2016文科数学模拟
2016年高考文科数学仿真卷(全国新课标II卷)
2016年高考文科数学仿真卷(全国新课标II卷)2016年高考文科数学仿真卷（全国新课标II卷）本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分。
在答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，并按照规定进行答题。
选择题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B＝A。
{x|2≤x≤3}B。
{x|2≤x＜3}C。
{x|2＜x≤3}D。
{x|－1＜x＜3}2.(1－i)/(1＋i) + (1＋i)/(1－i) =A。
－1B。
1C。
－iD。
i3.a、b是两个单位向量，且(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为A。
30B。
60C。
120D。
1504.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4为A。
15B。
8C。
7D。
165.已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：x∈R，|x＋1|≤x，则A。
p∨q为真命题B。
p∨q为真命题C。
p∧q为真命题D。
p∧q为假命题6.空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A。
8＋25B。
6＋25C。
8＋23D。
6＋2327.执行右边的程序框图，则输出的S是A。
5040B。
4850C。
2450D。
25508.偶函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为奇函数，且f(1)＝1，则f(9)＋f(10)＝()A。
－2B。
－1C。
0D。
19.将函数f(x)＝sinωx（其中ω＞2π/6）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于x＝π对称，则ω的最小值是A。
6B。
392/443C。
443/392D。
2π/610.过双曲线2x^2－y^2＝2的点P(x0，y0)，作双曲线的渐近线，交x轴于点A，y轴于点B，过点P的切线交x轴于点C，y轴于点D，若AC=2BD，则x0y0=()A。
2016文科数学模拟试卷II及答案
2016文科数学模拟试卷II 及答案第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合M = {x | -3 < x < 4, x ∈R }，N =｛-3, -2, -1, 0, 1｝，则M ∩N =（A ）{-2, -1, 0, 1｝ （B ）{-3, -2, -1, 0} （C ）{-2, -1, 0} （D ）{-3, -2, -1}（2）⎪⎪⎪⎪21+i =（A ）2 2 （B ）2 （C ） 2 （D ）1（3）设x , y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x - y +1≥0x + y +1≥0 x ≤3, 则z = 2x -3y 的最小值是（A ）-7 （B ）-6 （C ）-5 （D ）-3（4）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b = 2，B = π6 错误！未找到引用源。
，C = π4 ，则△ABC 的面积为（A ）23 +2（B ）3 +1错误！未找到引用源。
（C ）23 -2 （D ）3 -1（5）设椭圆C ：x 2—a 2 + y2—b 2= 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2 =30o ，则C 的离心率为（A ）66（B ）13错误！未找到引用源。
（C ）12（D ）33错误！未找到引用源。
（6）已知sin2α = 23 错误！未找到引用源。
，则cos 2(α + π4（A ）16（B ）13（C ）12（D ）23（7）执行右面的程序框图，如果输入的N = 4，那么输出的S =（A ）1+ 12 + 13 + 14 错误！未找到引用源。
（B ）1+ 12 + 13×2 + 14×3×2（C ）1+ 12 + 13 + 14 + 15错误！未找到引用源。
2016年全国卷高考文科数学模拟试题(3)
1221ni ii n i i x y nx yb xnx==-=-∑∑2016年全国卷高考文科数学模拟试题(3)本试卷共4页，共23小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：线性回归方程系数：，a y bx =-．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合A ={1，2 , 3}，若集合B A ⊆，则满足条件的集合B 有（ ）个A ．3B ．7C.8D.92．函数2()log (2)f x x =-的定义域是( )A.(2,)+∞B. (2,3)(3,)⋃+∞C. [3,)+∞D. (3,)+∞3. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x =-，则=-)2(f ( )A ．2-B ．0C ．2D ．104.等差数列{}n a 中，若58215a a a -=+，则5a 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(12)a =，，(4)b x =，，若向量a b //，则x =( )A ．2B ． 2-C ． 8D ．8-6. 过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（ ）A ．0=xB ．1=y C ．01=-+y x D ．01=+-y x7.已知向量(cos ,2),(sin ,1),//tan()4a b a b πααα=-=-且，则 =（ ）A ．3B. 3-C.31 D .31- 8．直线02:=--+a y ax l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是A ．1B ．1-C ．2- 或1-D ．2-或19. 设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x 的最大值为（ ）A ．95B ．3C ．4D ．610. “22ab >”是 “22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11.若一个底面边长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．12. 设S 是至少含有两个元素的集合. 在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S,对于有序元素对(a,b)，在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应）。
2016年普通高等学校招生模拟考试数学(文)试题
机密★启用前2016年5月16日2016年普通高等学校招生模拟考试卷文科数学测试试卷注意事项：1、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上·2、作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·3、考试结束后，将本试卷和答题卡哦一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1，0，1}，则M∩N＝()．A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0} C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}2．复数2+i12i的共轭复数是()A．－i B．i C．－3i5D．3i53．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝() A．8 B．7 C．6 D．54．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)是奇函数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则() A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r16．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．B ．C ．4D ．7．如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B ．2A B为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数8．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )．A ．14B ．13C D9．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．30+B ．28+C ．56+D ．60+10．在平行四边形ABCD 中，π3A ∠=，边AB ，AD 的长分别为2，1. 若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD ==31，则AM AN ⋅= ( )． A ．4 B ．938 C ．940 D ．31411．若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A ．21e e xx－＞ln x 2－ln x 1 B ．21e e xx－＜ln x 2－ln x 1 C ．1221e e xxx x > D ．1221e e xxx x <12．设f(x)=⎩⎨⎧<-≥010sin x e x x x，， ，g(x)=|f(x |)－ax ，若函数g(x)存在2个或2个以上的零点，a的取值范围是( )A ．(－∞，－1) (1，+∞)B ．(－∞，－1) (0，π2]C ．(－1，0) (0，π2] D ． (－1，0) (0，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．14．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是__________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)15．直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，对任意正整数m ，n ，都有S m+n =S m S n ，则{a n }的通项公式为a n = .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－b2＋c2－ac=0(1)求B；(2)若sin A sin C，求C.18．如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD=2，△P AB和△P AD都是等边三角形．(1)证明：P A⊥BD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．19．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B．已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)从甲厂生产的产品中随机抽取100件，统计其等级系数得到下表，已知甲厂产品的等级系数X1的平均值为6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下；用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，估算乙厂产品达到A标准的概率．353385563 4634753485 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的零售价值产品的等级系数的平均；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．20．设椭圆1222=+y x上两个不同的点A 、B 关于直线y=kx +21对称(1)求k 的取值范围(2)k =1时，求三角形OAB 的面积21．设f (x )=x1+ln x ． (1)求f (x )的单调区间和最小值； (2)讨论f (x )与f (x1)的大小关系，证明你的结论； (3)求a 的取值范围，使得f(a)－f(x)<a1对任意x ＞0成立 22．选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．23．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．24．选修4—5：不等式选讲设函数()1||(0)f x x x a a a++>＝－． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．2016全国新课标卷 (文科答案)1 C2 A3 D 4B 5 C 6 B 7 D 8 A 9 A 10 B 11 C 12 D 13、 －6 14、 3 15、4316、⎩⎨⎧≥=-2,2121n n n ， 17、解：(1) a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-， 因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝1+22=故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°.18、(1)证明：取BD 的中点O ，连结PO ，则由已知PB ＝PA=PD 可得PO ⊥BD由AB=AD ，可得AO ⊥BD而PO 、AO 在平面APO 内，且相交，所以BD ⊥平面APO 而PA 在平面APO 内，所以P A ⊥BD(2)在RT ΔABD 中，可得AO=21BD =22由ΔPBD 与ΔABD 全等可得PO=AO=22. 由勾股定理可得：PO ⊥AO结合(1)PO ⊥BD ，故PO ⊥底面ABCD V=4221)21(223131=⨯+⨯⨯=⨯⨯ABCD S PO 19(1)a ＋b ＝50， (40＋5a ＋6b ＋1)/100＝6，解得a =30，b =20(2)X 2的概率如下：故P(X ≥5)=0.5 (3) 甲厂产品的性价比=66＝1 而X 2的平均值=(3×9＋4×6＋5×6＋6×3＋7×3＋8×3)/30＝4.8.； 乙厂产品的性价比=4.84＝1.2； 乙厂产品的性价比>甲厂产品的性价比，故乙厂的产品更具可购买性． 20(1)设l ：y=kx +21依题意，直线AB 与直线l 垂直，且线段AB 的中点在l 上 设AB ：x =－ky +m ，代入椭圆方程：(k 2+2)y 2－2kmx +m 2－2=0 判别式Δ＝8(k 2－m 2+2)AB 中点y 0=221y y +=22+k km ，x 0=－ky 0+m =222+k m代入直线l 方程中化简得22+k km =－21所以m =)0(222≠+-k k k由Δ>0，解得k <－36或k >36(2) |AB |=2)2(81||12222112+-++=-+k m k k y y k ， d O-AB =21||k m + S =21|AB |d =2)2(2||222+-+k m k m =42422228443||2)4)2(2(2k k k k k k k -+=+-+=4621、解：(1)f ’(x)=21x x -，令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，故(0，1)是f (x )的单调减区间， 当x ∈(1，＋∞)时，f g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是f (x )的单调增区间． 最小值为g (1)＝1.(2) 设h(x)=f(x)-f(x 1)=2lnx+x 1-x ，则22(1)()x h x x -'=-.当x ∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减， 当0＜x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0，即f (x )>f (x1)， 当x=1时，f (x )=f (x1) 当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0，即f (x )<f (x1)． (3)由(1)知，g (x )的最小值为1，所以1()()g a g x a -<，对任意x ＞0成立1()1,g a a⇔-<， 即ln a ＜1，从而得0＜a ＜e.22、(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF23、(1)曲线C 的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则|5sin()6|sin305d PA θα==+-︒，其中α为锐角，且4tan 3α=.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |当sin(θ＋α)＝1时，|P A |24、(1)由a ＞0，有()111||+2f x x x a x x a a a a a++≥+-(-)=≥＝－. 所以f (x )≥2. (2) ()133|3|f a a+＝+－.当a ＞3时，()13f a a +＝，由f (3)＜5得3a <<.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜53a <≤.综上，a 的取值范围是52⎫+⎪⎪⎝⎭。
2016年模拟考试答案(文科数学)
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试文科数学答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题（1）A（2）D （3）C （4）B （5）D （6）B （7）A（8）D （9）B （10）B （11）C （12）A 二．填空题（13）(1,)-+∞（14）3 （15）2n （16）94三．解答题（17）解：（Ⅰ）由23cos cos 23sin sin 2cos B C B C A +=+，得()23cos 22cos B C A ++=．………………………………………………………………………1 分 即22cos 3cos 20A A +-=．………………………………………………………………………2分 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=． 解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．………………………………………………………………4分 因为0A <<π，所以A π=3． ………………………………………………………………………6 分（Ⅱ）由1sin 2S bc A ===20bc =． 因为5b =，所以4c =．………………………………………………………………………8 分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得212516220=212a =+-⨯⨯，故a =10 分 根据正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===， 得5sin sin sin sin 7b c B C A A a a =⨯=．……………………………………………………………12 分（18）解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．……1分这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种． …………………………………………………………3 分 其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种．………………………………………………………………………5分 根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==． …………………………………………6 分 （Ⅱ）根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++=()21004515251560407030⨯-⨯⨯⨯⨯ ………………………………………8分 25 1.7914=≈． ………………………………………………………………………10 分 因为1.79 2.706<，………………………………………………………………………11 分所以没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”． ……………………12 分（19）（Ⅰ）证明：因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC . ………………………………………………………………………1 分在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1B B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，所以AD ⊥1B B . ………………………………………………………………………2 分因为BC ∩1B B ＝B ，所以AD ⊥平面11B BCC . ………………………………………………………………………3 分因为1B F ⊂平面11B BCC ，所以AD ⊥1B F . ………………………………………………………………………4 分在矩形11B BCC 中，因为11C F CD ==，112B C CF ==，所以Rt DCF ∆≌11Rt FC B ∆.所以∠CFD ＝∠11C B F .所以∠1=90B FD .