2019-2020学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二上学期期中联考数学试题(解析版)

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知命题:P ,sin 1x R x ∀∈≤，则命题为 ( )A ．00,sin 1x R x ∃∈≥B ．,sin 1x R x ∀∈≥C ．00,sin 1x R x ∃∈>D ．,sin 1x R x ∀∈>【答案】C【解析】首先改变量词，然后否定结论，从而可得结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，首先改变量词，然后否定结论， 所以命题:P ,sin 1x R x ∀∈≤的否定为00,sin 1x R x ∃∈>， 故选C. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.2．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【考点】空间点线面位置关系．3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221202x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．221126x y -=C ．221612x y -=D ．221108x y -=【答案】A【解析】根据椭圆的方程,求得椭圆的焦点坐标,即为双曲线的焦点.再由渐近线方程,可得a 与b 的关系,结合双曲线中a bc 、、的关系得方程组,即可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆的标准方程为221202x y +=所以椭圆的半焦距为c ==所以椭圆的焦点坐标为()±,即双曲线的焦点为()±双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =,即b a =双曲线中a b c 、、满足222+=a b c所以2222c b a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解方程组得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以双曲线的标准方程为221810x y -=故选:A 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质的应用,双曲线渐近线方程,属于基础题. 4．已知{}n a 中，11a =，()112n n n a na ++=，则数列{}n a 的通项公式是（ ） A ．21n n na =- B ．12n n n a -=C ．n a n =D ．12n nn a +=【答案】B【解析】根据递推数列的形式特征,利用累乘法可求得数列{}n a 通项公式. 【详解】已知{}n a 中,11a =,()112n n n a na ++=化简整理可得()112n n n a a n++= 所以递推可得()121n n a n a n -=- ()12122n n a n a n ---=- ......32322a a =⨯ 21221a a =⨯ 等式两边分别相乘可得()()()12321232112322122232221n n n n n n a a a a a n n n a a a a a n n n -------⋅⋅⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⨯---⨯⨯ 即112n n a n a -= 所以11122n n n n n a a --=⋅= 故选:B 【点睛】本题考查了数列递推公式的表示方法,累乘法在求数列通项公式中的用法,属于基础题. 5．一束光线从点()1,1-出发，经x 轴反射到圆()()22:234C x y -+-=上的最短路径长度是（ ） A ．4 B ．5 C ．3 D ．2【答案】C【解析】先找到P 关于x 轴对称点P',由两点间距离公式可得'P C ,根据最短路径为'P C r -即可求解.【详解】圆()()22:234C x y -+-=则圆心坐标为()2,3C ,半径2r =,如下图所示:设点()1,1P -,则点P 关于x 轴对称点为()'1,1P -- 由两点间距离公式可得()()22'12135P C =--+--= 所以最短路径的长度为'523P C r -=-= 故选:C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,点关于直线的对称点及最短距离问题,属于基础题. 6．已知三棱锥S ABC -，ABC ∆是直角三角形，其斜边10AB =，SC ⊥平面ABC ，6SC =，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．136πB ．68πC ．72πD ．100π【答案】A【解析】先将三棱锥补为四棱柱,三棱锥的外接球即为四棱柱的外接球,根据线段关系即可求出其外接球的半径,进而求出外接球的表面积. 【详解】根据题意,将三棱锥补全为四棱锥,如下图所示:则三棱锥S ABC -的外接球即为四棱柱SPQR CAEB -的外接球.ABC ∆是直角三角形,其斜边10AB =所以10CE AB ==则SE ===所以四棱柱SPQR CAEB -外接球半径2SER == 则四棱柱SPQR CAEB -外接球的表面积为2244136S R πππ==⨯=,即三棱锥S ABC -的外接球表面积为136S π= 故选:A 【点睛】本题考查了三棱锥外接球表面积的求法,因为三棱锥中三条棱两两垂直,可将三棱锥补成直四棱锥研究其外接球,属于基础题.7．已知椭圆22:1248x y E +=，过右焦点F 且倾斜角为45︒的直线交椭圆E 于A 、B 两点，AB 设的中点为M ，则直线OM 的斜率为（ ） A ．3- B ．13-C．3-D．【答案】B【解析】根据椭圆标准方程可得焦点F 的坐标,进而得直线方程.联立椭圆方程,根据韦达定理及中点坐标公式可得中点M 的坐标,即可得直线OM 的斜率. 