第二讲 直线与圆真题集(文)(教师版)
新高考 核心考点与题型 直线与圆 第2讲 直线的位置关系 - 解析
第2讲 直线的位置关系[考情分析] 1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.知 识 梳 理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行.直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1(或A 1C 2≠A 2C 1). (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应：相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.考点一 两直线的平行与垂直【例1】 (1)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 规律方法 在判断两直线的平行、垂直时，可直接利用直线方程一般式中的系数间的关系得出结论（因为不需要讨论k 存在与否，方便快捷，因此为首选方法）(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线方程可设为：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线方程可设为：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线方程可设为：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2). 【变式训练】类型1 相交直线系方程【例1】 (一题多解)已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.法一 解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0，2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二 设所求l 的直线为：4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知：P (0，2)，将其代入方程， 得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三 设所求直线l 的方程为：x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为 4x ＋3y －6＝0.类型2 平行直线系方程【例2】 求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程.解 设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c ＝0，所以c ＝10，故所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.【例3】 已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1能和x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程.解 设直线l 1的方程为：x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，则令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c3，依照题意有：12×|－c |×⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是：x －3y ±43＝0. 【例4】已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行而且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程.解法一 设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4，b ＝－3.故l 的方程为：x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.法二 根据平行直线系方程的内容可设直线l 为：3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为：3x －4y －12＝0.类型3 垂直直线系方程【例5】 求经过A (2，1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程.解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2，1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________.(2)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________. (3)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________.解析 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，(3)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6. 规律方法1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离 d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等. 【变式训练】1.已知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点A (m ，n )，则点A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________. 2直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________. 解析 1由题意，可知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点(0，1)，所以A (0，1)，点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋1－3|2＝ 2.2.当AB ∈l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4).∈直线l 的方程为x ＝－1. 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.3.已知点P (2，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离不小于25，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|2×2－m ＋3|22＋12≥25，即|m －7|≥10，解得m ≥17或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．4.如果直线l 1：ax ＋(1－b )y ＋5＝0和直线l 2：(1＋a )x －y －b ＝0都平行于直线l 3：x －2y ＋3＝0，则l 1，l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 3，所以－2a －(1－b )＝0，同理－2(1＋a )＋1＝0，解得a ＝－12，b ＝0，因此l 1：x －2y －10＝0，l 2：x －2y ＝0，d ＝|－10－0|12＋(－2)2＝2 5.考点三 对称问题【例3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．(1)求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． (1)设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′方程为9x －46y ＋102＝0. [变透练清]1.(变结论)在本例条件下，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 由两点式可得 l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 规律方法 1.点关于点对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．2.直线关于点对称∈在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；∈求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程； ∈轨迹法，设对称直线上任一点M (x ，y )，其关于已知点的对称点在已知直线上． 3.轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ×x 1＋x 22＋B ×y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行． 【变式训练】1.已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________.解析 A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线所在直线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上. 设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1).所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0.2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.3.若点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点在x 轴上，则a ，b 满足的条件为( )A.4a ＋3b ＝0B.3a ＋4b ＝0C.2a ＋3b ＝0D.3a ＋2b ＝0解析 设点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点为(t ，0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －t ×2＝－1，b ＋02＝2×a ＋t 2，解得4a ＋3b ＝0.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直D.不能确定解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1. 答案 C2.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A.2B.－2C.12D.－12解析 因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.答案 B3.(一题多解)过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A.19x －9y ＝0 B.9x ＋19y ＝0 C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0解析 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0， 即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)， 所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.答案 D4.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A.x ＋2y －4＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0解析 由直线与向量a ＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y－3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确. 答案 A5.(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( ) A.102B.10C.5D.10解析 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10. 答案 D6.(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A.7B.172C.14D.17解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.答案 B7.已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( ) A.2x ＋3y ＋5＝0 B.3x －2y ＋5＝0 C.3x ＋2y ＋5＝0D.2x －3y ＋5＝0解析 设A (x 0，y 0)，依题意可得⎩⎨⎧x 02－y 02＋1＝0，y 0x 0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1，即A (－1，1).设点B (2，－1)到直线l 2的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 2垂直于直线AB ，又－1k AB ＝32，∴直线l 2的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0 .答案 B8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2B.2C.3D.4解析 点(0，0)关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为（－1－1）2＋（1－1）2＝2. 答案 B 二、填空题9.(2018·郑州模拟)如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________. 解析 ∵直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，即直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －(a －7)＝0平行，∴a 3＝2a －1≠3a －（a －7），解得a ＝3.答案 310.(2019·安徽四校联考)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案 6x －y －6＝011.(一题多解)(2018·南昌模拟)已知点A (1，0)，B (3，0)，若直线y ＝kx ＋1上存在一点P ，满足P A ⊥PB ，则k 的取值范围是________.解析 法一 设P (x 0，kx 0＋1)，依题意可得k P A ·k PB ＝－1，即kx 0＋1x 0－1×kx 0＋1x 0－3＝－1，即(k 2＋1)x 20＋(2k －4)x 0＋4＝0，则Δ＝(2k －4)2－16(k 2＋1)≥0，化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－43，0. 法二 若直线y ＝kx ＋1上存在点P ，满足P A ⊥PB ，则直线y ＝kx ＋1与以AB 为直径的圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，故|2k ＋1|1＋k 2≤1，即3k 2＋4k ≤0，故－43≤k ≤0，k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0. 答案 ⎣⎡⎦⎤－43，0 三、解答题12.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2， 故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，即|PM |＝42， ∴|PQ |<42，故所证成立.能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2018·丹东二模)已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M 同时满足下列条件： (1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12；(3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5.则点M 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，2B.⎝⎛⎭⎫13，3718C.⎝⎛⎭⎫19，2D.⎝⎛⎭⎫19，3718解析 设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12不符合题意；联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718. 答案 D14.(2019·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( ) A.92 B.94C.1D.9 解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，设点Q (4，0)到直线l 的距离为d ，当d ＝|PQ |时取最大值，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12·⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12(52＋2c 2a ·2a c )＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号. 答案 B15.若△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则直线BC 的方程为________.解析 由AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0可以知道k AC ＝－2，又A (5，1)， AC 边所在直线方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 与直线CM 方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以顶点C 的坐标为C (4，3). 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12，由M 在直线2x －y －5＝0上，得2x 0－y 0－1＝0，B 在直线x －2y －5＝0上，得x 0－2y 0－5＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3， 所以顶点B 的坐标为(－1，－3).于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.答案 6x －5y －9＝016.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________________.解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝⎛⎭⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝⎛⎭⎫4－m ，6－b －3m 4， ∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18. ∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0. 答案 6x －8y ＋1＝0。
高中数学教师资格证笔试练题：第二章 直线与圆的方程 单元检测卷
