第一章 2 重积分计算的换元法分析

绥化学院本科毕业设计（论文）重积分计算的换元法分析学专年Suihua University Graduation PaperStorage MaterialsStudent name Li TingtingStudent number 200854100Major Applied chemistrySupervising teacher Qi XiuliSuihua Universit摘要换元法是数学中求重积分时用到的一种非常重要的计算方法，它不仅是重点，也是难点。

本文共分为两章，第一章介绍的就是与二重积分和三重积分在换元法上的一些相关概念、定理及其公式推导过程，而第二章则是结合第一章的相关内容进一步运用到实例中进行分析研究及其说明。

关键词：二重积分；三重积分；换元法目录Suihua University Graduation Paper (2)Suihua Universit (2)摘要 (I)目录.......................................................................................................................................... 前言. (1)第1章重积分计算的换元法理论 (2)第1节二重积分换元法的理论分析 (2)第2节三重积分换元法的理论分析 (6)第2章重积分计算的换元法实例 (10)第1节二重积分的换元法实例 (10)第2节三重积分的换元法实例 (18)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)前言换元法是重积分计算中一种重要方法，是我们必须掌握的基本技能之一。

它同其它数学知识一样，都是经历了从特殊到一般，从直观到抽象的发展阶段，而人们正在这样的发展中，逐渐认识、了解到它们的内在联系及其本质。

然而本文我们要阐述的是对重积分计算的换元法分析，也就是针对于二重积分和三重积分进行的换元法分析。

本文共分为两章，第一章最主要内容就是对重积分换元法的理论进行分析，尤其是定理的分析是其中心内容，而第二章的内容是重积分计算的换元法实例及其分析。

无论是二重积分换元法，还是三重积分换元法，目的就是使计算更简便。

本文就是针对于二重积分与三重积分的多种换元法进行的分析，将第一章理论分析运用到第二章实例中。

在通过比较各种解法的难与易，繁与简的基础上，总结出一些规律性的东西，进一步提高学习效果及其掌握它的本质和应用技巧。

本文将借鉴已有的理论知识，结合自身理解，对重积分计算的换元法进行分析说明。

第1章 重积分计算的换元法理论第1节 二重积分换元法的理论分析定理1(二重积分换元法) 若函数(,)f x y 在有界闭区域D 连续，函数组①(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩将uov 平面的区域D '一对一的变换为x o y 平面上的区域D ，且函数组①在D 上对u 与v 存在连续偏导数，(,)x y D '∈，有(,)0(,)x y J u v ∂=≠∂，则有：(,)[(,),(,)](,)DD f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv '=⎰⎰⎰⎰．证明 用任意分法T 将区域D 分成n 个小区域：1D ，2D ，⋅⋅⋅，n D ． 设其面积分别是1σ∆，2σ∆，⋅⋅⋅，n σ∆．于是，在D '上有对应的分法T '， 将D '对应的分成n 个小区域：1D '，2D '，⋅⋅⋅，n D '．设其面积分别是1σ'∆，2σ'∆，⋅⋅⋅，n σ'∆．(,)k u v D '∀∈，有： (,)(,)(,)k kk x y J u v u v σσσ∂''∆≈∆=∆∂，(,)k k k D ξη∀∈，在k D '对应唯一一点,()k k αβ，而(,)k k k x ξαβ= (,)k k k y ηαβ=，则(,)(1,2,,)i i i D i n ξη∈=⋅⋅⋅．做二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰的积分和11(,)[(,),(,)](,)nnk k k k k k k k k kk k f f x y J ξησαβαβαβσ=='∆≈∆∑∑， 上式右边的和式是D '上可积函数[(,),(,)](,)f x u v y u v J u v 的积分和．又由变换T 的连续性可知，当区域D '的分割T '：1D '，2D '，⋅⋅⋅，n D '的细度0D T '→时，区域D 相应的分割D T ：1D ，2D ，⋅⋅⋅，n D的细度D T 也趋于零．因此得到(,)[(,),(,)](,)DD f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv '=⎰⎰⎰⎰．分析 从几何的角度看，函数组①(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩是一种变换，它把xo y 平面上的区域变为uov 平面上的区域，在这个变换之下其面积微元之比正等于函数组①雅可比行列式的绝对值：(,)xy uvd J u v d σσ=，即(,)xy uv d J u v d σσ=，这就是二重积分换元法内涵．要点1 当二重积分区域的边界方程较复杂时，无法画图、无法确定二次累次积分的积分限时，常考虑用以上定理换元．