【详解】椭圆的标准方程为22:1248x y E +=所以半焦距4c ===,即右焦点坐标为()4,0F过右焦点F 的直线倾斜角为45︒,即斜率tan 451k ==o 所以直线方程为4y x =-联立直线方程与椭圆方程2241248y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简可得2660x x -+= 设直线与椭圆两个交点()11,A x y 、()22,B x y 则由韦达定理可得126x x += 则1212442y y x x +=-+-=-由中点坐标公式可得AB 中点()3,1M - 则直线OM 的斜率为1133-=- 故选:B 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,中点弦问题的解法,属于基础题.8．已知1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A 、B ，若24AB AF a ==，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．4C ．233D ．7【答案】D【解析】根据双曲线定义及已知条件24AB AF a ==,用a 表示出12,AF BF ,可得2ABF ∆为等边三角形,得123F BF π∠=,在12F BF ∆中由余弦定理可得a 与c 的关系式,即可求得双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,直线l 过1F 且与双曲线的左、右两支分别交于点A 、B ,如下图所示:由双曲线定义可知,12212,2BF BF a AF AF a -=-= 而24AB AF a ==,122F F c = 所以122422AF AF a a a a =-=-=则11426BF BA AF a a a =+=+=,212624BF BF a a a a =-=-= 所以224AB AF BF a ===,即2ABF ∆为等边三角形.在12F BF ∆中,由余弦定理可得2221212122cos3F F BF BF BF BF π=+-⋅代入可得22243616264cos 3c a a a a π=+-⨯⨯化简可得227c a =即双曲线离心率为2277c a a a==故选:D 【点睛】本题考查了双曲线的定义及简单性质的应用,余弦定理解三角形的用法,双曲线离心率的求法,属于中档题.9．已知圆锥的母线长为2r ，底面圆半径长为r ，圆心为O ，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径.若点C 是底面圆周上一点，且OC 与母线PB 所成的角等于60︒，则MC 与底面所成的角的正弦值为（ ）A ．12 B ．223C ．123D ．22【答案】C【解析】连接MO ,过M 作MD AO ⊥.连接,MC DC ,即MOC ∠即为OC 与母线PB 所成的角或补角,再由余弦定理即可求得MC ,在Rt ODC ∆中即可求得MC 与底面所成的角的正弦值. 【详解】连接MO ,过M 作MD AO ⊥.连接,MC DC 如下图所示:根据中位线定理可得MO PB ∥,MD ⊥平面AOCMCD ∠即为MC 与底面所成的角或补角因为圆锥的母线长为2r ,底面圆半径长为r 则222243PO PB OB r r r =-=-= 所以32PO rMD ==因为MO PB ∥则MOC ∠即为OC 与母线PB 所成的角或补角,即60MOC ∠=o 或120MOC ∠=o 因为1,2OC r OM PB r ===,在OMC ∆中由余弦定理可得 222cos MC OM OC OM CO MOC =+-⋅⋅⋅∠当60MOC ∠=o 时,代入可得222cos60MC r r r r r =+-⨯⨯⋅=o 当120MOC ∠=o 时,代入可得222cos1203MC r r r r r =+-⨯⨯⋅=o则332sin 2MD MCD MC r ∠===或312sin 23MD MCD MC r ∠=== 所以MC 与底面所成的角的正弦值为12或32故选:C 【点睛】本题考查了圆锥中直线与平面夹角的求法,空间中线线、线面、面面的位置关系,余弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.10．已知抛物线()220x py p =>的准线方程为1y =-，ABC ∆的顶点A 在抛物线上，B 、C 两点在直线25y x =-上，若45BC =，则ABC ∆面积的最小值为（ ）A ．10B ．8C ．1D ．2【答案】D【解析】根据抛物线的准线方程可求得抛物线的方程,设出A 点坐标,利用点到直线距离公式表示出A 到直线25y x =-的距离,求出距离的最小值即可得ABC ∆面积的最小值. 【详解】因为抛物线()220x py p =>的准线方程为1y =-所以12p-=-,解得2p = 即抛物线方程为24x y =因为A 在抛物线上,设2,4t A t ⎛⎫⎪⎝⎭,直线25y x =-化为250x y --= 则点A 到直线250x y --=的距离d == 所以当4t =时, min 5d== 则由BC =ABC ∆面积的最小值为min 112225S d BC =⨯⨯=⨯=故选:D 【点睛】本题考查了抛物线标准方程及其性质的简单应用,点到直线距离公式的用法,属于基础题.11．已知非零实数a 、b 和1依次成等差数列，直线10ax by ++=与椭圆22:116x y C m +=恒有公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．34m >且16m ≠ B ．34m ≥且16m ≠ C ．43m >且16m ≠D ．43m ≥且16m ≠【答案】D【解析】根据三个数成等差数列,可得a 、b 的等量关系,代入直线方程即可求得直线过的定点坐标,由直线与椭圆恒有公共点可知定点在椭圆内,即可求得m 的取值范围. 