有理数单元复习(知识点+基础应用+能力提高+中考真题)
七年级数学考点大串讲(人教版)：有理数(17个考点梳理)(解析版)
专题01有理数（17个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【知识清单】1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； 不是有理数；(2)有理数的分类:①负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数 0和正整数；a ＞0 a 是正数；a ＜0 a 是负数；a≥0 a 是正数或0 a 是非负数；a≤0 a 是负数或0 a 是非正数.【例1】把下列各数填在相应的大括号里：2 ，－3.14，0，18%，435，2019，227，132 ，－1整数： ______...；正分数： ______...；非负有理数： ______...．【答案】2 ，0，2019，－1；18%，435 ，227；0，18%，435，2019，227【分析】根据整数（包括正整数，0和负整数），正分数（大于0的分数）以及非负有理数（包括0和正有理数）的定义解答即可．【详解】解：22 ，443355，整数： 2,0,2019,1 ；正分数：42218%,3,57；非负有理数：4220,18%,3,2019,57．故答案为：2 ，0，2019，－1；18%，435 ，227；0，18%，435，2019，227．【点睛】本题考查的是有理数的分类，多重符号的化简，绝对值的含义，掌握有理数的分类是解题的关键，难点是非负有理数的理解.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线.【例2】．（2023•馆陶县校级模拟）如图，数轴上的两个点分别表示数a 和﹣2，则a 可以是（）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．2【分析】根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a 的取值范围，进而得出答案．【解答】解：根据数轴得：a ＜﹣2，∴a 可以是﹣3．故选：A ．【点评】本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意：a-b+c 的相反数是-(a-b+c)=-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数.(4)相反数的商为-1.（5）相反数的绝对值相等【例3】如果m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是它本身，则m n 的值为（）A ．1B ．0C ．2D ．-1【答案】A【分析】先根据相反数的定义确定m 、n 的值，再代入m ＋n ，计算即可求出其值．【详解】∵m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是它本身,∴m ＝1,n ＝0，∴m ＋n ＝1＋0＝1，故A 选项是正确答案．4.绝对值：(1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：)0a (a )0a (0)0a (a a 或)0()0(a a a a a ；(3)0a 1aa ；0a 1aa ；(4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性；【例4】（2022秋•寻乌县期末）请根据图示的对话解答下列问题．（1）a ＝，b ＝．（2）已知|m ﹣a |+|b +n |＝0，求mn的值．【解答】解：（1）∵a 与2互为相反数，而2的相反数是﹣2，∴a ＝﹣2，∵b 与﹣互为倒数，而﹣的倒数是﹣3，∴b ＝﹣3，故答案为：﹣2，﹣3；（2）∵|m ﹣a |+|b +n |＝0，∴m ﹣a ＝0，b +n ＝0，又∵a ＝﹣2，b ＝﹣3，∴m ＝﹣2，n ＝3，∴mn ＝﹣2×3＝﹣6，答：mn 的值为﹣6．【点评】本题考查的是非负数的性质，相反数以及互为倒数，掌握相反数、倒数的定义以及绝对值的非负性是正确解答的前提．5.有理数比大小：（1）正数永远比0大，负数永远比0小；（2）正数大于一切负数；（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。
完整版)有理数专题训练
完整版)有理数专题训练专题一有理数的概念及其应用例1：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求(a+b+c*d)*m-cd的值。
解：根据题意可得a=-b，c=1/d，|x|=2，代入原式得：a+b+c*d)*m-cd=(0+c*d)*m-cd=cd*(m-1)练：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|x|=3，求代数式a+b-cdx+x/3的值。
解：根据题意可得a=-b，c=1/d，|x|=3，代入原式得：a+b-cdx+x/3=-2b-cd*x+x/3=-2b-cd*3+x/3=-2b-3c+x/3巩固：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的平方等于4，试求x^2-cd*x+(a+b)*2010-cd*2009的值。
解：根据题意可得a=-b，c=1/d，x^2=4，代入原式得：x^2-cd*x+(a+b)*2010-cd*2009=4-cd*x-2b+2010c-2009cd=2010c-2b-3cd专题二非负数的性质例2：若x+1+(y-2)^2=0，求xy的值。
解：由非负数的性质可知，(y-2)^2>=0，所以x+1<=0，即x<=-1.又因为x+1+(y-2)^2=0，所以(y-2)^2=-(x+1)<=0，所以y=2.因此，xy=-2.练：已知有理数满足a-1+b+3+3c-1=0，求(a*b*c)^(1/7)*2011的值。
解：整理得a+b+3c=1，代入原式得：a*b*c)^(1/7)*2011=(a*b*c)^(1/7)*(a+b+3c)^2011=(a*b*c)^(1/7)巩固：若x-1与(y+2)^2互为相反数，求x^2015+y^3的值。
解：由非负数的性质可知，(y+2)^2>=0，所以x-1<=0，即x<=1.又因为x-1=-(y+2)^2，所以(y+2)^2=1-x<=2，所以y<=sqrt(2)-2.因此，x^2015+y^3<=1+(sqrt(2)-2)^3，具体值需要进一步计算。
有理数复习知识点+例题
板块一、正数、负数、有理数 有理数:按定义整数与分数统称有理数.例题精讲知识网络图注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.在下表适当的空格里打上“√”号．整数分数正数负整数正分数非负数非负整数无理数【例1】下列说法中正确的个数是( )①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；④只有负数的绝对值等于它的相反数．A．0 B．1 C．2 D．3在下列各数：，，，，中，负数的个数为个．①；②；③；④一定是负数的是（填序号）．下列说法正确的个数是（）①互为相反数的两个数一定是一正一负②没有倒数③如果是有理数，那么一定是正数，一定是负数④一个数的相反数一定比原数小⑤一定不是负数⑥有最小的正数，没有最小的负数A．个B．个C．个D．个下列说法正确的是（）A．表示负有理数B．一个数的绝对值一定不是负数C．两个数的和一定大于每个加数D．绝对值相等的两个有理数相等两数相加，其和小于其中一个加数而大于另一个加数，那么（）A．这两个加数的符号都是正的B．这两个加数的符号都是负的C．这两个加数的符号不能相同D．这两个加数的符号不能确定板块二、倒数【例2】有理数等于它的倒数，有理数等于它的相反数，则【例3】若，和互为倒数，的绝对值为，求代数式的值【例4】在一列数中，已知，从第二个数起，每个数都等于“与它前面的那个数的差的倒数”⑴求的值⑵根据以上计算结果，求的值板块三数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.数轴画法的常见错误举例：错例原因无原点没有正方向单位长度不统一没有单位长度有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数，如.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.【例5】⑴在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来.，，，，，，，⑵如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为.【例6】数轴上有一点它表示的有理数是，将点向左移动个单位得到点，再向右移动个单位，得到点，则点表示的数是，点表示的数是．【巩固】如右图所示，数轴上的点和分别对应有理数、，那么以下结论正确的是( )A.，，B.，，C.，，D.，，【例7】数所对应的点在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系为（）A. B. C. D.不确定的【巩固】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点对应的数分别为整数，并且，那么数轴的原点对应点为（）点点点点【巩固】数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米时，有一条2米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点？【巩固】已知数轴上有两点，之间的距离为，点与原点的距离为，那么点所对应的数为【例8】一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续向前走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用个单位长度表示，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置⑵小明家距离小彬家多远？⑶货车一共行驶了多少千米？【巩固】在数轴上，点和点都在与对应的点上，若点以每秒个单位长度的速度向右运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，则秒之后，点和点所处的位置对应的数是什么？这时线段的长度是多少？【例9】在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为【巩固】数轴上表示整数的点称为整点。
有理数单元复习资料
有理数单元复习资料有理数是数学中的一个重要概念，它包括整数和分数。
在学习有理数的过程中，我们需要了解有理数的性质、运算规则以及解决有理数相关问题的方法。
本文将为大家提供一些有理数单元的复习资料，帮助大家巩固知识，提高学习效果。
一、有理数的性质有理数具有以下几个重要性质：1. 有理数可以表示为分数的形式，分子和分母都是整数。
2. 有理数可以用小数表示，小数可以是有限的，也可以是无限循环的。
3. 有理数的加法、减法、乘法和除法运算仍然是有理数。
4. 有理数具有传递性，即如果a<b，b<c，那么a<c。
二、有理数的运算规则在进行有理数的运算时，我们需要遵循一定的规则：1. 加法和减法运算：- 同号相加减，取绝对值相加减，结果的符号与原来的符号相同。
- 异号相加减，取绝对值相减，结果的符号取绝对值较大的数的符号。
2. 乘法和除法运算：- 同号相乘除，结果为正数。
- 异号相乘除，结果为负数。
- 任何数除以0都是无意义的。
三、有理数的应用有理数在实际生活中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 温度计：温度的正负可以用有理数表示，0度以下为负数，0度以上为正数。
2. 账户余额：账户余额可以是正数（存款）或负数（透支）。
3. 距离和位移：距离和位移可以用有理数表示，正数表示向右或向上，负数表示向左或向下。
4. 比赛得分：比赛得分可以用有理数表示，正数表示得分，负数表示失分。
四、有理数的解题方法解决有理数相关问题时，我们可以采用以下几种方法：1. 计算法：根据题目给出的条件，进行有理数的加减乘除运算，得出最终结果。
2. 图形法：将有理数表示在数轴上，利用数轴上的点和线段表示有理数的大小关系。
3. 约分法：对于分数，可以进行约分，化简为最简形式，便于计算和比较大小。
4. 取反法：对于解题过程中出现的负数，可以通过取反变成正数，简化计算。
五、总结有理数是数学中的重要概念，掌握有理数的性质、运算规则以及解题方法对于学习数学和解决实际问题都具有重要意义。
初中数学有理数知识点总复习附答案解析
初中数学有理数知识点总复习附答案分析一、选择题1．以下说法中不正确的选项是（）A． -3 表示的点到原点的距离是|-3|B．一个有理数的绝对值必定是正数C．一个有理数的绝对值必定不是负数D．互为相反数的两个数的绝对值必定相等【答案】 B【分析】【剖析】依据绝对值的意义以及相反数的意义逐项进行剖析即可得答案.【详解】A、依据绝对值的意义|-3|表示在数轴上表示-3的点到原点的距离，故 A 选项正确，不切合题意；B、若这个有理数为0，则0 的绝对值仍是0，故 B 选项错误，切合题意；C、依据绝对值的意义， |a| 的绝对值表示在数轴上表示 a 的点到原点的距离，故随意有理数的绝对值都为非负数，因此不行能为负数，故 C 选项正确，不切合题意；D、依据相反数的定义可知：只有符号不一样的两数互为相反数，可知互为相反数的两数到原点的距离相等，即互为相反数的两个数的绝对值相等，故 D 选项正确，不切合题意，应选B．【点睛】本题考察了绝对值的意义，绝对值的代数意义为：正数的绝对值等于它自己；负数的绝对值等于它的相反数； 0 的绝对值仍是 0；绝对值的几何意义为： |a| 表示在数轴上表示 a 的这个点到原点的距离，娴熟掌握绝对值的意义是解本题的重点．2．如图， a、 b 在数轴上的地点如图，则以下各式正确的选项是（）B． a﹣ b＞ 0C． a+b＞ 0D．﹣ b＜ aA． ab＞ 0【答案】 B【分析】解： A、由图可得：a＞ 0， b＜ 0，且﹣ b＞ a，a＞ b∴ab＜ 0，故本选项错误；B、由图可得：a＞ 0， b＜ 0， a﹣ b＞ 0，且 a＞ b∴a+b＜ 0，故本选项正确；C、由图可得：a＞ 0， b＜ 0，a﹣ b＞ 0，且﹣ b＞ a∴a+b＜ 0；D、由图可得：﹣b＞ a，故本选项错误．应选 B．3．1的绝对值是 ( )611A．﹣ 6B． 6C．﹣D．66【答案】 D【分析】【剖析】利用绝对值的定义解答即可．【详解】1的绝对值是1，66应选 D．【点睛】本题考察了绝对值得定义，理解定义是解题的重点．4．在数轴上，实数a， b 对应的点的地点如下图，且这两个点到原点的距离相等，以下结论中，正确的选项是（）A．a b 0B．a b 0C．a b D．ab0【答案】 A【分析】由题意可知a<0<1<b，a=-b ，∴a+b=0， a-b=2a<0， |a|=|b| ， ab<0，∴选项 A 正确，选项 B、 C、 D 错误，应选 A.5．﹣ 3 的绝对值是（）A．﹣ 3B． 311 C． -D．33【答案】 B【分析】【剖析】依据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】依据绝对值的性质得：|-3|=3 ．应选 B．