＝x －x ln x ，f'(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，f'(x )＞0，所以f (x )在(0，1)上单调递增， 因为0＜n ＜m ＜1，所以f (m )＞f (n )，下面证明f (n )＞g (n )， f (n )－g (n )＝n －n ln n －2nn 2＋1＝n (n 2－1n 2＋1－ln n )设φ(n )＝n 2－1n 2＋1－ln n ，0＜n ＜1，则φ'(n )＝－(n 2－1)2n (n 2＋1)2＜0，所以φ(n )在(0，1)上单调递减，所以φ(n )＞φ(1)＝0， 所以n 2－1n 2＋1－ln n ＞0，从而f (n )＞g (n )，又f (m )＞f (n )，所以f (m )＞g (n )．（3）由方程f (x )＝g (x )，得x －x ln x ＝ax1＋x 2， 因为x ＞0，所以等价于证：关于x 的方程1－ln x ＝a1＋x 2在(0，＋∞) 有唯一的实数解， 即证：关于x 的方程x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ＝0在(0，＋∞)有唯一的实数解．设h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ，h'(x )＝2x ln x －x ＋1x ．设m (x )＝2x ln x －x ＋1x，因为m'(x )＝2ln x －1x 2＋1在(0，＋∞)单调递增，且m'(1)＝0，所以当0＜x ＜1时，m'(x )＜0；当x ＞1时，m'(x )＞0， 因此m (x )在(0，1)上单调递减，m (x )在(1，＋∞)上单调递增， 从而m (x )≥m (1)＝0，即h'(x )≥0恒成立，所以h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a 在(0，＋∞)单调递增． 因为h (e)＝a ，h (e 1－a )＝－a e 2－2a，① 当a ＝0时，因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，且h (e)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点x ＝e ．②当a ≠0时，则h (e)h (e 1－a )＜0，又因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．综上所述，函数h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点，即方程f (x )＝g (x )有唯一的实数解．【说明】考查函数零点问题、零点存在性定理，函数与方程思想、数形结合思想问题，学会利用导数来研究函数的图象和性质．25．解：（1）S 2＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15≠S 22，故{a n }不具有性质P ．（2）由S mn ＝S m S n ，得S 1＝S 12，又S 1＞0，所以b 1＝S 1＝1．设数列{b n }公差为d ，则S n ＝n ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(1－d2)n ．又对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，从而d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝[d 2m 2＋(1－d 2)m ][d 2n 2＋(1－d2)n ]，即d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝(d 2)2(mn )2＋d 2(1－d 2)m 2n ＋d 2(1－d 2)mn 2＋(1－d2)2mn ， 因为上式关于m ，n 恒成立， 所以d 2＝(d 2)2，d 2(1－d 2)＝0，1－d 2＝(1－d 2)2，解得d ＝0或d ＝2． （3）同（2）可知c 1＝1，因为c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，所以c n ＋2－c n ＋1 ≤c n ＋1－c n ， 因此c n ＋1－c n ≤c 2－c 1＝2，于是c 2－c 1≤2， c 3－c 2≤2， …… c n ＋1－c n ≤2，累加得c n ＋1－c 1≤2n ，即c n ＋1≤2n ＋1，从而c n ≤2(n －1)＋1＝2n －1，n ≥2， 又c 1＝1＝2³1－1，因此c n ≤2n －1，n ∈N *． 因为S 2n ＝S 2S 2n －1＝4S 2n －1，所以数列{S 2n －1}是首项为1，公比为4的等比数列，从而S 2n ＝4n ．因为c n ≤2n －1，n ∈N *，所以对于任意k ∈N *，S k ≤1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2． 又对于任意k ∈N *，存在m ∈N *，使得2m －1≤k ＜2m ，所以S k ＝S 2m －(c k ＋1＋c k ＋2＋…＋c 2m )≥4m －(2k ＋1＋2k ＋3＋…＋2³2m －1)＝k 2， 因此S k ＝k 2．所以当n ≥2时，c n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又c 1＝1＝2³1－1，所以c n ＝2n －1． 经检验c n ＝2n －1满足题设条件， 从而c n ＝2n －1．【说明】本题考查学生对新定义的理解；考查等差、等比数列基本量，恒成立问题的处理方法，累加法及简单不等式的放缩；考查学生综合处理问题的能力．26．证明：（1）设数列{a n }公差为d ，于是2S m ＋nm ＋n ＝2[(m ＋n )a 1＋(m ＋n )( m ＋n －1)2d ]m ＋n＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]，a m ＋a n ＋a m －a n m －n ＝2a 1＋(m ＋n －2)d ＋d ＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]，所以2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n．（2）因为对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n， ①在①中令m ＝n ＋1得，2S 2n ＋1 2n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋a n ＋1－a n1＝2a n ＋1， ②由①得2S m ＋n ＋1m ＋n ＋1＝a m ＋a n ＋1＋a m －a n ＋1m －n －1，令m ＝n ＋4得，2S 2n ＋5 2n ＋5＝a n ＋4＋a n ＋1＋a n ＋4－a n ＋13＝4a n ＋4＋2a n ＋13， ③由②得2S 2n ＋5 2n ＋5＝2a n ＋3，因此2a n ＋3＝4a n ＋4＋2a n ＋13，即a n ＋4＝3a n ＋32－a n ＋12，于是a n ＋4＋a n ＋2－2a n ＋3＝－12(a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2)，所以a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝(－12)n －1( a 4＋a 2－2a 3)，DCBA P在①中令m ＝1，n ＝3，得2S 4 4＝3a 3＋a 12，即a 2＋a 4＝2a 3，于是a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝0，即当n ≥2时，a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，在①中令m ＝1，n ＝2，得2S 33＝2a 2，即a 1＋a 3＝2a 2，因此对于任意n ∈N *有a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1， 从而数列{a n }为等差数列．【说明】本题等差数列的通项与求和及数列的递推，其中第二问含有双变量值得关注． 三．理科附加题27．解：（1）16．（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P (ξ＝0)＝16；P (ξ＝1)＝13³12³13＋23³12³13＋23³12³12＝13；P (ξ＝2)＝13³12³13＋13³12³23＋23³12³23＝718；P (ξ＝3)＝13³12³23＝19；故随机变量ξ的概率分布为3错E (ξ)＝0³16＋1³13＋2³718＋3³19＝139．【说明】本题考查独立事件的概率．28．解：因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，因为AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, 所以AB ⊥AD ．以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xOy ，则B (23，0，0)， C (23，6，0)，P (0，0，3)（1）PB →＝(23，0，－3)， AC →＝(23，6，0)，所以cos ＜PB →，AC →＞＝PB →²AC →|PB →|²|AC →|＝77，即异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为77． （2）设AD ＝a (a ＞0)，则D (0，a ，0)，所以BD →＝(－23，a ，0)，设平面PBD 的法向量→n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧BD →²→n ＝0PB →²→n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－23x ＋ay ＝0 23x －3z ＝0，取x ＝3，则y ＝6a ，z ＝2，则→n ＝(3，6a ，2)．又平面BCD 的一个法向量→m ＝(0，0，1)，二面角P －BD －C 的大小为2π3，所以|→m ·→n|→m |·|→n ||＝12，即|23＋36a2＋4|＝12，解得a ＝2．经检验，当AD ＝2，二面角P －BD －C 的大小为2π3．【说明】考查异面直线所成角，二面角的平面角的计算．29． 证明：（1）因为a 3＝a 2＋a 1，因此n ＝1时，命题成立； 假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k ＋1＝a 2k ＋a 2k －1， 则a 2k ＋3＝a 2k ＋2＋a 2k ＋a 2k －1＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1， 即n ＝k ＋1时，命题也成立，因此任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1．（2）易知a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，a 5＝6，a 6＝9，a 7＝15，a 8＝25， a 2a 4＝2，a 4a 6＝6，a 6a 8＝15， 猜想a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *， 证明：当n ＝1时，命题成立；假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k a 2k ＋2＝a 2k ＋1， 则a 2k ＋2a 2k ＋4＝a 2k ＋2(a 2k ＋3＋a 2k ＋1＋a 2k )＝a 2k ＋2(a 2k ＋2＋a 2k ＋1＋a 2k ＋1＋a 2k ) ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k a 2k ＋2 ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k ＋12 ＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1 ＝a 2k ＋3，即n ＝k ＋1时，命题也成立，所以a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，又a 2n ＋1∈N *，因此任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为正整数．【说明】本题考查数学归纳法，第二问解决的关键是：要能通过前几项归纳发现a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．进而得到a 2n a 2n ＋2为整数．30．解：（1）满足条件的数列T 有：1，3，4，2； 1，4，3，2； 1，4，2，3；4，3，1，2； 4，1，3，2； 4，1，2，3；（2）设a n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)除以3的余数为为b n ，于是数列T 的前n 项和能否被3整除，由数列{b n }：b 1，b 2，…，b 3m ＋1决定， 因为数列{b n }中有m 个0，m ＋1个1，m 个2，因此数列{b n }中由m ＋1个1及m 个2组成的排列应为：1，1，2，1，2，…，1，2． 数列{b n }中的m 个0除了不能排首位，可排任何位置，共有C m 3m 种排法， 故满足条件的数列T 共有：C m 3m×m !×m !³(m ＋1)!＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!个， 因此f (m )＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!．【说明】本题考查排列组合的应用，对于整除问题要能按余数进行分类处理．。
最新南京市2018届高三年级第三次模拟考试及答案
南京市2018届高三年级第三次模拟考试1 数 学 2018.052一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题3 纸的指定位置上）4 1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =▲________．52．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________．63．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校7 平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如8 图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________．9 10 11 1213 14 15 1617 4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________．18 5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为19 ▲________． 206．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则yx 的取值范围为▲________．21S ←1 I ←1 While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题：22 ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； 23 ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 24 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）．258．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离26 为2a ，则该双曲线的离心率为▲________．279．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1=1，S 6=3S 3，则a 7的值为▲________． 28 10．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则f (a+1)的29 值为▲________．30 11．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其31 中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若32 D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为▲________．3312．在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5， AC →·AD →＝－23，则AB →·AC→34 的值为▲________．3513．若正数a ，b ，c 成等差数列，则c 2a ＋b＋b a ＋2c的最小值为▲________．36 14．已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∈[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax －b 在37 [1，3]上存在零点，则a 的取值范围为▲________．38 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把39 答案写在答题卡的指定区域内）4015．(本小题满分14分)41 在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单42 位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314．43（1）求cos2α的值； 44 （2）求2α－β的值.4546 47 4849 50 515253 16.（本小题满分14分）54如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝6，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，55 BC 的中点．56 （1）求证: 平面PBC ⊥平面ABC ； 57 （2）若PD ∥平面AEM ，求PM 的长． 585960 61 6263(第15题(第16题AC B MDEP64 65 6667 17．(本小题满分14分)68如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 69 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，70再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC . 记∠CBD ＝θ71 （1）试用θ表示BD 的长；72 （2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.73 74 75 76 77 78 7980 18．(本小题满分16分)81如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (85，35)，离心率为32. 已82知过点M (25，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．83（1）求椭圆C 的方程；84（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA →·NB →为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存85(第17题在，请说明理由.868788899091929394959697989919．(本小题满分16分)100已知函数f (x)＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），记f'(x)为f(x)的导函数．101（1）若f (x)的极大值为0，求实数a的值；102（2）若函数g (x)＝f (x)＋6x，求g (x)在[0，1]上取到最大值时x的值；103（3）若关于x的不等式f(x)≥f'(x)在[a2，a+22]上有解，求满足条件的正整数a的集合．104105 106 107 108 109 110 11120．(本小题满分16分)112 若数列{a n }满足：对于任意n ∈N *，a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|均为数列{a n }中的项，则称数列{a n }为“T 数列”． 113（1）若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{a n }为“T 数列”； 114（2）若公差为d 的等差数列{a n }为“T 数列”，求d 的取值范围；115（3）若数列{a n }为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，求数列{a n }116的通项公式．117118119120121122123124125126127128129130131南京市2018届高三年级第三次模拟考试 132数学附加题 2018.05133B ．选修4—2：矩阵与变换134 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 0 1 ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0 0 1 ，若直线l : x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直135线l 1，求直线l 1的方程．136137138139140141C ．选修4—4：坐标系与参数方程142 在极坐标系中，已知圆C 经过点P （2，π3），圆心C 为直线sin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，143 求圆C 的极坐标方程． 144145 146 147 148 14915022．(本小题满分10分)151在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 152上一点，且AF ＝2． 153（1）求p 的值；154（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且．