2019届北师大版(文科数学) 函数的图象 单元测试
2019北师大版高一数学第三章指数函数和对数函数单元测试题带答案语文
北师大版高一数学第三章指数函数和对数函数单元测试题（带答案）单元测试是帮助大家进行查缺补漏的最好办法，以下是第三章指数函数和对数函数单元测试题，请大家参考。
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知x，y为正实数，则()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx2lgyC.2lgxlgy=2lgx+2lgyD.2lg(xy)=2lgx2lgy解析取特殊值即可.如取x=10，y=1,2lgx+lgy=2,2lg(xy)=2,2lgx+2lgy=3,2lg(x+y)=2lg1 1,2lgxlgy=1.答案D2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，a1)的反函数且f(2)=1，则f(x)=()A.12xB.2x-2C.log12 xD.log2x解析由题意知f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，a=2，f(x)=log2x.答案D3.已知f(x)=log3x，则函数y=f(x+1)在区间[2,8]上的最大值与最小值分别为()页 1 第A.2与1B.3与1C.9与3D.8与3解析由f(x)=log3x，知f(x+1)=log3(x+1)，又28，39.故1log3(x+1)2.答案A4.下列说法正确的是()A.log0.56log0.54B.90.9270.48C.2.50122.5D.0.60.5log0.60.5解析∵90.9=32.7,270.48=31.44，又y=3x在(-，+)上单调递增，32.731.44.答案B5.设函数f(x)=logax(a0，a1).若f(x1x2x2019)=8，则f(x21)+f(x22)++f(x22019)的值等于()A.4B.8C.16D.2loga8解析f(x21)+f(x22)++f(x22019)=logax21+logax22++logax22019=loga(x1x2x2019)2=2loga(x1x2x2019)=28=16.答案C6.(log43+log83)(log32+log98)等于()页 2 第A.56B.2512C.94D.以上都不对解析(log43+log83)(log32+log98)=12log23+13log23log32+32log32=2512.答案B7.若f(x)=log2x的值域为[-1,1]，则函数f(x)的定义域为()A.12，1B.[1,2]C.12，2D.22，2解析由-1log2x1，得122.答案C8.函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y=ex关于y轴对称，则f(x)=()A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-1解析与曲线y=ex关于y轴对称的曲线为y=e-x，函数y=e-x的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图像，即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.答案D9.若f(x)=2x+2-xlga是奇函数，则实数a=()A.13B.14页 3 第C.12D.110解析∵f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)=0，20+20lg a=0，lg a=-1，a=110.答案D10.某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4 万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是() A.y=0.2x B.y=110(x2+2x)C.y=2x10D.y=0.2+log16x解析逐个检验.答案C二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分.将答案填在题中横线上.)11.函数y=ax-2+1(a0，且a1)的图像必经过点________. 答案(2,2)12.函数y=lg4-xx-3的定义域是________.解析由4-x0，x-30，得x4，x3，定义域为{x|x3或3答案{x|x3或313.函数f(x)=x2+12 x0，ex-1 x0，若f(1)+f(a)=2，则a=________.页 4 第答案1或-2214.y=log0.3(x2-2x)的单调减区间为________.解析写单调区间注意函数的定义域.答案(2，+)15.若函数f(x)=ax，x1，4-a2x+2，x1为R上的增函数，则实数a的取值范围是________.解析由题意得a1，4-a20，a4-a2+2，得48.答案[4,8)三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(12分)计算下列各式(1)(lg2)2+lg2lg50+lg25;(2)2790.5+21027 13 -2(3)(lg5)2+lg2lg5+lg20-4-426125+21+ 12 log25.解(1)(lg2)2+lg2lg50+lg25=(lg2)2+lg2(lg2+2lg5)+2lg5=2(lg2)2+2lg2lg5+2lg5=2lg2(lg2+lg5)+2lg5=2.(2)原式=259 12 +6427 13 -2=53+43-2=3-2=1.(3)原式=lg5(lg5+lg2)+lg20-25+25=lg5+lg2+1=2.页 5 第17.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)，g(x)=loga(1-x)，其中a0，a1，设h(x)=f(x)-g(x).(1)判断h(x)的奇偶性，并说明理由;(2)若f(3)=2，求使h(x)0成立的x的集合.解(1)依题意，得1+x0，1-x0，解得-1函数h(x)的定义域为(-1,1).∵对任意的x(-1,1)，-x(-1,1)，h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=g(x)-f(x)=-h(x)，h(x)是奇函数.(2)由f(3)=2，得a=2.此时h(x)=log2(1+x)-log2(1-x)，由h(x)0，即log2(1+x)-log2(1-x)0，得log2(1+x)log2(1-x).则1+x0，解得0故使h(x)0成立的x的集合是{x|018.(12分)已知0解由题意得16a2，6a22-22+30，得a112，a124，得124故a的取值范围是12419.(12分)已知f(x)=loglog14xx2-log14 x+5，A={x|2x2-6x+81}，当xA时，求f(x)的最值.页 6 第解由2x2-6x+81由二次函数y=x2-6x+8的图像可知24.设log14 x=t，∵24，-1log14 x-12，即-1-12.f(x)=t2-t+5对称轴为t=12，f(x)=t2-t+5在-1，-12单调递减，故f(x)max=1+1+5=7，f(x)min=-122+12+5=234.综上得f(x)的最小值为234，最大值为7.20.(13分)已知函数f(x)=ax+k(a0，且a1)的图像过(-1,1)点，其反函数f-1(x)的图像过点(8,2).(1)求a，k的值;(2)若将其反函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数y=g(x)的图像，写出y=g(x)的解析式;(3)若g(x)3m-1在[2，+)恒成立，求实数m的取值范围. 解(1)由题意得a-1+k=1，a2+k=8. 解得a=2，k=1. (2)由(1)知f(x)=2x+1，得f-1(x)=log2x-1，将f-1(x)的图像向左平移2个单位，得到y=log2(x+2)-1，再向上平移到1个单位，得到y=g(x)=log2(x+2).(3)由g(x)3m-1在[2，+)恒成立，页 7 第只需g(x)min3m-1即可.而g(x)min=log2(2+2)=2，即23m-1，得m1.21.(14分)有时可用函数f(x)=0.1+15lnaa-xx6，x-4.4x-4x6.)描述学习某科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(xN+)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.(1)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(100,106]，(106,112]，(112,123]，当学习某学科知识4次时，掌握程度为70%，请确定相应的学科;(2)证明：当x7时，掌握程度的增大量f(x+1)-f(x)总是下降.(参考数据e0.04=1.04)解(1)由题意可知0.1+15lnaa-4=0.70，整理得aa-4=e0.04，得a=104(100,106]，由此可知，该学科是甲学科.(2)证明：当x7时，f(x+1)-f(x)=0.4x-3x-4，而当x7时，函数y=(x-3)(x-4)单调递增;且(x-3)(x-4)0.故f(x+1)-f(x)单调递减，当x7时，掌握程度的增大量f(x+1)-f(x)总是下降.第三章指数函数和对数函数单元测试题就为大家分享到这里，希望对大家有帮助。
2019-2020学年高中数学北师大版必修1练习：2.4.1 二次函数的图像 Word版含解析
4.1二次函数的图像课后篇巩固提升1.将函数y=x2-2x的图像向右平移2个单位,再向下平移1个单位后所得图像的解析式为()A.y=(x+1)2-2B.y=(x-3)2C.y=(x-3)2-2D.y=(x-3)2+2解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1的图像函数y=(x-3)2-1的图像函数y=(x-3)2-2的图像.故选C.答案:C2.已知二次函数y=x2+bx+c图像的顶点是(-1,-3),则b与c的值是()A.b=2,c=2B.b=2,c=-2C.b=-2,c=2D.b=-2,c=-2解析:顶点横坐标x=-=-1,得b=2.纵坐标y=-=-3,得c=-2.答案:B3.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则点M(a,bc)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题图可知a>0,->0,c<0,∴b<0,∴bc>0.故点M(a,bc)在第一象限.答案:A4.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图像是()解析:若a>0,则y=ax+c为增函数,y=ax2+bx+c的图像开口向上,故排除A;若a<0,则排除C;若c>0,可知B中图像相矛盾;D中图像相吻合.综上知,D中图像是正确的.答案:D5.导学号85104037二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:由图像可得,当x=1时,y=a+b+c<0,当x=-1时,y=a-b+c>0.∵-=-1,∴b=2a.由b=2a可知,a,b同号,∴ab>0.又∵f(0)=c>0,∴abc>0.答案:A6.函数y=x2,y=x2,y=2x2的图像大致如右图所示,则图中从里向外的三条抛物线对应的函数依次是.解析:根据“二次项的系数的绝对值越大,抛物线开口越小,抛物线就越接近y轴;二次项系数的绝对值越小,抛物线的开口就越大,抛物线就越远离y轴”这一规律来判定,易知对应的函数由里向外依次是y=2x2,y=x2,y=x2.答案:y=2x2,y=x2,y=x27.已知二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图像全部在x轴上方,则m的取值范围是.解析:要使函数图像全部在x轴上方,则m需满足-解不等式组得m>.答案:m>8.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R),若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),则f(-8)=.解析:因为f(-1)=0,所以a-b+1=0.因为f(x)的值域为[0,+∞),所以-所以b2-4(b-1)=0.解得b=2,a=1.所以f(x)=(x+1)2,所以f(-8)=(-8+1)2=49.答案:499.已知二次函数的图像如图,求其解析式及顶点M的坐标.解:设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).由图像过点A(-1,0),B(-3,0),C(0,-3),得---解得---所以二次函数的解析式为y=-x2-4x-3,其顶点为M(-2,1).10.导学号85104038(拓展探究)抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.(1)求出抛物线的解析式;(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标;(3)画出草图;(4)观察图像,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把(2,-3)代入,得-3=a(2+1)(2-3),∴a=1.∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4.由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).(3)抛物线的草图如图所示.(4)由图像可知,当x∈(-1,3)时,函数值y小于零;当x∈(-∞,1]时,y随x的增大而减小.。
2019秋新版高中数学北师大版必修1习题：第二章函数 2.4.1 Word版含解析.docx
§4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像课时过关·能力提升1已知二次函数f(x)的图像与x轴交于A(-1,0),B(1,0)两点,并经过点M(0,1),则f(x)的解析式为()A.f(x)=x2-1B.f(x)=-x2+1C.f(x)=x2+1D.f(x)=-x2-1答案:B2如何平移二次函数y=2x2的图像可得到二次函数y=2(x-4)2-1的图像()A.向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度解析:要得到y=2(x-4)2-1的图像,只需将y=2x2的图像向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度.答案:D3二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,有下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:由题图可得f(1)=a+b+c<0;f(-1)=a-b+c>0;∵-=-1,∴b=2a;∵由b=2a可知,a,b同号,∴ab>0,又f(0)=c>0,∴abc>0.答案:A4设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列图像中的一个,则a的值为()A.1B.-1C.--D.-解析:从左数,由第一个图像与第二个图像,知函数图像与x轴的两个交点为对称点,则两根之和为0.又已知x1+x2=-≠0,故可排除.由第三个图像与第四个图像,知一个根为0,另一个根为正数,即x1+x2=->0,又b>0,故a<0,图像开口向下,应为第三个图像.由图像过原点(0,0),得a2-1=0,解得a=-1,或a=1(舍去).答案:B5二次函数y=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么()A.f(2)>f(3)B.f(2)<f(3)C.f(2)=f(3)D.f(2)与f(3)的大小关系不能确定解析:由已知f(4)=f(1)可得,该函数的对称轴为x=,根据二次函数的对称性可得f(2)=f(3).答案:C6函数y=x2-|x|-12的图像与x轴两个交点间的距离为()A.1B.6C.7D.8解析:由y=x2-|x|-12=0,得|x|=4,∴x=±4,∴两交点间的距离为8.答案:D7将函数y=x2+m的图像向下平移2个单位长度,得函数y=x2-1的图像,则实数m=.解析:将y=x2-1的图像向上平移2个单位长度,得函数y=x2+1的图像,则m=1.答案:18将二次函数y=-2x2的顶点移到点(-3,2)后,得到的函数的解析式为.解析:∵二次函数y=-2x2的顶点为(0,0),∴要将其顶点移到(-3,2),只要把图像向左平移3个单位长度,向上平移2个单位长度即可,∴平移后的函数解析式为y=-2(x+3)2+2.答案:y=-2(x+3)2+29当m在区间上时,函数f(x)=(m-2)x2-3-2m的图像总在x轴下方.解析:①当m-2=0,即m=2时,f(x)=-7,符合题意.②当m-2≠0时,f(x)为二次函数.方法一:函数f(x)=(m-2)x2-3-2m的图像总在x轴下方,则函数图像开口向下,且最高点(顶点)在x轴下方,有---解得-<m<2.综合①②知m∈-.方法二:函数f(x)=(m-2)x2-3-2m的图像总在x轴下方,则函数图像开口向下,且图像与x轴无交点,有-----解得-<m<2,综合①②知m∈-.答案:-10已知二次函数f(x)在x=4时取最小值-3,且它的图像与x轴的两个交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式.分析:因为二次函数f(x)在x=4时取最小值-3,所以顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上.由于图像与x 轴的两个交点间的距离为6,根据图像的对称性就可以得到图像与x轴的两个交点的坐标是(1,0)与(7,0),如图.解:方法一:设二次函数f(x)的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由已知条件,可得其图像的顶点为(4,-3),且过(1,0)与(7,0)两点,将三个点的坐标代入,得-解得-故所求二次函数的解析式为f(x)=x2-x+.方法二:∵由已知可得,这个函数的图像与x轴的两个交点的坐标是(1,0)与(7,0),∴设这个函数的解析式为f(x)=a(x-1)·(x-7)(a≠0),把顶点(4,-3)的坐标代入,得-3=a(4-1)(4-7),解得a=.∴这个二次函数的解析式为f(x)=(x-1)·(x-7),即f(x)=x2-x+.方法三:∵由已知条件得,这个函数图像的顶点坐标为(4,-3),且过点(1,0),∴设二次函数的解析式为f(x)=a(x-4)2-3(a≠0).将点(1,0)的坐标代入,得0=a(1-4)2-3,解得a=.∴二次函数的解析式为f(x)=(x-4)2-3,即f(x)=x2-x+.11已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数.(1)求证:无论m取何实数,这个二次函数的图像与x轴必有两个交点;(2)设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式.(1)证明:与这个二次函数对应的一元二次方程是x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0.∵Δ=4(m-1)2-4(m2-2m-3)=4m2-8m+4-4m2+8m+12=16>0,∴方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0必有两个不相等的实数根,∴无论m取何实数,这个二次函数的图像与x轴必有两个交点.(2)解:由题意可知,x1,x2是方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0的两个不同的实数根,∴x1+x2=2(m-1),x1·x2=m2-2m-3.∵,即,∴---, ①解得m=0或m=5,经检验m=0,m=5都是方程①的解.∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3或y=x2-8x+12.。
2019届北师大版(文科数学) 坐标系与参数方程 单元测试
数学专题卷专题十七 坐标系与参数方程考点54：极坐标与直角坐标（1-6题，13,14题，17-19题） 考点55：参数方程（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题1.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,若2,3A π⎛⎫= ⎪⎝⎭,2,3B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则AB = ( ) , ,k ]A. 2B. 4C.D. 2.下列极坐标方程中,对应的曲线为下图的是( )A.65cos ρθ=+B.65sin ρθ=+C.65cos ρθ=-D.65sin ρθ=-3.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为( ) A. 220x y +=或1y = B. 1x =C. 220x y +=或1x = D. 1y = ]4.在极坐标系中,关于曲线C :4sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的下列判断中正确的是( ) A.曲线C 关于直线56πθ=对称 B.曲线C 关于直线3πθ=对称C.曲线C 关于点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.曲线C 关于极点()0,0对称5.在极坐标系中,两条曲线1:sin()14C πρθ+=,2:C ρ=,?A B ,则AB = ( ) A. 4B. C. 2 D. 16.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程是2cos {2sin x y θθ== (θ为参数),以射线Ox 为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程是cos sin 0ρθρθ-=,则直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长为( )A.B.C.D.7.直线{2x t y at a==+ (t 为参数)与曲线1ρ=的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不确定 8.在极坐标系中, A 为直线3cos 4sin 130ρθρθ++=上的动点, B 为曲线2cos 0ρθ+=上的动点,则AB 的最小值为( )A. 1B. 2C.115 D. 39.曲线的参数方程为 2232{1x t y t =+=- (t 是参数),则曲线是( )A.线段B.双曲线的一支C.圆D.射线10.若直线31,5:42,5x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ (t 为参数)的倾斜角为α,则( )A. 3sin 5α=B. 3tan 4α=C. 4tan 3α=D. tan 2α=-11.直线l的参数方程是{x y ==+ (其中t 为参数),圆C 的极坐标方程2cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是( ) A.B. 2C.D.12.已知实数,x y 满足2244x y +≤,则243x y x y +-+--的最大值为( ) A.6 B.12 C.13 D.14 二、填空题13.直线1cos :1sin x t αl y t α=-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)与圆24cos :14sin x θC y θ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)相交所得的最短弦长为14.已知曲C 的极坐标方程2sin ρθ=,设直线L 的参数方程325{45x t y t=-+=,(t 为参数),设直线L 与x 轴的交点,M N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值 .15.方程sin cos {1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数)所表示曲线的准线方程是 .16.直线y x b =+与曲线cos {sin x y θθ== (θ为参数,且22ππθ-≤≤)有两个不同的交点,则实数b 的取值范围 . 三、解答题17.已知半圆C 的参数方程为cos {1sin x y αα==+,其中α为参数,且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 1.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求半圆C 的极坐标方程;2.在1的条件下,设T 是半圆C 上的一点,且OT =,试写出点T 的极坐标.18.已知在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程是2cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程是2cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数),点(2,2)P .1.将曲线C 的方程化为普通方程,并指出曲线C 是哪一种曲线;2.直线l 与曲线C 交于点,A B ,当||||PA PB +=时,求直线l 的斜率.19.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.1. M 为曲线1C 的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;2.设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值.20.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为3cos ,{sin ,x y θθ== (θ为参数),直线l 的参数方程为4,{1,x a t y t =+=- (t 为参数).1.若 1a =-,求 C 与l 的交点坐标;2.若 C 上的点到l,求a .21.在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C :()2sin 2cos 0?a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为:2,{4.x y =-+=-+ (t 为参数),直线l 与曲线C 分别交于M ,N 两点. 1.写出曲线C 和直线l 的普通方程;2.若 PM , MN ,PN 成等比数列,求a 的值. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为{2sin x y αα==,其中α为参数,在以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭,直线l 的极坐标方程为sin 04p θπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭1.求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程2.