2015合工大数二答案 - 360文档中心

合工大高数历年统考题

学年第二学期课程名称高等数学（下）一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设函数ln(32)xy z x y e =-+，则(1,0)dz =3144dx dy -。

2．=⎰⎰dy yydx x sin 0ππ2。

3．设V 为柱体：10,122≤≤≤+z y x ，则=⎰⎰⎰υυd e z(1)e π-。

4．设()1f x x =+，ππ≤≤-x ，则其以2π为周期的傅立叶级数在点x π=处收敛于1。

二、选择题（每小题3分，共15分） 1．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,,),(2222,y x y x y x xy y x f 则（ .C ）.A ),(lim 0y x f y x →→存在 .B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f ''都存在 .D ),(y x f 在点(0,0)处可微2．曲线⎩⎨⎧=-+=+-632,922222z y x z e x y 在点(3,0,2)处的切线方程为（.B ） .A 32x y z -==- .B 326yx z -==- .C 32214x y z --==- .D {3(2)0x z y -=--= 3．设L 为圆周,122=+y x 则⎰=+Lds y x)(33（ .A ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 34．设常数0a >，则级数1111(1)ln n an n n∞++=-∑（ .C ）。

.A 发散 .B 条件收敛 .C 绝对收敛 .D 敛散性与a 有关。

三、设),)((2xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。

（本题10分）解：122()zx y f yf x∂=-+∂， 2121111222122(2())22()[2()][2()]z x y f yf f x y x y f xf f y y x f xf x y y∂∂=-+=-+---+++-+∂∂∂ 221111222224()2()f x y f x y f xyf f =---+-++ 四（10分）、求函数)1(),(-=y x y x f 在由上半圆周)0(322≥=+y y x 与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。

