离心率练习
高三离心率提速练习题
高三离心率提速练习题一、填空题1. 圆的离心率是______。
2. 椭圆的离心率是______。
3. 双曲线的离心率是______。
二、选择题1. 下列哪个图形的离心率等于0？a. 圆b. 椭圆c. 双曲线2. 当椭圆的离心率为1时，该椭圆是一条：a. 圆b. 抛物线c. 双曲线3. 曲线的离心率越大，表示：a. 曲线越接近圆形b. 曲线越扁平c. 曲线越陡峭三、解答题1. 一椭圆的焦点分别是(-4,0)和(4,0)，离心率为2/3。
求此椭圆的方程。
2. 已知一双曲线的离心率为3/2，焦点到直线的距离为2。
求此双曲线的方程。
3. 画出离心率为1/2的椭圆和离心率为2的双曲线。
四、应用题某天，小明骑自行车以恒定的速度沿椭圆形跑道绕行。
已知此椭圆的焦点为A、B，小明起始点C与焦点A、B的距离分别为7m和9m。
小明从C点出发后，经过40秒后又回到C点。
试问小明此次跑道的周长是多少米？五、综合题在太阳系中，行星围绕太阳运动形成的轨道大致是一个椭圆。
已知地球绕太阳运行的平均速度为30km/s，并且地球和太阳的距离（称为半长轴）为1.496×10^8km，离心率为0.0167。
假设地球绕太阳的轨道是一个正椭圆，请回答以下问题：1. 地球离太阳最远时与最近时的距离分别为多少？2. 地球离太阳的距离是否处于任何一个固定的数值范围内？3. 地球绕太阳一周需要多长时间？4. 地球从最近点运动到最远点需要多长时间？5. 地球到最近点和最远点的距离差是多少？六、总结与归纳本练习题以高三离心率提速为题，涵盖了填空题、选择题、解答题、应用题和综合题等多个类型的题目。
通过解答这些题目，我们可以深入理解离心率概念，并应用到实际问题中。
此练习题旨在帮助学生巩固和提高对离心率知识的掌握程度，并培养解决实际问题的能力。
离心率专项练习
离心率专项练习1.过椭圆左焦点F,左倾角为 60的直线交椭圆于A,B 两点，若FBFA 2=,则离心率e 为 .分析：过A,B 向准线引垂线垂足为C,D ，在过B 向AC 引垂线，垂足为点E3260cos 13131===--⇒== AE AB BD AC FB FA BD FB AC FA e 2.斜率为2的直线过中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的右焦点，与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率的范围是（ D ） A.2>eB. 31<<eC. 51<<eD. 5>e分析：可研究直线与渐近线的关系3.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A.2>eB. 21<<eC. 2>eD. 21<<e寻找题目中的不等关系，容易得出中垂线a c >24.已知椭圆E 的离心率e ，抛物线以1F 为顶点，2F 为焦点，P 是两曲线的一个交点，若e PF PF =21，则=eA .A.33B.23 C.22 D.365.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,P是准线上一点，且，21PF PF ⊥,ab PF PF 421=⋅,则双曲线的离心率是（ ） Ａ、2Ｂ、3 Ｃ、３ Ｄ、２分析： 21PF PF ⊥，∴021=⋅PF PF 设P ),2y c a （，则0),(),(2221=--⋅---=⋅y c a c y c a c PF PF 解的ca c y 44-=，又由ab PF PF S 22121=⋅=∆ab y F F S 22121=⋅=∆得⨯⨯c 221ca c 44-=ab 2解得：a c 3=，=e 3另解：勾股定理，双曲线的第一定义，焦点三角形6.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，在双曲线上存在点A ，使 9021=∠AF F ,且,321AF AF =则双曲线的离心率为（ B ） A.25B.210 C.215 D. 5分析：a AF AF 221=- ，,321AF AF =∴a AF 31=，a AF =2且c F F 221= ∴中21F AF Rt ∆ ∴222)2()3c a a =+（ ∴2225c a =，∴=e 2107.若直线022=-y x 与双曲线12222=-by a x 的两个交点在x 轴上的射影恰好是该双曲线的两个焦点，则此双曲线的离心率为（ C ） A.322 B.3 C. 2 D. 28.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴上，设A,B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且8=+BF AF,线段AB 的垂直平分线恒过定点Q(6,0),求此抛物线的方程和线段AB 中点的横坐标。
双曲线标准方程--离心率练习题
双曲线的标准方程及其简单的几何性质一、选择题1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( ) －y 2＝1B ．y 2－x 23＝1 －y 24＝1－x 24＝15．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) －y 23＝1－y 22＝1 －y 2＝1D ．x 2－y 24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) －y 27＝1 －y 27＝1(y >0) －y 27＝1或x 27－y 29＝1 －y 27＝1(x >0)8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( ) －y 24＝1 －y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝110．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( ) －y 224＝1－x 224＝1 －x 212＝1－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A ．214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________． 17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________. 18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程21.如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右分支分别交于A ，B 两点．若AB ：BF 2：AF 2=3：4：5，则双曲线的离心率为______．求双曲线方程及离心率练习题1．已知双曲线22214y x a -=过点()2,1-，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B. 2 C.3 D. 42．双曲线221()mx y m R +=∈2，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C. 1± D ．22．已知双曲线Γ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的一条渐近线为l ，圆C ： ()228x a y -+=与l 交于A ， B 两点，若ABC V 是等腰直角三角形，且5OB OA =u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（ ） A.133 B. 2133 C. 135 D. 21353．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（ ） A.B.C. 2D.4．设F 为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1||2OF ，则双曲线的离心率为（ ） A ．22B ．23C ．23D ．35．双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率等于 （ ） A ．2 B ．3 C. 2 D ．36．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的14 ，则此双曲线的离心率是（ ） A. 2 B.2 C.3 D. 37．过双曲线()222210 0x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A.2B.3D.58．已知双曲线的方程为，过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段，则双曲线的离心率为（ ）.A.B.C.D.9．已知双曲线，其一渐近线被圆所截得的弦长等于4，则的离心率为( ) A.B.C. 或D. 或10．已知双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的渐近线与圆()228223x y -+=相切，则该双曲线的离心率为（ ） A.62 B. 32C. 3D. 311．设F 为双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点,P Q ，若2PQ QF =， 60PQF ∠=o，则该双曲线的离心率为（ ） A.3 B. 13+ C. 23+ D. 423+12．双曲线的左右焦点分别为，直线经过点及虚轴的一个端点，且点到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.13．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的值为（ ） A.2 B.C.3 D. 214．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）A. 6B. 3C.D.15．已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：的左焦点，A ，B 分别为双曲线C 的左、右顶点，P 为双曲线C 上的一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若，则双曲线C 的离心率为A.2 B.3 C. 2 D. 316．已知双曲线的左，右焦点分别为，点P 为双曲线右支上一点，若，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A.B.C.D.17．已知双曲线 的一条渐近线方程为,,分别是双曲线的左, 右焦点, 点P 在双曲线上, 且, 则等于（ ）A. 4B. 6C. 8D.18．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A. 30m -<< B. 32m -<< C. 34m -<< D. 13m -<<19．已知直线l 过点()1,0A -且与22:20B x y x +-=e 相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，其一条渐近线平行于l ，则E 的方程为（ ）A. 223144x y -=B. 223122x y -=C. 22513y x -= D. 223122y x -= 20．已知双曲线的右顶点为A ，过右焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则（） A. B.C.D.双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1.5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0.6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1. 11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2. 12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ， ∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca ＝ 2.14、[答案] C [解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833 [解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0.19、[答案] 62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案] y 2254－x 2394＝1 [解析] 椭圆x 29＋y 225＝1中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16，21、求双曲线方程及离心率练习题1．C 【解析】由题意可得：221411,42a a -=⇒= ，据此有： 2222219,4,22a b c a b ===+=，则： 2229,3c e e a=== .本题选择C 选项.2．B【解析】因为,所以,选B.2．A3．D【解析】不妨设双曲线的焦点为，则其中一条渐近线为，焦点到其距离，又知，所以，故选D．4．B【解析】由题意得的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点为，因此到另一条渐近线的距离为选B.5．A【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以选A.6．A7．A8．A，解得，选A.9．D 【解析】 的渐近线为 渐近线被截得的弦长为或或.选D.10．A 【解析】由题意知圆心()22,0到渐近线0bx ay -=的距离等于83,化简得2232a c =,解得6e =, 11．B12．D13．B14．A15．C【解析】因为轴，所以设，16．A 【解析】根据双曲线定义，，且点在左支，则，设，，则,,则,,在中,,则离心率.∴.故选A.17．C 【解析】由题知双曲线的渐近线方程为 ，据所给渐近线方程，又，知，根据双曲线的定义可得，又，则．故本题答案选．【解析】由题意知， ()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.19．D 【解析】可设直线方程： 22(1),:20y k x B x y x =++-=e 的圆心为(1,0)半径为1，由相切得条件可得： 203d=131k k k k +-=⇒=±+，所以直线方程： 3(1),3y x =±+，联立圆解得： 1313,(,)2222x y D ==±⇒±，故渐近线方程为32y x =±，设双曲线方程为2213y x m -=代入D 可得双曲线方程： 223122y x -= 20．A【解析】 渐近线为 与的一条渐近线平行，不妨用，即的纵坐标.选B.。
椭圆离心率问题
一、椭恻离心率的1.运川几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图• 0为椭圆的中心，F为焦点• A为顶点，准线L交0A于B. P、Q在椭恻上• PD丄L于D.QFIAD于F,设椭圆的离心率为e.则（!）*晋卞②^罟禺算④*+|吕厂、I F0 I⑤ *1757评：AQP为椭圆上的点•根据椭圆的第一定义得，V I A0 I =a, I OF I =c,・••有⑤：Tl AO I =aU BO I =辛.••有③。
题目1：椭圆务+^l（a>b>0）的两焦点为F, . F2 •以F1F2为边作正三角形.若椭圆恰好平分正三角形的两边.则椭圆的离心率e思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B.连接8F_把已知条件放在椭圆内•构造△RBF2分析三角形的^^^边长及关系。