记点M ，N 到直线2的距离分别为155d 1，d 2，求d 1d 2的值．156157158159160161162163·F164 16516616723．(本小题满分10分)168已知f n (x )＝i ＝1∑n －1A n －in x (x ＋1)…(x ＋i －1)，g n (x )＝A n n ＋x (x ＋1)…(x ＋n －1)，其中x ∈R ，n ∈N*且169n ≥2．170（1）若f n (1)＝7g n (1)，求n 的值；171（2）对于每一个给定的正整数n ，求关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合． 172173174175 176177178179180181182183184185186187188189190191192南京市2018届高三年级第三次模拟考试193数学参考答案194一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题195纸的指定位置上）1961．{－3，－2，2} 2． 5 3．150 4．7 5．23 6．[211，2] 7． ①③1978． 5 9．4 10．2 11．x ＋2y －4＝0 12．－3 13．259 14．[e 2，1984e]199二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请200把答案写在答题纸的指定区域内） 20115．(本小题满分14分)202解：（1）因为点P 的横坐标为277，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277， ……2203 分204所以cos2α＝2cos 2α－1＝17． ……4分205（2）因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314． ……6分 206又因为β为锐角，所以cos β＝1314． ……8分 207 因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217，因此sin2α＝2sin αcos α＝437， …208 10分209所以sin(2α－β) ＝437×1314－17×3314＝32． …12分 210 因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，211又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3． ……14分 212 16．(本小题满分14分)213 （1）证明：如图1，连结PE ．因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点，214所以PE ⊥BC ， ……2分215且PE ＝3，同理AE ＝3．216因为PA ＝6，所以PE 2＋AE 2＝PA 2，所以PE ⊥AE ．……4分 217 因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC平面ABC ，218所以PE ⊥平面ABC ．219 因为PE平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ……7分220（2）解法一221 如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．222因为PD ∥平面AEM ，PD平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，223(图1)OP ACB MDE所以PD ∥OM ， …………9分224 所以PM PC ＝DODC． …………11分 225 因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ，所以O 为ABC 重心，所以DO DC ＝13，226 所以PM ＝13PC ＝23． ………14分227解法二228如图2，取BE 的中点N ，连接PN ． 229因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点，230所以DN ∥AE ． 231 又DN平面AEM ，AE平面AEM ，232所以DN ∥平面AEM ．233 又因为PD ∥平面AEM ，DN平面PDN ，PD平面PDN ，DN ∩PD ＝D ，234所以平面PDN ∥平面AEM ． ………………………………9分 235 又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ，236所以ME ∥PN ，所以PM PC ＝NENC． ………………………………11分237因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，所以NE NC ＝13，所以PM ＝13PC ＝23． …………14分 238 17．(本小题满分14分) 239 ………240(图2)P AMDECB N解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3， 241 所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23． ………2分242因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． …………4分 243 （2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ， 244 所以DF sin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BD sin ∠BFD， 所以DF ＝4cos θsin(π6＋245 θ)， ……………6分246 且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ， …………8分247所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π6)＋2483． ………12分249因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，250此时E 与C 重合． …13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大． …………14分 25118．(本小题满分16分)252解（1）离心率e ＝ca ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ， ………………2分 253 所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1．254因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b2＝1，255所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． …………………………………4分256（2）解法一257设N (n ，0)，当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，258则NA→NB →＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425＝n 2－45n －45， …………6分259 当l 经过左､右顶点时，NA→NB →＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．260令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4． ………………8分261下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA→NB →＝12．262 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，263所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， ……………10分264所以NA→NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2265 ＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)266＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2 ……………12分267＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k 2268＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16269＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．270所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →NB →为定值． ………………16分271 解法二272设N (n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －25)，273设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，274由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，275所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， ……………6分276所以NA→NB →＝(x 1－n )(x 2－n )＋y 1y 2＝(x 1－n )(x 2－n )＋k 2(x 1－25)(x 2－25)277 ＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k 2278＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k 2 ………………8分279＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋n 2 280＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2． ………………12分 281若NA→NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，282则(－165n －165)k 2－4＝4λk 2＋λ对任意的实数k 恒成立， 283 所以⎩⎪⎨⎪⎧－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4， 此时NA →NB →＝28412． …………14分285当直线l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，286所以NA→NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12，287 所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →NB →为定值． ………………………………16分28819．(本小题满分16分)289解：（1）因为f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），290 所以f'(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．291令f'(x )＝0，得x ＝0或a ． ………………2分292当x ∈(－∞，0)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增； 293当x ∈(0，a )时，f'(x )＜0，f (x )单调递减； 294当x ∈(a ，＋∞)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增．295故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23． ………………4分296（2）g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0）， 297则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．298①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，299所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，300则g (x )取得最大值时x 的值为1． ……………………………6分301②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6302＞0，303所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．304 当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 305 当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，306则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42． ………………………………8分307 综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；308 当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为a －a 2－42． ……………………………9分309 （3）设h (x )＝f (x )－f ′(x )＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，310 则h (x )≥0在[a 2，a ＋22]有解． ………………………………10分311h′(x)＝6[x2－(a＋2)x＋a]＝6[(x－a＋22)2－a2＋44]，312因为h′(x)在(a2，a＋22)上单调递减，所以h′(x)＜h′(a2)＝－32a2＜0，313所以h (x)在(a2，a＋22)上单调递减，314所以h(a2)≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．…………………………………12分315设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，316当a∈(0，1＋2)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；317当a∈(1＋2，＋∞)时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．318因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，…………………14分319因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，320所以t (a)≤0的解集为[m，n]，321故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．…………………………………16分32220．(本小题满分16分)323解：（1）当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，324又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以a n＝4n－2． (2)325分326所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2为数列{a n}的第n＋1项，327因此数列{a n}为“T 数328列”．…………………………………4分329（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，330所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．331因为数列{a n}为“T 数列”，332所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1)d＋|d|＝a m，即有(m－n)d＝|d|． (333)6分334①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，335②若d＜0，则m＝n－1．336此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．337综上，d≥0．……………………………………8分338（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．339又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，340所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，341所以数列{a n}为等差数列． (342)10分343设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，344由a n＜a2n＋1－a2n＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋345nt，………………………………12分346整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①347n(t－2t2)＞2t－t2－1．②348若2t2－t＜0，取正整数N0＞t2－3t＋1 2t2－t，349则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t ) N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N*恒成立相矛盾，350 因此2t 2－t ≥0．351同样根据②式可得t －2t 2≥0，352所以2t 2－t ＝0．又t ＞0，所以t ＝12．353经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N*恒成立，354所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12． (16)355分356B ．选修4—2：矩阵与变换357解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1． (4)358分359设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )． 360因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ① 361由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，362得⎩⎪⎨⎪⎧2 x 0＋2 y 0＝x ，y 0＝y ， ………………6分即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y ．② 363将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0． ……………10分 364365C ．选修4—4：坐标系与参数方程366解：解法一367 在直线sin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得＝2.368 所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)． …………4分 369因为圆C 经过点P (2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cosπ3＝2， ………………370 6分371所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ． ……10分372解法二373 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系， 374则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，375令y ＝0，得x ＝2，所以C (2，0)， ………………………………4376 分377所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2， ………………………………6分 378所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， (8379)分380所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ. (10)381分382【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 38322．（本小题满分10分）384解：（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，38521所以p2＋1＝2，所以p ＝2. …………3分386（2）解法一387由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．388因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． …………4分389设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．390 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，391 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2． ……………………………6分392 因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2， ……………………………8分393所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m)|＝16． ……………………………10分394解法二395 由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．