数2--15真题答案

2015年考研数学（二）试题答案速查一、选择题（1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）B （7）D （8）A 二、填空题（9）48 （10）)1()2(ln 2−−n n n （11）2 （12）2e 2e x x −+（13）1(d 2d )3x y −+ （14）21 三、解答题（15）111,,23a b k =−=−=−. （16）8πA =. （17）1)1,0(−=−f 为极小值. （18）π245−. （19）零点个数为2．（20）还需冷却30min. （21）略.（22）（Ⅰ）0a =.（Ⅱ）312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X .（23）（Ⅰ）4,5a b ==.（Ⅱ）1231100101,010011005−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P AP .2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】D ．【解答】因为12lim 1x x →+∞=且112<，故2+∞⎰发散，不选A ．同理2ln ln2ln2d x ,x x x x+∞=+∞⎰，故2ln d x x x +∞⎰发散，不选B ．221d lnln ln x x x x +∞+∞=⎰，故21d ln x x x +∞⎰发散，不选C ．故选择D ．（2）【答案】B ．【解答】20sin ()lim(1)e x x tt t f x x→=+=,0x ≠，显然0)(=x x f 在处没有定义．因为1)(lim 0=→x f x ，所以0=x 为可去间断点，故选择B ．（3）【答案】A ．【解答】当0,()0x f x '=；10()(0)1(0)lim lim cos x x f x f f x x x αβ++−+→→−'==，当1α>时，(0)0f +'=存在，且0)0(='f . 当0x >时，1111()cossin f x xx x xααβββαβ−−−'=+，若0)(='x x f 在处连续，则1,10ααβ>−−>，即1αβ−>，故选择A ．（4）【答案】C ．【解答】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号，因此，由)(x f ''的图形可得，曲线)(x f y =存在两个拐点，故选C ．（5）【答案】D ．【解答】令,.x y u y v x +=⎧⎪⎨=⎪⎩得,11u uv x y v v ==++，故2(1)(,)1u v f u v v −=+. 2221211f u(v )f u ,u v v (v )∂−∂−==∂+∂+,所以21,01111−=∂∂=∂∂====v u v u vf u f，故选择D ．（6）【答案】B ．【解答】如图，利用极坐标cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，对于积分区域D ，ππ,43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由244cos sin 1xy r θθ==，解得212sin 2r θ=； 222cos sin 1xy r θθ==，解得21sin 2r θ=；故可得答案B ．（7）【答案】D ．【解答】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭A b ，由()(,)3r r =<A A b 得12,12a a d d ====或同时或，故选D ．（8）【答案】A ．【解答】由题意知T200010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭P AP ，又100001010⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪−⎝⎭Q P PC ，T T T 200()010001⎛⎫ ⎪==− ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ C P AP C ，故选择A ．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】48．【解答】2222d 333(1)1d 1y t t x t +==++，2222d d ()d d d 12(1)d d d yy t x t t x x t==+，得212d 48d t y x ==．（10）【答案】)1()2(ln 2−−n n n ．【解答】+⋅⋅=n x n n x C x f )2(ln 2)(20)(+⋅⋅⋅−11)2(ln 22n x nx C 22)2(ln 22−⋅⋅⋅n x n C ，所以，=)0()(n f)1()2(ln 2−−n n n ．（11）【答案】2．x【解答】由22()()d ()d x x x xf t t x f t t ϕ==⎰⎰，得2220()()d 2()x 'x f t t x f x ϕ=+⎰，再由(1)1(1)5,ϕϕ'==，得10()d 1f t t =⎰，解得(1)2f =．（12）【答案】2e2e xx −+．【解答】由题可知特征方程为220λλ+−=，特征根121,2λλ==−，所以通解为212e e x x y C C −=+，再有0)0(,3)0(='=y y ，得122,1C C ==，所以2()e 2e x x y x −=+．（13）【答案】1(d 2d )3x y −+．【解答】当00x ,y ==时解得0z =，对该式两边分别对,x y 求偏导得，2323(3e )e x y z x y z zxy yz x++++∂+=−−∂， 2323(3e )2e x y z x y z zxy xz y ++++∂+=−−∂，将)0,0,0(带入得(0,0)d z =1(d 2d )3x y −+．（14）【答案】21．【解答】由矩阵A 的特征值为221,,−，由21B A A λλλ=−+可知矩阵B 的特征值分别为3，7，1，由行列式与特征值的关系可得，37121=⨯⨯=B ．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）解：由题可知极限3ln(1)sin lim1x x a x bx xkx →+++=．而，原式2333330()()236limx x x x x a x o x bx x o x kx →⎡⎤⎡⎤+−+++−+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=23330(1)()()23lim x a aa xb x x o x kx →++−++=．要使得该极限值为1，必有10,0,23a a a b k +=−==，所以111,,23a b k =−=−=−．（16）（本题满分10分）解：由旋转体的体积公式可得，ππ22222210ππ()d π(sin )d 4A V f x x A x x ===⎰⎰， π2202π()d 2πV xf x x A ==⎰，由21V V =，解得8πA =．（17）（本题满分10分）解：(,)2(1)e xxyf x y y ''=+，两边对y 积分得 221(,)2()e ()(2)e ()2x x x f x y y y x y y x φφ'=++=++，又 (,0)(1)e xx f x x '=+，故()(1)e xx x φ=+．所以，221(,)2()e ()(2)e (1)e 2x x x x f x y y y x y y x φ'=++=+++，两边对x 积分得， 2(,)(2)e e (1)d x x f x y y y x x =+++⎰2(2)e e (1)e ()x x x y y x C y =+++−+2(2)e e ()xxy y x C y =+++．由 2(0,)2f y y y =+，得()0C y =，2(,)(2)e e x xf x y y y x =++.令 0,0.x yf f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得0,1.x y =⎧⎨=−⎩ 且有2(2)e 2e e ,2(1)e ,2e x x x x x xxxy yy f y y x f y f ''''''=+++=+=，当1,0−==y x 时，2)1,0(,0)1,0(,1)1,0(=−''==−''==−''=yy xy xxf C f B f A ，因为0,02>>−A B AC ,故存在极小值，且1)1,0(−=−f 为极小值．（18）（本题满分10分）解：由条件可知积分区域关于y 轴对称，所以由二重积分的对称性可知，d d 0Dxy x y =⎰⎰，所以2()d d d d D Dx x y x y x x y +=⎰⎰⎰⎰．而π222402d d 2sin 2cos d 5Dx x t t t ⋅−⎰⎰⎰π22021π2π22sin d 522545u t u u =−=⋅−=−⎰．（19）（本题满分10分）解：因为2221)12(121)(x x x x x x f +−=+++−='，令()0f x '=，得12x =为其驻点．当1(,),()2x f x ∈−∞时单调递减，当1(,),()2x f x ∈+∞时单调递增．故)21(f 是唯一的极小值，也是最小值．又121()2f t t =+⎰111224=+t t t ⎛⎫− ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭<1122t t <⎰⎰，从而0)21(<f ．又21lim ()lim[]x x x f x t t →+∞→+∞=+⎰⎰211lim[]x x t t →+∞=−⎰⎰.考虑2lim x x t =+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞．而+∞=−∞→)(lim x f x ，所以函数()f x 在区间1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有一个零点，故零点个数为2．（20）(本题满分11分)解：设t 时刻物体温度为)(t x ，比例常数为)0(,>k k ，介质温度为m ，则d ()()e d kt xk x m x t C m t−=−−⇒=+．又(0)12020x ,m ,==得100C =，即()100e 20ktx t −=+．又(30)30,x =得ln10,30k =即ln1030()10020t x t −=+．所以，当21x =时60t =. 603030(min)−=，故还需冷却30min ．（21）（本题满分11分）证明：根据题意得点))(,(b f b 处的切线方程为))(()(b x b f b f y −'=−．令0y =，得0()()f b x b f b =−'，因为0)(>'x f ，所以)(x f 递增，又因为()0,f a =得()0f b >，又0)(>'b f ，所以b b f b f b x <'−=)()(0．又)()(0b f b f a b a x '−−=−，在),(b a 上利用拉格朗日中值定理得， ()()(),(,)f b f a f a b b aξξ−'=∈−，所以0()()()()f b f b x a f f b ξ−=−'')()()()()(b f f f b f b f '''−'=ξξ．再由()0f x ''>，可知()f x '单调递增．所以()()f b f ξ''>，可得0x a >．从而结论得证．（22）（本题满分11分）解：（I ）由3=A O ，得31011001a a a a=−==A ，故可得0a =．（II ）由条件22−−+=X XA AX AXA E ，可知222()()()()A −−−=−−=X E AX E A E A X E A E ．所以1212121()()[()()]()E A −−−−=−−=−−=−−X E A E A E A E A A ．因为2011111112−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭E A A ，利用初等变换可得21312()111211−−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−⎝⎭E A A ，所以312111211−⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X ．（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为,A B 相似，所以()()tr tr =A B 且=A B ，即31123a b a b +=++⎧⎨−=⎩①② 联合①②两式，解得45a b =⎧⎨=⎩．（Ⅱ）因为,A B 相似，所以21200(1)(5)031b λλλλλλλ−−=−=−=−−−−E A E B ，得矩阵A 的特征值为11λ=（二重），25λ=.当11λ=时，解方程组()−=0E A x ，得基础解系为T T12(2,1,0),(3,0,1)==−ξξ，当25λ=时，解方程组(5)−=0E A x ，得基础解系为T3(1,1,1)=−−ξ．令可逆矩阵123231(,,)101011−−⎛⎫⎪==− ⎪⎪⎝⎭P ξξξ,使得1100010005−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．。

