2020年 高考数学【理】总复习：导数的简单应用与定积分【解析版】
高考数学复习：导数的简单应用与定积分
高考数学复习：导数的简单应用与定积分A 组1．(文)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′(π2)＝( C )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π[解析] ∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′(π2)＝－1π＋2π·(－1)＝－3π．(理)已知⎠⎛1e (1x－m )d x ＝3－e 2，则m 的值为( B )A ．e －14eB ．12C ．－12D ．－1[解析] ⎠⎛1e (1x－m )d x ＝(ln x －mx )|e 1＝(lne －m e)－(ln1－m )＝1＋m －m e ＝3－e 2，∴m ＝12.故选B ．2．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( A ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1[解析] k ＝y ′|x ＝0＝(e x ＋x e x ＋2)|x ＝0＝3， ∴切线方程为y ＝3x －1，故选A ．3．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由条件知(1，f (1))在直线x －y ＋2＝0上，且f ′(1)＝1，∴f (1)＋f ′(1)＝3＋1＝4．4．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是( C )A ．(－43，0)B ．(0，43)C ．(－∞，－43)，(0，＋∞)D ．(－∞，－43)∪(0，＋∞)[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－2mx ，所以f ′(－1)＝3＋2m ＝－1， 解得m ＝－2.所以f ′(x )＝3x 2＋4x ． 由f ′(x )＝3x 2＋4x >0，解得x <－43或x >0，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－43)，(0，＋∞)，故选C ．5．若函数f (x )＝lo g a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a 的取值范围是( B )A ．[14，1)B ．[34，1)C ．(94，＋∞)D ．(1，94)[解析] 由x 3－ax >0得x (x 2－a )>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x 2－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2－a <0，所以x >a 或－a <x <0，即函数f (x )的定义域为(a ，＋∞)∪(－a ，0)． 令g (x )＝x 3－ax ，则g ′(x )＝3x 2－a ， 当g ′(x )≥0时，x ≥3a3，不合要求， 由g ′(x )<0得－3a3<x <0． 从而g (x )在x ∈(－3a3，0)上是减函数， 又函数f (x )在x ∈(－12，0)内单调递增，则有⎩⎨⎧0<a <1，－a ≤－12，－3a 3≤－12，所以34≤a <1．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，π2]上的最大值是6．[解析] y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，且x ∈[0，π2]，得x ＝π6，则x ∈[0，π6)时，y ′>0；x ∈(π6，π2]时，y ′<0，故函数在[0，π6)上递增，在(π6，π2]上递减，所以当x ＝π6时，函数取最大值π6＋3． 7．(文)若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是____(－∞，0)__． [解析] 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0．(理)如图，已知A(0，14)，点P(x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x 0＝4．[解析] 因为点P(x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上， 所以y 0＝x 20，则△OAP 的面积S ＝12|OA||x 0|＝12×14x 0＝18x 0，阴影部分的面积为∫x 00x 2d x ＝13x 3|x 00＝13x 30，因为阴影部分面积与△OAP 的面积相等， 所以13x 30＝18x 0， 即x 20＝38． 所以x 0＝38＝64． 8．(文)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．[解析] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′(－43)＝0， 即3a ·169＋2·(－43)＝16a 3－83＝0，解得a ＝12．(2)由(1)得g (x )＝(12x 3＋x 2)e x ，故g ′(x )＝(32x 2＋2x )e x ＋(12x 3＋x 2)e x ＝(12x 3＋52x 2＋2x )e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x ．令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4．当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数． 综上知g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数， 在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． (理)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求实数a 的取值范围． [解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0． (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于 ln x －a (x －1)x ＋1>0．设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0．①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0， g (x )在(1，＋∞)内单调递增，因此g (x )>g (1)＝0． ②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1． 由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1， 故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)内单调递减，此时g (x )<g (1)＝0． 综上，a 的取值范围是(－∞，2]． 9．(文)已知函数f (x )＝ax(x ＋r )2(a >0，r >0)． (1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．[解析] (1)由题意知x ≠－r ，所以定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)， f (x )＝ax (x ＋r )2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a (x 2＋2rx ＋r 2)－ax (2x ＋2r )(x 2＋2rx ＋r 2)2＝a (r －x )(x ＋r )(x ＋r )4，所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0； 当－r <x <r 时，f ′(x )>0．因此，f (x )的单调递减区间是(－∞，－r )，(r ，＋∞)； f (x )的单调递增区间是(－r ，r )．(2)由(1)可知f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减，因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar (2r )2＝a4r＝100． (理)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4． (1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[解析] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b ．依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1， 解得a ＝2，b ＝e ．(2)由(1)，知f (x )＝x e 2－x ＋e x ．由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知， f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1． 所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0， g (x )在区间(－∞，1)内单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， g (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)内的最小值．B 组1．(文)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( C ) A ．1 B ．－1 C ．－e －1D ．－e[解析] 依题意得，f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，取x ＝e 得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，由此解得f ′(e)＝－1e＝－e －1，故选C ．(理)(2019·兰州市诊断考试)定义在(0，π2)上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有( C )A ．f (π6)>2f (π4)B ．3f (π6)>f (π3)C ．f (π6)>3f (π3)D ．f (π6)>3f (π4)[解析] ∵cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0， ∴在(0，π2)上，[f (x )cos x ]′<0，∴函数y ＝f (x )cos x 在(0，π2)上是减函数，∴f (π6)cos π6>f (π3)cos π3，∴f (π6)>3f (π3)．故选C ．2．(文)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值，若过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，则切线方程是( B )A ．9x ＋y －16＝0B ．9x －y ＋16＝0C ．x ＋9y －16＝0D ．x －9y ＋16＝0[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3， 依题意f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0， 解得a ＝1，b ＝0． 所以f (x )＝x 3－3x ．因为曲线方程为y ＝x 3－3x ，点A (0,16)不在曲线上，设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0， 因此f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)．注意到点A (0,16)在切线上，有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，化简得x 30＝－8． 解得x 0＝－2．所以，切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0．(理)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( C )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)dt ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t10tdt ，所以⎠⎛0t(3t 2＋1－10t )dt ＝(t 3＋t －5t 2)|t 0＝t 3＋t －5t 2＝5，所以(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5．3．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m .则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( C )A ．(13，12)B ．(32，3)C ．(12，1)D ．(13，1)[解析] 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根．令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1，所以实数a 的取值范围是(12，1)．4．(文)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是____－3__．[解析] ∵y ＝ax 2＋bx，∴y ′＝2ax －bx2，由题意可得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3．(理)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为____(1,1)__．[解析] y ′＝e x ，则y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 切＝1，又曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线与y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以y ＝1x (x >0)在点P 处的斜率为－1，设P (a ，b )，则曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝a ＝－a －2＝－1，可得a ＝1，又P (a ，b )在y＝1x上，所以b ＝1，故P (1,1)． 5．(文)若函数y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是____a >0__．[解析] y ′＝－x 2＋a ，若y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a >0．(理)已知函数f (x )＝12x 2＋3ax －lnx ，若f (x )在区间[13，2]上是增函数，则实数a 的取值范围为____[89，＋∞)__．[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋3a －1x ≥0在[13，2]上恒成立，即3a ≥－x ＋1x 在[13，2]上恒成立．又y ＝－x ＋1x 在[13，2]上单调递减，∴(－x ＋1x )max ＝83，∴3a ≥83，即a ≥89．6．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )，若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围为____(－∞，13)__．[解析] f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )，则f ′(x )＝3x 2－3a ，若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，则直线的斜率为－1，f ′(x )＝3x 2－3a 与直线x ＋y ＋m ＝0没有交点，又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，则当x ＝0时取最小值，－3a >－1，则a 的取值范围为a <13．7．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝____－7__． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知，a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7． 8．(文)已知函数f (x )＝2ax －1x －(2＋a )ln x (a ≥0)．(1)当a ＝0时，求f (x )的极值； (2)当a >0时，讨论f (x )的单调性．[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝－1x －2ln x ⇒f ′(x )＝1x 2－2x ＝1－2xx 2(x >0)．由f ′(x )＝1－2xx 2>0，解得0<x <12，由f ′(x )＝1－2xx 2<0，解得x >12．∴f (x )在(0，12)内是增函数，在(12，＋∞)内是减函数．∴f (x )的极大值为f (12)＝2ln2－2，无极小值．(2)f (x )＝2ax －1x－(2＋a )ln x ⇒f ′(x )＝2a ＋1x 2－(2＋a )1x ＝2ax 2－(2＋a )x ＋1x 2＝(ax －1)(2x －1)x 2． ①当0<a <2时，f (x )在(0，12)和(1a ，＋∞)内是增函数，在(12，1a)内是减函数； ②当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内是增函数；③当a >2时，f (x )在(0，1a )和(12，＋∞)内是增函数，在(1a ，12)内是减函数． (理)已知函数f (x )＝12ax 2＋ln x ，其中a ∈R ． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值是－1，求a 的值．[解析] (1)f ′(x )＝ax 2＋1x，x ∈(0，＋∞)． 当a ≥0时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a ，舍去x ＝－－1a． 此时，f (x )与f ′(x )的情况如下： ↘ 所以，f (x )的单调递增区间是(0，－1a )； 单调递减区间是(－1a，＋∞)． (2)①当a ≥0时，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a 2． 令a 2＝－1，得a ＝－2，这与a ≥0矛盾，舍去a ＝－2． ②当－1≤a <0时，－1a ≥1，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a 2． 令a 2＝－1，得a ＝－2，这与－1≤a <0矛盾， 舍去a ＝－2．③当a <－1时，0<－1a <1，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (－1a)．令f (－1a)＝－1，解得a ＝－e ，满足a <－1． 综上，当f (x )在(0,1]上的最大值是－1时，a ＝－e ．。
2020年高考数学(理)总复习：导数的简单应用与定积分(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：导数的简单应用与定积分题型一 导数的几何意义及导数的运算 【题型要点解析】(1)曲线y ＝f (x )在点x ＝x 0处导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)，由此当f ′(x 0)存在时，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)过P 点的切线方程的切点坐标的求解步骤：①设出切点坐标；①表示出切线方程；①已知点P 在切线上，代入求得切点坐标的横坐标，从而求得切点坐标．(3)①分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；①对数函数的求导，可先化为和、差的形式；①三角函数的求导，先利用三角函数的公式转化为和或差的形式；①复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导．所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导．例1．函数f (x )＝14 ln x ＋x 2－bx ＋a (b >0，a ①R )的图象在点(b ，f (b ))处的切线的倾斜角为α，则倾斜角α 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ,43 【解析】】 依题意得f ′(x )＝14x ＋2x －b ，f ′(b )＝14b＋b ≥214b ·b ＝1(b >0)，当且仅当14b＝b >0，即b ＝12时取等号，因此有tan α≥1，即π4≤α<π2，即倾斜角α 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ，选B.【答案】 B例2．若实数a ，b ，c ，d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋2)2＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( )A. 2B ．2C ．2 2D ．8【解析】 因为实数a ，b ，c ，d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋2)2＝0，所以b ＋a 2－3ln a ＝0，设b ＝y ，a ＝x ，则有y ＝3ln x －x 2，由c －d ＋2＝0，设d ＝y ，c ＝x ，则有y ＝x ＋2，所以(a －c )2＋(b －d )2就是曲线y ＝3ln x －x 2与直线y ＝x ＋2之间的最小距离的平方值，对曲线y ＝3ln x －x 2求导：y ′＝3x －2x 与平行y ＝x ＋2平行的切线斜率k ＝1＝3x －2x ，解得x ＝1或x ＝－32(舍去)，把x ＝1代入y ＝3ln x －x 2，解得y ＝－1，即切点(1，－1)，则切点到直线y ＝x ＋2的距离为L ＝|1＋1＋2|2＝22，所以L 2＝8，即(a －c )2＋(b －d )2的最小值为8，故选D.【答案】 D题组训练一 导数的几何意义及导数的运算1．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝( )A ．1 B.12C ．1－ln 2D ．1－2ln 2【解析】 对于函数y ＝ln x ＋2，切点为(r ，s )，y ′＝1x ，k ＝1r ，对于函数y ＝ln (x ＋1)，切点为(p ，q )，y ′＝1x ＋1，k ＝1p ＋1，1r ＝1p ＋1①r ＝p ＋1， 斜率k ＝1r ＝1p ＋1＝q －s p －r ＝(ln r ＋2)－ln (p ＋1)r －p ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2r ＝12，p ＝－12，s ＝ln r ＋2＝ln 12＋2＝2－ln 2，s ＝q ＋2代入y ＝2x ＋b,2－ln 2＝2×(12)＋b ，得：b ＝1－ln 2.【答案】 C2．在直角坐标系xOy 中，设P 是双曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A 、B 两点，则以下结论正确的是( )A ．①OAB 的面积为定值2 B ．①OAB 的面积有最小值为3C ．①OAB 的面积有最大值为4D ．①OAB 的面积的取值范围是[3,4]【解析】 设P 是双曲线xy ＝1上任意一点，其坐标为P (x 0，y 0)，经过P 点的切线方程为y ＝kx ＋b .双曲线化为y ＝1x 形式，y 对x 的导数为y ′＝－1x2，在P 点处导数为－1x 20，切线方程为(y －y 0)＝－1x 20(x －x 0)，令x ＝0，y ＝y 0＋1x 0＝x 0·y 0＋1x 0＝2x 0＝2y 0，(其中x 0·y 0＝1)，则切线在y 轴截距为2y 0，令y ＝0，x ＝2x 0，则切线在x 轴截距为2x 0，设切线与两坐标轴相交于A 、B 两点构成的三角形为OAB .S ①OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·|2y 0|＝2|x 0·y 0|＝2，故切线与两坐标轴构成的三角形面积定值为2.【答案】 A题型二 利用导数研究函数的单调性 【题型要点解析】求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． 【提醒】 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．例1.已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x ，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)f ′(x )＝2x －2x，令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)， 单调递减区间是(0,1)．(2)由题意g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x －2x 2.①φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，①φ(x )max ＝φ(1)＝0， ①a ≥0；若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ①实数a 的取值范围为[0，＋∞)．题组训练二 利用导数研究函数的单调性 设函数f (x )＝3x 2＋ax e x(a ①R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 【解析】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x .令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,29 题型三 利用导数研究函数的极值(最值)问题 【题型要点解析】(1)利用导数研究函数的极值的一般思想：①求定义域；①求导数f ′(x )；①解方程f ′(x )＝0，研究极值情况；①确定f ′(x 0)＝0时x 0左右的符号，定极值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；①将函数y ＝f (x )的极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(3)当极值点和给定的自变量范围关系不明确时，需要分类求解，在求最值时，若极值点的函数值与区间端点的函数值大小不确定时需分类求解．例1.设函数G (x )＝x ln x ＋(1－x )·ln (1－x )．(1)求G (x )的最小值；(2)记G (x )的最小值为c ，已知函数f (x )＝2a ·e x ＋c ＋a ＋1x －2(a ＋1)(a >0)，若对于任意的x ①(0，＋∞)，恒有f (x )≥0成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由已知得0<x <1，G ′(x )＝ln x －ln (1－x )＝lnx 1－x.令G ′(x )<0，得0<x <12；令G ′(x )>0，得12<x <1，所以G (x )的单调减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，单调增区间为⎪⎭⎫⎝⎛1,21.从而G (x )min ＝G ⎪⎭⎫⎝⎛21＝ln 12＝－ln 2.(2)由(1)中c ＝－ln 2，得f (x )＝a ·e x＋a ＋1x －2(a ＋1)．所以f ′(x )＝ax 2·e x －(a ＋1)x 2.令g (x )＝ax 2·e x －(a ＋1)，则g ′(x )＝ax (2＋x )e x >0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为g (0)＝－(a ＋1)，且当x →＋∞时，g (x )>0，所以存在x 0①(0，＋∞)，使g (x 0)＝0，且f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．因为g (x 0)＝ax 20·e x 0－(a ＋1)＝0，所以ax 20·e x 0＝a ＋1，即a ·e x 0＝a ＋1x 20，因为对于任意的x ①(0，＋∞)，恒有f (x )≥0成立，所以f (x )min ＝f (x 0)＝a ·e x 0＋a ＋1x 0－2(a ＋1)≥0，所以a ＋1x 20＋a ＋1x 0－2(a ＋1)≥0，即1x 20＋1x 0－2≥0，即2x 20－x 0－1≤0， 所以－12≤x 0≤1.因为ax 20·e x 0＝a ＋1，所以x 20·e x 0＝a ＋1a >1.又x 0>0，所以0<x 0≤1，从而x 20·e x 0≤e ，所以1<a ＋1a ≤e ，故a ≥1e －1. 题组训练三 利用导数研究函数的极值(最值)问题已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x (a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 【解】 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －ce x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0，所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x .因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e －5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.题型四 定积分 【题型要点解析】(1)求简单定积分最根本的方法就是根据微积分定理找到被积函数的原函数，其一般步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；①利用定积分的性质把所求定积分化为若干个定积分的和或差；①分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；①利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；①计算所求定积分的值．有些特殊函数可根据其几何意义，求其围成的几何图形的面积，即其对应的定积分．(2)求由函数图象或解析几何中曲线围成的曲边图形的面积，一般转化为定积分的计算与应用，但一定找准积分上限、积分下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决，其一般步骤：①画出图形，确定图形范围；①解方程组求出图形交点范围，确定积分上、下限；①确定被积函数，注意分清函数图象的上、下位置；①计算下积分，求出平面图形的面积．例1．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ①[－1，1)x 2－1，x ①[1，2]，则⎰-21f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 【解析】 ⎰-21f (x )d x ＝⎰-211－x 2d x ＋⎰-21(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 331⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.【答案】 A例2．⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x ＝________.