新高二暑期辅导讲义 3-1 第1、2节习题课

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2020年新版新高二暑期衔接数学讲义(含答案)

新高二暑期衔接讲义数学新高二暑期衔接数学课程第一讲函数综合复习一知识要点1.函数研究对象：变量之间的关系2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。

此时称数集A为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}为值域，且C B。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。

(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。

8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。

如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。

新高二暑期衔接课Day2(主讲人：刘蒋巍)

新高二复习：立体几何的证明与计算主讲人：刘蒋巍4的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为＝，则∴外接球的半径为体积为A．B．C．D．，＝，时上式取．232＋262＝6.∥MA，ABCD.20+220+216+216+216+2，答案BD解析在A中，AB与CE的夹角为45°，所以直线ABB中，AB⊥CE，AB⊥DE，CE∩DE＝E，所以AB⊥平面C中，AB与EC的夹角为60°，所以直线AB与平面D中，AB⊥DE，AB⊥CE，DE∩CE＝E，所以AB⊥平面某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为，时，小圆柱体积的最大值为23，22，当三棱锥83π323，可得22，可得4π32π33=⨯=，当三棱锥的距离，即2233⨯=114322223323 =⨯⨯⨯⨯=183π3V=＝＝•＝•＝，可得：．利用向量夹的一个法向量为＝＝•＝•＝＝＜，＞＝＝﹣由图可知：二面角A﹣EF﹣D的平面角为钝角，因此余弦值为﹣．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，AD＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，△PAD为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E在线段BC上，且CE：EB＝1：3．(1)求证：DE⊥平面PAD．(2)求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】(1)证明：等腰梯形ABCD中，∵点E在线段BC上，且CE：EB＝1：3，∴点E为BC上靠近C点的四等分点由平面几何知识可得DE⊥AD．∵点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，连接PG，∴PG⊥平面ABCD．∵DE⊂平面ABCD，∴PG⊥DE．又AD∩PG＝G，AD⊂平面PAD，PG⊂平面PAD．∴DE⊥平面PAD；(2)解：取BC的中点F，连接GF，以G为原点，GA所在直线为x轴，GF所在直线为y轴，GP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由(1)易知，DE⊥CB，CE＝1．又∠ABC＝∠DCB＝60°，∴．∵AD＝2，△PAD为等边三角形，∴．则G(0，0，0)，A(1，0，0)，D(﹣1，0，0)，，．∴，，，设平面APC的法向量为＝(x1，y1，z1)，则，即，令，则y1＝3，z1＝1，∴．设平面DPC的法向量为＝(x2，y2，z2)，则，即．令，则y2＝1，z2＝﹣1，∴．设平面APC与平面DPC的夹角为θ，则，∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．【分析】(1)推导出AD∥BE，CG∥BE，从而AD∥CG，由此能证明A，C，G，D四点共面，推导出AB⊥BE，AB⊥BC，从而AB⊥面BCGE，由此能证明平面ABC⊥平面BCGE．(2)作EH⊥BC，垂足为H，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H﹣xyz，运用空间向量方法求二面角B﹣CG﹣A的大小．【解答】证明：(1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG，∴AD，CG确定一个平面，∴A，C，G，D四点共面，由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，∴AB⊥面BCGE，∵AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE．解：(2)作EH⊥BC，垂足为H，∵EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，∴EH⊥平面ABC，由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，∴BH＝1，EH＝，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H﹣xyz，则A(﹣1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，)，＝(1，0，)，＝(2，﹣1，0)，设平面ACGD的法向量＝(x，y，z)，则，取x＝3，得＝(3，6，﹣)，又平面BCGE的法向量为＝(0，1，0)，∴cos＜＞＝＝，∴二面角B﹣CG﹣A的大小为30°．如图，在三棱锥P﹣ABCD中，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC，AC＝2，△ABC为正三角形，D为AC的中点．(Ⅰ)证明：平面PDB⊥平面PAC；(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣B的平面角为锐角，且三棱锥P﹣ABC的体积为，求直线PA与平面PCB所成角的正弦值．【分析】(Ⅰ)由AC⊥PD及AC⊥BD可证AC⊥平面PDB，由此得证；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出直线PA的方向向量及平面PCB的法向量，利用向量公式即可得解．解：(Ⅰ)证明：∵PA＝PC，D为AC的中点，∴AC⊥PD，又△ABC为等边三角形，BA＝BC，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，且都在平面PDB内，∴AC⊥平面PDB，又AC在平面PAC内，∴平面PDB⊥平面PAC；(Ⅱ)由(Ⅰ)知点P在平面ABC内的射影O在直线BD上，又二面角P﹣AC﹣B的平面角为锐角，∴O在射线DB上，，∴，又PD＝1，∴，即O为BD的中点，取AB中点E，连接OE，则OE∥AD，∴OE⊥平面POB，∴OE，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OE，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面PCB的一个法向量为，则，可取，又，设直线PA与平面PCB所成角为α，则．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC．(I)求证：四棱锥B﹣A1ACC1为阳马；(Ⅱ)若C1C＝BC＝2，当鳖膈C1﹣ABC体积最大时，求锐二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值．【分析】(Ⅰ)证明A1A⊥AB，结合AB⊥AC，推出AB⊥面ACC1A1，然后证明四棱锥B﹣A1ACC1为阳马．(Ⅱ)证明A 1A⊥底面ABC，求出当且仅当时，取最大值，建立如图所示空间直角坐标系，求出面A1BC的一个法向量，平面A1BC1法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】(Ⅰ)证明：∵A1A⊥底面ABC，AB⊂面ABC，∴A1A⊥AB，又AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥面ACC1A1，又四边形ACC1A1为矩形，∴四棱锥B﹣A1ACC1为阳马．(Ⅱ)解：∵AB⊥AC，BC＝2，∴AB2+AC2＝4，又∵A1A⊥底面ABC，∴＝，当且仅当时，取最大值，∵AB⊥AC，A1A⊥底面ABC∴以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，A1(0，0，2)，，，设面A1BC的一个法向量，由得，同理得，∴二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值为．，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为BDE ∩平面AECD ＝DE ，AC ⊂平面AECD ，⊂平面AECD ，AECD ，所以BE ⊥AE .，EC →方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，取x＝2，得n＝(2，2，2－a).取平面EBC的法向量为m＝(1，0，0).所以cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝2a2－4a＋12＝23，所以a＝1.所以线段CD上存在点F，且F为CD中点时，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为2 3 .如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE⊥AB，且，．(Ⅰ)求证：MN∥平面BEC；(Ⅱ)求二面角N﹣ME﹣C的余弦值．【分析】(Ⅰ)过M作MF∥DC交CE于F，连接MF，BF．证明推出MN∥BF，然后证明MN∥平面BEC；(Ⅱ)以A为坐标原点，所在方向为x，y，z轴正方向，建立平面直角坐标系，求出平面MEC的法向量，平面MNE的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．【解答】(Ⅰ)证明：过M作MF∥DC交CE于F，连接MF，BF．因为MF∥DC，，所以．…(2分)又，所以．故，…(4分)所以四边形NBFM为平行四边形，故MN∥BF，为坐标原点，的法向量为，即，，所求二面角的余弦值为：-中，PA⊥底面如图，在四棱锥P ABCD的中点．两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为立如图所示的空间直角坐标系，由题意知2PA AB ==，22AD BC ==，，∴(2,1,0)AC = ，2(0,1,)2AM = ，(7分)z ，0，令2y =，则1,2x z =-=-，的一个法向量．紧扣高考题型，有的放矢，逐个击破！。

