山东临清三中数学选修2-3课件：1.2-3《排列组合》课件(2)(新人教A选修2-3)
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《排列(三)》课件(新人教A版选修2-3)PPT教学课件
排法数有（ B ）
A.2880 B.1152 C.48 D.144
2、今有10幅画将要被展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅 国画，现将它们排成一排，要求同一品种的画必须连在一起， 并且水彩画不放在两端。则不同的排列方式有 5760 种。
3、一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，恰有五个连续 空位的坐法种数为 480 。（用数字作答）
变式：若直线Ax+By+C=0的系数A、B可以从0，1，2，
3，6，7这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表
示的直线条数是（ ）A
A.18 B.20 C.12 D.22
2020/12/10
8
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
9
2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；
特殊元素,特殊位置优先安排策略
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元 素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法 称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略
3、在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加 4x100接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安 排方法共有多少种？
4、从1~9这九个数字中取出5个不同的数进行排列， 求取出的奇数必须排在奇数位置上的五位数的个数。
பைடு நூலகம்
2020/12/10
7
例4、从数字0，1，3，5，7中取出不同的三位数作系 数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax+2 bx+c=0? 其中有实根的方程有多少个？
2020/12/10
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A.2880 B.1152 C.48 D.144
2、今有10幅画将要被展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅 国画，现将它们排成一排，要求同一品种的画必须连在一起， 并且水彩画不放在两端。则不同的排列方式有 5760 种。
3、一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，恰有五个连续 空位的坐法种数为 480 。（用数字作答）
变式：若直线Ax+By+C=0的系数A、B可以从0，1，2，
3，6，7这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表
示的直线条数是（ ）A
A.18 B.20 C.12 D.22
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9
2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；
特殊元素,特殊位置优先安排策略
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元 素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法 称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略
3、在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加 4x100接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安 排方法共有多少种？
4、从1~9这九个数字中取出5个不同的数进行排列， 求取出的奇数必须排在奇数位置上的五位数的个数。
பைடு நூலகம்
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7
例4、从数字0，1，3，5，7中取出不同的三位数作系 数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax+2 bx+c=0? 其中有实根的方程有多少个？
2020/12/10
1
高中数学(人教选修2-3)配套课件第一章 1.2.3 组 合 (一)
(2)8个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？
(3)8支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需
栏
要进行多少场次？
目
链
(4)8支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多
接
少种可能？
变式 迁移
解析：(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别 的．
(2)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通
(2)A，B，C三人不能当选；
栏
(3)A，B，C三人中只有一人当选．
目 链
接
解析：(1)∵A，B，C 三人必须当选，∴再从其他 9 个人中选出 2 人，则可组成 5 人小组，∴共有选法 C29＝9×2 8＝36(种)． (2)∵A，B，C 三人不能当选，∴须从其他 9 个人中选出 5 人，共有
选法种数为 C95＝C94＝94××83××72××61＝126(种)．
栏 目
的集合有多少个？
链
接
分析：取出元素之后，在安排这些元素时，与顺序有关则为 排列问题，与顺序无关则为组合问题．
解析：(1)当取出3个数字后，如果改变三个数字的顺序，会 得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排 顺序有关，是排列问题．
(2)取出3个数字后，无论怎样改变这些数字之间的排列顺序，
(1)不同元素；
栏
(2)“只取不排”——无序性；
目
链
(3)相同组合，元素相同．
接
2．组合数公式：____________＝____________＝ ________.
基础 梳理
5
4
栏 目 链 接
4．组合与排列的区别与联系． 例如：从a，b，c三个不同元素中取出两个元素的排列有 ________个，而取出两个元素的组合只有__________这三种情况．
人教版高中数学选修2-3 排列(共70张PPT)教育课件
观察排列数公式有何特征： （1）右边第一个因数是n（n是最大的整数），后面每 一个因数比它前面一个因数少1．
（2）最后一个因数是n－m＋1（其中最小的整数）．
（3）共m个连续的正整数相乘．（m是取出元素的个 数以及后面式子相乘的因子的个数）
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个 元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
焦点在 x 轴上的椭圆方程xa22＋by22＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 线方程xa22－by22＝1?
解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.
若方程xa22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系
一定； 在双曲线xa22－by22＝1 中，不管 a>b 还是 a<b，方程xa22－by22＝1 均表示焦点在 x
思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)都是从整体中取出部分（或全部）按照顺序排列 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等
能推广到一般
知识点一 排列的定义
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不 同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重
复抽取同一元素的情况。 2、按“一定顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排 列，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。（有序性） 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用 “树形图”。
（10）有10个车站，共需要多少种车票？
（2）最后一个因数是n－m＋1（其中最小的整数）．
（3）共m个连续的正整数相乘．（m是取出元素的个 数以及后面式子相乘的因子的个数）
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个 元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
焦点在 x 轴上的椭圆方程xa22＋by22＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 线方程xa22－by22＝1?
解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.
若方程xa22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系
一定； 在双曲线xa22－by22＝1 中，不管 a>b 还是 a<b，方程xa22－by22＝1 均表示焦点在 x
思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)都是从整体中取出部分（或全部）按照顺序排列 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等
能推广到一般
知识点一 排列的定义
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不 同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重
复抽取同一元素的情况。 2、按“一定顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排 列，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。（有序性） 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用 “树形图”。
（10）有10个车站，共需要多少种车票？
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.2组合(2)
们中以前没有一人参加过比赛，按照中足球比赛规 则，比赛是一个足球队上场队员是 11 人，问： ⑵如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情.
