正切函数图像和性质练习题
高中数学必修四 正切函数的性质和图象(最全提纲)巩固练习
正切函数的性质与图象【学习目标】1.能画出tan y x =的图象，并能借助图象理解tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的性质； 2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小； 3．理解正切函数的对称性． 【要点梳理】要点一：正切函数的图象 正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”（1）复习单位圆中的正切线： A T=tan α （2）利用正切线画函数y= tanx ，x ∈)2,2(ππ-的图象步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π-的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8π）.分别在单位圆中作出正切线；③把横坐标从2π-到2π也分成8份④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线．由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2,2(ππ-的图象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2π）的图象.要点二：正切函数的性质 1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R由正切函数的图象可知，当()2x k k z ππ<+∈且无限接近于2k ππ+时，tan x 无限增大，记作tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）；当()2x k k z ππ>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2x k k z ππ=+∈为正切函数的渐进线．3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释：观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心，正切函数图象没有对称轴5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增要点诠释：正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．要点三：正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质 1．定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2． 值域：(),-∞+∞3．单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围． 要点诠释：若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当()2k k z πϕ=∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为||T πω=． 【典型例题】类型一：正切函数的定义域 例1．求下列函数的定义域． （1）1lg(tan )y x =；（2）y =．【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0，正切函数、余切函数自身有意义等．【答案】（1）,,442k k k k πππππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ）（2）,,,2332k k k k k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ） 【解析】 （1）要使1lg(tan )y x =有意义，必须满足()2tan 0tan 1x k k Z x x ππ⎧≠+∈⎪⎪>⎨⎪≠⎪⎩，即()2()2()4x k k Z k x k k Z x k k Z πππππππ⎧≠+∈⎪⎪⎪<<+∈⎨⎪⎪≠+∈⎪⎩， ∴函数1lg(tan )y x =的定义域为,,442xk k k k πππππππ⎛⎫⎛⎫∈+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ）．（2）要使y=2()3x k x k x k k Z πππππ⎧⎪≠⎪⎪≠+⎨⎪⎪≠+∈⎪⎩，∴函数y =,,,2332x k k k k k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ）．【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．举一反三：【变式1】（2016 宁夏期中）已知函数()tan()23f x x ππ=+ （1）求f （x ）的最小正周期．（2）求f （x ）的定义域和单调区间． （3）求方程()f x =【思路点拨】由条件利用正切函数的周期性、定义域、单调性，求得函数的周期、定义域的单调区间，解三角方程，求得方程()f x =【答案】（1）2；（2）定义域为：1{|2,}3x x k k Z π≠+∈；单调增区间为51(2,2)33k k -+，k ∈Z ；（3）{x ｜x =2k ，k ∈Z}．【解析】（1）对于函数()tan()23f x x ππ=+，它的周期等于22T ππ==．（2）令232x k ππππ+≠+，求得123x k ≠+，k ∈Z ，故函数的定义域为：1{|2,}3x x k k Z π≠+∈；令2232k x k ππππππ-<+<+，求得12523k x k -<<+， 可得函数的单调增区间为51(2,2)33k k -+，k ∈Z ． （3）由方程()tan()23f x x ππ=+=，可得233x k ππππ+=+， 求得x =2k ，故方程的解集为{x ｜x =2k ，k ∈Z}．类型二：正切函数的图象 例2．函数1tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在一个周期内的图象是下图中的（ ）【答案】A【解析】该题目借助于函数的图象考查了函数1tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期、单调性、图象分布的规律等知识，可从函数的周期与坐标轴的交点两个方面确定答案．由函数周期212T ππ==，排除选项B 、D ．将23x π=代入函数式中，12tan tan 00233ππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭．故函数图象与x 轴的一个交点为2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选A ．【总结升华】借助于函数周期公式及特殊点进行排除、验证是做选择题的有效方法． 举一反三：【变式1】（2015秋 安徽舒城县期末）如图所示，函数3cos |tan |(02y x x x π=≤≤且)2x π≠的图象是（ ）【答案】C【解析】∵sin , 02cos |tan |sin , 23sin , 2x x y x x x x x x πππππ⎧≤<⎪⎪⎪==-<≤⎨⎪⎪<<⎪⎩，∴函数3cos |tan |(02y x x x π=≤≤且)2x π≠的图象是C ． 故选C ．类型三：正切函数的周期性 例3．求下列函数的周期（1）y=3tan(2x+3π) （2）y=7tan(3x －6π) 【解析】（1）f(x)= 3tan(2x+3π)=3tan(2x+3π+π)= 3tan[2（x+2π）+3π]=f(x+2π). ∴周期为2π.（2）f(x)= y=7tan(3x －6π)=7tan(3x －6π+π)=7 tan[31（x+3π）－6π]=f(x+3π)∴周期为3π.举一反三：【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）2tan y x =； （2）|tan |y x =； （3）tan ||y x =．【答案】（1）是（2）是（3）不是 【解析】 （1）22()tan tan ()()f x x x f x ππ==+=+∴函数2tan y x =是周期函数，最小正周期是π．（2）()|tan ||tan()|()f x x x f x ππ==+=+∴|tan |y x =是周期函数，最小正周期是π．（3）由图象知，函数不是周期函数类型四：正切函数的单调性例4．（2015秋 新疆阿勒泰市月考）已知函数()3tan(2)3f x x π=-．（1）求f （x ）的定义域与单调区间（2）比较()2f π与()8f π-的大小．【思路点拨】（1）由题意利用正切函数的定义域和单调性，求得f （x ）的定义域与单调区间． （2）根据函数的解析式，求得()2f π与()8f π-的值，可得()2f π与()8f π-的大小．【答案】（1）定义域为5{|,}212k x x k Z ππ≠+∈，单调增区间为5(,)212212k k ππππ-+；（2）()()28f f ππ<-【解析】（1）由函数()3tan(2)3f x x π=-，可得232x k πππ-≠+，求得5212k x ππ≠+，k ∈Z ，故函数的定义域为5{|,}212k x x k Z ππ≠+∈．令2232k x k πππππ-<-<+，求得5212212k k x ππππ-<<+， 故函数的单调增区间为5(,)212212k k ππππ-+．（2）2()3tan 23f ππ==-1tan73()3tan()3tan()336812431tan 3f ππππππ+-=-=-+=-⋅=-=+-， ∴()()28f f ππ<-．【总结升华】比较三角函数值大小时，①异名函数化为同名函数，②利用诱导公式化为同一单调区间，③利用函数的单调性比较大小． 举一反三：【变式1】求函数1tan 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间．【解析】11tan tan 2424y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1()2242k x k k Z πππππ-<-<+∈． 得32222k x k ππππ-<<+，k ∈Z ．∴函数1tan 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为32,222k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例3】 【变式2】求函数|tan(2-)|3y x =π的单调增区间.【答案】5,26212k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭【巩固练习】 1．函数tan()3y x π=+的定义域（ ）.A ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭ C ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ D ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭2．函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 3．tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数4．当22x ππ-<<时，函数y=tan |x|的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形 5．下列各式正确的是（ ）.A ．1317tan()tan()45ππ-<- B ．1317tan()tan()45ππ->- C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定6．函数1tan y x =（44x ππ-≤≤且x ≠0）的值域是（ ）A ．[―1，1]B ．（―∞，－1]∪[1，+∞）C ．（－∞，1]D ．[－1，+∞）7．（2017 广东惠州月考）直线y ＝a （a 为常数）与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A ．2πB ．2πC ．πD ．与a 值有关 8．（2015秋 重庆期中）对于函数f (x )=tan 2x ，下列选项中正确的是（ ）A ．f （x ）在(,)24ππ-上是递增的B ．f （x ）在定义域上单调递增C ．f （x ）的最小正周期为πD ．f （x ）的所有对称中心为(,0)4k π9．函数5tan 3x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期是________。
2014-2015学年高中数学 1.7.1-1.7.2正切函数的定义 正切函数的图像与性质课时作业
正切函数的定义正切函数的图像与性质一、选择题(每小题3分,共18分)1.函数y=lg(3x-1)过定点(a,0),则tanaπ的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选D.令3x-1=1,得x=,所以函数过定点,所以a=,tanπ=-.2.(2014·某某高一检测)函数y=tan3πx的最小正周期为( )A. B. C. D.【解析】选A. T==.【变式训练】函数y=tan(a≠0)的周期是.【解析】T=.答案:3.(2014·某某高一检测)函数y=的定义域为( )A.B.C.D.【解析】选A.由题意知,tan2x,tanx有意义且tanx≠0,所以所以所以x≠,k∈Z.4.(2014·某某高一检测)函数y=tan-x的值域为( )A.[-1,1]B.(-∞,-1]∪[1,+∞)C.(-∞,1]D.[-1,+∞)【解析】选B.因为x∈,所以-x∈,由正切函数的图像可知,tan∈(-∞,-1]∪[1,+∞).5.(2014·某某高一检测)函数f(x)=tan的单调增区间是( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选C.由-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,得-+kπ<x<+kπ,k∈Z,所以函数的单调增区间是,k∈Z.【误区警示】正切函数的单调区间是开区间,不是闭区间.6.(2014·某某高一检测)方程tan=在区间[0,2π)上解的个数为( )A.5B.4C.3D.2【解析】选B.由tan=得,2x+=kπ+,k∈Z,所以x=,k∈Z,即x=0,,π,∈[0,2π).二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·某某高一检测)不等式tan2x≤0的解集是.【解析】由正切函数的图像,知-+kπ<2x≤kπ,k∈Z,所以-+<x≤,k∈Z.答案:8.(2014·某某高一检测)函数y=2tan的单调减区间是.【解析】由-+kπ<3x-<+kπ,k∈Z,得-+<x<+,k∈Z,所以函数的单调减区间是(k∈Z).答案:(k∈Z)9.函数y=的定义域是.【解析】要使函数有意义,自变量x的取值应满足tanx-≥0,即tanx≥,解得+kπ≤x<+kπ,k ∈Z.答案:【变式训练】若tan≤1,则x的取值X围是.【解析】令z=2x-,在上满足tanz≤1的z的值是-<z≤,在整个定义域上有-+kπ<z≤+kπ,解-+kπ<2x-≤+kπ,得-+<x≤+,k∈Z.答案:(k∈Z)三、解答题(每小题10分,共20分)10.比较下列各数的大小.(1)tan,tan.(2)tan2,tan3,tan4.【解析】(1)因为0<<<,且y=tanx在上是增加的,所以tan<tan.(2)tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π),tan4=tan(4-π),又因为-<2-π<-1<3-π<4-π<,且y=tanx在上是增加的,所以tan(2-π)<tan(3-π)<tan(4-π),即tan2<tan3<tan4.11.已知函数y=tanx在区间(a>0)上单调递增,求a的取值X围. 【解析】因为函数y=tanx在区间(a>0)上单调递增,所以-≤-,≤,即0<a≤1.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·嘉定高一检测)函数y=的定义域是( )A.B.C.D.【解析】选C.由题意,得⇒⇒0<tanx≤1⇒kπ<x≤kπ+(k∈Z).2.(2014·某某高一检测)a,b是不等于1的正数,θ∈,若>>1,则下列不等式成立的是( )A.a>b>1B.a<b<1C.b<a<1D.b>a>1【解题指南】由正切函数在区间的取值,结合指数函数的单调性判断a,b的取值.【解析】选A.因为θ∈,所以tanθ>0,又>>1,所以a>1,b>1,当θ=时,tan=1,所以a>b.3.设a=sin,b=cos,c=tan,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c【解析】选D.b=cos=cos=sin<sin=a<1,c=tan>tan=1,所以有b<a<c. 【举一反三】将本题中的“”全部换为“1”,则a,b,c的大小关系为.【解析】cos1=sin<sin1<1,tan1>tan=1,所以有b<a<c.答案:b<a<c4.(2014·某某高一检测)当0<x<时,函数f(x)=的最小值是( )A. B. C.2 D.4【解题指南】将f(x)用tanx来表示,结合正切函数的性质求最值.【解析】选D.f(x)===,因为0<x<,所以tanx∈(0,1),所以tanx-tan2x=-+=-+,当tanx=时,tanx-tan2x的最大值为,即的最小值为4.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·某某高一检测)函数y=的奇偶性为.【解析】由1+cosx≠0,得cosx≠-1,又x≠kπ+,k∈Z,所以函数的定义域为x,k∈Z,关于原点对称,又f(-x)===-f(x),所以函数为奇函数.答案:奇函数6.函数y=tanx,x∈与y=sinx的交点个数为.【解析】画出草图,如图:交点个数为1.答案:1三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013·日照高一检测)已知函数f(x)=3tan.(1)求f(x)的定义域和值域.(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性.【解析】(1)由x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+2kπ,k∈Z,所以定义域为,值域为R.(2)f(x)为周期函数,周期T==2π.f(x)为非奇非偶函数.由-+kπ<x-<+kπ,k∈Z,解得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z.所以函数的单调增区间为(k∈Z),不存在单调减区间.8.已知函数f(x)=.(1)求函数定义域.(2)用定义判断f(x)的奇偶性.(3)在[-π,π]上作出f(x)的图像.(4)写出f(x)的最小正周期及单调区间.【解析】(1)因为由cosx≠0,得x≠kπ+(k∈Z),所以函数的定义域是.(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称.又因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)f(x)=f(x)(x∈[-π,π])的图像如图所示.(4)f(x)的最小正周期为2π,增区间是-+2kπ,+2kπ(k∈Z),减区间是+2kπ,+2kπ(k∈Z).。
正切函数的图像与性质(带答案)