高中数学选择性必修第一册第二章直线与圆的方程测试卷一、单选题1．直线l 经过点(3,4)P -且与圆2225x y +=相切，则直线l 的方程为（ ）A ．44(3)3y x -=-+B ．34(3)4y x -=+C ．44(3)3y x +=--D ．44(3)3y x +=-2．已知直线l 过点(3A ，(3B +，则直线l 的斜率为（ ）A B C ．D ．3．已知()1,3A ，()3,1B -，则以AB 为直径的圆的方程为（ ） A ．()()22215x y -+-= B ．()()222120x y -+-= C ．()()22125x y ++-=D ．()()221220x y ++-=4．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为（ ）AB C D 5．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．直线1x y +=与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交且直线经过圆心 D ．相交但直线不经过圆心7．若直线:l y kx =30x y +-=的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,24ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．直线160l x my -+=：和直线()210l mx y m R +-=∈：的位置关系是（ ）A ．相交且垂直B ．平行C ．相交且不垂直D ．不确定9．已知圆的一条直径的端点分别是()1,0A -，()3,4B -，则该圆的方程为（ ） A ．()()22128x y ++-= B ．()()22128x y -++= C ．()()221232x y ++-=D ．()()221232x y -++=10．两条直线20x y a ++=和1102x ay a ⎛⎫--=≠- ⎪⎝⎭的交点的轨迹方程是（ ）A ．212102y xy x y ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭B ．212102x xy y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭C ．221x y x +=-+D ．2121x y x -=+二、填空题11．写出一个圆心在直线340x y +=上，且与x 轴相切的圆的标准方程：___________. 12．经过A （18，8），B （4，﹣4）两点的直线的斜率k ＝__． 13．直线1x =的倾斜角和斜率分别为__________.14．若圆的方程222440x y x y +-++=，则此圆的圆心坐标为___________. 15．已知实数m ，n 满足10m n +-=，则22m n +的最小值为___________.16．若直线l 过点33,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭且被圆2225x y +=所截得的弦长是8，则l 的方程为________.17．已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=，直线:148310l x y +-=，则圆1C 关于直线l 对称的圆2C 的标准方程为______.18．已知点P ，Q 是圆221x y +=上的动点，若直线l ：0x y b ++=上存在点A ，使得π2PAQ ∠=，则b 的取值范围是______．19．已知直线x +y =a 与圆224x y +=交于A ､B 两点，且||||OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________.20．已知点(2,0),(2,0),A B -如果直线340(0)x y m m -+=>上有且只有一个点P 使得PA ⊥PB ，那么实数m 的值为________． 三、解答题21．求过点(2,1)A -，圆心在直线2y x =-上，且与直线10x y +-=相切的圆的方程． 22．已知圆C 过点()6,0A ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上． （1）求圆C 的标准方程；（2）将圆C 向上平移1个单位长度后得到圆1C ，求圆1C 的标准方程． 23．求直线112y x =-关于直线24y x =-对称的直线的一般式方程.24．已知点(P 在以坐标原点为圆心的圆O 上，直线1l 0y +-=与圆O 相交于A ，B 两点，且A 在第一象限（1）求圆O 在点P 处的切线方程；（2）设()()000,1Q x y x ≠±是圆O 上的一个动点，点Q 关于原点O 的对称点为1Q ，点Q 关于x 轴的对称点为2Q ，如果直线1AQ ，2AQ 与y 轴分别交于()0,m 和()0,n 两点，问mn 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.25．已知圆M 过C (1，﹣1)，D (﹣1，1)两点，且圆心M 在x +y ﹣2=0上. （1）求圆M 的方程；（2）设P 是直线3x +4y +8=0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值.参考答案1．B 【详解】由题设，点()3,4-在圆2225x y +=上，易知切线方程的斜率存在，设切线方程的斜率为k ，则切线方程为4(3)y k x -=+，即340kx y k -++=， ⊥圆心(0,0)到切线的距离5d ==，解得34k =，故切线方程为34(3)4y x -=+．2．C 【详解】因为直线l 过点(3A ，(3B +，所以由过两点的直线的斜率公式，得直线l 36-= 3．A 【详解】AB 的中点()2,1为圆心，半径r ==所以所求圆的方程为()()22215x y -+-=. 4．D 【详解】直线1l 的方程可化为6240x y --=，则1l 与2l 之间的距离d =． 5．C 【详解】方法一 由2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过点(1，2)．设点Q (1，2)，因为PQ 2，所以满足条件的直线l 有2条．方法二 依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ⊥R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.2=，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0， 6．D 【详解】圆221x y +=的圆心()0,0O ，半径1r =.因为圆心()0,0O 到直线1x y +=的距离1d =， 所以直线与圆相交但直线不过圆心. 7．D 【详解】联立方程组30y kx x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y =0<0>，解得1k <-， 设直线l 的倾斜角为θ，其中[0,)θπ∈，即tan 1θ<-，解得324ππθ<<， 即直线l 的倾斜角的取值范围是3(,)24ππ.8．A 【详解】解：当0m =时，12l l ⊥； 当0m ≠时，11k m=，2k m =-， 则121k k ，则12l l ⊥．综上，知12l l ⊥， 9．B 【详解】解：由题意可知，()1,0A -，()3,4B -的中点为()1,2-，又圆的半径为12r AB == 故圆的方程为()()22128x y -++=． 10．A 【详解】联立2010x y a x ay ++=⎧⎨--=⎩，解得2121221a x a a y a ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=-⎪+⎩，由221a y a +=-+，得221y a y +=-+， 将221y a y +=-+代入2121a x a -=+， 可得212102y xy x y ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭．11．()()22439x y -++=(答案不唯一) 【详解】设圆的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，则只要符合340a b r b +=⎧⎨=⎩即可，如433a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为：()()22439x y -++= 12．67【详解】解：经过A （18，8），B （4，﹣4）两点的直线的斜率k ＝8461847+=-， 故答案为：67．13．90︒，不存在 【详解】直线1x =垂直于x 轴，所以倾斜角为90︒，斜率不存在. 故答案为：90︒；不存在. 14．()1,2- 【详解】解：根据题意，圆的方程是222440x y x y +-++=，即()()22121x y -++=， 故其圆心坐标为：()1,2-， 故答案为：()1,2- 15．12 【详解】由题意得2222m n +=，所表示的几何意义是点(,)m n 到原点(0,0)的距离的平方， 又由原点(0,0)到直线10x y +-=的距离为(),d m n ==在该直线上 ，，可得22m n +的最小值为212=.故答案为：1216．3x =-或34150x y ++= 【详解】当直线l 不存在斜率时，直线l 过点33,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为：3x =-，把3x =-代入圆的方程中，得223254y y +=⇒=±，因为4(4)8--=，所以3x =-符合题意； 当直线l 存在斜率时，设为k ，因为直线l 过点33,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为：3(3)226302y k x kx y k +=+⇒-+-=， 因为2225x y +=的半径为5，直线l 被圆2225x y +=所截得的弦长是8， 所以圆心(0,0)到直线l3，334k =⇒=-，所以332()26()303415044x y x y ⨯--+⨯--=⇒++=，故答案为：3x =-或34150x y ++= 17．22(4)(5)4x y -+-= 【详解】设圆2C 的圆心坐标为(,)m n . 因为直线l 的斜率74k =-，圆221:(3)(1)4C x y ++-=的圆心坐标为(3,1)-，半径2r，所以由对称性知14373114831022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得4 5m n =⎧⎨=⎩. 所以圆2C 的方程为22(4)(5)4x y -+-=. 故答案为: 22(4)(5)4x y -+-=. 18．[2,2]- 【详解】如图，过圆221x y +=上任意两点P ，Q 分别作与坐标轴平行的直线，两直线交于一点A ，则点A 满足题意，可知正方形区域内（含边界），对于任意两点P ，Q 均存在满足题意的A 点．当直线0x y b ++=过正方形右上顶点时，b 取得最小值2-；当直线0x y b ++=过正方形左下顶点时，b 取得最大值2，故b 的取值范围为[]22-,． 故答案为：[2,2]-．19．2± 解. 【详解】因||||OA OB OA OB +=-，由向量加法和减法的几何意义知，以线段OA ，OB 为一组邻边的平行四边形两条对角线长相等，从而这个平行四边形是矩形，即OA OB ⊥，又||||2==OA OB ，则AOB 是等腰直角三角形，于是点O 到直线AB ，=2a =±.故答案为：2± 20．10 【详解】由题意知，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，圆的方程为：x 2+y 2＝4 所以要使得直线3x ﹣4y +m ＝0上有且只有一个点P 使得P A ⊥PB ， 则此直线与圆：x 2+y 2＝4相切，圆心()0,0，半径为2， 2916m ，解得m ＝10或-10（舍去）．所以m ＝10. 故答案为：10．21．22(1)(2)2x y -++=． 【详解】设圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，由题意得：2222(2)(1)b a a b r r⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨=，解得12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++=．22．（1） ()()223213x y -+-=；（2） ()()223313x y -+-=．【详解】（1）因为直线AB 的斜率为50116-=--， 所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为1． 又易知线段AB 的中点坐标为75,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即10x y --=． 因为圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点．由102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩． 所以圆心为()3,2C，半径r CA == 所以圆C 的标准方程是()()223213x y -+-=． （2）由（1），知圆C 的圆心坐标为()3,2， 将点()3,2向上平移1个单位长度后得到点()3,3， 故圆1C 的圆心坐标为()3,3故圆1C 的标准方程为()()223313x y -+-=． 23．112220x y +-=. 【详解】由11224y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得交点为（2，0）， 所以可设所求直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=. 点（3，2）为直线24y x =-=解得12k =（舍去）或112k =-. 所以所求直线的方程为111102x y --+=，即112220x y +-=. 故答案为：112220x y +-=.24．（1）40x +-=；（2）是定值，理由见解析. 【详解】 （1）因为OP k ==O 在点P处的切线斜率为所以圆O 在点P处的切线方程为)13y x -=-，即40x -= （2）是定值，理由如下解方程组224y x y +-=+=⎪⎩，可得A ， 因为()000,(1)Q x y x ≠±，所以()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，由10:1)AQ y x -，令0x =，得0m =由20:1)AQ y x =-，令0x =，得0n =∴2020004(1)41x mn x --===-． 25．（1）()()22114x y -+-=；（2） 【详解】解：（1）设圆M 的方程为：()()()2220x a y b r r -+-=>， 根据题意得222222(1)(1)1(1)(1)1202a b r a a b r b a b r ⎧-+--==⎧⎪⎪--+-=⇒=⎨⎨⎪⎪+-==⎩⎩，故所求圆M 的方程为：()()22114x y -+-= ； （2）如图，答案第11页，共8页 四边形PAMB 的面积为PAM PBM S S S =+，即()12S AM PA BM PB =+ 又2,AM BM PA PB ===，所以2S PA =，而PA，即S = 因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可， PM 的最小值即为点M 到直线3480x y ++=的距离所以min 3PM ==，四边形PAMB面积的最小值为=。
第二讲直线与圆
第二讲直线与圆一：高考考点知识要点直线 1、 倾斜角与斜率的关系及斜率公式 2、 直线方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧、一般式、截距式、两点式、斜截式、点斜式543213、 平面上两直线的位置关系⎩⎨⎧、垂直、平行214、 距离公式⎪⎩⎪⎨⎧、线线距、点线距、点点距321圆 1、 圆的方程⎩⎨⎧、一般方程、标准方程21直线与圆的位置关系二：典例分析例1、直线1l 经过点A （3，b ）,()1,2B a -，直线2l 经过点 C(1,2) ,D(-2,b+2)（1）若12//l l ，求a 的值； （2）若12l l ⊥，求a 的值；例2、已知圆的方程为222x y +=，直线y x b =+，当b 为何值时：圆与直线有两个公共点 （2）只有一个公共点 （3）没有公共点例3、求过点(1,3)A 的圆224x y +=的切线方程.例4、已知(0,5)P 及圆22:412240C x y x y ++-+=.(1).若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程(2)判断圆C 与直线l ’：3x+4y-3=0的位置关系，若相交，求出弦长三、基础练习1．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是() A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝02．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）A 1±B 21±C 33±D 3±3. 圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++= 4.已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝25. 方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示的圆,则m 的取值范围是( )A.14<m<1 B ．m>1 C ．m<14 D ．m<14 或m>16. 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+ D ．221+7．圆C 1: 122=+y x 与圆C 2:16)4()3(22=-+-y x 的位置关系是（ ）Ａ．外离 Ｂ．相交 Ｃ． 内切 Ｄ．外切8. 对于a ∈R，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，以5为半径的圆的方程为() A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝09. 过A （-3，0）和B （3，0）两点的所有圆中面积最小的圆的方程为 .10. 过原点且倾斜角为60︒直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为11. 圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .12. 已知圆x 2＋y 2＝r 2在曲线|x |＋|y |＝4的内部(含边界)，则半径r 的范围是__ ____ ．13. 152)1(A 22＝＋＝４，圆Ｂ：＋：已知圆２２y y x y x +-，判断两圆的位置关系；若相交，求出过两交点的直线方程。
第二讲直线与圆方程含答案
