2018年数学同步优化指导练习：第3章-1.2-导数在实际问题中的应用-活页12
2018课标版理数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)4 第四节 导数的综合应用
(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线? (2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论 h(x)零点的个数.
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解析 (1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0, f '(x0)=0,即
1 3 x0 ax0 0, 4 2 3 x0 a 0. 1 3 解得x0= ,a=- . 2 4 3 因此,当a=- 时,x轴为曲线y=f(x)的切线. 4
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a 3 1 5 5 3 ③若f <0,即-3<a<- ,由于f(0)= , f(1)=a+ ,所以当- <a<- 时, 3 4 4 4 4 4 5 f(x)在(0,1)内有两个零点;当-3<a≤- 时, f(x)在(0,1)内有一个零点. 4 3 5 3 5 综上,当a>- 或a<- 时,h(x)有一个零点;当a=- 或a=- 时,h(x)有两个零 4 4 4 4 5 3 点;当- <a<- 时,h(x)有三个零点. 4 4
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方程f '(x)=0的判别式Δ=(2b)2-12ac, (1)当Δ≤0,即b2≤3ac时, f '(x)≥0恒成立, f(x)在R上为增函数,又易知存 在x'、x″∈R,使f(x')f(x″)<0,故方程f(x)=0有① 一 个实根. (2)当Δ>0,即b2>3ac时,方程f '(x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1<x2),函数在x1 处取得极大值M,在x2处取得极小值m(M>m). a.当m>0时,方程f(x)=0有② 一 个实根; b.当m=0时,方程f(x)=0有③ 两 个实根; c.当m<0,M>0时,方程f(x)=0有④ 三 个实根;
2018年数学同步优化指导选修2-3练习：1-2-1 第2课时 排列的综合应用活页作业 含解析 精品
活页作业(四)排列的综合应用1．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼—15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种B．18种C．24种D．48种解析：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有A22·A22种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有A23种方法，由分步计算原理可得总的方法种数为：A22·A22·A23＝24.答案：C2. 将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有()A．192B．144C．288D．240解析：本题为相邻排列问题，可先排相邻的文件，再作为一个整体与其它文件做排列，则有A22A22A35＝240种排法。
答案：D3．某会议室第1排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为()A．12 B．16C．24 D．32解析：将空位插到3个人中间，3个人有2个中间位置和2个两边位置，就是将空位分为四部分，5个空位四分只有1,1,1,2形式，空位无差别，只需要空位2分别占在4个位置就可以有4种方法，另外3个人全排列为A33＝6，根据分步乘法计数原理可得共有不同的坐法4×6＝24种．答案：C4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．解析：分3步进行分析，①先分排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法，则共有2×2×6＝24种排法．答案：245．若2n个学生排成一排的排法数为x，这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x，y的关系为x________y(填>、<或＝)．解析：将2n个学生排成一排与排成前后两排的排法数均为2n个元素的全排列，故x＝y.答案：＝6．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；第二步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A37种，由分步计数原理知，排法种数为A24·A37＝2 520种.7．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”“进敬老院”“参观工厂”“民俗调查”“环保宣传”五项社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣传”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是()A．12B．24C．36D．48解析：把“参观工厂”与“环保宣传”当作一个整体，共有A44A22＝48种，把“民俗调查”安排在周一，有A33A22＝12种，所以满足条件的不同安排方法的种数为48－12＝36.答案：C8．把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是()A．168B．96C．72D．144解析：由题意得两张票连续有如下情形：(1,2)与(3,4)，(1,2)与(4,5)，(1,2)与(5,6)，(2,3)与(4, 5)，(2,3)与(5,6)，(3,4)与(5,6)，则不同的方法种类为6×A44＝144.答案：D9. 2个女生和5个男生排成一排，若女生不能排在两端又必须相邻，则不同的排法总数为()A ．480B ．720C ．960D ．1440解析：把2名女生看成1个元素，和5个男生可作6个元素的全排列，又2名女生的顺序可调整，共有A 66A 22种方法，去掉其中女生在两端的情形共2A 55A 22种，故总的方法种数为A 66A 22－2A 55A 22＝960.答案：C10．冬奥会火炬传递在A ，B ，C ，D ，E ，F 六个城市之间进行，以A 为起点，F 为终点，B 与C 必须接连传递，E 必须在D 的前面传递，且每个城市只经过一次，那么火炬传递的不同路线共有________种．解析：因B 与C 必须相邻，故把它们捆绑在一起视为一个整体元素B ′，则B ′，D ，E 不同的排列方式有A 33种．因E 必须在D 的前面传递，所以不同的排列方式有A 332种．又B 与C 的排列方式有A 22种，从而不同的排列方式有A 332·A 22＝6(种)．答案：611．某单位安排7名员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天．若7名员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有多少种？解：依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有A 22A 66＝1 440种，其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有A 22A 55＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有A 22A 55＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有A 22A 44＝48种．因此满足题意的方法共有1 440－2×240＋48＝1 008种．12．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求A 3－15的值．(2)排列数的两个性质：①A m n ＝n A m －1n －1②A m n ＋m A m －1n ＝A m n ＋1(其中m ，n 是正整数)是否都能推广到A m x (x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．(3)确定函数A 3x 的单调区间．解：(1)A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4080.(2)性质①，②均可推广，推广的形式分别是①A m x ＝x A m －1x －1 ②A m x ＋m A m －1x ＝A m x ＋1(x ∈R ，m ∈N *)．证明：在①中，当m ＝1时，左边＝A 1x ＝x ，右边＝x A 0x －1＝x ，等式成立；当m ≥2时，左边＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋1)，右边＝x (x －1)(x －1－1)(x －1－2)…[x －1－(m －1)＋1]＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋1)，左边＝右边，即当m ≥2时，等式成立，因此①A m x ＝x A m －1x －1成立． 在②中，当m ＝1时，左边＝A 1x ＋A 0x ＝x ＋1＝A 1x ＋1＝x ＋1＝右边，等式成立；当m ≥2时，左边＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋1)＋mx (x －1)(x －2)…(x －m ＋2) ＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋2)[(x －m ＋1)＋m ]＝(x ＋1)x (x －1)(x －2)…[(x ＋1)－m ＋1]＝A m x ＋1＝右边，因此②A m x ＋m A m －1x ＝A m x ＋1(x ∈R ，m ∈N *)成立． (3)A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x .先求导数，得()A 3x ′＝3x 2－6x ＋2.令3x 2－6x ＋2>0，解得x <3－33或x >3＋33. 因此，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，3－33时，函数为增函数， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞时，函数也为增函数． 令3x 2－6x ＋2≤0，解得3－33≤x ≤3＋33，因此，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－33，3＋33时，函数为减函数．所以函数A 3x 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－33，3＋33.。
2018年数学同步优化指导选修2-2练习：活页作业十 含解析 精品
活页作业(十) 定积分的概念1．下列结论中成立的个数是( ) ①⎠⎛01x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n； ②⎠⎛01x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n (i －1)3n 3·1n； ③⎠⎛01x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n i 3n 3·1n. A ．0 B ．1 C ．2D ． 3解析：由定积分的定义知，②、③成立，故选C. 答案：C2．已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛－66f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．16 C ．12D ．8解析：偶函数图象关于y 轴对称，故⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.故选B. 答案：B3．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d x C .⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x解析：根据定积分的几何意义可求得：⎠⎛01x d x ＝12×1×1＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝12×(1＋2)×1＝32，⎠⎛011d x ＝1×1＝1，⎠⎛0112d x ＝1×12＝12，故选C. 答案：C4．已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝______. 解析：⎠⎛02x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12x 2d x ＝13＋73＝83.又⎠⎛021d x ＝2，∴⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛021d x ＝83＋2＝143.答案：1435．下列等式成立的是______．(填序号) ①⎠⎛a b[mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a bf (x )d x ＋n ⎠⎛a bg (x )d x ； ②⎠⎛a b[f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋b －a ；③⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛a bg (x )d x ；④⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x . 解析：利用定积分的性质进行判断③不成立．例如⎠⎛01x d x ＝12，⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛01x 3d x ＝14，但⎠⎛01x 3d x ≠⎠⎛01x d x ·⎠⎛01x 2d x .答案：①②④6．已知⎠⎛01e x d x ＝e －1，⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ，⎠⎛02x 2d x ＝83，⎠⎛122x d x ＝2ln 2.