几种非公平赛制的概率解析

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乒乓球赛制的概率分析

0. 5000 0. 5842 0. 6646 0. 7382 0. 8025 0. 8562 0. 8991 0. 9319 0. 9558 0. 9724 0. 9835 0. 9905 0. 9948 0. 9973 0. 9986 0. 9993 0. 9997 0. 9999 0. 9999 1. 0000 1. 0000
0. 0000 0. 0136 0. 0251 0. 0329 0. 0364 0. 0358 0. 0321 0. 0265 0. 0204 0. 0147 0. 0099 0. 0062 0. 0037 0. 0021 0. 0011 0. 0006 0. 0003 0. 0001 0. 0000 0. 0000 0. 0000
p L ( p)
0. 71 0. 72 0. 73 0. 74 0. 75 0. 76 0. 77 0. 78 0. 79 0. 80 0. 81 0. 82 0. 83 0. 84 0. 85 0. 86 0. 87 0. 88 0. 89 0. 90
0. 9832 0. 9873 0. 9906 0. 9931 0. 9951 0. 9965 0. 9976 0. 9984 0. 9989 0. 9993 0. 9996 0. 9997 0. 9999 0. 9999 1. 0000 1. 0000 1. 0000 1. 0000 1. 0000 1. 0000
优秀运动员胜率的降低是一种定性的感觉 ,我们自然要问 :到底降低了多少 ? 能否给出定量的回答。
本文对于运动员的胜率的降低进行了定量的分析。需要指出的是 ,我们只是从纯技术的角度进行分析 ,假定运动员能正常发挥其水平 ,不考虑运动员的心理因素。胜率就是取胜的概率 (也叫机率 ) ,也就是取胜的把握有多大。我们先把研究结果表述出来 ,然后介绍计算公式及其推导过程。后一部分涉及数学知识中的概率论 ,不关心推导过程的读者可以略去不看。

赛制中的机率问题

3 籃球篇-美國NBA
NBA的季後賽為七戰四勝由八隊作單淘汰賽制的比賽，其勝負關係是否與例行賽中的勝率有極緊密的關係？又是否可由例行賽中的戰績來推論季後賽時的勝負關係？

3 籃球篇-美國NBA
以機率的觀點來看，設A隊在例行賽時的勝率為a，B隊在例行賽時的勝率為b，則當此二隊相遇時： A隊的勝率為a /（ a ＋ b ） B隊的勝率為b /（ a ＋ b ）。
6 幾個有趣的機率問題
一個死囚的故事
一個犯人被判了死刑。仁慈的國王決定給他一個可以免死的機會：給他50 個白球，50個黑球，命令他將這100 個球任意地放入二個不透明的容器內。然後從其中一個容器抽出一球，若為白球即可免死。他應該如何將這100個球放進這二個容器內，可以提高免死的機率？
?W ?B

i 1
6 幾個有趣的機率問題
6 幾個有趣的機率問題
Simpson’s Paradox
Player A Player B
Season
1 2 Totals 500 300 800
Hits
126 90 216
Average
0.252 0.300 0.270 300 500 800
Hits
75 145 220
Average
0.250 0.290 0.275
6 幾個有趣的機率問題
下棋順序的策略
小安是個愛好象棋的中學生，他請求父親送他一套新出版的象棋譜。父親：『好，但是有條件，我和你母親輪流與你比賽三局，若你能連勝二局，我便答應你的要求』。
6 幾個有趣親是象棋好手，但母親的棋術並不高明，他應選擇選擇哪一種下棋順序，對他比較有利？ (1)父－母－父 (2)母－父－母

_三局两胜五局三胜_制公平吗

( 1)
2
= p ( 1 + 2 q)
般地 , 规定 2 n + 1 局比赛先胜 n + 1 局为优胜者 , 则随着 n 的增大 , 水平较高的参赛者获胜的可能性逐步增大 .
( 收稿日期 :2001 - 05 - 26)
如果采用五局三胜制 , 且一方获胜后比赛即结束 , 则甲在下列三种情况下获胜 :
B3 — — — 3∶ 2 ( 前四局中甲、乙各胜二局 ,
n+1 + ( C2n n++11 + C2n n++21 + …+ C2 2 n + 1) ]
1 ( ) 2n+1 ・ 2 1 2n+1 1 2n+1 1 ( ) = ・ 2 ・ = . 2 2 2 故比赛 2 n + 1 局先胜 n + 1 局为优胜
3 2 4 4 1 = C3 5 p ( 1 - p ) + C5 p ( 1 - p ) 5 0 + C5 5 P ( 1 - p)
= C3 5(
1 5 1 5 1 5 ) + C4 ) + C5 ) . 5( 5( 2 2 2
- k 由组合数的性质知 , C5k = C5 , 所以 5
“负” 的发生是等可能的 . 先考察 “三局两胜” 制是否公平 ? 将一局比赛看作一次试验 , 那么三局比赛便可看成作三次独立重复试验 . 用事件 A 表示一局比赛中甲获胜 , 显然 P ( A ) =
C3 5(
们来考察三次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 以决定甲获胜的概率 . 按 “三局两胜” 制 , 在三次独立重复试验中 , 甲获胜当且仅当事件 A 至少发生两次 . 故 P ( 甲获胜)

