中考复习第一轮课件21反比例函数(1)

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2022年中考数学一轮复习第四讲函数专题之反比例函数

教学目标知识梳理第四讲一轮复习—函数专题之反比例函数1、掌握反比例函数的定义，会用待定系数法求解析式，理解其图像的性质；2、理解反比例函数与方程及不等式的关系，学会利用图像解决相关问题。

知识点一、反比例函数的定义反比例函数：形如y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式xy =k 、 1-=kx y 。

知识点二、反比例函数的图像1、图像形状：反比例函数的图像属于双曲线。

【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论知识点三、|k |的几何意义1、过反比例函数()0ky k x=≠，图像上一点()P x y ，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==。

2、与反比例函数上的点有关的三角形的面积【误区警示】应用比例系数k 的几何意义时的易错点 (1)忽略图像所在的象限而导致k 的符号出错 (2)混淆矩形或三角形与|k |的倍数关系 3、与反比例函数上的点有关的梯形的面积S △OCD =S 梯形ABCD知识点四、反比例函数解析式的确定由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

知识点五、反比例函数的应用1、反比例函数在实际问题中的应用反比例函数在实际问题中,通常自变量的取值范围因实际背景而受到限制,这时对应的函数图像会是双曲线的一支或一段.在实际问题中,要注意标明自变量的取值范围. 2、反比例函数图像与一次函数图像的交点问题典型例题一次函数y=k 1x+b (k 1≠0)的图像与反比例函数y =k 2x(k 2≠0)的图像的交点个数有三种情况:0个、1个、2个.因为两个函数表达式联立组成的二元方程组可化为一个一元二次方程,所以两个函数图像的交点个数由这个一元二次方程的实数解的个数来决定.【提分笔记】在同一平面直角坐标系中,正比例函数与反比例函数若有交点,则这两个交点关于原点对称例1．已知双曲线1k y x-=经过点（-2，3），那么k 的值等于_______．例2．点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝－3x图像上的两点.若x 1＞x 2＞0，则y 1________y 2（选填“＞”、“＝”或“＜”）.例3．若点()12020,A y -、()22021,B y 都在双曲线32ay x +=上，且12y y >，则a 的取值范围是（）A ．0a < B ．0a > C ．32a >- D ．32a <-例4．已知反比例函数3k y x+=的图像位于第二、四象限，则k 的取值范围为（） A ．3k >- B ．3k ≥-C ．3k <-D ．3k ≤-例5．已知反比例函数y =﹣8x，下列结论：①图像必经过（﹣2，4）；②图像在二，四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x ＞﹣1时，则y ＞8．其中错误的结论有（）个A ．3B ．2C ．1D ．0例6．若正比例函数y ＝－4x 与反比例函数y ＝kx的图像相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为2，则k 的值为（）A ．－16B ．－8C ．16D ．8例7．如图，已知A为反比例函数kyx=（x<0）的图像上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（）A．2B．-2C．4D．-4例8．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，BA⊥y轴于点B，反比例函数y=kx（x＞0）的图像与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为( )A．13B．1C．2D．3例9．如图，矩形OCBA的两条边OC、OA分别在x、y的正半轴上，另两条边AB、BC分别与函数k yx =（0x>）的图像交于E，F两点，且E是AB的中点，连接OE，OF，若OEF的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5例10．如图，点A 在双曲线 3y x = 上，点 B 在双曲线 5y x=上，C 、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4例11．如图，在△AOB 中，OC 平分∠AOB ，43OA OB =，反比例函数(0)ky k x =<图像经过点A 、C 两点，点B 在x 轴上，若△AOB 的面积为7，则k 的值为（）A ．4-B ．3-C ．215-D ．73-例12．点A （a ，b ）是一次函数y=x ﹣2与反比例函数y =4x的交点，则a 2b ﹣ab 2=________．例13．如图，点A 是双曲线6y x=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC ，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线ky x=上运动，则k 的值为________.例14．如图，点A 在反比例函数11(0)y x x =>的图像上，点B 在反比例函数2(x 0)ky x=<的图像上，AB ⊥y 轴，若△AOB 的面积为2，则k 的值为____．例15．如图，已知A （12，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y ＝1x 图像上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是_____．例16．（2020·江苏南通市·九年级零模）已知点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，线段OB 的长是方程x 2﹣2x ﹣8=0的解，tan ∠BAO =12．（1）求点A 的坐标；（2）点E 在y 轴负半轴上，直线EC ⊥AB ，交线段AB 于点C ，交x 轴于点D ，S △DOE =16．若反比例函数y =kx的图像经过点C ，求k 的值；（3）在（2）条件下，点M 是DO 中点，点N ，P ，Q 在直线BD 或y 轴上，是否存在点P ，使四边形MNPQ 是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．真题链接例17．（2020·江苏苏州市·九年级零模）如图，矩形ABCD 的两边AD 、AB 的长分别为3、8，E 是DC 的中点，反比例函数y ＝mx的图像经过点E ，与AB 交于点F ．（1）若点B 坐标为（﹣6，0），求图像经过A 、E 两点的一次函数的表达式是_____；（2）若AF ﹣AE ＝2，则反比例函数的表达式是_____．1.若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在函数y =2019x的图像上,且x 1<0<x 2,则 ( )A . y 1<y 2B . y 1=y 2C . y 1>y 2D . y 1=-y 2 2.若反比例函数xy 2-=的图像上有两个不同的点关于y 轴对称点都在一次函数y =-x +m 的图像上，则m 的取值范围是（）A .22＞mB .22-＜m ①C .22-22＜或＞m mD .2222-＜＜m 3.如图,菱形ABCD 的两个顶点B 、D 在反比例函数y =kx 的图像上,对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ,已知点A (1,1),∠ABC =60°,则k 的值是 ( )A .-5B .-4C .-3D .-24.如图,矩形ABCD 的顶点A ,B 在x 轴的正半轴上,反比例函数y =kx在第一象限内的图像经过点D ,交BC 于点E ,若AB =4,CE =2BE ,tan ∠AOD =34,则k 的值为 ( )A .3B . 2 C . 6D . 125.如图,已知点A 是反比例函数y =−2x (x <0)的图像上的一个动点,连接OA ,若将线段OA绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ,则点B 所在图像的函数表达式为 . 6.函数1y x =与24y x=的图像如图所示，下列关于函数12y y y =+的结论：①函数的图像关于原点中心对称；①当2x <时，y 随x 的增大而减小；①当0x >时，函数的图像最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是．【2021江苏中考真题】7.（2021•江苏淮安中考）如图（1），①ABC 和①A ′B ′C ′是两个边长不相等的等边三角形，点B ′、C ′、B 、C 都在直线l 上，①ABC 固定不动，将①A ′B ′C ′在直线l 上自左向右平移．开始时，点C ′与点B 重合，当点B ′移动到与点C 重合时停止．设①A ′B ′C ′移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，y 与x 之间的函数关系如图（2）所示，则①ABC 的边长是．8.（2021•江苏南通中考）平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x 与双曲线y =xk（k ＞2）相交于A ,B 两点，其中点A 在第一象限，设M （m ，2）为双曲线y =xk（k ＞2）上一点，直线AM ，BM 分别交y 轴于点C ,D 两点，则OC -OD 的值为（）.A .2B .4C .6D .89.（2021•江苏扬州中考）如图，点P 是函数y ＝xk 1（k 1＞0，x ＞0）的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数y ＝xk 2（k 2＞0，x ＞0）的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中k 1＞k 2．下列结论：①CD ①AB ；①S ①OCD ＝221k k -；①S ①DCP ＝12212)(k k k -，其中正确的是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①10.（2021•江苏宿迁中考）如图，点A 、B 在反比例函数()ky 0x x=＞的图像上，延长AB 交x 轴于C 点，若①AOC 的面积是12，且点B 是AC 的中点，则k =__________．11.（2021•江苏宿迁中考）已知双曲线ky (0)k x=<过点(3，1y )、(1，2y )、(-2，3y )，则下列结论正确的是（）A . 312y y y ＞＞B . 321y y y ＞＞C . 213y y y ＞＞D . 231y y y ＞＞12.（2021•江苏无锡中考）一次函数y ＝x +n 的图像与x 轴交于点B ，与反比例函数y ＝xm（m ＞0）的图像交于点A （1，m ），且①AOB 的面积为1，则m 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．413.（2021•江苏泰州中考）如图，点A （﹣2，y 1）、B （﹣6，y 2）在反比例函数y ＝kx（k ＜0）的图像上，AC ①x 轴，BD ①y 轴，垂足分别为C 、D ，AC 与BD 相交于点E ．（1）根据图像直接写出y 1、y 2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从①四边形OCED 的面积为2，①BE ＝2AE 这两个条件中任选一个作为补充条件，求k 的值．你选择的条件是（只填序号）．1114.（2021•江苏徐州中考）如图，点 A 、D 分别在函数xy x y 63=-=、的图像上，点 B 、C 在 x 轴上.若四边形 ABCD 为正方形，点 D 在第一象限，则 D 的坐标是 .15.（2021•江苏常州中考）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度．．．．、图形面积大小．．．．．．等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】(1)如图1，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，垂足分别为C 、D ，E 是AB 的中点，连接CE.已知AD =a ，BD =b(0<a <b)． ①分别求线段CE 、CD 的长(用含a 、b 的代数式表示)；②比较大小：CE ______ CD(填“<”、“=”或“>”)，并用含a 、b 的代数式表示该大小关系．【应用】(2)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M 、N 在反比例函数y =1x (x >0)的图像上，横坐标分别为m 、n.设p =m +n ，q =1m +1n ，记l =14pq ．①当m =1，n =2时，l = ______ ；当m =3，n =3时，l = ______ ；②通过归纳猜想，可得l 的最小值是______ .请利用图．．．2．构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．12巩固练习1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（） A ．x (y –1)=1B ．15y x =- 1C 3y x=． 21D y x=． 2．已知反比例函数y =8k x-的图像位于第一、三象限，则k 的取值范围是（） A ．k >8 B ．k ≥8 C ．k ≤8 D ．k <83．若点A （–5，y 1），B （–3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数3y x=的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（） A ．y 1<y 3<y 2 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 1<y 2<y 34．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图像相交于A （-3，-2），B （2，3）两点，则不等式y 1>y 2的解集是（）13A ．-3<x <2B ．x <-3或x >2C ．-3<x <0或x >2D ．0<x <25．一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=，其中ab <0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图像可以是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知反比例函数ky x=与一次函数y =x +b 的图像在第一象限相交于点A （1，-k +4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图像的另一个交点B 的坐标，并根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．8．如图，已知A （-4，n ），B （2，-4）是一次函数y =kx +b 的图像与反比例函数my x=的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求方程0x xk b m+-<的解集（请直接写出答案）．9．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？14思维导图1516。

第11章反比例函数-2021年中考数学一轮复习(考点梳理+重难点讲解+过关演练)