求： (1)⎠⎛02e x d x ；(2)⎠⎛02(e x ＋3x 2)d x ； (3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x . 解：(1)⎠⎛02e x d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛12e x d x ＝e －1＋e 2－e ＝e 2－1.(2)⎠⎛02(e x ＋3x 2)d x ＝⎠⎛02e x d x ＋⎠⎛02(3x 2)d x ＝⎠⎛02e x d x ＋3⎠⎛02x 2d x ＝e 2－1＋8＝e 2＋7. (3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x ＝⎠⎛12e x d x ＋12⎠⎛122xd x ＝e 2－e ＋ln 2.7．若⎠⎛－a a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36D ．2 016解析：由⎠⎛－a a|56x |d x ＝56⎠⎛－a a|x |d x ≤2 016，得⎠⎛－a a|x |d x ≤36，∴⎠⎛－a a|x |d x ＝2⎠⎛0ax d x ＝a 2≤36，即0＜a ≤6，故正数a 的最大值为6.答案：A8．已知和式S ＝1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p >0)，当n 趋向于∞时，S 无限趋向于一个常数A ，则A 可用定积分表示为( )A.⎠⎛011x d xB.⎠⎛01x p d xC.⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1x pd xD.⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x n pd x解析：S ＝1n ⎝⎛⎭⎫1n p ＋⎝⎛⎭⎫2n p ＋⎝⎛⎭⎫3n p ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n p ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i n p ·1n ，∴lim n →∞∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i n p ·1n ＝⎠⎛01x p d x .答案：B9．已知⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝10，⎠⎛a bf (x )d x ＝3，则⎠⎛a bg (x )d x ＝______.解析：由定积分的性质可得：⎠⎛a bg (x )d x ＝⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x －⎠⎛a bf (x )d x ＝10－3＝7. 答案：710．由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是________．解析：封闭图形的面积为：S ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛24(x 2－4)d x ＝⎠⎛04|x 2－4|d x . 答案：⎠⎛04|x 2－4|d x11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5x ∈[－1，1)x x ∈[1，π)sin x x ∈[π，3π]，求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分．解：由定积分的几何意义知⎠⎛－11x 5d x ＝0.⎠⎛π3πsin x d x ＝0(如图所示)．⎠⎛－13πf (x )d x ＝⎠⎛－11x 5d x ＋⎠⎛1πx d x ＋⎠⎛π3πsin x d x ＝⎠⎛1πx d x ＝12(π2－1)．12.求⎠⎛－33(9－x 2－x 3)d x 的值． 解：如图，由定积分的几何意义，得⎠⎛－339－x 2d x ＝π×322＝9π2，⎠⎛－33x 3d x ＝0.由定积分的性质，得⎠⎛－33(9－x 2－x 3)d x ＝⎠⎛－339－x 2d x －⎠⎛－33x 3d x ＝9π2.。
全国2018年数学同步优化指导练习：第3章 1.1 导数与函数的单调性(第一课时)
第三章 §1 1.1 第1课时1．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增加的( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．()π，2πC ．⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)解析：由已知得y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ．当x ∈(π，2π)时，－x sin x >0.即函数在(π，2π)上是增加的．答案：B2.f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图像如右图所示，则f (x )的图像可能是( )解析：由图知f ′(x )在区间[a ，b ]上先增大后减小，但始终大于0，则f (x )的图像上点的切线的斜率应先增大后减小，只有D 符合．答案：D3．在下列结论中，正确的有 ( )(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个解析：分别举反例：(1)y ＝ln x ，(2)y ＝1x(x >0)， (3)y ＝2x ，(4)y ＝x 2.答案：A4．函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的递增区间为____________，递减区间为____________．解析：由已知得y ′＝－x 2＋2x .令y ′>0，得0<x <2.令y ′<0，得x <0或x >2. 答案：(0,2) (－∞，0)，(2，＋∞)5．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的递减区间． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝4x 2－1x， 令4x 2－1x <0，得x <－12或0<x <12. 又∵x >0，∴f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.。
2018年数学同步优化指导北师大版选修1-2练习：3章整合
第三章 本章整合提升1．(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：⎭⎪⎬⎪⎫当x ＞1，y ＞1时，x ＋y ＞2一定成立，即p ⇒q 当x ＋y ＞2时，可以x ＝－1，y ＝4，即q /⇒p ⇒ p 是q 的充分不必要条件. 答案：A2．(2016·浙江卷)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R . ( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b ，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥bD ．若f (a )≥2b ，则a ≥b解析：若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b .故a ≤b . 答案：B3．(2014·北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪名学生比另一名学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两名学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人解析：满足题目条件的最多有3人，其中一个人语文最好，数学最差，另一个人语文最差数学最好，第三个人成绩均为中等．故选B ．答案：B4．(2014·陕西卷)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为________.解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ，故可猜想f 2 014(x )＝x1＋2 014x.答案：f 2 014(x )＝x1＋2 014x5．(2014·课标Ⅰ)甲、乙、丙三名同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________.解析：由丙可知，乙至少去过一个城市．由甲、乙可知，甲去过A ，C 且比乙多，且乙没有去过C 城市，故乙只去过A 城市．答案：A6．(2016·四川卷)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是________________.(写出所有真命题的序号) 解析：根据定义求解．①设A (2,1)，则其伴随点为A ′⎝⎛⎭⎫15，－25，而A ′的伴随点为(－2，－1)，故①错． ②设P (x ，y )，其中x 2＋y 2＝1，则其伴随点为(y ，－x )，该点也在圆x 2＋y 2＝1上，故②正确．③设A (x ，y )，B (x ，－y )，则它们的伴随点分别为A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，B ′⎝⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与B ′关于y 轴对称，故③正确．④设共线的三点A (－1,0)，B (0,1)，C (1,2)，则它们的伴随点分别为A ′(0,1)，B ′(1,0)，C ′⎝⎛⎭⎫25，－15，此三点不共线，故④不正确． 答案：②③7．(2016·北京卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC ．(1)求证：DC ⊥平面P AC ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由． (1)证明：∵PC ⊥平面ABCD ，DC 平面ABCD ， ∴PC ⊥DC ．∵DC ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ， ∴DC ⊥平面P AC ．(2)证明：∵AB ∥DC ，DC ⊥AC ， ∴AB ⊥AC ．∵PC ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴PC ⊥AB ． ∵PC ∩AC ＝C ， ∴AB ⊥平面P AC ． ∵AB 平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AC ．(3)解：在棱PB 上存在中点F ，使得P A ∥平面CEF .∵点E 为AB 的中点，∴EF ∥P A ．∵P A 平面CEF ，EF 平面CEF ， ∴P A ∥平面CEF .8．(2016·四川卷)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立．(1)解：f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)证明：令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.(3)解：由(2)，当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a >1.由(1)有f ⎝⎛⎭⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝⎛⎭⎫12a >0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2＞x 2－2x ＋1x 2＞0.因此h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。
2018年数学同步优化指导北师大版选修2-3练习：1-3 第2课时 组合的综合应用 活页作业6 含解析 精品
活页作业(六)组合的综合应用一、选择题1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为()A．81B．60C．6 D．11解析：分三类．恰有2件一等品，有C24C25＝60种取法；恰有3件一等品，有C34C15＝20种取法；恰有4件一等品，有C44＝1种取法．∴抽法种数为60＋20＋1＝81．答案：A2．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A．70个B．64个C．58个D．52个解析：∵四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面共12个，∴共有四面体C48－12＝58个．故选C．答案：C3．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人发言，那么不同的选派方法有()A．30种B．50种C．60种D．120种解析：若甲、乙两人中只有一人参加发言，有C12C35＝20种方法；若甲、乙均参加发言，有C22C25＝10种方法．所以共有20＋10＝30种方法．答案：A4．直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有()A．25个B．36个C．100个D．225个解析：在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225个．答案：D二、填空题5．甲、乙、丙三名同学选修课程，在4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．解析：甲选修2门，有C24＝6种选法，乙、丙各选修3门，各有C34＝4种选法，由分步乘法计数原理得，共有6×4×4＝96种选法．答案：966．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________．解析：按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C410C25＝2 100种抽法．答案：2 100三、解答题7．空间有10个点，其中有5个点共面(除此之外再无4点共面)，以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？