函数的放缩能力的提升
函数放缩法技巧全总结
函数放缩法技巧全总结函数放缩法是数学中常用的一种方法，用于求解函数的极限、导数、积分等问题。
它通过对函数进行适当的放缩，从而得到更简单、更易处理的形式，进而解决原问题。
在实际应用中，函数放缩法可以帮助我们更加灵活地处理复杂的数学问题，提高问题求解的效率和准确性。
下面，我们将对函数放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一方法。
首先，函数放缩法的核心思想是利用已知函数的性质，构造一个比较简单的函数，从而对原函数进行放缩。
常用的放缩方法包括利用三角函数的性质、利用幂函数的性质、利用指数函数的性质等。
在具体应用中，我们需要根据具体问题的特点，选择合适的放缩方法，以达到简化问题、加快求解的目的。
其次，对于常见的函数放缩技巧，我们可以总结如下：1. 利用三角函数的性质，对于涉及三角函数的问题，可以利用三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，构造合适的三角函数放缩原函数，从而简化问题的求解。
2. 利用幂函数的性质，对于幂函数的问题，可以利用幂函数的增减性、凹凸性等性质，构造合适的幂函数放缩原函数，从而简化问题的求解。
3. 利用指数函数的性质，对于指数函数的问题，可以利用指数函数的增减性、单调性等性质，构造合适的指数函数放缩原函数，从而简化问题的求解。
4. 利用函数的极限性质，对于函数的极限问题，可以通过构造逼近原函数的序列或函数，利用函数的极限性质，对原函数进行放缩，从而求得原函数的极限。
5. 利用函数的导数性质，对于函数的导数问题，可以利用导数的定义、性质，构造合适的导数函数，对原函数进行放缩，从而简化导数的计算。
最后，需要注意的是，在使用函数放缩法时，我们需要充分理解原函数的性质，灵活选择合适的放缩方法，并且要注意放缩后的函数与原函数之间的关系，以确保放缩后的函数能够准确反映原函数的性质。
另外，对于一些特殊的函数，我们也可以通过函数的泰勒展开、泰勒公式等方法，对函数进行适当放缩，进而求解问题。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结在高中数学学习中，放缩法是一种常用的解题技巧，尤其在不等式证明和极限计算中应用广泛。
掌握好放缩法的技巧，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
下面，我将对高中数学放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
首先，放缩法的基本思想是通过构造一个比原来更容易处理的不等式或者关系式，从而简化原问题的解决过程。
在实际运用中，我们可以通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，下面我们来看一些常用的放缩法技巧。
一、加减变形。
在不等式证明中，我们常常会遇到需要证明一个不等式成立的情况。
这时，我们可以通过在两边同时加上或者减去一个特定的数，来改变原不等式的形式，使得原不等式更容易证明。
例如，在证明数学归纳法中的不等式时，我们常常会通过加减变形来简化证明过程，这是一种常见的放缩法技巧。
二、乘除变形。
在极限计算中，我们常常需要通过放缩法来证明一个极限存在或者不存在。
这时，我们可以通过乘除变形，将原极限问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，当我们需要证明一个函数的极限不存在时，可以通过乘除变形将原函数转化为一个更容易处理的形式，从而简化证明过程。
三、配方。
在解决数学问题中，有时我们需要通过配方来进行放缩。
例如，在证明三角函数不等式时，我们可以通过对不等式进行配方，将原不等式转化为一个更容易处理的形式。
这种放缩法技巧在解决三角函数不等式问题中应用广泛，可以帮助我们更好地解决这类问题。
总结起来，放缩法是高中数学学习中常用的解题技巧，通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
希望以上总结的放缩法技巧对大家有所帮助，能够在高中数学学习中更好地运用这一技巧，提高数学成绩。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结高中数学中的放缩法是一种常用的解题技巧，它通过适当调整式子的形式，进行等价转化，从而简化计算或者明晰问题的关键点。
下面总结了一些常见的高中数学放缩法技巧。
1. 分子分母同乘：当分式的分子和分母中含有相同的因式时，可以将分子和分母同时乘以这个因式的倒数，从而得到一个等价的分式。
这样做的好处是可以简化分式，消去分子分母中的公因式。
2. 导数法：在解决函数极值问题时，可以利用导数的概念进行放缩。
通过求函数的导数，并研究导数的正负性，可以找到函数的极值点。
这种方法可以有效地缩小问题的范围，简化计算。
3. 均值不等式：均值不等式是一种常用的放缩方法，它通过寻找合适的均值来放缩不等式。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
通过将不等式的两边同时取均值，可以得到一个更简单的等价不等式。
4. 三角函数变换：在解决三角函数相关的问题时，可以利用三角函数的性质进行放缩。
常见的三角函数变换有和差化积、倍角公式等。
通过适当的变换，可以将原问题转化为更容易处理的形式。
5. 幂函数变换：在解决幂函数相关的问题时，可以利用幂函数的性质进行放缩。
常见的幂函数变换有换元法、幂函数的反函数等。
通过适当的变换，可以使问题的形式更简单，更易于分析。
6. 递推关系式：在解决数列相关的问题时，可以利用递推关系式进行放缩。
通过找到数列的递推关系式，可以将原问题转化为递推问题。
递推关系式可以帮助我们找到数列的通项公式，从而简化问题的求解过程。
以上是一些高中数学中常用的放缩法技巧。
通过灵活运用这些技巧，可以在解题过程中简化计算、明晰问题的关键点，从而更高效地解决数学问题。
高数放缩法技巧全总结
高数放缩法技巧全总结
高等数学中的放缩法是一种常用的求极限、证明不等式等问题的方法，它在解
题过程中具有非常重要的作用。
放缩法的核心思想是通过适当的变形和估计，将原问题转化为一个更容易处理的形式，从而简化解题过程。
下面我们就来总结一下高数放缩法的一些技巧和方法。
首先，对于一些复杂的不等式问题，我们可以尝试使用放缩法来简化证明过程。
例如，对于一些涉及三角函数的不等式，我们可以尝试将其转化为一个更简单的形式，然后再进行证明。
在这个过程中，我们需要灵活运用三角函数的性质和不等式的性质，找到合适的放缩方法，从而达到简化证明的目的。
其次，对于一些涉及极限的问题，放缩法同样可以发挥作用。
在求解极限的过
程中，我们可以通过放缩的方式，将原极限转化为一个更容易处理的形式，然后再进行求解。
这种方法在一些复杂的极限问题中尤其有效，可以大大简化求解过程，提高解题效率。
另外，放缩法还可以应用于一些数学建模和物理问题中。
在实际问题中，我们
经常会遇到一些复杂的模型和方程，通过放缩法，我们可以将原问题简化，从而更好地理解和解决实际问题。
总的来说，高数放缩法是一种非常重要的解题方法，它可以在不等式证明、极
限求解、数学建模等方面发挥重要作用。
在使用放缩法时，我们需要灵活运用数学知识，找到合适的放缩方法，从而简化解题过程，提高解题效率。