2015年考研数学真题答案(数二 )

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2xx dx e +∞⎰【答案】(D)【考点】反常积分的收敛性【难易度】★★ 【详解】（A）2+∞==+∞⎰，发散，（B ）222ln 1(ln )2x dx x x +∞+∞==+∞⎰，发散（C ）221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞⎰，发散（D ）当x 足够大时，21x x e x <，221dx x +∞⎰收敛，2x x dx e+∞⎰收敛 2、函数20sin ()lim(1)x tt tf x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】(B)【考点】极限的计算【难易度】★★【详解】当0x ≠时，22sin sin 0sin sin ()=lim(1)lim(1)x x t x x tt x tt t ttf x e xx→→+=+=3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【考点】导数的定义、连续的定义【难易度】★★★【详解】100()(0)1(0)=limlim cos x x f x f f x x xαβ-→→-'=存在所以10α->，且(0)=0f '1111()=cossin f x x x x x ααβββαβ---'+ 由0lim ()(0)0x f x f →''==，得10αβ-->，1αβ->4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C【考点】拐点的定义【难易度】★★★【详解】由图易知，拐点为原点和与x 正半轴的交点，所以拐点数为2 5、设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x+=-，则11u v f u ==∂∂与11u v fv ==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12【答案】(C)【考点】链式求导法则【难易度】★★【详解】法一：,y u x y v x =+=，所以,11u uvx y v v ==++所以222222(1)(,)(1)(1)1u u v u v f u v v v v -=-=+++ 2(1)1f u v u v ∂-=∂+，222(1)fu v v ∂-=∂+ 110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 法二：22(,)x f x y x y y+=-（1）（1）式对x 求导得，22f y f x u x v ∂∂-=∂∂（2）（1）式对y 求导得，12f f y u x v∂∂+=-∂∂（3）由1,1u v ==，得12x y ==，代入（2）（3）解得110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 6、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y =围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4πθ=由y =得，3πθ=由21xy =得，22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得，24cos sin 1,r r θθ==所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰7、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】线性方程组【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解⇔R(A)=R(A,b)<31212a a d d ⇔====或且或.8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（）(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++ 【答案】(A) 【考点】二次型【难易度】★★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则【答案】48【考点】复合函数的求导法则【难易度】★★【详解】2222333(1)11dy dy dt t t dx dx dtt +===++， 22222212(1)12(1)11d dy d y t t dt dx t t dx dx t ⎛⎫⎪+⎝⎭===++，因此，212121448t d y dx==⋅⋅=.10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =【答案】2(1)(ln 2)n n n --【考点】高阶导数；莱布尼兹公式：()()0()()nn kn k k n k uv C u v -==∑ 【难易度】★★ 【详解】()()()2()2n n x fx x =⋅()(0)n f ⇒()()(2)222(1)222(ln 2)2n x x n n x x n n C x --==-''==⋅⋅⋅2(1)(ln2)n n n -=-.11、设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =【答案】2【考点】变限积分求导【难易度】★★ 【详解】2220()()()()2()x x x xf t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰1(1)()2(1)(1)2(1)5(1)2f t dt f f f ϕϕ'=+=+=⇒=⎰.12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = 【答案】【考点】【难易度】★★【详解】微分方程的通解是212x x y c e c e -=+则12(0)33y c c ==+=，12(0)020y c c '==-+=，121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+.13、若函数(,)z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导法则【难易度】★★★ 【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导23(31)0x y zz zeyz xy x x++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂ 两边对y 求导23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=--.14、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =【答案】21【考点】矩阵的特征值【难易度】★★【详解】A 的特征值为2，-2,1，又由于2B A A E =-+，因此矩阵B 的特征值为3,7,1，因此矩阵B 的行列式的值为21三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。