解：不考虑任何限制，10个点可得C410个四面体．由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有C45种情形．所以构成四面体的个数为C410－C45＝210－5＝205．8．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？解：(1)有C312＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C12种方法；再从10件正品中抽出2件有C210种方法．所以共有C12C210＝90种抽法．(3)方法一(直接法)分两类，即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有C12C210＋C22C110＝100种抽法．方法二(间接法)从12件产品中任意抽出3件有C312种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种，所以共有C312－C310＝100种抽法．一、选择题1．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11C．12 D．15解析：与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类．第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6个；第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4个；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1个．∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．答案：B2．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为() A．120 B．240C．360 D．720解析：先选出3个球有C310＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法．答案：B二、填空题3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．解析：对于4个数之和为偶数，可分三类．第一类：4个数均为偶数，有C44种取法；第二类：2个数为偶数，2个数为奇数，有C24C25种取法；第三类：4个数均为奇数，有C45种取法．由分类加法计数原理，可得不同的取法共有C44＋C24C25＋C45＝66种．答案：664．已知直线xa＋yb＝1(a，b是非零常数)与圆x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有________条．解析：如图所示，在圆x2＋y2＝100上，整点坐标有(±10,0)，(6,8)，(－6，－8)，(－6,8)，(6，－8)，(8,6)，(－8，－6)，(－8,6)，(8，－6)，(0，±10)共12个点．这12点确定的直线数为C212条；过这12点的切线数有12条；由于a，b不为零，应去掉过原点的直线6条；又其中平行于坐标轴的直线有12条，故符合题意的直线共有C 212＋12－(6＋12)＝60条． 答案：60 三、解答题5．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的； (2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C 410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N ＝C 410·24＝3 360． 即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法． (2)从10双鞋子中选取2双有C 210种取法， 所以选取种数为N ＝C 210＝45，即4只鞋子恰成两双有45种不同取法．(3)先选取一双有C 110种选法，再从9双鞋中选取2双有C 29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理，不同取法有N ＝C 110C 29·22＝1 440种． 6．已知一组曲线y ＝13ax 3＋bx ＋1，其中a 为2,4,6,8中的任意一个，b 为1,3,5,7中的任意一个．现从这些曲线中任取两条．求它们在x ＝1处的切线相互平行的组数．解：y ′＝ax 2＋b ，曲线在x ＝1处切线的斜率k ＝a ＋b .切线相互平行，则需它们的斜率相等，因此按照在x ＝1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成．第一类：a ＋b ＝5，则a ＝2，b ＝3；a ＝4，b ＝1.故可构成2条曲线，有C 22组． 第二类：a ＋b ＝7，则a ＝2，b ＝5；a ＝4，b ＝3；a ＝6，b ＝1.可构成三条曲线，有C 23组． 第三类：a ＋b ＝9，则a ＝2，b ＝7；a ＝4，b ＝5；a ＝6，b ＝3；a ＝8，b ＝1.可构成四条曲线，有C 24组．第四类：a ＋b ＝11，则a ＝4，b ＝7；a ＝6，b ＝5；a ＝8，b ＝3.可构成三条曲线，有C 23组．第五类：a ＋b ＝13，则a ＝6，b ＝7；a ＝8，b ＝5.可构成两条曲线，有C 22组．故共有C22＋C23＋C24＋C23＋C22＝14组．。
2018年数学同步优化指导北师大版选修2-3练习：1-2 第2课时 排列的综合应用 活页作业4 含解析 精品
活页作业(四)排列的综合应用一、选择题1．A44·A44是下列哪一个问题的答案()A．4男4女排成一列，同性别的都不相邻B．4男4女排成一列，女生都不相邻C．4男4女分别到4个不同的兴趣小组，每组一男一女D．4男4女分成两组，这两组各有2男2女解析：选项A的答案是A44·2A44；选项B的答案是A44·A45；选项D不是排列问题；只有选项C的答案是A44·A44.答案：C2．以正方形4个顶点中的任意两个顶点分别作为起点、终点作向量，可以作出不同的向量个数为()A．12B．16C．8 D．10解析：以4个顶点中任意两个顶点分别作为起点、终点作向量，相当于从4个元素中取出2个元素进行排列，因此，可作A24＝12个向量．另外，两组对边分别有两个相同的向量，故不同的向量个数为12－2×2＝8．答案：C3．把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为()A．36 B．20C．12 D．10解析：把标号为偶数的球放入偶数号箱子中，有A22种放法，把标号为奇数的球放入奇数号箱子中，有A33种放法，由分步乘法计数原理得所有的放法种数为A22·A33＝12，选C．答案：C4．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()A．24个B．30个C．40个D．60个解析：个位只能从2,4中选一个，有2种选法，剩余的四个数字任选2个填十位、百位，有A24个，故共有2A24＝24个偶数．答案：A二、填空题5．某人练习打靶，一共打了8发，中了3枪，其中恰有两发连中，则中靶的方式共有________种．解析：插入法，在未中的5发之间及两端排列，共A26种．答案：306．安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数是________．(用数字作答)解析：假设A不第一个出场，B不最后一个出场，分以下几种情况．(1)B第一个出场，有A44种排法；(2)A最后一个出场，有A44种排法；(3)A，B从中间3个位置选，其他3人任意排列，有A23·A33＝36种排法．B第一个出场，A最后一个出场，有A33种排法，所以共有A44＋A44－A33＋A23·A33＝48－6＋36＝78种排法．答案：78三、解答题7．用0,1,2,3,4,5,6这七个数字，能组成多少个没有重复数字的四位偶数？解：分两类．第一类：个位为0时，剩余的三位可从1,2,3,4,5,6中任取三个填入，有A36种．第二类：个位为2,4,6时，最高位从剩余的5个数字(0不能在最高位)中任取一个有5种取法；中间两位可从剩余5个数字中任取两个排进去，有A25种，故第二类共有3A15A25种．由分类加法计数原理知，能组成的没有重复数字的四位偶数的个数为A36＋3A15A25＝420．8．有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正副班长两职只能由A，B，C三人中选两人担任，有多少种不同的分工方案？(2)若正副班长两职至少要选A，B，C三人中的1人担任，有多少种不同的分工方案？解：(1)先安排正副班长，有A23种方法；再安排其余职务，有A55种方法．由分步乘法计数原理知共有A23·A55＝720种分工方案．(2)7人的任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人担任正副班长的分工方案有A24·A55种，因此满足条件的分工方案有A77－A24·A55＝3 600种．一、选择题1．有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有()A．60种B．78种C．80种D．92种解析：若不考虑不能停靠的车道，5列车共有A55种停法，A停在第3道上的方法有A44种，B停在第1道上的方法有A44种，A，B分别停在第3道、第1道上的方法有A33种．故符合题意的停法共有A55－A44－A44＋A33＝78种．答案：B2．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在同一条直线上，则不同的摆放方法有()A．2 680种B．4 320种C．4 920种D．5 140种解析：先将7盆花全排列，共有A77种排法，其中3盆兰花放在同一条直线上的排法有5A33A44种，故所求的摆放方法有A77－5A33A44＝4 320种．答案：B二、填空题3．一排长椅共有10个座位，现有4人坐，恰好有5个连续空位的坐法种数为________．解析：把5个连续空位看作1个假想元素，设为a，单独的1个空位设为b，另4个设为c1，c2，c3，c4，则问题转化为a，b，c1，c2，c3，c46个元素的排列，且a，b不相邻，由插空法，先排4个人，有A44种排法，然后，a，b插空有A25种插法，故共有A44·A25＝480种坐法．答案：4804．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________．(用数字作答)解析：第一步，将两位爸爸排在两端，有2种排法；第二步，将两个小孩看成一个整体与两位妈妈排在中间的三个位置上，有A33种排法；第三步，将两个小孩排序，有2种排法．故总的排法有2×2×A33＝24种．答案：24三、解答题5．9张卡片分别写着数字0,1,2,3，…，8，从中取出3张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还可当9用，问可组成多少个三位数？解：注意0和6的特殊性，可如下分类．(1)不含0与6的三位数有A37个；(2)只含6不含0的三位数有2A 13A 27个； (3)只含0不含6的三位数有A 12A 27； (4)既含0又含6的三位数有2A 12A 12A 17个． 故总共有A 37＋2A 13A 27＋A 12A 27＋2A 12A 12A 17＝602个．6．2017年高中毕业前夕，7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)2名女生必须相邻； (2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到矮的顺序站； (4)老师不站正中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一个元素与其余5人全排列，有A 66种排法，所以有不同站法A 22·A 66＝1 440种．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生的间隔(含两端)处插入男生，每空1人，则有插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33·A 44＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而从高到矮有从左到右和从右到左两种情况，所以共有不同站法2·A 77A 44＝420种．(4)中间和两端是特殊位置，可分类求解如下．①老师站在两端之一，另一端由男生站，有A 12·A 14·A 55种站法；②两端全由男生站，老师站除两端和正中的另外4个位置之一，有A 24·A 14·A 44种站法．所以不同站法共有A 12·A 14·A 55＋A 24·A 14·A 44＝960＋1 152＝2 112种．。
2018年数学同步优化指导北师大版选修2-3练习：3章整合提升 含解析 精品