（或通过计算1FD B F ==1B D =得到△1B FD 为直角三角形）所以1B F FD ⊥. ………………………………………………………………………5分因为AD ∩FD ＝D ，所以1B F ⊥平面ADF . ………………………………………………………………………6分（Ⅱ）解：因为1AD B DF ⊥平面，AD =因为D 是BC 的中点，所以1CD =. ………………………………………………………………7 分 在Rt △1B BD 中，1BD CD ==，13BB =，所以1B D == ………………………………………………………………8分因为1FD B D ⊥，所以Rt CDF ∆∽1Rt BB D ∆． 所以11DF CD B D BB =.所以133DF ==．………………………………………………………………………10 分所以11111332B ADF B DF V S AD -∆=⋅=⨯=.………………………………12 分（20）解：（Ⅰ）因为点F )在圆22:(16M x y +=内，所以圆N 内切于圆M . ………1 分 因为||NM +||4||NF FM =>， ………………………………………………………………………2 分 所以点N 的轨迹E是以()M ，F )为焦点的椭圆， ……………………………3 分且24,a c ==所以1b =． ………………………………………………………………………4分所以轨迹E 的方程为2214x y +=.………………………………………………………………………5 分 （Ⅱ）（1）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点）， 此时1||2ABC S OC ∆=⨯⨯||2AB =. …………………………………………………………………6 分 （2）当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =， 联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2222244,,1414A A k x y k k ==++ ………………………………………7 分 所以2||OA =2A x 2224(1)14Ak y k ++=+. ……………………………………………………………8 分由||||AC CB =知，ABC △为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC AB ⊥，所以直线OC 的方程为1y x k =-，由221,41,x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2224,4Ck x k =+2C y =24,4k +2224(1)||4k OC k +=+． ………………………………9分 2||||ABC OAC S S OA OC ∆∆==⨯=2=10分222(14)(4)5(1)22k k k ++++≤=， 所以85ABC S ∆…，当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立， 此时ABC △面积的最小值是85. …………………………………………………………………11 分 因为825>，所以ABC △面积的最小值为85， 此时直线AB 的方程为y x =或y x =-. …………………………………………………………12 分（21）解:（Ⅰ）因为()2mx f x x n=+， 所以2222222()2()()()m x n mx mx mn f x x n x n +--+'==++． …………………………………………………2 分 由()f x 在1x =处取到极值2，所以()10f '=，()12f =，即20(1) 2.1mn m n m n-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，解得4m =，1n =．经检验，此时()f x 在1=x 处取得极值. 所以24()1x f x x =+． ………………………………………………………………………4 分（Ⅱ）由（Ⅰ）知224(1)(1)()(1)x x f x x --+'=+，故()f x 在(1,1)-上单调递增， 由(1)2,(1)2f f =-=- 故()f x 的值域为[]2,2-. ………………………………………………5 分 从而173()22f x +≥． 所以总存在[]21,e x ∈，使得()()2172g x f x ≤+成立，只须3()2g x ≤最小值． …………6分 函数()ln a g x x x=+的定义域为()0,+∞，且221()a x a g x x x x -'=-=． ………………………7分 ① 当1a ≤时，()g x '＞0，函数()g x 在[]1,e 上单调递增， 其最小值为3(1)12g a =≤<，符合题意． …………………………………………………8分 ②当1e a <<时，在[)1,a 上有()0g x '<，函数()g x 单调递减，在(],e a 上有()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()ln 1g a a =+．由3ln 12a +≤，得0a <≤1a <≤. …………………………………10分 ③当e a ≥时，显然函数)(x g 在[]1,e 上单调递减， 其最小值为3(e)12e 2a g =+≥>，不合题意． ……………………………………………11 分综上所述，a 的取值范围为(-∞． ……………………………………………12 分 （22）解：（Ⅰ） 在ACB ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，所以2CD AD DB =⋅，……………………………………………………………………………2 分因为CD 是圆O 的切线，由切割线定理得2CD CE CB =⋅．，……………………………………………………………4 分所以CE CB AD DB ⋅=⋅． ，…………………………………………………………………5 分（Ⅱ）因为ON NF ⊥，所以NF ……………………………6分因为线段OF 的长为定值，即需求解线段ON 长度的最小值． ……………………7分弦中点到圆心的距离最短，此时N 为BE 的中点，点F 与点B 或E 重合． …………8分 因此max 122NF BE ==． ……………………………………………………………………10分（23）解：（Ⅰ）曲线1C ：112x t y t =+⎧⎨=-⎩，的直角坐标方程为32y x =-．………………………………1分 曲线1C 与x 轴交点为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………2 分 曲线2C ：cos ,3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩的直角坐标方程为22219x y a +=． ……………………………………3 分 曲线2C 与x 轴交点为(,0),(,0)a a -．……………………………………………………………4 分 由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，知32a =． …………………………5 分 （Ⅱ）当3a =时, 曲线2C ：3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩为圆229x y +=． …………………………6 分 圆心到直线32y x =-的距离d ==．…………………………………………8 分 所以,A B两点的距离5AB ===． ……………………10分（24）解：（Ⅰ）因为||||()x m x x m x m -+≥--=． …………………………………………2分要使不等式||||2x m x -+<有解，则||2m <，解得22m -<<． …………………………4分 因为*m ∈N ，所以1m =．………………………………………………………………………5 分 （Ⅱ）因为,1αβ≥，所以()()21214f f αβαβ+=-+-=，即3αβ+=．…………………………………………6 分 所以()411413αβαβαβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1453βααβ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1533⎛≥+= ⎝．……………………………………………8分 （当且仅当4βααβ=时，即2α=，1β=等号成立） …………………………………………9分 故413αβ+≥．……………………………………10分。
2016年高考数学调研卷(第一模拟)文(含解析)
2016年全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学（第一模拟）一、选择题：共12题1．已知集合A={x|x2+x-2=0},B={x|-x2+x=0},则A∩B=A.{-1,0}B.{0,1}C.{1}D.{0}【答案】C【解析】本题考查一元二次方程的解、集合的交运算.先求出两个集合A,B,再利用集合知识求解即可.因为A={-2,1},B={0,1},所以A∩B={1}.选C.2．已知(a+b i)·(1-2i)=5(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b的值为A.-1B.1C.2D.3【答案】D【解析】本题主要考查复数的乘法运算、复数相等的概念.解题时,先利用复数的乘法运算对已知条件进行运算,然后根据复数相等的概念求出a,b即可求解.因为(a+b i)(1-2i)=a+2b+(b-2a)i=5,故, 解得a=1,b=2,故a+b=3,选D.3．高三某班有学生56人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、33号、47号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为A.13B.17C.19D.21【答案】C【解析】本题主要考查系统抽样在实际问题中的应用,考查考生对基础知识的掌握情况.因为47-33=14,所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5+14=19.4．“x>1”是“log2(x-1)<0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查不等式的知识与充要关系的判断.分清条件和结论,根据充分条件、必要条件的定义判断是解题的关键.由log2(x-1)<0得0<x-1<1,即1<x<2,故“x>1”是“log2(x-1)<0”的必要不充分条件,选B.5．在约束条件下,目标函数z=x+2y的最大值为A.26B.24C.22D.20【答案】A【解析】本题主要考查线性规划的知识,数形结合是解决线性规划题目的常用方法.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,由z=x+2y得y=-x+,当y=-x+经过点C时,目标函数z=x+2y取得最大值,由得,即C(6,10),故目标函数z=x+2y的最大值为6+2×10=26,选A.6．已知角θ的终边经过点P(-1,-),则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=A.-B.C.-D.【答案】D【解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式、三角函数的求值等,考查考生的运算求解能力及转化思想.通解因为角θ的终边经过点P(-1,-),故tanθ=,故,由sin2θ+cos2θ=1可得cos2θ=,即cosθ=-,所以sinθ=-,sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=sin2θ+sinθcosθ-cos2θ=+(-)×(-)-,选D.优解因为角θ的终边经过点P(-1,-),故tanθ=,故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=sin2θ+sinθcosθ-cos2θ==,选D.7．执行如图所示的程序框图,若输出的结果为43,则判断框内应填入的条件是A.z≤42?B.z≤20?C.z≤50?D.z≤52?【答案】A【解析】本题考查程序框图的知识,解题时,要注意z的值是否满足输出结果,何时终止循环.运行程序:x=0,y=1,因为z=1不满足输出结果,则x=1,y=1,因为z=2×1+1=3不满足输出结果,则x=1,y=3,因为z=2×1+3=5不满足输出结果,则x=3,y=5,因为z=2×3+5=11不满足输出结果,则x=5,y=11,因为z=2×5+11=21不满足输出结果,则x=11,y=21,因为z=2×11+21=43满足输出结果,此时需终止循环,结合选项可知,选A.8．设各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n,且a4a8=32,则S11的最小值为A.22B.44C.22D.44【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质、前n项和公式,利用基本不等式求最值等知识.解答的关键是利用好基本不等式.因为数列{a n}为各项均为正数的等差数列,所以a4+a8≥2=8,S11=(a4+a8)≥×8=44,故S11的最小值为44,当且仅当a4=a8=4时取等号.选B.9．已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.6+B.10+C.10+D.6+【答案】B【解析】本题考查三视图、几何体的体积,考查考生的计算能力、空间想象能力.由三视图还原出几何体是解题的关键.由三视图可知该几何体是由一个各棱长均为2的正四棱锥、一个棱长为2的正方体和一个直三棱柱构成的,正方体的体积为2×2×2=8,三棱柱的体积为×2×1×2=2,棱长为2的正四棱锥的高为,故其体积为×2×2×,故该几何体的体积为8+2+=10+,选B.10．将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ<)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度得到y=sin x的图象,则函数f(x)的单调递增区间为A.[2kπ-,2kπ+],k∈ZB.[2kπ-,2kπ+],k∈ZC.[kπ-,kπ+],k∈ZD.[kπ-,kπ+],k∈Z【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、三角函数的图象变换等知识.先根据三角函数图象变换求出ω,φ的值,再求其单调区间.通解将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则函数变为y=sin(ωx+φ),再向左平移个单位长度得到的函数为y=sin[ω(x+)+φ]=sin(ωx++φ)=sin x,又ω>0,所以,又-≤φ<,所以ω=2,φ=-,f(x)=sin(2x-),由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.选C.优解将y=sin x的图象向右平移个单位长度得到的函数为y=sin(x-),将函数y=sin(x-)的图象上每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),则函数变为y=sin(2x-)=f(x),由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,选C.11．已知变量a,b满足b=-a2+3ln a(a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+上,则(a-m)2+(b-n)2的最小值为A. B. C.9 D.3【答案】A【解析】本题主要考查导数的几何意义、点到直线的距离公式,考查考生构造函数解决问题的意识、数据处理能力等,属于中上等难度题.将问题转化为函数图象上的动点与直线上的动点的距离问题,可用与已知直线平行的切线求解.由题意知,y=2x+表示斜率为2的直线,变量a,b满足b=-a2+3ln a,设函数f(x)=-x2+3ln x,则f'(x)=-x+,设当切线斜率为2时,函数f(x)图象的切点的横坐标为x0,则-x0+=2,∴x0=1,此时切点坐标为(1,-),切点到直线y=2x+的距离d=,∴(a-m)2+(b-n)2的最小值为d2=.12．已知双曲线C:-4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点M到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为A.+2B.+1C.-2D.-1【答案】D【解析】本题综合考查双曲线的方程、渐近线,抛物线的定义、性质等,考查考生分析问题、解决问题的能力.-4y2=1的右顶点坐标为(a,0),一条渐近线为x-2ay=0.由点到直线的距离公式得d=,解得a=或a=-(舍去),故双曲线的方程为-4y2=1.因为c==1,故双曲线的右焦点为(1,0),即抛物线的焦点为(1,0),所以p=2,x=-1是抛物线的准线,因为点M到y轴的距离为d1,所以到准线的距离为d1+1,设抛物线的焦点为F,则d1+1=|MF|,所以d1+d2=d1+1+d2-1=|MF|+d2-1,焦点到直线l的距离d3=,而|MF|+d2≥d3=,所以d1+d2=|MF|+d2-1≥-1,选D.二、填空题：共4题13．设向量a,b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,则(-3a+b)·(a+2b)=.【答案】0【解析】本题主要考查向量的模与夹角、向量的数量积等,考查考生的运算能力.因为向量a,b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,所以a·b=|a|·|b|cos 60°=1×2×=1,则(-3a+b)·(a+2b)=-3a2-6a·b+a·b+2b2=-3-5+8=0.14．已知在平面直角坐标系中,O(0,0),A(2,4),B(6,2),则三角形OAB的外接圆的方程是.【答案】x2+y2-6x-2y=0【解析】本题主要考查三角形的外接圆等知识.有两种方法解决,一是待定系数法,设出圆的一般方程,求出D,E,F即可,二是先判断出三角形OAB为直角三角形,再利用直角三角形的性质求出其外接圆的方程.解法一设三角形OAB的外接圆方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意可得,解得,故三角形OAB的外接圆的方程是x2+y2-6x-2y=0.解法二因为直线OA的斜率k OA==2,直线AB的斜率k AB==-,k AB×k OA=2×(-)=-1,所以三角形OAB 是直角三角形,点A为直角顶点,OB为斜边,因为|OB|=,故外接圆的半径r=,又OB的中点坐标为(3,1),故三角形OAB的外接圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=10,即x2+y2-6x-2y=0.15．已知棱长均为a的正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为的球面上,则a的值为.【答案】1【解析】本题主要考查球的内接三棱柱等,考查考生的空间想象能力与运算能力.设O是球心,D是等边三角形A1B1C1的中心,则OA1=,因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a,所以A1D=a×a,OD=,故A1D2+OD2=(a)2+()2=()2,得a2=,即a2=1,得a=1.16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且S1,S2+2,S3成等差数列,记数列{a n·(2n+1)}的前n项和为T n,则T n=.【答案】2-(1-2n)×2n+1【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、错位相减法求和.利用已知条件可以求出{a n}的通项公式,再利用错位相减法求和即可.设数列{a n}的公比为q,由可得4+4q+4=2+2+2q+2q2,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),∴a n=2n(n∈N*),a n·(2n+1)=(2n+1)×2n,故T n=3×2+5×22+…+(2n+1)×2n,则2T n=3×22+5×23+…+(2n+1)×2n+1,故-T n=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1=6+2×-(2n+1)×2n+1=-2+(1-2n)×2n+1,故T n=2-(1-2n)×2n+1.三、解答题：共8题17．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,.(1)求角A的大小;(2)求△ABC的面积的最大值.【答案】(1)根据正弦定理,由可得,,∴b2-a2=bc-c2,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=,∵A∈(0,π),∴A=.(2)由a=2及余弦定理可得cos A=,故b2+c2=bc+4.又bc+4=b2+c2≥2bc,∴bc≤4+2,当且仅当b=c=时等号成立.故所求△ABC的面积的最大值为×(4+2)×+1.【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,基本不等式及三角形的面积公式等,考查了考生的计算能力,属于中档题.(1)利用正弦定理与余弦定理即可得出;(2)先利用余弦定理、基本不等式求出bc的最大值,再利用三角形的面积计算公式即可得出.【备注】解三角形的常见类型和方法:(1)已知两角和一边,首先根据内角和求出第三角,再用正弦定理、余弦定理求解相关问题;(2)已知两边和夹角,先用余弦定理求出第三边,再用正弦定理求另两角,必有一解;(3)已知三边可先应用余弦定理求对应的三个角,再求解相关问题.18．某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.【答案】(1)由题意知,样本数据的平均数=12.(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为,由此估计这90个服务网点中有90×=30个优秀服务网点.