图论与电路
论文：网络图论在电路分析中的应用
网络图论在电路分析中的应用物理与电气工程学院 04物理学（5）班叶中华学号：1505040摘要:进行电路分析时,利用网络图论的方法,能简化运算过程,能把节点方程直接写出,使电路分析的系统化更加便捷。
关键词:网络图论；电路；矩阵分析一、基本概念网络图论又称为网络拓扑学，适应用图的理论,对电路的结构及其连接性质进行分析和研究。
网络的图又称为拓扑图，它是这样定义的：一个图G (Gragh) 是节点（点）和支路（线段）的集合，每条支路的两端都联到相应的节点上。
每一条支路代表一个电路元件，或者代表某些元件的组合。
如上图（a）、(b) 分别画出了两个具体的电路图及与它们对应的拓扑图，如果给出支路电流和电压的参考方向，可以看出虽然（a）、(b)图中的支路内容或元件性质不一样，但拓扑图是一样的，也就是说列出的KCL,KVL方程是一样的。
即i 1=i2+i3u 1=u2+u3u 2 =u3这说明网络的图只与连接结构有关，而与支路元件性质无关。
网络图中所用的几个名词：(1) 支路：每个元件用一条线段表示，每条线段就是一个支路。
也可以将电压源与电阻串联，电流源与电阻并联，作为一条复合支路，即也用一条线段表示。
(2) 节点：线段的端点叫节点。
(3) 图：线段与点的集合即为网络的图。
(4) 有向图:对图中的支路电流指定出参考方向，即为有向图。
(5) 连通图:图中任意两点间至少有一条路径。
就叫连通图。
(6) 非连通图:从一点到另一点无路径可走就叫非连通图。
(7) 子图:若图G1的每个节点和支路也是图G的节点和某些支路，则称图G1是图G的一个子图。
在图的定义中节点和支路各自是一个整体，因此，允许有孤立节点存在。
所以有时会说把一条支路移去，但这并不意味着同时把它所连接的节点也移去；反之，如果把一个节点移去，则应当把它连接的全部支路同时移去。
(8) 自环:图中一条支路连接于一个节点，就叫自环。
(9) 关连:任一支路恰好连接在二个节点上，称此支路与这二个节点彼此关联。
电路-第9章 网络图论基础
网络图论图论是数学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。
(1)图图(a)电路，如果用抽象线段表示支路则得到图(b)所示的拓扑图，它描述了电路的点和线的连接关系，称为电路的图。
定义：图G 是描述电路结点支路连接关系的拓扑图，它是支路和结点的集合。
1）支路总是连接于两个结点上。
2）允许孤立结点存在，不允许孤立的支路存在。
移走支路，该支路连接的两个结点要保留在电路中，而移走结点，则要将连接于该结点的所有支路移走。
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
9.1 网络图论的基本概念(3)有向图：标示了参考方向的图(2)子图：图G1中的所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G 的一个子图。
子图示例9.1 网络图论的基本概念(4)连通图图中任何两结点之间存在由支路构成的路径，则称为连通图。
连通图和非连通图示例9.1 网络图论的基本概念(5)回路从某个结点出发，经过一些支路(一条支路仅经过一次)和一些结点(每个结点仅经过一次)又回到出发点所经闭合路径。
树和非树示例(6)树G1是G 的一个子图，且满足以下三个条件：A 、是连通的；B 、包含G 中所有结点；C 、不包含回路。
G1称为G 的一棵树。
9.1 网络图论的基本概念(7)树支、树支数构成树的支路称为树支。
树支数为：割集示例(8)连支、连支数不属于树的支路称为连支。
连支数为：(9)割集、割集方向移走某些支路，图分成了两个分离的部分，则这些支路的集合称为割集。
割集的方向：从一部分指向另一部分的方向。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL和KVL方程的矩阵形式(1)增广矩阵描述图中结点和支路关联情况的矩阵。
矩阵元素：增广矩阵为n×b 阶矩阵。
图9.2.1图的增广矩阵：9.2.1 关联矩阵A9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式(2)关联矩阵A增广矩阵每一列对应一条支路，非零元素两个，一个是1一个是-1，表示1号支路从1号结点流向2号结点；每一行代表一个结点，如第1行表示支路1、4、6连在1号结点，且支路1从1号结点流出，支路4流入1号结点，支路6流出1号结点。
电路的图
电路的图以图论(Graph Theory)为依托，但两者有区别：支路branch结点node(1)电路图中的支路是实体，结点是支路的连接点，结点是由支路形成的，没有了支路遍没有了结点。
(2)图论中支路的端点必须是结点，但结点则允许是孤立结点，表示一个与外界不发生联系的事物。
经常：将元件串联组合看作一条支路。
不常：将元件并联组合看作一条支路。
有向图：电路图中支路常取其关联电压、电流参考方向。