2021年中考数学一轮复习(通用版)第11章反比例函数考点梳理考点一反比例函数的概念、图象和性质1．反比例函数的概念一般地，函数y＝(k为常数，且k≠0)叫做反比例函数．【点拨】(1)函数y＝kx－1或xy＝k都是反比例函数；(2)反比例函数中自变量的取值范围是x≠0. 2．反比例函数的图象和性质(1)反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)的图象是．(2)反比例函数的图象无限接近，但永不与相交．(3)反比例函数的图象和性质第一、三象限第二、四象限一象限，再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较，解决这种问题的一个有效办法是画出草图，标上各点，再比较大小．3．确定反比例函数的表达式(1)求反比例函数的表达式可用待定系数法．由于反比例函数的表达式中只有一个待定系数，因此只需已知一组对应值即可．(2)求反比例函数表达式的一般步骤：①设反比例函数的表达式；①把已知的一组对应值代入函数表达式，建立方程；①解方程求得待定系数的值．4．反比例函数的系数k的几何意义如图，设点P(x，y)是反比例函数y＝kx图象上任一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A，则①OP A的面积＝12OA·P A＝12|xy|＝12|k|，这就是反比例函数的系数k的几何意义．【点拨】根据比例系数k的几何意义，求k值时，要根据双曲线所在的象限正确确定k的符号.考点二反比例函数的应用1．反比例函数与一次函数的综合应用(1)求函数解析式一般先通过一个已知点求出反比例函数解析式，再由反比例函数的解析式求出另一个交点的坐标，再将这两点的坐标代入一次函数的解析式中，解方程(组)即可．(2)求交点坐标将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立成方程组求解即可；对于正比例函数与反比例函数，其均关于原点对称，只要知道一个交点的坐标，就可以求出其关于原点对称的另一个交点的坐标．(3)求面积①当有一边在坐标轴上时，通常将坐标轴上的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，然后利用面积公式求解；①当两边均不在坐标轴上时，一般可采用割补法将其转化为一边在坐标轴上的两个三角形面积的和或差来求解．此外，求面积时要充分利用“数形结合”的思想，即用“坐标”求“线段”，用“线段”求“坐标”．(4)比较两个函数值的大小，求自变量的取值范围2．反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题，首先要建立反比例函数的数学模型，这也是关键一步，一般地，建立反比例函数模型有两种思路：(1)题目中明确指出变量间存在反比例函数关系，在这种情况下，可利用待定系数法求反比例函数的解析式.(2)题目中未指出变量间存在反比例函数关系，在这种情况下可利用基本数量关系求反比例函数的关系式，反比例函数模型建立后，进一步地可利用反比例函数的图像及性质解决问题．重难点讲解考点一正确理解反比例函数的概念，会求k值和反比例函数的解析式方法指导：因为反比例函数的解析式y＝kx(k≠0)中只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式，因而只需给出一组x，y的值或图象上一点的坐标，代入y＝kx(k≠0)中即可求出k的值，从而确定反比例函数的解析式．另外，反比例函数解析式y＝kx(k≠0)也可以变形为k＝xy(k≠0)，所以要求的k值就等于双曲线上任意一点的横坐标与纵坐标之积．进一步理解得到反比例函数解析式y＝kx(k≠0)中，比例系数k的几何意义是过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为|k|.经典例题1 (2020•安徽滁州模拟)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝kx(x＞0)经过矩形ABOC的对角线OA的中点M，已知矩形ABOC的面积为16，则k的值为()A．2B．4C．6D．8【解析】设A(a，b)，则ab＝16，∵点M是OA的中点，∴M(12a，12b)，∵反比例函数y＝kx(x＞0)经过点M，∴k＝12a﹒12b＝14ab＝14×16＝4．【答案】B考点二一次函数与反比例函数的综合方法指导：这类问题常有以下四种主要题型：(1)利用k值与图象的位置关系，综合确定系数符号或图象位置．解题策略：分k>0和k<0两种情况考虑．(2)已知直线与双曲线的表达式求交点坐标．解题策略：联立直线与双曲线的方程组成方程组求解．(3)用待定系数法确定直线与双曲线的表达式．解题策略：待定系数法．(4)应用函数图象的性质比较一次函数值与反比例函数值的大小．解题策略：看图象，以两个图象的交点为界，图象在上方的函数值比图象在下方的要大．经典例题2 (2020•黑龙江大庆模拟)如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点．(1)求反比例函数的解析式与点B坐标；(2)求△AOB的面积．【解析】(1)利用待定系数法求出点A坐标即可解决问题．(2)构建方程组求出交点B坐标，直线y＝－x ＋5交y轴于E(0，5)，根据S△AOB＝S△OBE－S△AOE计算即可．解：(1)∵A(1，n)在直线y＝－x＋5上，∴n＝－1＋5＝4，∴A(1，4)，把A(1，4)代入y＝kx得到k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x．(2)由45y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，，解得14x y =⎧⎨=⎩，或41x y =⎧⎨=⎩，， ∴B (4，1)，直线y ＝－x ＋5交y 轴于E (0，5)， ∴S △AOB ＝S △OBE －S △AOE ＝12×5×4－12×5×1＝7.5．考点三反比例函数的应用方法指导：利用反比例函数解决实际问题，我们应抽象概括出反比例函数关系，建立反比例函数模型．根据已知条件写出反比例函数的解析式，并能把实际问题反映在函数的图象上，结合图象和性质解决实际问题．因此，利用反比例函数解决实际问题的关键是建立反比例函数模型，即求出反比例函数解析式．一般地，建立反比例函数模型有以下两种常用方法：(1)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为y ＝kx(k ≠0)，然后求出k 的值即可．(2)列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数(y )和自变量(x )的方程，进而解出函数，得到函数解析式．经典例题3 (2020·江西模拟)小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当0≤x ≤10时，求水温y (℃)与开机时间x (分)的函数关系式； (2)求图中t 的值；(3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？解：(1)当0≤x≤10时，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系为y＝kx＋b，依据题意，得2010100 bk b⎧⎨⎩＝，＋＝，解得820kb⎧⎨⎩＝，＝，故此函数解析式为y＝8x＋20.(2)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为y＝mx，依据题意，得100＝10m，即m＝1000，故y＝1000x，当y＝20时，20＝1000t，解得t＝50.(3)∵57－50＝7＜10，∴当x＝7时，y＝8×7＋20＝76.答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为76℃.过关演练1．(2020·河南一模)已知点A(2，a)，B(－3，b)都在双曲线y＝－6x上，则()A．a＜b＜0B．a＜0＜b C．b＜a＜0 D．b＜0＜a2．(2020•山东德州中考)函数y＝kx和y＝－kx＋2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A B C D 3．(2020•贵州黔西南州中考)如图，在菱形ABOC中，AB＝2，①A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y═kx(k≠0)的图象上，则反比例函数的解析式为()A ．y ＝－x B ．y ＝－x C ．y ＝－3xD ．y ＝x4．(2020·湖南长沙模拟)若点A (3，4)是反比例函数y ＝kx图象上一点，则下列说法正确的是( ) A ．图象分別位于二、四象限 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 C ．点(2，－6)在函数图象上 D ．当y ≤4时，x ≥3 5．(2020·安徽合肥模拟)在同一坐标系中，函数y ＝kx和y ＝－kx ＋3的大致图象可能是( )A B C D6．(2020·安徽合肥一模)如图，若反比例函数y ＝k x (x ＜0)的图象经过点(－12，4)，点A 为图象上任意一点，点B 在x 轴负半轴上，连接AO ，AB ，当AB ＝OA 时，①AOB 的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．无法确定7. (2020•湖北孝感中考)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I (单位：A)与电阻R (单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为( )A．I＝24RB．I＝36RC．I＝48RD．I＝64R8. (2020•湖南长沙中考)2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v(单位：m3/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间的函数关系式是()A．v＝610tB．v＝106t C．v＝6110t2D．v＝106t29．(2020·河北一模)已知反比例函数y＝mx与一次函数y＝kx＋b的图象相交于点A(4，1)，B(a，2)两点，一次函数的图象与y轴交于点C，点D在x轴上，其坐标为(1，0)，则①ACD的面积为()A．12B．9C．6D．510．(2020·广东广州一模)如图所示，已知A(13，y1)，B(3，y2)为反比例函数y＝1x图象上的两点，动点P(x，0)在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是()A．(13，0) B．(43，0) C．(23，0) D．(103，0)11．(2020·湖北十堰一模)已知反比例函数y＝24kx+(k是常数，且k≠－2)的图象有一支在第二象限，则k的取值范围是．12．(2020•江苏无锡模拟)如果反比例函数y＝3ax-(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是．13．(2020•山东滨州中考)若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为．14．(2020•四川甘孜州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数y＝2 x的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且①ABP的面积是①AOB的面积的2倍，则点P的横坐标为．15．(2020·安徽阜阳模拟)如图，菱形ABCD的顶点A，B的横坐标分别为1，4，BD①x轴，双曲线y＝5 x (x＞0)经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为．16．(2020•山东青岛)如图所示，点A是反比例函数y＝kx(x＜0)的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积是2，则k＝．17．(2020•浙江台州中考)小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y(单位：秒)与训练次数x(单位：次)之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较(y1－y2)与(y2－y3)的大小：y1－y2y2－y3．18．(2020•山东济宁中考)在①ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，①ABC的面积为2．(1)y关于x的函数关系式是，x的取值范围是；(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；(3)将直线y＝－x＋3向上平移a(a＞0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．19．(2020·安徽合肥三模)如图，一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数y＝kx(x＜0)的图象交于点A(－3，m)，与x轴交于点B(－2，0)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若直线y＝3与直线AB交于点C，与双曲线交于点D，求CD的长；(3)根据图象，直接写出不等式－x＋b＜kx＜3的解集．20．(2020·浙江金华模拟)如图，一次函数y1＝－x＋4的图象与反比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象交于A(1，a)，B两点，与y轴和x轴分别交于C，D两点，AM①y轴，BN①x轴，垂足分别为M，N两点，且AM与BN交于点E.(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)直接写出反比例函数图象位于第一象限且y1＜y2时自变量x的取值范围；(3)求①OAB与①ABE的面积的比．21．(2020•四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝mx(x＞0)的图象经过点A(3，4)，过点A的直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于B，C两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)若①AOB的面积为①BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．22．(2020•山东聊城中考)如图，已知反比例函数y＝kx的图象与直线y＝ax＋b相交于点A(－2，3)，B(1，m)．(1)求出直线y＝ax＋b的表达式；(2)在x轴上有一点P使得①P AB的面积为18，求出点P的坐标．23．(2020·江西南昌模拟)制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800①，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600①.煅烧时温度y(①)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(①)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是26①.(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；(2)根据工艺要求，当材料温度低于400①时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？参考答案考点梳理考点一 1.kx2. (1)双曲线 (2)坐标轴坐标轴 (3)减小增大中心过关演练1. B 【解析】①双曲线y ＝6x，k ＝－6＜0，①双曲线在第二、四象限，①2＞0，－3＜0，①点A (2，a )在第四象限，点B (－3，b )在第二象限，①a ＜0＜b .2. D 【解析】在函数y ＝k x 和y ＝－kx ＋2(k ≠0)中，当k ＞0时，函数y ＝kx的图象在第一、三象限，函数y ＝－kx ＋2的图象在第一、二、四象限，故选项A 、B 错误，选项D 正确；当k ＜0时，函数y ＝kx的图象在第二、四象限，函数y ＝－kx ＋2的图象在第一、二、三象限，故选项C 错误．3. B 【解析】①在菱形ABOC 中，①A ＝60°，菱形边长为2，①OC ＝2，①COB ＝60°，①点C 的坐标为(－1，，①顶点C 在反比例函数y ═k x 的图象上，＝1k，得k y ＝－x ．4. B 【解析】①点A (3，4)是反比例函数y ＝kx图象上一点，①k ＝xy ＝3×4＝12，①此反比例函数的解析式为y ＝12x.①k ＝12＞0，①此函数的图象位于一、三象限，故选项A 错误；①k ＝12＞0，①在每一象限内y 随x 的增大而减小，故选项B 正确；①2×(－6)＝－12≠12，①点(2，－6)不在此函数的图象上，故选项C 错误；当y ≤4时，即y ＝12x≤4，解得x ＜0或x ≥3，故选项D 错误． 5. D 【解析】由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＞0，根据一次函数图象可得－k ＞0，则k ＜0，故选项A 错误；由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＞0，根据一次函数图象可得－k ＞0，则k ＜0，故选项B 错误；由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＜0，根据一次函数图象可得－k ＜0，则k ＞0，故选项C 错误；由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＞0，根据一次函数图象可得－k ＜0，则k ＞0，故选项D 正确．6. B 【解析】①反比例函数y ＝k x (x ＜0)的图象经过点(－12，4)，①k ＝－12×4＝－2，过A 点作AC ①OB于点C，①①ACO的面积为12×2＝1，①AO＝AB，①OC＝BC，①S①AOB＝2S①AOC＝2.7. C 【解析】设I＝kR，把(8，6)代入得：k＝8×6＝48，故这个反比例函数的解析式为I＝48R．8. A 【解析】①运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，①106＝vt，①v＝6 10t．9. D 【解析】①点A(4，1)在反比例函数y＝mx上，①m＝xy＝4×1＝4，①y＝4x.把B(a，2)代入y＝4x得2＝4a，①a＝2，①B(2，2)．①把A(4，1)，B(2，2)代入y＝kx＋b.①1422k bk b⎧⎨⎩＝＋，＝＋，解得123kb⎧⎪⎨⎪⎩＝－，＝，①一次函数的解析式为y＝12x＋3，①点C在直线y＝12x＋3上，①当x＝0时，y＝3，①C(0，3)．过A作AE①x轴于点E.①S①ACD＝S梯形AEOC－S①COD－S①DEA＝(13)42+⨯－12×1×3－12×1×3＝5.10. D 【解析】把A(13，y1)，B(3，y2)代入反比例函数y＝1x得y1＝3，y2＝13，①A(13，3)，B(3，13)．连接AB，在①ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP－BP|＜AB，①延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，P A－PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝ax＋b(a≠0)，把点A，B的坐标代入得133133a ba b⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋，＝＋，解得1103ab⎧⎪⎨⎪⎩＝－，＝，①直线AB的解析式是y＝－x＋103，当y＝0时，x＝103，即P(103，0)．11. k＜－2 【解析】①反比例函数y＝24kx+的图象有一支在第二象限，①2k＋4＜0，解得k＜－2.12. a＞3 【解析】∵反比例函数y＝3ax-(a是常数)的图象在第一、三象限，∴a－3＞0，∴a＞3．13. y＝2x【解析】当y＝2时，即y＝2x＝2，解得x＝1，故该点的坐标为(1，2)，将(1，2)代入反比例函数表达式y＝kx，解得k＝2，故该反比例函数的解析式为y＝2x．14. 2【解析】①当点P在AB下方时作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则①ABP的面积是①AOB的面积的2倍，直线AB与x轴交点的坐标为(－1，0)，则直线l与x轴交点的坐标C(1，0)，设直线l的表达式为y＝x＋b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝－1，故直线l的表达式为y＝x－1①，而反比例函数的表达式为y＝2x①，联立①①并解得x＝2或－1(舍去)；①当点P在AB上方时，同理可得，直线l的函数表达式为：y＝x＋3①，联立①①并解得x舍去负值)．15. 452【解析】连接AC，与BD交于点M，①菱形对角线BD①x轴，①AC①BD，①点A，B横坐标分别为1和4，双曲线y＝5x(x＞0)经过A，B两点，①AM＝5－54＝154，BM＝4－1＝3，①AC＝152，BD＝6，①菱形ABCD的面积12AC·BD＝452.16. －4 【解析】设反比例函数的解析式为y＝kx．∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝2，△AOB的面积＝12|k|，∴12|k|＝2，∴k＝±4；又反比例函数的图象的一支位于第二象限，∴k＜0．∴k＝－4．17. 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx，把(3，400)代入y＝kx得，400＝3k，解得k＝1200，①y与x之间的函数关系式为y＝1200x；(2)＞提示：把x＝6，8，10分别代入y＝1200x得，y1＝12006＝200，y2＝12008＝150，y3＝120010＝120，①y1－y2＝200－150＝50，y2－y3＝150－120＝30，①50＞30，①y1－y2＞y2－y3．18. 解：(1)y＝4xx＞0 提示：①在①ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，①ABC的面积为2，①12xy＝2，①xy＝4，①y关于x的函数关系式是y＝4x，x的取值范围为x＞0.(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；(3)将直线y ＝－x ＋3向上平移a (a ＞0)个单位长度后解析式为y ＝－x ＋3＋a ，解34y x a y x =-++⎧⎪⎨=⎪⎩，，整理得，x 2－(3＋a )x ＋4＝0，①平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，①①＝(3＋a )2－16＝0，解得a ＝1，a ＝－7(不合题意舍去)，故此时a 的值为1．19. 解：(1)由点B (－2，0)在一次函数y ＝－x ＋b 上，得b ＝－2，①一次函数的表达式为y ＝－x －2；由点A (－3，m )在y ＝－x －2上，得m ＝1，①A (－3，1)，把A (－3，1)代入数y ＝kx(x ＜0)得k ＝－3，①反比例函数的表达式为y ＝－3x. (2)y ＝3，即y C ＝y D ＝3，当y C ＝3时，－x C －2＝3，解得x C ＝－5，当y D ＝3时，3＝－3Dx ，解得x D ＝－1，①CD ＝x D －x C ＝－1－(－5)＝4. (3)不等式－x ＋b ＜kx＜3的解集为－3＜x ＜－1. 20. 解：(1)当x ＝1时，a ＝－x ＋4＝3，①点A 的坐标为(1，3)．将点A (1，3)代入y ＝kx中，①k ＝1×3＝3，①反比例函数的表达式为y ＝3x ，联立34y xy x ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝－＋，解得13x y ⎧⎨⎩＝，＝，或31x y ⎧⎨⎩＝，＝， ①B (3，1)． (2)反比例函数图象位于第一象限且y 1＜y 2时自变量x 的取值范围为0＜x ＜1或x ＞3. (3)①A (1，3)，B (3，1)，①E (3，3)，AE ＝2，BE ＝2，①S ①ABE ＝12×2×2＝2，①S ①OAB ＝S 四边形ONEM －S ①ABE －S ①AOM －S ①BON ＝3×3－2－12×3×1－12×3×1＝4，①①OAB 与①ABE 的面积的比是4①2＝2①1.21. 解：(1)①反比例函数y＝mx(x＞0)的图象经过点A(3，4)，①k＝3×4＝12，①反比例函数的表达式为y＝12x；(2)①直线y＝kx＋b过点A，①3k＋b＝4，①过点A的直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于B，C两点，①B(－b k ，0)，C(0，b)，①①AOB的面积为①BOC的面积的2倍，①12×4×|－bk|＝2×12×|－bk|×|b|，①b＝±2，当b＝2时，k＝23，当b＝－2时，k＝2，①直线的函数表达式为y＝23x＋2，y＝2x－2．22. 解：(1)将点A(－2，3)的坐标代入反比例函数表达式y＝kx，解得k＝－2×3＝－6，故反比例函数表达式为y＝－6x，将点B的坐标代入上式，解得m＝－6，故点B(1，－6)，将点A，B的坐标代入一次函数表达式得326=a ba b=-+⎧⎨-+⎩，，解得3=3ab=-⎧⎨-⎩，，故直线的表达式为y＝－3x－3；(2)设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝－1，故点E(－1，0)，分别过点A，B作x轴的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，则S①P AB＝12PE•CA＋12PE•BD＝32PE＋62PE＝92PE＝18，解得PE＝4，故点P的坐标为(3，0)或(－5，0)．23. 解：(1)材料锻造时，设y＝kx(k≠0)，由题意得600＝8k，解得k＝4800，当y＝800时，4800x＝800，解得x＝6，①点B的坐标为(6，800)．材料煅烧时，设y＝ax＋26(a≠0)，由题意得800＝6a＋26，解得a＝129，①材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝129x＋26(0≤x≤6).4800÷26＝184.6，①锻造操作时y与x的函数关系式为y＝4800x(6＜x＜184.6)．(2)把y＝400代入y＝4800x，得x＝12，12－6＝6(分)．答：锻造的操作时间为6分钟．。