(3)由于样本中优秀服务网点有2个,分别记为a1,a2,非优秀服务网点有4个,分别记为b1,b2,b3,b4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3), (b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共15种,记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M,则事件M包含的可能情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共8种,故所求概率P(M)=.【解析】本题主要考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识.(1)先根据茎叶图读出数据,再利用公式求解即可;(2)利用样本估计总体的知识即可得出;(3)先利用列举法将满足条件的情况逐一列出来,再利用古典概型的概率计算公式解答.【备注】概率与统计解答题是近几年新课标高考的热点考题,利用茎叶图解答实际问题是当今命题的热点与亮点.这类题往往借助于熟悉的知识点,结合实际生活中比较新颖的问题进行命题,在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,往往对分层抽样、系统抽样比较偏重,考生只有正确处理茎叶图,读准数据,掌握古典概型的概率的计算,考试时才不会失分.19．在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,四边形ADEF是正方形,AB∥DC,AB=AD=1,CD=2,AC=EC=.(1)求证:平面EBC⊥平面EBD;(2)设M为线段EC上一点,且3EM=EC,试问在线段BC上是否存在一点T,使得MT∥平面BDE,若存在,试指出点T的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(1)因为AD=1,CD=2,AC=,所以AD2+CD2=AC2,所以△ADC为直角三角形,且AD⊥D C.同理,因为ED=1,CD=2,EC=,所以ED2+CD2=EC2,所以△EDC为直角三角形,且ED⊥DC.又四边形ADEF是正方形,所以AD⊥DE,又AD∩DC=D,所以ED⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以ED⊥BC.在梯形ABCD中,过点B作BH⊥CD于点H,故四边形ABHD是正方形,所以∠ADB=45°,BD=.在Rt△BCH中,BH=CH=1,所以BC=,故BD2+BC2=DC2,所以BC⊥BD.因为BD∩ED=D,BD⊂平面EBD,ED⊂平面EBD,所以BC⊥平面EBD,又BC⊂平面EBC,所以平面EBC⊥平面EBD.(2)在线段BC上存在一点T,使得MT∥平面BDE,此时3BT=BC.连接MT,在△EBC中,因为,所以MT∥EB.又MT⊄平面BDE,EB⊂平面BDE,所以MT∥平面BDE.【解析】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系等,考查考生的推理论证能力、空间想象能力及运算求解能力.(1)先利用勾股定理证明△ADC、△EDC 是直角三角形,最后证明平面EBC⊥平面EBD;(2)是探究性问题,先利用分析法找到点T,再进行证明.【备注】与平行、垂直有关的探究性问题是高考常考题型之一,解答的基本思路是先根据条件猜测点的位置,再给出证明.在探究点的存在性问题时,点多为中点、三等分点等特殊点,有时也需结合平面几何知识找点.20．设F1、F2分别是椭圆E:+=1(b>0)的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,且·的最大值为1.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=ky-1与椭圆E交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(O为坐标原点),求k的取值范围.【答案】(1)解法一易知a=2,c=,b2<4,所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-4+b2=x2+b2--4+b2=(1-)x2+2b2-4.因为x∈[-2,2],故当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,·有最大值1,即1=(1-)×4+2b2-4,解得b2=1.故所求椭圆E的方程为+y2=1.解法二由题意知a=2,c=,b2<4,所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则·=||·||·cos∠F1PF2=||·||·[+y2++y2-16+4b2]=(1-)x2+2b2-4.因为x∈[-2,2],故当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,·有最大值1,即1=(1-)×4+2b2-4,解得b2=1.故所求椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+4)y2-2ky-3=0,Δ=(-2k)2+12(4+k2)=16k2+48>0,故y1+y2=,y1·y2=.又∠AOB为锐角,故·=x1x2+y1y2>0,又x1x2=(ky1-1)(ky2-1)=k2y1y2-k(y1+y2)+1,所以x1x2+y1y2=(1+k2)y1y2-k(y1+y2)+1=(1+k2)·-+1=>0,所以k2<,解得-<k<,故k的取值范围是(-,).【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.(1)先设P(x,y),表示出F1、F2的坐标,然后求出、,得到·关于x的表达式,利用·的最大值求得b2的值,进而可求出椭圆的方程;(2)将x=ky-1与椭圆方程联立消去x,利用根与系数的关系表示出y1+y2和y1y2,由∠AOB为锐角可得x1x2+y1y2>0,将x1=ky1-1,x2=ky2-1代入求得x1x2+y1y2关于k的表达式,解不等式求出k的取值范围.【备注】每年高考试题都有一道解析几何的解答题,此题难度中等偏上,综合考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题和直线与圆锥曲线的位置关系等知识.由于解析几何解答题的综合性较强,对考生的能力要求较高,所以解答这类问题时,要注意观察问题的个性特征,熟练运用圆锥曲线的几何性质,以减少解题过程中的运算量.21．已知函数f(x)=ax2-ln x+1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当a=1时,f(x)>x2+在(1,+∞)上恒成立.【答案】(1)由于f(x)=ax2-ln x+1(a∈R),故f'(x)=2ax-(x>0).①当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.②当a>0时,令f'(x)=0,得x=.当x变化时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(0,)(,+∞)f'(x) -0 +f(x) ↘极小值↗由表可知,f(x)在(0,)上是单调递减函数,在(,+∞)上是单调递增函数.综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞).(2)当a=1时,f(x)=x2-ln x+1,设F(x)=x2-ln x+1-x2-x2-ln x-,则F'(x)=x->0在(1,+∞)上恒成立,∴F(x)在(1,+∞)上为增函数,且F(1)=0,即F(x)>0在(1,+∞)上恒成立,∴当a=1时,f(x)>x2+在(1,+∞)上恒成立.【解析】本题考查运用导数知识求函数的单调区间及不等式的恒成立问题,涉及分类讨论、构造法等思想方法.第(1)问是求函数的单调区间问题,对f(x)求导,分a≤0和a>0进行讨论,进而求出单调区间;第(2)问通过构造函数,利用函数的单调性进行证明.【备注】函数的单调性、极值、最值是高考命题的重点与热点,函数与不等式等结合的题目往往成为考卷的压轴题,因而预计2016年高考对函数的单调性、极值、最值等问题还会继续考查,但已知条件中函数表达式的结构形式不会太复杂,因而本题试图在函数表达式较简单的基础上加大问题设置上的难度,在不增加考生题意理解难度的基础上,力争考查更多的知识.22．如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,延长BA和CD相交于点P,BD为☉O的直径,过点C 作CE⊥BD于点E,BE=,AD=,,.(1)求BC的值;(2)求sin∠BDC的值.【答案】(1)因为四边形ABCD是☉O的内接四边形,所以∠PAD=∠PCB,又∠P=∠P,所以△PAD∽△PC B.设PA=a,PD=b,则有,即,故b=a,所以.又AD=,所以BC=4.(2)由BD为☉O的直径可知,BC⊥CD,又CE⊥BD,所以在Rt△BCD中,由射影定理知,BC2=BE·BD,故42=·BD,解得BD=3.故sin∠BDC=.【解析】本题考查圆内接四边形的性质、三角形相似、射影定理等.对于第(1)问要先得到△PAD 与△PCB相似,再利用已知条件得到比例关系式,即可求出BC的值;对于第(2)问要充分利用射影定理求出BD的值,进而求解sin∠BDC的值.【备注】与圆有关的证明或计算问题是高考考查的重点内容,它主要以圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等作为证明角相等的依据,以圆的切割线定理、相交弦定理作为证明线段成比例的依据,以圆内接四边形的有关性质作为证明四点共圆的依据.求解时要依据图形,合理推理,准确转化,必要时需要借助辅助线将问题转化.23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+k sinθ)=-2(k为实数).(1)判断曲线C1与直线l的位置关系,并说明理由;(2)若曲线C1和直线l相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的斜率.【答案】(1)由曲线C1的参数方程可得其普通方程为(x+1)2+y2=1.由ρ(cosθ+k sinθ)=-2可得直线l的直角坐标方程为x+ky+2=0.因为圆心(-1,0)到直线l的距离d=≤1,所以直线与圆相交或相切,当k=0时,直线l与曲线C1相切;当k≠0时,直线l与曲线C1相交.(2)由于曲线C1和直线l相交于A,B两点,且|AB|=,故圆心到直线l的距离d=,解得k=±1,所以直线l的斜率为±1.【解析】本题考查曲线的参数方程及直线的极坐标方程,考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等.【备注】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消元法、加减消元法、恒等式(三角的或代数的)消元法;极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是用好公式:.24．设函数f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)解不等式f(x)≥0;(2)若f(x)+2|x-1|≥m对任意的实数x均成立,求m的取值范围.【答案】(1)通解f(x)≥0等价于|x+3|≥|x-1|,当x>1时,|x+3|≥|x-1|等价于x+3≥x-1,即3≥-1,不等式恒成立,故x>1;当-3≤x≤1时,|x+3|≥|x-1|等价于x+3≥1-x,解得x≥-1,故-1≤x≤1;当x<-3时,|x+3|≥|x-1|等价于-x-3≥1-x,即-3≥1,无解.综上,原不等式的解集为{x|x≥-1}.优解f(x)≥0等价于|x+3|≥|x-1|,即(x+3)2≥(x-1)2,化简得8x≥-8,解得x≥-1,即原不等式的解集为{x|x≥-1}.(2)f(x)+2|x-1|=|x+3|-|x-1|+2|x-1|=|x+3|+|x-1|≥|x+3-(x-1)|=4,要使f(x)+2|x-1|≥m 对任意的实数x均成立,则[f(x)+2|x-1|]min≥m,所以m≤4.【解析】第(1)问主要考查绝对值不等式的解法,可以利用分类讨论思想进行解答,也可以两边先平方然后化简求解;第(2)问主要考查绝对值不等式的恒成立问题,利用绝对值不等式的意义求出最小值即可解决.。
2016年 高考数学文模拟试卷
2016年高考模拟试题 数学试题(文科)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，{|22}B x x =-<<，则A B = （A ）{|12}x x -≤≤ （B ）{|12}x x -≤< （C ）{|12}x x -<< （D ）{|21}x x -<≤2．在ABC ∆中，“4A π=”是“cos 2A =”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为 （A ）3:1 （B ）2:1（C ）1:1（D ）1:24．设147(9a -=，159()7b =，27log 9c =，则a, b, c 的大小顺序是 （A ）b a c << （B ）c a b << （C ）c b a << （D ）b c a <<5．已知n m ,为空间中两条不同的直线，βα,为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（A ）若βα//,//m m ，则βα//（B ）若,m m nα⊥⊥，则//n α（C ）若n m m //,//α，则α//n （D ）若βα//,m m ⊥，则βα⊥正视图侧视图俯视图6．已知实数,x y 满足402020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z y x =-的最大值是 （A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）67．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 8．已知菱形ABCD 边长为2，3B π∠=，点P 满足AP AB λ= ，λ∈R ．若3BD C P ⋅=-，则λ的值为（A ）12 （B ）12-（C ）13 （D ） 13-9．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若E 上存在点P 使12F F P ∆为等腰三角形，且其顶角为23π，则22a b 的值是 （A ）43（B） （C ）34 （D）10．已知函数232log (2),0()33,x x k f x x x k x a -≤<⎧=⎨-+≤≤⎩ .若存在实数k 使得函数()f x 的值域为[1,1]-，则实数a 的取值范围是（A）3[,12 （B）[2,1 （C ）[1,3]（D ） [2,3]第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．设复数z 满足i (32i)(1i)z -=+-（其中i 为虚数单位），则z = ．12．已知函数3()sin 1f x x x -=++.若()3f a =，则()f a -= ．13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙.则x >甲x 乙的概率是 ．14. 已知圆422=+y x ，过点(0,1)P 的直线l 交该圆于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB∆面积的最大值是 ．15．某房地产公司要在一块矩形宽阔地面（如图）上开发物业 ，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线2413y x=-的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M ，N ．则当能开发的面积达到最大时，OM 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 的公比1q >，且212()5n n n a a a +++=．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）若2510a a =，求数列{}3nn a 的前n 项和n S ．17．（本小题满分12分） 有编号为129,,,A A A 的9道题，其难度系数如下表：其中难度系数小于0.50的为难题．（Ⅰ）从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率； （Ⅱ）从难题中随机抽取2道，求这两道题目难度系数相等的概率． 18．（本小题满分12分）已知函数2251()cos cos sin 424f x x x x x=--．（Ⅰ）求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合；（Ⅱ）设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3cos 5B =，1()4f C =-，求s i nA的值．19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且FD = （Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=︒，求几何体EFABCD 的体积．20．（本小题满分13分）已知椭圆22:132x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P为椭圆上异于,A B 的任意一点.（Ⅰ）求直线PA 与PB 的斜率之积；（Ⅱ）过点(Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点.证明：以MN 为直径的圆恒过点A .21．（本小题满分14分）已知函数21()(1)ln ()2f x ax a x x a =-++-∈R ．（Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a =时，设函数()()(2)2g x xf x k x =-++.若函数()g x 在区间1[,)2+∞上有两个零点，求实数k 的取值范围．数学（文科）参考答案及评分意见 第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．A ； 8．A ； 9．D ； 10．B ． 第II 卷（非选择题，共100分）二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．15i +； 12．-1； 13．25； 14．3； 15．1．三、解答题：(本大题共6小题，共75分)16．解：（Ⅰ） 212()5,n n n a a a +++=22()5.n n n a a q a q ∴+= 由题意，得0n a ≠，∴22520.q q -+= 2q ∴=或1.21q >，2.q ∴= ……………………6分 （Ⅱ）2510,a a =42911().a q a q ∴= 12a ∴=.∴112.n nn a a q -==∴2().33nn na =∴122[1()]2332.2313n n n n S +-==-- ……………………12分17．解：（Ⅰ）记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件M ，9道题中难题有1A ，4A ，6A ，7A 四道.∴4().9P M = ……………6分 （Ⅱ）记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件N ，则基本事件为：14{,}A A ，16{,}A A ，17{,}A A ，46{,}A A ，47{,}A A ，67{,}A A 共6个；难题中有且仅有6A ，7A 的难度系数相等.∴1().6P N = ……………12分 18．解：（Ⅰ）2251()cos cos sin 44f x x x x x=-5sin 231cos 24222x x -=-⨯13(cos 22)24x x =--+1).23x π=-- ……………………3分要使()f x 取得最大值，须满足sin(2)3x π-取得最小值. ∴22,32x k k ππ-=π-∈Z.∴,12x k k π=π-∈Z. ……………………5分∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12x x k k π=π-∈Z ……………………6分（Ⅱ）由题意，得sin(2)3C π-=(0,),2C π∈ 22(,).333C πππ∴-∈-3C π∴=………………9分 (0,)2B π∈ ，4sin .5B ∴=sin sin()sin coscos sin A B C B C B C ∴=+=+4134525210+=⨯+⨯= ………………12分19．解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接.HDEH ∴平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊆平面BCE ，平面ABCD 平面BCE 于BC ，∴EH ⊥平面.ABCD又FD ⊥ 平面ABCD ，FD =//.FD EH ∴∴四边形EHDF 为平行四边形.//.EF HD ∴EF ⊄ 平面ABCD ，HD ⊆平面,ABCD //EF ∴平面.AB C ………6分（Ⅱ）连接,CF HA .由题意,得HA BC ⊥.HA ⊆平面,ABCD 平面ABCD ⊥平面BCE 于BC ， ∴HA ⊥平面BCE .//FD EH ，EH ⊆平面BCE ，FD ⊄平面BCE ， //FD ∴平面.BCE同理，由//HB DA 可证，//DA 平面.BCEFD DA 于D ，FD ⊆平面ADF ，DA ⊆平面ADF ， ∴平面BCE //平面.ADFF ∴到平面BCE 的距离等于HA 的长. FD 为四棱锥F ABCD -的高, EFABCD F BCE F ABCD V V V --∴=+1133BCE ABCD S HA S FD =⨯+⨯1133=⨯3.= ……………………………12分20．解：（Ⅰ）(A B .设点(,)P x y (0)y ≠.则有22132x y +=，即22222(1)(3).33x y x =-=-223PA PBy k k x ∴⋅==-222(3)23.33x x -==-- ……………………4分（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ， MN 与x 轴不重合，∴设直线:)MN l x ty t =∈R .由22,2360x ty x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩得22144(23)0.25t y +-=由题意,可知0∆>成立，且122122523.1442523y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩……（*）11221212()()(AM AN x y x y ty ty y y ⋅=+=+++2121248(1)().25t y y y y =+++将（*）代入上式，化简得2222214414448484823482525250.2325252325t t t AM AN t t --++⋅=+=-⨯+=++∴AM AN ⊥，即以MN 为直径的圆恒过点A ． ………………13分21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)()(0).ax x f x a x --'=->①当(0,1)a ∈时，11a >.由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈，1(,)x a ∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a +∞. ②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞.③当(1,)a ∈+∞时，11a <.由()0f x '<，得1x >或1x a <.∴当1(0,)x a ∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为1(0,)a ,(1,)+∞. 综上，当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a +∞；当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,)a ,(1,)+∞. ………6分 （Ⅱ）2()ln (2)2g x x x x k x =--++在1[,)2x ∈+∞上有零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1[,)2x ∈+∞上有两个不相等的实数根.令函数2ln21 (),[,)22x x xh x xx-+=∈+∞+.则2232ln4()(2)x x xh xx+--'=+. 令函数21()32ln4,[,)2p x x x x x=+--∈+∞.则(21)(2)()x xp xx-+'=在1[,)2+∞上有()0p x'≥.故()p x在1[,)2+∞上单调递增.(1)0p=，∴当1[,1)2x∈时，有()0p x<即()0h x'<.∴()h x单调递减；当(1,)x∈+∞时，有()0p x>即()0h x'>，∴()h x单调递增.19ln2()2105h=+，(1)1,h=10210ln21021023(10)12123h--=>=>1()2h，∴k的取值范围为9ln2(1,].105+…………14分。