【详解】因为非零实数a 、b 和1依次成等差数列 则12a b +=,即21a b =-直线方程10ax by ++=可化为()2110b x by -++= 因而()210x y b x ++-= 所以直线经过定点()1,2-因为直线与椭圆22:116x y C m +=恒有公共点所以只需定点在椭圆内或在椭圆上即可 即14116m +≤且16m ≠ 解得43m ≥且16m ≠ 故选:D【点睛】本题考查了直线与椭圆位置关系,直线过定点的求法,属于基础题.12．我们把()2210,1,2nn F n =+=L 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设()2log 1n n a F =-，1,2,n =L ，n S 表示数列{}n a 的前n 项之和，则使不等式21223122222400n nn n S S S S S S ++++<K 成立的最小正整数n 的值是（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．11【答案】A【解析】根据定义代入化简得数列{}n a 的通项公式,由通项公式可知数列{}n a 为等比数列.根据等比数列的求和公式先求得n S ,再代入通项式12n n n S S +中求得通项,结合裂项求和法即可求得不等式左边的和.最后代入n 的值检验即可判断能成立的最小正整数值. 【详解】因为()2210,1,2nn F n =+=L ,且()2log 1n n a F =-代入可得()2log 1n n a F =-()221og 2l 1n=-+()222log 2nn==则数列{}n a 为等比数列,首项为12,2a q == 根据等比数列的求和公式可得()()21222112nnn S-==--所以()()1122221221n nn n n n S S ++=-⨯- 111142121n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭所以不等式左边212231222nn n S S S S S S ++++K 111111111143377152121n n +⎛⎫=-+-+-⋅⋅⋅+- ⎪--⎝⎭ 1111421n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭则不等式为111214212400nn +⎛⎫-<⎪-⎝⎭ 当9n =时不等式左边为9991111121211421222046+--⎛⎫-== ⎪--⎝⎭,不等式右边为922400,则不等式9921220462400-<不成立 当10n =时不等式左边为1010101121121211421224094+--⎛⎫-== ⎪--⎝⎭,不等式右边为1022400,则不等式101021240942400-<成立 综上可知使不等式21223122222400n nn n S S S S S S ++++<K 成立的最小正整数n 的值是10 故选:A 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法,等比数列前n 项和公式的应用,裂项求和法的综合应用,不等式比较大小,综合性较强,属于中档题.二、填空题13．已知曲线22:151x y C k k+=---，则“45k ≤<”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的______条件.（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”或者“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】由45k ≤<代入检验曲线方程,或根据椭圆的标准方程解不等式求出k 的取值范围,结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】曲线方程可化简为22:151x y C k k +=--当45k ≤<时,可得051k <-≤,314k ≤-<,即51k k -<-,所以曲线表示焦点在y 轴上的椭圆若曲线22:151x y C k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,则满足155010k k k k ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩,解得35k <<综上可知“45k ≤<”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件 故答案为: 充分不必要 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其简单性质,充分必要条件的判定,属于基础题.14．若()2,1,3a x =r ，()1,2,9b y =-r 且//a b r r，则xy =_________.【答案】14【解析】根据空间向量共线的条件,解方程组即可求得xy 的值. 【详解】因为()2,1,3a x =r ,()1,2,9b y =-r 且//a b r r则存在实数λ,满足λa b =r r所以()()2,1,31,2,9x y λ=-,即()211239x y λλλ⎧=⨯⎪=⨯⎨⎪=⨯-⎩,解方程组可得163213x y λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩所以131624xy ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为: 14【点睛】本题考查了空间向量共线的坐标简单应用,属于基础题.15．过点()3,1A -且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是_______. 【答案】30x y +=或20x y +-=【解析】当直线过原点时,在x 轴和y 轴上的截距都为0,也相等;当直线在x 轴和y 轴上的截距不为0时,可设截距式,代入坐标即可求解. 【详解】当直线经过原点时, 在x 轴和y 轴上的截距都为0,也相等,此时直线的斜率13k =-,则直线方程为13y x =-,即30x y += 当直线在x 轴和y 轴上的截距不为0时,设直线方程为1x ya a+=,代入()3,1A -可得311a a-+=,解得2a =,则直线方程为221x y +=,即20x y +-=综上可知,直线方程为30x y +=或20x y +-= 故答案为: 30x y +=或20x y +-= 【点睛】本题考查了直线的截距式方程的应用,注意讨论截距等于0的情况,属于基础题.16．