2018届江苏省南京市高淳区江苏淮海中学、盐城中学、淳辉高中等97校高三12月联考数学试卷
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．38 6．－9 7． 2 8．79．43 10．(－1，1) 11． 2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0) 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ．又因为GN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN ⊂平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN ⊂平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分 因为AH ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC ⊂平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分 17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1 d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△P AB 中，AB ＝10，P A ＝15，∠P AB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋P A 2－2AB ·P A cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分又d 12＝P A 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1 d 12－k S 2 d 22＝k S 1 d 12－k λS 1 d 22＝kS 1(1 d 12－λd 22)， …………………………4分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分（2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，由m 1＜m 2得，k S 1 d 12＜k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22＜λd 12．……8分代入坐标，得(x －10)2＋y 2＜λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ) x 2＋(1－λ) y 2－20x ＋100＜0． ……………………10分 因为0＜λ＜1，配方得 (x －101－λ)2＋y 2＜(10λ1－λ)2， 所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是：圆心为C (101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是：圆心为B (10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC ＜| r 1－r 2|． …………………………12分 因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)． …………………………14分解法二：要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1＜m 2恒成立．由m 1＜m 2，得k S 1 d 12＜k S 2 d 22＝k λS 1 d 22，化简得d 12＞d 22λ． …………………………8分设∠PBA ＝θ，则d 12＝P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ， …………………………10分所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，(第17题)所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0 ，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分即x 02＝2y 0(m －y 0)． ①又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x 0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y 0y 20＋2x 20， …………………………12分 所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1，所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m ． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km ． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m 1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2 ∈(12，1)，此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC ＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k 2． …………………12分 又因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|－8k 1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e ． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x 2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ，F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0， 又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ), 若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ②……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*， 即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)， 于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m＋k ＋2)，整理得2n －m＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1． …………………………5分所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分 因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分 综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124．所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分（2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576，P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T 的个数为：C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1＝C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n －n ＋1 ＝2n －C 0n －C n n －n ＋1＝2n －n －1． ………………………………10分。
(2021年整理)南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与答案
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南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝错误! 错误!(x i －错误!）2，其中错误!＝错误! 错误!x i ; 锥体的体积公式:V ＝13Sh ,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x ）＝lg （2－x ）的定义域为错误!．2．已知复数z 满足错误!＝i ，其中i 为虚数单位,则复数z 的模为 ▲ ． 3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ．4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则这组数据的方差为错误!．(第3题)5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方,则恰有2名教师被派往甲地的概率为▲．6．已知等差数列{a n｝的前n项和为S n．若S15＝30,a7＝1,则S9的值为错误!．7．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c．若b sin A sin B＋a cos2B＝2c，则错误!的值为错误!．8．在平面直角坐标系xOy中,双曲线C：x2－错误!＝1 （b＞0）的两条渐近线与圆O：222x y+=的四个交点依次为A，B,C，D．若矩形ABCD的面积为b，则b的值为▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为错误!的正四棱锥S—EFGH（如图2），则正四棱锥S－EFGH的体积为错误!．A DBCEFGH(图1)SEF GH(图2)(第9题)10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x）＝x2＋x．若f(a）＋f（－a)＜4,则实数a的取值范围为错误!．11．在平面直角坐标系xOy中,曲线y＝错误!(m＞0)在x＝1处的切线为l，则点(2,－1）到直线l的距离的最大值为错误!．12．如图,在△ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F．若错误!·错误!＝2,错误!·错误!＝5，则AE的长为错误!．B D(第12题)13．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C:(x＋4)2＋（y－a）2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l:y＝2x上存在唯一的一个点P,使得错误!＋错误!＝错误!，则实数a的值为错误!．14．已知函数f(x)＝错误!t∈R．若函数g（x)＝f (f （x)－1）恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为错误!．二、解答题（本大题共6小题，计90分。
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与答案
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1ni ＝1∑nx i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝lg(2－x )的定义域为▲________．2．已知复数z 满足z1＋2i ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ．3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ． 4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为▲________．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则a c的值为▲________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1 (b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH （如图2），则正四棱锥S －EFGH 的体积为▲________．(第4题)10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l的距离的最大值为▲________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为▲________． A DBCE FGH(图1)SEFGH(图2)(第9题)(第12题)14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π，x ＝7π是其相邻的两条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若f (α2)＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点．（1）求证：MN ∥平面BEC ； （2）求证：AH ⊥CE ．BED AHCMN（第15题）17．(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×S d 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”． （1）已知P 与A 相距15km ，且∠PAB ＝60o ．当λ＝12时，居住在P 点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2 2，上顶点A 到右焦点的距离为 2 ．过点D (0，m )(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ．（1）求椭圆E 的方程； （2）求实数m 的取值范围；AB(第17题)（3）延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x (e x －2)，g (x )＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，e 为自然对数的底．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．（1）求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；（2）若F (x )＞0的解集为(0，+∞)，求k 的取值范围；（3）记F (x )的极值点为m ．求证：函数G (x )＝|F (x )|＋ln x 在区间(0，m )上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20．(本小题满分16分)对于数列{a n }，定义b n (k )＝a n ＋a n ＋k ，其中n ，k ∈N*． （1）若b n (2)－b n (1)＝1，n ∈N*，求b n (4)－b n (1)的值； （2）若a 1＝2，且对任意的n ，k ∈N*，都有b n ＋1(k )＝2b n (k )．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）设k 为给定的正整数，记集合A ＝{b n (k )|n ∈N*}，B ＝{5b n (k ＋2)|n ∈N*}，(第18题)求证：A∩B＝ ．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC且交AC的延长线于点E，求证：DE是圆O的切线．B ．选修4—2：矩阵与变换已知α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11为矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a －1 2属于实数λ的一个特征向量，求λ和A 2．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，点P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 距离的最大值为3，求a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲，乙两人站在P 点处分别向A ，B ，C 三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A ，B ，C 的概率分别都为12，13，14．（1）设X 表示甲击中目标的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．23．（本小题满分10分）已知n ∈N *，且n ≥4，数列T ：a 1，a 2，…，a n 中的每一项均在集合M ＝{1，2，…，n }中， 且任意两项不相等．（1）若n ＝7，且a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6，求数列T 的个数；（2）若数列T 中存在唯一的a k （k ∈N *，且k ＜n ），满足a k ＞a k ＋1，求所有符合条件的数列T的个数．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．386．－9 7． 28．7 9．4310．(－1，1) 11．2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分) （1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形， 所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN 平面BEC ，BF 平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG 平面BEC ，BC平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ． 又因为GN 平面BEC ，BE 平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN 平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN 平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC 平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分因为AH 平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC 平面BEC ，BE平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE 平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝kS 1d 12，m 2＝kS 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△PAB 中，AB ＝10，PA ＝15，∠PAB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋PA 2－2AB ·PA cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分 又d 12＝PA 2＝225， 此时，m 1－m 2＝kS 1 d 12－kS 2 d 22＝kS 1 d 12－kλS 1 d 22＝kS 1(1d 12－λd 22)， (4)分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分 （2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，(第17题)由m1＜m2得，k S1d12＜kS2d22，将S2＝λS1代入，得d22＜λd12．……8分代入坐标，得(x－10)2＋y2＜λ(x2＋y2)，化简得(1－λ) x2＋(1－λ) y2－20x＋100＜0．……………………10分因为0＜λ＜1，配方得(x－101－λ)2＋y2＜(10λ1－λ)2，所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是：圆心为C(101－λ，0)，半径为r1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是：圆心为B(10，0)，半径为r2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B内含于圆C，即BC＜| r1－r2|．…………………………12分因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)．…………………………14分解法二：要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，则当d2≤2时，不等式m1＜m2恒成立．由m1＜m2，得k S1d12＜kS2d22＝kλS1d22，化简得d12＞d22λ．