若Q 是曲线C 上的动点, M 为线段P Q 、的中点,求点M 到直线l 的距离的最大值 学 ]参考答案一、选择题 1.答案：C 解析： 2.答案：D 解析：依次取30,,,22ππθπ=,结合图形可知只有65sin ρθ=-满足,选D. 考点:极坐标系 3.答案：C | |k ]解析：()2cos cos 10ρθρρρθ-=-=0=或1x =.选C.4.答案：A解析：由4sin 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭得22sin cos ρρθθ=-,即(()2214x y +-=,所以曲线C 是圆心为(),半径为2的圆, 所以曲线C 关于直线56πθ=对称,关于点52,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称;故选A. 考点:1.极坐标方程化为直角坐标方程;2.圆的性质;3.转化与化归思想. 5.答案：C 解析： 6.答案：C 解析： 7.答案：D解析：在平面直角坐标系下, {2x t y at a==+表示直线2y ax a =+,1ρ=表示半圆221(0)x y y +=≥,由于a 的取值不确定,所以直线与半圆的位置关系不确定,选D. 8.答案：A 解析： 9.答案：D 解析： 10.答案：C 解析： 11.答案：D解析：将圆的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程221x y ⎛⎛++= ⎝⎝和0x y -+=,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离5?d =,要使切线长最小,必须直线l 上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心到直线的距离d ,求出d ,由勾股定理可求切线长的最小值. 考点:参数方程;极坐标方程. 12.答案：B解析：实数,x y 满足的区域为椭圆2214x y +=及其内部,椭圆的参数方程为2cos {sin x y θθ==(θ为参数),记目标函数243z x y x y =+-+--,易知240x y +-≤,30x y --≥,故()243723z x y x y x y =-+-+--=--.设椭圆上的点()2cos ,sin P θθ,则()74cos 3sin 75sin z θθθϕ=--=-+,其中4tan 3ϕ=,所以z 的最大值为12,故选B. 二、填空题13.答案： 解析：14.答案：1 解析： 15.答案：14y =-解析：利用同角三角函数的基本关系,消去参数θ,参数方程sin cos {1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数)化为普通方程可得()202x y y =≤≤,表示抛物线的一部分,故其准线方程为14y =-.16.答案：(1⎤-⎦学 ]解析：曲线cos {sin x y θθ== (θ为参数,且-/2/2πθπ≤≤)的普通方程为221(0)x y x +=≥,它是半圆,单位圆在y 右边的部分,作直线y x b =+,如图,它过点(0,1)A -时, 1b =-,当它在下方与圆相切时, b =,因此所求范围是(1b ⎤∈-⎦.三、解答题17.答案：1.根据半圆C 的参数方程cos {1sin x y αα==+,其中α为参数,且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 得圆的普通方程为: ()()221101x y x +-=≤≤, 所以半圆C 的极坐标方程为: 2sin ρθ=,0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 2.因为OT =,2sin θ=,0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则解得3πθ=. 故点T的极坐标为3π⎫⎪⎭. 解析：18.答案：1.曲线C 的普通方程是224x y +=,曲线C 是圆.2.点,A B 满足: 222cos ,2sin ,4,x t y t x y αα⎧=+⎪=+⎨⎪+=⎩所以22(2cos )(2sin )4t t αα+++=,即24(sin cos )40t t αα+++=.因为124t t =,所以1212||||||t t t t +=+. 从而|||||4(sin cos )|PA PB αα+=+.所以|sin cos |αα+=.故直线l 的斜率为1. 解析：19.答案：1. 设P 的极坐标为(),ρθ()0ρ>,M 的极坐标为1(,)ρθ()10ρ>.由题设知OP ρ=,14cos OM ρθ==. 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程()4cos 0ρθρ=>. 因此2C 的直角坐标系方程为()()222220x y x -+=≠.2.设点B 的极坐标为(),B ρα()0B ρ>.由题设知2OA =,4cos B ρα=,于是OAB ∆面积1sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠ 4cos sin 3παα⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭2sin 23πα⎛⎫=--⎪⎝⎭2≤+. 学+ + ]当12πα=-时, S取得最大值2+. 学 ]所以OAB ∆面积的最大值为2+. 解析：20.答案：1.曲线 C :22221999x y x y +=⇒+=. 直线l :44x y a +=+,当 1a =-时, 34x y =-∴2299{34x y x y+==-,消x 得: 229241699y y y -++=解得0{3y x ==或2425{2125y x =-=∴ C 与l 的交点坐标为(3,0)和2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2019年高考数学一轮复习(北师大版文科)： 课时分层训练10 函数的图像 文 北师大版
课时分层训练(十) 函数的图像A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －2的图像，可以把函数y ＝2x 的图像上所有的点( )A ．向右平行移动2个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动2个单位长度D ．向左平行移动1个单位长度B [因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图像上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图像，故B 正确．] 2．(2017·西安一模)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图像大致是( )A B C DB [由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图像关于原点对称，当0＜x ＜1时，y ＜0；当x >1时，y >0，故选B.]3．(2018·黄山模拟)若函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像如图276所示，则下列函数图像正确的是( )图276B [由题意y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称，显然不符，故选B.]4．为了得到函数y ＝log 2x －1的图像，可将函数y ＝log 2x 的图像上所有的点( ) 【导学号：00090041】A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移1个单位C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位A [y ＝log 2x －1＝log 2(x －1)12＝12log 2(x －1)，将y ＝log 2x 的图像纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y ＝12log 2x 的图像，再向右平移1个单位，可得y ＝12log 2(x －1)的图像，也即y ＝log 2x －1的图像．故选A.]5．(2017·洛阳模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)<0的解集是( ) A ．(－1,0) B ．(－∞，0)∪(1,2) C ．(1,2)D ．(0,2)D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f x，得0≤x <1.由f (x )为偶函数．结合图像(略)知f (x )<0的解集为－1<x <1.所以f (x －1)<0⇔－1<x －1<1，即0<x <2.] 二、填空题6．如图277，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图277f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0.]7．直线y ＝k (x ＋3)＋5(k ≠0)与曲线y ＝5x ＋17x ＋3的两个交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝________.4 [∵y ＝5x ＋17x ＋3＝2x ＋3＋5，其图像关于点(－3,5)对称．又直线y ＝k (x ＋3)＋5过点(－3,5)，如图所示：∴A 、B 关于点(－3,5)对称， ∴x 1＋x 2＝2×(－3)＝－6，y 1＋y 2＝2×5＝10.∴x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝4.]8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．[－1，＋∞) [如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5].(1)在如图278所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；图278(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值．【导学号：00090042】[解] (1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图像；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图像为：4分(2)由函数的图像可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；[1,2]，[3，＋∞)是增区间.8分(3)由f (x )的图像知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图像关于直线x ＝1对称，∴两函数图像的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.]2．(2018·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，则a 的值为________．－12 [函数y ＝|x －a |－1的图像如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12]．3．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图像关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围.【导学号：00090043】[解] (1)设f (x )图像上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图像上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，3分 ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.5分(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2].7分∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )， 即a ≥－x 2＋6x －1.9分令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7， 故a 的取值范围为[7，＋∞).12分。
2019届北师大版(文科数学) 三角函数 单元测试
2019届高三数学文一轮复习典型题专项训练三角函数一、选择、填空题1、（2018全国I 卷高考）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为42、（2017全国I 卷高考）函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为3、（2018届高三5月冲刺）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若12cos aC b=+，且2cos 3B =，则ab的值为 ． 4、（湖北八校2018届高三第一次联考（12月））已知1sin()3απ+=-，则tan 2απ⎛⎫- ⎪⎝⎭值为（ ）A ．22B ．22-C ．24D ．22±5、（华师一附中、黄冈中学等八校2018届高三第二次联考）要得到函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图象，只需将函数x x y cos sin 2⋅=的图象A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位6、（黄冈、黄石等八市2018届高三3月联考）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若sin 2cos b A a B =，则cos B =（ ）A ．55-B ．55 C ．255- D ．2557、（黄冈市2018届高三9月质量检测） 设函数，的最小值为，若且，则（ ） A 、B 、1C 、－1D 、－8、（黄冈市2018届高三上学期期末考试）锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, 且b ＞a,已知a=4,c=5,sinA= 74 , 则b= ( )A.9B.8C.7D.69、（黄冈中学2018届高三5月二模）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，||2πϕ<)的部分图象如图所示，考察下列说法：①()f x 的图象关于直线23x π=-对称; ②()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称; ③ 若关于的方程()0f x m -=在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为(2,3]-- ;④将函数2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位可得到函数()f x 的图象. 其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310、（荆州市2018届高三第一次质量检查）已知角α的终边经过点P (-5，-12)，则3πsin()2α+的值等于A ．513-B ．1213-C ．513D ．121311、（荆州中学2018届高三5月模拟）要得到函数()sin 2f x x =的图象，只需将函数()cos 2g x x =的图象（A ）向左平移12个周期 （B ）向右平移12个周期 （C ）向左平移14个周期 （D ）向右平移14个周期 12、（七市（州）教 研协作体2018届高三3月联考）已知()πα,0∈,且5cos 13α=-,则sin()tan 2παα-⋅=A ．1213B ． 1213-C. 513- D ．135 13、（天门、仙桃、潜江2018届高三上学期期末联考）函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(10)f f f f ++++的值等于A ．22B ．2C ．22+D ．114、（武汉市2018届高三毕业生二月调研）在ABC ∆中，1AB =，2BC =，则角C 的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭15、（武汉市2018届高三毕业生四月调研测试）.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ） A ．[2,4]ππ B ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ16、（武汉市部分学校2018届高三起点调研）函数()sin(2)sin(2)33f x x x ππ=-++的最小正周期为（ ）A ．2πB ．4πC ．πD ．2π17、（钟祥一中2018届高三五月适应性考试（一））已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确．．．的是 ( ) A ．56πϕ=B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴18、（宜昌市部分示范高中教学协作体2018届高三期中联考）如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(－sin θ，cos θ)B ． (sin θ，cos θ)C ．(－cos θ，sin θ)D ． (cos θ，sin θ)19、（2017全国I 卷高考）已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-= 。
2019届北师大版(文科数学) §5.3 正弦、余弦定理及解三角形 单元测试
1.(2017课标全国Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A. B. C. D.答案B2.(2017山东理,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A3.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A4.(2013浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC=.答案5.(2017课标全国Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.答案60°6.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案7.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.答案88.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.答案9.(2017山东文,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a.解析本题考查向量数量积的运算及解三角形.因为·=-6,所以bccos A=-6,又S△=3,ABC所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2×3×2×-=29,所以a=.10.(2016四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(1)证明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.解析(1)证明:根据正弦定理,可设===k(k>0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=-=.所以sin A==.由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.教师用书专用(11—27)11.(2013湖南,3,5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于()A. B. C. D.答案D12.(2013陕西,7,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B13.(2013辽宁,6,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B=()A. B. C. D.答案A14.(2013天津,6,5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=()A. B. C. D.答案C15.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案716.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是.答案-17.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=的角平分线AD=则AC=.答案18.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.答案119.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.答案-20.(2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=.答案221.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于.答案222.(2013安徽,12,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=. 答案π23.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos-的值.解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===.由正弦定理知=,所以AB=·==5(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos+sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A==.因此,cos-=cos Acos+sin Asin=-×+×=-.24.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求∠;∠(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解析(1)S△=AB·ADsin∠BAD,ABDS△ADC=AC·ADsin∠CAD.因为S△=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,ABD所以AB=2AC.由正弦定理可得∠==.∠(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.25.(2013山东,17,12分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在△ABC中,sin B==,由正弦定理得sin A==.因为a=c,所以A为锐角,所以cos A==.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.26.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.解析(1)在△ADC中,由余弦定理,得==.cos∠CAD=-·(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,所以sin∠CAD===,sin∠BAD==-=.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×--×=.在△ABC中,由正弦定理,得=,∠故BC=·==3.27.(2013北京,15,13分)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.(1)求cos A的值;(2)求c的值.解析(1)因为a=3,b=2,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cos A=.(2)由(1)知cos A=,所以sin A==.又因为∠B=2∠A,所以cos B=2cos2A-1=.所以sin B==.在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.所以c==5.考点二解三角形及其综合应用1.(2014课标Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=则AC=()A.5B.C.2D.1答案B2.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.答案3.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.答案;4.(2017课标全国Ⅲ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.答案75°5.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.答案16.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin2B=sin Bcos B,因sin B≠0,得sin C=cos B.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.7.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos2B=sin2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.8.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求△ABC的面积.解析(1)由题意得-=sin2A-sin2B,即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,sin-=sin-.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由a<c,得A<C.从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以,△ABC的面积为S=acsin B=.9.(2013浙江文,18,14分)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B= b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.解析(1)由2asin B=b及=,得sin A=.因为A是锐角,所以A=.(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.