【点睛】本题考察绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它自己，负数的绝对值是它的相反数.6．在有理数2， -1， 0，-5中，最大的数是（）A．2B．C． 0D．【答案】A【分析】【剖析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于全部负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】依占有理数比较大小的方法可得：-5<-1<0<2，因此最大数是 2.应选 A.【点睛】本题主要考察了实数大小比较的方法，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确:正实数 >0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小.7．假如 x 取随意实数，那么以下式子中必定表示正实数的是( )A． x B．C．D． |3x ＋ 2|【答案】 C【分析】【剖析】利用平方根存心义的条件以及绝对值存心义的条件从而剖析求出即可．【详解】A.x 能够取全体实数，不切合题意;B.≥ 0,不切合题意 ;C.>0, 切合题意 ;D.|3x ＋2| ≥ 0,不切合题意 .应选 C.【点睛】本题考察了平方根和绝对值存心义的条件，正确掌握平方根和绝对值存心义的条件是解题重点．8．如下图，数轴上点P 所表示的数可能是（）A．30B．15C．10D．8【答案】 B【分析】【剖析】点 P 在 3 与 4 之间，知足条件的为 B、 C 两项，点 P 与 4 比较凑近，从而选出正确答案．【详解】∵点 P在 3与 4之间，∴3＜ P＜ 4，即9＜P＜ 16∴知足条件的为B、 C图中，点 P 比较凑近4，∴P 应选 B、C 中较大的一个应选： B．【点睛】本题考察对数轴的理解，数轴上的点，从左到右挨次增大，解题过程中需紧掌握这点．9．实数 a、 b 在数轴上的地点如下图用以下结论正确的选项是()A． a+b>a>b>a-b B．a>a+b>b>a-bC． a-b>a>b>a+b D． a-b>a>a+b>b【答案】D【分析】【剖析】第一依据实数a，b在数轴上的地点能够确立a、b的取值范围，而后利用有理数的加减运算即可比较数的大小．【详解】解：由数轴上a，b 两点的地点可知，∵b＜0，a＞0，|b| ＜|a| ，设 a=6， b=-2，则 a+b=6-2=4， a-b=6+2=8，又∵ -2＜ 4＜6＜ 8，∴a-b＞ a＞ a+b＞ b．应选：D．【点睛】本题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，解答本题的重点是依据数轴上a， b 的地点估算其大小，再取特别值进行计算即可比较数的大小．10．已知a b两数在数轴上的地点如下图，则化简代数式| a b | |1 a | | b 1| 的、结果是()A．2b B．2a C． 2D．2a2【答案】 A【分析】【剖析】依据数轴判断出绝对值符号内式子的正负，而后去绝对值归并同类项即可．【详解】解：由数轴可得，b＜ - 1＜ 1＜ a，∴a- b＞ 0， 1-a ＜ 0， b＋1＜ 0，∴ | a b | |1 a | | b1| ，a b1ab 1 ，a b1ab 1，2b ，应选： A．【点睛】本题考察数轴，绝对值的性质，解答本题的重点是确立绝对值内部代数式的符号．11．以下命题中，真命题的个数有（）①带根号的数都是无理数；② 立方根等于它自己的数有两个，是0 和 1；③ 0.01 是 0.1 的算术平方根；④ 有且只有一条直线与已知直线垂直A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【答案】 A【分析】【剖析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于自己的有±1和 0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.【详解】仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，① 错误；立方根等于自己的有：±1和 0，② 错误；12．已知有理数a、 b 在数轴上的地点如下图，则以下代数式的值最大的是（）A． a+b B． a﹣ b C． | a+b|D． | a﹣b|【答案】 D【分析】【剖析】依据数轴确立出 a 是负数， b 是正数，而且 b 的绝对值大于 a 的绝对值，而后对各选项剖析判断，再依占有理数的大小比较，正数大于全部负数，而后利用作差法求出两个正数的大小，再选择答案即可．【详解】由图可知， a<0， b>0，且 |b|>|a|，∴- a<b，A.a+b>0，B.a-b<0 ，C.|a+b|>0 ，D.|a-b|>0 ，由于 |a-b|>|a+b|=a+b ，因此，代数式的值最大的是|a-b|.应选： D.【点睛】本题考察有理数的大小比较，数轴，解题重点在于利用绝对值的非负性进行解答.13．以下结论中：①若 a=b，则 a = b ；② 在同一平面内，若a⊥ b， b//c ，则 a⊥c；③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离；④| 3-2|=2- 3 ，正确的个数有( ) A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 B【分析】【剖析】【详解】解：①若 a=b 0，则 a = b②在同一平面内，若a⊥ b,b//c ，则 a⊥ c，正确③直线外一点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离④| 3 -2|=2- 3 ，正确正确的个数有②④两个应选 B14． 2 的相反数是（）11A．2B．2C．D．22【答案】 B【分析】【剖析】依据相反数的性质可得结果.【详解】由于 -2+2=0，因此﹣ 2 的相反数是2，应选 B．【点睛】本题考察求相反数，熟记相反数的性质是解题的重点.15．在﹣ 6， 0，﹣ 1， 4 这四个数中，最大的数是（）A．4B．﹣ 6C． 0D．﹣ 1【答案】 A【分析】【剖析】依据正数大于0，负数小于0，负数绝对值大的其值反而小即可求解．【详解】∵4＞0＞﹣1＞﹣6，∴最大的数是 4．应选A．【点睛】本题主要考察了有理数的大小的比较，解题的重点利用正负数的性质能够解决问题．16．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“6cm”分别对应数轴上表示﹣ 2 和实数 x 的两点，那么x 的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】 B【分析】【剖析】依据数轴的定义进行剖析即可.【详解】∵由图可知，﹣ 2 到 x 之间的距离为6，∴x表示的数为：﹣ 2+6＝ 4，应选： B．【点睛】本题考察了用数轴表示实数，题目较为简单，解题的重点是依据怎样依据一个已知点和两点的距离求另一个点．17．已知a，b，c是有理数，当a b c0 ， abc0a b c时，求c a c的值b a b为（）A．1 或-3B．1，-1 或 -3C．-1 或 3D． 1， -1， 3 或-3【答案】 A【分析】【剖析】依据 a b c 0 ， abc 0，可知这三个数中只好有一个负数，另两个为正数，把a b c 0 变形代入代数式求值即可．【详解】解：∵ a b c 0 ，∴ b c a 、a c b 、a b c ，∵abc 0，∴a、 b、 c 三数中有 2 个正数、 1 个负数，则a b c a b c ，b c a c a b a b c若 a 为负数，则原式 =1-1+1=1，若b 为负数，则原式=-1+1+1=1，若 c 为负数，则原式 =-1-1-1=-3，因此答案为 1 或 -3．应选： A．【点睛】本题考察了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它自己；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0，难点在于判断出负数的个数．18．若实数 a，b ，c， d 在数轴上的对应点的地点如下图，则正确的结论是()A． a 5B． b d 0C．| a | | c |D． cd【答案】 D【分析】【剖析】依据数轴获得 -5<a<b<0<c<d，且a d b c ，再挨次判断各选项即可获得答案.【详解】由数轴得 -5<a<b<0<c<d，且a d b c ，∴A 错误；∵b+d>0，故 B 错误；∵ a c ，∴C 错误；∵ d c ， c>0，∴ c d ，故 D 正确，应选： D.【点睛】本题考察数轴上数的大小关系，绝对值的性质，有理数的加法法例.19． 1 是 0.01 的算术平方根， ③ 错误；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直，④ 错误应选：A【点睛】本题考察观点的理解，解题重点是注意观点的限制性，如④ 中，一定有限制条件：在同一平面内，过定点，才有且只有一条直线与已知直线垂直.20． 若（ x+y ﹣ 1） 2+| x ﹣ y+5| ＝ 0，则x ＝（）A ．﹣ 2B ． 2C ． 1D ．﹣ 1【答案】 A【分析】【剖析】由已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解获得x 即可 .【详解】解：∵（ x+y ﹣ 1） 2+| x ﹣ y+5| ＝ 0，x y 1 0∴y 5 ，x 0解得：x 2y，3应选： A.【点睛】本题主要考察了非负数的性质和二元一次方程组的解法，依据两个非负数的和为零则这两个数均为零得出方程组是解决本题的的重点 .。
最新人教版数学七年级上册 有理数(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值.例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|.根据以上知识解题：（1）点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示2，那么AB＝________.（2）在数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，那么a＝________.（3）如果数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，那么|a+4|+|a﹣2|＝________.（4）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值.如果没有.请说明理由.【答案】（1）1（2）1或-5（3）6（4）解：∵|a-3|+|a﹣6|表示a到3与a到6的距离的和，∴当3≤a≤6时，|a-3|+|a-6|= =3，当a>6或a<3时，|a-3|+|a﹣6|>3，∴|a-3|+|a﹣6|有最小值，最小值为3.【解析】【解答】（1）AB= =1，故答案为：1（ 2 ）∵数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，∴ =3，∴-2-a=3或-2-a=-3，解得：a=1或a=-5，故答案为：1或-5（ 3 ）数a位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|表示a到-4与a到2的距离的和，∴|a+4|+|a﹣2|= =6，故答案为：6【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值即可算出答案；（2）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值列出方程，求解即可；（3）根据题意可知：此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字-4的点的距离与数轴上表示数a的点到表示数字2的点的距离的和，又数轴上表示数a的点位于-4与2之间，故该距离等于数轴上表示数字-4与表示数字2的点之间的距离，从而即可得出答案；（4）此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字3的点的距离与数轴上表示数a 的点到表示数字6的点的距离的和，从而分当3≤a≤6时，当a>6或a<3时三种情况考虑即可得出答案.2．数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，AB＝BC＝20．（1）点A对应的数是________，点B对应的数是________．（2）动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．①用含t的代数式表示点P对应的数是________，点Q对应的数是________；②当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值．【答案】（1）﹣30；﹣10（2）4t﹣30，t﹣10；t的值为4或【解析】【解答】解：（1）∵AB＝BC＝20，点C对应的数是10，点A在点B左侧，点B 在点C左侧，∴点B对应的数为10﹣20＝﹣10，点A对应的数为﹣10﹣20＝﹣30．故答案为：﹣30；﹣10．（2）①当运动时间为t秒时，点P对应的数是4t﹣30，点Q对应的数是t﹣10．故答案为：4t﹣30；t﹣10．②依题意，得：|t﹣10﹣（4t﹣30）|＝8，∴20﹣3t＝8或3t﹣20＝8，解得：t＝4或t＝．∴t的值为4或．【分析】（1）由AB，BC的长度结合点C对应的数及点A，B，C的位置关系，可得出点A，B对应的数；（2）①由点P，Q的出发点、运动方向及速度，可得出运动时间为t秒时点P，Q对应的数；②由①结合PQ＝8，可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．3．已知，数轴上点A和点B所对应的数分别为，点P为数轴上一动点，其对应的数为．（1）填空： ________ ， ________ ．（2）若点 P到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数.（3）现在点 A、点 B分别以 2 个单位长度/秒和 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动，点 P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点 A与点 B之间的距离为2个单位长度时，求点 P所对应的数是多少？【答案】（1）-1；3（2）解：依题可得：PA=|x+1|，PB=|3-x|，∵点P到点A、点B的距离相等，∴PA=PB，即|x+1|=|3-x|，解得：x=1，∴点P对应的数为1.（3）解：∵点A、点B 速度分别以 2 个单位长度/秒、 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动，∴A点对应的数为2t-1，点B对应的数为3+0.5t，①当点A在点B左边时，∵AB=2，∴（3+0.5t）-（2t-1）=2，解得：t=，∵点P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动，∴×3=4，∴P点对应的数为：-4.②当点A在点B右边时，∵AB=2，∴（2t-1）-（3+0.5t）=2，解得：t=4，∵点P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动，∴4×3=12，∴P点对应的数为：-12.【解析】【解答】解：（1）∵（a+1）2+|b-3|=0，∴，解得：.故答案为：-2；3.【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性列出方程，解之即可得出答案.（2）根据题意可得PA=|x+1|，PB=|3-x|，再由PA=PB得|x+1|=|3-x|，解之即可得出点P对应的数.（3）根据题意可得A点对应的数为2t-1，点B对应的数为3+0.5t，分情况讨论：①当点A 在点B左边时，②当点A在点B右边时，由AB=2分别列出方程，解之得出t值，再由P 点的速度得出点P对应的数.4．观察下列等式：第1个等式： = = ×(1－ )；第2个等式： = = ×( － )；第3个等式： = = ×( － )；第4个等式： = = ×( － )；…请回答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式： =________=________；（2）用含n的代数式表示第n个等式： =________=________（n为正整数）；（3）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）解：a1+a2+a3+a4+…+a2018= ×(1－ )+ ×( － )+ ×( － )+ ×( －) +…+ = .【解析】【解答】解：(1)第5个等式：a5= ，故答案为 .( 2 )an= ，故答案为 .【分析】（1）根据前四个式子的规律，就可列出第5个等式，计算可求解。