…………………………8分设∠PBA＝θ，则d12＝PA2＝AB2＋PB2－2AB·PB cosθ＝100＋d22－20d2cosθ，…………………………10分所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分 即x 02＝2y 0(m －y 0)． ① 又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x 0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y 0y 20＋2x 20， …………………………12分所以S 1S 2＝12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1， 所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m． (14)分因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)， 所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km1＋2k2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ， 所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2∈(12，1)，此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k2． (12)分又因为x 0＝－2km1＋2k 2＝－2k1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝|－8k1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.列表如下：所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分 ＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ， F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0，又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ), 若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ② ……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)，于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m ＋k ＋2)， 整理得2n －m ＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m ∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a －1 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ， 解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1．…………………………5分所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分 综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124． 所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分 （2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576， P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k＝n－1时，符合条件的数列T共有n－1＝C n－1n－1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T的个数为：C1n－1＋C2n－1＋…＋C n－1n－1＝C1n＋C2n＋…＋C n－1n－n＋1＝2n－C0n－C n n－n＋1＝2n－n－1．………………………………10分。
江苏省97校2018届高三12月联考化学含答案
江苏省南京市高淳区江苏淮海中学、盐城中学、淳辉高中等97校2018届高三12月联考化学试题考生注意:1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分,共120分。
考试时间100分钟。
2. 请将各题答案填在答题卡上。
3•可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Ni 59 Cu 64 Zn 65第I 卷（选择题共40分）一、单项选择题：本题包括10小题,每小题2分，共计20分。
每小题只有一个.选项符合题意。
1.2017年11月5日，长征三号乙运载火箭将两颗北斗三号全球导航卫星送入太空轨道。
下列有关说法正确的是A. 火箭燃料中的四氧化二氮属于化石燃料B. 火箭燃料燃烧时将化学能转化为热能C. 火箭箭体采用铝合金是为了美观耐用D. 卫星计算机芯片使用高纯度的二氧化硅 2.下列有关化学用语表示正确的是A. 中子数为20的氯原子燿CID.NH 4CI 的电子式：[卜"H]+Cl -3. 下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是A. 浓硫酸具有脱水性，可用于干燥气体B. CIO 2具有强氧化性，可用于消毒杀菌C. 铝具有良好导热性，可用铝罐贮运浓硝酸D. FeCl 3溶液具有酸性，可用作铜制线路板的蚀刻剂 4. 常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A. 新制饱和氯水中:Al 3+、Cu 2+、S :、Br -B. 使甲基橙变红的溶液:Mg 2+、Fe 3*、N 兀、SCN -C. 仝;二=1 XI0-13 mol L -1 的溶液中：Na +、K +、Cl -、Al O'B.对硝基苯酚的结构简式C.S 2-的结构示意图D. 由水电离的 c(H +)=1 XW -13 mol •的溶液中：Ca 2+、Ba 2+、Cl -、HC Q S 5•在给定条件下，下列选项所示的物质间转化均能实现的是足童C6| △A.饱和 NaCI(aq)，NaHCO 3 ，Na 2CO 3足审 NH* * H t OL(NH 4)2SO 3(aq)Cfl(OH )rSO,D.CI 2(g) ------------- L Ca(CIO) 2一 HCIO6•短周期主族元素 X 、Y 、Z 、W 的原子序数依次增大,X 原子的电子数是其电子层数的3倍，丫的非金属性在短周期所有元素中最强 ,Z 的最外层电子数与最内层电子数相等，W 是地壳中含量第二多的元素。
江苏省南京市、盐城市2018届高三第三次模拟考试数学
南京市2018届高三年级第三次模拟考试 数 学 2018.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =▲________．2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________． 3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________．4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________．5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为▲________．6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则yx的取值范围为▲________．7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题：(第4题图)(第3题图)①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为▲________．9．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1=1，S 6=3S 3，则a 7的值为▲________．10．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则f (a+1)的值为▲________． 11．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为▲________．12．在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5， AC →·AD →＝－23，则AB →·AC →的值为▲________．13．若正数a ，b ，c 成等差数列，则c 2a ＋b ＋b a ＋2c的最小值为▲________．14．已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∈[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax －b 在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314．（1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值.16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ＝6，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点．（1）求证: 平面PBC ⊥平面ABC ； （2）若PD ∥平面AEM ，求PM 的长．17．(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC . 记∠CBD ＝θ（π3≤θ＜π2）（1）试用θ表示BD 的长；（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (85，35)，离心率为32. 已知过点M (25，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(第15题图)(第16题图)AC BMDEP (第17题图)（1）求椭圆C 的方程；（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA →·NB →为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），记f'(x )为f (x )的导函数． （1）若f (x )的极大值为0，求实数a 的值；（2）若函数g (x )＝f (x )＋6x ，求g (x )在[0，1]上取到最大值时x 的值；（3）若关于x 的不等式f (x )≥f'(x )在[a 2，a +22]上有解，求满足条件的正整数a 的集合．20．(本小题满分16分)若数列{a n }满足：对于任意n ∈N *，a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|均为数列{a n }中的项，则称数列{a n }为“T 数列”．（1）若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{a n }为“T 数列”； （2）若公差为d 的等差数列{a n }为“T 数列”，求d 的取值范围；（3）若数列{a n }为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，求数列{a n}的通项公式．(第18题图)南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2018.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在△ABC 中， AC ＝12AB ，M 为边AB 上一点，△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，BN ＝2AM ，求证：CM 是∠ACB 的平分线．(第21A 题图)B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 0 1 ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0 0 1 ，若直线l : x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点P （2，π3），圆心C 为直线ρsin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2． （1）求p 的值；（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ⊥AN ．记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．(第22题图)23．(本小题满分10分) 已知f n (x )＝i ＝1∑n －1An －i n x (x ＋1)…(x ＋i －1)，g n (x )＝A nn ＋x (x ＋1)…(x ＋n －1)，其中x ∈R ，n ∈N *且n ≥2．（1）若f n (1)＝7g n (1)，求n 的值；（2）对于每一个给定的正整数n ，求关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合．南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{－3，－2，2} 2．5 3．150 4．7 5．23 6．[211，2] 7． ①③8． 5 9．4 10．2 11．x ＋2y －4＝0 12．－3 13．259 14．[e 2，4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为点P 的横坐标为277，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277， (2)分所以cos2α＝2cos 2α－1＝17． (4)分（2）因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314． ………………………………6分又因为β为锐角，所以cos β＝1314． (8)分因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217，因此sin2α＝2sin αcos α＝437， (10)分所以sin(2α－β) ＝437×1314－17×3314＝32． ……………………………12分因为α为锐角，所以0＜2α＜π． 又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3． (14)分16．(本小题满分14分)（1）证明：如图1，连结PE ．因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PE ⊥BC ， ……………………2分 且PE ＝3，同理AE ＝3．因为P A ＝6，所以PE 2＋AE 2＝P A 2，所以PE ⊥AE ．……4分 因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC ⊂平面ABC ， 所以PE ⊥平面ABC ． 因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ……………………7分 （2）解法一如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．因为PD ∥平面AEM ，PD ⊂平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，所以PD ∥OM ， (9)分所以PM PC ＝DODC． (11)分因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ， 所以O 为∆ABC 重心，所以DO DC ＝13， 所以PM ＝13PC ＝23． (14)分解法二如图2，取BE 的中点N ，连接PN ． 因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点， 所以DN ∥AE ．又DN ⊄平面AEM ，AE ⊂平面AEM ， 所以DN ∥平面AEM ．又因为PD ∥平面AEM ，DN ⊂平面PDN ，PD ⊂平面PDN ，DN ∩PD ＝D ， 所以平面PDN ∥平面AEM ． ………………………………9分 又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ，(图1)OB P ACMDE(图2)PAM DEC B N所以ME ∥PN ，所以PM PC ＝NENC ． ………………………………11分因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，所以NE NC ＝13，所以PM ＝13PC ＝23． ………………………………14分17．(本小题满分14分) 解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23． (2)分因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． (4)分（2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以DF sin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BDsin ∠BFD ，所以DF ＝4cos θsin(π6＋θ)， (6)分且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ， (8)分所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π6)＋3． (12)分因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合． ……………13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大． …………………………………14分18．(本小题满分16分)解（1）离心率e ＝c a ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ， …………………………………2分所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y2b2＝1．因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b 2＝1， 所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． …………………………………4分（2）解法一设N (n ，0)，当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，则NA →⋅NB →＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425＝n 2－45n －45， (6)分当l 经过左､右顶点时，NA →⋅NB →＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4． (8)分下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA →⋅NB →＝12．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， (10)分所以NA →⋅NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2 (12)分＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k 2＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16 ＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． …………………………………16分解法二设N (n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －25)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， …………………………………6分所以NA →⋅NB →＝(x 1－n )(x 2－n )＋y 1y 2＝(x 1－n )(x 2－n )＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k 2＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k 2 ……………………………………8分＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋n 2 ＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2． ……………………………………12分 若NA →⋅NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，则(－165n －165)k 2－4＝4λk 2＋λ对任意的实数k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4，此时NA →⋅NB →＝12． ……………………………………14分 当直线l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，所以NA →⋅NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12，所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． ………………………………16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），所以f'(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．