2016届全国统一高考数学模拟试卷(文科)(新课标i)解析版
2016年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•临汾一模）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．2．（5分）（2016•宜宾模拟）若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，93．（5分）（2015•西城区二模）“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2016春•湖北月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里5．（5分）（2016•临汾一模）已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）（2016春•荆州校级月考）设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．7．（5分）（2016•临汾一模）执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}8．（5分）（2011•武昌区模拟）圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a ﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）9．（5分）（2016•临汾一模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．10．（5分）（2015秋•海淀区期末）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．211．（5分）（2016春•宜昌期中）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π12．（5分）已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设（i为虚数单位），则=．14．（5分）已知向量，且，则=．15．（5分）（2016•连江县校级模拟）已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为．16．（5分）（2015秋•云南校级月考）函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•临汾一模）某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．18．（12分）（2014•广东校级模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．19．（12分）（2016•临汾一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n ∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）（2016春•湖北月考）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P 与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．21．（12分）（2016•新余校级一模）已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．（10分）（2016•临汾一模）如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•临汾一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．（2016•临汾一模）已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．2016年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•临汾一模）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．【分析】结合已知条件即可求解．观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，∴（∁A）={3，5，6}，∵B={1，3，5}，∴B∩（∁A）={3，5}．故选：B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2．（5分）（2016•宜宾模拟）若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数为，方差为32•σ2．【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+1=3×5+1=16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的方差是32×2=18．故选：C．【点评】本题考查一组数据的平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差性质的合理运用．3．（5分）（2015•西城区二模）“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用双曲线的定义求出m的等价条件是解决本题的关键．4．（5分）（2016春•湖北月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步故选：C【点评】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）（2016•临汾一模）已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得渐近线方程，由题意可得=，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=4，b=6，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，设一个焦点为（c，0），可得=6，可得c=2，即a2+b2=52，解得a=4，b=9，则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）（2016春•荆州校级月考）设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．【分析】求导y′=cosx，从而可得y=x2g（x）=x2cosx，从而判断．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，由导数的几何意义知，g（x）=cosx，故y=x2g（x）=x2cosx，故函数y=x2g（x）是偶函数，故排除A，D；又∵当x=0时，y=0，故排除C，故选B．【点评】本题考查了导数的运算及导数的几何意义的应用，同时考查了数形结合的思想应用．7．（5分）（2016•临汾一模）执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}【分析】由框图知程序功能是计算并输出y=的值，由题意分类讨论即可得解．【解答】解：由框图知程序功能是计算并输出y=的值，当x＞0时，令x2﹣x=2，解得x=2或﹣1（舍去）；当x＜0时，令x2+x=2，解得x=﹣2或1（舍去）；故输入的值构成的集合是：{﹣2，2}．故选：D．【点评】本题考查了程序框图中的条件结构，条件结构的特点是，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，算法不循环执行，属于基础题．8．（5分）（2011•武昌区模拟）圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a ﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）【分析】由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出a＜2，从而利用不等式的性质求出a﹣b的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，∴圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，故﹣3=1+2b，∴b=﹣2．对于圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0，有4+36﹣20a＞0，∴a＜2，a﹣b=a+2＜4，故选A．【点评】本题考查圆关于直线对称的条件是圆心在直线上，以及圆的半径必须大于0．9．（5分）（2016•临汾一模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．【分析】分别过C，D作AB的垂线DE，CF，则通过计算可得四边形DEFC为矩形，于是CD=EF=AB﹣AE+BF．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB延长线于F，则DE∥CF，∠CBF=60°．DE=ADsinA==，CF=BCsin∠CBF=（）×=．∴四边形DEFC是矩形．∴CD=EF=AB﹣AE+BF．∵AE=ADcosA==，BF=BCcos∠CBF=（）×=．∴CD=1﹣+=．故选：A．【点评】本题考查了解三角形，属于基础题．10．（5分）（2015秋•海淀区期末）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）（2016春•宜昌期中）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．【点评】本题考查三视图，考查四面体的外接球的体积，确定三视图对应直观图的形状是关键．12．（5分）已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]【分析】为去绝对值号，讨论a：（1）a＜0时，根据指数函数和增函数的定义便可判断函数在[，3]上单调递增，从而需满足g（﹣）≥0，这样可得到﹣1≤a ＜0；（2）a=0时，显然满足条件；（3）a＞0时，得到f（x）=，并可判断x=时取等号，从而需满足，可解出该不等式，最后便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＜0时，函数在上单调递增；∴；∴﹣1≤a＜0；（2）当a=0时，f（x）=2x+1在上单调递增；（3）当a＞0时，，当且仅当，即x=时等号成立；∴要使f（x）在[]上单调递增，则；即0＜a≤1；综上得，实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选B．【点评】考查含绝对值函数的处理方法：取绝对值号，以及指数函数的单调性，增函数的定义，基本不等式的运用，清楚基本不等式等号成立的条件，指数式和对数式的互化，以及对数函数的单调性．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设（i为虚数单位），则=2﹣i．【分析】直接由复数求模公式化简复数z，则答案可求．【解答】解：由=，则=2﹣i．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数求模公式的运用，是基础题．14．（5分）已知向量，且，则=5．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出x的值，再求的值．【解答】解：向量，且，∴•=x﹣2=0，解得x=2，∴﹣2=（﹣3，4）；==5．故答案为：5．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，也考查了向量模长的计算问题，是基础题目．15．（5分）（2016•连江县校级模拟）已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为2．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=5，所以x P=4，|y P|=4，所以，△PFO的面积S==．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．16．（5分）（2015秋•云南校级月考）函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是4．【分析】由题意可得，本题即求函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，数形结合得出结论．【解答】解：满足的x的个数n，即为函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，如图所示，存在k∈（﹣∞，0），使得n取到最大值4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的特征，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•临汾一模）某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．．【分析】（I）根据表格数据计算；（II）采用独立检验方法列联表计算K2，与6.635比较大小得出结论；（III）根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理．【解答】解：（1）调查的500处种植点中共有120处空气质量差，其中不绝收的共有110处，∴空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例．∴K2=≈9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“．（3）由（2）的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好．【点评】本题考查了独立性检验的体积思想，属于基础题．18．（12分）（2014•广东校级模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…（1分），∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…（2分），又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°…（3分）∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…（4分），∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…（5分），∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…（6分），∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…（7分）．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…（8分）∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…（9分），可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…（10分）．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…（12分），∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…（14分）【点评】本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．19．（12分）（2016•临汾一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n ∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）讨论可判断出数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，从而结合8a2=3a1+a3+13可得λ2﹣4λ+4=0，从而解得；（Ⅱ）化简可得b n=，从而可得T n=1+++…+，T n=+++…+，利用错位相减法求其前n项和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1=（λ+1）S n+1，∴当n≥2时，a n=（λ+1）S n﹣1+1，∴a n+1﹣a n=（λ+1）a n，即a n+1=（λ+2）a n，又∵λ≠﹣2，∴数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，故a2=λ+2，a3=（λ+2）2，∵3a1，4a2，a3+13成等差数列，∴8a2=3a1+a3+13，代入化简可得，λ2﹣4λ+4=0，故λ=2，故a n=4n﹣1；（Ⅱ）∵a n b n=log4a n+1=n，∴b n=，故T n=1+++…+，T n=+++…+，故T n=1+++…+﹣=（1﹣）﹣，故T n=﹣．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了错位相减法的应用．20．（12分）（2016春•湖北月考）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P 与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出圆M和圆N的圆心及半径，设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．由圆P与圆M外切并与圆N内切，得到曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），由此能求出C的方程．（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．【解答】解：（Ⅰ）圆M：（x+1）2+y2=1的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N的圆心N（1，0），半径r2=3．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．∵圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+r1+r2﹣R=r1+r2=4．…（3分）由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），∴C的方程为．…（5分）（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，…（7分）由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0，即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③…（9分）将①代入③即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．