正切函数图像及性质 知识点梳理函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π例1、求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.例3、求下列函数的周期（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan 3πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=421tan 3πx y例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y练习1、求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性；练习2、求函数的单调区间⎪⎭⎫⎝⎛+-=421tan 3πx y课堂练习1． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是 ( )2.在区间(－3π2，3π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A.1B.2C.3D.43．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是 ( )4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤33.5.下列说法正确的是( )A.y ＝tan x 是增函数B.y ＝tan x 在第一象限是增函数C.y ＝tan x 在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数6.函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是 ( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z}C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z}D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z}7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A.π2B.2πC.πD.与a 值有关8.下列各式中正确的是( )A.tan 4π7＞tan 3π7B.tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－17π5C.tan 4＞tan 3D.tan 281°＞tan 665°9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π4(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )10.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________.11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ＝________.12.若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是________.13已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3.(1)求f (x )的定义域和值域.(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性.14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3的值域.。
正切函数的图象和性质
f ( x ) tan(x ) tan x f ( x)
所以 y=tanx 是周期函数， 是它的一个周期
类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一 个周期上的图象。
y tan x, x (
, ) 的图象 2 2
y
利用正切线画图
3
2
4
6
1
A
2
课堂作业
课本P80 习题 4.10 1. 3.
所以函数
y tan(x ) 4
的定义域是
{x | x
4
k , k Z }
四：小 结
（1）图象：
y
3 2
2
0
2
3 2
x
（2）性质： 1. 定义域: 2. 值 域： 3. 周期性： 4. 奇偶性： 5. 单调性：
x x
k , k Z 正切函数的值域是实数集R 正切函数是周期函数,周期是 奇函数, 它的图象关于原点 对称. ( k , k ), k Z 增函数 2 2
4.10 正切函数的图象和性质
y
3 2
2
0
2
3 2
x
卢氏县第一高级中学
知识回顾：
1. 什么是正切线？y
P
O
T
A
x
2. 什么是周期函数？
f ( x) f ( x T )
3. 如何利用单位圆中的正弦线作出
正弦函数图象？
一：用正切线作正切函数的图象
首先我们一起分析一下正切函数y=tanx 是否为 周期函数？ 因为
正切函数的图像和性质讲义和习题#(精选.)
正切函数的图像与性质【知识框架】正切函数的性质正切函数正切函数的图像1.正切函数图像画法：三点两线法2、正切函数图像与性质y t an x图像值域对称中心【典型例题】1例1.求yt an 3x 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
例2.求函数 y 例3. 不求值比较下列各组数的大小：例4. 判断下列函数的奇偶性：t an 2 x t an x1 t an x xt an 2x x 4 y（2）（1） y 例5.例6.若函数 f (x)3y tanx t an x 2 的最值。
例7. 已知 x，求函数 2[ , ] 12 6例8. 若 x 时，例9. 函数 y的值域。
4y t an x【巩固练习】1. 函 数y =tan (2x +) 的 周 期 是6(B)2π2 42. 已 知a =tan1,b =tan2,c =tan3, 则a 、b 、c 的 大 小 关 系 是21(A) y =|tanx |tanx(C) y =tan x2x 4.函数的定义域是2(A){x |k π<x <k π+ ,k ∈Z}(B) {x |4k π<x <4k π+ ,k ∈Z}42(C) {x |2k π<x <2k π+π,k ∈Z}5.已 知 函 数 y =tan ωx 在 (- , )内 是 单 调 减 函 数 ,则 ω 的 取 值 范 围 是22α 、 β∈(,π) 且 tan α<tan β ， 那 么 必 有2( )2x 7.函数 y =2tan( -)的定义域是 3 2,周期是 ;8.函数 y =tan 2x -2tan x +3的最小值是 ; x 9.函数 y =tan( + )的递增区间是;23段 AB 长为 π；②直线 x =k π+ ,(k ∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是2k( ,0),(k ∈Z),正确的命题序号为 .43 (2)tan()与 tan ( )8167x 13.求下列函数 )的周期和单调区间y t an(2 3522 B．的值域是（B．上是增函数；②为奇函数；③以，下列判断正确的个数是（是区间是区间是区间B．1C．向右平移D．向右平移个单位的一个对称中心是（C．B．0与函数B．2的最小正周期是____________．的定义域是_________．最新文件仅供参考已改成word文本。
1.4.3 正切函数的性质与图象
第一章 三角函数1．4 三角函数的图象与性质1．4.3 正切函数的性质与图象[A 组 学业达标]1．关于正切函数y ＝tan x ，下列判断不正确的是( ) A ．是奇函数B ．在整个定义域上是增函数C ．在定义域内无最大值和最小值D ．平行于x 轴的直线被正切曲线各支所截线段相等解析：正切函数在整个定义域上不具有单调性，正切函数在每个单调区间内是增函数．答案：B2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是 ( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z 解析：x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋π4，k ∈Z .答案：D3．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是 ( )解析：由函数周期T ＝π12＝2π，排除选项B 、D.将x ＝23π代入函数解析式中，得y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23π－π3＝tan 0＝0，故函数图象与x 轴的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，0，排除C ，故选A.答案：A4．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是 () A ．x ＝π2 B ．x ＝－π2C ．x ＝π4 D ．x ＝π8解析：当x ＝π2时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 5π4＝1； 当x ＝－π2时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝1； 当x ＝π4时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 3π4＝－1； 当x ＝π8时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan π2，不存在． 答案：D5．若f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则 ( )A ．f (1)>f (0)>f (－1)B ．f (0)>f (1)>f (－1)C ．f (0)>f (－1)>f (1)D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：f (0)＝tan π4，f (－1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1，f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1－π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34π. ∵－π2<1－34π<π4－1<π4<π2，又y ＝tan t 在t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∴tan π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34π， ∴f (0)>f (－1)>f (1)．答案：C6．函数y ＝1－tan x 的定义域是________．解析：由1－tan x ≥0，即tan x ≤1，结合图象(图略)可解得．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π4，k ∈Z7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6的值域是________． 解析：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，∴x 2＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4∈(1，3)． 答案：(1，3)8．关于函数y ＝tan x 2的说法正确的是________．(填所有正确答案的序号)①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，①正确；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数，②正确；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π＋2k π，k ∈Z ，即函数y ＝tan x 2的定义域为{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，所以④不正确．答案：①②9．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：(1)tan 13π4与tan 17π5；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. 解析：(1)因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增， 所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. 10．画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．解析：由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2（k ∈Z ），－tan x ，－π2＋k π<x <k π（k ∈Z ），其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，周期为π. [B 组 能力提升]11．已知a ，b 是不等于1的正数，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，若a tan θ>b tan θ>1，则下列关系式成立的是 ( )A ．a >b >1B ．a <b <1C ．b <a <1D ．b >a >1 解析：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴－tan θ>0.由a tan θ>b tan θ>1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －tan θ>⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －tan θ>1，知1a >1b >1，∴a <b <1.答案：B12．函数y ＝|tan x |cos x 的部分图象是 ( )解析：当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2时，tan x ≥0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x <0.当x ＝π2或3π2时，tan x 无意义．从而当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2时，y ＝|tan x |cos x 与y ＝sin x 的图象相同；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，y ＝|tan x |cos x 与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选C.答案：C13．函数y ＝tan 2x －2tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π3的值域为________． 解析：令u ＝tan x ，∵|x |≤π3，∴由正切函数的图象知u ∈[－3，3]，∴原函数可化为y ＝u 2－2u ，u ∈[－3，3]，∵二次函数y ＝u 2－2u 图象开口向上，对称轴方程为u ＝1，∴当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1，当u ＝－3时，y max ＝3＋23，∴原函数的值域为[－1，3＋23]．答案：[－1，3＋23]14．关于函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4有以下命题： ①函数f (x )的周期是π2；②函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z ； ③y ＝f (x )是奇函数；④y ＝f (x )的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 其中，正确的命题是________．解析：f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的周期T ＝π2，故①正确；f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，故②不正确；f (x )是非奇非偶函数，故③不正确；f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，k π2＋38π，k ∈Z ，故④不正确． 答案：①15．已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω<0)的周期为π2，求该函数的定义域、值域，并讨论其单调性和奇偶性．解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω<0)的周期为π|ω|＝π2，解得ω＝2或ω＝－2.因为ω<0，所以ω＝－2，故y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 由2x －π4≠k π＋π2(k ∈Z )，解得x ≠k π2＋3π8(k ∈Z )，所以该函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，值域为R .由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．令t ＝2x －π4，所以y ＝－tan t ，该函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递减． 由k π－π2<2x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，解得k π2－π8<x <k π2＋3π8(k ∈Z )，所以所求函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，k π2＋3π8(k ∈Z )． 16．若函数y ＝tan 2 x －a tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最小值为－6，求实数a 的值．解析：设t ＝tan x ．因为|x |≤π4，所以tan x ∈[－1，1]，则原函数化为y ＝t 2－at ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22－a 24，对称轴方程为t ＝a 2. ①若－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2，则当t ＝a 2时，y min ＝－a 24＝－6， 所以a 2＝24，不符合题意，舍去；②若a 2<－1，即a <－2，则二次函数在[－1，1]上单调递增，当t ＝－1时，y min ＝1＋a ＝－6，所以a ＝－7；③若a 2>1，即a >2，则二次函数在[－1，1]上单调递减， 当t ＝1时，y min ＝1－a ＝－6，所以a ＝7. 综上所述，实数a 的值为－7或7.。
正切函数图像与性质(用)
2 、y tan x 性质:
x k（ , k z）图象 2
y
y tan x
⑴ 定义域： { x | x ⑵ 值域： R ⑶ 周期性：
2
k , k Z }
2
2
o
2
2
x
2 k ,
奇函数，图象关于原点对称。 ⑷ 奇偶性： (5)单调性： 在每一个开区间 ( 上是增函数
7 4
5 4
· (- , 0) 4 · O 3 4 4 ( , 1) · 2
(0,1)
4
3 4
5 4
x
思考:
1、观察正切曲线，满足 tan x 0 的x的集合是
( k , k ) k Z 2
2、 函数y tan 3x的定义域为 单调递增区间为
3 (1). tan 与tan 8 8 3 tan tan
8 8
13 17 （2） tan( )与 tan( ) 4 5