支路可以赋予一个方向，即电压、电流的关联参考方向，赋予支路方向的图称为“有向图”，否则称为“无向图”。
n个结点的电路，独立的KCL方程为n-1个。
相应的(n-1)个结点称为独立结点。
将对应于一组独立的KVL方程的回路称为独立回路，回路和独立回路的概念与支路的方向无关，可以用无向图的概念描述。
路径：结点之间的一系列支路构成图的一条路径。
连通图：图中任意两结点之间至少存在一条路径。
回路：若一条路径的起点和终点重合，且经过的其它结点不再重复，则此闭合路径就构成图的一个回路。
用树(tree)寻找图的独立回路组，即独立KVL方程。
连通图的树(tree)：包含图的全部结点，且不包含任何回路的连通子图。
树支和连支：树中包含的支路称为该数的树支，而其它支路则称为对应于该树的连支。
全部树支=树支+连支结论具有n个结点的连通图，任何一个树的树支数为(n-1)。
图的任一个树，加入连支后，就会形成一个回路，且此回路除了所加连支外均由树支组成，这种回路称为单连支回路或基本回路。
每个基本回路仅含一个连支，且这一连支不出现在其它基本回路中。
由连支形成的全部基本回路构成基本回路组，基本回路组的个数等于连支数。
每个连支只在一个回路中出现，这些KVL方程必构成独立方程组。
根据基本回路所列出的KVL方程组是独立的。
具有b条支路和n个结点的电路，连支数l=b-n+1，即图的独立回路数。
选择不同的树，遍得到不同的基本回路组。
如果把一个图画在平面上，能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉，这样的图称为平面图，否则称为非平面图。
第二章(1)电路基本分析方法
I3
U s1
R1
R2
I2
②
U s3
R3
①
1
3
2
②
2.1.1 电路图与拓扑图
②
R2
① R3
R4
R5
③
R6 ④
U s1
R1
实际电路图
②
2
4
①
5
③
3
6
④
1
对应的线图
线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际 电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。
有向图
如果线图各支路规定了一个方向（用 箭头表示，一般取与电路图中支路电流 方向一致），则称为有向图。
回路2：I3×R3＋US3－I4×R4＋I2×R2=0
回路3：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0
网孔回路电压方程必为独立方程。
网孔回路电压方程数=b（支路数）－n（节点数）＋1
解出支路电流
4>. 由n1个节点电流方程和bn+1个网孔电压方程（共b
个方程）可解出b个支路电流变量。
R3
I 3
U s3
第二章(1) 电路基本分析方法
本章内容
1.网络图论初步 2.支路电流法 3.网孔电流法 4.回路电流法 5.节点电压法
2.1 网络图论的概念
图的概念：对于一个由集中参数元件组成的电网络，
若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一
个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓
扑图，简称为图。
I1 ①
－ I1 ＋ I2 － I3 =0
I1 －10＋3× I2 =0 3×I2 ＋2× I3 －13=0
解得： I1 =1A， I2 =3A， I3 =2A
图论在电路分析中的应用及其可视化实现
解：做出有向图如图3( b) 所示，选支路1、2、3为树枝( 图中本割集) 。树枝电压也就是割集电
压，并 以树枝电压方 向为割集的方 向。
基本 割集矩阵 Q为
l
2
1l O
4
，
ll
Q=2 O l
3O O
—l O ll
用拉 氏变 换表示 时． 有
Us( s )=O I so) =【L( ! ) ! ：：( ! 】Q Q Q 1r
z=diag[1墨，R，，鸣，，砒，形崛】
2
团
鑫 委 Ⅵ 渊I ll l；
b$---=[型山]7
把上 述各 式带入 便得 回路电 流方 程的矩 阵形 式
置 +础 +志 一 志
l
j aJC5
足 +池 +去
●， j 儿
R
=
^吒 —． ． ．L ●， J 吐 1●， ●， ●J —． ． ．L 一
1● ● ●J
( 三) 电路割集矩阵O 对于摹本割集( 含且仅含一个树枝) ，电路割集矩阵92( g。) ( ¨M． 根据支路k 与割集j 方向相同、方向相反和与割集j 没有关联，qp分别取1， 一l 和O。 ( 四) 支路方程的矩阵形式
Z．0 Z=
对整个 电路有，其中 Z为支路阻抗矩 阵， 三、 田论 中。材 ”在 求■大 规曩 电路中 的应 用 首先 ，电 路是 由连 接在 一起的 许多 两端 元件 组成的 。抛 开元 件本 身的 属 性 ，一 个电 路可 以用 一个 图来 表示 、描 述。 具体 地， 连接 处就 是节 点． 连接 线段就是支路( 树枝或者连支) 。 以回路( 即环) 为线索．若各个同路中的电流已确定，则该电路的参数 也 就定 了。 现在 的问 题是 如何 选择 回路 。从 而使 该电 路的 参数 由且 由这 些回 路中的电流所确定?——这就要用到图论中“树”和“余树”的概念。在电 路对应的图中选定一棵树，然后相应地定出所谓“基本回路”。( 基本回路 就是指回路中含且仅含一个连支，其余均为树枝) 。基本回路的数目与连支 的数 目一样 。这样． 在线性 方程中 回路电 流各个 量之间自 然就线 性无关 。 具体的求解过程如下：