第三章 本章整合提升一、选择题1．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关，则下列结论正确的是( ) A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：由回归方程知x 与y 负相关，又因为y 与z 正相关，所以x 与z 负相关．故选A ． 答案：A2．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：回归直线一定过样本中心(10,8)，∵b ^＝0.76，∴a ^＝0.4.由y ^＝0.76x ＋0.4得当x ＝15万元时，y ^＝11.8万元，故选B ． 答案：B3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：当x ＝170时，y ＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg ，故D 不正确．答案：D4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y ＝bx ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A ．b ＞b ′，a ＞a ′B ．b ＞b ′，a ＜a ′C ．b ＜b ′，a ＞a ′D ．b ＜b ′，a ＜a ′解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ＝∑i ＝16x i y i －6x ·y∑i ＝16x 2i －6x －2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ＝y －b x －＝136－57×72＝－13，所以b ＜b ′，a ＞a ′．答案：C 二、填空题5．有同学在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人的邮箱名称里含有数字的比较少，为了研究国籍与邮箱名称是否含有数字有关，于是我们共收集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱名称中有43个含数字，外国人的邮箱名称中有27个含数字．那么认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”的把握性为________．(用百分数表示)．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).由表中数据，得χ2＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201．∵χ2≥5.024，∴有97.5%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”． 答案：97.5%6．已知x ，y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 则实数a 的值为________． 解析：x ＝2＋3＋4＋54＝3. 5，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，回归直线必过样本的中心点(x ，y )，把(3.5，4.5)代入回归方程，计算得a ＝－0.61．答案：－0.617．调查者通过随机询问72名男女生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)： 性别与喜欢文科还是理科列联表学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”) 附：当χ2＞7.879时，有99.5%以上的把握判定变量A ，B 有关联． 解析：通过计算χ2＝72×(8×16－28×20)236×36×28×44≈8.42＞7.879．故我们有99.5%的把握认为学生的性别和喜欢文科还是理科有关系． 答案：有 三、解答题8．某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y (单位：千元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：(1)求y 关于x (2)判定y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6 ℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．附：回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x ．解：(1)列表.这里n ＝5，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝355＝7，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝455＝9．又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝295－5×72＝50，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －＝287－5×7×9＝－28，从而，b ＝l xy l xx ＝－2850＝－0.56，a ＝y －b x ＝9－(－0.56)×7＝12.92， 故所求回归方程为y ＝－0.56x ＋12.92． (2)由b ＝－0.56<0知y 与x 之间是负相关． 将x ＝6代入回归方程可预测该店当日的营业额为 y ＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千元)．9．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表(单位：人)：(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ 附：当χ2＞5.024时，有97.5%以上的把握判定变量A ，B 有关联．(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7 min ，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8 min ，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．解：(1)由表中数据得χ2＝50×(22×12－8×8)230×20×30×20＝509≈5.556＞5.024，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关． (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x min ，y min ，则基本事件满足的区域为⎩⎪⎨⎪⎧5≤x ≤7，6≤y ≤8(如图所示)．设事件A 为“乙比甲先做完此道题”， 则满足的区域为x >y ， 所以P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18．。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 1.1 导数与函数的单调性(第二课时)
第三章 §1 1.1 第2课时1．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则( )A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c <0C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0解析：由f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0，知Δ＝4b 2－12ac ≤0，故b 2－3ac ≤0.答案：D2．若函数h (x )＝2x －＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )k x k 3A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]解析：根据已知条件得h ′(x )＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2k x 22x 2＋k x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．答案：A3．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－2x ＋5在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥B ．a >1616C ．a ＝D ．0<a <1616解析：∵f ′(x )＝3x 2－6ax －2，f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－6ax －2<0在(0,1)内恒成立．∴a >x －在(0,1)内恒成立．1213x ∵函数g (x )＝x －在(0,1)内是增函数，且g (x )<g (1)＝－＝，∴a ≥.1213x 12131616答案：A4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋a ，当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0恒成立，∴a ≥－3x 2.又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥0.即a 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)5．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．解：(1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，∴x >0，f ′(x )＝－2x ＋a ＝－.a 2x (x －a )(2x ＋a )x ∵x >0，a >0，∴f (x )的递增区间为(0，a )，递减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意，得f (1)＝a －1≥e －1，∴a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增．要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要Error!解得a ＝e.。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 1.1 导数与函数的单调性(第一课时)
第三章 §1 1.1 第1课时1．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增加的( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．()π，2πC ．⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)解析：由已知得y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ．当x ∈(π，2π)时，－x sin x >0.即函数在(π，2π)上是增加的．答案：B2.f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图像如右图所示，则f (x )的图像可能是( )解析：由图知f ′(x )在区间[a ，b ]上先增大后减小，但始终大于0，则f (x )的图像上点的切线的斜率应先增大后减小，只有D 符合．答案：D3．在下列结论中，正确的有 ( )(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个解析：分别举反例：(1)y ＝ln x ，(2)y ＝1x(x >0)， (3)y ＝2x ，(4)y ＝x 2.答案：A4．函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的递增区间为____________，递减区间为____________．解析：由已知得y ′＝－x 2＋2x .令y ′>0，得0<x <2.令y ′<0，得x <0或x >2. 答案：(0,2) (－∞，0)，(2，＋∞)5．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的递减区间． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝4x 2－1x， 令4x 2－1x <0，得x <－12或0<x <12. 又∵x >0，∴f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 1.1 导数与函数的单调性(第二课时) 活页作业11
活页作业(十一) 导数与函数的单调性(第二课时)1．函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a 值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，依题意得f ′(2)＝24＋4a ＝0，∴a ＝－6. 答案：C2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫43，3B ． ⎝⎛⎭⎫43，103 C ．⎝⎛⎦⎤43，3D ．(－∞，3]解析：∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，∴f ′(x )＝x 2＋2x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∴a ≤x 2＋2x ，x ∈(1，＋∞)恒成立． ∵当x >1时，x 2＋2x >3， ∴a ≤3.①∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，∴f (1)<0，f (2)>0. ∴43<a <103.② 由①②得，43<a ≤3.答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，x 3－(a －1)x ＋a 2－3a －4(x <0) 在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1,1] C ．(－∞，1)D ．[－1,4]解析：若原函数在R 上为增函数，则当x <0时，f ′(x )＝3x 2－(a －1)≥0恒成立．因此有a ≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.综上－1≤a ≤1.答案：B4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 0.50.25·f (log 0.50.25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b解析：构造函数h (x )＝xf (x )，由函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，函数y ＝x 是R 上的奇函数，可得h (x )＝xf (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0. ∴函数h (x )在x ∈(－∞，0)上为单调递减函数． ∴h (x )在x ∈(0，＋∞)上为单调递减函数． ∵2>20.2>1,0<ln 2<1，log 0.50.25＝2， ∴log 0.50.25>20.2>ln 2.∴b >a >c . 答案：C5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的________条件．( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要解析：对于p ，由题意知f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ≤0. ∴4－3m ≤0.