希望以上总结的放缩法技巧能够帮助大家更好地掌握这一解题方法，提升数学解题能力。
2022高考数学函数与导数—导数中的放缩问题
函数与导数—导数中的放缩问题专题综述放缩法是解决函数不等式问题的利器，导数压轴题中的函数往往是指数、对数与其他函数综合，或者指对数并存的超越函数，有时直接构造出的函数难以直接求出最值，需要借助放缩解决.利用导数判断函数单调性、解决函数零点问题、不等式证明等问题中都会用到放缩法，使问题难度降低.常用的放缩方式有：①常用不等式放缩：指数放缩、对数放缩、三角放缩；②利用已知题目信息放缩；③根据已知参数范围或常识，减少变量，适当放缩；③利用单调性放缩；④利用基本不等式放缩： 若0a b >>，则211ln ln 2a b a bb ab a b a b-+<<<<-+；⑤由数值大小关系直接放缩，做题时灵活运用.本专题就前3种，重点探究.专题探究探究1：利用不等式放缩函数中有指数、对数、三角函数时，直接求导，导数不等式无法解出，根据函数结构，选择不等式进行放缩，使函数简单化. 常用不等式有：（1）三角函数放缩：①0,,sin tan 2x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭；②21sin 2x x x ≥-；③22111cos 1sin 22x x x -≤≤-（2）指数放缩：①1x e x ≥+；②x e ex ≥（1,y x y ex =+=为函数x y e =图象的两条切线）；③()101xe x x ≤≤-；④()10x e x x≤-< （3）对数放缩：①11ln 1x x x -≤≤-；②ln x x e ≤；③1ln x ex ≥-；（1,xy x y e =-=为函数ln y x =图象的两条切线）（4）指对放缩：()()ln 112xe x x x ->+--=(2021安徽省合肥市联考) 已知函数()(ln ),.xe f x a x x a R x=--∈（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，函数1()()()x g x f x x e mx x =+++满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x 恒成立，求实数m 的取值范围．【审题视点】第（2）问显化函数()g x ，恒成立问题回顾常用的方法（专题1.3.7）：分离参数、含参讨论单调性等方法，由解析式的具体结构确定方法与细节.【思维引导】分离参数以后，函数中有指、对结构，若直接通过求导判断单调性求最值，方法较困难，利用不等关系1x e x ≥+，得ln ln 1x x e x x +≥++，使难度大大降低.【规范解析】解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，22()(1)()x x x a xe e ax e x f x a x x x -+-'=--=，当0a >，0x >时，令()0f x '>，则1x <∴()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）当1a =-时，1()()()ln (1)x x g x f x x e mx xe x m x x=+++=-++，()()0,,1x g x ∀∈+∞≥即ln 1ln 1ln 11x x x x xe x e m x x++-+--=-，1.恒成立问题求参：分离参数构造函数求最值；2.构造的函数中有ln x 、ln x x e +，通过求导判断单调性求最值较困难，通过常用不等关系1xe x ≥+，进行放缩,是函数简单化.设()1x F x e x =--，则()1x F x e '=-，令()0F x '>，则0x >∴()f x 在()0,+∞上单调递增，在(),0-∞上单调递减∴()(0)0F x F =，即1(x e x +当且仅当0x =时“=”成立)，故ln ln 1(x x e x x +++当且仅当ln 0x x +=时“=”成立)， ()ln G x x x =+在(0,)+∞上是增函数，且11()10G e e=-<，(1)10G =>，故存在01(,1)x e∈使得ln 0x x +=成立，故ln 1ln 1ln (ln 1)112x x x e x x x x x++-+-++--=-（当且仅当0x x =时“=”成立），∴2m -，即m 的取值范围是[2,).-+∞【探究总结】常见的不等关系要灵活运用，解题时函数结构复杂，可考虑运用上述不等式进行放缩，使问题简答化.但不等式1,,ln 1,ln xxx e x e ex x x x e≥+≥≤-≤，从图象的角度看，是以直代曲，放缩的程度大，容易出现误差，在使用时要注意.另外若是求参数取值范围问题，要考虑不等式中的等号能否取到.(2021山东省泰安市一模) 已知函数()()ln 2xf x e x k -=-，（k 为常数， 2.718e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()1ln 1xx x g x e-+=,对任意0x >，证明：()()21x x x g x e e -+<+. 探究2：利用已证结论放缩1.对使用过得不等关系，构造函数证明成立；2.利用不等关系进行替换.恒成立求取值范围的问题，放缩以后，要确保不等式中等号能否取到解答题的上一问中证明的不等式，或者推导过程中证明出的结论，为后续的证明提供放缩的依据.需证明的不等式为关于n 的多项式的和或不等式结构复杂，利用已证结论，进行放缩，使不等式化繁为简，便于构造函数求最值.(2021湖南省郴州市模拟) 已知函数()e (1)ln(1) 1.x f x x x =-++-（1）当0x >时，证明：()0f x >；（2）已知数列{}n a 的通项公式为1e 1nn n na n -=+，证明：12ln (1).n a a a n ++⋅⋅⋅+>+ 【审题视点】第（2）问，出现数列的前n 项和，且不能用常规的求和方法求和，借助第一问的结论对n a 的通项公式进行放缩，便于求和.【思维引导】对第一问的不等式进行变形，观察n a 的结构，进行放缩，能够用已知方法求和.【规范解析】解：（1）由题意得 ()()ln(1)10x f x e x x '=-+->， 设()ln(1)1x g x e x =-+-，则1(1)1()11x xe x g x e x x +-'=-=++， 当0x >时， 1x e >，11x +>，则(1)1x e x +>则(1)1()01x e x g x x +-'=>+， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，即()0f x '> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，即()0f x >（2）由（1）知：当0x >时，()(1)ln(1)10x f x e x x =-++->，即1ln(1)1x e x x ->++ 令1x n=，则11ln()1nne n n n n -+>+，12231ln ln ln12n n a a a n++++>+++ 231ln()ln(1)12n n n+=⨯⨯⨯=+ ∴12ln (1)n a a a n ++⋅⋅⋅+>+【探究总结】函数中证明与n 有关的求和问题，或不等式证明问题，要仔细观察不等式结构特点，往往会利用前一问的结论，或者解题过程中的结论.