根据上面定理可直接推导出一个应用广泛的重要推论如下： 推论 若函数(,)f x y 在有界闭区域D 连续，设函数组②cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则该变换的逆变换把D 一一变换为D '，则有：cos sin (,)sin cos r J x y r r θθθθ-==，则'(,)(cos ,sin )DDf x y dxdy f r r drd θθθ=⎰⎰⎰⎰，这时我们把函数组②叫做二重积分的极坐标变换．分析 （1）从积分区域上看，当有界闭区域D 是圆域222x y a +≤时，极坐标变换的逆变换把x o y 平面上的区域变成ro θ平面上的矩形区域，D '：0r a ≤≤，02θπ≤≤．（如图1-1所示）②的逆变换图1-1因此当积分区域的边界方程中含有“22x y +”时常用极坐标代换，这样就可以把复杂区域上的二重积分转化为矩形区域上的二重积分来计算．（2）从被积函数上看，当被积函数的解析中含有“22x y +”时常用极坐标代换，因为可以把“22x y +”变为“2r ”把两个变量化为一个变量，以达到消元目的．要点2 当二重积分的被积函数的解析式中或积分区域的边界方程中含有“22x y +”时常用极坐标代换．例1 求出抛物线2y p x =，2y qx =(0)p q <<以及双曲线x y a =，xy b =(0)a b <<所围区域的面积．分析 该面积可用二重积分Ddxdy ⎰⎰来计算，其D 即为要求平面图形的面积，即积分区域是由抛物线2y px =，2y qx =，(0)p q <<，以及双曲线xy a =，xy b =(0)a b <<围成，所以积分限的确定比较复杂，故应做适当换元，把给定被积函数转变为较简单的函数，故作变换：2y u xxy v ⎧=⎪⎨⎪=⎩进行求解，其中雅可比行列式为(,)1(,)3x y J u v u∂==∂．解 （如图1-2所示）作变换2yu x=，xy v =，在这个变换下，xo y 平面上的区域D对应了uov 平面上的区域D '：p u q a v b≤≤⎧⎨≤≤⎩.另外，(,)1(,)3x x x y u v J y y u v uuv∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂，于是所求面积为：DD dxdy =⎰⎰13D dudv u '=⎰⎰13b q apdv duu=⎰⎰1()ln3q b a p=-.图1-2o xoup q第2节 三重积分换元法的理论分析定理2 (三重积分换元法)设替换公式T ：(,,)x x u v w =，(,,)y y u v w =，(,,)z z u v w =，将uvw 空间中区域V '一对一的映成xyz 空间中的区域V ，x ，y ，z 关于u ，v ，w 在V '内有连续的二阶偏导数，且它们的函数行列式(,,)(,,)0(,,)x y z J u v w u v w ∂=≠∂，(,,)u v w V '∈，则区域V 的体积()(,,)v s v J u v w d u d v d w '=⎰⎰⎰．证明 用平行于坐标面的平面网把V '分成n 个小空间区域i V '，在变换T 作用下，空间区域V 也相应地被分成n 个小空间区域i V ，记i V '与i V 的体积为()i s V '与()i s V(1,2,,)i n =⋅⋅⋅．由定理2及三重积分的中值定理，有：()(,,)(,,)()i i i i i i V s v J u v w dudvdw J u v w s v '''''==⎰⎰⎰，其中(,,)(1,2,,)i i i u v w V i n ''''∈=⋅⋅⋅．令(,,)i i i x u v w ξ'''=，(,,)i i i y u v w η'''=，(,,)i i i z u v w ζ'''=，则(,,)(1,2,,)i i i i V i n ξηζ∈=⋅⋅⋅． 做三重积分(,,)V f x y z dxdydz '⎰⎰⎰的积分和：1(,,)()ni i i i i f s V σξηζ==∑1((,,),(,,),(,,))(,,)()ni i i i i i i i i i i i i f x y z J u v w s V ξηζξηζξηζ=''''=∑.上式右边的和式是V '上的可积函数：((,,),(,,),(,,))(,,)f x u v w y u v w z u v w J u v w 的 积分和V '，又由替换T 的连续性可知，当V '的分割V T '：12,,,n V V V '''⋅⋅⋅的细度0V T '→时，V相应的分割V T ：12,,,n V V V ⋅⋅⋅的细度V T 也趋于零． 因此得到：(,,)Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰((,,),(,,),(,,))(,,)V f x u v w y u v w z u v w J u v w dudvdw'=⎰⎰⎰.定理3 设V 是由分片光滑曲面所围成的有界闭区域，函数(,,)f x y z 在V 上连续，变换T ：(,,)(,,)(,,)x x u v w y y u v w z z u v w =⎧⎪=⎨⎪=⎩将空间uvw 上由简单闭曲面所围成的闭区域V '，映射到空间xyz上闭区域V ，且满足： （1）变换是一一对应的；（2）(,,)(,,)(,,)x x u v w y y u v w z z u v w ===在V '具有连续导数； （3）变换的雅可比行列式(,,)0(,,)x y z u v w ∂≠∂，则(,,)Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰(,,)((,,),(,,),(,,))(,,)V x y z f x u v w y u v w z u v w dudvdw u v w '∂=∂⎰⎰⎰．