平面内与两定点()10,A a -，()()20,0A a a >连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线，给出以下四个结论：①当1m =-时，曲线C 是一个圆；②当2m =-时，曲线C；③当2m =时，曲线C的渐近线方程为y =；④当曲线C 的焦点坐标分别为0,⎛- ⎝和0,⎛ ⎝时，m 的范围是(),1-∞-.其中正确的结论序号为_______. 【答案】①③【解析】设出动点P 的坐标,根据斜率之积为m 可求得动点的轨迹方程.依次代入m 的值可判断①②③;讨论当m 分别取(),1-∞-和()0,∞+时焦点坐标,求得都为0,⎛- ⎝和0,⎛ ⎝,因而可判断④. 【详解】 设动点(),P x y当0x ≠时,12PA PA k k m ⋅= 即y a y am x x+-⋅=,化简可得()2220y mx a x -=≠ 又因为()10,A a -,()()20,0A a a >满足222y mx a -=所以动点P 的轨迹方程为222y mx a -=当1m =-时,曲线C 的方程为222y x a +=,为圆心在原点,半径为a 的圆,所以①正确;当2m =-时,曲线C 的方程为2222y x a +=,可化为222212y x a a+=,为焦点在y 轴上的椭圆,所以c a ==,则离心率为22a c a a ==,所以②错误;当2m =时,曲线C 的方程为2222y x a -=,可化为222212y x a a-=,为焦点在y 轴上的双曲线,所以渐近线方程为2y x ==,所以③正确; 当(),1m ∈-∞-时,曲线C 的方程可化为22221y x a a m+=-,表示焦点在y 轴上的椭圆,则2211a c a a m m ⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪-⎝⎭,则焦点坐标为10,1a m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭和10,1a m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭. 当()0,m ∈+∞时,曲线C 的方程可化为22221y x a a m-=,表示焦点在y 轴上的双曲线,则2211a c a a m m =+=+,则焦点坐标为10,1a m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭和10,1a m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.由以上可知,当焦点坐标为10,1a m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭和10,1a m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭时,m 的取值范围为()(),10,-∞-+∞U ,所以④错误.综上可知,正确的序号有①③ 故答案为: ①③ 【点睛】本题考查了曲线方程的综合性质与应用,椭圆与双曲线的焦点与离心率性质的应用,分类讨论思想的应用,计算量较大,属于难题.三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，90PAD ABC ∠=∠=︒，//AB CD ，122DC CB AB ===，2PA =.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AB 与PD 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理即可证明.（2）因为//AB CD ,则PCD ∠即为异面直线AB 与PD 所成角,在PDC ∆中求得各边的长度,由余弦定理即可求得PDC ∠,根据异面直线夹角的范围即可判断夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：∵PA CD ⊥,PA AD ⊥,CD AD D =I ,∴PA ⊥平面ABCD ,（2）∵//AB CD∴PDC ∠为异面直线AB 与PD 所成的角或其补角, ∵PA ⊥平面ABCD ,122DC CB AB ===,2PA =. 则222222AD =+ ∴在Rt PAD ∆中,()222222223PD PA AD =+=+=22224225=++=AC AB BC ,∴()222222256PA AC PC +=+==∴在PDC ∆中,由余弦定理可得∴2223cos 2383CD PD PC PDC CD PD +-∠===-⨯⨯因为异面直线夹角的范围为02π⎛⎤⎥⎝⎦，∴异面直线AB 与PD 3【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,异面直线夹角的求法,余弦定理在解三角形中的应用,注意异面直线夹角的范围,属于基础题.18．已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点F ，E 上一点坐标为()1,2.（1）求抛物线E 的方程；（2）过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）220x y +-=.【解析】（1）将点坐标代入解析式,求得p 的值,即可求得抛物线方程.（2）方法一:设点()11,A x y ,()22,B x y ,根据中点纵坐标即可利用点差法求得直线的斜率,由点斜式即可求得直线方程;方法二,设出直线方程,联立直线方程与抛物线方程,根据韦达定理和中点的纵坐标,即可求得直线方程. 【详解】（1）把()1,2代入抛物线方程 解得2P =∴E 的方程为24y x =.