利用已证结论，进行放缩，化繁为简，证明不等式的成立.(2021广东省东莞市联考) 已知函数()ln (1),(0)f x x a x a =-->（ 2.718e ≈即自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在()1,+∞上是单调减函数，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当n N +∈时，证明：2311111111.2222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭探究3：利用已知参数范围或常识放缩函数解析中含有参数，且已知参数范围，证明不等式成立，可以从参数的范围入手，使参数取确定的值或利用单调性、其它不等关系，对不等式进行放缩，减少变量，使函数结构简单，易于判断单调性.(2021河北省石家庄联考) 已知函数()(2).x f x e k x =-+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【审题视点】已知参数范围，证明不等式成立，且函数指对结构都有，若含参讨论难度大，可能要借助放缩，化繁为简.【思维引导】1.对已证不等式进行变形，变形为与n a 通项公式相似的结构；2.对自变量进行替换，得出新的不等式.利用不等式性质进行求和，实现放缩，证明结论.第（2）问不等式的证明，函数中有x e ，ln x ，构造函数求导，含参讨论解导数不等式较困难，可巧妙利用参数的范围，参数取确定的值，进行放缩，求不含参函数的最值较为简单.【规范解析】解：（1）由题意得 ()e .x f x k '=- ①当0k 时，()e 0x f x k '=->，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②当0k >时，令()e 0x f x k '=-> 得ln x k >，则()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '= 当(0,1)x ∈时，()0g x '< 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>)0，10⎫->⎪⎭∴当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【探究总结】不等式的证明问题中含有参数，若直接构造函数含参讨论，难以解决的情况下，为避开讨论，可以在参数给定的范围内，结合不等式的结构进行第一步的放缩，达到消参的目的，转化为证明不含参的不等式.若不等式的结构依然复杂，在利用常用不等关系、已证结论等方法进一步放缩.(2021湖北省荆州市高三模拟) 已知函数()ln(2).x m f x e x -=-（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 的值并讨论()f x 的单调性； （2）当2m 时，证明：()ln 2.f x >-专题升华导数解答题中函数多以xe 、ln x 型的函数与其他函数结合的形式出现，考查零点问题、不等式证明问题、恒成立问题等方向时，如果利用常规方法处理时，因函数结构复杂求导判断单调性难度较大，通过放缩将难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理.放缩法较为灵活，要根据不等式的结构、形式等特征，使条件与结论建立联系，选择适当的方法是关键. 1.积累常见的不等结论：如探究1中提及的不等式，解题时需构造函数，证明其正确性，再进行放缩.利用不等式进行放缩，体现了数学中的化归与转化思想，也体现了处理数学问题时以直代曲、以曲代曲的方法.2.巧用已证不等式，顺水推舟：利用已证不等式(或结论) “服务”于后续问题的求解，这类题目最明显的“暗示”，即为证明一个类似于数列求和的不等式，需利用已证不等式进行逐项替换放缩.若题目的第一问证明不等式，在后续解题时，留意是否会利用已证结论.3.已知参数范围：含参不等式的证明时，若因为参数的存在使函数讨论非常复杂，可考虑结合参数范围及其它结论进行放缩.4.其他放缩方法：除了上述三种难度较大的放缩方法以外，单调性、已知结论、基本不等式等.如利用基本不等式进行放缩，化曲为直，()202x x +=≥；和积互化等.不仅仅应用于简化不等式，在解题过程中，也可能用放缩证明代数式的值.长干行·其一[唐]李白妾发初覆额，折花门前剧。
高中数学导数放缩法
高中数学导数放缩法导数作为数学中重要的概念，是微积分中的一个基础知识。
在高中数学中，导数是一个重要的内容，学生需要掌握导数的定义、性质和计算方法。
其中，导数的放缩法是导数的一种重要应用，能够帮助我们简化复杂的导数计算，提高计算的效率。
一、导数的定义及性质回顾在学习导数的放缩法之前，我们先来回顾一下导数的定义及性质。
在数学中，函数y = f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h这个极限表示当自变量在点x处偏离x时，函数值的变化情况。
导数有一些重要的性质，比如：1.常数函数的导数为0：即对于常数k，f(x) = k的导数为f'(x) = 02.和函数的导数：(u + v)' = u' + v'3.差函数的导数：(u - v)' = u' - v'4.常数倍函数的导数：(ku)' = ku'5.积函数的导数：(uv)' = u'v + uv'6.商函数的导数：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2这些性质在导数的计算中起着非常重要的作用，能够帮助我们简化计算过程。
接下来，我们将介绍导数的放缩法，以及如何运用这一方法简化导数的计算。
二、导数的放缩法原理导数的放缩法是指根据导数的定义及性质，通过放缩函数的表达式，将复杂的导数计算化简为简单的计算。
具体来说，导数的放缩法主要有以下几种形式：1.基本放缩法：指利用导数的性质，将一个复杂函数拆分成几个简单函数的和、差、积或商，然后利用导数的性质求导，最后将得到的导数组合起来得到原函数的导数。
2.递推放缩法：指通过递推的方式，将一个复杂函数的导数化简为一个或多个简单函数的导数，然后根据导数的性质组合起来得到原函数的导数。
3.反函数放缩法：指利用反函数的性质，将一个函数的导数与其反函数的导数之间建立联系，通过求导得到原函数的导数。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结放缩法是一种在求解数学问题时经常使用的技巧之一、它主要是通过对问题进行放大或缩小，从而转换为更简单或更熟悉的形式来解决。
放缩法可以用于各种数学领域，如代数、几何和计算等。
在本文中，我将总结一些常用的放缩法技巧。
一、代数放缩法1.替换变量：通过替换变量，将原始问题转化为更容易求解的问题。
例如，可以通过令一些变量等于另一个变量的一些表达式来简化问题。
2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，可以简化计算过程。
3.移项：将方程中的项移动到一边，可以使问题更加清晰。
4.分式放缩：对于有分式形式的问题，可以通过放缩分母或分子来简化问题。