∴m ≥43.又当m ＝43时，f (x )＝x 3＋2x 2＋43x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋233＋1927在R 上单调递增，∴m ≥43.∴p 是q 的充要条件．答案：A6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的递减区间为[－1， 2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，所以－1,2为方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－67．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，f (x )有三个单调区间， ∴方程3ax 2＋1＝0有两个不等实根． ∴Δ＝0－4×3a ×1>0.解得a <0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________． 解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3.故a 的最大值为3.答案：39．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求F (x )的单调区间；(2)若以y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．∵a >0，由F ′(x )>0得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增加的． 由F ′(x )<0得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减少的．∴F (x )的递减区间为(0，a )，递增区间为(a ，＋∞)． (2)∵F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)，∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立．即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12.∴a min ＝12.10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝⎛⎭⎫23，＋∞内，导函数大于0有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：设g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12<0.∴g (x )在R 上是减函数．∵g (1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴g (x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}．答案：D12．已知函数f (x )＝2e x －mx (其中e ≈2.718…)在区间[－1,0]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2e x －m ≤0在[－1,0]上恒成立，即m ≥2e x 恒成立，可得m ≥2. 答案：[2，＋∞)13．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数，f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对∀x ∈[－1，2]恒成立， ∵b ＝9a ，∴x 2－2ax －3a ≤0.∵2x ＋3>0. ∴a ≥x 22x ＋3对x ∈[－1,2]恒成立．解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为_________．解析：由已知a >1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln xx ，∴g ′(x )＝－ln xx2<0(x >1)．∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内递减．∴g (x )<g (1)． ∵g (1)＝1，∴1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 3(a 为常数)．(1)若a ＝－3，判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性； (2)函数f (x )在[1，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时f ′(x )＝3x 2－3x ＝3(x 3－1)x.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)由已知得f ′(x )＝a x ＋3x 2＝3x 3＋a x.∵f (x )在[1，e]上单调递减，∴f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立．即a ≤－3x 3在[1，e]上恒成立． ∵(－3x 3)min ＝－3e 3，∴a ≤－3e 3. (3)不等式f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 可化为 a (x －ln x )≤x 2－2x .∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，且不能同时取等号． ∴ln x <x ，即x －ln x >0. ∴a ≤x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])．令g (x )＝x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])，则g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)， ∴g (x )在[1，e]上为增函数． ∴g (x )的最小值为g (1)＝－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．设函数f (x )＝1＋x 1－xe －ax .(1)试写出定义域及f ′(x )的解析式； (2)设a >0，讨论函数y ＝f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， f ′(x )＝ax 2＋2－a (1－x )2e －ax，其中x ≠1.(2)①当0<a ≤2时，f ′(x )≥0且仅在有限个点处取等号，∴f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．②当a >2时，由f ′(x )>0得ax 2＋2－a >0，解得x >a －2a或x <－a －2a；由f ′(x )<0得ax 2＋2－a <0，解得－a －2a<x < a －2a. 综上所述，当0<a ≤2时，函数y ＝f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增；当a >2时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ，1，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a －2a ， a －2a 上单调递减．。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 2.1 实际问题中导数的意义
第三章 §2 2.11．某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t 的函数W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示( )A ．t ＝t 0时做的功B ．t ＝t 0时的速度C ．t ＝t 0时的位移D ．t ＝t 0时的功率解析：功率＝做功时间答案：D2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．4 m/s 解析：s ′＝－1＋2t ，s ′|t ＝3＝－1＋2×3＝5.答案：C3．设球的半径为时间t 的函数R (t )．若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )A ．成正比，比例系数为CB ．成正比，比例系数为2CC ．成反比，比例系数为CD ．成反比，比例系数为2C解析：根据题意，V ＝43πR 3(t )，S ＝4πR 2(t )， 球的体积增长速度为V ′＝4πR 2(t )·R ′(t )，球的表面积增长速度S ′＝2·4πR (t )·R ′(t )， 又∵球的体积以均匀速度C 增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C ．答案：D4．人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg/mL)随时间t (单位：min)变化，且f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示__________.答案：服药后2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL 的速度增加5．物体做自由落体运动，其方程为s (t )＝12gt 2.(其中位移单位：m ，时间单位：s ，g ＝9.8 m/s 2)(1)计算当t 从2 s 变到4 s 时，位移s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的意义；(2)求当t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释它的意义．解：(1)当t 从2 s 变到4 s 时，位移s 从s (2)变到s (4)，此时，位移s 关于时间t 的平均变化率为s (4)－s (2)4－2＝12g ×42－12g ×224－2＝9.8×3＝29.4(m/s)． 它表示物体从2 s 到4 s 这段时间平均每秒下落29.4 m.(2)∵s ′(t )＝gt ，∴s ′(2)＝2g ＝19.6(m/s)．它表示物体在t ＝2 s 时的速度为19.6 m/s.。
全国2018年数学同步优化指导练习：第3章 1.2 导数在实际问题中的应用
第三章 §1 1.21．函数f (x )＝1＋3x －x 3有( ) A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3解析：f ′(x )＝－3x 2＋3， 令f ′(x )＝0，即－3x 2＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的； 当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增加的； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的．∴函数的极小值为f (－1)＝1－3＋1＝－1，函数的极大值为f (1)＝1＋3－1＝3. 答案：D2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．不存在解析：y ′＝3x 2≥0，所以函数y ＝x 3＋1在R 上单调递增，故无极大值． 答案：D3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由f (x )在x ＝－3处取得极值，知f ′(－3)＝0，解得a ＝5. 答案：D4．在下列四个函数中，存在极值的是________． ①y ＝1x②y ＝x 2＋1 ③y ＝2 ④y ＝x 3解析：∵y ′＝－1x 2<0，∴y ＝1x 在定义域内不存在极值．同理，③④也不存在极值．②中，y ′＝2x ，令y ′＝0，得x ＝0.∴当x >0时，y ′>0；当x <0时，y ′<0.故函数y ＝x 2＋1在x ＝0处取极小值．答案：②5．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．(1)求b，c的值；(2)求g(x)的极值．解：(1)∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.又g(x)是R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)．∴(－x)3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c＝－x3－(b－3)x2－(c－2b)x＋c.化简，得(b－3)x2－c＝0.∴b＝3，c＝0.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，∴g′(x)＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)．当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：－2)(2－2，2) (x)在x＝－2处取得极大值为g(－2)＝(－2)3－6×(－2)＝42，在x＝2处取得极小值为g(2)＝(2)3－62＝－4 2.。
2018年数学同步优化指导练习：第3章1.1导数与函数的单调性(第一课时)活页10
A ． (0,1)
B． (1，＋∞ )
1 C． 0， e
D． 1e，＋∞
解析： 由导数公式表和求导法则，得
f ′(x)＝ ln x＋ 1.当 x∈ 1e，＋ ∞ 时， f′ (x)>0，所
以函数 f(x) 在区间 1e，＋ ∞ 上是增加的．
答案： D 6．函数 f(x)＝ x3－ 15x2－ 33x＋ 6 的递减区间为 __________ ． 解析： 由已知得 f′ (x)＝ 3x2－30x－ 33＝3( x＋ 1)(x－ 11)．
解析： 函数 f(x)在( － ∞， 0)上是增加的，则 f ′ (x)在 (－ ∞ ，0)上恒大于 0，排除 A ，C； 函数 f( x)在 (0，＋ ∞ )上先增加，再减少，最后又增加，则 f′ (x)在 (0，＋ ∞ )上先为正，再为 负，最后又为正．
答案： D
5．函数 f(x)＝ xln x 的递增区间是 ( )
－ 1
1
＋
x＝
x2 1＋
. x
当 x>0 时， f′ (x)>0.