13 17 tan( ) tan( ) 4 5
探究互动
y
正切函数y=tanx的性质
⑴ 定义域： { x | x
⑵ 值域：R ⑶ 周期性： T ⑷ 奇偶性： 奇函数， 图象关于原点对称。 (5) 对称性：对称中心： (6)单调性：在每一个开区间 (
2
P(x,y)
·
0
k , k Z }
3 2
2
2
3
2
2
3
4 x
7.2正切函数的图像与性质、7.3正切函数的诱导公式 训练案知能提升 Word练习题含答案
, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2－3π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z 解析：选C.由2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8(k ∈Z )． 2．若tan θ·sin θ<0，则θ位于( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限解析：选C.依题意，tan θ·sin θ<0，所以tan θ与sin θ异号．当tan θ>0，sin θ<0时，θ为第三象限角．当tan θ<0，sin θ>0时，θ为第二象限角．3．函数y ＝|tan x |的周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．3π解析：选B.结合函数y ＝|tan x |的图像可知周期为π.4．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)，下列说法不正确的是( )A ．对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数B ．不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数C ．存在φ，使f (x )为奇函数D ．对任意的φ ，f (x )都不是偶函数解析：选A.当φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝tan(x ＋k π)＝tan x 为奇函数．5．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是( )(1)在⎝⎛⎭⎫0，π2上是递减的． (2)最小正周期为2π.(3)是奇函数．A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin(x ＋3π)D ．y ＝sin 2x解析：选C.y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是递增的，不满足条件(1)． B ．函数y ＝cos x 是偶函数，不满足条件(3)．C ．函数y ＝sin(x ＋3π)＝－sin x ，满足三个条件．D ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期T ＝π，不满足条件(2)．6．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan x 2的图像相交，两相邻交点间的距离为________． 解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期．答案：2π7．比较大小：tan 211°________tan 392°.解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°.tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°，因为tan 31°<tan 32°，所以tan 211°<tan 392°.答案：<8．函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，x 2≤1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－1≤x ≤1，故π4≤x ≤1. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，1 9．化简：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2. 解：原式＝tan （－α）·sin （－α）·cos （－α）sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α. 10．(1)求y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，y ＝k ＋tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的值总不大于零，求实数k 的取值范围． 解：(1)设t ＝tan x ，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5，所以y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[－5，＋∞)．(2)由y ＝k ＋tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x ≤0， 得k ≤－tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤0，π3. 由正切函数的单调性，得0≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤3， 所以要使k ≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3恒成立，只要k ≤0即可． 所以k 的取值范围为(－∞，0]．[B.能力提升]1．已知f (tan x )＝cos 3x ，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (tan 375°)的值为( ) A.12 B ．－22C.22 D ．－12解析：选C.因为tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°，所以f (tan 375°)＝f (tan 15°)＝cos(3×15°)＝cos 45°＝22. 2．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b >a >cD ．b <a <c解析：选C.tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上为增函数可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．3．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1满足f ⎝⎛⎭⎫π5＝7，则f ⎝⎛⎭⎫995π＝________． 解析：依题意得f ⎝⎛⎭⎫π5＝a sin π5＋b tan π5＋1＝7， 所以a sin π5＋b tan π5＝6， 所以f ⎝⎛⎭⎫995π＝a sin 995π＋b tan 995π＋1＝ a sin ⎝⎛⎭⎫995π－20π＋b tan ⎝⎛⎭⎫995π－20π＋1 ＝－a sin π5－b tan π5＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫a sin π5＋b tan π5＋1 ＝－6＋1＝－5.答案：－54．给出下列命题：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称； ②函数f (x )＝sin |x |是最小正周期为π的周期函数；③函数y ＝cos 2x ＋sin x 最小值为－1；④设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2.其中正确的命题序号是________．解析：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称，正确；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数，错误，函数f (x )＝sin|x |不是周期函数；③因为函数y ＝cos 2x＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1，所以其最小值为－1，正确；④设θ为第二象限的角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，即θ2为第一象限或第三象限的角，所以④不对．答案：①③5．已知函数f (x )＝sin x |cos x |. (1)求函数的定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)因为由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z )， 所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又因为f (－x )＝sin （－x ）|cos （－x ）|＝－sin x |cos x | ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π， 则f (x )在其定义域上的图像如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，递增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )， 递减区间是⎝⎛⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π，⎝⎛⎭⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )． 6．(选做题)已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43，x ∈[－1，3]， 所以当x ＝33时，f (x )的最小值为－43， 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)因为f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ， 所以原函数的图像的对称轴方程为x ＝－tan θ.因为y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数，所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－3，所以π4＋k π≤θ<π2＋k π或－π2＋k π<θ≤－π3＋k π， k ∈Z .又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。
高中数学“学考复习”模块过关专题讲座练习：第六讲 正切函数的图像与性质
第六讲 正切函数的图像与性质一、知识回顾知识点1：正切函数{ EMBED Equation.3 |R x x y ∈=tan ，且的图象，称“正切曲线”知识点2：正切函数的性质：定义域： 值域：最值： 渐近线： 周期性：奇偶性： 单调性： 对称性：二、 典型例题例1、.求函数的定义域，单调区间，最小正周期例2、求函数y ＝的定义域例3、 比较tan 与tan 的大小例4、若直线的斜率，则倾斜角的范围是多少？三、课堂练习1、若tan 0x ≤,则（ ）.A ．22,2k x k k Z πππ-<<∈B ．2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈ C ．,2k x k k Z πππ-<≤∈ D ．,2k x k k Z πππ-≤≤∈2、 函数的周期是 ( )(A) (B) (C) (D)3、函数tan 2()tan x f x x =的定义域为 ；tan()4y x π=-的定义域是 .4、下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A) (B) (C) (D)5、给出下列命题: 其中正确命题的序号是______________。
(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2;(3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数;(5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)四、总结提升1、正切函数的定义与图像，定义域、值域和周期性、奇偶性、单调性。
2、数形结合的数学思想方法。
五、课后作业1、tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为减函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数 2、比较大小：①tan1380 tan1430； ②tan （— 13π4|） tan （）3、.求函数y=lg(1-tanx)的定义域。
高中数学必修4三角函数常考题型：正切函数的性质与图像
正切函数的性质与图像【知识梳理】1．正切函数的性质函数 y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z函数 y ＝tan x 值域 (－∞，＋∞)周期 T ＝π 奇偶性 奇函数单调性在每个开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数 2．(1)正切函数的图像：(2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．【常考题型】题型一、正切函数的定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解](1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图像可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．【类题通法】求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解形如tan x >a 的不等式的步骤：【对点训练】 求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .因此，函数y ＝11＋tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .题型二、正切函数的单调性及应用【例2】 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解](1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 【类题通法】1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系． 【对点训练】1．比较tan1，tan2，tan3的大小．解：因为tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)． 又因为π2<2<π，所以－π2<2－π<0.因为π2<3<π，所以－π2<3－π<0.显然－π2<2－π<3－π<1<π2，又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan2<tan3<tan1.2．求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． 解：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π得，－π8＋k 2π<x <3π8＋k2π(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k 2π，3π8＋k 2π(k ∈Z )．题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【例3】(1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解](1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为错误!，关于原点对称，∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数． 【类题通法】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．【对点训练】关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图像关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．解析：①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错；观察正切函数y ＝tan x 的图像，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2得x ＝k π2－φ，分别令k ＝1,2知②、③正确，④显然正确．答案：①【练习反馈】1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的单调性为( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数 D ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上为增函数 解析：选C 由正切函数的图像可知选项C 正确． 2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan1. 即－tan1≤tan x ≤tan1.3．函数y ＝5tan ⎝⎛⎭⎫－x2的最小正周期是________． 解析：T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.答案：2π4．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3， 3 ]5．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．。
正切函数的性质与图像
π π 即 asin ＋btan ＝6. 5 5 99π π 99π 99π 于 是 f 5 ＝ asin ＋ btan ＋ 1 ＝ asin 20π－5 ＋ 5 5 π π π btan20π－ ＋1＝－asin －btan ＋1＝－6＋1＝－5. 5 5 5
π x|x∈R，x≠ ＋ 2
kπ，k∈Z ，它不是实数集 R，这是与正弦函数和余弦函数不相 同的，应加以区分，才能记忆牢固．一般地，函数 y＝Atan(ωx＋ π φ)(Aω≠0)的定义域应由 ωx＋φ≠kπ＋ (k∈Z)求得． 2
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课堂总结 1．函数 y＝tan x 的图象的对称中心有两类，一类是图象与 x 轴的交点，即 (kπ ， 0)(k ∈ Z) ，另一类是函数值不存在的点，即 kπ π kπ＋ ，0(k∈Z)．这两类对称中心可以合并为 ，0(k∈Z)． 2 2 2．函数 y＝tan(ωx＋φ)(ω≠0)的单调性由 ω 的符号决定，若 ω ＞0，它在每一个单调区间都是单调递增；若 ω＜0，它在每一个单 调区间都是单调递减． 函数 y＝Atan(x＋φ)(A≠0)的单调性由 A 的符号决定， 若 A＞0， 它在每一个单调区间都是单调递增；若 A＜0，它在每一个单调区 间都是单调递减． 函数 y＝Atan(ωx＋φ)A(ω≠0)的单调性由 Aω 的符号决定，若 Aω＞0，它在每一个单调区间都是单调递增；若 Aω＜0，它在每一 个单调区间都是单调递减.