…（12分）【点评】本题考查曲线方的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义、根的判别式、韦达定理的合理运用．21．（12分）（2016•新余校级一模）已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），（8分）因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，（10分）设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．（12分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．选修4-1：几何证明与选讲22．（10分）（2016•临汾一模）如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．【分析】（1）通过证明△AME∽△ONE，即可推出结果．（2）利用（1）的结论，设OE=x，求解x，然后在直角三角形中求解即可．【解答】（1）证明：∵M、N分别是AF、AB的中点．∴∠AME=∠ONE=90°，又∵∠E=∠E，∴△AME∽△ONE，∴，∴OE•ME=NE•AE．（2）设OE=x，（x＞0），∵BE==，∴NE=2，AE=3，又∵OM=，∴x=2，即：（x﹣4）（2x+9）=0，∵x＞0，∴x=4，即OE=4，则在Rt△ONE中，cos∠E===∴∠E=30°．【点评】本题考查三角形相似的判断与应用，直角三角形的解法，考查计算能力．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•临汾一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．【分析】（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα即可得出曲线C的参数方程，直线l过原点，且斜率为tanθ，利用点斜式方程写出直线l的方程；（2）解方程组求出A，B坐标，得到AB，则P到AB的最大距离为C到AB的距离与圆C 的半径的和．【解答】解：（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα，则x=2+cosα，y=3+sinα，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．直线l的斜率k=tanθ=1，∴直线l的直角坐标方程为y=x．（2）解方程组得或．设A（2，2），B（3，3）．则|AB|==．∵圆C的圆心为C（2，3），半径r=1，∴C到直线AB的距离为=．∴P到直线AB 的最大距离d=+1．∴△PAB面积的最大值为=．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，距离公式的应用，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2016•临汾一模）已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．【分析】（Ⅰ）将k=4代入g（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，根据x的范围求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）k=4时，f（x）+g（x）＜9，即|x﹣3|+|x﹣4|＜9，即或或，解得：﹣1＜x＜3或3≤x≤4或4＜x＜8，故原不等式的解集是{x|﹣1＜x＜8}；（Ⅱ）∵k∵≥2且x∈[1，2]，∴x﹣3＜0，x﹣k＜0，∴f（x）=|x﹣3|=3﹣x，g（x）=|x﹣k|=k﹣x，则∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又∵k≥2，∴k=2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
2016届全国高考模拟试卷(一)数学文科(pdf版)
2016年全国高考模拟试卷（一）数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 考生注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可用铅笔在答题卡．．．规定位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}125M =-，，，{}3025N =-，，，，则M N =∪ A ．{}25，B ．{}310125--，，，，，C ．{}321025---，，，，，D ．{}31025--，，，，2．已知i 为虚数单位，则复数201620161i i -=A ．iB ．i -C ．0D ．23．命题“x ∀∈R ，440x x ->”的否定是A ．0x ∃∈R ，0440x x -≤ B ．0x ∃∈R ，0440x x -< C ．x ∀∈R ，440x x -<D ．x ∀∈R ，440x x -≤4．已知等差数列{}n a 中，公差3d =，则41175a a a a +--= A ．9B ．12C ．15D ．185．曲线(2016)x y x e =-在点(02016)，处的切线方程是 A ．201520160x y --=B ．201520160x y +-=C ．201520160x y ++=D ．201520160x y -+=6．若双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的一条渐近线经过直线y =与直线y +的交点，则此双曲线的离心率是A ．2B ．3CD ．97．已知变量x ，y 满足226y x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩，，，≤≥≤则2z x y =-的最大值为A ．1B ．2C ．10D ．118．若π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且πcos 2cos 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则cos 4α的值为A ．12 B ．12- C ．13 D ．13- 9．如果3个正整数不可以作为任意一个三角形三条边的边长，则称这3个数为一组非三角数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组非三角数的概率为A ．12B ．35C ．710D ．4510．如图，AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边AB 的高，当点P 为线段OC 的三等分点（离点O 较近），AP OP ⋅=A ．19B ．19-C ．12D ．12-11．函数1()1x f x e +=-的图象大致是12．已知椭圆C ：222116x y b+=(04)b <<，点M （不在x 轴上）与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，若PQN △的周长为24，则椭圆C 的离心率为AB ．34CD ．12POCBAD.C.B.A.第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在横线上． 13．函数10()lg 0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，，≤则(10)(10)f f --=． 14．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S 是．15．某几何体的三视图如图所示，侧视图、俯视图均为正方形，则该几何体的表面积是．16．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．“术”即方法．以S ，a ，b ，c 表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，a h ，b h ，c h 分别为对应的大斜、中斜、小斜上的高，所以111222a b c S ah bh ch ===．已知大斜、中斜、小斜分别为7，5，4的三角形，根据上述公式，可以推理：其大斜边上的高为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2cos sin (2sin sin 1)A B A A B =-． （Ⅰ）求角C ；俯视图左（侧）视图正（主）视图211211111221（Ⅱ）若3c =，sin 2sin 0B A -=，求ABC △的周长． 18．（本小题满分12分）某地区大力植树造林，空气质量也有所改观．现从当地天气网站上收集该地区今年4月份（30天）的空气质量指数（AQI ）（单位：3/m g μ）资料如下：（Ⅱ）当100AQI ≤时，空气质量为优良，从前一周（1-7号）中任选2天，求2天空气质量都是优良的概率．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD AD ==，点E 是SD 的中点．（Ⅰ）求证：SB ∥平面AEC ； （Ⅱ）求点D 到平面AEC 的距离．2015年4月份AQI 数据频率分布直方图20．（本小题满分12分）已知点E 到直线l ：2y =-的距离减去点E 到点(01)F ，的距离之差为1．设点E 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求点E 的轨迹方程；（Ⅱ）已知点C 是曲线E 上异于原点的任意一点，若以F 为圆心，线段FC 为半径的圆交y 轴负半轴于点B ，试判断直线BC 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论． 21．（本小题满分12分）已知函数1()ln 1f x x x=-+，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数()f x 在点1122M f⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，处的切线方程； （Ⅱ）在区间(1)e ，上10x aae e x -<(0)a >恒成立，求正数a 的取值范围．请考生从第22、23、24题中任选一题做答．多答按所答的首题进行评分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，CE AB ⊥于点E ，作AC 的中点G ，连接BG 交CE 于点F ，交圆O 于点D ，F 是BG 的中点． （Ⅰ）求证：AC 是BAD ∠的角平分线； （Ⅱ）求证：2CE DG =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是24x t y t =⎧⎨=-⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程6cos ρθ=． （Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数()3135f x x x =--+．SEDCBAOGFEDCBA（Ⅰ）解不等式()0f x <；（Ⅱ）若2()7f x m m -≤对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．数学（一）（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D 【解】析{}31025M N =--，，，，∪．故选D ． 2．【答案】C 【解】析2016201611101i i -=-=．故选C ．3．【答案】A 【解】析根据命题的否定的概念，命题“x ∀∈R ，440x x ->”的否定是0x ∃∈R ，04040x x -≤．故选A ．4．【答案】A 【解】析4117547115()()3639a a a a a a a a d d d +--=-+-=-+==．故选A ．5．【答案】D 【解】析02015xy ='=，切线方程是20162015(0)y x -=-，即201520160x y -+=．故选D ．6．【答案】B【解】析联立y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，【解】得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则直线y =与直线y +的交点坐标为(1，，显然点(1)，在双曲线的渐近线方程b y x a =上，则ba=，即b =．所以3c a =．所以双曲线的离心率3ce a==．故选B ． 7．【答案】C 【解】析由2z x y =-，得2y x z =-．作出不等式组226y x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩，，≤≥≤表示的可行域如图阴影部分所示：当直线2y x z =-过点(42)-，时，截距最小，此时2z x y =-的最大值为24(2)10⨯--=．故选C ．8．【答案】A 【解】析由πcos 2cos 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得(cos sin )(cos sin )αααα-+=(cos sin )αα+，所以cos sin αα-=或cos sin 0αα+=．因为π02a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以c o s s i n αα+=舍去；当cos sin αα-=时，平方得11sin 22α-=，【解】得1sin 22α=．故1cos42α=．故2211cos 412sin 21222αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭．故选A ．9．【答案】C 【解】析从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有(123)，，，(124)，，，(125)，，，(134)，，，(135)，，，(145)，，，(234)，，，(235)，，，(245)，，，(345)，，等10种情况；其中，构成一组非三角数的有(123)，，，(124)，，，(125)，，，(134)，，，(135)，，，(145)，，，(235)，，等7种情况；故这3个数构成一组非三角数的概率为710P =．故选C ． 10．【答案】B 【解】析由已知，13OP OC == ，1OA = ，π4AOP ∠=，则AP O P ⋅ ()OP OA OP =-⋅22π11cos 49OP OA OP =-⋅=-=-⎝⎭．故选B ． 11．【答案】A 【解】析当0x =时，01(0)110f e e +=-=->，故排除B ，D 项；当1x -≥时，110x e +-≥，此时11()11x x f x e e ++=-=-，易知函数1()1x f x e +=-在[)1-+∞，上单调递增，且根据指数函数的特性，递增得越来越快，故排除C 项；综上，A 图象符号．故选A ．12．【答案】D 【解】析如图所示，设椭圆C 的两焦点分别为1F ，2F ，线段MN 的中点为D ，连结1DF ，2DF ．由已知条件可知，1DF ，2DF 分别是MPN △，MQN △的中位线，所以1222PN QN DF DF +=+．设椭圆C 的实半轴、半焦距分别为a ，c ．根据椭圆的定义，得1228DF DF a +==，所以416PN QN a +==．又1224PQ F F c ==，若PQN △的周长为24，则16424PN QN PQ c ++=+=．【解】得2c =．所以椭圆C 的离心率为2142c e a ===．故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的【答案】填在横线上． 13．【答案】10- 【解】析[](10)(10)lg101(10)10f f --=---=-．14．【答案】3 【解】析根据流程图知，第一次循环后，101S =-=，2n =；第二次循环后，211S =-=，3n =；第三次循环后，312S =-=，4n =；第四次循环后，422S =-=，5n =；第五次循环后，523S =-=，6n =；第六次循环后，633S =-=，7n =；此时刚好不满足6n ≤，退出循环，故输出3S =．15．【答案】19+ 【解】析由三视图可和在，该几何体是由一个正方体截去一个角而形成的，如图所示：则该几何体的表面积是(12)12222121222192S +⨯⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+⎢⎥⎣⎦16．【答案】【解】析根据上述公式，S 12a S ah =，得172a h ⨯=【解】得a h =三、【解】答题：【解】答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．【解】（Ⅰ）因为sin 2cos sin (2sin sin 1)A B A A B =-， 所以2sin cos cos sin (2sin sin 1)A A B A A B =-．又显然sin 0A ≠，所以2cos cos 2sin sin 1A B A B =-．…………………………………………2分 即2cos cos 2sin sin 1A B A B -=-．即2cos()1A B +=-，得2cos 1C -=-，…………………………………………………………4分所以1cos 2C =．所以π3C =．……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）因为sin 2sin 0B A -=，所以由正弦定理sin sin a bA B=，得2b a =，①…………………………………………………8分 因为3c =，由斜弦定理，得22π92cos 3a b ab =+-，②………………………………………9分联立方程①②，得a b ⎧⎪⎨=⎪⎩…………………………………………………………………11分故ABC △的周长为3a b c ++=+．……………………………………………………12分 18．【解】（Ⅰ）频率分布表（3分）；频率分布直方图（6分）（Ⅱ）前一周（1-7号）的空气质量指数分别为89，55，52，87，124，72，65．从中任选2天，有(8955)，，(8952)，，(8952)，，(8987)，，(89124)，，(8972)，，(8965)，； (5552)，，(5587)，，(55124)，，(5572)，，(5565)，； (5287)，，(52124)，，(5272)，，(5265)，； (87124)，，(8772)，，(8765)，； (12472)，，(12465)，；(7265)，等15种情况；…………………………………………………………………………8分 其中，2天都是优良的有(8955)，，(8952)，，(8987)，，(8972)，，(8965)，； (5552)，，(5587)，，(5572)，，(5565)，； (5287)(5272)(5265)，，，，，； (8772)，，(8765)，；(7265)，等15种情况；…………………………………………………………………………10分2015年4月份AQI 数据频率分布直方图故2天都是优良的概率155217P ==．……………………………………………………………12分 19．【解】（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ． 在SDB △中，因为E ，O 分别是SD ，DB 的中点，所以SB EO ∥．……………………………………………………………………………………3分 又SB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，所以SB ∥平面AEC ．……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）【解】：112DE SD ==，由勾股定理，得AE CE ==AC ==OE ………………8分所以1122ACE S AC OE =⋅=⨯=△…………………………………………………………10分 设点D 到平面AEC 的距离为h ．由-E ADC D ACE V V -=锥三棱锥三棱，得111221323h ⨯⨯⨯⨯=，【解】得h =故点D 到平面AEC……………………………………………………………………12分 20．【解】（Ⅰ）依题意，点E 到直线l ：1y =-的距离等于点E 到点(01)F ，的距离，……………1分 则点E 的轨迹是抛物线．设为22(0)x py p =>．………………………………………………………3分． 由题意，12p=，【解】得2p =． 所以点E 的轨迹方程是24x y =．………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）结论：直线BC 与曲线E 相切．设00()C x y ，，则2004x y =，圆F 的方程为222200(1)(1)x y x y +-=+-．…………………………7分 令0x =，则2222000(1)(1)(1)y x y y -=+-=+， 因为00y >，0y <，所以0y y =-，点B 的坐标为0(0)y -，．……………………………………9分 直线BC 的斜率为002y k x =，直线BC 的方程为0002y y y x x +=，即0002yy x y x =-．………………10分 SOE DCBA代入24x y =，得200024y x x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即20000840x x y x x y -+=．…………………………………11分220000000644416(4)0y x x y y y x =-⋅=-=△，所以直线BC 与曲线E 相切．…………………………………………………………………………12分21．【解】（Ⅰ）211()f x x x =-，则切线的斜率为122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．………………………………………2分 故函数()f x 在点1122M f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，处的切线方程为11222y f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即11ln 1222y x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ln 20x y +-+=．