第二讲第二讲 直线与圆的方程含答案直线与圆的方程含答案一、知识要点一、知识要点二、典型例题二、典型例题例1（1）、求与x 轴相交于A (1,0)和B (5,0)两点且半径为5的圆的标准方程．标准方程．解：法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5. ∵点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：îïíïì(1－a )2＋(0－b )2＝5(5－a )2＋(0－b )2＝5，解得a ＝3，b ＝±1. ∴圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5. 法二：由A 、B 两点在圆上可知线段AB 是圆的一条弦，是圆的一条弦，根据平面根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可设圆心为C (3，b )，又|AC |＝5，即(3－1)2＋b 2＝5，解得b ＝1或b ＝－1. 因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2 （2）、圆C 通过不同的三点P (k,0)、Q (2,0)、R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，试求圆C 的方程．的方程．解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k 、2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为(k ＋22，2k ＋12)．∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6. ∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 变式练习1：1．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 解析：选C.设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . ∵圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a . 由|CA |2＝|CB |2得(a －1)2＋(b ＋1)2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，即(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，解得a ＝1，b ＝1，∴r ＝|CA |＝(1－1)2＋(1＋1)2＝2. 即所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 2．(2009年高考辽宁卷)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 解析：选B.由题意可设圆心坐标为(a ，－a )，则|a ＋a |2＝|a ＋a －4|2，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝|1＋1|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 3．(2008年高考山东卷)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1 解析：选B.设圆心坐标为(a ，b )，则îíì|b |＝1|4a －3b |5＝1，又b >0，故b ＝1，由|4a －3|＝5得a ＝2或a ＝－12，又a >0，故a ＝2，所求圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.(采用检验的方法也可以) 4.圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为________．解析：如图，因为圆周被直线3x ＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB ＝120°而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36. 答案：x 2＋y 2＝36 )(，＝－，4，4)1|1·|·||41，＝，解得2)43k 3(3)3(－3方程①②联立得圆心坐标为(0，78)或(0，－78)， 半径为(0－3)2＋(±78－0)2＝258， 所求圆的方程为x 2＋(y ＋78)2＝62564或x 2＋(y －78)2＝62564. 答案：x 2＋(y ＋78)2＝62564或x 2＋(y －78)2＝62564＝5. 3.（2010重庆理数）(8) 直线y=323x +与圆心为D 的圆33cos ,13sin x y q q ì=+ïí=+ïî())0,2q p éÎë交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为的倾斜角之和为 A. 76p B. 54p C. 43p D. 53p 解析：数形结合解析：数形结合301-=Ða b p -+=Ð 302由圆的性质可知21Ð=Ðbp a -+=-\ 3030 故=+b a 43p4.（2010全国卷1理数）（1111）已知圆）已知圆O 的半径为1，PA PA、、PB 为该圆的两条切线，为该圆的两条切线，A A 、B 为两切点，那么P A P B ·的最小值为的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+例3、已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．中点的轨迹方程．解：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上， ∴(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 变式练习3：1．若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0对称的曲线仍是其本身，则实数a 为( ) A ．±12B ．±22 C.12或－22 D ．－12或22解析：选B.由题意知，圆心C (－a 22，a 2－12)在直线y －x ＝0上，∴a 2－12＋a 22＝0，∴a 2＝12，∴a ＝±22.故选B. (注：F ＝－4＜0，不需验D 2＋E 2－4F ＞0) 2．(2009年高考上海卷)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝1 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 解析：选A.设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则îíì x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，îïíïì x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4得 (2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 3．一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程是( ) A ．4 B ．5 C ．32－1 D ．26 解析：选A.圆C 的圆心C 的坐标为(2,3)，半径r ＝1.点A (－1,1)关于x 轴的对称点A ′的坐标为(－1，－1)．因A ′在反射线上，所以最短距离为|A ′C |－r ，即[2－(－1)]2＋[3－(－1)]2－1＝4. 例4、已知圆O: 122=+y x ，圆C: 1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外一点),(b a P 引两圆切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，满足|PA|=|PB|. (1)求实数a 、b 间满足的等量关系；间满足的等量关系；(2)求切线长|PA|的最小值；的最小值；(3)是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，说明理由. (1)连结PO 、PC ，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1 ∴|PO|2=|PC|2，从而2222)4()2(-+-=+b a b a化简得实数a 、b 间满足的等量关系为: 052=-+b a . (2)由052=-+b a ，得52+-=b a1||||||2222-+=-=b a OA PO PA 1)52(22-++-=b b 4)2(52420522+-=+-=b b b∴当2=b 时，2||min=PA (3) ∵圆O 和圆C 的半径均为1，若存在半径为R 圆P ，与圆O 相内切并且与圆C 相外切，则有1||-=R PO 且1||+=R PC 于是有: 2||||=-PO PC 即2||||+=PO PC从而得从而得2)4()2(2222++=-+-b a b a 两边平方，整理得)2(422b a b a +-=+将52=+b a 代入上式得：0122<-=+b a 故满足条件的实数a 、b 不存在，∴不存在符合题设条件的圆P . 三、规律与方法三、规律与方法四、过关检测四、过关检测1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝5 答案：A 2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则F ＝E ＝0且D ＜0是⊙C 与y 轴相切于原点的( ) A ．充分不必要条件．充分不必要条件B ．必要不充分条件．必要不充分条件C ．充要条件．充要条件D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(－D 2，0)，而D 可以大于0，故选A. 3.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．πB ．4πC ．8π D ．9π解析：选B.设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π，故选B. 4．(2009年高考广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________．解析：将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径r ＝|2－1－6|1＋1＝52，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝252. 答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝252 5．(原创题)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________． 解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1) 6．若直线x a ＋y b ＝1与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b 2≥1 解析：选D.由题意知直线与圆相交或相切，故有11a 2＋1b 2≤1⇒1a 2＋1b 2≥1，故选D. 7．过点(0,1)的直线与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 B ．23 C ．3 D ．25 解析：选B.据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组成的直角三角形可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G (0,1)的连线与直线AB 垂直时，圆心到直线AB 的距离取得最大值，即d ≤|OG |＝1，此时弦长最短，即|AB |2≥R 2－d 2＝4－1⇒|AB |≥23，故选B. 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0 解析：选D.设圆心为(a,0)，且a >0，则(a,0)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为2，即|3×a ＋4×0＋4|32＋42＝2⇒3a ＋4＝±10⇒a ＝2或a ＝－143(舍去)，则圆的方程为：(x －2)2＋(y －0)2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0. 9．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝( ) A.33B.33或－33C.3 D.3或－3 解析：选D.∵OM→·CM →＝0， ∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝± 3. 10．(2008年高考山东卷)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．106 B ．206 C ．306 D ．406 解析：选 B.圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，由题意得|AC |＝2×5＝10，|BD |＝252－12＝46，且AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝12|AC |·|·||BD |＝12×10×46＝20 6.故选B. 11．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得îïíïìCD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2. 解得a ＝－7，或a ＝－1. 故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 12．如右图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点， O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，∴|PM |2＝2|PN |2. 又∵两圆的半径均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，即(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33. ∴所求动点P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．。
高中数学第二讲直线与圆的位置关系第二节圆内接四边形的性质与判定定理课后导练
第二节圆内接四边形的性质与判定定理课后导练基础达标1.圆内接四边形ABCD中,若∠A∶∠B∶∠C∶∠D=5∶m∶4∶n,则( )A.5m=4nB.4m=5nC.m+n=9D.m+n=100°解析:圆内接四边形对角互补,∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°．∴m+n=9.答案:C2.圆内接四边形ABCD中,cosA+cosB+cosC+cosD等于( )A.0B.4C.2D.不确定解析:∵ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°．∴cosA=-cosC,cosB=-cosD.∴cosA+cosB+cosC+cosD=0.答案:A3.如图2-2-9,四边形ABCD内接于⊙O,则∠BOD等于( )图2-2-9A.140°B.110°C.130°D.150°解析:∵∠A=∠DCE=70°，∠BOD=2∠A=140°．答案:A4.如图2-2-10,在△ABC外接圆中=,D为的中点,E为CA延长线上一点,且∠EAD=114°,则∠BAD等于( )图2-2-10A.57°B.38°C.45°D.30°解析:∵=,∴∠BAD=∠1.∴∠D=180°-2∠BAD.∵∠DAE=∠DBC,∴∠1+∠2=114°．∴∠2=114°-∠1=114°-∠BAD.又∵=,∴∠C=∠2=114°-∠BAD.∵∠C+∠D=180°，∴∠180°-2∠BAD+114°-∠BAD=180°．∴∠BAD=38°．答案:B5.如图2-2-11,AB为⊙Ｏ直径,弦CD⊥AB,M为上一点,AM延长线交DC延长线于E,则能成立的是( )图2-2-11A.∠AMC=∠DCMB.∠A=∠ＥC.∠EMC=∠AMDD.∠ECM=∠AMD解析:∵AB⊥CD,∴=.∴∠ADC=∠AMD.又∠EMC=∠ADC,∴∠EMC=∠AMD.故C正确.答案:C综合运用6.如图2-2-12,四边形ABCD内接于圆,CE∥DB交AB延长线于E点,求证:BC·CD=DA·BE.图2-2-12证明:连结AC,∵=,∴∠2=∠3.∵CE∥BD,。
数学学案：本讲小结第二讲直线与圆的位置关系
整合提升知识网络典例精讲直线与圆的位置关系是初等几何的核心，通过本章学习进一步熟悉并应用分类思想、运动变化思想和猜想与证明的数学思想方法。
本讲有四类问题，一是与圆有关角的计算与证明，二是圆内接四边形性质与判定，三是切线的性质与判定,四是与圆有关线段的计算与证明.【例1】如图2—1，EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D 是⊙O上两点,如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是______________。
图2—1思路分析:要求∠A,可转化为求∠BCD。
由已知∠DCF的度数,想到先求∠ECB的度数,从而注意到题目所给的EB、EC为切线，将∠ECB 与∠E的度数联系起来.解法一：∵EB、EC是⊙O的切线,∴EC=EB.又∠E=46°，∴∠ECB=246180︒-︒=67°。
∵∠DCF=32°,∴∠BCD=180°—67°-32°=81°。
∵∠A+∠BCD=180°,∴∠A=180°—81°=99°.温馨提示本解法借助切线长定理和圆内接四边形的有关性质,此题还可借助于弦切角定理来求。
解法二:连结AC,∵EB、EC是⊙O切线，图2—2∴EB=EC。
∴∠ECB=246180︒-︒=67°.∵EF切⊙O于点C,∴∠BAC=∠ECB=67°，∠CAD=∠DCF=32°。
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=67°+32°=99°。
答案：99°【例2】如图2—3，D、E是△ABC的BC、AC两边上两点，且∠ADB=∠AEB.求证:∠CED=∠ABC。
图2-3思路分析：要证∠CED=∠ABC，容易想到圆内接四边形的性质。
而证A、B、D、E四点共圆，用圆内接四边形判定定理不易找到条件,我们采用分类讨论思想.证明：作△ABE的外接圆⊙O,则点D与⊙O有三种位置关系：①点D在圆外;②点D在圆内;③点D在圆上.（1）如果点D在圆外,设BD与⊙O交于点F,连结AF，则∠AFB=∠AEB，而∠AEB=∠ADB.∴∠AFB=∠ADB。
高中数学人教版必修二直线与圆的方程综合复习题(含答案)
高中数学人教版必修二直线与圆的方程综合复习题(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN直线与圆的方程综合复习（含答案）一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ）A 0B 2C -8D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ） A -1或2 B23C 2D -1 4.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 （a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0 5.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且1l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=09. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为（ A ）A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13x D y=3x 或y=13x 10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ C ）A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ B ）A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba 11+的最小值是（ C ） A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ A ）A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于（ C ）A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c 的一个值为 （ C ） A.2 B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1 C.2211ba +≤1D.2211ba +≥120.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛522,0 21.直线y=kx+3与圆2(3)x+2(2)y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥3则k 的取值范围是（ A ）A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞）33] D [-23,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．3 23.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。
2011-2020年高考数学真题分类汇编 专题25 直线与圆(教师版含解析)
