1.5平面直角坐标系中的距离公式
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第一部分 第二章 §1 1.5 平面直角坐标系中的距离公式
提示：能，|AC|＝|x2－x1|，|BC|＝|y2－y1|. 由勾股定理得|AB|＝ x2－x12＋y2－y12. |AC|2＋|BC|2＝
两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B的距离公式 |AB|＝
x2－x12＋y2－y12 .
在平面几何中，求点P到直线l的距离的方法是：先 过点P作l的垂线PH，垂足为H，再求PH的长度即可．那么， 在平面直角坐标系中，如何用坐标法求出点P(x0，y0)到直
[例3]
求点P0(－1,2)到下列直线的距离．
(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.
[思路点拨] 解答本题可先将直线方程化为一
般式，然后直接利用点到直线的距离公式求解，对于
(2)(3)题中的特殊直线，也可以借助图像求解．
[精解详析]
(1)由点到直线的距离公式知d＝ 5.
|2×－1＋2－10| 10 ＝ ＝2 2 5 2 ＋1
2．应用点到直线的距离公式的注意事项
(1)特别地，当点P0在直线上时，点P0到该直线
的距离为0.
(2)在应用此公式时，若给出的直线方程不是一
般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距
离．
[例1]
(1)求直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴
的交点之间的距离；
(2)已知点A(a，－5)与B(0,10)间的距离是17，求a 的值； (3)求直线l：y＝x被两条平行直线x＋y－2＝0和x＋
[一点通]
下几点
使用点到直线的距离公式时应注意以
(1)若所给的直线方程不是一般式，则应先把方
程化为一般式，再利用公式求距离． (2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，此 公式仍然适用．
北师大版高中数学高一2.1.5平面直角坐标系中的距离公式
【预习评价】
(1)当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐标轴上时，两点 间距离公式还适用吗？ 提示 适用．当两点都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两 点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|.
(2)已知点A(－2，－1)，B(a,3)且|AB|＝5，则a等于 ( )
A．1
B．－5
|222×＋2－－51|2＝
1 5.
答案 A
知识点三 两平行直线间的距离 1．概念：夹在两条平行直线间的 公垂线段 的长度就是两条平
行直线间的距离．
2．公式：两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0
之间的距离 d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
【预习评价】 (1)两条平行直线间的距离公式写成 d＝ |CA1－2＋CB22| 时对两条直线应 有什么要求？ 提示 两条平行直线的方程都是一般式，并且 x，y 的系数分别 对应相等．
＝
|6a＋a23＋＋11|，
解得 a＝－13或－79.
答案 －13或－79
题型三 两平行线间的距离 【例 3】 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为 2 的直
线的方程． 解 方法一 设所求直线的方程为 5x－12y＋m＝0， ∵两直线间的距离为 2，∴ 52|＋6－－m|122＝2， ∴m＝32 或 m＝－20. ∴所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
1.5 平面直角坐标系中的距离公式
学习目标 1.了解坐标法及利用坐标法解决简单的几何问题； 2.理解点到直线的距离公式的推导过程；会用点到直线的距 离公式求距离并推导两平行线距离(难点)；3.掌握两点间距 离公式及点到直线距离公式，能用两点间距离公式及点到直 线距离公式解决实际问题(重点)．
平面直角坐标系两点间距离公式
平面直角坐标系两点间距离公式平面直角坐标系是一种坐标系统，它将平面上的点定位用一组坐标表示，以简化计算机图形中计算点之间距离的复杂过程。
平面直角坐标系主要由三个基本元素组成，它们分别是：横坐标、纵坐标和参考原点。
横坐标(x)是一个确定点在x轴方向上的位置；纵坐标(y)是一个确定点在y轴方向上的位置；参考原点是一个固定点，以便于确定其他点的位置和方向。
二、平面直角坐标系两点间距离的计算方法在平面直角坐标系中，两个点之间的距离可以使用以下公式来计算：距离=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);其中， (x1, y1)表示第一个点的坐标；(x2, y2)示第二个点的坐标。
比如说，有一个坐标系，其中，原点的坐标为 (0, 0)，有另一个点的坐标为 (3, 4)。
那么，这两个点之间的距离就可以使用以上距离公式来计算：距离=√((3-0)^2+(4-0)^2)=√(9+16)=√25=5三、实际应用平面直角坐标系两点间距离公式在日常生活中有着重要的应用，它可以帮助我们确定两个点在平面内的真实距离。
例如，对于某些停车场来说，它们可能会根据你贴在汽车上的贴纸来收费，而这些贴纸的位置也可以用平面直角坐标系来表示，然后使用相应的距离公式来计算出车辆停靠所处的位置与参考点之间的距离，以确定停车费用。
此外，平面直角坐标系两点间距离公式还可以用来计算航线的长度、地图上两个点的相对位置关系等等，它也用于实际的地理测量中。
四、结论平面直角坐标系两点间距离公式可以帮助人们计算两个坐标点之间的距离，它的实际应用非常广泛。
在使用平面直角坐标系两点间距离公式时，我们需要注意将正确的参考点坐标系统和对应点的坐标输入公式中，以便正确地计算出距离。
平面直角坐标系中的距离公式(经典)
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法一) 由k1=k2 可得： l1//l2
在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 7 13
62 (9)2
13
∴直线l1与l2间的距离
d 7 13 13
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法二) 由k1=k2 可得： l1//l2
将l2的方程变形为 ： 2x－3y－1＝0
∴直线l1与l2间的距离：
d | -18 | 7 13
22 (-3)2
想一想：
怎样用坐标的方法求点P(-3, 5)到直线 3x-4y＋5＝0的距离？P y
o
x
点ห้องสมุดไป่ตู้0(x0, y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢?