2015年合肥高考数学（文科）二模试题答案

2015年合肥⾼考数学（⽂科）⼆模试题答案 2015年⾼三第⼆次教学质量检测数学试卷答案⼀、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C A C B D D A ⼆、填空题 11. . 12. . 13.600. 14. . 15.②③. 三、解答题: 16.解(Ⅰ) , 在中, ,得 .……6分 (Ⅱ) ,由正弦定理得 , 即 ,得或 , 由知A 为锐⾓, .……12分⾼三数学(⽂)试题答案第2页(共4页) 17.解(Ⅰ)平均值为 . ………6分 (Ⅱ)基本事件有10种,满⾜条件的基本事件有6种由古典概型可得 .……12分 18.解(Ⅰ) 即 , ⼜ , ,即 ,所以数列是公⽐为2的等⽐数列. ⼜ . ………6分 (Ⅱ)依题意 , , 那么, ,两式相减得故 . ………12分 19.解(Ⅰ)在长⽅体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平⾯BCC1B1 ∴CD⊥BE, ………3分⼜∵E 为线段CC1的中点,由已知得∽ ∴ ,⾼三数学(⽂)试题答案第3页(共4页) ∴ , 故BE⊥B1C, 且 ∴BE⊥平⾯B1CD, ⼜平⾯ ∴平⾯平⾯B1CD. ………7分 (Ⅱ)取线段A1B1的中点 M,线段BB1的中点 N, 连结C1M, C1N, MN,易得C1N∥BE, MN∥A1B, ⼜ , , 平⾯C1MN∥平⾯A1BE,故点P 为线段MN 上的动点,且C1P∥⾯A1BE. 要使得线段C1P 长度最⼩,则C1P MN. 在中,C1M =C1N= ,MN= ,易得C1P= . ………13分 20.解(Ⅰ)当时, , 由 ,得或 ∴在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数. ∴的极⼩值为 , 的极⼤值为 . ………6分 (Ⅱ)由得或 ( ) 易得在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数;⾼三数学(⽂)试题答案第4页(共4页) ①当时, ,此时在上为减函数, 在上为增函数 ②当时, ,此时在[0,3]上为减函数, . ………13分 21.解(Ⅰ) , ,由向量的坐标运算可得代⼊椭圆⽅程可得 ,得 ,即离⼼率 . ………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ,可得 ,点 , , 当△PAB ⾯积取最⼤值时,动点P 离直线AB 的距离最远设直线为椭圆E 的⼀条切线,且∥AB 由即 ,此时直线与直线AB 之间的距离即为动点P 到直线AB 的最远距离⼜直线AB: ,由两平⾏线间距离公式得此时因此椭圆E 的⽅程为 . ………13分⾼考语⽂考点⾼考数学考点⾼考英语考点⾼考理综考点⾼考⽂综考点⾼考语⽂复习资料⾼考数学复习资料⾼考英语复习资料⾼考理综复习资料⾼考⽂综复习资料⾼考语⽂模拟试题⾼考数学模拟试题⾼考英语模拟试题⾼考理综模拟试题⾼考⽂综模拟试题⾼考语⽂历年真题⾼考数学历年真题⾼考英语历年真题⾼考理综历年真题⾼考⽂综历年真题⾼考备考辅导；⾼考⾷谱⼤全；⾼考前必须做的事。

2015年高考数学全国卷二理科真题+答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B= （A ）｛－1，0｝（B ）｛0，1｝（C ）｛-1，0，1｝（D ）｛0，1，2｝2.若a 为实数且（2+ai ）（a -2i ）=－4i ，则a =（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B ）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C ）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 = （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）845.设函数f (x )=⎩⎨⎧≥++-1,2,1),2(log 112x x x x ＜，则f (－2)+ f (log 212) =（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61（D ）517.过三点A （1,3），B （4,2），C （1,7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN=（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10 8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，则输出的a= （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）149.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与 DA 运动，∠BOP=x 。

合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰．６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰．四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分）1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________． 2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于．4、微分方程220y y y '''++=的通解为．5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f =u u u u u r．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222zx y ze ++=,则11x y dz===( ))(A 2(dx dy)-+ )(B 22(z 1)e (z 1)e z zdx dy --+++)(C 22dx dy + )(D 22dx dy -+2、二次积分2(,)dx f x y dy ⎰化为极坐标下累次积分为（）drr F d D drr F d C drr F d B dr r F d A ),(2)(),()(),()(),()(cos 202cos 2022cos 20cos 200θθθθθθθθθπθππθππθπ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰ （B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224zdS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂．四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2D I y xd σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()xx Ly yef x dx e f x dy ---+⎰与路径无关,且6(0)5f =.求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy --=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdyI x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n n n x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