湘教版九年级数学 1.2 反比例函数的图象与性质(学习、上课课件)

知3－讲
已知函数 y＝kx (k ≠ 0).
感悟新知
知3－讲
特别提醒
◆在利用反比例函数y＝kx(k ≠ 0)中k的几何性质确定k的值时，不仅要注意矩形面积的大小，还要注意函数图象的位置.
感悟新知
k 值与矩形面积的关系 k 值与三角形面积的关系知3－讲
图形
条件
过图象上任意一点 P 分别作PM ⊥ x 轴于
2-2. [ 中考·天门] 在反比例函数 y= 4－x k的图象上有两
点 A( x1，y1)， B( x2， y2)，当 x1 ＜0 ＜ x2 时，有 y1 ＜ y2，则 k 的取值范围是( C )
A. k ＜ 0
B. k ＞ 0
C. k ＜ 4
D. k ＞ 4
感悟新知
知识点 3 反比例函数 y＝kx (k ≠ 0)中k的几何性质
过图象上任意一点 E 作 M，EF ⊥ y 轴于 F，连接 OE
PN ⊥ y 轴于 N
结论
S 矩形 OMPN=|k|
S
△
OEF=
|k| 2
感悟新知
知3－讲
矩形 OMPN 的面积S=PM·PN=|yP|·|xP|= |xPyP|.所以 S=|k|.同理，S △ OEF= |k2|.
感悟新知
知3－练
示意图(如图1.2-1).
知1－讲
感悟新知
活学巧记点越多，越精确，平滑曲线把点过，两个分支不能少，对称关系很奇妙.
知1－讲
感悟新知
知1－练
例1 [母题教材 P7 探究]在同一平面直角坐标系中画出反
比例函数y＝8x和y＝－8x的图象.
解题秘方：紧扣画图象的“一列、二描、三连” 的步骤作图.

专题反比例函数-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

考其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数．点
真表达式：y k 或y=kx-1 或 xy=k(k≠0)．
题
x
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
精
练
提升
考点1 反比例函数的图象与性质
检测
考
2.(202X•T6)在平面直角坐标系中,分别过点A(m,0),B(m+2,0)
检测
考
1及.如y2图=,2x直的线图l象⊥分x于别点交P于,且点与A反、比B,例连函接数OA,yO1B=,已4x
y
点知 △AOB的面积为_1__.
l A B
真题
精
2y.2如图kx2 ,(x平行0)的于图x轴象的分直别线相与交函于数A,yB1两 k点x1 (,x点 0A)在与点 B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为
x
O
两点,PA⊥y轴于点A,QN⊥x轴于点N,作PM⊥x y
x
精轴于点M,QB⊥y轴于点B,连接PB、QM,△ABP的A P
练提面积记为S1,△QMN的面积记为S2,则S1_＝_____S2.B
Q
升 (填“＞”“＜”或“＝”)
OM N
x
考点2 反比例函数k的几何意义
检测
1.如图,点A(m,1),B(2,n)在双曲线 y k (k 0) 上连接OA,OB. x
练过平移,旋转来考查.注意利用平行四边形,矩形,菱形的性质
提升
构建全等和类似,利用平移,旋转的性质沟通坐标之间的关系.
考点4 反比例函数与几何图形结合
检测
(交2于02点X·P(T22,04))如.已图知,直点线A(y4=,k01x)(,xB≥(00,)3与),双连曲接线AB,将yRt△k(x2xA＞OB0沿)相OP

2023年九年级中考数学一轮复习：反比例函数(含答案)

第三部分一次函数与反比例函数模块二反比例函数基础知识梳理考点1 反比例函数的图象考点4 设参数来帮忙考点2 比大小（增减性）考点5 反比例与几何综合考点3面积不变性原理1.如果点A （-2，y 1），B （-1，y 2），C （2，y 3）都在反比例函数y ＝xk（k ＞0）的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A. y 1＜y 3＜y 2B. y 2＜ y 1 ＜y 3C. y 1＜y 2＜y 3D. y 3 ＜y 2 ＜y 12如图，已知一次函数y ＝kx - 4的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝x8在第一象限内的图象交于点C ，且A 为BC 的中点，则k ＝____________。

3.已知双曲线y ＝x 3和y ＝xk的部分图象如图所示，点C 是y 轴正半轴上一点，过点C 作AB ∥x 轴分别交两个图象于点A ，B ，若CB ＝2CA ，则k ＝____________。

4.如图，一次函数y ＝ k x - 1的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝x3（x ＞0）的图象交于B ，BC 垂直x 轴于点C ，若△ABC 的面积为1，则k 的值是___________。

