04 复习拉氏反变换有关知识 §2.3 传递函数
第2章 2.3传递函数
i =1 i =1 l 1 ( m−l ) 2
G(s ) =
(
)
∏ (T s +1) ∏ (T
h j j =1 j =1
1 ( n −h ) 2
2 2 j
s + 2ξ jT j s + 1
)
注意！
K 传递系数或 静态增益，常 数项归一
C (s) (s G( s ) = R(s)
C(s) b0 s + b1s + ⋯ + bm−1s + bm = n n −1 R(s) a0 s + a1s + ⋯ + an−1s + an
m
m−1
2.3传递函数
一 定义与性质 [性质] （1）传递函数的概念只适用于线性定常 系统，它是在零初始条件下定义的。 （2）传递函数是复变量 S 的有理分式函 数，即： ≥ m；各系数均为实数。 n 是系统元件参 数的函数 物理系统的固有特性是因果性；若m>n, 则这是物理不可实现的系统。
C (s) 1 = 2 2 传递函数： G ( s ) = R ( s ) T s + 2ξ Ts + 1
ω n2 1/T 2 = = 2 2ξ 1 s + 2ξω n s + ω n2 2 s + s+ 2 T T
R(s)
ωn ：无阻尼 无阻尼
ζ ：阻尼比
22
1 T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1
振荡环节方框图
C(s)
自然振荡频率
2.3传递函数
传递函数
这些微分环节的传递函数没有极 点，只有零点。由于n<m,一般
一阶: G(s)Tds1
不会单独存在,实际微分环节是 加入惯性环节的实现.
二阶: G (s)Td2s22Tds1
实际:
G(s)
Td s Td s 1
G(s)
T2s2
1
2Ts1
两种形式的能量转换过程中使输 出产生振荡。
G(s) es
输出和输入相同仅延迟时间τ； 不失真
原因：延时效应。信号输入环节后，由于环节传递信号的速 度有限。输出响应要延迟一段时间τ才能产生。
典型环节
比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节
振荡环节 延迟环节
传递函数
特点
G(s) K
同步变化,不失真,不延时
G(s) 1 Ts 1
跟随输入,存在时间上的延迟
G(s)
1 s
输出随时间无限的增加
理想: G(s) Tds
i
1 zi
1 Tj pj
m
K ──时间常数形式传递函数的增益；
zi
通常称为传递系数。
K Kg
i1 n
pj
j1
2.2.2 典型环节及其传递函数
一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压 的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的 动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，一 般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典 型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。
数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。
➢传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学
科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函 数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。
传递函数
2.3.6 典型环节及其传递函数
比例环节传递函数
输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。即 则传递函数为
y(t) = K (t) ， x
G(s) =
Y(s) = K ，式中 式中K——放大系数 放大系数 X(s)
惯性环节(非周期环节 惯性环节 非周期环节) 非周期环节
Y(s)=0的根称为零点。 的根称为零点。 的根称为零点 X(s)=0的根称为极点。 的根称为极点。 的根称为极点 零点和极点的数值取决于系统的参数。 零点和极点的数值取决于系统的参数。
G(s)的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性
2.3.5 传递函数的特点
传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。 传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。
2.3.2 传递函数的概念