暑假衔接班讲义高中数学

（）
A．命题“若 x2 － 3x － 4 ＝ 0，则 x ＝ 4”的逆否命题为“若 x ≠ 4，则 x2 － 3x －
4 ≠ 0”
B．“x ＝ 4”是“x2 － 3x － 4 ＝ 0”的充分条件
C．命题“若 m>0，则方程 x2 ＋ x － m ＝ 0 有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若 m2 ＋ n2 ＝ 0，则 m ＝ 0 且 n ＝ 0”的否命题是“若 m2 ＋ n2 ≠ 0，则 m ≠ 0 或 n ≠ 0”
（） D．③④
例4
命题“若 x，y 都是偶数，则 x ＋ y 也是偶数”的逆否命题是 A．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
B．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
D．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
（）
第二讲常用逻辑用语 11
例7
对于命题“任何实数的平方都是非负的”，下列叙述正确的是
A．是全称命题
B．是存在性命题
（）
C．是假命题
D．是“若 p 则 q”形式的命题
例8
设 a, b 是实数，则“a > b”是“a2 > b2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
A．{0,2}
B．{1,2}
C．{0}
D．{ － 2，－ 1,0,1,2}
第一讲集合的概念与运算 5
例 8 设集合 A ＝ {x| － 1 ≤ x<2}，B ＝ {x|x<a}，若 A ∩ B ≠ Ø，则 a 的取值范围是（）
A．－ 1<a ≤ 2

暑补课讲义1

新高二英语暑假讲义一突破核心词汇【讲中学】☆aboard -– on or onto a plane, ship, bus, or train;☆abroad --- in or to a foreign country;☆absence --- 1) a time when you are not in a particular place;2) when something does not exist☆absorb --- 1) If a substance absorbs a liquid, it takes it in through its surface.2) understand and remember facts that you read or hear.☆absurd --- very silly☆accelerate --- 1) start to drive faster2)start to happen more quickly, or make sth. start to happen more quickly☆access --- 1) If you have access to something, you have the right or opportunity to use or see something2) the way in which you can enter a place or get to a place.☆accompany --- 1) go somewhere with someone; 2) happen or exist at the same time as something else; 3) play a musical instrument with someone else who is playing or singing.☆account ----(related phrases)n. give conflicting accounts of…; take … into account;v. account for…☆acknowledge --- 1) accept that something is true or exists 2) tell someone, usually in a letter, that you have received something they sent you【练中记】1.Simon was so ___________ in his computer game that he didn’t notice me come in.2.The suggestion put forward by Tom is really _________, which obviously cannot be put into practice.3.His parents are bent on sending him ____________ for further study.4.Fertilizer will a___________ the growth of these tomato plants.5.The only __________ to the village is by boat.6.Welcome ____________ flight BA 109 to Paris.7.He’s had an argument with Caroline, which ___________ for his bad mood this morning.8.The teacher s’ book is ____________ by a video cassette.9.They sent me a letter _____________ the receipt of my application form.10.In the ____________ of any proof, it is impossible to accuse her.11.这个理论普遍认为是正确的。

高一升高二暑假数学补课资料专题三)

专题三、函数的单调性与最值一、基础知识1、单调函数的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是或，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫作函数y ＝f (x )的单调区间。

3、函数的最值4、注意事项：（1）函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

（2）函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．（3）单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．二、典例讲解题型一函数单调性的判断例1 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．探究提高证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．变式1：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋a x(x >0)，证明函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．题型二利用函数单调性求参数例2 若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围．思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．探究提高已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．变式2： (1)若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为____________．(2)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3题型三利用函数的单调性求最值例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．思维启迪：问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．探究提高对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f x 1f x 2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；利用函数单调性可以求函数最值．变式3：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性； (3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．典例4：求函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调区间．温馨提醒函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，容易忽视定义域。