第二问有没有第二种方法
⑵法二:C117
C 10 16
点评
证明猜想
补充思考:
一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球．
解：(1)C1300
100 99 98 3 21
161700(种)
答：共有161700种抽法.
(2)(3)(4)答案
小结
(
2)C
1 2
C
2 98
2
98 97 21
9506(种)
答 : 共有9506种抽法.
(3)解法一：C21 C928 C22 C918 9506 98 9604（种)
注:分步取是有顺序的,分析问题时要小心.
学习小结:
1.组合数的两个重要性质:
C
m n
C nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
2.解组合应用题的一般有两种思路:
直接解法与间接解法
选做作业:
1.有13名医生，其中男医生7人，女医生
6人，现抽出5人前往灾区，若至少2名男医生，
至多3名女医生，则不同的选法总数为
7.若Cn71
Cn7
C
8 n
,
则
n＝
_1_4__.
8. C23＋C42＋C52＋ ＋C1200 _1_6_6_6_4__9.
9.计算C04＋C15＋C62＋ ＋C193 2_0_0__2__ .
第二问有没有第二种方法
⑵法二:C117
C 10 16
点评
证明猜想
补充思考:
一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球．
解：(1)C1300
100 99 98 3 21
161700(种)
答：共有161700种抽法.
(2)(3)(4)答案
小结
(
2)C
1 2
C
2 98
2
98 97 21
9506(种)
答 : 共有9506种抽法.
(3)解法一：C21 C928 C22 C918 9506 98 9604（种)
注:分步取是有顺序的,分析问题时要小心.
学习小结:
1.组合数的两个重要性质:
C
m n
C nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
2.解组合应用题的一般有两种思路:
直接解法与间接解法
选做作业:
1.有13名医生，其中男医生7人，女医生
6人，现抽出5人前往灾区，若至少2名男医生，
至多3名女医生，则不同的选法总数为
7.若Cn71
Cn7
C
8 n
,
则
n＝
_1_4__.
8. C23＋C42＋C52＋ ＋C1200 _1_6_6_6_4__9.
9.计算C04＋C15＋C62＋ ＋C193 2_0_0__2__ .
新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(排列)ppt课件
例2．解方程
A
3 2x
100Ax
2
解：原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1) ∵x≠0,x≠1 ∴ 2x-1=25 解得x=13 经检验x=13 是原方程的根。 例3．证明：A m
=A +mA n+1
。 。
m n
m-1 n
n! n! 证明：右边 m (n m )! (n m 1)! n ! (n m 1) n ! m (n 1)n ! (n m 1)! (n m 1)! (n 1)! Anm1 左 [(n 1) m ]!
一列，共有多少种不同的排法？
解决这个问题，需分3个步骤： 第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法； 第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法； 第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法． 根据分步计数原理，共有4×3×2＝24
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一 定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列． 注意： 1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有 重复元素，也没有重复抽取相同的元素． 2.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是 “按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也 是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 3.根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元 素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．也就是说，如 果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的 排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同， 那么也是不同的排列． 4.如果m＜n，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列）， 叫做选排列；如果m＝n，这样的排列（也就是取出所有元素 作排列），叫做全排列．
山东临清三中数学选修2-3课件2.1离散型随机变量及其分布列第一课时(新人教A版选修2-3)
练习:写出下列各随机变量的值域: (1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张， 被取出的卡片的号数X． 中所含白球数X． {1、2、3、· · · 、10} (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其 {0、1、2、3}
(3)抛掷两个骰子，所得点数之和X．{2、3、· · · 、12}
X取(0,+∞)内的一切值,故X并非离散性随机变量
思考：若我们仅关心该电灯泡的寿命是否超过 1000小时，
并如下定义一个随机变量Y， Y是一个离散型随机变量 吗？ 0，寿命<1000小时 1，寿命≥1000小时
Y=
随机变量Y显然比X要简单，也更便于研究，为了我 们研究的可操作性，有些问题往往可以考虑从不同的角 度去构造随机变量。
（第一课时） 设计人：张魁柱
在必修3中,我们学习了概率有关知识.知道 概率是描述某个随机事件发生可能性大小的量. 并去研究了一些的随机事件的概率,我们简
单得回顾几个.
例1：掷一颗骰子,结果有哪些?发生的概率各是多少? 若用X表示出现的点数，X有哪些取值？ X可取1、2、3、4、5、6，共6种结果 例2：某纺织公司某次检验产品，在可能含有10次品的 100件产品中任意抽取4件，其中可能含有几件次品？ 若用Y表示所含次品数，Y有哪些取值？ Y可取 0、1、2、3、4,共5种结果 思考:把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？能 否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？ X=0，表示正面向上； X=1，表示反面向上 说明：(1)任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化；
“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第 二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号．
学习小结:
1.随机变量是随机事件的结果的数量化． 随机变量X的取值对应于随机试验的某一随机事件。 随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个 对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客 观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数 概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概
高中数学人教A版 选修2-3 1.2.3 排列与组合习题课 课件 (共29张PPT)
－
小试牛刀
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(
m (3)若组合式 Cx n＝Cn ，则 x＝m 成立.( k 1 (4)kCn ＝nCk n－1.(
－
)
)
解析
元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正
A.30 B.600
)
C.720 D.840
解析
(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3
人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空， 任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分 步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.