2023年高考数学复习----《与体育比赛规则有关的概率问题》规律方法与典型例题讲解

2023年高考数学复习----《与体育比赛规则有关的概率问题》规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用．2、与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏”．3、在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小．4、有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布．【典型例题】例1、（2022春·湖北十堰·高三校联考阶段练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A 部、B 部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A 部、B 部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为()01p p <<，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．（1）记第一天需要进行的比赛局数为X ，求()E X ，并求当()E X 取最大值时p 的值；（2）当12p =时，记一共进行的比赛局数为Y ，求()5P Y ≤．【解析】（1）X 可能取值为2，3．()()22221221P X p p p p ==+−=−+；()()232122P X p p p p ==−=−+．故()()()2222221322222E X p p p p p p =−++−+=−++，即()215222E X p ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭，则当12p =时，()E X 取得最大值．（2）当12p =时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为111224⨯=；比分为2∶1或1∶2的概率均为111122224⨯⨯⨯=． ()5P Y ≤，则4Y =或5Y =．4Y =即获胜方两天均为2∶0获胜，不妨设A 部胜，概率为1114416⨯=，同理B 部胜，概率为1114416⨯=，故()1864112P Y ==⨯=； 5Y =即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，不妨设最终A 部获胜，当前两天的比分为2∶0和2∶1时，先从两天中选出一天，比赛比分为2∶1，三场比赛前两场，A 部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，故概率为11228C 4C 11112212⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⋅⨯⎭，当前两天比分为2∶0和0∶2，附加赛A 获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，概率为121111C 44216⨯⨯⨯=，故最终A 部获胜的概率为11381616+=，同理B 部胜，概率为316，故()3865132P Y ==⨯=．所以()()()131545882P Y P Y P Y ≤==+==+=．例2、（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是34，乙每轮投中的概率是23；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；（2）①设“虎队”两轮得分之和为X ，求X 的分布列；②设“虎队”n 轮得分之和为n X ，求n X 的期望值．（参考公式()E X Y EX EY +=+）【解析】（1）设甲、乙在第n 轮投中分别记作事件n A ，n B ，“虎队”至少投中3个记作事件C ，则()()()()()()12121212121212121212P C P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B =++++ 2222112233232232C 1C 144343343⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11126443++=．（2）①“虎队”两轮得分之和X 的可能取值为：0，1，2，3，4，6，则()2232101143144P X ⎛⎫⎛⎫==−⋅−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2233232210121111443433144P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⋅−⋅−+−⋅⋅−=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()3232323232322111111434343434343P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅−⋅⋅−+⋅−⋅−⋅+−⋅⋅⋅− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭323225114343144⎛⎫⎛⎫+−⋅⋅−⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()32321232114343144P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⋅⋅−⋅−= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()22332223604211443334144P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⋅−⋅+⋅−⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()223236643144P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故X 的分布列如下图所示：②10,1,3X =，()13210114312P X ⎛⎫⎛⎫==−⋅−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()132325111434312P X ⎛⎫⎛⎫==⋅−+−⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()132634312P X ==⋅=，∴1562313121212EX =⨯+⨯=，12312n EX n EX n =⋅=．例3、（2022·陕西西安·长安一中校考模拟预测）某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”．小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为12,p p ．（1）若123p =，212p =，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；（2）若1243p p +=则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时12,p p 的值．【解析】（1）由题可知，所以可能的情况有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投中1次；③小明投中2次，小亮投中2次．故所求概率12212222222221112211221143322332233229P C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为()()()()()()()()()222222122122211222122221221212121123P C p p C p C p C p p C p C p p p p p p p =−+−+=+−因为1243p p +=，所以()()221212833P p p p p =− 因为101p ≤≤，201p ≤≤，1243p p +=，所以1113p ≤≤，2113p ≤≤，又21212429p p p p +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ 所以121499p p <≤，令12t p p =，以1499t <≤，则28()33P h t t t ==−+当49t =时，max 1627P =，他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足~(,)B n p ξ 由max ()16np =，则27n =，所以理论上至少要进行27轮游戏．此时1243p p +=，1249p p =，2123p p ==。

排球赛制的概率分析

１３ ∞
Ｃｐ＝（） ∑ （ｌ＋∑ＰＡ＋）（）ＰＡ＝＾Ａ＋Ｐ），（２＝
１１５分制和２５分制下取胜一局的概率比较
假设甲、乙两个球队进行排球比赛，每打一球甲队获胜的概率为Ｐ乙队获胜的概率为１（ ≤ｐ），一ｐＯ ≤１。
Ｇｐｐ（）＝
ｃ ‘＋ｃｇ ¨ ｌ
。
ｉ
（）１
同理，５分制下甲赢得一局的概率为２
维普资讯
第５期
潘
伟，：等排球赛制的概率分析
１７
由比较表１以看出，（）＜Ｇ’Ｐ，Ｐ接近０５或大于０８可Ｃｐ（）当．．２时两者差距不明显，Ｐ＝．８时差距当Ｏ５最大。这说明当两个球队水平相当或者差距较大时每局得分制的改变对胜负影响不大，当甲队水平略占但
Ａ＝Ａ１ＵＡ２Ｕ … … ＵＡｎ。
从而Ｐ（Ａ）：Ａ）＋ｎ）＋… ＋Ｐ（ｎ。Ｐ（１Ｐ（２Ａ）
当１＝１０ ≤１），７５＋（ ≤ ３时，
Ａｎ＝｛１前４＋ｉ个球中乙获胜次，１＋１球甲胜｝第４＋个。假设每个球的胜负之间相互独立，么由独立试验序列的概率公式］有那，Ｐ（ｎＡ）＝Ｇｑ（ ‘ｎ＝１。３＋）
第２＋２一１球和第２８ｍ个８＋２ｍ个球均为甲胜｝。
所以
ｍ一１
ＰＡ）Ｐ前２个球甲乙各胜１球｝ｐ第２２一１（ｎ：｛８４ × （８＋ｉ个球和第２＋８２个球甲乙各胜一球）Ｐ ×

公平不公平概率来评评(数学人教版九年级上册)

公平不公平概率来评评在解决等可能事件的概率计算问题时，常常与“游戏公平与否”不期而遇.其实，这类问题实质上就是分别求两者在等可能事件中的概率，再进行比较大小.例1 如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为；（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A 为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．解析：（1）1 4（2）这个游戏规则不公平．理由：画树状图如图所示：由树状图知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果有5种，所以P（甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A）＝5 16.因为14＜516，所以这个游戏规则不公平．例2小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确保游戏的公平性．解析：（1）用表格表示所有可能出现的结果如下：由表格知，总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中“差的绝对值”为0，1，2的结果有24种，“差的绝对值”为3，4，5的结果有12种，所以，P（小伟胜）=2436=23，P（小梅胜）=1236=13.（2）因为23≠13，所以上述游戏不公平.根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，可将游戏规则修改为：两次掷的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜. （答案不唯一）。