二、几何放缩法1.类比三角形：如果一个问题中涉及到一个复杂的三角形，可以通过找到类似形状但更简单的三角形来放缩问题。
2.重心放缩：对于一个几何体，可以通过移动几何体的重心来简化问题。
例如，在求解三角形面积时，可以通过将三角形平移到一个更简单的位置来计算。
3.缩放比例：通过按比例缩放一个几何体，可以简化问题。
例如，求解复杂图形的面积时，可以将图形按比例缩小到一个更易计算的大小。
三、计算放缩法1.近似计算：当遇到一个复杂的数学计算时，可以通过近似计算来简化问题。
例如，可以使用泰勒级数近似一个函数的值。
2.递归放缩：将一个复杂的计算问题分解为多个简单的计算问题，并将得到的结果组合起来。
例如，在求解一个复杂的积分时，可以将其拆分为多个简单的积分来计算。
3.迭代放缩：通过迭代计算的方式，逐步接近问题的解。
例如，在求解方程的根时，可以逐步逼近根的值。
四、实例分析以以下问题为例，展示放缩法在实际问题的应用。
假设有一个需要排队购买电影票的场景，共有n个人等待购票，每个人需要等待的时间为ti，求解n个人等待时间的平均值。
使用放缩法求解该问题的步骤如下:1. 将n个人的等待时间求和得到总的等待时间sum。
2. 将总的等待时间sum除以n，得到平均等待时间average。
通过放缩法求解，可以将原始问题转化为简单的求和和除法操作，从而简化了计算过程。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结放缩法（Scaling）是一种常用的数学技巧，用于将数学问题转化为更简单、更易解决的形式。
这种技巧广泛应用于数学竞赛和问题求解中。
以下是放缩法的几个常见技巧和应用总结。
1.强化不等关系：放缩法的核心思想是通过比较大小来改变问题的形式。
如果已知a>b，那么可以通过加减乘除等操作将问题转化为a的形式，从而简化计算过程。
例如，要求证明a+2b>0，可以通过乘法得到2a+4b>0，进一步可得3a+6b>0。
这样可以将问题转化为证明3a+6b>0的形式，而这个不等式更容易证明。
2. 运用恒等变形：放缩法还可以通过变换等式或不等式的形式来简化问题。
常用的恒等变形包括平方恒等式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和倒数恒等式1/(ab)=(1/a)(1/b)等。
应用这些恒等变形，可以将问题转化为更简单的形式，进而解决问题。
3.递推放缩：递推放缩是一种通过递推关系来简化问题的方法。
通过找到问题的递推关系，可以将问题规模进行放缩，从而降低问题的复杂度。
例如，要求证明一些等式成立，可以通过将等式两边代入等式左边或右边的形式，利用递推关系将问题简化。
4.红蓝染色：红蓝染色是一种通过对元素染色来放缩问题的方法。
通过给问题中的元素染色，可以将问题转化为简化的形式，从而解决问题。
例如，在一个n×n的方格中，要求选择一些相互不在同一行、同一列的方格，并使这些方格能够覆盖所有的行和列。
可以将行和列分别染成红色和蓝色，问题转化为在红色和蓝色方格中选择不同行和列的方格并覆盖所有的红色和蓝色方格的问题。
5.数学归纳法：数学归纳法是一种通过递推关系来证明数学性质的方法。
通过对问题进行归纳假设，可以按照递推步骤逐步证明问题的性质。
例如，要证明对于任意正整数n，都有n(n+1)(n+2)能被6整除，可以通过数学归纳法来证明：当n=1时，1×2×3=6能被6整除；假设当n=k时成立，即k(k+1)(k+2)能被6整除；则当n=k+1时，(k+1)(k+2)(k+3)=(k(k+1)(k+2))+(k+1)(k+2)也能被6整除，即对于任意正整数n都有n(n+1)(n+2)能被6整除。
导数放缩法技巧全总结
导数放缩法技巧全总结导数放缩法是求解极限和证明不等式中常用的一种技巧，它的核心思想是利用导数的性质对函数进行放缩，从而得到更简单的形式，进而解决问题。
在实际应用中，导数放缩法具有广泛的适用性和实用性。
下面将对导数放缩法的技巧进行全面总结，希望能够对大家有所帮助。
首先，我们来看一些基本的导数放缩法技巧。
对于一个函数f(x)，如果在某个区间上f'(x)≥0，那么f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)≤0，那么f(x)在该区间上是单调递减的。
这个性质可以帮助我们简化函数的形式，从而更方便地进行分析和计算。
另外，如果在某个区间上f'(x)≥g'(x)，那么f(x)在该区间上的增长速度要大于g(x)，这也是导数放缩法常用的技巧之一。
其次，导数放缩法还可以用于证明不等式。
对于一个不等式f(x)≥g(x)，如果在某个区间上f'(x)≥g'(x)，那么可以得到f(x)在该区间上的增长速度要大于g(x)，从而证明不等式成立。
这种方法在不等式证明中有着广泛的应用，能够简化证明过程，提高效率。
另外，导数放缩法还可以用于求解极限。
对于一个极限lim(x→a) f(x)，如果在a的某个邻域内有f'(x)≥g'(x)，那么可以得到f(x)在该邻域内的增长速度要大于g(x)，从而可以用来求解极限。
这种方法在求解一些复杂的极限时非常有用，能够简化计算过程，提高求解的准确性。
总的来说，导数放缩法是一种非常实用的技巧，它能够帮助我们简化函数的形式，证明不等式，求解极限，提高计算的效率和准确性。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和情况灵活运用导数放缩法，从而更好地解决问题。
希望通过本文的总结，大家能够对导数放缩法有一个更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用这一技巧，提高数学分析和证明的效率和准确性。
同时，也希望大家在学习和掌握导数放缩法的过程中，能够善于总结归纳，不断提高自己的数学分析能力和解决问题的能力。
放缩法技巧全总结[借鉴]
![放缩法技巧全总结[借鉴]](https://img.taocdn.com/s3/m/d554306bbc64783e0912a21614791711cd797969.png)
放缩法技巧全总结[借鉴] 放缩法是一种常用的数学求解方法，可以用来求解各种问题，包括优化问题、最大最小值问题等。
在放缩法中，通过对问题进行适当的放大或缩小，可以使问题的求解变得更加简单和直观。
下面是关于放缩法的一些技巧总结：1. 利用函数的性质进行放缩。
对于一个函数，我们可以利用它的性质来进行放缩。
例如，对于一个凸函数，我们可以使用切线来对函数进行放缩，从而得到函数的上界或下界。
同样，对于一个凹函数，我们可以使用切线来对函数进行放缩，从而得到函数的下界或上界。
2. 利用不等式进行放缩。
对于一个复杂的式子，我们可以通过引入合适的不等式来进行放缩。
例如，对于一个多项式，我们可以使用齐次不等式或者柯西不等式等来对它进行放缩。
同样，对于一个分式，我们可以使用分子分母的关系来进行放缩。
3. 利用对称性进行放缩。
对于一个具有对称性的问题，我们可以利用对称性来进行放缩。
例如，对于一个几何问题，如果我们发现问题具有镜像对称性或旋转对称性，我们可以将问题放缩到一个更简单的情况进行求解。
4. 利用局部极值进行放缩。
对于一个函数，我们可以通过求解它的一阶导数或二阶导数来找到它的极值点，并利用极值点对函数进行放缩。
例如，对于一个凸函数，它的极小值点就是函数的下界；对于一个凹函数，它的极大值点就是函数的上界。
5. 利用特殊点进行放缩。