由S=bcsin A,得△ABC的面积为.10.(2017课标全国Ⅰ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.解析本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用.(1)由题设得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC的周长为3+.11.(2017课标全国Ⅱ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.又S△=2,则ac=.ABC由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以b=2.12.(2017课标全国Ⅲ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解析本题考查解三角形.(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),或c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为··=1.·又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.13.(2017北京理,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C==×=.(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.14.(2016课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以△ABC的周长为5+.(12分)15.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+(1)求∠B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=-==.又因为0<∠B<π,所以∠B=.(6分)(2)由(1)知∠A+∠C=.cos A+cos C=cos A+cos-=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos-.(11分)因为0<∠A<,所以当∠A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)16.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cos B=-=-≥-=,当且仅当a=c时等号成立.∴cos B的最小值为.17.(2013课标全国Ⅰ,17,12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解析(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos30°=.故PA=.(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得=,化简得cosα=4sinα.所以tanα=,即tan∠PBA=.教师用书专用(18—35)18.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是()A.3B.C.D.3答案C19.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案A20.(2015课标Ⅰ,16,5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.答案(-,+)21.(2014山东,12,5分)在△ABC中,已知·=tan A,当A=时,△ABC的面积为.答案22.(2013福建,13,4分)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为.答案23.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.解析(1)由tan=2,得tan A=,所以==.(2)由tan A=,A∈(0,π),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.设△ABC的面积为S,则S=absin C=9.24.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,EG1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.1现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC上点M处.1因为AC=10,AM=40,所以MC=-=30,从而sin∠MAC=.记AM与水面的交点为P,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,1则PQ1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1==16.1答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.1同理,平面EEGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.1上点N处.记玻璃棒的另一端落在GG1过G作GK⊥EG1,K为垂足,则GK=OO1=32.1因为EG=14,EG1=62,所以KG1==24,从而GG1===40.1设∠EGG=α,∠ENG=β,1则sinα=sin∠=cos∠KGG=.1因为<α<π,所以cosα=-.在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sinβ=.因为0<β<,所以cosβ=.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×+-×=.记EN与水面的交点为P,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=∠=20.2答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)25.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.解析(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A,即sin B=sin.又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,所以A∈.于是sin A+sin C=sin A+sin-=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1=-2-+.因为0<A<,所以0<sin A<,因此<-2-+≤.由此可知sin A+sin C的取值范围是.26.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以△ABC的面积为absin C=.27.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan=;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)证明:tan===.(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+++连接BD.在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C,所以AB2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A.则cos A=--=--=.··于是sin A===.连接AC.同理可得=--=,cos B=--··于是sin B===.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.28.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=∠==,由题设知0<B<,所以cos B===.在△ABD中,由正弦定理得AD=·=-29.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B=×-×=.(2)在△ABD中,由正弦定理得==3.BD=·∠∠在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.30.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b·-.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-==-.由于0<A<π,所以sin A===.故sin=sin Acos+cos Asin=×+-×=.31.(2014大纲全国,17,10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)(8分)=-=-1,即B=135°.(10分)32.(2013江苏,18,16分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC长为1 260m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解析(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.由=,得AB=×sin C=×=1040(m).所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d m,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),因0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由=,得BC=×sin A=×=500(m).乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内.33.(2013江西,16,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-Acos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0,因为sin A≠0,所以sin B-cos B=0,又cos B≠0,所以tan B=,又0<B<π,所以B=.(2)因为a+c=1,cos B=,有b2=3-+.又0<a<1,于是有≤b2<1,即有≤b<1.34.(2013湖北,17,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知cos2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.解析(1)由cos2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去).因为0<A<π,所以A=.(2)由S=bcsin A=bc·=bc=5,得bc=20.又b=5,知c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=.又由正弦定理得sin Bsin C=sin A·sin A=sin2A=×=.35.(2013课标全国Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.解析(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin C·sin B.①又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.②由①,②和C∈(0,π)得sin B=cos B.又B∈(0,π),所以B=.(2)△ABC的面积S=acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c2≥2ac,故ac≤,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为+1.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一正弦、余弦定理1.(2017浙江台州4月调研(一模),6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b-c=2acos C,sin C=,则△ABC的面积为()A. B.C.或D.或答案C2.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,4)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a,b,c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为,则b=()A. B.1+C. D.2+答案B3.(2018浙江高考模拟卷,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,BC边上的高为,则的最大值为.答案+14.(2017浙江稽阳联谊学校联考4月,13)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin A=acos C,则C=;若c=,△ABC的面积为,则a+b=.答案;75.(2018浙江镇海中学期中,18)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ctan C=(acos B+bcos A).(1)求角C;(2)若c=2,求△ABC面积的最大值.解析(1)∵ctan C=(acos B+bcos A),∴sin Ctan C=(sin Acos B+sin Bcos A),(2分)∴sin Ctan C=sin(A+B)=sin C.(4分)∵0<C<π,∴sin C≠0,(5分)∴tan C=∴C=60°.(7分)(2)∵c=2,C=60°,c2=a2+b2-2abcos C,∴12=a2+b2-ab≥2ab-ab,(10分)∴ab≤12,∴S△ABC=absin C≤3,(12分)当且仅当a=b=2时,△ABC的面积取到最大值3.(14分)考点二解三角形及其综合应用6.(2018浙江萧山九中12月月考,16)设a,b,c分别为△ABC三内角A,B,C的对边,面积S=c2,若ab=,则a2+b2+c2的最大值为.答案47.(2018浙江重点中学12月联考,18)△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2bcos C=2a- c.(1)求B的大小;(2)若+=2,且||=1,求△ABC面积的最大值.解析(1)∵2bcos C=2a-c,∴2sin Bcos C=2sin A-sin C,(1分)∴2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C,(2分)∴2sin Ccos B=sin C,(4分)∴cos B=,(5分)∵0<B<π,∴B=.(6分)(2)在△BCM中,由余弦定理可得-=cos,(8分)·所以BM2+BC2=1+BM·BC≥2BM·BC,(10分)因此BM·BC≤2+.(11分)∵+=2,∴M为AB的中点.∴S△ABC=BC·BAsin=BC·BM,(12分)∴S△ABC的最大值是1+.(14分)8.(2016浙江名校(杭州二中)交流卷三,16)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,asin Bcos C+csin Bcos A=b.(1)若b=2,且b2+c2-bc=a2,求△ABC的面积;(2)若点M是BC的中点,求tan∠MAC的最大值.解析由asin Bcos C+csin Bcos A=b及正弦定理,可得sin B=1,则∠B=90°.(1)由b2+c2-bc=a2,可得cos A=,则∠A=60°.所以∠C=30°,又因为b=2,故c=1,所以S△=bcsin A=×2×1×=.(7分)ABC(2)令tan∠MAB=t(t>0),则tan∠BAC=2t,所以tan∠MAC=-=≤,当且仅当t=时取等号,所以tan∠MAC的最大值为.(14分)B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江镇海中学期中,10)若△ABC沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥,则称这样的△ABC为“和谐三角形”,设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则由下列条件不能够确定△ABC为“和谐三角形”的是()A.A∶B∶C=7∶20∶25B.sin A∶sin B∶sin C=7∶20∶25C.cos A∶cos B∶cos C=7∶20∶25D.tan A∶tan B∶tan C=7∶20∶25答案B2.(2016浙江宁波二模,7)已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+=tan A·tan B,则△ABC 的面积为()A. B.3 C. D.3答案C二、填空题3.(2018浙江重点中学12月联考,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,若c=2acos B,S=a2-c2,则△ABC的形状为,C的大小为.答案等腰三角形;45°4.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,15)等腰三角形ABC中,AB=AC,D为AC的中点,BD=1,则△ABC面积的最大值为.答案5.(2017浙江绍兴质量调测(3月),14)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b=,△ABC的面积为,则c=,B=.答案1+;6.(2017浙江杭州二模(4月),16)设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,且S△ABC=c2.若ab=,则a2+b2+c2的最大值是.答案4三、解答题7.(2018浙江杭州二中期中,18)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tan C=.(1)求角C的大小;(2)若△ABC的外接圆直径为1,求a2+b2的取值范围.解析(1)∵tan C=,即=,∴sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C,即sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B,即sin(C-A)=sin(B-C),∴C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(舍去),∴2C=A+B,∴C=.(2)由(1)知C=,故设A=α+,B=-α+,其中-<α<,a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B.故a2+b2=sin2A+sin2B=(1-cos2A)+(1-cos2B)=-=1+cos2α.∵-<α<,∴-<2α<,∴-<cos2α≤1,∴<a2+b2≤.8.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,18)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知(a-c)(sin A+sin C)+(b-a)sin B=0.(1)求△ABC的内角C的值;(2)若c=2,2sin2A+sin(2B+C)=sin C,求△ABC的面积.解析(1)由(a-c)(sin A+sin C)+(b-a)sin B=0,可得(a-c)(a+c)+(b-a)b=0,整理得a2-c2+b2=ab.由余弦定理可得,cos C=-=.又C∈(0,π),所以C=.(2)由2sin2A+sin(2B+C)=sin C可得,4sin Acos A+sin(B+π-A)=sin(B+A).整理得,4sin Acos A=sin(B+A)+sin(B-A)=2sin Bcos A.当cos A=0,即A=时,b=,所以△ABC的面积为bc=.当cos A≠0时,sin B=2sin A.由正弦定理可得b=2a,又a2+b2-ab=4,解得a=,b=,所以S△=absin C=.ABC综上所述,△ABC的面积为.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1利用正、余弦定理解三角形1.(2017浙江衢州质量检测(1月),17)已知△ABC的面积为1,∠A的平分线交对边BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,则当k=时,边BC的长度最短.答案方法2利用正、余弦定理解决实际问题2.如图,一栋建筑物AB的高为(30-10)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为m.答案603.某观察站C在A城的南偏西20°方向上,由A城出发有一条公路,走向是南偏东40°,距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C、D的距离为21千米,问此人还需走多少千米才能到达A城?解析设AD=x千米,AC=y千米,∵∠BAC=20°+40°=60°,∴在△ACD中,由余弦定理得x2+y2-2xycos60°=212,即x2+y2-xy=441.①而在△ABC中,由余弦定理得(x+20)2+y2-2(x+20)ycos60°=312,即x2+y2-xy+40x-20y=561.②②-①得y=2x-6,代入①得x2-6x-135=0,解得x=15或x=-9(舍去),故此人还需走15千米才能到达A城.。
高考文科数学(北师大版)一轮复习课时规范练11函数的图像
课时规范练11 函数的图像基础巩固组1.函数f (x )={3x ,x ≤1,log 13x ,x >1,则y=f (x+1)的图像大致是( )f (x )的图像向左平移一个单位即得到y=f (x+1)的图像.故选B . 2.已知f (x )=2x ,则函数y=f (|x 1|)的图像为( )(|x 1|)=2|x 1|.当x=0时,y=2.可排除选项A,C . 当x=1时,y=4.可排除选项B . 故选D .3.(2019山西吕梁一模,6)函数f (x )=x sin x+ln |x|的图像大致为( )f (x )为偶函数,可排除A,C;又f (1)=sin 1>0,可排除B,因而选D .4.(2019湖南三湘名校联考一,4)函数f (x )=|x |ln |x |x 2的图像大致为( )f (x )=|-x |ln |-x |x 2=|x |ln |x |x 2=f (x ),所以f (x )是偶函数,可得图像关于y 轴对称,排除C,D;当x>0时,f (x )=lnx x ,f (1)=0,f (12)<0,排除B,故选A . 5.函数f (x )的部分图像如图所示,则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )=x+sin xB.f (x )=cosxxC.f (x )=x (x -π2)(x -3π2)D.f (x )=x cos x,排除C;又f (x )=x+sin x=0,函数只有一个零点,所以A 不正确;函数的图像可知,x=0是函数的零点,而f (x )=cosxx ,x ≠0,所以B 不正确.故选D .6.已知函数f (x )=x 2+e x 12(x<0)与g (x )=x 2+ln(x+a )的图像上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A .(√e) B.(∞,√e )C .(√e√e) D .(-√e ,√e)f (x )的图像关于y 轴对称的图像的解析式为h (x )=x 2+e x 12(x>0).令h (x )=g (x ),得ln(x+a )=e x 12,作函数M (x )=e x 12(x>0)的图像,显然当a ≤0时,函数y=ln(x+a )的图像与M (x )的图像一定有交点.当a>0时,若函数y=ln(x+a )的图像与M (x )的图像有交点,则ln a<12,则0<a<√e. 综上a<√e.故选B .7.(2019河北衡水同卷联考,7)下列函数中,其图像与函数y=log 2x 的图像关于直线y=1对称的是( )A.y=log 22x B.y=log 24x C.y=log 2(2x )D.y=log 2(4x )P (x ,y )为所求函数图像上的任意一点,它关于直线y=1对称的点是Q (x ,2y ),由题意知点Q (x ,2y )在函数y=log 2x 的图像上,则2y=log 2x ,即y=2log 2x=log 24x ,故选B .8.(2019湖北省一月模拟,7)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,-1x ,x >0, g (x )=f (x ),则函数g (x )的图像是( )g (x )=f (x ),所以g (x )图像与f (x )的图像关于原点对称,由f (x )解析式,作出f (x )的图像如图.从而可得g (x )的图像为A .9.(2019吉林实验中学模拟)函数f (x )=x+1x 的图像与直线y=kx+1交于不同的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1+y 2= .f (x )=x+1x=1x+1,所以f (x )的图像关于点(0,1)对称,而直线y=kx+1过(0,1)点,故两图像的交点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于点(0,1)对称,所以y 1+y 22=1,即y 1+y 2=2. 10.已知函数f (x )={-x 2+2x ,x ≤0,ln (x +1),x >0.若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是 .|f (x )|的图像如图所示.当a=0时,|f (x )|≥ax=0恒成立,所以a=0满足题意;当a>0时,在x<0时,|f (x )|≥ax=0恒成立,所以只需x>0时,ln(x+1)≥ax 成立.对比对数函数与正比例函数的增长速度发现,一定存在ln(x+1)<ax 的时刻,所以a>0不满足条件;当a<0时,在x>0时满足题意; 当x ≤0时,只需x 22x ≥ax 成立,即直线在抛物线下方,即a ≥x 2恒成立,则a ≥2. 综上,a 的取值范围为[2,0].综合提升组11.(2019河南郑州三模,5)我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中,常用函数的图像来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图像的特征.如函数f (x )=x 4|4x -1|的图像大致是( ),函数f (x )=x 4|4x -1|,则f (x )=(-x )4|4-x-1|=x 4·4x|4x -1|,易得f (x )为非奇非偶函数,排除A,B;当x →+∞时,f (x )=x 44x -1→0,排除C .故选D .12.已知f (x )={|lgx |,x >0,2|x |,x ≤0,则函数y=2f 2(x )3f (x )+1的零点个数是 .2f 2(x )3f (x )+1=0的解为f (x )=12或1.作出y=f (x )的图像,由图像知零点的个数为5. 13.(2019山东青岛二中期末)已知f (x )={-2x ,-1≤x ≤0,√x ,0<x ≤1,则下列函数的图像错误的是( )y=f (x )的图像,将函数y=f (x )的图像向右平移1个单位长度,得到函数y=f (x 1)的图像,因此A 正确;作函数y=f (x )的图像关于y 轴的对称图形,得到y=f (x )的图像,因此B 正确;y=f (x )在[1,1]上的值域是[0,2],因此y=|f (x )|的图像与y=f (x )的图像重合,C 正确;y=f (|x|)的定义域是[1,1],且是偶函数,当0≤x ≤1时,y=f (|x|)=√x ,这部分的图像不是一条线段,因此选项D 不正确.故选D . 14.(2019北师大实验中学模拟)如图,矩形ABCD 的周长为8,设AB=x (1≤x ≤3),线段MN 的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时,线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ,记G 围成的区域的面积为y ,则函数y=f (x )的图像大致为( ),点P 的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为12的扇形.因为矩形ABCD 的周长为8,AB=x ,则AD=8-2x2=4x ,所以y=x (4x )π4=(x 2)2+4π4(1≤x ≤3),显然该函数的图像是二次函数图像的一部分,且当x=2时,y max =4π4∈(3,4),故选D .15.(2019福建双十中学模拟)设函数y=f (x+1)是定义在(∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在区间(∞,0)上是减函数,且图像过点(1,0),则不等式(x 1)f (x )≤0的解集为 .x|x ≤0或1<x ≤2}f (x )的大致图像如图所示.不等式(x 1)f (x )≤0可化为{x >1,f (x )≤0,或{x <1,f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x|x ≤0或1<x ≤2}.创新应用组16.(2019安徽江淮十校联考)若直角坐标系内A ,B 两点满足:(1)点A ,B 都在f (x )图像上;(2)点A ,B 关于原点对称,则称点对(A ,B )是函数f (x )的一个“和谐点对”,(A ,B )与(B ,A )可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )={x 2+2x ,x <0,2e x ,x ≥0,则f (x )的“和谐点对”有( )A.1个B.2个C.3个D.4个y=x 2+2x (x<0)的图像关于原点对称的图像,看它与函数y=2ex (x ≥0)的图像的交点个数即可,观察图像可得交点个数为2,即f (x )的“和谐点对”有2个.17.如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y=f (x )的图像大致为 ( )f (π2)=2√2,f (π4)=√5+1,即f (π2)<f (π4),由此可排除C,D 项;当3π4≤x ≤π时,f (x )=tan x+√tan 2x +4,可知x ∈[3π4,π]时,f (x )的图像不是线段,可排除A 项,故选B 项.。
