1.2 复数的几种表示
1.2复数的几种表示形式
(3) | z | | z |;
P6
arg z - arg z , ( arg z π );
| z |2 z z .
z
|z| Im z
Re z
z2
z1 z2
z1
z1 - z2
|z| z
arg z arg z
|z| z
P8
证 | z1 z2 |2 (z1 z2 )( z1 z2 ) (z1 z2 )( z1 z2 )
复数 z 的乘幂，记为 zn , 即 zn z z z .
n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。
法则 设 z r ei , 则 zn (r ei )n r n ein .
三、复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 由 zn (r ei )n r n ein 以及复数的三角表示式可得
欧拉
Leonhard Euler (1707～1783)
瑞士数学家、自然科学家
十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。
附：人物介绍 —— 欧拉
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。 一生共写下了 886 本书籍和论文。
注: 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
一、复数的几何表示
2. 复数的模与辐角
主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： Arg z 且 - π π ,
则称 为复数 z 的主辐角或辐角主值，记作 arg z .
由此就有如下关系： Arg z arg z 2kπ , k 0 , 1, 2 , .
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
英语名词变复数通常可以分为以下几种情况
英语名词变复数通常可以分为以下几种情况(不可数名词除外):1, 直接在名词后加字母s.如:chair--chairs;apple--apples.2,以辅音字母加y结尾的名词,把y变成i,再加es.如:city-->cities;story--stories;study--studies.3,以字母x,s,ch,sh等结尾的名词,加es.如:class--classes;fish--fishes;box--boxes;match--matches.4,以元音字母加o结尾的词,直接加s,如boy--boys;zoo--zoos以辅音字母加o结尾的词,加es.如:radio--radios;patato--patatoes;但是有例外,如:piano--pianos;5,一些不规则名词,有其特殊的形式,要特别记忆.如:child--children;man--men;woman--women;foot--feet6,与man 和woman两个词组成的复合词,名词本身和这两个词都要变成复数.如:woman doctor-->women doctors; man driver-->men drivers;7,还有一些名词的单数与复数是一样的,不需要变化.如:sheep;chinese;beer;ect. 8.以f或fe结尾的名词,改f或fe为v加es.如knife--knives;wife--wives;leaf--leaves..1 名词复数的规则变化情况构成方法读音例词一般情况加-s 清辅音后读/s/ map-maps浊辅音和元音后读/z/ bag-bags /car-cars以s, sh, ch, x等结尾加-es 读/iz/ bus-buses/ watch-watches以ce, se, ze,等结尾加-s 读/iz/ license-licenses以辅音字母+y结尾变y 为i再加es 读/z/ baby---babies1.2 其它名词复数的规则变化1）以y结尾的专有名词，或元音字母+y 结尾的名词变复数时，直接加s变复数。
吴华复变函数与积分变换第一章
一、复数的几何表示
1. 复平面 在复平面上，从原点到点 z x i y 所引的向量与该复数 z 也构成一一 对应关系(复数零对应零向量)。
O x 实轴 y
虚轴
z x yi
引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。
比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。
一、复数的几何表示
i
4 n 2
1,
i 4 n 3 i ,
§1.2 复数的几种表示
一、复数的几何表示 二、复数的三角表示和指数表示
三、复数的乘幂与方根
四、几个关系
一、复数的几何表示
1. 复平面
P4
定义 在平面上建立一个直角坐标系，用坐标为 ( x , y ) 的点来
表示复数 z x i y , 从而将全体复数和平面上的全部点 一一对应起来，这样表示复数 z 的平面称为复平面或者 z 平面。 此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。
Arg ( z1 z2 ) Arg z1 Arg z2 .