中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题01 有理数(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
专题01有理数【思维导图】【知识要点】知识点一有理数基础概念⏹有理数（概念理解）正数：大于0的数叫做正数。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。
有理数的分类（两种）（见思维导图）⏹数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
✓数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
✓数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.【注意】1.数轴是一条直线，可向两段无限延伸。
2.在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。
⏹相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）⏹绝对值绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。
绝对值的意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
（互为相反数的两个数的绝对值相等。
）⏹比较大小1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
4）两个正数比较，绝对值大的反而大。
常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。
1．（2018·某某琼山中学中考模拟）下列各组数中，互为相反数的是 ( )A．|+2|与|-2| B．-|+2|与+(-2) C．-(-2)与+(+2) D．|-(-3) |与-|-3|【详解】解：A、|+2|=2，|-2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故这两个数相等，故此选项错误；C、-（-2）=2与+（+2）=2，这两个数相等，故此选项错误；D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，这两个数互为相反数，故此选项正确．故选：D ． 2．（2019·某某中考真题）a -一定是 A ．正数 B ．负数C ．0D ．以上选项都不正确【详解】∵a 可正、可负、也可能是0 ∴选D.3．（2018·某某中考模拟）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（ ）A ．点A 和点CB ．点B 和点C C ．点A 和点BD ．点B 和点D【详解】A 、B 、C 、D 所表示的数分别是2，1，-2，-3，因为2和-2互为相反数，故选A ．4．（2013·某某中考真题）如图，数轴上的点A 、B 分别对应实数a 、b ，下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．﹣a ＜bD ．a+b ＜0【详解】根据数轴，a ＜0，b ＞0，且|a|＜|b|， A 、应为a ＜b ，故本选项错误； B 、应为|a|＜|b|，故本选项错误；C 、∵a ＜0，b ＞0，且|a|＜|b|，∴a+b ＞0，∴﹣a ＜b 正确，故本选项正确；D 、应该是a+b ＞0，故本选项错误． 故选C ．5．（2019·某某中考真题）已知1=a ，b 是2的相反数，则+a b 的值为( ) A ．-3 B ．-1C ．-1或-3D ．1或-3【详解】∵1=a ，b 是2的相反数，∴1a =或1a =﹣，2b =﹣， 当1a =时，121a b +==﹣﹣； 当1a =﹣时，123a b +==﹣﹣﹣； 综上，+a b 的值为-1或-3， 故选：C ．考察题型一 绝对值非负性应用1．（2016·某某中考真题）当1<a<2时，代数式|a －2|＋|1－a|的值是（ ） A ．－1 B ．1C ．3D ．－3【详解】解：当1＜a ＜2时，|a ﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a ﹣1=1． 故选B ．2．（2019·某某中考模拟）表示实数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，化简a b -( )A ．2a －bB ．bC ．－bD ．－2a +b【详解】根据数轴可以判断出0a b >>，则a b a b -=-a =，所以a b a b a b -=--=- 所以选C.3．（2017·某某中考模拟）若|x|=7|y|=5x+y>0，，且，那么x-y 的值是 （ ） A ．2或12 B ．2或-12C ．-2或12D ．-2或-12【详解】由x 7=可得x=±7，由y 5=可得y=±5， 由x+y>0可知：当x=7时，y=5；当x=7时，y=-5，-=±=或，则x y75122故选：A4．（2018·某某中考模拟）如果|a|≥0，那么（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0D．a为任意数【详解】a≥，解：∵0∴a为任意数，故选：D．5．（2017·某某中考模拟）若|x﹣2|+|y+2|=0，求x﹣y的相反数．【详解】∵|x﹣2|+|y+2|=0，∴x﹣2=0，y+2=0，解得x=2，y=﹣2，∴x﹣y=2﹣（﹣2）=4，∴x﹣y的相反数是﹣4．6.（2017·某某中考模拟）已知|a+3|+|b﹣5|=0，求：（1）a+b的值；（2）|a|+|b|的值．【详解】（1）由题意得，a+3=0，b﹣5=0，解得a=﹣3，b=5，所以，a+b=﹣3+5=2；（2）|a|+|b|=|﹣3|+|5|=3+5=8．考查题型二有理数比较大小1．（2018·某某中考模拟）如果a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（）A．b为正数，c为负数B．c为正数，b为负数C．c为正数，a为负数D．c为负数，a为负数【解析】由题目答案可知a ，b ，c 三数中只有两正一负或两负一正两种情况， 如果假设两负一正情况合理， 要使a+b+c=0成立， 则必是b ＜0、c ＜0、a ＞0， 否则a+b+c≠0，但题中并无此答案，则假设不成立，D 被否定， 于是应在两正一负的答案中寻找正确答案， 若a ，b 为正数，c 为负数时， 则：|a|+|b|＞|c|， ∴a+b+c≠0， ∴A 被否定，若a ，c 为正数，b 为负数时， 则：|a|+|c|＞|b|， ∴a+b+c≠0， ∴B 被否定， 只有C 符合题意． 故选：C ．2．（2019·中考模拟）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b ＝0，那么下列结论正确的是（ ）A ．|a|＞|c|B ．a+c ＜0C ．abc ＜0D ．0ab【详解】 ∵a+b=0，∴原点在a ，b 的中间， 如图，由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，ab=-1，故选C.12．（2019·某某滨州市滨城区东城中学中考模拟）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是( )①b＜0＜a；②|b|＜|a|；③ab＞0；④a﹣b＞a+b．A．①②B．①④C．②③D．③④【解析】由图知，b<0<a，故①正确，因为b点到原点的距离远，所以|b|>|a|,故②错误，因为b<0<a，所以ab<0，故③错误，由①知a-b>a+b，所以④正确.故选：B.4．（2018·某某中考真题）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（）A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2【详解】根据有理数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜0.5＜（﹣1）2，∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是﹣1．故选B．5．（2018·某某中考真题）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（）A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0【详解】从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；A、|a|＞|b|，故选项正确；B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；C、b＜d，故选项正确；D 、d ＞c ＞1，则a+d ＞0，故选项正确． 故选：B.知识点二 有理数四则运算 ⏹ 有理数的加法（重点）有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值） 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）4.一个数同0相加，仍得这个数。
七年级有理数(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点、、、对应的数分别是，且 .（1）那么 ________， ________：（2）点以个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，秒后点以个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，当点到达点处立刻返回，与点在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数；（3）如果、两点以（2）中的速度同时向数轴的负方向运动，点从图上的位置出发也向数轴的负方向运动，且始终保持，当点运动到时，点对应的数是多少？【答案】（1）-6；-8（2）解：由（1）可知：，，，，点运动到点所花的时间为，设运动的时间为秒，则对应的数为，对应的数为： .当、两点相遇时，，，∴ .答：这个点对应的数为；（3）解：设运动的时间为对应的数为：对应的数为：∴∵∴∵对应的数为∴①当，；②当，，不符合实际情况，∴∴答：点对应的数为【解析】【解答】解：（1）由图可知：，∵，∴，解得，则；【分析】（1）由a、d在数轴上的位置可得d=a+8，代入已知的等式可求得a的值，再根据数轴可确定原点的位置；（2）根据相遇问题可求得相遇时间，然后结合题意可求解；（3）根据AB=AC列方程，解含绝对值的方程可求解.2．已知 a、b、c 在数轴上的位置如图：（1）用“<”或“>”填空：a+1________0；c-b________0；b-1________0；（2）化简：；（3）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c与-1的距离相等，求下列式子的值：2b -c - (a - 4c - b)．【答案】（1）>；<；<（2）解：∵a+1＞0，c-b＜0，b-1＜0，∴原式=a+1-(b-c)-(1-b)=a+1-b+c-1+b=a+c（3）解：由已知得：b+1=-1-c，即b+c=-2，∵a+b+c=0，即-2+a=0，∴a=2，则2b -c - (a - 4c - b)．=2b -c - a + 4c + b=3(b+c)-2=【解析】【解答】解：（1）根据题意得：c<0<b<1<a∴a+1＞0；c-b＜0；b-1<0【分析】（1）根据数轴上点的位置进行计算比较大小即可；（2）利用数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果（3）根据题意列出关系式，求出a与b+c的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b+c的值代入计算即可求出值．3．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：（1）已知|x|＝3，则x的值是________．（2）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和﹣2的两点之间的距离为________；（3）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和﹣3两点之间的距离为________（4）若x表示一个实数，且﹣5＜x＜3，化简|x﹣3|+|x+5|＝________；（5）|x+3|+|x﹣4|的最小值为________，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值为________．（6）|x+1|﹣|x﹣3|的最大值为________．【答案】（1）（2）4；3（3）|x﹣1|；|x+3|（4）8（5）7；6（6）4【解析】【解答】解：（1）∵，则；故答案为：；（2），，故答案为：4，3；（3）根据两点间距离公式可知：数轴上表示x和1两点之间的距离为：；数轴上表示x和-3两点之间的距离为：；故答案为：，；（4）x对应点在点-5和3之间时的任意一点时|x-3|+|x+5|的值都是8；故答案为：8；（5）x对应点在点-4和3之间时的任意一点，|x-3|+|x+4|的值最小是7；当x对应点是3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值为6；故答案为：7，6；（6）当x对应点不在-1和3对应点所在的线段上，即x＜-1或x＞3时，|x+1|-|x-3|的最大值为4；故答案为：4．