【解析】⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x ＝⎰101－x 2d x ＋⎰112x d x ，⎰112x d x ＝14，⎰11－x 2d x表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.【答案】π＋14例3．由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( )A ．3 B.103 C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，结合图形可知，所求的面积为⎰1(x 2＋1)d x ＋12×22＝⎪⎭⎫⎝⎛+x x 331|10＋2＝103，选B. 【答案】 B 题组训练四 定积分1．已知1sin φ＋1cos φ＝22，若φ①⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，则⎰-ϕtan 1(x 2－2x )d x ＝( )A.13 B ．－13C.23D ．－23【解析】 依题意，1sin φ＋1cos φ＝22①sin φ＋cos φ＝22sin φcos φ①2sin(φ＋π4)＝2sin2φ，因为φ①(0，π2)，所以φ＝π4，故⎰-ϕtan 1(x 2－2x )d x ＝⎰-ϕtan 1－1(x 2－2x )d x ＝(x 33－x 2)|1－1＝23.选C. 【答案】 C 2．函数y ＝⎰t(sin x ＋cos x sin x )d x 的最大值是________．【解析】 y ＝⎰t(sin x ＋cos x sin x )d x＝⎰t⎪⎭⎫⎝⎛+x x 2sin 21sin d x＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 2cos 41cos ⎪⎪⎪t 0＝－cos t －14cos 2t ＋54＝－cos t －14(2cos 2 t －1)＋54＝－12(cos t ＋1)2＋2，当cos t ＝－1时，y max ＝2. 【答案】 2 【专题训练】一、选择题1．已知变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a (a >0)，若点Q (m ，n )在直线y ＝2x ＋12上，则(a－m )2＋(b －n )2的最小值为( )A ．9 B.353 C.95D ．3【解析】令y ＝3ln x －12x 2及y ＝2x ＋12，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值就是曲线y ＝3ln x－12x 2上一点与直线y ＝2x ＋12的距离的最小值，对函数y ＝3ln x －12x 2求导得：y ′＝3x －x ，与直线y ＝2x ＋12平行的直线斜率为2，令2＝3x －x 得x ＝1或x ＝－3(舍)，则x ＝1，得到点(1，－12)到直线y ＝2x ＋12的距离为355，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值为(355)＝95. 【答案】C2．设a ①R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ①R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13D ．a <－13【解析】 y ′＝a e ax ＋3＝0在(0，＋∞)上有解，即a e ax ＝－3，①e ax >0，①a <0.又当a <0时，0<e ax <1，要使a e ax ＝－3，则a <－3，故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，若对于任意的a ①[1,2]，b ①(2,3]，函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，5]C ．[3，＋∞)D ．[5，＋∞)【解析】 ①f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，①f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[a ，b ]上恒成立，即不等式3x 2－2tx ＋3≤0在[a ，b ]上恒成立，即有t ≥32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[a ，b ]上恒成立，而函数y ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[1,3]上单调递增，由于a ①[1,2]，b ①(2,3]，当b＝3时，函数y ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1取得最大值，即y max ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+313＝5，所以t ≥5，故选D.【答案】 D4．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋a )(a ①R )有唯一的零点x 0，(e ＝2.718…)则( ) A ．－1<x 0<－12B ．－12<x 0<－14C ．－14<x 0<0D ．0<x 0<12【解析】 函数f (x )＝e x －ln(x ＋a )(a ①R )，则x >－a ，可得f ′(x )＝e x －1x ＋a ，f ″(x )＝e x ＋1(x ＋a )2恒大于0，f ′(x )是增函数，令f ′(x 0)＝0，则e x 0＝1x 0＋a ，有唯一解时，a ＝1e x 0－x 0，代入f (x )可得：f (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋a )＝e x 0－ln(1e x 0)＝e x 0＋x 0，由于f (x 0)是增函数，f (－1)≈－0.63，f (－12)≈0.11，所以f (x 0)＝0时，－1<x 0<－12.故选A.【答案】 A5．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )>2(x ＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则下列不等式中，一定成立的是( )A ．f (1)>f (2)2>f (3)3B.f (1)2>f (4)3>f (9)4 C ．f (1)<f (2)2<f (3)3D.f (1)2<f (4)3<f (9)4【解析】 ①f (x )>2(x ＋x )f ′(x )， ①f (x )>2x (x ＋1)f ′(x )， ①f (x )12x>(x ＋1)f ′(x )．①f ′(x )(x ＋1)－f (x )12x <0，①(f (x )x ＋1)′<0，设g (x )＝f (x )x ＋1，则函数g (x )在(0，＋∞)上递减， 故g (1)>g (4)>g (9)，①f (1)2>f (4)3>f (9)4.故选B.【答案】 B6．已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f ′(x )满足f ′(x )－f (x )x －1>0，y ＝f (x )e x 关于直线x ＝1对称，则不等式f (x 2－x )e x 2－x<f (0)的解集是( )A ．(－1,2)B ．(1,2)C ．(－1,0)①(1,2)D ．(－∞，0)①(1，＋∞)【解析】 令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x .①f ′(x )－f (x )x －1>0，当x >1时，f ′(x )－f (x )>0，则g ′(x )>0，①g (x )在(1，＋∞)上单调递增； 当x <1时，f ′(x )－f (x )<0，则g ′(x )<0， ①g (x )在(－∞，1)上单调递减． ①g (0)＝f (0)，①不等式f (x 2－x )e x 2－x <f (0)即为不等式g (x 2－x )<g (0)．①y ＝f (x )ex 关于直线x ＝1对称，①|x 2－x |<2，①0<x 2－x <2，解得－1<x <0或1<x <2，故选C. 【答案】 C7．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)①(0,1)B ．(－∞，－1)①(1，＋∞)C ．(－1,0)①(1，＋∞)D ．(－1,0)①(0,1)【解析】 根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x 3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)①(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)①(0,1)上的函数值大于零．【答案】D8．定义在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )·tan x 成立，则( ) A.3f ⎪⎭⎫⎝⎛4π>2f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π B ．f (1)<2f ⎪⎭⎫⎝⎛6πsin 1 C.2f ⎪⎭⎫⎝⎛6π>f ⎪⎭⎫⎝⎛4π D.3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π 【解析】 构造函数F (x )＝f (x )sin x.则F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x >0，x ①⎪⎭⎫⎝⎛2,0π， 从而有F (x )＝f (x )sin x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上为增函数，所以有F ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π<F ⎪⎭⎫⎝⎛3π，3sin36sin 6ππππ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ①3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π，故选D. 【答案】 D 二、填空题9．已知曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则实数a ＋b 的值为____________．【解析】 因为两个函数的交点为(0，m )，①m ＝a cos0，m ＝02＋b ×0＋1，①m ＝1，a ＝1，①f (x )，g (x )在(0，m )处有公切线，①f ′(0)＝g ′(0)，①－sin 0＝2×0＋b ，①b ＝0，①a ＋b ＝1.【答案】 110．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ①(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )>0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1614log 1614log f ，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 根据题意，令g (x )＝xf (x )，则a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g (log 4116)有g (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )[－f (x )]＝xf (x )，则g (x )为偶函数，又由g ′(x )＝(x )′f (x )＋xf ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又由当x ①(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )>0成立，则当x ①(0，＋∞)时，有g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上为增函数，分析可得|log 4116|>|40.2|>|log 43|，则有c >a >b ；故答案为：c >a >b .【答案】 c >a >b11．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 令f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1.因为函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点(0，－1)作y ＝ln x 的切线，设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x －1.切点在切线y ＝1x 0x－1上，则y 0＝x 0x 0－1＝0，又切点在曲线y ＝ln x 上，则ln x 0＝0，①x 0＝1，即切点为(1,0)，切线方程为y ＝x －1.再由直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 有两个交点，知直线y ＝2ax －1位于两直线y ＝0和y ＝x －1之间，其斜率2a 满足0<2a <1，解得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.【答案】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,012．曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．【解析】 令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ①[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝∫5π6(2sin x －1)d x ＝(－2cos x －x )π6⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.【答案】 23－2π3三、解答题13．已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．【解析】 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)， (i)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ii)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .当x ①(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ①(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增．(2)(i)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ii)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点； ①当a ①(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；①当a ①(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln (3a －1)，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2r 0－n 0>0.由于ln (3a －1)>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．14．已知函数f (x )＝e ax (其中e ＝2.71828…)，g (x )＝f (x )x .(1)若g (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝12时，求函数g (x )在[m ，m ＋1](m >0)上的最小值．【解析】 (1)由题意得g (x )＝f (x )x ＝eaxx在[1，＋∞)上是增函数，故'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x e ax ＝e ax (ax －1)x 2≥0在[1，＋∞)上恒成立，即ax －1≥0在[1，＋∞)恒成立，a ≥1x 在x ①[1，＋∞)上恒成立，而1x ≤1，①a ≥1； (2)当a ＝12时，g (x )＝e x 2x ，g ′(x )＝e x 2(x2－1)x 2，当x >2时，g ′(x )>0，g (x )在[2，＋∞)递增， 当x <2且x ≠0时，g ′(x )<0，即g (x )在(0,2)，(－∞，0)递减，又m >0，①m ＋1>1，故当m ≥2时，g (x )在[m ，m ＋1]上递增，此时，g (x )min ＝g (m )＝e m2m ，当1<m <2时，g (x )在[m,2]递减，在[2，m ＋1]递增，此时，g (x )min ＝g (2)＝e2，当0<m ≤1时，m ＋1≤2，g (x )在[m ，m ＋1]递减，此时，g (x )min ＝g (m ＋1)＝e m ＋12m ＋1，综上，当0<m ≤1时，g (x )min ＝g (m ＋1)＝e m ＋12m ＋1，当1<m<2时，g(x)min＝g(2)＝e2，m≥2时，g(x)min＝g(m)＝e m 2 m.。
浙江专用2020版高考数学复习第四章导数及其应用第1节导数的概念与导数的计算习题含解析
第1节 导数的概念与导数的计算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝，y ＝1x，y ＝2，y ＝3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (a ＋b )的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数y ＝f ()在＝0处的导数(1)定义：称函数y ＝f ()在＝0处的瞬时变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝ΔyΔx为函数y ＝f ()在＝0处的导数，记作f ′(0)或y ′|＝0，即f ′(0)＝ Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)几何意义：函数f ()在点0处的导数f ′(0)的几何意义是在曲线y ＝f ()上点(0，f (0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(0)(－0). 2.函数y ＝f ()的导函数如果函数y ＝f ()在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f ()在开区间内的导函数.记作f ′()或y ′. 3.基本初等函数的导数公式4.若f ′()，g ′()存在，则有： (1)[f ()±g ()]′＝f ′()±g ′()； (2)[f ()·g ()]′＝f ′()g ()＋f ()g ′()； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g x (g ()≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g ())的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g ()的导数间的关系为y ′＝y u ′·u ′，即y 对的导数等于y 对u 的导数与u 对的导数的乘积. [常用结论与易错提醒]1.f ′(0)与0的值有关，不同的0，其导数值一般也不同.2.f ′(0)不一定为0，但[f (0)]′一定为0.3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.4.函数y ＝f ()的导数f ′()反映了函数f ()的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′()|反映了变化的快慢，|f ′()|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(0)与(f (0))′表示的意义相同.( )(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2)′＝·2－1.( )(4)若f ()＝e 2，则f ′()＝e 2.( )解析 (1)f ′(0)是函数f ()在0处的导数，(f (0))′是常数f (0)的导数即(f (0))′＝0；(3)(2)′＝2ln 2；(4)(e 2)′＝2e 2.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.函数y ＝cos －sin 的导数为( ) A.sin B.－sin C.cosD.－cos解析 y ′＝(cos )′－(sin )′＝cos －sin －cos ＝－sin . 答案 B3.(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________. 解析 ∵y ＝2ln(＋1)，∴y ′＝2x ＋1.当＝0时，y ′＝2，∴曲线y ＝2ln(＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(－0)，即y ＝2. 答案 y ＝24.(2019·南通一调)若曲线y ＝ln 在＝1与＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________. 解析 因为y ′＝ln ＋1， 所以(ln 1＋1)(ln t ＋1)＝－1， ∴ln t ＝－2，t ＝e －2. 答案 e －25.定义在R 上的函数f ()满足f ()＝12f ′(1)e 2－2＋2－2f (0)，则f (0)＝________；f ()＝________.解析 ∵f ()＝12f ′(1)e 2－2＋2－2f (0)，∴f ′()＝f ′(1)e 2－2＋2－2f (0)， ∴f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，∴f (0)＝1， 即1＝12f ′(1)e －2，∴f ′(1)＝2e 2，∴f ()＝e 2＋2－2. 答案 1 e 2＋2－26.已知曲线y ＝e －，则其图象上各点处的切线斜率的取值范围为________；该曲线在点(0，1)处的切线方程为________.解析 由题意得y ′＝－e －，则由指数函数的性质易得y ′＝－e －∈(－∞，0)，即曲线y ＝e －的图象上各点处的切线斜率的取值范围为(－∞，0).当＝0时，y ′＝－e －0＝－1，则曲线y ＝e －在(0，1)处的切线的斜率为－1，则切线的方程为y －1＝－1·(－0)，即＋y －1＝0. 答案 (－∞，0) ＋y －1＝0考点一 导数的运算【例1】 求下列函数的导数：(1)y ＝2sin ； (2)y ＝cos x ex ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2；(4)y ＝ln(2－5).解 (1)y ′＝(2)′sin ＋2(sin )′＝2sin ＋2cos .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x －cos x （e x ）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x .(3)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12sin(4＋π)＝－12sin 4， ∴y ′＝－12sin 4－12·4cos 4＝－12sin 4－2cos 4.(4)令u ＝2－5，y ＝ln u .则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【训练1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝eln ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝－sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e)′ln ＋e(ln )′＝eln ＋e ·1x＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e.(2)∵y ＝3＋1＋1x 2，∴y ′＝32－2x3.(3)∵y ＝－12sin ，∴y ′＝1－12cos .(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2)，∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2)′＝11＋2x .考点二 导数的几何意义多维探究角度1 求切线的方程【例2－1】 (1)(2019·绍兴一中模拟)已知函数f ()＝e ＋2sin ，则f ()在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.＋y －1＝0 B.＋y ＋1＝0 C.3－y ＋1＝0D.3－y －1＝0(2)已知曲线y ＝133上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P 的切线方程为________.解析 (1)因为f ()＝e ＋2sin ，所以f ′()＝e ＋2cos .所以f ′(0)＝3，f (0)＝1.由导数的几何意义可知，函数f ()在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝3，即为3－y ＋1＝0，故选C. (2)设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝2，得y ′|＝0＝20，即过点P 的切线的斜率为20，又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，若0≠2，则20＝13x 30－83x 0－2， 解得0＝－1，此时切线的斜率为1；若0＝2，则切线的斜率为4. 故所求的切线方程是y －83＝－2或y －83＝4(－2)，即3－3y ＋2＝0或12－3y －16＝0.答案 (1)C (2)3－3y ＋2＝0或12－3y －16＝0 角度2 求参数的值【例2－2】 (1)(2019·嘉兴检测)函数y ＝3－的图象与直线y ＝a ＋2相切，则实数a ＝( ) A.－1 B.1 C.2D.4(2)(2019·杭州质检)若直线y ＝与曲线y ＝e ＋m (m ∈R ，e 为自然对数的底数)相切，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－1D.－2解析 (1)由题意得⎩⎨⎧y ′＝3x 2－1＝a ①，y ＝x 3－x ＝ax ＋2 ②，将①代入②，消去a 得3－＝(32－1)＋2，解得＝－1，则a ＝2，故选C.(2)设切点坐标为(0，e 0＋m ).由y ＝e ＋m ，得y ′＝e ＋m ，则切线的方程为y －e 0＋m ＝e 0＋m (－0) ①，又因为切线y ＝过点(0，0)，代入①得0＝1，则切点坐标为(1，1)，将(1，1)代入y ＝e ＋m 中，解得m ＝－1，故选C. 答案 (1)C (2)C 角度3 公切线问题【例2－3】 (一题多解)已知曲线y ＝＋ln 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝a 2＋(a ＋2)＋1相切，则a ＝________.解析 法一 ∵y ＝＋ln ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|＝1＝2.∴曲线y ＝＋ln 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(－1)，即y ＝2－1.∵y ＝2－1与曲线y ＝a 2＋(a ＋2)＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2＋1与已知直线平行).由⎩⎨⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得a 2＋a ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2－1.设y ＝2－1与曲线y ＝a 2＋(a ＋2)＋1相切于点(0，a 20＋(a ＋2)0＋1).∵y ′＝2a ＋(a ＋2)，∴y ′|＝0＝2a 0＋(a ＋2). 由⎩⎨⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，a ＝8.答案 8规律方法 (1)求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·苏州调研)已知曲线f ()＝a 3＋ln 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________.(2)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝3和y ＝a 2＋154－9(a ≠0)都相切，则a 的值为( )A.－1或－2564B.－1或214C.－74或－2564D.－74或7解析 (1)f ′()＝3a 2＋1x，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13.(2)由y ＝3得y ′＝32，设曲线y ＝3上任意一点(0，30)处的切线方程为y －30＝320(－0)，将(1，0)代入得0＝0或0＝32.①当0＝0时，切线方程为y ＝0，由⎩⎨⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9得a 2＋154－9＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＋4·a ·9＝0得a ＝－2564. ②当0＝32时，切线方程为y ＝274－274，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝274x －274，y ＝ax 2＋154x －9得a 2－3－94＝0，Δ＝32＋4·a ·94＝0得a ＝－1.综上①②知，a ＝－1或a ＝－2564.答案 (1)13(2)A基础巩固题组一、选择题1.若f ()＝2f ′(1)＋2，则f ′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2D.－4解析 ∵f ′()＝2f ′(1)＋2，∴令＝1，得f ′(1)＝－2， ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. 答案 D2.设曲线y ＝e a －ln(＋1)在＝0处的切线方程为2－y ＋1＝0，则a ＝( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 ∵y ＝e a －ln(＋1)，∴y ′＝a e a －1x ＋1，∴当＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e a －ln(＋1)在＝0处的切线方程为2－y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.故选D. 答案 D3.曲线f ()＝3－＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2－1，则P 点的坐标为( ) A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)或(－1，3)D.(1，－3)解析 f ′()＝32－1，令f ′()＝2，则32－1＝2，解得＝1或＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2－1上，故选C. 答案 C4.(2019·诸暨统考)已知f ()的导函数为f ′()，若满足f ′()－f ()＝2＋，且f (1)≥1，则f ()的解析式可能是( ) A.2－ln ＋ B.2－ln － C.2＋ln ＋D.2＋2ln ＋解析 由选项知f ()的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′（x ）－f （x ）x 2＝1＋1x ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝1＋1x ，故f （x ）x＝＋ln ＋c (c 为待定常数)，即f ()＝2＋(ln ＋c ).