两个复数乘积的 模等于它们的模的乘积； 幅角等于它们幅角的和。
二、复数的三角表示和指数表示
3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算
i 2 i1 z r e , z r e , 设 1 1 2 2
y
z1 z2
z2
除法
z1 r1 e iθ1 r1 i (θ1 θ2 ) e . i θ2 z2 r2 r2 e
(3) 当 x 0 时，z 0 i y i y 称为纯虚数； 当 y 0 时，z x i 0 x 就是实数。 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。
一、复数及其运算
1. 复数的基本概念 相等 设 z1 x1 i y1 与 z2 x2 i y2 是两个复数， 如果 x1 x2 , y1 y2 , 则称 z1 与 z 2 相等。 特别地，z x i y 0 当且仅当 x y 0 . 注 复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小， 它们之间只有相等与不相等的关系。
英语名词变复数通常可以分为以下几种情况
英语名词变复数通常可以分为以下几种情况(不可数名词除外):1, 直接在名词后加字母s.如:chair--chairs;apple--apples.2,以辅音字母加y结尾的名词,把y变成i,再加es.如:city-->cities;story--stories;study--studies.3,以字母x,s,ch,sh等结尾的名词,加es.如:class--classes;fish--fishes;box--boxes;match--matches.4,以元音字母加o结尾的词,直接加s,如boy--boys;zoo--zoos以辅音字母加o结尾的词,加es.如:radio--radios;patato--patatoes;但是有例外,如:piano--pianos;5,一些不规则名词,有其特殊的形式,要特别记忆.如:child--children;man--men;woman--women;foot--feet6,与man 和woman两个词组成的复合词,名词本身和这两个词都要变成复数.如:woman doctor-->women doctors; man driver-->men drivers;7,还有一些名词的单数与复数是一样的,不需要变化.如:sheep;chinese;beer;ect. 8.以f或fe结尾的名词,改f或fe为v加es.如knife--knives;wife--wives;leaf--leaves..1 名词复数的规则变化情况构成方法读音例词一般情况加-s 清辅音后读/s/ map-maps浊辅音和元音后读/z/ bag-bags /car-cars以s, sh, ch, x等结尾加-es 读/iz/ bus-buses/ watch-watches以ce, se, ze,等结尾加-s 读/iz/ license-licenses以辅音字母+y结尾变y 为i再加es 读/z/ baby---babies1.2 其它名词复数的规则变化1）以y结尾的专有名词，或元音字母+y 结尾的名词变复数时，直接加s变复数。
电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
复数的几种表示形式
复数的几种表示形式 Prepared on 22 November 2020复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式：z=a+bi。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。
（a,b）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式：z=r(cosθ+isinθ)这个结合几何意义容易看出来：记复数z的模为r，幅角为θ，显然有a=rcosθ,b=rsinθ代入坐标形式里即有：Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)))）=r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如：在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))特别地，令r=1，可以得到着名的王陆杰公式：（cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ)这个公式很有用，我们下一次再谈。
指数形式：z=re iθ因此有e iθ=cosθ+isinθ从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ)=cosnθ+isinnθ=(e iθ)n=(cosθ+isinθ)n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：特别地，令θ=π，则e iπ=-1。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
六种数据类型
