6.5二重积分
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分的概念及几何意义
若函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在区域$D$ 上均可积，则有 $iint_{D}[f(x,y)+g(x,y)]dsigma=iint_ {D}f(x,y)dsigma+iint_{D}g(x,y)dsig ma$。
积分区域的可加性
简单区域的叠加
若复杂区域$D$可以划分为有限个简单区域（如矩形、三角形等）的并集，且函数在每个简单区域上 均可积，则二重积分可以通过在这些简单区域上分别进行积分并求和得到。
复杂区域的分解
对于复杂的不规则区域，可以通过引入辅助线将其划分为几个较简单的子区域，然后在每个子区域上 分别进行积分，最后将结果相加。这种方法在处理具有复杂边界或包含多个不同部分的积分区域时特 别有用。
03
二重积分的计算
直角坐标系下的二重积分
积分区域为矩形区域
通过对矩形区域进行划分，将二重积分转化为累次积分进行计算。
对于环形区域，可以通过对内外圆的极径 进行划分，将环形区域划分为若干个小扇 形区域，然后对每个小扇形区域进行积分 ，最后将结果相加得到二重积分的值。
二重积分的换元法
直角坐标与极坐标的互化
通过直角坐标与极坐标之间的互化公式，可以将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标 系下的二重积分进行计算。
一般变换
对于一般的二重积分，可以通过变量代换的方法将其转化为更简单的形式进行计算。常 用的变量代换方法有极坐标代换、广义极坐标代换等。
积分的数乘性质
若函数$f(x,y)$在区域$D$上可积，则对于任意常数$k$，有 $iint_{D}kf(x,y)dsigma=kiint_{D}f(x,y)dsigma$。
可加性质
积分区域的可加性
若区域$D$可分成两个不相交的区域$D_1$和 $D_2$，且函数$f(x,y)$在$D_1$和$D_2$上均 可积，则有 $iint_{D}f(x,y)dsigma=iint_{D_1}f(x,y)dsigm a+iint_{D_2}f(x,y)dsigma$。
二重积分的概念及性质
二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
二重积分的计算法
0
法二
先x后y
2
x2+y2
a
2
x
D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为
二重积分的计算
二重积分的计算二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。
首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。
这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。
二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。
转化的前提是需要将被积区域D 表示为不等式形式。
二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：1）12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先y 后x ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)x x bb Da x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
2）12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先x 后y ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)y y dd Dc y c y f x yd f x y dx dy dy f x y dx ψψψψσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。
在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元d dxdy σ=。
如果被积区域D 是一个矩形区域，则:c y dD a x b≤≤⎧⎨≤≤⎩，而且被积函数可表为(,)()()f x yg xh y =， 此时，二重积分实际变为两个独立定积分的乘积：(,)()()()()b d bdDa c a cf x y dg xh y d y d x g x d x h y d yσ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 这是二重积分计算中最简单的情况。
二重积分基本公式表
二重积分基本公式表
以下是二重积分的基本公式表：
1. 矩形区域上的常数函数:
∬_R c dA = c ×面积(R)