(北师大)2019届高考数学文科一轮复习单元评估检测全套试卷有答案(9套)
单元评估检测(一) 集合与常用逻辑用语(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，则∁U M ＝( ) A ．{2,4,6} B ．{1,3,5} C ．{1,2,4} D ．UA2．(2017·武汉模拟)已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，B ＝{x ∈Z |x 2＜9}，则A ∩B ＝( ) A ．{2} B ．(－3,3) C ．(1,3) D ．{1,2}D3．命题“存在x 0∈∁R Q ，x 20∈Q ”的否定是( )【导学号：00090384】A ．存在x 0∉∁R Q ，x 20∈Q B ．存在x 0∈∁R Q ，x 20∉Q C ．任意x ∉∁R Q ，x 2∈Q D ．任意x ∈∁R Q ，x 2∉QD4．设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜5，x ∈Z，B ＝{x |x ≥a }．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ≤1D ．a ＜1C5．使x 2＞4成立的充分不必要条件是( ) A ．2＜x ＜4 B ．－2＜x ＜2 C ．x ＜0 D ．x ＞2或x ＜－2A6．(2017·郑州模拟)已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{x |x 2－x ＝0}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为( ) A ．{1} B ．{0} C ．{0,1} D ．∅C7．已知原命题：已知ab ＞0，若a ＞b ，则1a ＜1b，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4D8．(2017·广州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1d ＞0是数列(3a 1a n )为递增数列的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件A9．已知命题p ：存在x 0∈R ，x 0＜x 20＋1，命题q ：任意x ∈R ，sin 4x －cos 4x ≤1，则p 或q ，p 且q ，(綈p )或q ，p 且(綈q )中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C10．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c ＜0”是“存在x 0∈R ，使f (x 0)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件A11．(2017·阜阳模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x，x ∈R }，则A ⊕B 等于( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) C12．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )【导学号：00090385】A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合Q ＝{m ∈Z |mx 2＋mx －2＜0对任意实数x 恒成立}，则Q 用列举法表示为________． {－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}14．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素的个数是________． 415．下列3个命题：①“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”； ②“如果x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞12”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． ②16．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－1＜0}，B ＝{x |x ＋a ＞0}． (1)若a ＝－12，求A ∩B .(2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． [解] A ＝{x |－1＜x ＜1}．(1)当a ＝－12时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －12＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞12，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜1. (2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为B ＝{x |x ＞－a }，所以－a ≤－1，即a ≥1.18．(12分)设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求a ，b ，c 的值．[解] 因为A ∩B ＝{－3}，所以－3∈A ，且－3∈B ， 所以(－3)2－3a －12＝0，解得a ＝－1，A ＝{x |x 2－x －12＝0}＝{－3,4}．因为A ∪B ＝{－3,4}，且A ≠B ， 所以B ＝{－3}，即方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个等根为－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋－＝－b ，－3－＝c ，即b ＝6，c ＝9.综上，a ，b ，c 的值分别为－1,6,9.19．(12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． [解] 命题p 为真时，因为函数y ＝c x在R 上单调递减，所以0＜c ＜1. 即p 真时，0＜c ＜1.因为c ＞0且c ≠1，所以p 假时，c ＞1.命题q 为真时，因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q 真时，0＜c ≤12，因为c ＞0且c ≠1，所以q 假时，c ＞12，且c ≠1.又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以p 真q 假或p 假q 真． (1)当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪c ＞12且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. (2)当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0＜c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. 20．(12分)(2017·保定模拟)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0. (1)若p 是真命题，求对应x 的取值范围． (2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． [解] (1)因为x 2≤5x －4， 所以x 2－5x ＋4≤0，即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x ≤4， 即对应x 的取值范围为1≤x ≤4. (2)设p 对应的集合为A ＝{x |1≤x ≤4}． 由x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0， 得(x －2)(x －a )≤0.当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}；当a ＞2时，不等式的解为2≤x ≤a ，对应的解集为B ＝{x |2≤x ≤a }； 当a ＜2时，不等式的解为a ≤x ≤2，对应的解集为B ＝{x |a ≤x ≤2}．若p 是q 的必要不充分条件，则B A ， 当a ＝2时，满足条件；当a ＞2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2≤x ≤a }，要使B A ，则满足2＜a ≤4；当a ＜2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |a ≤x ≤2}，要使B A ，则满足1≤a ＜2. 综上，a 的取值范围为1≤a ≤4.21．(12分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3. (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .【导学号：00090386】[解] A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，解得3≤a ≤2或a ≤－ 3. 即a ∈(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2. 所以a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}． 所以∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}， 故(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．22．(12分)求证：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1. 【证明】 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程只有一负根．当a ＝1时，方程为x 2＋2x ＋1＝0，其根为x ＝－1，方程只有一负根． 当a ＜0时，Δ＝4(1－a )＞0，方程有两个不相等的根， 且1a＜0，方程有一正一负两个根．所以充分性得证．必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一负根． 当a ＝0时，符合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a ≥0，所以a ≤1，当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1. 当a ＜1时，若方程有且只有一负根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，1a＜0，所以a ＜0.所以必要性得证．综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.单元评估检测(二) 函数、导数及其应用(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝1－3x＋1log12x ＋，则函数的定义域为( )【导学号：00090387】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C ．19D ．9C3．(2017·太原模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜bD4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3B5．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4C6．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，则g (f (－7))＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：( ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5 D ．10C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为( )D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0D10．(2017·厦门模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则函数g (x )＝|a x －2|的图象可能是( )图1D11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4D12．(2017·商丘模拟)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________．(1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________. －615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________.【导学号：00090388】1816．(2017·岳阳模拟)某同学在研究函数f (x )＝x 2＋1＋x 2－6x ＋10的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f (x )变形为f (x )＝x －2＋－2＋x －2＋＋2，则f (x )表示|PA |＋|PB |(如图2)，下列关于函数f (x )的描述正确的是________(填上所有正确结论的序号)图2①f (x )的图象是中心对称图形； ②f (x )的图象是轴对称图形； ③函数f (x )的值域为[13，＋∞)； ④方程f (f (x ))＝1＋10有两个解． ②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－f x ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立． (1)求F (x )的表达式．(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．(1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞) 18．(12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x 2·log 2x2. (1)求实数x 的取值范围．(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0， 得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x 2·log 2x 2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14，当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2，即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(12分)(2017·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图象都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1. (1)求a ，b ，c ，d 的值．(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性． [解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝b ＝1，f＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1，g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝d ＝1，g＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x －(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x ＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 的值．(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围． (3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2. (2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)． 因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增， 故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4， 所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1， 所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(12分)(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值．(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －x －ax2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－A ．②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ； 当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1； 当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1， 所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.22．(12分)(2017·石家庄模拟)设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)(a 为常数)． (1)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围． (2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2. 【导学号：00090389】[解] (1)根据题意知：f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立．即a ≥－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝－2x 2－2x ， 因为g (x )＝－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上的最大值为－4，所以a ≥－4. 经检验：当a ＝－4时，f ′(x )＝2x 2＋2x －4x ＋1＝x ＋x －x ＋1≥0，x ∈[1，＋∞)．所以a 的取值范围是[－4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根，即方程2x 2＋2x ＋a ＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根． 记g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12＞－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，g －＞0，解得0＜a ＜12.所以x 1＋x 2＝－1,2x 22＋2x 2＋a ＝0，x 2＝－12＋1－2a 2，－12＜x 2＜0. 所以f x 2x 1＝x 22－x 22＋2x 2x 2＋－1－x 2.令k (x )＝x 2－x 2＋2xx ＋－1－x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.k ′(x )＝x 2＋x＋2ln(x ＋1)， 记p (x )＝x 2＋x2＋2ln(x ＋1)．所以p ′(x )＝2x 2＋6x ＋2＋x3，p ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，p ′(0)＝2.所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0使得p ′(x 0)＝0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0时，p ′(x )＜0； 当x ∈(x 0,0)时，p ′(x )＞0.所以k ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0上单调递减，在(x 0,0)上单调递增，因为k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－2ln 2＜0，k ′(0)＝0. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，k ′(x )＜0， 所以k (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减， 即0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2. 单元评估检测(三) 三角函数、解三角形(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A ．1－k2k B ．－1－k2k C ．k1－k2D ．－k1－k2B2．(2017·九江模拟)已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(綈p )且(綈q )D ．p 或(綈q )B3．(2017·衡水模拟)已知sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－α＋cos α＝2，则tan α＝( )A ．15 B ．－23C ．12 D ．－5D4．(2017·太原模拟)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象向左平移π18个单位后，得到的图象可能为( ) 【导学号：00090390】D5．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( ) A ．－125B ．512C ．177D ．－717D6．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( ) A ．3＋226B ．3－226 C ．1＋266D ．1－266A7．(2017·淄博模拟)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ 的一个值是( ) A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．5π3B8．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图1A ．±223B ．223C ．－223D ．13C9．