解：V I F1F2 I =2c I BF1 I =c I BFz I =©C c-K/3c=2a Ae= yjs-l*2 u2变形椭圆农+h=lSb>0）的两儘点为F1、F2 •点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形•求椭恻离心解：连接 PF2测 I OF2 I = I OFJ = I OP I ,ZF I PF2 =90^ 图形如上图，y2变形2:椭圆农+^i(a>b>0)的两焦点为F 八Fz . AB 为椭恻的顶点.P 是椭圆上一点•且PF 】丄X 轴.tP•■TP Fl I = — I Fa Fl I =2c I OB I =b I OA I =a "AB •■- I F X' I ■夕 又"b=毎疋•'•a2=5c2 e=¥ 点评：以上题目，构造焦点三角形・通过#边的几何总义及关系，推寻有关a 与C 的方程式，推导离心率。
一、运用正余弦定理解决图形中的三角形y2 \i2题目2：椭圆+^l(a>b>0), A 是左顶点.F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点.ZA8F=90" ■求ePF2 〃 AB,求椭圆离心率解: PF2根据和比性质:I FiP I + I PF2 I sinFiFzP+sin PF1F22c ZPFiFa =75 * Z PF2Fi=15「 5in9(r V e* sin75“ +5inl5' " 3点评：在焦点三角形中・使用第一定义和正弦定理可知X2 v2变形 h 椭圆+^l(a>b>O)rrj 两焦点为 Fl (-C. 0)、F2 (c,0), P 是椭圆上一点，且ZFiPF ； =60 .求 e 的取值范ra解 S I AO I =3 I OF I =C I BF I =a I AB I 而 a^b^+a^ =(a+c)2 =$2+2合c+c2 aJ ：2・ac=0 两边同除以 aPe^+e-l=0 e=—e - '-护(舍去)变形:椭+^l{a>b>0). e=2号E A 是左顶点，F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点，求ZABF 点评: 此题是上一题的条件与结论的互换•解题中分析各边.由余弦定理解决角的问題。
高三离心率练习题
高三离心率练习题离心率是椭圆曲线的一个重要属性，它反映了椭圆形状的扁平程度。
在高三数学的学习中，离心率也是一个重要的知识点。
下面是一些关于高三离心率的练习题，供同学们加深对这一概念的理解。
练习题1：已知一个椭圆的长轴为6，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：椭圆的离心率e的计算公式是e = √(a^2 - b^2)/a，其中a为长轴的长度，b为短轴的长度。
代入已知条件，可以得到e = √(6^2 -4^2)/6 = √(36-16)/6 = √20/6 ≈ 0.58。
练习题2：已知椭圆的离心率为0.75，长轴的长度是8，求短轴的长度。
解答：同样利用离心率的计算公式，可知0.75 = √(8^2 - b^2)/8。
通过解方程可以得到b ≈ 3.06。
练习题3：已知一个椭圆的长轴为10，离心率为0.6，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到0.6 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 6.67。
练习题4：若一个椭圆的长轴和短轴之和为16，离心率为0.8，求长轴和短轴的长度。
解答：设长轴长度为a，短轴长度为b，则离心率e = √(a^2 - b^2)/a，长轴和短轴之和可表示为a + b = 16。
根据这两个方程，可以解方程组得到a ≈ 12.25，b ≈ 3.75。
练习题5：已知一个椭圆的长轴为8，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：根据离心率的计算公式，可得e = √(8^2 - 4^2)/8 = √(64-16)/8 = √48/8 = √6 ≈ 2.45。
练习题6：已知椭圆的离心率为1.5，短轴的长度为6，求长轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可得1.5 = √(a^2 - 6^2)/a。
解方程可得a ≈ 17.82。
练习题7：已知一个椭圆的离心率为1，长轴的长度为10，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到1 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 0。
椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c ∴MF2=4c，MF1=2cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．或解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l解答：解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），答：∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）解：如图所示，解答：设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]解解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，答：化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：设P（x，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．解解：由题意知c=1，离心率e=，答：椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解答：解：如图所示：|AF|=a+c，|BF2|=，2∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．解解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．答：②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
椭圆离心率问题
一、椭圆离心率的1、运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2c∴有③。
题目1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3cc+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率解：∵｜PF 1｜= b 2a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=aPF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2∴a 2=5c 2e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
离心率专题练习题
离 心 率 专 题1．双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为 （ ）A B C D ．2 2．过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( )A ．2B ．22C ．21D ．42 3．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为 π3， 则双曲线的离心率为 ( ) A ．2 B ． 3 C ．263 D ．2334．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形， 则椭圆的离心率是 （ ）A ．2B ．12C ．2D 1 5．若焦点在轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m= ( )A B ．32C ．83D ．236．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若 边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+ 7．过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于 B 、C,且|AB|=|BC|, 则双曲线M 的离心率是 ( )A B C D 8．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是 正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）A ．33 32 B ．32 C ．22 D ．23 9．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且 12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43 B ．53 C ．2 D ．7310．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交 双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 （ ）A B C D 11．若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线离心率是 （ ） A ．3 B ．5 C ．3 D ．512．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e , 则双曲线方程为（ ） A ．22x a －224y a =1 B ．222215x y a a -=C ．222214x y b b -=D ．222215x y b b -= 13．设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。
求椭圆的离心率习题专题
圆锥曲线的离心率问题的求解离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是描述曲线形状的重要参数．椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据；双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要数据；而抛物线的离心率是1.圆锥曲线的统一定义是按离心率的范围不同，确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线的类型.求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特征三角形.常用方法:１.利用曲线定义。
圆锥曲线的统一定义是与离心率密不可分的,在题目中挖掘这隐含信息有助于解题．２.利用曲线变量范围。
圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的,充分利用这一点，可优化解题．３.利用直线与曲线的位置关系。
根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的不等式，可迅速解题．４.利用点与曲线的位置关系。
根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一个重要的解题途径．5.联立方程组。
如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式并求其解．6.三角函数的有界性。
用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易解．7.用根的判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解8.构造关于e 的方程求解.9.数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线形和圆。
因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。
圆锥曲线的离心率练习题1、已知椭圆的方程22221(0)x y a b a b+=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，P 是椭圆上的一点 若12PF PF =，求椭圆离心率的取值范围。
2、已知椭圆的方程22221(0)x y a b a b+=>>，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一点 若123F PF π∠=，求椭圆离心率的取值范围。
高中数学圆锥曲线系统讲解第11讲《椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式》练习及答案
第11讲 椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式知识与方法1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出12PF F 的三边长之比或内角正弦值之比. 公式：1212121221sin 22sin sin F F F PF c ce a a PF PF PF F PF F ∠====+∠+∠ 2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出12PF F 的三边长之比或内角正弦值之比. 公式：1212122112sin 22sin sin F F F PF c ce a a PF F PF F PF PF ∠====∠−∠−.典型例题【例1】（2018·新课标Ⅱ卷）已知1F 、2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.12−B.2−C.12−1 【解析】解法1：如图，12PF PF ⊥， 2160PF F ∠=︒，故可设122F F =，则1PF =，21PF =， 所以C的离心率12121F F e PF PF =−+.解法2：如图，2112126030PF F PF F PF PF ∠=︒⎧⇒∠=︒⎨⊥⎩121221sin sin 901sin sin sin 30sin 60F PF e PF F PF F ∠︒⇒===∠+∠︒+︒.【答案】D变式1 设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 在C 上且1PF x ⊥轴，若1230F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，1230F PF ∠=︒且1PF x ⊥，故可设22PF =，则1PF ，121F F =， 所以椭圆C的离心率12122F F e PF PF ===+.解法2：如图，12211123060F PF PF F PF F F ∠=︒⎧⇒∠=︒⎨⊥⎩121221sin sin 302sin sin sin 90sin 60F PF e PF F PF F ∠︒⇒===−∠+∠︒+︒【答案】2变式2 在ABC 中，AB AC ⊥，1tan 3ABC ∠=，则以B 、C 为焦点，且经过点A 的椭圆的离心率为_______.【解析】如图，不妨设3AB =，1AC =，则BC =4BC e AB AC ==+. 解法2：如图，1tan sin sin 3ABC ABC ACB ∠=⇒∠=⇒∠sin sin sin BAC e ABC ACB ∠⇒==∠+∠.【答案】4变式3 过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为2F ，若2ABF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒也是等腰直角三角形， 不妨设1121AF F F ==，则2AF所以椭圆的离心率12121F F e AF AF ===+.