盘点全国卷概率计算的五大“赛制”

盘点全国卷概率计算的五大“赛制”
对于复杂概率计算，它依赖于加法或者乘法公式，题目灵活，过程可能很繁杂，具有一定的难度，例如2020年全国1卷19题等. 本文梳理了全国卷概率计算中的一些常见赛制，它们分别是：
1.n局m胜制：这种规则的特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m胜.
2.连胜制：规定某方连m胜场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m场连胜且之前没有达到m场连胜.
3.比分差距制：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m.
4.淘汰赛制：在比赛的过程中，如果在某一场失败，则被淘汰，此类问题要注意若达到第m阶段，则意味着前m-1个阶段均能通关.这种类似于足球比赛中的淘汰赛.
5.联赛制：一共有m局比赛，每位选手都参加m局比赛，每局比赛相互独立，最终计算全部比赛的得分分布列，这种就类似与足球比赛中的联赛制，必须要打满一定的场次. 下面进入正文分析.。

违法赌博中的逻辑推理和概率问题解析

违法赌博中的逻辑推理和概率问题解析一、数学与赌博（一）概率论的起源概率论起源于1494年，意大利数学家帕西奥尼出版了一本有关算术技术的书：在一场赌博中，某一方先胜6局可算赢家。

当甲方胜了4局，乙方胜了3局的情况下，因意外情况赌局被中断，无法继续，此时，赌金应该如何分配？若赌局继续，最多进行四轮便可决出胜负，四轮赌局共有16种排列顺序：其中甲方获胜2局及以上时，甲方获胜，共有11种情况符合该条件；若乙方获胜3局及以上，则乙方获胜，共有5种情况符合该条件。

因此，赌金应当按11：5比例分配。

赌金分配问题在当时引起了多数数学家的重视及激烈讨论，以至于百年后概率仍是当代学者所研究的问题。

16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）开始研究掷骰子等赌博问题，其发表的《论赌博游戏》一书被认为是第一部概率论著作，他也被公认的概率论的先驱之一。

17世纪中叶，法国贵族德·梅耳，德·梅耳通过掷一颗及两颗骰子时发现，骰子点数均为6点的情况出现概率不同，该问题被后人称为德·梅耳问题。

可以看出，概率与统计的概念和方法，早期主要源于赌博输1/ 7赢的计算。

在赌博中我们可以发现赌局所出现的情况为古典概型。

例如当我们在玩扑克牌时，每种花色以及点数出现的概率均相等，且实验次数有限，我们可把这种情况看做古典概型，可以通过排列组合公式或列表等方法来探讨多种情况出现方式。

与依靠运氣、直觉等方式相比，以数学理论为基础来研究赌博问题，可有效的降低损失率，在深不可测的赌局中赢得丰厚的奖金。

例如在20XX 年，澳大利亚19名数学家组成了一个名为“庞特俱乐部”的“高智商”赌博集团，通过概率等数学知识在短短3年时间里，总计赢取了超过24亿澳元。

二、大话骰子（一）游戏简介大话骰子是朋友、酒吧娱乐时，被人们熟知和喜爱的一种小型赌博方式。

参与者可以酒水和金钱为赌注，通过比较骰子大小决定输赢。

例析“游戏公平性”问题

例析“游戏公平性”问题判定游戏是否公平是概率问题中最常见的应用形式之一，也是近几年来中考命题的热点之一，游戏是否公平取决于参加游戏的各方获胜的概率是否相等．因此，解决这类问题常常需要将事件划分为几个相关的事件，然后分别计算它们发生的概率，再通过比较概率的大小作出公平与否的判定．对于不公平的游戏，可通过计算所得到的概率的大小进行合理的更改，以使双方的概率值相等，从而保证游戏双方的公平．下面举例说明：一、通过计算游戏双方获胜的理论概率判断公平性例1 （2009年山西太原）某中学九年级有8个班，要从中选出两个班代表学校参加社区公益活动．各班都想参加，但由于特定原因，一班必须参加，另外从二至八班中再选一个班．有人提议用如下的方法：在同一个品牌的四个乒乓球上分别标上数字1，2，3，4，并放入一个不透明的袋中，摇匀后从中随机摸出两个乒乓球，两个球上的数字和是几就选几班，你认为这种方法公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．解析：这种方法不公平．一次摸球可能出现的结果列表如下：由上图可知，一次摸球出现的结果共有16种可能的情况，且每种情况出现的可能性相同．其中和为2的一种，和为3的两种，和为4的三种，和为5的四种，和为6的三种，和为7的两种，和为8的一种．P（和为2）=P（和为8）=116，P（和为3）=P（和为7）=21168=，P（和为4）=P（和为6）=316，P（和为5）=41164=．所以1311 416816 >>>．因为二班至八班各班被选中的概率不全相等，所以这种方法不公平．二、通过计算游戏双方的理论得分判断游戏公平性例2 （2009年辽宁抚顺改编）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A、B，每个转盘倍分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲得1分；数字之和为2时，乙得1分（如果指针恰好指在分割线上，那么重转依次，直到指针指向某一区域为止）．1 2 3 4（1）用树状图或列表法分别求出甲、乙获胜的概率；（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请修改规则，使游戏对双方公平．解析：（1）所有可能的情况如下：共有12种等可能情况，其中数字之和为1的结果有3次，数字之和为2的结果有2次．所以P （甲获胜）=163，P （乙获胜）=81162=．（2）因为甲得分为1631163=⨯，乙得分为81181=⨯，又81163>，所以游戏不公平．修改游戏规则：若指针所指区域的数字之和为1时，甲得2分；数字之和为2时，乙得3分．（注：答案不惟一，合理地修改规则均可）．。