分析 要证上式成立，只需证(,,)(,,)x y z dxdydz dudvdwu v w ∂=∂ ①成立，即证xyz 空间上的体积微元dxdydz 与uvw 空间上的体积微元dudvdw 之间的比例系数是雅可比行列式的绝对值，如果将①式写成形式：(,,)(,,)x y z dxdydz dudvdw u v w ∂=∂，只需证明dxdydz 与dudvdw 表示的有向体积微元相同符号，且它们之间的比例系数是雅可比行列式即可．证明 因为变换T ：(,,)(,,)(,,)x x u v w y y u v w z z u v w =⎧⎪=⎨⎪=⎩是uvw 空间到xyz 空间上的一一映射，且(,,)x x u v w =，(,,)y y u v w =，(,,)z z u v w =在V '具有连续偏导数，所以对变换T 求微分得：u v w u v w u v w dx x du x dv x dw dy y du y dv y dw dz z du z dv z dw=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩．由(,,)0(,,)x y z u v w ∂≠∂，可将②式作为三维微分向量空间一组基d u ，dv ，dw 到另一组基dx ，dy ，dz 的基变换：(,,)(,,)uv wuv w uvwx x x x y z dxdydz y y y dudvdw dudvdwu v w z z z ∂==∂．又因为变换T 是空间uvw 到空间xyz 上的一一映射，通常规定空间xyz 空间uvw 同 为右手系，所以dxdydz 和dudvdw 表示的有向体积微元的符号相同，因此可分别看成是正体积微元dxdydz 与dudvdw ，于是得到变量代换公式：(,,)(,,)((,,),(,,),(,,))(,,)VV x y z f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w dudvdw u v w '∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰．例1 计算23I xy z dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =与平面y x =，1y =及0z =所围成的闭区域．解 积分区域Ω，易用直角坐标计算，且选用先z 后y 再x 的积分次序（如图1-3所示）．将Ω向xo y 面投影，得投影区域xy D ：01x ≤≤，1x y ≤≤则积分域可用不等式组表示Ω0110x x y z xy ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则11230xy I dx dy xy z dz=⎰⎰⎰15121()28x x dx =-⎰111()28613=-1312=图1-3总结：本章内容最主要的就是对重积分换元法的理论进行分析，尤其是定理的分析是本章的中心，本章内容与今后在实例中有紧密的联系．第2章 重积分计算的换元法实例第1节 二重积分的换元法实例换元法是计算定积分的重要方法，它也是计算积分的重要方法．由于二重积分区域是平面上的区域，它比定积分的积分区间复杂的多，因此二重积分的换元法不仅要简化被积函数，而更重要的是简化积分区域．这里介绍几种常用的二重积分的换元法．换元法的法则：设(,)f x y 在o xy 平面上的有界区域D 上连续，(,)x x u v =，(,)y y u v =，(,)u v D '∈.在D '上有对u ，v 的连续偏导数，(,)u v D '∈把D 一对一的变为D '，且(,)0(,)v x x y u v J y y u v uv∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂，则(,)[(,),(,)](,)DD f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv '=⎰⎰⎰⎰．一、极坐标变换在二重积分的被积函数或积分区域的边界曲线方程中含有“22x y +”时，常用极坐标变换．例1 求二重积分22()xy De dxdy-+⎰⎰其中D 为圆221x y +=所围成的区域．分析：此题为二重积分计算，D ={22(,)1x y x y += }被积函数中含有“22x y +”，故适合应用极坐标变换：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩进行求解，其中雅可比行列式为：cos sin sin cos x x r r J r y y r rθθθθθθ∂∂-∂∂===∂∂∂∂.解 因为被积函数与积分区域D 的边界曲线的方程都含有“22x y +” ，所以取极坐标变换T ：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ ，满足cos sin sin cos x x r r J r y y r rθθθθθθ∂∂-∂∂===∂∂∂∂，因此22()x y Dedxdy-+⎰⎰2'rDerd d ϕγ-=⎰⎰2210rd erd d πϕϕγ-=⎰⎰1(1)e π-=-根据22sin cos 1θθ+=的思想，可以得到广义极坐标变换． 