又f (1)≥1，则c ≥0，故选C. 答案 C5.(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f ()＝3＋(a －1)2＋a .若f ()为奇函数，则曲线y ＝f ()在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2 B.y ＝－ C.y ＝2D.y ＝解析 法一 因为函数f ()＝3＋(a －1)2＋a 为奇函数，所以f (－)＝－f ()，所以(－)3＋(a －1)(－)2＋a (－)＝－[3＋(a －1)2＋a ]，所以2(a －1)2＝0.因为∈R ，所以a ＝1，所以f ()＝3＋，所以f ′()＝32＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f ()在点(0，0)处的切线方程为y ＝.故选D. 法二 因为函数f ()＝3＋(a －1)2＋a 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f ()＝3＋(经检验，f ()为奇函数)，所以f ′()＝32＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f ()在点(0，0)处的切线方程为y ＝.故选D. 法三 易知f ()＝3＋(a －1)2＋a ＝[2＋(a －1)＋a ]，因为f ()为奇函数，所以函数g ()＝2＋(a －1)＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f ()＝3＋，所以f ′()＝32＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f ()在点(0，0)处的切线方程为y ＝.故选D. 答案 D6.已知y ＝f ()是可导函数，如图，直线y ＝＋2是曲线y ＝f ()在＝3处的切线，令g ()＝f ()，g ′()是g ()的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4解析 由题图可知曲线y ＝f ()在＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g ()＝f ()，∴g ′()＝f ()＋f ′()，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 答案 B 二、填空题7.(2018·天津卷)已知函数f ()＝eln ，f ′()为f ()的导函数，则f ′(1)的值为________. 解析 由题意得f ′()＝eln ＋e ·1x，则f ′(1)＝e.答案 e8.(2018·全国Ⅲ卷)曲线y ＝(a ＋1)e 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. 解析 y ′＝(a ＋1＋a )e ，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y ′|＝0＝(a ＋1＋a )e|＝0＝1＋a ＝－2，所以a ＝－3.答案 －39.(2018·台州调考)已知函数f ()＝a ln ，∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′()为f ()的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为__________；f ()在＝1处的切线方程为________.解析 f ′()＝a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.f ()＝3ln ，f (1)＝0，∴f ()在＝1处的切线方程为y ＝3(－1)，即为3－y －3＝0. 答案 3 3－y －3＝010.设曲线y ＝e 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(＞0)在点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 y ′＝e ，曲线y ＝e 在点(0，1) 处的切线的斜率1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x(＞0)的导数为y ′＝－1x 2(＞0)，曲线y ＝1x (＞0)在点P 处的切线斜率2＝－1m2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以12＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1). 答案 (1，1) 三、解答题11.已知点M 是曲线y ＝133－22＋3＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围.解 (1)y ′＝2－4＋3＝(－2)2－1≥－1，∴当＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53， ∴斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率＝－1， ∴切线方程为3＋3y －11＝0.(2)由(1)得≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12.已知曲线y ＝133＋43. (1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程.解 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝133＋43上，且y ′＝2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|＝2＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(－2)，即4－y －4＝0.(2)设曲线y ＝133＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|＝0＝20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝20(－0)，即y ＝20·－2330＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝220－2330＋43，即30－320＋4＝0，∴30＋20－420＋4＝0， ∴20(0＋1)－4(0＋1)(0－1)＝0，∴(0＋1)(0－2)2＝0，解得0＝－1或0＝2，故所求的切线方程为－y ＋2＝0或4－y －4＝0.能力提升题组13.(2018·萧山月考)已知f 1()＝sin ＋cos ，f n ＋1()是f n ()的导函数，即f 2()＝f 1′()，f 3()＝f ′2()，…，f n ＋1()＝f n ′()，n ∈N *，则f 2 018()等于( )A.－sin －cosB.sin －cosC.－sin ＋cosD.sin ＋cos解析 ∵f 1()＝sin ＋cos ，∴f 2()＝f 1′()＝cos －sin ，∴f 3()＝f 2′()＝－sin －cos ，∴f 4()＝f 3′()＝－cos ＋sin ，∴f 5()＝f 4′()＝sin ＋cos ，∴f n ()是以4为周期的函数，∴f 2 018()＝f 2()＝－sin ＋cos ，故选C.答案 C14.(2019·无锡模拟)关于的方程2|＋a |＝e 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________.解析 由题意，临界情况为y ＝2(＋a )与y ＝e 相切的情况，y ′＝e ＝2，则＝ln 2，所以切点坐标为(ln 2，2)，则此时a ＝1－ln 2，所以只要y ＝2|＋a |图象向左移动，都会产生3个交点，所以a >1－ln 2，即a ∈(1－ln 2，＋∞).答案 (1－ln 2，＋∞)15.若直线y ＝＋b 是曲线y ＝ln ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(＋1)的切线，则b ＝________. 解析 y ＝ln ＋2的切线为：y ＝1x 1·＋ln 1＋1(设切点横坐标为1). y ＝ln(＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1＋ln(2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为2).∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x 2x 2＋1， 解得1＝12，2＝－12，∴b ＝ln 1＋1＝1－ln 2. 答案 1－ln 216.(2019·湖州适应性考试)已知函数f ()＝|3＋a ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的1，2∈[0，1]，f (1)－f (2)≤2|1－2|恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 当1＝2时，f (1)－f (2)≤2|1－2|恒成立；当1≠2时，由f (1)－f (2)≤2|1－2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f ()在(0，1)上的导函数f ′()满足|f ′()|≤2，函数y ＝3＋a ＋b 的导函数为y ′＝32＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎨⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1].答案 [－2，－1]17.设函数f ()＝a －b x，曲线y ＝f ()在点(2，f (2))处的切线方程为7－4y －12＝0. (1)求f ()的解析式；(2)证明曲线f ()上任一点处的切线与直线＝0和直线y ＝所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7－4y －12＝0可化为y ＝74－3， 当＝2时，y ＝12.又f ′()＝a ＋b x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f ()＝－3x . (2)设P (0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(－0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(－0).令＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝，得y ＝＝20，从而得切线与直线y ＝的交点坐标为(20，20).所以点P (0，y 0)处的切线与直线＝0，y ＝所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|20|＝6. 故曲线y ＝f ()上任一点处的切线与直线＝0，y ＝所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.18.如图，从点P 1(0，0)作轴的垂线交曲线y ＝e 于点Q 1(0，1)，曲线在Q 1点处的切线与轴交于点P 2.再从P 2作轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P 点的坐标为(，0)(＝1，2，…，n ).(1)试求与－1的关系(＝2，…，n )；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.解 (1)设点P －1的坐标是(－1，0)，∵y ＝e ，∴y ′＝e ，∴Q －1(－1，e －1)，在点Q －1(－1，e －1)处的切线方程是y －e －1＝e －11(－－1)，令y ＝0，则＝－1－1(＝2，…，n ).(2)∵1＝0，－－1＝－1，∴＝－(－1)，∴|PQ |＝e ＝e －(－1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－ne －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－ne －1.。
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
2020年全国版高考数学必刷题 第五单元 导数的概念与计算、定积分与微积分定理
2020高考数学第五单元导数的概念与计算、定积分与微积分定理考点一导数的计算1.(2016年四川卷)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是().A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)【解析】由图象易知P1,P2位于f(x)图象的两段上,不妨设P1(x1,-ln x1)(0<x1<1),P2(x2,ln x2)(x2>1),则函数f(x)的图象在点P1处的切线l1的方程为y+ln x1=-(x-x1),即y=-+1-ln x1.①则函数f(x)的图象在点P2处的切线l2的方程为y-ln x2=(x-x2),即y=-1+ln x2.②由l1⊥l2,得-×=-1,∴x1x2=1.由切线方程可求得A(0,1-ln x1),B(0,ln x2-1),由①②知l1与l2交点的横坐标x P=-=.∴S△PAB=×(1-ln x1-ln x2+1)×==.又∵x1∈(0,1),∴x1+>2,∴0<<1,即0<S△PAB<1.【答案】A2.(2015年天津卷)已知函数f(x)=ax ln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为.【解析】f'(x)=a=a(1+ln x).因为f'(1)=a(1+ln 1)=a,又f'(1)=3,所以a=3.【答案】3考点二导数的几何意义3.(2016年山东卷)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是().A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3【解析】若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则f'(x1)·f'(x2)=-1.对于A:y'=cos x,若有cos x1·cos x2=-1,则存在x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立;对于B:y'=,若有·=-1,则存在x1x2=-1,∵x>0,∴不存在x1,x2,使得x1x2=-1;对于C:y'=e x,若有·=-1,则存在=-1,显然不存在这样的x1,x2;对于D:y'=3x2,若有3·3=-1,则存在9=-1,显然不存在这样的x1,x2.综上所述,故选A.【答案】A4.(2015年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.【解析】∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1.又f(1)=a+2,∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1.【答案】15.(2016年全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.【解析】设x>0,则-x<0,f(-x)=e x-1+x.∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=e x-1+x(x>0).∵当x>0时,f'(x)=e x-1+1,∴f'(1)=e1-1+1=1+1=2.∴曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.【答案】2x-y=06.(2016年全国Ⅱ卷)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.【解析】求得(ln x+2)'=,[ln(x+1)]'=.设曲线y=ln x+2上的切点为(x1,y1),曲线y=ln(x+1)上的切点为(x2,y2),则k==,所以x2+1=x1.又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,所以k=-=2,-所以x1==,y1=ln+2=2-ln 2,所以b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2.【答案】1-ln 2考点三定积分及其应用7.(2014年江西卷)若f(x)=x2+2f(x)d x,则f(x)d x=().A.-1B.-C.D.1【解析】∵f(x)=x2+2f(x)d x,∴f(x)d x=∴f(x)d x=-.【答案】B8.(2014年山东卷)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为().A.2B.4C.2D.4【解析】令4x=x3,解得x=0或x=±2,∴S==-=8-4=4,故选D.【答案】D9.(2014年陕西卷)定积分(2x+e x)d x的值为().A.e+2B.e+1C.eD.e-1【解析】(2x+e x)d x=(x2+e x)=e.故选C.【答案】C10.(2015年天津卷)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.【解析】如图,阴影部分的面积即为所求.由得A(1,1).故所求面积为S=(x-x2)d x=-=.【答案】11.(2015年陕西卷)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为y=x2-2,抛物线与x轴围成的面积S1=d x=,梯形面积S2==16.故原始的最大流量与当前最大-流量比为S2∶S1=1.2.【答案】1.2高频考点:导数的几何意义、导数的运算,定积分的计算偶尔涉及.命题特点:导数的几何意义,主要以小题的形式考查,有时也会作为解答题的第一小问出现,难度不大.导数是研究函数的工具,其运算渗透在解答题中,定积分全国卷近几年没有涉及,地方卷偶尔考查,是基础题.§5.1导数概念及其运算一导数的概念1.函数y=f(x)在x=x0处的导数:定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率==为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'.几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点处的.相应地,切线方程为.2.函数f(x)的导函数:=-.二基本初等函数的导数公式三导数的运算法则1.[f(x)±g(x)]'=;2.[f(x)·g(x)]'=;3.'=-(g(x)≠0).四复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y x'=,即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x0)与(f(x0))'表示的意义相同.()(2)函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为3(x2-a2).()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(4)若f(x)=sin α+cos x,则f'(x)=cos α-sin x.()若f(x)=x·e x,则f'(1)等于().A.0B.eC.2eD.e2曲线y=sin x+e x在点(0,1)处的切线方程是().A.x-3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.3x-y+1=0若y=ln(2x+5),则y'=.设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=f'sin x+cos x,则f'=.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,求a的值.知识清单一、1.(x0,f(x0))切线斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)二、n·x n-1cos x-sin x a x ln a e x三、1.f'(x)±g'(x)2.f'(x)g(x)+f(x)g'(x)四、y'u·u'x y对u u对x基础训练1.【解析】(1)错误,f'(x0)表示导函数值,(f(x0))'=0,是常数的导数.(2)正确,由求导公式计算可知f(x)'=3(x2-a2).(3)正确.(4)错误,f'(x)=-sin x.【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2.【解析】f'(x)=e x+x e x,则f'(1)=2e.【答案】C3.【解析】y'=cos x+e x,则切线斜率k=2,所以切线方程2x-y+1=0.【答案】C4.【解析】y'=.【答案】5.【解析】因为f'(x)=f'cos x-sin x,所以f'=-1,所以f'=f'-=-.【答案】-6.【解析】设切点P(m,ln(m+a)),又y'=,所以解得a=ln 2.-题型一导数的计算【例1】(1)f(x)=;(2)f(x)=-;(3)y=x sin cos.【解析】(1)f'(x)=-=-.(2)由已知得f(x)=x-ln x+-,∴f'(x)=1--+=--.(3)∵y=x sin cos=x sin(4x+π)=-x sin 4x,∴y'=-sin 4x-x·4cos 4x=-sin 4x-2x cos 4x.熟记导数运算法则,求导之前能化简的要化简;求复合函数的导数,关键在于分析函数的复合关系,适当确【变式训练1】(1)函数y=(1-),则y'=.(2)已知f(x)=sin-,则f'=.【解析】∵y=(1-)=-=--,∴y'=----=--+-.(2)∵y'=cos-·-'=3cos-,∴f'=3cos-=-.【答案】(1)---(2)-题型二导数的几何意义【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.【解析】∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1.又f(2)=-2,∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.(2)设切点坐标为(x0,-4+5x0-4),∵f'(x0)=3-8x0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2).又切线过点(x0,-4+5x0-4),∴-4+5x0-2=(3-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,∴经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.导数f'(x【变式训练2】(1)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为().A.1B.2C.-1D.-2(2)设a∈R,函数f(x)=e x+的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为.【解析】(1)设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a).又y'=,所以y'==1,即x0+a=1.又y0=ln(x0+a),所以y0=0,则x0=-1,所以a=2.(2)函数f(x)=e x+的导函数是f'(x)=e x-.又f'(x)是奇函数,所以f'(x)=-f'(-x),即e x-=-(e-x-a·e x),则e x(1-a)=e-x(a-1),所以(e2x+1)·(1-a)=0,解得a=1,所以f'(x)=e x-.令e x-=,解得e x=2或e x=-(舍去),所以x=ln 2.【答案】(1)B(2)ln 2题型三导数运算的应用【例3】设点P,Q分别是曲线y=x e-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+1上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为().A. B.C.D.【解析】y'=e-x-x e-x=(1-x)e-x,令(1-x)e-x=1,得e x=1-x,e x+x-1=0,令h(x)=e x+x-1,显然h(x)是增函数,且h(0)=0,即方程e x+x-1=0只有一解x=0,曲线y=x e-x在x=0处的切线方程为y=x,故两条平行线x-y=0和x-y+1=0间的距离为d==,即P,Q两点间距离的最小值为,故选C.【答案】C【变式训练3】f(x)=x(2017+ln x),若f'(x0)=2018,则x0等于().A.e2B.1C.ln 2D.e【解析】f'(x)=2017+ln x+x×=2018+ln x,故由f'(x0)=2018得2018+ln x0=2018,则ln x0=0,解得x0=1.【答案】B方法一化归转化思想在导数运算中的应用对于比较复杂的函数求导,若直接套用求导法则,计算过程繁琐冗长,且易出错.可先化简将其转化为基本初等函数,再求导,但要注意变形的等价性,避免不必要的失误.【突破训练1】求下列函数的导数.(1)y=+;(2)y=x ln .【解析】(1)∵y===-2,∴y'=.-(2)y=x ln(2x=x ln 2x,y'='=[x'ln 2x+x(ln 2+ln x)']=(ln 2x+1).方法二求切线斜率的方法导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0)),求斜率k,即求该点处的导数值:k=f'(x0).(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.求解即可.(3)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由--【突破训练2】已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.【解析】∵点(0,-1)不在曲线f(x)=x ln x上,∴设切点为(x0,y0).又∵f'(x)=1+lnx,∴解得x0=1,y0=0.∴切点为(1,0).又∵f'(1)=1+ln 1=1,∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.1.(2017海南八校一模)已知函数f(x)=,若f'(1)=,则实数a的值为().A.2B.4C.6D.8【解析】函数f(x)=,则f'(x)=,∵f'(1)=,即f'(1)=-=,∴a=4.【答案】B2.(2017吉林白山二模)设f(x)存在导函数且满足--=-2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为().A.-1B.-2C.1D.2【解析】y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)===-1.【答案】A3.(2017惠州模拟)已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f'=().A.-B.-C.-D.-【解析】因为f'(x)=-cos x+(-sin x),所以f(π)+f'=-+×(-1)=-.【答案】C4.(2017江西南昌模拟)已知函数f(x)=ln,则f'(2)=().A.B.C.D.【解析】因为f(x)=ln=ln(x2+1),所以f'(x)=×=,所以f'(2)==,故选B.【答案】B在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=().5.(2017西宁复习检测)已知曲线y=-A.-2B.2C.-D.【解析】由y'=-,得曲线在点(3,2)处的切线的斜率为-.又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,所以a=-2, -故选A.【答案】A6.(2017河南郑州二模)设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f'[f(0)(x)],f(2)(x)=f'[f(1)(x)],…,f(n)(x)=f'[f(n-1)(x)],则f(1)(15°)+f(2)(15°)+…+f(2017)(15°)的值为().A.B.-C.0 D.1【解析】f0(x)=sin x,则f(1)(x)=cos x,f(2)(x)=-sin x,f(3)(x)=-cos x,f(4)(x)=sin x,f(5)(x)=cos x,…,则f(1)(x)=f(5)(x)=f(9)(x)=…,即f(n)(x)=f(n+4)(x),则f(n)(x)是周期为4的周期函数.又f(1)(x)+f(2)(x)+f(3)(x)+f(4)(x)=sin x+cos x-sin x-cos x=0,且2017=504×4+1,∴f(1)(15°)+f(2)(15°)+…+f(2017)(15°)=f(1)(15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=×+×=.【答案】A7.(2017江西七校一模)已知函数f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则f'(4)=.【解析】f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则f'(x)=2x+f'(2)-,则f'(2)=4+f'(2)-,∴f'(2)=,∴f'(x)=2x+-,∴f'(4)=6.【答案】68.(2017郑州第二次质检)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=.【解析】由题图可得曲线y=f(x)在x=3处的切线的斜率为-,即f'(3)=-.又因为g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x),g'(3)=f(3)+3f'(3),由题图可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×-=0.【答案】09.(2017保定一模)若函数f(x)=ln x+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是.【解析】函数f(x)=ln x+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x)=2在x∈(0,+∞)上有解,而f'(x)=+a,即+a=2在x∈(0,+∞)上有解,a=2-,因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2).【答案】(-∞,2)10.(2017安徽安庆二模)给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的拐点是M(x0,f(x0)),则点M().A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上【解析】f'(x)=3+4cos x+sin x,f″(x)=-4sin x+cos x,令f″(x)=0,则有4sin x0-cos x0=0,所以f(x0)=3x0,故拐点M(x0,f(x0))在直线y=3x上.【答案】B11.(湖南衡阳八中2017适应性试卷)已知函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,则的最小值是().A.9B.10C.16D.25【解析】由f(x)=ax2+bx,得f'(x)=2ax+b.又因为f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,所以f'(1)=2a+b=2,即a+=1.则=+==++5≥2+5=9,当且仅当即时等号成立.所以的最小值是9.【答案】A12.(2017北京东城区模考)已知M,N分别是曲线y=e x与直线y=e x-1上的点,则线段MN的最小值为().A.B. C. D.e【解析】设曲线y=e x在某点处的切线为l,当切线l与直线y=e x-1平行时,这两条平行直线间的距离就是所求的最小值.因为切线l与直线y=e x-1平行,所以切线l的斜率为e.设切点坐标为M(a,b),又曲线y=e x 在点M(a,b)处的切线的斜率为y'=e a,由e a=e,得a=1,所以切点M的坐标为(1,e),故切线l的方程为y-e=e(x-1),即e x-y=0.又直线y=e x-1,即e x-y-1=0,所以d==,即线段MN的最小值为.【答案】B13.