在零初始条件下，线性定常系统输出象函数Y(s)和输入象函数 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 和输入象函数X(s)之比，称为系统的传 之比， 和输入象函数 之比 递函数， 表示。 递函数，用G(s)表示。即 表示
d2 y(t) dy(t) m 2 +f +ky(t) = x(t) dt dt
2 ωn Y(s) 1 k G(s) = = 2 = 2 2 2 X(s) k s +2 ns +ωn T s +2 Ts +1 ξω ξ
则传递函数为
式中ω
k = n m
—— 无阻尼固有频率； ξ = 无阻尼固有频率；
f 1 —— 阻尼比； 阻尼比； 2 m k
dy(t) T + y(t) = Kx(t) dt
传递函数
K
K r zi
m
p
j 1
n
i 1
j
二、传递函数的性质和含义
1.动态数学模型，不反映系统内部信息，是外 部描述，用方框表征，适用于单输入单输出系 统，多入单出系统可以传递函数矩阵表示 2.分子阶次m不大于分母阶次n:符合物理系统的 客观规律：输出不可能立刻复现输入:惯性 3.传递函数是系统（或环节）在复数域中的数 学模型，是固有特性的描述 4.传递函数只取决于系统本身的结构参数，与 外界输入无关
1
1
1
1
传递函数：
G(s)
C(s) 1 K R(s) Ts s
积分环节例
i (t )
n (t )
D
x (t )
u (t )
N (s)
D
s
X (s)
I (s)
1 Cs
U (s)
4、惯性环节(非周期环节)
特点：含有一个独立的储能元件，对突变的输入，输 出不能立即复现，存在时间上的延迟
lim f (t ) lim sF ( s)
s 0
L[ f (t )] e s F ( s)
t 0
lim f (t ) lim sF ( s)
s
F ( s) f 1 (0) L[ f (t )dt] s s
df (t ) L[ ] sF ( s) f (0) dt
；
C ( s) R( s )
K ( i s 1) [(
；
m1
m2
s
s
(
j 1
i 1 n1
j
s 1) [(
l 1
k 1 n2
自动控制原理2.3 传递函数1.3 传递函数
U a (s) TaTm s 2 Tm K 0 s 1
1 K0
1 K0
(s) Mc (s)
Km 1 K0
(Ta
s
1)
TaTm s 2 Tm K 0 s 1
1 K0
1 K0
2．性质与说明：
（1）传递函数是复变量s的有理真分式，具有复变
函数的所有性质，且所有系数均为实数。
a1
d n1c(t) dt n1
an1
dc(t ) dt
a n c(t )
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr (t ) dt
bm r(t)
当初始条件为零时有：
[a0 s n a1s n1 an1s an ]C(s)
一、基本概念：
第二章 数学模型
以 RC 网络为例。
R
RC
duc dt
uc
ur，设
uc (0)
0
C
则有 RCsUc (s) Uc (s) Ur (s)
ur i
uc
即(RCs 1)Uc (s) Ur (s)
Uc (s)
1 RCs
1
U
r
(
s)。
其中 Ur (s)随
ur (t) 形式而变，
号的性质和能力，故称它为RC网络的传函。
1、定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零 时，输入量拉氏变换与输出量拉氏变换之 比叫做系统的传递函数 。
G(s) C(s) . R(s) R(s)
拉氏变换及传递函数详解演示文稿
2.复变数的各种表达形式
s j 代数形式
s
极坐标
s e jθ
指数
s (cos j sin )
三角
s 2 2 tg 1
欧拉定理：
e jθ cosθ j sin θ e jθ cosθ j sin θ cosθ 1 (e jθ e jθ )
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
5 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
证
明： 左 f t estdt estdf t
0
0
e-st f
t
0
例8
L e-3t cos 5t
s 2
s 52
ss3
s3
s 32 52
例9
Le 2 t
cos ( 5t
π 3
)
Le 2t
cos5(t
π 15
)
-
π
s
e 15
s
2
s
52
s
s
2
π s2
e 15
s2 s 2 2 52
（6）初值定理 lim f (t) lim s F(s)
s
s
s
（5）位移定理 L eAt f (t) F (s A)
证明：左 e At f (t) ets dt f (t) e(sA)t dt
0
0
令 sA s
f (t)est dt
(第03讲) 第二章 拉氏变换与传递函数
t )] 1( s
(
s j
) s
2
2
4 幂函数
L (t )
n