对于一个函数，我们可以通过找到它的特殊点来进行放缩。
例如，对于一个分式，我们可以找到它的极值点或者零点来进行放缩。
同样，对于一个多项式，我们可以找到它的根或者切点来进行放缩。
6. 利用数学恒等式进行放缩。
对于一个复杂的式子，我们可以通过使用数学恒等式来进行放缩。
例如，对于一个三角函数，我们可以使用三角恒等式来对它进行放缩。
同样，对于一个指数函数，我们可以使用指数恒等式来对它进行放缩。
7. 利用数学变换进行放缩。
对于一个复杂的式子，我们可以通过使用数学变换来进行放缩。
例如，对于一个指数函数，我们可以使用对数变换来对它进行放缩。
在新教材下函数的放缩能力的提升
新教材下函数的放缩能力的提升与导数结合的函数放缩题是近几年各种大型考试的热点，一诊、二诊、三诊以及高考的压轴题都常常选这一背景进行命题。
如何构造函数是这一类题的精髓所在！在新教材体系下，这一种能力在学生中如何有效突破，如何有效提升成为了一个很关键的课题。
现在就我对教学中的一些做法与想法与大家共同探讨一下，让大家看看我其中的得与失，力争让每一个到会的朋友都能有一定的收获。
一、“抓手一”从我个人的经验看，在各种函数放缩的压轴题中，最大的主角是ln x ，如何摆脱ln x ，把对数背景的数列转变为普通数列，成了突破函数放缩能力的第一“抓手”，关于不等式：1ln 1x x x x-≤≤-（1x ≥）成为了这一类题的最好素材。
（为了让学生加强记忆，有所沉淀，我把上一不等式常常戏称为“定海神针”，以达到强化记忆的目的。
）所以刚开始时，我就集中选练这一方面的很多小题，如： 例1．求证21+31+41+…+11+n <+<)1ln(n 1+21+31+41+…+n1例2．已知n N *∈，求证：111111ln 2122121n n nnn n ++⋅⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅⋅++++-例3．证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n nn ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．例4．求证:212131211n n>-++++例5．已知,4n N n ∈≥.求证：11117123210n n n n++++<+++ .例6．求证:213121111<++++++<n n n例7．数列{}n a 中，1n n a n =+，求证()12ln 2ln 2n a a a n n +++<+-+ 。
例8．求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211(例9．（2012一诊22）已知函数21()ln22f x x m m x m =-+-，0m <。
导数放缩法技巧全总结
导数放缩法技巧全总结导数放缩法是微积分中常用的一种技巧，用于求解函数的极限、最值等问题。
它的核心思想是通过对函数的导数进行放缩，从而得到更简单的形式，方便进行进一步的分析和计算。
下面将总结导数放缩法的一些常见技巧和应用。
1. 利用导数的性质进行放缩，对于给定的函数f(x)，如果能够求出它的导数f'(x)，那么可以利用导数的性质来对函数进行放缩。
比如，当我们需要求解一个函数在某个区间上的最大值或最小值时，可以通过求出函数在区间端点和驻点处的导数值，然后比较这些值来确定最值的位置。
2. 利用导数的符号进行放缩，导数的符号可以告诉我们函数的增减性，从而帮助我们确定函数的极值点。
如果一个函数在某个区间上的导数始终大于零（或始终小于零），那么可以得出函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的结论，从而可以对函数进行放缩。
3. 利用导数的大小进行放缩，导数的大小可以告诉我们函数的变化率，从而帮助我们对函数进行放缩。
如果一个函数在某个区间上的导数始终小于（或大于）另一个函数的导数，那么可以利用这一性质对函数进行放缩，从而得到更简单的形式。
4. 利用高阶导数进行放缩，有时候，对函数的高阶导数进行分析可以帮助我们对函数进行放缩。
通过对函数的高阶导数进行分析，可以得到更多关于函数的信息，从而帮助我们对函数进行更精确的放缩。
总的来说，导数放缩法是微积分中非常重要的一种技巧，它可以帮助我们对函数进行更精确的分析和计算。
通过灵活运用导数的性质和大小，我们可以更好地理解函数的行为，从而在求解极限、最值等问题时更加得心应手。
希望本文总结的导数放缩法技巧能够对读者有所帮助。
指数函数的放缩技巧
指数函数的放缩技巧
指数函数的放缩技巧可以通过以下几种方式实现：
1. 横向放缩：指数函数f(x)=a^x的横向放缩可以通过改变底数a的值来实现。
当a>1时，函数在x轴右移，当0<a<1时，函数在x轴左移。
放缩后的函数可以表示为g(x)=a^{(x-h)}，其中h为平移量。
2. 纵向放缩：指数函数的纵向放缩可以通过改变指数的系数来实现。
指数函数f(x)=a^x的纵向放缩可以表示为g(x)=b\cdot a^x，其中b为纵向放缩因子。
当b>1时，函数在y轴方向拉伸，当0<b<1时，函数在y轴方向压缩。
3. 组合放缩：可以同时对指数函数进行横向和纵向放缩，达到更精细的放缩效果。
例如，函数f(x)=a^x经过横向放缩和纵向放缩变为g(x)=b\cdot a^{(x-h)}。
4. 对数函数的放缩：因为指数和对数函数是互为反函数，所以对数函数的放缩也可以用来实现指数函数的放缩。
例如，指数函数f(x)=a^x的放缩后的函数可以表示为g(x)=\log_a (c\cdot f(x))，其中c为放缩因子。
高中数学导数放缩法技巧
高中数学导数放缩法技巧
高中数学放缩法技巧是指在高中数学中学生运用技巧来解决相关问题。
放缩法技巧是一种重要的严数基础学习策略，可以更好地指导高中学生的学习。
首先，学习放缩法技巧要有明确的思路。
首先要熟练掌握高中数学中对导数的基本概念，对导数有较深入的了解，并迅速记住导数计算公式，这样在进行高中数学学习时可以提高学习效率。
其次，要学会在不同数学计算中使用放缩法技巧。
放缩法的基本思想是选取合适的学习范围，在范围内熟练掌握相关公式，在学习期间必须做好复习，通过放缩法来减少重复的思考，减少学习的时间和精力的消耗。
此外，学习放缩法也应注重掌握学习方法。
应尽可能分析题目和其中的数学性质，并联系相关公式，以减轻学习负担和提高学习效果。
并在定性和定量分析之间进行折衷，不要追求快速只是牺牲正确性和直觉性。
最后，应杜绝学习技巧依赖。
有时学习者们会过分依赖技巧，忘了背后保障技巧正确性的基础和理论，从而致使技巧的一时成功转变成长久的学习失败的情况，所以最好的学习技巧是熟练掌握基本理论，坚持原则，并结合实际应用，把握技巧之间的适应关系。
总的来说，学习数学的放缩法技巧是能够使学习过程变得更高效，更加便捷的一项重要策略，只需要掌握正确的思路，就可以帮助学生轻松地学习数学。
放缩法技巧窍门全情况总结(尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华)
