高数Ch10(2)14

x x2 + y2
) +(
2
y x2 + y2
) 2 dxdy
I z = ∫∫ zx ( x + y )dS =
2 2 Σ
D xy
∫∫ x( x
2
+y )
2
3 2
2dxdy
= = =
2 ∫ π dθ ∫
2
π
2 cos θ
−2
0
r cos θ r 3 rdr
26 2⋅ 6 26 2⋅ 3
∫ ∫
π
2
−2
π
2
cos 7 θ d θ π cos θ d θ
7
0
2 6 6 4 2 210 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ = = 3 7 5 3 105
三、计算：∫∫
Σ
axdydz + ( z + a ) 2 dxdy (x + y + z )
2 2 2
2
1 2
(a > 0为常数 )
其中 Σ 为下半球面 z = − a 2 − x 2 − y 2 的上侧，
解
∫∫
Σ
axdydz + ( z + a ) dxdy (x + y + z )
2 2 2
1 2
z o y
1 = ∫∫ axdydz + ( z + a )2 dxdy a Σ
x 1 = [ ∫∫ − ∫∫ axdydz+ ( z + a)2 dxdy] 补充 Σ 1：z = 0(下侧） , a Σ + Σ 1 Σ1
∫∫
D xy
2 1 + z x + z 2 dxdy y
o
Dxy
y
x
流量(通量)的计算法 设有向量场
A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k
向量场 A( x , y , z ) 穿过曲面Σ指定侧的通量：
Σ
4π
∂P ∂ Q ∂ R （ + + ）dv 3. ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ∂x ∂ y ∂ z Σ ( 外侧 ) Ω 成立的条件是 = P、Q、R、有连续的一阶偏导数
4 .Σ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , 则 ∫∫ xdS = 0 Σ 4 πa 3 ∫∫ xdydz = 3
1 = ∫∫ ( x − y + z )dS 3 ∑ 1 1 = ∫∫ 1 ⋅ 3dxdy = 2 . 3 Dxy
例2
计算 I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z 2dxdy , 其中 ∑ 为
∑
锥面 z =
x 2 + y 2 被平面 z = 1, z = 2 所截部分的外侧．
z
解 利用两类曲面积分之间的关系 x y ′ , f y′ = , ∵ fx = x2 + y2 x2 + y 2
x 2 + y 2 介于 z = 1, z = 2之间的部分 , 其
法向量与 oz 轴的正向夹角为钝角 .
解Φ=
Σ
∫∫ v ⋅ nds = ∫∫ dydz + zdzdx +
Σ Σ
Σ前 Σ后
e
z
∫∫ dydz = ∫∫ dydz+ ∫∫ dydz = 0,
x2 + y2
z
dxdy
∫∫ zdxdx = ∫∫ zdzdx + ∫∫ zdzdx = 0
( x, y) ∈ D : x 2 + y 2 ≤ a 2
π 3 1 1 2 = − ∫∫∫[a + 2( z + a)]dv − ∫∫ (0 + a) dxdy = − a a Ω a D 2
四 .求 v = i + z j + 其中 Σ 为 z =
ez x + y
2 2
k穿过曲面 Σ 指定侧的流量 ,
2
例3 计算曲面积分
I = ∫∫ (8 y + 1) xdydz + 2(1 − y )dzdx − 4 yzdxdy
2
Σ
⎧z = y − 1 ⎪ 其中Σ是曲线⎨ (1 ≤ y ≤ 3)绕y轴旋转一 ⎪x = 0 ⎩ 周所成的曲面，它的法 向量与 y轴正向的夹角恒 大于
π
2
.
解
⎧z = y − 1 绕 y 轴旋转面方程为 ⎨ ⎩x = 0 (如下图) 2 2 y−1= z + x
Φ = ∫∫ A⋅ dS = ∫∫ A⋅ ndS = ∫∫ Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy
Σ Σ Σ
五、场论初步
梯度
∂u ∂u ∂u i+ j+ k gradu = ∂y ∂z ∂x
Σ
通量 Φ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 散度
∂P ∂Q ∂R divA = + + ∂x ∂y ∂z
Σ Σ左
∫∫
Σ
e
z
Σ右
x o 2π 2e 2 [Dxy : 1≤ x2 + y2 ≤ 4] = − ∫ dθ ∫ rdr = −2π (e − e ) 0 1 r
Dxy
x2 + y2
dxdy = − ∫∫
r
e
x2 + y2
x2 + y2
dxdy
Dxy
y
= ∫∫∫ ( 8 y + 1 − 4 y − 4 y )dv =
∫∫∫ dv
Ω
=
∫∫ dxdz ∫
D xz
3
2 2
1+ z + x
dy = ∫ dθ ∫ ρdρ ∫
0 0
2π
2
3
2
1+ ρ
dy
= 2π ∫ ( 2ρ − ρ )dρ = 2π,
3 0
2
∫∫ = 2∫∫ (1 − 3 Σ* Σ*
2
)dzdx = −32π,
cos γ > 0
Dxy
2 = ∫∫ f [ x, y, z( x, y)] 1 + zx + z2 dxdy = ± ∫∫ R[ x, y, z( x, y )]dxdy y
(与侧无关)
cos γ < 0
(与侧有关)
对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分
∫∫ Pdydz Σ
+ Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cosα + Q cos β + R cosγ )dS
Σ
应用高斯（Guass)公式
∂P ∂Q ∂R Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ( )dv + + ∂x ∂y ∂z Ω
∫∫ ( A ⋅ n ) ds Σ
=
∫∫∫ div A dv Ω
∫∫
Σ
四、面积分的应用
曲面面积的计算法
S = ∫∫ dS
Σ
z
z = z( x , y )
S
=
1 + ( z x )2 + ( z y )2 = 2
Dxy x o
y
∴ ∑ 的法向量为 n = { f x ' , f y ' ,−1, } / 2 , = {cosα , cos β , cosγ }
[Dxy : 1≤ x2 + y2 ≤ 4]
I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z 2 dxdy
故I = 2π − ( −32π ) = 34π.
一、填空题
1.Σ : x 2 + ( y − 1) 2 = 1( 0 ≤ z ≤ 3 ) ( x 2 + y 2 − 2 y + 5 )dS = ∫∫
Σ
30π
2.Σ : ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = 1的外侧 则 ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
欲求 I = ∫∫ (8 y + 1) xdydz + 2(1 − y )dzdx − 4 yzdxdy
2 Σ
z
2
且有 I =
∫∫* − ∫∫ Σ+ Σ Σ*
x
∑
∑*
3
∂P ∂Q ∂R ∫∫ = ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv Σ + Σ* Ω
Ω
o
1
y
Σ * : y = 3 ( x 2 + z 2 ≤ 2)(右侧)
解 利用两类曲面积分之间的关系
∑
z
1
∵ ∑ 的法向量为 n = {1,−1,1},
−1 1 1 −1 ∴ cos α = , cos β = , cos γ = . 3 3 3
o x
1
y
1 I = ∫∫ { [ f ( x , y, z ) + x ] 3 ∑ 1 1 − [ 2 f ( x , y, z ) + y] + [ f ( x , y, z ) + z ]}dS 3 3
一、概念 曲面积分
对面积的曲面积分
定 义
对坐标的曲面积分
∫∫ f ( x, y, z)ds = lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )Δsi
Σ
n
∫∫ R ( x , y , z )dxdy