第十章图论及LTI电路的矩阵法介绍
连通图与非连通图： 如果一个图，在它的任意两
个节点之间，至少存在一条通路，那样这样的图为
连通图。例如上图(a)是连通图，而图(b)是非连通图。
回路：构成闭合路径的支路集，就是回路。回路是
一个连通图。长度为m而始端节点与终端节点相重合的
通路称为长度为 m的回路，长度为1的回路称为自回路。
对于有向图给定的回路，常指定一顺时针方向，
bB}；而所有的节点构成节点集合，用γ表示，
γ△{n1，n2，…，nN}。这里B是支路数，N是节
点数，因此一个图G可以用 G ( , )表示。
• 无向图与有向图：如果图 G中每条支路都不指
明支路方向，则称之为无向图，用 Gn 表示，如
图 8-1(b) 所示；如果图 G 中每条支路都规定一定
的方向，则称之为有向图，用 Gd 表示，如下图
所示。
•子图：如果图 Gs ( s , s ) 的节
点集γs是图G的节点集γ的子集，
支路集βs是支路集β的子集，则
称图Gs是图G的子图。
例如图中，由γs ={n1，n2，n3}和βs ={b1，b3，b5}构 成的图就是该图的子集，若子集仅由一个孤立的节
如图8-4(a)所示的图Gn，它的两个树分别如图8-4(b)、 (c)，但是8-4(d)和(e)则不是它的一个树，因为(d)中包含
一个回路，而(e)是不连通的。同一连通图G具有许多不
同的树
树支、树余和连支：构成树的各条支路称为树支， 图Gn中除去树以外的所有支路形成Gn的另一个子图， 称为树余(反树)，属于反树的各条支路称为连支。例 如图8-5中图Gn的树支如图8-5(b)实线所示，而(b)中虚 线为连支。
压和电流的参考方向以及网络中元件的特性。而
电路原理第3章1-3节
11
I2
解 由于I2已知， + 故只列写两 70V
6A 1 7
个方程
–
结点a： –I1+I2=6
b
避开电流源支路取回路：7I1＋7I2=70 小结
作业 P75 3-3，3-5，3-7
19
6
二、KVL的独立方程数
1. 图的路径： 2. 连通任图意：两个结点
之间至少有一条路径。
3. 图的回闭路合：路径。右图中共① 有13个不同的回路。
4. 独立回至路少：包含一条新的支 路的回路。
5. 独立回路数的确定
②
15
2
8 ⑤6
③
7
4
3
④
如：上图中由支路1、2、5、6和8共构成3个回路， 共可列出3个KVL方程，但只有两个KVL方程是独立 的，相应地，共有2个独立回路。
题的步骤，图(b)为该电路的图
i6 R6
6
① i2 R2
i1 R1
uS1
②
i4 ③
i3
R4
i5
R3 R5 ④
①
②4 ③
2
1 iS5
35
④
13
i6 R6
6
① i2 R2
i1 R1
uS1
②
i4 ③
i3
R4
i5
R3 R5 ④
①
②4 ③
2
1 iS5
35
④
二、用支路电流法解题的步骤
如取①、②和③独立结点，由KCL得
i1 R1
uS1
②
i4 ③
i3
R4
i5
R3 R5 ④
①
②4 ③
2
离散数学中的图论应用
离散数学中的图论应用离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散对象和离散结构。
而图论作为离散数学中的一个重要分支，研究的是图这种离散结构的性质和应用。
图论在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。
本文将从不同的角度介绍离散数学中图论的应用。
一、计算机网络中的图论应用计算机网络是现代信息社会的重要基础设施，而图论在计算机网络中有着广泛的应用。
首先，图论可以用来描述和分析计算机网络的拓扑结构。
计算机网络中的节点和连接可以用图的顶点和边来表示，通过图论的方法可以分析网络的稳定性、可靠性和性能等指标。
其次，图论可以用来解决网络中的路径选择问题。
通过图的最短路径算法，可以找到两个节点之间的最短路径，从而实现数据的快速传输。
另外，图论还可以用来解决网络中的流量控制和路由问题，通过最大流最小割算法可以实现网络资源的合理分配和优化。
二、社交网络中的图论应用随着社交媒体和社交平台的兴起，社交网络成为人们日常生活中重要的一部分。
而图论在社交网络中也有着广泛的应用。
首先，图论可以用来描述和分析社交网络的关系。
社交网络中的用户可以用图的顶点来表示，而用户之间的关系可以用图的边来表示。
通过图的连通性和聚类系数等指标，可以分析社交网络中的社群结构和信息传播等现象。
其次，图论可以用来解决社交网络中的推荐问题。
通过图的相似度算法，可以实现用户之间的兴趣相似度计算和推荐系统的构建。