(2017·襄阳模拟)在△ABC 中，6sin A ＋4cos B ＝1，且4sin B ＋6cos A ＝53，则cos C ＝( ) A ．12 B ．±32 C ．32D ．－32 C10．(2017·济宁模拟)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ，下面结论中错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )的图象关于x ＝π3对称 C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π6个单位长度得到D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数C11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图2)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图2A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米B12．(2017·上饶模拟)已知定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的函数f (x )＝sin x (cos x ＋1)－ax ，若该函数仅有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤2π，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2π∪[2，＋∞) C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，＋∞B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 014．如图3，某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB 的大小为45°，山脚P 到山顶A 的直线距离为2 km ，在A 处测得山顶B 的仰角为30°，则乙山的高度为________km. 2图3 图415．如图4在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________． 516．(2017·太原模拟)若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则实数t 的值为________．1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图5，两同心圆(圆心在原点)分别与OA ，OB 交于A ，B 两点，其中A (2，1)，|OB |＝6，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为π2.图5(1)设角θ的始边为x 轴的正半轴，终边为OA ，求－θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π2θ－的值．(2)求点B 的坐标． (1)34 (2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－62，2＋232 18．(12分)(2016·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sinA ．(1)求B ．(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．(1)B ＝π6 (2)26＋1619．(12分)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. 【导学号：00090391】图6(1)求ω和φ的值．(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． (3)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合． (1)ω＝2，φ＝－π3(2)描点画出图象(如图)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4＜x ＜k π＋13π12，k ∈Z 20.(12分)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，(1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) (2)1(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π621．(12分)已知如图7，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC ＝120°，且AB →·AC →＝－152.图7(1)求△ABC 的面积． (2)若AB ＝5，求AD 的长． (1)1534 (2)19222．(12分)(2017·石家庄模拟)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C ．图8(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)．(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． [解] (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626，由于0°＜θ＜90°， 所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q . 在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.从而sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010.在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝AB sin ∠ABC－∠ABC ＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin∠PQE ＝QE ·sin∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．单元评估检测(四) 平面向量、数系的扩充与复数的引入(120分钟 150分) (对应学生用书第224页)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝1＋2i2－i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．－1B ．0C ．1D ．iC2．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C ．45＋35i D ．45－35i D3．(2017·珠海模拟)若复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的虚部为( ) A ．－1 B ．－i C ．i D ．1A4．复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－iD5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)B6．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D7．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5A8．在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2 3B ．－23iC ．3－3iD ．3＋3i B9．与向量a ＝(3,4)同方向的单位向量为b ，又向量c ＝(－5，5)，则b·c ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3，－4) C ．1 D ．－1 C10．如图1，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )图1A ．AC →＝AB →＋AD → B ．BD →＝AD →－AB →C ．AO →＝12AB →＋12AD →D ．AE →＝53AB →＋AD →D11．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 2＝( ) A ．3－2i B ．2－3i C ．－3－2i D ．2＋3iD12．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )【导学号：00090392】A ．－8B ．－6C ．6D ．8D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 214．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 215．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________. 216．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为________． 32＋32i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，AB →·AD →＝5，|AD →|＝10. (1)求D 点坐标．(2)若D 点在第二象限，用AB →，AD →表示AC →.(3)AE →＝(m,2)，若3AB →＋AC →与AE →垂直，求AE →的坐标． (1)D(2,1)或D(－2,3) (2)AC →＝－AB →＋AD → (3)AE →＝(－14,2)18．(12分)如图2，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，求BE →·CE →的值. 【导学号：00090393】图27819．(12分)已知复数z ＝1＋i ，ω＝z 2－3z ＋6z ＋1.(1)求复数ω.(2)设复数ω在复平面内对应的向量为OA →，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量OA →的位置，求θ的最小值． (1)1－i (2)54π20．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos A2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2sin A 2，m·n ＝－1.(1)求cos A 的值．(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． (1)－12(2)221．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(a,2c －b )，且m∥n . (1)求角A 的大小．(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)因为m∥n ，所以a cos B －(2c －b )cos A ＝0， 由正弦定理得sin A cos B －(2sin C －sin B )cos A ＝0， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， 所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为0＜C ＜π，所以sin C ＞0， 所以cos A ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 因此bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立； 因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤43，因此△ABC 面积的最大值为4 3.22．(12分)已知平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，且a 2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝1.(1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)求|OP →|的最大值，并求出此时四边形OAPB 面积的最大值． [解] (1)证明：因为点M 为线段AB 的中点， 所以OM →＝12(OA →＋OB →)．所以MP →＝OP →－OM →＝(xOA →＋yOB →)－12(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|M A →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1.又由(1)及a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1， 得|MP →|2＝|OP →－OM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122OB →2 ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 所以|MP →|＝|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1，所以P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP 是直径时，|OP →|max ＝2，这时四边形OAPB 为矩形，则S 四边形OAPB ＝|OA →|·|OB →|＝ab ≤a 2＋b 22＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.单元评估检测(五) 数 列(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·唐山模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( ) A ．41 B ．48 C ．49 D ．56C2．(2017·青岛模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n＋a (n ∈N *)，则实数a 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．－1D ．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于( )A ．－54B ．54C ．516D ．2516D4．(2017·太原模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，a n ＞0，则数列{log 2a n }的前n 项和为( )【导学号：00090394】A ．n n －2 B ．n －22C ．n n ＋2D ．n ＋22A5．已知在数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( ) A ．1－4nB ．4n－1 C ．1－4n 3D ．4n－13B6．若{a n }是由正数组成的等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1a 5＝1且S 3＝7，则S 7＝( ) A ．1516 B ．78 C ．12716D ．638C7．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·(2n －1)cos n π2＋1，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120D8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A ．1210 B ．129 C ．110D ．159．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，－1为第7项的等差数列的公差，tan B 是以12为第3项，4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形D ．以上均错B 10.(2017·厦门模拟)在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2＞19的最大正整数n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6B11．若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n ＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8B12．(2017·淄博模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝3n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和为( ) A ．5－0 B ．5－3n ＋52nC ．5－3n －52nD ．5－3n ＋52n －1B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．(2017·唐山模拟)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________． 3n－114．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________. 【导学号：00090395】 10 10015．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺．162916．(2017·保定模拟)如图1所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________．图1132三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2017·承德模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝16(a 2n ＋3a n ＋2)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)若ak n ∈{a 1，a 2，…，a n ，…}，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，当k 1＝1，k 2＝4时，求k n . (1)a n ＝3n －2，n ∈N *(2)k n ＝10n －1＋23，n ∈N *18．(12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式．(2)若c n ＝a n ·b n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)b n ＝23n (2)T n ＝72－12·3n －2－3n －13n19．(12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n＋3. (1)求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)T n ＝1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －120．(12分)(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式．(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．(1)a n ＝2n ＋1 (2){b n }的前n 项和T n ＝n n ＋21．(12分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .【导学号：00090396】(1)a n ＝4－n(2)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2，q ＝1，nq n ＋1－n ＋q n ＋1q －2，q ≠1.22．(12分)(2017·石家庄模拟)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，并且S n ＝a n ＋1－12(n ∈N *)．(1)求a n ，S n .(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值． [解] (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)，两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，因为a 1＝S 1＝a 2－12，所以a 2＝1，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，则a n ＝12·2n －1＝2n －2，n ∈N *，S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12，n ∈N *. (2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n－2＝n －2， 所以c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ， 即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2，c n ＝1n ＋n ＋＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2， T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(2－1＋20＋…＋2n －2)＝12－1n ＋2＋12－2n1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1＝2n －1－1n ＋2. 由4T n ＞2n ＋1－1504，得 4⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－1n ＋2＞2n ＋1－1504， 即4n ＋2＜1504，n ＞2 014. 所以使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015. 单元评估检测(六) 不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A ．1ab ≥12 B ．1a ＋1b≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18D2．(2017·新乡模拟)若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，则A ∩B ＝( ) 【导学号：00090397】A ．(－1,3)B ．(－1,5)C ．(2,5)D ．(2,3)D3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )A ．ab ＞xyB ．ab ≥xyC ．ab ＜xyD ．ab ≤xyB4．(2017·唐山模拟)不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14D5．(2017·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83C ．223D ．2B6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( )A ．{x |x ＞a }B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞a 或x ＜1a D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a 或x ＜aC7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝( )A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC ．n －m d n c mD ．n －md n ·c mC8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )A ．114B ．54C ．1D ．14C9．(2017·临汾模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1D10．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( ) A ．x ＞0 B ．x 2≥0 C ．(x －1)2≥0 D ．(x ＋1)2≥0C11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 2C12．(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________．a14．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值． 415．(2017·福州模拟)设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)．12(n ＋1)(n －2) 16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________． 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n .(1)证明{a n }是等差数列． (2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14. 【导学号：00090398】 【证明】 (1)因为S n ＝2n 2－n . 所以a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －2(n －1)2＋(n －1)＝4n －3. 对n ＝1也成立．所以a n ＝4n －3.a n ＋1－a n ＝4(n ＋1)－3－4n ＋3＝4，是常数．所以数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1n －n ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1所以T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1＜14. 18．(12分)如图1，在四棱锥P ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AB 的中点．图1求证：(1)直线EF ∥平面PBC ． (2)平面DEF ⊥平面PAB ． 略19．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋B ． (1)求f (1)＋f (3)－2f (2)．(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[解] (1)因为f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4，f (3)＝3a ＋b ＋9，所以f (1)＋f (3)－2f (2)＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则－12＜f (1)＜12，－12＜f (2)＜12，－12＜f (3)＜12.所以－1＜－2f (2)＜1，－1＜f (1)＋f (3)＜1，。