正切函数的图像和性质练习题
正切函数图象与性质检测试题一、选择题1、函数4tan xy的定义域是Zk 其中A ．4|kxR x B ．4|kx R x C ．42|kx R x D ．42|kx R x 2、函数4,3,tan xx y 的值域是A ．1,B ．1,3C ．,D ．,33、函数3tan xy 的单调区间是Zk其中A ．kk 65,6B ．kk 6,65C ．kk 265,26D ．kk 26,2654、函数42tan xy 的周期是A ．B ．2C ．2D ．45、要得到函数x y 2tan 的图象，只须把32tan xy的图象A ．左移3个单位B ．右移3个单位C ．左移6个单位D ．右移6个单位6、观察正切曲线，满足条件1tan x的x 的取值范围是(其中k ∈Z) ()A ．(2k π-4,2k π+4)B ．(k π,k π+4) C ．(k π4,k π+4)D ．(k π+4,k π+43)二、填空题7、函数xy tan 11的定义域是．8、函数x ytan 图象的对称中心是．9、函数32tanx y的单调区间是．10、若直线2ax 1a 与函数42tan xy图象不相交，则a．11、观察正切曲线，满足条件3tan x的x 的取值范围是．12、4tan ,3tan ,2tan ,1tan 由小到大排列为．THANKS致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案1.如下图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x ＜3π2且x ≠π2)的图象是( )A ．B ．C ．D ．2.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2,3π2)内的图象是( )A ．B ．C ．D ．3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A．2＋√3 B．√3 C．√33D．2－√36.下列图象分别是函数①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a、b、c、d依次对应的函数关系式应是( )A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③7.函数y＝tan(π4x－π2)的部分图象如图所示，则△AOB的面积等于( )A．1 B．2 C．4 D．928.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z) B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z) D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)考点2 正切函数的定义域、值域9.函数y＝1tanx的定义域为( )A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}10.函数y＝√sinx＋√tanx的定义域为( )A．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}B．{x|2kπ＜x≤kπ＋π2,k∈Z}C．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}D．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2且x≠2kπ＋π，k∈Z}11.函数y＝tan x(−π4≤x≤π4且x≠0)的值域是( )A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 12.函数y＝tan(sin x)的值域为( )A．[−π4,π4]B．[−√22,√22]C．[－tan1，tan1] D．以上都不对13.(1)求函数y＝√tanx−√3的定义域；(2)已知f(x)＝tan2x－2tan x(|x|≤π3)，求f(x)的值域.14.函数y＝tanωx的最小正周期为π2，则实数ω的值为( )A．12B．1 C．2 D．415.已知函数y＝tanωx(ω＞0)的图象与直线y＝a相交于A，B两点，若AB长度的最小值为π，则ω的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．3 16.函数y ＝tan 35x 是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为53π的奇函数 C ．周期为53π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 17.下列函数中，为偶函数的是( ) A ．f (x )＝sin(2015π2＋x ) B ．f (x )＝cos(2015π2＋x ) C ．f (x )＝tan(2015π2＋x ) D ．f (x )＝sin(2014π2＋x )18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z ) B ．(k 2π－π3，0)(k ∈Z )C ．(k π2，0)(k ∈Z ) D ．(k π，0)(k ∈Z )19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______.22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2；③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B．(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k∈Z)C．(−3π10＋kπ，7π10＋kπ)(k∈Z)D．(−π5+kπ，π5＋kπ)(k∈Z)26.关于函数f(x)＝－tan2x，有下列说法：①f(x)的定义域是{x∈R|x≠π2＋kπ，k∈Z}；②f(x)是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋kπ2，π4＋kπ2)(k∈Z)上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 27.已知函数f (x )＝√3tan πxω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围. 答案1.如下图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y＝cos x|tan x|＝{sinx,0≤x＜π2,−sinx,π2＜x≤πsinx,π＜x＜3π2.，∴函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是C.2.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(π2,3π2)内的图象是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当π2＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜3π2时，tan x＞sin x，y＝2sin x.故选D.3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为y ＝tan x 是奇函数，所以f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}是奇函数，因此B ，C 不正确，又因为f (x )＝tan x ＋1tanx ，0＜x ＜π2时函数为正数，所以D 不正确，A 正确.4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】∵sin x ＜x ＜tan x ，x ∈(0，π2)， ∴在(0，π2)上无交点，又它们都是奇函数，故在(－π2，0)上无交点， 观察图象知两个函数的图象有1个交点.5.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A ．2＋√3B ．√3C ．√33D ．2－√3【答案】B【解析】由图象知πω＝2×(3π8−π8)＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan (2x +π4).又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan (2x +π4).所以f (π24)＝tan (2×π24+π4)＝√3，故选B.6.下列图象分别是函数①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y ＝tan|x |在x ∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a 、b 、c 、d 依次对应的函数关系式应是( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③ 【答案】D【解析】y ＝tan(－x )在(－π2，?π2)内是减函数，故选D.7.函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则△AOB 的面积等于( )A ．1B ．2C ．4D ．92【答案】A【解析】函数的周期T＝ππ4＝4，则A(2,0)，∴△AOB的面积S＝12×2×1＝1.8.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)【答案】C【解析】∵不等式tan x≥√3，由正切函数的性质可得kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z，∴使不等式成立的x的集合为{x|kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z}，即x∈[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z).9.函数y＝1tanx的定义域为( ) A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}【答案】D【解析】函数y＝1tanx 有意义，则{x≠kπ，k∈Z，x≠kπ+π2，k∈Z，可得函数的定义域为{x|x ≠k π2，k ∈Z}.10.函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域为( ) A ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z} B ．{x|2k π＜x ≤k π＋π2,k ∈Z}C ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z }D ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z} 【答案】C【解析】由{sinx ≥0tanx ≥0，即{2kπ≤x ≤2kπ＋πkπ≤x ＜kπ＋π2(k ∈Z )，得2k π≤x ＜2k π＋π2(k ∈Z )或x ＝2k π＋π(k ∈Z ).所以函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域是{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z } 11.函数y ＝tan x (−π4≤x ≤π4且x ≠0)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞) 【答案】B【解析】根据正切函数图象，结合函数的单调性可得. 12.函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) A ．[−π4,π4]B ．[−√22,√22]C ．[－tan1，tan1]D ．以上都不对 【答案】C【解析】∵sin x ∈[－1,1]，结合函数y ＝tan x 的图象可知，tan(－1)≤tan(sin x )≤tan1，即y ∈[－tan1，tan1].13.(1)求函数y ＝√tanx −√3的定义域；(2)已知f (x )＝tan 2x －2tan x (|x |≤π3)，求f (x )的值域.【答案】(1)要使函数有意义，必须使tan x －√3≥0，即tan x ≥√3， ∴k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝√tanx −√3的定义域为[k π＋π3,k π＋+π2)(k ∈Z ). (2)令u ＝tan x ，∵|x |≤π3，∴u ∈[－√3，√3]， ∴函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－√3，√3]. ∴当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－√3时，y max ＝3＋2√3， ∴f (x )的值域为[－1,3＋2√3].14.函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，则实数ω的值为( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C【解析】因为函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，所以π|ω|＝π2，考察选项可知，实数ω的值为2. 15.已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，若AB 长度的最小值为π，则ω的值为( )A．4 B．2 C．1 D．3【答案】C【解析】根据函数y＝tanωx(ω＞0)的图象特点可知，两点间的距离必是最小正周期的正整数倍，又由两点间长度的最小值为π，即函数最小正周期为π，所以π|ω|＝π.又由ω＞0，则ω＝1.16.函数y＝tan35x是( )A．周期为π的偶函数 B．周期为53π的奇函数C．周期为53π的偶函数 D．