另外，图论还可以用来解决社交网络中的影响力传播问题，通过图的传播模型可以模拟和预测信息在社交网络中的传播路径和影响力。
三、电路设计中的图论应用电路设计是电子工程中的一个重要领域，而图论在电路设计中有着广泛的应用。
首先，图论可以用来描述和分析电路的拓扑结构。
电路中的器件和连接可以用图的顶点和边来表示，通过图论的方法可以分析电路的稳定性、功耗和延迟等指标。
其次，图论可以用来解决电路中的布线问题。
通过图的最小生成树算法和最短路径算法，可以实现电路的布线优化和信号传输的最优化。
第七章图论
以上三个条件并 不是两图同构的 充分条件，如：
a
b
c
d
e
(a)
a'
c'
b'
e'
d'
(b)
第七章 图论
图的基本概念 路与回路 图的矩阵表示 欧拉图与哈密尔顿图
7-2 路与回路
1、路的基本概念：
路： 图G=<V, E>，设 v0, v1, …, vn∊V, e1, e2, …, en∊E, 其中
ei是关联于结点vi-1, vi的边，交替序列设 v0 e1 v1 e2 … en vn称为
若 连 通 图 G中 某 两 个 结 点 都 通 过 v， 则 删 去 v 得 到 子 图 G ， 在 G 中 这 两个结点必定不连通，故v是图G的割点。
7-2 路与回路
deg(v)为偶数 vV1
|V1|为偶数
定理： 有向图中所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和
7-1 图的基本概念
（5）多重图：含有平行边的图
简单图：不含有平行边和环的图
完全图：每一对结点之间都有边关联的简单图
有向完全图：完全图中每条边任意确定一个方向所得的图
a
e
b
d
f
h
c
g
定理： n个结点的无向（有向）完全图Kn的边数为n(n-1)/2
证明： 在完全图中，每个结点的度数应为n－1，则n个结点的
度数之和为n(n-1)，因此|E|＝n(n-1)/2
7-1 图的基本概念
（6）子图：
G V , E ， 有 G ' V ', E ' ， 且 E ' E ， V ' V ，
第三章DIANLU
–
解
KCL方程： i1 + i2 - i3 - i4=0 i3 + i4 - i5 + i6=0
(1) (2)
R4 i4 i1 R1 uS + – a
+ 3 R3
u2
i3
– b i6 i5 + u 4 –
KVL方程： R1i1- R2i2= uS R2i2+ R3i3 +R5i5= 0 R3i3- R4i4= µ u2 (3) (4) (5)
i3 R3
R4
i4 3
R1
i1 R6
4
R5
i5 i6
+
uS –
2 i2 1 R1 R2
i3 R3 i1
+ R5
R4
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向 i4 3 u1 =R1i1， u2 =R2i2， u3 =R3i3， u4 =R4i4， u5 =R5i5， u6 =–uS + R6i6 (b=6，6个方程，关联参考方向) (1)
例4. 列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。 R4 u2 + – i4 方程列写分两步： 3 i3 i R 3 b 6 a (1) 先将受控源看作独立源 i1 R1 uS + i2 + R5 c R2 u2 2 1 – i5 + u 4 – 列方程；
i1 (2) 将控制量用未知量表示，
im2
回路1 : R11 R1 R5 R4 回路2 : R22 R2 R6 R5 回路3 : R33 R4 R6 R3
互阻:两个网孔的共有电阻
R12 R21 R5 R13 R31 R4 R23 R32 R6
范更华教授讲座--图论与大规模集成电路设计
l 1994年，Thomassen（丹麦科学院院士）证实 了计算机算法专家Papadimitriou的猜测：短圈 覆盖问题是NP-完全。
l 1998年，范更华彻底解决了Itai-Rodeh猜想， 证明存在长度不超过m+n-1的圈覆盖。
极值图论
Mantel定理的证明: 设G是不含三角形的n点图, 其最大点度数为t.不难证明G的边数至多是
f(t)=t(n-t). 该二次函数在t=n/2处取得极大值:
f(n/2)=n2/4. 当n为偶数时, n个点的平衡完全二部图不含三角 形, 且边数恰为n2/4.因此, n2/4是具有该性质的 最小数.
◆ 四色问题等价于平面图的4-流存在性
整数流理论
整数流与数学其他领域的一些著名问题有关联:
▪ 组合学: Lonely Runner ▪ 数论: Diophantine Approximation ▪ 几何学: View Obstruction ▪ 有限域线性空间: Additive Basis
孤独的跑步者
Plane的点对G的边进行正常着色,使得G中与每个 点关联的三条边所得颜色在Fano Plane中共线. 问题: 用尽可能少的线完成Fano-着色. 猜想(Macajova and Skoviera, 2005): 只需4条线.
已证明该猜想与Fan-Raspaud猜想等价.