（2）法一：由（1）得抛物线E 的方程为24y x =,焦点()1,0F设A ,B 两点的坐标分别为()11,A x y ,()22,B x y ,代入抛物线可得则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,两式相减,整理得()211221214y y x x x x y y -=≠-+ ∵线段AB 中点的纵坐标为1- ∴直线l 的斜率()2144212AB k y y ===-+-⨯直线l 的方程为()021y x -=--即220x y +-=法二：由（1）得抛物线E 的方程为24y x =,焦点()1,0F设直线l 的方程为1x my =+由241y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ,得2440y my --= 设A ,B 两点的坐标分别为()11,A x y ,()22,B x y , ∵线段AB 中点的纵坐标为1- ∴()124122m y y --+==- 解得12m =-直线l 的方程为112x y =-+即220x y +-= 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,点差法求直线方程的应用,韦达定理及中点坐标公式的用法,属于基础题.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足341432S S -=，且1a ，3a ，9a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）222n n nT +=-. 【解析】（1）根据341432S S -=,且1a ,3a ,9a 成等比数列可分别求得等差数列的公差和首项,即可求得数列{}n a 的通项公式. （2）先求得数列2n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,进而利用错位相减法即可求得前n 项和n T .【详解】（1）∵等差数列{}n a 满足341432S S -= ()232231432a a a +-= 化简可得321a a -=,即等差数列的公差为1d = 又∵1a ,3a ,9a 成等比数列,所以2319a a a =,即()()211128a a a +=+,解得11a =,所以()11n a a n d n =+-=.（2）数列2n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为1222n nn a n a n n ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭则12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K ()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K两式相减得1231111111222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K所以111111112*********n n n n n n T n +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=-- ⎪⎝⎭-. 所以222n nnT +=-. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法,等比数列通项公式的应用,错位相减法求和的应用,属于中档题.20．已知圆心在y 轴上的圆C经过点)S，截直线5y =所得弦长为:20l ax y a ++=.（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，当a 为何值时，ABC ∆的面积最大. 【答案】（1）()2244x y +-=；（2）7a =-或1a =-. 【解析】（1）根据圆心在y 轴上设出圆的方程,将点)S带入,结合垂径定理即可得关于b 和r 的方程组,解方程组求出b 和r 即可得圆的方程.（2）先利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离的表达式,再由垂径定理表示AB 的长度,即可表示出ABC ∆的面积,结合基本不等式即可求得当面积取最大值时a 的值. 【详解】（1）设圆C 的方程为：()222x y b r +-=,把)代入得()2233b r +-=,①又∵圆C 截直线5y =所得弦长为∴()2225b r -+=②联立①②解得4b =,2r = ∴圆C 方程为：()2244x y +-=（2）圆心C 到直线:20l ax y a ++=的距离d =AB =由2214222d d S AB d d +-==≤=此时24d d =-即2d =时等号成立解得7a =-或1a =-则当7a =-或1a =-时ABC ∆的面积最大. 【点睛】本题考查了圆的标准方程求法,直线与圆相交的性质及应用,点到直线距离公式的应用,属于基础题.21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠=o ，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）3π【解析】()I 利用CM 与BN 交于F ，连接EF ．证明//AN EF ，通过直线与平面平行的判定定理证明//AN 平面MEC ；()II 对于存在性问题，可先假设存在，即假设x 在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断． 【详解】()I CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形， 所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点， 所以//AN EF ．又EF ⊂平面MEC ，AN ⊂平面MEC ，所以//AN 平面MEC ．()II 由于四边形ABCD 是菱形，60DAB o ∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥． 