t t) 1(
n
n s
t e
n
st
dt
st
1 s
n s
t e
n
st
0
0
n
s
e
st
t
n 1
dt
0
L[t
n
]
t
n 1
e
dt
L[t
n 1]
]
0
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
X ( s ) L [ x ( t )]
x (t )e
st
dt
0
式中，s是复变数； s
x (t ) 为原函数； X ( s )
j
Re( s )
为象函数。
2.3.2 简单函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 1( t )
0, t 0 1( t ) 1, t 0
x ( t ) y ( t ) 的卷积分的数学表示为：
x (t ) y (t ) x (t ) y (t )
06-7-20
t 0
t
x ( t ) y ( ) d
0
x ( ) y ( t ) d y ( t ) x ( t )
控制系统系统的动态数学模型 12
对于函数 x (t ) 满足， x （1）当t<0时， ( t ) 0
x (t 当t>0时， )
2.3传递函数
二、传递函数的性质和含义
（关于传递函数的说明）
1．传递函数是描述线性定常系统的重要数 学模型之一，是系统动态数学模型，传递 函数的概念只适用于线性定常系统；
2．传递函数描述的是输出变量与输入变量 间的关系，传递函数只取决于系统本身的 结构、参数，与系统输入量无关；
3．传递函数是复变量s的有理分式函数， 其分子分母都是s的有理多项式，所有的系
这是一个脉冲面积（强度）为T 、宽度为零、幅值
为无穷大的理想脉冲，显然在实际中是无法实现的。
一阶微分环节：
这是一个比例环节与微分环节的并联组合， 称为一阶微分环节，或实用微分环节。
一阶微分环节的实现电路：
5．振荡环节
振荡环节一般含有两个环节的特点是，其输出信号比输人信号 延迟一段时间。
3、输入——偏差
偏差信号E(s)对于给定 输入R(s)与干扰输入N(s) 的闭环传递函数
⑴ 给定输人R(s)单独作用时
方框图：
闭环传递函数：
⑵ 扰动输人N(s)单独作用时
方框图：
闭环传递函数：
⑶ 系统在R(s)、N(s)同时作用下的总偏差
总偏差为各自独立作用下的偏差之和，即
在上面推导中，各闭环传递函数都具有相 同的分母，这反映了系统闭环传递函数的 共同规律，即分母多项式反映了系统的固 有特性。
7．传递函数常用形式之二：时间常数表达式
特点： 各因式项中的常数项均为1（若不是
零）；
各因式中s项的系数τi和Ti 称为各
环节的 时间常数，
k 称为系统增益或放大系数。
三、典型环节的传递函数
1．比例环节（放大环节）
特点是输出量能够不失真、不延迟，成比 例地复现输人信号。
传 递 函 数
（1）传递函数只适用于线性定常系统。由于传递函数是基于拉氏变换将原来的线 性常系数微分方程从时域变换至复频域而得到的，故仅用于描述线性定常系统。
（2）传递函数是在零初始条件下定义的，因此它表示了在系统内部没有任何能量 储存条件下的系统描述。如果系统内部有能量储存，传递函数中将会出现系统在
1.1 传递函数的定义
传递函数的概念是在用拉氏变换求解线性微分方程的基础上提出的，它是
经典控制理论中应用最广泛的一种动态数学模型。
设描述n阶线性定常系统的微分方程为
dnc(t) dn1c(t)
dc(t)
a0 dtn a1 dtn1 an1 dt anc(t)
b0
d m r (t ) dt m
记作
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n
m)
G(s) 反映了系统输出与输入之间的关系，描述了系统的特性，即为线性定
常系统的传递函数。
【定义 2-1】 线性定常系统中，在零初始条件下，系统输出量拉氏变换与输入
R(s) L (t) 1
所以，系统在单位脉冲输入信号 (t)作用下输出量的拉氏变换为 C(s) G(s)
故有：
g(t) L1 C(s) L1 G(s)
可见，传递函数 G(s) 的拉氏反变换是系统在单位脉冲输入信号 (t) 作
用下的输出量，它完全描述了系统的动态特性，所以是系统的数学模型，通常 也称为脉冲响应函数。
b1
d m 1r (t ) dt m1
bm1
dr(t) dt
bm r (t )
式中 c(t) ——系统输出量；
传递函数的反拉氏变换是单位脉冲响应
传递函数的反拉氏变换是单位脉冲响应反拉氏变换是拉氏变换的逆操作，它能够将频域中的表达式转换回时域中的函数。
在工程和物理学中，反拉氏变换是非常重要的，它可以帮助我们理解和分析各种信号和系统。
其中，传递函数的反拉氏变换是单位脉冲响应。
首先，让我们回顾一下拉氏变换。
拉氏变换是一个非常强大的数学工具，它将一个时域函数转换成一个复平面上的函数，这使得我们可以在频域中进行分析和处理。