高考数学中体育竞赛类概率问题解析

数学有数高考数学中体育竞赛类概率问题解析■广东省佛山市顺德区乐从中学吴志峰概率问题是高考的热点问题，体育竞赛类概率问题以其贴近生活、灵活多变的特点深受命题者的喜爱，喜欢和熟悉该类体育运动同学们可能会觉得很亲切，解题的时候自然得心应手，但是对一些不熟悉体育运动的考生来说就有一些吃亏了.本文通过高考中的体育竞赛类概率问题进行解析，帮助同学们了解试题背景，归纳数学模型，快速寻找解决问题的办法.模型一、比赛赛制问题例1.（2019年高考全国Ⅰ卷理数第15题）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则_____．解析：甲队以4∶1获胜，说明进行了5场比赛，在前四场中甲获胜了3场，输了1场，且在第5场比赛中获得了胜利.记“第i场比赛甲获胜”为事件A i，记“第i场比赛甲输”为事件A i，则甲队以4∶1获胜包括：A1A2A3A4A5，A1A2A3A4 A5，A1A2A3A4A5，A1A2A3A4A5，因为各场比赛结果相互独立，所以甲队以4∶1获胜的概率是：P=［（1-0.6）×0.6×（1-0.5）×0.5×2+0.6×0.6×（1-0.5）×0.5×2］×0.6=0.18.点评：本题以篮球比赛中的七场四胜制为背景考查概率的加法、乘法公式的应用，考查考生的数据处理能力和分析与解决实际问题的能力.题目来源于人教版普通高中课程标准实验教科书第二章第二节二项分布及其应用的课后B组习题的改编.解题的关键在于理清比赛赛制规则，列出事件“甲队以4∶1获胜”的所有情况，再结合概率的加法公式和乘法公式进行求解.篮球比赛中的七局四胜制是指比赛双方当一方赢得四场胜利时，该队获胜，比赛结束.并不是一定要打满7场，在七局四胜制中比赛的局数可能是四局、五局、六局、七局四种情况.变式练习1：甲、乙两选手比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为p（1<p<1），乙获胜的概率为q（q=1-p）.（1）如果比赛采用七局四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列.（2）如果比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由.解析：（1）比赛的局数为X的所有可能取值为4、5、6、7.P（X=4）=p4+q4；P（X=5）=C14p4q+C14pq4；P（X=6）=C25p4q2+C25p2q4；P（X=7）=C36p3q3.所以X的分布列为：X4567P p4+q4C14p4q+C14pq4C25p4q2+C25p2q4C36p3q3（2）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率f（p）=p2+C12p2（1-p）=p2（3-2p），采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率g（p）=p3+C13p3（1-p）+C24p3（1-p）2=p3（6p2-15p+10）.令f（p）=g（p）得p2（3-2p）=p3（6p2-15p+10），即2p3-5p2+4p-1=0，即（p-1）2（2p-1）=0，所以p=12.令f（p）>g（p）得0<p<12；令f（p）<g（p）得1>p>12.所以当0<p<12时，选择三局两胜制对甲有利；当12<p<1时，选择五局三胜对甲有利.54广东教育·高中2019年第7·8期GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG广东教育·高中2019年第7·8期当p =12时，选择五局三胜制和三局两胜制对甲没有影响.点评：本题第（1）问求解七局四胜制中的比赛局数的分布列，第（2）问是个概率决策问题，探讨赛制长短对甲乙双方的影响.主要考查次独立重复事件的概率公式、离散型随机变量分布列的计算、三次方程和三次不等式的求解，考查函数与方程的思想、分类讨论的思想，考查考生的运算求解能力和解决问题的能力.正确理解比赛赛制规则，合理利用概率模型进行求解是解题的关键.概率统计的知识与其它知识交汇的问题在近几年的高考中经常出现，值得关注.对于2n -1局n 胜制的重复赛制中，随着比赛局数的增加，更有利于实力强的选手胜出.重复赛制下比赛局数对比赛胜负概率的影响的数学模型如下，供各位读者参考.数学模型1：甲、乙两选手比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲胜的概率为p （0<p <1），乙胜的概率为q （q =1-p ），采用2n -1局n 胜制进行比赛中甲获胜的概率为P n ，则有以下结论：当0<p <12时，P n 是减函数，即P n +1<P n <12；当12<p <1时，P n 是增函数，即P n +1>P n >12；当p =12时，P n =12.证明：依题意得P n =p n（C n -10q 0+C n1q 1+C n+12q 2+…+C2n-2n -1q n -1），P n +1=p n +1（C 0nq 0+C 1n +1q 1+C 2n +2q 2+…+C 2nnq n ）=p n （1-q ）（C 0n q 0+C 1n +1q 1+C 2n +2q 2+…+C 2n n q n ）=p n ［（C 0n q 0+C 1n +1q 1+C 2n +2q 2+…+C 2n n q n ）-（C 0n q 1+C 1n +1q 2+C 2n +2q 3+…+C 2n n q n +1）］=p n （C 0n q 0+C n 1q 1+C n+12q 2+…+C 2n -1n q n-C 2n n q n +1）.所以P n +1-P n =p n （C 2n -1n q n -C 2n n q n +1）=p n q n （C 2n -1n -C 2n n q ）=p n q n C 2n -1n （1-2q ）=p n q n C 2n -1n（2p -1）.所以当p =12时，P n =12，当0<p <=12时，P n 是减函数，即P n +1<P n <12；当12<p <1时，P n 是增函数，即P n +1>P n >12.模型二、比赛规则问题例2.（2019年高考全国Ⅱ卷理数第18题）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.（1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.解析：（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这两个球均由甲得分或者均由乙得分，因此P （X =2）=0.5×0.4+（1-0.5）（1-0.4）=0.5.（2）记“第i 球比赛甲得分”为事件A i ，记“第i 球比赛乙得分”为事件A i ，“X =4且甲获胜”就是10∶10平后两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.即：A 1A 2A 3A 4，A 1A 2A 3A 4，因为各球的结果相互独立，所以事件“X =4且甲获胜”的概率P =［0.5×（1-0.4）+（1-0.5）×0.4］×0.5×0.4=0.1.点评：本题以乒乓球比赛10∶10平之后的比赛走势为背景考查相互独立性事件，概率的加法、乘法公式的应用，考查考生的数据处理能力和解决实际问题的能力.对乒乓球比赛规则中“当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.”的理解是解决问题的关键.在这一规则下，两人在在某局双方10∶10平后，继续打球的个数X 的概率分布模型如下，供各位读者参考.数学模型2：11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p （0<p <1），乙发球时甲得分的概率为q （0<q <1），各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.记f （n ）=P （X =2n ），n ∈N *.则有如下两个结论.（1）数列{f （n ）}是等比数列.（2）lim n →∞ni =1移f （i ）=1.解析：（1）X =2就是10∶10平后，甲连续得两分或乙连续得两分.所以f （１）=P （X =2）=pq +（1-p ）（1-q ）.因为X =2n +2比X =2n 时多了一次平局，所以P （X =2n +2）=［p （1-q ）+（1-p ）q ］·P （X =2n ）.记A=pq +（1-p ）（1-q ），B=p （1-q ）+（1-p ）q ，则0<B <1.即f （n +1）=Bf （n ），n ∈N *.所以数列{f （n ）}是首项为A ，公比为B 的等比数列.所以f （n ）=AB n =［pq +（1-p ）（1-q ）］×［p （1-q ）+（1-p ）q ］n -1.（2）因为ni =1移f （i ）=A （1-B n）1-B 且0<B <1，所以lim n →∞ni =1移f （i ）=A 1-B =pq +（1-p ）（1-q ）1-p （1-q ）-q （1-p ）.总结：以上内容阐述了两类常见的体育竞赛概率问题的数学模型和求解方法，当然实际中体育竞赛类的概率问题远不止这两种.体育竞赛的规则随着体育项目的不同而不同，同一个体育项的比赛规则也随着时代的发展而不断变化着.那么以体育赛事为背景的数学问题也将随着时代的变化而变化.只有认真理解比赛规则，选择正确的概率模型，深入研究每一个概率模型，才能“更高、更快、更强”地解决体育竞赛类概率问题.责任编辑徐国坚55。