1、若被积函数或积分区域的边界曲线的方程含有：“2222x y ab+”时，则可作广义极坐标变换 cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩，满足cos sin sin cos x x a ar r J abr y y b br rθθθθθθ∂∂-∂∂===∂∂∂∂，当1a b ==时，广义极坐标变换就是极坐标变换．例 2求D⎰⎰，其中D 为椭圆22221x y ab+=所围成的区域，这里0,0a b >>．分析 此题为二重积分计算，积分区域为“22221x y ab+=”，所以可应用广义极坐标变换cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩进行求解．其雅可比行列式为：cos sin sin cos a ar J abr b br θθθθ-==,且0102r θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩．解 作变换T ：cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩，cos sin sin cos x x a ar r J abr y y b br rθθθθθθ∂∂-∂∂===∂∂∂∂，T 将D 变为01(,)02r D r θθπ⎧≤≤⎫⎪'=⎨⎬≤≤⎭⎪⎩.故D⎰⎰D d γθ'=⎰⎰22(1)2ab d r πθ=--⎰⎰34ab π=2、若被积函数或积分区域的边界曲线的方程含有“”时，可作变换：44cos sin x r y r θθ⎧=⎨=⎩，其中0201r πθ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩，且334sin cos J r θθ=． 例3求1D⎰⎰，其中D1+=，直线0x =，0y =所围成的区域．分析 此题为二重积分计算，当被积函数或积分区域含有根号时，例如被积函数中含有“，为简化计算做适当变换，故应用极坐标变换44cossinx ry rθθ⎧=⎨=⎩进行求解，其中雅可比行列式为334sin cosJ rθθ=．解作变换T：44cossinx ry rθθ⎧=⎨=⎩，其中201rπθ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩，且334sin cosJ rθθ=．T将D变为01=(,)2rD rθπθ⎧≤≤⎫⎪⎪'⎨⎬≤≤⎪⎪⎭⎩，所以D⎰⎰33sin cosDr drdθθθ'=⎰⎰332004cos sin dπθθθ=⎰⎰3322281sin(1sin)sin3dπθθθ=⨯-⎰32219=⨯29=二、为简化积分区域作变换有时从题目给出的积分区域无法直接确定积分限，这时若经过一个适当的换元就可以把给定的区域变为比较简单的区域，如化为矩形区域或矩形区域的一部分时，这就简化了二重积分的计算．例4 求曲线12x yx y+=⎧⎨+=⎩及2y xy x=⎧⎨=⎩所围成区域面积．分析此题为直线12x yx y+=⎧⎨+=⎩及2y xy x=⎧⎨=⎩所围区域面积计算，其所围图形不规则，积分限不易确定，面积不易计算，故应作适当换元，把给定区域面积转变为较简单的区域面积，故作变换T ：v x y u yx+=⎧⎪⎨=⎪⎩可以化简计算，其中雅可比行列式为2(1)u J v =+（如图2-1所示）．解图2-1作变换T ：v x y uyx +=⎧⎪⎨=⎪⎩，2(1)u J v =+.T将D 变为D '={(,)12,12u v u v ≤≤≤≤}，所以D 的面积公式：DS dxdy =⎰⎰D J dudv '=⎰⎰22211(1)u dv du v =+⎰⎰221(21)(21)2(11)(12)--=⨯++14=三、为简化被积函数作变换有些重积分，积分区域容易确定，但被积函数却不易找到原函数，这时可根据被积函数的特点做出适当的变换．例5 求x yx y De dxdy -+⎰⎰，其中D 由直线1x y +=，0x =，0y =所围成的区域．分析 此题积分区域为直线1x y +=，0x =，0y =所围成的区域，易找到积分限，但却不易找到被积函数的原函数，故应作适当换元，把给定的被积函数转变为较简单的函数，故作变换T ：1()21()2x u v y v u ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩进行求解，其中雅可比行列式为12J =(如图2-2所示)．图2-2T将D 变为=D '{(,),01u v v u v v -≤≤≤≤}，所以x yx yDedxdy -+⎰⎰uvD edudv'=⎰⎰10uvv vdv e du -=⎰⎰T110()v e e dv -=-⎰11()2e e -=-四、其它方法1、当积分区域的边界方程较复杂无法画出图形，也无法直接确定二次累次积分的积分极限时，可根据区域边界方程特点考虑换元法．例6 求曲线2(0,0)x y x y a b a bab=->>（+）与0y =所围成的区域D 的面积．分析 区域D 的边界方程非常复杂，区域D 的图形画起来很困难．