黄浦新王牌暑期补习班升高二物理何Z老师

高二物理第1讲：内能和能量守恒定律一、物体的内能1．分子动能组成物体的分子不停地做无规则运动，像一切运动着的物体一样，做热运动的分子也具有动能。

我们知道物体里分子运动的速率是不同的，因此各个分子的动能并不相同。

在研究热现象时，我们关心的是物体内所有分子动能的平均值。

我们把这个平均值叫做分子热运动的平均动能，简称分子动能。

温度是物体分子热运动的平均动能的标志。

温度越高，分子热运动的平均动能越大；温度越低，分子热运动的平均动能越小。

2．分子势能物体内分子不仅做永不停息的热运动，而且分子间存在相互作用，因而分子具有与分子间距离有关的势能，叫做分子势能。

分子力做正功，分子势能减少，分子力做负功，分子势能增加。

在平衡位置时（r=r0）,分子势能最小。

分子势能的大小跟物体的体积、状态有关系．3．物体的内能（1）物体中所有分子做热运动的动能和分子势能的总和，叫做物体的内能．（2）分子平均动能与温度的关系由于分子热运动的无规则性，所以各个分子热运动动能不同，但所有分子热运动动能的平均值只与温度相关，温度是分子平均动能的标志，温度相同，则分子热运动的平均动能相同，对确定的物体来说，总的分子动能随温度单调增加。

（3）分子势能与体积的关系分子势能与分子力相关：分子力做正功，分子势能减小；分子力做负功，分子势能增加。

而分子力与分子间距有关，分子间距的变化则又影响着大量分子所组成的宏观物体的体积。

这就在分子势能与物体体积间建立起某种联系。

因此分子势能跟体积有关系。

由于分子热运动的平均动能跟温度有关系，分子势能跟体积有关系，所以物体的内能跟物的温度和体积都有关系：温度升高时，分子的平均动能增加，因而物体内能增加；体积变化时，分子势能发生变化，因而物体的内能发生变化。

此外，物体的内能还跟物体的质量和物态有关。

二、内能变化的两个途径1．做功可以改变物体的内能我们知道，在机械能中，动能和势能是可以互相转化的。

机械能是否可以转化为内能呢？在日常生活中，常常可以看到这样一些例子：锯木料时，克服摩擦力做了功，锯条和木料的温度升高了，表明它们的内能增加了；用砂轮磨刀具时，也要克服摩擦力做功，刀具和砂轮的温度升高，它们的内能也增加。

学而思高中数学暑假班辅导讲义高二.理科班(人教版)

简易逻辑
1.1 命题与量词
考点 1：命题
命题是个到处可以见到的字眼，语文上有命题作文，会评价一篇作文命题新颖等等；北大门卫会询问每个进入北大的人的三大终极哲学命题：你是谁？你从哪里来？你要到哪里去？这些命题都不是数学意义上的命题．
在逻辑中最重要的是二元判断，即对真假的判断，而二元判断的最小承载单位就是命题，这里的真假一般来说是指客观的可以判断的真假，不依赖于主观的判断．数学上的命题就是指可以判断真假的陈述句：如明天会下雨；有理数一定是实数；白马非马；人不可能两次踏进同一条河流；女生爱逛街等等都是命题．
既不充分也不必要条件解析个不同实根方程有两个不等正根尖子目标教师版提高尖子目标教师版且倾斜角为的直线方程为的直线与直线平行则满分晋级21直线的三种形式及其灵活应用春季知识回顾10abc直线与圆的方程解析几何1级直线与圆的方程解析几何2级椭圆初步解析几何双曲线与抛物线初步18提高尖子目标教师版4
第1讲
4 第 1 讲·提高-尖子-目标·教师版
僧敲月下门；富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈．这些都是自然语言中的联言命题．我们把“ p 且 q ” 看作它的标准表示形式，并称 p ，q 为支命题．
对于两个命题 p ，q ，用“且”联结起来，就得到一个新的命题，记为 p q ，读作“ p 且 q ”．在自然语言中，联言命题表达了支命题之间在内容、意义、甚至语气上的相互关联，逻辑不能处理这些相互关联，只研究支命题与复合命题在真假方面的相互关联．对于联言命题，只有它的各个支命题都是真的，它本身才是真的；如果有一个支命题为假，则联言命题为假．即只有 p ，q 都是真命题时， p q 才是真命题．只要 p ，q 中有假命题， p q 就是假命题．例如：小张既高又胖，只有在小张高和小张胖都真的情况下才是真的，在其余情况下都是假的．

2016-2017学年高二物理暑期备课资源(人教选修3-1)3(优秀免费下载资料)

电场线一.选择题. 如图甲所示，、为两个被固定的点电荷，其中带负电，、两点在它们连线的延长线上. 现有一带负电的粒子以一定的初速度沿直线从点开始经点向远处运动（粒子只受电场力作用），粒子经过、两点时的速度分别为、，其速度图象如图乙所示. 以下说法中正确的是．一定带负电．的电量一定大于的电量．点的电场强度一定为零．整个运动过程中，粒子的电势能先增大后减小.如图，在固定的正点电荷所形成的电场中，一重力不计的试探电荷从点运动到点，运动轨迹如图中实线所示。

、和为轨迹上的三点，点离最近，点离最远。

该试探电荷．带负电．在点受到的电场力最大．在点的速率最小．在点的电势能最小一均匀带正电的半球壳，球心为点，为其对称轴，平面垂直把半球壳一分为二，且左右两侧球壳的表面积相等，与相交于点。

如果左侧部分在点的电场强度为，电势为Ф，右侧部分在点的电场强度为，电势为Ф。

（已知一均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零。

取无穷远处电势为零，一点电荷在距离其为处的电势为），则．＞Ф＞Ф．＜Ф＜Ф2C．＞ФФ．Ф＜Ф. 在图所示的坐标系内，带有等量正电荷的两点电荷、固定在轴上，并相对于轴对称。

有一带正电的粒子，其重力忽略不计，从轴正方向上的点处以竖直向下的初速度沿轴向下运动，那么粒子从点向点运动的过程中．电势能逐渐变大．小球一定先做加速运动后做减速运动．电势能先变大后变小，最后为零．始终做加速运动，到达点时加速度为零. 如图所示，实线、、代表电场中的三条电场线，虚线为一带电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，、是这条电场线上的两点，据此可知. 点的电势高于点的电势. 带电质点通过点时的电势能较大. 带电质点通过点时的加速度较大. 带电质点的带电性质不能确定. 如图所示，两个固定的相同金属薄板相距一定的距离，同轴放置，、分别为两圆板圆心的小孔，两圆板分别带有等量异种电荷。