312判断游戏是否公平教学课件d

目标测试
解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:
转盘
摸球
1
2
3
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,而所
摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2的结果只
有一种:(1,1),因此游戏者获胜的概率为16. 所以这个游戏对游戏者不公平.
目标测试
目标测试
解：(1)根据题意画出树状图，如图.
开始
第一次
正
反
第二次
正
反
正
反
第三次正
反正
反正
反正
反
（2）这个游戏规则对两个球队公平.理由如下：
两次正面朝上一次正面朝下有3种结果:正正反,正反正,反正正;
两次反面朝上一次反面朝下有3种结果:正反反,反正反,反反正. 所以P（王铮去足球队）=P（王铮去篮球队）= 3 .
知识讲解
总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中，
两人手势相同的结果有三种：(石头，石头)(剪刀，剪刀)(布，布)，所以小
凡获胜的概率为 3 1； 93
小明胜小颖的结果有三种：(石头，剪刀)(剪刀，布)(布，石头)，所以小明
获胜的概率为 3 1； 93
小颖胜小明的结果也有三种：(剪刀，石头)(布，剪刀)(石头，布)，所以小颖
强化训练
解：可利用列表法列举出所有可能出现的结果：
第二个盒子第一个盒子
1下
2下
3下
1上
(1上，1下) (1上，2下) (1上，3下)
2上
(2上，1下) (2上，2下) (2上，3下)