由“要点一”考虑二重积分的换元法，考虑到把其边界曲线化为规范图形的边界曲线，因此做变换x y u a b x y v a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即()2()2a x u v b y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则区域D 变换为uov 平面的区域D '，而D '由抛物线2u v =和直线u v =围成．解 作变换T ：x y u a b x y v a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即()2()2a x u v b y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则D '由抛物线2u v =和直线u v =围成，所以D '：01u ≤≤，2u v u ≤≤，(,)2ab J u v =，Ds dxdy =⎰⎰210(,)12u uD abJ u v dudvdu dv '=⎰⎰⎰⎰12ab =2、把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重积分计算：有时候极坐标系下的二重积分计算很困难时可以把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下二重积分来计算．例7计算二重积分2sin DI r θθ=⎰⎰，其中区域D 是(,)|0sec ;04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．分析 此题是极坐标系下的二重积分，直接计算很困难，但反过来可以用极坐标代换把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重积分来计算，关键是把极坐系下得区域D 化为直角坐标系下的区域D '．由D 的边界曲线sec r θ=得：222222sec 1tan 1x x y r yθθ+===+=+.得：222()(1)0x y x +-=,所以1x =由4πθ=得：y x=，即D '是由直线0x =，1x =及直线y x =围成．解 作极坐标代换：cos x r θ=，sin y r θ=，则该变换把D 变为D '，而D '由直线x =，1x =及直线y x =围成，所以D '：01x ≤≤，0y x ≤≤，即：2sin DI r θθ=⎰⎰(sin Dr θθ=⎰⎰D '=⎰⎰122(1)x dx x y =-+⎰⎰13316π=-.第2节 三重积分的换元法实例三重积分是高等数学中的重要内容，是我们必须掌握的基本技能之一．那么在三重积分的换元法中柱面坐标变换和球面坐标变换是极其重要的内容，以下就是我们本节要分析的．1、一般变换当被积函数和积分区域没有明显规律，可做一般变换，将积分区域转变为较简单 的区域进行计算．例1 计算Vxyzdxdydz ⎰⎰⎰，其中13yx x≤≤，3y zx y ≤≤，3z xy z ≤≤．分析 此题所给积分区域不易画出，故作一般变换，令yz u x=，zx v y=，xy w z=将积分区域变换为长方体，其中(,,)1(,,)4x y z J u v w ∂==∂．解 令yz u x=，zx v y=，xy w z=则V 变为V '：13u ≤≤，13v ≤≤，13w ≤≤故(,,)4(,,)u v w x y z ∂=∂，从而(,,)1(,,)4x y z u v w ∂=∂，xyz uvw =，所以Vxyzdxdydz ⎰⎰⎰14V uvw dudvdw '=⋅⎰⎰⎰33311114udu vdv w dw=⎰⎰⎰3311()4udu =⎰16=2、柱面坐标变换用柱面坐标计算三重积分，是将立体V 向xo y 平面作投影，得到平面区域D ，从 而将V 表示为{12(,,)|(,)(,),(,)x y z z x y z z x y x y D ≤≤∈}，于是有：21(,)(,)(,,)(,,)z x y z x y VDf x y z dxdydz dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰.第二次积分计算为二重积分计算，若区域D 为圆域或圆域的一部分时，可设cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，①其中0r ≤≤+∞，02θπ≤≤，z -∞<<+∞，以(,,)r z θ表示点P ,称为点P '的柱面坐标，（如图2-3所示），cos sin 0(,,)sin cos 0(,,)1r x y z J r r r z θθθθθ-∂===∂. 则有：(,,)(cos ,sin ,)vv f x y z dxdydz f r r z rdrd dz θθθ'=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，②其中立体V '是立体V 在柱面坐标变换①下所对应的r z θ空间中的立体．图2-3例 2 求三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰其中体V 由上半球面2228(0)x y z z ++=≥和旋转抛物面222x y z +=所围成.分析 （如图2-4所示）当围成体V 的曲面的函数或被积函数含有“22x y +”或“222x y z ++”时，此题围成体V 中含有“22x y +”或“222x y z ++”故应作变换cos sin x r y r z zθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中(,,)(,,)x y z J r r z θ∂==∂．