(2017河北衡水一模)定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=--,f'(x2)=--,那么称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3-x2+a是[0,a]上的“双中值函数”,那么实数a的取值范围是().A.B.C.D.【解析】由题意可知,在区间[0,a]存在x1,x2(0<x1<x2<a),满足f'(x1)=f'(x2)=-=a2-a,∵f(x)=x3-x2+a,∴f'(x)=3x2-2x,∴方程3x2-2x=a2-a在区间(0,a)上有两个不相等的解.令g(x)=3x2-2x-a2+a(0<x<a),则--解得<a<1.∴实数a的取值范围是.【答案】C14.(2017四川南充一诊)已知函数f(x)=sin(2x+θ),f'(x)是f(x)的导函数,若函数f(x)+f'(x)为奇函数,则tan θ=.【解析】∵f(x)=sin(2x+θ),∴f'(x)=2cos(2x+θ),则f(x)+f'(x)=sin(2x+θ)+2cos(2x+θ).∵f(x)+f'(x)为奇函数,∴sin(-2x+θ)+2cos(-2x+θ)=-sin(2x+θ)-2cos(2x+θ),即-sin(2x-θ)+2cos(2x-θ)=-sin(2x+θ)-2cos(2x+θ),则-sin 2x cos θ+cos 2x sin θ+2cos 2x cos θ+2sin 2x sin θ=-sin 2x cos θ-cos 2x sin θ-2cos 2x cos θ+2sin 2x sin θ,得2cos 2x sin θ=-4cos 2x cos θ,解得sin θ=-2cos θ,即tan θ=-2,【答案】-215.(2017辽宁葫芦岛模考)已知函数f(x)=ax3+x2+bx+2中a,b为参数,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=6x-1,则f(-1)=.【解析】∵f(x)=ax3+x2+bx+2,∴f'(x)=3ax2+2x+b,∴f(1)=a+b+3,f'(1)=3a+b+2,故切线方程为y-(a+b+3)=(3a+b+2)(x-1),即y=(3a+b+2)x-2a+1.解得故f(x)=x3+x2+x+2,而y=6x-1,则-则f(-1)=1.【答案】116.(2017河北唐山一中月考)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0.(1)求a的值.(2)是否存在k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知得f'(x)=3ax2+6x-6a,因为f'(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.(2)存在.由已知得直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3+6x0+12).因为g'(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11,①由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.在x=-1处,y=f(x)的切线方程为y=-18,在x=2处,y=f(x)的切线方程为y=9,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.②由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.§5.2定积分与微积分基本定理一定积分的几何意义f(x)d x(f(x)>0)的几何意义:表示直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的的面积.二定积分的性质1.kf(x)d x=k f(x)d x(k为常数).2.[f1(x)±f2(x)]d x=f1(x)d x±f2(x)d x.3.f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x(其中a<c<b).三微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且F'(x)=f(x),那么f(x)d x=,这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记作,即f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a).☞左学右考(e x+2x)d x等于().A.1B.e-1C.eD.e+1定积分-|x2-2x|d x等于().A.5B.6C.7D.8若x2d x=9,则常数T的值为.已知质点的速率v=10t,求从t=0到t=2质点所经过的路程.知识清单一、曲边梯形三、F(b)-F(a)F(x)基础训练1.【解析】(e x+2x)d x=(e x+x2)=e+1-1=e.【答案】C2.【解析】-|x2-2x|d x=-(x2-2x)d x+(2x-x2)d x=--+-=8.【答案】D3.【解析】由x2d x=9得(T3-0)=9,解得T=3.【答案】34.【解析】S=v d t=10t d t=5t2=20.题型一定积分的计算【例1】(1)-(x2+sin x)d x;(2)-d x.【解析】(1)-(x2+sin x)d x=-x2d x+-sin x d x=2·x2d x=2·=.(2)由定积分的几何意义知,-d x表示圆(x-1)2+y2=4和x=1,x=3,y=0围成的图形的面积,∴-d x=×π×4=π.【变式训练1】-(x2+)d x=.(2)设f(x)=(e为自然对数的底数),则f(x)d x的值为.【解析】(1)原式-x2d x+-d x=x3-+-d x=+-d x,∵-d x等于半径为1的圆的面积的,∴-d x=,故原式=+.(2)∵f(x)=∴f(x)d x=x2d x+d x=+ln x=+ln e=.【答案】(1)+(2)题型二定积分在平面几何中的应用【例2】求由曲线y=、y=2-x、y=-x所围成的图形的面积.【解析】画出草图,如图.解方程组及得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以S=--d x+---d x=d x+d x=+-=++-=+6-×9-2+=.利用定积分求曲边图形的面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不【变式训练2】求抛物线y2=2x和直线y=-x+4所围成的图形的面积.【解析】先求抛物线和直线的交点,解方程组得交点坐标为A(2,2)和B(8,-4).选取x为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割成两部分(如图),则面积为S=S1+S2=2d x+(-x+4)d x=+ -x2+4x=18.题型三定积分在物理中的应用【例3】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是().A.1+25ln 5B.8+25lnC.4+25ln 5D.4+50ln 2【解析】令v(t)=0,得t=4或t=-(舍去),∴汽车继续行驶的距离S=d t= 7t-t2+25ln(1+t)=28-24+25ln 5=4+25ln 5.【答案】C【变式训练3】一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为J.【解析】由题意知,力F(x)所做的功为W=F(x)d x=5d x+(3x+4)d x=5×2+=10++××+×=36(J).【答案】36方法计算定积分的方法(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差,用积分性质求积分.(2)根据定积分的几何意义,转化为求封闭图形的面积.【突破训练】用min{a,b}表示a,b两个数中的较小的数,设f(x)=min{x2,},那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=和直线x=4所围成的封闭图形的面积为.【解析】由题意知,所求图形的面积为如图所示的阴影部分的面积,即所求的面积S=x2d x+d x=x3+=-×+-=.【答案】1.(2017山东模拟)若f(x)=x+2f(t)d t,则f(x)=().A.2x-1B.2x+1C.x+1D.x-1【解析】记a=f(t)d t,则f(x)=x+2a,故f(x)d x=(x+2a)d x=+2a,所以a=+2a,a=-,故f(x)=x-1.【答案】Dd x,则a6(a4+2a6+a8)的值为().2.(2017广东汕头模拟)已知等比数列{a n}中,a5+a7=-A.16π2B.4π2C.2π2D.π2【解析】∵d x表示以原点为圆心,2为半径的圆的面积的二分之-一,∴d x=π×4=2π,∴a5+a7=2π.∵{a n}为等比数-列,∴a6(a4+2a6+a8)=a6a4+2+a6a8=+2a5a7+=(a5+a7)2=4π2.【答案】B3.(2017江西南昌模拟)若a=x2d x,b=x3d x,c=sin x d x,则a,b,c的大小关系是().A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b【解析】因为a=x2d x=x3=,b=x3d x=x4=4,c=sin x d x=(-cos x)=1-cos 2<2,所以c<a<b.【答案】D4.(2017广西南宁二模)定义min{a,b}=设f(x)=min,则由函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为().A.B.C.+ln 2D.+ln 2【解析】由=x2,得x=1,又当x<0时,<x2,所以根据新定义有f(x)=min x2,=或函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形为图中阴影部分(如图),则其面积为S=x2d x+d x=x3+ln x=+ln 2.【答案】C5.(2017湖南衡阳一模)下列4个不等式:①d x<d x;②sin x d x<cos x d x;③e-x d x<-d x;④sin x d x<x d x.其中,正确的个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】①∵x∈(0,1),∴<,∴d x<d x;②∵x∈,∴sin x<cos x,∴sin x d x<cos x d x;③∵x∈(0,1),∴e-x<-,∴e-x d x<-d x;④∵sin x d x=-cos x=1-cos 2∈(1,2),x d x=x2=2,∴sin x d x<x d x.综上可知,正确的个数为4.【答案】D6.(2017安徽合肥期中)物体A以速度v=3t2+1(单位:m/s)在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A 的正前方5 m处,同时以v=10t的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间为().A.3B.4C.5D.6【解析】因为物体A在t s内行驶的路程为(3t2+1)d t,物体B在t s内行驶的路程为10t d t,所以(3t2+1-10t)d t=(t3+t-5t2)=t3+t-5t2=5,即(t-5)(t2+1)=0,所以t=5.【答案】C7.(2017天津市红桥区期中)如图,由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于().A.1B.C.D.【解析】由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于2d x=2×=.【答案】B8.(2017山东烟台期中)曲线y=x3与直线y=x所围成的图形的面积为().A.B.C.1 D.2【解析】曲线y=x3与直线y=x的交点坐标为(0,0),(1,1),(-1,-1).曲线y=x3与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是(x-x3)d x=-=--0=.由y=x3与y=x都是奇函数,可知它们在第三象限的面积与第一象限的面积相等.所以曲线y=x3与y=x所围成的图形的面积为,故选B.【答案】B9.(2017山东联考)由曲线y=x3与y=围成的封闭图形的面积是.【解析】如图,在同一平面直角坐标系内画出y=x3与y=的图象,则封闭图形的面积S=(-x3)d x=-=-=.【答案】10.(2017山西晋中月考)如图,矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sin x及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成.向矩形OABC内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为,则a=.【解析】根据题意,阴影部分的面积为sin x d x=-cos x=1-cos a,矩形的面积为a·=4.由几何概型的概率公式可得=,即cos a=-,又a∈(0,π),∴a=.【答案】11.(2017广东湛江二模)曲线y=与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为().A.2-ln 2B.2ln 2-C.2+ln 2D.2ln 2+【解析】联立方程组解得x=2,y=1,-则曲线y=与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为S=-d x=(2ln x-x2+x)=(2ln 2-2+2)-(0-+1)=2ln 2-.【答案】B12.(2017邯郸一模)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过C、M、D三点的抛物线与CD围成的阴影部分的面积是().A. B. C. D.【解析】由题意,建立平面直角坐标系,如图所示,则D(2,1),设抛物线方程为y2=2px,代入D,可得p=,∴y=,∴S=2d x=·=,故选D.【答案】D13.(2017哈尔滨六中一模)设函数f(x)是R上的奇函数,f(x+π)=-f(x),当0≤x≤时,f(x)=cos x-1,则当-2π≤x≤2π时,f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为().A.4π-8B.2π-4C.π-2D.3π-6【解析】由f(x+π)=-f(x),得f(x+2π)=f(x),即函数的周期是2π.若-≤x≤0,则0≤-x≤,即f(-x)=cos(-x)-1=cos x-1.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=cos x-1=-f(x),即f(x)=1-cos x,-≤x≤0.∵函数的周期是2π,∴当<x≤2π时,-<x-2π≤0,即f(x)=f(x-2π)=1-cos(x-2π)=1-cos x.当<x≤π时,-<x-π≤0,即f(x)=-f(x-π)=cos(x-π)-1=-cos x-1,当π<x≤时,0≤x-π≤,即f(x)=-f(x-π)=-cos(x-π)+1=cos x+1,综上,f(x)=---则由定积分的公式和性质可知,当-2π≤x≤2π时,f(x)的图象与x轴所围成图形的面积S=2f(x)d x=4f(x)d x=8|f(x)|d x=8|(cos x-1)|d x=8(1-cos x)d x=8(x-sin x)=4π-8.【答案】A14.(2016山东济南二模)已知曲线y=与直线x=1,x=3,y=0围成的封闭区域为A,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B,在区域B内任取一点P,该点P落在区域A的概率为.【解析】由题意,A对应区域的面积为d x=ln x=ln 3,B对应区域的面积为2,由几何概型的公式得所求概率为.【答案】15.(2017山东德州期中)设函数f(x)对x≠0的实数满足f(x)-2f=-3x+2,那么f(x)d x=.【解析】∵函数f(x)对x≠0的实数满足f(x)-2f=-3x+2,∴---解得f(x)=x+-2,∴f(x)d x=x d x+d x-2d x=+2ln x-2x=2ln 2-.【答案】2ln 2-16.(2017江西南昌模拟)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B、C(1,0),则函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为.【解析】当0≤x≤时,线段AB的方程为y=10x;当<x≤1时,线段BC方程为-=--,整理得y=-10x+10,即f(x)=-∴y=xf(x)=-故函数y=xf(x)(0≤x≤1)与x轴围成的图形的面积为S=10x2d x+(-10x2+10x)d x=x3+-=.【答案】。
2020年新高考数学复习破解定积分的简单应用(理)专题解析
2020年新高考数学复习破解定积分的简单应用（理）专题解析考纲要求:1、了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分；2、了解定积分的几何意义，能够实现曲边图形的面积与定积分面积的相互转化. 基础知识回顾: 1、曲边梯形的定义我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形。
2、曲边梯形的面积的求法：分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 3、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x x f nξ==-=∆=∑∑如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰，其中⎰是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限， ()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx是被积式。
【注】（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰4．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()()()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；性质21212[()()]()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；性质3()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）5．定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b af x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。
2020年高考数学(理)函数与导数 专题16 定积分(解析版)
函数与导数16 导数及其应用 定积分一、具体目标：(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义． 考点透析：1.以定积分与微积分基本定理的简单应用—计算为主；2.在计算面积方面的应用.3.备考重点：(1) 掌握微积分基本定理；(2) 会应用微积分基本定理解决简单的面积计算. 二、知识概述：1. 定积分的概念与微积分基本定理 1．定积分的概念 在()baf x dx ⎰中，,a b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[]a b ，叫做积分区间，()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式． 2．定积分的性质 (1) ()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数)；(2) 12[()()]baf x f x dx ±=⎰12()()bbaaf x dx f x dx ±⎰⎰；(3)()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ (其中a <c <b )．3．微积分基本定理：一般地，如果()f x 是在区间[]a b ，上的连续函数，且()()F x f x '＝，那么【考点讲解】()()()dx baF f x b F a =⎰-，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．为了方便，常把()()F b a F -记作()ba F x ，即()()()dx ()bba af x F x b F a F ==⎰-．2．定积分的几何意义（1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积 ()baS f x dx =⎰，若'()()F X f x =，则(-S F b F =）（a). （2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（()f x >g(x ））围成的平面图形的面积为[()()]baS f x g x dx =-⎰.3．定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x . 4.温馨提示：1）运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． 2）利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．1. 【2019优选题】若222 21231111,,,xS x dx S dx S e dxx===⎰⎰⎰则123,,S S S的大小关系为（）A．123S S S<<B．213S S S<<C．231S S S<<D．321S S S<<【解析】3221127133xS x dx===⎰，22121ln ln21S dx xx===⎰，223121x xS e dx e e e===-⎰．显然213S S S<<，故选B．【答案】B2．【2019优选题】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．14B．15C．16D．17【解析】∵31221211)()326S x x dx x x-=-=⎰阴影=（,正方形的面积为1，∴P=16．【答案】C3．【2018优选题】由曲线y x=，直线2y x=-及y轴所围成的图形的面积为（）A．103B．4 C．163D．6【解析】用定积分求解342422116(2)(2)323x x dx x x x-+=-+=⎰，选C.【答案】C【真题分析】4．【2017优选题】1(2)xex dx +⎰等于（ ）A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 【解析】1(2)x e x dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．【答案】C 5．【2017优选题】421dx x⎰等于（ ） A ．2ln 2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 2【解析】∵1(ln )x x '=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =-=．【答案】D6.【2015福建】如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．【答案】5127.【2019优选题】如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e阴正． 【答案】22e8.【2019优选题】若29,T x dx T =⎰则常数的值为 ． 【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT． 【答案】39.【2019优选题】计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰112333=+=． 【答案】2310.【2016优选题】设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．【解析】a a x dx x S a a====⎰232303232，解得49=a ． 【答案】9411.【2015陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【解析】考点为1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 【答案】1.212.【2019优选题】（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x -得2()=31f x x '-=333()()33x x+-， 当3(,)3x ∈-∞-和33+∞（，）时，()>0f x '；O xy当3(,3x ∈-3)3时，()<0f x '， 因此，()f x 的单调递增区间为3(,)3-∞-和33+∞（，），单调递减区间为3(,3-3)3． （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x ---即2311y=(31)2,x x x --由23113(31)2=y x x x y x x⎧=--⎪⎨-⎪⎩得3=x x -2311(31)2x x x --，即211()+2)=0x x x x -（，解得1121=2,2x x x x x x =-=-或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x -=-⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和42227=4S x ，又2120x x =-≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠因此有121=16S S ． （Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值． 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a -(，))3ba-平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．1.设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．【答案】12.20(1)x dx ⎰-= .【解析】本题考点是定积分的计算. 试题分析：0)21()1(2220=-=-⎰x x dx x 【答案】0.3.曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【解析】本题考点定积分几何意义与定积分运算.在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组2y x y x⎧=⎨=⎩得两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.21.510.50.511.522.543211234【答案】16【模拟考场】4. 计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.【解析】由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. 【答案】π5.由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为______． 【解析】 由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)，由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为：1312311113311(3)d (3)d (3ln )|(3)|2x x x x x x x x -+-=-+-⎰⎰＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3. 【答案】4－ln 36. .二项式()0633>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ax 的展开式的第二项的系数为23-，则⎰-a dx x 22的值为__________．【解析】二项式()0633>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ax 的展开式的通项公式()2221322363x a ax C T -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=． ∵第二项的系数为23-，∴23232-=-a ，∴a 2=1，a ＞0，解得a =1．当a =1时，则322=⎰-a dx x .【答案】37.若ʃ10(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1【解析】 (1)ʃ10(2x ＋λ)d x ＝(x 2＋λx )|10＝1＋λ＝2，所以λ＝1.【答案】B8.定积分ʃ2－2|x 2－2x |d x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【解析】ʃ2－2|x 2－2x |d x ＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x ＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20＝83＋4＋4－83＝8. 【答案】D9.定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π【解析】由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C. 【答案】C10.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【解析】 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离S ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]|40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 【答案】 C 11.若π20(sin cos )d 2x a x x ⎰－＝，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3 D. 3 【解析】 ππ220(sin cos )d (cos sin )|⎰－＝－－x a x x x a x ＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，∴a ＝－1.【答案】A12.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则()dx x f ⎰20等于( ) A.34 B.45 C.56 D.67【解析】()dx x f ⎰20＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝13＋(4－12×4)－(2－12)＝56. 【答案】C13.一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动， 则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433J D ．2 3 J 【解析】()()dx x dx x F 2212152330cos -=⎰⎰ο＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=233153x x ｜21＝433，∴F (x )做的功为433 J. 【答案】C 14.若4222π=--⎰-dx x x m，则m ＝________. 【解析】根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 【解析】－1。
2020版高考理数：专题(3)导数及其应用ppt课件考点二
，那么函数y＝f(x)在这个区间上为减函数.
(1)求函数y＝f(x)的单调区间的步骤：①确定定义域；②求导数 f′(x)；③根据f′(x)>0(或f′(x)<0)解出定义域内相应的x的取值范围．
(2)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要 坚持“定义域优先”的原则．
(3)当具有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连 接，不能用“∪”连接.