高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk Λ 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC T r rr n r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn Λ (5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n (12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:nn412141361161412-<++++Λ(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++ΛΛ (3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到 nn 131211)11(2++++<-+Λ再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n nΛ例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk Λ 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n ΛΛ当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m kk k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1( ∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=Λ212,求证:23321<++++n T T T T Λ. 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n n n nT -+-=-----=+++-++++=ΛΛ所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n n T T T T ΛΛ 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n xn,求证: *))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ. 解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn +++--<++++ΛΛ 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121ΛΛΛ6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---Λ 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n nn nn Λ例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n αααααααΛ 解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln nn nn≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n nnn ,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n例10.求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ解析:提示:2ln 1ln 1ln 1211ln )1ln(++-++=⋅⋅-⋅+=+ΛΛn n n n n n n n n 函数构造形式:x x x x 11ln ,ln -><当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数xx f 1)(=,首先:⎰-<nin ABCFx S1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x i nn in nin --==<⋅--⎰取1=i 有,)1ln(ln 1--<n n n,所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到:F E D C BA n-inyxO)1ln(113121+<++++n n Λ 另一方面⎰->ni n ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i i n n i n ni n --==>⋅---⎰ 取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n , 所以有nn 1211)1ln(+++<+Λ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ 例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211(Λ和e n<+⋅⋅++)311()8111)(911(2Λ.解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:)0(13)1ln(1)0(132)1ln(>+>++⇔>+->+x x x x x x x (加强命题)例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n nΛ解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n nΛ例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+,然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n aln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a)2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。
例说高考函数压轴题中的放缩策略
理是解决这类问题必不可少的工具, 而应用该定理的关键在
于构造异号函数值, 这是颇具技巧性的一步. 标准答案常给
人眼前一亮的感觉, 让笔者惊叹背后蕴含的解题智慧. 然而,
解法固然精妙, 却略显突兀, 难以推广.
波利亚说过:“掌握数学就意味着学会解题”. 笔者认为,
解法是否自然, 是教会学生解题的一个很重要的因素. 基于
4
e2
最小值. 若 g(2) > 0, 即 a < , g(x) 在 (0, +∞) 没有零点;
4
e2
若 g(2) = 0, 即 a = , g(x) 在 (0, +∞) 只有一个零点; 若
4
e2
g(2) < 0, 即 a > , 下面说明 g(x) 在 (0, +∞) 有两个零点.
4
1
当0 {
<x }
e
1 2
x
>
1 x2(x
>
0), 将
x2
放大为
4e
1 2
x.
4
2020 年第 2 期 (上)
中学数学研究
17
三 借助常用不等式
若 a ≥ 0, 则由 (1), 当 x > 0 时有 f (x) ≥ (2 + x) ln(1 +
指对数型函数在高考中颇为常见, 下面列出几个与之相 关的不等式, 它们的证明非常简单, 故此处略去.