∴ f(x)在(0 ，＋ ∞ )内是增加的．
∴当 x>0 时， f(x)> f(0)＝ 0.
∴当 x>0 时， ln(1＋ x)>x－ 12x2.
11．下列区间中，是函数 y＝ xsin x＋ cos x 的递增区间的是 ( )
A．
为( －∞ ，－ 1)．
答案： (－∞，－ 1)
8．函数 y＝－ x3＋ 12x 的递减区间为 __________． 解析： 由已知得 y′ ＝－ 3x2＋12.
令 y′ <0，得 x<－2 或 x>2.
∴递减区间为 (－ ∞，－ 2)和 (2，＋ ∞ )．
2018年数学同步优化指导选修2-2练习：活页作业三 含解
活页作业(三)几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于()A.110B．10C．10ln 10 D.110ln 10解析：∵y′＝10x ln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.答案：C2．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s解析：v(t)＝s′(t)＝－1＋2t, ∴v(3)＝－1＋2×3＝5 m/s.答案：C3．已知f(x)＝x n且f′(－1)＝－4，则n等于()A．4 B．－4C．5 D．－5解析：∵f′(x)＝nx n－1，∴f′(－1)＝n(－1)n－1＝－4.若(－1)n－1＝－1，则n＝4，此时满足(－1)n－1＝－1；若(－1)n－1＝1，则n＝－4，此时不满足(－1)n－1＝1.∴n＝4.答案：A4．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝______.解析：f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1.答案：15．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是__________．解析：∵(sin x)′＝cos x，∴直线l的斜率k l＝cos x，∴－1≤k l≤1，∴直线l 的倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π 6．在曲线y ＝1x(x <0)上求一点P ，使P 到直线x ＋2y －4＝0的距离最小．解：由题意知，平行于直线x ＋2y －4＝0的直线与y ＝1x (x <0)相切的切点即为所求．设切点P (x 0，y 0)，由y ′＝－1x 2，得k ＝y ′|x ＝x 0＝－1x 20，又x ＋2y －4＝0的斜率为－12，∴－1x 20＝－12，∴x 0＝2，或x 0＝－ 2.∵x <0，∴x 0＝－ 2.y 0＝－12＝－22.∴P ⎝⎛⎭⎫－2，－22为所求．7．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2 D.⎝⎛⎭⎫12，－2解析：因为y ′＝－1x 2，令－1x 2＝－4，得x ＝±12，P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，2，⎝⎛⎭⎫－12，－2，故选B.答案：B8．若函数f (x )＝log a x 的图象与直线y ＝13x 相切，则a 的值为( )A ．e e 2B ．e 3eC.5ee D ．e e 4解析：设切点(x ，y )，又f ′(x )＝1x ln a，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝log ax ，13＝1x ln a ，解得x ＝e ，a ＝e 3e.故选B.答案：B9．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝______.解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝ln x 0. ∵y ′＝(ln x )′＝1x，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0，由题意知1x 0＝12，∴x 0＝2，y 0＝ln 2.由ln 2＝12×2＋b ，得b ＝ln 2－1.答案：ln 2－110．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程为____________．解析：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.答案：4x －4y －1＝011．证明：过曲线y ＝1x 上的任何一点 P (x 0，y 0)(x 0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数．证明：由y ＝1x ，得y ′ ＝－1x 2.∴k ＝f ′(x 0)＝－1x 20.∴过点P (x 0，y 0)的切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝y 0＋1x 0＝2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0.∴过点P (x 0，y 0)(x 0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×2x 0×2x 0＝2是一个常数．12．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试在抛物线的弧AB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．解：因为|AB |为定值，所以三角形面积最大，只需P 到AB 的距离最大， 所以点P 是与AB 平行的抛物线的切线的切点． 设点P (x 0，y 0)，由题意知点P 在x 轴上方的图象上， 即P 在y ＝x 上，所以y ′＝12x .又因为k AB ＝12，所以12x 0＝12，得x 0＝1.由y 0＝x 0，得y 0＝1，所以P (1,1)．。
2018年数学同步优化指导北师大版选修1-2练习：3-1-2
活页作业(八) 类比推理1．下列说法正确的是( ) A ．类比推理是由特殊到一般的推理 B ．合情推理的结论都是正确的 C ．归纳推理是由个别到一般的推理 D ．合情推理可以作为证明的步骤解析：根据合情推理的定义可知，合情推理得到的结论只是猜想，不可以作为证明的步骤，结论不一定正确，因此B ，D 错．类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由特殊到一般的推理，故A 错，C 正确．答案：C2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( ) A ．若一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B ．若一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C ．若两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行 D ．若两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：推广到空间以后，对于A ，C ，D 选项中的两直线还有可能异面． 答案：B3．下面使用类比推理，得到正确结论的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”解析：A 中“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”，结论不正确； B 中“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，结论不正确； C 中“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c ≠0)”，结论正确；D 中“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”，结论不正确． 答案：C4．在平面直角坐标系xOy 中，满足x 2＋y 2≤1，x ≥0，y ≥0的点P (x ，y )的集合对应的平面图形的面积为π4；类似地，在空间直角坐标系O -xyz 中，满足x 2＋y 2＋z 2≤1，x ≥0，y ≥0，z ≥0的点P (x ，y ，z )的集合对应的空间几何体的体积为( )A ．π8B ．π6C ．π4D ．π3解析：类似地，在空间直角坐标系O -xyz 中，满足x 2＋y 2＋z 2≤1，x ≥0，y ≥0，z ≥0的点P (x ，y ，z )的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的18，即18×43π×13＝π6.答案：B5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________.解析：弄清平面几何与立体几何之间的类比关系，即面积→体积，是进一步求解的关键． ∵两个正三角形是相似三角形， ∴它们的面积之比是相似比的平方． 同理，∵两个正四面体是相似几何体， ∴其体积之比为相似比的立方， 即它们的体积比为1∶8. 答案：1∶86．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示______________.解析：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比后仍为“过原点”．因此应得到：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面7．通过圆与球的相似性，用圆的下列性质(在同一圆中)类比球(同一球中)的有关性质． (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的弦相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 为直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2(r 为半径)． 解：如下表所示.C ′.(1)求证：OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1；(2)现运用类比的思想，对于空间中的四面体V -BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．(1)证明：OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC ＝1.(2)解：OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝1，其中V ′，B ′，C ′，D ′为V ，B ，C ，D 四点与点O (四面体内一点)相连并延长后与所对面的交点．证明如下：因为V O -BCD V V -BCD ＝OV ′VV ′，V O -VCDV B -VCD ＝OB ′BB ′，V O -VBD V C -VBD ＝OC ′CC ′，V O -VBCV D -VBC＝OD ′DD ′， 所以OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝V O -BCD V V -BCD ＋V O -VCD V B -VCD ＋V O -VBD V C -VBD ＋V O -VBC V D -VBC ＝V V -BCDV V -BCD＝1.1．向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是( ) A ．“若ac ＝bc (c ≠0)，则a ＝b ”类比推出“若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则a ＝b ” B ．“在实数中有(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“在向量中有(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ” C ．“在实数中有(ab )c ＝a (bc )”类比推出“在向量中有(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )” D ．“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”类比推出“若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0” 解析：由条件，得出(a －b )·c ＝0，∴(a －b )与c 垂直，则a ＝b 不一定成立，故A 不正确； 向量的数量积满足分配律，故B 正确；在向量中(a ·b )·c 与c 共线，a ·(b ·c )与a 共线，故C 不正确； 若a ·b ＝0，则a ⊥b ，显然a ＝0或b ＝0不一定成立，故D 不正确． 答案：B2．在解数学题中，常会碰到形如“x ＋y1－xy ”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a ，b 是非零实数，且满足a sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5＝tan 8π15，则ba ＝( )A ．4B ．15C ．2D ． 3解析：a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝a tan π5＋b a －b tan π5＝tan π5＋ba 1－b a tanπ5＝tan 8π15，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，可知只有当b a ＝tan π3＝3时，上式成立．