考研_2015考研数学二真题及答案

2021 考研数学二真题及答案一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 以下反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B)2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D)2x x dx e +∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)x x xdx x e e-=-+⎰，那么 2222(1)3lim (1)3x x x x xdx x e e x e e e+∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内 ( )(A) 连续 (B) 有可去连续点(C) 有跳跃连续点 (D) 有无穷连续点【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去连续点0x =.(3)设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,假设()'f x 在0x =处连续那么:( )(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤(C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x x ααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续那么：()()10100lim cos 0x f f x x αβ+--+→''===得10α->()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如下图，那么曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.那么拐点个数为2个。

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( )2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰ （B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())(x xLy ye f x dx e f x ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。

2015年_全国II卷数学(原卷+答案)

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
2.渐近线方程为 x y 0 的双曲线的离心率是（）
2
A. 2
B. 1
C. 2
D. 2
【答案】C 【解析】
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得 a b 1 ，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基
础知识、基本计算能力的考查.
【详解】因为双曲线的渐近线为 x y 0 ，所以 a=b=1，则 c a2 b2 2 ，双曲线的
数 a 的最大值是____.
17．已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 i (i 1, 2, 3, 4, 5, 6) 取遍 1时， uuur uuur uuur uuur uuur uuur
| 1 AB 2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD | 的最小值是________，最大值是
x, 2a
求 a 的取值范围.
注：e=2.71828…为自然对数的底数.
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
参考公式：
若事件 A, B 互斥，则 P( A B) P( A) P(B) 若事件 A, B 相互独立，则
P( AB) P( A)P(B) 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,则
x y 0
A． 1
B．1
C．10
D．12
4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原
理，利用该原理可以得到柱体体积公式 V 柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的
高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是
A．158
B．162
C．182
D．32
5．若 a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elim t→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αxα−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1xβ,x >0，0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A)∫√x 2(B)∫lnx x +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫x e x +∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则 (A)α−β>1 (B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0 于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0.当α>1时，lim x→0x α−1cos 1x β=0， lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A)∫√x 2(B)∫lnx x +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫x e x +∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则 (A)α−β>1 (B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0 于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0.当α>1时，lim x→0x α−1cos 1x β=0， lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elim t→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αxα−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1xβ,x >0，0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学(二)真题及答案详解