396因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分397设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则AM →·AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2) (y 2－2)＝0． ……6分398又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在y 2＝4x 上， 399所以(y 21－4) (y 22－4)＋16( y 1－2) (y 2－2)＝0， 400即[( y 1＋2) (y 2＋2)＋16]( y 1－2) (y 2－2)＝0．401因为( y 1－2) (y 2－2)≠0，所以( y 1＋2) (y 2＋2)＝－16， ……………………………8分402所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16． ……………………………10分 4032223．（本小题满分10分）404 解：（1）因为f n (x )＝i ＝1∑n －1A n －in x (x ＋1)…(x ＋i －1)，405所以f n (1)＝i ＝1∑n －1A n －i n ×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n !＝(n －1)×n !，g n (1)＝A nn ＋1×2×…×n ＝2×n !，406所以(n －1)×n !＝14×n !，解得n ＝15． ……………………………3分 407（2）因为f 2(x )＋g 2(x )＝2x ＋2＋x (x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，408f 3(x )＋g 3(x )＝6x ＋3x (x ＋1)＋6＋x (x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)， 409猜想f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． ……………………………5分 410下面用数学归纳法证明： 411当n ＝2时，命题成立；412假设n ＝k (k ≥2，k ∈N*)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )，413因为f k ＋1(x )＝i ＝1∑kA k ＋1－ik ＋1x (x ＋1)…(x ＋i －1)414＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －i k x (x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1k ＋1x (x ＋1)…(x ＋k －1)415＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)，416所以f k ＋1(x )＋g k ＋1(x )＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x (x ＋1)…(x ＋417k )418 ＝(k +1)[ f k (x )＋x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k k ]＋x (x ＋1)…(x ＋k ) 419＝(k +1)[ f k (x )＋g k (x )]＋x (x ＋1)…(x ＋k ) 420＝(k +1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )＋x (x ＋1)…(x ＋k )421＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，422423即n＝k＋1时命题也成立．424因此任意n∈N*且n≥2，有f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．…………………9分425所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为426{－1，－2，…，－n}．……………………………10分42723。
江苏省南京师范大学附属中学2018届高三数学模拟考试试题
2018届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2018．5参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x|x 2－x －2＜0}，则A∩B＝________.2. 若复数z ＝1－i ，则z ＋1z的虚部是________． 3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1 400辆、5 600辆、2 000辆．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．4. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，x ＋y ＋1≥0，x －y ＋3≥0 则目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值是________．5. 小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是________．6. 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．(第6题)(第7题)7. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是________．8. 已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，则双曲线的方程是________________．9. 若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝________. 10. “a ＝1”是“函数f(x)＝x ＋1x ＋sin x －a 2为奇函数”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)11. 在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2 018＝________.12. 已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B.若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是________________．13. 在△ABC 中，已知AB→·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →，则cos C 的最小值是________．14. 已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋1，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋54，x>0，－x 2－6x －8，x ≤0. 若方程g(f(x))－a ＝0(a ＞0)有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，3)，n＝(cos A，sin A)，且m·n＝1.(1) 求A的值；(2) 若1＋sin 2Bcos2B－sin2B＝－3，求tan C的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1) 求证：AB∥EF；(2) 若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.17. (本小题满分14分)如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向63千米处．(1) 警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离；(2) 警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前往B，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试求两人通过对讲机能保持联系的总时长．18. (本小题满分16分)如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C经过点(0，3)，离心率为12，直线l过点F2与椭圆C交于A，B两点．(1) 求椭圆C的方程；(2) 若点N为△F1AF2的内心(三角形三条内角平分线的交点)，求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；(3) 设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G, E．连结AE，BD，试问：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ln x －ax ＋a ，a ∈R.(1) 若a ＝1，求函数f(x)的极值；(2) 若函数f(x)有两个零点，求a 的取值范围；(3) 对于曲线y ＝f(x)上的两个不同的点P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))，记直线PQ 的斜率为k ，若y ＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜k.20. (本小题满分16分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }均不是常数列，若a 1＝b 1＝1，且a 1，2a 2，4a 4成等比数列，4b 2，2b 3，b 4成等差数列．(1) 求{a n}和{b n}的通项公式；(2) 设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k(i＜j＜k)，使得a m b j，a m a n b i，a nb k成等差数列，求m＋n的最小值；(3) 令c n＝a nb n，记{c n}的前n项和为T n，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n的前n项和为A n.若数列{p n}满足p1＝c1，且对∀n≥2，n∈N*，都有p n＝T n－1n＋A n c n，设{p n}的前n项和为S n，求证：S n＜4＋4ln n.2018届高三模拟考试试卷(十九)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)在△ABC 中，已知AC ＝12AB ，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，求证：BN ＝2AM.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C：ρ＝22cos θ和直线l：θ＝π4(ρ∈R)相交于A，B两点，求线段AB的长．D. (选修45：不等式选讲)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：12a＋1＋42b＋1≥94.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23. 设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．(1) 若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对(A，B)的个数．2018届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. －12 3. 10 4. 5 5. 710 6. 4 7. 233 8. x 25－y 220＝19. －2ln 2 10. 充分不必要 11. 9 12. (－32，－6]∪[6，32)13. 23 14. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5415. 解：(1) 因为m ·n ＝1，所以(－1，3)·(cos A ，sin A)＝1，即3sinA －cos A ＝1，(2分)则2⎝⎛⎭⎪⎫sin A ·32－cos A ·12＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.(4分)又0<A<π ，所以－π6<A －π6<5π6，故A －π6＝π6，所以A ＝π3.(6分)(2) 由题知 1＋2sin Bcos B cos 2B －sin 2B＝－3，整理得sin 2B －sin Bcos B －2cos 2B＝0.(8分)又cos B ≠0 ，所以tan 2B －tan B －2＝0，解得tan B ＝2或tan B ＝－1.(10分)又当tan B ＝－1时cos 2B －sin 2B ＝0，不合题意舍去，所以tan B ＝2.(12分)故tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝－tan A＋tan B1－tan Atan B＝8＋5311. (14分)16. 证明：(1) 因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD. (2分)又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC.(4分)因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF. (7分)(2) 因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. (8分)因为AF⊥EF，AB∥EF，所以AB⊥AF.(9分)又AB⊥AD，点E在棱PC上(异于点C)，所以F点异于点D，所以AF∩AD ＝A.又AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.(12分)又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD. (14分)17. 解：(1) 在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠APB＝75°，由正弦定理，得ABsin ∠APB＝BPsin A，即BP＝6×322＋64＝1236＋2＝123（6－2）4＝33(6－2)，故PB的距离是92－36千米. (4分)(2) 甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为f(t)，要保持通话则需要f(t)≤9.①当0≤t≤1时，f(t)＝（6t）2＋（12－3t）2－2·6t·（12－3t）cos 60°＝37t2－16t＋16≤9，(6分)即7t2－16t＋7≤0，解得8－157≤t≤8＋157.又t∈[0，1]，所以8－157≤t≤1，(8分)故两人通过对讲机保持联系的时长为15－17小时.②当1<t≤4时，f(t)＝36＋（12－3t）2－2·6（12－3t）cos 60°＝3t2－6t＋12≤9，(10分)又t∈(1，4]，所以1<t≤4，(12分)故两人通过对讲机保持联系的时长为3小时．由①②可知，两人通过对讲机能保持联系的总时长为3＋15－1 7＝15＋207(小时).答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是15＋207小时. (14分)(注：不答扣1分)18. 解：(1) 由题意知b＝ 3.因为ca＝12，所以ba＝32，解得a＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1. (4分)(2) 因为点N为△F1AF2的内心，所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，则S△F1NF2S△F1AF2＝12F1F2·r12（AF1＋AF2＋F1F2）·r＝F1F2AF1＋AF2＋F1F2＝ca＋c＝13. (8分)(3) 若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于F 2G 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.(9分)下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，化简得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为直线l 经过椭圆C 内的点(1，0)，所以Δ＞0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2. (11分) 由题意，得D(4，y 1)，E(4，y 2)，则直线AE 的方程为y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x－4)．令x ＝52，此时y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－4＝2（x 1－4）y 2＋3（y 2－y 1）2（x 1－4）＝2（x 1－4）k （x 2－1）＋3k （x 2－x 1）2（x 1－4）＝8k ＋2kx 1x 2－5k （x 2＋x 1）2（x 1－4）＝8k ＋2k·4k 2－123＋4k 2－5k·8k 23＋4k 22（x 1－4）＝8k （3＋4k 2）＋2k （4k 2－12）－5k·8k 22（x 1－4）（3＋4k 2）＝24k ＋32k 3＋8k 3－24k －40k 32（x 1－4）（3＋4k 2）＝40k 3－40k 32（x 1－4）（3＋4k 2）＝0，所以点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0在直线AE 上．同理可证，点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0在直线BD 上. (16分)所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.19. (1) 解：f′(x)＝1x－a ＝1－ax x，x>0，当a≤0时，f ′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值；(2分)当a>0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，f ′(x)>0，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，f ′(x)<0，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．故函数有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a －ln a －1，无极小值. (4分)(2) 解：由(1)可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不可能有两个零点；当a ＞0时，函数有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a －ln a －1.令g(x)＝x －ln x －1(x ＞0), 则g′(x)＝1－1x ＝x －1x .当x∈(0，1)，g ′(x)<0，g(x)在(0，1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)，g ′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 函数g(x)有最小值g(1)＝0.若要使函数f(x)有两个零点，必须满足a>0且a≠1.(6分) 下面证明a>0且a≠1时，函数有两个零点． 因为f(1)＝0，所以下面证明f(x)还有另一个零点．① 当0<a<1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a －ln a －1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝－2ln a ＋a －1a ＝－2aln a ＋a 2－1a ＝－2aln a －a 2＋1a .令h(a)＝2aln a －a 2＋1(0<a<1)，则h′(a)＝2(ln a ＋1)－2a ＝2(ln a －a ＋1)<0，h(a)在(0，1)上单调递减，h(a)>h(1)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2<0，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1a 2上有零点．又f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1a 2上有唯一零点，从而f(x)有两个零点．② 当a>1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a －ln a －1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e a ＝－a －a×1e a ＋a ＝－a×1e a <0.易证e a >a ，可得1e a <1a ，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e a ，1a 上有零点．又f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e a ，1a 上有唯一零点，从而f(x)有两个零点．综上，a 的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞). (10分) (3) 证明：f(x 1)－f(x 2)＝ln x 1－ln x 2＋a(x 2－x 1)， k ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝ln x 1－ln x 2＋a （x 2－x 1）x 1－x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2－a.