【分析】（1）根据绝对值的意义，即可得到答案；（2）（3）直接代入公式即可；（4）实质是在表示3和-5的点之间取一点，计算该点到点3和-5的距离和；（5）可知x对应点在对应-3和4的点之间时|x+3|+|x-4|的值最小；x对应点在3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|值最小；（6）可知x对应点在表示-1和3的点所形成的线段外时，|x+1|-|x-3|的值最大．4．点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；．请探索下列问题：（1）计算 ________，它表示哪两个点之间的距离？ ________（2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=________；当PB=2时，x=________；当x=________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小．（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________．【答案】（1）5；A与C（2）x+2；-4或0；1（3）1019090【解析】【解答】解：（1）|1−（−4）|＝|1＋4|＝|5|＝5，|1−（−4）|表示点A与C之间的距离，故答案为：5，点A与C；（2）∵点P为数轴上一点，它所表示的数为x，点B表示的数为−2，∴PB＝|x−（−2）|＝|x＋2|，当PB＝2时，|x＋2|＝2，得x＝0或x＝−4，当x≤−4时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝−x−4＋1−x＋3−x＝−x≥4；当−4＜x＜1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋1−x＋3−x＝8−x，当1≤x≤3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋3−x＝6＋x，当x＞3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋x−3＝3x＞9，∴当x＝1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|有最小值；故答案为：|x＋2|；−4或0；1（3）|x−1|＋|x−2019|≥|1−2019|＝2018，当且仅当1≤x≤2019时，|x−1|＋|x−2019|＝2018，当且仅当2≤x≤2018时，|x−2|＋|x−2018|≥|2−2018|＝2016，…同理，当且仅当1009≤x≤1011时，|x−1009|＋|x−1011|≥|1009−1011|＝2，|x−1010|≥0，当x＝1010时，|x−1010|＝0，∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|≥0＋2＋4＋…＋2018＝1019090，∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|的最小值为1019090；故答案为1019090．【分析】（1）由所给信息，结合绝对值的性质可求；（2）由绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，在不同的x范围内确定|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|的最小值；（3）由所给式子的对称性，结合绝对值的性质，将所求绝对值式子转化为求0＋2＋4＋…＋2018的和．5．如图，在数轴上点A表示数−20，点C表示数30，我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记.比如，点A与点B之间的距离记作AB，点B与点C之间的距离记作BC…（1）点A与点C之间的距离记作AC，则AC的长为________；若数轴上有一点D满足CD=AD，则D点表示的数为________；（2）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A、C在数轴上运动，点A、C 的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒.①若点A向右运动，点C向左运动，AB=BC，求t的值________；②若点A向左运动，点C向右运动，2AB−m×BC的值不随时间t的变化而改变，则2AB−m×BC的值为________(直接写出答案).【答案】（1）50；5（2）10或；-45．【解析】【解答】（1）解：∵A表示的数为-20，C表示的数为30，∴AC=30-（-20）=50；∵CD=AD∴点D为AC的中点∴D所表示的数为 =5，故答案为50；5（2）解：①根据题意，A所表示的数为-20+2t，C所表示的数为30-3t，B 所表示的数为1+t，AB=|-20+2t-（1+t）|=|-21+t|，BC=|30-3t-（1+t）|=|29-4t|，∵AB=BC∴|-21+t|=|29-4t|，-21+t=29-4t，解得t=10，-21+t=4t-29解得t= ．∴当AB=BC时，t=10或．②根据题意，A所表示的数为-20-2t，B所表示的数为1+t，C所表示的数为30+3t，AB=1+t-（-20-2t）=21+3t，BC=30+3t-（1+t）=29+2t，∴2AB-m×BC=2（21+3t）-m×（29+2t）=42+6t-29m-2mt，∵2AB-m×BC的值不随时间t的变化而改变，∴6t-2mt=0，∴m=3，∴42+6t-29m-2mt=-45，∴2AB-m×BC=-45．故答案为-45．【分析】（1）在数轴上表示两点所组成的线段长度用右边点所表示的数减去左边点所表示的数即可．（2）当数轴上想表示两个点之间的距离，根据绝对值的意义可用绝对值进行处理．动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离．6．阅读材料:在数轴上，点 A 在原点 0 的左边，距离原点 4 个单位长度，点 B 在原点的右边，点 A 和点B 之间的距离为 14个单位长度.（1）点 A 表示的数是________，点 B 表示的数是________;（2）点 A、B 同时出发沿数轴向左移动，速度分别为 1 个单位长度/秒，3 个单位长度/秒，经过多少秒，点 A 与点 B重合?（3）点 M、N 分别从点 A、B 出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒,点 P 为 ON 的中点，设 OP-AM 的值为 y,在移动过程中，y 值是否发生变化?若不变，求出 y 值;若变化，说明理由.【答案】（1）-4；10（2）解：由题意知，此时为速度问题里面的追击问题，则由速度差×相遇时间＝相距距离可知：设经过x秒后重合，即x秒后AB相遇.则(3-1)x=14解得：x=7故7秒后点A，B重合.（3）解：y不发生变化，理由如下：设运动时间为x秒，则AM=x而OP=则y=OP-AM=故y为定值，不发生变化.【解析】【解答】解：（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，由B 在原点右边且与点A距离14个单位长度可知，-4+14=10，则B点表示的数是10.【分析】（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，再根据B 在原点右边且与点A距离14个单位长度，可由-4+14=10可得B点表示的数.（2）把A，B看成距离为14个单位长度的追击问题，由速度差×相遇时间＝相距距离列出等式求解.（3）设移动时间为x秒，用含有x的代数式表示出OP与AM的长度，然后根据y= OP-AM列出关系式判断,若式中不含x项则不发生变化，含x项则发生变化.7．观察下列等式，，，把以上三个等式两边分别相加得：．（1）猜想并写出： ________．（2）直接写出下面算式的计算结果：=________.【答案】（1）（2）【解析】【解答】解：（1）；故答案为： .（2）.．故答案为：．【分析】（1）分子是1，分母是两个连续自然数的乘积，可以拆成以这两个自然数为分母，分子为1的两个分数的差，由此规律得出答案即可；（2）根据规律将式子的每一项拆分，拆分后抵消得出答案即可．8．已知：线段AB＝20cm.（1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，点Q沿线段BA自B点向A 点以3厘米/秒运动，经过________秒，点P、Q两点能相遇.（2）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以3厘米/秒运动，问再经过几秒后P、Q相距5cm?（3）如图2，AO＝4cm，PO＝2cm，∠POB＝60°，点P绕着点O以60°/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q 运动的速度.【答案】（1）4（2）解：设经过a秒后P、Q相距5cm，由题意得，20－（2＋3）a＝5，解得：，或（2＋3）a−20＝5，解得：a＝5，答：再经过3秒或5秒后P、Q相距5cm（3）解：点P，Q只能在直线AB上相遇，则点P旋转到直线AB上的时间为 s或s，设点Q的速度为ycm/s，当2s时相遇，依题意得，2y＝20−2＝18，解得y＝9当5s时相遇，依题意得，5y＝20−6＝14，解得y＝2.8答：点Q的速度为9cm/s或2.8cm/s．【解析】【解答】解：（1）设经过x秒两点相遇，由题意得，（2＋3）x＝20，解得：x＝4，即经过4秒，点P、Q两点相遇；故答案为：4．【分析】（1）设经过x秒两点相遇，根据总路程为20cm，列方程求解；（2）设经过a秒后P、Q相距5cm，分两种情况：用AB的长度−点P和点Q走的路程；用点P和点Q走的路程−AB的长度，分别列方程求解；（3）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．9．（1）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数，，、两点之间的距高表示为当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，；当、都不在原点时，①如图2，点、都在原点的右侧，；②如图3，点、都在原点的左侧，；③如图4，点、在原点的两侧，；（1）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点间的距离是________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________；②数轴上表示和-1的两点和之间的距离是________，如果，那么为________；③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________；④求的最小值，提示：.【答案】（1）3；3；4；；1或-3；-1≤x≤2；解：④.④由③可知，要使最小，则在1和2015之间即可，要使最小，则在2和2014之间即可…… 以此类推，要使最小，则在1007和1009之间即可，最后还剩余最小时，取即可，当时，原式【解析】【解答】解：①表示2和5的两点间的距离为，表示-2和-5的两点之间的距离为，表示1和-3的两点之间的距离为；②表示和-1的两点和之间的距离为，若，则，∴，∴或③ ，是到的距离，表示到的距离，当在和2之间时，距离之和最小，∴取最小值时，相应的的取值范围是【分析】①根据（1）中的两点间距离公式可求答案；②根据（1）中的两点间距离公式列出方程求解；③根据线段上的点到两端的距离之和最小可得结果；④根据线段上的点到两端的距离之和最小列出算式计算即可；10．已知多项式，次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b．（1）数轴上A、B之间的距离记作，定义：设点C在数轴上对应的数为x，当时，直接写出x的值．（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照如此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，求点P所对应的有理数．（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2单位长度秒的速度也向左运动，一同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．【答案】（1）解：由多项式的次数是6可知，又3a和b互为相反数，故．①当C在A左侧时，，，；②C在A和B之间时，，点C不存在；③点C在B点右侧时，，，；故答案为或8．（2）解：依题意得：．点P对应的有理数为．（3）解：①甲、乙两小蚂蚁均向左运动，即时，此时，，，解得，；甲向左运动，乙向右运动时，即时，此时，，依题意得，，解得，．答：甲、乙两小蚂蚁到原点的距离相等时经历的时间是秒或8秒．【解析】【分析】（1）根据题意可得，；（2）对点C的位置进行分类讨论，并用x表示出和的长度，利用“ ”列出方程即可求出答案；（3）对乙蚂蚁运动的方向进行分类讨论，根据到原点距离相等列出方程求解即可．11．在数轴上，点A，点B分别表示数，则线段AB的长度可以用表示.例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段AB的长表示为 .（1）若线段AB的长表示为6， ,则ab的值等于________；（2）已知数轴上的任意一点P表示的数是x，且的最小值是4，若，则b=________；（3）已知点A在点B的右边，且，若，，试判断的符号，说明理由．【答案】（1）-9（2）5或-3（3）解：为负号，理由如下：∵点在点的右边且，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴的值为负号.【解析】【解答】解：(1)∵线段AB的长表示为6，∴，∵，∴，∴∴ =-9；（2）∵的最小值是4，∴ AB=4，∴，∵，∴，∴或－3；【分析】(1)根据线段的长表示为6，可以得出，再结合可得互为相反数，即得到答案 =-9；（2）根据的含义为点P到点，点的距离和，其取最小值4，故P在点，之间，即PA+PB=AB=4，再根据和可以求出的值；（3）根据点在点的右边且可以判定出，由可知，即，根据可以判断的符号.12．已知表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离请试着探索：（1）找出所有符合条件的整数，使，这样的整数是________；（2）利用数轴找出，当时，的值是________；（3）利用数轴找出，当取最小值时，的范围是________．【答案】（1）-4，-3，-2，-1，0，1，2（2）-5或4（3）【解析】【解答】解：（1）∵ = 表示x与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，又∵表示2与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离为6，∴当数轴上表示x的点在表示-4的点的左侧时，，不符合题意，当数轴上表示x的点在表示2的点的右侧时，，不符合题意，当数轴上表示x的点在表示-4的点与表示2的点之间（包括表示-4与2的点）时，，符合题意，∴，∴使，整数是-4，-3，-2，-1，0，1，2．故答案是：-4，-3，-2，-1，0，1，2；（2）∵ = 表示x与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，∴当x=-5时，表示-5与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离为2，表示-5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，即：，∴x=-5符合题意，当x=4时，表示4与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，表示4与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为2，即：，∴x=4符合题意，综上所述：当时，的值是：-5或4．故答案是：-5或4；（3）∵ = 表示x与-7两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，∴当数轴上表示x的点在表示-7的点的左侧时，，当数轴上表示x的点在表示4的点的右侧时，，当数轴上表示x的点在表示-7的点与表示4的点之间（包括表示-7与4的点）时，，∴当取最小值时，．故答案是：．【分析】（1）根据绝对值的几何意义，得表示x与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解；（2）根据绝对值的几何意义，得表示x与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解；（3）根据绝对值的几何意义，得表示x与-7两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解．。