具体来说，对于一个时域函数f(f)，其拉氏变换定义为：f(f) = f{f(f)} = ∫[f^(-ff)]*[f(f)]*ff其中，f = f + ff是一个复数，f是实部，f是虚部。
f^(−ff)是复平面上的指数函数。
反拉氏变换是拉氏变换的逆运算，它将一个复平面上的函数转换回时域中的函数。
对于一个复平面上的函数f(f)，其反拉氏变换定义为：f(f) = f^(-1){f(f)} = 1/2f*∫[f^(ff)]*[f(f)]*ff在信号处理和系统分析中，我们经常遇到的是用来描述线性时不变（LTI）系统的传递函数。
传递函数是一个函数f(f)，它描述了输入和输出之间的关系。
具体来说，对于一个输入信号f(f)和一个输出信号f(f)，它们之间的关系可以用传递函数表示为：f(f) = f(f)*f(f)其中，f(f)和f(f)分别是输入和输出信号的拉氏变换，f(f)是系统的传递函数。
现在让我们来解释为什么传递函数的反拉氏变换是单位脉冲响应。
首先，我们假设输入信号f(f)是一个单位脉冲函数，即在时刻f = 0时为1，其他时刻为0。
单位脉冲函数可以用拉氏变换表示为f(f) = 1。
根据传递函数的定义，输出信号的拉氏变换可以表示为：f(f) = f(f)*f(f) = f(f)*1 = f(f)现在，我们需要将输出信号的拉氏变换反变换回时域中的函数f(f)。
根据反拉氏变换的定义，我们有：f(f) = f^(-1){f(f)} = 1/2f*∫[f^(ff)]*[f(f)]*ff这里的f(f)表示传递函数。
拉氏反变换基本公式
拉氏反变换基本公式拉氏反变换是自动控制原理、信号与系统等学科中一个非常重要的概念。
咱先来说说啥是拉氏反变换。
拉氏变换和拉氏反变换就像是一对好兄弟，拉氏变换把一个时域函数 f(t) 变成了复频域函数 F(s)，那拉氏反变换呢，就是把这个复频域函数 F(s) 再给变回到时域函数 f(t) 。
这就好比你把一个东西从一个房间搬到另一个房间，拉氏反变换就是再给搬回来。
拉氏反变换的基本公式，那可是解决很多问题的关键钥匙。
比如说在分析电路的时候，通过拉氏变换把复杂的时域电路方程变成简单的复频域方程，解出复频域的结果后，再用拉氏反变换变回时域，就能得到我们想要的答案啦。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个特别有趣的事儿。
当时有个学生，对这拉氏反变换怎么都搞不明白，愁得小脸都皱成一团了。
我就给他举了个特别简单的例子，我说：“你就把拉氏变换想象成你把一堆乱七八糟的玩具装进不同的盒子里，每个盒子都有个标签，那拉氏反变换呢，就是按照标签再把玩具从盒子里拿出来放回原位。
”这孩子听完，眼睛一下子亮了，好像突然就开窍了。
咱们再来说说拉氏反变换的基本公式具体怎么用。
首先得知道常见函数的拉氏变换，像单位阶跃函数、指数函数这些。
然后呢，根据给出的复频域函数 F(s) ，通过分式分解、部分分式展开等方法，把它变成我们熟悉的形式，再利用基本公式和性质就能求出时域函数 f(t) 啦。
在实际应用中，拉氏反变换能帮助我们解决各种各样的问题。
比如说在控制系统的设计和分析中，我们可以通过拉氏反变换来求出系统的响应，从而判断系统的性能是否满足要求。
总之啊，拉氏反变换基本公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多琢磨琢磨，就会发现其实也没那么难。
就像爬山一样，一开始觉得山好高好难爬，但只要一步一步坚持往上走，总能到达山顶，看到美丽的风景！希望大家都能把这拉氏反变换给拿下，在学习的道路上越走越顺！。
传递函数的拉氏反变换是单位脉冲响应 -回复
传递函数的拉氏反变换是单位脉冲响应-回复拉氏反变换是一种将传递函数（Transfer Function）转换为时域中的单位脉冲响应（Impulse Response）的数学过程。
在探讨这个主题之前，让我们先了解一下拉氏变换和传递函数的概念。
拉氏变换是一种将时域信号转换为复频域的数学工具。
它可以用来分析和处理连续时间系统中的信号和系统特性。
拉氏变换将时域信号f(t) 转换为复频域信号F(s)，其中s 是一个复变量。
拉氏变换可以方便地对信号进行频域分析和处理，例如滤波、系统响应等。
传递函数是描述系统输入和输出之间关系的函数。
对于连续时间系统，传递函数通常表示为H(s)，其中s 是复频域变量。
传递函数是通过将输入信号的拉氏变换F(s) 与系统的拉氏变换H(s) 相乘来获得输出信号的拉氏变换Y(s)。
数学上，这可以表示为Y(s) = H(s) ×F(s)。
传递函数是系统的核心特性之一，它可以告诉我们系统在不同频率上对输入信号的响应。
单位脉冲响应是指当系统输入一个单位脉冲信号时，系统的输出响应。
单位脉冲信号是一个具有单位幅值且宽度极窄的矩形函数。
在时域上，单位脉冲信号可以表示为δ(t)，其中δ(t) 是狄拉克（Dirac）函数。
在频域上，单位脉冲信号的拉氏变换为1。
那么，拉氏反变换是如何将传递函数转换为单位脉冲响应的呢？拉氏反变换可以通过以下步骤来完成：步骤1：将传递函数H(s) 分解为部分分式形式。