又f′(x)＝1x －a ＝1－axx ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2x 1＋x 2－a ，(12分)所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－k ＝2x 1＋x 2－ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1x 1－x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x 1－x 2）x 1＋x 2－ln x 1x 2 ＝1x 1－x 2⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋1－ln x 1x 2. 不妨设0＜x 2＜x 1, t ＝x 1x 2，则t ＞1，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋1－ln x 1x 2＝2（t －1）t ＋1－ln t.令h(t)＝2（t －1）t ＋1－ln t(t>1)，则h′(t)＝－（t －1）2（1＋t ）2t<0， 因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.又0＜x 2＜x 1，所以x 1－x 2＞0，所以f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－k ＜0，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜k. (16分) 20. 解：(1) 设等差数列的公差为d(d≠0)，等比数列的公比为q(q≠1)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 22＝4a 1a 4，4b 3＝4b 2＋b 4⇒⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋d ）2＝a 1（a 1＋3d ），4b 1q 2＝4b 1q ＋b 1q 3，解得d ＝1，q ＝2，(4分)所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2) 由a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列，有2a m a n b i ＝a m b j ＋a n b k ，即2mn·2i －1＝m·2j －1＋n ·2k －1 .由于i<j<k ，且为正整数，所以j －i≥1，k －i≥2， 所以2mn ＝m·2j －i ＋n·2k －i ≥2m ＋4n ，(6分) 可得 mn≥m＋2n, 即2m ＋1n≤1.① 当1≤m≤2时，不等式2m ＋1n≤1不成立；② 当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2 或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝3时，2mn ·2i －1＝m·2j －1＋n·2k －1成立；(8分)③ 当n≥4时，1n >0，2m <1，即m>2，则有m ＋n>6；所以m ＋n 的最小值为6，当且仅当j －i ＝1，k －i ＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2 或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝3时取得. (10分)(3) 由题意，得p 2＝c 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12c 2，p 3＝c 1＋c 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13c 3，…S n ＝p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n (c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n )(11分)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n T n .T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ①， 12T n ＝12c 1＋12c 2＋…＋12c n ②. ①－②，得12T n ＝1＋12＋14＋18＋…＋12n －1－n2n ＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，(12分)解得 T n ＝4－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1<4，所以 S n <4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n .设f(x)＝ln x ＋1x －1(x>1)，则f′(x)＝1x －1x 2＝x －1x2>0，所以 f(x)在(1，＋∞)上单调递增，有f(x)>f(1)＝0，可得 ln x>1－1x . (14分)当k≥2，且k∈N *时，kk －1>1，有ln kk －1>1－k －1k ＝1k ，所以12<ln 21，13<ln 32，…，1n <ln nn －1，可得1＋12＋13＋…＋1n <1＋ln 21＋ln 32＋…＋ln nn －1＝1＋ln n ，所以S n <4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n <4＋4ln n. (16分)2018届高三模拟考试试卷 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明： 在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的平分线，所以AC BC ＝AM BM.又AC ＝12AB ，所以AB BC ＝2AMBM ①.(4分)因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以BM·BA＝BN·BC，即AB BC ＝BNBM ②.(8分)由①②可知2AM BM＝BN BM，所以 BN ＝2AM.(10分)B. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x)－4. (3分)因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根， 所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x ＝1. (6分)由(λ－1)(λ－1)－4＝0，解得λ＝－1或3，所以λ2＝－1. (10分)(x －2)2＋y 2＝2.直线l ：θ＝π4(ρ∈R)的直角坐标方程为y ＝x ，即x －y ＝0.(6分)圆心C(2，0)到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1. (8分)所以AB ＝2（2）2－12＝2. (10分)D. 证明：(证法1) 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1＋42b ＋1[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]＝1＋4＋2b ＋12a ＋1＋4（2a ＋1）2b ＋1≥5＋22b ＋12a ＋1×4（2a ＋1）2b ＋1＝9. (8分) 而(2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以12a ＋1＋42b ＋1≥94. (10分)(证法2)因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1＋42b ＋1[(2a＋1)＋(2b ＋1)]≥⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋12a ＋1＋42b ＋12b ＋12＝(1＋2)2＝9. (8分)由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4, 所以12a ＋1＋42b ＋1≥94.(10分) 22. 解：(1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C 36种不同选法， 其中S ＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫S ＝32＝12C 36＝35. (3分) (2) S 的所有可能取值为34，32，334.S ＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)，共6种，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫S ＝34＝6C 36＝310. (5分) S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)，共2种，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫S ＝334＝2C 36＝110. (7分)⎝⎭236所以E(S)＝34×310＋2541020(10分)23. 解：(1) 若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}，则A＝∅，{a1}，{a2}，则(A，B)的个数为3；若集合B含有1个元素，则B有C12种，不妨设B＝{a1}，则A＝∅，此时(A，B)的个数为C12×1＝2.综上，(A，B)的个数为5. (3分)(2) 集合M有2n个子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，则不同的有序集合对(A，B)的个数为2n(2n－1). (5分)若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B)的个数为C0n(C0n－1)＋C1n(C1n－1)＋C2n(C2n－1)＋…＋C n n(C n n－1)＝(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2－(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n). (7分)又(x＋1)n(x＋1)n的展开式中x n的系数为(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2，且(x＋1)n(x＋1)n＝(x＋1)2n的展开式中x n的系数为C n2n，所以(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2＝C n2n.因为C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，有序集合对(A，B)的个数为C n2n－2n.(9分)所以当A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为2n（2n－1）－（C n2n－2n）2＝22n－C n2n2.(10分)。
2018年江苏省高考数学第三次模拟考试 (2)
江苏省2018年高考数学第三次模拟考试（数学）参考公式：一组数据的方差])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= ，其中x 为这组数据的平均数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |y 2≤2，y ∈Z }，则M ∩N ＝ ▲ ． 2、若,0>>b a 则下列不等式不成立的是（ ）A.b a 11<B.b a >C.a b +<D.ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121 3.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a 、b G ∈，都有G b a ∈⊕；（2）存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。
现给出下列集合和运算： ①G ={非负整数}，⊕为整数的加法。
②G ={偶数}，⊕为整数的乘法。
③G ={平面向量}，⊕为平面向量的加法。
④G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法。
其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．②4．已知函数R ∈-=x x x x f ,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,3 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,232 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,656 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,652625．已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b 与2-a b 共线，则nm等于（ ）A ．2-；B ．2C ．21-D ．216．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x －y ＋4的取值范围是 ▲ ． 7．已知正四棱锥的体积是48cm 3，高为4cm ， 则该四棱锥的侧面积是 ▲ cm 2．8．如图是2008年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上， 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个 最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．9．当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是 ▲ ．7 8 9 92 5 6 4 8 3（第（8）题图）10．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (12)＝0，则不等式f (log 2x )＜0的解集为▲ ．11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点F 1，F 2分别在双曲线x 2b 2－y 2a2＝1的左、右准线上，则椭圆的离心率e ＝ ▲ ．12．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图像如图所示,则(−→OB －−→OA )⋅−→OB ＝ ▲ ．13∠CAD14(x ，y )15．α)＝210．（1）求sin α的值；（2）求β的值．16．（本题满分14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 为矩形，四边形BB 1C 1C 为菱形． AC ∶AB ∶CC 1＝3∶5∶4，D ，E 分别为A 1B 1，CC 1中点． 求证：（1）DE ∥平面AB 1C ；（2）BC 1⊥平面AB 1C ．（第（13）题图）B A CA 1B 1C 1 E D17．（本题满分14分）A 地产汽油，B 地需要汽油．运输工具沿直线AB 从A 地到B 地运油，往返A ，B 一趟所需的油耗等于从A 地运出总油量的1100．如果在线段AB 之间的某地C （不与A ，B 重合）建一油库，则可选择C 作为中转站，即可由这种运输工具先将油从A 地运到C 地，然后再由同样的运输工具将油从C 地运到B 地．设AC AB＝x ，往返A ，C 一趟所需的油耗等于从A 地运出总油量的x100．往返C ，B 一趟所需的油耗等于从C 地运出总油量的1－x 100．不计装卸中的损耗，定义：运油率P ＝B 地收到的汽油量A 地运出的汽油量，设从A 地直接运油到B 地的运油率为P 1，从A 地经过C 中转再运油到B 地的运油率为P 2．（1）比较P 1，P 2的大小；（2）当C 地选在何处时，运油率P 2最大？ 18．（本题满分16分）已知抛物线顶点在原点，准线方程为x ＝－1．点P 在抛物线上，以P 圆心，P 到抛物线焦点的距离为半径作圆，圆P 存在内接矩形ABCD ，满足AB ＝2CD ，直线AB 的斜率为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）求直线AB 在y 轴上截距的最大值，并求此时圆P 的方程． 1.19．（本题满分16分）已知函数f (x )＝ln x ＋1－xax，其中a 为大于零的常数．（1）若函数f (x )在区间[1，＋∞)内不是单调函数，求a 的取值范围； （2）求函数f (x )在区间[e ，e 2]上的最小值． 20．（本小题满分16分）已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3n ＋5n ＋2a n ＋1－2n n ＋1a n ，其中n ∈N*．设数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－nn ＋1a n ，n ∈N*．（1）证明：数列{b n }为等比数列，并求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）令c n ＝(n ＋2)b n ＋2(nb n )(n ＋1)b n ＋1，n ∈N*，求证：c 1＋c 2＋…＋c n ＜2．2018年江苏省高三年级第三次模拟考试数学附加卷21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在．．答．题．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲圆的两弦AB 、CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线AD 交于P ，再从P 引这个圆的切线，切点是Q ，求证：PF ＝PQ ．APCDF QB ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －3，求直线y ＝2x ＋1在矩阵MN 的作用下变换所得到的直线方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos(θ＋π4)．求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式∣x ＋1∣＋∣x －1∣≤b a ＋c b ＋a c对任意正实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在．．答．题．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。
江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题
南京师大附中2018届高三年级模拟考试数 学 2018.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x | x 2－x －2＜0}，则A ∩B ＝▲________．2. 若复数z ＝1－i ，则z ＋1z的虚部是▲________．3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验 产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的 产品中抽取▲________件．4. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≤0，x ＋y ＋1≥0，x －y ＋3≥0，则目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值是 ▲ ．5. 小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，则A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率 是▲________．6. 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是▲________．BA 11B 1D（第6题）（第7题）7. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，D 为棱B 1C 1上任意一点，则三棱锥D －A 1BC 的体积是 ▲ ．8. 已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝20x的焦点相同，则双曲线的方程是▲________．9. 若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝▲________．10. “a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋1x＋sin x －a 2为奇函数”的▲________条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）11. 在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2018＝▲________． 12. 已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B ．若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是▲________．13. 在△ABC 中，已知AB →·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →，则cos C 的最小值是▲________．14. 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋54，x ＞0，－x 2－6x －8，x ≤0，若方程g [f (x )]－a ＝0（a ＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a 的取值范围是▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量→m＝(－1，3)，→n＝(cos A，sin A)，且→m·→n＝1．（1）求A的值；（2）若1＋sin2Bcos2B－sin2B＝－3，求tan C的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB//EF；（2）若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD．17．(本小题满分14分)如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向63千米处．（1）警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离；（2）警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前往B，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系北PC AB（第16题）（第17题）的总时长？18．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆C 经过点(0，3)，离心率为12，直线l 过点F 2与椭圆C 交于A 、B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△F 1AF 2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F 1NF 2与△F 1AF 2面积的 比值；（3）设点A ，F 2，B 在直线x ＝4上的射影依次为 点D ，G ， E ．连结AE ，BD ，试问当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于 定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是， 请说明理由．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋a ，a ∈R ．（1）若a ＝1，求函数f (x )的极值； （2）若函数f (x )有两个零点，求a 的范围；（3）对于曲线y ＝f (x )上的两个不同的点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))，记直线PQ 的斜率为k ， 若y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，证明：f ′(x 1＋x 22)＜k ．20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }均不是常数列，若a 1＝b 1＝1，且a 1，2a 2，4a 4成等比数列， 4b 2，2b 3，b 4成等差数列． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设m ，n 是正整数，若存在正整数i ，j ，k （i ＜j ＜k ），使得a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列， 求m ＋n 的最小值；（3）令c n ＝an bn ，记{c n }的前n 项和为T n ，{1an }的前n 项和为A n ．若数列{p n }满足p 1＝c 1，且对 n ≥2，（第18题）n ∈N*，都有p n ＝Tn －1n ＋A n c n ，设{p n }的前n 项和为S n ，求证：S n ＜4＋4ln n ．南师大附中2018届高三年级模拟考试数学附加题 2018.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定．．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在△ABC 中，已知AC ＝12AB ，CM 是∠ACB 的平分线，△AM C 的外接圆交BC 边于点N ，求证：BN =2AM ．（第21A 题）B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ＝π4(ρ∈R )相交于A ，B 两点，求线 段AB 的长．D．选修4—5：不等式选讲已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：12a＋1＋42b＋1≥94．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．（1）求S＝32的概率；（2）求S的分布列及数学期望E(S)．（第22题）23．(本小题满分10分)设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．（1）若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对(A，B)的个数；（2）若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对(A，B)的个数．南师大附中2018届高三年级校模考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．{0，1}2．－21 3．10 4．5 5．1076．4 7．3328．120522=-y x 9．－2ln210．充分不必要11．912．)23,6[]623Y --，（ 13．2314．），（451二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 解：（1） 因为1=⋅n m ，所以(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即1cos sin 3=-A A ， ………2分则1)21cos 23(sin 2=⋅-⋅A A ，即21)6sin(=-πA ， ………4分又π<<A 0 ，所以5666A πππ-<-<， 故66ππ=-A ，所以3π=A ． ………6分（2）由题知3sin cos cos sin 2122-=-+BB BB ，整理得 0cos 2cos sin sin 22=--B B B B………8分易知0cos ≠B ，所以02tan tan 2=--B B ，所以2tan =B 或1tan -=B ，………10分而1tan -=B 时0sin cos 22=-B B ，不合题意舍去， 所以2tan =B ，………12分故)tan()](tan[tan B A B A C +-=+-=πtan tan 1tan tan A B A B +=-=-．………14分16．(本小题满分14分)证明：（1） 因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB //CD ．………2分又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ， 所以AB //平面PDC ，………4分又因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面PDC ＝EF ， 所以AB //EF ．………7分（2） 因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD ．………8分因为AF ⊥EF ，（1）中已证AB //EF ，所以AB ⊥AF ， ………9分 又AB ⊥AD ，由点E 在棱PC 上（异于点C ），所以F 点异于点D ，所以AF ∩AD ＝A ， AF ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ， ………12分 又AB ⊂平面ABCD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD ． ………14分17．(本小题满分14分)解：（1）在ABC ∆中，6=AB ，︒=∠60A ，︒=∠75APB由正弦定理，ABPAPB AB sin sin =∠，即64BP ===，故PB 的距离是9 2－36千米． ………4分 （2）甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()t f ，要保持通话则需要()9≤t f ．︒1当10≤≤t 时，()()()()︒-⋅⋅--+=60cos 31262312622t t t t t f9=≤， ………6分即071672≤+-t t ，解得71587158+≤≤-t ，又[]1,0∈t 所以17158≤≤-t ， ………8分 时长为7115-小时． ︒2当41≤<t 时，()()()︒-⋅--+=60cos 31262312362t t t f9=≤， ………10分即0362≤+-t t ，解得6363+≤≤-t ，又]4,1(∈t所以41≤<t ， ………12分 时长为3小时．3＋7115-＝（小时）．小时． ………14分 （注：不答扣1分）18．(本小题满分16分)解：（1）由题意，b ＝3，又因为c a ＝12，所以b a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x24＋y23＝1. ………4分 （2）因为点N 为△F 1AF 2的内心，所以点N 为△F 1AF 2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r .则S △F 1NF 2S △F 1AF 2＝12×F 1F 2×r 12×(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)×r＝F1F2AF1＋AF2＋F1F2＝c a ＋c ＝13. ………8分（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于F 2G 的中点(52，0)， ………9分下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，⎩⎨⎧y ＝k(x －1)，x24＋y23＝1化简得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 因为直线l 经过椭圆C 内的点(1，0)，所以△＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k23＋4k2，x 1x 2＝4k2－123＋4k2. ………11分由题意，D (4，y 1)，E (4，y 2)， 直线AE 的方程为y －y 2＝y2－y14－x1(x －4)，令x ＝52，此时y ＝y 2＋y2－y14－x1×(52－4)＝2(x1－4)y2＋3(y2－y1)2(x1－4)＝2(x1－4)k(x2－1)＋3k(x2－x1)2(x1－4)＝8k ＋2kx1x2－5k(x2＋x1)2(x1－4)＝8k ＋2k·4k2－123＋4k2－5k ·8k23＋4k22(x 1－4)＝8k·(3＋4k2)＋2k·(4k2－12)－5k·8k22(x1－4)(3＋4k2)＝24k ＋32k3＋8k3－24k －40k32(x1－4)(3＋4k2)＝40k3－40k32(x1－4)(3＋4k2)＝0，所以点T (52，0)在直线AE 上，同理可证，点T (52，0)在直线BD 上. ………16分所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).19．(本小题满分16分) 解：（1）'11()axf x a x x-=-=，0x >， 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值； ………2分 当0a >时，1(0,),x a∈'()0f x >，()f x 在1(0,),a上单调递增； 1(,),x a∈+∞'()0f x <，()f x 在1(,),a+∞上单调递减， 函数有极大值1()ln 1f a a a=--，无极小值． ………4分 （2）由（1）可知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a ＞0时，函数有极大值1()ln 1f a a a =--，令()ln 1g x x x =--（x ＞0）， 11'()1x g x x x -=-=，(0,1)x ∈，'()0g x <，()0g x <在(0，1)上单调递减；(1,)x ∈+∞，'()0g x >，()g x 在(1，＋∞)上单调递增， 函数()g x 有最小值(1)0g =．要使若函数()f x 有两个零点时，必须满足01a a >≠且， ………6分 下面证明01a a >≠且时，函数有两个零点．因为(1)0f =，所以下面证明()f x 还有另一个零点． ①当01a <<时，1()ln 10f a a a=-->，222112ln 12ln 1()2ln a a a a a a f a a a a a a-+--+=-+-==-， 令2()2ln 1h a a a a =-+(01a <<)，'()2(ln 1)22(ln 1)0h a a a a a =+-=-+<， ()h a 在(0,1)上单调递减，()(1)0h a h >=，则21()0f a <，所以()f x 在211(,)a a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减， 所以()f x 在211(,)a a 上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．②当1a >时，1()ln 10f a a a=-->，111()0a a a f a a a a e e e=--⨯+=-⨯<，易证ae a >，可得11a e a <，所以()f x 在11(,)a e a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减，所以()f x 在11(,)a e a上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．综上，a 的范围是(0,1)(1,)+∞U ． ………10分 （3）证明：121221()()ln ln ()f x f x x x a x x -=-+-， 12122112121212()()ln ln ()ln ln f x f x x x a x x x x k a x x x x x x --+--===----，又'11()ax f x a x x -=-=，'12122()2x x f a x x +=-+， ………12分'121212112121212212111222ln ln 2()21()[ln ]22(1)1[ln ]1x x x x x x x f k x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=-=-+--+-=--+不妨设0＜x 2＜x 1， t ＝x1x2，则t ＞1，则1211222(1)2(1)ln ln 11x x x t t x x t x ---=-++．令2(1)()ln 1t h t t t -=-+（1t >）， 则22(1)'()0(1)t h t t t-=-<+， 因此h (t )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (t )＜h (1)＝0. 又0＜x 2＜x 1，所以x 1－x 2＞0，所以f ′(x 1＋x 22)－k ＜0，即f ′(x 1＋x 22)＜k ． ………16分20．(本小题满分16分)解：（1）设等差数列的公差为d （d ≠0），等比数列在公比为q （q ≠1），由题意得：222141112332411144()(3)4444a a a a d a a d b b b b q b q b q⎧⎧=+=+⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，，解得d ＝1，q ＝2， ………4分 所以1,2n n n a n b -==.（2）由a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列， 有2m n i m j n k a a b a b a b =+， 即1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅ ，由于i j k <<，且为正整数，所以1,2j i k i -≥-≥， 所以22224j ik i mn m n m n --=⋅+⋅≥+， ………6分可得 2mn m n ≥+， 即211m n +≤， ①当1≤m ≤2时，不等式211m n+≤不成立；②当42m n =⎧⎨=⎩ 或 33m n =⎧⎨=⎩时 1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅成立； ………8分③当4n ≥时，01>n ，12<m，即2>m ，则有6>+n m ； 所以n m +的最小值为6，当且仅当1=-i j ，2=-i k 且42m n =⎧⎨=⎩ 或 33m n =⎧⎨=⎩时取得． ………10分（3）由题意得：1221(1)22c p c =++ 123311(1)323c c p c +=+++L123123111(1)()23111(1)23n nn nS p p p p c c c c n T n=++++=++++++++=++++L L L L ………11分123n n T c c c c =++++L （1）1211112222n n T c c c =+++L （2） （1）—（2）得1111111224822n n n nT -=+++++-L1122()()22n nn =-- ， ………12分求得 114(2)()42n n T n -=-+<，所以 1114(1)23n S n <++++L ，设1()ln 1(1)f x x x x =+->，则22111()0x f x x x x-'=-=>，所以 ()f x 在(1,)+∞上单调递增，有()(1)0f x f >=，可得 1ln 1x x>-. ………14分 当2k ≥，且k ∈N*时，11kk >-，有11ln 11k k k k k ->-=- ，所以12131ln ,ln ,,ln 21321nn n <<<-L ，可得1112311ln ln ln1ln 23121nn n n ++++<++++=+-K K ， 所以1114(1)4(1ln )23n S n n<++++<+L . ………16分南师大附中2018届高三年级校模考试 数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定．．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明： 如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，所以AC BC ＝AMBM． 又AC ＝12AB ，所以 AB BC ＝2AMBM ① …………… 4分因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以，BM ·BA ＝BN ·BC ，即 AB BC ＝BNBM② ……………8分 由①、②可知2AM BM ＝BNBM， 所以 BN =2AM ． ……………10分B ．选修4—2：矩阵与变换 解： 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4． …………… 3分因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x )－4＝0，解得x ＝1． …………… 6分 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1． ……………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：圆C ：ρ＝22cos θ直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝2． 直线l ：θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ． …………… 6分圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1． …………… 8分所以AB ＝2． ……………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：证法一 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以(12a ＋1＋42b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]＝1＋4＋2b ＋12a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋1≥5＋22b ＋12a ＋1×4(2a ＋1)2b ＋1＝9． ……………8分 而 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以12a ＋1＋42b ＋1≥94 ． …………… 10分证法二 因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得 (12a ＋1＋42b ＋1)[(2a ＋1)＋(2b ＋1)] ≥(12a ＋12a ＋1 ＋42b ＋12b ＋1 )2 ＝(1＋2)2＝9． …………… 8分 由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4， 所以12a ＋1＋42b ＋1≥94． ……………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C36种不同选法， 其中S ＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种， 所以P (S ＝32)＝12C36＝35. ……………3分 （2）S 的所有可能取值为34，32，334. S ＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)，共6种， 所以P (S ＝34)＝6C36＝310. ……………5分 S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)，共2种，所以P (S ＝334)＝2C36＝110. ……………7分又由（1）知P (S ＝32)＝12C36＝35，故S 的分布列为所以E(S)＝34×310＋32×35＋334×110＝9320. ……………10分23．(本小题满分10分)解：（1）若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}，则A＝∅，{a1}，{a2}，则(A，B)的个数为3；若集合B含有1个元素，则B有12C种，不妨设B＝{a1}，则A＝∅，此时(A，B)的个数为12C×1＝2.综上，(A，B)的个数为5. …………3分（2）集合M有2n子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，则不同的有序集合对(A，B)的个数为2n(2n－1). …………5分若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B)的个数为C0n(C0n－1)＋C1n(C1n－1)＋C2n(C2n－1)＋…＋Cn n(Cn n－1)＝(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cn n)2－(C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cn n). …………7分又(x＋1)n(x＋1)n的展开式中x n的系数为(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cn n)2，且(x＋1)n(x＋1)n＝(x＋1)2n的展开式中x n的系数为Cn2n，所以(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cn n)2＝Cn2n.因为C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cn n＝2n，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，有序集合对(A，B)的个数为Cn2n－2n. …………9分所以，A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为2n(2n－1)－(Cn2n－2n)2＝22n－Cn2n2. …………10分。