周期为π的奇函数【答案】B【解析】正切函数的周期T＝π35＝53π，函数y＝tan35x是奇函数.17.下列函数中，为偶函数的是( )A．f(x)＝sin(2015π2＋x)B．f(x)＝cos(2015π2＋x)C．f(x)＝tan(2015π2＋x)D．f(x)＝sin(2014π2＋x)【答案】A【解析】对于A，f(x)＝sin(2015π2＋x)＝sin(1007π＋π2＋x)＝sin(3π2＋x)＝－cos x，为偶函数，则A正确；对于B，f(x)＝cos(2015π2＋x)＝cos(1007π＋π2＋x)＝cos(3π2＋x)＝sin x，为奇函数，则B错误；对于C ，f (x )＝tan(2015π2＋x )＝tan(1007π＋π2＋x )＝tan(π2＋x )＝－cot x ，为奇函数，则C 错误；对于D ，f (x )＝sin(1007π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ，为奇函数，故D 错误. 故选A.18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z )B ．(k2π－π3，0)(k ∈Z ) C ．(k π2，0)(k ∈Z )D ．(k π，0)(k ∈Z )【答案】B【解析】函数y ＝tan (x +π3)的图象由函数y ＝tan x 的图象向左平移π3个单位得到， 又由函数y ＝tan x 的对称中心的坐标是(k π2，0)(k ∈Z )，∴函数y ＝tan(x ＋π3)的对称中心的坐标是(k2π－π3，0)(k ∈Z ).19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)【答案】D 【解析】将π3，－5π3，7π3代入y ＝tan(x 2－π6)均为0，而2π3代入y ＝tan(x 2－π6)不为0，所以选D.20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 【答案】B【解析】令k π－π2＜x ＋π3＜k π＋π2，解得k π－5π6＜x ＜k π＋π6，k ∈Z ，显然(−π6，5π6)不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan (x +π3)的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B.21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______. 【答案】±2【解析】函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1的周期是π2，函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期是π|a|， 因为周期相同，所以π|a|＝π2，解得a ＝±2. 22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________. 【答案】④【解析】①正切函数的图象的对称中心是唯一的，由正切函数的性质可知，①是错误的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2，前者正确，后者错误，②是错误的； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2，如果x 1＝390°，x 2＝90°，sin x 1＜sin x 2，③是错误的；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0，f(x＋T)＝f(x)，f(－T2＋π)＝f(－T2)＝－f(T2)，f(－T2)＝0，④是正确的.故答案为④.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.【答案】(1)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tan x－sin2x，∴函数f(x)是非奇非偶函数.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数【答案】D【解析】由正切函数的图象可知D正确.25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B ．(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ) C ．(−3π10＋k π，7π10＋k π)(k ∈Z ) D ．(−π5+k π，π5＋k π)(k ∈Z )【答案】B【解析】∵y ＝tan x 的单调递增区间为(−π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )， 令k π－π2＜x ＋π5＜k π＋π2，解得k π－7π10＜x ＜k π＋3π10， ∴函数y ＝tan(x ＋π5)的单调递增区间是(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ). 26.关于函数f (x )＝－tan2x ，有下列说法：①f (x )的定义域是{x ∈R |x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②f (x )是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 【答案】C【解析】①由正切函数的定义域可得，2x ≠π2＋k π，k ∈Z ，故①错误； ③由正切函数的定义域可知，函数y ＝－tan2x 在(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数，故③错误；⑤根据周期公式可得，T ＝π2，故⑤错误. 27.已知函数f (x )＝√3tan πx ω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围. 【答案】(1)当ω＝4时，f (x )＝√3tan π4x ，则f (x )的最小正周期T ＝ππ4＝4，由k π－π2＜π4x ＜k π＋π2，k ∈Z .得4k －2＜x ＜4k ＋2，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(4k －2,4k ＋2)，k ∈Z . (2)∵ω＞0，∴函数f (x )的周期T ＝ππω＝ω，∴若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立， 则f (x )在x ∈[－π3，π4]上为单调递增函数， 满足－π3＞－12T ＝－ω2， ∴ω＞2π3，∵|f (－π3)|＞f (π4)，此时满足f (－π3)≥－3，即f (－π3)＝√3tan(－π3×πω)≥－3， 即tan(－π3×πω)≥－√3，则－π3×πω≥－π3， 则πω≤1，即ω≥π， 综上，ω≥π.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】函数y ＝tan x 2的周期T ＝πω＝2π，再由tan(－x 2)＝－tan x2可得，此函数为奇函数. 29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.【答案】(1)由题意得，T ＝π2. 由2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8，由－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得k π2－3π8＜x ＜k π2＋π8，综上得，函数的周期是π2，定义域是{x |x ≠k π2＋π8，k ∈Z }，单调增区间是(k π2－3π8，k π2＋π8)(k ∈Z ).(2)2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1，①∵f (θ)＝17，∴tan(2θ＋π4)＝17， 则tan2θ＝tan[(2θ＋π4)－π4]＝17−11+17＝－34，由tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝－34，得tan θ＝3或－13， 把tan θ＝3代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝－12，把tan θ＝－13代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝2.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标. 【答案】(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图：则对应的图象如图：(2)由12x －π6≠k π＋π2，得x ≠2k π＋4π3，即函数的定义域为{x |x ≠2k π＋4π3，k ∈Z }，函数的周期T ＝π12＝2π.由k π－π2＜12x －π6＜k π＋π2，k ∈Z ， 得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(2k π－2π3，2k π＋4π3)，k ∈Z .(3)由12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ， 即函数图象的渐近线方程为x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，由12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .即所有对称中心的坐标为(k π＋π3，0).31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围.【答案】假设θ存在.由|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，得2tanθ≤x≤tan2θ＋1，∴M＝{x|2tanθ≤x≤tan2θ＋1}.∵x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0，∴当tanθ≥13时，2≤x≤3tanθ＋1.当tanθ＜13时，3tanθ＋1≤x≤2.∵M∩N＝∅，∴当tanθ≥13时，有3tanθ＋1＜2tanθ或tan2θ＋1＜2，即tanθ＜－1或－1＜tanθ＜1，∴13≤tanθ＜1.①当tanθ＜13时，有2＜2tanθ或3tanθ＋1＞tan2θ＋1，即tanθ＞1或0＜tanθ＜3，∴0＜tanθ＜13.②由①②得0＜tanθ＜1，∴θ的取值范围是(kπ，kπ＋π4)，k∈Z.。
高中数学-正切函数的性质与图象练习
高中数学-正切函数的性质与图象练习5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅰ，文6)函数f(x)=tan(x+4π)的单调区间为( ) A.(kπ-2π,kπ+2π),k∈ZB.(kπ,(k+1)π),k∈ZC.(kπ-43π,kπ+4π),k∈ZD.(kπ-4π,kπ+43π),k∈Z 解析：由kπ-2π＜x+4π＜kπ+2π,k ∈Z ，解得kπ-43π＜x ＜kπ+4π,k ∈Z . 答案：C2.函数y=tan(πx+4π)的最小正周期是_______________. 解析：T=ππ=1. 答案：13.作出函数y=｜tanx ｜的图象，并根据图象求其单调区间.解：由于y=|tanx|⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∈-+∈),2(,tan ),2,[,tan ππππππk k x x k k x x (k ∈Z )， 所以其图象如下图所示，单调增区间为［kπ，kπ+2π)(k ∈Z )；单调减区间为(kπ-2π，kπ］(k ∈Z ).4.利用函数图象,写出x 的范围:tanx≥-1.解析：在(-2π,2π)内tanx≥-1=tan(-4π),∴-4π≤x＜2π. 由周期性可知当tanx≥-1时,kπ-4π≤x＜kπ+2π,k ∈Z . 答案：kπ-4π≤x＜kπ+2π,k ∈Z . 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.函数y=tan(21x-3π)在一个周期内的图象是( )图1-4-2解析：函数y=tan(21x-3π)的周期是2π，可排除B 、D ；对于答案C ，图象过点(3π，0)，代入解析式不成立，可排除C.答案：A2.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(12π，0)，则φ可以是( ) A.-6π B.6π C.-12π D.12π 解析：将(12π，0)代入原函数可得tan(6π+φ)=0，再将A 、B 、C 、D 代入检验即可. 答案：A3.若f(x)=tan(x+4π)，则( ) A.f(0)＞f(-1)＞f(1) B.f(0)＞f(1)＞f(-1)C.f(1)＞f(0)＞f(-1)D.f(-1)＞f(0)＞f(1)解析：在(-2π,2π)上，y=tanx 为增函数.根据诱导公式把x+4π转化到(-2π,2π)上再比较大小. f(1)=tan(1+4π)=tan(1-43π).又-2π＜1-43π＜4π-1＜4π，所以f(0)＞f(-1)＞f(1). 答案：A 4.函数y=xtan 11+的定义域是_________________. 解：要使函数y=x tan 11+有意义，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠+),(2,0tan 1Z k k x x ππ 即x≠-4π+kπ且x≠2π+kπ(k∈Z ). ∴函数的定义域为{x|x∈R 且x≠-4π+kπ且x≠2π+kπ,k∈Z . 答案：{x|x∈R 且x≠-4π+kπ且x≠2π+kπ,k∈Z } 5.函数y=x tan 3-的定义域为_______________，值域为_______________.解：∵⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥-)(2,0tan 3Z k k x x ππ∴tanx≤3. ∴-2π+kπ＜x≤3π+kπ(k∈Z ),y≥0. 