2018-2019《大学数学微积分B1》试卷及答案

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2018-2019学年第一学期期末考试

《高等数学BⅠ》

考生注意事项

1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号，并涂写考生教学号信息点。

2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)

考生教学号

考生姓名

《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 1 页 （共 5 页）

一、选择题：1～6小题，每小题3分，共18分．下列每题给出的四个选项

中，只有一个选项是符合题目要求的．请将答案写在答题卡上，写在试题册上无效． 1. 1lim(1)n

n n →∞

+=（ B ）.

（A ）0 （B ）1 （C ）e （D ）1

e

2. 设()f x 为可导函数，且满足条件0(1)(1)

lim

12x f f x x

→−−=−，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率等于（ C ）.

（A ）2 （B ）1− （C ）2− （D ）

1

2

3. 设0

()()()d x

F x x t f t t =−⎰ ()f x 为连续函数，且(0)=0()0f f x '>，，则

()y F x =在0+∞（，）内（ A ）.

（A ）单调增加且为下凸 （B ）单调增加且为上凸 （C ）单调减少且为下凸 （D ）单调减少且为上凸 4. 曲线2

2

1e 1e

−−+=

−x x y （ D ）.

（A ）没有渐近线 （B ）仅有水平渐近线

（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线又有铅直渐近线 5. 若ln ()sin f t t =，则()

d ()

tf t t f t '=⎰

（ A ）. （A ）sin cos ++t t t C （B ）sin cos −+t t t C （C ）sin cos ++t t t t C （D ）sin +t t C

6. 使不等式1sin d ln x

t

t x t

>⎰

成立的x 的范围是（ C ）. （A ）π

(1,)2

（B ）π(,π)2 （C ）(0,1) （D ）(π,+)∞

《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 2 页 （共 5 页）

二、填空题：7～12小题，每小题3分，共18分．

7. 设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x −+是比sin n x 高阶的无穷小，而sin n x 是比

2

e 1x −高阶的无穷小，则正整数n 等于 3 .

8．设函数()y y x =由方程2e cos()e 1x y xy +−=−所确定，求

d d x y

x

== 2− .

9. 函数()ln 12=−y x 在0=x 处的(2)n n >阶导数()(0)n f = 2(1)!n n −⋅− . 10. 2

21d x x x −−=⎰

11

6

． 11. 1

21e d x x x

−∞=⎰ 1 ． 12. Oxy 平面上的椭圆22

149x y +

=绕x 轴旋转一周而形成的旋转曲面的方程是 222

149

x y z ++= . 三、解答题：13～19小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

13.（本题满分10分）

求函数3

sin ()x

f x x x

π=

−的间断点，并判断间断点的类型. 【解】因为3sin sin ()(1)(1)

x x

f x x x x x x ππ==−−+，显然0,1,1x =−为间断点. 2分 于是

lim ()lim

(1)(1)

x x x

f x x x x →→π==π−+， 4分

1111sin 1cos lim ()lim

lim 21212

x x x x x f x x →−→−→−ππππ

=−=−=+ 6分 1111sin 1cos lim ()lim

lim 21212x x x x x f x x →→→ππππ

===−−， 8分 所以0,1,1x =−是第一类中的可去间断点. 10分

《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 3 页 （共 5 页）

14.（本题满分10分）

设cos sin ,

sin cos x t t t y t t t =+⎧⎨=−⎩，求22

4

d d t y x π

=

.

【解】由题意，得

4

d (sin cos )cos cos sin d tan , 1.d (cos sin )sin sin cos d t y t t t t t t t y

t x t t t t t t t x π=

'−−+===='+−++ 5分

222324

d d tan d 1d ,d d d cos d t y t t y

x t x t t x π=

=⋅==

π

10分

15.（本题满分10分）

求x ． 【解】设tan ,,22

x t x ππ

=−

<<，则2d sec d x t t =，于是 3分 原式2= 5分 2

cos d sin t

t t

=⎰

2sin dsin csc t t t C −==−+⎰ 9分

C =+. 10分

16．（本题满分10分）

求函数3226187y x x x =−−−的极值.

【解】2612186(3)(1),y x x x x '=−−=−+ 2分 令0,y '=得驻点123, 1.x x ==− 5分 又1212,(3)240,(1)240,y x y y ''''''=−=>−=−< 8分