Fano-着色与整数流理论
(1) 任意两点在一条直线上 (2) 任意两条直线相交一个点 (3) 每个点有n+1条直线通过 (4) 每条直线通过n+1个点
2阶射影平面也称为 Fano Plane:
3 第 三 章 电阻电路的一般分析
重点掌握
1. 图论有关概念、独立结点、独立回路。 图论有关概念、独立结点、独立回路。 2. 电路三大分析法： 电路三大分析法： 支路电流法 结点电压法 回路电流法（含网孔电流法） 回路电流法（含网孔电流法）
★§3.1 ★§
一、概念 i1 R1 R2 + uS – ② i2
支路与结点的移去： 支路与结点的移去：支路必须 终止在结点上， 终止在结点上，移去支路不意 味着移去结点，但移去结点必 味着移去结点， 须移去与之相连的所有支路， 须移去与之相连的所有支路， 因此可以存在孤立结点 孤立结点。 因此可以存在孤立结点。
6. 回路(loop)： 回路 ： 由支路所构成的一条闭合路径。 由支路所构成的一条闭合路径。 该闭合路径中与每个结点相关联 的支路数为2。 的支路数为 。 7. 网孔（mesh)：平面 网孔（ ： 图中的自然孔。 图中的自然孔。孔内区 域中不再含有任何支路 和结点。 和结点。 1 ②
i −i −i = 0
− i 2 + i 3 + i4 = 0 − i4 + i 5 − i 6 = 0 u1 + u2 + u3 = 0 − u3 + u4 + u5 = 0 − u2 − u4 + u6 = 0 u1 = R1 i1 − uS 1 u2 = R2 i2 u3 = R3 i3 u4 = R4 i4 u5 = R5 i5 + R5 i S 5 u6 = R6 i6
② ① ③
树支
④
连支
9.单连支回路（基本回路):只有一个连支 单连支回路（基本回路 只有一个连支 单连支回路 的回路。 个单连支回路. 的回路。有(b-n+1)个单连支回路 个单连支回路
图论基础：图的基本概念和应用
图论基础：图的基本概念和应用图论是数学中的一个分支领域，研究的是图的性质和图上的问题。
图被广泛应用于计算机科学、电子工程、运筹学、社交网络分析等领域。
本文将介绍图论的基本概念和一些常见的应用。
一、图的基本概念1. 顶点和边图是由顶点和边组成的，顶点代表图中的元素，边则代表元素之间的关系。
通常顶点表示为V，边表示为E。
2. 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图。
在无向图中，边是没有方向的，顶点之间的关系是双向的；而在有向图中，边是有方向的，顶点之间的关系是单向的。
3. 权重在一些应用中，边可能具有权重。
权重可以表示顶点之间的距离、成本、时间等概念。
有权图是指带有边权重的图，而无权图则是指边没有权重的图。
4. 路径和环路径是指由一系列边连接的顶点序列，路径的长度是指路径上边的数量。
环是一种特殊的路径，它的起点和终点相同。
5. 度数在无向图中，顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。
在有向图中分为出度和入度，出度是指从该顶点出去的边的数量，入度是指指向该顶点的边的数量。
二、图的应用1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，它研究如何在图中找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题有许多实际应用，例如在导航系统中寻找最短驾驶路径，或者在电信网络中找到最短的通信路径。
2. 最小生成树最小生成树是指一个连接图中所有顶点的无环子图，并且具有最小的边权重之和。
这个概念在电力网络规划、通信网络优化等领域有广泛的应用。
3. 路由算法在计算机网络中，路由算法用于确定数据包在网络中的传输路径。
图论提供了许多解决路由问题的算法，如最短路径算法、Bellman-Ford 算法、Dijkstra算法等。
4. 社交网络分析图论在社交网络分析中起着重要的作用。
通过构建社交网络图，可以分析用户之间的关系、信息传播、社区发现等问题。
这些分析对于推荐系统、舆情监测等领域具有重要意义。
5. 电路设计图论在电路设计中也有应用。
通过将电路设计问题转化为图论问题，可以使用图论算法解决电路布线、最佳布局等问题。
数学中的图论问题研究
数学中的图论问题研究图论是数学中一个重要的分支，研究的是描述多个对象之间关系的图模型的性质和结构。
图论问题广泛应用于计算机科学、运筹学、电路设计等领域，并在实际生活中有很多应用。
本文将从几个重要的图论问题入手，探讨它们的理论背景和实际应用。
一、最短路径问题在图论中，最短路径问题是指连接图中两个顶点的路径中，边权之和最小的那条路径。
解决最短路径问题的方法有很多，常用的有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法适用于求解单源最短路径问题，而弗洛伊德算法则能够求解全局最短路径问题。
最短路径问题在实际生活中有广泛应用，比如地图导航、物流路径规划等。
地图导航中，我们需要找到起点和终点之间的最短路径，而物流路径规划中，我们需要找到运输货物所需的最短路径。
通过最短路径算法，我们可以高效地解决这些实际问题。