2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析、选择题 :1: 8小题,每小题 4分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中 ,只有一个选项符合题目要求的 ,请将所选项前的字母填在答题．纸 (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点x cos 1,x 0(3)设函数 f x x ( 0,0),若 f 'x 在 x 0 处连续0,x 0(A ) 0 (B) 01(C )2(D) 02答案】 (A) 【解析】 x 0 时， fx 0 f 0 01x cos 01 f0li x lim x 1cox0 xx0x1111x 0f xx cos 1x sin1xxx11 1 1 x cos x sin xx指定位置上 . (A)2xdx(B)lnx dx(C)21dx (D) xln xe xxdx e答案】 (D)解析】 x x dx e (x 1)e x ，则 2 x x dx e(x 1)e x 3e2lim (x 1)e x 3e 2 (2) 函数 f x lim(1 2 sint x t si xn t)t(A) 连续(B) 有可去间断点 sint )xt 2xsint x 2lime t 0 x txe x， x 0 ，故 f (x) 有可去间断点42sin2得：在 x 0 处连续则：lim + f x = limx 0+x 0lim xx01cos 10 得 1 0 x1 0 ，答案选择A(4)设函数 f(x) 在 (A) 0【答案】 11 cos x1 sin =0 x内连续，其中二阶导数f(x) 的拐点的个数为 f (x) 的图形如图所示，则曲线(B) 1 (C) 2(C) 根据图像观察存在两点，为 2 个 . 解析】 (5) 设函数 f u,v满足 fx与fv1 依次是 (1(A) 12,0 【答案】 (D) (B) 0,12 (C) 12,0(D )0,2解析】此题考查二元复合函数偏导的求解 y,v，则 xv ,yuv 1v从而 f(x y,yx ) x x 2y2 变为f(u,v )uv 1u 2(1 v) .故1v2u(1v), f v ,v 2u 2，2，(1 v)2因而 f uu1 v1 0,fvu1v1 1.故选( D ). 2(6)设 D是第一象限由曲线 2xy 1 ， 4xy1与直线 x ，y 3x 围成的平面区域，函数 f x,y 在 D 上连续，则 fx,y Ddxdy1(A) 3dsin 12f rcos ,rsin rdr(B) 3d4 1sin 12f rcos ,rsin rdr(C ) 3d4 1sin 12 f rcos ,rsin dr2sin 2 (D ) 3d4 1sin 12 f r cos ,rsin dr答案】解析】 (B) 根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为 (r,)所以 f(x,y)dxdyD 故选 B. (7) 设矩阵 A3 2sin 2r 1sin23d4 1 sin2 1 2sin 2f (r cos ,r sin )rd r解的充分必要条件为 (A) a ,d(C)a ,d(D )答案】 (D )解析】 (A,b )由 r(A) r(A,b ) ,bd 2(B ),d .若集合1,2 ，则线性方程组 Ax b 有无穷多,d3 ，故 (8) 设二次型 f x 1, x 2, x 3为( 2(A)2y 121 dd 2(a 1 a11)(a2) (d1 d11)(d 2) ， 2，同时2.故选 D)在正交变换 x Py 下的标准形为 2y 12 (e 1,e 2,e 3)，若 Q (e 1, e 3,e 2) 则 f22 y 2 y 3 22 (B) 2y 12 y 2222y 2 y 3 ，其中 (x 1,x 2,x 3) 在正交变换 x Qy 下的标准形 2y32 2 2 2 2 2(C) 2 y 1 y 2 y 3 (D) 2y 1 y 2 y 3答案】 2【解析】由 x Py ，故f TxAx y T (P T AP)y 2y 12 y 22 y 322 0 0且 P TAP 0 10 011 0 0由已知可得Q P 0 0 1PC0 1 02 0 0故 Q TAQ C T(P TAP)C 0 1 00 0 1【答案】 (A)2y 12所以 f x T Ax y T (Q TAQ)y y 22 y 32 .选(A)4 分 ,共 24 分 .请将答案写在答题．纸．指定位置上d 2y dx 2t1 (10) 函数 f (x)x 22x在x 0处的 n 阶导数 f n(0) 答案】 nnn2ln 2解析】根据莱布尼茨公式得：nC n 22 2x(n 2)x0(11) 设 f x 连续，n(n 1) n2 ln 2 2x 22 n(n 1 1,n1) ln2 (9) 答解48.22 t 2)2d 2ydx 2 二、填空题： 9: 14小题 ,212t(11 t2)12t(1 t 2)21 t 2x 2(x) f (t)dt 2x 2f (x 2)，故有1(1) 0 f (t)dt 1, (1) 1 2f(1) 5,则 f (1) 2.yx答案】 e 2x 2exx 2x y C 1e x C 2e 2x 代入 y3 ， y 0 0 解得： C 1 2 C2y(0,0)答案】 21解析】 A 的所有特征值为 2, 2,1. B 的所有特征值为 3,7,1.所以|B | 3 7 1 21.三、解答题： 15～ 23小题,共 94分.请将解答写在答题．纸．．指定位置上 .解答应写出文字说明、x (0,0)解析】由题意知： y 0 3， y 0 0 ，由特征方程： 2 0 解得 1 1, 2解得： yx 2x2ex e2x(13)若函数 z x,y由方程 ex 2y 3zxyz 1 确定，则 dz0,0答案】 dx 2dy解析】当 0,y 0 时z 0 ，则对该式两边求偏导可得(3e x 2y 3z xy) zxyz x 2y 3ze(3e x 2y 3zxy) zxz yx 2ex2y 3z .将0,0,0)点值代入即有则可得dz|(0,0)1dx 2dy 33 13 dx 2dy .(14) 若 3阶矩阵 A 的特征值为 2,2,1， B A 2A E ，其中 E 为 3 阶单位阵，则行列式x 2解析】已知 (x) x f求导得 (12) 设函数 y y x 是微分方程yy 2y 0 的解，且在x 0 处 y x 取得极值 3，所以微分方程的通解为：证明过程或演算步骤(15) (本题满分 10 分)设函数 f (x)x aln(1 x)bxsin x ， g(x)3kx 3.若 f(x) 与 g(x)在 x是等价无穷小，求 a,b,k 的值.答案】 a1,k1 13,b解析】方法一：因为 ln(1x)o(x 3) ， sinx3x 3o(x )，3!那么， 1 limf (x)x 0g(x) l x im0 1a可得： b a 2 a3k方法二：由题意得 1 l x im 0 gf ((x x ))由分母 lim3kx 2x0 于是 1 lim f(x)x 0 g(x)kx 3 a1所以， b 1．