一带正电的粒子从很远处沿轴线飞来并穿过两圆板圆心的小孔。

2023年新高二暑期数学衔接(新人教版)第02讲正弦定理与余弦定理(教师版)

第02讲正弦定理与余弦定理拜【学习目标】1. 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理2. 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题【基础知识】一、三角形中的诱导公式在△A8C 中1. sin （A+B ）= sinC,cos （A+B ）= -cosC ；2. sin2（A+B ）= — sin 2C, cos 2 （ A += cos 2C ；.A+B C A+B . C 3. sin ------= cos 一 ,cos ---------= sin 一.2 2 2 2二、正弦定理n h c1. 在三角形ABC 中，各边和它所对角的正弦的比相等，即----=-----=-----= 2R.其中R 是三角形ABCsin A sin B sin C外接圆的半径.2. 正弦定理的其他形式：① 。

=2RsinA, b = 2R sin B,c = 2R sin C ；b c ② s inA = ,sinB=——,sinC=——；2R 2R③ 。

:b ： c= sinA: sinB: sinC.【解读】①适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.② 结构形式:分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式.③ 揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系.3.利用正弦定理求解“角角边”型:已知两角和任一边.已知角8,C 和边q .k— ( B + C)a 一 - asin B ：= —^b --------sin A sin Aa asin C；---c —；------sin A sin A4.利用正弦定理求解“边边角”型:已知两边和其中一边的对角.已知角A 和边。

力(有解).D ' a 一一.・ D 》sin Asin B sin A a C ： C = tc — A — Bc a asin C ' sin C sin A C sin A5.在AABC 中，已知q 、和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形CZLc 容c'匚cA ,BAB 关系式a=bsinA /?sin A<a<ba>b a>b解的个数一解两解一解一解6.利用正弦定理判断三角形形状①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=ti 这个结论.三、余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a 1 -b 1 +c 1 - 2阮 cos A ,b 2 = a 2 +c 2 - 2。

奉贤高二物理暑假班《习题课》新王牌解析

A. a1>a2
B. a1<a2
C. a1=a2 D. 条件不足, 无法比较a1、a2的大小
7. 一物体由静止开始做匀加速直线
运动, 加速度大小为a1, 经时间t后做匀减
速直线运动, 加速度大小为a2, 若再经时
间t恰能回到出发点, 则a1:a2应为(
)
A. 1:1
B. 1:2
C. 1:3
D. 1:4
A. 0.3m/s2
B. 0.01m/s2
C. 0.5m/s2
D. 0.6m/s2
4. 质点从静止开始做匀加速直线运动, 从开始运动起, 通过连续三段路程所用的时间分别为1s、2s、3s, 这三段路程之比应是( )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA. 1:2:3
B. 1:3:5
C. 12:22:32
D. 13:23:33
5. 如图, 在水平面上固定着三个完全相同的木块, 一子弹以水平速度v射入木块, 若子弹在木块中做匀减速直线运动, 当穿透第三个木块时速度恰为零, 则子弹依次射入每个木块时的速度比和穿过每个木块所用时间比分别为( )
高二物理习题讲解《课时练》
第一课时
第二课时
1. 一物体做匀变速直线运动, 当t=0 时, 物体的速度大小为12m/s, 方向向东. 当t=2s时, 物体的速度大小为8m/s, 方向仍向东. 当t为多少时, 物体的速度大小变为2m/s( )
A. 3s B. 5s C. 7s D. 9s
2. 一质点做直线运动, t=t0时, s>0, v>0, a>0, 此后a逐渐减小至零, 则下列说法错误的是( )
A. 速度的变化越来越慢 B. 速度逐渐变小 C. 位移继续增大 D. 位移、速度始终为正值

高二物理暑假班讲义(学生版) 第1讲复习动力学牛顿定律基础版

暑期第1讲牛顿动力学要点回顾1：牛顿第一定律1.伽利略的理想实验① 程序内容【事实】两个对接的斜面，让静止的小球沿一个斜面滚下，小球将滚上另一个斜面【推论】如果没有摩擦，小球将上升到释放的高度。

【推论】减小第二个斜面的倾角，小球在这个斜面上仍然要达到原来的高度。

【推论】继续减小第二个斜面的倾角，最后使它成水平，小球沿水平面做持续的匀速直线运动。

【推断】物体在水平面上做匀速运动时并不需要外力来维持。

② 此实验揭示了力与运动的关系：力不是．．维持物体运动的原因，而是．．改变物体运动状态的原因，物体的运动并不需要力来维持。

③ 理想实验以可靠的事实为基础，经过抽象思维，抓住主要因素，略去次要因素，从而更深刻地揭示了自然规律，它是科学研究中的一种重要方法，希望同学们用心理解。

2.牛顿第一定律① 内容：一切物体都将保持静止状态或匀速直线运动状态，直到有外力迫使其改变运动状态为止。

② 意义：牛顿第一定律是建立在伽利略理想斜面实验的基础上，经过科学推理而抽象出来的规律。

③ 意义在于：揭示了一切物体都具有的一个重要属性——惯性；指出了物体在不受力或合外力为零时的运动状态——静止或匀速直线运动状态；澄清了力的含义——是改变物体运动状态的原因，而不是维持物体运动的原因，换言之，力是产生加速度的原因。