解析
(1)第一类：甲在最左端，
有 A5 5＝5×4×3×2×1＝120(种)方法； 第二类：乙在最左端， 有 4A4 4＝4×4×3×2×1＝96(种)方法. 所以共有 120＋96＝216(种)方法. (2)记其余两种产品为 D，E，A，B 相邻视为一个元素，先与 D，
3 E 排列，有 A2 A 2 3种方法；再将 C 插入，仅有 3 个空位可选，共 3 1 有 A2 A 2 3C3＝2×6×3＝36 种不同的摆法.
30 种. 法二 从 7 名同学中任选 3 名的方法数，再除去所选 3 名同学
3 3 3 全是男生或全是女生的方法数，即 C － C － C 答案 C 7 4 3＝30.
4.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________(用数字 作答).
解析
3 末位数字排法有 A1 ，其他位置排法有 A 2 4种，共有
小试牛刀
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(
m (3)若组合式 Cx n＝Cn ，则 x＝m 成立.( k 1 (4)kCn ＝nCk n－1.(
－
)
)
解析
元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正
A.30 B.600
)
C.720 D.840
解析
(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3
人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空， 任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分 步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.
解析
(1)第一类：甲在最左端，
有 A5 5＝5×4×3×2×1＝120(种)方法； 第二类：乙在最左端， 有 4A4 4＝4×4×3×2×1＝96(种)方法. 所以共有 120＋96＝216(种)方法. (2)记其余两种产品为 D，E，A，B 相邻视为一个元素，先与 D，
3 E 排列，有 A2 A 2 3种方法；再将 C 插入，仅有 3 个空位可选，共 3 1 有 A2 A 2 3C3＝2×6×3＝36 种不同的摆法.
30 种. 法二 从 7 名同学中任选 3 名的方法数，再除去所选 3 名同学
3 3 3 全是男生或全是女生的方法数，即 C － C － C 答案 C 7 4 3＝30.
4.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________(用数字 作答).
解析
3 末位数字排法有 A1 ，其他位置排法有 A 2 4种，共有
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.2《组合》课件(2)(新选修2-3)
已知
C
4 n
=
C
6 n
，求
C
9 n+
2
的值.
C9 n+2
=
C
9 12
=
C
3 12
=
220
例2
已知
C
2 n+
3
=
C2 n+1
+
C
2 n
+
C
1 n+
1(n
?
2)
求n的值.
n＝4
例3
计算：C
2 2
+
C
2 3
+
C
2 4
+
L
+
C
2 20
1330
例4 化简下列各式：
(1)
C
m n+
C
m n
1
-
C n- m+1 n C n- m n
+ 1)(n - m ) 2)L 2 ?1
可得什么结论？
C
m n
=
m+1 (n - m )
C
m n
+
1
思考4：由
C
m n
=
n-
m m
+
1 ?n(n - 1)(n - 2)L (n - m + (m - 1)(m - 2)L 2 ?1
2)
可得什么结论？
C
m n
=
n-
m m
+
1C
m n
-
1
理论迁移
例1
=
C
m n
+
高中数学 1.2.1《排列》课件(3) 新人教A版选修2-3
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个 不同元素中取出m个ppt课元件 素的一个排列.
思考8：在同一个排列中是否有相同的元 素？元素相同的两个排列是否相同？两 个排列相同的充要条件是什么？
两个排列的元素完全相同，且元素的排 列顺序也相同.
思考9：从1，2，3三个数字中任取2个相 除所得的商的个数与任取2个相乘所得的 积的个数相等吗？二者有什么区别？
示？这些排列数分别等于多少？
An1 n
An2 n(n 1)
A n 3 n(n 1)(n 2)
A n 4 n ( n1 )( nppt课2 件)( n3 )
An1 n
An2 n(n 1)
A n 3 n(n 1)(n 2)
A n 4 n ( n1 )( n2 )( n3 )
思考5：由归纳推理，一般地，A
m n
的计
算公式是什么？怎样解释其正确性？
A n m n ( n 1 ) ( n 2 )( n m 1 )
ppt课件
思考6：公式
A n m n ( n 1 ) ( n 2 )( n m 1 )
( m，n∈N*，m≤n)叫做排列数公式， 这个公式在结构上有哪些特点？
共有m个因数相乘，最大的一个因数 是n，各因数为连续正整数等.
1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第一课时
ppt课件
问题提出
t
p
1 2
5730
1.分类加法的一般计数原理是什么？
如果完成一件事有n类不同方案，在第
1类方案中有m1种不同的方法，在第2类 方案中有m2种不同的方法，…，在第n 类方案中有mn种不同的方法，那么完成 这件事的方法总数为
N＝m1＋m2＋…＋mn
思考8：在同一个排列中是否有相同的元 素？元素相同的两个排列是否相同？两 个排列相同的充要条件是什么？
两个排列的元素完全相同，且元素的排 列顺序也相同.
思考9：从1，2，3三个数字中任取2个相 除所得的商的个数与任取2个相乘所得的 积的个数相等吗？二者有什么区别？
示？这些排列数分别等于多少？
An1 n
An2 n(n 1)
A n 3 n(n 1)(n 2)
A n 4 n ( n1 )( nppt课2 件)( n3 )
An1 n
An2 n(n 1)
A n 3 n(n 1)(n 2)
A n 4 n ( n1 )( n2 )( n3 )
思考5：由归纳推理，一般地，A
m n
的计
算公式是什么？怎样解释其正确性？
A n m n ( n 1 ) ( n 2 )( n m 1 )
ppt课件
思考6：公式
A n m n ( n 1 ) ( n 2 )( n m 1 )
( m，n∈N*，m≤n)叫做排列数公式， 这个公式在结构上有哪些特点？
共有m个因数相乘，最大的一个因数 是n，各因数为连续正整数等.