………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意可知1x a ae e x <，化简得1ln x x a -<，得1ln x a x->．……………………………………5分 令1()ln x h x x -=，则2211ln (1)ln 1()(ln )(ln )x x x x x h x x x ---+'==．………………………………………………6分 函数()f x 的定义域为(0)+∞，． 令22111()0x f x x x x-'=-=>，【解】得1x >． 所以函数()f x 在区间(1)+∞，上递调递增．…………………………………………………………7分 所以在区间(1)+∞，上1()ln 1(1)0f x x f x =-+>=．即1ln 10x x -+>．…………………………8分 故当(1)x e ∈，时，1ln 10x x-+>．…………………………………………………………………9分 所以()0h x '>．即()h x 在(1)e ，上单调递增．………………………………………………………10分 所以()()1h x h e e <=-．所以1a e -≥．即正数a 的取值范围是[)1e -+∞，．…………………………………………………………………12分22．【解】（Ⅰ）因为F 是BG 的中点，且由直径所对的圆周角是直角，可知BCG △是直角三角形．所以CF FG =．…………………………………………………………2分 所以ACE CGF ∠=∠．又CGF AGD ∠=∠，所以ACE AGD ∠=∠．…………………………………3分 因为DAC EAC ∠=∠．所以AC 是BAD ∠的角平分线．………………………………………………5分 （Ⅱ）因为DAG EAC ∠=∠，ACE AGD ∠=∠，所以DAG EAC △△．……………………………………………………………………………………7分 所以2CE AC DG AG==．所以2CE DG =．…………………………………………………………10分 23．【解】（Ⅰ）由24x t y t=⎧⎨=-⎩，得42x y =-，即280x y +-=． 则直线l 的普通方程为280x y +-=，…………………………………………………………2分由6cos ρθ=，得26cos ρθ=，代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，得226x y x +=，即22(3)9x y -+=．故曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=．因为曲线C ：22(3)9x y -+=的半径为3，且圆心(30)C ，到直线280x y +-=的距离为3d =，所以直线l 与曲线C 的位置关系为相交．………………………………………………………………5分（Ⅱ）设3cos 3x θ=+，3sin y θ=，则π3cos 3sin 334x y θθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭．…………7分 因为[]πsin 114θ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，，所以π4θ⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭．………………………………………………………………8分所以π3334θ⎛⎫⎡++∈-+ ⎪⎣⎝⎭．即x y +的取值范围是33⎡-+⎣．………………………………………………………10分24．【解】（Ⅰ）①当53x -≤时，不等式可化为3(1)(35)0x x -++<，即80<，无【解】； ②当513x -<<时，不等式可化为3(1)(35)0x x --+<，【解】得13x >-．所以113x -<<； ③当1x ≥时，不等式可化为3(1)(35)0x x --+<，即80-<．所以1x ≥．综上，不等式()0f x <的【解】集为13⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，．………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为()31353335(33)(35)8f x x x x x x x =--+=--+--+=≤，……………………7分 若2()7f x m m -≤对任意实数x 恒成立，则287m m -≤，…………………………………………8分【解】得1m -≤或8m ≥．故实数m 的取值范围是(][)18-∞-+∞，，∪．………………………………………………………10分。
2016年全国一卷文科数学各地模拟坐标系与参数方程
第1页 共20页16年选考名校一、解答题(文)]选修4-4:坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中,曲线C :(x -1)2+y 2=1.直线l 经过点P (m ,0),且倾斜角为π6,以O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|PA |·|PB |=1,求实数m 的值.2. [2016·河南省高三适应性考试(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1-12t,y =√32t (t 为参数).在以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C 的方程为ρ=2√3sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程;(2)若点P 的直角坐标为(1,0),圆C 与直线l 交于A ,B 两点,求|PA |+|PB |的值.3. [2016·郑州市高考预测(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点M ,N 的极坐标分别为(2,0),(2√33,π2),圆C 的参数方程为{x =2+2cosθ,y =-√3+2sinθ,(θ为参数).(1)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.4. [2016·河北省衡水中学高三一模(文)]在极坐标系中,O 为极点,点A (2,π2),B (2√2,π4). (1)求经过点O ,A ,B 的圆C 的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆D 的参数方程为{x =-1+acosθ,y =-1+asinθ(θ是参数,a 为半径),若圆C 与圆D 相切,求半径a 的值. 5. [2016·河北衡中高三第一次调研(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l 的参数方程为{x =12+√32t y =12+12t(t 为参数),点A 的极坐标为(√22,π4),设直线l 与圆C 交于点P ,Q .(1)写出圆C 的直角坐标方程;(2)求|AP |·|AQ |的值.6. [2016·河北三市七校高三第二次联考(文)]选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知三点O (0,0),A (2,π2),B (2√2,π4).(1)求经过O ,A ,B 的圆C 1的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C 2的参数方程为{x =-1+acosθy =-1+asinθ(θ是参数),若圆C 1与圆C 2外切,求实数a 的值. 7. [2016·河北衡中高三二研(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线E 的极坐标方程为ρ=4tanθcosθ,倾斜角为α的直线l 过点P (2,2).(1)求E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程;(2)设l 1,l 2是过点P 且关于直线x =2对称的两条直线,l 1与E 交于A ,B 两点,l 2与E 交于C ,D 两点.求证:|PA |∶|PD |=|PC |∶|PB |.8. [2016·石家庄高三教学质检(二)(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =√22t,y =3+√22t(t 为参数),在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ-2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与y 轴的交点为P ,直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求|PA |·|PB |的值.9. [2016·福建省高三质检(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosα,y =sinα(α为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin (θ-π4)=√2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角;(2)已知点P (0,2),l 和C 交于A ,B 两点,求|PA |+|PB |.10. [2016·太原市高三模拟(二)(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,设倾斜角为α的直线l 的方程为{x =2+tcosα,y =√3+tsinα(t 为参数),以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+3sin 2θ,直线l 与曲线C相交于不同的两点A ,B .(1)若α=π3,求线段AB 中点M 的直角坐标;(2)若|PA |·|PB |=|OP |2,其中P (2,√3),求直线l 的斜率.11. [2016·山西高三4月考前质检(文)]选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知曲线C:ρcos(θ+π4)=1,过极点O作射线与曲线C交于点Q,在射线OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=√2.(1)求点P的轨迹C1的极坐标方程;(2)以极点O为直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy,若直线l:y=-√3x与第1问中的曲线C1相交于点E(异于点O),与曲线C2:{x=12-√22ty=√22t(t为参数)相交于点F,求|EF|的值.12. [2016·江西省高三4月质检(文)]选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为{x=-5+√22ty=-1+√22t(其中t为参数),现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)写出直线l和曲线C的普通方程;(2)已知点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.13. [2016·江西九江高三二模(文)]选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系xOy的坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程是ρ=√4+5sin2θ,曲线C2的参数方程是{x=2+2cosθy=2+2sinθ(θ为参数).(1)写出曲线C1,C2的普通方程;(2)设曲线C1与y轴相交于A,B两点,点P为曲线C2上任一点,求|PA|2+|PB|2的取值范围.14. [2016·江西赣州高三一模(文)]选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:x2a2+y2=1(0<a<2),曲线C2:x2+y2-x-y=0,Q是C2上的动点,P是线段OQ延长线上的一点,且P满足|OQ|·|OP|=4.(1)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,化C2的方程为极坐标方程,并求点P的轨迹C3的方程;(2)设M,N分别是C1与C3上的动点,若|MN|的最小值为√2,求a的值.15. [2016·南昌高三一模(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是{x=1+tcosαy=tsinα(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;第3页共20页(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|AB |=√14,求直线的倾斜角α的值.16. [2017·湖北孝感高级中学高三9月调考(文)]极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ+π4),曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a(a >0),射线θ=φ,θ=φ+π4,θ=φ−π4,θ=π2+φ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A,B,C,D .(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称,求a 的值; (2)求|OA|⋅|OC|+|OB|⋅|OD|的值.17. [2016·湖北省华师一附中、荆州中学、黄冈中学等八校高三第二次联考(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为{x =-1+tcosαy =3+tsinα(t 为参数,0≤α<π),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√2sin (θ+π4).(1)若极坐标为(√2,π4)的点A 在曲线C 1上,求曲线C 1与曲线C 2的交点坐标; (2)若点P 的坐标为(-1,3),且曲线C 1与曲线C 2交于B ,D 两点,求|PB |·|PD |.18. [2016·湖北荆、荆、襄、宜四地七校高三2月联考(文)]选修4-4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的参数方程为{x =√2costy =√2sint(t 为参数).(1)曲线C 在点(1,1)处的切线为l ,求l 的极坐标方程;(2)点A 的极坐标为(2√2,π4),且当参数t ∈[0,π]时,过点A 的直线m 与曲线C 有两个不同的交点,试求直线m 的斜率的取值范围.19. [2016·武汉市高三四月模拟(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1:ρ2-4ρcos θ+3=0,θ∈[0,2π],曲线C 2:ρ=34sin(π6-θ),θ∈[0,2π].(1)求曲线C 1的一个参数方程;(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ,B 两点,求|AB |的值.20. [2016·武汉市高三五月模拟(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l 的参数方程为{x =-1+tcosα,y =tsinα(t 为参数,α为直线l 的倾斜角).(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点,求角α的大小.第5页 共20页21. [2016·湖南衡阳高三二模(文)]选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为{x =t 2-4t 2+4y =8t t 2+4(t 为参数). (1)求曲线C 的普通方程;(2)过点P (0,1)的直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求|PA |·|PB |的取值范围. 22. [2016·湖南高三第三次考前演练(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθsin 2θ,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为{x =-√22ty =1+√22t(t 为参数).(1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,把直线l 的参数方程化为普通方程; (2)求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.23. [2016·湖南高三六校联考(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l 经过点P (1,1),倾斜角α=π6,圆C :{x =2cosθy =2sinθ(θ为参数). (1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程;(2)设直线l 与圆C 相交于两点A ,B ,求点P 到A ,B 两点的距离之积.24. [2016·长沙市高考模拟(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+3=0,θ∈[0,2π).(1)求C 1的直角坐标方程;(2)曲线C 2的参数方程为{x =tcos π6y =tsinπ6(t 为参数),求C 1与C 2的公共点的极坐标.25. [2017·安徽师大附中高三期中考试(文)]已知在直角坐标系xoy 中,曲线C 的参数方程为{x =2+2cos θy =2sin θ(θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 的方程为ρsin(θ+π4)=2√2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程; (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.26. [2016·安徽蚌埠高三二检(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:{x =m +ty =t (t 是参数).(1)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|AB |=2√3,试求实数m 值; (2)设M (x ,y )为曲线C 上任意一点,求x +2y -2的取值范围.27. [2016·安徽芜湖、马鞍山高三第一次质检(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =1+2sinα(α为参数),直线l 的参数方程为{x =1+tcos45°y =tsin45°(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程; (2)求直线l 截曲线C 所得的弦长.28. [2016·合肥高三质检(二)(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C :{x =√2cosα+1y =√2sinα+1(α为参数),在以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l :ρsin θ+ρcos θ=m .(1)若m =0时,判断直线l 与曲线C 的位置关系;(2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为√22,求实数m 的取值范围.29. [2016·广州市高三测试(二)(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =√3cosθ,y =sinθ(θ为参数).以点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=√2.(1)将曲线C 和直线l 化为直角坐标方程;(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最大值.30. [2016·广州市高三测试(一)(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,θ∈[0,2π). (1)求曲线C 的直角坐标方程; (2)在曲线C 上求一点D ,使它到直线l :{x =√3t +√3,y =-3t +2(t 为参数,t ∈R )的距离最短,并求出点D的直角坐标.参考答案1.(1) 【答案】曲线C 的普通方程为:(x -1)2+y 2=1,即x 2+y 2=2x ,即ρ2=2ρcos θ, 所以曲线C 的极坐标方程为:ρ=2cos θ. 直线l 的参数方程为{x =m +√32ty =12t(t 为参数).第7页 共20页(2) 【答案】设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,将直线l 的参数方程代入x 2+y 2=2x 中,得t 2+(√3m -√3)t +m 2-2m =0,所以t 1t 2=m 2-2m ,由题意得|m 2-2m |=1,得m =1,1+√2或1-√2.2.(1) 【答案】由已知得直线l 的普通方程为√3x +y -√3=0.由ρ=2√3sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3y =0,即x 2+(y -√3)2=3. 5分(2) 【答案】把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得(1-12t)2+(√32t -√3)2=3,即t 2-4t +1=0.由于Δ=(-4)2-4=12>0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实数根,所以{t 1+t 2=4,t 1·t 2=1.又直线l 过点(1,0),A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 所以|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=4. 