令f'(x )＝0，得x ＝0或a ． ………………………………2分 当x ∈(－∞，0)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，f'(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增．故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23． ………………………………4分（2）g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0）， 则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，则g (x )取得最大值时x 的值为1． ……………………………6分②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42． (8)分综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为a －a 2－42． (9)分（3）设h (x )＝f (x )－f ′(x )＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，则h (x )≥0在[a 2，a ＋22]有解． (10)分h ′(x )＝6[x 2－(a ＋2)x ＋a ]＝6[(x －a ＋22)2－a 2＋44]，因为h ′(x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h ′(x )＜h ′(a 2)＝－32a 2＜0，所以h (x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h (a2)≥0，即a 3－3a 2－6a ＋4≤0． (12)分设t (a )＝a 3－3a 2－6a ＋4（a ＞0），则t ′ (a )＝3a 2－6a －6， 当a ∈(0，1＋2)时，t ′ (a )＜0，t (a )单调递减； 当a ∈(1＋2，＋∞)时，t ′ (a )＞0，t (a )单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a )存在一个零点m ∈(0，1)， (14)分因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a )存在一个零点n ∈(4，5)， 所以t (a )≤0的解集为[m ，n ]，故满足条件的正整数a 的集合为{1，2，3，4}． (16)分20．(本小题满分16分)解：（1）当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2． …………………………………2分所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，因此数列{a n }为“T 数列”． …………………………………4分（2）因为数列{a n }是公差为d 的等差数列， 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1) d ＋|d |． 因为数列{a n }为“T 数列”，所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1) d ＋|d |＝a m ，即有(m －n ) d ＝|d |． (6)分①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n ) d ＝|d |， ②若d ＜0，则m ＝n －1．此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意．综上，d ≥0． ……………………………………8分 （3）因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1．又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”， 所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列． …………………………………10分设数列{a n }的公差为t (t ＞0)，则有a n ＝1＋(n －1)t ，由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ，………………………………12分整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1， ①n (t －2t 2)＞2t －t 2－1． ②若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋1 2t 2－t，则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t ) N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾， 因此2t 2－t ≥0．同样根据②式可得t －2t 2≥0， 所以2t 2－t ＝0．又t ＞0，所以t ＝12．经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12． ………………………………16分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2018.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA ， ………………………………2分又∠MBN ＝∠CBA ，因此△MBN ∽△CBA ． ………………………………4分所以AB AC ＝BNMN ． ………………………………6分又因为AC ＝12AB ，所以BNMN ＝2，即BN ＝2MN ． ………………………………8分又因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，所以CM 是∠ACB 的平分线． ………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1． ………………………………4分设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )．因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ①由AB ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ， 得⎩⎨⎧2 x 0＋2 y 0＝x ， y 0＝y ，………………………………6分 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y ．② 将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0． ………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：解法一在直线ρsin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2.所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)． (4)分因为圆C 经过点P (2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cos π3＝2， (6)分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ． ……………………………10分解法二 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C (2，0)， ………………………………4分所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2， ………………………………6分所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， ………………………………8分 所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ. ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b )2＋(2b ＋c )2＋(2c ＋a )2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a )2，即(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9(a ＋b ＋c )． (4)分因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9， ……………………………6分所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立．所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为3. (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p2＋1＝2，所以p ＝2. (3)分（2）解法一 由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． (4)分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎨⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0， 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2． (6)分 因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2， (8)分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m )|＝16． ……………………………10分解法二由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则AM →AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2) (y 2－2)＝0． ……6分又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在y 2＝4x 上， 所以(y 21－4) (y 22－4)＋16( y 1－2) (y 2－2)＝0， 即[( y 1＋2) (y 2＋2)＋16]( y 1－2) (y 2－2)＝0．因为( y 1－2) (y 2－2)≠0，所以( y 1＋2) (y 2＋2)＝－16， ……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16． ……………………………10分23．（本小题满分10分） 解：（1）因为f n (x )＝i ＝1∑n －1An －in x (x ＋1)…(x ＋i －1)，所以f n (1)＝i ＝1∑n －1An －i n ×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n !＝(n －1)×n !，g n (1)＝A nn ＋1×2×…×n ＝2×n !，所以(n －1)×n !＝14×n !，解得n ＝15． ……………………………3分 （2）因为f 2(x )＋g 2(x )＝2x ＋2＋x (x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，f 3(x )＋g 3(x )＝6x ＋3x (x ＋1)＋6＋x (x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． ……………………………5分 下面用数学归纳法证明： 当n ＝2时，命题成立；假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )，因为f k ＋1(x )＝i ＝1∑kAk ＋1－ik ＋1x (x ＋1)…(x ＋i －1)＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －ik x (x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1k ＋1x (x ＋1)…(x ＋k －1) ＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)，所以f k ＋1(x )＋g k ＋1(x )＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(k +1)[ f k (x )＋x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A kk ]＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)[ f k (x )＋g k (x )]＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k ) (x ＋k ＋1)，即n ＝k ＋1时命题也成立．因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． …………………9分所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n }． ……………………………10分。
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学及答案
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝错误! 错误!（x i －错误!)2，其中错误!＝错误! 错误!x i ; 锥体的体积公式:V ＝错误!Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f （x )＝lg （2－x ）的定义域为错误!．2．已知复数z 满足错误!＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ．4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则这组数据的方差为错误!．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为错误!．7．在△ABC 中，角A ,B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则错误!的值为错误!．(第3题)(第4题)8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1 （b ＞0） 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ,C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ,则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为错误!的正四棱锥S -EFGH （如图2），则正四棱锥S －EFGH 的体积为错误!．10．已知函数f （x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时,f （x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a ）＜4，则实数a 的取值范围为错误!．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝错误!（m ＞0）在x ＝1处的切线为l ，则点（2，－1) 到直线l 的距离的最大值为▲，________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若错误!·错误!＝2，错误!·错误!＝5，则AE 的长为错误!．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C :(x ＋4）2＋(y －a ）2＝16上两个动点,且AB ＝211．若直线l :y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得错误!＋错误!＝错误!，则实数a 的值为错误!． 14．已知函数f (x ）＝错误!t ∈R ．若函数g (x ）＝f (f （x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为错误!．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内)ADBCEF GH(图1)SEFGH(图2) (第9题)(第12题)B D15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜错误! 的部分图象如图所示,直线x ＝错误!，x ＝错误!是其相邻的两条对称轴． (1)求函数f （x )的解析式;（2）若f (错误!)＝－错误!，且错误!＜α＜错误!，求cos α16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直,AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ,BE 的中点．（1)求证：MN ∥平面BEC ； （2)求证：AH ⊥CE ．17．（本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×Sd 2（k 为常数）．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ （0＜λ＜1）．记“每年居民到商场A 购物的次数"、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2,称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域"．（1)已知P 与A 相距15km ，且∠P AB ＝60o ．当λ＝错误!时，居住在P 点处的居民是否在商场B相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；(2)若要使与商场B 相距2 km 以内的区域（含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0）的离心率为错误!,上顶点A 到右焦点的距离为错误!．过点D （0,m ）(m ≠0)作不垂直于x 轴,y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ．（第16题） BEDAHCMNAB(第17题)（第15题）（1）求椭圆E的方程；（2）求实数m的取值范围;（3）延长AC交椭圆E于点B,记△AOB与△AOC的面积分别为S1，S2，若错误!＝错误!，求直线l 的方程．(第18题)19．(本小题满分16分）已知函数f (x)＝x(e x－2)，g（x)＝x－ln x＋k，k∈R,e为自然对数的底．记函数F(x)＝f(x)＋g（x)．（1)求函数y＝f (x)＋2x的极小值;(2）若F（x)＞0的解集为（0,+∞）,求k的取值范围;（3）记F(x)的极值点为m．求证：函数G(x)＝|F（x)｜＋ln x在区间（0，m）上单调递增．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20．(本小题满分16分）对于数列{a n｝，定义b n（k）＝a n＋a n＋k，其中n,k∈N＊．（1）若b n（2）－b n(1)＝1,n∈N＊，求b n(4)－b n(1)的值；（2)若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有b n＋1(k）＝2b n（k）．（i）求数列｛a n｝的通项公式；（ii）设k为给定的正整数，记集合A＝｛b n(k）|n∈N＊｝，B＝｛5b n(k＋2）|n∈N＊｝，求证:A∩B＝ ．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018。
南京市盐城市届高三年级第二次模拟考试含解析.doc
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试物 理2018.3本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分120分，考试时间100分钟.第I 卷（选择题共31分）一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分.每小题只有一个选项符合题 意. 1.在国际单位制（SI ）中，力学和电学的基本单位有m （米）、kg （千克）、s （秒）、A （安培）.库仑定律F = k^中k 的单位用上述基本单位可表示为（）A. kg ・ n?・ A 2 • s 1B. kg ・ m'・ A ?・ s 2C. kg • m 3 • A 2 • s 'D. kg • • A ? • s 42•如图甲所示为某公司研制的“双动力智能型救援机器人”（又被网友称为“麻辣小龙 虾”），其长长的手臂前端有两个对称安装的“铁夹”.在某次救援活动中，“麻辣小龙虾” 用铁夹恰好竖直抓取到重量为G 的长方形水泥制品，水泥制品在空中处于静止状态，如图乙所示，贝9（）A. 水泥制品受到的摩擦力大小一定等于GB. 水泥制品受到的摩擦力方向可能竖直向下C. 若铁夹的位置稍向上移，水泥制品受到的摩擦力变大D. 若增大铁夹对水泥制品的挤压，水泥制品受到的摩擦力变大3. 在体育课上，某同学练习投篮，他站在罚球线处用力将篮球从手中投出，如图所示, 篮球约以1 m/s 的速度撞击篮筐.己知篮球质量约为0.6 kg,篮筐离地高度约为3 m,则该 同学投篮时对篮球做的功约为（）A. 1 JB.10JC. 30 JD. 50 J甲 乙4.如图所示，理想变压器的原、副线圈的匝数比为2： 1,在原、副线圈的回路中分别接有阻值相同的电阻R，原线圈一侧接有电压为220 V的正弦交流电源，设副线圈回路中电阻两端的电压为U,原、副线圈冋路屮电阻R上消耗的功率之比为k,则（）A.U=110 VB. U=440VC. k=|D. k=45.如图所示，在磁感应强度为B,范圉足够大的水平匀强磁场内，固定着倾角为。