考点二 导数的应用
(4)如果函数f(x)在[a，b]上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的， 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点．同样，相邻两个极小值点之间必有 一个极大值点．一般地，当函数f(x)在[a，b]上的图像连续且f(x)有有限个极 值点时，函数f(x)在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的．
考点二 导数的应用
方法2 利用导数求函数的极值
(1)在利用导数求函数f(x)的极值时，首先要确定函数f(x)的定义域，其 次求出f′(x)＝0时定义域内所有的点，以导数为0的点以及导数不存在的 点顺次将定义域分成若干个小区间，列成表格，写出结论．
(2)有时极小值比极大值大，且函数在定义域内可以有多个极值．
考点二 导数的应用
考点二 导数的应用
考点二 导数的应用
考点二 导数的应用
考法2 利用导数判断函数图像
例2 [浙江2017·7]函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图像如图所 示，则函数y＝f(x)的图像可能是( )
【解析】由导函数y＝f ′(x) 的图像中函数值的正负可得函数 f(x)先减后增，再减再增，结合
(3) f ′(x0)＝0是x＝x0为函数f(x)的极值点的必要条件(即f’（ x0 ） =0，但x= x0不一定是极值点)，而在x＝x0两侧的导数异号是x＝x0为函数 f(x)极值点的充分条件．
2020届高考数学复习备考-导数的简单应用与定积分
2020届高考数学复习备考-导数的简单应用与定积分高考考点考点解读导数的几何意义(文)1.求过某点的切线的斜率、方程或切点的坐标2．根据过某点切线方程或其与某线平行、垂直等求参数的值导数与定积分的几何意义(理)1.确定或应用过某点的切线的斜率(方程)2．定积分的简单计算或利用定积分求某些图形的面积利用导数研究函数的单调性1.利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性(区间)2．根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围．利用导数研究函数的极值和最值1.利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值2．根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围【高考真题体验】1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()2.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值是()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．13.若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x34.曲线y＝x2＋1x在点(1,2)处的切线方程为_______.5. 已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________. 【命题热点突破】命题方向1 导数的几何意义与定积分例1 (1)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为____.(2)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2．其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3命题方向2 利用导数研究函数单调性例2 已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．命题方向3 用导数研究函数的极值与最值例3已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．【强化训练提升】1.在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则该数列的前5项和S 5为 ( ) A ．18B ．3C ．2423D ．24252. 若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b 的值为 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．23.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )＝ ( )A ．1B ．－1C ．－e －1D ．－e4．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值，若过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，则切线方程是( )A ．9x ＋y －16＝0B ．9x －y ＋16＝0C ．x ＋9y －16＝0D ．x －9y ＋16＝05.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)上存在减区间，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a <3D ．a ≤36.设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且g (x )≠0，当x <0时，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是_________7. 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围．8. 已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x .(1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点．(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．。
2020年高考理科数学之高频考点解密05 导数及其应用(解析版)
解密05 导数及其应用考点1 导数的概念及计算题组一 导数的计算调研 1 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=（其中e 为自然对数的底数），则()e f '=A ．e -B ．1e --C ．−1D ．1【答案】B【解析】根据题意，f （x ）=2xf '（e ）+ln x ，其导数12e f x f x''=+（）（）， 令x =e ，可得1e 2e e f f ''=+（）（），变形可得1e ef '=-（）， 故选B ．【名师点睛】本题考查导数的计算，注意f '（e ）为常数，要正确求出函数f （x ）的导数．根据题意，由函数的解析式对f （x ）求导可得12e f x f x ''=+（）（），将x =e 代入计算可得1e 2e ef f ''=+（）（），变形可得答案．调研2 以下运算正确的个数是 ①211()'x x =； ②()cos sin x 'x =-； ③()22ln2xx'=；④()1lg ln10x 'x =-． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【答案】B【解析】对于①，由于211()'x x =-，所以①不正确； 对于②，由于()'cos sin x x =-，所以②正确； 对于③，由于()'22ln2xx=，所以③正确；对于④，由于()'1lg ln10x x =，所以④不正确． 综上可得②③正确． 故选B ．【名师点睛】本题考查导数的基本运算，解题的关键是熟记基本初等函数的求导公式，属于基础题．对四个结论分别进行分析、判断即可得到结论．☆技巧点拨☆1．导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．（2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．2．运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数()y f x =在开区间(a ，b )内的导数的基本步骤： （1）分析函数()y f x =的结构和特征； （2）选择恰当的求导公式和运算法则求导； （3）整理得结果． 3．求较复杂函数的导数的方法对较复杂的函数求导数时，先化简再求导．如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导． 4．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 （1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数． （2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．题组二 导数的几何意义调研3 已知函数()e 2xf x x =+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为______________．【答案】x −y +2=0【解析】对函数()e 2xf x x =+求导数得()()e e e 1xxxf x x x '=+=+，则()01f '=，又因为()0022f =+=，所以切点坐标为（0，2）， 由直线方程的点斜式可得2y x =+ ，即x−y +2=0．【名师点睛】本题考查了导数的简单应用，根据导数求曲线上一点的切线方程，属于基础题．利用导数求得直线在切点处的斜率，结合点斜式可求得切线方程．调研4 曲线ln 2(0)y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为 AB ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】由()ln 2y f x a x ==-，得()af x x'=，∴()1f a '=， 又()12f =-，∴曲线ln 2(0)y a x a =->在1x =处的切线方程为()21y a x +=-， 令0x =得2y a =--；令0y =得21x a=+． ∴切线与坐标轴围成的三角形面积为()()12122121422S a a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a =．故选B ．【名师点睛】本题考查导数的几何意义及直线与坐标轴的交点坐标，考查计算能力，属于基础题．先求出曲线在1x =处的切线方程，然后得到切线与两坐标轴的交点坐标，最后可求得围成的三角形的面积． 调研5 已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是______________．【答案】3π[,π)4【解析】∵4e 1x y =+，∴224e 4e 41(e 1)e 2e 1e 2e x x x x x x xy ---'===+++++．∵e x >0，∴1e 2e xx +≥，当且仅当1e exx =，即x ＝0时等号成立． ∴y ′∈[−1，0)，∴tan α∈[−1，0)．又α∈[0，π)，∴α∈3π[,π)4．调研6 已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x −ln x 存在与直线x ＋y −1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是A ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C ．[−1，＋∞)D ．(−∞，−1]【答案】A【解析】由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3−1x ＝1有正根，即2ax 2＋2x −1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得−12≤a <0． 综上，a ≥−12．故选A ．调研7 已知直线21y x =+与曲线e xy a x =+相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值为A ．1B ．2C ．eD ．2e【答案】A【解析】由函数的解析式可得：'e 1xy a =+，设切点坐标为()00,x y ，由题意可得：000000e e 1221x x y a x a y x ⎧=+⎪+=⎨⎪=+⎩，解得：00011x y a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，据此可得实数a 的值为1． 故选A ．【名师点睛】由题意利用导数研究函数的切线性质即可．导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积．☆技巧点拨☆导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第一问，难度一般不大，属中低档题型，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，常见的类型及解法如下：（1）已知切点P (x 0，y 0)，求y =f (x )过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k ，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0，y 0)，通过方程k =f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k =f ′(x 0)求出切点坐标(x 0，y 0)，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上．②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．考点2 导数的应用题组一 利用导数研究函数的单调性调研1 定义在上R 的连续可导函数()f x ，若当0x ≠时有()0xf x '<，则下列各项正确的是 A ．()()()1220f f f -+> B ．()()()1220f f f -+=C ．()()()1220f f f -+<D ．()()12f f -+与()20f 大小不定【答案】C【解析】由题意可知，函数()f x 是R 上的连续可导函数，且当0x ≠时有()0xf x '<， 当0x >时，()0f x '<，所以函数()f x 为单调递减函数； 当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 为单调递增函数， 所以()()()()10,20f f f f -<<，所以()()()1220f f f -+<． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据导数得出函数的单调性，再利用函数的单调性作出比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．由题意可知，函数满足()0xf x '<，得到当0x >时，函数()f x 为单调递减函数，当0x <时，函数()f x 为单调递增函数，利用函数单调性，即可得到答案．调研 2 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax −ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为______________．【答案】⎣⎡⎭⎫43，＋∞【解析】由题意知f ′(x )＝x ＋2a −1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥−x ＋1x在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵max 1()x x -+＝83，∴2a ≥83，即a ≥43．调研3 若函数()51ln 12f x x ax ax=+--在()1,2上为增函数，则a 的取值范围为 A ．()1,0,24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦UB ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U C ．[)11,00,4⎛⎤- ⎥⎝⎦UD ．[)11,0,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦U【答案】B【解析】依题意可得()25102f x a x ax =-'-≥对x ()1,2∈恒成立， 即25102ax x a-+≤对x ()1,2∈恒成立．设g (x )= a 2512x x a-+，x ()1,2∈． 当a >0时，()()5110212450g a ag a a ⎧=-+≤⎪⎪⎨⎪=-+≤⎪⎩，解得112a ≤≤．当a <0时，g (0)=10a <，−522a-=504a<，()()01,2g x x ∴<∈对恒成立． 综上，a 的取值范围为()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U ． 故选B ．调研4 已知函数()()ln f x a x x a =-∈R ．（1）若3是()f x 的一个极值点，求函数()f x 的表达式，并求出()f x 的单调区间； （2）若(]0,1x ∈，证明当2a ≤时，()10f x x+≥． 【答案】（1）()3ln f x x x =-，单调递增区间是()03，，递减区间是()3+∞，；（2）见解析． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0+∞，，()1af x x'=-．由题设知，()30f '=，所以3a =． 经检验3a =满足已知条件，从而()3ln f x x x =-，()331xf x x x-=-='． 当03x <<时，()0f x '>；当3x >时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间是()03，，递减区间是()3+∞，． （2）证法一：设()()11ln g x f x a x x x x =+=-+，(]0,1x ∈，则()222111a x ax g x x x x-+=--=-'． ①当0a ≤时，(]0,1x ∈Q ，1ln 0,0x x x∴≤-≥，()0g x ∴≥，即()10f x x+≥． ②当02a <≤时， 2104a -≥Q ，()222124a a x g x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∴=-≤'， ()g x ∴在区间(]0,1上单调递减， ()()10g x g ∴≥=，即()10f x x+≥， 综上得，当(]0,1x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． 证法二：①若1x =，则()1f x =-，()1110f x x∴+=-+=， ②若01x <<，则ln 0x <，当2a ≤时，()111ln 2ln f x a x x x x x x x +=-+≥-+， 设()12ln g x x x x=-+，()0,1x ∈，()()22212110x g x x x x -∴=--=-<'， ()g x ∴在区间(]0,1上单调递减． ()()10g x g ∴>=，则()10f x x+>，综上得，当(]0,1x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． 【名师点睛】（1）本题考查了极值的概念，导数与函数单调性的关系：当()0f x '<时，解出的x 范围是函数()f x 的减区间，当()0f x '>时，解出的x 范围是函数()f x 的增区间． （2）本题考查了分类讨论思想及导数应用，把问题转化成函数最值问题处理．☆技巧点拨☆函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现．常见的题型及其解法如下：1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x )；（2）确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；（3）作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．3．由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．题组二 利用导数研究函数的极值与最值调研5 已知函数f (x )＝−x 3＋ax 2−4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[−1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是______________． 【答案】−13【解析】f ′(x )＝−3x 2＋2ax ，根据已知得(2)1240f a '=-+=，即a ＝3，所以f (x )＝−x 3＋3x 2−4． 根据函数f (x )的单调性，可得函数f (m )在[−1，1]上的最小值为f (0)＝−4， 又f ′(n )＝−3n 2＋6n 在[−1，1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(−1)＝−9． 所以[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝−4−9＝−13． 调研6 已知函数()()()32211132132f x x a x a a x =+-+-+，若在区间()0,3内存在极值点，则实数a 的取值范围是 A ．()0,3B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()()0,11,3UD ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭U 【答案】C【解析】()()()()2213221,f x x a x a a x a x a ⎡⎤=+-+-=---⎣⎦'令()0f x '=，则x =a 或x =2a −1．若1a =，则()21,0a a f x '=-≥R 在上恒成立，函数()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点; 若1a >，则21a a <-， 由于f (x )在区间()0,3内存在极值点，所以3,13a a <∴<<； 若1a <，则21a a >-，由于f (x )在区间()0,3内存在极值点，所以0,01a a >∴<<． 综上所述，0113a a <<<<或， 故选C ．【名师点睛】本题考查导数在求函数极值中的应用，比较21a a -与的大小，11a a ><分和进行讨论． 调研7 已知函数()3213f x x bx cx c =+++．（1）当1x =时，()f x 有极小值196-，求实数,b c ； （2）设()()g x f x cx =-，当()0,1x ∈时，在()g x 图象上任意一点P 处的切线的斜率为k ，若1k <，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）12b =，2c =-；（2）(],0-∞． 【思路分析】（1）由题意可得()()101916f f '⎧=⎪⎨=-⎪⎩，求得122b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，检验即可；（2）由()221k g x x bx '==+<对一切01x <<恒成立，可得122x b x <-对一切01x <<恒成立，从而研究122xy x =-的单调性及最值即可． 【解析】（1）()22f x x bx c '=++Q ，∴由()()101916f f '⎧=⎪⎨=-⎪⎩， 即2107202b c b c ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 122b c ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩，此时()()()2221f x x x x x '=+-=+-， 当()2,1x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在1x =处取得极小值，符合题意，故12b =，2c =-． （2）Q ()3213g x x bx c =++，∴()22k g x x bx '==+，Q 221x bx +<对一切01x <<恒成立，∴122xb x <-对一切01x <<恒成立． 又122xy x =-在()0,1上为减函数， 1022xx ∴->，∴0b ≤． 故b 的取值范围为(],0-∞．【名师点睛】本题考查利用导数求解极值点、导数的几何意义；求解极值点的方法是利用导函数零点的个数结合原函数的单调性来确定，要注意导函数的零点并不一定是函数的极值点，要成为极值点其左右两边的单调性必须相异；研究函数的切线斜率实质上即为研究函数的导函数的取值． 调研8 设()()3211232f x x x ax a =-++∈R ． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当02a <<时，()f x 在[]1,4上的最小值为163-，求()f x 在[]1,4上的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）103． 【思路分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性得到f （x ）在[1，4]上的最大值为f ），最小值是f （4），求出a 的值，从而求出函数的最大值即可．【解析】（1）由()22f x x x a '=-++，18a ∆=+，①18a ≤-时，0∆≤，此时()0f x '≤， ∴()f x 在R 上递减．②18a >-时，0∆>，令()0f x '=，解得x =，令()0f x '<，解得x <x >，令()0f x '>x <<故()f x 在1,2⎛-∞ ⎝⎭，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，在1122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增．（2）由（1）知()f x 在⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，在⎝⎭上单调递增，当02a <<14<<<，所以()f x 在[]1,4上的最大值为f ⎝⎭， 又()()2741602f f a -=-+<，即()()41f f <， 所以()f x 在[]1,4上的最小值为()40164833f a =-=-，得1a =，所以122+=，从而()f x 在[]1,4上的最大值为()1023f =． 【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．☆技巧点拨☆1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 2．求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增或递减，则f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在区间(a ，b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ，b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．题组三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系调研9 已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．下列关于函数()f x 的命题：①函数()f x 在[]0,1上是减函数；②如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ③当12a <<时，函数()y f x a =-最多有4个零点． 其中真命题的个数是 A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个【答案】B【解析】由导数的图象可知，当−1＜x ＜0或1＜x ＜4时，f '（x ）＞0，函数单调递增， 当0＜x ＜1或4＜x ＜5时，f '（x ）＜0，函数单调递减，所以①正确； x =0和x =4时，函数取得最大值f （0）=2，f （4）=2，当x ∈[−1，t ]时，f （x ）最大值是2，那么t 的最大值为5，所以②不正确；由f （−1）=f （5）=1，结合函数的单调性，可得当12a <<时，函数()y f x a =-最多有4个零点，故③正确．综上，有2个正确．所以选B．【名师点睛】本题考查了导数图象的综合应用，导数单调性与极值、最值的关系，属于基础题．由导数图象可知函数的单调性，可判断①；结合表格中几个特殊点的函数值，结合函数的单调性，分析t取不同值时，函数的最大值变化情况，可判断②；结合表格中几个特殊点的函数值，结合函数的单调性，分析函数的极值，可判断③．☆技巧点拨☆1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点．题组四生活中的优化问题和导数与方程、不等式等的综合问题调研10 已知f(x)＝ln x−x＋a＋1．（1）若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；（2）求证：在（1）的条件下，当x>1时，12x2＋ax−a>x ln x＋12成立．【答案】（1）[0，＋∞)；（2）见解析．【思路分析】（1）原题即为存在x>0，使得a≥−ln x＋x−1成立，即该不等式有解，求函数g(x)＝−ln x＋x−1的单调性和最小值即可；（2）原不等式转化为G(x)＝12x2＋ax−x ln x−a−12>0，研究这个函数的单调性，求得这个函数的最值大于0即可．【解析】（1）原题即为存在x>0，使得ln x−x＋a＋1≥0成立，∴a≥−ln x＋x−1，令g(x)＝−ln x＋x−1，则g′(x)＝−1x＋1＝1xx．令g′(x)＝0，解得x＝1．∵当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)为减函数，当x>1时，g′(x)>0，g(x)为增函数，∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0．故a的取值范围是[0，＋∞)．（2）原不等式可化为12x 2＋ax −x ln x −a −12>0(x >1，a ≥0)． 令G (x )＝12x 2＋ax −x ln x −a −12，则G (1)＝0．由（1）可知x −ln x −1>0，则G ′(x )＝x ＋a −ln x −1≥x −ln x −1>0， ∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (1)＝0成立， ∴12x 2＋ax −x ln x −a −12>0成立，即12x 2＋ax −a >x ln x ＋12成立． 调研11 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本C （x ）万元，当年产量小于7万件时，C （x ）=13x 2+2x （万元）；当年产量不小于7万件时，C （x ）=6x +1n x +3e x﹣17（万元）．已知每件产品售价为6元，假设该同学生产的产量当年全部售完．（1）写出年利润P （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e 3≈20）【答案】（1）()23142073e 15ln 7x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩，，；（2）当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元．【思路分析】（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0＜x ＜7和当x ≥7两种情况得到P （x ）与x 的分段函数关系式；（2）当0＜x ＜7时根据二次函数求最大值的方法来求P （x ）的最大值，当x ≥7时，利用导数求P （x ）的最大值，最后综合即可．【解析】（1）产品售价为6元，则x 万件产品销售收入为6x 万元． 依题意得，当07x <<时，()22116(2)24233P x x x x x x =-+-=-+-， 当8x ≥时，()33e e 6(6ln 17)215ln P x x x x x x x=-++--=--．∴()23142073e 15ln 7x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩，，． （2）当07x <<时，()()216103P x x =--+， ∴当6x =时，()P x 的最大值为()610P =（万元）．当7x ≥时，()3e 15ln P x x x =--，∴()33221e e xP x x x x-'=-+=， ∴当37e x ≤<时，()0P x '>，()P x 单调递增；当3e x >时，()0P x '<，()P x 单调递减， ∴当3e x =时，()P x 取最大值()33e 15lne111P =--=（万元），∵1110>，∴当3e 20x =≈时，()P x 取得最大值11万元，即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元．【名师点睛】本题考查函数式的求法，考查年利润的最大值的求法，考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 调研12 已知函数()()()22ln f x ax a x x a =+--∈R ，又函数()321132m g x x x x =+++的两个极值点为1212,()x x x x <，且满足12x x +≥，12,x x恰为()()ln h x x f x bx =-+的零点． （1）当()2,0a ∈-时，求()f x 的单调区间； （2）当1a =时，求证：()121242ln223x x x x h +⎛⎫-≥-⎪⎝'⎭． 【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析． 【思路分析】（1）求出()()()211x ax f x x-+'=，解导不等式可得()f x 的单调区间；（2）先确定0＜12x x ≤12，再利用y =()12122x x x x h +'⎛⎫- ⎪⎝⎭=()411t t -+﹣2ln t （0＜t ≤12），只需求y =()12122x x x x h +'⎛⎫-⎪⎝⎭的最小值即可得证．【解析】（1）∵()()()22ln f x ax a x x a =+--∈R ，∴()()()()()2221211122ax a x x ax f x ax a x x x+---+'=+--==， 又()2,00a x ∈-，＞， 令()0f x '＞，解得112x a -＜＜，令()0f x '＜，解得0＜x ＜12或x ＞1a -， ∴函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()321132m g x x x x =+++，()21g x x mx '=++，由题意12212122401x x m x x mx x ∆⎧+≥⎪⎪⎪=-⎨⎪+=-⎪=⎪⎩＞，∴221212()x x m x x +=≥92，解得0＜12x x ≤12， 当1a =时，()()()2ln 2ln 1h x x f x bx x x b x =-+=-+-，则()221h x x b x'=-+-， ()()()()22111122222ln 1,2ln 1=0=0h x x x b x h x x x b x =-+-=-+-，两式相减得：2ln 12x x ﹣（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）+()1b -（x 1﹣x 2）=0，令t =12x x ，则0＜t ≤12， ∴()()1212412ln 21t x x x x h t t -+⎛⎫-=- +⎝⎭'⎪（0＜t ≤12）， 记()()412ln 1t t t t ϕ-=-+，则()222(1)0(1)t t t t ϕ--'=+＜， ∴()()412ln 1t t t t ϕ-=-+在（0，12]上单调递减，∴()t ϕ的最小值为142ln 223ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 即()121242ln223x x x x h +⎛⎫-≥-⎪⎝'⎭，得证． 【名师点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查证明不等式，考查函数的单调性，考查学生分析、解决问题的能力，属于中档题．☆技巧点拨☆1．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可．（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解． 2．生活中的优化问题（1）实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值．若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值． （2）实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．3．