10分3.(1) 【答案】由题意知,M ,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(0,2√33), 又P 为线段MN 的中点,从而点P 的平面直角坐标为(1,√33),故直线OP 的直角坐标方程为y =√33x . 5分(2) 【答案】因为直线l 上两点M ,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(0,2√33), 所以直线l 的平面直角坐标方程为√3x +3y -2√3=0,又圆C 的圆心坐标为(2,-√3),半径r =2,圆心到直线l 的距离d =√3-√3-√3|3+9=32<r .故直线l 与圆C 相交. 10分4.(1) 【答案】由题意得,点O ,A ,B 的直角坐标为O (0,0),A (0,2),B (2,2).则过O ,A ,B 三点的圆C 的普通方程为(x -1)2+(y -1)2=2,即x 2-2x +y 2-2y =0.化为极坐标方程为ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ,即ρ=2√2cos (θ-π4).(2) 【答案】圆D 的参数方程{x =-1+acosθ,y =-1+asinθ(θ是参数,a 为半径)化为普通方程为(x +1)2+(y +1)2=a 2,则圆C 与圆D 的圆心距|CD |=√(-1-1)2+(-1-1)2=2√2,当圆C 与圆D 相切时,有a +√2=2√2或a -√2=2√2,解得a =√2或a =3√2.5.(1) 【答案】圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,所以ρ2=2ρcos θ,转化成直角坐标方程为x 2+y 2=2x ,即(x -1)2+y 2=1.(2) 【答案】由点A 的极坐标(√22,π4)得直角坐标A (12,12),将直线l 的参数方程{x =12+√32ty =12+12t(t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x -1)2+y 2=1,得t 2-√3-12t -12=0,设t 1,t 2为方程t 2-√3-12t -12=0的两个根,则t 1t 2=-12,所以|AP |·|AQ |=|t 1t 2|=12.6.(1) 【答案】∵点O (0,0),A (2,π2),B (2√2,π4)对应的直角坐标分别为O (0,0),A (0,2),B (2,2),∴过O ,A ,B 的圆的普通方程为x 2+y 2-2x -2y =0,将{x =ρcosθy =ρsinθ代入可得经过O ,A ,B 的圆C 1的极坐标方程为ρ=2√2cos (θ-π4). (2) 【答案】圆C 2:{x =-1+acosθy =-1+asinθ(θ是参数)对应的普通方程为(x +1)2+(y +1)2=a 2,当圆C1与圆C2外切时,有√2+|a|=2√2,解得a=±√2.7.(1) 【答案】E:x2=4y(x≠0),l:{x=2+tcosαy=2+tsinα(t为参数).(2) 【答案】∵l1,l2关于直线x=2对称,∴l1,l2的倾斜角互补,设l1的倾斜角为α,则l2的倾斜角为π-α,把直线l1:{x=2+tcosαy=2+tsinα(t为参数)代入x2=4y并整理得:t2cos2α+4(cosα-sinα)t-4=0,根据韦达定理,t1t2=-4cos2α,即|PA|·|PB|=4cos2α,同理,得|PC|·|PD|=|4cos2(π-α)|=4cos2α.∴|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,即|PA|∶|PD|=|PC|∶|PB|.8.(1) 【答案】直线l的普通方程为x-y+3=0, 2分∵ρ2=4ρsin θ-2ρcos θ, 3分∴曲线C的直角坐标方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 5分(2) 【答案】将直线的参数方程{x=√22ty=3+√22t(t为参数)代入曲线C:(x+1)2+(y-2)2=5,得t2+2√2t-3=0, 7分∴t1t2=3, 9分∴|PA||PB|=|t1t2|=3. 10分9.第9页共20页(1) 【答案】由{x =3cosα,y =sinα消去参数α,得x 29+y 2=1,即C 的普通方程为x 29+y 2=1.2分由ρsin (θ-π4)=√2,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*) 3分 将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入(*),化简得y =x +2, 4分所以直线l 的倾斜角为π4. 5分(2) 【答案】由第1问知,点P (0,2)在直线l 上, 可设直线l 的参数方程为{x =tcos π4,y =2+tsin π4(t 为参数),即{x =√22t,y =2+√22t(t 为参数), 7分代入x 29+y 2=1并化简,得5t 2+18√2t +27=0. 8分Δ=(18√2)2-4×5×27=108>0.设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-185 √2<0,t 1t 2=275>0,所以t 1<0,t 2<0, 9分所以|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=-(t 1+t 2)=185√2. 10分10.(1) 【答案】曲线C 的普通方程是x 24+y 2=1. 2分当α=π3时,设点M 对应的参数为t 0,直线l 的方程为{x =2+12t,y =√3+√32t (t 为参数),代入曲线C 的普通方程x 24+y 2=1,得13t 2+56t +48=0,设直线l 上的点A ,B 对应参数分别为t 1,t 2, 则t 0=t 1+t 22=-2813,第11页 共20页所以点M 的坐标为(1213,-√313). 5分(2) 【答案】将{x =2+tcosαy =√3+tsinα,代入曲线C 的普通方程x 24+y 2=1,得(cos 2α+4sin 2α)t 2+(8√3sin α+4cos α)t +12=0,因为|PA |·|PB |=|t 1t 2|=12cos 2α+4sin 2α,|OP |2=7,所以12cos 2α+4sin 2α=7,即12(1+tan 2α)1+4tan 2α=7,解得tan 2 α=516,由于Δ=32cos α(2√3sin α-cos α)>0,故tan α=√54.所以直线l 的斜率为√54. 10分11.(1) 【答案】设P (ρ,θ),Q (ρ',θ),则由题知ρρ'=√2,又点Q 在曲线C 上，∴ρ'cos (θ+π4)=1,∴√2ρcos (θ+π4)=1，∴ρ=√2cos (θ+π4)=cos θ-sin θ为所求C 1的极坐标方程.(2) 【答案】由C 2的参数方程知C 2的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=12,由题知直线l 的倾斜角为2π3，∴把θ=2π3代入C 2得ρ1=√3+12,把θ=-π3代入C 1得ρ2=√32+12,∴|EF |=ρ1+ρ2=√3+1.12.(1) 【答案】消去直线l的参数方程中的参数t得普通方程为y=x+4. 由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,由{x=ρcosθ,y=ρsinθ,得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.(2) 【答案】将曲线C的方程x2+y2-4x=0化为(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)到直线l的距离为√2=3√2,再加上半径2即为P到直线l距离的最大值, 所以最大值为3√213.(1) 【答案】由ρ=√4+5sin2θ,得ρ2=364+5sin2θ,∴ρ2=364cos2θ+9sin2θ,即4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36,∴4x2+9y2=36,即曲线C1的普通方程为x29+y24=1,曲线C2的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2) 【答案】由第1问知, A,B两点的坐标分别是(0,2),(0,-2), 设P(2+2cosθ,2+2sinθ),则|PA|2+|PB|2=(2+2cosθ)2+(2sinθ)2+(2+2cosθ)2+(4+2sinθ)2=32+16sinθ+16cosθ=32+16√2sin(θ+π4),∴|PA|2+|PB|2∈[32-16√2,32+16√2].14.(1) 【答案】C2的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4),设Q(ρ',θ),P(ρ,θ),则ρ'=√2sin(θ+π4),由|OQ|·|OP|=4得ρ'ρ=4,所以√2ρsin(θ+π4)=4,故C3的直角坐标方程为x+y=4.(2) 【答案】设M(a cosθ,sinθ),则|MN|的最小值为点M到直线C3的距离d=√2=|√a2+1sin(θ+φ)√2≥√a2+1√2,第13页 共20页所以√a 2+1√2=√2,解得a =√3.15.(1) 【答案】由ρ=4cos θ,得(x -2)2+y 2=4. 3分(2) 【答案】将{x =1+tcosαy =tsinα代入圆的方程,得(t cos α-1)2+(t sin α)2=4,化简得t 2-2t cos α-3=0.设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则{t 1+t 2=2cosαt 1t 2=-3,∴|AB |=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=√4cos 2α+12=√14,∴4cos 2α=2,解得cos α=±√22,故α=π4或3π4. 10分16.(1) 【答案】曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ+π4),即ρ2=2√2×√22(ρsinθ+ρcosθ),转化为直角坐标方程为x 2+y 2=2x +2y ,即(x −1)2+(y −1)2=2,∵曲线C 1关于曲线C 2对称,∴圆心(1,1)在C 2上,直线y =a 过圆心,∴a =1.(2) 【答案】∵|OA|=2√2sin(φ+π4),|OB|=2√2sin(φ+π2),|OC|=2√2sinφ,|OD|=2√2sin(φ+3π4), ∴|OA|⋅|OC|+|OB|⋅|OD|=8sinφsin(φ+π4)+8cosφsin(φ+3π4)=8sinφsin(φ+π4)+8cosφcos(φ+π4)=8cos π4=4√2.17.(1) 【答案】点(√2,π4)对应的直角坐标为(1,1),由曲线C 1的参数方程知,曲线C 1是过定点(-1,3)的直线, 故曲线C 1的直角坐标方程为x +y -2=0, 而曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2x -2y =0,联立{x 2+y 2-2x -2y =0x +y -2=0,解得{x 1=2y 1=0,{x 2=0y 2=2.故交点坐标分别为(2,0),(0,2).(2) 【答案】由题意知,点P 在直线C 1上,将{x =-1+tcosαy =3+tsinα代入方程x 2+y 2-2x -2y =0,得t 2-4(cos α-sin α)t +6=0,设点B ,D 对应的参数分别为t 1,t 2,则|PB |=|t 1|,|PD |=|t 2|,而t 1t 2=6, ∴|PB |·|PD |=|t 1|·|t 2|=|t 1t 2|=6.18.(1) 【答案】由{x =√2cost y =√2sint消去参数t 得x 2+y 2=2,又点(1,1)在圆C 上,故切线方程为x +y =2, ∴ρsin θ+ρcos θ=2, ∴切线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=√2.(2) 【答案】由题意得点A 的直角坐标为(2,2),则可设过点A 的直线m 的方程为y =k (x -2)+2, 故y =k (x -2)+2与半圆x 2+y 2=2(y ≥0)相切时|2x -2|√1+k 2=√2,∴k 2-4k +1=0,∴k =2-√3或k =2+√3(舍去),设点B (-√2,0),∵t ∈[0,π],∴直线m 的斜率最大值为k AB ,k AB =2+√2=2-√2,故直线m 的斜率的取值范围为(2-√3,2-√2).19.(1) 【答案】由ρ2-4ρcos θ+3=0可得:x 2+y 2-4x +3=0.∴(x -2)2+y 2=1. 2分 令x -2=cos α,y =sin α,∴C 1的一个参数方程为{x =2+cosαy =sinα(α为参数,α∈R ). 4分 (2) 【答案】C 2:4ρ(sin π6cosθ-cos π6sinθ)=3,第15页 共20页∴4(12x -√32y)=3,即2x -2√3y -3=0. 6分∵直线2x -2√3y -3=0与圆(x -2)2+y 2=1相交于A ,B 两点,圆心到直线的距离d =14, 8分∴|AB |=2√r 2-d 2=2·√154=√152. 10分20.(1) 【答案】当α=π2时,直线l 的普通方程为x =-1;当α≠π2时,直线l 的普通方程为y =(tan α)(x +1). 2分由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,所以x 2+y 2=2x 即为曲线C 的直角坐标方程. 5分(2) 【答案】把x =-1+t cos α,y =t sin α代入x 2+y 2=2x ,整理得t 2-4t cos α+3=0.由Δ=16cos 2α-12=0,得cos 2α=34,所以cos α=√32或cos α=-√32,故直线l 的倾斜角α为π6或5π6. 10分21.(1) 【答案】x 2+y 24=(t 2-4t 2+4)2+(4t t 2+4)2=(t 2+4t 2+4)2=1, 又∵x =t 2-4t 2+4=1-8t 2+4∈[-1,1),∴曲线C 的普通方程为x2+y 24=1,x ∈[-1,1). (2) 【答案】设直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =1+tsinα(α为倾斜角,且α∈[0,3π4)∪(3π4,π)),代入曲线C 得:(1+3cos 2α)·t 2+2sin α·t -3=0, ∴|PA |·|PB |=|t 1t 2|=31+3cos 2α,∵α∈[0,3π4)∪(3π4,π),∴|PA |·|PB |∈[34,3].22.(1) 【答案】由题意得,曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ,直线l 的普通方程为x +y -1=0.(2) 【答案】将{x =-√22t,y =1+√22t代入y 2=4x 得t 2+6√2t +2=0,所以t 1+t 2=-6√2,t 1t 2=2,则|AB |=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=8.23.(1) 【答案】圆C 的普通方程为x 2+y 2=4, 2分 直线l 的参数方程是{x =1+√32ty =1+12t(t 是参数). 5分 (2) 【答案】因为点A ,B 都在直线l 上,所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A ,B 的坐标分别为A (1+√32t 1,1+12t 1),B (1+√32t 2,1+12t 2),把直线l 的参数方程代入圆的方程x 2+y 2=4整理得, t 2+(√3+1)t -2=0, ①因为t 1和t 2是方程①的解,从而t 1t 2=-2, 所以|PA |·|PB |=|t 1t 2|=|-2|=2. 10分24.(1) 【答案】将{ρ2=x 2+y 2ρcosθ=x代入ρ2-4ρcos θ+3=0,得(x -2)2+y 2=1. 5分(2) 【答案】由题设可知,C 2是过坐标原点,倾斜角为π6的直线,第17页 共20页因此C 2的极坐标方程为θ=π6或θ=7π6,ρ>0, 将θ=π6代入C 1得ρ2-2√3ρ+3=0,解得ρ=√3. 7分将θ=7π6代入C 1得ρ2+2√3ρ+3=0,解得ρ=-√3,舍去. 9分故C 1,C 2公共点的极坐标为(√3,π6). 10分25.(1) 【答案】曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=4,即x 2+y 2−4x =0,将{x =ρcosθy =ρsinθ代入方程x 2+y 2−4x =0化简得ρ=4cos θ.所以,曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ.(2) 【答案】直线l 的直角坐标方程为x +y −4=0,曲线C 的圆心坐标为(2,0),圆心到直线l 的距离为√2所以弦长为2√22−√22=2√2.26.(1) 【答案】曲线C 的极坐标方程p =4cos θ化为直角坐标方程为:x 2+y 2-4x =0, 直线l 的直角坐标方程为:y =x -m ,∴圆心到直线l 的距离(弦心距)d =√22-(2√32)2=1,圆心(2,0)到直线y =x -m 的距离为:2=1⇒|m -2|=√2,∴m =2±√2. (2) 【答案】曲线C 的方程可化为(x -2)2+y 2=4,其参数方程为:{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数),∵M (x ,y )为曲线C 上任意一点,x +2y -2=2√5sin(θ+α),∴x +2y -2的取值范围是[-2√5,2√5].27.(1) 【答案】曲线C 的参数方程化为直角坐标方程为x 2+(y -1)2=4,(*)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入(*)式化简得曲线C 的极坐标方程为:ρ2-2ρsin θ-3=0.(2) 【答案】将{x =1+tcos45°y =tsin45°代入(*)式化简得t 2=2, ∴t 1=√2,t 2=-√2,所以所求弦长为|t 2-t 1|=2√2.28.(1) 【答案】曲线C 的直角坐标方程为:(x -1)2+(y -1)2=2,是一个圆; 直线l 的直角坐标方程为:x +y =0,圆心C 到直线l 的距离为d =22=√2=r .所以直线l 与圆C 相切. 5分(2) 【答案】由已知可得,圆心C 到直线l 的距离为d =√12+12≤3√22,解得-1≤m ≤5. 10分29.(1) 【答案】由{x =√3cosθ,y =sinθ,得x 23+y 2=1,∴曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1. 2分由ρsin (θ+π4)=√2,得ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)=√2, 3分化简得,ρsin θ+ρcos θ=2, 4分∴x +y =2.∴直线l 的直角坐标方程为x +y =2. 5分(2) 【答案】由于点Q 是曲线C 上的点,则可设点Q 的坐标为(√3cosθ,sinθ), 6分点Q 到直线l 的距离为d =√3cosθ+sinθ√27分=|2cos(θ-π6)-2|√2. 8分当cos (θ-π6)=-1时,第19页 共20页d max =√2=2√2. 9分∴ 点Q 到直线l 的距离的最大值为2√2. 10分30.(1) 【答案】由ρ=2sin θ,θ∈[0,2π),可得ρ2=2ρsin θ. 1分因为ρ2=x 2+y 2,ρsin θ=y , 2分所以曲线C 的普通方程为x 2+y 2-2y =0(或x 2+(y -1)2=1). 4分(2) 【答案】因为直线l 的参数方程为{x =√3t +√3,y =-3t +2(t 为参数,t ∈R ),消去t 得直线l 的普通方程为y =-√3x +5. 5分因为曲线C :x 2+(y -1)2=1是以G (0,1)为圆心,1为半径的圆, 设曲线C 上点D (x 0,y 0),且点D 到直线l :y =-√3x +5的距离最短,所以曲线C 在点D 处的切线与直线l :y =-√3x +5平行.即直线GD 与l 的斜率的乘积等于-1,即y 0-1x 0×(-√3)=-1. 7分因为x 02+(y 0-1)2=1,解得x 0=-√32或x 0=√32.所以点D 的坐标为(-√32,12)或(√32,32). 9分由于点D 到直线y =-√3x +5的距离最短,所以点D的坐标为(√32,32). 10分。
2016高考数学文科模拟精彩试题 8