2019年高考数学一轮复(北师大版文科)： 单元评估检测2 函数、导数及其应用 文 北师大版
单元评估检测(二) 函数、导数及其应用(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝1－3x＋1log 12x ＋，则函数的定义域为( )【导学号：00090387】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C ．19D ．9C3．(2017·太原模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜bD4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3B5．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4C6．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价(元) 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量(件)400360320280240200160( ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5 D ．10C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为( )D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0D10．(2017·厦门模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则函数g (x )＝|a x－2|的图象可能是( )图1D11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4D12．(2017·商丘模拟)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________．(1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.－615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________.【导学号：00090388】1816．(2017·岳阳模拟)某同学在研究函数f (x )＝x 2＋1＋x 2－6x ＋10的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f (x )变形为f (x )＝x －2＋－2＋x －2＋＋2，则f (x )表示|PA |＋|PB |(如图2)，下列关于函数f (x )的描述正确的是________(填上所有正确结论的序号)图2①f (x )的图象是中心对称图形； ②f (x )的图象是轴对称图形； ③函数f (x )的值域为[13，＋∞)； ④方程f (f (x ))＝1＋10有两个解． ②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－f x ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立． (1)求F (x )的表达式．(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．(1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞) 18．(12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x 2·log 2x2. (1)求实数x 的取值范围．(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0， 得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x 2·log 2x 2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14，当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2，即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(12分)(2017·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图象都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1. (1)求a ，b ，c ，d 的值．(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性． [解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝b ＝1，f＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1， g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝d ＝1，g＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x－(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x＋2x －2＝(x ＋2)e x＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)求k 的值．(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围． (3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2. (2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)． 因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增， 故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4， 所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1， 所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(12分)(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值．(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －x －ax2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－A ．②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ； 当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1； 当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1， 所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1. 22．(12分)(2017·石家庄模拟)设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)(a 为常数)．(1)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围． (2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2. 【导学号：00090389】 [解] (1)根据题意知：f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立．即a ≥－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝－2x 2－2x ， 因为g (x )＝－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上的最大值为－4，所以a ≥－4. 经检验：当a ＝－4时，f ′(x )＝2x 2＋2x －4x ＋1＝x ＋x －x ＋1≥0，x ∈[1，＋∞)．所以a 的取值范围是[－4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根，即方程2x 2＋2x ＋a ＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根．记g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12＞－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，g －＞0，解得0＜a ＜12.所以x 1＋x 2＝－1,2x 22＋2x 2＋a ＝0，x 2＝－12＋1－2a 2，－12＜x 2＜0. 所以f x 2x 1＝x 22－x 22＋2x 2x 2＋－1－x 2.令k (x )＝x 2－x 2＋2xx ＋－1－x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.k ′(x )＝x 2＋x2＋2ln(x ＋1)， 记p (x )＝x 2＋x＋2ln(x ＋1)．所以p ′(x )＝2x 2＋6x ＋2＋x3，p ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，p ′(0)＝2.所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0使得p ′(x 0)＝0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0时，p ′(x )＜0； 当x ∈(x 0,0)时，p ′(x )＞0.所以k ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0上单调递减，在(x 0,0)上单调递增，因为k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－2ln 2＜0，k ′(0)＝0. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，k ′(x )＜0， 所以k (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减， 即0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2.。
北师大文科数学高考总复习教师用书：函数的图像 含答案
第7讲 函数的图像最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题．知 识 梳 理1．利用描点法作函数的图像步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图像―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图像； y ＝f (x )的图像―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图像； y ＝f (x )的图像―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图像； y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像．(3)伸缩变换y ＝f (x )―――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a (a >0)倍y ＝f (ax )． y ＝f (x )――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x )． (4)翻转变换y ＝f (x )的图像――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图像；y ＝f (x )的图像―――――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图像．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)函数y ＝f (1－x )的图像，可由y ＝f (－x )的图像向左平移1个单位得到．( ) (2)函数y ＝f (x )的图像关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称．( ) (3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图像与y ＝|f (x )|的图像相同．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称．( ) 解析 (1)y ＝f (－x )的图像向左平移1个单位得到y ＝f (－1－x )，故(1)错．(2)两种说法有本质不同，前者为函数自身关于y 轴对称，后者是两个函数关于y 轴对称，故(2)错．(3)令f (x )＝－x ，当x ∈(0，＋∞)时，y ＝|f (x )|＝x ，y ＝f (|x |)＝－x ，两函数图像不同，故(3)错．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －1解析 依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1. 答案 D3．(2016·浙江卷)函数y ＝sin x 2的图像是( )解析 ∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B 项，只有D 满足． 答案 D4.若函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]的图像如图所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________.解析 由于y ＝f (x )的图像关于原点对称∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0. 答案 05．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图像，如图所示．由图像知当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解． 答案 (0，＋∞)考点一 作函数的图像 【例1】 作出下列函数的图像： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1； (4)y ＝x 2－2|x |－1. 解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图像中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图像，如图①实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图像向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像，如图②.(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图像可由y ＝1x 图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.(4)∵y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图④. 规律方法 画函数图像的一般方法(1)直接法．当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出．(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 【训练1】 分别画出下列函数的图像： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin |x |.解 (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎨⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.∴函数y＝|lg x|的图像，如图①.(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图像完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图像关于y 轴对称，其图像如图②.考点二函数图像的辨识【例2】(1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图像大致为()(2)(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图像大致为()解析(1)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，排除选项A，B.设g(x)＝2x2－e x，x≥0，则g′(x)＝4x－e x.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C ，故选D.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2 x ，图像不会是直线段，从而排除A ，C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2.∵22<1＋5， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B. 答案 (1)D (2)B规律方法 (1)抓住函数的性质，定性分析①从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．②从函数的单调性，判断图像的变化趋势；③从周期性，判断图像的循环往复．④从函数的奇偶性，判断图像的对称性． (2)抓住函数的特征，定量计算．从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．【训练2】 (1)(2017·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图像大致是( )(2)(2017·临沂一模)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则函数g (x )＝|a x －2|的图像可能是( )解析 (1)y ＝log 2(|x |＋1)是偶函数，当x ≥0时，y ＝log 2(x ＋1)是增函数，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B 满足．(2)由f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2，得f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ， 根据y ＝f ′(x )的图像知－1－a2>0，∴a >1.则函数g (x )＝|a x －2|的图像是由函数y ＝a x 的图像向下平移2个单位，然后将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方得到的，故选D. 答案 (1)B (2)D考点三 函数图像的应用(多维探究) 命题角度一 研究函数的零点【例3－1】 已知f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________． 解析由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1 作出函数y ＝f (x )的图像．由图像知y ＝12与y ＝f (x )的图像有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图像有3个交点． 因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个． 答案 5命题角度二 求不等式的解集【例3－2】 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________．解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝cos x >0.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4时，y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图像知，当1＜x <π2时，f (x )cos x <0. 又函数y ＝f (x )cos x为偶函数， ∴在[－4,0]上，f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1，所以f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 命题角度三 求参数的取值或范围【例3－3】 (2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图像上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞) 解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图像上，且关于坐标原点对称． 可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图像， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y＝kx－1与y＝ln x的图像相切时，设切点为(m，ln m)，又y＝ln x的导数为y′＝1 x，则km－1＝ln m，k＝1m，解得m＝1，k＝1，可得函数y＝ln x(x>0)的图像过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图像可知k∈(0,1)时两函数图像有两个交点．答案 B规律方法(1)利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．【训练3】(1)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y＝f(x)的图像与y＝2x＋a的图像关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝()A．－1 B．1 C．2 D．4(2)已知函数y＝f(x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x 的解集是________．解析 (1)设(x ，y )是函数y ＝f (x )图像上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，由y ＝f (x )的图像与y ＝2x ＋a 的图像关于直线y ＝－x 对称，可知(－y ，－x )在y ＝2x＋a的图像上，即－x ＝2－y ＋a ，解得y ＝－log 2(－x )＋a ，所以f (－2)＋f (－4)＝－log 22＋a－log 24＋a ＝1，解得a ＝2，选C.(2)由图像可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图像，由图像可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．答案 (1)C (2)(－1,0)∪(1，2][思想方法] 1．识图对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系． 2．用图借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图像，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等． [易错防范]1．图像变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图像到f (－2x ＋1)的图像是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错． 2．明确一个函数的图像关于y 轴对称与两个函数的图像关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －2的图像，可以把函数y ＝2x 图像上所有的点( ) A ．向右平行移动2个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动2个单位长度 D ．向左平行移动1个单位长度解析 因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图像上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图像． 答案 B2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )解析 小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C. 答案 C3．(2015·浙江卷)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图像可能为( )解析 (1)因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B.当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π<0，排除C ，故选D.答案 D4．(2017·安庆一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图像大致是( )解析 由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图像关于原点对称．