中考数学专题复习有理数
学习必备欢迎下载1有理数知识网络结构图重点题型总结及应用灵 计算：(1) -1 ⎪ ⨯ + ⎪ ⨯(-8)-9 ÷ -1 ⎪ ； (2) ⎢1 - 1 - 0.5 ⨯ ⎪⎥ ⨯ ⎡⎣2-(-3)2⎤⎦ ．- - -2 ⎪ + 2+ - ⎪ - 3 ； (3) ⎪ ÷ -2 ⎪ + 11 + 2 - 13 ⎪ ⨯ 24 - ；3 学习必备欢迎下载题型一 绝对值理解绝对值的意义及性质是难点，由于|a |表示的是表示数 a 的点到原点的距离，因此 |a |≥0．可运用|a |的非负性进行求解或判断某些字母的取值．例 1 如果 a 与 3 互为相反数，那么|a +2|等于( ) A ．5 B ．1 C ．－1 D ．－5 例 2 若(a －1)2+|b +2|＝0，则 a + b ＝ . 规律若几个非负数的和为 0，则这几个数分别为 0． 题型二 有理数的运算有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数学运算的基础．要熟记法则， 活 运算，进行混合运算时，还要注意运算顺序及运算律的应用．例 3 (－1)2 011 的相反数是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 011 D ．－2 011例 4⎛ 1 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 4 ⎭ ⎝ 5 ⎭ ⎝ 2 ⎭⎡ ⎛ 1 ⎫⎤ ⎣⎝3 ⎭⎦题型三 运用运算律简化运算过程运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数(如正数、负数、分数中的分母 具有倍数关系、相反数等)分别结合在一起相加，可以简化运算过程．例 5 计算下列各题．(1)21－49．5+10．2－2－3．5+19；(2) 1 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 7 ⎫ 2 2 ⎝ 3 ⎭ 4 ⎝ 8 ⎭ 3⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 3 ⎫ 1 ⎝ 4 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 4 34 ⎭ (-0.2)(4) - ⎪ ⨯ - ⎪ - 2 ⨯ ⨯ -1 ⎪ + ⎪ ⨯ - ⎪ ．⎪ ⨯ 59 - 59 + 59 ⎪ ；(2) 学习必备 欢迎下载⎛ 3 ⎫3 ⎛ 3 ⎫2 5 19 ⎛ 1 ⎫3 ⎛ 4 ⎫2 ⎛ 3 ⎫3 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 5 ⎭19 43 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 5 ⎭ ⎝ 2 ⎭点拨(1)正、负数分别结合相加；(2)分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；(3)除法转化为乘法，正向应用乘法分配律；(4)逆向应用分配律 a (b +c )＝ab +ac ，即 ab +ac ＝a (b +c )．题型四 利用特殊规律解有关分数的计算题根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采取运算顺序重新组合、因数分 解、裂 项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的．例 6 计算下列各题．5 2 3 1(1) -5 - 9 + 17 - 3 ；6 3 4 2⎛ 3 1 7 ⎫ ⎛ 3 1 5 ⎫ - - ⎝ 5 2 12 ⎭ ⎝ 77 7 ⎭(3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + +2 6 12 20 30 42 56 72 90(4) 1 1 1 1 1 1 1+ + + + … + + + .2 4 8 16 512 1 024 2 048.学习必备欢迎下载题型五有理数运算的应用用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多．做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算．例7有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1．2，－0．8，2．3，1．7，－1．5，－2．7，2，－0．2，则这8箱橘子的总重量是多少?题型六探索数字规律找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题目灵活多变．解题时要认真观察、分析思考，找出规律，并运用规律解决问题．例9某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，2．5小时后，这种细菌可分裂为()A．8个B．16个C．32个D.64个例10观察图1－6－2，寻找规律，在“?”处应填上的数字是()A．128B．136C．162D．188思想方法归纳本章中所体现的数学思想方法主要有：1．数形结合思想：在本章中，自始至终利用数轴来定义或描述有理数的概念和运算，数轴成为理解有理数及其运算的重要工具．这种把数与形(图形或数轴)结合起来进行研究的思想方法，是学习数学的重要思想方法．2．分类讨论思想：a与－a哪个大呢?a的绝对值等于什么?在本章中，我们都是通过例7若x+y学习必备欢迎下载分类讨论解决问题，分类讨论可以把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题来处理，这是数学中处理问题的一种重要思想方法．不重复、不遗漏是对分类讨论提出的基本要求．例如，我们常把有理数分成正有理数、负有理数和零三类，如果遗漏了零，只考虑正有理数和负有理数两种情况，就会犯错误．3．转化思想：有理数的加法是通过符号法则转化为绝对值(小学所学的数)的加减法进行的；有理数的减法是通过转化为加法进行的；有理数的除法是通过转化为乘法，或者说有理数的乘除法是通过符号法则转化为绝对值的乘除法进行的．1．数形结合思想数轴是数形结合的重要工具，涉及含字母或绝对值符号的问题，借助数轴往往有利于问题的迅速解决．例1|a|＞|b|，a＞0，b＜O，把a、b、－a、－b按由小到大的顺序排列．例2有理数a、b在数轴上对应点的位置如图l－6－4所示，则必有()A．a+b＞0B．a－b＜o C．a b＞0D.a b2．分类讨论思想例3比较2a与－2a的大小．3．转化思想例4计算：l3+23+33+43+…+993+1003的值．＜04．用“赋值法”解题在做选择题和填空题时，问题的结论如果运用法则、定义等推导，有些题容易，而有些题很复杂，对于那些推导过程比较复杂的题目可采取“赋值法”，这样就能又快又准地得出结论．例5m－n的相反数是()A．－(m+n)B．m+n C．m－n D．－(m－n)例6如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b0，a－b0．(填“＞”或“＜”)x+y中的x，y都扩大到原来的5倍，则的值()x-y x-yA．缩小，B．不变C.扩大到原来的5倍D．缩小到原来的1 5中考热点聚焦考点1相反数、倒数、绝对值的概念考点突破：此类题在中考中的考查为基础性题目，一般为选择题或填空题．解决这类问2C ． 23D ． -22D ．－A ．－4B ．－1C ． -D ．+ + ⨯（ - 4）之值为何（ 学习必备 欢迎下载题要掌握相反数、倒数、绝对值概念的内涵和区别．例 1 -A ． - 322 3的相反数是（ ）B ． 3332 的倒数是( )3 2 3 2A ．B ．C ．－D ．－2 3 23例 2 ﹣2 的相反数是（）A ．2B ．﹣2C ． 11 2若|x －3|＋|y ＋2|＝0，则 x ＋y 的值为．－2011 的相反数是．-2 = ______.如果 a 与 1 互为相反数，则|a |等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 考点 2 有 理数的运算考点突破：有理数的运算是初中数学的重要基础，是历年中考的必考内容．对有理数运 算的考查往往融合在实数运算、整式运算之中，单独出现的题型不多，属中、低档难度．做 有理数的计算题时，要牢记运算法则和运算顺序．例 3 （2011 江苏苏州，1，3 分） 2 ⨯ (- 1) 的结果是21 34 2计算 73+（﹣4）3 之值为何（ ）A 、9B 、27C 、279D 、407计算 1 2 32 3 4）11 12A 、﹣1B 、﹣C 、﹣6 5计算(－3)3＋52－(－2)2 之值为何（ ）A ．2B ．5C ．－3D 、﹣233D ．－6计算 4 ÷ (-16) - 7 4÷ 2.5 之值为何（ ）A ．－1.1B ．－1.8C ．－3.2D ．－3.9 2﹣3 的值等于（ ）A 、1B 、﹣5C 、5D 、﹣1 计算(－ 1)2+(－1)3＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2 例 4 计算|－1|+(－2)2＝ . 考点 3 数轴考点突破：在中考中，对数轴的考查常与有理数的比较及运算结合在一起，是近几年中B b 学习必备 欢迎下载考题中的热点．解决数轴的有关问题时要注意数形结合思想的运用． 例 5 如图，在数轴上点 A 表示的数可能是（ ）A . 1.5B .－1.5C .－2.6D . 2.6数轴上点 A 、B 的位置如图（7）所示，若点 B 关于点 A 的对称点为 C ，则点 C 表示的数为如图 1－6－5 所示，数轴上 A 、 两点分别对应有理数 a 、 ，则下列结论正确的是( )A ．a +b ＞0B ．ab ＞0C ．a －b ＞0D ．|a |－|b |＞0 考点 4 科学记数法考点突破：科学记数法是中考中的高频考点，属中考必考内容．把一个大于 10 的数表 示成科学记数法，要写成 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a |＜10， n 为正整数．例 6 根据 2010 年第六次全国 人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为 4456 万人．这 个数据可以用科学记数法表示为（ ） A .4.456×107 人 B .4.456×106 人 C .4456×104 人 D .4.456×103 人 2011 年第一季度，我省 固定资产投资完成 475．6 亿元，这个数据用科学记数法可表示为（ ）A ．47.56 ⨯109 元B ． 0.4756 ⨯1011元C ． 4.756 ⨯1010 元D ． 4.756 ⨯109 元我国第六次人口普查显示，全国人口为 1370536875 人，将这个总人口数（保留三个有效数 字）用科学计数法表示为（ ）A 、1.37×109B 、1.37×107C 、1.37×108D 、1.37×1010据中新社北京 2011 年 l 2 月 8 日电 2011 年中国粮食总产量达到 546 400 000 吨，用科学记 数法表示为（ ）A ． 5.464 ⨯107 吨B ． 5.464 ⨯108 吨C ． 5.464 ⨯109 吨D ． 5.464 ⨯1010 吨 明天数学课要学“勾股定理”，小敏在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到与之相关的结果个数约为 12 500 000，这个数用科学记数法表示为（ ）A . 1.25 ⨯105B .1.25 ⨯106C . 1.25 ⨯107D . 1.25 ⨯108“激情盛会，和谐亚洲”第 16 届亚运会将于 2010 年 11 月在广州举行．广州亚运城的建筑 面积约是 358 000 平方米，将 358 000 用科学记数法表示为 ．综合验收评估测试题一、选择题 1.有理数中( ) A ．有最大的负数B ．有最小的整数C ．有绝对值最小的数D ．不是正有理数就是负有理数A ． 115. 计算：(1) ⎛ 1 ⎝ 8 12 ⎭(2)－1101－ ⎢-3 ⨯(2 ÷ 3)2 - ÷ 22 ⎥ ； 32. 若 a ＜b ＜O ，则下列各式中正确的是()1aa＜B ．ab ＜lC . ＜1D . ＞1a bb b3. 已知 a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，则 a ，b ， c 三数的和为( )A ．1B ．－lC ．0D ．不存在4. －1+2－3+4－5+6－…－99+100 的值等于( ) A ．5 050 B ．－5 050 C ．50 D ．－505. 数轴上到表示－2 的点的距离为 3 的点表示的数为( ) A ．1 B ．－5 C +5 D ．1 或－56. 当 a ＜3 时，|a －3|－(3－a )的值为( ) A ．6－2a B ．0 C ．2a －6 D ．－2a7. 下列各组数中，互为相反数的是( )A ．3 与1 3B ．(－2)2 与 4C .－25 与(－5)2D ．7 与|－7|8. 关于近似值0．010 50 的有效数字的个数和精确度，下列说法正确的是( ) A ．五个有效数字，精确到十万分位 B ．四个有效数字，精确到十万分位 C . 三个有效数字，精确到万分位 D ．两个有效数字，精确到万分位9. 据《中国经济周刊》报道，上海世博会第四轮环保活动投资总金额高达 820 亿元， 其中 820 亿用科学记数法表示为( )A ．0．82×1011B ．8．2×1010C ．8．2×109D ．82×108 10. a 和－ a 的积一定是( ) A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 二、填空题11. 某粮店出售的三种品牌的大米袋上，分别标示质量为(25±0．1)kg ，(25±0．2)kg ， (25±0．3)kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 kg ．12. 有理数－3．7，2，2 1 2，－ ，0，0．02 中，属于正数的有 ；属于负数的3 3有．13. 若 a 、b 互为倒数，c 、d 互 为相反数，则(ab )4－3(c +d )3＝ ． 三、解答题14. 已知 x +3＝0，|y +5|+4 的值为 4，z 对应的点到－2 对应的点的距离是 7，求 x 、y 、 z 这三个数两两之积的和．5 ⎫÷ - ⎪×24－(－3－3)2 (－6÷3)2；⎡ 4 ⎤⎣⎦(3)48× ⎛ 1 ⎝ 12 6 4 ⎭1 3 ⎫+ -⎪ ．。