1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第一课时
ppt课件
问题提出
t
p
1 2
5730
1.分类加法的一般计数原理是什么？
如果完成一件事有n类不同方案，在第
1类方案中有m1种不同的方法，在第2类 方案中有m2种不同的方法，…，在第n 类方案中有mn种不同的方法，那么完成 这件事的方法总数为
N＝m1＋m2＋…＋mn
高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(组合)ppt课件
P27 习题1.2 10、 11
组合与组合数
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义， 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上，继续学习它们的一些应用
（一）组合数的 公式及其性质：
n! C m!(n m)!
m n
m A n(n 1)(n 2) (n m 1) m n Cn n Am m!
C C
1 9
3 x 2 10
1,或5 , 则x ________
99 100
97 （4 ） 99
（5）求
C C C
98 99
2 9
5050 _______
511
C C C
9 的值 9
例题解读
1 2 3 n 1 1 求证： 1 2! 3! 4! n! n! 证明：因为 n! (n 1)! (n 1) (n 1)!
a
b
c d
c
d
b c d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(6个)
概念讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m m C 个元素的组合数，用符号 表示. n
注意： m
Cn
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素 2 C3 3 的所有组合个数是: 如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 2 两个元素的所有组合个数是： C4 6
练习：
1.有10道试题，从中选答8道，共有 种选法、 又若其中6道必答，共有 不同的种选法.
2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学 参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种 不同的选法？ （1）无任何限制条件； （2）正、副班长必须入选； （3）正、副班长只有一人入选； （4）正、副班长都不入选； （5）正、副班长至少有一人入选； （5）正、副班长至多有一人入选；
组合与组合数
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义， 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上，继续学习它们的一些应用
（一）组合数的 公式及其性质：
n! C m!(n m)!
m n
m A n(n 1)(n 2) (n m 1) m n Cn n Am m!
C C
1 9
3 x 2 10
1,或5 , 则x ________
99 100
97 （4 ） 99
（5）求
C C C
98 99
2 9
5050 _______
511
C C C
9 的值 9
例题解读
1 2 3 n 1 1 求证： 1 2! 3! 4! n! n! 证明：因为 n! (n 1)! (n 1) (n 1)!
a
b
c d
c
d
b c d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(6个)
概念讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m m C 个元素的组合数，用符号 表示. n
注意： m
Cn
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素 2 C3 3 的所有组合个数是: 如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 2 两个元素的所有组合个数是： C4 6
练习：
1.有10道试题，从中选答8道，共有 种选法、 又若其中6道必答，共有 不同的种选法.
2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学 参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种 不同的选法？ （1）无任何限制条件； （2）正、副班长必须入选； （3）正、副班长只有一人入选； （4）正、副班长都不入选； （5）正、副班长至少有一人入选； （5）正、副班长至多有一人入选；
人教A版高中数学选修2-3课件 1.2.2组合(三)课件2
新知导学
有限制条件的排列组合综合问题是主要考查方 向．解决此类问题要遵循“谁特殊谁__优__先__” 的原则，采取分类或分步，或用间接法处理； 对于选排列问题可采用先__选__后__排___的方法， 分配问题的一般思路是先__选__取____再分配．
牛刀小试
1．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至 少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 ()
[点评] 可用建模法解． 8 个名额可视作 8 个 0,6 个厂每厂至少调 1 人可看作将这 8 个 0 分成 6 堆，每堆至少 1 个，故从 7 个空中选 5 个插入 1， 将它们分开，∴有分配方案 C57＝21 种．
建模求解排列组合问题
一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点 O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记 可能的爬行方法总数为 f(m，n)，则 f(m，n)＝_______校为庆祝 2014 年国庆节，安排了一场文艺演 出，其中有 3 个舞蹈节目和 4 个小品节目，按下面要求安排节 目单，有多少种方法：
(1)3 个舞蹈节目互不相邻； (2)3 个舞蹈节目和 4 个小品节目彼此相间．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①题目中涉及3个舞蹈、4个小品共7个节目；
方法二：先安排 3 个舞蹈节目在 2、4、6 位，有 A33种排法； 再安排 4 个小品节目在 1、3、5、7 位，共 A44种排法，故共有 A33·A44＝144(种)排法．
[方法规律总结] 解决排列、组合的综合应用 题时注意以下三点：
(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题， 或者是二者的混合，要按元素的性质分类， 按事件发生的过程分步；(2)深入分析，严密 周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多； (3)对于有限制条件的比较复杂的排列、组合 问题，要通过分析设计出合理的方案，把复 杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分 类加法计数原理或分步乘法计数原理来解 决．
有限制条件的排列组合综合问题是主要考查方 向．解决此类问题要遵循“谁特殊谁__优__先__” 的原则，采取分类或分步，或用间接法处理； 对于选排列问题可采用先__选__后__排___的方法， 分配问题的一般思路是先__选__取____再分配．
牛刀小试
1．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至 少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 ()
[点评] 可用建模法解． 8 个名额可视作 8 个 0,6 个厂每厂至少调 1 人可看作将这 8 个 0 分成 6 堆，每堆至少 1 个，故从 7 个空中选 5 个插入 1， 将它们分开，∴有分配方案 C57＝21 种．
建模求解排列组合问题
一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点 O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记 可能的爬行方法总数为 f(m，n)，则 f(m，n)＝_______校为庆祝 2014 年国庆节，安排了一场文艺演 出，其中有 3 个舞蹈节目和 4 个小品节目，按下面要求安排节 目单，有多少种方法：
(1)3 个舞蹈节目互不相邻； (2)3 个舞蹈节目和 4 个小品节目彼此相间．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①题目中涉及3个舞蹈、4个小品共7个节目；
方法二：先安排 3 个舞蹈节目在 2、4、6 位，有 A33种排法； 再安排 4 个小品节目在 1、3、5、7 位，共 A44种排法，故共有 A33·A44＝144(种)排法．
[方法规律总结] 解决排列、组合的综合应用 题时注意以下三点：
(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题， 或者是二者的混合，要按元素的性质分类， 按事件发生的过程分步；(2)深入分析，严密 周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多； (3)对于有限制条件的比较复杂的排列、组合 问题，要通过分析设计出合理的方案，把复 杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分 类加法计数原理或分步乘法计数原理来解 决．
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.3《排列组合的应用》课时2.pptx
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名 额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板， 可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方
法对应一种分法共有____C__96_____种分法。
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份
C 至成少一一排个 的一班n元-1素个二 班,空可隙以三班中用m，四班-所1块有分隔五班板法，数六班为插入七 班n个mn11元素. 排
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
练习题:
从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，
则不同的选法共有. 34
(7).构造模型策略
共有. 34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最 多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船, 但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.