2. F(x, y) = 1 的情况:
∬_R dA = 面积(R)
3. F(x, y) = x 的情况:
∬_R x dA = x ×面积(R)
4. F(x, y) = y 的情况:
∬_R y dA = y ×面积(R)
5. 直角坐标系下一般函数 F(x, y) 的情况:
∬_R F(x, y) dA
6. 在极坐标系下的基本公式:
∬_D F(r, θ) r dr dθ
7. 边界为曲线的情况:
∬_D F(x, y) dA = ∫[a, b] ∫[c(x), d(x)] F(x, y) dy dx
8. 极坐标系下边界为曲线的情况:
∬_D F(r, θ) r dr dθ = ∫[α, β] ∫[r1(θ), r2(θ)] F(r, θ) r dr dθ
这些基本公式涵盖了二重积分的一些常见情况。
根据具体的函数和区域形状，可以使用这些公式进行二重积分的计算。
需要注意的是，具体的计算过程可能需要根据问题的具体要求进行适当的变量变换或分解，以便于求解。
二重积分算法
二重积分算法二重积分算法1. 介绍二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域内的函数值之和。
它的计算方法有多种，本文将介绍其中的三种常用算法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法和面积元法。
2. 直角坐标系下的累次积分法直角坐标系下的累次积分法是最基本也是最常用的一种二重积分算法。
它将被积函数视为一个关于两个变量 x 和 y 的函数 f(x,y)，并通过两次单变量积分来计算其在指定区域内的值。
具体来说，设被积函数为 f(x,y)，要求在区域 D 内进行二重积分，则可以先固定 y 值，对 x 进行单变量积分得到一个关于 y 的函数 g(y)，再对 g(y) 在 D 内进行单变量积分即可得到 f(x,y) 在 D 内的值。
公式表示为：∬Df(x,y)dxdy = ∫a∫b f(x,y) dxdy = ∫a∫b g(y) dy其中 a 和 b 分别是 x 轴方向上 D 区域边界线段对应点的横坐标。
3. 极坐标系下的累次积分法极坐标系下的累次积分法适用于计算具有旋转对称性的函数在极坐标系下的积分值。
它将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，从而简化了计算过程。
具体来说，设被积函数为 f(x,y)，要求在区域 D 内进行二重积分，则可以通过变量替换将直角坐标系下的 x 和 y 转化为极径 r 和极角θ，再通过两次单变量积分来计算其在指定区域内的值。
公式表示为：∬Df(x,y)dxdy = ∫θ1∫θ2 f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ其中θ1 和θ2 分别是 D 区域边界线段对应点在极坐标系下的极角。
4. 面积元法面积元法是一种基于微小面元面积和被积函数在该面元上近似值之乘积来计算二重积分值的方法。
它适用于被积函数具有较强规律性且区域 D 的形状比较简单的情况。
具体来说，将区域D 划分为若干个微小面元，每个面元的面积为ΔS，其中心点为 (xi,yi)，则可以将被积函数在该面元上的近似值视为f(xi,yi)，从而得到二重积分的近似值：∬Df(x,y)dxdy ≈ ∑f(xi,yi)ΔS随着微小面元数量的增加，上式的近似值将越来越接近真实值。
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用在数学的领域中，二重积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各个科学领域。
本文将探讨二重积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、二重积分的定义与计算方法二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分运算。
设有函数f(x, y) 定义在平面上的有界闭区域 D 上，记作：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示平面上一个有界区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数，dxdy 表示对 x, y 的积分。
二重积分可以通过以下两种常用方法进行计算：1. 直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，二重积分可以表示为：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示 x 轴与 y 轴所围成的区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数。
使用直角坐标系下的计算方法可以将二重积分转化为两个一重积分的运算，具体过程如下：将 D 区域划分为若干个小矩形或小平行四边形；在每个小矩形或小平行四边形上取一点(xi, yj)；设Δxi 和Δyj 分别为小矩形或小平行四边形的宽度和高度；计算 f(xi, yj) 与Δxi Δyj 的乘积的和，即为所求的二重积分。