当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0.排除选项A ，C ，D ，选B. 答案 B5．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0) D ．[－2,0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图像，知满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.答案 A 二、填空题6.已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析 当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图像知满足f (x )>0的x ∈(2,8]． 答案 (2,8]7．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)． 则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a ≠0)． ∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14. 答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤014(x －2)2－1，x >08．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)． 答案 [－1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝错误!(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解(1)函数f (x )的图像如图所示． (2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图像；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解(1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝ ⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图像为：(2)由函数的图像可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图像知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0 解析函数f (x )的图像如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数． 又0<|x 1|<|x 2|， ∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0. 答案 D12.(2015·安徽卷)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0解析 函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图像知－c >0， ∴c <0.令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图像知f (0)>0，∴b >0. 令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图像知－ba >0，∴a <0. 答案 C13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________．解析 对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|.因为f (x )的草图如图所示， 观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图像可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14， 所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞14．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图像关于点A (0,1)对称． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． 解 (1)设f (x )图像上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图像上， ∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)由题意g(x)＝x＋a＋1 x，且g(x)＝x＋a＋1x≥6，x∈(0,2]．∵x∈(0,2]，∴a＋1≥x(6－x)，即a≥－x2＋6x－1. 令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]，q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，∴当x∈(0,2]时，q(x)是增函数，q(x)max＝q(2)＝7. 故实数a的取值范围是[7，＋∞).。
北师大版2019版文数练习：第二章第七节函数的图像含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·广州市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图像是( )解析：g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤01x ，x ＞0，∴g (x )的图像是选项D 中的图像．答案：D2.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图像为( )解析：直线l 在AD 圆弧段时，面积y 的变化率逐渐增大，l 在DC 段时，y 随x 的变化率不变；l 在CB 段时，y 随x 的变化率逐渐变小，故选D. 答案：D3．(2018·惠州市调研)函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图像可能为( )解析：函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当 x＝π时，f (x )＝(π－1π)cos π＝1π－π＜0，排除选项C ，故选D.答案：D4．(2018·长沙市一模)函数y ＝ln|x |－x 2的图像大致为( )解析：令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln |x |－x 2为偶函数，其图像关于y 轴对称，排除B ，D ；当x ＞0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈(0，22)时，y ′＝1x －2x ＞0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A. 答案：A5.(2018·武昌调研)已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝2－x22xB ．f (x )＝cos xx2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos x x解析：A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )<0，与题图不符，故不成立．选D. 答案：D6．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析：与曲线y ＝e x关于y 轴对称的图像对应的函数为y ＝e －x，将函数y ＝e －x的图像向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图像，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e－x －1，故选D.答案：D7．函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图像，如图所示．∵f (2)＝2ln 2＞g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图像的交点个数为2.故选B. 答案：B8．如图，函数f (x )的图像为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图像，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图像的交点为D (1,1)，结合图像可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C. 答案：C9．已知函数f (x )＝|2x－m |的图像与函数g (x )的图像关于y 轴对称，若函数f (x )与函数g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．[12，2]B ．[2,4]C ．(－∞，12]∪[4，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：易知当m ≤0时不符合题意，当m ＞0时，g (x )＝|2－x－m |，即g (x )＝|(12)x －m |.当f (x )与g (x )在区间[1,2]上同时单调递增时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图像如图1或图2所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2m ≤1，－log 2m ≤1，解得12≤m ≤2；当f (x )在[1,2]上单调递减时，f (x )＝|2x－m |与g (x )＝|(12)x －m |的图像如图3所示，由图像知此时g (x )在[1,2]上不可能单调递减．综上所述，12≤m ≤2，即实数m 的取值范围为[12，2]．答案：A 10．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是________．解析：由y ＝2－x ＋1＋m ，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m ；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图像如所示，则要使其图像不经过第一象限，则m ≤－2. 答案：(－∞，－2]11.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x ＞0的图像如图所示，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：由图像可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图像过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案：13312．(2018·枣庄一中模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________． 解析：f (x )的图像如图所示，g (x )＝0即f (x )＝m ， y ＝m 与y ＝f (x )有四个交点，故m 的取值范围为(－1,0)． 答案：(－1,0)13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图像如图所示．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f (x )≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)B 组——能力提升练1．函数y ＝x ＋2x ＋1的图像与函数y ＝2sin πx ＋1(－4≤x ≤2)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2D ．－1解析：依题意，注意到函数y ＝1x与函数y ＝－2sin πx (－3≤x ≤3)均是奇函数，因此其图像均关于原点成中心对称，结合图像不难得知，它们的图像共有2对关于原点对称的交点，这2对交点的横坐标之和为0；将函数y ＝1x与函数y ＝－2sin πx (－3≤x ≤3)的图像同时向左平移1个单位长度、再同时向上平移1个单位长度，所得两条新曲线(这两条新曲线方程分别为y ＝1＋1x ＋1＝x ＋2x ＋1、y ＝－2sin π(x ＋1)＋1＝2sin πx ＋1)仍有2对关于点(－1,1)对称的交点，这2对交点的横坐标之和为－4(其中每对交点的横坐标之和为－2)，即函数y ＝x ＋2x ＋1的图像与函数y ＝2sin πx ＋1(－4≤x ≤2)的图像所有交点的横坐标之和等于－4，因此选B. 答案：B2．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0解析：∵函数f (x )的图像在y 轴上的截距为正值，∴d ＞0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＜0的解集为(x 1，x 2)，∴a ＞0，又x 1，x 2均为正数，∴c3a ＞0，－2b3a ＞0，可得c ＞0，b ＜0. 答案：A3．设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系中一定成立的是( ) A ．3c＞3aB ．3c ＞3bC ．3c ＋3a＞2D ．3c ＋3a＜2解析：画出f (x )＝|3x－1|的图像，如图所示，要使c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0，且a ＞0. 由y ＝3x的图像可得0＜3c＜1＜3a.∴f (c )＝1－3c，f (a )＝3a－1，∵f (c )＞f (a )， ∴1－3c＞3a－1，即3a＋3c＜2. 答案：D4．已知函数f (x )＝－2x 2＋1，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >02x ，x ≤0，则函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数为( ) A ． 2 B ． 3 C ．4D ．5解析：函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数，即|f (x )|－g (x )＝0的根的个数，可得|f (x )|＝g (x )，画出函数|f (x )|，g (x )的图像如图所示，观察函数的图像，则它们的交点为4个，即函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点个数为4，选C.答案：C5．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：不等式4ax －1＜3x －4等价于ax －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.答案：B6．若函数f (x )＝ 2－m xx 2＋m的图像如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．[1,2)解析：根据题图可知，函数图像过原点，即f (0)＝0，所以m ≠0.当x ＞0时，f (x )＞0，所以2－m ＞0，即m ＜2.函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的，所以f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立， 则f ′(x )＝ 2－m x 2＋m －2x 2－m x x 2＋m 2＝ m －2 x 2－mx 2＋m2≥0， ∵m －2＜0，(x 2＋m )2＞0，∴只需x 2－m ≤0在[－1,1]上恒成立即可，∴m ≥(x 2)max ， ∴m ≥1.综上所述：1≤m ＜2，故选D. 答案：D7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1， x ≤0，x 12， x ＞0.若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________． 解析：在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )的图像和直线y ＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由f (x 0)＞1，得x 0＜－1或x 0＞1. 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程y ＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________. 解析：函数f (x )的图像如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图像有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0. 答案：09．设f (x )是定义在R 上的偶函数，F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17，G (x )＝－17x ＋33x ＋2，若F (x )的图像与G (x )的图像的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g (x )＝x 3f (x )是定义在R 上的奇函数，其图像关于原点中心对称，∴函数F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17＝g (x ＋2)－17的图像关于点(－2，－17)中心对称．又函数G (x )＝－17x ＋33x ＋2＝1x ＋2－17的图像也关于点(－2，－17)中心对称，∴F (x )和G (x )的图像的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x 1＋x 2＋…＋x m ＝m2×(－2)×2＝－2m ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m2×(－17)×2＝－17m ，∴∑i ＝1m(x i ＋y i )＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝－19m . 答案：－19m10．(2018·西安质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的研究：①y ＝f (x )的值域为R.②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③y ＝f (x )的图像关于y 轴对称．④y ＝f (x )的图像与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是________．解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ≥01－x －1，x ＜0，其图像如图所示，由图像可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f(x)的图像关于y轴对称，故③正确；由于在每个象限都有图像，所以与过原点的直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④。
2019年高考数学(北师大版文科)： 18 三角函数的图像与性质
课时分层训练(十八) 三角函数的图像与性质A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．RC [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.] 2．已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( ) A ．1B.12 C ．－1D ．－12 A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.] 3．(2018·长春模拟)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )【00090094】A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.]5．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx(ω＞0)的图像相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f(x)的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6 A [依题意得f(x)＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图像相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，故选A.] 二、填空题6．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是________．【00090095】⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z) [由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x,2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．] 7．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________． 2或－2 [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ， ∴x ＝π6是函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.] 8．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)， ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是k π2－π8，0，k ∈Z.] 三、解答题9．(2016·北京高考)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx ＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；。
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_简单幂函数的图象和性质练习(1)(原卷版)
第二章函数第4.2节简单幂函数的图像和性质一．选择题（共15小题）1．已知点（，27）在幂函数f（x）＝（t﹣2）x a的图象上，则t+a＝（）A．﹣1B．0C．1D．22．已知函数f（x）＝（3m2﹣2m）x m是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．B．﹣1C．1D．或13．已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（8）的值为（）A．B．C．2D．84．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y＝的图象是（）A．①B．②C．③D．④5．幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（x）的图象是（）A．B．C．D．6．设a∈{﹣1，1，2，3}，则使函数y＝x a的值域为R且为奇函数的所有a值为（）A．1，3B．﹣1，1C．﹣1，3D．﹣1，1，37．幂函数在（0，+∞）时是减函数，则实数m的值为（）A．2或﹣1B．﹣1C．2D．﹣2或18．函数y＝（a﹣2）a x是指数函数，则（）A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0且a≠19．若点（a，27）在函数y＝（）x的图象上，则的值为（）A．B．1C．2D．010．函数y＝a x在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a＝（）A．2B．C．4D．11．若实数m，n，p满足m＝4e，n＝5e，b＝，则（）A．p＜m＜n B．p＜n＜m C．m＜p＜n D．n＜p＜m12．已知，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c13．设a＝0.60.4，b＝0.40.6，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a14．a＝2，b＝3，c＝5则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a15．已知a＝0.24，b＝0.32，c＝0.43，则（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．a＜b＜c二．填空题（共3小题）16．若幂函数y＝（k﹣2）x m﹣1（k，m∈R）的图象过点（），则k+m＝．17．若幂函数f（x）＝x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m的取值范围是．18．若幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）•在（0，+∞）上是减函数，则实数m＝．三．解答题（共3小题）19．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），对于偶函数y＝g（x）（x∈R），当x≥0时，g（x）＝f（x）﹣2x．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）求当x＜0时，函数y＝g（x）的解析式；20．已知幂函数y＝f（x）的图象过点，（1）求函数f（x）的解析式，并求出它的定义域；（2）若偶函数g（x）满足，当x≥0时，g（x）＝f（2x+4），写出函数g（x）的解析式，并求它的值域．21．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．。
函数 章末综合测评高一上 数学北师大版(2019)必修第一册