5.如图，点B （3，3）在双曲线y ＝x k （x ＞0）上点D 在双曲线y ＝x4（x ＜0）上，点A 和点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且点A ，B ，C ，D 构成的四边形为正方形。

（1）求k 的值；（2）求点A 的坐标。

6.在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x - 1与函数y ＝x1的图象可能是（）7.函数y 1＝x 和y 2＝x1的图象如图所示，则y 1＞y 2的x 的取值范围是（） A. x ＜ - 1或 x ＞1 B. x ＜ - 1或0 ＜ x ＜ 1 C. - 1 ＜ x ＜ 0 或 x ＞ 1 D. - 1 ＜ x ＜ 0 或 0 ＜ x ＜ 18.如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （ - 3，0）（1）求点D 的坐标；（2）求经过点C 的反比例函数解析式。

专题反比例函数-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)全

解，然后在作答中说明.
典例精讲
反比例函数与几何图形的综合
知识点四
【例4】(2020·T18)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90º,顶点A,B都在反比例函
k
数 y = ( x > 0)的图象上,直线AC⊥x轴,垂足为D,连结OA,OC,并延长OC交AB
x
OA = 2 2.
于点E,当AB=2OA时,点E恰为AB的中点,若∠AOD=45º，
(0,1),顶点C在第一象限,若函数y=k/x(x＞0)的图象经过点C,则k=___.
6
13.如图,已知矩形OABC的面积为100/3,它的对角线OB与双曲线y=k/x相交
12
于点D,且OB∶OD=5∶3,则k=____.
14.如图,已知A,B两点分别在反比例函数y=9/x和y=k/x第一象限的图象上.
O
心:__)
典例精讲
反比例函数的图象与性质
知识点一
2
【例1-1】已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数 y 的图象上,且a＜0＜
x
b,则下列结论一定正确的是( D )
A.m+n＜0
B.m+n＞0
C.m＜n
D.m＞n
【变式】若点A(a,m)和B(b,n)在反比例函数y=7/x的图象上,且a＜b,则( D )
-3
查漏补缺
当堂训练
反比例函数
查漏补缺
7.如图,点M为x轴上一点,过点M的直线l∥y轴分别与双曲
-20
线y=8/x和y=k/x的图象交于P,Q两点,若S△POQ=14,则k=____.
8.在平面直角坐标系中,若一条平行于x轴的直线l分别交
双曲线y=-8/x和y=2/x于A,B两点,P是x轴上的任意一点,则

2020年中考专题复习课件：一次函数与反比例函数问题(共21张PPT)

∴OA=2，CE=3．∴点A的坐标为（0，2）、
点B的坐标为（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则故直线AB的解析式为y=﹣ x+2．
解得
．
设反比例函数的解析式为y= （m≠0），C的坐标代入得3= ，∴m=﹣6．∴该反比例函数的解析式为y=﹣
（2）联立可得交点D的坐标为（6，﹣1），则△BOD的面积=4×1÷2=2， △BOD的面积=4×3÷2=6，故△OCD的面积为2+6=8．
想到 b决定与y轴的交点， k决定函数的增减性。
【中考真题】
1. 当a≠0时，函数y＝ax-a与反比例函数y=
在同一坐标系中的图像可能是图中的（）
2．已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y＝kx﹣k与反比例函数 y= 在同一坐标系内的大致图象是（）
【考点3】一次函数与反比例函数交点问题及不等式
2.如图所示，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝交于A、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＋b＜的解集是_____
3.如图，在平面直角坐标系中，直线＝kx+b（k≠0）与双曲线＝（a≠0）交于A、B两点，已知点A（m，2），点B （﹣1，﹣4）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）把直线沿x轴负方向平移2个单位后得到直线，直线与双曲线交于D、E两点，当＞时，求x的取值范围．
的坐标是（）。
【变式训练】
1.正比例函数y＝4x和反比例函数y= 的图象相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求8x1y2－3x2y1的值．
小结1：看到正比例函数与反比例函数图像交点，

中考数学总复习第一部分基础知识复习函数及其图象反比例函数PPT

★考点2 ★考点2 ★知识点2 ★考点2 ★考点2 ★知识点2 ★考点2 ★知识点2 ★知识点2 ★知识点2 ★知识点2 ★知识点2 ★考点2 ★考点2 ★考点2 ★考点2
★考点3 ★考点3 ★知识点3 ★考点3 ★考点3 ★知识点3 ★考点3 ★知识点3 ★知识点3 ★知识点3 ★知识点3 ★知识点3 ★考点3 ★考点3 ★考点3 ★考点3
★知识点3 ★知识点3 ★考点3 ★知识点3 ★知识点3 ★考点3 ★考点3 ★考点3 ★知识点3 ★考点3 ★知识点3 ★考点3 ★考点3 ★考点3 ★知识点3
★知识点4 ★知识点4 ★知识点4 ★知识点4
★知识点4 ★知识点4
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
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2021中考数学一轮复习：反比例函数(含答案)

2021中考数学一轮复习：反比例函数一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(0，3)，(3，0)，△ACB=90°，AC=2BC ，函数y=(k>0，x>0)的图象经过点B ，则k 的值为( )A .B .9C .D .2. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系是( )A. v ＝320tB. v ＝320tC. v ＝20tD. v ＝20t3. (2019·江苏扬州)若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y 轴对称点都在一次函数y =–x +m 的图象上，则m 的取值范围是A．m >B．m <-C．m m ><-D．m -<<4. 若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有( )A. mn ≥－9B. －9≤mn ＜0C. mn ≥－4D. －4≤mn ≤05. （2020·黔东南州）如图，点A 是反比例函数y （x ＞0）上的一点，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，AC 交反比例函数y 的图象于点B ，点P 是x 轴上的动点，则△P AB 的面积为（）xy 2-=A ．2B ．4C ．6D ．86. 如图，一次函数y 1＝ax ＋b与反比例函数y 2＝kx 的图象如图所示，当y 1＜y 2时，则x 的取值范围是( )A. x ＜2B. x ＞5C. 2＜x ＜5D. 0＜x ＜2或x ＞57. （2020·营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的边OA 在x 轴正半轴上，其中∠OAB =90°，AO =AB ，点C 为斜边OB 的中点，反比例函数y =kx（k ＞0，x＞0）的图象过点C ，且交线段AB 于点D ，连结CD ，OD ，若S △OCD =32，则k的值为（）A ．3B ．52C ．2D ．1 8. （2019•河北）如图，函数y =1(0)1(0)x xx x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩的图象所在坐标系的原点是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q二、填空题9. 若一个反比例函数的图象经过点A (m ，m )和B (2m ，-1)，则这个反比例函数的表达式为 .10. 我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y＝－3x 的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标________．11. （2020·安顺）如图，点A 是反比例函数3y x=图象上任意一点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为B ，C ，则四边形OBAC 的面积为 .12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C在反比例函数y ＝kx 的图象上，则k 的值为________．13. 已知点(m －1，y 1)，(m －3，y 2)是反比例函数y ＝mx (m <0)图象上的两点，则y 1________y 2(填“>”或“＝”或“<”)．14. (2019·浙江绍兴)如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 都在曲线y kx=(常数k >0，x >0)上，若顶点D 的坐标为(5，3)，则直线BD 的函数表达式是__________．三、解答题15. 如图，已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-x+4的图象交于A和B(6，n)两点.(1)求k和n的值;(2)若点C(x，y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围.16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2= (m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，-3)两点，与x轴交于点C.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标;(3)直接写出当y1>y2时，x的取值范围.17. （2019•广东）如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．（1）根据图象，直接写出满足k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ：S △BOP =1：2，求点P 的坐标．18. 如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x 与反比例函数y ＝kx 的图象交于关于原点对称的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是3. (1)求反比例函数的表达式；(2)将直线y ＝－12x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．2021中考数学一轮复习：反比例函数-答案一、选择题1. 【答案】D [解析]过B 作BD ⊥x 轴，垂足为D. ∵A ，C 的坐标分别为(0，3)，(3，0)，∴OA=OC=3，∠ACO=45°，∴AC=3.∵AC=2BC ，∴BC=.∵∠ACB=90°，∴∠BCD=45°，∴BD=CD=，∴点B 的坐标为.∵函数y=(k>0，x>0)的图象经过点B ， ∴k==，故选D .2. 【答案】B【解析】△由题意可得路程s ＝80×4＝320，∴v ＝320t .3. 【答案】C【解析】∵反比例函数2y x =-上两个不同的点关于y 轴对称的点，在一次函数y =–x +m 图象上，∴反比例函数2y x=-与一次函数y =–x +m 有两个不同的交点，联立两个函数解方程22220y x m x mx x x y x m ⎧=⎪⇒=-+⇒-+=⎨⎪=-+⎩，∵有两个不同的交点，∴有两个不等的根，∴Δ=m 2–8>0，∴m或m <–，故选C ．4. 【答案】A【解析】如解图，根据题意，两个函数的图象在第一象限有公共点，则关于x 的方程nx ＝mx ＋6有实数根，方程化简为：mx 2＋6x －n ＝0，显然m ≠0，Δ＝36＋4mn ≥0，所以mn ≥－9，由于一次函数与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，所以n ＞0，显然当一次函数y 随x 的增大而增大时，两个函数图象在第一象限有交点，即mn ≥－9符合题意．022=+-mx x5. 【答案】A【解析】利用反比例函数中比例系数k 的几何意义求解.如图，连接OA 、OB 、PC ．∵AC ⊥y 轴，∴S △APC ＝S △AOC |6|＝3，S △BPC ＝S △BOC|2|＝1，∴S △PAB ＝S △APC ﹣S △BPC ＝2．6. 【答案】D【解析】根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的取值范围是0＜x ＜2或x＞5.7. 【答案】C【解析】如图，作CE ⊥x 轴于点E ，∵点C ，D 均在反比例函数y =kx的图象上，∴S △COE= S △AOD=2k，∵S 四边形OADC=S △COE +S 梯形ADCE=S △AOD+S △OCD ，∴S 梯形ADCE= S △OCD=32，不妨设OA=AB=a ，∵∠OAB=90°，∴点A （a ，0），B （a ，a ），∵点C 为斜边OB 的中点，∴C （12a ，12a ）∴k =12a ×12a =14a 2，∵点D 的横坐标是a ，∴点D 的纵坐标是14a ，即D （a ，14a ）．∵S 梯形ADCE=12（AD+CE ）·AE=32，∴12×（14a +12a ）×（a －12a ）=32，得：a 2=8，∴k =14a 2=14×8=2．8. 【答案】A【解析】由已知可知函数y =1(0)1(0)x xx x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩关于y 轴对称，所以点M 是原点；故选A ．二、填空题9. 【答案】y=10. 【答案】(1，－3)(答案不唯一，合理即可) 【解析】对于y ＝－3x，依题意，说明只要x 是3的约数即可，如(1，－3)，(－1，3)．11. 【答案】3【解析】在反比例函数3y x= 中，3k =.由k 的几何意义，可得四边形OBAC 的面积为3.12. 【答案】－6 【解析】如解图，连接AC 交y 轴于点D ，因为四边形ABCO 是菱形，且面积为12，则△OCD 的面积为3，利用反比例函数k 的几何意义可得k ＝－6.13. 【答案】＞【解析】△m ＜0，∴反比例函数y ＝mx 的图象位于第二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，又△m －1＞m －3，∴y 1＞y 2.14. 【答案】y 35=x【解析】∵D (5，3)， ∴A (3k ，3)，C (5，5k )， ∴B (3k ，5k )，设直线BD 的解析式为y =mx +n ，把D (5，3)，B (3k ，5k)代入，得5335m n k k m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得350m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BD 的解析式为y 35=x ．故答案为y 35=x ．三、解答题15. 【答案】解:(1)把B (6，n )代入一次函数y=-x +4中，可得n=-×6+4=1，所以B 点的坐标为(6，1).又B 在反比例函数y=(x>0)的图象上，所以k=xy=1×6=6，所以k 的值为6，n 的值为1. (2)由(1)知反比例函数的解析式为y=. 当x=2时，y==3;当x=6时，y==1，由函数图象可知，当2≤x ≤6时函数值y 的取值范围是1≤y ≤3.16. 【答案】解:(1)将A (3，5)的坐标代入y 2=得，5=， ∴m=15.∴反比例函数的解析式为y 2=. 当y 2=-3时，-3=，∴x=-5， ∴点B 的坐标为(-5，-3).将A (3，5)，B (-5，-3)的坐标代入y 1=kx +b 得，解得∴一次函数的解析式为y 1=x +2.(2)令y 1=0，则x +2=0，解得x=-2. ∴点C 的坐标为(-2，0). 设一次函数图象与y 轴交于点D. 令x=0，则y 1=2. ∴点D 的坐标为(0，2).连接PB ，PC ，当B ，C 和P 不共线时，由三角形三边关系知，PB -PC<BC ; 当B ，C 和P 共线时，PB -PC=BC ， ∴PB -PC ≤BC. 由勾股定理可知， BC==3.∴当P 与D 重合，即P 点坐标为(0，2)时，PB -PC 取最大值，最大值为3.(3)当y 1>y 2时，x 的取值范围为x>3或-5<x<0.17. 【答案】（1）由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4；（2）直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x；（3）P （23，73）．【解析】（1）∵点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4；（2）∵反比例函数y =2k x的图象过点A （–1，4），B （4，n ）， ∴k 2=–1×4=–4，k 2=4n ，∴n =–1，∴B （4，–1）， ∵一次函数y =k 1x +b 的图象过点A ，点B ，∴11441k b k b -+=+=-⎧⎨⎩，解得k =–1，b =3，∴直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x；（3）设直线AB 与y 轴的交点为C ，∴C （0，3），∵S △AOC =12×3×1=32， ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4=152， ∵S △AOP ：S △BOP =1：2，∴S △AOP =152×13=52， ∴S △COP =52–32=1，∴12×3x P =1，∴x P =23， ∵点P 在线段AB 上，∴y =–23+3=73，∴P （23，73）．18. 【答案】解：(1)△点A 的纵坐标是3，当y ＝3时，3＝－12x, 解得x ＝－6，∴点A 的坐标为(－6，3)，(1分)把A(－6，3)代入y ＝k x ，得3＝k －6，解得k ＝－18，∴反比例函数的解析式为y ＝－18x.(3分) 解图(2)如解图，连接CO ，∵A ，B 关于原点对称，∴AO ＝BO ，∴S △AOC ＝12S △ABC ＝24.(4分)作CF△x 轴于点F ，AE ⊥x 轴于点E ，则S △CFO ＝S △AEO ＝12AE·EO ＝12×3×6＝9，S△AOC ＝S 梯形AEFC ＝24.设C(x ，－18x )，则有（3－18x ）（x ＋6）2＝24，(5分) 整理得x 2－16x －36＝0，∴x 1＝－2，x 2＝18(舍去)，∴C(－2，9)，(7分)设y ＝－12x 平移后的解析式为y ＝－12x ＋b ，把C(－2，9)代入上式得，9＝1＋b ，解得b ＝8，∴平移后的直线的函数表达式为y ＝－12x ＋8.(8分)。