南京市2018届高三年级第三次模拟考试(数学)参考答案
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{－3，－2，2} 2． 5 3．150 4．7 5．23 6．[211，2] 7． ①③8． 5 9．4 10．2 11．x ＋2y －4＝0 12．－3 13．259 14．[e 2，4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为点P 的横坐标为277，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277， ………………………………2分所以cos2α＝2cos 2α－1＝17． ………………………………4分（2）因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314． ………………………………6分 又因为β为锐角，所以cos β＝1314． ………………………………8分因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217，因此sin2α＝2sin αcos α＝437， ……………………………10分所以sin(2α－β) ＝437×1314－17×3314＝32． ……………………………12分 因为α为锐角，所以0＜2α＜π． 又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3． …………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）证明：如图1，连结PE ．因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PE ⊥BC ， ……………………2分 且PE ＝3，同理AE ＝3．因为P A ＝6，所以PE 2＋AE 2＝P A 2，所以PE ⊥AE ．……4分 因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC ⊂平面ABC ， 所以PE ⊥平面ABC ． 因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ……………………7分 （2）解法一如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．因为PD ∥平面AEM ，PD ⊂平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，所以PD ∥OM ， ……………………………………9分 所以PM PC ＝DODC ． ……………………………………11分因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ， 所以O 为∆ABC 重心，所以DO DC ＝13， 所以PM ＝13PC ＝23． …………………………………14分解法二如图2，取BE 的中点N ，连接PN ． 因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点， 所以DN ∥AE ．又DN ⊄平面AEM ，AE ⊂平面AEM ， 所以DN ∥平面AEM ．又因为PD ∥平面AEM ，DN ⊂平面PDN ，PD ⊂平面PDN ，DN ∩PD ＝D ， 所以平面PDN ∥平面AEM ． ………………………………9分 又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ，所以ME ∥PN ，所以PM PC ＝NENC ． ………………………………11分因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，所以NE NC ＝13，所以PM ＝13PC ＝23． ………………………………14分17．(本小题满分14分) 解：（1）连结DC ．(图2)PAM DEC B N(图1)OB P ACMDE在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23． ………………………………2分因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． ………………………………4分 （2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以DF sin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BDsin ∠BFD ，所以DF ＝4cos θsin(π6＋θ)， ………………………………6分且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ， ………………………………8分 所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π6)＋3． …………………………………12分因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合． ……………13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大． …………………………………14分18．(本小题满分16分)解（1）离心率e ＝c a ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ， …………………………………2分所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1．因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． …………………………………4分（2）解法一设N (n ，0)，当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，则NA →⋅NB →＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425＝n 2－45n －45， …………………………………6分当l 经过左､右顶点时，NA →⋅NB →＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4． ……………………………………8分下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA →⋅NB →＝12．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， …………………………………10分所以NA →⋅NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2 …………………………………12分＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k 2＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． …………………………………16分 解法二设N (n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －25)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， …………………………………6分所以NA →⋅NB →＝(x 1－n )(x 2－n )＋y 1y 2＝(x 1－n )(x 2－n )＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k 2＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k 2 ……………………………………8分＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋n 2＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2． ……………………………………12分 若NA →⋅NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，则(－165n －165)k 2－4＝4λk 2＋λ对任意的实数k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4，此时NA →⋅NB →＝12． ……………………………………14分 当直线l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，所以NA →⋅NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12，所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． ………………………………16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），所以f'(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．令f'(x )＝0，得x ＝0或a ． ………………………………2分 当x ∈(－∞，0)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，f'(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增．故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23． ………………………………4分（2）g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0）， 则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，则g (x )取得最大值时x 的值为1． ……………………………6分②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42． ………………………………8分综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为a －a 2－42． ……………………………9分（3）设h (x )＝f (x )－f ′(x )＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，则h (x )≥0在[a 2，a ＋22]有解． ………………………………10分h ′(x )＝6[x 2－(a ＋2)x ＋a ]＝6[(x －a ＋22)2－a 2＋44]，因为h ′(x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h ′(x )＜h ′(a 2)＝－32a 2＜0，所以h (x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h (a2)≥0，即a 3－3a 2－6a ＋4≤0． …………………………………12分设t (a )＝a 3－3a 2－6a ＋4（a ＞0），则t ′ (a )＝3a 2－6a －6， 当a ∈(0，1＋2)时，t ′ (a )＜0，t (a )单调递减； 当a ∈(1＋2，＋∞)时，t ′ (a )＞0，t (a )单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a )存在一个零点m ∈(0，1)， …………………14分 因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a )存在一个零点n ∈(4，5)， 所以t (a )≤0的解集为[m ，n ]，故满足条件的正整数a 的集合为{1，2，3，4}． …………………………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2． …………………………………2分 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，因此数列{a n }为“T 数列”． …………………………………4分 （2）因为数列{a n }是公差为d 的等差数列， 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1) d ＋|d |． 因为数列{a n }为“T 数列”，所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1) d ＋|d |＝a m ，即有(m －n ) d ＝|d |．…………6分 ①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n ) d ＝|d |， ②若d ＜0，则m ＝n －1．此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意．综上，d ≥0． ……………………………………8分 （3）因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1．又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”， 所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列． …………………………………10分 设数列{a n }的公差为t (t ＞0)，则有a n ＝1＋(n －1)t ，由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ，………………………………12分整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1， ①n (t －2t 2)＞2t －t 2－1． ②若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋12t 2－t，则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t ) N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾， 因此2t 2－t ≥0．同样根据②式可得t －2t 2≥0， 所以2t 2－t ＝0．又t ＞0，所以t ＝12．经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12． ………………………………16分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2018.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA ， ………………………………2分又∠MBN ＝∠CBA ，因此△MBN ∽△CBA ． ………………………………4分 所以AB AC ＝BNMN ． ………………………………6分又因为AC ＝12AB ，所以BNMN ＝2，即BN ＝2MN ． ………………………………8分又因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，所以CM 是∠ACB 的平分线． ………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1． ………………………………4分 设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )．因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ①由AB ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ， 得⎩⎨⎧2 x 0＋2 y 0＝x ， y 0＝y ，………………………………6分 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y ．② 将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0． ………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：解法一在直线ρsin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2.所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)． ………………………………4分因为圆C 经过点P (2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cos π3＝2， ……………………………6分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ． ……………………………10分解法二以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C (2，0)， ………………………………4分 所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2， ………………………………6分所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， ………………………………8分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ. ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b )2＋(2b ＋c )2＋(2c ＋a )2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a )2，即(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9(a ＋b ＋c )． ……………………………4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9， ……………………………6分所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立．所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为3. ……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p2＋1＝2，所以p ＝2. ……………………………3分（2）解法一由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0， 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2． ……………………………6分 因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m －2， ……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m )|＝16． ……………………………10分解法二由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则AM →·AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2) (y 2－2)＝0． ……6分 又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在y 2＝4x 上，所以(y 21－4) (y 22－4)＋16( y 1－2) (y 2－2)＝0，即[( y 1＋2) (y 2＋2)＋16]( y 1－2) (y 2－2)＝0．因为( y 1－2) (y 2－2)≠0，所以( y 1＋2) (y 2＋2)＝－16， ……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16． ……………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为f n (x )＝i ＝1∑n －1An －in x (x ＋1)…(x ＋i －1)，所以f n (1)＝i ＝1∑n －1An －i n ×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n !＝(n －1)×n !，g n (1)＝A nn ＋1×2×…×n ＝2×n !，所以(n －1)×n !＝14×n !，解得n ＝15． ……………………………3分 （2）因为f 2(x )＋g 2(x )＝2x ＋2＋x (x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，f 3(x )＋g 3(x )＝6x ＋3x (x ＋1)＋6＋x (x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． ……………………………5分下面用数学归纳法证明： 当n ＝2时，命题成立；假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )，因为f k ＋1(x )＝i ＝1∑kAk ＋1－ik ＋1x (x ＋1)…(x ＋i －1)＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －ik x (x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1k ＋1x (x ＋1)…(x ＋k －1)＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)，所以f k ＋1(x )＋g k ＋1(x )＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)[ f k (x )＋x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A kk ]＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)[ f k (x )＋g k (x )]＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k ) (x ＋k ＋1)，即n ＝k ＋1时命题也成立．因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． …………………9分所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．……………………………10分。