不同的赛制对每个选手公平吗

不同的赛制对每个选手公平吗？近年来，国际体育组织对有些运动项目在赛制上做了适当的调整. 如国际乒联将“五局三胜”制（每局21分）改为“七局四胜”制（每局11分）;国际羽联也将“三局二胜”制（每局单打11分，双打15分）改为“五局三胜”制（每局7分）.赛制调整后，人们普遍关注的是比赛局数的调整对每个运动员是否公平.一、对水平相当的运动员1.“三局二胜”制将一局比赛看成一次试验，那么三局比赛便可看成三次重复试验. 用事件A 表示一局比赛中甲获胜，显然P(A)=21. 考察三次独立重复试验中事件A 发生的次数，以决定甲获胜的概率.按“三局二胜”制，在三次独立重复试验中，甲获胜当且仅当事件A 发生二次，有两种情况，一是前两局甲胜，第三局不打了；二是前两局甲乙各胜一局，第三局甲胜.概率为P(甲胜)=21414121212121122=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛C . 因为乙方获胜的概率等于甲方失败的概率，这表明“三局二胜”制是公平的赛制.2.“五局三胜”制同上可知，在“五局三胜”制中，甲获胜当且仅当事件A 发生三次，有三种情况，一是只打三局，都是甲胜；二是只打四局，前三局甲胜两局，第四局甲胜；三是打五局，前四局甲胜两局，第五局甲胜. 概率为 P(甲胜)=211631652121212121212122242233=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛C C . 这表明“五局三胜”制也是公平的赛制.3.“七局四胜”制同上可知，在“七局四胜”制中，甲获胜当且仅当事件A 发生四次，有四种情况，一是只打四局，都是甲胜；二是只打五局，前四局甲胜三局，第五局甲胜；三是只打六局，前五局甲胜三局，第五局甲胜；四是打七局，前六局甲胜三局，第七局甲胜. 概率为P(甲胜)= 21321621212121212121212121333623353344==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛C C C . 这表明“七局四胜”制也是公平的赛制.4.“（2n ＋1）局（n ＋1）胜”制一般地，在“(2n+1)局(n+1)胜”制中，甲获胜当且仅当事件A 发生(n+1)次，有(n+1)种情况，一是只打(n+1)局，都是甲胜；二是只打(n+2)局，前(n+1)局甲胜n 局，第(n+2)局甲胜；…，第(n+1)种情况，打了(2n+1)局，前2n 局甲胜了n 局，最后第(2n+1)局甲胜.概率为P(甲胜)= ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++++--++++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C 21213322112112332211212121212112121212121212121212121212121212121下面用数学归纳法证明n n n nn n n n n n n n n C C C C C 221212121211212133221=++++++--+++ .(1)当n=1时，左边=221112=+C ，右边=2，左边=右边，等式成立； (2)假设n=k(k ∈N *)时等式成立，即kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C S 221212121212121212121121121333222110212133221=++++++=++++++=---+++--+++ 则n=k+1时，()()()()()()()11211121112111211121111212211112112211112112121232121211211221212331220112112112221211212333312222011101221121213432321212211121211431321212122121************)2121(212212121221212121211212212121212121221212121212121212121212112121212121211+++++++++++++++++++++++++++++++++--++++++----+++++++------++++++++++--+++++++++-++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=+-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=++++++++=+++++++++++++=+++++++=+++++++=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k S C C S C C C S C C S C C S C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C S 所以S k+1=2k+1.即n=k+1时等式也成立. 综上所述，n n n n n n n n n n n n n C C C C C 221212121211212133221=++++++--+++ . 故P(甲胜)=21. 比赛（2n ＋1）局先胜（n ＋1）局为优胜者，同样是公平的比赛.因此，如果在每局比赛中甲、乙双方“胜”和“负”概率相等，则无论何赛制对参赛的运动员来说，都是公平的比赛.二、对水平不同的运动员如在一局比赛中甲、乙获胜的概率不相等，那么“三局二胜、五局三胜、七局四胜”情况又将如何呢？设在一局比赛中甲胜（乙负）的概率为p ，乙胜（甲负）的概率为q ，则p ＋q ＝1.不妨设p ＞q.1.“三局二胜”制如果采用“三局二胜”制，则水平较高的甲在下列两种情况下获胜：为事件2∶0（甲净胜二局发生）；A 2为事件2∶1（前两局中甲、乙各胜一局，第三局甲胜）发生.P(A 1)=P 2,P(A 2)=q p pqp C 2122=.由于A 1与A 2互斥，甲获胜的概率为P 1=P(A 1+A 2)=P(A 1)+P(A 2)=p 2(1+2q).①2.“五局三胜”制如果采用“五局三胜”制，则水平较高的甲在下列三种情况下获胜：为事件3∶0（甲净胜三局）发生；为事件3∶1（前三局中甲胜二局，负一局，第四局甲胜）发生；为事件3∶2（前四局中甲、乙各胜二局，第五局甲胜）发生. 232224332232316)(,3)(,)(q p p q p C B P q p qp p C B P p B P =====.由于B 1、B 2、B 3两两互斥，从而甲获胜的概率为())631()()()(233213212q q p B P B P B P B B B P P ++=++=++=.②3.“七局四胜”制如果采用“七局四胜”制，则水平较高的甲在下列四种情况下获胜：为事件4∶0（甲净胜四局）发生；为事件4∶1（前四局中甲胜三局，负一局，第五局甲胜）发生；为事件4∶2（前五局中甲胜三局，负二局，第六局甲胜）发生；为事件4∶3（前六局中甲胜三局，负三局，第七局甲胜）发生.34333642423353433424120)(,10)(,4)(,)(q p p q p C C P q p p q p C C P q p qp p C C P p C P =======由于C 1、C 2、C 3、C 4两两互斥，从而甲获胜的概率为())201041()()()()(324432143213q q q p C P C P C P C P C C C C P P +++=+++=+++=③ 在①②③式中如果令21==q p ，那么21321===P P P ，这也给出了“三局二胜、五局三胜、七局四胜”制公平性的又一解释. 而要研究水平不同的甲乙两位选手在不同赛制下比赛结果的差异，就要比较他们获胜概率的大小. 考虑到q=1-p ，于是222212)1)(12(3)2163(--=--++=-p p p q pq pq p p P P ， 33232323)1)(12(10)63120104(---=---+++=-p p p q q pq pq pq p p P P 因为121<<p ，所以123P P P >>. 这表明，水平较高的甲选手在比赛中获胜概率从大到小的排列依次为“七局四胜”“五局三胜”“三局二胜”制.通过以上分析不难发现，赛制局数的增加对水平较高的选手有利. 不过由于每局的分值在减少，所有运动员不仅要用技术、战术创新适应，更需在心理和精神上重新调整，从比赛一开始就要进入状态，要有搏杀的信心和勇气，这样才能在比赛中获得主动权，取得比赛的胜利，问鼎奖牌.。

球赛中的概率问题

求一局中甲以8:9落后的情况下以12:10 获胜的概率. 分析：解：设每一分争夺为一次试验,该问题构成独立重复试验,每次试验甲得分的概率为 0.6. 必出现10平且最后两分必为甲得. 甲以8:9落后的情况下以12:10获胜的概率.
2 C3 0.62 0.4 0.6
0 .6 0.15552
练习: 丁俊晖在世界斯诺克巡回赛中国公开赛上,与亨德利进行17局9胜制决赛.已知丁俊晖在每一局中胜的概率为0.4.求丁俊晖在先失两局的情况下, 以9:5获胜的概率. 分析：解：设每局比赛为一次试验,该问题构成独立重复试验,每次试验丁俊晖胜的概率为0.4 最后一局必丁俊晖胜,再进行12局比赛, 12 局中丁俊晖胜9局.
例 2004年雅典奥运会中,中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛,根据以往战况,中国女排在每一局中赢的概率为0.6,已知比赛中，俄罗斯女排先胜了第一局. (1)求中国女排在这种情况下取胜概率. 分析：解：设每局比赛为一次试验,该问题构成独立重复试验,每次试验中国女排赢的概率为0.6 3 取胜的概率中国女排3：1， 3：2取胜，且最后一 0.6 =0.216 局必为中国胜中国女排3：2取胜的概率后三局全赢 2 C3 0.62 0.4 0 .6 =0.2592 后四局赢三局中国女排在先输一局情况下取胜概率.
0.216+0.2592=0.4752
(2)求本场比赛只打四局就结束的概率.
分析：解：中国女排3：1取胜的概率
0.6 0.216
3
俄罗斯女排3：1取胜的概率 1 C2 0.4 0.6 0 .4 =0.192 后三局赢两局本场比赛只打四局就结束的概率为 0.216+0.192=0.408