2023年中考数学《有理数》专题知识回顾及练习题(含答案解析)
2023年中考数学《有理数》专题知识回顾及练习题（含答案解析）考点一：有理数之正数和负数1. 正数和负数的定义：大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数。
0既不是正数也不是负数。
2. 正数和负数的意义：表示具有相反意义的两个量。
3. 正负号的化简：同号为正，异号为负。
1．（2022 ） A ．0B ．21C ．﹣（﹣5）D ．﹣5【分析】先化简各式，然后再进行判断即可．【解答】解：A ．0既不是正数也不是负数，故A 不符合题意；B ．＞0，故B 不符合题意；C ．﹣（﹣5）＝5＞0，故C 不符合题意；D ．﹣＜0，故D 符合题意．故选：D ．2．（2022•贵阳）下列各数为负数的是（ ） A ．﹣2B ．0C ．3D ．5【分析】根据小于0的数是负数即可得出答案．【解答】解：A ．﹣2＜0，是负数，故本选项符合题意；B ．0不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意；C ．3＞0，是正数，故本选项不符合题意；D ．＞0，是正数，故本选项不符合题意；故选：A ．3．（2022•益阳）四个实数﹣2，1，2，31中，比0小的数是（ ） A ．﹣2B ．1C ．2D ．31 【分析】利用零大于一切负数来比较即可． 【解答】解：根据负数都小于零可得，﹣＜0．故选：A ．4．（2022•雅安）在﹣3，1，21，3中，比0小的数是（ ） A ．﹣3B ．1C ．21 D ．3【分析】比0小的是负数． 【解答】解：∵﹣＜0，故选A ．5．（2022•襄阳）若气温上升2+2℃，则气温下降3℃记作（ ） A ．﹣2℃B ．+2℃C ．﹣3℃D ．+3℃【分析】根据上升与下降表示的是一对意义相反的量进行表示即可． 【解答】解：∵气温上升2℃记作+2℃， ∴气温下降3℃记作﹣3℃． 故选：C ．6．（2022•河池）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（ ） A ．+20元B ．﹣20元C ．+30元D ．﹣30元【分析】根据正数与负数时表示具有相反意义的量直接得出答案． 【解答】解：∵收入50元，记作“+50元”． 且收入跟支出意义互为相反． ∴支出20元，记作“﹣20元”．故选：B．7．（2022•桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走2km记做“+2km”，那么向西走1km应记做（）A．﹣2km B．﹣1km C．1km D．+2km【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：若把向东走2km记做“+2km”，那么向西走1km应记做﹣1km．故选：B．8．（2022•云南）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（）A．10℃B．0℃C．﹣10℃D．﹣20℃【分析】根据正数和负数可以用来表示具有相反意义的量解答即可．【解答】解：∵零上10℃记作+10℃，∴零下10℃记作：﹣10℃，故选：C．9．（2022•柳州）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作．【分析】根据正负数的意义求解．【解答】解：由题意，水位上升为正，下降为负，∴水位下降2m记作﹣2m．故答案为：﹣2m．10．（2022•百色）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果向东走5米，记作+5米，那么向西走5米，可记作米．【分析】利用正负数可以表示具有相反意义的量．【解答】解：因为向东和向西是具有相反的意义，向东记作正数，则向西就记作负数．故正确答案为：﹣5．考点二：有理数之相反数1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
最新初中数学有理数知识点总复习含答案解析
最新初中数学有理数知识点总复习含答案解析一、选择题1．如果||a a =-，下列成立的是（ ）A ．0a >B ．0a <C ．0a ≥D ．0a ≤【答案】D【解析】【分析】绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．【详解】如果||a a =-，即一个数的绝对值等于它的相反数，则0a ≤．故选D ．【点睛】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键.2．实效m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）A ．m n >B ．n m ->C ．m n ->D ．m n <【答案】C【解析】【分析】从数轴上可以看出m 、n 都是负数，且m ＜n ，由此逐项分析得出结论即可．【详解】解：因为m 、n 都是负数，且m ＜n ，|m|＜|n|，A 、m ＞n 是错误的；B 、-n ＞|m|是错误的；C 、-m ＞|n|是正确的；D 、|m|＜|n|是错误的．故选：C ．【点睛】此题考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．3．和数轴上的点一一对应的是（ ）A ．整数B ．实数C ．有理数D ．无理数【答案】B【解析】∵实数与数轴上的点是一一对应的，∴和数轴上的点一一对应的是实数．故选B.4．有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．a b >B ．a c a c -=-C ．a b c -<-<D ．b c b c +=+【答案】D【解析】【分析】根据数轴得出a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |，再逐个判断即可．【详解】从数轴可知：a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |．A ．a ＜b ，故本选项错误；B ．|a ﹣c |=c ﹣a ，故本选项错误；C ．﹣a ＞﹣b ，故本选项错误；D ．|b +c |=b +c ，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，解答此题的关键是能根据数轴得出a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |，用了数形结合思想．5．已知235280x y x y +--+=则xy 的值是（ ）A ．19B ．-6C ．9D ．1-6【答案】B【解析】【分析】根据非负数的应用，列出方程组，解方程组，即可求出x 、y 的值，然后得到答案.【详解】 解：∵235280x y x y +--+=，∴2350280x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 解得：23x y =-⎧⎨=⎩， ∴236xy =-⨯=-；故选：B.本题考查了非负数的应用，解二元一次方程组，解题的关键是正确求出x、y的值.6．四个有理数﹣2，1，0，﹣1，其中最小的数是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解析】【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．【详解】∵-2＜-1＜0＜1，最小的是-2．故选D．【点睛】本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．7．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a和3，将点A向左平移1个单位=，则a的值为（）．长度，得到点C．若OC OBA．3-B．2-C．1-D．2【答案】B【解析】【分析】先用含a的式子表示出点C,根据CO=BO列出方程,求解即可．【详解】解:由题意知:A点表示的数为a,B点表示的数为3, C点表示的数为a-1．因为CO=BO,所以|a-1| =3, 解得a=-2或4,∵a＜0,∴a=-2．故选B．【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值方程的解法,用含a的式子表示出点C,是解决本题的关键．8．如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（）A30B15C10D8【解析】【分析】点P 在3与4之间，满足条件的为B 、C 两项，点P 与4比较靠近，进而选出正确答案．【详解】∵点P 在3与4之间，∴3＜P ＜4，即9＜P ＜16∴满足条件的为B 、C图中，点P 比较靠近4，∴P 应选B 、C 中较大的一个故选：B ．【点睛】本题考查对数轴的理解，数轴上的点，从左到右依次增大，解题过程中需紧把握这点． 9．如图是一个22⨯的方阵，其中每行，每列的两数和相等，则a 可以是（ ）A ．tan 60︒B ．()20191-C ．0D ．()20201-【答案】D【解析】【分析】 根据题意列出等式，直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．【详解】解：由题意可得：03282a +-=，则23a +=，解得：1a =， Q 3tan 603︒=,()201911-=-,()202011-= 故a 可以是2020(1)-．故选：D ．【点睛】 此题考查了零指数幂、绝对值的性质、立方根的性质和实数的运算，理解题意并列出等式是解题关键．10．如图数轴所示，下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．b ＞0C ．b ＞aD ．a ＞b 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴，可判断出a 为正，b 为负，且a 距0点的位置较近，根据这些特点，判定求解 【详解】∵a 在原点右侧，∴a ＞0，A 正确；∵b 在原点左侧，∴b ＜0，B 错误；∵a 在b 的右侧，∴a ＞b ，C 错误；∵b 距离0点的位置远，∴a ＜b ，D 错误【点睛】本题是对数轴的考查，需要注意3点：（1）在0点右侧的数为正数，0点左侧的数为负数；（2）数轴上的数，从左到右依次增大；（3）离0点越远，则绝对值越大11．不论a 取什么值，下列代数式的值总是正数的是（ ）A ．1a +B ．1a +C ．2aD ．2(1)a +【答案】B【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质分别分析得出答案．【详解】A 、|a+1|≥0，故此选项错误；B 、|a|+1＞0，故此选项正确；C 、a 2≥0，故此选项错误；D 、（a+1）2≥0，故此选项错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了偶次方的性质以及绝对值的性质，正确把握相关定义是解题关键．12．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |-2()b a -，其结果是（ ）A ．2a -B ．2aC ．2bD ．2b -【解析】【分析】，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，则a+b＜0，b-a＜0，∴原式=-（a+b）+（b-a）=-a-b+b-a=-2a，故选A．【点睛】．13．下列各组数中互为相反数的是（）A．5B．-和(-C．D．﹣5和1 5【答案】B【解析】【分析】直接利用相反数以及绝对值、立方根的定义分别分析得出答案．【详解】解：A、5，两数相等，故此选项错误；B、和-（）互为相反数，故此选项正确；C、=-2，两数相等，故此选项错误；D、-5和15，不互为相反数，故此选项错误．故选B．【点睛】本题考查了相反数以及绝对值、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．14．2-的相反数是（）A．2-B．2 C．12D．12-【答案】B【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B ．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .15．已知点P 的坐标为（a ，b ）（a ＞0），点Q 的坐标为（c ，3），且|a ﹣c|+7b -=0，将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为20，那么a+b+c 的值为（ ）A ．12B ．15C ．17D ．20【答案】C【解析】【分析】由非负数的性质得到a =c ，b =7，P （a ，7），故有PQ ∥y 轴，PQ =7-3=4，由于其扫过的图形是矩形可求得a ，代入即可求得结论．【详解】∵且|a -c |++7b -=0，∴a =c ，b =7，∴P （a ，7），PQ ∥y 轴，∴PQ =7-3=4，∴将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的图形是边长为a 和4的矩形，∴4a =20，∴a=5，∴c =5，∴a +b +c =5+7+5=17，故选C.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ ∥y 轴，进而求得PQ 是解题的关键．16．有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）A ．0a b +=B ．0a b ->C ．0ab >D ．b a <【解析】【分析】由图可判断a 、b 的正负性，a 、b 的绝对值的大小，即可解答．【详解】根据数轴可知：-2＜a ＜-1，0＜b ＜1，∴a+b ＜0，|a|＞|b|，ab ＜0，a-b ＜0．所以只有选项D 成立．故选：D ．【点睛】此题考查了数轴的有关知识，利用数形结合思想，可以解决此类问题．数轴上，原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数．17．若实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A ．a <-5B ．b +d <0C ．||||a c <D ．c d <【答案】D【解析】【分析】根据数轴得到-5<a<b<0<c<d ，且a d b c >>>，再依次判断各选项即可得到答案.【详解】由数轴得-5<a<b<0<c<d ，且a d b c >>>，∴A 错误；∵b+d>0，故B 错误； ∵a c >，∴C 错误； ∵d c >，c>0， ∴c d <D 正确，故选：D.【点睛】此题考查数轴上数的大小关系，绝对值的性质，有理数的加法法则.18．1是0.01的算术平方根，③错误；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直，④错误故选：A【点睛】本题考查概念的理解，解题关键是注意概念的限定性，如④中，必须有限定条件：在同一平面内，过定点，才有且只有一条直线与已知直线垂直.19．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】C【解析】试题分析：∵点M，N表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O点，∴绝对值最小的数的点是P点，故选C．考点：有理数大小比较．20．数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、1，且|a﹣1|+|b﹣1|＝|a﹣b|，则下列选项中，满足A、B、C三点位置关系的数轴为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的意义，在四个答案中分别去掉绝对值进行化简，等式成立的即为答案；【详解】A中a＜1＜b，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+b﹣1＝b﹣a，|a﹣b|＝b﹣a，∴A正确；B中a＜b＜1，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+1﹣b＝2﹣b﹣a，|a﹣b|＝b﹣a，∴B不正确；C中b＜a＜1，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+1﹣b＝2﹣b﹣a，|a﹣b|＝a﹣b，∴C不正确；D中1＜a＜b，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝a﹣1+b﹣1＝﹣2+b+a，|a﹣b|＝b﹣a，∴D不正确；故选：A．【点睛】本题考查数轴和绝对值的意义；熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．。