专题25直线与圆年份题号考点考查内容2011文20直线与圆圆的方程的求法，直线与圆的位置关系2013卷2文20直线与圆圆方程的求法，直线与圆的位置关系2014卷2文20直线与圆圆方程的求法，圆的几何性质，直线与圆的位置关系2015卷1理14圆与椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法文20直线与圆直线与圆的位置关系卷2理7直线与圆三角形外接圆的求法，圆的弦长的计算公式文7点与圆三角形外接圆的求法，两点间距离公式2016卷1文15直线与圆直线与圆的位置关系卷2理4文6直线与圆圆的方程、点到直线的距离公式卷3文15直线与圆直线与圆的位置关系2017卷3理20直线、圆、抛物线直线与抛物线的位置关系；圆的方程的求法文20直线与圆直线与圆的位置关系，圆的几何性质，圆的定值问题的解法2018卷1文15直线与圆直线与圆的位置关系，圆的弦长计算卷3理6文8直线与圆直线与圆位置关系，点到直线的距离公式，三角形的面积公式2019卷3理21直线与圆，直线与抛物线直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题文21直线与圆，直线与抛物线直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题2020卷1理11直线与圆直线与圆位置关系，圆与圆的位置关系，圆的几何性质文6直线与圆直线与圆的位置关系，圆的弦的最值问题卷2理5文8直线与圆直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，点到直线距离公式卷3理10直线与圆直线与圆相切，直线与曲线相切，导数的几何意义文8直线与圆点到动直线距离公式的最值问题考点出现频率2021年预测考点86直线方程与圆的方程37次考8次命题角度：(1)圆的方程；(2)与圆有关的轨迹问题；(3)与圆有关的最值问题．考点87两直线的位置关系37次考1次考点88直线与圆、圆与圆的位置关系37次考35次考点86直线方程与圆的方程1．(2020全国Ⅲ文6)在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC，则点C 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A【思路导引】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可．【解析】设 20AB a a ，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则： ,0,,0A a B a ，设 ,C x y ，可得： ,,,AC x a y BC x a y，从而： 2AC BC x a x a y，结合题意可得： 21x a x a y ，整理可得：2221x y a ，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆．故选：A ．2．(2020全国Ⅲ文8)点(0，﹣1)到直线 1y k x 距离的最大值为()A ．1B ．C ．D ．2【答案】B【解析】由(1)y k x 可知直线过定点(1,0)P ，设(0,1)A ，当直线(1)y k x 与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x 距离最大，即为||AP3．(2015北京文)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是A ．22(1)(1)1x y B ．22(1)(1)1x y C ．22(1)(1)2x y D ．22(1)(1)2x y【答案】D 【解析】由题意可得圆的半径为r22112x y ．4．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为__________．【答案】2220x y x 【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ，圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，则01104020F D E F D F ，解得200D E F，则圆的方程为2220x y x ．5．【2017·天津文】设抛物线24y x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ，则圆的方程为___________．【答案】22(1)(1x y 【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m ，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m，1cos 2AC AF CAF AC AF，解得m ，由于圆C 与y轴得正半轴相切，则m所求圆的圆心为( ，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ．6．【2016·浙江文数】已知a R ，方程222(2)4850a x a y x y a 表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．【答案】(2,4) ；5．【解析】由题意22a a ，12a 或，1a 时方程为224850x y x y ，即22(2)(4)25x y ，圆心为(2,4) ，半径为5，2a 时方程为224448100x y x y ，2215((1)24x y 不表示圆．7．【2016·天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y的距离为5，则圆C 的方程为__________．【答案】22(2)9.x y 【解析】设(,0)(0)C a a2,35a r，故圆C 的方程为22(2)9.x y 8．(2011辽宁文)已知圆C 经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为．【答案】22(2)10x y 【解析】以题意设圆C 的方程为222()x a y r ，把所给的两点坐标代入方程得2222(5)1(1)9a r a r，解得2210a r ，所以圆C ：22(2)10x y ．考点87两直线的位置关系9．【2016·上海文科】已知平行直线012:,012:21 y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________．【答案】5【解析】利用两平行线间距离公式得d 510．(2011浙江文)若直线250x y 与直线260x my 互相垂直，则实数m =．【答案】1【解析】当0m 时，两直线不垂直，故0m ．因为直线250x y 与直线260x my 的斜率分别为12和2m ，由12(12m，故1m ．考点88点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系11．(2020·新课标Ⅰ文)已知圆2260x y x ，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】圆2260x y x 化为22(3)9x y ，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2 ．12．(2020·新课标Ⅱ文理5)若过点 2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032 y x 的距离为()A ．55B ．552C ．553D ．554【答案】B【思路导引】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离．【解析】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为222x a y a a ．由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，∴圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y的距离均为5d ，∴圆心到直线230x y．故选B ．13．(2020全国Ⅰ理11】已知⊙22:2220M x y x y ，直线:220l x y ，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为()A ．210x yB ．210x y C ．210x y D ．210x y 【答案】D【思路导引】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ，根据22PAM PM AB S PA △可知，当直线MP l 时，PM AB 最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【解析】圆的方程可化为 22114x y ，点M 到直线l的距离为2d ，∴直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ，∴12222PAM PM AB S PA AM PA △，而PA ，当直线MP l时，min MP，min 1PA ，此时PM AB 最小．∴ 1:112MP y x 即1122y x ，由1122220y x x y解得，10x y．∴以MP 为直径的圆的方程为 1110x x y y ，即2210x y y ，两圆的方程相减可得：210x y ，即为直线AB 的方程，故选D ．14．(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】设圆心 ,C x y ，则1 ，化简得 22341x y ，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM 5 ，所以||514OC ，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选A ．15．(2019北京文8)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB 是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为(A)4β+4cosβ(B)4β+4sinβ(C)2β+2cosβ(D)2β+2sinβ【答案】B【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB ， 1222BOP AOP．此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S △△扇形 sin 44sin ．故选B ．16．【2018·全国Ⅲ文】直线20x y 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y 上，则ABP △面积的取值范围是A ． 26，B ． 48，C ．D ． 【答案】A【解析】∵直线20x y 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， 2,0,0,2A B ，则AB ．∵点P 在圆22(2)2x y 上， 圆心为(2，0)，则圆心到直线的距离1d故点P 到直线20x y 的距离2d 的范围为，则 2212,62ABP S AB d△．故答案为A ．17．【2018高考全国2理2】已知集合22,3,,A x y xy x yZ Z ，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】试题分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数．试题解析：2223,3x y x ∵，又,1,0,1x x Z ．当1x 时，1,0,1y ；当0x 时，1,0,1y ；当1x 时，1,0,1y ；所以共有9个，选A ．【考点】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．18．【2018高考全国3理6】直线20x y 分别与x 轴y 交于,A B 两点，点P 在圆 2222x y 上，则ABP △面积的取值范围是()A ． 26，B ．48，C ．D ． 【答案】A【解析】∵直线20x y 分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点， 2,0,0,2A B ，则AB∵点P 在圆 2222x y 上， 圆心为 2,0，则圆心到直线距离1d，故点P 到直线20x y 的距离2d 的范围为，则 2212,62ABP S AB d△，故选A ．19．【2018高考北京理7】在平面直角坐标系中，记d 为点 cos ,sin P 到直线20x my 的距离．当,m 变化时，d 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：P 为单位圆上一点，而直线20x my 过点 2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA ．试题解析：22cos sin 1P ∵,为单位圆上一点，而直线20x my 过点 2,0A ，所以d 的最大值为1213OA ，选C ．【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．20．(2017新课标Ⅲ理)在矩形ABCD 中，1AB ，2AD ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD，则 的最大值为A ．3B．CD ．2【答案】A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)Px y 所以圆的方程为224(2)5x y，所以(,1)AP x y ，(0,1)AB ，(2,0)AD，由AP AB AD ，得21x y ，所以 =12x y ，设12x z y，即102xy z ，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z 的距离小于半径，，解得13z≤≤，所以z的最大值为3，即的最大值为3，选A．21．【2016·山东文数】已知圆M：2220(0)x y ay a+-=>截直线0x y+=所得线段的长度是M与圆N：22(1)1x y+-=（-1）的位置关系是()(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离【答案】B【解析】由2220x y ay(0a )得 222x y a a(0a )，所以圆M的圆心为0,a，半径为1r a ，因为圆M截直线0x y所得线段的长度是，解得2a ，圆N的圆心为 1,1，半径为21r ，所以MN ，123r r ，121r r ，因为1212r r MN r r，所以圆M与圆N相交，故选B．22．【2016·北京文数】圆22(1)2x y的圆心到直线3y x 的距离为()A．1B．2CD．2【答案】C【解析】圆心坐标为(1,0)，由点到直线的距离公式可知d ，故选C．23．【2016·新课标2文数】圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=()(A)−43(B)−34(D)2【答案】A【解析】由2228130x y x y配方得22(1)(4)4x y，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y的圆心到直线10ax y的距离为11 ，解得43a ，故选A．24．(2015安徽文)直线34x y b与圆222210x y x y相切，则b的值是A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12【答案】D【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y ，圆心(1,1)到直线34x y b 的距离|7|15b ，所以2b 或12b ．25．(2015新课标2文)已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352D ．34【答案】B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC (1,3，故ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为3=．26．(2015山东理)一条光线从点(2,3) 射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y 相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53 或35B ．32或23C ．54或45D ．43或34【答案】D 【解析】(2,3) 关于y 轴对称点的坐标为(2,3) ，设反射光线所在直线为3(2)y k x ，即230k x y k ，则1d ，|55|k 43k 或34．27．(2015广东理)平行于直线210x y 且与圆225x y 相切的直线的方程是A ．250x y 或250x yB ．20x y 或20x yC ．250x y 或250x y D ．20x y 或20x y【答案】A 【解析】设所求直线的方程为20x y c (1) c，所以c ，故所求直线的方程为250x y 或250x y ．28．(2015新课标2理)过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C 的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．10【答案】C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ，则3100422007500D E F D E F D E F，解得2,4,20D E F ，所求圆的方程为2224200x y x y ，令0x =，得24200y y ，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y ，1220y y ，所以12||||MN y y29．(2015重庆理)已知直线l ：10()x ay a R 是圆C ：224210x y x y 的对称轴，过点(4,)A a 作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B．C ．6D．【答案】C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y ，圆心为(2,1)C ，半径为2r ，因此2110a ，1a ，即(4,1)A，6AB ．选C ．30．(2014新课标2文理)设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y 上存在点N ，使得°45OMN ，则0x 的取值范围是A ．1,1B ．1122，C． D．22，【答案】A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN，所以01x 符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM M 作圆O 的一条切线MN ，连接ON ，则在Rt OMN中，sin 32OMN，则45OMN ，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN，即0x C ，故选A ．31．(2014福建文)已知直线l 过圆 2234x y 的圆心，且与直线10x y 垂直，则l 的方程是A ．20x yB ．20x yC ．30x yD ．30x y 【答案】D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y ．32．(2014北京文)已知圆 22:341C x y 和两点 ,0A m ， ,00B m m ，若圆C 上存在点P ，使得90APB ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC ，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．33．(2014湖南文)若圆221:1C x y 与圆222:680C x y x y m 外切，则mA ．21B ．19C ．9D ．11【答案】C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r 1212||15C C r r ，所以9m ．34．(2014安徽文)过点P ）（1,3 的直线l 与圆122y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]6，（B ．3，（C ．60[ ，D ．]30[ ，【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为 ，由题意可知min max 0,263．35．(2014浙江文)已知圆22220x y x y a 截直线20x y 所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8【答案】B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ，则圆心(1,1)C ，半径r 满足22r a ，则圆心C 到直线20x y 的距离d2422r a ，故4a ．