答案：D3．已知结论“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论“在六条棱长都相等的四面体A -BCD中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体A -BCD 外接球的球心，则AO OM＝__________”．解析：如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体A -BCD 的棱长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝32×23＝33，AM ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， R ＝⎝⎛⎭⎫63－R 2＋⎝⎛⎭⎫332，解得R ＝64.于是，AOOM ＝6463－64＝3.答案：34．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝__________.解析：设数列{a n }的公差为d ′，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ′，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －ma n －m ，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m .答案：n －m d nc m5．在△ABC 中，若AB ⊥AC 且AD ⊥BC 于D ，则有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A -BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD 于E ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 如图所示，连接BE 并延长交CD 于F . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD ．而AF 平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，AC ⊥AD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确． 6．我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？ (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明； (3)在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求它的前n 项和S n .解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫作等和数列．(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n . ∴等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． (3)当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N ＋，则S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝2k －22(a ＋b )＋a ＝n －12(a ＋b )＋a ＝n ＋12a ＋n －12b ；当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N ＋，则 S n ＝S 2k ＝k (a ＋b )＝n2(a ＋b )．∴它的前n 项和S n＝⎩⎨⎧n ＋12a ＋n －12b ，n 为奇数，n2(a ＋b )，n 为偶数.。
2018年数学同步优化指导北师大版选修1-2练习：3-2 活
活页作业(九)数学证明1．下列选项中，与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是()A．独脚难行，孤掌难鸣B．前人栽树，后人乘凉C．物以类聚，人以群分D．飘风不终朝，骤雨不终日解析：由题意，根据归纳推理是由特殊到一般的推理过程，可得A，C，D是归纳推理，B是演绎推理．答案：B2．三段论推理的规则为()A．如果p⇒q，p真，那么q真B．如果b⇒c，a⇒b，那么a⇒cC．如果a∥b，b∥c，那么a∥c D．如果a≥b，b≥c，那么a≥c解析：b⇒c为大前提，a⇒b为小前提，a⇒c为结论．答案：B3．有一段演绎推理是这样的：“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数”．那么，这个演绎推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误解析：∵所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数，大前提：所有9的倍数都是3的倍数，小前提：某奇数是9的倍数，结论：某奇数是3的倍数，∴这个推理是正确的．答案：D4．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不符合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丙、丁都说假话，乙说真话，不符合题意．故获奖的歌手是丙．答案：C5．补充下列推理的三段论：(1)因为互为相反数的两个数的和为0，a 与b 互为相反数且________________，所以b ＝8.(2)因为_____________________________，而e ＝2.718 28……是无限不循环小数，所以e 是无理数．答案：(1)a ＝－8 (2)无限不循环小数是无理数 6．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为____________.解析：当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x 为减函数， (大前提) a ＝5－12∈(0,1)， (小前提) 所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫5－12x 为减函数．(结论)故由f (m )＞f (n )得m ＜n . 答案：m ＜n7．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)能被2整除的数都是偶数，34能被2整除，所以34是偶数．(2)奇函数f (x )若在x ＝0处有定义，则必有f (0)＝0.现有f (x )＝x ，x ∈R 是奇函数，则有f (0)＝0.解：(1)能被2整除的数都是偶数， (大前提) 34能被2整除， (小前提) 所以34是偶数．(结论)(2)奇函数f (x )若在x ＝0处有定义， 则必有f (0)＝0，(大前提) f (x )＝x ，x ∈R 是奇函数，且在x ＝0处有定义， (小前提) 则有f (0)＝0.(结论)8．已知：在梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝DA ，AC 和BD 是梯形的对角线．求证：AC 平分∠BCD ．证明：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△ADC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， (小前提)∴∠1＝∠2.(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，(小前提)∴∠1＝∠3. (结论)∵等于同一个角的两个角相等，(大前提)∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提)∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD．(结论)1．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在2日和3日都值班；乙说：我在8日和9日都值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期有()A．6日和12日B．5日和6日C．1日和5日D．1日和11日解析：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26.根据“甲说：我在2日和3日都值班；乙说：我在8日和9日都值班”，可得甲在2,3,10,11日值班，乙在8,9,4,5日值班，据此可判断丙必定值班的日期是6日和12日．答案：A2．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0,1}(i＝0,1,2)，信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A．11010 B．01100C．10111 D．00011解析：对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.答案：C3．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题为__________.解析：②④是真命题．①大前提：条件⇔结论；小前提：“a＝b”能推出“ac＝bc”，但“ac＝bc”不能推出“a＝b”；结论：“a＝b”不是“ac＝bc”的充要条件．故①是假命题．③大前提：条件⇒结论；小前提：“a＞b”不能推出“a2＞b2”；结论：“a＞b”不是“a2＞b2”的充分条件．故③是假命题．答案：②④4．某次数学考试的第一大题由10道四选一的选择题构成，要求考生从A，B，C，D 中选出其中一项作为答案，每题选择正确得5分，选择错误不得分．以下是甲、乙、丙、丁四名考生的答案及甲、乙、丙三人的得分结果：解析：因为由已知得第5,6题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，所以，丁的得分也是40分．答案：405．如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB．证明：(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB．又因为VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB∥平面MOC．(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC 平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB ．又OC 平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB ．6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n (n ∈N ＋)．(1)求a 2，a 3，a 4的值，猜想数列{a n }的通项公式；(2)运用(1)中的猜想，写出用三段论证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列时的大前提、小前提和结论．解：(1)∵数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴a 2＝23，a 3＝12，a 4＝25.猜想：a n ＝2n ＋1.(2)∵通项公式为a n 的数列{a n }，若a n ＋1－a n ＝d ，d 是常数，则{a n }是等差数列，(大前提)又∵1a n ＋1－1a n ＝12，为常数，(小前提)∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．(结论)。
数学同步优化指导课件：第3章 1.2 导数在实际问题中的应用
求函数的极值
• 函数的极值研究是导数应用的关键知识点，可加 深对函数单调性与其导数关系的理解，y＝f(x)的导数 存 件 断在 ， 定时 只y＝， 有f(再fx′)(在x加0)x＝上＝0xx0是0两处y侧＝取附f得(x近)极在的值x＝导．x数0处的有符极号值相的反必，要才条能
•
求下列各函数的极值：
• 温馨提示：
• 1．极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某 个点的函数值与它附近点的函数值相比较是最大或最 小的，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最 小．
• 2．函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．
• 3．函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的 端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值 的点可能在区间的内部，也可能是区间的端点．
2．判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值； 如果无极值，请说明理由．
(1)y＝x3－34x2＋136x＋1； (2)y＝x|x|； (3)y＝1－(x－3)32.