27
二、间接法（排除法）
（先不考虑限制条件，算出所有的排列数，再从 中减去不符合条件的排列数）
例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数， 使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
例7.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路 灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3 盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法 有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5
个空隙中插入3个不亮的灯有__C___35 __种.
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常 熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装 盒模型等，可使问题直观解决.
法对应一种分法共有____C__96_____种分法。
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份
C 至成少一一排个 的一班n元-1素个二 班,空可隙以三班中用m，四班-所1块有分隔五班板法，数六班为插入七 班n个mn11元素. 排
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
练习题:
从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，
则不同的选法共有. 34
(7).构造模型策略
共有. 34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最 多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船, 但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.
27
二、间接法（排除法）
（先不考虑限制条件，算出所有的排列数，再从 中减去不符合条件的排列数）
例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数， 使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
例7.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路 灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3 盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法 有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5
个空隙中插入3个不亮的灯有__C___35 __种.
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常 熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装 盒模型等，可使问题直观解决.
新人教A版选修2-3高中数学第1章第2节排列组合应用课件
● 【解析】树形图如图．
● 由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA， DABC，DCAB，DCBA．
排列数公式的应用
【例 3】 求解下列问题： (1)计算2AA5888＋－7AA59 48； (2)解方程：A42x＋1＝140A3x. 【解题探究】(1)直接利用排列数公式进行计算；(2)利用排 列数公式将方程转化为关于 x 的代数方程即可求解，进而求方 程的正整数解．
难点：应用排列与排列数公式
【解析】(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横 坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.
(2)因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不 用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题.
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问 题.
列举法解决排列问题 ● 【例2】 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不
●
8
● 确定一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认：首先要保证元 素的无重复性，否则不是排列问题．其次要保证选出的元素的有序性，否 则不是排列问题，而验证它是否有顺序的标准是变换某一个结果中两个元 素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
1.判断下列问题是否是排列问题. (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面 内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少 种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从 另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
● 警示：判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序 有关，若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
● 由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA， DABC，DCAB，DCBA．
排列数公式的应用
【例 3】 求解下列问题： (1)计算2AA5888＋－7AA59 48； (2)解方程：A42x＋1＝140A3x. 【解题探究】(1)直接利用排列数公式进行计算；(2)利用排 列数公式将方程转化为关于 x 的代数方程即可求解，进而求方 程的正整数解．
难点：应用排列与排列数公式
【解析】(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横 坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.
(2)因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不 用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题.
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问 题.
列举法解决排列问题 ● 【例2】 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不
●
8
● 确定一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认：首先要保证元 素的无重复性，否则不是排列问题．其次要保证选出的元素的有序性，否 则不是排列问题，而验证它是否有顺序的标准是变换某一个结果中两个元 素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
1.判断下列问题是否是排列问题. (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面 内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少 种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从 另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
● 警示：判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序 有关，若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.1排列(三) (2)
百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位
0
A 根据加法原理
9 3
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
2 9
A
2
9
A 2A
9
3
2
9
648
解法三：间接法.
逆向思维法
3
2
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为， A10 其中以0为排头的排列数为.A9
3
2
•
∴所求的三位数的个数是
A A 10 9 8 9 8 648.
例2：(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每 人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有5种不同的书，买3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
•
例3：某信号兵用红，黄，蓝3面旗从上到下挂在竖 直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表 示多少种不同的信号？
有约束条件的排列问题
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？ 万位 千位 百位 十位 个位
解法二：（逆向思维法）由1、 2、 3、 4、 5组成无重复
5 1 4 数字的5位数有A5 个，减去其中奇数的个数A3 A4 个，再 1 3 减去偶数中大于50000的数A2 A3 个，符合题意的偶数 5 1 4 1 3 共有：A5 A3 A4 A2 A3 36个
对于不相邻问题，常用“插空法” （4）三个女生两两都不相邻； （5）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；
• （6）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？
小结： 1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
0
A 根据加法原理
9 3
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
2 9
A
2
9
A 2A
9
3
2
9
648
解法三：间接法.