3.运动状态的改变及其原因①运动状态的改变：物体的速度发生了改变，我们就说物体的运动状态发生了改变，由于速度是矢量，即有大小又有方向，所以运动状态的改变有三种可能的情况：速度大小的变化速度方向的变化速度的大小和方向同时改变运动状态不变的运动形式只有两种：物体保持静止匀速直线运动②运动状态改变的原因：力可以改变物体的运动状态，物体运动状态的变化意味着物体速度的变化，速度变化表明物体具有加速度，可见，力是物体产生加速度的原因，力不是产生速度的原因典例精讲【典例1】（2020春•桐城市校级期中）处于下列运动状态的各物体中，惯性最大的是（）A．滑雪的运动员B．静止的磁悬浮列车C．飞奔的猎豹D．飘浮的热气球【典例2】（2019•江夏区校级模拟）如图所示，如果锤头的手柄松了，用手柄的下端撞击石头或树墩，锤头由于惯性继续向下运动，这样锤头就被套紧了，用尺子快速击打下面的棋子，下面的棋子飞出，上面的棋子却没有飞出，而是落下来了。

2021上海新高二暑期数学讲与练第1讲平面及其基本性质(巩固基础+能力提升练习)解析版

第1讲平面及其基本性质(巩固基础+能力提升练习）【巩固基础】一、单选题1．（2021·全国课时练习）以下不属于公理的是（）A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补D．平行于同一条直线的两条直线平行【答案】C【分析】利用平面的公理直接判断求解．【详解】解：在A中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A是公理；在B中，由公理二得，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故B正确；在C中，由等角定理知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C是定理，不是公理；在D中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D是公理；故选：C2．（2021·全国课时练习）如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（）A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．直线AB与CD相交C．A，B，C，D四点中不存在三点共线D．直线AB与CD平行【答案】C【分析】由已知条件将四个点的位置定下来，可得选项.【详解】因为空间四点A，B，C，D不共面，所以这四个点的位置如三棱锥的顶点和底面三角形的顶点，所以只有C选项正确，若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故A错误；若直线AB与CD相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确；若直线AB 与CD 平行，则空间四点A ，B ，C ，D 共面，故D 不正确，故选：C.3．（2021·全国课时练习）下列命题中正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D ．若a b c 、、是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a b c 、、共面.【答案】D【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A 错误；B.由墙角模型，显然B 错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误；D.因为//a b ，所以a b 、确定唯一一个平面，又c 与a b 、都相交，故直线a b c 、、共面，故D 正确；故选：D.4．（2021·全国课时练习）下面四个条件中，能确定一个平面的是（）A ．空间中任意三点B ．空间中两条直线C ．空间中两条相交直线D ．一条直线和一个点【答案】C【分析】根据每个选项，可举出相应的反例进而得到结果.【详解】A,空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确；B. 空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确；C. 空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的；D. 一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确. 故选：C.5．（2021·全国课时练习）下列叙述错误的是（）A ．若p ∈α∩β，且α∩β=l ，则p ∈l .B ．若直线a ∩b =A ，则直线a 与b 能确定一个平面.C．三点A，B，C确定一个平面.D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则l α.【答案】C【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．【详解】选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选：C6．（2021·全国课时练习）空间不共线的四点，可确定的平面个数是（）A．1B．4C．1或4D．1或3【答案】C【分析】分这四个点在一个平面内和不在同一平面内两种情况分析.【详解】当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外时候，确定四个平面，故选：C【点睛】本题考查多个点构成的平面的个数问题，属于基础题.7．（2021·江苏课时练习）在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（）A．黑板面B．乒乓球桌面C．篮球的表面D．平静的水面【答案】C【分析】利用平面的特点即可作出判断.【详解】黑板面、乒乓球桌面、平静的水面都可被认为是平面的一部分，篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分，故选：C【点睛】本题考查平面的概念，考查学生对基本概念的理解程度，属于简单题目. 8．（2021·全国课时练习）如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为（）A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α【答案】B【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系,写出结果即可.【详解】点A 在直线a 上，而直线a 在平面α内，点B 在平面α内，表示为A ∈a ，a ⊂α，B ∈α.故选:B.【点睛】本题考查空间中，点、线、面的符号表示方法,基本知识的考查.二、填空题9．（2020·全国课时练习）用符号语言表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”为__________.【答案】,A l l α∈⊂/.【分析】根据符号语言表示即可【详解】由题,则表示为,A l l α∈⊂/,故答案为:,A l l α∈⊂/【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系的符号表示,属于基础题10．（2020·全国课时练习）已知,,A B C 表示不同的点,l 表示直线,,αβ表示不同的平面,则下列推理错误的是______(填序号).①∈A l ,A α∈,B l ∈,B l αα∈⇒⊂;②A α∈,A β∈,B α∈,B AB βαβ∈⇒=;③A α∈,A A βαβ∈⇒⋂=.【答案】③【分析】根据如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内，可判断①；根据两点确定一条直线和平面交线的知识，可判断②；根据两平面相交为直线可判断③；【详解】解: ①为判断直线在平面内的依据,故正确;②为判断两个平面相交的依据,故正确;③中A α∈,A β∈,则A αβ∈⋂,即αβ⋂为经过点A 的一条直线而不是点A ,故错误. 故答案为：③【点睛】本题考查了直线在平面内的判定以及两平面相交为直线，属于基础题.11．（2019·全国课时练习）给出下列三个命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点中有三点共线，则此四点必共面；③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面其中所有真命题的序号是_______.【答案】②【分析】根据平行四边形四个顶点之间的关系，判断①③的真假；根据平行公理可判断②的真假，进而可得出结果.【详解】平行四边形的四个顶点，任意三个点都不共线，但平行四边形仍是平面图形，故①③错误；因为过一条直线与该直线外一点有且只有一个平面，所以空间四点中有三点共线，则此四点必共面；即②正确；故答案为②【点睛】本题主要考查平面的性质，熟记平面相关性质，以及平行公理即可，属于常考题型.三、解答题12．（2020·全国课时练习）用符号语言改写下列语句.（1）点A 在平面α内，点B 不在直线l 上；（2）直线l 在平面α内，直线m 与平面α有且只有一个公共点M ；（3）直线a 和b 相交于一点M ；（4）平面α与平面β相交于过点A 的直线l .【答案】（1）,A B l α∈∉；（2）,,l m m M ααα⊂⊄⋂=；（3）a b M =；（4）l αβ=且∈A l .【分析】将文字语言翻译成符号语言时，可先确定涉及几个空间元素，即有几个点、几条直线、几个平面，再确定点线面的位置关系，从而可以得出结论．【详解】解：从集合角度来看，点是元素，直线与平面均是集合，根据元素与集合用∈和∉，集合与集合用⊂和⊄以及集合的交集运算可得：（1）,A B l α∈∉；（2）,,l m m M ααα⊂⊄⋂=；（3）ab M =；（4）l αβ=且∈A l ．【点睛】本题考查了空间几何中文字语言、符号语言的应用，属于基础题．13．（2020·全国课时练习）用符号表示下列点、线、面的关系.（1）点A 在直线a 上，但不在直线b 上；（2）点P 在平面α内，但不在平面β内；（3）点M 在直线l 上，l 在平面α内.【答案】（1）A a ∈，A b ∉；（2）P α∈，P β∉；（3）M l ∈，l α⊂.【分析】根据点与直线的关系为∈或∉，点与面的关系为∈或∉，直线与面的关系为⊂或⊄可解.【详解】(1)点A 在直线a 上，但不在直线b 上,用符号表示为：A a ∈，A b ∉(2) 点P 在平面α内，但不在平面β内, 用符号表示为：P α∈，P β∉.（3）点M 在直线l 上，l 在平面α内, 用符号表示为： M l ∈，l α⊂【点睛】本题考查空间点、线、面之间的位置关系的表示,属于基础题.14．（2020·全国课时练习）用符号表示下列点、线、面的关系.（1）直线a 与直线b 相交于点M ；（2）直线a 与平面α相交于点N ；（3）平面α与平面β相交于直线l .【答案】（1）a b M =；（2）a N α⋂=；（3）l αβ=.【分析】直线与直线，直线与平面相交为点，平面与平面相交为直线.【详解】（1）直线a 与直线b 相交于点M , 用符号表示为：a b M =（2）直线a 与平面α相交于点N , 用符号表示为：a N α⋂=（3）平面α与平面β相交于直线l , 用符号表示为：l αβ=【点睛】本题考查点、线、面的关系的符号表达，属于基础题.15．（2020·全国课时练习）如果∈A l ，l α⊂，则是否一定有A α∈？【答案】一定有A α∈【分析】根据公理1有一直线在平面内则直线上所有的点都在该平面内，可判断.【详解】解：一定有A α∈.如图.根据公理1，l α⊂,则直线l 上的所以点都在平面α内，由∈A l ，所以A α∈【点睛】本题考查点与线，点与面，线与面的包含关系,主要是对公理1的应用，属于基础题.