答案：{x|-2π+kπ＜x≤3π+kπ,k∈Z }y≥0 6.求函数y=tan(2x-3π)的单调区间. 解：由y=tanx,x ∈(kπ-2π,kπ+2π)(k ∈Z )是增函数， ∴kπ-2π＜2x-3π＜kπ+2π，k ∈Z ，即2πk -12π＜x ＜2πk +125π，k ∈Z . 因此，函数的单调递增区间为(2πk -12π,2πk +125π)(k ∈Z ). 7.比较tan1,tan2,tan3的大小.解：∵tan2=tan(2-π)，tan3=tan(3-π), 又∵2π＜3＜π，∴-2π＜3-π＜0. 显然-2π＜2-π＜3-π＜1＜2π. 而y=tanx 在(-2π,2π)内是增函数， ∴tan(2-π)＜tan(3-π)＜tan1.∴tan2＜tan3＜tan1.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.函数y=tan(4π-x)的定义域是( ) A.{x|x≠4π，x∈R } B.{x|x≠-4π，x∈R } C.{x|x≠kπ+4π，k∈Z ，x∈R } D.{x|x≠kπ+43π，k∈Z ，x∈R } 解析：要使函数有意义，需满足4π-x≠2π+kπ(k∈Z )， ∴x≠-4π+kπ(k∈Z )，也可写成x≠43π+kπ(k∈Z ). 答案：D2.直线y=a(a 为常数)与正切曲线y=tanωx(ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点间的距离是( )A.πB.ωπ2C.ωπ D.与a 的值有关 解析：相邻两交点间的距离恰为该函数的周期，由y=tanωx，ω＞0，得T=ωπ. 答案：C3.函数y=2tan(3x-4π)的一个对称中心是( ) A.(3π，0) B.(6π，0) C.(-4π，0) D.(-2π，0) 解析：由y=tanx 的对称中心是(2πk ，0)， ∴3x -4π=2πk ，x=12π+6πk (k ∈Z ). 当k=-2时，x=-4π. 答案：C4.(高考全国卷Ⅱ，4)已知函数y=tanωx 在(-2π,2π)内是减函数，则( ) A.0＜ω≤1 B.-1≤ω＜0 C.ω≥1 D.ω≤-1解析：由||ωπ≥π，∴|ω|≤1.若ω＞0,其图象与y=tanx 在(-2π,2π)上有相同的增减性，∵y=tanωx 是(-2π,2π)上的减函数,∴ω＜0. 答案：B5.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、2π； ③若x 1＞x 2，则sinx 1＞sinx 2；④若f(x)是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f(2T -)=0. 其中正确命题的序号是_____________________.答案：④6.不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：(1)tan167°与tan173°； (2)tan(411π-)与tan(513π-). 解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°，又∵y=tanx 在(90°，270°)上是增函数， ∴tan167°＜tan173°. (2)∵tan(411π-)=tan(-43π)，tan(513π-)=tan(53π-)， 又∵-23π＜-43π＜53π-＜-2π，函数y=tanx ，x ∈(-23π，-2π)是增函数，∴tan(-43π)＜tan(53π-)，即tan(411π-)＜tan(513π-). 7.若α、β为锐角，且cotα＞tanβ，试比较(α+β)与2π的大小. 解：∵α、β∈(0，2π)，∴(2π-α)∈(0，2π). 由cotα＞tanβ，得tan(2π-α)＞tanβ. ∵y=tanx 在x ∈(0，2π)上是增函数， ∴2π-α＞β，即α+β＜2π. 8.已知函数f(x)=tanx,x∈(0,2π)，若x 1、x 2∈(0,2π)且x 1≠x 2，试比较21［f(x 1)+f(x 2)］与f(221x x +)的大小. 解：f(x)=tanx,x ∈(0,2π)的图象如图所示，则f(x 1)=AA 1，f(x 2)=BB 1，f(221x x +)=CC 1，C 1D 是直角梯形AA 1B 1B 的中位线，所以21［f(x 1)+f(x 2)］=21(AA 1+BB 1)=DC 1＞CC 1=f(221x x +)，即21［f(x 1)+f(x 2)］＞f(221x x +).9.有两个函数f(x)=asin(ωx+3π)，g(x)=btan(ωx -3π)(其中ω＞0).已知它们的周期之和为23π，且f(2π)=g(2π)，f(4π)=g 3-(4π)+1，你能确定a 、b 、ω的值吗？ 解：∵f(x)的周期为ωπ2，g(x)的周期为ωπ， 由已知ωπ2+ωπ=23π，得ω=2.∴函数式为f(x)=asin(2x+3π)，g(x)=btan(2x-3π).由已知，得方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⨯-=+⨯-=+,1)342tan(3)342sin(),3tan()3sin(ππππππππb a b a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=-.12,323b a b a 解之，得⎪⎩⎪⎨⎧==.21,1b a ∴a=1，b=21，ω=2. 快乐时光相反的例子孙子问当美学教授的爷爷：“爷爷，为什么您说一切假的都是丑的？”“那当然啰，难道你还能举出相反的例子吗？”“能，”孙子爬到美学教授的膝头上，得意地说：“您瞧您自己一装上假牙后又年轻又精神，拿掉假牙，您嘴巴又空又瘪，那才丑呢，这不是相反的例子吗？”教授一时语塞.。
正切函数知识点与习题附答案
7.3.4 正切函数的性质与图像知识点正切函数：x y tan =1）定义域：⎪⎭⎫⎝⎛++-∈ππππk k x 2,22）值域：()+∞∞-, 3）图像：4）周期：π=T 5）奇函数6）单调增区间：⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2 7）对称中心：c典型题一 正切函数图像问题1. [北京人大附中2018高二期末]下列图形分别是①y= |tanx|;②y=tanx;③y=tan(-x);④y=tan|x|在33(,)22ππ-内的大致图像,那么由a 到d 对应的函数关系式应是（ ）A.①②③④B.①③④②C.③②④①D.①②④③2. [山东滨州2019高一期中]函数tan sin tan sin y x x x x =+--在3(,)22ππ内的图像是( )3.函数1tan()23y x π=-在一个周期内的图像是( )4. 在区间33(,)22ππ-内,函数y=tanx 与y=sinx 的图像交点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.函数f(x)=2x-tanx 在(,)22ππ-上的图象大致为（ ）典型题二 定义域值域问题6.[吉林辽源田家炳高级中学2019高一期末]函数2tan(2)3y x π=+的定义域为（ ）A. |12x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B.|12x x π⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭C. |,12x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D. 1|,122x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ 7.[铜仁2019高一质检]函数f(x)=tan2x 在[,]66ππ-上的最大值与最小值的差为( )A. 3 C. 2 D. 238.函数f(x)=-2tanx+m,x ∈[,]43ππ-有零点,则实数m 的取值范围是 .9.[江西高安中学2018高二期末]函数|2tan |x y =是（ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 10.[黑龙江哈尔滨六中2019高一期末]函数)0(tan )(>=ωωx x f 的图像的相邻两支截直线y=4π所得的线段长为4π,则)4(πf 的值是（ ） A.0 B.1 C.-1 D.4π11.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ,则=)599(πf 。
专题1.4.3 正切函数的图象与性质重难点题型(举一反三)(解析版) (1)
专题1.4.3正切函数的图象与性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 正切函数的图象】正切函数Rxxy∈=tan，且()zkkx∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”（1）复习单位圆中的正切线：AT=tanα（2）利用正切线画函数y= tanx，x∈)2,2(ππ-的图象步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π-的左侧作单位圆②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8π）.分别在单位圆中作出正切线；③把横坐标从2π-到2π也分成8份④把正切线的端点移到对应的位置；⑤把上面的点连成光滑的曲线．由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2,2(ππ-的图象左、右移动kπ个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x≠kπ+2π）的图象.【知识点2 正切函数的性质】 1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R由正切函数的图象可知，当()2x k k z ππ<+∈且无限接近于2k ππ+时，tan x 无限增大，记作tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）；当()2x k k z ππ>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2x k k z ππ=+∈为正切函数的渐进线．3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释：观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心，正切函数图象没有对称轴5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增要点诠释：正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．【知识点3 正切型函数的性质】1．定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2. 值域：(),-∞+∞3．单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．要点诠释：若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当()2k k z πϕ=∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为||T πω=．【考点1 正切函数的定义域】 【例1】求下列函数定义域． （1）tan 2xy =（2）11tan y x=-．【分析】（1）根据正切函数的定义域，写出该函数的定义域即可； （2）根据分母不为0，结合正切函数的定义域，求出该函数的定义域． 【答案】解：（1）∵y ＝tan ， ∴﹣+k π＜＜+k π，k ∈Z ，即﹣π+2k π＜x ＜π+2k π，k ∈Z ，∴函数y 的定义域是{x |﹣π+2k π＜x ＜π+2k π，k ∈Z }； （2）∵y ＝，∴1﹣tan x ≠0， ∴tan x ≠1，∴x +k π，k ∈Z ；∴函数y 的定义域是{x |﹣+k π＜x ＜+k π，且x ≠+k π，k ∈Z }．【点睛】本题考查了正切函数的定义域的应用问题，是基础题目． 【变式1-1】求下列函数的定义域 （1）tan(2)4y x π=-；（2）1tan y x=；（3）y = 【分析】（1）由2x ﹣≠，k ∈Z ，求得x 的范围得答案；（2）由正切函数本身有意义且分式的分母不为0求得x 的范围得答案； （3）由根式内部的代数式大于等于0求解x 的范围得答案． 【答案】解：（1）由2x ﹣≠，k ∈Z ，得x ≠，k ∈Z ．∴y ＝tan （2x ﹣）的定义域为{x |x ≠，k ∈Z }；（2）由，得x ，k ∈Z ．∴y ＝的定义域为{x |x ，k ∈Z }；（3）由1+tan x ≥0，得k π﹣，k ∈Z ．∴y ＝的定义域为[k π，），k ∈Z ．【点睛】本题考查与正切函数有关的函数定义域的求法，是基础题． 【变式1-2】求下列函数的定义域①y②y③y =【分析】根据函数的解析式，列出关于自变量的不等式（组），求出解集即可．【答案】解：①∵y＝，∴tan x﹣≥0，∴tan x≥，解得x≥+kπ，且k∈Z；又x≠+kπ，k∈Z，∴函数y的定义域是{x|+kπ≤x＜+kπ，k∈Z}；②∵y＝，∴tan x≥0，∴0＜tan x≤1，解得kπ＜x≤+kπ，且k∈Z；∴函数y的定义域是{x|kπ＜x≤+kπ，k∈Z}；③∵y＝，∴tan x+lg（1﹣tan x）≥0，∴∴0≤tan x＜1，∴kπ≤x＜+kπ，k∈Z；∴函数y的定义域是{x|kπ≤x＜+kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是综合题目．【变式1-3】（2019春•城区校级期中）求函数tan()6yx=+的定义域．【分析】由题意可得，，k∈z解不等式即可求解【答案】解：由题意可得，，k∈z∴{x|，且x k∈z}【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，解题的关键是寻求函数有意义的条件 【考点2 正切函数的值域】 【例2】求下列函数的值域： （1）tan y x =，(2x π∈-，]4π； （2）tan()6y x π=+，[3x π∈-，]6π．