六种数据类型数据类型的种类： 1.数字类型Number(int，float，bool，complex) 2.字符串类型str 3.列表类型list 4.元组类型tuple 5.集合类型set 6.字典类型dict1. 数字类型Number(int，float，bool，complex) 1.1 整型 int 1.2 浮点型 float 两种表⽰⽅法： (1)实⽤⼩数点表⽰floatvar = 4.88print(floatvar)print(type(floatvar)) (2)使⽤科学记数法floatvar = 6.7e4print(floatvar)print(type(floatvar)) 1.3 布尔型 bool 只有True(真)和False(假)两个值 1.4 复数类型 complexcomplex 实数 + 虚数例如，3 + 4j 3：实数 4j：虚数 j：如果有⼀个数，它的平⽅等于-1，那么这个数就是j，表⽰的是⾼精度的类型# 表达⽅式⼀complexvar = 56 - 3jcomplexvar = -3jprint(complexvar)print(type(complexvar))# 表达⽅式⼆# 语法：complex(实数, 虚数)complexvar = complex(56, -3)print(complexvar)print(type(complexvar))2. 字符串类型 str被引号引起来的就是字符串 2.1 转义字符 转义字符： \ + 某个字符 (1) 将有意义的字符变得⽆意义 (2) 将⽆意义的字符变得有意义 \n, \r\n ：换⾏ \t ：tab缩进(⽔平制表符)[⼀般来说，⼀个缩进是4个空格的距离] \r ：将后⾯的字符直接拉到当前⾏⾏⾸# 将⽆意义的字符变得有意义strvar = "⽂哥是这个世界上，\n我认为最帅的男⼈"strvar = "⽂哥是这个世界上，\r\n我认为最帅的男⼈"strvar = "⽂哥是这个世界上，我认\t为最帅的男⼈"strvar = "⽂哥是这个世界上，\r我认为最帅的男⼈"strvar = "⽂哥是这个世界上，\n我认为\r最帅的男⼈"# 将有意义的字符变得⽆意义strvar = "⽂哥是这个世界上，浑⾝冒\"⾦光\"的男⼈"print(strvar)print(type(strvar))2.2 元字符strvar = r"E:\nython\tay2"print(strvar)2.3 格式化字符串 语法："字符串" % (值1,值2,值3) %d：整型占位符 %f：浮点型占位符 %s：字符串占位符# %d 整型占位符strvar = "张三学习容易⾛神，买了%d个风油精，提神醒脑" % (5) print(strvar)# %2d 占两位原字符串默认居右strvar = "李四今天%d岁" % (3)print(strvar)strvar = "李四今天%2d岁" % (3)print(strvar)# %-2d 占两位原字符串默认居左strvar = "李四今天%-2d岁" % (3)print(strvar)# %f 浮点型占位符strvar = "王五⼀个⽉开了%f⼯资" % (9.9)print(strvar)# %.2f ⼩数点保留2位strvar = "王五⼀个⽉开了%.2f⼯资" % (9.9)print(strvar)# %f 存在四舍五⼊的情况strvar = "王五⼀个⽉开了%.1f⼯资" % (9.87654321)print(strvar)# %s 字符串占位符strvar = "%s" % ("python31的同学们都有祖安⼈民的特质")print(strvar)# 综合案例strvar = "%s看好了⼀辆车，特斯拉model x，买了%d辆，花了%.1f元" % ("赵六", 10, 9.9) print(strvar)# 可以全部使⽤%s占位符进⾏取代strvar = "%s看好了⼀辆车，特斯拉model x，买了%s辆，花了%s元" % ("赵六", 10, 9.9) print(strvar)3. 列表类型 list 特点：可获取，可修改，有序3.1 获取列表的值# 定义⼀个空列表listvar = []print(listvar, type(listvar))# 定义⼀个普通列表# 正向下标索引 0 1 2 3 4listvar = [100, 19.123, True, 1+12j, "马胜平"]# 逆向下标索引 -5 -4 -3 -2 -1print(listvar)# 获取列表当中的值res = listvar[2]res = listvar[-3]print(res)# 获取列表当中的最后⼀个值# python特有print(listvar[-1])# 通⽤写法'''len 获取容器类型数据的长度(元素的总个数)'''res = len(listvar)print(res)res = listvar[res - 1]print(res)# 简写print(listvar[len(listvar) - 1])3.2 修改列表的值# 修改列表⾥⾯的元素listvar[-3] = Falseprint(listvar)4. 元组类型 tuple特点：可获取，不可修改，有序4.1 获取元组中的元素# 定义⼀个普通元组# 正向下标索引 0 1 2 3tuplevar = ("明浩", "徐彦伟", "李志辉", "马春培")# 逆向下标索引 -4 -3 -2 -1# 1.获取元组当中的元素res = tuplevar[1]res = tuplevar[-1]print(res)4.2 元组元素不可修改4.3 判定元组的类型逗号才是区分是否是元组的标识符tuplevar = (123,)tuplevar = 123,print(tuplevar, type(tuplevar))5. 