江苏省南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与评分标准(可编辑清晰版)
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝lg(2－x )的定义域为▲________．2．已知复数z 满足z 1＋2i ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ．3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ．4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为▲________．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲________．(第3题)(第4题)7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则ac 的值为▲________．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1 (b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH （如图2），则正四棱锥S －EFGH 的体积为▲________．10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝m x ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为▲________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为▲________．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为▲________．ADBCEF GH(图1)SEFGH(图2) (第9题)(第12题)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2 的部分图象如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若f (α2)＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点．（1）求证：MN ∥平面BEC ； （2）求证：AH ⊥CE ．17．(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×Sd 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”． （1）已知P 与A 相距15km ，且∠P AB ＝60o ．当λ＝12时，居住在P 点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．（第16题） BEDAHCMNAB(第17题)（第15题）18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 22，上顶点A 到右焦点的距离为 2 ．过点D (0，m )(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求实数m 的取值范围；（3）延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x (e x －2)，g (x )＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，e 为自然对数的底．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )． （1）求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；（2）若F (x )＞0的解集为(0，+∞)，求k 的取值范围；（3）记F (x )的极值点为m ．求证：函数G (x )＝|F (x )|＋ln x 在区间(0，m )上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20．(本小题满分16分)对于数列{a n }，定义b n (k )＝a n ＋a n ＋k ，其中n ，k ∈N*． （1）若b n (2)－b n (1)＝1，n ∈N*，求b n (4)－b n (1)的值；（2）若a 1＝2，且对任意的n ，k ∈N*，都有b n ＋1(k )＝2b n (k )．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）设k 为给定的正整数，记集合A ＝{b n (k )|n ∈N*}，B ＝{5b n (k ＋2)|n ∈N*}，求证：A ∩B ＝ ．(第18题)南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．38 6．－9 7． 2 8．79．43 10．(－1，1) 11． 2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0) 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ．又因为GN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN ⊂平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN ⊂平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分 因为AH ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC ⊂平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分 17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1 d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△P AB 中，AB ＝10，P A ＝15，∠P AB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋P A 2－2AB ·P A cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分又d 12＝P A 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1 d 12－k S 2 d 22＝k S 1 d 12－k λS 1 d 22＝kS 1(1 d 12－λd 22)， …………………………4分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分 （2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，由m 1＜m 2得，k S 1 d 12＜k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22＜λd 12．……8分代入坐标，得(x －10)2＋y 2＜λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ) x 2＋(1－λ) y 2－20x ＋100＜0． ……………………10分 因为0＜λ＜1，配方得 (x －101－λ)2＋y 2＜(10λ1－λ)2， 所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是：圆心为C (101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是：圆心为B (10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC ＜| r 1－r 2|． …………………………12分 因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)． …………………………14分解法二：要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1＜m 2恒成立．由m 1＜m 2，得k S 1 d 12＜k S 2 d 22＝k λS 1 d 22，化简得d 12＞d 22λ． …………………………8分设∠PBA ＝θ，则d 12＝P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ， …………………………10分 所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分(第17题)18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0 ，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分即x 02＝2y 0(m －y 0)． ①又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y0y 20＋2x 20， …………………………12分所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1，所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m ． …………………………14分 因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km ． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m 1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2 ∈(12，1)， 此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC ＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k 2． …………………12分 又因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|－8k 1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12， 此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e ． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x 2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ，F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0， 又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x ，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ),若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ②……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*， 即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)， 于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m＋k ＋2)，整理得2n －m＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1． …………………………5分所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2．……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分 因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分 综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124．所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分（2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576，P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T 的个数为：C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1＝C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n －n ＋1 ＝2n －C 0n －C n n －n ＋1＝2n －n －1． ………………………………10分。
江苏省97校大联考2018届高三12月联考化学试卷(含答案)
江苏省南京市高淳区江苏淮海中学、盐城中学、淳辉高中等97校2018届高三12月联考化学试题可能用到的相对原子质量:H 1 C 12O 16Ni 59Cu 64Zn 65第Ⅰ卷(选择题共40分)一、单项选择题:本题包括10小题,每小题2分,共计20分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意。
1.2017年11月5日,长征三号乙运载火箭将两颗北斗三号全球导航卫星送入太空轨道。
下列有关说法正确的是A.火箭燃料中的四氧化二氮属于化石燃料B.火箭燃料燃烧时将化学能转化为热能C.火箭箭体采用铝合金是为了美观耐用D.卫星计算机芯片使用高纯度的二氧化硅2.下列有关化学用语表示正确的是A.中子数为20的氯原子ClB.对硝基苯酚的结构简式:C.S2-的结构示意图:D.NH4Cl的电子式:[H]+Cl-3.下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是A.浓硫酸具有脱水性,可用于干燥气体B.ClO2具有强氧化性,可用于消毒杀菌C.铝具有良好导热性,可用铝罐贮运浓硝酸D.FeCl3溶液具有酸性,可用作铜制线路板的蚀刻剂4.常温下,下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A.新制饱和氯水中:Al3+、Cu2+、S、Br-B.使甲基橙变红的溶液:Mg2+、Fe3+、N、SCN-C.=1×10-13 mol·L-1的溶液中:Na+、K+、Cl-、AlD.由水电离的c(H+)=1×10-13 mol·L-1的溶液中:Ca2+、Ba2+、Cl-、HC5.在给定条件下,下列选项所示的物质间转化均能实现的是A.饱和NaCl(aq)NaHCO3Na2CO3B.Al2O3AlCl3(aq)无水AlCl3C.H2SO4(浓)SO2(NH4)2SO3(aq)D.Cl2(g)Ca(ClO)2HClO6.短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大,X原子的电子数是其电子层数的3倍,Y的非金属性在短周期所有元素中最强,Z的最外层电子数与最内层电子数相等,W是地壳中含量第二多的元素。
(数学)江苏省南京市江苏淮海中学、盐城中学、淳辉高中等97校2018届高三12月联考数学试卷Word
高三生物考试卷考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共120分。
考试时间100分钟。
2. 请将各题答案填在答题卡 上。
3. 本试卷主要考试内容 ：高考全部内容。
第I 卷（选择题 共55分）一、 单项选择题：本部分包括20题，每题2分，共计40分。
每题只有一个选项最符合题意。
1. 下列关于生物大分子的叙述，正确的是A. 蛋白质是由多个氨基酸分子通过氢键相互连接而成的B. 生物遗传信息的载体是 DNA 其空间结构具有多样性C. 酶是生物体活细胞产生的具有催化活性的生物大分子D. RNA 通常只有一条链，都是通过DNA 专录形成的 2. 观察植物细胞的质壁分离和复原 ，选用紫色洋葱鳞片叶外表皮作实验材料时效果较好，主要原因是A. 紫色洋葱 表皮细胞的液泡特别大，易于观察B. 其细胞液呈紫色，质壁分离以后容易与外界溶液区分C. 其细胞液与外界溶液之间浓度差大，质壁分离现象比较明显D. 细胞对缺水的耐受力较强，不易死亡，易于观察复原现象 3. 下列关于真核细胞结构与功能关系的叙述，错误的是A. 细胞质中的化学反应都是在细胞器中完成的B. 细胞膜上的糖蛋白与细胞识别各种信息的功能有关C. 细胞核是细胞遗传信息库和细胞代谢活动的控制中心D. 生物膜上的蛋白质种类和含量越多，功能就越复杂 4. 谷氨酸脱羧酶可以催化谷氨酸分解为谷氨酸氨基丁酸和 CQ 。
下图表示不同温度下该催化分解过程中有关物质浓度随时间的变化曲线。
下列相关叙述错误 的是10 20 30 40 50 40时 friAuinwIaaf度,kHFr4 J ^■L-LIrr-■ ■■ - ■」■nl x:丄・厂 rTiA. 曲线1表示的是谷氨酸的浓度变化B. 曲线2、3、4代表的都是谷氨酸氨基丁酸的浓度变化C. 曲线2代表的温度咼于曲线3和曲线4代表的温度D. 酶在催化反应前后，浓度基本保持一致5. 下列有关细胞分化的说法，正确的是A. 细胞分化主要是功能发生特化，结构与分化前相比变化不大B. 细胞分化前后，细胞中的DNA RNA 蛋白质种类都发生变化C. 细胞分化不仅增加了细胞数目，更重要的是增加了细胞种类D. 细胞分化的方向与细胞所处的时间和空间有密切的关系6. 下列关于真核细胞DNA复制的说法，正确的是A. 新的子链由4种脱氧核苷酸聚合而成，核苷酸的聚合过程需要DNA连接酶B. 构成DNA子链的4种脱氧核苷酸聚合时，ATP为降低反应活化能提供能量C. 以DNA两条脱氧核苷酸链为模板链合成子链时，4种碱基交替排列在分子内侧D. DNA复制过程中若出现错误住物出现的新性状既可能适应环境又可能不适应环境7. 果蝇体表硬而长的毛称为刚毛，一个自然繁殖的直刚毛果蝇种群中，偶然出现了一只卷刚毛雄果蝇。
2018届江苏省南京市高淳区江苏淮海中学、盐城中学、淳辉高中等97校高三12月联考英语试卷(解析版)
2018届江苏省南京市高淳区江苏淮海中学、盐城中学、淳辉高中等97校高三12月联考英语试卷（解析版）考生注意:1.本试卷分四部分,共120分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填涂在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容:高中综合。
第一部分:听力(共两节,满分20分)做题时,先将答案标在试卷上。
录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题;每小题1分,满分5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例:How much is the shirt?答案是C。
A.￡19.15.B.￡9.18.C.￡9.15.1.What is the weather like now?A.Sunny.B.Windy.C.Warm.2.How much would the man pay if he buys four ties today?A.$30.B.$108.C.$120.3.Where are the speakers?A.In a hotel.B.At a dinner table.C.In the man s home.4.What is the woman?A.A reporter.B.A teacher.C.A student.5.What movie did the man probably watch last night?A.Airheads.B.Pearl Harbor.C.Titanic.第二节(共15小题;每小题1分,满分15分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前,你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟;听完后,各小题给出5秒钟的作答时间。
江苏省南京市高淳区江苏淮海中学、盐城中学、淳辉高中等97校2018届高三12月联考地理试卷含答案
高三地理考试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共120分。
考试时间100分钟。
2。
请将各题答案填在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考内容。
第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题(一)单项选择题:本大题共18小题，每小题2分，共36分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.下图中，左图为“我国某校学生绘制的学校旗杆正午影长年内变化图(杆长8米)”，右图为“甲日期拍摄的当地日出景观图”.读图，完成1~2题。