这可以通过使用部分分式分解技术来完成。
部分分式分解可以将一个复杂的有理函数（分子和分母分别是多项式的函数）表示为一组简单分式之和。
步骤2：为了使用拉氏反变换公式，需要将部分分式的形式重新组合为拉氏反变换表格中的形式。
拉氏反变换表格中包含了一系列常见的拉氏变换及其反变换。
步骤3：根据拉氏反变换公式和拉氏反变换表格，将各个部分分式的反变换计算出来。
这将获得单位脉冲响应的时域表达式。
通过这些步骤，我们可以将传递函数的拉氏反变换计算为单位脉冲响应的时域表达式。
拉氏变换和反变换公式
拉氏变换和反变换公式拉氏变换和反变换公式，这可真是数学领域里相当重要且有点“烧脑”的一部分内容。
咱先来说说拉氏变换，它就像是一个神奇的魔法工具，能把在时域里看起来复杂得让人头疼的函数，给变到复频域里，让咱们能更方便地分析和处理。
比如说，一个随时间变化得乱七八糟的信号，经过拉氏变换之后，可能就会变得有规律、好理解多啦。
我记得有一次给学生们讲拉氏变换的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这拉氏变换到底有啥用啊？感觉好难啊！”我笑着跟他说：“你就想象你要跑一段很长很乱的路，这路一会儿上坡一会儿下坡，一会儿还有石头挡着。
拉氏变换就像是给你变出一双翅膀，让你能从空中看这段路，一下子就清楚路的走向和特点啦！”这孩子似懂非懂地点点头。
那拉氏变换的公式呢，一般是对于一个函数 f(t) ，它的拉氏变换 F(s) 等于从 0 到正无穷对 e 的 -st 次方乘以 f(t) 进行积分。
这里的 s 是个复数，这公式看起来可能有点复杂，但其实只要多做几道题，多练习练习，也就慢慢熟悉了。
再来说说反变换，它就是把在复频域里的函数变回时域里的原来的样子。
就像是你把东西变到了另一个世界，现在又要把它给变回来。
反变换的公式也有不少方法可以求解，像部分分式展开法、留数法等等。
给大家举个例子啊，比如说有一个函数 F(s) = (s + 1) / (s^2 + 2s + 2) ，咱们要把它通过反变换变回时域里的函数 f(t) 。
首先，把 F(s) 进行部分分式展开，得到 F(s) = 1 / (s + 1 + i) + 1 / (s + 1 - i) ，然后根据反变换的公式和一些常见函数的拉氏变换对，就能求出 f(t) = e^(-t) cos(t) 。
在学习拉氏变换和反变换公式的过程中，大家可别着急，一步一个脚印，多做练习，多思考，慢慢地就能掌握这个神奇的工具啦！相信大家都能在数学的世界里越走越远，越学越厉害！。
74-学习手册-单元二知识点二拉氏变换和知识点三传递函数
例题分析：用复阻抗法求 RLC 串联电路的传递函数
解：将 RLC 串联电路中的电压和电流各量用对应的象函数表示，根据电工基础所学 知识，有：
课堂讨论
已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
c(t)
=
1-
2 3
e-t
-
1 3
e-4t
试求：系统的传递函数。
解：
C(s)
=
1 s
-
2 3
�s 1+1
-
1 3
�s +1
t
s0
知识点三 传递函数
学习重点：
1、理解传递函数的定义
2、控制系统传递函数的求取方法
3、直接求取法和复阻抗法能够传递函数
学习内容：
一、传递函数的定义
当初始条件为零时，输出量 c(t)的拉氏变换式 C(s)与输入量 r(t)的拉氏变换式 R(s)的 之比。
零初始条件有两方面含义：
一是指输入量在 t≥0 时才作用于系统，因此，在 t≤0 时，输入量及其各阶导数均为
s( s 2
+
1 a1s +
a2 )
（3）L-1变换
y t = L-1 Y (s)
（四）小结
1 拉氏变换的定义
ﾥ F (s) = ﾥ f (t) ﾥe-tsdt 0
2 常见函数L变换
f (t)
（1）单位脉冲
(t)
（2）单位阶跃
1(t )
（3）单位斜坡
t
（4）单位加速度
t2 2
e -at
（5）指数函数
L f t = s F s - f 0
L
f tdt
=
1 s
F
拉普拉斯变换以及传递函数
2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
例2-5
求例2-2机械系统与电路系统的传递函数 Xc和(s) Uc (s)
解：
Xr (s)
U r (s)
•
•
(B1 B2 ) X c (K1 K 2 ) X c B1 X c K1 X r
(B1 B2 )SXc (s) (K1 K2 ) X c (s) B1SX r (s) K1X r (s)
性质 传递函数与微分方程之间有关系。
6
G(s) C(s) R(s)
如果将 S d 置换 传递函数 微分方程
dt
10
性质 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)
7
脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单 位脉冲输入
时的输出响应。
R(s) L[ (t)] 1
c(t) L1[C(s)] L1[C(s)R(s)]
延迟定理
L[ f (t )] es F (s)
终值定理
lim f (t) lim sF (s)
3
t
s 0
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理 微分定理
lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
于是，由定义得系统传递函数为：
拉氏变换、传递函数、数学模型
拉普拉斯变换的数学方法一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数()t F ，其中0t ≥，则f(t)的拉氏变换记作：⎰∞-==0st dt e )t (f )s (F )]t (f [L称L —拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当∞→t 时，at Me )t (f ≤，M ，a 为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F （s ）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
⎰+σ-σ-π==jw jw st1ds e )s (F j21)]s (F [L )t (f 1L -—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数()[]()s1e s 1dt e 0dt e .t 10t 1L 0stst st =-=⎩⎨⎧∞=⎩⎨⎧∞=∞--- 2．单位脉冲函数()⎩⎨⎧=∞≠=δ0t 0t 0t ()⎩⎨⎧=10t 10t 0t ≥〈⎰∞-=δ=δ0st 1dt e )t ()]t ([L3．单位斜坡函数4．指数函数at e⎰⎰∞∞----===0t )a s (st at at as 1e dt e e ]e [L 5．正弦函数sinwt由欧拉公式：wt sin j wt cos e jw t +=wt sin j wt cos e jwt -=- 所以，)e e (j21wt sin jwt jwt--=220t)jw s (t )jw s (0st jwt jwtw s w )jw s 1jw s 1(j 21dt )e e (j 21dt e )e e (j21]wt [sin L +=+--=-=-=⎰⎰∞+---∞--6．余弦函数coswt)e e (21wt cos jwt jwt-+=22ws s]wt [cos L += 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表()⎩⎨⎧≥<=0t tt 0t f []2ststst 0s1dt e te s 1dt te t L =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-∞∞--∞⎰⎰三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k 1，k 2,函数f 1(t),f 2(t),且f 1(t),f 2(t)的拉氏变换为F 1(s),F 2(s), 则有：)s (F k )s (F k )]t (f k )t (f k [L 22112211+=+，此式可由定义证明。
§2-3传递函数（transferfunction）：§；2-3传递函数（传递函数）
§2－3 传递函数 (transfer function)传递函数的概念与定义线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。
这里，“初始条件为零”有两方面意思：一指输入作用是t ＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在0t -=时的值为零。
二指输入信号作用于系统之前系统时静止的，即0t -=，系统的输出量及各阶导数为零。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的 。
一、传递函数的概念与定义图2-5 传递函数图示()()()s U s U s G r c =二、关于传递函数的几点说明 传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关； 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章。
）传递函数是关于复变量s 的有理真分式，它的分子，分母的阶次是n ≥m ： 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。