二、最小生成树问题最小生成树问题是指在带权无向图中找到一个边的子集，使得这个子集包含图中的所有顶点，并且边的权值之和最小。
在解决最小生成树问题时，常用的算法有普利姆算法和克鲁斯卡尔算法。
最小生成树问题在实际应用中也有很多。
比如，我们在设计电力输电网络时，需要将各个电力站点用最小的输电线路连接起来，以降低成本和能量损耗。
此外，最小生成树问题还可以应用于通信网络、铁路规划等领域。
三、旅行商问题旅行商问题是指在带权完全图中找到一条经过所有顶点的哈密顿回路，并且使得回路总权值最小。
旅行商问题是一个典型的NP完全问题，没有多项式时间的解法。
即使旅行商问题没有高效解法，但是它在实际生活中有很多应用。
比如，物流公司需要规划送货员的路线，使得送货员能够高效地访问每个客户。
其他应用还包括航空航天领域中的轨道规划、城市旅游规划等。
四、最大流问题最大流问题是指在有向图中找到从一个源点到一个汇点的最大流量。
最大流问题与最小割问题密切相关，可以通过最大流最小割定理相互转化。
最大流问题在网络流中有重要应用。
比如，在通信网络中，我们需要确定数据流从源点到目的地的最大传输量。
离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路
第9章 图论
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第9章 图论
第7章 图论
图论是一个重要的数学分支。数学家欧拉1736年发 表了关于图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七 桥问题。克希霍夫对电路网络的研究、凯来在有机化学 的计算中都应用了树和生成树的概念。随着科学技术的 发展，图论在运筹学、网络理论、信息论、控制论和计 算机科学等领域都得到广泛的应用。本章首先给出图、 简单图、完全图、子图、路和图的同构等概念，接着研 究了连通图性质和规律，给出了邻接矩阵、可达性矩阵、 连通矩阵和完全关联矩阵的定义。最后将介绍欧拉图与 哈密尔顿图、二部图、平面图和图的着色、树和根树。
v3
e7
a e6e3
e2
b e5
（本课程仅讨论无向图和有向图）
v4
c
9章 图论
【例7.1.1】无向图G=V(G),E(G),G
其中：V(G)=a,b,c,d
E(G)=e1,e2,e3,e4
G：G(e1)=(a,b) G(e2)=(b,c) G(e3)=(a,c) G(e4)=(a,a)
试画出G的图形。
即，deg(v)=deg－(v)+deg＋(v)，或简记为d(v)=d－(v)+d＋(v)
4）最大出度：+(G) =max deg＋(v) | vV
5）最小出度：+(G) = min deg＋(v) | vV
6）最大入度： (G) =max deg－(v) | vV
7）最小入度： (G) = min deg－(v) | vV
解：G的图形如图7.1.2所示。
图 7.1.2
由于在不引起混乱的情况下，图的边可以用有序对或无序 对直接表示。因此，图可以简单的表示为：
10种复杂电路的分析方法
10种复杂电路的分析方法在电路分析中，有许多复杂电路需要分析，为了有效地分析这些电路，可以使用以下10种方法：1.零散法：这种方法适用于电路中只有几个简单元件的情况。
通过逐个分析元件，从而得到整个电路的分析结果。
2.网孔法：当电路中有多个环路时，可以使用网孔法。
该方法将环路视为不相交的网孔，然后对每个网孔应用基尔霍夫定律进行分析。
3.原状导纳法：该方法适用于包含多个串联/并联电路的复杂电路。
将每个电路用导纳参数表示，并使用串并联电路的规则进行简化和组合，然后得到整个电路的分析表达式。
4.单一故障法：当电路中发生故障时，可以使用单一故障法迅速定位和分析故障。
该方法通过逐个打开或短路元件，从而找到引起故障的元件。
5.超节点法：当电路中有多个节点直接连接到理想电压源时，可以使用超节点法。
该方法将这些节点看作一个超节点，并根据基尔霍夫定律进行分析。
6.直接替换法：当电路中存在复杂的电压源或电流源时，可以使用直接替换法。
该方法通过将电压源或电流源替换为等效电路，从而简化分析过程。
7.求解矩阵法：该方法适用于大型复杂电路的分析。
将整个电路表示为一个矩阵方程，并使用线性代数方法求解该方程，从而得到电路的分析结果。
8.拓扑分析法：该方法将电路表示为一个拓扑图，并使用图论方法进行分析。
通过分析电路的拓扑结构，可以得到电路的一些重要特性。
9.叠加法：当电路中有多个独立源时，可以使用叠加法。
该方法通过将每个源分别激活，并将其他源置零，然后对每个源的影响进行分析，最后对所有结果进行叠加，从而得到整个电路的分析结果。
10.传输线理论：当电路中包含传输线时，可以使用传输线理论进行分析。
该方法将传输线视为一个独立子电路，通过传输线的特性参数进行分析。
这些方法在不同情况下都有其特定的优势和适用性。
根据电路的具体特点和要求，可以选择合适的方法进行分析，从而能够更好地理解和设计复杂电路。
什么是图论及其应用
图论是数学中的一个分支，主要研究图及其相关的问题。
图由若干个节点和连接这些节点的边组成。
节点可以代表现实世界中的对象，而边则代表对象之间的关系。