中考数学一轮复习课件反比例函数的图象与性质

S△OAM＝S梯形MEFB；S△AOB＝S梯形AEFB； AC＝BD；OE＝FD；S△AOC＝S△BOD； DB∶BA∶AC＝DF∶FE∶EO
反比例函数的图象和性质
解析式
性质
图象
①xy ＝ 1 共性：
⇔k ＞ 0，图 ①关于直线 y＝±x 成轴 ⁠
象过第一、对称；关于原点成中心
⁠ ⁠
y＝三象限； ⁠
第11题图
第11题图
（2）当点A的横坐标为2时，过点C的直线y＝2x＋b与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标.
第11题图
类型二反比例函数的图象和性质
D A.x3＜x2＜x1 C.x1＜x3＜x2
B.x2＜x1＜x3 D.x2＜x3＜x1
D A.y1＋y2＜0 C.y1－y2＜0
类型一反比例函数的概念及解析式
D A.P1（1，－4） C.P3（2，4）
B.P2（4，－1） D.P4（2，）
A
A.2
B.－2
C.1
D.－1
第2题图
A.－3
B.－
A
C.
D.3
第3题图
－3（答案不唯一）
第5题图
第6题图
6
4 第9题图
第10题图
第10题图
（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围. 第10题图
（1）若m＝2，a＝4，求函数y3的表达式及△PGH的面积；第20题图
（2）当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
第20题图
（3）试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图象上？并说明理由.
第20题图
A.第一象限 C.第三象限

中考一轮复习反比例函数(知识点梳理+典型例题 )

反比例函数一、反比例函数的概念：一般地，形如 y = xk ( k 是常数, k≠0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：① y = xk （k ≠ 0）， ② 指数形式：1(0)y kx k -=≠； ③ 乘积形式：(0)xy k k =≠ ※反比例函数解析式可写成xy= k （k≠0）它表明反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积，总等于常数k（3）自变量x 的取值范围是0x ≠，函数y 的取值范围是0y ≠。

例：点A （－1，1）是反比例函数m y x=的图象上一点，则m 的值为（） A. 0 B. －2 C. －1 D. 1二、反比例函数的图象（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴（坐标轴又称为双曲线的渐近线）。

三、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性：当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

反之也成立。

※注：① 在利用反比例函数的增减性比较坐标大小时，一定通过画图解决，这是一个易错点）；② 在反比例函数y 随x 的变化情况中一定注明在每一个象限内例1 已知反比例函数x y 2-=，下列结论不正确的是( )A ．图象必经过点(-1,2)B ．y 随x 的增大而增大C ．图象在第二、四象限内D ．若x ＞1，则y ＞-2例2 若ab ＞0，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=ab x在同一坐标系数中的大致图象是（） A ．B ．C ． D ．例3 若点（﹣3，y 1），（﹣2，y 2），（﹣1，y 3）在反比例函数y=﹣图象上，则下列结论正确的是（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 1变式训练：1．正比例函数y=kx 和反比例函数21k y x+=-（k 是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（） A ．B ．C ．D ． 2．反比例函数y=m x的图象如图所示，以下结论： ①常数m ＜-1； ②在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③若A （-1，h ），B （2，k ）在图象上，则h ＜k ； ④若P （x ，y ）在图象上，则P′（-x ，-y ）也在图象上．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数(0)k y k x=<的图象上，则（） A. 0m n << B. 0n m << C. 0m n >> D. 0n m >>（4）k 的几何意义：如图，设点P （a ，b ）是反比例函数y=xk 上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是k 21；面积是正数，所以k 要加绝对值）例1 如图，点A 是反比例函数（x ＞0）图象上一点，过点A 作x 轴的平行线，交反比例函数（x ＞0）的图象于点B ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为2，则k 的值为______．例2 反比例函数y=（a ＞0，a 为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点A ；MD ⊥y 轴于点D ，交y=的图象于点B ，当点M 在y=的图象上运动时，以下结论：①S △ODB =S △OCA ； ②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点．其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3变式训练：1、如图，点A 是反比例函数y=k x（x ＜0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为6，则k 的值为（）A. 6B. 3C. ﹣6D. ﹣32、如图，直线(0)x t t =>与反比例函数k y x =（x >0）、1y x-=（x >0）的图象分别交于B 、C 两点，A 为y 轴上任意一点，△ABC 的面积为3，则k 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53、如图，已知双曲线y ＝k x(k>0)与直角三角形OAB 的直角边AB 相交于点C ，且BC ＝3AC ，若△OBC 的面积为3，则k ＝_________．4．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y=的图象上，则k 的值为．四、直线与双曲线相交（1）交点坐标即为直线关系式和双曲线关系式联立所得方程组的解。

中考数学专题反比例函数复习课件人教新课标版

A．2 B．6 C．10 D．8
【解析】由y＝－8x y＝x＋2
得 A(－2,4)、B(4，－2)可求得 S△AOB＝6.
【答案】B
11．(2011 中考预测题)反比例函数 y＝kx的图象如图所示，点 M 是该函数图象上一点， MN 垂直于 x 轴，垂足是点 N，如果 S△MON＝2，则 k 的值为( )
A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y3<y2<y1
【解析】∵y＝6x，∴k＝6>0，∴图象在每个象限内 y 随 x 的增大而减小．∵x1<x2，∴y1>y2， ∴y2<y1<y3.
【答案】B
6．(2010·莱芜)已知反比例函数 y＝－2x，下列结论不．正．确．的是(
(1)求直线和双曲线的函数关系式；(2)求△CDO(其中 O 为原点)的面积．
答案：(1)直线的函数关系式为 y＝－x－3 双曲线的函数关系式为 y＝－4x (2)S△CDO＝6
考点训练 15
反比例函数反比例函数训练时间：60分钟分值：100分
训练时间：60分钟分值：100分
一、选择题(每小题 4 分，共 44 分)
反比例函数
考点一反比例函数的定义
一般地，函数 y＝k或 y＝kx－1(k 是常数，k≠0)叫做反比例函数． x
1．反比例函数 y＝k中的k是一个分式，所以自变量 x≠0，函数与 x 轴、y 轴无交点． xx
2．反比例函数解析式可以写成 xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量 x 与其对应函数值 y 之积，总等于已知常数 k.
A．增大
B．减小
C．不变
D．先减小后增大

中考复习-反比例函数

yk
x
中，得到含有待定系数的
方程或方程组；
x
3.求：求出待定系数k的值；
4.写：将所求待定系数的值代入所设的函数解析式中．
正比例函数与反比例函数的区别
函数
正比例函数
解析式
y=kx+b(k≠0)
图象形状
k＞0
位置
直线
一三象限
增减性 y随x增大而增大
位置
二四象限
k＜0
增减性 y随x增大而减小
反比例函数 y kx（k≠0）
解：（1）把点A（4,3）代入函数
ya x
得：a=12，∴
y 12 x
.
OA 32 42 5 ，∵OA=OB，∴OB=5，
∴点B的坐标为（0，-5），
b 5
（把解2）B得（∵：0点bk，M-255在）一∴，次yA=（函2x4数-5,3.y）=2代x-入5上y=，kx设+b点得M：坐4标k 为 b（ 3x，2x-5），
象限分布情况与坐标轴的位置关系
增减性系数k的几何意义
解析式（待定系数法）
综合
与一次函数结合与平面图形结合
3.3.1 反比例函数的概念
1.定义：形如 y k（k≠0，k为常数）的函数叫做反比例函数，期中x为自变量，y是xx的函数. 2.反比例函数的表示：
1 y k k 0.
x
2 y kx1 k 0. 3 xy k k 0.
【例2】（2016年江西）如1 x
x＞0
及
y2
k2 x
x＞0
的图象分别
交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，
则k1-k2= 4 . 【解析】此题考查了反比例函数的系数k的几何意义，

中考复习课件反比例函数的图像与性质

解：(1)过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D．∵OA＝AB，AB⊥OA，∴AD＝OD．设 A(a，a)，则 a＝2a－2，∴a＝2，∴A(2,2)．∵双曲线 y2＝kx过点 A(2,2)，∴k＝4，∴双曲线的解析式为 y2＝4x.
(2)联立 y＝4x， y＝2x－2，
解得yx11＝＝22，，
x2＝－1， y2＝－4.
针对性练习：
1．如图，曲线 C2 是双曲线 C1：y＝6x(x＞0)绕原点 O 逆时针旋转 45°得到的图形，P 是
曲线 C2 上任意一点，点 A 在直线 l：y＝x 上，且 PA＝PO，则△POA 的面积等于( B )
A． 6
B．6
C．3
D．12
2．如图，点 A 在双曲线 y＝x5上，点 B 在双曲线 y＝x8上，且 AB∥x 轴， 3
考点五反比例函数的实际应用某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物试验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x(小时)之间函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)． (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； (2)问：血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间是多少小时？
中考复习:反比例函数的图象与性质
考点一反比例函数的意义 1.反比例函数的定义一般地，形如 ① _ _ _y＝_ _kx_ _ _ _ _ ( k 为常数， k ≠ 0 ) 的函数叫做反比例函数
，其中x是自变量，y是x的函数
2.反比例函数的几种表达式
(1)y＝k(k≠0)；(2)y＝kx－1(k≠0)；(3)xy＝k(k≠0) x
3．如图，平行于 x 轴的直线与函数 y＝kx1(k1＞0，x＞0)，y＝kx2(k2＞0，x＞0)