解法2：如图，由题意，121245F AF F F A ∠=∠=︒，所以椭圆的离心率121221sin 1sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠+∠.1变式4 过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为2F ，若21cos 8AF B ∠=，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，122212121211cos cos 212sin sin 88AF AF B AF F AF F AF F AF ∠=∠=⇒−∠=⇒∠∠=，不妨设1AF =24AF =，则123F F =，所以121243F F e AF AF ===+.解法2：如图，2211cos cos 28AF B AF F ∠=∠=22121112sin sin 8AF F AF F ⇒−∠=⇒∠=12213sin cos 4F AF AF F ⇒∠=∠=1212213sin sin sin F AF e AF F AF F ∠∠===∠+∠.【答案】43变式5 在ABC 中，2AB =，1BC =，且6090ABC ︒≤∠≤︒，若以B 、C 为焦点的椭圆经过点A ，则该椭圆的离心率的取值范围为_______. 【解析】解析：如图，设()6090ABC θθ∠=︒≤≤︒ 则2222cos 54cos AC AB BC AB BC ABC θ=+−⋅⋅∠=−，160900cos 2AC θθ︒≤≤︒⇒≤≤⇒≤≤，而12BC e AB AC AC==++22e ≤≤.【答案】2,2【反思】从上面几道题可以看出，焦点三角形下求椭圆的离心率，要么研究焦点三角形的三边长之比，要么研究焦点三角形的内角正弦值之比.【例2】已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b−=的左、右焦点，点P 在C 上，12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】解法1：如图，由题意，不妨设21PF =，则1PF =，122F F =，所以12121F FePF PF===−.解法2：如图，由题意，2160PF F∠=︒，1290F PF∠=︒，所以121221sin1sin sinF PFePF F PF F∠==+∠−∠.1+变式1 （2016·新课标Ⅱ卷）已知1F、2F是双曲线2222:1x yEa b−=的左、右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=，则E的离心率为（）B.32CD.2【解析】解法1：如图，不妨设11MF=，23MF=，则12F F=1212F FePF PF===−.解法2：21121sin sin33MF F F MF∠=⇒∠=121221sin31sin sin13F MFeMF F MF F∠⇒===∠−∠−.【答案】A变式2 已知1F、2F是双曲线2222:1x yCa b−=的左、右焦点，过1F且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若2ABF是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒也是等腰直角三角形， 不妨设1121AF F F ==，则2AF 双曲线C的离心率12211F F e AF AF ==+−.解法2：2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒也是等腰直角三角形，所以121221sin sin 451sin sin sin 90sin 45F AF e AF F AF F ∠︒===+∠−∠︒−︒.1变式3 在ABC 中，AB AC ⊥，1tan 3ABC ∠=，则以B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线的离心率为_______.【解析】如图，不妨设1AC =，则3AB =，BC =所以双曲线的离心率BC e AB AC ===−.【答案】2变式4 已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b−=的左、右焦点，点P 在C 上，1230PF F ∠=︒，212PF F F =，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，由题意，121230PF F F PF ∠=∠=︒，12120F PF ∠=︒，所以121221sin 1sin sin 2F PF e PF F PF F ∠==∠−∠.【答案】12强化训练1.（★★★）在PAB 中，PA AB ⊥，12tan PBA ∠=，则以A 、B 为焦点，且经过点P 的椭圆的离心率为_______.【解析】如图，由题意，不妨设1PA =，则2AB =，PB =，所以AB e PA PB===+2.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在C 上，且1245PF F ∠=︒，214cos 5PF F ∠=，则椭圆C 的离心率为_______. 【解析】如图，212143cos sin 55PF F PF F ∠=⇒∠=， 12122121180135F PF PF F PF F PF F ∠=︒−∠−∠=︒−∠，所以()12212121sin sin 135sin135cos cos135sin F PF PF F PF F PF F ∠=︒−∠=︒∠−︒∠=故121221sin 5sin sin F PF e PF F PF F ∠==−∠+∠【答案】5−3.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b−=的左、右焦点，点P 在C 上，1PF x ⊥轴，且211tan 2PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为_______. 【解析】如图，不妨设11PF =，122F F =，则2PF = 双曲线C的离心率1221F F e PF PF ===−.4.（★★★）在ABC 中，30ABC ∠=︒，AB ，1BC =，若以B 、C 为焦点的椭圆经过点A ，则该椭圆的离心率为_______.【解析】2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+−⋅⋅∠= 1AC ⇒=⇒椭圆的离心率12BC e AB AC −==+.5.（★★★）过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A 、B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，设椭圆C 的右焦点为1F ，ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒也是等腰直角三角形，不妨设1AF OF ==，则12FF =，1AF =， 所以椭圆C的离心率121F F e AF AF ==+.解法2：ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒也是等腰直角三角形， ⇒22b AF OF c b ac a=⇒=⇒=2222210102a c ac c ac a e e e −⇒−=⇒+−=⇒+−=⇒=.【答案】126.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b−=的左、右焦点，过1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若2ABF 是正三角形，则双曲线C 的离心率为_______. 【解析】解法1：如图，2ABF 是正三角形，不妨设11AF =，则22AF =，12F F =离心率1221F F e AF AF ==−.解法2：如图，2ABF 是正三角形1260F AF ⇒∠=︒，2130AF F ∠=︒，1290AF F ∠=︒， 所以双曲线C的离心率121221sin sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠−∠.7.（★★★）过双曲线2222:1x y C a b −=的左焦点1F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，C 的右焦点为2F ，若21cos 8AF B ∠=，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，2221211cos cos 22cos 18AF B AF F AF F ∠=∠=∠−=1221233cos 44F F AF F AF ⇒∠=⇒=， 不妨设123F F =，24AF =，则1AF ==所以离心率1221F F e AF AF ==−.8.（★★★）过双曲线2222:1x y C a b−=的左焦点F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，若ABO是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒也是等腰直角三角形，不妨设1AF FO ==，则12FF =，1AF ， 所以C的离心率11FF e AF AF==−.9.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过1F线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，212AF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为_______. 【解析】解法l ：如图，直线AB1260AF F ∠=︒，又212AF F F ⊥，所以2190AF F ∠=︒，1230F AF ∠=︒， 不妨设121F F =，则12AF =，2AF =， 所以椭圆C的离心率12122F F e AF AF ==+.解法2：如图，直线AB1260AF F ⇒∠=︒， 又212AF F F ⊥，所以2190AF F ∠=︒，1230F AF ∠=︒， 故椭圆C的离心率121221sin 2sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠+∠【答案】210.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆的4个交点和1F 、2F 恰好构成一个正六边形，则椭圆E 的离心率为_______.【解析】如图，由题意，21ABF CDF 是正六边形，所以1260AF F ∠=︒，2130AF F ∠=︒，1290F AF ∠=︒，故椭圆E的离心率121221sin 1sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠+∠.111.（★★★★）已知P 、Q 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 在第一象限，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，2OP OF =，若11QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为_______.【解析】如图，2121212OP OF OP F F PF PF =⇒=⇒⊥ 显然四边形12PF QF 是矩形，所以12QF PF =，由题意，11QF PF ≥，所以21PF PF 设12PF F α∠=，则21tan PF PF α=≥30α≥︒， 又点P 在第一象限，所以21PF PF <， 故tan 1α<，即45α<︒，所以3045α︒≤<︒， 椭圆C 的离心率 ()121221sin 11sin sin sin sin 90sin cos F PF e PF F PF F αααα∠====∠+∠+︒−+ 由3045α︒≤<︒可得754590α︒≤+︒<︒，()sin 451α≤+︒<，故12e <≤.【答案】1⎤⎥⎝⎦。
高中数学精品试题：离心率
1专题内容：解析几何小题【离心率部分】 一、典型例题例1、已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ）A ．1－32B ．2－ 3C ．3－12D ．3－1例2、已知椭圆与双曲线C 2：y 2＝1（n ＞0）的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ） A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1例3、已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1二、课堂练习1、已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（）ABC D ．22、已知是双曲线的右焦点，若双曲线左支上存在一点P ，使渐近线上任意一点Q ，都有，则此双曲线的离心率为2A ．B ．C ．2D ．3、设直线x ﹣3y +m ＝0（m ≠0）与双曲线1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A ，B ．若点P （m ，0）满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是 ．4、P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan∠PAF＝12，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．23 B ．22 C ．33 D ．125、5. 双曲线的两个焦点为,若为其上一点，且,则双曲线离心率的取值范围为（ ）(1,3)(3,+)【布置作业】 1、已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到两焦点距离之和为，则（ ） A ．B ．C ．D ．2、如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）A ．3B ．2C ．3D ．23、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e 的取值范围为11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，直线1y x =-+交椭圆于点,,M N O 为坐标原点且OM ON ⊥，则椭圆长轴长的取值范围是（ ）A ．7,8⎡⎤⎣⎦B ．6,7⎡⎤⎣⎦C ．5,6⎡⎤⎣⎦D ．8,9⎡⎤⎣⎦22221x y a b-=)0,0(>>b a 21F F 、P 212PF PF =.A .B (]1,3.C ∞.D [)3,+∞53P 12b =865434、设12,F F 分别为椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的左、右焦点，椭圆C 上存在一点P 使得12PF PF b -=，12158PF PF ab ⋅=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12BD ．135、椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．6、已知为椭圆的焦点，为椭圆上一点，则椭圆的离心率的范围为 .7、已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆离心率的取值范围为 .8、.从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是 .9、已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围 ．10、已知椭圆的左、右焦点分别为，，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且)a c -，则椭圆的离心率的取值范围是 ．21F F 、)0(12222>>=+b a by a x M ,6021︒=∠MF F )0(12222>>=+b a by a x )0,()0,(21c F c F 、-P1221sin sin F PF c F PF a ∠=∠b 2]4,3[22b b 22221(0)x y a b a b+=>>A B F AF BF ⊥ABF α∠=ππ[,]126α∈e 22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F 2F b c -2F P T PT e。