【能力提升】一、单选题1．（2021·浙江期末）空间的4个平面最多能将空间分成（）个区域．A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【分析】根据平面的性质进行归纳推理．前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，由此可得4个平面最多能将空间分成的区域数．【详解】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为8715+=．故选：C ．2．（2021·全国课时练习）下列命题正确的是（）A ．经过三点确定一个平面B ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C ．经过一条直线和一个点确定一个平面D ．四边形确定一个平面【答案】B【分析】根据线线关系，来确定平面或者线面关系，一一分析即可.【详解】对A ，当三点共线时，平面不确定，故A 错误；对B ，两条相交直线确定一个平面α，第三条直线与这两条直线分别相交且交点不重合，则第三条直线也在α内，∴两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B 正确；对C ，当点在直线上时，不能确定平面，故C 错误；对D ，空间四边形不在一个平面内，故D 错误．故选：B ．3．（2021·全国期末）已知αβ，为平面，A ，B ，M ，N 为点，a 为直线，下列推理错误的是（）A ．A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂βB ．M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒αβ=MN C ．A ∈α，A ∈β⇒αβ=AD ．A ∈α，B ∈α，M ∈α，A ∈β，B ∈β，M ∈β，且A ，B ，M 不共线⇒α，β重合【答案】C【分析】由平面的性质可知，αβ⋂为经过A 的一条直线而不是A .【详解】A α∈，A ∈β，αβ∴∈A由基本事实可知αβ⋂为经过A 的一条直线而不是A .故αβ=A 的写法错误.故选：C4．（2021·全国课时练习）在正方体中，E ，F ，G ，H 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E ，F ，G ，H 四点共面的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】选项A 、B 、C 中，由其中三个点确定一个平面，再判断第四个点是否在该平面内，选项B 通过证明两直线平行，从而判断四点共面.【详解】选项A ，点E ，F ，H 确定一个平面，该平面与底面交于FM ，而点G 不在直线FM 上，故E ，F ，G ，H 不共面，选项A 错误；选项B ，连接底面对角线AC ，则由中位线定理可知，//FG AC ，又易知//EH AC ，则//EH FG ，故E ，F ，G ，H 共面，选项B 正确；选项C ，显然E ，F ，H 所确定的平面为正方体的底面，而点G 不在该平面内，故故E ，F ，G ，H 不共面，选项C 错误；选项D ，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形，也即是点E ，G ，H 确定的平面与正方体正面的交线为PQ ，而点F 不在直线PQ 上，故E ，F ，G ，H 四点不共面，选项D 错误.【点睛】方法点睛：判断四点共线的方法有：（1）四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合；（2）由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内；（3）若其中三点共线，则此四点一定共面.二、填空题5．（2021·全国课时练习）已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_______.【答案】1或4【分析】利用三个不共线的点可以确定一个平面，对第四个点分类为：（1）第四个点在此平面内；（2）第四个点不在此平面内；分为这两种情况讨论即可【详解】其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面.故答案为：1或46．（2021·西安市航天城第一中学期末）给出下列说法：①和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面．其中正确说法的序号是______ ．【答案】④【分析】利用正方体可判断①②的正误，利用公理3及其推论可判断③④的正误.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，111AA A B A ⋂=，1AD AA A ⋂=，但是11,A B AD 异面，故①错误.又1111,,AA A B A D 交于点1A ，但1111,,AA A B A D 不共面，故②错误.如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误. 如图，因为a b D ，故,a b 共面于α，因为,,B a F b E b ∈∈∈，故,,B F E ααα∈∈∈，故BF α⊂即c α⊂，而A c ∈，故A α∈，故EA α⊂即d α⊂即a b c d ,,,共面，故④正确. 故答案为：④7．（2020·全国课时练习）设平面α与平面β相交于直线l ，直线a α⊂，直线b β⊂，a b M =，则M _____l （用符号表示）.【答案】∈【分析】根据公理1得出,M M αβ∈∈，结合公理3，即可得出答案.【详解】因为,,a b M a b αβ⋂=⊂⊂，所以,M M αβ∈∈.又因为l αβ=，所以M l ∈.故答案为：∈【点睛】本题主要考查了平面的基本性质的应用，属于基础题.8．（2020·江苏扬州市·扬州中学）下列说法中正确的有______个.①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；②一个平行四边形确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；④已知两个不同的平面α和β，若A α∈，A β∈，且l αβ=，则点A 在直线l 上.【答案】2 【分析】对于①举出反例，正方体的一个顶点处的3条棱；根据两条平行线可以确定一个面可判断②；根据等角定理可判断③；直接根据公理可判断④.【详解】反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确；由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确；如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确； A α∈，A β∈，且l αβ=，则A 在l 上，满足平面的基本性质，所以④正确，即正确的个数有2个，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平面的基本性质的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查.9．（2020·济南大学城实验高级中学期中）下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点②经过空间任意三点有且只有一个平面③过两平行直线有且只有一个平面④在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是______ .【答案】③【分析】由平面的基本性质及推论可判断①②③，根据空间线线关系，可判断④.【详解】①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；②经过空间不共线三点，有且只有一个平面，故错误；③过两平行直线有且只有一个平面，故正确；④在空间两两相交，且交点不重合的三条直线必共面；当三线共点时，三线可能不共面，故错误.故正确命题的序号是③.故答案为：③.【点睛】本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间线线关系，难度不大，属于基础题.三、解答题10．（2020·全国课时练习）（1）一个平面可把空间分成几部分？（2）两个平面可把空间分成几部分？（3）三个平面可把空间分成几部分？【答案】（1）2；（2）3或4；（3）4或6或7或8【分析】可画出图形说明：如两个平面平行和相交两种上关系，三个平面都平行或者两个平行一个与它们相交或者三个平行过同一条直线或者两两相交有三条交线这三条交线平行，或交于同一点．【详解】解：（1）因为平面是无限延展的，所以一个平面可把空间分成2部分.（2）①两个平面平行时，可把空间分成3部分.如图（1）.②两个平面相交时，可把空间分成4部分，如图（2）.综上可知，两个平面可把空间分成3或4部分.（3）①三个平面互相平行时，可把空间分成4部分.如图（3）.②三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分.如图（4）.③三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分.如图（5）.④三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分.如图（6）.⑤三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分.如图（7）. 综上可知，三个平面可把空间分成4或6或7或8部分.【点睛】本题考查平面分空间问题，解题时通过画出平面增加立体感．11．（2020·全国课时练习）判断下列命题是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.（1）书桌面是平面.（2）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点.（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.【答案】（1）×；（2）×；（3）√.【分析】根据平面性质可知（1）错误，根据公理2知（2）错误，根据公理3可判断（3）正确.【详解】（1）由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面；（2）根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，可知有无限个公共点，且在一条直线上，故判断错误；根据公理3，不共线的三个点确定一个平面，因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，正确.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质，属于容易题.12．（2020·全国课时练习）用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A 在平面α内，点B 在平面α外；（2）直线a 经过平面α外的一点M ；（3）直线a 既在平面α内，又在平面β内.【答案】（1）,A B αα∈∉，如图.（2）,M M a α∉∈，如图.（3）,a a αβ⊂⊂，如图.【分析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可.【详解】（1）,A B αα∈∉，如图：（2）,M M a α∉∈，如图：（3）,a a αβ⊂⊂或=a αβ，如图：【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题.。