1.该学校的纬度大约是A。
45° N B.23.5° N C。
23° N D.21.5° N2.图示河段的流向是A.东南流向西北B。
西北流向东南C.东北流向西南 D。
西南流向东北下图是“某地某时段近地面等压面(单位:hPa)垂直分布示意图”,N市当天日出时间7：00（北京时间），日落时间21:00(北京时间).读图，完成3~4题。
3.N市可能位于A.美国中央大平原B.长江三角洲C.恒河平原下游D.尼罗河三角洲4.该天气系统北移过境N市期间，该市风向变化为A。
东北风转为西南风B。
东南风转为西南风C。
偏南风转为偏北风D。
西北风转为东南风构造等高线是指在地质图上某一岩层层面海拔相同点的连线，可以直观地反映岩层的形态.右图为“某区域同一岩层构造等高线和地形等高线示意图(单位:米）”.读图，完成5～6题。
5.图示甲地地貌是A。
向斜形成的山脊B.背斜形成的山谷C.向斜形成的山谷D。
背斜形成的山脊6。
图中甲处该岩层的埋藏深度可能是A.480米B.360米C.420米D.280米下图为“非洲大陆荒漠化示意图"。
读图，完成7~8题.7。
非洲荒漠化严重区主要出现在A。
热带雨林带 B。
热带草原带C。
热带荒漠带 D.亚热带常绿硬叶林带8。
造成非洲荒漠化日益严重的最主要原因是A.气候干旱B.过度砍伐C.过度放牧D。
过度开垦下图为亚洲某区域图,K河段河水流向随季节而变化。
江苏省南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试卷
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则AB = ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ． 9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ．时间(单位:分钟)组距50 60 70 80 90 100 0.035 a 0.020 0.010 0.005第3题图Read xIf 0x > Then ln y x ← Elsexy e ← End If Print y第4题图10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =. （1）若2C B =，求cos B 的值； （2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)A第13题图ABCA 1B 1C 1MN第15题图有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点处时，点Q的坐标为． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)第18题图第17题-图甲F第17题-图乙设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.。
江苏省南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与评分标准
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝lg(2－x )的定义域为▲________．2．已知复数z 满足z 1＋2i ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ．3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ．4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为▲________．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲________．(第3题)(第4题)7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则ac 的值为▲________．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1 (b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH （如图2），则正四棱锥S －EFGH 的体积为▲________．10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为▲________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为▲________．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为▲________．ADBCE FGH(图1)SEFGH(图2)(第9题)(第12题)B AD二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2 的部分图象如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若f (α2)＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点．（1）求证：MN ∥平面BEC ； （2）求证：AH ⊥CE ．17．(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×Sd 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”． （1）已知P 与A 相距15km ，且∠P AB ＝60o ．当λ＝12时，居住在P 点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．（第16题） BEDAHCMNABy x2 1 -1 -2π12π2 7π12O （第15题）18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 22，上顶点A 到右焦点的距离为 2 ．过点D (0，m )(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求实数m 的取值范围；（3）延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x (e x －2)，g (x )＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，e 为自然对数的底．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )． （1）求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；（2）若F (x )＞0的解集为(0，+∞)，求k 的取值范围；（3）记F (x )的极值点为m ．求证：函数G (x )＝|F (x )|＋ln x 在区间(0，m )上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20．(本小题满分16分)对于数列{a n }，定义b n (k )＝a n ＋a n ＋k ，其中n ，k ∈N*． （1）若b n (2)－b n (1)＝1，n ∈N*，求b n (4)－b n (1)的值；（2）若a 1＝2，且对任意的n ，k ∈N*，都有b n ＋1(k )＝2b n (k )．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）设k 为给定的正整数，记集合A ＝{b n (k )|n ∈N*}，B ＝{5b n (k ＋2)|n ∈N*}，求证：A ∩B ＝ ．(第18题)南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．38 6．－9 7． 2 8．79．43 10．(－1，1) 11． 2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0) 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ．又因为GN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN ⊂平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN ⊂平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分 因为AH ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC ⊂平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分 17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1 d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△P AB 中，AB ＝10，P A ＝15，∠P AB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋P A 2－2AB ·P A cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分又d 12＝P A 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1 d 12－k S 2 d 22＝k S 1 d 12－k λS 1 d 22＝kS 1(1 d 12－λd 22)， …………………………4分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分 （2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，由m 1＜m 2得，k S 1 d 12＜k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22＜λd 12．……8分代入坐标，得(x －10)2＋y 2＜λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ) x 2＋(1－λ) y 2－20x ＋100＜0． ……………………10分 因为0＜λ＜1，配方得 (x －101－λ)2＋y 2＜(10λ1－λ)2， 所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是：圆心为C (101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是：圆心为B (10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC ＜| r 1－r 2|． …………………………12分 因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)． …………………………14分解法二：要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1＜m 2恒成立．由m 1＜m 2，得k S 1 d 12＜k S 2 d 22＝k λS 1 d 22，化简得d 12＞d 22λ． …………………………8分设∠PBA ＝θ，则d 12＝P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ， …………………………10分所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分(第17题)18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0 ，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分即x 02＝2y 0(m －y 0)． ①又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x 0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y0y 20＋2x 20， …………………………12分所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1，所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m ． …………………………14分 因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km ． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m 1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2 ∈(12，1)，此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC ＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k 2． …………………12分 又因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|－8k 1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e ． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x 2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ，F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0， 又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x ，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ),若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ),因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1，因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分（2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ②……………………4分 由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)，于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m＋k ＋2)，整理得2n －m ＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分 因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m ∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分所以5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2018.03 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1．…………………………5分 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)， 所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)， 所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分|y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3，当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14， P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124， P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124． 所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分（2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14． 则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116， P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576， P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分 所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576． 所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列，再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T 的个数为：C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1＝C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n －n ＋1＝2n －C 0n －C n n －n ＋1＝2n －n －1． ………………………………10分。
江苏省97校大联考2018届高三12月联考数学试卷(Word版,含答案)
江苏省南京市高淳区江苏淮海中学、盐城中学、淳辉高中等97校2018届高三12月联考数学试题数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,包含填空题(共14题)、解答题(共6题),满分为160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将答题卡交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效。
如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.集合A={x|0≤x≤2},B={-1,2,3},则A∩B=▲.2.若复数z满足z=i(2-i)(i是虚数单位),则复数z的模|z|=▲.3.某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车的速度实施监控,从速度在50~90 km/h的汽车中抽取200辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示),则速度在70 km/h以下的汽车有▲辆.4.如图,若输入的x值为16,则相应输出的值y为▲.第3题图第4题图5.已知变量x,y满足约束条件则x+y的最大值是▲.6.某校高三年级学生会主席团共由4名学生组成,其中有两名学生来自同一班级,另外两名学生来自另两个不同班级.现从中随机选出两名学生参加会议,则选出的两名学生来自不同班级的概率为▲.7.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为▲.8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是3x-4y=0,则该双曲线的离心率为▲.9.在等差数列{a n}中,若a4=4,-=96,则数列{a n}的前10项和S10=▲.10.将函数y=sin(2x+)的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后,所得的函数图象关于原点成中心对称,则φ=▲.11.已知函数f(x)=在区间(0,+∞)上有且只有三个不同的零点,则实数m的取值范围是▲.12.如图,已知点O是平面四边形ABCD的外接圆的圆心,AB=2,BC=6,AD=CD=4,则·=▲.13.在平面直角坐标系xOy中,已知AB是圆O:x2+y2=1的直径,若直线l:kx-y-3k+1=0上存在点P,连接AP与圆O交于点Q,满足BP∥OQ,则实数k的取值范围是▲.14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c2+ab≥kbc,则实数k的最大值是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且PA=PB,∠PDC为锐角.(1)证明:BC∥平面PDE;(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.16.(14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin B sin(B+)=.(1)求B;(2)求sin A+sin C的取值范围.17.(14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点(,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设=λ,直线AD与椭圆C的另一个交点为B,若PA⊥PB,求实数λ的值.18.(16分)一块圆柱形木料的底面半径为6 cm,高为16 cm.要将这块木料加工成一只笔筒,在木料一端中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一.设小圆柱底面半径为r,高为h,要求笔筒底面的厚度超过1 cm.