高考数学一轮复习专题10.6椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线练习(含解析)
第六讲 椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线求离心率的三种方法（1）直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．（2）构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．注意：在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用不同曲线的离心率范围进行根的取舍，否则将产生增根．考向一 椭圆的离心率【例1】（1）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为 。
（2）若将（1）中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率． （3）若将（1）中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．【答案】（1）33 （2）6－22 （3）⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 【解析】解法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33．解法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a ．又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． （2）在△PF 1F 2中，∵∠PF 1F 2＝45°，∠PF 2F 1＝75°，∴∠F 1PF 2＝60°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，则在△PF 1F 2中，有m sin 75°＝n sin 45°＝2csin 60°，∴m ＋nsin 75°＋sin 45°＝2c sin 60°，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22．（3）由题意，知c >b ，∴c 2>b 2．又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2，即2c 2>a 2．∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22．故C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1．【举一反三】1. 设F 1，F 2是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF △ 是底角为30︒的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为___________； 【答案】34【解析】如图，设直线32ax =交x 轴于D 点，因为21F PF △是底角为30︒的等腰三角形，则有122F F F P =，因为1230PF F ∠=︒，所以260PF D ∠=︒，230DPF ∠=︒，所以22121122DF F P F F ==，即31222a c c c -=⨯=，即322a c =，即34c a =，所以椭圆E 的离心率34c e a ==2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为___________．【答案】5【解析】设F (c ，0)，则222c a b =- 由题意，易得直线A 1B 2，B 1F 的方程分别为1x y a b +=-，1x yc b+=- 将上述两个方程联立，求解可得点T 的坐标为T 2()(,)ac b a c a c a c+--，则M ()(,)2()ac b a c a c a c +-- 又点M 在椭圆上，所以2222()1()4()c a c a c a c ++=--，整理得221030c ac a +-= 两边同时除以2a ，可得21030e e +-=，解得5e =或5e =-(舍去)3.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 。
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A. 23B. 23C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率(例、练及答案)
离心率（例、练及答案）1．离心率的值例1：设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）ABC ．D ．2．离心率的取值范围例2：已知是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D．练习一、单选题1．若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（） ABCD2．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（） A ．BCD1F 2F ()2222:10x y C a b a b+=>>P C 1PF y 1230PF F ∠=︒1316F 22221x y a b -=()0,0a b >>E Fx A B ABE △e ()1,+∞()1,2(1,1(2,1()2222:10,0x y C a b a b -=>>()2,1-C π4()222210x y a b a b +=>>F A B 2AF FB =323．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若，分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（） ABC ．2D4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，它们交于，两点，且直线过点，则双曲线的离心率为（） ABCD ．25．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（） A ． B ．C ．D ． 6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（） ABCD ．7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（）A ．B ．C ．2D ．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，为坐标原点，1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>P 1PF 2PF 12Rt F PF △124PF PF ab ⋅=()2212210,0:x y C a b a b -=>>F ()2220:C y px p =>A B AB F 1C 1()()000,P x y x a ≠±()2222:10x y C a b a b +=>>M C PO PM ⊥O C e ⎛ ⎝⎭()0,1⎫⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭()222210x y a b a b +=>>A B P 120APB ∠=︒3422221x y a b -=1F 2F P 124PF PF =e 435373()222210x y a b a b +=>>1F 2F P O若，且，则该椭圆的离心率为（） A ．BC ．D9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知，是一对相关曲线的焦点，，分别是椭圆和双曲线的离心率，若 为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（）AB ．2CD ．311．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（） A ． B ．C ．D ．二、填空题13．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线______．14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，1212OP F F =212PF PF a =34122y x =()222210x y a b a b -=>>(()+∞)+∞1F 2F 1e 2e 1260F PF ∠=︒2e =:210l kx y k --+=()22122:10x y C a b a b +=>>A B ()()222:211C x y -+-=C D []2,1k ∈--AC DB =1C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎦⎫⎪⎪⎣⎭P ()222210x y a b a b-=>>1F 2F I 12PF F △121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△(]1,2()1,2(]0,3(]1,3()220y px p =>()222210,0x y a b a b-=>>F A AF ()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F M满足，则离心率的取值范围是__________．15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，的两点，且轴，若为椭圆上异于，的动点且，则该椭圆的离心率为_______．16．在平面直角坐标系中，记椭圆的左右焦点分别为，，若该椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________． 三、解答题17．已知双曲线（1）求双曲线的渐进线方程．（2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．123MF MF =e ()222210x y a b a b+=>>1F 2F 1F A B 2AF x ⊥P A B 14PAB PBF S S =△△xOy ()222210x y a b a b +=>>1F 2F P 12F F P △()2222:10,0x y C a b a b -=>>C 1a =0x y m -+=C A B AB 225x y +=m18．已知椭圆的左焦点为，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点．①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，．求证：为定值；②若，求面积的取值范围．参考答案1．【答案】A【解析】本题存在焦点三角形，由线段的中点在轴上，为中点可得轴，从而，又因为，则直角三角形中，且，，所以，故选A ． ()2222:10x y C a b a b+=>>()1,0F -e C l CA B l C F y P PA AF λ=PB BF μ=λμ+OA OB ⊥OAB △12PF F △1PF y O 12F F 2PF y ∥212PF F F ⊥1230PF F ∠=︒12PF F △1212::2PF PF F F =122a PF PF =+122c F F =121222F F c c e a a PF PF ∴====+2．【答案】B【解析】从图中可观察到若为锐角三角形，只需要为锐角．由对称性可得只需即可．且，均可用，，表示，是通径的一半，得：，，所以，即，故选B ．练习答案一、单选题 1．【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点，代入，可得：，即，，故选D ．2．【答案】A【解析】设直线的参数方程为，代入椭圆方程并化简得，所以，，由于，即，代入上述韦达定理， 化简得，即，A ．3．【答案】D【解析】由双曲线的定义得，所以，即，由题意得，所以，ABE △AEB ∠π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭AF FE a b c AF 2b AF a =FE a c =+()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++()1,2e ∈()2,1-∴b y x a =-21ba-=-12b a =e ∴==2x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭21222ct t a b +=-+412222b t t a b ⋅=-+2AF FB =122t t =-2228c a b =+2229c a =c a =122PF PF a -=()22124PF PF a -=222121224PF PF PF PF a +-⋅=12PF PF ⊥222212124PF PF F F c +==又，所以，解得，从而离心率，故选D ． 4．【答案】C【解析】设双曲线的左焦点坐标为，由题意可得：，， 则，，即，，又：，，据此有：，即，则双曲线的离心率：．本题选择C 选项． 5．【答案】C【解析】由题意，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，所以圆的方程为：，与椭圆方程联立得：，此方程在区间上有解，由于为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于与之间，所以，结合，解得，．故选C ．6．【答案】C【解析】设为椭圆短轴一端点，则由题意得，即， 因为，所以，，，，，C ． 7．【答案】B124PF PF ab ⋅=22484c ab a -=2b a =ce a==1C ()',0F c -(),0F c 2p c =,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),2A c c (),2B c c -'2AF AF a -='AF 22c a -=)1c a =1c e a ==PO PM ⊥P OM ,02a ⎛⎫⎪⎝⎭2a 22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭()0,a a 2aa 22221a a ab a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭222a b c =+221122a c<<1e <<M 120AMB APB ∠≥∠=︒60AMO ∠≥︒tan a OMA b ∠=tan60a b ≥︒a ∴≥()2223a a c ≥-2223a c ∴≤223e ≥e ≥【解析】由双曲线的定义知①；又，②联立①②解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值， 当时，解得，即的最大值为，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知①，又，②，联立①②解得，，因为点在右支所以，即故，即的最大值为，故选B ． 8．【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，，又，可得，即为椭圆的短轴的端点， ，且，即有即为，．故选D ． 9．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线与直线有交点，则有，即有，则双曲线的离心率的取值范围为，故选D ．10．