高一升高二数学暑假衔接班讲义第1讲(学)

第1讲空间点、直线、平面之间的位置关系（一）热点透析考查目标 1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系．达成目标 1.理解、熟记平面的性质公理，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考．（二）知识回顾1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有、、三种情况．4．平面与平面的位置关系有、两种情况．5．公理4 平行于的两条直线互相平行．6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．[难点正本疑点清源]1．公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广．2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．在下列命题中，所有正确命题的序号是________．①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；⑤四边形确定一个平面．2．正方体各面所在平面将空间分成________部分．3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线5．已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A二、高频考点专题链接题型一平面基本性质的应用例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．探究提高(1)证明若干点共线也可以公理3为依据，找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两平面的公共点．(2)利用类似方法也可证明线共点问题．(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．题型二异面直线的判定的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．探究提高(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．求证：(1)BC与AD是异面直线；(2)EG与FH相交．题型三异面直线所成的角例3正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．.探究提高求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°反思总结点、直线、平面位置关系考虑不全面致误典例：(5分)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面易错分析由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．温馨提醒(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．构造衬托平面研究直线相交问题典例：(4分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD 都相交的直线有________条．审题视角找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．温馨提醒(1)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解.方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．失误与防范1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．2．异面直线所成的角范围是(0°，90°]．巩固练习 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．下列命题正确的个数为 ( )①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．33．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．6．下列命题中不．正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．7． (2011·大纲全国)已知正方体ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为______．三、解答题(共22分)8． (10分) 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？9． (12分)如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 、CB 的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1. 如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 ( )A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M2．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交3．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题(每小题5分，共15分)4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)5. 如图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．6． (2012·四川)如图，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．三、解答题7． (13分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．。

