等差数列及其性质典型例题及练习(学生)

等差数列及其性质

典型例题：

热点考向一：等差数列的基本量 例1.

在等差数列{n a }中，

（1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S

变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知

102030,50a a ==.

（1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n .

热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n

a a +=-

，221

n n b a =

-，其中*

.n N ∈

（1）求证：数列{}n b 是等差数列；

（2）求证：在数列{}n a 中对于任意的*

n N ∈，都有

1n n a a +>.

（3

）设n

b n

c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由.

跟踪训练：已知数列{n a }中，13

5

a =

，数列11

2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足

1()1

n n b n N a *=∈-

（1）求证数列{n b }是等差数列；

（2）求数列{n a }中的最大项与最小项.

热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S .

（1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值；

（2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？

跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知

.0,0,1213123<>=S S a

（I ）求公差d 的取值范围；

（II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。

热点考向四：等差数列的综合应用

例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝3

a n a n ＋1，T n

是数列{b n }的前n 项和，求使得

T n

20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m . 变式训练：设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为

n S ，已知3122a a a +=，数列

{}n

S 是公差为d 的等差

数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）； （2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。求证：c 的最大值为

2

9。

等差数列及其性质作业

一.选择题：

1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为 （ ）

A 、-600

B 、-120

C 、60

D 、-60 2、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是 （ ）

A 、a

B 、a 10

C 、a 11

D 、a 12

3.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是 （ ）

A.公差为2的等差数列

B. 公差为5的等差数列

C.首项为5的等差数列

D. 公差为n 的等差数列

4. 已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11= （）

A 、36

B 、30

C 、24

D 、18 5.等差数列3,7,11,

,---的一个通项公式为 （ ）

A. 47n -

B. 47n --

C. 41n +

D. 41n -+ 6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，

789a a a ++，，32313n n n a a a --++，

是 （ ）

A.一定不是等差数列

B. 一定是递增数列

C.一定是等差数列

D. 一定是递减数列 二.填空题：

7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = .

8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = . 9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，

37a a 与的等差中项为7，则n a = .

10. 若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，

则a 5+a 8= . 三.解答题 11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列

{}n a :5,3,1,1,

,---中的项，若是，是第几项？

答案：1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.10 8.21

9.23n - 10. 3 11.由题意知27n

a n =-,由2752n -=,得

29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项.

又由2727n k -=+解得7n k N *

=+∈,∴27k +是数列

{}n a 中的第7k +项.

12. （1）d=-4;（2）a n =-4n+27