【答案】C【解析】设，，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，可得，，可得，， 由余弦定理可得，即有，122PF PF a -=124PF PF=183PF a =223PF a =12PF F △222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅e 12cos F PF ∠12cos 1F PF ∠=-53e =e 53122PF PF a -=124PF PF =183PF a =223PF a =P 2PF c a ≥-23a c a ≥-53a c ≥e 53122PF PF a +=212PF PF a ⋅=12PF PF a ==P OP b =1212OP F F c ==c b =a =c e a ==()222210x y a b a b-=>>b y x a =±2y x =2b a >c e a ==)+∞()1,0F c -()2,0F c a m 122PF PF a +=122PF PF m =-1PF a m =+2PF a m =-2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+由离心率公式可得，，即有，解得，故选C ． 11．【答案】C【解析】直线，即， 直线恒过定点，直线过圆的圆心，，，的圆心为、两点中点， 设，，， 上下相减可得：，化简可得，， ，，故选C ． 12．【答案】D 【解析】设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，，，由题意得，故， 故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D ．二、填空题2212134e e +=121e e =4222430e e -+=2e =:210l kx y k --+=()210k x y --+=l ()2,1∴l 2C AC DB =22AC C B ∴=2C ∴A B ()11,A x y ()22,B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-222b k a -⋅=221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦e ⎛= ⎝⎦12PF F △r 122PF PF a -=122F F c =1112PF S PF r =⋅△2212PF S PF r =⋅△12122PF F S c r cr =⋅⋅=△12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥()12332c PF PF a ≤-=3ce a=≤1e >(]1,313．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为，由于，且，所以是等边三角形， 所以，所以，，所以，所以，由双曲线的定义可知． 14．【答案】【解析】设点的横坐标为，∵，在双曲线右支上，根据双曲线的第二定义， 可得，，，，，，，，故答案为．15．【解析】根据题意，因为轴且，假设在第一象限，则，过作轴于，则易知，由得，所以，，1F AF 60BAF ∠=︒AF AB =ABF △130F BF ∠=︒1BF =4BF c =2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=1AF =24a c =-(]1,2M x 123MF MF =M ()x a ≥223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ex a ∴=x a ≥ex ea ∴≥2a ea ∴≥2e ∴≤1e >12e ∴<≤(]1,22AF x ⊥()2,0F c A 2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭B BC x ⊥C 121AF F BFC △～△14PAB PBF S S =△△113AF BF =23AF BC =1213F F CF =所以，代入椭圆方程得，即，又，所以，所以椭圆离心率为．． 16．【答案】 【解析】椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设在第一象限，，当时，， 即，解得， 又因为，所以， 当时，，即且，解得：，综上或．三、解答题17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意，得，， ∴，即，∴所求双曲线的渐进线方程．（2）由（1）得当时，双曲线的方程为．设，两点的坐标分别为，，线段的中点为，25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭222225199c b a a +=222259c b a +=222b a c =-223c a=c e a ==111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭P 12F F P △P 11PFPF >1122PF F F c ==21222PF a PF a c =-=-222a a c >-12e >1e <112e <<2122PF F F c ==12222PF a PF a c =-=-222a c c ->2c a c >-1132e <<112e <<1132e <<y =1m =±ce a==223c a ∴=22222b c a a =-=222b a=C by x a=±=1a =C 2212y x -=A B ()11,x y ()22,x y AB ()00,M x y由，得（判别式）， ∴，， ∵点在圆上，∴，∴．18．【答案】（1）；（2）①见解析，②．【解析】（1）由题设知，，，所以，，， 所以椭圆的标准方程为．（2）①由题设知直线斜率存在，设直线方程为，则．设，，直线代入椭圆得，所以，，由，知，，． ②当直线，分别与坐标轴重合时，易知． 当直线，斜率存在且不为0时，设，，设，，直线代入椭圆得到，所以，，同理， ，令，则因为，所以，故，综上．22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩22220x mx m ---=0Δ>1202x x x m +==002y x m m =+=()00,M x y 225x y +=()2225m m +=1m =±2212x y +=32OAB S ≤<△2c a =1c =22a =1c =21b =C 2212x y +=l l ()1y k x =+()0,P k ()11,A x y ()22,B x y l 2212x y +=()2222124220k x k x k +++-=2122412k x x k +=-+21222212k x x k -=+PA AF λ=PB BF μ=111x x λ=-+221xx μ=-+2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++OA OB OAB S △OA OB :OA y kx =1:OB y x k =-()11,A x y ()22,B x y y kx =C 222220x k x +-=212212x k =+2212212k y k =+2222212k x k =+212212y k =+212OAB S OA OB =⨯=△211t k =+>OABS =△()10,1t ∈291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭32OAB S ≤<△32OAB S ≤△。
离心率练习题
椭圆离心率练习题
1．(2010年高考广东卷)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A.45
B.35
C.25
D.15
2．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )
A.22
B.32
C.53
D.63
3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．
4．已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1，求该椭圆的离心率．
5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M
的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23
，求椭圆的离心率．
6．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.3
2 B.22
C.13
D.12。
离心率练习题(题型全面)(最新整理)
a2 2
3
()
A．2
B． 3
26 C．
3
23 D．
3
9．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1, (a 0, b 0) 的左，右焦点分别为 F1, F2
,点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为
（）
4
A．
3
5
B．
3
C． 2
7
D．
3
三、求离心率范围
y
1相交于不同的两点
A，B。求双曲线
C
的离心率的取
值范围。
5．直线 L 过双曲线 双曲线离心率的取值范围。
的右焦点，斜率 k=2。若 L 与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求
6．已知 F1、F2 分别是双曲线
的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B
两点。若△ABF2 是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
a2 b2
x2 y2
5.椭圆 a2
+ =1(a>b b2
>0)的两焦点为
F1
、F2
，AB
为椭圆的顶点，P
是椭圆上一点，且
PF1
⊥X
轴，PF2
∥AB,
B P
F
F
A
O
1
2
求椭圆离心率？
x2 y2
6.椭圆 a2
+ =1(a>b b2
>0)的两焦点为 F1
、F2
，点 P 在椭圆上，使△OPF1
为正三角形，求椭圆离心率？
离心率练习题（题型全面）
破解离心率问题之内切圆问题知识点专项练习含答案(高考数学提分复习)
第12讲 破解离心率问题之内切圆问题一．选择题（共20小题）1．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，△12PF F 的内切圆的圆心为C ，且128OC F F ⋅=，则双曲线的离心率为( )A B C ．2 D ．2．如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，12||4F F =，P 是双曲线右支上的一点，12PF PF ⊥，直线2F P 与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是( )AB C ．D ．23．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆E 上，△12PF F 的重心为G ．若△12PF F 的内切圆H 的直径等于121||2F F ，且12//GH F F ，则椭圆E 的离心率为( )A B ．23C ．2D ．124．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 是双曲线右支上两点，且223BF F A =，设△1AF B 的内切圆圆心为1I ，△12AF F 的内切圆圆心为2I ，直线12I I 与线段12F F 交于点P ，且123F P PF =，则双曲线C 的离心率为( )A B C D 5．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且122F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为( )A ．45B ．34C ．23D ．126．已知点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，点1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，若△12PF F 的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为( )A ．3B ．2C D7．已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点(A 在第一象限），若△12AF F 与△12BF F 内切圆半径之比为3:2，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,5)B ．(1,2)C ．D ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为()A B ．2CD ．39．已知双曲线2222:1(0)4x y C a a a -=>-，点M 是该双曲线右支上的一点．点1F ，2F 分别为左、右焦点，直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若||PQ =则C 的离心率为( )A B ．3 C D 10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为( )A ．45B ．23C ．12 D ．1511．过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于P ，Q 两点，且90OPQ ∠=︒，O 为坐标原点，若OPQ ∆内切圆的半径为3a，则该双曲线的离心率为( )AB C D23a 1212PF F 的内切圆的圆心为C ，1247OC F F ⋅=( )A B C D13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12122||||PF PF PF PF ⋅=⋅，若△12F PF 的内切圆的半径r 满足112||3sin PF r F F P =∠，则椭圆的离心率为( ) A ．47B ．23 C ．13D ．3714．已知点1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0)16x y C a a a -=>-的左、右焦点，点M 是C 右支上的一点．直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若||PQ =，则C 的离心率为( )A B ．3 C D 15．已知点1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P 与△12PF F 的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，且2PI IQ =，则该椭圆的离心率为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．2316．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12312S S S -恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(0，2]B ．[2，)+∞C ．(1，2]D ．)+∞17．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12312S S S -=恒成立，则双曲线的离心率为( )AB C ．2D ．322a b12的一点，若12120F PF ∠=︒，且△12F PF 外接圆与内切圆的半径之比为8:1，则双曲线ω的离心率为( )A B C D ．219．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ∠=︒，且△12F PF ，则C 的离心率的取值范围是( )A ．B ．11(0,)12 C ．11)12D ．11(,1)1220．