抽签无先后赛制欠公平专题辅导

抽签无先后赛制欠公平现行高中数学教材第二册（下A ）P 136从概率角度证明抽签无先后，对人都公平。

抽签实质就是有条件的排列，而获奖概率实质也就是条件概率，通过学习这段阅读材料，同学们都明白生活中抽签是无序的，是一种公平活动。

但与抽签相联系的比赛，赛制都公平吗？在很多比赛中，经常采用“三局二胜”、“五局三胜”等比赛规则。

这些规则，也被众人视为很公平的规则，既然规则对大家来讲都很公平，但为何一些比赛规则又不断修改，在此我们从概率角度给予分析。

水平相同，赛制公平如果比赛双方的水平很接近，我们视为获胜机会是相同的，每个人获胜的概率全为12，不妨以“五局三胜”制来加以分析。

分析：将一局比赛看作一次试验，考察一方，如甲方胜或负（即乙方负或胜），问题归结为n=5的独立重复试验。

设A 表示一局比赛中“甲获胜”事件，B k 表示“五局比赛中甲胜k 局”事件，k=0，1，2，3，4，5，则事件“甲获胜”=B B B 345++。

从而P （“甲获胜”）=++=++=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪=P B B B P B P B P B C C C ()()()()34534553554555512121212困为乙方获胜的概率等于甲方失败的概率：11212-=。

这表明“五局三胜”制是公平的比赛制度。

一般地，比赛21n +局先胜n +1局者为优胜者，只要比赛双方水平接近，都是很公平的比赛。

水平不同，赛制有别事实上，比赛双方的水平很难接近，这时赛制与比赛结果就有很大影响，现举例如下：甲、乙两人进行一场比赛，已知甲在一局中获胜的概率为0.6，比赛有三种方案：（1）比赛三局，选用两局者为优胜者；（2）比赛五局，先胜三局者为优胜者；（3）比赛七局，先胜四局者为优胜者，试问哪种方案对乙最有利。

分析：设三种赛制，乙获胜概率分别为P P P 123、、，每种赛制都可看作独立重复试验，因此：P C C P C C C P C C C C 132233325332544555374437552766777040604035204060406040317040604060406040290=⨯⨯+⨯≈=⨯⨯+⨯⨯+⨯≈=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯≈....,......,........不难看出P P P 123>>，即第一种赛制对乙有利。

说一下积分循环制（三）：各种赛制的特点

说⼀下积分循环制（三）：各种赛制的特点⾸先说淘汰制，主要是单淘汰制：1、⾸先是简单，这是个很⼤的优点。

对组织者、选⼿、观众都没有什么难度。

2、场次少，这个在⼤部分时候是个优点。

N名选⼿参加的单淘汰赛，只需要N-1场⽐赛就可以决出冠军。

这样可以保证⼀个较短的赛程，⽽且对场地调度的压⼒也⼩。

3、悬念留到最后，优点，确保了冠军在最后⼀场⽐赛产⽣。

⽽在循环制或积分循环制的⽐赛中，都经常有提前夺冠的。

4、减少了放⽔的可能，优点。

在这个赛制下两名对⼿都必须全⼒争胜，谁放⽔谁就被淘汰。

5、偶然性⼤，缺点。

⼀般⼤家都希望冠军是实⼒最强的选⼿，但是在单淘汰的⽐赛中，冷门随时都有可能发⽣，最后的冠军爆冷的机会不⼩。

6、对阵情况有很⼤影响，缺点。

很多时候对阵编排情况基本上决定后来⽐赛的⾛势。

7、强强相遇少，⽽且晚，缺点。

因为是单淘汰制，所以强强相遇必然要淘汰掉⼀个。

很多⽐赛会设⽴种⼦，这样前⾯的⽐赛就全是强弱对抗了，关注度不⾼，到后来才会强强相遇。

⽽如果不设⽴种⼦⽽让强⼿在早期就相遇的话，⼜增加了实⼒较弱的选⼿进⼊后期⽐赛的可能。

归根结底，强⼿输⼀次就被淘汰太可惜了。

8、如果⽐赛的结果可以是和棋，或者有某种不可消除的不公平因素就不好办了，缺点。

⽐如中象和国象，可以和棋，⽽且先后⼿对胜负有很⼤影响。

我们有时候就会看到这种情况，先交换先后⼿⽐两盘长时间的对局，如果打平再交换先后⼿⽐两盘快棋，再打平就⽐超快棋……结果⼀轮单淘汰⽐了很多局。

综上所述，单淘汰制是⼀种优点很多的⽐赛，因此能够成为最经常使⽤的赛制，但其也有⼀定的缺点。

在围棋⽐赛中，⼤部分职业⽐赛均采⽤单淘汰制，个别⽐赛采⽤双淘汰制。

再说说循环制：1、偶然性⼩，这是个很⼤的优点。

所有对⼿都要对⼀遍或两遍，所以⼀两盘棋的冷门并不能对最终结果有多⼤影响，可以最⼤限度地确保冠军是实⼒最强的选⼿。

2、所有对阵可能性都会对上，优点。

这样强强对阵就多了。

3、经常有提前夺冠的情况，悬念减少，缺点。

例谈 “游戏是否公平问题”的解答オ

例谈“游戏是否公平问题”的解答オ
一、判断游戏的公平
判断游戏是否公平类问题大体分两种情况：一种是判断游戏过程中参加游戏的各方（以两方为常见形式）获胜的概率是否相等；另一种是判断游戏过程中参加游戏的各方（以两方为常见形式）的累积分数或平均得分率是否相等一般来说，这类问题大多出现在解答题中，因此需要考生不仅能正确分析解题思路，而且要写出详尽的解答过程要做到过程完整，一分不失，就应该分四步骤书写，具体为：第一步，画树状图或列表；第二步，分别计算相应的概率或积分；第三步，比较双方概率或积分是否相等；第四步，判断游戏是否公平
二、下面简举两例进行说明
例1（2009年青海中考）王强、张华用4个乒乓球做游戏，这些乒乓球上分别标有数字2、3、6、6（乒乓球的形状、大小、质量相同），他俩将乒乓球放入暗盒中搅匀，王强先摸，摸出后不放回，张华再摸（每人每次只能摸一个乒乓球）他俩规定：若王强摸到的球面数字比张华的大，则王强获胜，若王强摸到的球面数字不大于张华的，则张华获胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由
分析通过概率是否相等来判别游戏是否公平
解画树状图（图1）（第一步：画树状图）P（王强胜）=512，
P（张华胜）=712
（第二步：计算概率）因为P（王强胜）。