(1)求r与h的关系,并指出r的取值范围;(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/ cm2),桶内侧面喷漆费用是2a(元/ cm2),而筒内底面铺贴金属薄片,其费用是7a(元/ cm2)(其中a为正常数).①将笔筒的后续加工费用y(元)表示为r的函数;②求出当r取何值时,能使笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值.19.(16分)已知函数f(x)=x(ln x-ax)(a∈R).(1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;(2)若函数f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围;(3)设g(x)=ax2-(a-1)x+a,若对任意的x∈(1,+∞),都有f(x)+g(x)>0,求整数a的最大值.20.(16分)已知数列{a n}的首项a1≠0,其前n项和为S n,且S n=3a n-2a1对任意正整数n都成立.(1)证明:数列{a n}为等比数列;(2)若a1=,设b n=,求数列{b n}的前n项和为T n;(3)若a1,a k(k≥3,k∈N*)均为正整数,如果存在正整数q,使得a1≥q k-1, a k≤(q+1)k-1,证明:a1=2k-1.参考答案1.{2}2.3.1004.45.46.7.π8.9.7010.11.(,2]12.-413.(-,+∞)14.2-115.证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC. .......................................................................................................................................................... 2分又DE⊂平面PDE,BC⊄平面PDE,所以BC∥平面PDE................................................................................................................................................ 5分(2)过点P作PO⊥CD,垂足为O.又平面PCD⊥平面ABC,PO⊂平面PCD,平面PCD∩平面ABC=CD,所以PO⊥平面ABC.又因为AB⊂平面ABC,所以AB⊥PO..................................................................................................................... 9分因为PA=PB,D为AB的中点,所以AB⊥PD........................................................................................................ 11分又∠PDC为锐角,一定有PO∩PD=P,PO,PD⊂平面PCD,所以AB⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD,所以AB⊥PC.......................................................................................................................................................... 14分16.解:(1)由sin B sin(B+)=,可得sin B(sin B cos+cos B sin)=,即sin2B+sin B cos B=,故+sin 2B=,整理得sin(2B-)=1. ............................................................... 3分又B为三角形的内角,即B∈(0,π),于是2B-∈(-,),所以2B-=,从而B=. ........................................................................................................................................... 6分(2)sin A+sin C=sin A+sin(π-(A+B))=sin A+sin(-A)=sin A+sin cos A-cos sin A=cos A+sin A=sin(A+)............................................................................. 10分因为A为三角形的内角,且B=,于是A∈(0,),故A+∈(,),所以sin(A+)∈(,1].所以sin A+sin C=sin(A+)∈(,].即sin A+sin C的取值范围是(,]................................................................................................................... 14分17.解:(1)因为点(,)在椭圆C上,则+=1,又椭圆C的离心率为,可得=,即c=a,所以b2=a2-c2=a2-(a)2=a2,代入上式,可得+=1,解得a2=4,故b2=a2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1. ............................................................................................................................... 6分(2)设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),Q(x0,-y0).因为=λ,则(0,y D-y0)=λ(0,-2y0),故y D=(1-2λ)y0.所以点D的坐标为(x0,(1-2λ)y0)............................................................................................................................... 8分设B(x1,y1),则k PB·k BA=·===-. .............................................................................. 11分又k BA=k AD==(1-λ)·,故k PB=-=-.又PA⊥PB,且k PA=,所以k PB k PA=-1,即-·=-1,解得λ=.所以λ=. ................................................................................................................................................................ 14分18.解:(1)据题意,πr2h=(π×62×16),所以r2h=192,即h=. ................................................................................. 3分因为16-h>1,故h<15,即<15,解得r>.又0<r<6,所以<r<6........................................................................................................................................... 5分(2)①据题意,笔筒的后续加工费用y=7aπr2+2a(2πrh)+a(π×62-πr2+2π×6×16),整理可得,y=aπ(6r2+4rh+228),又h=,故y=aπ(6r2+4r×+228)=6aπ(r2++38).所以y=6aπ(r2++38),定义域为(,6). ........................................................................................................... 10分②由①可知,y=6aπ(r2++38),x∈(,6).所以y'=6aπ(2r-)=12aπ·, ......................................................................................................................... 12分令y'=0,解得r=4,列表如下:r(,4)4(4,6)y'-0+y↘极小值↗故当r=4时,y取得极小值,即最小值为516aπ. .................................................................................................... 15分所以,当r=4时,笔筒的后续加工费用y最小,且y的最小值为516aπ. ............................................................... 16分19.解:(1)当a=0时,f(x)=x ln x,定义域为(0,+∞).f'(x)=ln x+1,令f'(x)=0,可得x=.............................................................................................................................. 1分列表:x(0,)(,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗所以,函数f(x)的最小值为f()=-........................................................................................................................... 3分(2)f(x)=x(ln x-ax),定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-2ax+1.记h(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x∈(0,+∞),h'(x)=-2a,①当a≤0时,h'(x)>0,h(x)=f'(x)在(0,+∞)上单调递增,故f'(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,此时,函数f(x)在(0,+∞)上至多存在一个极小值,不存在极大值,不符题意; .......................................................... 4分②当a>0时,令h'(x)=0,可得x=,列表:x(0,)(,+∞)h'(x)+0-h(x)↗极大值↘若h()≤0,即a≥时,h(x)≤h()≤0,即f'(x)≤0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,函数f(x)在(0,+∞)上不存在极值,与题意不符,.................................................. 5分若h()>0,即0<a<时,由于>1>,且h()=ln-+1=-<0,故存在x1∈(,),使得h(x)=0,即f'(x)=0,且当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,x1)上单调递减;当x∈(x1,)时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,x1)上单调递增,函数f(x)在x=x1处取极小值. ............................................ 7分由于<,且h()=ln-+1=-2ln a-+1<0(事实上,令μ(a)=-2ln a-+1,μ'(a)=-+=>0,故μ(a)在(0,1)上单调递增,所以μ(a)<μ(1)=-1<0).故存在x2∈(,),使得h(x)=0,即f'(x)=0,且当x∈(,x2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(,x2)上单调递增;当x∈(x2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(x2,+∞)上单调递减,函数f(x)在x=x2处取极大值.综上所述,当0<a<时,函数f(x)在(0,+∞)上既有极大值又有极小值.................................................................. 10分(3)由题意f(x)+g(x)>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,可得x ln x-(a-1)x+a>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立.即a<对任意的x∈(1,+∞)恒成立.(*)记φ(x)=,得φ'(x)=,设t(x)=x-2-ln x,t'(x)=1-=>0,则t(x)在(1,+∞)是单调增函数,又t(3)=1-ln 3<0,t(4)=2-ln 4>0,且t(x)在[3,4]上的图象是不间断的,所以,存在唯一的实数x0∈(3,4),使得t(x0)=0,当1<x<x0时,t(x)<0,φ'(x)<0,φ(x)在(1,x0)上递减;当x>x0时,t(x)>0,φ'(x)>0,φ(x)在(x0,+∞)上递增.所以当x=x0时,φ(x)有极小值,即为最小值φ(x0)=,又t(x0)=x0-2-ln x0=0,故ln x0=x0-2,所以φ(x0)==x0.由(*)知,a<x0,又x0∈(3,4),a∈Z,所以整数a的最大值为3...................................................................................................................................... 16分20.解:(1)由S n=3a n-2a1,得S n+1=3a n+1-2a1,两式相减得a n+1=3a n+1-3a n,即a n+1=a n.又a1≠0,故a n≠0,故=为定值.所以数列{a n}为等比数列........................................................................................................................................ 4分(2)当a1=时,a n=()n,则b n===2×[-],即b n=2(-). ............................................................................................................................................... 7分所以T n=b1+b2+b3+…+b n=2(-)+2(-)+2(-)+…+2(-)=2(-)=4-............................................................................................................................................................. 10分(3)由于a k=a1()k-1及a1均为正整数,所以存在正整数m,使得a1=m·2k-1.所以a k=m·3k-1.因为a k≤(q+1)k-1,得m·3k-1≤(q+1)k-1,(*)由于正整数m≥1,故(q+1)k-1≥m·3k-1≥3k-1,所以q+1≥3,即q≥2.又因为a1≥q k-1,所以≤=()k-1,即()k-1≤()k-1,所以≥,即q≤2.所以q=2.将q=2代入(*)式,得m·3k-1≤3k-1,即m≤1.又正整数m≥1,故m=1.所以a1=2k-1. ........................................................................................................................................................... 16分高三数学附加题考试卷数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲]在△ABC中,已知CM是∠ACB的平分线,△AMC的外接圆交BC于点N,且BN=2AM.证明:AB=2AC.B.[选修4-2:矩阵与变换]已知矩阵A=,A的逆矩阵A-1=.(1)求a,b的值;(2)求A的特征值.C.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=.若点P是圆C上的动点,求点P 到直线l距离的最小值.D.[选修4-5:不等式选讲]已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(++)2≥6.【必做题】第22,23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(10分)如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,B1C⊥AC1.(1)求AA1的长.(2)若BP=1,求二面角P-A1C-A的余弦值.23.(10分)某书店有不同类型的数学杂志n种,张老师购买每种类型杂志的概率都是,且任何两种不同类型杂志其是否购买相互独立,设X表示张老师购买的杂志种类数与没有购买的杂志种类数的差的绝对值.(1)当n=3时,求X的概率分布及数学期望;(2)当n=2k+1,k∈N*时,求X的概率分布及数学期望.参考答案21.A.证明:如图,在△ABC中,因为CM是∠ACM的平分线,所以=,① ......................................................................................................................................................... 3分又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线,所以BM·BA=BN·BC,即=, ................................................................................................................................................................. 6分又BN=2AM,所以=,②....................................................................................................................................................... 8分由①②,得AB=2AC. ............................................................................................................................................... 10分B.解:(1)因为AA-1===.所以解得a=1,b=-. ......................................................................................................................... 5分(2)由(1)得A=,则A的特征多项式f(λ)==(λ-3)(λ-1).令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=1,λ2=3. .................................................................................................................. 10分C.解:由直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=,即ρsin θcos-ρcos θsin=,整理得,直线l的普通方程为x-y+=0........................................................................................................... 2分又圆C的参数方程为(θ为参数),消去参数可得(x-)2+y2=1.所以圆C的圆心坐标为(,0),半径为1. .............................................................................................................. 4分故圆心C到直线l的距离为d==................................................................................................... 6分所以点P到直线l的距离的最小值为-1......................................................................................................... 