2. 极坐标系下的二重积分计算在极坐标系下，二重积分可以表示为：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示极坐标系下的一个有界区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数。
使用极坐标系下的计算方法可以将二重积分转化为一重积分的运算，具体过程如下：将 D 区域在极坐标系下表示为R ≤ r ≤ S, α ≤ θ ≤ β；将x = rcosθ，y = rsinθ 进行替换，使得函数 f(x, y) 转化为 F(r, θ)；计算F(r, θ) 与 r 的积分后再对θ 进行积分，即为所求的二重积分。
二、二重积分的应用1. 几何应用二重积分可用于计算平面图形的面积。
通过在直角坐标系或极坐标系下进行适当的变换，将图形转化为简单的几何图形（如矩形、圆、扇形等），然后进行二重积分的计算，便可得到所求图形的面积。
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高等数学之二重积分计算方法总结
在考研中，对于二重积分重点要掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标），二重积分计算公式如下：
二重积分的计算主要在于把二重积分化为累次积分计算，而在化为累次积分计算时，坐标系的选择不仅要看积分域D的形状，而且还要看被积函数的形式。
（1）适合用极坐标计算的二重积分被积函数一般应具有以下形式：
f(y/x),f(x/y),f((x^2+y^2)^(1/2))
之所以适合极坐标是由于它们在极坐标下都可化为r或thetha的一元函数。
（2）适合用极坐标计算的二重积分的积分域一般应具有以下形状：
中心在原点的圆域，圆环域或它们的一部分（如扇形);中心在坐标轴上且边界圆过原点的圆域或者它们的一部分。
有时在计算二重积分时候需要利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常用的结论有以下两条：
（1）利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性：
（2）利用变量的对称性：
题型一：在直角坐标下计算二重积分
例1：
解题思路：先画积分域D，不难看出该积分域关于两个坐标轴都对称，被积函数也有奇偶性，因此，应利用对称性和奇偶性。
解：
题型二：利用极坐标计算二重积分
例2：
解题思路：积分区域D关于y轴左右对称，被积函数（x+1)^2=x^2+2x+1，其中2x是x的奇函数，x^2+1是x的偶函数，先利用奇,偶性化简，然后再用极坐标计算。
解：。
二重积分及其应用
二重积分及其应用
1 什么是二重积分
二重积分是数学中的重要概念，它是对平面上一个有界区域内的函数值进行求和的数学方法。
在坐标系中，二重积分依据被积函数与闭区域的关系，将闭区域分割成若干个小区域，对每个小区域进行积分，然后将所有小区域的积分结果相加得到闭区域内函数的积分。
2 二重积分的计算方法
二重积分可以使用极坐标、直角坐标等方法进行计算。
其中，直角坐标方法常常适合于矩形或直线边界的计算。
而极坐标方法常常适用于中心对称或具有某种环状边界的计算。
二重积分的计算方法通常需要使用到换元法，简化被积函数的形式。
3 二重积分的应用
二重积分在实际应用中有着广泛的应用。
在物理学中，二重积分可以用于求解物理中的质心、质量等物理量。
在工程学中，二重积分可以用于求解物体的面积、体积、抗压能力等问题。
在金融学中，二重积分可以用于建模分析股票、交易指数等复杂金融问题。
总之，二重积分在科学领域中有着广泛的应用。
4 总结
二重积分是一种数学方法，可以将平面上的有界区域内的函数值进行求和。
在实际应用中，二重积分有着广泛的应用，涉及到多个领
域。
在使用二重积分进行计算时，可以根据具体问题选用相应的计算方法，从而简化计算过程。
二重积分的计算法
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用哎，大家好，今天咱们聊聊二重积分。
这听起来有点高深莫测，但其实也没那么复杂，放轻松，咱们就当是在聊天。
二重积分就像在二维平面上计算一个区域的“面积”，不过这可不是简单的“长乘宽”那么简单，咱们要考虑的是更复杂的形状，比如说那些不规矩的花花草草，或者更别提那些搞得你头大的图形了。
想象一下，一个草坪上有个不规则的花坛，咱们要怎么计算这个花坛的面积呢？这就得用到二重积分了，听上去有点酷吧？先来说说二重积分的基本概念。
简单来说，它就是在一个平面区域上，对一个函数进行积分，得到的结果就是这个区域的“总量”。
有点像你在一个派对上，想知道大家喝了多少饮料，那你就得把每个人喝的量加起来。
二重积分的应用真是广泛，建筑设计、物理问题、经济学等等，都能用上这个家伙。
哦，别急，咱们可不是在上课，今天主要是给大家普及一下，顺便讲点有趣的事。