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ｘ．０＋ｘ．ｘ．ｘ．：０１＋．９００＝．２．＋００ｘ．０００６６４６６４６．６０５＋．７０８２２２６
注意到０８＞．８，．２Ｏ６故五局三胜制对甲有利．６４
Ｐ（）Ｐ４－＋ＣＢＡ＝［（４）Ｐ（２３
）Ｐ４＋（Ｃ２
ｃ５
） …】＋＋
２比赛对手实力水平对比赛公平性的影响
例２甲、：乙两人轮流对同一目标进行射击比赛，回胜者得１。每分而每回射击中甲胜的概率为ａ，乙胜的概率为６ａ＋＝１比赛直到有，ｂ。人的得分比对方多２为止，分者最终获胜。别求最终甲、分多２分乙获
胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两局为止，此人即为冠军。已知每次比赛双方取胜的概率都是０５现假定甲、．，乙两人先比，试求各人得冠军的概率．解：事件，ｃ分别为 “ 、、获冠军 ” 事件４，分记，甲乙丙，，别为 “ ｆ中甲、、获胜．第局乙丙则
Ｐ（）（＋尸甲胜＝ＰＲ）（
＝＋
）尸＋（
）
解析：本例表明在水平不相当的两人比赛中，若增加比赛局数则水
平高的一方获胜的概率增大，从而这样的赛制对水平高者有利，同时也就意味着对水平低者的不公平；反之亦然。这样的赛制下，在水平高的选手应该选择五局三胜制以防意外发生，水平低者就应该选择三局二胜制以争取出其不意，侥幸取胜．这一数学事实的生动应用是在羽毛球比赛的决赛盘出现１平时，４裁判会由先到１分的选手选择是一球决胜还４是再赛３，分如果该选手认为自己水平高，就应该选择再赛３；分否则就应该选择一球决胜．的道理我们也就不难理解为什么说国际乒联的Ｕ同样分制改革对我们这个乒乓球超级强国不利，么国际羽联的２分制改为什１革给像中国队这样的羽毛球强队带来较大冲击，为什么在足球世界杯小组循环赛阶段波澜不惊而在进入淘汰赛阶段后就黑马频出，惊险刺激。
弓＋．－— 同司（）。而专而三旦，可Ｐ胜十’ ５・２１Ｉ得乙・。２司 ‘ 一一—理４６０９＝～三８
２Ｐ（局）。平：
４３
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例３２三方参赛）乙、．（甲、丙三人进行比赛，定每局两个人比赛，规
Ｚ１ＮＯ．５００２
百
ｄＴｅｈｏｏｙＩｎｖｔｎＨｒＩｃｎｌｇｎｏａｉｅａｄｏ
学术论坛
几种非公平赛制的概率解析
张红兵张克江
（广东省深圳高级中学广东深期ｌ５０４１３）８
摘要：凡有比赛。都要先制订一定的规则，就是赛削。这一个合理的赛制应该使参赛各方拥有同等的夺冠机会，这就是比赛的公平性原则。但是有些赛胡却并不符合这一基本要求．如何考察赛制的公平性呢？一个重要的手段就是引入“ 率 ” 概这一数学工具进行分析。关键词：赛制解析中图分类号：６３Ｇ２文献标识码：Ａ文章编号：６４０８（０Ｏ０（）０５－Ｉ１７－９Ｘ２１）９ａ一２２０
１比赛局数对比赛公平性的影响
例ｌ甲、：乙两选手进行乒乓球单打比赛。已知在每局中甲获胜的概率为０６乙获胜的概率为０４比赛可采用三局二胜制或五局三胜制，．，．．问哪种赛制对甲更有利？解：）（采用三局二胜制．１此时，甲在下列两种情况下获胜：Ａ＝“ 胜前二局 ” ＝ “ 二局甲乙各胜一局，三局甲ｌ甲，前第胜 ” 所以有，
弱势环节。田忌赛马、世乓赛团体赛及中国围甲、甲联赛中的排兵象布阵、球等某些球类比赛中有些时候主动求败以选择对手就是这一排
策略运用的生动例子。
３先后参赛对比赛公平性的影响
例３１方参赛）．（两匣中有３５白共ｌ个球．甲、红黑２０现乙二人轮流从匣中取球，先取而乙后取；甲每人每次取一球且取后不放回．按规定先取而分乙获胜和平局的尸４ｕ）Ｐ４）Ｐ）．＋ｘ．０ｘ．＝０６Ｏ８＝．８到红球者获胜，出现白球时为平局。别求甲获胜、（＝（＋（＝０２０ｘ．０６６４６．＋．８０４。３２６（）用五局三胜制．２采此时，甲在下列三种情况下获胜：概率。 “ 甲胜前三局 ” ＝“ 三局中甲胜二局乙胜一局，四，前第解：甲获胜则必为甲先取到了红球，：即甲取到黑球时乙必取黑球，局甲胜 ” ＝“ 四局甲乙各胜二局，五局甲胜 ” 所以有，前第，甲取到红球后比赛马上结束，比赛过程中不会取到白球。Ｐｕｕ）ＰＢ）Ｐ）（）（＝｜１＋（＋Ｐ＝（记Ｂ＝“ ｆ取到黑球 ” 足＝“ ｆ取到红球 ” 则ｉ第次，第次。