10分D.证明:因为a,b,c均为正数,由均值不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac................................................................................................. 3分所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac........................................................................................................................................ 5分同理++≥++, ....................................................................................................................................... 7分故a2+b2+c2+(++)2≥ab+bc+ac+++≥6........................................................................................... 10分22.解:(1)分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设AA1=t,则A(0,0,0),C1(0,4,t),B1(3,0,t),C(0,4,0).所以=(0,4,t),=(-3,4,-t).因为B1C⊥AC1,所以·=0,即16-t2=0,解得t=4.所以AA1的长为4.................................................................................................................................................... 4分(2)因为BP=1,所以P(3,0,1),又C(0,4,0),A1(0,0,4),故=(0,4,-4),=(3,0,-3).设n=(x,y,z)为平面PA1C的法向量,则即取z=1,解得y=1,x=1.∴n=(1,1,1)为平面PA1C的一个法向量................................................................................................................. 7分显然,=(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量. ....................................................................................................... 8分则cos<n,>===.据图可知,二面角P-A1C-A的余弦值为. ........................................................................................................... 10分23.解:(1)张老师购买的杂志种数可能为0,1,2,3.X的可能取值分别为1,3.P(X=1)=()1(1-)2+()2(1-)1=2()3=;P(X=3)=()0(1-)3+()3(1-)0=2()3=..................................................................................................... 2分X的概率分布为:X13PE(X)=1×+3×=.................................................................................................................................................... 3分(2)当n=2k+1,k∈N*时,张老师购买的杂志种数可能为0,1,…,2k+1.X的可能取值分别为1,3,5,…,2k+1.P(X=1)=()k(1-)k+1+()k+1(1-)k=2()2k+1;P(X=3)=()k-1(1-)k+2+()k+2(1-)k-1=2()2k+1;P(X=5)=()k-2(1-)k+3+()k+3(1-)k-2=2()2k+1;……P(X=2k+1)=()0(1-)2k+1+()2k+1(1-)0=2()2k+1.E(X)=1×2()2k+1+3×2()2k+1+5×2()2k+1+…+(2k+1)×2()2k+1=()2k·[1×+3×+5×+…+(2k+1)×]=()2k·[((k+1)-k)×+((k+2)-(k-1))×+((k+3)-(k-2))×+…+((2k+1)-0)×]=()2k·[((k+1)-k)+((k+2)-(k-1))+((k+3)-(k-2))+…+((2k+1)-0)]=()2k·[((k+1)-k)+((k+2)-(k-1))+((k+3)-(k-2))+…+((2k+1)-0)]=()2k·[[(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k+1)]-[k+(k-1)+(k-2)+…+1]] ................................................................................................ 7分由于i=i·==n=n,i=1,2,…,n,所以E(X)=()2k·[[(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k+1)]-[k+(k-1)+(k-2)+…+1 ]]=()2k·[[(2k+1)+(2k+1)+(2k+1)+…+(2k+1)]-[(2k+1)+(2k+1)+(2k+1)+…+(2k+1)] ]=()2k(2k+1)·[(+++…+)-(+++…+)]=()2k(2k+1)·=·.所以X的数学期望是·............................................................................................................................. 10分。
2018高考江苏省南京市江苏淮海中学、淳辉高中等97校2018届高三12月联考语文精校试题(解析版)Word版含解析
高三语文考试卷语文Ⅰ试题一、语言文字运用1. 在下面一段话空缺处依次填入词语,最恰当的一组是胡适之先生一生将“自由、平等、民主”作为自己奋斗的社会理想,令人折服。
然而当时的社会环境使得先生的政治理想▲。
尽管他的主张在今天有许多值得▲的地方,但是作为一个开放的现代型国家,决不能以意识形态作为对历史人物▲的依据!A. 一蹶不振商榷评头品足B. 付诸东流商定评头品足C. 付诸东流商榷盖棺定论D. 一蹶不振商定盖棺定论【答案】C【解析】试题分析：本题主要考查词语的正确运用。
一蹶不振：比喻遭受一次挫折以后就再也振作不起来。
付诸东流：比喻希望落空，成果丧失，前功尽弃，好像随着流水冲走了一样。
结合“政治理想”分析，应该用“付诸东流”。
商榷：是商讨、讨论、协商的意思。
多用于比较正式的函件。
商定：为商量决定，商议确定。
结合“主张”分析，用“商榷”。
评头品足：现泛指对人对物多挑剔，随便评说。
盖棺定论：指一个人的是非功过到死后才能做出结论。
结合“历史人物”分析，用“盖棺定论”。
综合C项恰当。
2. 下列各句中,没有语病．．．．的一项是A. 2017年度诺贝尔文学获得者日裔作家石黑一雄热爱音乐,喜欢创作歌曲,曾为爵士女歌手斯黛茜·肯特作词,甚至被应邀参加皇家音乐会。
B. 在共享单车带给民众方便的同时,也把国民素质丑陋的一面照得通透,给社会环境与安全提出了新的治理命题,即共享单车的未来在哪里。
C. 被贴上“油炸”“添加剂”等标签的传统方便食品,不能满足人们绿色生活、健康发展的需求,造成了方便食品行业如今江河日下的困顿。
D. 2017年6月26日,代表着世界先进水平、被命名为“复兴号”的动车组在京沪高铁亮相,开启了中国铁路技术装备一个崭新的时代。
【答案】D【解析】试题分析：本题考查语病。
先抓典型的语病标志，比如两面词、判断词、并列动词；然后压缩句子，保留主干，看是否残缺、是否搭配。
A项，“甚至”前后内容没有递进关系。
数学---江苏省南京市高淳区淳辉高级中学2017-2018学年高一上学期期中考试试卷
江苏省南京市高淳区淳辉高级中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1． 若{}1,0A =-，{}2,1,0=B ，则A B = ．2． 函数ln(2)y x =-+的定义域为 ． 3． 满足{}4,3{}5,4,3,2⊆⊆A 的集合A 的个数为 ． 4． 若幂函数)(x f y =的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛9,31，则=)2(f ．5． 已知函数f (x )＝x 4－ax 3－1是偶函数，则实数a ＝ ． 6. 函数f (x )=1+log a (x -1)的图象通过的定点是 .7． 若9.0log 3=a ，8.08.0=b ，9.08.0=c ，则c b a ,,的大小关系为 ．（用“<”连接） 8． 已知函数f (x )与g (x )分别由下表给出，那么f (g (3))＝ ．9．已知函数53()5f x ax bx cx =+++，且(3)3f -=，则(3)f = ． 10．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3,则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________． 11． 已知集合{}0122=+-=x ax x A ，若A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围为 ． 12．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为 。
13．若函数431)(2+⎪⎭⎫⎝⎛+-=xx x f 的零点()0,1,x k k k Z ∈+∈，则所有满足条件的实数k 的和为 ． 14．已知函数)0(1)(>+=m x mxx f ，且0)2()3(2<+--a f a f ，则实数a 的取值范围为 ． 二、解答题15．计算：（1） ()122230133220083482--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）21log 32.5log 6.25lg0.0012-+++ .16．已知集合{}2450A x x x =--≤，{}260B x x =-≥，M A B = ． （1）求集合M ；（2）已知集合{}17C x a x a a =--∈R ≤≤，，若M C M = ，求实数a 的取值范围．17．已知二次函数)(x f 满足34)()1(+=-+x x f x f ()R ∈x ，且()10=f ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数[]4,2),log 1(2∈-=x x f y 的值域．18． 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≥x 时，12)(-=x x f ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)1(-m f 4<，求实数m 的取值范围．19． 设函数xx a x f 3123)(+-⋅=是实数集R 上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）判断函数)(x f 在R 上的单调性，并证明之；（3）若函数f (x )的定义域为(－1，1)，求满足不等式f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的范围．20. 已知函数2()21g x ax ax =-- )0(≠a 的值域为[)2,-+∞，设函数()()2g x f x x=+． （1）判断函数)(x f 的奇偶性； （2）若对于任意x ∈R ，都有f (2x2＋kx)＋f (21－x )＞0成立，求实数k 的取值范围；（3）令)3124()12()(--⋅+-=x x t f x h －2，当124t <<时，求函数()h x 的零点个数．【参考答案】一、填空题 1．{}1,0,1,2- 2．{}24x x <≤3．4 4．41 5．0 6. (2,1)【解析】 由对数函数过定点(1,0)，可以得出图象过定点(2,1) 7．b c a << 8．2 9．7【解析】(3)(3)10f f -+=. 10． －12,－13【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12,－13.11． 0=a 或1≥a 12．（0，21） 【解析】因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜21 13． 1- 14． 231<<-a 二、解答题 15． 解：（1）原式=344112992--+=； （2）原式=11233122-++⨯=. 16． 解：（1）因为集合{}2450A x x x =--≤，所以15x -≤≤， 又因为{}260B x x =-≥，所以3x ≥，所以[]35M =，． （2）因为M C M = ，所以M C ⊆，则137517.a a a a -⎧⎪-⎨⎪--⎩≤，≥，≤ 所以2a ≤．17． 解：（1）设)0()(2≠++=a c bx ax x f 由()10=f 知：1=c则()()11)1(1)()1(22++-++++=-+bx ax x b x a x f x f b a ax ++=234+=x 从而：3,42=+=b a a ，所以，1,2==b a ，所以 12)(2++=x x x f ； （2）)log 1(2x f -=()4log 5)(log 21log 1log 12222222+-=+-+-x x x x 8745log 222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x ，令x t 2log =，因为[]4,2∈x ，所以[]2,1∈t则原函数可化为：874522-⎪⎭⎫⎝⎛-=t y ，[]2,1∈t因为对称轴为45=t ， 所以当45=t 时，87min -=y ；当2=t 时，41max =y 因此，函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,8718．解：（1）设0<x ，则0>-x因为函数)(x f 是偶函数，所以()()12--=-=x x f x f⎩⎨⎧<≥=∴---0,20,2)(11x x x f x x ；（2）当01≥-m 时，即1≥m 时，42)1(2<=--m m f ，从而4<m ， 所以 41<≤m ；当01<-m 时，即1<m 时，()42211)1(<==-----m m m f ，从而2->m ， 所以 12<<-m ，综上：实数m 的取值范围为：42<<-m .19． 解：（1）因为)(x f y =是R 上的奇函数， 所以0)0(=f ，解得2=a ，从而()13132)(+-=x x x f ，()())(3131213132)(x f x f xxxx -=+-=+-=---所以，当2=a 时，函数)(x f y =是奇函数．（2）由（1）知：()13132)(+-=x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=13212x 1342+-=x判断函数)(x f y =是R 上的单调递增函数，证明：任取12,x x ∈R ，且21x x <， 则)1342()1342()()(2121+--+-=-x x x f x f ()()()()131313134134134212112+++-+=+-+=x x x x x x =()()()13133342121++-x x x x . 因为当12,x x ∈R 时，03,0321>>x x ，所以()()0131321>++x x ，又因为21x x <，所以2133x x <，所以03321<-x x ，从而()()()013133342121<++-x xx x ，所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <， 所以，函数)(x f y =是R 上的单调递增函数；（3）由（1）（2）可知：)(x f y =是R 上的单调递增函数，且为奇函数， 所以函数y ＝f (x )是(－1，1)上的单调递增函数，且为奇函数， 原不等式可化为：f (1－m )＜－f (1－m 2)＝f (m 2－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜1－m 2＜1，1－m ＜m 2－1，即1＜m ＜ 2.所以实数m 的取值范围为(1，2)．20.解：（1）因为2()21g x ax ax =--的值域为[)2,-+∞， 所以，由题意得：012a a >⎧⎨--=-⎩所以1=a ，所以2()21g x x x =--，1()f x x x=-f (x )的定义域为{},0x x x ∈≠R ，f (－x )＝－x ＋1x ＝－(x －1x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数.（2）不等式f (2x2＋kx)＋f (21－x )＞0，即22111122022x kx x x x kx+--+-+->， 所以对于任意x ∈R ，都有2211112222x kx x x x kx+--+->-成立， 设1()22x x F x =-，则F (x )在R 上是单调增函数，所以有x 2＋kx ＞x －1，即对任意的x ∈R ，都有x 2＋(k －1)x ＋1＞0成立， 所以△＝(k －1)2－4＜0，即－1＜k ＜3． 故实数k 的取值范围为(－1，3)． （3）令0)3124()12()(=--⋅+-=xx t f x h ，即14213202121x xx t t --+--=--． 令012>-=x u ，则 2(32)(41)0u t u t -++-= )(*记2()(32)(41)u u t u t φ=-++-， 因为124t <<，所以对称轴3212t x +=> 因为(0)410(1)20t t φφ=->⎧⎨=-<⎩所以方程)(*的根为1u 、2u ，有2110u u ≤<<， 因为12-=x u ，所以原方程有三个相异实根，即当12t<<时，函数()h x有三个零点．。