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 上一点，12120F PF ∠=︒，△12F PF 的内切圆与外接圆的半径分别为1r ，2r ，若216r r =，则C 的离心率为( )A B C ．1920D ．910二．多选题（共2小题）21．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂A 足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点(B A ，B 在y 轴同侧）．设O 为坐标原点，则下列结论正确的有( ) A ．||OA a =B ．若双曲线C 的一条渐近线的斜率为12，则双曲线C 的离心率等于2C ．若||2||FB FA =，则双曲线CD ．若OAB ∆，则双曲线C 22．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左．右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若1ABF ∆为等边三角形，则下列结论一定正确的是()A ．双曲线CB ．△12AF F 的面积为2C ．△12AF F 内切圆半径为1)aD ．△12BF F 的内心在直线x a =±上三．填空题（共16小题）23．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，A 、B 两点的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，若12||y y -=，且2ABF ∆内切圆的面积为π，则椭圆E 的离心率为 ．24．双曲线22221x y a b-=，点1F ，2F 是该双曲线的两焦点，P 在双曲线上，且1PF x ⊥轴，则△12PF F 的内切圆和外接圆半径之比rR = ．25．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ．已知O 为坐标原点，若OAB ∆的内切，则双曲线C 的离心率为 ． 26．已知点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，点1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，若△12PF F 的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为 ．27．已知点1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P 与△12PF F 的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，且PI mIQ =，35m <<，则该椭圆的离心率取值范围为 ．28．已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上的一点，2PF 与椭圆交于Q ．若△1PFQ 的内切圆与线段1PF 在其中点M 处相切，与PQ 切于2F ，则椭圆的离心率为 ．29．如图，焦点在x 轴上的椭圆2221(0)2x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4FQ =，则该椭圆的离心率为 ．30．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2.F 与x 轴垂直的直线l 经过2F ，交C 于A 、B 两点．记12||2F F c =．若1ABF ∆内切圆的半径为2c，则C 的离心率为 ．31．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点1F 与y轴交于点M ，与双曲线C 的右支交于点P ，2PMF ∆的内切圆与边2MF 切于点N ，若12|||F F MN =，则双曲线C 的离心率为 ．32．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为5b，则该椭圆的离心率为 ．33．已知点F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，A 为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点O 作OA 的垂线交FA 于点B ，若B 恰为线段AF 的中点，且ABO ∆的内切圆半径为()4b ab a ->，则该双曲线的离心率为 ． 34．已知抛物线28y x =-的准线与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点．若AOB ∆的内切圆的周长为π，则内切圆的圆心坐标为 ，双曲线C 的离心率为 ．35．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12122||||PF PF PF PF ⋅=⋅，若△12F PF 的内切圆的半径r 满足112||3sin PF r F F P =∠，则椭圆的离心率为 ．36．如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A ，B 两点．若120OAB ∠=︒，OAB ∆内切圆的半径r 则双曲线的离心率为 ．37．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，S ，若1212S S S -恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 38．如图，BCE ∆中，BC BE =，A 为BE 上一点，且60CAE ∠=︒，ABC ∆的内切圆与边AC 相切于D ，且:1:6AD AC =．设以C ，E 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为1e ，以C ，E 为焦点且过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e +的值为 ．第12讲 破解离心率问题之内切圆问题参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，△12PF F 的内切圆的圆心为C ，且128OC F F ⋅=，则双曲线的离心率为( )A B C ．2 D ．【解答】解：过点C 作12F F 的垂线，垂足为D ，120DC F F ⋅=，设圆C 与x 轴切于点0(D x ，0)， 则1212||||||||2F D F D PF PF a -=-=，00()()2x c c x a ∴+--=，即0x a =，则(,0)D a ，D 与双曲线的右顶点重合，则121212()28OC F F OD DC F F OD F F a ⋅=+⋅=⋅=，解得22a =，∴22c =，故离心率为：e ==． 故选：B ．2．如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，12||4F F =，P 是双曲线右支上的一点，12PF PF ⊥，直线2F P 与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是( )AB C ．D ．2【解答】解：12PF PF ⊥，1APF ∆的内切圆半径为1， 在直角三角形1APF 中，190APF ∠=︒，可得1111(||||||)2PF PA AF =+-，由双曲线的定义可得12||2||PF a PF =+， 21||2||||2PF a PA AF ∴++-=， 21||||22AF AF a ∴-=-，由图形的对称性知：21||||AF AF =，1a ∴=．12||4F F =，2c ∴=，2ce a∴==． 故选：D ．3．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆E 上，△12PF F 的重心为G ．若△12PF F 的内切圆H 的直径等于121||2F F ，且12//GH F F ，则椭圆E 的离心率为( )A B ．23C D ．12【解答】解：因为△12PF F 的重心为G ，所以G 在PO 上且:2:1PG GO =，PM 是△12PF F 边12F F 上的高，HN 是△12PF F 的内切圆H 的半径，12//GH F F ，所以3PM HN =，1212112211||(||||||)22PF F SF F PM PF F F PF HN =⨯=++⨯， 所以3222c a c ⨯=+，所以24a c =，所以离心率为12c e a ==， 故选：D ．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 是双曲线右支上两点，且223BF F A =，设△1AF B 的内切圆圆心为1I ，△12AF F 的内切圆圆心为2I ，直线12I I 与线段12F F 交于点P ，且123F P PF =，则双曲线C 的离心率为( ) ABCD【解答】解：如右图所示：由题意知2I 为12F AF ∠的角平分线，由角平分线的性质得1122||||||||AF F P AF F P =， 因为123F P PF =，所以1122||||3||||AF F P AF F P ==， 由双曲线的定义得12||||2AF AF a -=，因此1||3AF a =，2||AF a =，因为223BF F A =，所以2||3BF a =，||4AB a =，由双曲线的定义得1||5BF a =， 由勾股定理逆定理可得12F A F A ⊥，由在Rt △12F AF 中，2221212||||||AF AF F F +=， 即22294a a c +=，所以252e =，e =．故选：B ．5．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且122F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为( )A ．45B ．34C ．23D ．12【解答】解：椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，12||2F F c =， 根据正弦定理可得1212||222sin 1F F cR c F PF ===∠，R c ∴=，1133r R c ==．设1||PF m =，2||PF n =，则2m n a +=， 由余弦定理得，2222242cos()2422c m n mn m n mn a mn π=+-=+-=-，2222mn a c ∴=-，∴121sin 2222F PF Smn a c π==-， 又121()(2)23F PF c a c Sm n c r +=++⋅=， ()223c a c a c +∴-=，即22340a c ac --=，故2430e e +-=， 解得：34e =或1e =-（舍)． 故选：B ．6．已知点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，点1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，若△12PF F 的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为( )A B C D 【解答】解：设△12PF F 的内切圆的半径为r ，则121211||||222PF F P S F F y c b bc =⋅⋅⋅=， 而12121211(||||||)(22)()22PF F SPF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+， 所以()a c r bc +， 所以bcra c+， 由题意可得bca c a c=-+， 即222bc a b c =-=，所以c b =，可得22222a b c b =+=，即a =，可得离心率c e a ===， 故选：B ．7．已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点(A 在第一象限），若△12AF F 与△12BF F 内切圆半径之比为3:2，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,5)B ．(1,2)C ．D ．【解答】解：如图，由题意设△12AF F 与△12BF F 内切圆圆心分别为M ，N ，对应的切点分别是P ，Q ，S ，T ，H ，则AP AQ =，111F P F H F S ==，222F Q F T F H ==，BS BT =， 所以12122AF AF F H F H a -=-=，而12122F H F H F F c +==， 故1F H a c =+，所以OH a =，2F H c a =-， 设直线AB 的倾斜角为θ，则222HF M πθ∠=-，22HF N θ∠=，所以2tan()22MH HF πθ=⋅-，2tan 2NH HF θ=⋅，由题意，可得tan()3222tan 2MH NH πθθ-==，化弦后整理得222()3sin ()22cos θθ=， 结合(0,)22θπ∈，得tan 2θ=tan θ=则要使直线AB与双曲线右支交于两点，只需渐近线斜率满足tan baθ<=所以5e ==，故(1,5)e ∈即为所求． 故选：A ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为() AB ．2CD ．3【解答】解：设双曲线的左、右焦点，1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程()by x c a=-，联立双曲线22221(0)x y b a a b -=>>，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-， 设1||AF m =，2||AF n =， 由三角形的面积的等积法可得，2211()(2)22322b b c a m n c c ac-⋅++=⋅⋅， 化简可得2332c m n a c a+=--①，由双曲线的定义可得2m n a -=②，在三角形12AF F 中，22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角）， 由tan baθ=，22sin cos 1θθ+=， 可得sin bc θ==，可得222c a n a-=③，由①②③化简可得2220c ac a --=， ()(2)0c a c a +-=，所以c a =-（舍)，2c a =， 所以离心率2ce a==， 故选：B ．9．已知双曲线2222:1(0)4x y C a a a -=>-，点M 是该双曲线右支上的一点．点1F ，2F 分别为左、右焦点，直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若||PQ =则C 的离心率为( )A B ．3 C D 【解答】解：由双曲线的方程知，24c =，2c ∴=，设内切圆与1MF ，2MF 分别相切于点A ，B ，||BM x =，2||BF y =， 由内切圆的性质知，||||MA MB x ==，22||||QF BF y ==，由对称性知，122||||||||PF PF PQ QF y ==+=，11||||||||MF MA AP PF x y ∴=++=+，由双曲线的定义知，12||||()2MF MF x y x y a -=+-+==，a ∴=， ∴离心率c e a ===． 故选：D ．10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为( )A ．45B ．23C ．12 D ．15【解答】解：椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，12||2F F c =，根据正弦定理可得1212||22sin sin 3F F c R F PF π==∠，R ∴=，14r R ==． 设1||PF m =，2||PF n =，则2m n a +=， 由余弦定理得，2222242cos()3433c m n mn m n mn a mn π=+-=+-=-，224()3a c mn -∴=，∴121sin 23F PF Smn π=又121(2)2F PF Sm n c r =++⋅，∴，即22230a c ac --=，故2320e e +-=， 解得：23e =或1e =-（舍)．