36．(2014四川文)设m R ，过定点A 的动直线0x my 和过定点B 的动直线30mx y m 交于点(,)P x y ，则||||PA PB 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】易知直线0x my 过定点(0,0)A ，直线30mx y m 过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB 102sin()4PAB[10,25] ．故选B ．37．(2014江西文)在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45B ．34C ．(625)D ．54【答案】A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0到直线240x y 的距离，此时25r5r，圆C 的面积的最小值为245S r．38．(2014福建理)已知直线l 过圆 2234x y 的圆心，且与直线10x y 垂直，则l 的方程是A ．20x y B ．20x y C ．30x y D ．30x y 【答案】D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y ．39．(2014北京理)已知圆 22:341C x y 和两点 ,0A m ， ,00B m m ，若圆C 上存在点P ，使得90APB ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC ，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．40．(2014湖南理)若圆221:1C x y 与圆222:680C x y x y m 外切，则m A ．21B ．19C ．9D ．11【答案】C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,25r r m1212||1255C C r r m ，所以9m ．41．(2014安徽理)过点P ）（13 的直线l 与圆122y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]6，（B ．3，（C ．60[ ，D ．]30[ ，【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为 ，由题意可知min max 0,263．42．(2014浙江理)已知圆22220x y x y a 截直线20x y 所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8【答案】B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ，则圆心(1,1)C ，半径r 满足22r a ，则圆心C 到直线20x y 的距离d 所以2422r a ，故4a ．43．(2014四川理)设m R ，过定点A 的动直线0x my 和过定点B 的动直线30mx y m 交于点(,)P x y ，则||||PA PB 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】易知直线0x my 过定点(0,0)A ，直线30mx y m 过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB 4PAB．故选B ．44．(2014江西理)在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45B ．34C ．(6D ．54【答案】A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y 的距离，此时2rr，圆C 的面积的最小值为245S r．45．(2013山东文)过点(3，1)作圆 2211x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为()A ．230x y B ．230x y C ．430x y D ．430x y 【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是–2，只有选项A 中直线的斜率为–2．46．(2013重庆文)已知圆 221:231C x y ，圆 222:349C x y ，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN 的最小值为A ．524B ．171C ．622D ．17【答案】A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM|≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－4＝2223344524 ，故选A ．47．(2013安徽文)直线2550x y 被圆22240x y x y 截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．46【答案】C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离1+4-5+5=15d，半径5r ，所以最后弦长为222(5)14 ．48．(2013新课标2文)已知点 1,0A ； 1,0B ； 0,1C ，直线y ax b (0)a 将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．211,22C ．211,23D ．11,32【答案】B 【解析】(1)当y ax b 过 1,0A 与BC 的中点D 时，符合要求，此13b ，(2)当y ax b 位于②位置时1,0b A a，11,11b a b D a a，令1112A BD S 得212b a b，∵0a ，∴12b (3)当y ax b 位于③位置时21,11b b a A a a，21,11b a b D a a，令2212A CD S，即 111112112b b b a a ，化简得22241a b b ，∵0a ，∴22410b b，解得1122b．综上：21122b，故选B ．49．(2013陕西文)已知点M(a ，b)在圆221:O x y 外，则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B 【解析】点M(a ，b)在圆.112222b a y x 外111)00(.22ba d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交，故选B ．50．(2013天津文)已知过点P(2，2)的直线与圆225(1)x y 相切，且与直线10ax y 垂直，则aA ．12B ．1C ．2D ．12【答案】C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)yk x ，即220kx y k ，圆心(1,0)到12k．因为直线与直线10ax y 垂直，所以112k a，即2a ，选C ．51．(2013广东文)垂直于直线1y x 且与圆221x y 相切于第一象限的直线方程是A．0x y B ．10x y C ．10x y D ．0x y 【答案】A【解析】∵圆心到直线的距离等于1r ，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A ．直接法可设所求的直线方程为： 0y x k k ，再利用圆心到直线的距离等于1r ，求得k．52．(2013新课标2文)设抛物线2:4C y x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF ，则l 的方程为A ．1y x 或1y x B ．3(1)3y x或3(1)3y xC ．1)y x 或1)y x D ．(1)2y x或(1)2y x 【答案】C 【解析】抛物线24y x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF|=3|BF|，所以1213(1)x x ，所以1232x x ，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y ，所以此时1y ，若1y ，则123(3,(,33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．若1y ，则1(3,(,)33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．所以l 的方程是1)y x或1)y x ，选C ．53．(2013山东理)过点(3，1)作圆 2211x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y B ．230x y C ．430x y D ．430x y 【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2 ，只有选项A 中直线的斜率为2 ．54．(2013重庆理)已知圆 221:231C x y ，圆 222:349C x y ，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN 的最小值为A ．4B 1C ．6D ．【答案】A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM|≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444 ，故选A ．55．(2013安徽理)直线250x y 被圆22240x y x y 截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d，半径r ，所以最后弦长为4 ．56．(2013新课标2理)已知点 1,0A ； 1,0B ； 0,1C ，直线y ax b (0)a 将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．11,22C ．11,23D ．11,32【答案】B 【解析】(1)当y ax b 过 1,0A 与BC 的中点D 时，符合要求，此13b ，(2)当y ax b 位于②位置时1,0b A a，11,11b a b D a a，令1112A BD S 得212b a b，∵0a ，∴12b ．(3)当y ax b 位于③位置时21,11b b a A a a，21,11b a b D a a，令2212A CD S，即 111112112b b b a a ，化简得22241a b b ，∵0a ，∴22410b b ，解得221122b综上：1122b，故选B ．57．(2013陕西理)已知点(,)M a b 在圆221:O x y 外，则直线1ax by 与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B 【解析】点M(a，b)在圆221x y 外，∴221a b ．圆(0,0)O 到直线1ax by 距离1d=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．58．(2013天津理)已知过点P(2，2)的直线与圆225(1)x y 相切，且与直线10ax y 垂直，则aA ．12B ．1C ．2D ．12【答案】C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)yk x ，即220kx y k ，圆心(1,0)到12k．因为直线与直线10ax y 垂直，所以112k a，即2a ，选C ．59．(2013广东理)垂直于直线1y x 且与圆221x y 相切于第一象限的直线方程是A．0x y B ．10x y C ．10x y D ．0x y【答案】A【解析】∵圆心到直线的距离等于1r ，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A ．直接法可设所求的直线方程为： 0y x k k ，再利用圆心到直线的距离等于1r ，求得k．60．(2013新课标2理)设抛物线2:4C y x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF ，则l 的方程为A ．1y x 或1y xB ．(1)3y x或(1)3y xC ．1)y x 或1)y x D ．(1)2y x或(1)2y x 【答案】C 【解析】抛物线24y x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF|=3|BF|，所以1213(1)x x ，所以1232x x ，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y ，所以此时1y ，若1y ，则1(3,(,33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．若1y ，则123(3,(,)33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．所以l 的方程是1)y x或1)y x ，选C ．61．(2012浙江文)设a R ，则“1a ”是“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的充要条件是(1)2a a ，解得，1a 或2a ，所以是充分不必要条件．62．(2012天津文)设m ，n R ，若直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)C ．[2D ．(,2)【答案】D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n ，设=t m n ，则21+14t t ，解得(,2)t ．63．(2012湖北文)过点(1,1)P 的直线，将圆形区域 22(,)|4x y x y 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y B ．10y C ．0x y D ．340x y 【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点(1,1)P ，则1OP k ，故所求直线的斜率为–1．又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为 11y x ，即20 x y ．故选A ．64．(2012天津文)在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y 与圆224x y 相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于()()A()B ()C ()D【答案】B 【解析】圆224x y 的圆心(0,0)O 到直线3450x y 的距离515d，弦AB 的长AB ．65．(2012浙江理)设a R ，则“1a ”是“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的充要条件是(1)2a a ，解得，1a 或2a ，所以是充分不必要条件．66．(2012天津理)设m ，n R ，若直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)C ．[2D ．(,2)【答案】D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n ，设=t m n ，则21+14t t ，解得(,2)t ．67．(2012湖北理)过点(1,1)P 的直线，将圆形区域 22(,)|4x y x y 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y B ．10y C ．0x y D ．340x y 【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点(1,1)P ，则1OP k ，故所求直线的斜率为 1．又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为11y x ，即20 x y ．故选A ．68．(2012天津理)在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y 与圆224x y 相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．【答案】B 【解析】圆224x y 的圆心(0,0)O 到直线3450x y 的距离515d弦AB 的长AB ．69．(2011北京文)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C 在函数y x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设点2(,)C t t ，直线AB 的方程是20x y ，||AB 由于ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程122，即h ，22|2|2t t ，解得有4个实根，故这样的点C 有4个．70．(2011江西文)若曲线1C ：2220x y x 与曲线2C ：()0y y mx m 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(3，3文)B ．(3，0) (0，3)C ．[3 ，3]D ．( ，3) (3，+ )【答案】B 【解析】221:(1)1C x y ，2C 表示两条直线即x 轴和直线l ：(1)y m x ，显然x 轴与1C 有两个交点，由题意l 与2C 相交，所以1C 的圆心到l 的距离1d r，解得33(,)33m，又当0m 时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B ．71．(2011北京理)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C 在函数y =x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设点2(,)C t t ，直线AB 的方程是20x y ，||AB 由于ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程122，即h ，22|2|2t t ，解得有4个实根，故这样的点C 有4个．72．(2011江西理)若曲线1C ：2220x y x 与曲线2C ：()0y y mx m 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(33，33)B ．(33，0) (0，33)C ．[3 ，3]D ．( ，3) (3，+ )【答案】B 【解析】221:(1)1C x y ，2C 表示两条直线即x 轴和直线l ：(1)y m x ，显然x 轴与1C 有两个交点，由题意l 与2C 相交，所以1C 的圆心到l的距离1d r，解得(,33m，又当0m 时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B ．73．【2020年高考天津卷12】已知直线80x 和圆222(0)x y r r 相交于,A B 两点．若||6AB ，则r 的值为_________．【答案】5【解析】因为圆心 0,0到直线80x的距离4d，由l6 ，解得=5r ．74．【2020年高考浙江卷15】设直线:(0)l y kx b k ，圆221:1C x y ，222:(4)1C x y ，若直线l与1C ，2C 都相切，则k ；b．【答案】33；233【解析】由题意可知直线l 是圆1C 和圆2C 的公切线，∵0k ，为如图所示的切线，由对称性可知直线l 必过点 2,0，即20k b ①1，②由①②解得：3k，3b，故答案为：3；3．75．【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系xOy 中，已知3,0)2P ，A B 、是圆C ：221(362x y上的两个动点，满足PA PB ，则PAB 面积的最大值是________．【答案】【解析】如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，则：∵PA PB ，6CA CB R ，∴PC AB ，EF 为垂径．