中考数学复习专题突破专题21 反比例函数的最值问题(全国通用)(1)

专题21 反比例函数的最值问题初中数学常见最值问题有：几何最值问题（线段公理、垂线段定理）；函数增减性中最值问题、非负性中最值问题及生活实际中的最值问题，其中以几何最值问题是常考题，本专题整理出了反比例函数中常见的最值问题供学生进行专题练习，以拓展学生的思维，提升学生的综合解题能力。

一、单选题1．（2020·浙江九年级学业考试）已知反比例函数(0),ky k x=≠当21x -≤≤-时，y 的最大值是3,则当6x ≥时，y 有（） A ．最大值12- B ．最大值1-C ．最小值12-D ．最小值1-【答案】C【分析】由函数经过第二象限，可确定k ＜0，则在21x --上，y 值随x 值的增大而增大，即可确定函数的解析式为3y x=-，由此可求解．解：∵当21x --时，y 的最大值是3， ∴反比例函数经过第二象限， ∴k ＜0，∴在21x --上，y 值随x 值的增大而增大， ∴当x =—1时，y 有最大值—k ， ∵y 的最大值是3， ∴—k =3， ∴k =—3， ∴3y x=-，当6x 时，3y x=-有最小值12-，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k ＜0是解题的关键．2．（2020·浙江八年级期末）已知反比例函数(0)ky k x=≠，当21x -≤≤-时，y 的最大值是4，则当2x ≥时，y 有（） A ．最小值4- B ．最小值2-C ．最大值4-D ．最大值2-【答案】B【分析】由函数经过第二象限，可确定k ＜0，则在−2≤x≤−1上，y 值随x 值的增大而增大，即可确定函数的解析式为y ＝−4x，由此可求解．解：∵当−2≤x≤−1时，y 的最大值是4， ∴反比例函数经过第二象限， ∴k ＜0，∴在−2≤x≤−1上，y 值随x 值的增大而增大， ∴当x ＝−1时，y 有最大值−k ， ∵y 的最大值是4， ∴−k ＝4， ∴k ＝−4， ∴y ＝−4x，当x≥2时，y ＝−4x有最小值−2，故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k ＜0是解题的关键．3．（2020·福建九年级期末）对对对对对对对ky x=对对对对2-≤x ≤1-对对对对对4y =对对对x ≥8对对对对对 A ．对对对1y =- B ．对对对1y =-C ．对对对y =12-D ．对对对y =12-【答案】D解：由当21x -≤≤-时有最大值4y =，得1x =-时，4y =，144k =-⨯=-，反比例函数解析式为4y x=-，当8x ≥时，图象位于第四象限，y 随x 的增大而增大，当8x =时，y 最小值为12- 故选D ．4．（2020·长沙市岳麓区高欣梅溪湖培训学校有限公司九年级）已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在反比例函数12y x=的图象上，点N 在一次函数3y x 的图象上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数2()y abx a b x =++（） A ．有最小值，且最小值是92-B ．有最大值，且最大值是92-C ．有最大值，且最大值是92D ．有最小值，且最小值是92【答案】A【解析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特点求出其最值即可．解答：解：因为M ，N 两点关于y 轴对称，所以设点M 的坐标为（a ，b ），则N 点的坐标为（-a ，b ），又因为点M 在反比例函数12y x=的图象上，点N 在一次函数y=x+3的图象上，所以1b 2a b a 3==-+，整理得1ab 2a b 3=+=故二次函数y=abx 2+（a+b ）x 为y=12x 2+3x ，所以二次项系数为12＞0，故函数有最小值，最小值为y=23142-⨯=-．故选A ．5．（2020·厦门市金鸡亭中学九年级月考）已知反比例函数y ＝kx，当﹣2≤x≤﹣1时，y 的最大值时﹣4，则当x≥8时，y 有（） A ．最小值12B ．最小值1C ．最大值12D ．最大值1【答案】D【分析】先求得函数的图象在一三象限，y 随x 的增大而减小，进而求得函数的解析式，根据函数的性质即可求得选项．解：∵由题意可知函数图象在一、三象限，反比例函数ky x=的图象随x 的增大而减小 ∴y 在2x =-时取得最大值4- ∴()248k =-⨯-= ∴y ＝8y x=∴当8x ≥时，y 有最大值1．故选：D【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，能根据已知条件判断出函数图象在一、三象限是解题的关键．6．（2019·天津市扶轮中学九年级期末）若点 A （a ，b ）在反比例函数 y ＝9x （x ＞0）的图象上，则 a+b 的最小值是（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【答案】C【解析】依据（ √a ﹣ √b ）2≥0，即可得出 a+b≥2√ab ，当 a ＝b 时，等号成立，再根据点 A （a ，b ）在反比例函数 y ＝ 9X （x ＞0）的图象上，即可得到 a+b 的最小值．解：对于任意正实数 a 、b ， ∵（ √a +b ）2≥0， ∴a+b ﹣2 √ab ≥0，∴a+b ≥2√ab ，当 a ＝b 时，等号成立，又∵点 A （a ，b ）在反比例函数 y ＝9x （x ＞0）的图象上，∴ab ＝9，∴a+b 的最小值为2√9=6 故选：C ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值 k ，即 xy ＝k ．7．（2019·湖南九年级）如图过原点的直线l 与反比例函数1y x=-图象交于M ，N 两点，则线段MN 的长度的最小值为（）A ．2B ．CD ．5【答案】B【解析】欲求MN 的长的最小值，由双曲线的对称性知ON=OM ，可转化为求OM 的最小值，列出OM 距离的求解式子，求式子的最小值即可．【详解】由题意可设点M 的坐标为（x ，-1x ），则， ∵222112()x x x x+-=- ≥0，∵221x x+≥2，由此可得OM ，由双曲线的对称性可知ON=OM ，故MN 的最小值为．故本题答案应为：B ．【点睛】反比例函数的性质是本题的考点，根据题意求出OM 的值是解题的关键. 8．（2020·安徽芜湖一中九年级）如图，反比例函数(0)ky x x=>的图像过面积等于8的长方形OABC 的对角线OB 的中点，P 为函数图像上任意一点．则OP 的最小值为（）A ．1BCD ．2【答案】D【分析】设OB 的中点为D ，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于F ，根据反比例函数比例系数k的几何意义即可求出k的值，然后设点P的坐标为（x，2x），求出OP与x的函数关系式，利用平方的非负性即可求出结论．解：设OB的中点为D，过点D作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F易知四边形OEDF为矩形，DE=12AB，DF=12BC∵矩形OABC的面积为8∴AB·BC=8∴矩形OEDF的面积为DE·DF=12AB·12BC=2∵点D在反比例函数图象上∴k=2∴该反比例函数的解析式为2 yx =设点P的坐标为（x，2x）∴∵22⎛⎫-⎪⎝⎭xx≥0≥2即OP≥2∴OP的最小值为2故选D．【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数比例系数k的几何意义、矩形的性质、配方和平方的非负性是解决此题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=对1x第二象限的点，点B对m对1对m对3），则OA+OB最小值是（）A B．C D+2【答案】B【解析】当点A∵O∵B三点共线时，OA+OB取最小值∵此时点B与点A关于原点对称，由此求得点A的坐标，代入反比例函数y=∵1x求得m的值，即可求得A∵B的坐标，由此求得AB的长即可.【详解】如图，当点A∵O∵B三点共线时，OA+OB取最小值．此时点B与点A关于原点对称，点B是反比例函数y=∵1x第四象限的点，∵A∵∵m+1∵∵m+3∵∵∵∵m∵1∵∵m∵3∵=∵1∵ 解得m=2∵∵A∵∵1∵1∵∵B∵1∵∵1∵∵∵OA+OB 最小值为：∵ 故选B∵【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，确定当点A∵O∵B 三点共线时，OA+OB 取最小值，由此求得点A∵B 的坐标是解决问题的关键. 10．如图，已知A （－3，0），B （0，－4），P 为反比例函数y ＝12x（x ＞0）图象上的动点，PC ⊥x 轴于C ，PD ⊥y 轴于D ，则四边形ABCD 面积的最小值为 ( )．A ．12B ．13C ．24D ．26【答案】C【解析】根据题意，设P 点的坐标为（x ，12x），且x ＞0，则 ∵AOD 的面积为：1121832x x ⨯-⨯=； ∵DOC 的面积为：1262= ； ∵BOC 的面积为：1422x x ⨯-⨯= ；∵AOB 的面积为：13462⨯-⨯-=所以可知四边形ABCD 的面积为：18189662122122x x x x x x ⎛⎫+++=++=++ ⎪⎝⎭≥12+2×2=24. 故选C点睛：此题主要是考查反比例函数的图像和性质以及系数k的意义的应用，注意把四边形分解成四个三角形，然后根据四个三角形的面积和的最小值来确定此题的结果.11．（2019·无锡市玉祁初级中学九年级期中）如图，一次函数y=-2x与反比例函数y=kx(k<0)的图象交于A，B两点，点P在以C(2，0)为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最小值为12，则k的值为( )A．45-B．7225C．3225-D．85-【答案】C【分析】作辅助线，先确定OQ长的最小时，点P的位置，当BP延长线过圆心C时，BP 最短，设B（t，−2t），则CD＝2−t，BD＝2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．【详解】连接BP，由对称性得：OA＝OB，∵Q是AP的中点，∴OQ＝12 BP，∵OQ长的最小值为12，∴BP长的最小值为12×2＝1，如图，当BP的延长线过圆心C时，BP最短，过B作BD⊥x轴于D，∵CP＝1，∴BC＝2，∵B在直线y＝−2x上，设B（t，−2t），则CD＝2−t，BD＝2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2＋BD2，∴22＝（2−t）2＋（2t）2，t＝0（舍）或t=45，∴B（45，−85），∵点B在反比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，∴k＝45×(−85)＝3225故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键是利用勾股定理建立方程解决问题．12．如图，点N是反比例函数y=6x对x对0对图象上的一个动点，过点N作MN∥x轴，交直线y=对2x+4于点M，则△OMN面积的最小值是（对A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设点N的坐标为(6m,m),则点M的坐标为(4−2m,m)(m>0)∵∴MN=6m−(4−2m)=2m+6m−4∵∴S△OMN=12MN⋅m=m2−2m+3=(m−1)2+2∵∴当m=1时，△OMN面积最小，最小值为2.故选：B.13．（2017·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点，的面积为10.若动点在轴上，则的最小值是（）A．B．10C．D．【答案】C【解析】由正方形OABC的边长为6可得M的坐标为（6，），N的坐标为（，6），因此可得BN=6-，BM=6-，然后根据∵OMN的面积为10，可得，解得k=24，得到M（6，4）和N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则M′N的长=PM+PN的值最小，最后由AM=AM′=4，得到BM′=10，BN=2，根据勾股定理求得NM′=.故选：C考点：1、反比例函数与正方形，2、三点之间的最小值二、填空题14．（2018·福建九年级期末）已知反比例函数ky x=（0k ≠），当1≤x ≤2时，函数的最大值与最小值之差是1，则k 的值为__________．【答案】2±【解析】分k∵0和k∵0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．【详解】由12k k-=1∵解得k=2∵ 当-3∵k∵0时，在其每一象限内，反比例函数y 随x 的增大而增大． ∵21k k -=1 解得k=-2∵ 综上所述，k=±2∵ 答案：±2∵【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于k 的值要分情况讨论．15．（2020·全国八年级课时练习）当12x 时，反比例函数ky x=（3k >-且0k ≠）的最大值与最小值之差是1，则k 的值是______. 【答案】±2【分析】分k ＞0和k ＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．解：当k ＞0时，在其每一象限内，反比例函数y 随x 的增大而减小． ∴112k k-=，解得k=2，当-3＜k ＜0时，在其每一象限内，反比例函数y 随x 的增大而增大．121k k-=，解得k=-2，综上所述，k=±2．答案：±2．【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于k 的值要分情况讨论．16．（2019·北京交通大学附属中学九年级月考）如图，一次函数3y x =-与反比例函数()0ky k x=<的图象交于A 、B 两点，点P 在以()3,0C 为圆心，1为半径的C 上，M 是AP 的中点，已知OM 长的最小值为1，则k 的值为______.【答案】2725-【分析】作辅助线,先确定OM 长的最大时,点P 的位置,当BP 过圆心C 时,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t,根据勾股定理计算t 的值,可得k 的值. 【详解】如图,连接BP,由对称性得:OA=OB, ∵M 是AP 的中点, ∵OM=12BP,∵OM 长是最小值为1, ∵BP 长的最小值为1×2=2,如图,当BP 过圆点C 时,BP 最长,过B 作BD∵x 轴于D, ∵CP=1,∵BC=BP+CP=3,∵B 在直线y=-2x 上,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t, 在Rt∵BCD 中,由勾股定理得: BC2=CD2+BD2,∵32=(3-t)2+(-3t)2,解得t=0(舍)或35, ∵B(35,95-), ∵点B 在反比例函数()0ky k x=<的图象上, ∵k=35×95-=2725-. 故答案为: 2725-. 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数与圆的结合,关键在于合理作出辅助线. 17．在平面直角坐标系xOy 中，P 为反比例函数2y x=（x ＞0）的图象上的动点，则线段OP 长度的最小值是．【答案】2．【解析】根据题意可得：当P 为直线y=x 与反比例函数2y x=（x ＞0）的交点时则线段OP 长度的最小，由2{y x y x==得：{x y =={x y ==，则P 点的坐标为），则线段，故答案为2．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．18．（2019·无锡市石塘湾中学九年级期中）如图，一次函数2y x =-与反比例函数y (k 0)kx=<的图象交于A ，B 两点，点P 在以0(2)C ，为圆心，1为半径的⊙C 上，Q 是AP 的中点，已知OQ 长的最小值为12，则k 的值为______.【答案】32 25【分析】作辅助线，先确定OQ长的最小时，点P的位置，当BP延长线过圆心C时，BP 最短，设B（t，-2t），则CD=2-t，BD=2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．解：连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∵OQ=12 BP，∵OQ长的最小值为12，∵BP长的最小值为12×2=1，如图，当BP的延长线过圆心C时，BP最短，过B作BD∵x轴于D，∵CP=1，∵BC=2，∵B在直线y=-2x上，设B（t，-2t），则CD=2-t，BD=2t，在Rt∵BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∵22=（2-t ）2+（2t ）2， ∵t=0（舍）或45， ∵B （45，-85）， ∵点B 在反比例函数y=kx（k ＜0）的图象上， 48325525k ⎛⎫∴=⨯-=- ⎪⎝⎭ 故答案为：3225-. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，综合性较强，涉及了圆的性质以及勾股定理的应用等知识点，利用勾股定理建立方程解答本题的关键．19．（2019·许昌实验中学中考模拟）如图，过原点的直线l 与反比例函数y ＝﹣1x的图象交于M ，N 两点，若MO ＝5，则ON ＝_____．根据图象猜想，线段MN 的长度的最小值_____．【答案】5【解析】由双曲线的对称性知ON =OM ，欲求MN 的长的最小值，可转化为求OM 的最小值，列出OM 距离的求解式子，求式子的最小值即可．【详解】由双曲线的对称性可知ON =OM =5．由题意可设点M 的坐标为（x ，1x -），则OM == 222112x x x x +-=-≥（）0，∴2212x x +≥，由此可得OM ．∵ON =OM ，∴MN 的最小值为．故答案为5，．【点睛】本题通过反比例函数的知识，考查学生的猜想探究能力．解题时先直观地猜想，再按照从特殊到一般的方法去验证．20．（2016·江苏九年级月考）.如图，在反比例函数上有两点A（3，2），B（6，1），在直线上有一动点P，当P点的坐标为时，PA+PB有最小值．【答案】【解析】设A点关于直线y=﹣x的对称点为A′，连接A′B，交直线y=﹣x为P点，此时PA+PB 有最小值，求出直线A′B的直线解析式，再与y=﹣x联立，求出交点坐标，P点坐标即可求出．解：设A点关于直线y=﹣x的对称点为A′，连接A′B，交直线y=﹣x为P点，此时PA+PB 有最小值，∵A点关于直线y=﹣x的对称点为A′，A（3，2），∵A′（﹣2，﹣3），设直线A′B的直线解析式为y=kx+b，，解得k=，b=﹣2，∵直线A′B的直线解析式为y=x﹣2，联立，解得x=，y=﹣，即P点坐标（，﹣），故答案为（，﹣）．21．（2019·全国九年级单元测试）如图，点A（m，2），B（n，2）分别是反比例函数y＝﹣4x，y＝2x在x轴上方的图象上的点，点P是x轴上的动点，则PA+PB的最小值为_____．【答案】5【解析】作A关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于P，则P即为使P A+PB有最小值的点，根据轴对称的性质求得C的坐标，然后求得BC即可．【详解】∵点A∵m∵2∵∵B∵n∵2）分别是反比例函数y∵∵4x∵y∵2x在x轴上方的图象上的点，∴2∵∵4m，解得m∵∵2∵2∵2n，解得n∵1∵∴A∵∵2∵2∵∵B∵1∵2∵∵作A关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于P，则P即为使P A+PB有最小值的点，此时P A+PB∵BC∵∴C∵∵2∵∵2∵∵∴BC∴P A+PB的最小值为5∵故答案是：5∵【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用等，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．22．如图,圆P的圆心在反比例函数y=kx的图象(第一象限）上，并且与x轴交于A、B两点，与y轴相切于点C（0， .（1）当为△PAB正三角形时，则K的值为________；（2）在（1）的条件下，若点M是反比例函数上的一个动点,则△MBC面积的最小值为_____．