集合类型 set作⽤：集合之间的交差并补特点：⽆序，⾃动去重5.1 定义⼀个集合setvar = {'⾦城武', '喻⽂波', '王俊凯', '王⽂'}print(setvar, type(setvar))5.2 集合⽆序不能获取集合中的元素不能修改集合中的元素5.3 ⾃动去重setvar = {'⾦城武', '王俊凯', '喻⽂波', '王⽂', '王⽂', '王⽂', '王⽂'}print(setvar)5.4 定义⼀个空集合# setvar = {}setvar = set()print(setvar, type(setvar))6. 字典类型 dict6.1 获取字典的值# 定义⼀个空字典dictvar = {}print(dictvar, type(dictvar))# 定义⼀个普通字典dictvar = {"智多星": "吴⽤", "花和尚": "鲁智深", "浪⾥⽩条": "张顺", "回⾸掏": "⼤司马"} # 获取字典中的值res = dictvar["回⾸掏"]print(res)6.2 修改字典的值dictvar = {"智多星": "吴⽤", "花和尚": "鲁智深", "浪⾥⽩条": "张顺", "回⾸掏": "⼤司马"} dictvar['回⾸掏'] = '宋云杰'print(dictvar)6.7 字典的键和集合中的值对数据类型的要求字典的键和集合中的值数据类型的要求必须是如下⼏种：如下类型可以：不可变数据(可哈希的数据类型)Number(int, float, bool, complex), str, tuple不允许的类型：可变数据(不可哈希的数据类型)list, set, dict但凡提到哈希算法(hash)，都是典型的⽆序特征⽬的：为了更加均匀的把数据分配到内存中，底层⽤的算法类似于取模python3.6版本之后，对字典做了优化，存储数据的时候⽤哈希算法但是在拿出数据的时候，重新按照定义字典时的顺序进⾏重新排序所以看起来有序，实际上⽆序。
复数的几种表示形式
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式：z=a+bi。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。
（a,b）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式：z=r(cosθ+isinθ)这个结合几何意义容易看出来：记复数z的模为r，幅角为θ，显然有a=rcosθ,b=rsinθ代入坐标形式里即有：Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1 cosθ2+ cosθ1 sinθ2)) = r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)）通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如：在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))特别地，令r=1，可以得到著名的王陆杰公式：（cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ)这个公式很有用，我们下一次再谈。
指数形式：z=re iθ因此有e iθ= cosθ+isinθ从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ)= cosnθ+isinnθ= (e iθ)n=( cosθ+isinθ)n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：特别地，令θ=π，则e iπ=-1。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
复数的表示及初等运算20150815
一、复数的表示1、实部-虚部形式y i x z ⋅+=（1-1）式中，x 称为复数z 的实部，记作Re(z)；y 称为复数z 的虚部，记作Im(z)。
2、指数形式θi e r z ⋅=（1-2）式中，r 称为复数z 的模或绝对值，记作|z|或abs(z)；θ称为复数z 的辐角，记作Arg(z)，θ可用弧度或角度表示。
复数的指数形式的证明：任何一个函数都可以表示成幂级数的形式，称为泰勒级数，如式（2-1）所示。
()()()()∑∞=-=000!n n n x x n x f x f （1-2-1）特别地，当x0=0时，称为麦克劳林级数，如式（2-2）所示。
()()()∑∞==0!0n nn x n f x f （1-2-2）正弦函数、余弦函数和指数函数的麦克劳林级数分别为()()∑∞=++-=012!121sin n n nx n x（1-2-3）()()∑∞=-=02!21cos n nn x n x（1-2-4）∑∞==0!1n n xx n e （1-2-5）将式（2-5）中的x 用ix 替换，得()∑∞==0!1n n ixix n e （1-2-6）()()()()x x k ix n ek k kkn n nixcos !21!1Re 0220=-==∑∑∞==∞= （1-2-7）()()()()x x k ix n i ek k kk n n nixsin !121!11Im 012120=+-==∑∑∞=++=∞= （1-2-8）所以 x i x e ix sin cos ⋅+=（1-2-9）3、幅值-辐角形式ϕ∠=r z（1-3）式中，φ称为复数z 的辐角的主值，记作arg(z)，φ的取值范围为0≤φ<2π或0≤φ<360°。