【分析】（1）利用正切函数的单调性，求得正切函数的值域． （2）利用正切函数的单调性，求得正切函数的值域． 【答案】解：（1）函数y ＝tan x ，在x ∈（﹣，]上单调递增，tan （﹣）的值趋向于﹣∞，tan＝1，故y ＝tan x ，x ∈（﹣，]的值域为（﹣∞，1]． （2）由于函数y ＝tan （x +），在x ∈[﹣，]上单调递增，tan （﹣）＝﹣，tan＝，故y ＝tan （x +），x ∈[﹣，]的值域为[﹣，]．【点睛】本题主要考查正切函数的单调性，正切函数的值域，属于中档题． 【变式2-1】求下列函数的值域 （1）3sin 13sin 2x y x +=+；（2）221tan ()41tan ()4x y x ππ--=+-；【分析】（1）分离常数，利用sin x 的有界性求出函数的值域； （2）利用正切化弦和二倍角公式化简为sin2x ，然后直接求出值域． 【答案】解：（1）＝因为﹣1≤sin x ≤1，所以﹣1≤3sin x +2≤5的值域为（﹣∞，]∪[2，+∞）（2）＝＝cos （﹣2x ）＝sin2x所以的值域为：[﹣1，1]【点睛】本题考查正弦函数的定义域和值域，运用诱导公式化简求值，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力．【变式2-3】函数tan y x =在[3π，)(22ππ⋃，2]3π上的值域为 ．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出函数y ＝tan x 的值域． 【答案】解：x ∈[，）时，tan x ∈[，+∞）； x ∈（，]时，tan x ∈（﹣∞，﹣]； ∴函数y ＝tan x 在[，）∪（，]上的值域为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 【变式2-4】已知[4x π∈-，]3π，函数2tan tan()1y x x π=--+的值域是 ．【分析】利用换元法，结合正切函数和一元二次函数的单调性进行求解即可． 【答案】解：y ＝tan 2x ﹣tan （π﹣x ）+1＝tan 2x +tan x +1＝（tan x +）2+， 设t ＝tan x ， ∵x ∈[﹣，]，∴tan （﹣）≤tan x ≤tan，即﹣1≤tan x ≤， 即﹣1≤t ≤，则函数等价为y ＝（t +）2+，对称轴为x ＝﹣， ∵﹣1≤t ≤，∴当t＝﹣时，函数取得最小值，当t＝时，函数取得最大值4+，故函数的值域为[，4+]，故答案为：[，4+]【点睛】本题主要考查函数值域的求解，利用换元法，结合正切函数和一元二次函数的单调性是解决本题的关键．【考点3 正切函数的图象】【例3】画出1tan()23y xπ=-在一个周期内的图象．【分析】先求出周期，列表令分别等于﹣，0，﹣求得对应的x，y值，以这x，y值作为点的坐标，在坐标系中描出，用平滑曲线连接，即得它在一个周期内的闭区间上的图象．【答案】解：周期T＝＝2π，列表：﹣0x﹣y＝tan﹣∞0+∞作图：【点睛】本题主要考查了正切函数的图象和性质，考查了三角函数图象的画法，属于基本知识的考查． 【变式3-1】已知函数2tan(2)3y x π=-+，求定义域、值域和单调区间，并在区间内画出图象．【分析】根据正切函数的图象和性质即可得到结论． 【答案】解：y ＝2tan （﹣2x +）＝﹣2tan （2x ﹣），由2x ﹣≠k π，k ∈Z ，即x ≠，即函数的定义域为{x |x ≠}，k ∈Z ，正切函数的值域为R ， 由k π﹣＜2x ﹣＜k π，k ∈Z ， 即＜x ＜，k ∈Z ，即函数的单调递减区间为（，），则对应的函数图象如右图．【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，要求熟练掌握正切函数的定义域，值域以及单调性的求解和判断．【变式3-2】（2019春•葫芦岛期中）已知函数()2sin f x x =，()g x x =，3(0,)2x π∈． （1）求函数()y f x =与()y g x =的图象的交点；（2）在同一坐标系中，画出()f x ，()g x 的草图，根据图象 ①写出满足()()f x g x >的实数x 的取值范围； ②写出这两个函数具有相同的单调区间．【分析】（1）令f （x ）＝g （x ）解出x 即为图象交点的横坐标；（2）做出函数图象，根据函数图象得出结论．【答案】解：（1）令f（x）＝g（x）得2sin x＝tan x＝，∴cos x＝，或sin x＝0，∵x∈（0，），∴x＝或x＝π．∵f（）＝1，f（π）＝0，∴f（x），g（x）的图象交点为（，1），（π，0）．（2）做出函数的图象如下：①由图象可知f（x）＞g（x）的实数x的取值范围是（0，）∪（，π）．②由图象可知f（x）在（0，）上具有相同的单调性．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．【变式3-3】画出函数|tan|tan=+的图象，并根据图象求出函数的主要性质．y x x【分析】根据函数y的解析式，画出函数y的图象，结合图形求出它的定义域、值域和单调性、周期性即可．【答案】解：∵y＝|tan x|+tan x＝，∴画出函数y＝|tan x|+tan x的图象，如图所示；则该函数的定义域是{x|x≠+kπ，k∈z}，值域是[0，+∞）， 单调递增区间是[k π，k π+），k ∈z ，最小正周期是π．【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目．【考点4 正切函数的奇偶性】【例4】判断函数tan sin y x x =-的奇偶性．【分析】求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义进行判断． 【答案】解：函数的定义域为{x |x ≠k π﹣，k ∈Z }定义域关于原点对称，则f （﹣x ）＝tan （﹣x ）﹣sin （﹣x ）＝﹣tan x +sin x ＝﹣（tan x ﹣sin x ）＝﹣f （x ）， 则函数y ＝tan x ﹣sin x 为奇函数．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，求出函数的定义域以及利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．【变式4-1】已知2()sin tan f x x x =+，判断()f x 的奇偶性． 【分析】根据奇偶函数的定义，即可判断． 【答案】解：∵f （x ）＝sin 2x +tan x ，∴f （﹣x ）＝sin 2（﹣x ）+tan （﹣x ）＝sin 2x ﹣tan x ≠﹣f （x ），且f （﹣x ）≠f （x ）， 可得函数f （x ）是非奇非偶函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性，正确运用奇偶函数的定义是关键． 【变式4-2】判断函数1()cos tan sin f x x x x=+的奇偶性． 【分析】先求得函数的定义域关于原点对称，再根据f （﹣x ）＝﹣f （x ），可得函数f （x ）为奇函数． 【答案】解：由函数f （x ）＝cos x •tan x +＝sin x +，可得sin x ≠0，且cos x ≠0，求得x ≠k π，或x ≠k π+，k ∈z ，即x ≠，k ∈z ，∴故函数的定义域为{x |x ≠，k ∈z }，关于原点对称． 再根据f （﹣x ）＝﹣sin x +＝﹣（sin x +）＝﹣f （x ），可得函数f （x ）为奇函数．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题． 【变式4-3】试判断下列函数的奇偶性． （1）()12cos |tan |:f x x x =-+ （2）22()tan sin f x x x x =-．【分析】确定函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义，即可得出结论． 【答案】解：（1）函数的定义域为{x |x ≠+k π，k ∈Z }，f （﹣x ）＝1﹣2cos （﹣x ）+|tan （﹣x ）|＝1﹣2cos x +|tan x |＝f （x ）， ∴函数是偶函数； （2）函数的定义域为{x |x ≠+k π，k ∈Z }，f （﹣x ）＝（﹣x ）2tan （﹣x ）﹣sin 2（﹣x ）＝﹣（x 2tan x ﹣sin 2x ）＝﹣f （x ）， ∴函数是奇函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性，正确运用函数的奇偶性的定义是关键． 【考点5 正切函数的对称中心】【例5】（2018春•铁东区校级期中）函数tan(2)3y x π=+的对称中心为 ．【分析】由2x +＝求得x 值，即可得到函数y ＝tan （2x +）﹣的对称中心．【答案】解：由2x +＝，可得x ＝，k ∈Z ．∴函数y ＝tan （2x +）﹣的对称中心为（，），k ∈Z ．故答案为：（，），k ∈Z ．【点睛】本题考查正切型函数对称中心的求法，是基础的计算题．【变式5-1】（2018秋•闵行区校级月考）函数3tan(2)13y x π=+-的对称中心坐标是 ．【分析】根据正切函数y ＝tan x 的对称中心坐标为（，0），k ∈Z ，求出即可．【答案】解：函数y ＝3tan （2x +）﹣1中，令2x +＝，k ∈Z ，解得x ＝﹣，k ∈Z ； 所以函数y 的对称中心坐标为（﹣，﹣1），k ∈Z ．故答案为：（﹣，﹣1），k ∈Z ．【点睛】本题考查了正切型函数的对称中心应用问题，是基础题． 【变式5-2】（2018秋•如皋市校级月考）已知函数()tan()f x x ϕ=+，||2πϕ<的图象的一个对称中心为(,0)3π，则ϕ的值为 ． 【分析】由题意可得φ＝，k ∈Z ，结合φ的范围取k 值得答案．【答案】解：∵函数f （x ）＝tan （x +φ）的图象的一个对称中心为，∴φ＝，k ∈Z ， 则φ＝﹣，k ∈Z ． 又，取k ＝0，得φ＝；取k ＝1，得φ＝．∴φ的值为或． 故答案为：或．【点睛】本题考查正切函数的对称性，熟记正切函数的对称中心是关键，是基础题．【变式5-3】（2018秋•荆州区校级月考）函数tan(2)y x k θ=++图象的一个对称中心为(,1)6π-，其中(0,)2πθ∈，则点(,)k θ对应的坐标为 ．【分析】根据正切函数的对称性进行求解，建立方程求出θ与k 即可． 【答案】解：∵y ＝tan （2x +θ）+k 图象的一个对称中心为（），∴k ＝﹣1，由2×+θ＝得θ＝﹣，k ∈Z∵θ∈（0，），∴当k ＝1时，θ＝＝，则点（θ，k ）对应的坐标为（），故答案为：（）【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正切函数的对称性是解决本题的关键． 【考点6 正切函数的单调性及周期性】【例6】（2019春•丰城市校级期中）求3tan()64xy π=-的周期及单调区间．【分析】根据正切函数的周期公式直接求出函数的周期，利用正切函数的单调性直接求出y ＝3tan （﹣）的单调区间． 【答案】解：y ＝3tan （﹣）＝﹣3tan （﹣），∴T ＝＝4π，∴y ＝3tan （﹣）的周期为4π．由k π﹣＜﹣＜k π+，得4k π﹣＜x ＜4k π+（k ∈Z ），y ＝3tan （﹣）在（4k π﹣，4k π+）（k ∈Z ）内单调递增． ∴y ＝3tan （﹣）在（4k π﹣，4k π+）（k ∈Z ）内单调递减．【点睛】本题是基础题，考查正切函数的周期，单调区间的求法，牢记基本函数的单调性是解好函数单调区间的前提，记熟记牢才能得心应手． 【变式6-1】已知3tan 1y x ω=+在(3π-，)4π内是减函数，求ω的取值范围．【分析】由题意可得ω＜0，且≥，解不等式可得． 【答案】解：∵y ＝3tan ωx +1在（﹣，）内是减函数，∴ω＜0，且周期T ＝≥，解得≤ω＜0，∴ω的取值范围为[，0）【点睛】本题考查正切函数的单调性，属基础题． 【变式6-2】已知函数tan y x =在区间(3a π-，)2a π上单调递增，求a 的取值范围． 【分析】根据正切函数的单调性，结合函数y ＝tan x 在区间（﹣，）上单调递增，可得不等式，即可求a 的取值范围．【答案】解：∵函数y ＝tan x 在区间（﹣，）上单调递增，∴﹣≤﹣，≤，∵0＜a ≤1．【点睛】本题考查正切函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正切函数的单调性是关键．【变式6-3】已知函数()(0)xf x πωω> （1）当4ω=时，求()f x 的最小正周期及单调区间； （2）若|()|3f x 3≤在[,]34x ππ∈-上恒成立，求ω的取值范围．【分析】（1）当ω＝4时，根据正切函数的周期公式和单调性即可求f （x ）的最小正周期及单调区间； （2）根据|f （x ）|≤3在x ∈[﹣]上恒成立，建立了周期和最值之间的关系即可．【答案】解：（1）当ω＝4时，f （x ）＝tan，则f （x ）的最小正周期T ＝，由k π＜＜k π+，k ∈Z ，得4k ﹣2＜x ＜4k +2，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为（4k ﹣2，4k +2），k ∈Z ； （2）∵ω＞0， ∴函数f （x ）的周期T ＝，∴若|f （x ）|≤3在x ∈[﹣]上恒成立， 则f （x ）在x ∈[﹣]上为单调递增函数，满足＞﹣＝﹣，∴ω＞，∵|f（）|＞f（），此时满足f（﹣）≥﹣3，即f（﹣）＝tan（﹣×）≥﹣3，即tan（﹣×）≥﹣，则﹣×≥，则≤1，即ω≥π，综上ω≥π．【点睛】本题主要考查正切函数的周期和单调性的应用，综合考查正切函数的图象和性质．。
正切函数的性质与图象