想象一下，你在一个草坪上，瞅着那块花坛，决定要用二重积分来计算。
你得给花坛设置一个坐标系，这样你就能更清楚地知道每个点的位置。
你就像是在为这块土地画地图，告诉大家，嘿，这里是哪里，那里又是什么。
然后，咱们的目标就是把这个花坛划分成小块，就像是把一个大蛋糕切成小块一样，每一小块的面积都能用简单的计算公式来算。
咱们把每一小块的面积加起来，最后得出整个花坛的面积，简直是轻松愉快，跟在家里做饭一样。
不过，二重积分可不是单靠加法就能搞定的。
这块区域形状特别复杂，就像是个巨型的拼图，怎么也拼不起来。
这个时候，咱们就得用到极坐标系统。
这就好比你在海边捡贝壳，贝壳的位置不是用直线来划分的，而是用距离和角度来描述的。
使用极坐标，二重积分的计算变得简单很多，真是大大方便了我们这些数学小白。
这就像是给了我们一把万能钥匙，打开了更复杂问题的大门。
当咱们一边算着花坛的面积，一边享受着阳光的时候，突然灵光一闪，嘿，二重积分还能帮咱们解决一些实际问题呢！比如说，农民伯伯种地的时候，想知道一块地里施了多少肥料，或者说设计师设计一个新建筑，想知道它的体积，嘿，这些都能用到二重积分。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。
简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。
接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。
直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。
当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。
假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。
如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。
极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。
在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。
如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。
二重积分计算范文
二重积分计算范文二重积分是对二元函数进行积分运算的一种方法，其计算过程相对复杂，需要通过一定的方法和技巧来简化计算过程。
下面将分别介绍二重积分的定义、性质和计算方法。
1.二重积分的定义设函数f(x,y)在矩形区域D上连续或只有有限个第一类间断点，则称在D上对f(x,y)的二重积分存在，并称该积分的值为函数f(x,y)在D上二重积分。
二重积分的表示通常用下面的记号表示：∬Df(x, y)dxdy其中，D表示积分区域，f(x, y)表示被积函数，dxdy表示对x和y先后积分。
2.二重积分的性质二重积分满足以下性质：（1）线性性质：对于任意常数a和b，有∬D(a·f(x, y) + b·g(x, y))dxdy = a∬Df(x, y)dxdy + b∬Dg(x, y)dxdy。
（2）积分区域的可加性：如果D能够表示成D = D1 ∪ D2，其中D1和D2是两个没有公共内点的矩形区域，则有∬Df(x, y)dxdy = ∬D1f(x, y)dxdy + ∬D2f(x, y)dxdy。
（3）积分区域的可分割性：如果D的边界由两条曲线C1，C2组成，设D = D1 ∪ D2，其中D1是D由C1分割的一部分，D2是D由C2分割的一部分，则有∬Df(x, y)dxdy = ∬D1f(x, y)dxdy + ∬D2f(x, y)dxdy。
（4）对称性：若f(x, y)在D上连续，则有∬Df(x, y)dxdy =∬Df(y, x)dydx。
3.二重积分的计算方法在计算二重积分时，常用的方法有直角坐标法和极坐标法。
下面分别介绍这两种方法。
（1）直角坐标法对于直角坐标法，首先需要确定积分的上下限，即确定积分区域D，并将被积函数f(x,y)拆解为乘积形式。
考虑到二重积分的计算过程复杂，通常采用分步计算的方法，先对x 进行积分，再对y进行积分。
对x进行积分时，需要确定y的上下限，即确定积分区间[a,b]，然后计算积分：1∫0∫2f(x, y)dydx其中，f(x,y)为被积函数。
二重积分的公式
二重积分的公式二重积分是数学分析中的一个重要概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
咱们先来说说二重积分的公式到底是啥。
简单来讲，二重积分的公式可以表示为：$\iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d}f(x,y) dy dx$ 。
这看起来有点复杂，别着急，咱们慢慢捋捋。
就拿我之前教过的一个学生的经历来说吧。
有一次上课，我给大家讲二重积分，这位同学一脸迷茫地看着我，就好像掉进了一个完全陌生的世界。