图2-4解 围成体V的上、下曲面分别是：z =与 221()2z x y =+.这两个曲面的交线（联立方程组的解）：2z =，224x y +=，即平面2z =上的圆224x y +=，于是，体V在xy 平面上的投影是圆域223x y +≤，可作柱面坐标变换.设T ：cos sin x r y r z zθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，则(,,)(,,)x y z J r r z θ∂==∂.此时，曲面方程z =224x y +=方程分别是：z =，及24r =. 于是22rz ≤≤，02r ≤≤，02θπ≤≤．例3 计算22()Vx y dxdydz +⎰⎰⎰，其中V 是由曲面222()x y z +=与2z =为界面区域．分析 （如图2-5所示）当围成体V 的曲面的函数或被积函数含有“22x y +”时应作变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，其中(,,)(,,)x y z J r r z θ∂==∂．解 V 在xy 平面上的投影区域D 为222x y +≤按柱面坐标变换区域V '可表为：{2(,,)|22,002r z r z r θθπ≤≤≤≤≤≤}．所以由公式：(,,)(cos ,sin ,)VV f x y z dxdydz f r r z rdrd dzθθθ'=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，图2-522()Vx y dxdydz+⎰⎰⎰3V rdrd dzθ'=⎰⎰⎰22322rd r dz πθ=⎰⎰⎰43π=-3、球面坐标变换设sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩①其中0r ≤≤-∞，0ϕπ≤≤，02θπ≤≤称为球面坐标，（如图2-6所示）．球面坐标变换，通常为找出ϕ与θ的范围：V '={121212(,,)|(,)(,),()(),r r r r ϕθϕθϕθϕθϕϕθθθθ≤≤≤≤≤≤}222111()(,)2()(,)(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r Vf x y z dxdydz d d f r r r r dr θϕθϕθθϕθϕθθϕϕθϕθϕϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰注意：角ϕ是以z 轴为始边到O M 的夹角，2sin cos cos cos sin sin (,,)sin sin cos sin sin cos sin (,,)cos sin 0r r x y z J r r r r z r ϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕϕ-∂===∂-，因为0ϕπ≤≤，所以22sin sin r r ϕϕ=，有：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin VV f x y z dxdydz f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕθ'=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰， ②其中体V '是体V 在球面坐标变换①下所对应的r ϕθ空间中的体．图2-6例4 求三重积分222()Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰，其中体V 由圆锥面222(0)x y z z +=>与上半球面2222(0)x y z R z ++=≥所围成．分析 （如图2-7所示）当围成体V 的曲面函数或被积函数含有“222x y z ++”或“22x y +”，可考虑使用球面坐标变换．特别是，当体V 以原点为心以a 为半径的球体：2222x y z a++≤，应用球面坐标变换最为简单．由球面坐标变换①，有：2222222222(sin cos sin sin cos )x y z r rϕθϕθϕ++=++=，于是，球体：2222x y z a ++≤在球面坐标变换下变换为r ϕθ空间的长方体：{(,,)0,02,0r r a ϕθθπϕπ≤≤≤≤≤≤}．对围成体V 的曲面函数可作变换T ：sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩， 则2(,,)sin (,,)x y z J r r ϕϕθ∂==∂．解 设T sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，则2(,,)sin (,,)x y z J r r ϕϕθ∂==∂.圆锥面与上半球面在球面坐标中的方程分别是：4πϕ=与r R =．于是，立体V 经过球面坐标变换对应的立体V '是：｛(,,)|0,0,024r r R πϕθϕθπ≤≤≤≤≤≤｝.由公式②，则有222()Vx y z dxdydz++⎰⎰⎰22240sin Rd d r r dr ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰2440sin Rd d r dr ππθϕϕ=⎰⎰⎰522R -=.图2-7在对三重积分进行换元的时候，有时可以考虑一题多解.