高三数学-2018年南京市高三第三次质量检测 精品
2018年南京市高三第三次质量检测数 学 2018.5本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷(第1题至12题)，第II 卷(第13题至22题)．共150分，考试时间120分钟．第I 卷(选择题共60分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )＝kn C P k (1－P )n -k正棱锥、圆锥的侧面积公式 S 锥侧＝21cl其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长球的体积公式 V 球＝34πR 3其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． （1）抛物线212y x =-的焦点坐标是 A ．1(0,)2B ．(0,1)-C ．1(,0)8- D ．1(0,)2-（2）函数()log a f x x =(0a >，且1a ≠)的反函数1()y f x -=是减函数的充分必要条件是A ．01a <<B ．1a >C ．112a << D ．12a << （3）如图是150辆汽车通过某路段时速度的频率分布直方图，则速度在[60,70)的汽车大A．100辆B．80辆C．60辆D．45辆（4）集合{|sin,3nM x x nπ==∈Z}，{|cos,2nN x x nπ==∈N}，则M N= A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{0} D．∅（5）已知A，B是圆心为C||5AB=，则AC CB⋅等于A．52-B．52C．0 D（6）已知数列{}na的前n项和(40)nS n n=-，则下列判断正确的是A．19210,0a a><B．20210,0a a><C．19210,0a a<>D．19200,0a a<>（7）函数3xy=的图象与函数21()3xy-=的图象关于A．直线1x=对称B．点(1,0)-对称C．直线1x=-对称D．点(1,0)对称（8）方程1sin4x xπ=的解的个数是A．5 B．6 C．7 D．8（9）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，1A B B C A A==，90ABC∠=，点E、F分别是棱AB、BB1的中点．则直线EF和BC1所成的角是A．45B．60C．90D．120（10）显示屏上的7个小孔排成一排，每个小孔可以显示红、绿两种颜色，或不显示．若每次显示其中三个小孔，但相邻的两个小孔不同时显示，则该显示屏能够显示的不同的信号种数为A ．80B ．60C ．48D ．10（11）已知关于t 的方程20t tx y ++=有两个绝对值都不大于1的实数根，则点(,)P x y 在坐标平面内所对应的区域的图形大致是（12）某市原来的民用电价为0.52元/千瓦时，换装分时电表后，峰时段的电价为0.55元/千瓦时，谷时段的电价为0.30元/千瓦时．对于一个平均每天用电量为15千瓦时的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的20%，则这个家庭每天在峰时段的平均用电量至多为 A ．6.5千瓦时 B ．6.96千瓦时 C ．7.5千瓦时 D ．8千瓦时第II 卷(非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）不等式122x x ->+的解集为． （14）已知点F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，点A（4，1）是椭圆内的一点，点P （x ，y ）（x ≥0）是椭圆上的一个动点，则||FA AP +的最大值是 ．（15）函数sin (sin cos )y x x x =+([0,])2x π∈的值域是 ．（16）如图，在长方体AC 1中，AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝3．长为2的线段MN 在棱AB 上滑A BCD动，点E ，F 分别是棱A 1B 1，C 1D 1上的动点．则三棱锥N －MEF 的体积是 ． 三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)在ABC ∆中，A 、B 、C 为三角形的三个内角，且A ＜B ＜C ，sin B 45=， cos （2A ＋C ）45=-．求cos2A 的值．(18)(本小题满分12分) 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100m 跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别是25，34，13．如果对这3名短跑运动员的100m 跑的成绩进行一次检测．问：（I ）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ （II ）出现几人合格的概率最大？如图，点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D－AC－B．（Ⅰ）求EOF∠的大小；（Ⅱ）求二面角E OF A--的大小．(20) (本小题满分12分)下表给出一个“三角形数阵”：141 2，143 4，38，316……已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈*N）．（1）求a83；（2）试写出a ij关于i，j的表达式；（3）记第n行的和为A n，求数列{A n}的前m项和B m的表达式．0），C （2，0），内切圆圆心I （1，t ）．设点A 的轨迹为L ．（1）求L 的方程；（2）过点C 作直线m 交曲线L 于不同的两点M ，N ，问在x 轴上是否存在一个异于C 的定点Q ，使QM →·QC →|QM →|＝QN →·QC →|QN →|对任意的直线m 都成立？若存在，试求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(22)(本小题满分14分)设1x 、2x 是函数322()32a b f x x x a x =+-（a ＞0）的两个极值点，且12||||2x x +=． （1）证明：01a <≤； （2）证明：||9b ≤； （3）若函数1()'()2()h x f x a x x =--，证明：当12x x <<且10x <时，|()|4h x a ≤．2018年南京市高三数学第三次质量检测参考解答及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：每小题5分，满分60分．(1)D (2)A (3) C (4)C (5) A (6)C (7)A (8)C (9)B (10)A (11)A (12)B 二、填空题：每小题4分，满分16分．(13) (5,2)--； (14) 5； (15) 1[0,]2； (16) 3． 三、解答题（17）(本小题满分12分)解法一：,180,0,022A B C A B C B A C ππ<<++=∴<<<+<．…………2＇由sin B 45=，得cos B 35=．…………………………………………………………………4＇ ∴43sin(),cos()55A C A C +=+=-．………………………………………………6＇又由cos （2A ＋C ）45=-，得sin （2A ＋C ）35=．………………………………………8＇7sin sin[(2)()]25A A C A C ∴=+-+==． ………………………………………10＇2527cos 212sin 625A A =-=．……………………12＇解法二：,2()A C B A C A B A B πππ+=-+=+-=+-， …………………2＇所以，4cos()cos(2)5A B A C -=-+=．………………………………………………4＇因为A ＜B ，所以，3sin()5A B -=-．…………………………………………………6＇因为sin B 45=，A ＜B ＜C ， 所以，cos B 35=． …………………………………………………………………………8＇所以，7sin sin[()]25A AB B =-+==．…………………………………………10＇2527cos 212sin 625A A =-=．……………………………………………………………12＇（18）(本小题满分12分)解：分别记甲、乙、丙三人100m 跑合格为事件A ，B ，C ．显然，A 、B 、C 相互独立．P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13，P (A －)＝1－ 25＝35，P (B －)＝1－34＝14，P (C －)＝1－13＝23．……………………………2'设恰有k 人合格的概率为P k (0,1,2,3)k =． （I ）三人都合格的概率为P 3＝P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110；…………………………4'三人都不合格的概率为P 0＝P (A －·B －·C －)＝P (A －)·P (B －)·P (C －)＝35×14×23＝110．…………………6'答：三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是110．……………………………7'（II ）因为A ·B ·C －，A ·B －·C ，A －·B ·C 两两互斥， 所以恰有两人合格的概率为P 2＝P (A ·B ·C －＋A ·B －·C ＋A －·B ·C )＝P (A ·B ·C －)＋P (A ·B －·C )＋P (A －·B ·C ) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360； ………………………………………9'恰有一人合格的概率为 P 1＝1－110－ 110－2360＝2560． …………………………………………………11' 由（I ）（II ）知，P 0，P 1，P 2，P 3中，P 1最大．答：出现恰有１人合格的概率最大． ………………………………………………12'（19）(本小题满分12分)解法一：（Ⅰ）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H，则EG FH ==GH =．………………………………………………………………2＇22222cos90EF GH EG FH EG FH ∴=++-⋅222012.=++-= …………………………………………4＇又在EOF ∆中，2OE OF ==，222222221cos 22222OE OF EF EOF OE OF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯．120EOF ∴∠=． ……………………………………………………………………6＇（Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ．∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ．∴EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角．…………………………………………9＇在Rt ∆EGM 中，90EGM ∠=，EG =，112GM OE ==， ∴tan EGEMG GM∠==EMG ∠=所以，二面角E OF A --的大小为………………………………………12＇ 解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O －xyz ， …………………………………1＇则(1,1OE =-，(0,2,0)OF =．………3＇1cos ,2||||OE OF OE OF OE OF ⋅∴<>==-．……5＇120EOF ∴∠=． …………………………6＇（Ⅱ）设平面OEF 的法向量为1(1,,)n y z =． 由110,0,n OE n OF ⋅=⋅=得10,20,y y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得0,2y z ==-． 所以，1(1,0,n =． ………………………………………………………………9＇又因为平面AOF 的法向量为2(0,0,1)n =， ………………………………………10＇1212123cos ,||||n n n n n n ⋅∴<>==．∴12,n n <>=．所以，二面角E OF A --的大小为arccos3．……………………………………12＇ （注：若二面角大小错写为arccos 3π-，扣1＇）（20）(本小题满分12分)解：（I ）由题知，{a i 1}成等差数列，因为a 11＝14，a 21＝12，所以，公差d ＝14，a 81＝14＋（8－1）·14＝2．……………………………………………2'又各行成等比数列，公比都相等，a 31＝34，a 32＝38，所以，每行的公比是q ＝12．………………………………………………………………4'所以 a 83＝2×（12）2＝12．………………………………………………………………5'（II ）由（I ）知，a i 1＝14＋（i －1）·14＝i4，所以 a ij ＝a i 1·（12）j －1＝i 4·（12）j －1＝i （12）j ＋1．………………………………………8'（III ）A n ＝a n 1[1＋12＋（12）2＋…＋（12）n －1]＝n 4[2－（12）n －1]＝n 2－n （12）n ＋1． …………………………………………9'B m ＝12（1＋2＋…＋m ）－12（12＋24＋38＋…＋m2m ）． ………………………10'设 T m ＝12＋24＋38＋…＋m2m ， ……………………①则 12T m ＝14＋28＋316＋…＋m2m ＋1．…………………②由①－②，得12T m ＝12＋14＋…＋12m －m 2m ＋1＝1－12m －m2m ＋1＝1－m ＋22m ＋1，所以，B m ＝12·m (m ＋1)2－(1－ m ＋22m ＋1)＝m (m ＋1)4＋ m ＋22m ＋1－1．……………………12'（21）(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题知，|AD |＝|AF |，|BD |＝|BE |，|CE |＝|CF |，∴ |AB |－|AC |＝|BD |－|CF |＝|BE |－|CE |＝|BO |＋|OE |－（|OC |－|OE |）＝2|OE |． ∵ IE ⊥x 轴，I （1，t ）， ∴ E （1，0）． ∴ |OE |＝2．∴ |AB |－|AC |＝2．……………………………………………4'根据双曲线的定义知，点A 的轨迹L 是以B ，C 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去E （1，0），故L 的方程为x 2－y 2＝1(x ＞1)．……………………………………………6' （注：未写出x ＞1，扣1'）(Ⅱ) 解法一：设点0(,0)Q x ，1122(,),(,)M x y N x y ．由（Ⅰ）可知，C ．∵QM →·QC →|QM →|＝QN →·QC →|QN →|⇔QM →·QC →|QM →||QC →|＝QN →·QC →|QN →||QC →|⇔cos<QM →，QC →>＝cos<QN →，QC →> ………2'⇔∠MQC ＝∠NQC …………………………………………………………………8'于是：（1）当直线MN ⊥x 轴时，点0(,0)Q x 在x 轴上任何一点处，都能够使得∠MQC ＝∠NQC 成立；……………………………………………………………9'（2）当直线MN 不与x 轴垂直时，设直线MN：(y k x =由221,(x y y k x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩消去y ，得 2222(1)(21)0k x x k -+-+=，则12x x +=2122211k x x k +=-．1211122((()1y y k x k x k x x k ∴+=+=+-=-．……………………10' 121020tan ,tan ,QM QN y y MQC k NQC k x x x x ∠==∠=-=---所以，要使∠MQC ＝∠NQC 成立，只要使tan MQC ∠=tan NQC ∠成立，即110y x x -=220y x x --，即110y x x -2200y x x +=-， 即210112020x y x y x y x y -+-=，即12021121212()((2()y y x x k x x k x kx x x x +=⋅+⋅=+， 即022211k x k k ⋅=--，即02x =． 所以，当点Q 的坐标为(2时，能够使得||||QM QC QN QCQM QN ⋅⋅=成立．……………12' 解法二：设满足条件的点Q 存在．∵ QM →·QC →|QM →|＝QN →·QC →|QN →|⇔ QM →·QC →|QM →||QC →|＝QN →·QC →|QN →||QC →|⇔ cos<QM →，QC →>＝cos<QN →，QC →>⇔ ∠MQC ＝∠NQC ……………………………………8' 根据角平分线定理，|QM ||QN |＝|MC ||NC |．因为曲线L 的准线为l ：x ＝22，设与x 轴的交点为K （22，0）． 假设Q 与K 不重合，则过M ，N 分别引l 的垂线MM 0，NN 0，垂足分别为M 0，N 0，过Q 引l 的平行线，分别交直线MM 0，NN 0于M 1，N 1．由双曲线的性质知，|MC ||MM 0|＝|NC ||NN 0|＝ca ，所以|MC ||NC |＝|MM 0||NN 0|． 所以 |QM ||QN |＝|MM 0||NN 0|．………………①………10'因为 ∠MQC ＝∠NQC ， 所以 ∠MQM 1＝∠NQN 1． 又 MM 1∥x 轴∥NN 1，所以 ∠MM 1Q ＝∠NN 1Q ＝90o ． 所以 Rt △MM 1Q ∽Rt △NN 1Q ． 所以 |QM ||QN |＝|MM 1||NN 1|．…………………② 由①②知 |MM 1||NN 1|＝|MM 0||NN 0|， 所以|M 0M 1||N 0N 1|＝|MM 0||NN 0|． 因为 |M 0M 1|＝|N 0N 1|， 所以 |MM 0|＝|NN 0|． 所以 MN ⊥x 轴，这与m 是过点C 的任意一条直线矛盾． 因此，Q 与K 重合，即存在点Q （22，0）满足条件．………………………12'（22）(本小题满分14分)解：（I ）'()f x ＝ax 2＋bx －a 2，∵ x 1，x 2是f (x )的两个极值点，∴ x 1，x 2是方程'()f x ＝0的两个实数根．…………………………………1' ∵ a ＞0，∴ x 1x 2＝－a ＜0，x 1＋x 2＝－ba ．……………………………………………2'∴ | x 1|＋|x 2|＝| x 1－x 2|＝b 2a 2＋4a ．…………………………………………3' ∵ | x 1|＋|x 2|＝2， ∴ b 2a2＋4a ＝4，即 b 2＝4a 2－4a 3．……………………………………………………………4' ∵ b 2≥0，∴ 0＜a ≤1．…………………………………………………………………5' （II ）设g (a )＝4a 2－4a 3，则 g '(a )＝8a －12a 2＝4a (2－3a )． ……………………………………………6'由g '(a )＞0⇔0＜a ＜23，g '(a )＜0⇔23＜a ≤1，………………………………8'得 g (a )在区间（0，23）上是增函数，在区间（23，1]上是减函数，∴ g (a )max ＝g (23)＝1627．………………………………………………………9'∴ |b |≤439．………………………………………………………………10' （III ）∵ x 1，x 2是方程f '(x )＝0的两个实数根，∴ f '(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．…………………………………………………11' ∴ h (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)－2a (x －x 1)＝a (x －x 1)(x －x 2－2)，∴ | h (x )|＝a | x －x 1|| x －x 2－2|≤a (| x －x 1|＋| x －x 2－2|2)2．………………12'∵ x ＞x 1，∴| x －x 1|＝x －x 1．又x 1＜0，x 1x 2＜0，∴x 2＞0．∴x 2＋2＞2． ∵ x ＜2，∴x －x 2－2＜0．∴ | x －x 2－2|＝x 2＋2－x ． ∴ | x －x 1|＋| x －x 2－2|＝x 2－x 1＋2＝4．∴ | h (x )|≤4a ．…………………………………………………………14'。
2018届南京师大附中高三年级校模参考答案