我就问他：“咋啦，哪儿不明白？”他皱着眉头说：“老师，这公式看起来太抽象了，根本搞不懂啊。
”我就跟他说：“别着急，咱们慢慢来。
”为了让大家更好地理解这个公式，咱们来想象一下。
假如有一块不规则的农田，我们想知道这块农田的总产量。
那怎么算呢？我们可以把这块农田划分成很多小方格，每个小方格的面积都很小。
然后我们去测量每个小方格的产量，再把所有小方格的产量加起来，这不就大概能得到整块农田的总产量了嘛。
这其实就和二重积分的原理有点像。
在二重积分的公式中，$f(x,y)$ 就好比是每个小方格的产量，而$d\sigma$ 就是小方格的面积。
我们通过对 $x$ 和 $y$ 的积分，就相当于把所有小方格的产量都加起来了。
再比如说，我们要计算一个平面区域上的质量分布。
假设这个平面区域是一块厚度不均匀的铁板，$f(x,y)$ 表示每一点的密度，那么通过二重积分，我们就能算出这块铁板的总质量。
咱们继续深入理解一下这个公式。
在计算二重积分的时候，积分的顺序是有讲究的。
有时候先对 $y$ 积分，有时候先对 $x$ 积分，这得根据具体的函数形式和积分区域来决定。
就像有一次做练习题，题目给了一个积分区域是由两条抛物线围成的。
很多同学一开始就选错了积分顺序，结果越算越乱。
这时候就得仔细观察这个区域的特点，选择合适的积分顺序，才能顺利地算出结果。
还有啊，在实际应用中，比如计算物体的重心、转动惯量等等，二重积分都能发挥大作用。
二重积分的分部积分公式
二重积分的分部积分公式二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面内一些区域上的二元函数的积分。
分部积分是一种常用的积分技巧，其本质是将一个复杂的积分问题分解为几个较简单的求积分问题。
本文将介绍二重积分的分部积分公式及其应用。
1.二重积分的定义及性质在平面直角坐标系中，设函数f(x,y)在一个有界闭区域D上有定义，我们可以将D分成无穷多个小面积ΔS的小块，其中每一个小块的面积趋近于0。
则二重积分的定义为：∬_(D)▒f(x,y)dxdy=lim┬(ΔS→0)〖∑_(i=1)^(n)▒∑_(j=1)^(m)▒f(x_i^*,y_j^*)ΔS〗其中，(x_i^*,y_j^*)是小块ΔS的内部任意一点，ΔS是小块的面积，n,m分别是D在x和y方向上的划分数。
二重积分具有以下性质：（1）线性性质：如果f(x,y)和g(x,y)都在D上有定义且可积，则对于任意实数a和b，有：∬_(D)▒(af(x,y)+bg(x,y))dxdy=a∬_(D)▒f(x,y)dxdy+b∬_(D)▒g(x,y)dxdy（2）可加性：如果D可以分成两个没有公共部分的区域D_1和D_2，则有：∬_(D)▒f(x,y)dxdy=∬_(D_1)▒f(x,y)dxdy+∬_(D_2)▒f(x,y)dxdy∬_(D)▒(∂u/∂x+∂v/∂y)dxdy=∫(□)〖v(□,y)dy-u(□,y)∣_a^b 〗其中，∂u/∂x和∂v/∂y是函数u(x,y)和v(x,y)的偏导数，(□,y)表示固定y的值，a和b是D在y轴上的两个边界值。
需要注意的是，二重积分的分部积分公式中的边界值是指在y轴上的取值，而不是在D区域上的边界。
3.二重积分的应用举例（1）计算二重积分∬_(D)▒xydxdy，其中D是区域y=x^2,x=y^2所围成的区域。
解：根据分部积分公式，令u=x，v=1/2y^2，则∂u/∂x=1，∂v/∂y=y，代入公式可得：∬_(D)▒xydxdy=∫(□)〖1/2y^2(□,y)dy-x(□,y)∣_0^1 〗先计算边界值，在D区域上y的取值范围是[0,1]，所以x的取值范围是[0,1]。
6.5二重积分
2
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则
D1
f ( x, y ) d
D f ( x, y) d 0
D1 o D x
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果. 在第一象限部分, 则有
4 ( x 2 y 2 ) d x d y
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
2015年6月7日星期日 25
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后积先定限 后积变量的上下限均为 常数，而先积分的积分 限内划条线 限一般是后积分的积分 先交是下限 变量的函数（除非积分 区域 D 为矩形）。 后交是上限
2015-6-7
26
f ( x, y)dxdy
n
(k 1, 2 ,, n)
f ( k , k ) k
k 1
2015年6月7日星期日 3
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4)“取极限”
令 max ( k )
1 k n
n
V lim f ( k , k ) k
0 k 1
k
2015年6月7日星期日
的大小顺序为 ( ) ( A) I1 I 2 I 3 ;
( B ) I 2 I1 I 3 ; ( D ) I 3 I1 I 2 .