解：(1)∵y＝x3－34x2＋136x＋1， ∴y′＝3x2－32x＋136. 令 y′＝0，即 3x2－32x＋136＝0，解得 x＝41. 当 x>14时，y′>0；当 x<14时，y′>0. ∴此函数无极值．
• 2．求函数极值点的步骤 • (1)求出_导__数__f′(_x_) ______． • (2)解方程f′(x)＝0. •_•极x_0左大__、(①值_3_)右若对点_两_f于；_′(侧_x方_)的在_程符_x_0号f_两′(_x_侧)_＝的(0即的符f(每号x)的一“左单个_正_调解_右_性x_负0_，)_，_分_确_析”定f′，极(x)则值在x点0为： •极小②值若点f；′(x)在x0两侧的符号“左_负__右__正_____”，则x0为 •点．③若f′(x)在x0两侧的符__号__相_同_____，则x0不是极值
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2018年数学同步优化指导练习：第3章-1.2-导数在实际问题中的应用-活页12活页作业(十二) 函数的极值1．函数f (x )的定义域为R ，导函数y ＝f ′(x )的图像如下图所示，则函数f (x )()A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 解析：设f ′(x )的图像与x 轴的交点坐标从左往右依次为(x 1,0)，(x 2,0)，(x 3,0)，(x 4,0)，则x (－∞，x 1) (x 1，x 2) (x 2，x 3) (x 3，x 4) (x 4，＋∞) f ′(x ) ＋－＋－＋ f (x )∴y′＝1－2x1＋x2＝(x－1)21＋x2≥0.故函数无极值．答案：D4．设a∈R，若函数y＝e ax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a>－3 B．a<－3C．a>－13D．a<－13解析：令y′＝a e ax＋3＝0，得e ax＝－3 a.设x0为大于0的极值点，∴e ax0＝－3 a.∴a<0，ax0<0.∴0<e ax0<1，即0<－3a<1.∴a<－3.答案：B5．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间为()A．(2,3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3)解析：∵y＝2x3＋ax2＋36x－24，∴y′＝6x2＋2ax＋36.∵函数在x＝2处有极值，∴当x＝2时，y′＝0，∴6×22＋2a×2＋36＝0.∴a＝－15.∴y＝2x3－15x2＋36x－24，y′＝6x2－30x＋36.令y′＝0，得6x2－30x＋36＝0，∴x1＝2，x2＝3.∴当y′>0时，x<2或x>3.∴函数的递增区间为(－∞，2)和(3，＋∞)．答案：B6．函数f(x)＝x3－3x2，给出下列说法：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f (x )的增区间是(－∞，0]和[2，＋∞)，减区间是[0,2]；④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值． 其中正确的序号是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化状态如下表：x (－∞，0) 0(0,2)2(2，＋∞) f ′(x ) ＋0 － 0 ＋f (x )极大值极小值由上表可以清晰地看出，f (x )在(－∞，0]和[2，＋∞)上是增加的，在[0,2]上是减少的，且f (x )的极值情况是：f (x )极大值＝f (0)＝0，f (x )极小值＝f (2)＝－4，可知③④是正确的．答案：③④7．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x .由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4.容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13.解得m ＝－19.答案：－198．若y ＝kx 3－x 2＋kx －4在R 上无极值，则实数k 的取值范围是________．解：求导得y ′＝3kx 2－2x ＋k .∵函数在R 上无极值，即y ′≥0或y ′≤0恒成立．∴Δ≤0.即(－2)2－4k ·3k ≤0，解得k ≥33或k ≤－33.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞9．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ln x x.解：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，则3x2－6x－9＝0.解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增加极大值减少极小值增加∴x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1－ln xx 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0，e) e(e ，＋∞) f ′(x ) ＋－f (x )增加极大值减少∴x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e，没有极小值点． 10．已知函数f (x )＝a x 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3.(1)求a ，b 的值；(2)求函数y ＝f (x )的极小值．解：(1)∵当x ＝1时，函数有极大值3， f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎨⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝3.∴⎩⎨⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3.解得a ＝－6，b ＝9.(2)f ′(x )＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 当f ′(x )＝0时，x ＝0或x ＝1； 当f ′(x )>0时，0<x <1； 当f ′(x )<0时，x <0或x >1.∴函数f (x )＝－6x 3＋9x 2的极小值为f (0)＝0.11．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图像的一部分如下图所示，则正确的是( )A．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)B．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)解析：由题图可知，当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)>0，即f′(x)<0；当x∈(－3,0)时，xf′(x)<0，即f′(x)>0；当x∈(0,3)时，xf′(x)>0，即f′(x)>0；当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)<0，即f′(x)<0.故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x ＝3处取得极大值．答案：D12．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图像在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．解析：∵y′＝3x2＋6ax＋3b，∴⎩⎨⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x .令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2.∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.答案：413．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a . 则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表： x(－∞，－a ) －a (－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0＋f (x )极大值 极小值∴⎩⎨⎧(－a )3－3a (－a )＋b ＝6，(a )3－3a a ＋b ＝2.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4. ∴f (x )的递减区间是(－1,1)．答案：(－1,1)14．如下图是y ＝f (x )导数的图像，对于下列四种说法：①f (x )在[－2，－1]上是增加的；②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增加的，在[2,4]上是减少的；④3是f (x )的极小值点．其中正确的是________．解析：根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断．答案：②③15．设函数f(x)＝x3－3x＋1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．解：(1)∵f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，则3x2－3＝0.解得x1＝－1，x2＝1.∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0.∴f(x)的递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)；f(x)的递减区间为(－1,1)．当x＝－1时，f(x)有极大值3；当x＝1时，f(x)有极小值－1.(2)由(1)得函数y＝f(x)的图像大致形状如下图所示，当－1<a<3时，直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同交点．即方程f(x)＝a有三个不同的实根时，a的取值范围为(－1,3)．16．(2014·重庆高考卷)已知函数f(x)＝a e2x －b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x －c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，∴a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，∴a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，∴f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0.∴f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值；当c>4时，令e2x＝t，方程2t＋2t－c＝0有两根t1＝c－c2－164>0，t2＝c＋c2－164>0，即f′(x)＝0有两个根x1＝12ln t1，x2＝12ln t2.当x1<x<x2时f′(x)<0；又当x>x2时，f′(x)>0.从而f(x)在x＝x2处取得极小值．综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．。