利用导数研究函数综合问题的一般步骤：（1）确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发点． （2）进行合理转化，构造函数关系，进行求导．（3）利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值，有参数时进行分类讨论． （4）利用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论． （5）反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性．1．（上海市进才中学2019-2020学年高三上学期期中）函数213()22f x x x =-+是区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上又是减函数，那么区间I 可以是A ．[1,)+∞B ．)+∞C ．[1,3]D ．【答案】D【思路分析】由题意求213()22f x x x =-+的增区间，再求y ()12f x x ==x ﹣132x +的减函数，从而求得结果．【解析】因为213()22f x x x =-+在区间[1，+∞）上是增函数，y ()12f x x ==x ﹣132x +，所以令y ′22213130222x x x-=-⋅=<，可解得x ∈[0）U (0]；故y ()12f x x ==x ﹣132x+在[，0）及(0上是减函数，故区间I 可以是[1]． 故选D ．2．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考）已知函数()f x 满足(0)1f =，且()cos ()sin f x x f x x '>，则不等式()cos 10f x x ->的解集为A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【答案】D【思路分析】令()()cos g x f x x =，利用导数可研究函数为增函数，且原不等式可转化为()(0)g x g >，利用单调性即可求解．【解析】令()()cos g x f x x =，有()()cos ()sin 0g'x f x x f x x '=->，故函数()g x 单调递增， 又由(0)(0)cos01g f ==，不等式()cos 10f x x ->可化为()(0)g x g >，则不等式()cos 10f x x ->的解集为(0,)+∞． 故选D ．【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的增减性，根据函数单调性解不等式，属于中档题．3．（山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期中）已知函数2()f x x =的图象在1x =处的切线与函数e ()xg x a=的图象相切，则实数a =AB．2C．2D．【答案】B【思路分析】先求函数2()f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数e ()xg x a=图象的切线，设出切点即可求解．【解析】由2()f x x =，得()2f x x '=，则(1)2f '=，又(1)1f =，所以函数()f x 的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-．设21y x =-与函数e ()xg x a=的图象相切于点00(,)x y ，由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==．故选B ．【名师点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题．已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解．4．（新疆维吾尔自治区行知学校2019-2020学年高三上学期11月月考）已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()e (23)()x f x x f x '=++，(0)1f =，则不等式()5e xf x <的解集为A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞UD ．(,1)(4,)-∞-+∞U【答案】A【思路分析】首先构造函数()()ex f x G x =，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【解析】令()()e x f x G x =，则()()()23exf x f x G x x '-'==+，设2()3G x x x c =++， 因为(0)(0)1G f ==，解得1c =，所以2()()31ex f x G x x x ==++， 解不等式()5e xf x <，即()5ex f x <，所以2315x x ++<， 解得41x -<<，所以不等式的解集为(4,1)-． 故选A ．【名师点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．5．（四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高三上学期第一次联考）若函数1()2ln f x ax x x=++在区间1[,4]2上有2个极值点，则a 的取值范围为 A ．(1,0]- B ．[]3,84-C ．7(1,)16--D ．(]1,8-【答案】C【思路分析】利用导数求得函数()f x 的单调区间，结合函数()f x 在区间1[,4]2上有2个极值点列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围．【解析】212()f x a x x '=-+2221ax x x+-=． 显然当0a =时，221()x f x x -'=只有1个极值点12，不符合题意，只有C 选项符合．构造函数21()21(0,4)2g x ax x a x =+-≠≤≤． 依题意()g x 在区间1[,4]2上有两个不同的零点，故440124221()02(4)00a a a g a g a ∆=+>⎧⎪⎪<-<⎪⎪⎨⋅>⎪⎪⋅>⎪⎪≠⎩，即21124104(167)0a a a a a >-⎧⎪⎪-<<-⎪⎨⎪>⎪⎪+>⎩， 解得7116a -<<-． 故选C ．【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数零点分布问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．6．（江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高三上学期期中）已知函数21()(e,e ef x x ax x =-≤≤为自然对数的底数）与()e xg x =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是A ．1[1,e ]e+B ．1[1,e ]e-C ．11[e ,e ]e e-+D ．1[e ,e]e-【答案】A【思路分析】()f x 的图象上与()g x 的图象上存在关于y x =对称的点等价于与方程组2e mm x axx ⎧=-⎨=⎩有解，消元后利用导数可以得到实数a 的取值范围．【解析】设()f x 的图象上与()g x 的图象上关于y x =对称的点为(,)x m ，故2emm x ax x ⎧=-⎨=⎩，消去m 得到2e x ax x -=，两边取对数有2ln x x ax =-， 因为1e e x ≤≤，故2ln x x a x-=，令2ln ()x x h x x -=，1e e x ≤≤，则22ln 1()x x h x x+-'=，1e e x ≤≤．令2()ln 1s x x x =+-，因为()s x 为1[,e]e上的增函数，且当1x =时，(1)0s =， 故当1[,1)ex ∈时，()0s x <，当(1,e]x ∈时，()0s x >； 所以当1[,1)ex ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数； 当(1,e]x ∈时，()0h x '>，()h x 为增函数；因为(1)1h =，111(e)e ,()e e e e h h =-=+，所以()h x 的值域为1[1,e ]e +，故1[1,e ]ea ∈+．故选A ．【名师点睛】函数图象的之间的关系应转化为对应方程的解来处理，而后者可参变分离后利用导数讨论不含参数的新函数的值域即可得参数的取值范围．7．（江苏省泰州市黄桥中学2019年高三上学期11月月考）函数()2cos f x x =在点(6P π处的切线的倾斜角是______________． 【答案】34π 【思路分析】先求函数()2cos f x x =的导函数()2sin f x x '=-，再由导数的几何意义可得tan θ=()16f π'=-，再结合倾斜角的范围求解即可． 【解析】因为()2cos f x x =，所以()2sin f x x '=-，则1()2162f π'=-⨯=-， 设直线的倾斜角为θ，则[0,)θ∈π，又tan 1θ=-，所以34θπ=，故函数()f x 在点(6P π处的切线的倾斜角是34π． 8．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考）已知曲线3()f x x x =-，则过点(1,0)P -，且与曲线相切的直线方程为______________． 【答案】22y x =+或1144y x =-- 【思路分析】根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程．。
2020年高考理科数学之高频考点解密05 导数及其应用(解析版)
2020年高考理科数学之高频考点解密05 导数及其应用考点1 导数的概念及计算题组一 导数的计算调研 1 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=（其中e 为自然对数的底数），则()e f '=A ．e -B ．1e --C ．−1D ．1【答案】B【解析】根据题意，f （x ）=2xf '（e ）+ln x ，其导数12e f x f x''=+（）（）， 令x =e ，可得1e 2e e f f ''=+（）（），变形可得1e ef '=-（）， 故选B ．【名师点睛】本题考查导数的计算，注意f '（e ）为常数，要正确求出函数f （x ）的导数．根据题意，由函数的解析式对f （x ）求导可得12e f x f x ''=+（）（），将x =e 代入计算可得1e 2e ef f ''=+（）（），变形可得答案．调研2 以下运算正确的个数是 ①211()'x x =； ②()cos sin x 'x =-； ③()22ln2xx'=；④()1lg ln10x 'x =-． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【答案】B【解析】对于①，由于211()'x x =-，所以①不正确； 对于②，由于()'cos sin x x =-，所以②正确； 对于③，由于()'22ln2xx=，所以③正确；对于④，由于()'1lg ln10x x =，所以④不正确． 综上可得②③正确． 故选B ．【名师点睛】本题考查导数的基本运算，解题的关键是熟记基本初等函数的求导公式，属于基础题．对四个结论分别进行分析、判断即可得到结论．☆技巧点拨☆1．导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．（2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．2．运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数()y f x =在开区间(a ，b )内的导数的基本步骤： （1）分析函数()y f x =的结构和特征； （2）选择恰当的求导公式和运算法则求导； （3）整理得结果． 3．求较复杂函数的导数的方法对较复杂的函数求导数时，先化简再求导．如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导． 4．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 （1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数． （2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．题组二 导数的几何意义调研3 已知函数()e 2xf x x =+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为______________．【答案】x −y +2=0【解析】对函数()e 2xf x x =+求导数得()()e e e 1xxxf x x x '=+=+，则()01f '=，又因为()0022f =+=，所以切点坐标为（0，2）， 由直线方程的点斜式可得2y x =+ ，即x−y +2=0．【名师点睛】本题考查了导数的简单应用，根据导数求曲线上一点的切线方程，属于基础题．利用导数求得直线在切点处的斜率，结合点斜式可求得切线方程．调研4 曲线ln 2(0)y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为 AB ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】由()ln 2y f x a x ==-，得()af x x'=，∴()1f a '=， 又()12f =-，∴曲线ln 2(0)y a x a =->在1x =处的切线方程为()21y a x +=-， 令0x =得2y a =--；令0y =得21x a=+． ∴切线与坐标轴围成的三角形面积为()()12122121422S a a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a =．故选B ．【名师点睛】本题考查导数的几何意义及直线与坐标轴的交点坐标，考查计算能力，属于基础题．先求出曲线在1x =处的切线方程，然后得到切线与两坐标轴的交点坐标，最后可求得围成的三角形的面积． 调研5 已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是______________．【答案】3π[,π)4【解析】∵4e 1x y =+，∴224e 4e 41(e 1)e 2e 1e 2e x x x x x x x y ---'===+++++．∵e x >0，∴1e 2e xx +≥，当且仅当1e exx =，即x ＝0时等号成立． ∴y ′∈[−1，0)，∴tan α∈[−1，0)．又α∈[0，π)，∴α∈3π[,π)4．调研6 已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x −ln x 存在与直线x ＋y −1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是A ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C ．[−1，＋∞)D ．(−∞，−1]【答案】A【解析】由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3−1x ＝1有正根，即2ax 2＋2x −1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得−12≤a <0． 综上，a ≥−12．故选A ．调研7 已知直线21y x =+与曲线e xy a x =+相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值为A ．1B ．2C ．eD ．2e【答案】A【解析】由函数的解析式可得：'e 1xy a =+，设切点坐标为()00,x y ，由题意可得：000000e e 1221x x y a x a y x ⎧=+⎪+=⎨⎪=+⎩，解得：00011x y a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，据此可得实数a 的值为1． 故选A ．【名师点睛】由题意利用导数研究函数的切线性质即可．导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积．☆技巧点拨☆导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第一问，难度一般不大，属中低档题型，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，常见的类型及解法如下：（1）已知切点P (x 0，y 0)，求y =f (x )过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k ，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0，y 0)，通过方程k =f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k =f ′(x 0)求出切点坐标(x 0，y 0)，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上．②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．考点2 导数的应用题组一 利用导数研究函数的单调性调研1 定义在上R 的连续可导函数()f x ，若当0x ≠时有()0xf x '<，则下列各项正确的是 A ．()()()1220f f f -+> B ．()()()1220f f f -+=C ．()()()1220f f f -+<D ．()()12f f -+与()20f 大小不定【答案】C【解析】由题意可知，函数()f x 是R 上的连续可导函数，且当0x ≠时有()0xf x '<， 当0x >时，()0f x '<，所以函数()f x 为单调递减函数； 当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 为单调递增函数， 所以()()()()10,20f f f f -<<，所以()()()1220f f f -+<． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据导数得出函数的单调性，再利用函数的单调性作出比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．由题意可知，函数满足()0xf x '<，得到当0x >时，函数()f x 为单调递减函数，当0x <时，函数()f x 为单调递增函数，利用函数单调性，即可得到答案．调研 2 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax −ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为______________．【答案】⎣⎡⎭⎫43，＋∞【解析】由题意知f ′(x )＝x ＋2a −1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥−x ＋1x在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵max 1()x x -+＝83，∴2a ≥83，即a ≥43．调研3 若函数()51ln 12f x x ax ax=+--在()1,2上为增函数，则a 的取值范围为 A ．()1,0,24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦UB ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U C ．[)11,00,4⎛⎤- ⎥⎝⎦UD ．[)11,0,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦U【答案】B【解析】依题意可得()25102f x a x ax =-'-≥对x ()1,2∈恒成立， 即25102ax x a-+≤对x ()1,2∈恒成立．设g (x )= a 2512x x a-+，x ()1,2∈． 当a >0时，()()5110212450g a ag a a ⎧=-+≤⎪⎪⎨⎪=-+≤⎪⎩，解得112a ≤≤．当a <0时，g (0)=10a <，−522a-=504a<，()()01,2g x x ∴<∈对恒成立． 综上，a 的取值范围为()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U ． 故选B ．调研4 已知函数()()ln f x a x x a =-∈R ．（1）若3是()f x 的一个极值点，求函数()f x 的表达式，并求出()f x 的单调区间； （2）若(]0,1x ∈，证明当2a ≤时，()10f x x+≥． 【答案】（1）()3ln f x x x =-，单调递增区间是()03，，递减区间是()3+∞，；（2）见解析． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0+∞，，()1af x x'=-．由题设知，()30f '=，所以3a =． 经检验3a =满足已知条件，从而()3ln f x x x =-，()331xf x x x-=-='． 当03x <<时，()0f x '>；当3x >时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间是()03，，递减区间是()3+∞，． （2）证法一：设()()11ln g x f x a x x x x =+=-+，(]0,1x ∈，则()222111a x ax g x x x x-+=--=-'． ①当0a ≤时，(]0,1x ∈Q ，1ln 0,0x x x∴≤-≥，()0g x ∴≥，即()10f x x+≥． ②当02a <≤时， 2104a -≥Q ，()222124a a x g x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∴=-≤'， ()g x ∴在区间(]0,1上单调递减， ()()10g x g ∴≥=，即()10f x x+≥， 综上得，当(]0,1x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． 证法二：①若1x =，则()1f x =-，()1110f x x∴+=-+=， ②若01x <<，则ln 0x <，当2a ≤时，()111ln 2ln f x a x x x x x x x +=-+≥-+， 设()12ln g x x x x=-+，()0,1x ∈，()()22212110x g x x x x -∴=--=-<'， ()g x ∴在区间(]0,1上单调递减． ()()10g x g ∴>=，则()10f x x+>，综上得，当(]0,1x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． 【名师点睛】（1）本题考查了极值的概念，导数与函数单调性的关系：当()0f x '<时，解出的x 范围是函数()f x 的减区间，当()0f x '>时，解出的x 范围是函数()f x 的增区间． （2）本题考查了分类讨论思想及导数应用，把问题转化成函数最值问题处理．☆技巧点拨☆函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现．常见的题型及其解法如下：1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x )；（2）确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；（3）作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．3．由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．题组二 利用导数研究函数的极值与最值调研5 已知函数f (x )＝−x 3＋ax 2−4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[−1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是______________． 【答案】−13【解析】f ′(x )＝−3x 2＋2ax ，根据已知得(2)1240f a '=-+=，即a ＝3，所以f (x )＝−x 3＋3x 2−4． 根据函数f (x )的单调性，可得函数f (m )在[−1，1]上的最小值为f (0)＝−4， 又f ′(n )＝−3n 2＋6n 在[−1，1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(−1)＝−9． 所以[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝−4−9＝−13． 调研6 已知函数()()()32211132132f x x a x a a x =+-+-+，若在区间()0,3内存在极值点，则实数a 的取值范围是 A ．()0,3B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()()0,11,3UD ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭U 【答案】C【解析】()()()()2213221,f x x a x a a x a x a ⎡⎤=+-+-=---⎣⎦'令()0f x '=，则x =a 或x =2a −1．若1a =，则()21,0a a f x '=-≥R 在上恒成立，函数()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点; 若1a >，则21a a <-， 由于f (x )在区间()0,3内存在极值点，所以3,13a a <∴<<； 若1a <，则21a a >-，由于f (x )在区间()0,3内存在极值点，所以0,01a a >∴<<． 综上所述，0113a a <<<<或， 故选C ．【名师点睛】本题考查导数在求函数极值中的应用，比较21a a -与的大小，11a a ><分和进行讨论． 调研7 已知函数()3213f x x bx cx c =+++．（1）当1x =时，()f x 有极小值196-，求实数,b c ； （2）设()()g x f x cx =-，当()0,1x ∈时，在()g x 图象上任意一点P 处的切线的斜率为k ，若1k <，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）12b =，2c =-；（2）(],0-∞． 【思路分析】（1）由题意可得()()101916f f '⎧=⎪⎨=-⎪⎩，求得122b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，检验即可；（2）由()221k g x x bx '==+<对一切01x <<恒成立，可得122x b x <-对一切01x <<恒成立，从而研究122xy x =-的单调性及最值即可． 【解析】（1）()22f x x bx c '=++Q ，∴由()()101916f f '⎧=⎪⎨=-⎪⎩， 即2107202b c b c ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 122b c ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩，此时()()()2221f x x x x x '=+-=+-， 当()2,1x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在1x =处取得极小值，符合题意，故12b =，2c =-． （2）Q ()3213g x x bx c =++，∴()22k g x x bx '==+，Q 221x bx +<对一切01x <<恒成立，∴122xb x <-对一切01x <<恒成立． 又122xy x =-在()0,1上为减函数， 1022xx ∴->，∴0b ≤． 故b 的取值范围为(],0-∞．【名师点睛】本题考查利用导数求解极值点、导数的几何意义；求解极值点的方法是利用导函数零点的个数结合原函数的单调性来确定，要注意导函数的零点并不一定是函数的极值点，要成为极值点其左右两边的单调性必须相异；研究函数的切线斜率实质上即为研究函数的导函数的取值． 调研8 设()()3211232f x x x ax a =-++∈R ． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当02a <<时，()f x 在[]1,4上的最小值为163-，求()f x 在[]1,4上的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）103． 【思路分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性得到f （x ）在[1，4]上的最大值为f ），最小值是f （4），求出a 的值，从而求出函数的最大值即可．【解析】（1）由()22f x x x a '=-++，18a ∆=+，①18a ≤-时，0∆≤，此时()0f x '≤， ∴()f x 在R 上递减．②18a >-时，0∆>，令()0f x '=，解得x =，令()0f x '<，解得x <或x >，令()0f x '>x <<故()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，在1122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增．（2）由（1）知()f x 在⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，在⎝⎭上单调递增，当02a <<14<<<，所以()f x 在[]1,4上的最大值为f ⎝⎭， 又()()2741602f f a -=-+<，即()()41f f <， 所以()f x 在[]1,4上的最小值为()40164833f a =-=-，得1a =，所以122+=，从而()f x 在[]1,4上的最大值为()1023f =． 【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．☆技巧点拨☆1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 2．求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增或递减，则f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在区间(a ，b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ，b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．题组三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系调研9 已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．下列关于函数()f x 的命题：①函数()f x 在[]0,1上是减函数；②如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ③当12a <<时，函数()y f x a =-最多有4个零点． 其中真命题的个数是 A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个【答案】B【解析】由导数的图象可知，当−1＜x ＜0或1＜x ＜4时，f '（x ）＞0，函数单调递增， 当0＜x ＜1或4＜x ＜5时，f '（x ）＜0，函数单调递减，所以①正确； x =0和x =4时，函数取得最大值f （0）=2，f （4）=2，当x ∈[−1，t ]时，f （x ）最大值是2，那么t 的最大值为5，所以②不正确；由f （−1）=f （5）=1，结合函数的单调性，可得当12a <<时，函数()y f x a =-最多有4个零点，故③正确．综上，有2个正确．所以选B．【名师点睛】本题考查了导数图象的综合应用，导数单调性与极值、最值的关系，属于基础题．由导数图象可知函数的单调性，可判断①；结合表格中几个特殊点的函数值，结合函数的单调性，分析t取不同值时，函数的最大值变化情况，可判断②；结合表格中几个特殊点的函数值，结合函数的单调性，分析函数的极值，可判断③．☆技巧点拨☆1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点．题组四生活中的优化问题和导数与方程、不等式等的综合问题调研10 已知f(x)＝ln x−x＋a＋1．（1）若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；（2）求证：在（1）的条件下，当x>1时，12x2＋ax−a>x ln x＋12成立．【答案】（1）[0，＋∞)；（2）见解析．【思路分析】（1）原题即为存在x>0，使得a≥−ln x＋x−1成立，即该不等式有解，求函数g(x)＝−ln x＋x−1的单调性和最小值即可；（2）原不等式转化为G(x)＝12x2＋ax−x ln x−a−12>0，研究这个函数的单调性，求得这个函数的最值大于0即可．【解析】（1）原题即为存在x>0，使得ln x−x＋a＋1≥0成立，∴a≥−ln x＋x−1，令g(x)＝−ln x＋x−1，则g′(x)＝−1x＋1＝1xx．令g′(x)＝0，解得x＝1．∵当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)为减函数，当x>1时，g′(x)>0，g(x)为增函数，∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0．故a 的取值范围是[0，＋∞)．（2）原不等式可化为12x 2＋ax −x ln x −a −12>0(x >1，a ≥0)． 令G (x )＝12x 2＋ax −x ln x −a −12，则G (1)＝0．由（1）可知x −ln x −1>0，则G ′(x )＝x ＋a −ln x −1≥x −ln x −1>0， ∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (1)＝0成立， ∴12x 2＋ax −x ln x −a −12>0成立，即12x 2＋ax −a >x ln x ＋12成立． 调研11 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本C （x ）万元，当年产量小于7万件时，C （x ）=13x 2+2x （万元）；当年产量不小于7万件时，C （x ）=6x +1n x +3e x﹣17（万元）．已知每件产品售价为6元，假设该同学生产的产量当年全部售完．（1）写出年利润P （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e 3≈20）【答案】（1）()23142073e 15ln 7x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩，，；（2）当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元．【思路分析】（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0＜x ＜7和当x ≥7两种情况得到P （x ）与x 的分段函数关系式；（2）当0＜x ＜7时根据二次函数求最大值的方法来求P （x ）的最大值，当x ≥7时，利用导数求P （x ）的最大值，最后综合即可．【解析】（1）产品售价为6元，则x 万件产品销售收入为6x 万元． 依题意得，当07x <<时，()22116(2)24233P x x x x x x =-+-=-+-， 当8x ≥时，()33e e 6(6ln 17)215ln P x x x x x x x=-++--=--．∴()23142073e 15ln 7x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩，，． （2）当07x <<时，()()216103P x x =--+， ∴当6x =时，()P x 的最大值为()610P =（万元）．当7x ≥时，()3e 15ln P x x x =--，∴()33221e e xP x x x x-'=-+=， ∴当37e x ≤<时，()0P x '>，()P x 单调递增；当3e x >时，()0P x '<，()P x 单调递减， ∴当3e x =时，()P x 取最大值()33e 15lne111P =--=（万元），∵1110>，∴当3e 20x =≈时，()P x 取得最大值11万元，即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元．【名师点睛】本题考查函数式的求法，考查年利润的最大值的求法，考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 调研12 已知函数()()()22ln f x ax a x x a =+--∈R ，又函数()321132m g x x x x =+++的两个极值点为1212,()x x x x <，且满足12x x +≥，12,x x恰为()()ln h x x f x bx =-+的零点． （1）当()2,0a ∈-时，求()f x 的单调区间； （2）当1a =时，求证：()121242ln223x x x x h +⎛⎫-≥-⎪⎝'⎭． 【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析． 