逆向思维法
3
2
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为， A10 其中以0为排头的排列数为.A9
3
2
•
∴所求的三位数的个数是
A A 10 9 8 9 8 648.
例2：(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每 人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有5种不同的书，买3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
•
例3：某信号兵用红，黄，蓝3面旗从上到下挂在竖 直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表 示多少种不同的信号？
有约束条件的排列问题
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？ 万位 千位 百位 十位 个位
解法二：（逆向思维法）由1、 2、 3、 4、 5组成无重复
5 1 4 数字的5位数有A5 个，减去其中奇数的个数A3 A4 个，再 1 3 减去偶数中大于50000的数A2 A3 个，符合题意的偶数 5 1 4 1 3 共有：A5 A3 A4 A2 A3 36个
对于不相邻问题，常用“插空法” （4）三个女生两两都不相邻； （5）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；
• （6）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？
小结： 1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
2011山东临清三中数学选修2-3课件：二项分布及其分布列(新人教A版选修2-3)共18页
P2 =3p2(1- p) P3 = p 3
思考6：在上述投掷图钉的试验中，设恰 好出现k(k＝0，1，2，3)次针尖向上的 概率为Pk，则Pk的一般表达式是什么？
P k=C3 kpk(1- p)3-k，k＝0，1，2，3.
思考7：假设在投掷图钉的试验中，每次 抛掷针尖向上的概率都是0.7，则连续抛 掷10次恰有6次针尖向上的概率如何计算？
思考3：一般地，在相同条件下重复做的 n次试验称为n次独立重复试验.那么在n 次独立重复试验中，每次试验的结果具 有什么特点？
不受其它试验结果的影响，具有相同结 果的随机事件彼此相互独立.
思考4：投掷一枚图钉，设针尖向上的概
率为p，连续投掷3次，则仅出现1次针尖
向上有哪几种情形？如何计算仅出现1次 针尖向上的概率？
问题提出
t
p
1 2
5730
1.事件A与事件B相互独立的充要条 件是什么？
事件A与B相互独立 Û P(AB)＝P(A)P(B)
2.若事件A1，A2，…，An两两之间相 互独立，则P(A1A2…An)等于什么？
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)
3.在研究随机现象时，经常要在相 同条件下重复做大量试验来发现规律， 在大量重复试验中，如何计算随机事件 发生的概率，又成为一个新的研究课题， 对此，我们又需要建立相应的理论来进 行分析与阐述.
0.37
小结作业
1.在独立重复试验中，若每次试验结 果只有事件A发生或不发生两种可能， 则事件A发生的次数服从二项分布；若 每次试验结果有多种可能，则可以根据 需要适当设定事件A，将其转化为二项 分布.
2.二项分布B(n，p)中有两个参数，其 中n是独立重复试验的总次数，p是每次 试验事件A发生的概率，书写时n在左
思考6：在上述投掷图钉的试验中，设恰 好出现k(k＝0，1，2，3)次针尖向上的 概率为Pk，则Pk的一般表达式是什么？
P k=C3 kpk(1- p)3-k，k＝0，1，2，3.
思考7：假设在投掷图钉的试验中，每次 抛掷针尖向上的概率都是0.7，则连续抛 掷10次恰有6次针尖向上的概率如何计算？
思考3：一般地，在相同条件下重复做的 n次试验称为n次独立重复试验.那么在n 次独立重复试验中，每次试验的结果具 有什么特点？
不受其它试验结果的影响，具有相同结 果的随机事件彼此相互独立.
思考4：投掷一枚图钉，设针尖向上的概
率为p，连续投掷3次，则仅出现1次针尖
向上有哪几种情形？如何计算仅出现1次 针尖向上的概率？
问题提出
t
p
1 2
5730
1.事件A与事件B相互独立的充要条 件是什么？
事件A与B相互独立 Û P(AB)＝P(A)P(B)
2.若事件A1，A2，…，An两两之间相 互独立，则P(A1A2…An)等于什么？
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)
3.在研究随机现象时，经常要在相 同条件下重复做大量试验来发现规律， 在大量重复试验中，如何计算随机事件 发生的概率，又成为一个新的研究课题， 对此，我们又需要建立相应的理论来进 行分析与阐述.
0.37
小结作业
1.在独立重复试验中，若每次试验结 果只有事件A发生或不发生两种可能， 则事件A发生的次数服从二项分布；若 每次试验结果有多种可能，则可以根据 需要适当设定事件A，将其转化为二项 分布.
2.二项分布B(n，p)中有两个参数，其 中n是独立重复试验的总次数，p是每次 试验事件A发生的概率，书写时n在左
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《排列组合综合应用》 第二课时
临清市第二中学 董树彦
1
题型1 直接法解排列、组合综合应用题
1. 已知10件不同产品中共有4件次品，现对它们进行一一测试，直至 找到所有次品为止.
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件 次品的不同测试方法数是多少?
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法 数是多少?
• 由分类计数原理，共
• 种.
A44 C21 A31 A43 (C42 A33 C21C21 A42 )
=252
6
题型2 排列、组合中的分组问题
• 3.6项不同的工程，分别给甲、乙、丙 三个公司. • (1)如果甲承包一项、乙承包二项、丙承 包三项，有多少种承包方式? • (2)如果一个公司承包一项，另一个公司 承包两项，剩下的一个公司承包三项，有多 少种承包方式? • (3)如果每个公司均承包两项，有多少种 承包方式?
