2013届人教A版理科数学课时试题及解析(6)二次函数

课时作业(六) [第6讲 二次函数]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( )
A ．a ≤ 3
B ．－3≤a ≤ 3
C ．0<a ≤ 3
D ．－3≤a <0
2．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(a 2＋b )x ＋c 的图象开口向上，且f (0)＝1，f (1)＝0，则实数b 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎦⎤－∞，－34
B.⎣⎡⎭
⎫－34，0 C ．[0，＋∞) D ．(－∞，－1)
3．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2]
B ．[－2,2]
C ．(－2,2]
D ．(－∞，－2)
4．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)的值为( )
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．不确定
能力提升
5．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实根；③f (x )的图象关于点(0，c )对称；④方程f (x )＝0至多有两个实根．其中正确的命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有两个零点x 1，x 2，且1<x 1<x 2<3，那么在f (1)，f (3)两个函数值中( )
A ．只有一个小于1
B ．至少有一个小于1
C ．都小于1
D ．可能都大于1
7．设b >02＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为( )
① ② ③ ④
图K6－1
A ．1
B ．－1
C.－1－52
D.－1＋52
8．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( )
A ．－1<b <0
B ．b <－2
C ．b <－1或b >2
D ．不能确定
9．下列四个命题：(1)函数f (x )在x >0时是增函数，x <0时也是增函数，所以f (x )是增函数；(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2与x 轴没有交点，则b 2－8a <0且a >0；(3)y ＝x 2－2|x |－3的递增区间为[1，＋∞)；(4)y ＝1＋x 和y ＝(1＋x )2表示相同的函数．其中正确命题的个数是________．
10． 已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则f (1)的最小值为________．
11．已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f (x )≥18
，则a ＝________.
12．(13分) 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为1206t吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始经过多少小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有多少小时出现供水紧张现象．
难点突破
13．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，且f(x＋1)为偶函数，定义：满足f(x)＝x 的实数x称为函数f(x)的“不动点”，若函数f(x)有且仅有一个不动点．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋kx2在(0,4)上是增函数，求实数k的取值范围；
(3)是否存在区间[m，n](m<n)，使得f(x)在区间[m，n]上的值域为[3m,3n]？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
课时作业(六)
【基础热身】
1．D [解析] f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上单调递增，有－a 3－a 2a
≥－1且a <0，得－3≤a <0.
2．D [解析] 由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋a 2＋b ＋1＝0，b ＝－a 2－a －1(a >0)，得b <－1.
3．C [解析] 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4＜0恒成立，∴a ＝2满足题意；当
a －2≠0时，则a 满足⎩
⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ<0，解得－2＜a ＜2.所以a 的范围是－2＜a ≤2. 4．A [解析] ∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为直线x ＝12
，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )＜0，∴m ∈(0,1)，
∴m －1＜0，∴f (m －1)>0.
【能力提升】
5．C [解析] 对于①，c ＝0时，f (－x )＝－x |－x |＋b (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，故f (x )是奇函数；
对于②，b ＝0，c >0时，f (x )＝x |x |＋c ，
∴当x ≥0时，x 2＋c ＝0无解，x <0时，f (x )＝－x 2＋c ＝0，∴x ＝－c ，有一个实数根； 对于③，f (－x )＋f (x )＝[－x |－x |＋b (－x )＋c ]＋(x |x |＋bx ＋c )＝－x |x |－bx ＋c ＋x |x |＋bx ＋c ＝2c ，
∴f (x )的图象关于点(0，c )对称；
对于④，当c ＝0时，f (x )＝x (|x |＋b )，若b <0，则方程有三根0，b ，－b ，故选C.
6．B [解析] 当函数图象关于直线x ＝2对称时，Δ＝16－4b >0，b <4，f (1)，f (3)都小于1；当函数图象对称轴不是直线x ＝2时，f (1)，f (3)中至少有一个小于1.
7．B [解析] 由b >0可知，①、②图象不正确；由③、④图象均过点(0,0)，则a 2－1
＝0⇒a ＝±1.当a ＝1时，b >0，f (x )的对称轴为x ＝－b 2
<0，此时不合题意；当a ＝－1时，f (x )的对称轴x ＝b 2
>0，③图象满足，故选B. 8．B [解析] 由f (1－x )＝f (1＋x )得对称轴为直线x ＝1，所以a ＝2.当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，得f (x )min ＝f (－1)>0，即－1－2－b ＋1>0⇒b <－2.
9．0 [解析] (1)反例f (x )＝－1x
；(2)不一定a >0，a ＝b ＝0也可；(3)画出图象(图略)可知，递增区间为[－1,0]和[1，＋∞)；(4)值域不同．
10．4 [解析] 由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，4－4ac ＝0，f (1)＝a ＋c ＋2≥2＋2ac ＝4. 11．1 [解析] f (x )＝－32⎝⎛⎭⎫x －a 32＋16
a 2， f (x )max ＝16a 2≤16，得－1≤a ≤1，对称轴为x ＝a 3
. 当－1≤a <34
时，⎣⎡⎦⎤14，12是f (x )的递减区间， 而f (x )≥18
， 即f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝a 2－38≥18⇒a ≥1，
与－1≤a <34矛盾；
当34≤a ≤1时，14≤a 3≤13，且13<14＋122＝38
， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝a 2－38≥18⇒a ≥1，
而34
≤a ≤1，所以a ＝1. 12．[解答] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，
则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24)．
令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，
∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)，
∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，
即从供水开始经过6小时，蓄水池水量最少，只有40吨．
(2)依题意400＋10x 2－120x <80，
得x 2－12x ＋32<0， 解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323
. ∵323－83
＝8，∴每天约有8小时供水紧张． 【难点突破】
13．[解答] (1)∵f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b 为偶函数， ∴2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a ，
∴f (x )＝ax 2－2ax .
∵函数f (x )有且仅有一个不动点，
∴方程f (x )＝x 有且仅有一个解，
即ax 2－(2a ＋1)x ＝0有且仅有一个解，
∴2a ＋1＝0，a ＝－12
， ∴f (x )＝－12
x 2＋x . (2)g (x )＝f (x )＋kx 2＝⎝⎛⎭
⎫k －12x 2＋x ， 其对称轴为x ＝11－2k
. 由于函数g (x )在(0,4)上是增函数，
∴当k <12时，11－2k
≥4，解得38≤k <12； 当k ＝12时，符合题意；当k >12时，11－2k
<0恒成立． 综上，k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫38，＋∞. (3)f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12
， ∵在区间[m ，n ]上的值域为[3m,3n ]，
∴3n ≤12，∴n ≤16
， 故m <n ≤16
，∴f (x )在区间[m ，n ]上是增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝3m ，f (n )＝3n ，即⎩⎨⎧
－12m 2＋m ＝3m ，－12n 2＋n ＝3n ，
∴m ，n 是方程－12
x 2＋x ＝3x 的两根， 由－12
x 2＋x ＝3x ， 解得x ＝0或x ＝－4，
∴m ＝－4，n ＝0.。