南师大附中2018届高三年级校模考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．{0，1}2．－21 3．10 4．5 5．1076．47．3328．120522=-y x9．－2ln210．充分不必要 11．912．)23,6[]623 --，（ 13．2314．），（451二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 解：（1） 因为1=⋅n m ，所以(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即1cos sin 3=-A A ， ………2分则1)21cos 23(sin 2=⋅-⋅A A ，即21)6sin(=-πA ， ………4分又π<<A 0 ，所以5666A πππ-<-<， 故66ππ=-A ，所以3π=A ． ………6分（2）由题知 3sin cos cos sin 2122-=-+BB BB ，整理得0cos 2cos sin sin 22=--B B B B………8分易知0cos ≠B ，所以02tan tan 2=--B B ，所以2tan =B 或1tan -=B ，………10分而1tan -=B 时0sin cos 22=-B B ，不合题意舍去， 所以2tan =B ，………12分故)tan()](tan[tan B A B A C +-=+-=πtan tan 1tan tan A B A B +=-=-．………14分16．(本小题满分14分)证明：（1） 因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB //CD ．………2分又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ， 所以AB //平面PDC ，………4分又因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面PDC ＝EF ， 所以AB //EF ．………7分（2） 因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD ．………8分因为AF ⊥EF ，（1）中已证AB //EF ，所以AB ⊥AF ， ………9分 又AB ⊥AD ，由点E 在棱PC 上（异于点C ），所以F 点异于点D ，所以AF ∩AD ＝A ， AF ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ， ………12分 又AB ⊂平面ABCD ， 所以平面P AD ⊥平面ABCD ． ………14分17．(本小题满分14分)解：（1）在ABC ∆中，6=AB ，︒=∠60A ，︒=∠75APB由正弦定理，ABPAPB AB sin sin =∠，即64BP ⨯-===，故PB 的距离是92－36千米． ………4分（2）甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()t f ，要保持通话则需要()9≤t f ．︒1当10≤≤t 时，()()()()︒-⋅⋅--+=60cos 31262312622t t t t t f9=≤， ………6分即071672≤+-t t ，解得71587158+≤≤-t ，又[]1,0∈t 所以17158≤≤-t ， ………8分 时长为7115-小时． ︒2当41≤<t 时，()()()︒-⋅--+=60cos 31262312362t t t f9=≤， ………10分即0362≤+-t t ，解得6363+≤≤-t ，又]4,1(∈t所以41≤<t ， ………12分 时长为3小时． 3＋7115-（小时）．小时． ………14分 （注：不答扣1分）18．(本小题满分16分)解：（1）由题意，b ＝3，又因为c a ＝12，所以b a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. ………4分（2）因为点N 为△F 1AF 2的内心，所以点N 为△F 1AF 2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r .则S △F 1NF 2S △F 1AF 2＝12×F 1F 2×r 12×(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)×r ＝F 1F 2AF 1＋AF 2＋F 1F 2＝c a ＋c ＝13. ………8分 （3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于F 2G 的中点(52，0)， ………9分下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1化简得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 因为直线l 经过椭圆C 内的点(1，0)，所以△＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2. ………11分由题意，D (4，y 1)，E (4，y 2)，直线AE 的方程为y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，令x ＝52，此时y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1×(52－4)＝2(x 1－4)y 2＋3(y 2－y 1)2(x 1－4)＝2(x 1－4)k (x 2－1)＋3k (x 2－x 1)2(x 1－4)＝8k ＋2kx 1x 2－5k (x 2＋x 1)2(x 1－4)＝8k ＋2k ·4k 2－123＋4k 2－5k ·8k 23＋4k 22(x 1－4)＝8k ·(3＋4k 2)＋2k ·(4k 2－12)－5k ·8k 22(x 1－4)(3＋4k 2)＝24k ＋32k 3＋8k 3－24k －40k 32(x 1－4)(3＋4k 2)＝40k 3－40k 32(x 1－4)(3＋4k 2)＝0，所以点T (52，0)在直线AE 上，同理可证，点T (52，0)在直线BD 上. ………16分所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).19．(本小题满分16分) 解：（1）'11()axf x a x x-=-=，0x >， 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值； ………2分当0a >时，1(0,),x a∈'()0f x >，()f x 在1(0,),a上单调递增；1(,),x a ∈+∞'()0f x <，()f x 在1(,),a +∞上单调递减，函数有极大值1()ln 1f a a a=--，无极小值． ………4分（2）由（1）可知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a ＞0时，函数有极大值1()ln 1f a a a =--，令()ln 1g x x x =--（x ＞0）， 11'()1x g x x x -=-=，(0,1)x ∈，'()0g x <，()0g x <在(0，1)上单调递减；(1,)x ∈+∞，'()0g x >，()g x 在(1，＋∞)上单调递增， 函数()g x 有最小值(1)0g =．要使若函数()f x 有两个零点时，必须满足01a a >≠且， ………6分 下面证明01a a >≠且时，函数有两个零点．因为(1)0f =， 所以下面证明()f x 还有另一个零点． ①当01a <<时，1()ln 10f a a a=-->，222112ln 12ln 1()2ln a a a a a a f a a a a a a-+--+=-+-==-， 令2()2ln 1h a a a a =-+(01a <<)，'()2(ln 1)22(ln 1)0h a a a a a =+-=-+<， ()h a 在(0,1)上单调递减，()(1)0h a h >=，则21()0f a <，所以()f x 在211(,)a a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减， 所以()f x 在211(,)a a 上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．②当1a >时，1()ln 10f a a a=-->，111()0a a a f a a a a e e e=--⨯+=-⨯<，易证ae a >，可得11a e a <，所以()f x 在11(,)a e a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减，所以()f x 在11(,)a e a上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．综上，a 的范围是(0,1)(1,)+∞． (10)分（3）证明：121221()()ln ln ()f x f x x x a x x -=-+-， 12122112121212()()ln ln ()ln ln f x f x x x a x x x x k a x x x x x x --+--===----，又'11()ax f x a x x -=-=，'12122()2x x f a x x +=-+， (12)分'121212112121212212111222ln ln 2()21()[ln ]22(1)1[ln ]1x x x x x x x f k x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=-=-+--+-=--+不妨设0＜x 2＜x 1， t ＝x1x 2，则t ＞1，则1211222(1)2(1)ln ln 11x x x t t x x t x ---=-++． 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+（1t >）， 则22(1)'()0(1)t h t t t-=-<+， 因此h (t )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (t )＜h (1)＝0. 又0＜x 2＜x 1，所以x 1－x 2＞0，所以f ′(x 1＋x 22)－k ＜0，即f ′(x 1＋x 22)＜k ． ………16分20．(本小题满分16分)解：（1）设等差数列的公差为d （d ≠0），等比数列在公比为q （q ≠1），由题意得：222141112332411144()(3)4444a a a a d a a d b b b b q b q b q⎧⎧=+=+⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，，解得d ＝1，q ＝2， ………4分 所以1,2n n n a n b -==.（2）由a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列， 有2m n i m j n k a a b a b a b =+， 即1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅ ，由于i j k <<，且为正整数，所以1,2j i k i -≥-≥， 所以22224j ik i mn m n m n --=⋅+⋅≥+， ………6分可得 2mn m n ≥+， 即211m n +≤， ①当1≤m ≤2时，不等式211m n+≤不成立；②当42m n =⎧⎨=⎩ 或 33m n =⎧⎨=⎩时 1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅成立； ………8分 ③当4n ≥时，01>n ，12<m，即2>m ，则有6>+n m ； 所以n m +的最小值为6，当且仅当1=-i j ，2=-i k 且42m n =⎧⎨=⎩ 或33m n =⎧⎨=⎩时取得． ………10分 （3）由题意得：1221(1)22c p c =++ 123311(1)323c c p c +=+++123123111(1)()23111(1)23n nn n S p p p p c c c c n T n=++++=++++++++=++++ ………11分123n n T c c c c =++++ （1）1211112222n n T c c c =+++ （2） （1）—（2）得1111111224822n n n nT -=+++++-1122()()22n nn =-- ， ………12分求得 114(2)()42n n T n -=-+<，所以 1114(1)23n S n <++++，设1()ln 1(1)f x x x x =+->，则22111()0x f x x x x-'=-=>，所以 ()f x 在(1,)+∞上单调递增，有()(1)0f x f >=，可得 1ln 1x x>-. ………14分 当2k ≥，且k ∈N*时，11kk >-，有11ln 11k k k k k ->-=- ，所以12131ln ,ln ,,ln 21321nn n <<<-，可得1112311ln ln ln1ln 23121nn n n ++++<++++=+-， 所以1114(1)4(1ln )23n S n n<++++<+. ………16分南师大附中2018届高三年级校模考试 数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明： 如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，所以AC BC ＝AMBM． 又AC ＝12AB ，所以 AB BC ＝2AMBM ① …………… 4分因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以，BM ·BA ＝BN ·BC ，即 AB BC ＝BNBM② ……………8分 由①、②可知2AM BM ＝BNBM， 所以 BN =2AM ． ……………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解： 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4． …………… 3分因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x )－4＝0，解得x ＝1． …………… 6分 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1． ……………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：圆C ：ρ＝22cos θ直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝2．直线l ：θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ． …………… 6分圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1． …………… 8分所以AB ＝2． ……………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：证法一 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以(12a ＋1＋42b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]＝1＋4＋2b ＋12a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋1≥5＋22b ＋12a ＋1×4(2a ＋1)2b ＋1＝9． ……………8分 而 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以12a ＋1＋42b ＋1≥94 ． (10)分证法二 因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得 (12a ＋1＋42b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]≥(12a ＋12a ＋1 ＋42b ＋12b ＋1 )2＝(1＋2)2＝9． …………… 8分 由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以12a ＋1＋42b ＋1≥94 ． ……………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C 36种不同选法， 其中S ＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种， 所以P (S ＝32)＝12C 36＝35. ……………3分 （2）S 的所有可能取值为34，32，334. S ＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)，共6种， 所以P (S ＝34)＝6C 36＝310. ……………5分 S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)，共2种，所以P (S ＝334)＝2C 36＝110. ……………7分11 又由（1）知P (S ＝32)＝12C 36＝35，故S 的分布列为所以E (S )＝34×310＋32×35＋334×110＝9320. ……………10分23．(本小题满分10分) 解：（1）若集合B 含有2个元素，即B ＝{a 1，a 2}，则A ＝∅，{a 1}，{a 2}，则(A ，B )的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有12C 种，不妨设B ＝{a 1}，则A ＝∅，此时(A ，B )的个数为12C ×1＝2.综上，(A ，B )的个数为5. …………3分（2）集合M 有2n 子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，则不同的有序集合对(A ，B )的个数为2n (2n －1). …………5分 若A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A ，B )的个数为C 0n (C 0n －1)＋C 1n (C 1n －1)＋C 2n (C 2n －1)＋…＋C n n (C n n－1) ＝(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2－(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ). …………7分又(x ＋1)n (x ＋1)n 的展开式中x n 的系数为(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2， 且(x ＋1)n (x ＋1)n ＝(x ＋1)2n 的展开式中x n 的系数为C n 2n ，所以(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时，有序集合对(A ，B )的个数为C n 2n －2n . …………9分所以，A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A ，B )的个数为2n (2n －1)－(C n 2n －2n )2＝22n －C n 2n 2. …………10分。
南京师大附中2018届高三模拟考试数学附加卷
D C B A (第21—A 题图)南京师大附中2018届高三模拟考试数 学（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题．．纸指定区域内．．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．（几何证明选讲选做题）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度．B ．（矩阵与变换选做题） 设矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值 24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求ad －bc 的值．C ．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ（θ为参数）和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．D ．（不等式选做题）设a ，b ，c 均为正数， abc ＝1．求证：1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋c .22．【必做题】在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1，2，3，4，现从这个盒子中有放回．．．地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．（1）求P(ξ＝1)；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．23．【必做题】有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．（1）若m＝100，直接写出选法种数；（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a n．当n≥2时，求数列{a n}的通项公式．。
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高三数学附加题第1页（共2页） 南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学附加题 2018.05
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．
上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指．
定区域内．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
在△ABC 中， AC ＝12
AB ，M 为边AB 上一点，△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，BN ＝2AM ， 求证：CM 是∠ACB 的平分线．
B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 0 1 ，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2 0 0 1 ，若直线l : x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C 经过点P （2，π3），圆心C 为直线ρsin(θ－π3
)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
D ．选修4—5：不等式选讲
已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值．
A (第21A 题图)。