【思路分析】（1）求出()()()211x ax f x x-+'=，解导不等式可得()f x 的单调区间；（2）先确定0＜12x x ≤12，再利用y =()12122x x x x h +'⎛⎫- ⎪⎝⎭=()411t t -+﹣2ln t （0＜t ≤12），只需求y =()12122x x x x h +'⎛⎫-⎪⎝⎭的最小值即可得证． 【解析】（1）∵()()()22ln f x ax a x x a =+--∈R ，∴()()()()()2221211122ax a x x ax f x ax a x x x+---+'=+--==， 又()2,00a x ∈-，＞， 令()0f x '＞，解得112x a -＜＜，令()0f x '＜，解得0＜x ＜12或x ＞1a -， ∴函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）()321132m g x x x x =+++，()21g x x mx '=++，由题意12212122401x x m x x mx x ∆⎧+≥⎪⎪⎪=-⎨⎪+=-⎪=⎪⎩＞，∴221212()x x m x x +=≥92，解得0＜12x x ≤12， 当1a =时，()()()2ln 2ln 1h x x f x bx x x b x =-+=-+-，则()221h x x b x'=-+-， ()()()()22111122222ln 1,2ln 1=0=0h x x x b x h x x x b x =-+-=-+-，两式相减得：2ln 12x x ﹣（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）+()1b -（x 1﹣x 2）=0，令t =12x x ，则0＜t ≤12， ∴()()1212412ln 21t x x x x h t t -+⎛⎫-=- +⎝⎭'⎪（0＜t ≤12）， 记()()412ln 1t t t t ϕ-=-+，则()222(1)0(1)t t t t ϕ--'=+＜， ∴()()412ln 1t t t t ϕ-=-+在（0，12]上单调递减，∴()t ϕ的最小值为142ln 223ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 即()121242ln223x x x x h +⎛⎫-≥-⎪⎝'⎭，得证． 【名师点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查证明不等式，考查函数的单调性，考查学生分析、解决问题的能力，属于中档题．☆技巧点拨☆1．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可．（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解． 2．生活中的优化问题（1）实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值．若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值． （2）实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．3．利用导数研究函数综合问题的一般步骤：（1）确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发点． （2）进行合理转化，构造函数关系，进行求导．（3）利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值，有参数时进行分类讨论． （4）利用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论． （5）反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性．1．（上海市进才中学2019-2020学年高三上学期期中）函数213()22f x x x =-+是区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上又是减函数，那么区间I 可以是A ．[1,)+∞B ．)+∞C ．[1,3]D ．【答案】D【思路分析】由题意求213()22f x x x =-+的增区间，再求y ()12f x x ==x ﹣132x +的减函数，从而求得结果．【解析】因为213()22f x x x =-+在区间[1，+∞）上是增函数，y ()12f x x ==x ﹣132x +，所以令y ′22213130222x x x-=-⋅=<，可解得x ∈[0）U (0]；故y ()12f x x ==x ﹣132x+在[0）及(0上是减函数，故区间I 可以是[1]． 故选D ．2．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考）已知函数()f x 满足(0)1f =，且()cos ()sin f x x f x x '>，则不等式()cos 10f x x ->的解集为A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【答案】D【思路分析】令()()cos g x f x x =，利用导数可研究函数为增函数，且原不等式可转化为()(0)g x g >，利用单调性即可求解．【解析】令()()cos g x f x x =，有()()cos ()sin 0g'x f x x f x x '=->，故函数()g x 单调递增， 又由(0)(0)cos01g f ==，不等式()cos 10f x x ->可化为()(0)g x g >，则不等式()cos 10f x x ->的解集为(0,)+∞． 故选D ．【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的增减性，根据函数单调性解不等式，属于中档题．3．（山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期中）已知函数2()f x x =的图象在1x =处的切线与函数e ()xg x a=的图象相切，则实数a =AB．2C．2D．【答案】B【思路分析】先求函数2()f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数e ()xg x a=图象的切线，设出切点即可求解．【解析】由2()f x x =，得()2f x x '=，则(1)2f '=，又(1)1f =，所以函数()f x 的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-．设21y x =-与函数e ()xg x a=的图象相切于点00(,)x y ，由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==故选B ．【名师点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题．已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解．4．（新疆维吾尔自治区行知学校2019-2020学年高三上学期11月月考）已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()e (23)()x f x x f x '=++，(0)1f =，则不等式()5e xf x <的解集为A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞UD ．(,1)(4,)-∞-+∞U【答案】A【思路分析】首先构造函数()()ex f x G x =，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【解析】令()()e x f x G x =，则()()()23exf x f x G x x '-'==+，设2()3G x x x c =++， 因为(0)(0)1G f ==，解得1c =，所以2()()31ex f x G x x x ==++， 解不等式()5e xf x <，即()5ex f x <，所以2315x x ++<， 解得41x -<<，所以不等式的解集为(4,1)-． 故选A ．【名师点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．5．（四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高三上学期第一次联考）若函数1()2ln f x ax x x=++在区间1[,4]2上有2个极值点，则a 的取值范围为 A ．(1,0]- B ．[]3,84-C ．7(1,)16--D ．(]1,8-【答案】C【思路分析】利用导数求得函数()f x 的单调区间，结合函数()f x 在区间1[,4]2上有2个极值点列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围．【解析】212()f x a x x '=-+2221ax x x+-=． 显然当0a =时，221()x f x x -'=只有1个极值点12，不符合题意，只有C 选项符合．构造函数21()21(0,4)2g x ax x a x =+-≠≤≤． 依题意()g x 在区间1[,4]2上有两个不同的零点，故440124221()02(4)00a a a g a g a ∆=+>⎧⎪⎪<-<⎪⎪⎨⋅>⎪⎪⋅>⎪⎪≠⎩，即21124104(167)0a a a a a >-⎧⎪⎪-<<-⎪⎨⎪>⎪⎪+>⎩， 解得7116a -<<-． 故选C ．【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数零点分布问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．6．（江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高三上学期期中）已知函数21()(e,e ef x x ax x =-≤≤为自然对数的底数）与()e xg x =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是A ．1[1,e ]e+B ．1[1,e ]e-C ．11[e ,e ]e e-+D ．1[e ,e]e-【答案】A【思路分析】()f x 的图象上与()g x 的图象上存在关于y x =对称的点等价于与方程组2e mm x axx ⎧=-⎨=⎩有解，消元后利用导数可以得到实数a 的取值范围．【解析】设()f x 的图象上与()g x 的图象上关于y x =对称的点为(,)x m ，故2emm x ax x ⎧=-⎨=⎩，消去m 得到2e x ax x -=，两边取对数有2ln x x ax =-， 因为1e e x ≤≤，故2ln x x a x-=，令2ln ()x x h x x -=，1e e x ≤≤，则22ln 1()x x h x x+-'=，1e e x ≤≤．令2()ln 1s x x x =+-，因为()s x 为1[,e]e上的增函数，且当1x =时，(1)0s =， 故当1[,1)ex ∈时，()0s x <，当(1,e]x ∈时，()0s x >； 所以当1[,1)ex ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数； 当(1,e]x ∈时，()0h x '>，()h x 为增函数；因为(1)1h =，111(e)e ,()e e e e h h =-=+，所以()h x 的值域为1[1,e ]e +，故1[1,e ]ea ∈+．故选A ．【名师点睛】函数图象的之间的关系应转化为对应方程的解来处理，而后者可参变分离后利用导数讨论不含参数的新函数的值域即可得参数的取值范围．7．（江苏省泰州市黄桥中学2019年高三上学期11月月考）函数()2cos f x x =在点(6P π处的切线的倾斜角是______________． 【答案】34π 【思路分析】先求函数()2cos f x x =的导函数()2sin f x x '=-，再由导数的几何意义可得tan θ=()16f π'=-，再结合倾斜角的范围求解即可． 【解析】因为()2cos f x x =，所以()2sin f x x '=-，则1()2162f π'=-⨯=-， 设直线的倾斜角为θ，则[0,)θ∈π，又tan 1θ=-，所以34θπ=，故函数()f x 在点(6P π处的切线的倾斜角是34π． 8．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考）已知曲线3()f x x x =-，则过点(1,0)P -，且与曲线相切的直线方程为______________． 【答案】22y x =+或1144y x =-- 【思路分析】根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程．。
2020届高三数学二轮复习 必考问题专项突破4 导数的简单应用及定积分 理
考必考问题4 导数的简单应用及定积分1．(2020·全国)曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )．A .13B.12C.23D ．1答案： A [y ′＝－2e －2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以三角形面积S ＝12×1×23＝13，故选A .]2．(2020·广东)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析 曲线方程为y ＝x 3－x ＋3，则y ′＝3x 2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y ′|x ＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.答案 2x －y ＋1＝03．(2020·陕西)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x －2y 在D 上的最大值为________．解析 当x ＞0时，求导得f ′(x )＝1x，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线方程为y ＝x －1，画图可知区域D 为三角形，三个顶点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，(0，－1)，(1,0)，平移直线x －2y ＝0，可知在点(0，－1)处z 取得最大值2.答案 24．(2020·江西)计算定积分⎠⎛1－1(x 2＋sin x )dx ＝________.解析 ⎠⎛1－1(x 2＋sin x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x33－cos x ⎪⎪⎪1－1＝23.答案 231．利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义． 2．考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式． 3．用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法．首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤，对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解.必备知识导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a (t)． 基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈R ) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x(2)①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u x v x ′＝u ′x v x －u x v ′x [v x ]2(v (x )≠0)．(3)复合函数求导复合函数y ＝f (g (x ))的导数和y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数之间的关系为y x ′＝f ′(u )g ′(x )．利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数y ＝f (x )的定义域内解(或证明)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0；②若已知y ＝f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．求可导函数极值的步骤 (1)求f ′(x )； (2)求f ′(x )＝0的根； (3)判定根两侧导数的符号； (4)下结论．求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤 (1)求f ′(x )；(2)求f ′(x )＝0的根(注意取舍)； (3)求出各极值及区间端点处的函数值；(4)比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．必备方法1．利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论．2．定积分在几何中的应用被积函数为y ＝f (x )，由曲线y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )和y ＝0所围成的曲边梯形的面积为S .(1)当f (x )＞0时，S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)当f (x )＜0时，S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；(3)当x ∈[a ，c]时，f (x )＞0；当x ∈[c，b]时，f (x )＜0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cbf (x )d x .导数的几何意义及其应用常考查：①根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；②根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数．可能出现在导数解答题的第一问，较基础．【例1】► (2020·新课标全国)已知函数f (x )＝aln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a 、b 的值．[审题视点] [听课记录][审题视点] 求f ′(x )，由⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f ′1＝－12可求．解 f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋12－bx2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f ′1＝－12即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上；在点P 处的切线，点P 是切点．【突破训练1】 直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________. 解析 切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b 的值．y′＝1x ，令1x ＝2得，x ＝12，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln 12，代入直线方程，得ln 12＝2×12＋b ，所以b ＝－ln 2－1.答案 －ln 2－1利用导数研究函数的单调性常考查：①利用导数研究含参函数的单调性问题；②由函数的单调性求参数的范围．尤其是含参函数单调性的研究成为高考命题的热点，主要考查学生的分类讨论思想，试题有一定难度．【例2】► (2020·合肥一模)已知函数f (x )＝x ＋ax(a ∈R )，g (x )＝ln x ．求函数F (x )＝f (x )＋g (x )的单调区间．[审题视点] [听课记录][审题视点] 确定定义域→求导→对a 进行分类讨论→确定f (x )的单调性→下结论． 解 函数F (x)＝f (x )＋g (x )＝x ＋a x＋ln x 的定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1－a x 2＋1x ＝x 2＋x －ax 2.①当Δ＝1＋4a ≤0，即a ≤－14时，得x 2＋x －a ≥0，则f ′(x )≥0.所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝1＋4a ＞0，即a ＞－14时，令f ′(x )＝0，得x 2＋x －a ＝0，解得x 1＝－1＋1＋4a 2＜0，x 2＝－1＋1＋4a2.(1)若－14＜a ≤0，则x 2＝－1＋1＋4a2≤0.因为x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＞0， 所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)若a ＞0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1＋4a 2时，f ′(x )＜0；x ∈－1＋1＋4a2，＋∞时，f ′(x )＞0.所以函数F (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1＋4a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1＋4a 2，＋∞上单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，函数F (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1＋4a 2，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1＋4a 2，＋∞.讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．【突破训练2】 (2020·安徽)设函数f (x )＝a e x＋1a e x＋b (a ＞0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解 (1)f ′(x )＝ae x－1ae x，当f ′(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)内的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)内的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b.(2)依题意f ′(2)＝ae 2－1ae 2＝32，解得ae 2＝2或ae 2＝－12(舍去)． 所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12.故a ＝2e 2，b ＝12.利用导数研究函数的极值或最值此类问题的命题背景很宽泛，涉及到的知识点多，综合性强，常考查：①直接求极值或最值；②利用极(最)值求参数的值或范围．常与函数的单调性、方程、不等式及实际应用问题综合，形成知识的交汇问题．【例3】► 已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a ＞0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)根据f (x )、g(x )的函数图象的性质，列出关于m 、n 的方程，求出m 、n 的值．(2)分类讨论．解 (1)由函数f (x )的图象过点(－1，－6)， 得m －n ＝－3.①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2， 得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g(x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n . 而g(x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0，所以m ＝－3.代入①得n ＝0. 于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 由f ′(x )＞0得x ＞2或x ＜0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2， 故f (x )的单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)， 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值当0＜a ＜1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极大值f (0)＝－2，无极小值； 当a ＝1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值；当1＜a ＜3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得，当0＜a ＜1时，f (x )有极大值－2，无极小值； 当1＜a ＜3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a ＝1或a ≥3时，f (x )无极值．(1)求单调递增区间，转化为求不等式f ′(x )≥0(不恒为0)的解集即可，已知f (x )在M 上递增⇒f ′(x )≥0在M 上恒成立，注意区别．(2)研究函数的单调性后可画出示意图．讨论区间与0,2的位置关系，画图→截取→观察即可．【突破训练3】 (2020·北京)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解 (1)f ′(x )＝2ax ，g′(x )＝3x 2＋b.因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g(x )在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以f (1)＝g(1)，且f ′(1)＝g′(1)． 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b. 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g(x )．当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.a ＞0时，h (x )与h ′(x )的变化情况如下： x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2 －a2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6 －a6⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋0 －0 ＋h (x )所以函数h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，＋∞；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6.当－a2≥－1，即0＜a ≤2时， 函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2.当－a 2＜－1，且－a6≥－1，即2＜a ≤6时，函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a2，－1上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 当－a6＜－1，即a ＞6时，函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6内单调递减，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a 6，－1上单调递增，又因h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2＞0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.定积分问题定积分及其应用是新课标中的新增内容，常考查：①依据定积分的基本运算求解简单的定积分；②根据定积分的几何意义和性质求曲边梯形面积．关键在于准确找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理求解．各地考纲对定积分的要求不高．学习时以掌握基础题型为主．【例4】► (2020·新课标全国)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )．A .103B ．4 C.163D ．6[审题视点] [听课记录][审题视点] 借助封闭图形确定积分上、下限及被积函数．C [由y ＝x 及y ＝x －2可得x ＝4，所以由y ＝x 、y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为⎠⎛04(x －x ＋2)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x 40 ＝163.] 求定积分的一些技巧：(1)对被积函数要先化简，把被积函数变为幂函数、指数函数、正弦、余弦函数与常数的和或差，再求定积分；(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和； (3)对含有绝对值符号的被积函数，先要去掉绝对值符号再求定积分．【突破训练4】 若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2，则a 的值为( )．A ．6B ．4C ．3D ．2 答案：D [⎠⎛1a⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x dx ＝x 2＋ln x a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，ln a ＝ln 2，∴a ＝2.]导数法求最值中的分类讨论由参数的变化引起的分类讨论．对于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．【示例】► (2020·天津)已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值．[满分解答] (1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1，a ) a(a ，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值分)(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f －2＜0，f －1＞0，f 0＜0，解得0＜a ＜13.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.(8分) (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t ＋3]上单调递减．因此f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53.所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.(12分) ②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t ，t ＋3]． 下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有f (－2)≤f (t )≤f (－1)， f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53.所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.(14分)老师叮咛：本题中的第3问比较麻烦，由于所给的区间不确定，函数在此区间上的单调性也不确定，需要根据参数的不同取值进行分类讨论，注意把握分类的标准，能够确定出函数的最大值和最小值，要求思路清晰，结合第1问中的函数的单调性确定函数g t 的最值.【试一试】 (2020·北京)已知函数f (x )＝(x －k )2e xk. (1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk .令f ′(x )＝0，得x ＝±k.当k>0时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，－k)－k (－k ，k) k (k ，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )4k 2e －1．当k<0时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，k)k (k ，－k) －k (－k ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )4k 2e －1． (2)当k>0时，因为f (k ＋1)＝e k ＋1k >1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e .当k<0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f (－k)＝4k 2e .∴4k 2e ≤1e ，∴4k 2≤1，∴－12≤k<0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.。
2020年高考理科数学之高频考点解密05 导数及其应用(解析版)