第二章 函数 章末综合测评(总分值：150分 时间：120分钟)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．函数f (x )由下表给出，那么f (f (3))等于( )A ．C ．3D ．42．以下四组函数中，表示相同函数的一组是( ) A ．f (x )＝x 2－xx ，g (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－2，g (t )＝t 2－2D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 3．函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞) C ．[－1,0)∪(0，＋∞) D ．R4．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x －2，x >2，f (x ＋3)，x ≤2，那么f (2)的值等于( )A ．4B ．3C ．2D ．无意义5．f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，那么g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．16．f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax 在区间[1,2]上都是减函数，那么a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1)D ．[－1,0)∪(0,1]7．定义域为R 的函数f (x )在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，那么( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)8．函数f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，g (x )>f (x )，那么( )A ．F (x )的最大值为3，最小值为1B ．F (x )的最大值为2－7，无最小值C ．F (x )的最大值为7－27，无最小值D ．F (x )的最大值为3，最小值为－1二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分．9．假设f (x )为R 上的奇函数，那么以下说法正确的选项是( ) A ．f (x )＋f (－x )＝0 B ．f (x )－f (－x )＝2f (x ) C ．f (x )·f (－x )<0 D ．f (x )f (－x )＝－110．以下说法正确的选项是( )A ．函数f (x )的值域是[－2,2]，那么函数f (x ＋1)的值域为[－3,1]B ．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个C ．假设A ∪B ＝B ，那么A ∩B ＝AD ．函数f (x )的定义域是[－2,2]，那么函数f (x ＋1)的定义域为[－3,1] 11．有以下几个命题，其中正确的选项是( )A ．函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数B ．函数y ＝1x ＋1在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数 C ．函数y ＝5＋4x －x 2的单调区间是[－2，＋∞)D ．函数g (x )＝⎩⎨⎧2x －3，x >0，f (x )，x <0是奇函数，那么f (x )＝2x ＋312．定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间[0，＋∞)上的图象与f (x )的图象重合，设a >b >0，那么以下不等式正确的选项是( )A ．f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )B ．f (b )－f (－a )<g (a )－g (b )C ．f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a )D ．f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a )三、填空题：本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．函数f (x )＝3x ＋2在[－5，－4]上的值域是________． 14．二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，那么a 的值为________．15．函数f (x )＝x 2－2x －3，那么该函数的单调增区间为________． 16．函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R .(1)假设函数f (x )的图象与x 轴无交点，那么实数a 的取值范围为________； (2)假设函数f (x )在[－1,1]上与x 轴有交点，那么实数a 的取值范围为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题总分值10分)函数f (x )＝x ＋mx ，且f (1)＝3. (1)求m 的值；(2)判断函数f (x )的奇偶性．18．(本小题总分值12分)函数f (x )＝1－2x .(1)假设g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．19．(本小题总分值12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一局部组成．(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式；(2)假设f(x)＝12，求实数x的值．20．(本小题总分值12分)f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1.(1)求f(x)的解析式；(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的单调增区间．21．(本小题总分值12分)函数f(x)＝3－axa－1(a≠1)．(1)假设a>0，求f(x)的定义域；(2)假设f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．22．(本小题总分值12分)函数y＝x＋tx有如下性质：假设常数t>0，那么该函数在(0，t]上为减函数，在[t，＋∞)上为增函数．(1)f(x)＝4x2－12x－32x＋1，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，假设对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．参考解析1 A[∵f(3)＝4，∴f(f(3))＝f(4)＝1.]2 C[对于A，f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1的定义域不同，化简后对应关系相同，不是相同函数；对于B，f(x)＝x2，g(x)＝(x)2的定义域不同，对应关系不同，不是相同函数；对于C，f(x)＝x2－2，g(t)＝t2－2的定义域相同，对应关系相同，是相同函数；对于D，f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1的定义域不同，化简后对应关系相同，不是相同函数．应选C.]3 C [要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧1＋x ≥0，x ≠0，即x ≥－1且x ≠0.应选C.]4 C[∵f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x －2，x >2，f (x ＋3)，x ≤2，∴f (2)＝f (5)＝5＋15－2＝2.应选C.] 5 B [∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)． 又∵g (x )是偶函数，∴g (－1)＝g (1)． ∵f (－1)＋g (1)＝2，∴g (1)－f (1)＝2. ① ∵f (1)＋g (－1)＝4，∴f (1)＋g (1)＝4. ②由①②，得g (1)＝3.]6 B [f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，其单调减区间为[a ，＋∞)，f (x )在区间[1,2]上是减函数，那么a ≤1. 又g (x )＝ax 在区间[1,2]上是减函数，那么a >0. 综上可得，0<a ≤1.]7 D [∵y ＝f (x ＋4)为偶函数，∴f (－x ＋4)＝f (x ＋4)．令x ＝2，得f (2)＝f (－2＋4)＝f (2＋4)＝f (6)，同理，f (3)＝f (5)．又知f (x )在(4，＋∞)上为减函数，∵5<6，∴f (5)>f (6)，∴f (2)<f (3)，f (2)＝f (6)<f (5)，f (3)＝f (5)>f (6)．应选D.] 8 C [由F (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，g (x )>f (x )，知当3－2|x |≥x 2－2x ，即2－7≤x ≤3时，F (x )＝x 2－2x ；当x 2－2x >3－2|x |，即x <2－7或x >3时，F (x )＝3－2|x |，因此F (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，2－7≤x ≤3，3－2|x |，x <2－7或x >3＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ，x <2－7，x 2－2x ，2－7≤x ≤3，3－2x ，x >3作出其图象如下图，观察图象可以发现，F (x )max ＝F (2－7)＝7－27，无最小值，应选C.]9 AB [∵f (x )在R 上为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0，故A 正确． f (x )－f (－x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )，故B 正确． 当x ＝0时，f (x )·f (－x )＝0，故C 不正确． 当x ＝0时，f (x )f (－x )分母为0，无意义，故D 不正确．] 10 BCD [由f (x )与f (x ＋1)的值域相同知，A 错误；设f (x )＝0，且x ∈D ，D 是关于原点对称的区间，那么f (x )既是奇函数又是偶函数，由于D 有无数个，故f (x )有无数个，B 正确；由A ∪B ＝B 得，A ⊆B ，从而A ∩B ＝A ，C 正确；由－2≤x ＋1≤2得－3≤x ≤1，D 正确．应选B 、C 、D.]11 AD [由y ＝2x 2＋x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞上递增知，函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A 正确；y ＝1x ＋1在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数，如－2<0，但1－2＋1<10＋1，故B 错误；y ＝5＋4x －x 2在[－2，－1)上无意义，从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C 错误；设x <0，那么－x >0，g (－x )＝－2x －3，因为g (x )为奇函数，所以f (x )＝g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，故D 正确．应选AD.]12 AC [∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴－f (－a )＝f (a )，g (－b )＝g (b )．∵a >b >0，∴f (a )>f (b )>f (0)＝0，g (a )>g (b )>g (0)＝0，且f (a )＝g (a )，f (b )＝g (b )，f (b )－f (－a )＝f (b )＋f (a )＝g (b )＋g (a )>g (a )－g (b )＝g (a )－g (－b )，∴A 正确，B 不正确．又g (b )－g (－a )＝g (b )－g (a )<0，而f (a )－f (－b )＝f (a )＋f (b )>0，∴C 正确，D 不正确．应选AC.]13 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 [∵f (x )在[－5，－4]上为减函数，f (－5)＝3－5＋2＝－1，f (－4)＝3－4＋2＝－32. ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1.]14 －3或38 [f (x )的对称轴为直线x ＝－1. 当a >0时，f (x )max ＝f (2)＝4，解得a ＝38； 当a <0时，f (x )max ＝f (－1)＝4，解得a ＝－3. 综上，得a ＝38或a ＝－3.]15 [3，＋∞) [设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上为减函数，在[3，＋∞)上为增函数，所以函数f (x )的单调增区间为[3，＋∞)．]16 (1)(1，＋∞) (2)[－8,0] [(1)∵f (x )的图象与x 轴无交点， ∴Δ＝16－4(a ＋3)<0，∴a >1，即实数a 的取值范围为(1，＋∞)． (2)∵函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝2，且开口向上， ∴f (x )在[－1,1]上为减函数，∴要使f (x )在[－1,1]上与x 轴有交点， 需满足⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (－1)≥0，即⎩⎨⎧a ≤0，8＋a ≥0，∴－8≤a ≤0，即实数a 的取值范围为[－8,0]．] 17[解] (1)∵f (1)＝3，即1＋m ＝3，∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋2x ，其定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，关于原点对称，又 ∵f (－x )＝－x －2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－f (x )，∴此函数是奇函数．18[解] (1)由g (x )＝f (x )－a ，得g (x )＝1－a －2x ， 因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即1－a －2(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a －2x ，解得a ＝1.(2)函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数． 证明如下：任取0<x 1<x 2，那么f (x 1)－f (x 2) ＝1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝2(x 1－x 2)x 1x 2.因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0， 从而2(x 1－x 2)x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在(0，＋∞)内是增函数．19[解] (1)根据图象可知f (4)＝0，那么f (f (4))＝f (0)＝1. 设直线段对应的方程为y ＝kx ＋b .将点(0,1)和点(－1,0)代入可得b ＝1，k ＝1， 即y ＝x ＋1.当x >0时，设y ＝ax 2＋bx ＋c . 因为图象过点(0,0)，(4,0)，(2，－1)， 代入可得y ＝14x 2－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x 2－x ，x >0.(2)当x ＋1＝12时，x ＝－12，符合题意；当14x 2－x ＝12时，解得x ＝2＋6或x ＝2－6(舍去)． 故x 的值为－12或2＋ 6. 20[解] (1)设x <0，那么－x >0， 所以f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1. 又因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＋1.当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，得f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－x －1，x >0，0，x ＝0，－x 2－x ＋1，x <0.(2)作出函数图象，如下图．由函数图象易得函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.21[解] (1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a ，即函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3a . (2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，那么需3－a ×1≥0，此时1<a ≤3.当a －1<0，即a <1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，那么需－a >0，且3－a ×1≥0，此时a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．22[解] (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8.设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，那么1≤u ≤3，故y ＝u ＋4u －8，u ∈[1,3]．由性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )为减函数，所以f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )为增函数，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.由f (0)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)因为g (x )＝－x －2a ，在[0,1]上为减函数， 所以g (x )∈[－1－2a ，－2a ]．由题意，得f (x )的值域是g (x )的值域的子集， 所以⎩⎨⎧－1－2a ≤－4，－2a ≥－3，解得a ＝32.。
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[基 础 达 标]
1．函数y ＝⎩⎨⎧
x 2
，x ＜0，
2x －1，x ≥0
的图象大致是( )
解析：当x ＜0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.
答案：B
2．函数y ＝x ln|x |
|x |的图象可能是( )
解析：易知函数y ＝x ln|x |
|x |为奇函数，故排除A 、C ，当x ＞0时，y ＝ln x ，只有B 项符合，故选B.
答案：B
3．为了得到函数y ＝2x －3－1的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点( )
A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 解析：y ＝2x ―――――――――――――――――→ 向右平移3个单位长度
y ＝2x －3 ―――――――――――――――――――→ 向下平移1个单位长度 y ＝2x －3－1. 答案：A
4．函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )
解析：由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0，故选B.
答案：B
5．下列函数f (x )的图象中，满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )
解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A 、B ；在C 中，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14＜f (3)，排除C ，选D. 答案：D
6．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )
解析：要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象做关于x 轴的对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．
答案：C
7.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )
A ．f (x )＝ln|x |
x B ．f (x )＝e x
x C ．f (x )＝1
x 2－1 D ．f (x )＝x －1
x
解析：由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C ；若函数为f (x )＝x －1
x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.
答案：A
8．(2017届河南濮阳检测)函数f (x )＝
x
x 2＋a
的图象可能是( )
A ．①③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
解析：取a ＝0，可知④正确；取a ＝－4，可知③正确；取a ＝1，可知②正确；无论a 取何值都无法作出图象①，故选C.
答案：C
9．已知函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足f (x )＋f (－x )
＝0，当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )
解析：由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数，排除C 、D ；
又当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，所以f (1)＝0，f (e)＝2－e<0，排除B.故选A. 答案：A
10．若函数f (x )＝1
ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )的部分图象如图所示，则b ＝
________.
解析：由图象可知二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且g (1)＝g (3)＝0，
g (2)＝－1，所以解得b ＝－4. 答案：－4
11．若函数y ＝f (x ＋3)的图象经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图象必经过点________．
解析：解法一：函数y ＝f (x )的图象是由y ＝f (x ＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的．
故y ＝f (x )的图象经过点(4,4)．
解法二：由题意得f (4)＝4成立，故函数y ＝f (x )的图象必经过点(4,4)．
答案：(4,4)
12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .
(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？
(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示． 由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1
4在区间(0，＋∞)上是
增函数，
所以H (t )＞H (0)＝0.
因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．
[能 力 提 升]
1．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎨⎧
2－x
－1，x ≤0，
f (x －1)，x ＞0，
若方程f (x )＝x
＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，1]
C ．(0,1)
D ．(－∞，＋∞)
解析：x ≤0时，f (x )＝2－x －1， 0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0， f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.
当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)，f (x )是周期函数，且周期为1. 如图所示．
若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，
故a ＜1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 答案：A
2．(2017届河北衡水中 三模)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是
( )
解析：由于f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
21＋e x
－1cos x ＝1－e x 1＋e x ·cos x ，而g (x )＝1－e x 1＋e x 是奇函数，h (x )＝cos x 是偶函数，所以f (x )是奇函数，图象应关于原点对称，据此排除选项A 、
C ；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，1－e x
1＋e
x ＜0，cos x ＞0，从而必有f (x )＜0，即在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2上，函数图象应该位于x 轴下方，据此排除选项D ，故选B.
答案：B
3．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
4．(2017届山东泰安模拟)已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)和函数g (x )＝sin π
2x ，若f (x )与g (x )的图象有且
只有3个交点，则a 的取值范围是________． 解析：由对数函数以及三角函数的图象，如图，
可得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞1，f (9)＞1，
f (5)＜1
或⎩⎪⎨⎪
⎧
0＜a ＜1，f (7)＜－1，f (3)＞－1，
解得5＜a ＜9或17＜a ＜1
3.
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫
17，13∪(5,9)。