实用文档文案大全2016高考数学（文科）模拟试题本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 参考公式：锥体的体积公式13VSh?，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高.一组数据12,,,n xx x的标准差222121[()()()]n sxxxxxxn???????，其中x表示这组数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i为虚数单位，则复数34ii?=A．43i??B．43i??C．i???D．i???2．已知集合{(,)|,Axyxy?为实数，且2}yx?，{(,)|,Bxyxy?为实数，且1}xy??，则A∩B的元素个数为A．无数个B．3 C．2 D．1 3．已知向量(1,2),(1,0),(4,3)????abc．若?为实数，()???abc，则??A14B12C．1 D．2 4．若p是真命题，q是假命题，则A．pq?是真命题B．pq?是假命题C．p?是真命题D．q?是真命题5．已知等差数列{n a}，62a?，则此数列的前11项的和11S?A．44 B．33 C．22 D．11 6．下列函数为偶函数的是( )A．sinyx?B??ln yxx?????C．x ye?D ln yx????7．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是实用文档文案大全8．设变量x，y满足约束条件????????????,14,42,22yxyxyx则目标函数3zxy??的取值范围是A．3[,6]2?B．3[,1]2??C．[1,6]?D．3[6,]2?9．已知??1sincosfxxx??，??1n fx?是??n fx的导函数，即????21fxfx??， ????32fxfx??，…，????1nn fxfx???，*Nn?，则??2015fx?A．sincosxx?B．sincosxx??C．sincosxx?D．sincosxx?? 10．集合M由满足：对任意12,[1,1]xx??时，都有1212|()()|4||fxfxxx???的函数()fx组成．对于两个函数2()22,()x fxxxgxe????，以下关系成立的是A．(),()fxMgxM??B．(),()fxMgxM??C．(),()fxMgxM??D．(),()fxMgxM??二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11～13题）11．在ABC?中，若15,,sin43bBA?????，则a?▲. 12．若??3213fxxaxx???在??,????不是．．单调函数，则a的范围是▲. 13．已知函数????sincossinfxxxx??，xR?，则)(xf的最小值是▲ .（）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l的方程为cos5???，则点π43??????，到直线l的距离为▲ .15．（几何证明选讲选做题）如图，PT是圆O的切线，PAB是圆O O?PABT．实用文档文案大全的割线，若2?PT，1?PA，o60??P，则圆O的半径?r▲.三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量????3,sin1,cosab????与互相平行，其中(0,)2???．（1）求sin?和cos?的值；（2）求????sin2fxx???的最小正周期和单调递增区间.17．（本小题满分12分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：已知6个站的平均得分为75分.（1）求广州南站的满意度得分x，及这6个站满意度得分的标准差；（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率．18．（本小题满分14分）如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，?????90CBDBAC，ABAC?，???30BCD，BC=6.（1）证明：平面ADC平面ADB；（2）求B到平面ADC的距离.19．（本小题满分14分）CBDA．实用文档??n a中，13a?，??111nn nana????，nN??.文案大全已知在数列（1）证明数列??n a是等差数列，并求n a的通项公式；（?）设数列11nn aa???????的前n项和为n T，证明：61?n T.?20．（本小题满分14分）已知函数3241)(1????xx xf?（21???x）．（1）若32??时，求函数)(xf的值域；（2）若函数)(xf的最小值是1，求实数?的值.21．（本小题满分14分）已知函数xkxxxf????1)1ln()(，kR?. （1）讨论)(xf的单调区间；（2）当1k?时，求)(xf在[0,)??上的最小值，并证明??1111ln12341nn???????.参考答案及评分标准实用文档7 8 910 ACBDCDDAB A二、填空题1132512．????,11,?????13．122?14．3 153三、解答题16．（本小题满分12分）解：（1）因为a与b互相平行，则sin3cos,tan3?????，（3分）又0,2?????????，所以3???，所以31sin,cos22????.（6分）（2）由????sin2sin23fxxx????????????，得最小正周期T??（8分）由222,232kxkkZ???????????，得5,1212k xkkZ?????????（11分）所以)(xf的单调递增区间是5,,1212kkkZ?????????????（12分）17．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得1(7076727072)756x??????，解得90x?. （222222222212611[()()()](5135315)766sxxxxxx??????????????（5分）（2）前5个站中随机选出的2个站，基本事件有（怀集站，广宁站），（怀集站，肇庆东站），（怀集站，三水南站），（怀集站，佛山西站），（广宁站，肇庆东站），（广宁站，三水南站），（广宁站，佛三西站），（肇庆东站，三水南站），（肇庆东站，佛山西站），（三水南站，佛山西站）共10种，（8分）这5个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有广宁站.设A表示随机事件“从前5个站中，随机地选2个站，恰有1个站得分在区间（68，75）中”，则A中的基本事件有4种，（10分）实用文档文案大全CBDA则42()105PA??（12分）18．（本小题满分14分）（1）证明：因为,,,ABCBCDBDBCABCBCDBCBDBCD????面面面面面，所以BDABC?面. （3分）又ACABC?面，所以BDAC?. （4分）又ABAC?，且BDABB?，所以ACADB?面. （5分）又ACADC?面，所以ADCADB?面面.（6分）（2）在RtBCD?中，06,30BCBCD???，得0tan3023BDBC???，（7分）在等腰RtABC?中，6BC?，得32ABAC??. （8分）由（1）知BDABC?面，所以BDAB?，（9分）在ABDRt?中，23?AB，32?DB，得3022???DBABAD，（10分）又ACADB?面，设B到面ADC的距离为h，由CABDBACD VV???，（12分）得1111()()3232ABBDACACADh?????????，（13分）解得655h?，即B到平面ADC的距离556. （14分）19．（本小题满分14分）解：（1）方法一：由??111nn nana????，得????12211nn nana??????，（2分）两式相减，得??????12221nnn nanaa??????，即122nnn aaa????，（4分）实用文档??n a是等差数列. （5文案大全所以数列分）由??????123211aaa，得52?a，所以212???aad，（6分）故12)1(1??????ndnaa n21n an??. （8分）方法二：将1)1(1????nn naan两边同除以)1(?nn，得11111??????nnnana nn，（3分）即nana nn1111?????. （4分）所以1111???ana n（5分）所以12??na n（6分）因为12nn aa???，所以数列??n a是等差数列. （8分）（2）因为????111111212322123nn aannnn??????????????，??????????????????（11分）?所以13221111?????nnn aaaaaaT?)]321121()7151()5131[(21?????????nn 6164161????n（*Nn?）（14分）20．（本小题满分14分）解：（1）3)21(2)21(3241)(21????????xxxx xf??（21???x）（1分）设x t)21(?，得32)(2???tttg?（241??t）. （2分）当23??时，43)23(33)(22??????ttttg（241??t）. （3分）实用文档文案大全所以1637)41()(max??gtg，43)23()(min??gtg. （5分）所以1637)(max?xf，43)(min?xf，故函数)(xf的值域为[43，1637]．（6分）（2）由（1）2223)(32)(??????????ttttg（241??t）（7分）①当41??时，16492)41()(min?????gtg，（8分）令116492????，得41833???，不符合舍去；（9分）②当241???时，3)()(2min??????gtg，（10分）令132????，得2??，或412????，不符合舍去；（11分）③当2??时，74)2()(min?????gtg，（12分）令174????，得223???，不符合舍去. （13分）综上所述，实数?的值为2．（14分）21．（本小题满分14分）解：（1）??fx的定义域为??1,???. （1分）221(1)1()1(1)(1)xxxkfxkxxx???????????（3分）当0k?时，??'0fx?在??1,???上恒成立，所以??fx的单调递增区间是??1,???，无单调递减区间. （5分）当0k?时，由??'0fx?得1xk??，由??'0fx?得1xk??，所以??fx的单调递增区间是??1,k???，单调递减区间是??1,1k??，（7分）（2）由（1）知，当1k?时，??fx在[0,)??上单调递增，所以??fx在[0,)??上的最小值为??00f?. （9分）实用文档文案大全所以)1ln(1xxx???（0?x）（10分）所以)11ln(111nnn???，即nnnln)1ln(11????（*Nn?）. （12分）所以)1ln()ln)1(ln()2ln3(ln)1ln2(ln113121??????????????nnnn? ?（14分）。
2016届高考全真模拟(一)考试数学(文)试题 含答案
陕西省2016届高考全真模拟（一)考试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}{}20,1A x x B x x =-≤<=<-，则A B =（ ）A ．(](),21,-∞--+∞B ．[)2,1--C ．(),1-∞-D ．()2,-+∞ 2．等差数列{}na 中，482aa +=-，则()626102a a a a ++的值为（）A ．4B ．8C ．4-D ．8- 3．定义：ab ad bc c d=-．若复数z 满足11z i ii=---,则z 等于（）A ．1i +B ．1i -C ．i -D ．3i -4．在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b ，则“a b不是整数”的概率为（ ） A ．13B ．23C ．14D ．345．设命题()():,1,2,1p a m m b m =+=+，且a b ；命题:q 关于x 的函数()1log a y m x =-(0a >且)1a ≠是对数函数,则命题p 成立是命题q 成立的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．执行如图所示程序图，若7N =时，则输出的结果S 的值为（ ） A ．87B ．65C ．78D ．567．已知抛物线()220ypx p =>的焦点为F ，准线为l ,过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，设线段AB 的中点M 在l 上的射影为N ，则MN AB的值是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．29．ABC ∆中,3AB =1AC =，D 是BC 边中垂线上任意一点，则AD CB ⋅的值是（ ）A ．1B 2C 3D ．1-10．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222102x y a a -=>的左、右焦点,P 为双曲线上的一点，若1260F PF∠=︒，则12F PF ∆的面积是（ ）A 43B ．43C ．23D 23112()A ．8πB ．12πC 3D ．3π12．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米）与时间x （秒）满足函数关系()sin 1y A x ωϕ=++,则（ ）A ．,46A πω==B ．2,315A πω==C ．,56A πω== D ．2,415A πω==第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考试根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13．若函数()1x x e f x e a+=-为奇函数，则实数a =______．14．董师傅用铁皮侧作一封闭的工件，其三视图如图所示(单位：cm ，图中水平线与竖直线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）______()2cm ．15．若实数,x y 满足30,10,350,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则yx 的最大值为______．16．已知数列{}na 的前n 项和为nS ，若()*233nn S a n N +=∈，则数列{}n a 的通项公式na =______．三、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足2cos 2a B c b =-． （1)求角A ;（2）若a 是,b c 的等比中项，判断ABC ∆的形状，并说明理由． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是正三角形,底面ABCD 是边长为23的菱形，120DAB ∠=︒，且侧面PDC 与底面垂直，M 为PB 的中点． （1）求证：PA CD ⊥；（2）求三棱锥A CDM -的体积．19．（本小题满分12分)2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值, 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的 2.5PM 检测数据中随机抽取6天的数据作为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天． （1）恰有1天空气质量超标的概率； (2)至多有1天空气质量超标的概率．20．（本小题满分12分)过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点,1F 为其左焦点，已知1AF B ∆的周长为43椭圆的离心率为6（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 的下顶点，椭圆C 与直线3y m =+相交于不同的两点M 、N ．当PMPN=时，求实数m 的值．21．（本小题满分12分） 已知函数()()4ln 1f x x a x =+-． （1）若()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于4a -时,求实数a 的取值范围． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥，且23,6AD AE ==．（1）求证:直线AC 是BDE ∆的外接圆的切线； （2)求EC 的长．23．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数），以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4cos ρθ=-．（1)求曲线1C 和2C 交点的直角坐标；(2）A 、B 两点分别在曲线1C 与2C 上，当AB 最大时，求OAB ∆的面积．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()(),f x x g x x a m ==--+．(1）解关于x 的不等式()20g f x m ⎡⎤+->⎣⎦；（2)若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围．陕西省2016届高考全真模拟（一）考试数学（文)试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BACBBCADABDA二、填空题13．1 14．()10035+ 15．2 16．3n三、解答题17．解：（1）∵2cos 2a B c b =-，由正弦定理，得2sin cos 2sin sin A B C B =-…………2分而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+………………3分（2）ABC ∆是等边三角形 ………………7分理由如下：由（1）可知3A π=，在ABC ∆中,由余弦定理，得222a b c bc =+-． ………………9分由a 是,b c 的等比中项，得2abc =，所以22bc b c bc =+-即()20b c -=，从而b c = (11)分故ABC ∆是等边三角形． ………………12分 18．（1）证明：取DC 的中点O ，连接,OP OA ，由PDC ∆是正三角形，有PO DC ⊥．………………2分在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=︒，23AD =3OD =，有AO CD ⊥．………………4分又PO CD ⊥，OAOP O =,则CD ⊥平面APO ，PA ⊂平面APC ，即CD PA ⊥．………………6分(2）解:∵PO CD ⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ,PO ⊥底面ABCD ,3PO =． ∵M 是PB 的中点，∴M 到底面ABCD 的距离1322h PO ==21133332333422A CDM M ACDACD V V S h --∆==⋅⋅=⨯⨯=． ………………12分19．解：由茎叶图知：6天有3天空气质量未超标，有3天空气质量超标．记未超标的3天为,,a b c ，超标的3天为,,d e f ．从6天中抽取2天的所有情况为：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef ,基本事件数为15个．………………3分（1)记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A ,可能结果为:,,,,,,,,ad ae af bd be bf cd ce cf，基本事件数为9．所以()93155P A == ………………6分(2）记“至多有一天空气质量超标”为事件B ，“2天空气质量都超标”为事件C ，其可能结果为,,de df ef ，故()31155P C ==………………9分 所以()()141155P B P C =-=-=………………12分20．解：(1）由椭圆定义知，4a a =………………2分由c e a===1c b == ………………4分椭圆C 的方程为2213x y += ………………5分（2）由方程组()22223231013y x m x m x y ⎧=+⎪⎪⇒++-=⎨⎪+=⎪⎩， (7)分设()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()0,E x y ，则12x x+=．∴1200,22x x mxy +===∴,2m E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由PM PN=得PE MN ⊥，又()0,1P -∴1PE k =-， ∴1m =．………………10分 满足()22122410m m ∆=-->．综上1m =．………………12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞,对()f x 求导得()4f x a x'=- ………………2分①当0a ≤时，()0f x '>,()f x 在()0,+∞单调递增； ②当0a >时，()44a x a f x a x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-=，若40x a<<，()0f x '>，()f x 单调递增． 若4x a≥，()0f x '<,()f x 单调递减． ………………4分 综上，0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递增；0a >时,()f x 在40,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在4,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减 ………………6分（2）由（1）0a >且4x a =时，()f x 取得最大值故()max 44444ln 14ln 4f x f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………9分又由()max 4f x a >-得，44ln 0a >,解得04a <<,故所求a 的取值范围为()0,4．………………12分22．(1）证明:∵DE BE ⊥于E ，∴BD 为DBE ∆外接圆的直径，设圆心为O ，连接OE ，所以OB OE =．∴OBE OEB ∠=∠．又∵BE 平分ABC ∠∴OBE CBE ∠=∠,∴BEO CBE ∠=∠,∴BC OE又∵90C ∠=︒,∴OE AC ⊥∴AC 是BDE ∆的外接圆的切线．………………5分（2）解：由AC 是圆O 的切线知，2AEAD AB =⋅可得：63AB =∴43DB =43AO =23OB =∵BC OE ，∴AE AO EC OB=,∴3EC = ………………10分23．解:（1)由2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩得2cos 22sin x y θθ=⎧⎨-=⎩两式平方作和得：()2224x y +-=，即2240x y y +-=．① 由24cos cos ρθρρθ=-⇒=,即224x y x +=-②②—①：0x y +=，代入曲线1C 的方程得交点为()0,0和()2,2- ………………5分（2)由平面几何知识可知，当A 、1C 、2C 、B 依次排列且共线时AB 最大，此时224AB =,O 到直线AB 2所以，OAB ∆的面积为：()122422222S =⨯=+ ………………10分24．解：（1）由()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦得2x a -<，∴22x a -<-<，∴22a x a -<<+ 故：当2a ≥时，不等式的解集为{}2222x a x a a x a --<<-+-<<+或当22a -<<时，不等式的解集为{}22x a x a --<<+当2a ≤-时，不等式的解集为空集． ………………5分（2)∵函数()g x图象的上方f x的图象恒在函数()∴()()<-+恒成>恒成立,即m x a xf xg x立………………8分∵()-+≥--=．x a x x a x a∴m的取值范围为()-∞．…,a……………10分。