人教版初一数学上册《有理数》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《有理数》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【典型例题】类型一、有理数相关概念1．已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】(1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y ＝0，反过来也成立． (2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn ＝1，反过来也成立． 【答案与解析】解：因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y ＝0，mn ＝1，a ＝1，所以a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a 2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a 2-a+1．∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题2】【变式1】选择题 （1）已知四种说法：①|a|=a 时，a>0；|a|=-a 时， a<0. ②|a|就是a 与-a 中较大的数. ③|a|就是数轴上a 到原点的距离. ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （2）有四个说法：①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 ③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ）A ．①② B．③④ C．②④ D．①② （3）已知(-ab)3>0，则（ ）A ．ab<0B ．ab>0C ．a>0且b<0D ．a<0且b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ） A ．120 B ．-15 C ．0 D ．-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）A ．-a 6与(-a)6B ．-a 3与|-a|3C ．[(-a)2]3与(-a 3)2D ．(ab)3与ab 3【答案】（1）C ；（2）C ；（3）A ；（4）D ；(5)C【变式2】（2015•呼伦贝尔）中国的陆地面积约为9 600 000km 2，把9 600 000用科学记数法表示为 ． 【答案】9.6×106．2.（2016•江西校级模拟）如果m ，n 互为相反数，那么|m+n ﹣2016|=________． 【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n ﹣2016|. 【答案】2016.【解析】解：∵m ，n 互为相反数， ∴m+n=0，∴|m+n ﹣2016|=|﹣2016|=2016； 故答案为2016．【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．类型二、有理数的运算【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】3．(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)5153()( 1.5)()1244-÷⨯-÷- ()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯【答案与解析】 解：（1）原式21111143622332412=-++-= （2）原式543421215239=-⨯⨯⨯=-（3）原式3132(4)12(1516)104=-÷-⨯-⨯-+=-（4）原式12561[1(2)1]()233253=+-++-⨯⨯-=（5）1125112()41192---÷-=+--⨯原式 3.9=-【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac ；逆向应用分配律：ab+ac ＝a(b+c)等. 举一反三： 【变式】（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯【答案】解：（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--251471834()199(2)492584929=⨯⨯-⨯-⨯- 118343()199(2)449292=-⨯-⨯-⨯20(3)3=--2033=-+123=（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯955515()()()()499289=⨯---⨯-+-⨯5951()()942817224=-⨯++=-4. 先观察下列各式：11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭； 11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；…；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算： 1111447710+++⨯⨯⨯ (1)20052008+⨯的值． 【答案与解析】 解：原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⨯=【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭的形式，然后再进行计算．举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高 例2】 【变式】用简单方法计算：120180148124181++++ 【答案】解：原式=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯⨯ 类型三、数学思想在本章中的应用5．（2014•香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：点A ，B 在数轴上分别表示实数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．【答案与解析】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，∴x+1≥0，x﹣2≤0，∴﹣1≤x≤2．④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点．类型四、规律探索6.下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．A．495 B．497 C．501 D．503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和． 【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A ．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来． 举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）．A ．1132 B ．1360 C ．1495 D ．1660【答案】B 提示：观察发现：分子总是1，第n 行的第一个数的分母就是n ，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的(1)2n-倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是111094360=⨯⨯．附录资料：方程的意义（基础）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦251x=+；⑧28553x x-=．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列四个式子中，是方程的是（）A. 3+2=5B. x=1C. 2x﹣3＜0D. a2+2ab+b2 【答案】B．2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）A. 4x﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．217 3x+=类型二、一元一次方程的相关概念3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断.【答案】B.【解析】解：①x2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B．【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②. 类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．(1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；(2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ；(3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a b c c =++. C ．在等式b c a a=两边都除以a ，可得b ＝c. D ．在等式2x ＝2a-b 两边都除以2，可得x ＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80． 可以采用列表法探究其解显然，当x ＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式． 举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1344xx-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x+=．。
中考数学 专题01 有理数(知识点串讲)(原卷版)
专题01 有理数【思维导图】【知识要点】知识点一有理数基础概念⏹有理数（概念理解）正数：大于0的数叫做正数。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。
有理数的分类（两种）（见思维导图）⏹数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
✓数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
✓数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.【注意】1.数轴是一条直线，可向两段无限延伸。
2.在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。
⏹相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）⏹绝对值绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。
绝对值的意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
（互为相反数的两个数的绝对值相等。
）⏹比较大小1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
4）两个正数比较，绝对值大的反而大。
常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。