(C ) I 3 I 2 I1 ;
提示: 因 0 < y <1, 故
y
1
又因 x 3 0, 故在D上有
D
o x
2015年6月7日星期日
0
k 1
2015年6月7日星期日
7
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6.5二重积分的概念与计算
O x
1 1 1 ( x 5 )dx 1 3 3 x 1 2 1 4 2 27 ( x x ) |1 6 12 64
2
1 y 1 2 D1 : 1 解法2： x2 y
1 y 2 D2 : y x 2
r
2
rdrd
(△i为△Vi窄条曲顶柱体的底；di为△i的直径。)
②近似：近似地将小曲顶视为平顶（满足条件：z=f(x,y) 连续，小区域△i的直径di很小），以点(i,i) △i的竖坐标f(i,i)为高，则得每个小 窄条曲顶柱体的体积近似值 △Vi≈f(i,i)△i (i=1,2, … ,n) ③求和： V Vi f (i ,i ) i
a xb D ( x, y ) 1 ( x) y 2 ( x)
x
D
1(x0) y=1(x)
o
a
x0
b
—— x 型区域先y后x
b
V f ( x, y )dxdy dx
D a
2 ( x )
1 ( x )
f ( x, y )dy
解：
I dx
a
a
a2 x2
2 2
a x
e
( x 2 y 2 )
dy
或
I 4 dx
0
a
a2 x2
0
e
( x 2 y 2 )
dy
极坐标系下点的坐标和曲线方程
P(r,)
r=r()
r
o
·
)
· y
x
P
r
·
r =r ()
r
o
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设 M 、m 分别是 f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值
和最小值， 是 D 的面积，则有
m f ( x, y)d M .
D
性质 6 （二重积分的中值定理） 设函数 f ( x, y ) 在闭区 域 D 上连续， 是 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 ( , ) ， 使得 f ( x, y)d f ( , ) .
例 2 计算 y 1 x2 y 2 d ，其中 D 是由直线 y x ， x 1
D
和 y 1 所围成的闭区域．
（1）画出积分区域 D 解题步骤： （2） D 即可看成 X 型，又可看成 Y 型
( B ) I 2 I1 I 3 ; ( D ) I 3 I1 I 2 .
(C ) I 3 I 2 I1 ;
提示: 因 0 < y <1, 故
y
1
又因 x 3 0, 故在D上有
D
o x
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16
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第六章
三、 二重积分的计算方法
(Calculation of Double Integral)
y
z
D
任取 x0 [a , b],平面 x x0 截柱体的
截面积为 A( x0 ) 故曲顶柱体体积为
o
a
x0 b x
2 ( x0 )
1 ( x0 )
f ( x0 , y) d y
X型区域
b a
V f ( x, y ) d a A( x)d x [
b
D
第五节 二 重 积 分
一、 二重积分的定义
二、 三、
二重积分的性质 二重积分的计算方法
2013年7月1日星期一
1
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一、二重积分的定义
1.曲顶柱体的体积
给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面
求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想: “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
D
曲顶柱体体积的相反数.如果 f ( x, y) 在闭区域 D 的 某些部分区域上为正,在其它部分区域上为负,我们 规定,把 xoy 平面上方的柱体体积取正, xoy 平面下方 的柱体体积取负,则二重积分 f ( x, y)d 等于这些
D
部分区域上曲顶柱体体积的代数和.