1
1
一 方 面, g(x) = 3 x − 1 + x2 + x + 1 − 3a >
1
(x 3
−
1
−
3a)
因此,
高中数学中的函数图像的伸缩与压缩
高中数学中的函数图像的伸缩与压缩在高中数学中，函数图像的伸缩与压缩是一个重要的概念。
通过对函数图像进行伸缩与压缩，我们可以改变函数图像的形状、位置和大小，从而更好地理解和分析函数的性质。
本文将探讨函数图像的伸缩与压缩的基本原理和应用。
一、函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指通过改变自变量和因变量的比例关系，使得函数图像在坐标平面上的形状发生变化。
常见的函数图像的伸缩方式有纵向伸缩、纵向压缩、横向伸缩和横向压缩。
1. 纵向伸缩纵向伸缩是指在坐标平面的纵轴方向上，改变函数图像的高度。
具体来说，对于函数y=f(x)，当我们将函数中的y乘以一个大于1的常数k时，函数图像的高度将会相应地增加k倍。
这种伸缩可以使函数图像变得更加陡峭，表现出更大的变化率。
举个例子，考虑函数y=x^2，当我们将y乘以2时，函数图像将变为y=2x^2。
原来的函数图像是一个开口向上的抛物线，而经过纵向伸缩后的函数图像将变得更加瘦长，开口更加尖锐。
2. 纵向压缩纵向压缩是指在坐标平面的纵轴方向上，改变函数图像的高度。
具体来说，对于函数y=f(x)，当我们将函数中的y除以一个大于1的常数k时，函数图像的高度将会相应地减小k倍。
这种压缩可以使函数图像变得更加平缓，表现出更小的变化率。
举个例子，考虑函数y=x^2，当我们将y除以2时，函数图像将变为y=(1/2)x^2。
原来的函数图像是一个开口向上的抛物线，而经过纵向压缩后的函数图像将变得更加扁平，开口更加圆滑。
3. 横向伸缩横向伸缩是指在坐标平面的横轴方向上，改变函数图像的宽度。
具体来说，对于函数y=f(x)，当我们将函数中的x乘以一个大于1的常数k时，函数图像的宽度将会相应地增加k倍。
这种伸缩可以使函数图像变得更加平缓，表现出更小的变化率。
举个例子，考虑函数y=x^2，当我们将x乘以2时，函数图像将变为y=(1/4)x^2。
原来的函数图像是一个开口向上的抛物线，而经过横向伸缩后的函数图像将变得更加扁平，开口更加宽广。
高中数学导数切线放缩法
高中数学导数切线放缩法
《高中数学导数切线放缩法》
一、定义
导数切线放缩法是一种将数学函数的导数按一定的比例缩放后，然后在y方向上放缩的一种常用方法。
二、原理
利用放缩法，可以把目标函数的导数放大，使得曲线的斜率变大，从而达到快速收敛的效果。
放缩前，函数的导数变换前后的变化比较慢，放缩后，函数的导数变换前后的变化较快，从而实现快速收敛。
三、应用
1.高中数学作业中，利用导数切线放缩法可以快速的求出函数的单调性、极值点以及图像的放大和缩小等。
2.在机器学习中，利用导数切线放缩法可以实现快速的权重调整，从而提升算法的学习速率。
- 1 -。
函数比大小放缩常用公式
函数比大小放缩常用公式函数比大小放缩常用公式，这可是数学中的一个重要知识点，咱们得好好说道说道。
在数学的世界里，函数比大小有时候就像是一场“暗战”，而放缩常用公式就是我们的“秘密武器”。
比如说，当我们遇到指数函数和幂函数的比较时，就经常会用到放缩的方法。
我记得之前有个学生，叫小李，他在做函数比大小的题目时，那叫一个头疼。
他总是抓不住放缩的关键，导致题目做错了不少。
有一次，他拿着一道题来问我：“老师，这指数函数和幂函数比大小，我怎么就搞不明白了呢？”我看了看他的题目，发现他根本没有运用放缩的思路。
咱们先来说说常见的指数函数放缩公式。
像$e^x\geq x + 1$这个公式，在很多时候都能派上用场。
比如说，要比较$e^2$和$3$的大小，我们就可以把$e^2$放缩成$e^2 \geq 2 + 1 = 3$，这样一下子就能得出结论。
再说说幂函数的放缩。
比如，当$x > 0$时，有$x^{\frac{1}{2}} \leq \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$。
这个公式在解决一些特定的函数比大小问题时，效果特别好。
还有一个很有用的放缩公式是$\ln x \leq x - 1$。
这个公式用起来可得小心，得看清楚条件。
就像上次小李做的那道题，是比较$\ln 5$和$2$的大小，他一开始不知道可以用这个放缩公式，后来我给他一讲解，他恍然大悟。
除了这些基本的放缩公式，还有一些组合使用的技巧。
比如说，有时候我们可以先对一个函数进行变形，然后再运用放缩公式。
这就像是一套组合拳，威力可不小。
在实际解题中，要灵活运用这些公式。
不能死记硬背，得理解它们背后的原理。
就像搭积木一样，根据不同的情况，选择合适的“积木块”，搭建出我们解题的“城堡”。
总之，函数比大小放缩常用公式是我们解决函数比较问题的得力助手。
只要掌握了它们，再加上多多练习，相信大家都能在函数的世界里游刃有余。
就像小李，经过一段时间的努力，现在他做这类题目已经得心应手啦！所以同学们，加油吧，相信你们也能攻克这个难关！。
函数极值问题中的放缩法
函数极值问题中的放缩法简介函数极值问题是数学中经常遇到的问题之一。
在解决函数的极值问题时，放缩法是一种常用且有效的策略。
本文将介绍函数极值问题中的放缩法，并探讨其应用。
放缩法的基本原理放缩法的基本思想是通过对函数进行合理的放缩和约束，限制函数取值范围，进而推导出函数的极值点。
其核心是选择合适的放缩因子，使得函数的极值问题转化为更易于求解的问题。
放缩法的步骤放缩法的步骤主要包括以下几个方面：1. 定义放缩因子：根据具体问题的特点，选择适当的放缩因子。
2. 对函数进行放缩：将函数根据放缩因子进行放缩，得到一个新的函数表达式。
3. 约束函数取值范围：根据放缩后的函数表达式，确定函数的取值范围。
4. 求解极值点：在限制条件下，求解函数的极值点。
5. 检验解的有效性：将求得的极值点代入原函数，验证解的有效性。
放缩法的应用范围放缩法在函数极值问题的求解中具有广泛的应用。
它适用于各种类型的函数，包括连续函数、可微函数以及一些特殊函数等。
通过合理选择放缩因子，可以有效地简化问题的求解过程。
示例以下是一个简单示例，展示了放缩法在函数极值问题中的应用：给定函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求函数的极值点。
步骤：1. 定义放缩因子：选择放缩因子 k = 3。
2. 对函数进行放缩：将函数 f(x) 放缩为 g(x) = k * f(x) = 9x^2 -6x + 3。
3. 约束函数取值范围：函数 g(x) 的取值范围为[3, +∞)。
4. 求解极值点：根据函数 g(x) 的取值范围，求得极值点为 x = 0。
5. 检验解的有效性：代入原函数 f(x)，验证得到的极值点 x = 0 是否为函数 f(x) 的极值点。
总结放缩法是解决函数极值问题的一种有效策略。
通过合理放缩和约束函数取值范围，可以简化问题的求解过程。
放缩法的应用范围广泛，而且应用灵活，适用于不同类型的函数。
在实际问题中，可以根据具体情况选择合适的放缩因子，以得到准确的极值点。
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新教材下函数的放缩能力的提升石室中学：张泾与导数结合的函数放缩题是近几年各种大型考试的热点，一诊、二诊、三诊以及高考的压轴题都常常选这一背景进行命题。
如何构造函数是这一类题的精髓所在！在新教材体系下，这一种能力在学生中如何有效突破，如何有效提升成为了一个很关键的课题。
现在就我对教学中的一些做法与想法与大家共同探讨一下，让大家看看我其中的得与失，力争让每一个到会的朋友都能有一定的收获。
一、“抓手一”从我个人的经验看，在各种函数放缩的压轴题中，最大的主角是ln x ，如何摆脱ln x ，把对数背景的数列转变为普通数列，成了突破函数放缩能力的第一“抓手”，关于不等式：1ln 1x x x x-≤≤-（1x ≥）成为了这一类题的最好素材。