图论的研究对象包括有向图、无向图、加权图等。
在图论中，节点常常被称为顶点，边则被称为弧或边。
图可以用各种方式表示，如邻接矩阵、邻接表等。
图论的研究内容主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流以及图的染色等。
这些内容构成了图论的核心知识体系。
图论的应用非常广泛，涉及到许多领域。
在计算机科学中，图论被广泛应用于网络路由、图像处理、人工智能等领域。
例如，在网络路由中，图论可以用来寻找最短路径，以确定数据传输的最佳路径。
在图像处理中，图论可以用来进行图像分割，从而提取图像中的目标物体。
在人工智能中，图论可以用来构建知识图谱，从而实现知识的表示和推理。
除了计算机科学，图论还在物理学、生物学等领域中发挥着重要作用。
在物理学中，图论可以用来研究分子结构、粒子物理等问题。
例如，著名的色散关系图就是物理学中的一个重要概念，它描述了声波、电磁波等在介质中的传播特性。
在生物学中，图论可以用来研究蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
这些网络的研究有助于理解生物体内复杂的结构和功能。
此外，图论还在社交网络、交通规划、电路设计等领域中得到了广泛的应用。
在社交网络中，图论可以用来研究用户之间的连接关系，从而推荐好友、发现隐藏关系等。
在交通规划中，图论可以用来优化交通路径，减少拥堵现象。
在电路设计中，图论可以用来优化电路布线，提高电路的性能。
总而言之，图论是数学中一个重要的分支，有着广泛的应用领域。
它不仅在计算机科学中发挥着重要作用，还在物理学、生物学等领域中得到了广泛应用。
图论的发展不仅推动了数学理论的发展，也为各个领域的问题提供了有效的解决方法。
因此，学习和应用图论对于我们来说是非常重要的。
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[B]=
l ×b
1
独立回路l 独立回路
每一行对应一个独立回路， 每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路， 每一列对应一条支路，矩阵 B的每一个元素定义为： 的每一个元素定义为： 的每一个元素定义为
支路j 在回路i中方向一致 支路 在回路 中方向一致 支路j 在回路i中方向相反 支路 在回路 中方向相反 支路j 不在回路i中 支路 不在回路 中
T
４ ① ２ ３
５ ③ ６ ④1
[ B ][ u ]=
1 -1 0 1 -1 1 0 1 -1 Bt
1 0 0
0 1 0 Bl
0 0 1
u4 u5 u4 − u5 + u1 u6 = u4 − u5 + u6 + u2 = 0 u1 u5 − u6 + u3 u2 u3
A
B D
A
C B
哥尼斯堡七桥难题
D
C
1.
10.1 图论的基本定理 n=5 电路的图 i
R1 R3 抛开元 件性质
1
b =8
8 3 5
R2 + uS _ R5
R4
1 5 2 6 4 3
2 7
4 6
元件的串联及并联 组合作为一条支路
一个元件作 为一条支路
n= 4
b=6
有向图
电路的图是用以表示电路几何结构的图形， 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支 路和结点与电路的支路和结点一一对应。 路和结点与电路的支路和结点一一对应。 图的定义( (1) 图的定义(Graph) G={支路，节点} 支路，节点 支路 ① １ ②
Aa=
结点n 结点
n ×b
每一行对应一个结点， 每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路， 每一列对应一条支路， 矩阵A 矩阵 a的每一个元素定 义为： 义为：
ajk
ajk=1 ajk= -1 ajk =0
支路k与 关联， 支路 与结点j 关联，方向背离结点。 支路k与 关联， 支路 与结点j 关联，方向指向结点 支路k与结点 与结点j无关 支路 与结点 关
设③为参考节点,得降阶关联矩阵 为参考节点 得降阶关联矩阵
2 3 4 5 6 1 -1 -1 0 1 0 0 Aa= 2 0 0 1 -1 -1 0 4 0 1 -1 0 0 -1
支 结 1
注
给定A可以确定 给定 可以确定Aa， 可以确定 从而画出有向图。 从而画出有向图。
引入关联矩阵A的作用： 引入关联矩阵 的作用： 的作用
矩阵形式的KVL： [ B ][ u ]= 0 ： 矩阵形式的
[ Bf ][ u ]= 0 可写成
ut [Bt 1 ] = 0 ul
1 7 6
2 5 8
3
2
不是 回路
4
回路
特点
1）对应一个图有很多的回路 ） 基本回路的数目是一定的， 2）基本回路的数目是一定的，为连支数 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数 对于平面电路，
l = bl = b − (n −1)
基本回路(单连支回路 基本回路 单连支回路) 单连支回路 6 4 2 1 3 1 5
7
10.2 KCL和KVL的独立方程数 和 的独立方程数
1.KCL的独立方程数 的独立方程数 1.