13
• 解：(1)有且只有三个人的编号与座
位 人号的一编致号的与坐座法位有号一C53致的种坐，法有有且1只种有. 五个
• 因为五个人任意坐在五个位置上的坐
法有 A55
•A55 - C53
种，所以符合要求的坐法共有
-1 =109(种).
14
• (2)从A、B中各取一个数作为点的坐
标，有C51C51 A22 个.
4
•
从6名短跑运动员中选4人参
加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，
乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?
• 解：问题分成三类：(1)甲、乙两人均不
参• 加(，2)有甲A、44乙种两；人有且仅有一人参加，
• •
有
种；
C21 A31 A43
5
• (3)甲、乙两人均参加，其中甲跑
• 第四棒有C42 A33 种，甲跑第二棒或 • 第三棒有C21C21 A42 种，
2
• 解：(1)先排前4次测试，只能取正品，
• 有 A64 种不同测试方法，再从4件次品中选2
• 件排在第5和第10的位置上测试，
• 有C42 A22 A42 种测法，再排余下4件的测试
• 位置，有A44 种测法.
• 所以共有不同的测试
• 方法 A64 A42 A44 =103680种.
• (2)第5次测试恰找到最后一件次品，另3件
1球• 的放个由入数分四分步个成计盒三数子组原中，理的有，三共个有，CC4有2种42分·A4法3A放43；=法1再.44将(种三)组.
16
• (2)分两类：①将四个小球按3，1的个数 分成两组，再将这两组球放入四个盒子中的 两个，有C43·A42 种放法；②将四个小球平均 分成两组，再将这两组球放入四个盒子中的 两• 个由，分有12类C42计 A数42 原理种，放共法有.
7
• 解：(1)从6项工程中选一项给甲有C61 种，
• 从余下的5项中选两项给乙有C52 种，
• 最后的3项给丙有C33 种，由分步计数原理
• 共有 C61C52C33 =60种.
• • • • •
(种 种 (解23))，，法将 解而故26法：项将有C1工：62三CCC3程4!662组12CCC依2分25422·CC条A给323323件A甲==33分99、00=为种乙种36三.、.0组种丙共.三有公C司61C有52CA3333 8
•
共C62C42C21·AA22 A44 22
种分法.
• 所以符合条件的分配方法有
• •
解C63法A424 ： C先62C取42C学21·校AA22，A44 22后取=人1.560种.
• 1，1，1，3：取一个位子放3个人，有C41
11
• 种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1
• 人的取法有C63C31C21C11 种，
• 其中A、B中所取元素相同时，重复4
个；从A、B中所取元素是4、5、6、7中
的两个数时，重复
• 所以共有C51C51
A42
A22
个.
-4-
A42
Байду номын сангаас
=34(个).
15
• 2.四个不同的小球放入四个不同的盒子里， 求在下列条件下各有多少种不同的放法? • (1)恰有一个盒子里放2个球； • (2)恰有两个盒子不放球. • 解：(1)分两步：首先将四个小球按2，1，
• 解法1：先取人，后取学校.
•与所• 剩 以1余共，有31人C，分631A到，4443所：种学6分人校法中去；先有取A344人种有不C63同种分取法法，，
10
• 1，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、
• •
1学人校的去取，法有有ACA 2262A 4C4 2422C21种种不，同然的后分分法到，4所
• 点评：对分组或分配问题，先分清 是“有序”还是“无序”，然后分清是 “均匀”还是“不均匀”分组.如本题中 第(1)问就是“有序不均匀”分组问题， 第(2)问是“无序不均匀”分组；第(3)问 是“无序均匀”分组.注意它们的区别与 联系，掌握正确的处理方法.
9
•
6名运动员分到4所学校去做教
练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法?
• •
所 1，以1共，有2，C241C：63C先31C取212C个11 位种子；放2人(其余2个
• • •
位 人 共子，有放2人1，人1)有人C，421种人取种的法.取，法6有人C中62C分42C别21C取11 2 种，
• 所以C符42合C62条C件42C的21C分11 配方法有
•
C41C63C31C21 C42C62C42C21
• 在前4次中出现，从而前4次有1件正品出现.
•
所以共有不同测试方法 C61C43 A44
=576种. 3
• 点评：解决排列组合综合问题，应遵循三 大原则，掌握基本类型，突出转化思想.三大原 则是：先特殊后一般、先取后排、先分类后分 步的原则.基本类型主要包括：排列中的“在与 不在”、组合中的“有与没有”，还有“相邻 与不相邻”“至少与至多”“分配与分组”等. 转化思想就是把一些排列组合问题与基本类型 相联系，从而把问题转化为基本类型，然后加 以解决.
=1560种.
12
参考题
题型 3 间接法解排列、组合综合应用题
• 1. (1)编号为1，2，3，4，5的五个人分别 坐在编号为1，2，3，4，5的五个座位上，求 至多有两个人的编号与座位号一致的坐法种数. • (2)设集合A={3，4，5，6，7}，B={4，5， 6，7，8}，从A、B中各取一个数作为点的坐标， 求一共可得到多少个不同的坐标?
临清市第二中学 董树彦
1
题型1 直接法解排列、组合综合应用题
1. 已知10件不同产品中共有4件次品，现对它们进行一一测试，直至 找到所有次品为止.
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件 次品的不同测试方法数是多少?
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法 数是多少?
• 由分类计数原理，共
• 种.