（为了让学生加强记忆，有所沉淀，我把上一不等式常常戏称为“定海神针”，以达到强化记忆的目的。
）所以刚开始时，我就集中选练这一方面的很多小题，如： 例1．求证21+31+41+…+11+n <+<)1ln(n 1+21+31+41+…+n1例2．已知n N *∈，求证：111111ln 2122121n n n n n n ++⋅⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅⋅++++-例3．证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．例4．求证:212131211nn >-++++例5．已知,4n N n ∈≥.求证：11117123210n n n n ++++<+++.例6．求证:213121111<++++++<n n n例7．数列{}n a 中，1n na n =+，求证()12ln 2ln 2n a a a n n +++<+-+。
例8．求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211(例9．（2012一诊22）已知函数21()ln 22f x x m mx m =--，0m <。
（1）当1m =-时，求函数()3xy f x =-的单调区间；（2）已知2e m ≤-，（其中e 是自然对数的底数），若存在实数011,22e x -⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，使0()1f x e >+成立，证明210m e ++<；（3）证明：2183(1)(2)ln 32nk k n n k=-++>∑（n N *∈）二、“抓手二”这是我让学生过的第一道关，这一道关其实学生很好就能把握的。
但在学习的过程中，又常常会遇到很多不能用1ln 1x x x x -≤≤-（1x ≥）放缩成功的，比如说：以下几例中所渗透出来的不等式，就比1ln 1x x x x -≤≤-（1x ≥）要求还要高一些，这是我教学中的第二个“抓手” 11ln ()12x x x x≤-≤- （1x ≥），定海神针的内涵也被拓宽成了下列不等式111ln ()12x x x x x x-≤≤-≤-（1x ≥）。
例10．（2010四川理科22题（2））对任意正整数证明不等式2(1)ln 02n n +≤。
例11．证明：1111ln(1)(1)232(1)n n n n n ++++>++≥+。
例12．证明：11111ln(21)()3521221nn n N n n +++++>++∈-+ 三、“抓手三”在教学过程中，我还遇到了这样一个题： 例13．（全国二理22，有改动） （Ⅰ）设函数2()ln(1)2xf x x x =+-+，证明：当x ＞0时，()f x ＞0； （Ⅱ）证明： 199()10＜21e .在做完这一个题以后，我给一ln x 的逼近函数，12(1)ln 11x x x x x x --≤≤≤-+，就把上面这一个题反复研究，学生对定海神针的内涵又进了一层。
四、“抓手四”在教学过程中，要善于抓住考题中的“乌龙”， 从而提升破题速度。
而这一类题通过1ln 1x x x x-≤≤-（1x ≥）的图象可以看得一清二楚。
例15．证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例16．求证：<+)1(2n n n ln 4ln 3ln 2ln •⋯⋯•••)2(≥n例17．求证nn n 1ln 44ln 33ln 22ln <•⋯⋯•••)2(≥n例18．2222222ln 2ln 3ln 21(,2).232(1)n n n n n n n --+++<∈≥+N 例19．求证:)2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα 例20．求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ .例21．求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n例22.（二诊22题）已知函数a xax g x x f (.23)(,ln )(-==为实常数）． (I)当1=a 时，求函数)()()(x g x f x -=ϕ在),4[+∞∈x 上的最小值； (Ⅱ)若方程)()(2x g e x f =（其中 71828.2=e ）在区间]1,21[上有解，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)证明：*,12)]1()()12(2[601451N n n k f k f k f n nk ∈+<+--+<+∑= （参考数据：6931.02ln ≈） 五、“抓手五”既然在各种函数放缩的压轴题中，最大的主角是ln x ，那么对e 的理解我认为也是一种必需的知识储备，1lim (1)n n e n→+∞+=，做为数学分析中的一种最基本最重要的极限，在导数的公式推导中，我也给学生讲了一下。
但最重要的是：我让学生通过这一个结论的记忆，知道一些常见的不等式：如（1）n N *∈时，1(1)n e n+< ；（2）数列1(1)n n a n=+为一个单调递增数列；（3）1(1)2nn +< （4）1(1)3nn +<（5）22(1)n e n+<有一个晚自习时，我曾经让班上的学生做了两个题，其中的一个题是高三的三诊模拟题， 例23.（四中三诊模拟22题）已知数列}{n a 满足).2(22,111≥-+==-n n a a a n n （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 中24b =，前n 项和为n S ，且4()(*).n n S n bn a n n N -=+∈证明：1215(1).3n b n b +<很多学生在做最后一个不等式证明时，用15(1)23n n +<<，很快得证。
在教学过程中，还曾经遇到过这样两个题，都是学生问我的，我觉得有一类用贝努里不等式能处理的问题，用定海神针来做，也行。
如：例24．求证：23423433334(,2)313131313n n n N n *⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<∈≥---- 例25．求证：n N *∈时，21)411()411)(411(2>---n六、“抓手六”我个人习惯在讲一种难题时，首先要尽可能多地给学生以铺垫，让学生在成功的体验中学习，更有趣一些。
让学生能自主地找到突破口，是最重要的。
例26．已知：数列{}n a 满足：11a =，11122n n n na a ++=+，n N *∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：1112n n a -≤≤； （3）设224n n n T a n n =-+，且21ln(1)2n n n K T T =++。
证明：22n n n T T K <+。
例27． 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若1,2a =则当n ≥2时,!n nb a n >⋅.例28．已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++证明2n a e <.例29．(1)证明: ()ln 1(0)x x x +<>(2)数列{}n a 中. 11a =,且()11211122n n n a a n n--⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭; ①证明: ()724n a n ≥≥ ②()21n a e n <≥七、“抓手七”当然学生既使学会了这些，也只是具备了一定的能力而已，在未来的高三提升中，还需要更多的磨砺与积累。