要使面积PAB S 最大，则P D 、位于C 两侧，并设CD x ，计算可知1PC ，故1PD x ，2AB BD ，故1(12PAB AB PD S x，令6cos x ，(1(16cos )6sin 6sin 18sin 2PAB S x ，02q，记函数()6sin 18sin 2f ，则2()6cos 36cos26(12cos cos 6)f ，令2()6(12cos cos 6)0f ，解得2cos 3 (3cos 04舍去)显然，当20cos 3时，()0f ，()f 单调递减；当2cos 13时，()0f ，()f 单调递增；结合cos 在(0,2 递减，故2cos3 时()f 最大，此时sin 3，故max 552()636333f，即PAB 面积的最大值是．(注：实际上可设BCD ，利用直角BCD 可更快速计算得出该面积表达式)76．【2019·浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y 与圆C 相切于点(2,1)A ，则m =___________，r =___________．【答案】2【解析】由题意可知11:1(2)22ACk AC y x，把(0,)m代入直线AC的方程得2m，此时||r AC77．【2018·全国I文】直线1y x 与圆22230x y y交于A B，两点，则AB ________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为 2214x y，所以圆的圆心为0,1 ，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ，结合圆中的特殊三角形，可知AB，故答案为．78．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，A为直线:2l y x上在第一象限内的点，(5,0)B，以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0AB CD，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】设,2(0)A a a a ，则由圆心C为AB中点得5,,2aC a易得:520C x x a y y a，与2y x联立解得点D的横坐标1,Dx 所以 1,2D．所以55,2,1,22aAB a a CD a，由0AB CD得2551220,230,32aa a a a a a或1a ，因为0a ，所以 3.a79．【2018高考上海12】已知实数1212x x y y,,,满足：22221122121211,1,2x y x y x x y y，则的最大值为．【解析】试题分析：由已知可得点1122,,,A x yB x y在单位圆221x y 上．又由121212x x y y，容易想到向量的数量积，从而得AOB的大小．而容易想到点11,A x y到直线10x y 的距离，因此问题转化为圆上两点 1122,,,A x y B x y 到直线10x y 距离和的最大值问题，再三角换元，进而应用三角函数来求最大值．试题解析：由已知可得两点 1122,,,A x y B x y 在单位圆221x y 上．121211,cos ,223OA OB x x y y AOB AOB OA OB∵ ．设 cos ,sin ,cos ,sin 33A B，则 ．已知点 1122,,,A x y B x y 在直线10x ysin 1cos sin 13311sin 1cos sin sin cos 1222233cos sin 22222cos 4sin 412当且仅当122即12．80．(2017江苏理)在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A ，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y 上，若20PA PB≤，则点P 的横坐标的取值范围是．【答案】[ 【解析】设(,)P x y ，由20PA PB≤，得250x y ≤，x如图由250x y ≤可知，P 在 MN 上，由2225050x y x y，解得(1,7)M ，(5,5)N ，所以P 点横坐标的取值范围为[ ．81．【2016·四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ．②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．【答案】②③【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P ，而11(,)22P 的伴随点为(1,1) ，而不是P ，故①错误；对于②，令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x ，则其伴随点为(sin ,cos )P x x ，仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线(,)0f x y 关于x 轴对称，则(,)0f x y 与曲线(,)0f x y 表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y 与2222(,)0y xf x y x y ，它们也表示同一曲线，又因为伴随曲线2222(,)0y x f x y x y 与2222(,)0y xf x y x y关于y 轴对称，所以③正确；对于④，取直线y kx b 上一点P(x ，y)，则其伴随点2222(,)y xx y x y ，消参后轨迹是圆，故④错误．所以真命题为②③．82．[2016·新课标Ⅲ文数]已知直线l ：60x 与圆2212x y 交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD _____________．【答案】4【解析】由60x ，得6x，代入圆的方程，并整理，得260y ，解得12y y 120,3x x ，所以||AB ．又直线l 的倾斜角为30 ，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD．83．【2016·新课标1文数】设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若퐴 =23，则圆C 的面积为．【答案】4【解析】圆22:220C x y ay ，即222:()2C x y a a ，圆心为(0,)C a ，由||AB 圆心C 到直线2y x a，所以得222()22a ，则22,a 所以圆的面积为2π(2)4πa ．84．(2015重庆文)若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．【答案】250x y 【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y ，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y 即250x y ．85．(2015湖南文)若直线3450x y 与圆 2220x y r r 相交于,A B 两点，且120o AOB (O为坐标原点)，则r =_____．【答案】2【解析】如图直线3450x y 与圆2220x y r r （＞）交于,A B 两点，O 为坐标原点，且120o AOB ，则圆心(0,0)到直线3450x y 的距离为2r 2r，∴2r =．86．(2015湖北文)如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方)，。
第9章第2讲 圆的方程及直线、圆的位置关系(考题帮.数学理)
第二讲圆的方程及直线、圆的位置关系题组1圆的方程1.[2015新课标全国Ⅱ,7,5分][理]过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2B.8C.4D.102.[2016天津,12,5分]已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.3.[2016浙江,10,6分]已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.4.[2015新课标全国Ⅰ,14,5分][理]一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.5.[2015江苏,10,5分][理]在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.6.[2017全国卷Ⅲ,20,12分][理]已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M 是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.题组2直线与圆的位置关系7.[2015山东,9,5分][理]一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-8.[2015重庆,8,5分][理]已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A (-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.4C.6D.29.[2014浙江,5,5分]已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-810.[2016全国卷Ⅰ,15,5分]设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.11.[2016全国卷Ⅲ,16,5分][理]已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B 分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=.12.[2015重庆,12,5分]若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.13.[2014重庆,13,5分][理]已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.14.[2016江苏,18,16分][理]如图9-2-1,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.图9-2-115.[2015新课标全国Ⅰ,20,12分]已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.题组3圆与圆的位置关系16.[2016山东,7,5分]已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离17.[2014湖南,6,5分]若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-1118.[2013重庆,7,5分][理]已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5-4B.-1C.6-2D.19.[2013新课标全国Ⅰ,20,12分][理]已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M 外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.A组基础题1.[2017陕西省高三质量检测,5]圆:x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是()A.1+B.2C.1+D.2+22.[2017宁夏银川市教学质量检测,3]已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2+6x-8y+16=0,则圆C1与圆C2的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切3.[2017辽宁省高三第一次质量监测,5]已知直线l:y=k(x+)和圆C:x2+(y-1)2=1,若直线l与圆C相切,则k=()A.0B.C.或0D.或04.[2017长春市高三二检,4]圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()A.(x-)2+(y-1)2=4B.(x-)2+(y-)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-)2=45.[2017武汉市四月模拟,10]已知圆C:(x-1)2+(y-4)2=10和点M(5,t),若圆C上存在两点A,B,使得MA⊥MB,则实数t的取值范围为()A.[-2,6]B.[-3,5]C.[2,6]D.[3,5]6.[2017云南11校调考,15]已知动圆C过A(4,0),B(0,-2)两点,圆心C关于直线x+y=0的对称点为M,过点M的直线交圆C于E,F两点,当圆C的面积最小时,|EF|的最小值为.7.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,16]设圆C满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为d.当d最小时,圆C 的面积为.B组提升题8.[2018洛阳市高三第一次统一考试,7]已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0).设条件p:0<r<3,条件q:圆C上至多有2个点到直线x-y+3=0的距离为1,则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.[2017辽宁省部分重点高中第三次联考,5]若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则点(k,b)所在的圆为()A.(x-)2+(y+5)2=1B.(x-)2+(y-5)2=1C.(x+)2+(y-5)2=1D.(x+)2+(y+5)2=110.[2017新疆维吾尔自治区第二次适应性检测,8]设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆x2+y2=1相切,则m-n的最大值是()A.2B.2C.D.11. [2017江西省南昌市第一次模拟,8]如图9-2-2,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则cos∠AOB=()图9-2-2A. B.- C. D.-12.[2017广西南宁市第二次适应性测试,15]过动点M作圆:(x-2)2+(y-2)2=1的切线MN,其中N 为切点,若|MN|=|MO|(O为坐标原点),则|MN|的最小值是.13.[2018湖北省月考,20]已知圆N:(x-1)2+y2=1,点P是曲线y2=2x上的动点,过点P分别向圆N 引切线PA,PB(A,B为切点).(1)若P(2,2),求切线的方程;(2)若切线PA,PB分别交y轴于点Q,R,点P的横坐标大于2,求△PQR的面积S的最小值.答案解得1.C设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则--所求圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,令x=0,得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则-y1+y2=-4,y1y2=-20,所以|MN|=|y1-y2|=-=4.故选C.2.(x-2)2+y2=9设圆心为(a,0)(a>0),则圆心到直线2x-y=0的距离d==,得a=2,半径r=--=3,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.3.(-2,-4)5由题意可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,表示圆,故圆心为(-2,-4),半径为5.当a=2时,方程不表示圆.4.(x-)2+y2=由题意知,圆过椭圆的三个顶点(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0),其中a>0,由4-a=,解得a=,所以该圆的标准方程为(x-)2+y2=.5.(x-1)2+y2=2因为直线mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,半径最大,此时半径r=,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.6.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·=-=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),所以·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为(,-),圆M的半径为,圆M的方程为(x-)2+(y+)2=.7.D圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3,2),半径r=1.作出点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3).由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点(2,-3).设反射光线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y-(-3)=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切可得=1,即|5k+5|=,整理得12k2+25k+12=0,即(3k+4)(4k+3)=0,解得k=-或k=-.故选D.8.C由题意得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,所以圆C的圆心为(2,1),半径为2.因为直线l为圆C的对称轴,所以圆心在直线l上,则2+a-1=0,解得a=-1,所以|AB|2=|AC|2-|BC|2=(-4-2)2+(-1-1)2-4=36,所以|AB|=6,故选C.9.B圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,圆心C(-1,1),半径r满足r2=2-a,则圆心C到直线x+y+2=0的距离d==,所以r2=4+2=2-a,解得a=-4.故选B.10.4π圆C的方程可化为x2+(y-a)2=a2+2,可得圆心的坐标为C(0,a),半径r=,所以圆心到直线x-y+2a=0的距离为=,所以()2+()2=()2,解得a2=2,所以圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π.11.4设圆心到直线l:mx+y+3m-=0的距离为d,则弦长|AB|=2-=2,解得d=3,即=3,解得m=-,则直线l:x-y+6=0,数形结合可得|CD|==4.12.x+2y-5=0由题意,得k OP=-=2,则该圆在点P处的切线方程的斜率为-,所以所求切线方-程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.13.4±依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.14.圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心为M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,圆N 的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以-①②因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25③.将①②代入③,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤--≤5+5,解得2-2≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].15.(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为直线l与圆C交于两点,所以<1.解得-<k<.所以k的取值范围为(-,).(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆C的圆心(2,3)在l上,所以|MN|=2.16.B由题意知圆M:x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=,所以2-=2,解得a=2.圆M、圆N的圆心距|MN|=,两圆半径之差为1,故两圆相交.故选B.17.C圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=-,由两圆外切,得|C1C2|=r1+r2=1+-=5,所以m=9.