该形式一般用于工程上的直观表述。
二、复数几种形式间的转化1、实部 ()ϕθcos cos Re ⋅=⋅==r r x z（2-1）2、虚部()ϕθsin sin Im ⋅=⋅==r r y z（2-2）3、模（绝对值）()r y x z z abs =+==22（2-3）4、辐角主值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤==πϕϕϕ20sin cos r y r x （2-4）5、辐角()()πk z z Arg 2arg +=，Z ∈k（2-5）三、复数的初等运算实数是复数的特殊情形，即满足y=0或φ=k π（k 为整数）的复数为实数，故复数与实数的运算仍满足复数间的运算法则。
复数的两种表示形式
复数的两种表示形式
复数是数学中的一个重要概念，指的是大于1的整数。
它有两种常见的表示形式，分别是直角坐标形式和极坐标形式。
直角坐标形式是指用实部和虚部表示复数，通常写作a+bi的形式。
其中，a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2=-1。
实部和虚部都可以是实数，也可以是负数。
例如，3+4i就是一个复数，其中实部为3，虚部为4。
极坐标形式是指用模长和辐角表示复数，通常写作|z|∠θ的形式。
其中，|z|是复数的模长，表示复数到原点的距离；∠θ是复数的辐角，表示复数与正实轴之间的夹角。
模长是一个非负实数，辐角是一个有无数个值的实数。
例如，5∠π/6就是一个复数，模长为5，辐角为π/6。
复数的两种表示形式可以相互转换。
对于给定的直角坐标形式的复数a+bi，可以通过如下公式计算得到它的模长和辐角：
|z|=√(a^2+b^2)
θ=atan2(b,a)
同样地，对于给定的极坐标形式的复数|z|∠θ，可以通过如下公式计算得到它的实部和虚部：
a=|z|*cos(θ)
b=|z|*sin(θ)
复数的两种表示形式在数学和工程领域中都有广泛应用。
在电路分析、信号处理等领域，直角坐标形式的复数常用于表达信号的振幅和相位，而极坐标形式的复数常用于表示信号的频率和幅度。
总而言之，复数的两种表示形式，即直角坐标形式和极坐标形式，分别以实部和虚部、模长和辐角来表达。
它们可以相互转换，有着广泛的应用领域。
对于求解复数相关问题，我们需要根据具体情况选择合适的形式进行计算和分析。
复数的几种表示形式
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式： z=a+bi 。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从 i 这个数产生以后，我们就规定了 a+bi 是复数，并且 b=0 时就是我们以前的实数。
（a,b ）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式： z=r(cos θ+isin θ)这个结合几何意义容易看出来：记复数 z 的模为 r，幅角为θ，显然有 a=rcos θ ,b=rsin θ代入坐标形式里即有：Z1z2 =r1r2(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2+i(sinθ1cos θ2 + cos θ1sin θ2)) = r1r2（cos( θ1 +θ2)+isin( θ1 +θ2) ）通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为则该复数只起到旋转的效果，例如：而且在旋转1，在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(n θ )+isin(nθ))特别地，令 r=1 ，可以得到著名的王陆杰公式：n这个公式很有用，我们下一次再谈。
i θ因此有 e iθ= cos θ+isin θ从而有 z=r(cos θ+isin θ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ) = cosn θ+isinn θ= (e iθ ) n=( cos θ+isin θ) n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：i π特别地，令θ=π，则 e=-1 。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
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6
§1.2 复数的几种表示 第 一 章
2i 2(1 - i ) -3 - i . 复 解 z 1- i i 数 与 | z | ( -3) 2 ( -1) 2 10 , 复 变 -1 函 arg z arctan ( ) -π -3 数 1 arctan - π . 3
注 复数 0 的模为 0，辐角无意义。 5
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 章 主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： 复 Arg z 且 - π π , 数 与 则称 为复数 z 的主辐角，记作 arg z . 复 变 由此就有如下关系： 函 数 Arg z arg z 2k π , k 0 , 1 , 2 , .