5.4.3 正切函数的性质与图象1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期公式为T ＝πw .( × ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( × )(3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( × ) (4)正切函数在R 上是单调递增函数．( × )题型1 正切函数的周期、定义域、值域、奇偶性 2．函数y ＝|tan 2x |是( D ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )，故函数为偶函数，T ＝π2.3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －π4与函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期相同，则ω＝__±1__. 解析：由题意，得g (x )的最小正周期为π，则π|ω|＝π，得ω＝±1.4．函数y ＝tan 2x 的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π2，k ∈Z ，周期为 π2 .解析：由2x ≠π2＋k π可知，x ≠π4＋k π2，k ∈Z ，T ＝π2.5．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为 (－3，3] .解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，所以－3<y ≤3，即值域为(－3，3]．题型2 正切函数的单调性6．比较tan 138°与tan 143°的大小__tan_138°＜tan_143°__.解析：因为90°＜138°＜143°＜270°，且y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上单调递增，所以tan 138°＜tan 143°.7．函数y ＝－2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .解析：求此函数的单调递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的单调递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，得k π3－π4<x <k π3＋π12，k ∈Z ，所以函数y ＝－2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .题型3 正切函数图象和性质的综合应用8．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( A )解析：令y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3＝0，则12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z .再令k ＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一个交点的横坐标为2π3.故可排除C ，D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝5π3.故排除B. 9．已知函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为 ⎝⎛⎭⎫k π2＋π3，0，k ∈Z . 解析：由x －π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以该函数图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .10．若函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则f (－1)，f (0)，f (1)从小到大的顺序是__f (1)<f (－1)<f (0)__． 解析：f (－1)＝tan ⎝⎛⎭⎫－1＋π4，f (0)＝tan π4，f (1)＝tan ⎝⎛⎭⎫1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π＋1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫1－3π4. 又－π2<1－3π4<－1＋π4<π4<π2，且tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，所以f (1)<f (－1)<f (0)． 11．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．易错点 忽视函数自身有意义致误 12．函数y ＝11＋tan x的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .解析：要使函数y ＝11＋tan x有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≠－1，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧x ≠－π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .所以函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .[误区警示] 本题容易忽视正切函数自身有意义，导致定义域错误．(限时30分钟)一、选择题 1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( C ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤π4＋k π，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＜x ≤k π＋π4，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z解析：要使函数有意义，只要log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z .2．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是( C ) A ．π B ．2πωC ．πωD ．π2ω解析：直线y ＝3与函数y ＝tan ωx 的图象的相邻交点间的距离为y ＝tan ωx 的周期，故距离为πω.3．设a ＝sin8π11，b ＝cos 3π11，c ＝tan 3π11，则( B ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜b解析：因为a ＝sin8π11＝sin 3π11＝sin 6π22，b ＝cos 3π11＝sin 5π22，c ＝tan 3π11＞tan π4＝1，且函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，π2＞6π22＞5π22＞0，值域为(0,1)，所以c ＞a ＞b . 4．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( B )A ．2＋ 3B ． 3C ．33D ．2－ 3解析：由图象可知，T ＝2⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2，所以2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π4.又f (0)＝1，所以A tan π4＝1，得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3.5．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( D )解析：当π2＜x ＜π时，tan x ＜sin x ，y ＝2tan x ＜0；当x ＝π时，y ＝0；当π＜x ＜3π2时，tan x ＞sin x ，y ＝2sin x ＜0.故选D.二、填空题6．函数y ＝1tan x ⎝⎛⎭⎫－π4≤x ≤π4且x ≠0的值域是__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__． 解析：因为y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增，所以－1≤tan x ≤1，又tan x ≠0，所以－1≤tan x <0或0<tan x ≤1，因而易求得1tan x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．7．已知函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx －π3的最小正周期T 满足1＜T ＜32，则正整数k 的值为__3__，f (x )的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z . 解析：因为1＜T ＜32，所以1＜πk ＜32，即2π3＜k ＜π.因为k ∈N *，所以k ＝3. 所以f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π3. 由－π2＋k π＜3x －π3＜π2＋k π，k ∈Z ，得－π18＋k π3＜x ＜5π18＋k π3，k ∈Z .所以f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z . 8．观察正切曲线，满足条件|tan x |>3的x 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，－π3＋k π∪⎝⎛⎭⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) .解析：画出函数y ＝|tan x |的图象(图略)可知，|tan x |>3时，x 的取值范围为π3＋k π<x <π2＋k π或－π2＋k π<x <－π3＋k π，k ∈Z .三、解答题9．已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4.(1)求它的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f (π)与f ⎝⎛⎭⎫3π2的大小．解：(1)因为f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，所以T ＝πω＝π14＝4π. 由k π－π2＜x 4－π6＜k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－4π3＜x ＜4k π＋8π3(k ∈Z )．因为y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )上单调递增， 所以f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )上单调递减． 故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． (2)f (π)＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－π4＝3tan ⎝⎛⎭⎫－π12＝－3tan π12， f ⎝⎛⎭⎫3π2＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－3π8＝3tan ⎝⎛⎭⎫－5π24＝－3tan 5π24， 因为0<π12＜5π24<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π12＜tan 5π24，所以f (π)＞f ⎝⎛⎭⎫3π2.。
高一数学下学期练习正切函数的图像和性质
山西省朔州市平鲁区李林中学高一数学下学期练习 正切函数的图像和性质一．学习目标1．理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质．2．会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象．二．知识回顾1．画出下列各角的正切线：2．复习相关诱导公式 )tan(π+x ＝ ；=-)tan(x ．x R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈ 三．探究新知探究一 正切函数的性质1．正切函数的定义域 ．2．正切函数的周期性由诱导公式)t an(π+x ＝ x R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈，可知，函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）是 函数，且它的周期是 ．3．正切函数的奇偶性因为=-)t an (x ，x R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈， 所以正切函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）是 函数．4．正切函数的单调性由图（Ⅰ）、（Ⅱ）正切线的变化规律可以得出，正切函数在(,)22ππ-内是 函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间 内都是增函数．5．正切函数的值域由图（Ⅰ）可知，当x 大于2π-且无限接近于2π-时，正切线AT 向y 轴的负方向无限延伸；由图（Ⅱ）可知，当x 小于2π且无限接近于2π时，正切线AT 向y 轴的正方向无限延伸．因此，tan y x =在(,)22ππ-内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是 ．探究二 正切函数的图像1．利用正切线画出tan y x =，x ∈⎪⎭⎫⎛-2,2ππ的图象： 2．怎样得到正切函数tan y x =，x R ∈且()z k k x ∈+≠ππ2的图象？3．如何快速作出正切函数的简图？4．根据图像讨论验证正切函数的性质．五．这节课你学到了什么？六．求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性.。