【答案】【解析】（1）根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点C的坐标即可得k的值出；(2)结合所给的图形与（1）结论即可求得．解：过P点作PH⊥x轴，垂足为H，∵P点在反比例函数kyx=的图象上，∴P的坐标是（k，在Rt△PAH中，当为△PAB 正三角形时，；（2）若点M 是反比例函数上的一个动点，则△MBC 面积的最小值为. 点睛：本题考查的是反比例函数上的一个动点问题，解题时运用反比例函数图象上点的坐标特征是关键.23．（2020·山西九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0ky kx=≠的图象上运动，且始终保持线段AB =M 为线段AB 的中点，连接OM ．则线段OM 长度的最小值是_____(用含k 的代数式表示)．【解析】如图，当OM ⊥AB 时，线段OM 长度的最小．首先证明点A 与点B 关于直线y=x对称，因为点A ，B 在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，，所以可以假设A （m ，k m ），则B （m+4，k m -4），则有+4k m =4k m -，解得k=m 2+4m ，推出A （m ，m+4），B（m+4，m ），可得M （m+2，m+2），求出OM 即可解决问题．【详解】如图，当OMAB ⊥时，线段OM 长度的最小，∵M 为线段AB 的中点， ∴OA OB =，∵点A ，B 在反比例函数()0k y k x=≠的图象上， ∴点A 与点B 关于直线y x =对称，∵AB = ∴可以假设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4,4k B m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ∴22222(4)(4)k k m m m m +=++-，解得24k m m =+，∴(),4A m m +，()4,B m m +，∴()2,2M m m ++，∴OM ===∴OM【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题.24．（2019·山东九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k y x x=>的图像与边长是6的正方形OABC 的两边,AB BC 分别相交于,M N 两点，OMN ∆的面积为10.若动点P 在x 轴上，则PM PN +的最小值是_____________【答案】【解析】分析：由正方形OABC 的边长是6，得到点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，求得M ∵6∵6k ∵∵N ∵6k ∵6），根据三角形的面积列方程得到M ∵6∵4∵∵N ∵4∵6），作M 关于x轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长=PM +PN 的最小值，根据勾股定理即可得到结论．详解：∵正方形OABC 的边长是6∵∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6∵∴M (6, 6k ),N (6k ,6)∵ ∵△OMN 的面积为10∵ ∴21116666(6)10262626k k k ⨯-⨯⨯-⨯⨯--=∵∴k =24±∵∵0k >∵∴k =24∵∴M ∵6∵4∵∵N ∵4∵6∵∵作M 关于x 轴的对称点M ′∵连接NM ′交x 轴于P ,则M ′N 的长等于PM +PN 的最小值，∵AB =6∵M ∵6∵4∵∵N ∵4∵6∵∵∴AM ′=AM =4∵BN =2,∴BM ′=10, BN =2,根据勾股定理求得NM ′===故答案为：点睛：本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义、最短路径等知识. 利用反比例函数的性质得出M ∵N 的坐标并利用面积建立方程是解题的关键.三、解答题25．（2020·亳州市第三十三中学九年级期中）如图是反比例函数k y x=的图象，当4x 1-≤≤-时，4y 1-≤≤-．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若M 、N 分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN 长度的最小值．【答案】（1）反比例函数的解析式为4y x=；（2）线段MN 的最小值为【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）经观察后可发现当MN 为直线y x =与双曲线的两个交点时，线段MN 最短；联立两方程可求得两交点的坐标()M 2,2，()N 2,2--，然后根据两点之间的距离公式求得线段MN 的最小值．【详解】()1在反比例函数的图象中，当4x 1-≤≤-时，4y 1-≤≤-，∴反比例函数经过坐标()4,1--，k 41∴-=-， k 4∴=，∴反比例函数的解析式为4y x=； ()2当M ，N 为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN 最短．将y x =代入4y x=，解得x 2y 2=⎧⎨=⎩或x 2y 2=-⎧⎨=-⎩，即()M 2,2，()N 2,2--．OM ∴=．则MN =．∴线段MN的最小值为【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，在第()2问中关键是要正确判断MN 何时出现最小值．26．（2019·全国九年级单元测试）己知函数()283k y k x -=-为反比例函数．己知函数()283k y k x -=-为反比例函数． ()1求k 的值；()2它的图象在第________象限内，在各象限内，y 随x 增大而________；（填变化情况） ()3当122x -≤≤-时，此函数的最大值为________，最小值为________．【答案】（1）k=-3；（2）二、四，增大；（3）12，3 【分析】（1）首先根据反比例函数的定义可得8−k 2＝−1，且k −3≠0，解出k 的值即可；（2）根据k ＜0，结合反比例函数的性质可得答案；（3）根据y 随x 增大而增大可得当x ＝−2时，y 最小，当x ＝−12时，y 最大，代入求值即可．【详解】由题意得：8-k 2=-1，且k-3≠0，解得：k=-3；（2）∵k=-3＜0，∴图象在第二、四象限，在各象限内，y 随x 增大而增大；故答案为二、四；增大；（3）当x=-2时，y 最小=62--=3；当x=-12时，y 最大=612--=12；故答案为12；3．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质和定义，关键是掌握反比例函数的形式为y ＝k x（k 为常数，k≠0）或y ＝kx −1（k 为常数，k≠0）．27．（2019·江苏八年级期末）（阅读理解）对于任意正实数a 、b ，∵20≥，∴0a b +-≥∴a b +≥a b =时，等号成立．（数学认识）在a b +≥a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值k ，则a b +≥a b =时，+a b 有最小值（解决问题）（1）若0x >时，当x =_____________时，1x x +有最小值为_____________；（2）如图，已知点A 在反比例函数3(0)y x x=>的图像上，点B 在反比例函数1(0)y x x=->的图像上，//AB y 轴，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC y ⊥轴于点C ．求四边形ABCD 周长的最小值．【答案】（1）1,2；（2）8.【解析】(1)根据题意，利用完全平方式即可求解；(2)根据反比例函数的解析式，设出A 和B 的坐标，然后表示出周长，再根据上面的知识求解即可；解：（1）1，2．（2）解：设3(,)A a a ，则1(,)B a a -，∴四边形ABCD 周长42()a a=+ 22428a ⨯⋅=⨯=． ∴四边形ABCD 周长的最小值为8．【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了几何不等式的应用，理解在a b +≥ (a, b均为正实数)中，若ab 为定值k ，则a b +≥a=b 时，a+b 有最小值键.28．（2019·甘肃九年级）如图，一次函数y ax b =+与反比例函数()0k y x x=<的图象交于点()1,4A -、B ，点B 到x 轴的距离为1.（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）若点P 是y 轴上一点，求PA PB +取得最小值时点P 的坐标.【答案】（1）()40y x x =-<，()4,1B -；（2）点P 的坐标为170,5⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）要求反比例函数的表达式，只需将点A 的坐标代入即可，要求点B 坐标，已知点B 的纵坐标，代入反比例函数的解析式即可；（2）要求PA PB +取最小值时点P 的坐标，可作A 点关于y 轴的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 与y 轴的交点即为所求.【详解】（1）∵点()1,4A -在反比例函数k y x=的图象上， ∵144k =-⨯=-.∵反比例函数的表达式为()40y x x =-<；把1y =代入4y x=-中，得4x =- ， ∵()4,1B -；（2）如解图，作点A 关于y 轴的对称点()'1,4A ，连接'A B 交y 轴于点P ，连接PA ，则'PA PA =，∵''AP BP PA BP A B +=+=，即AP BP +的最小值为线段'A B 的长度.设直线'A B 的解析式为y mx n =+，将()4,1B -、()'1,4A 代入，得414m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得35175m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵直线'A B 的解析式为31755y x =+. 当0x =时，175y =， ∵点P 的坐标为170,5⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】此题主要考查反比例函数与几何，解题的关键是熟知反比例函数的性质及待定系数法的运用.29．（2020·内蒙古九年级）如图，反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象上一点A （m ，4），过点A 作AB ⊥x 轴于B ，CD ∥AB ，交x 轴于C ，交反比例函数图象于D ，BC ＝2，CD ＝43．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P 是y 轴上一动点，求PA +PB 的最小值．【答案】（1）4y x=；（2）【分析】（1）可得点D 的坐标为：4m 2,3⎛⎫+ ⎪⎝⎭，点A （m ，4），即可得方程4m=43（m+2），继而求得答案；（2）作点A 关于y 轴的对称点E ，连接BF 交y 轴于点P ，可求出BF 长即可．【详解】解：（1）∵CD ∥y 轴，CD ＝43， ∴点D 的坐标为：（m+2，43）， ∵A ，D 在反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象上， ∴4m ＝43（m+2），解得：m ＝1，∴点A 的坐标为（1，4），∴k ＝4m ＝4，∴反比例函数的解析式为：y ＝4x；（2）过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，并延长AE 到F ，使AE ＝FE ＝1，连接BF 交y 轴于点P ，则PA+PB 的值最小．∴PA+PB ＝PF+PB ＝BF =【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及轴对称的性质．注意准确表示出点D 的坐标和利用轴对称正确找到点P 的位置是关键．30．（2020·江苏八年级期末）在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图像与反比例m y x=的图像相交于()A 3,5、()B a,3-两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P 为y 轴上的动点，当PB PC +取最小值时，求BPC △的面积．【答案】（1）15y x =；2y x =+；（2）307BPC S ∆=．【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据一次函数y ＝x +2，求得C 的坐标，即可求得C 点关于y 轴的对称点C ′的坐标，根据待定系数法求得直线BC ′的解析式，即可求得P 的坐标，然后根据S △BPC ＝S △BCC ′﹣S △PCC ′求得即可．解：（1）点()A 3,5在反比例函数m y x=的图像上 3515m ∴=⨯= 则反比例函数表达式为15y x=将x a =，3y =-代入15y x =，得5a =- 则点B 坐标为()5,3--点A 、B 在一次函数y kx b =+的图像上3553k b k b +=⎧∴⎨-+=-⎩解得12k b =⎧⎨=⎩则一次函数表达式为2y x =+；（2）在一次函数2y x =+中，令0y =，则2x =-， ∴点C 坐标为()2,0-作点C 关于y 轴对称点C '，则点C '坐标为()2,0，即4CC '=，连接BC '交y 轴于点P ，此时PB PC +有最小值，设直线BC '表达式为11y k x b =+，则11112053k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得：113767k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则BC '表达式为3677y x =-则点P 坐标为60,7⎛⎫- ⎪⎝⎭，即67OP =6434307227BPC BCC CPC S S S ''∆∆∆⨯⨯=-=-=【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，求得P 的位置是解题的关键． 31．（2020·河南九年级练习）如图，一次函数1522y x =-+的图像与反比例函数k y x=(k ＞0)的图像交于A ，B 两点，过点A 做x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上求一点P,使PA+PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标.【答案】（1）y=2x ；（2）最小值即为2，P （0，1710）.【解析】（1）根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出112k =，进而得到反比例函数的解析式；（2）作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '，交y 轴于点P ，得到PA PB +最小时，点P 的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A B '的长；利用待定系数法求出直线A B '的解析式，得到它与y 轴的交点，即点P 的坐标．【详解】（1）反比例函数(0)ky k x=>的图象过点A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，AOM ∆面积为1，∴112k =， 0k >， 2k ∴=，故反比例函数的解析式为：2y x=；（2）作点A 关于y 轴的对称点'A ，连接'A B ，交y 轴于点P ，则PA PB +最小．由15222y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，()1,2A ∴，14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，()'1,2A ∴-，最小值'2A B ==．设直线'A B 的解析式为y mx n =+，则2142m n m n -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3101710m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线'A B 的解析式为3171010y x =-+， 0x ∴=时，1710y =， P ∴点坐标为170,10⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA PB +最小时，点P 的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．32．（2012·浙江九年级月考）如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点．（1）求出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）观察图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围；（3）若点Q 在第一象限中的双曲线上运动，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．【答案】（1）12y x =，2y x =；（2）－2＜x ＜0或x ＞2；（3）平行四边形OPCQ 的周长为4+【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的定义及性质解：（1）设反比例函数的解析式为()0ky k x =≠，由点()2,1M --在曲线上有12k -=-得2k =，则反比例函数的解析式为2y x=；设正比例函数的解析式为()0y kx x =≠，由点()2,1M --在曲线上有12k -=-，则12k =，故正比例函数的解析式为12y x =（2）当正比例函数的图象位于反比例函数的上方时，正比例函数值大于反比例函数值.由212y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得正比例函数的图象位于反比例函数的图象的交点为()()2,1,2,1T S -- 由图可知，当2x >或20x -<<时，正比例函数的图象位于反比例函数的上方，故满足条件的自变量x 的取值范围2x >或20x -<<. （3）由()1,2P --得OP =设2,,0Q x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则OQ ==由均值不等式定理得2244x x +≥=，则2OQ ≥，即OQ 的最小值为2，所以平行四边形OPCQ 周长的最小值为())2224OP OQ +==+33．（2019·内蒙古九年级）如图，一次函数y ＝﹣12x +3的图象与反比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上求一点P ，使PA +PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标．【答案】（1）y ＝4x ；（2）y ＝﹣16x +53，点P 的坐标为（0，53）．【解析】（1）利用反比例函数k 的几何意义即可求出反比例函数的解析式；（2）先把解析式联立组成方程组求出A 、B 两点的坐标，再利用轴对称的性质找到符合条件的点P 的位置，利用一次函数与y 轴的交点求出P 点坐标，再利用勾股定理求出最小距离和．【详解】（1）设A 点的坐标为（a ，b ），则OM ＝a ，AM ＝b ， ∵△AOM 面积为2， ∴12ab ＝2， ∴ab ＝4，∵点A 在反比例函数图象上， ∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x；。