1．（2018·海南琼山中学中考模拟）下列各组数中，互为相反数的是( )A．|+2|与|-2|B．-|+2|与+(-2)C．-(-2)与+(+2)D．|-(-3) |与-|-3|a2．（2019·四川中考真题）一定是A．正数B．负数C．D．以上选项都不正确3．（2018·内蒙古中考模拟）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（ ）A．点A和点C B．点B和点C C．点A和点B D．点B和点D4．（2013·江苏中考真题）如图，数轴上的点A 、B 分别对应实数a 、b ，下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．﹣a ＜bD ．a+b ＜05．（2019·甘肃中考真题）已知，是2的相反数，则的值为( )1=a b +a b A ．-3B ．-1C ．-1或-3D ．1或-3考察题型一 绝对值非负性应用1．（2016·山东中考真题）当1<a<2时，代数式|a －2|＋|1－a|的值是（ ）A ．－1B ．1C ．3D ．－32．（2019·山东中考模拟）表示实数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，化简( )a -A ．2a －bB ．bC ．－bD ．－2a +b3．（2017·广西中考模拟）若，那么的值是 （ ）|x|=7|y|=5x+y>0，，且x-y A ．2或12B ．2或-12C ．-2或12D ．-2或-124．（2018·浙江中考模拟）如果|a|≥0，那么（ ）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a≠0D ．a 为任意数5．（2017·湖北中考模拟）若|x﹣2|+|y+2|=0，求x﹣y 的相反数．6.（2017·广东中考模拟）已知|a+3|+|b﹣5|=0，求：（1）a+b 的值；（2）|a|+|b|的值．考查题型二 有理数比较大小1．（2018·山东中考模拟）如果a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（ ）A ．b 为正数，c 为负数B ．c 为正数，b 为负数C ．c 为正数，a 为负数D ．c 为负数，a 为负数2．（2019·北京中考模拟）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b ＝0，那么下列结论正确的是（ ）A ．|a|＞|c|B ．a+c ＜0C ．abc ＜0D ．0ab =12．（2019·山东滨州市滨城区东城中学中考模拟）有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是( )①b ＜0＜a ； ②|b|＜|a|； ③ab ＞0； ④a﹣b ＞a+b ．A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4．（2018·湖北中考真题）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（ ）A ．0B ．﹣1C ．0.5D ．（﹣1）25．（2018·山东中考真题）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）A ．|a|＞|b|B ．|ac|=acC ．b ＜dD ．c+d ＞0知识点二 有理数四则运算⏹有理数的加法（重点）有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）4.一个数同0相加，仍得这个数。
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有理数第一课时复习（有理数定义、数轴、相反数、绝对值）一、知识点梳理1、有理数的分类：按定义分： 按性质符号分：有理数 *注意：①有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。
②0是整数不是分数③数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。
④不能简单理解为带“+”的数是正数，带“-”的数是负数。
⑤几个非负数相加的和为零则每个非负数都是零．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（中考常考考点）。
⑥有限小数和无限循环．．小数都可转化为分数，故这样的小数也叫分数。
拓展：无限不循环小数是无理数。
2、数轴（重点）：规定了原点、正方向、单位长度的直线 数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。
（4）同一数轴的单位长度必须一致所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。
数轴上的数从左到右的顺序依次增大，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的。
*注意：①数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。
②同一根数轴，单位长度不能改变。
3、相反数（重点）定义：只有符号不同．．．．的两个数叫做相反数．．．。
在数轴上分别位置原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。
例、a--b 的相反数是 ， a+b 的相反数是 ， 0的相反数是 4、有理数的大小比较方法一：①正数大于0,0大于负数，正数大于负数②两个负数，绝对值大的反而小方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0⎪⎩⎪⎨⎧<=>=0)(a a -)0a ( 0)0( a a a 5.绝对值（难点）绝对值的定义：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记为 ∣a ∣，读作：a 的绝对值因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。
即：任何数的绝对值都是正数（0的绝对值是0）从数轴上看，|a|表示数a 的点到远点的距离（长度，非负）；|a-b|表示数a 、数b 的两点间的距离。
绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身 （绝对值的计算法则） 2）一个负数的绝对值是它的相反数 3）0的绝对值是0即：★（取绝对值符号的计算为考点、难点、重点）绝对值的计算规律：（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等。
即：若a=-b 则；（2） 若，则a=b 或a=-b ；（3）若0,00===+b a b a 则 ★ （考点、重点） 6、倒数乘积是1的两个数互为倒数（0没有倒数）注：（1）自然数的倒数要先把它化成分母是1的假分数，再按调换分子、分母的方法来求倒数。
（2）真分数的倒数只要将分子、分母分别交换位置即可。
（3）求带分数的倒数要先把它化成假分数，再按调换分子、分母的方法来求倒数。
（4）求小数可以先把它化成分数再调换分子、分母来求倒数。
7、科学计数法 ★ （考点）把一个数表示成a （1≤a<10，n 为整数）与10的幂相乘的形式，这种记数法叫做科学记数法。
精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。
有效数字确定：从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字（包含末尾的零）。
对于用科学记数法表示的数a ×10n，规定它的有效数字就是a 中的有效数字。
（考点）8、加括号、去括号去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号。
添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在“－”号后边添括号，括到括b a =b a =号内的各项都要变号。
9、有理数加减法 ★★ （考点）加法法则： 1、同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号。
3、一个数同零相加，仍得这个数。
有理数加法的运算律：交换律：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++根据加法交换律和结合律可以得出：三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加。
10、有理数的乘除法: ★★ （考点）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与零相乘，都得零。
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a ÷b ＝a ·b 1(b ≠0)。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
乘法运算律：乘法交换律：ab ＝ba ，乘法结合律：（ab ）c ＝a （bc ）， 乘法分配律：a （b ＋c ）＝ab ＋ac 。
数字与字母相乘的书写规范：（重点）⑴数字与字母相乘，乘号要省略，或用“.”,⑵数字与字母相乘，当系数是1或－1时，1要省略不写, ⑶带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数.一般地，合并含有相同字母因数的式子时，只需将它们的系数合并，所得结果作为系数，再乘字母因数，即ax ＋bx ＝（a ＋b ）x 。
注意：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
几个数相乘，有因数为零，积就为零。
11、有理数的乘方：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在a n中，a 叫做底数，n 叫做指数，当a n看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂。
例：13-表示31，21可以表示成12-。
分数可以用乘方来表示。
注意：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
有理数经典练习题知识点一:有理数概念 （一）基础应用 1.判断下列说法是否正确①带“－”号的数都是负数。
②－a 一定是负数。
③不存在既不是正数，也不是负数的数。
④０℃表示没有温度。
2.下列说法正确的有（ ）①零是正数；②零是负数；③零是偶数；④零是奇数；⑤零是自然数 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.下列六个数：41313.021305-+--；；；；；，其中正数的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 （二）应用提高1.下列说法中正确的是 （ ）A.所有的正数都是整数B.不是正数的数一定是负数C.正有理数包括整数和分数D.0不是最小的整数 2.下列说法正确的是（ ）A.-a 是负数B.没有最小的正整数C.有最大的负整数D.有最大的正整数 3. 下列说法正确的是 ( ) ①0是绝对值最小的有理数 ②相反数大于本身的数是负数 ③数轴上原点两侧的数互为相反数 ④两个数比较，绝对值大的反而小A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④（三）中考真题1．（2015•山东威海）检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．从轻重的角度看，最接近标准的工件是（ ）A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．52.（2011•江苏南通）如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为A. －20mB. －40mC.20mD. 40m知识点二：数轴（一）基础应用1.在数轴上，表示+2的点在原点的侧，距离原点的距离是个单位长度；表示-3的点在原点的侧，距离原点的距离是各单位长度，表示+2的点在表示-3的点的侧。
2.如图所示，图中字母分别表示什么数？A表示；B表示；C表示；D表示；E表示；（二）应用提高1.如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点表示的数为（）A.30B.50C.60D.802．a,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示：把a,-a,b,-b按照从小到大的顺序排列 ( )A.-b＜-a＜a＜bB.-a＜-b＜a＜bC.-b＜a＜-a＜bD.-b＜b＜-a＜a4. 有理数a，b如图所示位置，则正确的是（）A.a+b>0B.ab>0C.b-a<0D.|a|>|b|5.已知三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断:①；②; ③; ④中，错误的个数是（）个A.1B.2C.3D.4（三）中考真题1.（2011•浙江省）如图，在数轴上点A表示的数可能是（）AA. 1.5B.－1.5C.－2.6D. 2.62.（2010•金华）如图若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是（ ）A ．a ＜1＜－aB ．a ＜－a ＜1C ．1＜－a ＜aD ．－a ＜a ＜1知识点三：相反数 （一）基础应用1.如果，那么，两个实数一定是 （ ）A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数 2.下列说法正确的是（ ）A.正数和负数互为相反数B.-b 是负数C.任何有理数都有相反数D.-0.25与41-不互为相反数 （二）应用提高1、如果| -a | = -a ，下列成立的是（ ）A .a<0 B.a ≦0 C.a>0 D.a ≧0（三）中考真题1.（2015•湖北荆州）﹣2的相反数是（ ）A ．2B ．﹣2C ．12 D ．－122. （2011•浙江丽水）下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．2和－2B ．－2和12C ．－2和－12D ．12和2 知识点四：比较大小 （一）基础应用1. （2011重庆市潼南）如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a 、b ，则a 、b 的大小关系为 .2．（2012贵州安顺）在、0、1、﹣2这四个数中，最小的数是（ ） A ．B ． 0C ． 1D ． ﹣217．（2012武汉）在2.5，﹣2.5，0，3这四个数种，最小的数是（ ） A ． 2.5 B ． ﹣2.5C ． 0D ． 3（二）应用提高 1.比较下列有理数的大小0=+b a a b 01A(第2题图)-（-5）与- -（+3）与0 2.下列各式中，正确的是( )A ．－|－6|＞0B ．|0.5|＞|－0.5|C ．45-＜56- D.13-＜03.若m>0，n<0，且|m|>|n|，用“>”把、、、连接起来。
（三）中考真题1.（2015辽宁大连）比较大小：3__________ －2(填>、<或=）2.（2015呼和浩特）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是 A.－3℃ B.15℃ C.－10℃ D.－1℃3.（2015•安徽省）在－4，2，－1，3这四个数中，比－2小的数是（ ）A ．－4B ．2C ．－1D ．3 知识点提高（探讨规律）1.观察：31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729 37=2187 38=6651……，根据以上的规律，判断数字32007的个位数字是_______.2.将正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则2009应在（ ）A ．A 处B ．B 处C ．C 处D ．D 处2. （2011山东日照，12，4分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（ ）A.第502个正方形的左下角B.第502个正方形的右下角C.第503个正方形的左上角D.第503个正方形的右下角3.（2011山东菏泽，14，3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是 ．5-4354---与14.3---与πm m -n n -知识点五：绝对值 （一）基础应用1.绝对值等于它本身的数有___________。