例5 计算三重积分(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰，其中积分区域Ω是2222x y z a ++≤,z ≤．解法1 球面坐标变换解 球面2222()x y z a a ++-=及锥面z =在球面坐标系中的方程分别为2cos r a ϕ=及其4πϕ=，由原点出发，引任意一条射线，通过区域Ω交于球面，于是在Ω那内部射线上任一点p 的坐标r 满足02cos r a ϕ≤≤，θ与ϕ满足20θπ≤≤及04πθ≤≤．因此Ω可用不等式组表示为：02cos 0204r a ϕθππθ⎧⎪≤≤⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎩，从而20(,,)(cos ,sin )a a rf x y z dv d rdr f r r πθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.解法2 柱面坐标变换解 把区域Ω投影到xo y 面上，得到半径a 的圆形区域D ：0r a ≤≤，02θπ≤≤．在D内任取一点(,)p r θ，过此点作平行于z 轴的直线，此直线沿z轴正方向通过圆锥面z =，即z r =穿入Ω内，然后通过上半球面z a =+，即z a =+Ω外，因此区域Ω可用不等式表示出来：002r z a r a θπ⎧≤≤+⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰(,sin ,)a rD rdrd f rcos r z dz θθθ=⎰⎰⎰20(cos ,sin )a a rd rdr f r r πθθθ=⎰⎰⎰例6 计算三重积分3zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面221222x y z ++=，其中三个平面：000z x y =⎧⎪≥⎨⎪≥⎩000y x z =⎧⎪≥⎨⎪≥⎩000x y z =⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所围成的空间立体． 解法1 球面坐标变换分析 根据推广的广义球坐标变换，得到三个曲面族，可简化计算，故应作变换T ：222sin cos 2sin sin 2cos x r y r z r ϕθϕθϕ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，其中216sin sin cos J r ϕθθ=．解 令T ：222sin cos 2sin sin 2cos x r y r z r ϕθϕθϕ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.曲面方程化为1r =，且(,,)(,,)u v w J r ϕθ∂=∂2222sin cos 2cos cos 4sin cos sin 2sin 2cos cos 4sin cos sin 2cos 2sin 0r r r r r ϕθϕθϕθθϕϕθϕθθϕϕ-=-28sin sin cos r ϕθθ=坐标曲面网面由22222222(cos )222sin (cos )sin 22x y z r x y z y x ϕϕϕθ⎧++=⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩来确定，,,r θϕΩ={(,,)|01,0022r r πθϕθϕπ≤≤≤≤≤≤}.所以3xyzI zdxdydz Ω=⎰⎰⎰2332sin cos sin cos r r drd d θϕθθϕϕθϕΩ=⎰⎰⎰1322096sin cos sin cos d d r dr ππθθθϕϕϕ=⎰⎰⎰6=解法2 柱面坐标变换分析 根据广义柱面坐标变换，得到三个平面族，可简化其计算，故作变换222cos 2sin 2x r y r z w θθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩其中(,,)16sin cos (,,)x y z J r r w θθθ∂==∂，故可计算求其解．解 令T ：222cos 2sin 2x r y r z w θθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.曲面方程化为221r w +=，且(,,)(,,)u v w J r ϕθ∂=∂222cos 4cos sin 02sin 4sin cos 00r r cθθθθθθ-= 16sin cos r θθ=.坐标曲面网为：r =常数：22x y r+= （平面族）；θ=常数：22sin cos 22x y θθ=（平面族）；w =常数：2z w = （平面族）．来确定，,,r θϕΩ={(,,)|01,0,02r r w πθϕθ≤≤≤≤≤≤}，所以3xyzI zdxdydz Ω=⎰⎰⎰3332sin cos r wrw drdw d θθθθΩ=⎰⎰⎰13296sin cos d rdr πθθθ=⎰⎰⎰6=总结：本章内容是重积分计算的换元法实例．无论是二重积分换元法，还是三重积分换元法，目的只有一个就是让计算简便起来，所以本章在二重积分计算换元法实例一节中介绍了几种常用的二重积分换元法并做了粗略的分析，而三重积分换元法实例一节中是通过一题多解形式展现出来的，也做了粗略分析．结论本篇论文仅仅是对重积分计算的换元法，在数学中应用时的一些方法进行粗略的分析说明。