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知识点一库仑定律的基本应用
1．两个半径为R的相同的金属球，分别带q和－3q的电荷量．当球心相距r＝3R放置时，两球相互作用力为F.若将两球接触后放回原来的位置，则两球之间的相互作用力()
A．等于F B．等于1
3F C．大于
1
3F D．小于
1
3F
知识点二库仑力作用下的平衡
2．下图中A球系在绝缘细线的下端，B球固定在绝缘平面上，它们带电的种类以及位置已在图中标出．A 球可保持静止的是()
3．如图6所示，两根细线挂着两个质量相同的小球A、B，上、下两根细线的拉力分别为F A、
F B，现使A、B带上同种电性的电荷，此时上、下细线受力分别为F A′、F B′，则()
A．F A＝F A′，F B>F B′B．F A＝F A′，F B<F B′
C．F A<F A′，F B>F B′D．F A<F A′，F B<F B′
4．如图所示，两个带电小球A、B(可视为点电荷)的质量分别为m
1
和m2，带电荷量分别为
q1和q2，用长度相同的绝缘细线拴住并悬挂于同一点，静止时两悬线与竖直方向的夹角相等．则
m1和m2、q1和q2的关系可能是()
A．q1＝q2，m1＝m2B．q1>q2，m1＝m2 C．q1<q2，m1＝m2D．q1>q2，m1<m2
5．竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的小球A，在Q的正上方P点用绝缘线悬挂一个小球
B，A、B两小球因带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角．由于漏电，A、B两小球的
电荷量逐渐减小，悬线与竖直方向夹角θ逐渐减少，则在漏完电之前，拉力的大小将() A．保持不变B．先变小后变大C．逐渐变小D．逐渐变大
6．两个点电荷分别固定于左右两侧，左侧电荷带电荷量为＋Q1，右侧电荷带电荷量为－Q2，
且Q1＝4Q2，另取一个可自由移动的点电荷q，放在＋Q1和－Q2的连线上，欲使q平衡，则q的带电性质及所处位置可能为()
A．负电，放在Q1的左方B．负电，放在Q2的右方
C．正电，放在Q1的左方D．正电，放在Q2的右方
7．如图所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，求在何处放一个什么性质的电荷，才可以使三个电荷都处于平衡状态？
知识点二、库仑定律与牛顿定律的结合
8．不带电的金属球A的正上方有一点B，该处有带电液滴自静止开始落下，到达A球后电荷全部传给A 球，不计其他的影响，则下列叙述中正确的是()
A．第一液滴做自由落体运动，以后的液滴做变加速直线运动，而且都能到达A球
B．当液滴下落到重力等于库仑力位置时，速度为零
C．当液滴下落到重力等于库仑力位置时，开始做匀速运动
D．一定有液滴无法到达A球
9．两根光滑绝缘棒在同一竖直平面内，两棒与水平面间均成45°角，棒上各穿有一个质量为m、带电荷量为Q的相同小球，如图6所示．现让两球同时从同一高度由静止开始下滑，则当两球相距多远时，小球的速度达到最大值？
1、答案 D 解析当两球接触后电荷先中和再平分，即两球的带电荷量均为－q.原来两球心相距r ＝3R ，由于电荷之间是引力，当将两球的电荷看成点电荷时，其点电荷间的距离r 1<r ＝3R ，由库仑定律可得
F ＝k q·3q r 21>k 3q 2(3R )2＝kq 2
3R
2
两球接触后，再放回原处，当将两球的电荷看成点电荷时，由于电荷间是斥力，则两点电荷间的距离r 2>r
＝3R ，由库仑定律可得F ′＝kq 2r 22<kq 2(3R )2＝kq 29R 2.F ′<1
3F.故选项D 正确． 2．答案 AD 3、答案 B
4．答案 ABC
解析根据A 、B 两物体的受力情况可判断m 1＝m 2，A 、B 两球的库仑力是作用力与反作用力，大小相等，但不能确定电荷量的大小关系，故选A 、B 、C.
5．答案 A
解析题述是物体的准静态平衡过程．首先应给出物体受力分析图，如图甲所示．小球B 受三个力作用，它们构成力的矢量三角形，如图乙所示(重点在各力之间的夹角)．构筑好矢量
三角形后，可得它与题图中△PAB 相似，利用G PA ＝F T
PB 可得PB 绳拉力不变，应选A
6．答案 BD
7．答案 C 应在A 、B 的中间，距A 球13L ，是带负电的电荷，电荷量大小为Q ＝4
9
q
解析由平衡条件知，C 必在AB 之间，且带负电．设C 带电荷量为Q ，距A 为r ，则距B 为L －r ，根据库仑定律对A 、B 列平衡方程：
对电荷A ：k 4q ·q L 2＝k Q ·q r 2对电荷B ：k 4q ·q L 2＝k Q ·4q (L －r )
2联立解得：r ＝13L ，Q ＝4
9q . 点评三个电荷都处于平衡状态，可以分别对三个电荷列平衡方程，本题中只须列两个方程便可求解．
8．答案 D 解析带电液滴落在A 上后，因其电荷全部传给A 球，A 上的电荷量变多，A 球与液滴间的斥力逐渐增大，设某液滴下落过程中在库仑力和重力作用下，先加速再减速，到达A 球时速度刚好为零．则以后再滴下的液滴将无法到达A 球．
点评液滴达到最大速度的一瞬间，库仑力与重力平衡． 9．
答案 kQ 2
mg
解析小球在下滑过程中先加速后减速，当a ＝0时，速度达到最大值，此时两球相距L.对任一小球，此时
重力、弹力、库仑力三者的合力为零．F ＝kQ 2L 2，F mg ＝tan 45°，解之得L ＝ kQ 2
mg
.。