2013年7月1日星期一 8
n
y
(k 1, 2 ,, n)
f ( k , k ) k
k 1
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( k ,k ) k
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x
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4)“取极限”
令 max ( k )
1 k n
n
V lim f ( k , k ) k
D D D
1
2
20
D3
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o
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x
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2013年7月1日星期一
f ( x, y )dxdy
a D
b
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y )dydx f ( x, y )dy
b
a
dx
d
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y)dxdy
该性质表示二重积分对于积分区域具有可加性．
2013年7月1日星期一 10
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性质 3 如果在 D 上， f ( x, y) 1 ， 为 D 的面积，则
1 d d .
该性质表明被积函数为 1 的二重积分在数值上就等于积 分区域 D 的面积．
性质 4 如果在 D 上， f ( x, y) ( x, y) ，则有
一、直角坐标下二重积分的计算 二、极坐标下二重积分的计算 三、小结与思考练习
2013年7月1日星期一
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一、直角坐标下二重积分的计算
设曲顶柱体的顶为 z f ( x, y) 0 曲顶柱体的底为 1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) a xb
dx
y2 ( x ) y1 ( x ) x2 ( y )
f ( x, y )dy f ( x, y )dx
dy
c
x1 ( y )
c o
a
b
x
后积先定限 限内划条线 先交是下限 后交是上限
注：后积变量的上下限均为常数，而先积分的积分上下限 是后积分的积分变量的函数（除非积分区域D为矩形）。
D
例
设 D 是圆环域： 1 x2 y 2 4 ，证明
利用性质5
3πe e
D
x2 y 2
d 3πe4 .
2013年7月1日星期一
12
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积分对称性
设函数 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
(1) f ( x , y) f ( x, y), 则
2
1 ( y )
Y型区域
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说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
D
b a d
f ( x, y ) d x d y
2 ( x)
1 ( x)
y
d
y 2 ( x)
d x d y
c
f ( x, y ) d y
x 1 ( y)
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D1 D3
D
x 2 ( y)
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可以交换积分次序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X-型域或Y-型域 , 则
D D D
c D d c
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x, y )dxdy f ( x, y )dx d
x=x1(y)
D
dy
y
y=y2(x) D y=y1(x)
x2 ( y )
x1 ( y )
o
a
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b
x
c o
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x=x2(y)
x
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y d
D
b
a d
2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y ) d y ] d x
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2013年7月1日星期一
18
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同样, 若曲顶柱的底为
D ( x, y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d
则其体积可按如下两次积分计算
y d V f ( x, y ) d x 2 ( y) D x 1 ( y) d 2 ( y) [ f ( x, y ) d x ] d y y c 1 ( y ) c ( y) o x f ( x, y ) d x
D D
f ( x, y)d (x, y )d .
特殊地，由于 f ( x, y) f ( x, y) f ( x, y) ,
又有
D D
f ( x, y)d
D D
f ( x, y ) d .
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2013年7月1日星期一
11
性质 5
x, y 称为积分变量
积分域
2013年7月1日星期一
被积函数
5
面积元素
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如果 f ( x, y ) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域D , 这时 也常 因此面积元素 记作
二重积分记作
y
k k k
o
rk k
k
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D f ( x, y) d
2
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则
D1
f ( x, y ) d
D f ( x, y) d 0
D1 o D x
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果. 在第一象限部分, 则有
4 ( x 2 y 2 ) d x d y
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说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
D
b a d
f ( x, y ) d x d y
2 ( x)
1 ( x)
y
d
y 2 ( x)
d x d y
c
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
2013年7月1日星期一
2
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1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2 , , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体
2)“常代变”
在每个 中任取一点 则
( k , k )
D
k
Vk f ( k , k ) k
3)“近似和”
xy d x d y
xy d x d y