这将在第四章根轨迹中详述。
传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为()()()G s C s R s =。
当()()r t t δ=时，()1R s =，所以：()()[]()()[]()[]s G L s R s G L s C L t c 111---===传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。
三、传递函数举例说明例1. 如图所示的RLC 无源网络，图中电感为L （亨利），电阻为R （欧姆），电容为C （法），试求输入电压u i (t)与输出电压u o (t)之间的传递函数。
图2-6 RLC 无源网络解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。
无源网络通常有电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。
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C m 1(s-p1 )m C n(s-p1 )m s-pm 1 s-pn
d (s p1 )m .F(s) 0 C m 1 2C m 2 ( s p1 ) ( m 1)C1 ( s p1 )m 2 ds 1 d lim (s p1 )m .F(s) C m- 1 1! s p1 ds d2 (s p1 )m .F(s) 0 0 2C m 2 ( m 1)( m 2)C1 ( s p1 )m 3 ds 2 1 d2 lim 2 (s p1 )m .F(s) C m- 2 2! s p1 ds
复习拉普拉斯变换有关内容（16）
s3 ，求 f ( t ) ? 2 s 2s 2 s3 C1 C2 F(s) 解一. (s 1-j)(s 1 j) s 1-j s 1 j
例4 已知 F ( s )
C1 lim (s 1 j)
s3 2 j s 1 j (s 1 j)(s 1 j) 2j s3 2i C 2 lim (s 1 j) s 1 j (s 1 j)(s 1 j) 2 j
1 t 1 3t f(t) e e 2 2
s 2 5s 5 例3 已知 F ( s ) 2 ，求 f ( t ) ? s 4s 3
s2 ( s 2 4 s 3) ( s 2 ) 1 解. F(s) ( s 1)( s 3) s 2 4s 3 1 1 f(t) ( t ) e t e 3 t 2 2
f(t) 1 1 e at a
复习拉普拉斯变换有关内容（13）
用L变换方法解线性常微分方程
an c ( n ) an1c ( n1) ... a1c a0c bm r ( m ) bm 1r ( m 1) ... b1r b0 r
0 初条件
2 j ( 1 j ) t 2 j ( 1 j ) t 1 e t ( 2 j )e jt ( 2 j )e jt f(t) e e 2j 2j 2j 1 t e j2 cos t 4 sin t e t cos t 2 sin t 2j s1 1 s 1 2 s3 2 F(s) 解二： 2 2 2 2 (s 1 )2 12 (s 1 )2 12 (s 1 ) 1 (s 1 ) 1
n>m
L : (an s n an1 s n1 ... a1 s a0 )C ( s ) (bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 ) R( s )
bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 C ( s) R( s ) n n 1 an s an1 s ... a1 s a0 bm s m bm 1 s m 1 ... b0 C1 C 2 C n C ( s) s n an s n an1 s n1 ... a0 s 1 s 2 i : 特征根（极点） t t t 1 1 L : c(t ) L [C ( s)] C1e C2e Cne t e : 相对于 i 的模态
s p1
lim (s p1 )m .F(s) C m
复习拉普拉斯变换有关内容（19）
s2 ，求 f ( t ) ? 2 s( s 1) ( s 3) c c2 c c F(s) 1 3 4 解. (s 1 )2 s 1 s s 3
I. 当 A( s ) 0 无重根时 n Cn Ci C1 C2 F(s) s p1 s p2 s pn i 1 s pi 其中：
C i lim (s pi ).F(s)
s pi
Ci
B(s) A (s)
s pi
f ( t ) C 1e
自动控制原理
西北工业大学自动化学院
自动控制原理教学组
自动控制原理
本次课程作业（4）
附加: 已知 F(s) ，求 f(t)
2s 2 5s 1 (1) F(s) s(s 2 1 ) s (2) F(s) 2 s 8s 17