2 1 1 6 4 4 3 5 1 2 3 2 3 4 1
i1 − i4 − i6 = 0 − i1 − i2 + i3 = 0 i2 + i5 + i6 = 0 − i3 + i4 − i5 = 0
第10章 图 10章
重点
论
关联矩阵、割集矩阵、 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念 回路电流方程、 2. 回路电流方程、结点电压方程和割 集电压方程的矩阵形式
网络图论
图论是拓扑学的一个分支， 图论是拓扑学的一个分支，是富有 趣味和应用极为广泛的一门学科。 趣味和应用极为广泛的一门学科。
例
② ４ ① ２ ３ ６ ④1
为树， 选 4、5、6为树，连支顺序为 、2、3。 、 、 为树 连支顺序为1、 、 。 支 回 4 5 1 1 -1
５ ③
6
0
1
1
2
0
3
0
B = 2 1 -1 1 0 1 0 3 0 1 -1 0 0 1
Bt = [ Bt 1 ] Bl
②
引入回路矩阵[B]的作用： 引入回路矩阵 的作用： 的作用 回路矩阵[B]表示矩阵形式的 表示矩阵形式的KVL方程 ① 用回路矩阵 表示矩阵形式的 方程 设 [u] = [u4 u5 u6 u u2 u3 ] 1 ut ul
4 8 2 3
割集Q 割集 (Cut set ) Q是连通图 中支路的集合，具有下述性质： 是连通图G中支路的集合 具有下述性质： 是连通图 中支路的集合， (1)把 中全部支路移去 图分成二个分离部分。 中全部支路移去， (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回 中一条支路，仍构成连通图。 任意放回Q (2)任意放回 中一条支路，仍构成连通图。 6 6 1 4 1 4 3 9 7 3 9 5 2 8 5 2 8 割集： ）（2 ）（3 ）（4 ）（ ）（5 割集：（1 9 6）（ 8 9）（ 6 8）（ 6 7）（ 7 8） ）（ ）（ ）（ ） ）（3 （3 6 5 8 7）（ 6 2 8）是割集吗？ ）（ ）是割集吗？ 基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝ 只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1 连支集合不能构成割集
基本回路具有独占的一条连枝 6 2 1 3 3
5 2
结论
结点、 结点、支路和 基本回路关系
支路数＝树枝数＋ 支路数＝树枝数＋连支数 结点数－ ＋ ＝结点数－1＋基本回路数
b = n + l −1
例
图示为电路的图， 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。 本回路。 1 4 8 3 5 6 7 2 8 5 6 7 4 8 3 6
＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
结论 n个结点的电路 独立的 个结点的电路, 独立的KCL方程为 个。 方程为n-1个 个结点的电路 方程为
2.KVL的独立方程数 的独立方程数 2.
KVL的独立方程数 基本回路数 －(n－1) 的独立方程数=基本回路数 的独立方程数 基本回路数=b－ －
结 论
n个结点、b条支路的电路 独立的 个结点、 条支路的电路 条支路的电路, 个结点 KCL和KVL方程数为： 方程数为： 和 方程数为
图中的结点和支路各自是一个整体。 a. 图中的结点和支路各自是一个整体。 b. 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在， 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在， 因此允许有孤立结点存在。 因此允许有孤立结点存在。
如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。 c. 如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
1）对应一个图有很多的树 ） 2）树支的数目是一定的： 树支的数目是一定的： 连支数： 连支数：
bt = n −1
bl = b − bt = b − (n −1)
回路 (Loop)
L是连通图的一个子图，构成一条闭合 是连通图的一个子图， 路径，并满足：(1)连通 (2)每个节点 连通， 路径，并满足：(1)连通，(2)每个节点 关联2 关联2条支路 1 2 7 5 8 4 3 5
bij= -1
0
例
４ ①
② ５
取网孔为独立回路， 取网孔为独立回路，顺时针方向
③
1
２
３ 2 ６ ④1
3
支1 2 3 4 5 6 回 1 0 1 1 1 0 0 B = 2 0 0 -1 0 -1 1 3 1 -1 0 0 0 -1 给定B可以画出有向图。 给定 可以画出有向图。 可以画出有向图
注
若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵[B 规定： 若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵[Bf]，规定： 1。连支电流方向为回路电流方向 2。支路排列顺序为先树支后连支， 支路排列顺序为先树支后连支， 回路顺序与连支顺序一致
结点 回路 割集
支路 支路 支路
关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
1. 关联矩阵
一条支路连接两个结点， 一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关 结点和支路的关联性质可以用关联矩阵A 描述。 联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵 a描述。 N个结点b条支路的图用n×b的矩阵描述 个结点b条支路的图用 × 的矩阵描述 个结点 支路b 支路
引入降阶关联矩阵A 引入降阶关联矩阵 A=
(n-1) ×b
结点（ ） 结点（n-1）
② ４ ① ２ ３ ６ ④1 ５ ③
设④为参考节点,得降阶关联矩阵 为参考节点 得降阶关联矩阵
2 3 4 5 6 1 -1 -1 0 1 0 0 A= 2 0 0 1 -1 -1 0 3 1 0 0 0 1 1
支 结 1
(2) 路径
从图G 从图G的一个节点出发沿着一些支路连续 移动到达另一节点所经过的支路构成路 经。 图G的任意两节点间至少有一条路经 时称为连通图， 时称为连通图，非连通图至少存在两 个分离部分。 个分离部分。
（3）连通图
(3) 子图
若图G 中所有支路和结点都是图G中 若图 1中所有支路和结点都是图 中 的支路和结点，则称G1是G的子图。 的支路和结点，则称 的子图。 的子图
(n −1) + b − (n −1) = b
10.3 图的矩阵表示
电路的图表征了网络的结构和拓扑， 电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路 的图，可以写出网络的KCL和KVL方程。 方程。 的图，可以写出网络的 和 方程 图的矩阵表示 用矩阵描述图的拓扑性质， 用矩阵描述图的拓扑性质， 的矩阵形式。 即KCL和KVL的矩阵形式。 和 的矩阵形式