复数 z 的 n 次方根一般是多值的。
20
§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 2. 复数的方根
利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。 复 数 n i n i i i n e r e , w e , z r e , 推导 设 由 w z有 与 复 n 即 (cos n i sin n ) r (cos i sin ) , 变 函 n r , n r ; —— 正实数的算术根。 得 数 2 n 2k , k k , (k 0, 1,, n - 1) . n n
y
|z| arg z
x
z x yi
O
x
9
§1.2 复数的几种表示 第 二、复数的三角表示和指数表示 一 P9 章 1. 复数的三角表示 y 如图，由 x r cos , y r sin , z x yi y 复 r 有 z r cos i r sin 数 与 r (cos i sin ) . x O x 复 变 函 定义 设复数 z 0 , r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角， 数 称 z r (cos i sin ) 为复数 z 的三角表示式。
- 12
y
2
π
x
复数 z 的指数表示式为 z 4 e
5π i 6 .
12
§1.2 复数的几种表示 第 二、复数的三角表示和指数表示 一 章 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 复 数 iθ iθ 与 乘法 z1 z2 r1 e 1 r2 e 2 复 变 r1 r2 e i ( θ1 θ2 ) . 函 数 即 | z1 z2 | | z1 | | z2 | ,
i 2 i1 z r e , z r e , 设 1 1 2 2
P10 、 补
y
z1 z 2 z2
2 1
z1
x
Arg ( z1 z2 ) Arg z1 Arg z2 . (在集合意义下?)
(集合意义)
两个复数乘积的 模等于它们的模的乘积； 幅角等于它们幅角的和。 13
§1.2 复数的几种表示 第 二、复数的三角表示和指数表示 一 章 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 复 数 z1 r1 e iθ1 r1 i ( θ1 -θ2 ) 与 除法 e . i θ2 z2 r2 r2 e 复 变 z1 | z1 | 函 , 即 数 z2 | z2 |
18
§1.2 复数的几种表示
π 2π i i 第 1 3 2 3 3 一 例 2 2 i (e ) e . 章
2
复 数 与 复 变 函 数
1 3 i (e 2 2 1 3 (e i 2 2
3
3
π i 3 3
) eπ i -1 . ) e- π i -1 .
-
π i 4
e2 π i 1 , e2k π i 1 , eπ i - 1 ,
e
π i 2
-1
1
i,
e
-
π i 2
- i , .