21k3x aln(1x) bx sin xkx3，得分子 lim(1 ax01x1 1 bsinx 1 xaln(1 x) bxsin x x 01 0 0， 0 l x imx03kx 2 a2(1 a)x (b a)x 2lim23 x 0 kx 3a 3x3 (x 3)x b(1 x)sin x bx(1 x)cosx lim x0 3kx(21 x) x b(1 x)sin x bx(1 x)cosx lim x01 absinx bx cosx l x im1x3kx 2bsin x bx cos x) lim(1 a) 0x0求得c ； bx cosx 3kx 21 bsin x b(1 x)cosx b(1 x)cosx bx cos x lim x0bx(1 x)sinx6kx由分母lxim6kx 0，得分子lim[ 1x0 bsin x2b(1x)cosx bx cos x bx(1 x)sinx] lim(1 2b cos x)0，x0求得b进一步，1；2；b 值代入原式f(x)1 limx 0 g(x)1limx011sinx (1 x) cosx xcosx226kx1x(1 x)sinx1 cosx lim 2x011cosx (1 x)sin x cosx xsinx226k1 1 1(1 x) sin x xsinxx(12 2 2x)cosx12，求得k6k(16) (本题满分 10 分)设 A>0 ，D 是由曲线段y Asin x(0 x ) 及直线y0 ，x所围成的平面区域，V1 ，2V2分别表示 D 绕x轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若V1V2 ，求 A 的值 .8答案】解析】由旋转体的体积公式，得V1 2f 2(x)dx2( Asin x)dxA2 21 cos2xdx022A24V2 22 xf(x)dx -2由题V1 V2,求得AA 2xdcosx 082A(17) (本题满分 11分)已知函数f (x, y)满足fxy "(x,y) 2(y1)e x，fx'( x,0) (x1)e x，f (0, y) y22y ，求f(x,y)的极值 .答案】极小值f(0,1)解析】f xy (x, y) 2(y 1)e x两边对 y 积分，得1 2 x f x(x,y) 2(12y2y)e x (x) (y2 2y)e x(x) ，故 f x (x,0) (x) (x 1)e x ，求得 (x) e x(x 1) ，故 f x (x,y) (y 22y)e xe x(1 x) ，两边关于 x 积分，得(y 22y)e x(1 x)d e x(y 2 2y)e x(1 x)e xx e dx(y 2 2y)e x(1x)e xe xC(y 22y)e xxe xC由 f (0,y) y22y Cy 22y ，求得 C 0.所以f(x,y) (y 2 2y)e xxxe .令f x(y 22y)e xx e xxe 0， x0 求得 .f y (2y 2)e x 0y1又f xx(y22y)e xx2exxe xfxy 2(y1) e x ，fyy 2e x，当x 0,y 1时， A f xx (0, 1)1, B f xy (0, 1) AC B 20, f (0,1)1为小值2y)e x e x(1x)dx0, C f yy (0, 1)2 ，f(x,y) (y 2 (18) (本题满分 10 分)计算二重积分 x(x y)dxdy ，其中 D D答案】 2 452x(x y)dxdy x dxdyDD2 x 2x22 x 2( 2 x 2x 2)dx 解析】12 dx 012xx 2dy22y 2,y x(x,y) x 22 01x 22 x 2d 2 x x 2sint2 4sin2 t2cos 2tdt 2552 4 sin 22tdt2 u 2t2sin 2udu 22. 05 0 5 4 5.(19)( 本题满分11分 )已知函数 f xx1 t 2dt 1X1tdt，求 f x 零点的个数？【答案】 2 个【解析】 f (x) 1x 2 2x 1 2 x1 x 2(2x 1)1 令 f (x) 0 ,得驻点为 x ,211在( , ) , f(x) 单调递减 ,在 ( , ), f (x) 单调递增22 1 故 f (21) 为唯一的极小值 ,也是最小值11 t 2dt 1 1 td 12 1 td2 2 411所以函数 f (x) 在( , )及 ( , ) 上各有一个零点，所以零点个数为 2.22(20) (本题满分 10 分) 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 120 C 的物体在 20 C 的恒温介质中冷却，1 1 t 2dt 214 1 tdt11 1 t 2dt 1 1 tdt24在 (21,1), 1 t 21 t ,故 1 1 t 2dt21 1 tdt 021从而有 f ( ) 02lim f (x) lim[1 t2 dt x1 tdt]xxx 1lim f (x) lim[111 t 2dt21x 21x 2tdt] lim[ 1 tdt x1考虑 lim 1 tdt1 1 t 2li m 2x 1 x 21 x 2，所以 lim f(x) x1 t 2dt]x 230min 后该物体降至30 C ，若要将该物体的温度继续降至21 C ，还需冷却多长时间？答案】30min【解析】设t时刻物体温度为x(t)，比例常数为k( 0) ，介质温度为m,则dx k(x m)，从而x(t) Ce kt m ，dtktx(0) 120,m 20，所以C 100 ，即x(t) 100e kt 20 11又x(1) 30,所以k 2ln10 ，所以x(t) 1t 1 202 100t 1当x 21 时，t １，所以还需要冷却３０ min.(21) (本题满分 10 分)已知函数f x 在区间a，+ 上具有 2 阶导数，f a 0 ，f x 0，f '' x 0 ，设b a，曲线y f x 在点b, f b 处的切线与x 轴的交点是x0，0 ，证明a x0 b.【证明】根据题意得点(b, f(b)) 处的切线方程为y f(b) f (b)(x b)令y 0 ，得x0 b0 f (b)因为f (x) 0所以f(x) 单调递增，又因为f(a) 0 所以f (b) 0 ，又因为f (b) 0所以x0 b f(b)b0 f (b)f(b )f(a) f (), (a,b)b a所以x0 a b a f (b) f(b)f (b) f( )因为f (x) 0所以f (x) 单调递增所以f (b) f( )所以x0 a 0，即x0 a ，所以a(22 ) ( 本题满分11 分)a 1 0设矩A 1 a 1 且A3O.0 1 a(1) 求a 的值；f (b)，而在区间(f(b)f(b)f(b)f (b) f ( ) f(b) f (b) f ( )x0 b ，结论得证a,b)上应用拉格朗日中值定理有又因为x0 a b a20,XE A2E A2(2) 若矩阵【答案】X 满足 X2XA2AX 2AXA 2E 为3阶单位阵，求 X .a 1 00 1 0(I) A 3OA 01 a 11 a 2a 10 1 aa 1 a解析】3 a 0 1 1M1 0 0 1 1 1M 1 0 1 1 1M0 1 00 1 1 M1 0 011 2M0 0 11 1 2M00 11 1 1M0 1 0 1 1 1M01 0 0 1 1M1 0 00 1 1M 1 0 0 0 2 1M01 10 01M21 11 1 0M2 0 11 0 0M3 1 20 1 0M1 1 10 1 0M1 1 10 0 1M2 1 10 0 1M2 1 13 1 2(23) ( 本题满分11 分)相似于矩阵(II) 由题意知X XA 2AXAXA 2A 2AXA 2AXE A 2A 21E A 2 E A511A 的特征值 A 1 C :1,1,5231令P ( 1, 2, 3) 1 0 1 ，0 1 111P 1AP1答案】1) a 4,b5；2)解析】 (II)A(I) A ~ 0 2 31 2 01 3 3 0 b 01 2 a0 3 11 a 43b 52 31 0 0B tr(A ) tr (B)Bb 2a b 0 13 3 0 1 0ECC 的特征值0, 340时 (0E C)x 0 的基础解系为 (2,1,0) T;2 ( 3,0,1)T5时 (4 E C)x 0 的基础解系为 ( 1, 1,1)T设矩阵A 111)求a,b的值；2)求可逆矩阵P ，使P1AP为对角阵 .5。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015年合工大超越数学二选择题第4提