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x
2+ 1 x
1
10
100
2.01
1000 2.001
10000 2.0001
L
于2.其中,推测正确的有( B ) A.3个. B.2个. C.1个.
1 2 + ( x > 0) 的值随着x的增大越来越小; x 1 2 + ( x > 0)的值有可能等于2. x 1 2 + ( x > 0) 的值随着x的增大越来越接 x
1600 t 1600 1600 1600t − 1600(t − 4) 6400 6400 = ． 2 (或 ) = − ⑵ t−4 t t (t − 4) t − 4t t (t − 4) 6400 6400 答：每天多做 t (t − 4) .(或 t 2 − 4t ) 件夏凉小衫才
解:⑴
w=
k 解:依题意,得反比例函数 y = 的 x 3 解析式为 y = − x 3 因为点A(m,3),在反比例函数 y = − x x
的图象上,所以m=-1,即点A的坐标为(-1,3). 由点A(-1,3)在直线上y=ax+2上, 可求得a=-1.
例2.(2007湖南衡阳)小明根据下表，作了三个推测：
例2.(2007四川南充)已知反比例函数经过点 (3,2)和(m,-1)则m的值是( -3 ).
例3.(2007内蒙古)在同一坐标系中,若正比例函
k −2 (k ≠ 2) 的图象有公数y=2x与反比例函数 y = x 共点,则k的一个值可以是( K>2的任意值 ).
【能力提高能力提高】能力提高例1.(2007北京)在平面直角坐标系xoy中,反比例函数 y = k 的图象关于x轴对称,又与直线y=ax+2交于点A(m,3),试确定m的值.
能完成任务．
点 A（x，y）是双曲线上任意一点，上任意一点，过点A作AB⊥x 轴于B， AC⊥y轴于C，则. S ∆AOB = S ∆AOC =
y=
k (k是常数，k ≠ 0) x
k 2
，S 矩形ABOC = k
【重点讲解重点讲解】重点讲解
a 例1.(2007海南)反比例函数 y = 的图象经过点 2 ). x (-1,2),则a的值为( y = − x
2.反比例函数图象和性质： 2.反比例函数图象和性质：反比例函数图象和性质双曲线的两个分支都与 x 轴、y 轴无限接但永远不能与两轴相交. 近，但永远不能与两轴相交. 双曲线是关于原点对称的中心对称图形，双曲线是关于原点对称的中心对称图形，也或对称的轴对是关于直线y=x（k>0）或y=-x（k<0）对称的轴对称图形. 称图形.
3.求反比例函数解析式的待定系数法： 3.求反比例函数解析式的待定系数法：求反比例函数解析式的待定系数法只需有一组 x、y 的对应值或函数图象上一点的坐标，上一点的坐标，代入反比例函数的函数解析就可得到反比例函数解析式. 式，求出 k 值,就可得到反比例函数解析式. 求出 4.比例系数的几何意义：如图所示， 4.比例系数 k 的几何意义：如图所示，若
第二十一讲: 第二十一讲反比例函数
概念解读重点讲解能力提高思维拓展
【概念解读概念解读】概念解读 1.反比例函数的概念反比例函数的概念： 1.反比例函数的概念：
一般地，如果两个变量x、y 间的关系式可以表示成
①
y=
k (k是常数，k ≠ 0； ) x
② y = k −1 x(k ≠ 0) （指数上含有字母，求解析式）； ) ③ k = xy (k ≠ 0（已知点的坐标，求k的值或解析式）则y叫做x的反比例函数. 2.反比例函数图象和性质反比例函数图象和性质： 2.反比例函数图象和性质： ①当k>0，双曲线的两个分支位于一、三象限，y 随 x 的增大而减小（减函数）； ②当k<0，双曲线的两个分支位于二、四象限，y 随x 的增大而增大（增函数）；
D.0个.
【思维拓展思维拓展】思维拓展例1.(2007辽宁十二市)某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t(t>4)天完成．（1）写出每天生产夏凉小衫w（件）与生产时间t （天）（t＞4）之间的函数关系式; （2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？