A44 C21 A31 A43 (C42 A33 C21C21 A42 )
=252
6
题型2 排列、组合中的分组问题
• 3.6项不同的工程，分别给甲、乙、丙 三个公司. • (1)如果甲承包一项、乙承包二项、丙承 包三项，有多少种承包方式? • (2)如果一个公司承包一项，另一个公司 承包两项，剩下的一个公司承包三项，有多 少种承包方式? • (3)如果每个公司均承包两项，有多少种 承包方式?
13
• 解：(1)有且只有三个人的编号与座
位 人号的一编致号的与坐座法位有号一C53致的种坐，法有有且1只种有. 五个
• 因为五个人任意坐在五个位置上的坐
法有 A55
•A55 - C53
种，所以符合要求的坐法共有
-1 =109(种).
14
• (2)从A、B中各取一个数作为点的坐
标，有C51C51 A22 个.
4
•
从6名短跑运动员中选4人参
加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，
乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?
• 解：问题分成三类：(1)甲、乙两人均不
参• 加(，2)有甲A、44乙种两；人有且仅有一人参加，
• •
有
种；
C21 A31 A43
5
• (3)甲、乙两人均参加，其中甲跑
• 第四棒有C42 A33 种，甲跑第二棒或 • 第三棒有C21C21 A42 种，
2
• 解：(1)先排前4次测试，只能取正品，
• 有 A64 种不同测试方法，再从4件次品中选2
• 件排在第5和第10的位置上测试，
• 有C42 A22 A42 种测法，再排余下4件的测试
• 位置，有A44 种测法.
• 所以共有不同的测试
• 方法 A64 A42 A44 =103680种.
• (2)第5次测试恰找到最后一件次品，另3件
1球• 的放个由入数分四分步个成计盒三数子组原中，理的有，三共个有，CC4有2种42分·A4法3A放43；=法1再.44将(种三)组.
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• (2)分两类：①将四个小球按3，1的个数 分成两组，再将这两组球放入四个盒子中的 两个，有C43·A42 种放法；②将四个小球平均 分成两组，再将这两组球放入四个盒子中的 两• 个由，分有12类C42计 A数42 原理种，放共法有.
7
• 解：(1)从6项工程中选一项给甲有C61 种，
• 从余下的5项中选两项给乙有C52 种，
• 最后的3项给丙有C33 种，由分步计数原理
• 共有 C61C52C33 =60种.
• • • • •
(种 种 (解23))，，法将 解而故26法：项将有C1工：62三CCC3程4!662组12CCC依2分25422·CC条A给323323件A甲==33分99、00=为种乙种36三.、.0组种丙共.三有公C司61C有52CA3333 8
•
共C62C42C21·AA22 A44 22
种分法.
• 所以符合条件的分配方法有
• •
解C63法A424 ： C先62C取42C学21·校AA22，A44 22后取=人1.560种.
• 1，1，1，3：取一个位子放3个人，有C41
11
• 种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1
• 人的取法有C63C31C21C11 种，
• 其中A、B中所取元素相同时，重复4
个；从A、B中所取元素是4、5、6、7中
的两个数时，重复
• 所以共有C51C51
A42
A22
个.
-4-
A42
Байду номын сангаас
=34(个).
15
• 2.四个不同的小球放入四个不同的盒子里， 求在下列条件下各有多少种不同的放法? • (1)恰有一个盒子里放2个球； • (2)恰有两个盒子不放球. • 解：(1)分两步：首先将四个小球按2，1，
• 解法1：先取人，后取学校.
•与所• 剩 以1余共，有31人C，分631A到，4443所：种学6分人校法中去；先有取A344人种有不C63同种分取法法，，
10
• 1，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、
• •
1学人校的去取，法有有ACA 2262A 4C4 2422C21种种不，同然的后分分法到，4所
• 点评：对分组或分配问题，先分清 是“有序”还是“无序”，然后分清是 “均匀”还是“不均匀”分组.如本题中 第(1)问就是“有序不均匀”分组问题， 第(2)问是“无序不均匀”分组；第(3)问 是“无序均匀”分组.注意它们的区别与 联系，掌握正确的处理方法.
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•
6名运动员分到4所学校去做教
练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法?
• •
所 1，以1共，有2，C241C：63C先31C取212C个11 位种子；放2人(其余2个
• • •
位 人 共子，有放2人1，人1)有人C，421种人取种的法.取，法6有人C中62C分42C别21C取11 2 种，
• 所以C符42合C62条C件42C的21C分11 配方法有
•
C41C63C31C21 C42C62C42C21
• 在前4次中出现，从而前4次有1件正品出现.
•
所以共有不同测试方法 C61C43 A44
=576种. 3
• 点评：解决排列组合综合问题，应遵循三 大原则，掌握基本类型，突出转化思想.三大原 则是：先特殊后一般、先取后排、先分类后分 步的原则.基本类型主要包括：排列中的“在与 不在”、组合中的“有与没有”，还有“相邻 与不相邻”“至少与至多”“分配与分组”等. 转化思想就是把一些排列组合问题与基本类型 相联系，从而把问题转化为基本类型，然后加 以解决.
=1560种.
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参考题
题型 3 间接法解排列、组合综合应用题
• 1. (1)编号为1，2，3，4，5的五个人分别 坐在编号为1，2，3，4，5的五个座位上，求 至多有两个人的编号与座位号一致的坐法种数. • (2)设集合A={3，4，5，6，7}，B={4，5， 6，7，8}，从A、B中各取一个数作为点的坐标， 求一共可得到多少个不同的坐标?