故选：B ．11．过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于P ，Q 两点，且90OPQ ∠=︒，O 为坐标原点，若OPQ ∆内切圆的半径为3a，则该双曲线的离心率为( ) ABCD【解答】解：如图，设OPQ ∆的内切圆圆心为M ，则M 在x 轴上，过点M 分别作MN OP ⊥于N ，MT PQ ⊥于T ，由2F P OP ⊥得，四边形MTPN 为正方形，∴焦点2(,0)F c 到渐近线b y x a =的距离2||bc bca F Pbc a ===， 又2||OF c =，||OP a ∴===，1||||3NP MN a ==，∴2||3aNO =，∴21||||13tan 2||||23aF P b MN NOM OP a NO a ==∠===， ∴离心率e ==．故选：B ．12．已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，△12PF F 的内切圆的圆心为C ，1247OC F F ⋅=( )A B C D【解答】解：如图，设圆C 与x 轴切于点0(D x ，0)，则1212||||||||2F D F D PF PF a -=-=， 00()()2x c c x a ∴+--=，即0x a =，则(,0)D a ，又121212||||cos ||||2OC F F OC F F COD OD F F ac ⋅=∠=⋅=，且1247OC F F ⋅=∴2ac =，得ac =，又223c a -=，联立解得2a =，c =∴双曲线的离心率为c e a ==故选：B ．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12122||||PF PF PF PF ⋅=⋅，若△12F PF 的内切圆的半径r 满足112||3sin PF r F F P =∠，则椭圆的离心率为( ) A ．47B ．23 C ．13D ．37【解答】解：由题意，1212121222||||cos ,||||PF PF PF PF PF PF PF PF ⋅=<>=， 所以121cos ,2PF PF <>=，即123F PF π∠=，在三角形12PF F 中，222121212||||||1cos 322||||PF PF F F PF PF π+-==2222121212(||||)444112||||2||||PF PF c ac PF PF PF PF +--=-=-，解得2124||||3PF PF b =，则122121||||sin 23PF F SPF PF π==， 又由三角形12PF F 的内切圆半径为r ，由等面积法可得21(22)2a c r +⋅，则23r a c =+， 由已知112||3sin PF r F F P =∠可得112|2sin sin 3PF c F F P π==∠， =，整理可得27430e e +-=，解得37e =或1-（舍去）， 所以椭圆的离心率37e =， 故选：D ．14．已知点1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0)16x y C a a a-=>-的左、右焦点，点M 是C 右支上的一点．直线1MF 与y轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若||PQ =，则C 的离心率为( ) A B ．3 CD 【解答】解：双曲线2222:1(0)16x y C a a a -=>-的4c =， 设2MPF ∆的内切圆在边MP 上的切点为A ，在边2MF 上的切点为B ，如图可设||||MA MB s ==，22||||BF QF t ==，||||PAPQ ==12||||PF PF t ==，由双曲线的定义可得12||||2MF MF st s t a -=+--=， 即有a = 所以c e a === 故选：D ．15．已知点1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P 与△12PF F 的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，且2PI IQ =，则该椭圆的离心率为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．23【解答】：△12PF F 内切圆的圆心I ，则I 是三角形的角平分线的交点， 由角平分线定理可得1212||||||212||||||2PF PF PI a IQ FQ F Q c e +====+， 所以离心率12e =， 故选：A ．16．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12312S S S -恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(0，2]B ．[2，)+∞C ．(1，2]D．)+∞【解答】解：设△12PF F 的内切圆半径为r ，则111||2S PF r =，221||2S PF r =，3121||2S F F r =， 所以1212121111||||(||||)2222S S PF r PF r r PF PF ar cr -=-=-=，所以2a c ，所以2e ， 故选：B ．17．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12312S S S -=恒成立，则双曲线的离心率为( )AB C ．2D ．3【解答】解：设△12PF F 的内切圆半径为r ， 则111||2S PF r =，221||2S PF r =，3121||2S F F r =， 所以1212121111||||(||||)2222S S PF r PF r r PF PF ar cr -=-=-==， 所以2a c =，所以2e =， 故选：C ．18．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bω-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线ω上的一点，若12120F PF ∠=︒，且△12F PF 外接圆与内切圆的半径之比为8:1，则双曲线ω的离心率为( )A B C D ．2【解答】解：设△12F PF 外接圆半径为R ，内切圆的半径为r ， 设1F P m =，2PF n =， 则2m n a -=，22sin120c R ==︒，R ∴=，又22222142()()2432c m n mn m n mn mn a mn =+-⨯-=-++=+，即2223444mn c a b =-=，即224()3mn c a =-，又22222221442()()()()23c m n mn m n mn m n c a =+-⨯-=+-=+--，得222164()33m n c a +=-，即m n +=△12F PF的面积11(2)22S mn m n c r ===++，即22)c a r - 8R r =，∴22)8c a -=2268c a =-， 平方得222222164()(68)33c c a c a -=-，即422222416436966433c a c c a c a -=-+， 即4224224164108288192c a c c a c a -=-+， 4224922841920c a c a -+=，即42242371480c a c a -+=， 得2222(2348)()0c a c a --=，得224823c a =，得c =，即c e a ==， 故选：B ．19．已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ∠=︒，且△12F PF，则C 的离心率的取值范围是( )A ．B ．11(0,)12C ．11)12D ．11(,1)12【解答】解：设12||2F F c =，△12F PF 内切圆的半径为r ， 因为12||||2PF PF a +=，所以在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：22212121212||(||||)2||||(1cos120)4||||F F PF PF PF PF a PF PF =+-+︒=-， 则212||||4PF PF b =，由等面积法可得22211(22)4sin120)22a c r b a c +=⨯⨯︒=-，整理得)r a c =->，故1112c a <， 又12120F PF ∠=︒，则32c a，1112e <， 故选：C ．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 上一点，12120F PF ∠=︒，△12F PF 的内切圆与外接圆的半径分别为1r ，2r ，若216r r =，则C 的离心率为( )A B C ．1920D ．910【解答】解：设12||2F F c =，则2222sin120c r r =⇒=︒ 因为12||||2PF PF a +=，所以22121212||(||||)2||||(1cos120)F F PF PF PF PF =+-+︒， 则221244||||c a PF PF =-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得222111(22)4sin120)22a c r b a c +=⨯⨯︒-，整理得1)r a c =-，因为216r r =)a c =-，故910c e a ==． 故选：D ．二．多选题（共2小题）21．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂A 足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点(B A ，B 在y 轴同侧）．设O 为坐标原点，则下列结论正确的有( ) A ．||OA a =B ．若双曲线C 的一条渐近线的斜率为12，则双曲线C 的离心率等于2C ．若||2||FB FA =，则双曲线CD ．若OAB ∆，则双曲线C 【解答】解：由题意如图所示：设AB OA ⊥，因为tan bAOF a∠=，可得cos aAOF c∠==，||OF c =， 所以||||cos aOA OF AOF c a c=⋅∠=⋅=，所以A 正确； B 中，由双曲线C 的一条渐近线的斜率为12，即12b a =，所以离心率c e a ===B 不正确；C 中，由题意可得||AF b ===，所以可得||2||2BF FA b ==，则||3AB b =，可得2222222||||||(3)9OB OA AB a b a b =+=+=+，而直线AB 的方程为b x y c a =-+与渐近线b y x a =-联立可得222(a c B a b -，22)abc a b --，所以2222222()()||()a c abc OB a b +-=-，可得22222222()()9()a c abc ab a b +-+=-，222c a b =+，整理可得：422491850b a b a -+=，解得b a =或，所以C 不正确； D 中，若A ，B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限．如图，设OAB ∆内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得||FA b =，又||OF c =，所以||OA a =，又||||NA NM ==，所以||NO =，所以tan MN b AOF a NO =∠==，从而可得c e a ===，故D 正确； 故选：AD ．22．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左．右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若1ABF ∆为等边三角形，则下列结论一定正确的是( )A ．双曲线CB ．△12AF F 的面积为2C ．△12AF F 内切圆半径为1)aD ．△12BF F 的内心在直线x a =±上【解答】解：对于D ，设△12BF F 的内心为I ，过I 作1BF ，2BF ，12F F 的垂线，垂足分别为H ，G ，P ，如图：则1212||||||||2PF PF F B F B a -=-=，所以||OP a =，则△12BF F 的内心在直线x a =±上，故D 正确；因为1ABF ∆为等边三角形，当A ，B 都在同一支上时，则AB 垂直于x 轴，可得2(,)b A c a，由题意可得2tan 302b a c ︒==，又222b c a =-，ce a=，所以可得210e -=，(1,)e ∈+∞，解得：e =； △12AF F的面积221223222b b c S c a a a =⨯⨯====，设△12AF F 内切圆的半径为r ，则由等面积法可得1(6)22r a +=，1)r a ∴=；当A ，B 都在双曲线的左，右两支上时，设11AB BF AF m ===， 22AF a =，由双曲线的定义可知122AF AF a -=，得4m a =，在△12AF F 中由余弦定理，2224164cos120224a a c a a +-︒=⨯⨯，得ce a=，△12AF F的面积124sin12022S a a =⨯⨯︒=，设内切圆的半径为r '，则11(6)2422a r a a ⋅+'=⋅⋅，得r '=AC 错误；而不论什么情况下△12AF F的面积为2，故B 正确． 故选：BD ．三．填空题（共16小题）23．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，A 、B 两点的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，若12||y y -=，且2ABF ∆内切圆的面积为π，则椭圆E 的离心率为． 【解答】解：（1）由性质可知△1AF B 的周长为4a ，内切圆半径为1， 则11211412||22AF BSa c y y =⨯⨯=⨯⨯-，又12||y y -=2c =，即c e a ==．24．双曲线22221x y a b-=，点1F ，2F 是该双曲线的两焦点，P 在双曲线上，且1PF x ⊥轴，则△12PF F 的内切圆和外接圆半径之比r R = 21)3．【解答】解：由ca=c =，则b a ==， 设1PF m =，2PF n =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，因为1PF x ⊥轴，所以2b m a a==，所以23n m a a =+=，所以△12PF F 的内切圆半径为11221()(23)1)2r PF F F PF a c a c a a =+-=+-=-=，△12PF F 的外接圆半径为21322R PF a ==，所以△12PF F的内切圆和外接圆半径之比21)32r R a ==．故答案为：21)3-．25．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ．已知O 为坐标原点，若OAB ∆的内切，则双曲线C 的离心率为或2 ． 【解答】解：（1）若A ，B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限．如图，设OAB ∆内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得||FA b =，又||OF c =，所以||OA a =，又||||NA NM ==，所以||NO =，所以||tan ||b MN AOF a NO =∠==，从而可得c e a ===； （2）若A ，B 在y 轴异侧，不妨设A 在第一象限如图，易知||FA b =，||OF c =，||OA a =， 所以OAB ∆的内切圆半径为||||||2AB OA OB +-=，所以||||2OB AB a -=，又因为222||||OB AB a =+，所以||AB =，||2OB a =， 所以60BOA ∠=︒，60AOF ∠=︒，则tan 60ba=︒=2c e a ===．综上，双曲线C2． 故答案为：226．