又四边形ADNM 是矩形，面ADNM ⊥面ABCD ，DN ∴⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，(3E ，0，0)，(0C ，2，0)，(3P ，1-，)h ，(3CE =u u u v ，2-，0)，(0EP =u u u v ，1-，)h ，设平面PEC 的法向量为1(n x =u v ，y ，)z ．则11·0·0CE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v u v u u u v u v ，∴ 3200x y y hz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 令3y h =，∴ 1(2n h =u v ，3h ，3)，又平面ADE 的法向量2(0n =u u v ，0，1)，1cos n ∴<u v ，122212·31273n n n n n h >===+u v u u v u u v u v u u v ，解得37h =， Q 371>， ∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行的判断以及二面角的应用，考查存在性问题，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．利用空间向量法求二面角的一般方法，属于中档题.22．已知点43⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，椭圆的右焦点)2F ，直线l 过椭圆的右顶点A ，与椭圆交于另一点D ，与y 轴交于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为弦AD 的中点，是否存在定点Q ，使得OP EQ ⊥恒成立？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若//OM l ，交椭圆C 于点M ，求3AD AE OM +的范围.【答案】（1）22194x y +=；（2）存在，4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）()5,+∞.【解析】（1）设点为43N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,利用椭圆的定义及两点间距离公式可求得a ,结合c =a b c 、、的关系可求得2b ,则求得椭圆的标准方程.（2）根据直线l 过椭圆的右顶点可设出直线l ,联立椭圆方程,结合韦达定理可用斜率k 表示出D 点的坐标,再由中点坐标公式表示出P 点坐标,即可得直线OP 的斜率.根据直线l 交y 轴于E ,可表示出E 点坐标.设出定点(),Q m n ,表示出直线QE 的斜率,根据OP EQ ⊥可知1OP EQ k k ⋅=-,根据恒成立问题即可求得Q 的坐标.（3）设出直线OM 的方程,联立椭圆即可求得点M 的坐标,代入3AD AE OM +后化简为关于直线OM 斜率的表达式,通过构造函数,并根据函数的单调性即可求得3AD AE OM +的取值范围.【详解】（1）设椭圆过的定点为43N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且左焦点为1F因为椭圆的右焦点)2F 则c =所以()1F 由椭圆定义12NF NF +=62a ==所以3,a =由椭圆中a b c 、、的关系可知222954b a c =-=-=∴椭圆的标准方程：22194x y += （2）由题意可知,直线l 的斜率存在且不为0,直线l 过椭圆的右顶点()3,0A ,交另外一点于D.设直线l 的方程()3y k x =-,(),y D D D x联立方程可得()223194y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩, 消去y 整理得：()2222945481360k x k x k +-+-=, 则由韦达定理可知228136394D k x k -=+, 则22271294D k x k -=+,代入直线方程可得()224394D D k y k x k =-=-+, ∴222271224,9494k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭, 由P 为弦AD 的中点,根据中点坐标公式可得2222712,9494k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, ∴直线OP 的斜率49OP k k=-, 对于直线l 的方程()3y k x =-,令0x =,则()0,3E k -,假设存在定点(),Q m n ,0m ≠,满足OP EQ ⊥,直线EQ 的斜率3EQ n k k m +=, ∴4319OP EQ n k k k k m+⋅=-⋅=-,整理得41290n k km +-=, 由()41290n m k +-=恒成立,则129040m n -=⎧⎨=⎩,解得430m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩则定点Q 的坐标为4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）由//OM l ,则直线OM 的方程y kx =,设(),M M M x y ,由22194x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,解得294M x k =+∵222271212333394694D E Mk AD AE x x k OM x k --+-+-+==+ 22223942294394k k k ⎫==+++ 294k t +=,（直线l 的斜率存在且不为0,∴2t >）∵函数()3823f t t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()2,+∞单调递增, ∴3AD AE OM+的取值范围是()5,+∞. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系及椭圆性质的综合应用,综合性强,难度大,属于难题.。