2 — 4, 5, 6, 7
1 (3) F(s) 3 s 21 s 2 120 s 100
（5）复位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理
L f ( t 0 ) e τ s F ( s )
L e At f ( t ) F ( s A)
lim f ( t ) lim s F ( s )
t 0 s s0
lim f ( t ) lim s F ( s )
2
1 1 3 1 2 1 1 1 F(s) . . . . 2 (s 1 )2 4 s 1 3 s 12 s 3 1 3 2 1 f(t) te t e t e 3 t 2 4 3 12
线性定常微分方程求解
例6
R-C 电路计算
RCuc uc ur
p1 t
C 2e
p2 t
C ne
pn t
C i e pi t
i 1
n
复习拉普拉斯变换有关内容（15）
例2 已知 F ( s )
s2 ，求 f ( t ) ? 2 s 4s 3 s2 C1 C2 解. F(s) (s 1 )(s 3 ) s 1 s 3
复习拉普拉斯变换有关内容（18）
Cm C m-1 C m 1 Cn C1 F(s) m m- 1 (s-p1 ) (s-p1 ) s-p1 s-pm 1 s-pn
(s-p1 ) F(s) C m C m-1(s-p1 ) C m- 2(s-p1 ) C1(s-p1 )
例5 已知 F ( s )
1 2 1 s2 C 2 lim (s 1 ) 2 s 1 s(s 1 )2(s 3 ) ( 1 )( 1 3 ) 3 1 d s2 s( s 3) ( s 2)[ s 3 s] 2 C1 lim (s 1 ) lim 4 1! s 1 ds s(s 1 )2(s 3 ) s 1 s 2 ( s 3) 2 s2 2 C 3 lim s. s0 s(s 1 )2(s 3 ) 3 s2 1 C 4 lim( s 3) s 3 s(s 1 )2(s 3 ) 12
F ( s) f (t ) e ts dt
0
f (t )
F (s )
1 1s 2 1s 3 1s 1 ( s a)
(t )
1( t ) t t2 2
e at sin t cos t
(s2 2 ) s (s2 2 )
课程回顾(3)
4 L变换重要定理
3s 2 2s 8 (4) F(s) s(s 2 )( s 2 2 s 4)
s2 (5) F(s) s(s 3 )(s 1 )2
自动控制原理
（第 4 讲）
第二章 控制系统的数学模型
复习： 拉普拉斯变换有关知识 §2来自3 控制系统的复域数学模型自动控制原理课程的任务与体系结构
课程回顾 (1)
控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程
• 元部件及系统微分方程的建立 • 线性定常系统微分方程的特点 • 非线性方程的线性化 • 微分方程求解
课程回顾(2)
2 拉氏变换的定义 3 常见函数L变换
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
C m lim (s p1 )m .F(s) s p1 Cm C m-1 C 1 d f(t) L1[ 1 (s p1 )m .F(s) (s-p1 )m (s-p1 )m-1 s-p1 C m- 1 slim 1! p1 ds C C m 1 n ] s-pm 1 s-pn 1 d ( j) m Cm C m-1 m 2 C m-j slim j (s p1 ) .F(s) j! p1 ds [ t m 1 t C 2 t C1 ].e p1t (m 1 )! (m 2 )! n ( m 1 ) 1 d C i e pi t m i m 1 C1 (m- 1 )! slim1 ds m 1 (s p1 ) .F(s) p
t
复习拉普拉斯变换有关内容（12）
5 拉氏反变换
（1）反演公式
f (t )
2 j j
1
j
F ( s ) e t s ds
（2）查表法（分解部分分式法）
试凑法 系数比较法 留数法
1 例1 已知 F(s) ，求 f ( t ) ? s(s a)
1 1 (s a)-s 1 1 解. F(s) a s(s a) a s s a
（1）线性性质
（2）微分定理 （3）积分定理
La f1(t) b f 2(t) a F1(s) b F2(s)
L f t s F s f 0
1 1 L f t dt F s f -1 0 s s
（4）实位移定理
r ( t ) ( t )
1 2 n
i
复习拉普拉斯变换有关内容（14）
用留数法分解部分分式 B( s ) bm s m bm 1 s m 1 ... b0 (n m ) 一般有 F ( s ) n n 1 A( s ) an s an1 s ... a0 A( s ) an s n an1 s n1 ... a0 ( s p1 )( s p2 )( s pn ) 设