2015年合工大超越数学二选择题第4提摘要：一、问题背景1.2015 年合工大超越数学二选择题第4 题二、题目分析1.题目类型2.题目难度3.涉及知识点三、解题思路1.解题步骤2.关键点提示四、答案解析1.答案选项2.答案解析过程五、总结1.解题技巧2.提高数学成绩的方法正文：一、问题背景在2015 年的合肥工业大学超越数学二选择题中，第4 题涉及的知识点广泛，难度适中，对于考生来说是一道不容忽视的题目。

二、题目分析1.题目类型：选择题2.题目难度：适中3.涉及知识点：高等数学中的微积分、线性代数等三、解题思路1.解题步骤：(1) 仔细阅读题目，理解题意。

(2) 根据题目所涉及的知识点，分析题目。

(3) 运用相关公式和定理，进行计算。

(4) 对比选项，选出正确答案。

2.关键点提示：(1) 对题目的理解，尤其是题目中的条件和要求。

(2) 注意审题，避免因粗心导致错误。

四、答案解析1.答案选项：A、B、C、D2.答案解析过程：(1) 根据题目所给条件，利用相关公式和定理进行计算。

(2) 对比四个选项，发现只有选项D 符合计算结果。

五、总结1.解题技巧：(1) 仔细阅读题目，充分理解题意。

(2) 注意审题，避免因粗心导致错误。

(3) 对于涉及多个知识点的题目，要善于运用已知条件，逐个击破。

2.提高数学成绩的方法：(1) 扎实掌握基础知识。

(2) 多做练习题，提高解题速度和准确率。

合工大-共创-数学二-15

组的基础解系，令
1 1, 2 2,, t t 试证：（Ⅰ）, 1, 2 ,, t 线性无关；（Ⅱ）方程组AX b的任意一解r可表示为 l0 l1 1 l2 2 lt t , 其中
l0 l1 lt 1.
（A） c 1 , k 2 （B） c 1 , k 2 （C） c 1 , k 3 （D） c 1 , k 3
2
3
3
6
(5) 若 f (x, x2 ) x3 , fx(x, x2 ) x2 2x4 ，则 f y(x, x2 ) （
）
（A） x x3
评卷人
（21）（本题满分 11 分）设函数
f
(x)

x, 0,
1 x 2, 其他.
D {(x, y) | 1 x 5, 2 y 10} ，求二重积分 f (x2 y) f (x 1) d x d y 的 D
得分评卷人（22）（本题满分 11 分）设是线性方程组 AX b 的解， 1,2 ,, t 是其导出
1
0 f (x) d x
.
1
(13) 累次积分 I 2 d y 0
e d x 3y ( x2 y2 )
3y
3
2 1
d
y
1 y2 3y
e(x2 y2 )
d
x

________
。
3
2
3
(14) 向量组 α1= 1,2,3,4T ， α2 = 1,3,4,5T ， α3 = 2,4,6,8T ， α4 = 2,6,7,7T 的一个极大无关组
（A）不可导点
（B）可导点但不是驻点