- 1- i
-i
1- i
15
§1.2 复数的几种表示 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
P11 例1.5 修改
解 由 1 3i 2e
§1.2 复数的几种表示 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
§1.2 复数的几种表示
一、复数的几何表示 二、复数的三角表示和指数表示 三、复数的乘幂与方根 四、几个关系
1
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 1. 复平面 P4 章 定义 在平面上建立一个直角坐标系，用坐标为 ( x , y ) 的点来 复 表示复数 z x i y , 从而将全体复数和平面上的全部点 数 与 一一对应起来，这样表示复数 z 的平面称为复平面或者 复 变 z 平面。此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。 函 数
z1 Arg ( ) Arg z1 - Arg z2 . z2
i 2 i1 z r e , z r e , 设 1 1 2 2
y
z1 z 2 z2
2 1
z1
x
z1 z2
(在集合意义下)
两个复数的商的 模等于它们的模的商； 幅角等于它们幅角的差。 14
§1.2 复数的几种表示 第 例 计算 i . 1- i 一 章 π
3
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 P5 章 将复数和向量对应之后，除了利用 复 实部与虚部来给定一个复数以外， 数 与 还可以借助向量的长度与方向来给 复 变 定一个复数。 函 数 定义 设 z 的是一个不为 0 的复数，
y
y
z x yi
r
O
x
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。 法则 设 z r e i , 则 z n ( r e i )n r n e i n .
17
§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 复 数 由 z n ( r e i )n r n e i n 以及复数的三角表示式可得 与 z n [r (cos i sin )]n r n (cos n i sin n ) . 复 变 在上式中令 r = 1，则得到棣莫弗(De Moivre)公式： 函 数 (cos i sin )n cos n i sin n . 进一步易得到正弦与余弦函数的 n 倍角公式。
21
§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 2. 复数的方根 复 (k 0, 1,, n - 1) . wk n z n r e n 数 与 描述 在复平面上， 这 n 个根均匀地 复 变 分布在一个以原点为中心、以 函 n 其中一个 数 r 为半径的圆周上。 根的辐角是 ( / n) . 方法
2
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 1. 复平面 虚轴 章 z x yi 在复平面上，从原点到点 z x i y y 复 所引的向量与该复数 z 也构成一一 数 x 与 O 实轴 对应关系(复数零对应零向量)。 复 变 引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。 函 数 比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。
利用欧拉公式 ei cos i sin 得
11
§1.2 复数的几种表示 第 一 章 解 | z | 12 4 4 , 复 数 与 复 变 函 数
2 arg z arctan ( ) π - 12 1 - arctan π 3
π 5π π . 6 6
5π 5π i sin ). 复数 z 的三角表示式为 z 4 (cos 6 6
i
解 由 i e 2 , 1- i 2e 有 复 数 π i π π 3π 2 与 e 1 ( 2 4 )i i 1 4 i 1 1 e e i. 复 π 2 1- i 2 2 2 - i 4 变 2e 函 数 i 1 i - 1 i 附 一些“简单”复数的指数形式
i(
2 k ) n ,
n
直接利用公式求根； 先找到一个特定的根，再确定出其余的根。
22
§1.2 复数的几种表示Байду номын сангаас
3 第 例 求 -8. π 2 k 一 i( ) 3 3 3 章 解 - 8 2e , (k 0, 1, 2) .
π 3
复 具体为： - 2 , 2 e 2e 数 与 复 变 例 求解方程 z 3 - 1 0 . 函 0 2 k i ( ) 数 3 3 3 , (k 0, 1, 2) . 解 z 1 1 e 具体为： 1 , e
7π 7π 3 1 cos i sin - i. 6 6 2 2
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§1.2 复数的几种表示 第 三、复数的乘幂与方根 一 章 1. 复数的乘幂 P12 复 数 与 复 变 函 数 定义 设 z 是给定的复数， n 为正整数，n 个 z 相乘的积称为
n n z z z z. 记为 z , 即 复数 z 的乘幂， n个
x
(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为 | z | .
(2) 向量 z 的“方向角” (?)
Arg z . 称为复数 z 的辐角，记为
4
§1.2 复数的几种表示 第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 章 两点说明 复 (1) 辐角是多值的， 相互之间可相差 2 k π , 其中 k 为整数。 数 与 y (2) 辐角的符号约定为： z 复 变 逆时针取正号，顺时针取负号。 函 数 x 例如 对于复数 z -1 i , 则有 | z | 2 , 3π Arg z 2k π , k 0 , 1 , 2 , . 4
y