解密05 导数及其应用考点1 导数的概念及计算题组一 导数的计算调研 1 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=（其中e 为自然对数的底数），则()e f '=A ．e -B ．1e --C ．−1D ．1【答案】B【解析】根据题意，f （x ）=2xf '（e ）+ln x ，其导数12e f x f x''=+（）（）， 令x =e ，可得1e 2e e f f ''=+（）（），变形可得1e ef '=-（）， 故选B ．【名师点睛】本题考查导数的计算，注意f '（e ）为常数，要正确求出函数f （x ）的导数．根据题意，由函数的解析式对f （x ）求导可得12e f x f x ''=+（）（），将x =e 代入计算可得1e 2e ef f ''=+（）（），变形可得答案．调研2 以下运算正确的个数是 ①211()'x x =； ②()cos sin x 'x =-； ③()22ln2xx'=；④()1lg ln10x 'x =-． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【答案】B【解析】对于①，由于211()'x x =-，所以①不正确； 对于②，由于()'cos sin x x =-，所以②正确； 对于③，由于()'22ln2xx=，所以③正确；对于④，由于()'1lg ln10x x =，所以④不正确． 综上可得②③正确． 故选B ．【名师点睛】本题考查导数的基本运算，解题的关键是熟记基本初等函数的求导公式，属于基础题．对四个结论分别进行分析、判断即可得到结论．☆技巧点拨☆1．导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．（2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．2．运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数()y f x =在开区间(a ，b )内的导数的基本步骤： （1）分析函数()y f x =的结构和特征； （2）选择恰当的求导公式和运算法则求导； （3）整理得结果． 3．求较复杂函数的导数的方法对较复杂的函数求导数时，先化简再求导．如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导． 4．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 （1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数． （2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．题组二 导数的几何意义调研3 已知函数()e 2xf x x =+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为______________．【答案】x −y +2=0【解析】对函数()e 2xf x x =+求导数得()()e e e 1xxxf x x x '=+=+，则()01f '=，又因为()0022f =+=，所以切点坐标为（0，2）， 由直线方程的点斜式可得2y x =+ ，即x−y +2=0．【名师点睛】本题考查了导数的简单应用，根据导数求曲线上一点的切线方程，属于基础题．利用导数求得直线在切点处的斜率，结合点斜式可求得切线方程．调研4 曲线ln 2(0)y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为 AB ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】由()ln 2y f x a x ==-，得()af x x'=，∴()1f a '=， 又()12f =-，∴曲线ln 2(0)y a x a =->在1x =处的切线方程为()21y a x +=-， 令0x =得2y a =--；令0y =得21x a=+． ∴切线与坐标轴围成的三角形面积为()()12122121422S a a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a =．故选B ．【名师点睛】本题考查导数的几何意义及直线与坐标轴的交点坐标，考查计算能力，属于基础题．先求出曲线在1x =处的切线方程，然后得到切线与两坐标轴的交点坐标，最后可求得围成的三角形的面积． 调研5 已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是______________．【答案】3π[,π)4【解析】∵4e 1x y =+，∴224e 4e 41(e 1)e 2e 1e 2e x x x x x x xy ---'===+++++．∵e x >0，∴1e 2e xx +≥，当且仅当1e exx =，即x ＝0时等号成立． ∴y ′∈[−1，0)，∴tan α∈[−1，0)．又α∈[0，π)，∴α∈3π[,π)4．调研6 已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x −ln x 存在与直线x ＋y −1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是A ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C ．[−1，＋∞)D ．(−∞，−1]【答案】A【解析】由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3−1x ＝1有正根，即2ax 2＋2x −1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得−12≤a <0． 综上，a ≥−12．故选A ．调研7 已知直线21y x =+与曲线e xy a x =+相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值为A ．1B ．2C ．eD ．2e【答案】A【解析】由函数的解析式可得：'e 1xy a =+，设切点坐标为()00,x y ，由题意可得：000000e e 1221x x y a x a y x ⎧=+⎪+=⎨⎪=+⎩，解得：00011x y a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，据此可得实数a 的值为1． 故选A ．【名师点睛】由题意利用导数研究函数的切线性质即可．导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积．☆技巧点拨☆导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第一问，难度一般不大，属中低档题型，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，常见的类型及解法如下：（1）已知切点P (x 0，y 0)，求y =f (x )过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k ，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0，y 0)，通过方程k =f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k =f ′(x 0)求出切点坐标(x 0，y 0)，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上．②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．考点2 导数的应用题组一 利用导数研究函数的单调性调研1 定义在上R 的连续可导函数()f x ，若当0x ≠时有()0xf x '<，则下列各项正确的是 A ．()()()1220f f f -+> B ．()()()1220f f f -+=C ．()()()1220f f f -+<D ．()()12f f -+与()20f 大小不定【答案】C【解析】由题意可知，函数()f x 是R 上的连续可导函数，且当0x ≠时有()0xf x '<， 当0x >时，()0f x '<，所以函数()f x 为单调递减函数； 当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 为单调递增函数， 所以()()()()10,20f f f f -<<，所以()()()1220f f f -+<． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据导数得出函数的单调性，再利用函数的单调性作出比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．由题意可知，函数满足()0xf x '<，得到当0x >时，函数()f x 为单调递减函数，当0x <时，函数()f x 为单调递增函数，利用函数单调性，即可得到答案．调研 2 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax −ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为______________．【答案】⎣⎡⎭⎫43，＋∞【解析】由题意知f ′(x )＝x ＋2a −1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥−x ＋1x在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵max 1()x x -+＝83，∴2a ≥83，即a ≥43．调研3 若函数()51ln 12f x x ax ax=+--在()1,2上为增函数，则a 的取值范围为 A ．()1,0,24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦UB ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U C ．[)11,00,4⎛⎤- ⎥⎝⎦UD ．[)11,0,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦U【答案】B【解析】依题意可得()25102f x a x ax =-'-≥对x ()1,2∈恒成立， 即25102ax x a-+≤对x ()1,2∈恒成立．设g (x )= a 2512x x a-+，x ()1,2∈． 当a >0时，()()5110212450g a ag a a ⎧=-+≤⎪⎪⎨⎪=-+≤⎪⎩，解得112a ≤≤．当a <0时，g (0)=10a <，−522a-=504a<，()()01,2g x x ∴<∈对恒成立． 综上，a 的取值范围为()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U ． 故选B ．调研4 已知函数()()ln f x a x x a =-∈R ．（1）若3是()f x 的一个极值点，求函数()f x 的表达式，并求出()f x 的单调区间； （2）若(]0,1x ∈，证明当2a ≤时，()10f x x+≥． 【答案】（1）()3ln f x x x =-，单调递增区间是()03，，递减区间是()3+∞，；（2）见解析． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0+∞，，()1af x x'=-．由题设知，()30f '=，所以3a =． 经检验3a =满足已知条件，从而()3ln f x x x =-，()331xf x x x-=-='． 当03x <<时，()0f x '>；当3x >时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间是()03，，递减区间是()3+∞，． （2）证法一：设()()11ln g x f x a x x x x =+=-+，(]0,1x ∈，则()222111a x ax g x x x x-+=--=-'． ①当0a ≤时，(]0,1x ∈Q ，1ln 0,0x x x∴≤-≥，()0g x ∴≥，即()10f x x+≥． ②当02a <≤时， 2104a -≥Q ，()222124a a x g x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∴=-≤'， ()g x ∴在区间(]0,1上单调递减， ()()10g x g ∴≥=，即()10f x x+≥， 综上得，当(]0,1x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． 证法二：①若1x =，则()1f x =-，()1110f x x∴+=-+=， ②若01x <<，则ln 0x <，当2a ≤时，()111ln 2ln f x a x x x x x x x +=-+≥-+， 设()12ln g x x x x=-+，()0,1x ∈，()()22212110x g x x x x -∴=--=-<'， ()g x ∴在区间(]0,1上单调递减． ()()10g x g ∴>=，则()10f x x+>，综上得，当(]0,1x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． 【名师点睛】（1）本题考查了极值的概念，导数与函数单调性的关系：当()0f x '<时，解出的x 范围是函数()f x 的减区间，当()0f x '>时，解出的x 范围是函数()f x 的增区间． （2）本题考查了分类讨论思想及导数应用，把问题转化成函数最值问题处理．☆技巧点拨☆函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现．常见的题型及其解法如下：1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x )；（2）确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；（3）作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．3．由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．题组二 利用导数研究函数的极值与最值调研5 已知函数f (x )＝−x 3＋ax 2−4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[−1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是______________． 【答案】−13【解析】f ′(x )＝−3x 2＋2ax ，根据已知得(2)1240f a '=-+=，即a ＝3，所以f (x )＝−x 3＋3x 2−4． 根据函数f (x )的单调性，可得函数f (m )在[−1，1]上的最小值为f (0)＝−4， 又f ′(n )＝−3n 2＋6n 在[−1，1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(−1)＝−9． 所以[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝−4−9＝−13． 调研6 已知函数()()()32211132132f x x a x a a x =+-+-+，若在区间()0,3内存在极值点，则实数a 的取值范围是 A ．()0,3B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()()0,11,3UD ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭U 【答案】C【解析】()()()()2213221,f x x a x a a x a x a ⎡⎤=+-+-=---⎣⎦'令()0f x '=，则x =a 或x =2a −1．若1a =，则()21,0a a f x '=-≥R 在上恒成立，函数()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点; 若1a >，则21a a <-， 由于f (x )在区间()0,3内存在极值点，所以3,13a a <∴<<； 若1a <，则21a a >-，由于f (x )在区间()0,3内存在极值点，所以0,01a a >∴<<． 综上所述，0113a a <<<<或， 故选C ．【名师点睛】本题考查导数在求函数极值中的应用，比较21a a -与的大小，11a a ><分和进行讨论． 调研7 已知函数()3213f x x bx cx c =+++．（1）当1x =时，()f x 有极小值196-，求实数,b c ； （2）设()()g x f x cx =-，当()0,1x ∈时，在()g x 图象上任意一点P 处的切线的斜率为k ，若1k <，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）12b =，2c =-；（2）(],0-∞． 【思路分析】（1）由题意可得()()101916f f '⎧=⎪⎨=-⎪⎩，求得122b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，检验即可；（2）由()221k g x x bx '==+<对一切01x <<恒成立，可得122x b x <-对一切01x <<恒成立，从而研究122xy x =-的单调性及最值即可． 【解析】（1）()22f x x bx c '=++Q ，∴由()()101916f f '⎧=⎪⎨=-⎪⎩， 即2107202b c b c ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 122b c ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩，此时()()()2221f x x x x x '=+-=+-， 当()2,1x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在1x =处取得极小值，符合题意，故12b =，2c =-． （2）Q ()3213g x x bx c =++，∴()22k g x x bx '==+，Q 221x bx +<对一切01x <<恒成立，∴122xb x <-对一切01x <<恒成立． 又122xy x =-在()0,1上为减函数， 1022xx ∴->，∴0b ≤． 故b 的取值范围为(],0-∞．【名师点睛】本题考查利用导数求解极值点、导数的几何意义；求解极值点的方法是利用导函数零点的个数结合原函数的单调性来确定，要注意导函数的零点并不一定是函数的极值点，要成为极值点其左右两边的单调性必须相异；研究函数的切线斜率实质上即为研究函数的导函数的取值． 调研8 设()()3211232f x x x ax a =-++∈R ． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当02a <<时，()f x 在[]1,4上的最小值为163-，求()f x 在[]1,4上的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）103． 【思路分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性得到f （x ）在[1，4]上的最大值为f ），最小值是f （4），求出a 的值，从而求出函数的最大值即可．【解析】（1）由()22f x x x a '=-++，18a ∆=+，①18a ≤-时，0∆≤，此时()0f x '≤， ∴()f x 在R 上递减．②18a >-时，0∆>，令()0f x '=，解得x =，令()0f x '<，解得x <x >，令()0f x '>x <<故()f x 在1,2⎛-∞ ⎝⎭，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，在1122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增．（2）由（1）知()f x 在⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，在⎝⎭上单调递增，当02a <<14<<<，所以()f x 在[]1,4上的最大值为f ⎝⎭， 又()()2741602f f a -=-+<，即()()41f f <， 所以()f x 在[]1,4上的最小值为()40164833f a =-=-，得1a =，所以122+=，从而()f x 在[]1,4上的最大值为()1023f =． 【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．☆技巧点拨☆1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 2．求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增或递减，则f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在区间(a ，b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ，b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．题组三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系调研9 已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．下列关于函数()f x 的命题：①函数()f x 在[]0,1上是减函数；②如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ③当12a <<时，函数()y f x a =-最多有4个零点． 其中真命题的个数是 A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个【答案】B【解析】由导数的图象可知，当−1＜x ＜0或1＜x ＜4时，f '（x ）＞0，函数单调递增， 当0＜x ＜1或4＜x ＜5时，f '（x ）＜0，函数单调递减，所以①正确； x =0和x =4时，函数取得最大值f （0）=2，f （4）=2，当x ∈[−1，t ]时，f （x ）最大值是2，那么t 的最大值为5，所以②不正确；由f （−1）=f （5）=1，结合函数的单调性，可得当12a <<时，函数()y f x a =-最多有4个零点，故③正确．综上，有2个正确．所以选B．【名师点睛】本题考查了导数图象的综合应用，导数单调性与极值、最值的关系，属于基础题．由导数图象可知函数的单调性，可判断①；结合表格中几个特殊点的函数值，结合函数的单调性，分析t取不同值时，函数的最大值变化情况，可判断②；结合表格中几个特殊点的函数值，结合函数的单调性，分析函数的极值，可判断③．☆技巧点拨☆1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点．题组四生活中的优化问题和导数与方程、不等式等的综合问题调研10 已知f(x)＝ln x−x＋a＋1．（1）若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；（2）求证：在（1）的条件下，当x>1时，12x2＋ax−a>x ln x＋12成立．【答案】（1）[0，＋∞)；（2）见解析．【思路分析】（1）原题即为存在x>0，使得a≥−ln x＋x−1成立，即该不等式有解，求函数g(x)＝−ln x＋x−1的单调性和最小值即可；（2）原不等式转化为G(x)＝12x2＋ax−x ln x−a−12>0，研究这个函数的单调性，求得这个函数的最值大于0即可．【解析】（1）原题即为存在x>0，使得ln x−x＋a＋1≥0成立，∴a≥−ln x＋x−1，令g(x)＝−ln x＋x−1，则g′(x)＝−1x＋1＝1xx．令g′(x)＝0，解得x＝1．∵当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)为减函数，当x>1时，g′(x)>0，g(x)为增函数，∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0．故a的取值范围是[0，＋∞)．（2）原不等式可化为12x 2＋ax −x ln x −a −12>0(x >1，a ≥0)． 令G (x )＝12x 2＋ax −x ln x −a −12，则G (1)＝0．由（1）可知x −ln x −1>0，则G ′(x )＝x ＋a −ln x −1≥x −ln x −1>0， ∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (1)＝0成立， ∴12x 2＋ax −x ln x −a −12>0成立，即12x 2＋ax −a >x ln x ＋12成立． 调研11 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本C （x ）万元，当年产量小于7万件时，C （x ）=13x 2+2x （万元）；当年产量不小于7万件时，C （x ）=6x +1n x +3e x﹣17（万元）．已知每件产品售价为6元，假设该同学生产的产量当年全部售完．（1）写出年利润P （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e 3≈20）【答案】（1）()23142073e 15ln 7x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩，，；（2）当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元．【思路分析】（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0＜x ＜7和当x ≥7两种情况得到P （x ）与x 的分段函数关系式；（2）当0＜x ＜7时根据二次函数求最大值的方法来求P （x ）的最大值，当x ≥7时，利用导数求P （x ）的最大值，最后综合即可．【解析】（1）产品售价为6元，则x 万件产品销售收入为6x 万元． 依题意得，当07x <<时，()22116(2)24233P x x x x x x =-+-=-+-， 当8x ≥时，()33e e 6(6ln 17)215ln P x x x x x x x=-++--=--．∴()23142073e 15ln 7x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩，，． （2）当07x <<时，()()216103P x x =--+， ∴当6x =时，()P x 的最大值为()610P =（万元）．当7x ≥时，()3e 15ln P x x x =--，∴()33221e e xP x x x x-'=-+=， ∴当37e x ≤<时，()0P x '>，()P x 单调递增；当3e x >时，()0P x '<，()P x 单调递减， ∴当3e x =时，()P x 取最大值()33e 15lne111P =--=（万元），∵1110>，∴当3e 20x =≈时，()P x 取得最大值11万元，即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元．【名师点睛】本题考查函数式的求法，考查年利润的最大值的求法，考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 调研12 已知函数()()()22ln f x ax a x x a =+--∈R ，又函数()321132m g x x x x =+++的两个极值点为1212,()x x x x <，且满足12x x +≥，12,x x恰为()()ln h x x f x bx =-+的零点． （1）当()2,0a ∈-时，求()f x 的单调区间； （2）当1a =时，求证：()121242ln223x x x x h +⎛⎫-≥-⎪⎝'⎭． 【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析． 【思路分析】（1）求出()()()211x ax f x x-+'=，解导不等式可得()f x 的单调区间；（2）先确定0＜12x x ≤12，再利用y =()12122x x x x h +'⎛⎫- ⎪⎝⎭=()411t t -+﹣2ln t （0＜t ≤12），只需求y =()12122x x x x h +'⎛⎫-⎪⎝⎭的最小值即可得证．【解析】（1）∵()()()22ln f x ax a x x a =+--∈R ，∴()()()()()2221211122ax a x x ax f x ax a x x x+---+'=+--==， 又()2,00a x ∈-，＞， 令()0f x '＞，解得112x a -＜＜，令()0f x '＜，解得0＜x ＜12或x ＞1a -， ∴函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()321132m g x x x x =+++，()21g x x mx '=++，由题意12212122401x x m x x mx x ∆⎧+≥⎪⎪⎪=-⎨⎪+=-⎪=⎪⎩＞，∴221212()x x m x x +=≥92，解得0＜12x x ≤12， 当1a =时，()()()2ln 2ln 1h x x f x bx x x b x =-+=-+-，则()221h x x b x'=-+-， ()()()()22111122222ln 1,2ln 1=0=0h x x x b x h x x x b x =-+-=-+-，两式相减得：2ln 12x x ﹣（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）+()1b -（x 1﹣x 2）=0，令t =12x x ，则0＜t ≤12， ∴()()1212412ln 21t x x x x h t t -+⎛⎫-=- +⎝⎭'⎪（0＜t ≤12）， 记()()412ln 1t t t t ϕ-=-+，则()222(1)0(1)t t t t ϕ--'=+＜， ∴()()412ln 1t t t t ϕ-=-+在（0，12]上单调递减，∴()t ϕ的最小值为142ln 223ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 即()121242ln223x x x x h +⎛⎫-≥-⎪⎝'⎭，得证． 【名师点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查证明不等式，考查函数的单调性，考查学生分析、解决问题的能力，属于中档题．☆技巧点拨☆1．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可．（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解． 2．生活中的优化问题（1）实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值．若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值． （2）实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．3．利用导数研究函数综合问题的一般步骤：（1）确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发点． （2）进行合理转化，构造函数关系，进行求导．（3）利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值，有参数时进行分类讨论． （4）利用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论． （5）反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性．1．（上海市进才中学2019-2020学年高三上学期期中）函数213()22f x x x =-+是区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上又是减函数，那么区间I 可以是A ．[1,)+∞B ．)+∞C ．[1,3]D ．【答案】D【思路分析】由题意求213()22f x x x =-+的增区间，再求y ()12f x x ==x ﹣132x +的减函数，从而求得结果．【解析】因为213()22f x x x =-+在区间[1，+∞）上是增函数，y ()12f x x ==x ﹣132x +，所以令y ′22213130222x x x-=-⋅=<，可解得x ∈[0）U (0]；故y ()12f x x ==x ﹣132x+在[，0）及(0上是减函数，故区间I 可以是[1]． 故选D ．2．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考）已知函数()f x 满足(0)1f =，且()cos ()sin f x x f x x '>，则不等式()cos 10f x x ->的解集为A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【答案】D【思路分析】令()()cos g x f x x =，利用导数可研究函数为增函数，且原不等式可转化为()(0)g x g >，利用单调性即可求解．【解析】令()()cos g x f x x =，有()()cos ()sin 0g'x f x x f x x '=->，故函数()g x 单调递增， 又由(0)(0)cos01g f ==，不等式()cos 10f x x ->可化为()(0)g x g >，则不等式()cos 10f x x ->的解集为(0,)+∞． 故选D ．【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的增减性，根据函数单调性解不等式，属于中档题．3．（山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期中）已知函数2()f x x =的图象在1x =处的切线与函数e ()xg x a=的图象相切，则实数a =AB．2C．2D．【答案】B【思路分析】先求函数2()f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数e ()xg x a=图象的切线，设出切点即可求解．【解析】由2()f x x =，得()2f x x '=，则(1)2f '=，又(1)1f =，所以函数()f x 的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-．设21y x =-与函数e ()xg x a=的图象相切于点00(,)x y ，由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==．故选B ．【名师点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题．已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解．4．（新疆维吾尔自治区行知学校2019-2020学年高三上学期11月月考）已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()e (23)()x f x x f x '=++，(0)1f =，则不等式()5e xf x <的解集为A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞UD ．(,1)(4,)-∞-+∞U【答案】A【思路分析】首先构造函数()()ex f x G x =，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【解析】令()()e x f x G x =，则()()()23exf x f x G x x '-'==+，设2()3G x x x c =++， 因为(0)(0)1G f ==，解得1c =，所以2()()31ex f x G x x x ==++， 解不等式()5e xf x <，即()5ex f x <，所以2315x x ++<， 解得41x -<<，所以不等式的解集为(4,1)-． 故选A ．【名师点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．5．（四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高三上学期第一次联考）若函数1()2ln f x ax x x=++在区间1[,4]2上有2个极值点，则a 的取值范围为 A ．(1,0]- B ．[]3,84-C ．7(1,)16--D ．(]1,8-【答案】C【思路分析】利用导数求得函数()f x 的单调区间，结合函数()f x 在区间1[,4]2上有2个极值点列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围．【解析】212()f x a x x '=-+2221ax x x+-=． 显然当0a =时，221()x f x x -'=只有1个极值点12，不符合题意，只有C 选项符合．构造函数21()21(0,4)2g x ax x a x =+-≠≤≤． 依题意()g x 在区间1[,4]2上有两个不同的零点，故440124221()02(4)00a a a g a g a ∆=+>⎧⎪⎪<-<⎪⎪⎨⋅>⎪⎪⋅>⎪⎪≠⎩，即21124104(167)0a a a a a >-⎧⎪⎪-<<-⎪⎨⎪>⎪⎪+>⎩， 解得7116a -<<-． 故选C ．【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数零点分布问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．6．（江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高三上学期期中）已知函数21()(e,e ef x x ax x =-≤≤为自然对数的底数）与()e xg x =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是A ．1[1,e ]e+B ．1[1,e ]e-C ．11[e ,e ]e e-+D ．1[e ,e]e-【答案】A【思路分析】()f x 的图象上与()g x 的图象上存在关于y x =对称的点等价于与方程组2e mm x axx ⎧=-⎨=⎩有解，消元后利用导数可以得到实数a 的取值范围．【解析】设()f x 的图象上与()g x 的图象上关于y x =对称的点为(,)x m ，故2emm x ax x ⎧=-⎨=⎩，消去m 得到2e x ax x -=，两边取对数有2ln x x ax =-， 因为1e e x ≤≤，故2ln x x a x-=，令2ln ()x x h x x -=，1e e x ≤≤，则22ln 1()x x h x x+-'=，1e e x ≤≤．令2()ln 1s x x x =+-，因为()s x 为1[,e]e上的增函数，且当1x =时，(1)0s =， 故当1[,1)ex ∈时，()0s x <，当(1,e]x ∈时，()0s x >； 所以当1[,1)ex ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数； 当(1,e]x ∈时，()0h x '>，()h x 为增函数；因为(1)1h =，111(e)e ,()e e e e h h =-=+，所以()h x 的值域为1[1,e ]e +，故1[1,e ]ea ∈+．故选A ．【名师点睛】函数图象的之间的关系应转化为对应方程的解来处理，而后者可参变分离后利用导数讨论不含参数的新函数的值域即可得参数的取值范围．7．（江苏省泰州市黄桥中学2019年高三上学期11月月考）函数()2cos f x x =在点(6P π处的切线的倾斜角是______________． 【答案】34π 【思路分析】先求函数()2cos f x x =的导函数()2sin f x x '=-，再由导数的几何意义可得tan θ=()16f π'=-，再结合倾斜角的范围求解即可． 【解析】因为()2cos f x x =，所以()2sin f x x '=-，则1()2162f π'=-⨯=-， 设直线的倾斜角为θ，则[0,)θ∈π，又tan 1θ=-，所以34θπ=，故函数()f x 在点(6P π处的切线的倾斜角是34π． 8．（内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2019-2020学年高三上学期10月月考）已知曲线3()f x x x =-，则过点(1,0)P -，且与曲线相切的直线方程为______________． 【答案】22y x =+或1144y x =-- 【思路分析】根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程．。