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2018届江苏省南京市高淳区江苏淮海中学、盐城中学、淳辉高中等97校高三12月联考数学试卷1.集合A={x|0≤x≤2},B={-1,2,3},则A∩B=▲.2.若复数z满足z=i(2-i)(i是虚数单位),则复数z的模|z|=▲.3.某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车的速度实施监控,从速度在50~90 km/h的汽车中抽取200辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示),则速度在70 km/h以下的汽车有▲辆.4.如图,若输入的x值为16,则相应输出的值y为▲.第3题图第4题图5.已知变量x,y满足约束条件则x+y的最大值是▲.6.某校高三年级学生会主席团共由4名学生组成,其中有两名学生来自同一班级,另外两名学生来自另两个不同班级.现从中随机选出两名学生参加会议,则选出的两名学生来自不同班级的概率为▲.7.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为▲.8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是3x-4y=0,则该双曲线的离心率为▲.9.在等差数列{a n}中,若a4=4,-=96,则数列{a n}的前10项和S10=▲.10.将函数y=sin(2x+)的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后,所得的函数图象关于原点成中心对称,则φ=▲.11.已知函数f(x)=在区间(0,+∞)上有且只有三个不同的零点,则实数m的取值范围是▲.12.如图,已知点O是平面四边形ABCD的外接圆的圆心,AB=2,BC=6,AD=CD=4,则·=▲.13.在平面直角坐标系xOy中,已知AB是圆O:x2+y2=1的直径,若直线l:kx-y-3k+1=0上存在点P,连接AP与圆O交于点Q,满足BP∥OQ,则实数k的取值范围是▲.14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c2+ab≥kbc,则实数k的最大值是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且PA=PB,∠PDC为锐角.(1)证明:BC∥平面PDE;(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.16.(14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin B sin(B+)=.(1)求B;(2)求sin A+sin C的取值范围.17.(14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点(,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设=λ,直线AD与椭圆C的另一个交点为B,若PA⊥PB,求实数λ的值.18.(16分)一块圆柱形木料的底面半径为6 cm,高为16 cm.要将这块木料加工成一只笔筒,在木料一端中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一.设小圆柱底面半径为r,高为h,要求笔筒底面的厚度超过1 cm.(1)求r与h的关系,并指出r的取值范围;(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/ cm2),桶内侧面喷漆费用是2a(元/ cm2),而筒内底面铺贴金属薄片,其费用是7a(元/ cm2)(其中a为正常数).①将笔筒的后续加工费用y(元)表示为r的函数;②求出当r取何值时,能使笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值.19.(16分)已知函数f(x)=x(ln x-ax)(a∈R).(1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;(2)若函数f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围;(3)设g(x)=ax2-(a-1)x+a,若对任意的x∈(1,+∞),都有f(x)+g(x)>0,求整数a的最大值.20.(16分)已知数列{a n}的首项a1≠0,其前n项和为S n,且S n=3a n-2a1对任意正整数n都成立.(1)证明:数列{a n}为等比数列;(2)若a 1=,设b n=,求数列{b n}的前n项和为T n;(3)若a1,a k(k≥3,k∈N*)均为正整数,如果存在正整数q,使得a1≥q k-1,a k≤(q+1)k-1,证明:a1=2k-1.高三数学考试卷参考答案1.{2}2.3.1004.45.46.7.π8.9.7010.11.(,2]12.-413.(-,+∞)14.2-115.证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC............................................................................... 2分又DE⊂平面PDE,BC⊄平面PDE,所以BC∥平面PDE. ........................................................................ 5分(2)过点P作PO⊥CD,垂足为O.又平面PCD⊥平面ABC,PO⊂平面PCD,平面PCD∩平面ABC=CD,所以PO⊥平面ABC.又因为AB⊂平面ABC,所以AB⊥PO. ........................................................... 9分因为PA=PB,D为AB的中点,所以AB⊥PD....................................................... 11分又∠PDC为锐角,一定有PO∩PD=P,PO,PD⊂平面PCD,所以AB⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD,所以AB⊥PC.............................................................................. 14分16.解:(1)由sin B sin(B+)=,可得sin B(sin B cos+cos B sin)=,即sin2B+sin B cos B=,故+sin 2B=,整理得sin(2B-)=1.................................. 3分又B为三角形的内角,即B∈(0,π),于是2B-∈(-,),所以2B-=,从而B=.......................................................................... 6分(2)sin A+sin C=sin A+sin(π-(A+B))=sin A+sin(-A)=sin A+sin cos A-cos sin A=cos A+sin A=sin(A+)..................................... 10分因为A为三角形的内角,且B=,于是A∈(0,),故A+∈(,),所以sin(A+)∈(,1].所以sin A+sin C=sin(A+)∈(,].即sin A+sin C的取值范围是(,]........................................................ 14分17.解:(1)因为点(,)在椭圆C上,则+=1,又椭圆C的离心率为,可得=,即c=a,所以b2=a2-c2=a2-(a)2=a2,代入上式,可得+=1,解得a2=4,故b2=a2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1................................................................. 6分(2)设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),Q(x0,-y0).因为=λ,则(0,y D-y0)=λ(0,-2y0),故y D=(1-2λ)y0.所以点D的坐标为(x0,(1-2λ)y0). ............................................................. 8分设B(x1,y1),则k PB·k BA=·===-........................................ 11分又k BA=k AD==(1-λ)·,故k PB=-=-.又PA⊥PB,且k PA=,所以k PB k PA=-1,即-·=-1,解得λ=.所以λ=................................................................................. 14分18.解:(1)据题意,πr2h=(π×62×16),所以r2h=192,即h=........................................ 3分因为16-h>1,故h<15,即<15,解得r>.又0<r<6,所以<r<6. ..................................................................... 5分(2)①据题意,笔筒的后续加工费用y=7aπr2+2a(2πrh)+a(π×62-πr2+2π×6×16),整理可得,y=aπ(6r2+4rh+228),又h=,故y=aπ(6r2+4r×+228)=6aπ(r2++38).所以y=6aπ(r2++38),定义域为(,6)...................................................... 10分②由①可知,y=6aπ(r2++38),x∈(,6).所以y'=6aπ(2r-)=12aπ·,......................................................... 12分令y'=0,解得r=4,列表如下:(故当r=4时,y取得极小值,即最小值为516aπ.................................................. 15分所以,当r=4时,笔筒的后续加工费用y最小,且y的最小值为516aπ............................... 16分19.解:(1)当a=0时,f(x)=x ln x,定义域为(0,+∞).f'(x)=ln x+1,令f'(x)=0,可得x=.............................................................. 1分列表:所以,函数f(x)的最小值为f()=-. ............................................................. 3分(2)f(x)=x(ln x-ax),定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-2ax+1.记h(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x∈(0,+∞),h'(x)=-2a,①当a≤0时,h'(x)>0,h(x)=f'(x)在(0,+∞)上单调递增,故f'(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,此时,函数f(x)在(0,+∞)上至多存在一个极小值,不存在极大值,不符题意; ............................ 4分②当a>0时,令h'(x)=0,可得x=,列表:,(若h()≤0,即a≥时,h(x)≤h()≤0,即f'(x)≤0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,函数f(x)在(0,+∞)上不存在极值,与题意不符,....................... 5分若h()>0,即0<a<时,由于>1>,且h()=ln-+1=-<0,故存在x1∈(,),使得h(x)=0,即f'(x)=0,且当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,x1)上单调递减;当x∈(x1,)时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,x1)上单调递增,函数f(x)在x=x1处取极小值..................... 7分由于<,且h()=ln-+1=-2ln a-+1<0(事实上,令μ(a)=-2ln a-+1,μ'(a)=-+=>0,故μ(a)在(0,1)上单调递增,所以μ(a)<μ(1)=-1<0).故存在x2∈(,),使得h(x)=0,即f'(x)=0,且当x∈(,x2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(,x2)上单调递增;当x∈(x2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(x2,+∞)上单调递减,函数f(x)在x=x2处取极大值.综上所述,当0<a<时,函数f(x)在(0,+∞)上既有极大值又有极小值.................................. 10分(3)由题意f(x)+g(x)>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,可得x ln x-(a-1)x+a>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立.即a<对任意的x∈(1,+∞)恒成立.(*)记φ(x)=,得φ'(x)=,设t(x)=x-2-ln x,t'(x)=1-=>0,则t(x)在(1,+∞)是单调增函数,又t(3)=1-ln 3<0,t(4)=2-ln 4>0,且t(x)在[3,4]上的图象是不间断的,所以,存在唯一的实数x0∈(3,4),使得t(x0)=0,当1<x<x0时,t(x)<0,φ'(x)<0,φ(x)在(1,x0)上递减;当x>x0时,t(x)>0,φ'(x)>0,φ(x)在(x0,+∞)上递增.所以当x=x0时,φ(x)有极小值,即为最小值φ(x0)=,又t(x0)=x0-2-ln x0=0,故ln x0=x0-2,所以φ(x0)==x0.由(*)知,a<x0,又x0∈(3,4),a∈Z,所以整数a的最大值为3................................................................... 16分20.解:(1)由S n=3a n-2a1,得S n+1=3a n+1-2a1,两式相减得a n+1=3a n+1-3a n,即a n+1=a n.又a1≠0,故a n≠0,故=为定值.所以数列{a n}为等比数列..................................................................... 4分(2)当a1=时,a n=()n,则b n===2×[-],即b n=2(-)........................................................................ 7分所以T n=b1+b2+b3+…+b n=2(-)+2(-)+2(-)+…+2(-)=2(-)=4-. ............................................................................. 10分(3)由于a k=a1()k-1及a1均为正整数,所以存在正整数m,使得a1=m·2k-1.所以a k=m·3k-1.因为a k≤(q+1)k-1,得m·3k-1≤(q+1)k-1,(*)由于正整数m≥1,故(q+1)k-1≥m·3k-1≥3k-1,所以q+1≥3,即q≥2.又因为a1≥q k-1,所以≤=()k-1,即()k-1≤()k-1,所以≥,即q≤2.所以q=2.将q=2代入(*)式,得m·3k-1≤3k-1,即m≤1.又正整数m≥1,故m=1.所以a1=2k-1............................................................................... 16分高三数学附加题考试卷数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲]在△ABC中,已知CM是∠ACB的平分线,△AMC的外接圆交BC于点N,且BN=2AM.证明:AB=2AC.B.[选修4-2:矩阵与变换]已知矩阵A=,A的逆矩阵A-1=.(1)求a,b的值;(2)求A的特征值.C.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=.若点P是圆C上的动点,求点P到直线l距离的最小值.D.[选修4-5:不等式选讲]已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(++)2≥6.【必做题】第22,23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(10分)如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,B1C⊥AC1.(1)求AA1的长.(2)若BP=1,求二面角P-A1C-A的余弦值.23.(10分)某书店有不同类型的数学杂志n种,张老师购买每种类型杂志的概率都是,且任何两种不同类型杂志其是否购买相互独立,设X表示张老师购买的杂志种类数与没有购买的杂志种类数的差的绝对值.(1)当n=3时,求X的概率分布及数学期望;(2)当n=2k+1,k∈N*时,求X的概率分布及数学期望.高三数学附加题考试卷参考答案21.A.证明:如图,在△ABC中,因为CM是∠ACM的平分线,所以=,①............................................................................. 3分又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线,所以BM·BA=BN·BC,即=,................................................................................. 6分又BN=2AM,所以=,②............................................................................ 8分由①②,得AB=2AC. ........................................................................ 10分B.解:(1)因为AA-1===.所以解得a=1,b=-. ............................................................. 5分(2)由(1)得A=,则A的特征多项式f(λ)==(λ-3)(λ-1).令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=1,λ2=3....................................................... 10分C.解:由直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=,即ρsin θcos-ρcos θsin=,整理得,直线l的普通方程为x-y+=0..................................................... 2分又圆C的参数方程为(θ为参数),消去参数可得(x-)2+y2=1.所以圆C的圆心坐标为(,0),半径为1........................................................ 4分故圆心C到直线l的距离为d==.................................................. 6分所以点P到直线l的距离的最小值为-1.................................................... 10分D.证明:因为a,b,c均为正数,由均值不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac............................................... 3分所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac. ................................................................... 5分同理++≥++,.................................................................... 7分故a2+b2+c2+(++)2≥ab+bc+ac+++≥6. ................................................. 10分22.解:(1)分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设AA1=t,则A(0,0,0),C1(0,4,t),B1(3,0,t),C(0,4,0).所以=(0,4,t),=(-3,4,-t).因为B1C⊥AC1,所以·=0,即16-t2=0,解得t=4.所以AA1的长为4........................................................................... 4分(2)因为BP=1,所以P(3,0,1),又C(0,4,0),A1(0,0,4),故=(0,4,-4),=(3,0,-3).设n=(x,y,z)为平面PA1C的法向量,则即取z=1,解得y=1,x=1.∴n=(1,1,1)为平面PA1C的一个法向量.......................................................... 7分显然,=(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量. .................................................... 8分则cos<n,>===.据图可知,二面角P-A1C-A的余弦值为....................................................... 10分23.解:(1)张老师购买的杂志种数可能为0,1,2,3.X的可能取值分别为1,3.P(X=1)=()1(1-)2+()2(1-)1=2()3=;P(X=3)=()0(1-)3+()3(1-)0=2()3=. ......................................................... 2分X的概率分布为:13E(X)=1×+3×=............................................................................. 3分(2)当n=2k+1,k∈N*时,张老师购买的杂志种数可能为0,1,…,2k+1.X的可能取值分别为1,3,5,…,2k+1.P(X=1)=()k(1-)k+1+()k+1(1-)k=2()2k+1;P(X=3)=()k-1(1-)k+2+()k+2(1-)k-1=2()2k+1;P(X=5)=()k-2(1-)k+3+()k+3(1-)k-2=2()2k+1;……P(X=2k+1)=()0(1-)2k+1+()2k+1(1-)0=2()2k+1.E(X)=1×2()2k+1+3×2()2k+1+5×2()2k+1+…+(2k+1)×2()2k+1=()2k·[1×+3×+5×+…+(2k+1)×]=()2k·[((k+1)-k)×+((k+2)-(k-1))×+((k+3)-(k-2))×+…+((2k+1)-0)×]=()2k·[((k+1)-k)+((k+2)-(k-1))+((k+3)-(k-2))+…+((2k+1)-0)]=()2k·[((k+1)-k)+((k+2)-(k-1))+((k+3)-(k-2))+…+((2k+1)-0)]=()2k·[[(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k+1)]-[k+(k-1)+(k-2)+…+1]]................................................ 7分由于i=i·==n=n,i=1,2,…,n,所以E(X)=()2k·[[(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k+1)]-[k+(k-1)+(k-2)+…+1]] =()2k·[[(2k+1)+(2k+1)+(2k+1)+…+(2k+1)]-[(2k+1)+(2k+1)+(2k+1)+…+(2k+1)]]=()2k(2k+1)·[(+++…+)-(+++…+)]=()2k(2k+1)·=·.所以X的数学期望是·. ............................................................ 10分。