故选C.18.A两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点C1关于x轴的对称点C'1(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C'1C2|=5,所以(|PM|+|PN|)min=5-(1+3)=5-4.故选A. 19.由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径长r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径长r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(Ⅰ)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(Ⅱ)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2 所以R≤2 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知,l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切,得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-.所以|AB|=2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.A组基础题1.A将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,即圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2距离的最大值为1+d=1+,故选A.2.B易知圆C2的标准方程为(x+3)2+(y-4)2=9,则圆C1与C2的圆心的距离为=5,又两圆半径之和为2+3=5,所以圆C1与圆C2外切,故选B.3.D因为直线l与圆C相切,所以圆心C到直线l的距离d==1,即|-1+k|=,解得k=0或k=,故选D.4.D解法一圆与圆关于直线对称,则圆的半径相同,只需圆心关于直线对称即可.设所求圆的圆心坐标为(a,b),则---解得所以圆(x-2)2+y2=4的圆心关于直线y=x对称的点的坐标为(1,),从而所求圆的方程为(x-1)2+-=4,选D.解法二由于两圆关于直线对称,因此两圆心的连线必与该直线垂直,则两圆心连线的斜率为-,备选项中只有选项D中的圆心与已知圆的圆心连线的斜率为-,选D.5.C当MA,MB与圆相切时,|CM|=--=,由题意,圆C上存在两点使MA⊥MB,则|CM|=--≤,解得2≤t≤6 故选C.6.2依题意知,动圆C的半径不小于|AB|=,即当圆C的面积最小时,AB是圆C的一条直径,此时点C是线段AB的中点,即点C(2,-1),点M的坐标为(1,-2),且|CM|=--=<,所以点M位于圆C内,当点M为线段EF的中点(过定圆内一定点作圆的弦,以该定点为中点的弦最短)时,|EF|最小,其最小值等于2-=2.7.2π设圆C的圆心为C(a,b),半径为r,则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆C截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°,圆C截x轴所得的弦长为r,故r2=2b2,又圆C截y 轴所得的弦长为2,所以r2=a2+1,从而得2b2-a2=1.又点C(a,b)到直线x-2y=0的距离d=,所以5d2=(a-2b)2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当-即a2=b2=1时等号成立,此时d取得最小值,r2=2,圆C的面积为2π.B组提升题8. C圆C:(x-1)2+y2=r2的圆心(1,0)到直线x-y+3=0的距离d==2.当0<r<1时,直线在圆外,圆上没有点到直线的距离为1;当r=1时,直线在圆外,圆上只有1个点到直线的距离为1;当1<r<2时,直线在圆外,此时圆上有2个点到直线的距离为1;当r=2时,直线与圆相切,此时圆上有2个点到直线的距离为1;当2<r<3时,直线与圆相交,此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上,当0<r<3时,圆C上至多有2个点到直线x-y+3=0的距离为1,由圆C上至多有2个点到直线x-y+3=0的距离为1可得0<r<3,故p是q的充要条件,故选C.9.A由题意知直线y=kx与直线2x+y+b=0互相垂直,所以k=.又圆上两点关于直线2x+y+b=0对称,故直线2x+y+b=0过圆心(2,0),所以b=-4,结合选项可知,点(,-4)在圆(x-)2+(y+5)2=1上,故选A.10.A依题意得,圆心(0,0)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0的距离等于圆的半径1,于是有=1,即(m+1)2+(n+1)2=4,设m+1=2cos θ,n+1=2sin θ,则m-n=(m+1)-(n+1)=2cos θ-2sin θ=2cos(θ+ ≤2,当且仅当cos(θ+)=1时取等号,因此m-n的最大值是2,故选A.11.D解法一因为圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径为2,所以圆心O到直线y=2x+1的距离d=-=,所以弦长|AB|=2-=2.在△AOB中,由余弦定理得cos∠AOB=-=-=-.解法二取AB的中点D,连接OD,则OD⊥AB,且∠AOB=2∠AOD,又圆心到直线的距离d=-=,即|OD|=,所以cos∠AOD==,故cos∠AOB=2cos2∠AOD-1=2()2-1=-.故选D.12.解法一由题意知圆的圆心为(2,2),半径为1.设M(x,y),则|MO|=,|MN|=---.由|MN|=|MO|,得4x+4y-7=0,即y=-x,所以|MN|=|MO|==-=-=-,当x=时,|MN|取得最小值=.解法二由题意知圆的圆心为(2,2),半径为1.设M(x,y),则|MO|=,|MN|=---.由|MN|=|MO|,得4x+4y-7=0,即点M的轨迹为4x+4y-7=0,则由题意知,要使|MN|取得最小值,即|MO|取得最小值,此时|MO|的最小值就是原点到直线4x+4y-7=0的距离,即=,故|MN|的最小值为.13.(1)由题意知,圆N的圆心为(1,0),半径为1.因为P(2,2),所以其中一条切线的方程为x=2.设另一条切线的斜率为k,则其方程为y-2=k(x-2),即y=kx+2-2k, 圆心(1,0)到切线的距离d==1,解得k=,此时切线的方程为y=x+.综上,切线的方程为x=2或y=x+.(2)设P(x0,y0)(x0>2),则=2x0,Q(0,a),R(0,b),则k PQ=-,所以直线PQ的方程为y=-x+a,即(y0-a)x-x0y+ax0=0.因为直线PQ与圆N相切,所以-=1,即(x0-2)a2+2y0a-x0=0.同理,由直线PR与圆N相切,得(x0-2)b2+2y0b-x0=0,所以a,b是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根,其判别式Δ=4+4x0(x0-2)=4>0,a+b=--,ab=--,则|QR|=|a-b|=-=-,S=|QR|x0=-=--=x0-2+-+4≥8当且仅当x0=4时,S min=8.。
人教新课标版数学高一-数学人教版必修二直线和圆的综合问题(2)
学科：数学专题：直线和圆的综合问题题1已知直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点，则实数m 的取值范围是____________．题2已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ．若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；题3过原点的直线与圆044222=+--+y x y x 相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．题4在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ．题5已知点P 是半径为5的⊙O 内的一个定点，且OP =3，则过点P 的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）．A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条题6圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)题7 从原点向圆x 2+y 2-12y +27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ．题8已知圆C ：（x -3）2+（y -4）2=4和直线l ：kx -y -4k +3=0．（1）求证：不论k 取什么值，直线和圆总相交；（2）求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．题9若直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），则（ ）．A ．422≤+b aB ． 422≥+b aC ．41122≤+b aD ．41122≥+b a题10若直线b x y -=与曲线212+-=y x ，有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为 ．题11如图，在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称（p ，q ）为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个．课后练习详解 题1答案：222<≤m ．详解：当直线y =x +m 与圆相切时，由题意可得2||2m =， ∴22=m 或22-=m (舍去），当直线y =x +m 过A （-2，0）时，m =2，此时y =x +2过（0，2）点结合图形可得，直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点时，222<≤m ．题2答案：(x －2)2＋y 2＝8．详解：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．题3答案：2x －y ＝0．详解：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－(22)2＝0， 即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0．题4答案：（-15，-5）∪（5，15）．详解：由已知可得：圆半径为2，圆心为（0，0）故圆心（0，0）到直线4x -3y +c =0的距离为5||c d =， 如图中的直线m 恰好与圆有3个公共点，此时d =OA =2-1，直线n 与圆恰好有1个公共点，此时d =OB =2+1=3，当直线介于m 、n 之间满足题意．故要使圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，只需d 大于1小于3，即35||1<<c ， 解得：-15＜c ＜-5，或5＜c ＜15故c 的取值范围是：（-15，-5）∪（5，15）．题5答案：C ．详解：如图，过P 作弦AB ⊥OP ，交⊙O 于A 、B ，连接OA ；Rt △OAP 中，OP =3，OA =5；根据勾股定理，得AP =4；∴AB =2AP =8；故过点P 的弦的长度都在8～10之间；因此弦长为8、9、10；当弦长为8、10时，过P 点的弦分别为弦AB 和过P 点的直径，分别有一条；当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；故弦长为整数的弦共有4条．故选C ．题6答案：A ．详解：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a ＞0，即a ＜2．由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b ＜4，所以选A ．题7答案：60°．详解：设原点为O ，圆心为P （0，6），半径是PA =3，切点为A 、B ，则OP =6， 在Rt △AOP 中，∠AOP=30°，所以则这两条切线的夹角的大小为60°．题8答案：（1）省略；（2）k =1，22．详解：（1）证明：由直线l 的方程可得y -3=k （x -4），则直线l 恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C 的方程，得（4-3）2+（3-4）2=2＜4，所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l 与圆C 总相交．（2）设圆心到直线l 的距离为d ，则d ==又设弦长为L ，则2222Lr d =+）（， 即222221)224-4(1)322111L k k k k k k +==-+=-≥+++(（）， ∴当k =1时，22L min 2=）（，∴22L min =， 所以圆被直线截得最短的弦长为22．题9答案：B ．详解：直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），∴a cos α+b sin α=2，∴a 2+b 2=(a 2+b 2)(cos 2α+sin 2α)≥(a cos α+b sin α)2=4，（当且仅当cos sin a b αα=时等号成立）故选B ．题10 答案：)223[+，． 详解：因为曲线212+-=y x ，所以（x -2）2+y 2=1（x ≥2），表示圆心为（2，0），半径为1的右半圆．圆心（2，0），到直线x -y -b =0的距离为12|2|=-=b d 解得22+=b 或2-2=b （舍去），当直线y =x -b 过点B （2，-1）时，直线与圆有两个交点，此时b =3． 所以要使直线y =x -b 与曲线212+-=y x 有两个不同的公共点， 所以223+<≤b ，即实数b 的取值范围为)223[+，． 故答案为：)223[+，．题11 答案：4．详解：到l 1的距离是1的点，在与l 1平行且与l 1的距离是1的两条直线上； 到l 2的距离是1的点，在与l 2平行且与l 2的距离是1的两条直线上； 以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个． 故答案为：4．。
专题2.6 《第二章 直线和圆的方程》(B)(解析版).
专题2.6《第二章直线和圆的方程》(B ）第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·全国·高二课时练习）设P 为x 轴上的一点，(2,1),(7,5)A B -，若直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍，则点P 的坐标为（）A ．(10)-，B ．()3,0-C ．(20)，D ．(4,0)2．（2022·全国·高二课时练习）已知实数x ，y 满足，那么的最小值为（）A ．5B ．10C ．D ．12:10l x ay --=平行”是“1a =±”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】求出两直线平行时a 的值，再根据充分必要条件的定义判断．【详解】由题意12l l //，则2(1)0a ---=，1a =±，因此题中应为充分必要条件．故选：C ．4．（2022·全国·高二课时练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦5．（2022·全国·高二课时练习）与圆对称的圆的方程为22430x y x +-+=，则a 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】先利用两个圆的一般方程得到各自的圆心，通过题意可得两个圆心关于直线10x y --=对称，即可得到答案【详解】解：由222x y ax y +--+6．（2022·全国·高二课时练习）已知圆:140C x y m m ++-=>和两点，，若圆C 上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围是（）A ．[8，64]B ．[9，64]C ．[8，49]D ．[9，49]垂直的直线上，则圆C ：(()2214x y -++=上的点到点(),M m n 的轨迹的距离的最大值为（）A ．1B ．2C ．5D ．8．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:2C x y +=，圆22:4C x y -+=．若过点()0,2-的直线l 与圆1C 、2C 都有公共点，则直线斜率的取值范围是（）A ．⎡-⎣B ．⎡⎣C ．[]1,0⎡-⎣D ．⎡⎣二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线()2:110l a a x y ++-+=，其中a R ∈，下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 过定点（0，1）D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【分析】A 选项，根据斜率乘积为-1得到A 正确；B 选项，根据两直线平行得到方程，求出0a =或1a =-，所以B 错误；C 选项，根据直线特点求出所过的定点；D 选项，求出0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距，得到答案.【详解】对于A ，当1a =-时，直线l 的方程为10x y -+=，斜率为1，直线0x y +=的斜率为-1，因为()111⨯-=-，所以两直线垂直，所以A 正确；对于B ，若直线l 与直线0x y -=平行，则()()()21111a a ++⋅-=⨯-，解得：0a =或1a =-，所以B 不正确；对于C ，当0x =时，1y =，所以直线过定点（0，1），所以C 正确；对于D ，当0a =时，直线l 的方程为10x y -+=，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1，1，所以D 不正确．故选：AC ．10．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆()()22:431C x y -+-=和两点()0,A a -，()()0,0B a a >，若圆C 上有且只有一点P ，使得90APB ∠=︒，则a 的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．7点，过A B ，分别作l 的垂线与x 轴交于C D ，两点．若AB =则下列说法正确的是（）A ．直线l 一定过定点(-B ．m 的值为C ．直线l 的斜率为3D ．||CD 的值为4所以四边形ABEC 为矩形，直线l 的倾斜角3470l x y --=：，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 相交B ．PQ 的最小值是1C ．若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D ．从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是4D 错误，故选：BC第II 卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 经过点()3,7P ，倾斜角为α，且3cos 5α=-，则直线l 的点斜式方程为______．的距离为1，则实数c 的取值范围是______．15．（2022·全国·高二课时练习）已知圆1:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为______．交于A ，B 两点，点(,)P a b 在直线2y x =上，且PA PB =，则a 的取值范围为_____步骤.17．（2022·全国·高二课时练习）已知点()1,2A -，()1,4B -，求：(1)过点,A B 且周长最小的圆的标准方程；(2)过点,A B 且圆心在直线240x y --=上的圆的标准方程．【答案】(1)()22110x y +-=，AB为过点P且倾斜角为α的弦．α=︒时，求弦AB的长；(1)当135(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；(3)求过点P的弦的中点的轨迹．19．（2022·全国·高二课时练习）已知圆:1225C x y -+-=及直线()()():21174R l m x m y m m +++=+∈．(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．1，圆心在经过点与点(23)--，的直线l 上．(1)求圆1C 的方程；(2)若圆1C 与圆222:6350C x y x y +--+=相交于M ，N 两点，求两圆的公共弦长．上且过点2,2A 的圆13450x y -+=相切，其半径小于5,若圆2C 与圆1C 关于直线0x y -=对称．(1)求圆2C 的方程；(2)过直线26y x =-上一点P 作圆2C 的切线,PC PD ，切点为,C D ，当四边形2PCC D 面积最小时，求直线CD 的方程．()()221:434C x y -+-=上运动．(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；(2)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求QA QC +的最小值．。