已知点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，点1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，若△12PF F 的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为． 【解答】解：设△12PF F 的内切圆半径为r ，则，1212||2PF F P S c y cb =⋅⋅， 121(22)()2PF F Sa c r a c r =+=+， 所以bcra c+，即r 的最大值为bca c+， 由题意可得bca c a c-=+， 所以可知22a c bc -=，即b c =， 可得22222a b c c =+=所以椭圆的离心率c e a ==． 27．已知点1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P 与△12PF F 的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，且PI mIQ =，35m <<，则该椭圆的离心率取值范围为 1(5，1)3．【解答】解：△12PF F 内切圆的圆心I ，则I 是三角形的角平分线的交点， 由角平分线定理可得1212||||||21||||||2PF PF PI a m IQ FQ F Q c e +====+，即1e m =， 因为35m <<，所以1153e <<，故答案为：1(5，1)3．28．已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上的一点，2PF 与椭圆交于Q ．若△1PFQ 的内切圆与线段1PF 在其中点M 处相切，与PQ 切于2F ，则椭圆的离心率为 ． 【解答】解：M 为1PF 的中点，111||||||2PM MF PF ∴==， △1PFQ 的内切圆与线段1PF 在其中点M 处相切，与PQ 切于2F ， ∴由内切圆的性质可得，2||||PM PF =，P 为椭圆上的一点，12||||2PF PF a ∴+=，∴2||3PM a =，22||3PF a =，14||3PF a =，设△1PFQ 的内切圆与1F Q 切于C ， 结合内切圆的性质可得，112||||3FC F M a ==， 2PF 与椭圆交于Q ， 21||||2QF QF a ∴+=，C ，2F 为切点，∴由内切圆的性质可得，2||||QC QF =，又12||3FC a ==， 22||||3QC QF a ∴==，∴△1PFQ 为等边三角形，∴423ac ，∴c e a ==． 29．如图，焦点在x 轴上的椭圆2221(0)2x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4FQ =，则该椭圆的离心率为 ．【解答】解：设1APF ∆的内切圆的圆心为M ，1AF 、2AF 与圆M 的切点分别为E 、F ， 连结ME 、MF 、MQ ，由题意得112||||||4EF FQ FF ===，||||PF PQ =， 121212122||||||||||||||||||||8a PF PF FQ PQ PF FQ PF PF FQ FF ∴=+=++=++=+=， 4a ∴=，则c =所以4c e a ==，．30．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2.F 与x 轴垂直的直线l 经过2F ，交C 于A 、B 两点．记12||2F F c =．若1ABF ∆内切圆的半径为2c，则C 的离心率为． 【解答】解：不妨设A 在第一象限，则直线OA 方程为by x a=， 把x c =代入b y x a =可得bc y a =，故2bcAF a=， 12||2F F c =．若1ABF ∆内切圆的半径为2c， 可得12124222bc c c a a ⨯⨯=⨯⨯，222b a c =-，可得224(1)1e e -=∴椭圆的离心率e =．．31．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点1F 与y 轴交于点M ，与双曲线C 的右支交于点P ，2PMF ∆的内切圆与边2MF 切于点N ，若12|||F F MN =，则双曲线C 的离心率为【解答】解：根据题意画图：设G ，K 分别为2PMF ∆内切圆与PM ，2PF 的切点， 故||||MG MN =，||||PG PK =，22||||F K F N =， 根据双曲线的定义12||||2PF PF a -=，又1212||||(||||||)(||||)PF PF PG GM MF PK KF -=++-+ 12||||||GM MF KF =+- 22||||||MN MF NF =+-||||2||2MN MN MN a =+==，所以||MN a =，又因为12|||F F MN =，所以2c =，所以ce a=32．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为5b ，则该椭圆的离心率为 14 ．【解答】解：由椭圆22221(0)x y a b a b +=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成的三角形面积S bc =，该三角形的周长为22a c +，由题意得1(22)25bS bc a c ==+⋅，即5a c c +=，所以14c e a ==． 故答案为：14． 33．已知点F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，A 为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点O 作OA 的垂线交FA 于点B ，若B 恰为线段AF 的中点，且ABO ∆的内切圆半径为()4b ab a ->【解答】解：设||OA n =，||OB m =， 由题意知，点A 在渐近线b y x a =上，点B 在渐近线by x a=-上， (a A n c ∴，)b n c ，(bB m c-，)a m c ，B 为线段AF 的中点，且(,0)F c -，∴22b a m n c c ca b m n cc ⎧-⋅=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得2b m n a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，||OA a ∴=，||2bOB=，||AB =，ABO ∆的内切圆半径为4b a-， 2||||||r OA OB AB ∴=+-，即242b a b a -⨯=+- 化简得，225b a =，∴离心率c e a ==34．已知抛物线28y x =-的准线与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点．若AOB ∆的内切圆的周长为π，则内切圆的圆心坐标为 3(2，0) ，双曲线C 的离心率为 ．【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：2x =，由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为by x a =±，设三角形AOB 的内切圆半径为r ，则2r ππ=，所以12r =， 所以圆心坐标为3(2，0)，且圆心到直线b y x a =的距离为312bd r === 解得3c b =，所以a =，则双曲线的离心率为c e a ==， 故答案为：3(,0)235．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12122||||PF PF PF PF ⋅=⋅，若△12F PF 的内切圆的半径r 满足112||3sin PF r F F P =∠，则椭圆的离心率为37． 【解答】解：由题意，1212121222||||cos ,||||PF PF PF PF PF PF PF PF ⋅=⋅<>=⋅，121cos ,2PF PF ∴<>=，即123F PF π∠=， 在△12PF F 中，22222121212121212||||||(||||)2||||41cos 322||||2||||PF PF F F PF PF PF PF c PF PF PF PF π+-+--===22121242||||42||||a PF PF c PF PF --=，可得2124||||3PF PF b =，得122121||||sin 23PF F SPF PF π==， 又△12F PF 的内切圆的半径r，由等面积法可得：21(22)2a c r +=，则23r a c =+，由已知112||3sin PF r F F P =∠，可得112||3sin PF r F F P =∠，则2112||33sin PF a c F F P ⋅=+∠，结合正弦定理可得112||2sin sin 3PF c F F P π=∠，∴=27430e e +-=，解得37e =或1e =-（舍)． 故答案为：37． 36．如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A ，B 两点．若120OAB ∠=︒，OAB ∆内切圆的半径r =，则双曲线的离心率为．【解答】解：过(,0)F c 作FH 垂直渐近线b y x a =于H，则||||b c FH b ⋅==， 120OAB ∠=︒，60FAH ∴∠=︒，||AF ∴=， 在OAF ∆中，由余弦定理知，222||||||2||||cos120OF OA AF OA AF =+-⋅⋅︒，即222||)2||cos120c OA OA =+-⋅⋅︒，解得||OA a =-，设OAB ∆的内心为M ，作MN OA ⊥于N ，则60MAO ∠=︒，||MN r ==，||||AN MN ∴=||||||ON OA AN a =-=-=||tan ||MN MON ON ∴∠===，即b a =，e ∴===．． 37．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，S ，若1212S S S -恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是 (1，2]． ． 【解答】解：设三角形12PF F 内切圆的半径为r ， 则111||2PIF S PF r =，221||2IPF S PF r =，12121||2IF F S F F r cr ==， ∴12112111||||2222PIF IPF IF PSS SPF r PF r a r ar -==-=⋅⋅=，12ar cr ∴，即2a c ， 2ce a∴=，又1e >， 12e ∴<．故答案为：(1，2]．38．如图，BCE ∆中，BC BE =，A 为BE 上一点，且60CAE ∠=︒，ABC ∆的内切圆与边AC 相切于D ，且:1:6AD AC =．设以C ，E 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为1e ，以C ，E为焦点且过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e +的值为．【解答】解：如图，设M ，G 分别是BC ，BE 与圆的切点． 由圆的切线的性质可得BM BG =，AG AD =，CD CM =， 又因为BC BE =，所以BC BM BE BG -=-，即CM EG =，设1AG AD ==，由:1:6AD AC =，可得6AC =，则5CD CM GE ===，4AE GE AG =-=，在ABE ∆中，2222cos6028CE AC AE CA EA =+-⋅︒=，即CE =所以以E ，C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1CE e AC AE ==+；以E ，C 为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e =所以12e e +=．。
椭圆的离心率
椭圆的离⼼率专题：椭圆的离⼼率（学⽣版）⼀，利⽤定义求椭圆的离⼼率（a c e = 或 221??-=a b e ）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离⼼率=e2，椭圆1422=+my x 的离⼼率为21，则=m 3，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等⽐数列，则椭圆122=+ny m x 的离⼼率为⼆，运⽤⼏何图形中线段的⼏何意义结合椭圆的定义求离⼼率e1，在?Rt ABC 中，90=∠A ，1==AC AB ，如果⼀个椭圆过A 、B 两点，它的⼀个焦点为C ，另⼀个焦点在AB 上，求这个椭圆的离⼼率2，如图所⽰,椭圆中⼼在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且901=∠BDB ,则椭圆的离⼼率为( )3,椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三⾓形，若椭圆恰好平分正三⾓形的两边，则椭圆的离⼼率e 的值变式（1）：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三⾓形，求椭圆离⼼率？变式（2）椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上⼀点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离⼼率？变式(3):将上题中的条件“PF 2 ∥AB ”变换为“PO ∥AB (O 为坐标原点)”⼼率e 的值变式(1):椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的⼀个顶点，求∠ABF ？4，设椭圆）（0b a 1by a x 2222>>=+的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使?=∠90PF F 21，求离⼼率e 的取值范围。
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椭圆、双曲线的离心率练习
1、已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若
75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为
2、椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于 2
1∣AF ∣，则椭圆的离心率 3、A 、B 是椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两个顶点，F 2是右焦点，AB ⊥BF 2，则椭圆的离心率 4、已知直线L 过椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的距离为2
a ，则椭圆的离心率 5、椭圆122222=+n y m x 和双曲线1222
22=-n
y m x 有公共焦点，则椭圆的离心率 6、已知椭圆M ：122
22=+b
y a x （a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点P （4，－1）在直线AB 上，椭圆M 的离心率
7、.在平面直角坐标系中，椭圆22
22x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．
8、已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
6021=∠PF F ，则椭圆离心率e 的取值范围 9.设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一点Q ，使∠AQB=120º，则椭圆离心率e 的取值范围
10．椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，则椭圆的离心率e 的取值范围
11.双曲线22
22-1x y a b
=（0,0a b >>）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为。