直线与圆知识点及经典例题(含答案)
圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。
说 明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？ 将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()222D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆 心，以2242D E F+-为半径的圆。
,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零； （2）没有xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切;当d<r 时，直线与圆相交。
数学本讲测评：第二讲直线与圆的位置关系2
本讲知识结构本讲测试1如图2—1，AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点,CD⊥AB 于D ，若BC=3，AC=4,则AD∶CD∶BD 等于（ )图2-1A.4∶6∶3 B 。
6∶4∶3 C.4∶4∶3 D 。
16∶12∶9思路解析:由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根据射影定理就有AC 2=AD·AB，于是AD=516。
同理，BD=59，CD=512，据此即得三条线段的比值。
答案:D2如图2-2,在半圆O 中，AB 为直径,CD⊥AB，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，则图中相似三角形一共有( )图2-2A.3对 B 。
4对 C.5对 D 。
6对思路解析:由题设，△ABC 是直角三角形,CD⊥AB ，可知△ACD∽△ABC∽△CBD，这就是3对。
又AF 平分∠CAB，所以有△CAF∽△DAE，△CAE∽△BAF，这样一共有5对三角形相似。
答案:C3如图2—3，在⊙O 中,AB 为直径,AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，且AD=DC,则sin∠ACO 等于（ ） A.1010B 。
102 C 。
55 D 。
42图2-3思路解析：连结BD 、DO,过O 作OE⊥AC 于E,由AB 为直径,有BD⊥AC,由△ABC 是直角三角形，AD=CD,得△ABC 是等腰直角三角形，然后设AE=x,用x 表示出CE ，进一步表示出OC,利用三角函数定义即可得到所求的值.答案:A4如图2—4是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成，若内外两条跑道的终点在同一直线上，则外跑道的起点必须前移才能使两跑道有相同的长度。
如果跑道每道宽为1.22米，则外跑道的起点应前移___________米（π取3.14,结果精确到0。
01米）。
图2-4思路解析:计算出内外跑道的长度差即可. 答案：3.835如图2-5，已知△ABC 中，∠ABC 的平分线交AC 于F ，交△ABC 的外接圆于E,ED 切圆于E ，交BC 的延长线于D 。
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第二讲 直线与圆真题集【期中期末真题】1.(2013-2014武汉四中期中联考)圆心为)3,21(-C 的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，且满足O P →⋅O Q →＝0，则圆C 的方程为( C )．A.21()2x +＋(y －3)2＝52 B. 21()2x +＋(y －3)2＝252C.21()2x +＋(y －3)2＝254 D.21()2x +＋(y －3)2＝542.(2013-2014武汉四中期中联考)设a, b 是方程2sin cos 10x x θθ⋅+⋅-=的两个不等实根，那么过点A （a , a 2）和B （b , b 2）的直线与圆x 2+y 2=1的位置关系是（ B ）A.相离B.相切C.相交D.随θ的值而变化3.(2014-2015武汉中学期中联考)设点P 是函数2)1(4---=x y 图象上的任意一点，点)3,2(-a a Q (R ∈a )，则||PQ 的最小值为( A )A.52- B.5 C.8525- D.7525-4.(2014-2015武汉市重点中学期末调研)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是（ B ）A ．4B ．5C ．6D ．85.(2014-2015武汉二中期中联考)直线l ：x+y ﹣4=0与圆C ：x 2+y 2=4的位置关系是（ ） A ． 相交过圆心 B ． 相交不过圆心 C ． 相切 D ．相离解答：由于圆心（0，0）到直线l ：x+y ﹣4=0的距离为d==2=r （半径），故直线和圆相切，故选：C ．点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．6.(2014-2015武汉二中期中联考)已知圆C 1：（x ﹣a ）2+（y+2）2=4与 圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1相外切，则ab 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．2解答：圆C 1：（x ﹣a ）2+（y+2）2=4的圆心为C 1（a ，﹣2），半径r 1=2． 圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1的圆心为C 2（﹣b ，﹣2），半径r 2=1．∵圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．由基本不等式，得ab≤=．故选：C．点评：本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．7.(2014-2015武汉二中期中联考)过点P（3，4）在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条？（）A．4B．5C．6D．7考点：直线的截距式方程．分析：当直线经过原点时满足条件，直线方程为：．当直线不经过原点时，设直线方程为，把点P（3，4）代入可得：，对a，b取非负整数即可得出．解答：解：当直线经过原点时满足条件，直线方程为：．当直线不经过原点时，设直线方程为，把点P（3，4）代入可得：，满足条件的a，b有（6，8），（4，16），（5，10）（9，6），（15，5），（7，7）．综上可得：满足条件的直线共有7条．故选：D．点评：本题考查了直线的截距式、整数的性质，考查了推理能力，属于基础题．8.(2014-2015武汉二中期中联考)已知x，y∈（0，1），则的最小值为2．考点：两点间距离公式的应用．专题：直线与圆．分析：表示：以（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的正方形内部动点（x，y）到四个顶点距离的和，根据两点之间距离线段最短，可得当（x，y）为正方形对角线的交点时，取最小值．解答：解：∵x，y∈（0，1），∴表示：以（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的正方形内部动点（x ，y ）到四个顶点距离的和，根据两点之间距离线段最短，可得当（x ，y ）为正方形对角线的交点，即x=y=时，的最小值为2，故答案为：2点评：本题考查的知识点是两点之间距离公式，其中正确理解表示：以（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的正方形内部动点（x ，y ）到四个顶点距离的和，是解答的关键．9.(2014-2015武汉二中期中联考)已知点P （x ，y ）满足（x ﹣cosα）2+（y ﹣sinα）2=1，α∈（0，2π]，由P 点组成的图形的面积为4π．考点： 圆的标准方程．分析： 动点构成的图形是一个以原点为圆心半径为1的一个圆，那么P 表示的含义其实就是距离圆上的点距离为1的一群点，就可以看做是以原点为圆心半径为1+1=2的一个圆点，由此能求出结果．解答： 解：∵点P （x ，y ）满足（x ﹣cosα）2+（y ﹣sinα）2=1，α∈（0，2π]， ∴动点构成的图形是一个以原点为圆心半径为1的一个圆， 那么P 表示的含义其实就是距离圆上的点距离为1的一群点， 就可以看做是以原点为圆心半径为1+1=2的一个圆点， ∴由P 点组成的图形的面积为：π×（1+1）2=4π． 故答案为：4π．点评： 本题考查图形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．10.(2014-2015武汉市重点中学期末调研)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是 －4 ．11.(2014-2015武汉市重点中学期末调研)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（Ⅰ）求AD 边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD 外接圆的方程；DT NOABCMxy解：（Ⅰ）∵AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为3-，又∵点(11)T -，在直线AD 上， ∴AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=．（Ⅱ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，求得A (02)-，，∵矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，， ∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心， 又22(20)(02)22AM =-++=，∴矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．12.(2014-2015武汉市重点中学期末调研)如图，已知圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，半径为1，点A (0，3)．（Ⅰ）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：（Ⅰ）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1．得C (3，2)，显然切线的斜率一定存在．设过A 点的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0，或k ＝－34．故所求切线方程为y ＝3，或y ＝－34x ＋3，即y ＝3，或3x ＋4y －12＝0．（Ⅱ）∵圆C 的圆心在直线y ＝2x －4上，∴圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1．设M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，得x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简，得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， ∴点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，∴圆C 和圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，∴1≤(a －0) 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤3，即1≤5a 2－12a ＋9≤3． 由5a 2－12a ＋8≥0，得x ∈R ；TNMDCBAoyx由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125．13.(2014-2015武汉中学期中联考)已知曲线C ：22240x y x y m +--+=，O 为坐标原点 （Ⅰ）当m 为何值时，曲线C 表示圆；（Ⅱ）若曲线C 与直线 230x y +-=交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．解：（Ⅰ）由题意可知： 22224(2)(4)42040D E F m m +-=-+--=-> 5m ∴< （Ⅱ ）设11(,y )M x ，22(,y )N x ，由题意OM ⊥ON ，则0OM ON ⋅=，即12120y y x x += (1)联立直线方程和圆的方程：22240203x y x y m x y ⎧+--+=+-=⎨⎩消去x 得到关于y 的一元二次方程：251230y y m -++=直线与圆有两个交点，22412450b ac m ∴∆=-=-⨯⨯>，即36213,55m m +<< 又由（Ⅰ）5m <， 215m ∴<由韦达定理：1212123,55m y y y y ++== ……………（2） 又点11(,y )M x ，22(,y )N x 在直线230x y +-=上，112232,32x y x y ∴=-=- 代入（1）式得：1212(320)(32y )y y y -+=-，12126()950y y y y -++= 将（2）式代入上式得到：1235690m +⨯-+=, 122155m <=125m ∴=14.(2014-2015武汉中学期中联考)已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB 的长为23，D 是AB 的中点． （Ⅰ）求动点D 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ， ① 当|PQ |＝3时，求直线l 的方程；② 试问在x 轴上是否存在点E (m,0)，使PE ·QE恒为定值？若存在，求出E 点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设D (x ，y )，A (a ，a )，B (b ，－b ),∵ D 是AB 的中点， ∴x ＝2a b +，y ＝2a b-， ∵ |AB |＝23，∴(a －b )2＋(a ＋b )2＝12，∴(2y )2＋(2x )2＝12，∴点D 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝3.（Ⅱ）①当直线l 与x 轴垂直时，P (1，2)，Q (1，－2)，此时|PQ |＝22，不符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由于|PQ |＝3，所以圆心C 到直线l 的距离为32，由2||1k k -+＝32，解得k ＝3±.故直线l 的方程为y ＝3±(x －1).②当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)， 由消去y 得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－3＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则由韦达定理得x 1＋x 2＝2221k k +，x 1x 2＝2231k k -+，则PE＝(m －x 1，－y 1)，QE ＝(m －x 2，－y 2)，∴PE ·QE ＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－2221mk k +＋2231k k -+＋k 2 (2231k k -+－2221k k +＋1)＝2222(21)31m m k m k --+-+ 要使上式为定值须22213m m m ---＝1，解得m ＝1，∴PE ·QE 为定值－2， 当直线l 的斜率不存在时P (1，2)，Q (1，－2)， 由E (1，0)可得PE＝(0，－2)，QE ＝(0，2)， ∴PE ·QE＝－2，综上所述当E (1，0)时，PE ·QE为定值－215.(2014-2015武汉二中期中联考)已知圆C ：x 2+y 2﹣2x+4y ﹣4=0． （1）写出圆C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；（2）是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且OA ⊥OB （O 为坐标原点）．若存在，求出直线m 的方程； 若不存在，说明理由．考点： 直线和圆的方程的应用；圆的一般方程．分析： （1）由已知能求出圆的标准方程，圆心坐标（1，﹣2）和半径．（2）假设直线m ：y=x+b ，代入圆的方程得：2x 2+2（b+1）x+b 2+4b ﹣4=0，因为直线与圆相交，从而b 2+6b ﹣11＜0，由此能求出直线方程． 解答：（1）圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y+2）2=9， 圆心坐标（1，﹣2），半径为3…（3分） （2）假设直线m ：y=x+b ，代入圆的方程得：2x 2+2（b+1）x+b 2+4b ﹣4=0， 因为直线与圆相交， 所以b 2+6b ﹣11＜0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），，…（4分）由OA ，OB 垂直，得：，∴（x 1+b ）（x 2+b ）+x 1x 2=0， ∴，∴b 2+3b ﹣4=0，解得b=﹣4，或b=1， 均满足b 2+6b ﹣11＜0，所求直线存在y=x ﹣4或y=x+1． 点评： 本题考查圆的标准方程、圆心坐标和半径的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．16.(2013-2014武汉四中期中联考)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q(1,0)，求切线QA ，QB 的方程． (2)求四边形QAMB 面积的最小值．(3)若|AB|＝423，求直线MQ 的方程．解(1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3. ∴四边形QAMB 面积的最小值为 3(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13.在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3. ∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.17.(2013-2014武汉四中期中联考)已知：以点C (t , 2t )(t ∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x 轴交于点O , A ，与y 轴交于点O , B ，其中O 为原点． （Ⅰ）当t=2时，求圆C 的方程； （Ⅱ）求证：△OAB 的面积为定值；（Ⅲ）设直线y =－2x +4与圆C 交于点M , N ，若ON OM =，求圆C 的方程． 解：（Ⅰ）圆C 的方程是 22(2)(1)5x y -+-= （Ⅱ）OC 过原点圆 ，2224t t OC +=∴．设圆C 的方程是22224)2()(tt t y t x +=-+-令0=x ，得ty y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021==4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即：OAB ∆的面积为定值．（Ⅲ）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=．t t 212=∴，解得：22-==t t 或 当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离551<=d ， 圆C 与直线y=－2x+4相交于两点。