写出直线PQ的方程，
与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 |PQ|
.
y
P
l
Q
o
x
二、点到直线的距离公式：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
二、点到直线的距离公式
d Ax0 By0 C . A2 B2
三、两条平行直线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
课后练：
1. 求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)， B(3, 0)距离相等的直线方程.
2. 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为2的直线的方程.
2.1.5平面直角坐标系中的距离公式
2 2
x1 x2 5 x1 x2 3
2
| AB | 1 k | x1 x2 | 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
1 2 5 4 3 65
2 2
抽象概括
1. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
§1.5 平面直角坐标系中的
距离公式
（一）
分析理解
1. x轴上，点P1(x1，Fra bibliotek)和P2(x2，0)的距离为：
|P1P2|=|x1-x2|
y轴上，点P1(0，y1)和P2(0，y2)的距离为：
|P1P2|=|y1-y2|
2. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
| PP 1 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
| x2 x1 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
例题分析
例6 设直线2 x y 1 0与抛物线y x 3x 4
2
相交于点A、B，求 | AB | 的值.
2x y 1 0 2 解：由 x 5x 3 0 2 y x 3x 4
解：设P( x, y), 则
| PA |2 | PB |2 10 y2 18 y 10
9 9 19 当P为( , )时，最小值为 . 5 10 10
几何意义：AB的中点M 与P的连线MP l.
例题分析
变式：已知等边三角形ABC的边长为a，P为ABC 平面内一点，求 | PA | | PB | | PC | 的最小值.
（ 2）点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : y y1 的距离是 d y0 y1 。
x1 x2 5 x1 x2 3
2
| AB | 1 k | x1 x2 | 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
1 2 5 4 3 65
2 2
抽象概括
1. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
§1.5 平面直角坐标系中的
距离公式
（一）
分析理解
1. x轴上，点P1(x1，Fra bibliotek)和P2(x2，0)的距离为：
|P1P2|=|x1-x2|
y轴上，点P1(0，y1)和P2(0，y2)的距离为：
|P1P2|=|y1-y2|
2. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
| PP 1 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
| x2 x1 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
例题分析
例6 设直线2 x y 1 0与抛物线y x 3x 4
2
相交于点A、B，求 | AB | 的值.
2x y 1 0 2 解：由 x 5x 3 0 2 y x 3x 4
解：设P( x, y), 则
| PA |2 | PB |2 10 y2 18 y 10
9 9 19 当P为( , )时，最小值为 . 5 10 10
几何意义：AB的中点M 与P的连线MP l.
例题分析
变式：已知等边三角形ABC的边长为a，P为ABC 平面内一点，求 | PA | | PB | | PC | 的最小值.
（ 2）点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : y y1 的距离是 d y0 y1 。
平面直角坐标系中的距离公式
新课标北师大版课件系列
《高中数学》
必修2
2.1.5平面直角坐标系中的
距离公式
一. 两点间的距离公式 当AB不平行于坐标轴，也不在坐标轴 上时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线 AA1，AA2，BB1，BB2，
y
垂足分别为A1(x1，0)，A2(y1，
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，
（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2， y2). （2）计算两个坐标的差，并赋值给另外 两个变量，即△x=x2－x1，△y=y2－y1.
（3）计算 d=
x y
2
2
（4）给出两点的距离 d. 通过以上步骤，对任意的两点，只 要给出两点的坐标，就可一步步地求值， 最后算出两点的距离.
4．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)，
(2，3)等距离，则M点的坐标是
(0, 1 2 )
.
5．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)
的距离相等，则x+y的值等于
7
.
6．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点
是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距
离是
19
。
7．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2， 5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C
2
(3 1) ( 4 2 )
2 2
2
8
（5 1 0 2） ） （
20
（5 3 0 4） ） （
2 2
20
因为|AC|=|BC|，且A，B，C不共线， 所以△ABC是等腰三角形。
二. 坐标法
《高中数学》
必修2
2.1.5平面直角坐标系中的
距离公式
一. 两点间的距离公式 当AB不平行于坐标轴，也不在坐标轴 上时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线 AA1，AA2，BB1，BB2，
y
垂足分别为A1(x1，0)，A2(y1，
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，
（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2， y2). （2）计算两个坐标的差，并赋值给另外 两个变量，即△x=x2－x1，△y=y2－y1.
（3）计算 d=
x y
2
2
（4）给出两点的距离 d. 通过以上步骤，对任意的两点，只 要给出两点的坐标，就可一步步地求值， 最后算出两点的距离.
4．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)，
(2，3)等距离，则M点的坐标是
(0, 1 2 )
.
5．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)
的距离相等，则x+y的值等于
7
.
6．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点
是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距
离是
19
。
7．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2， 5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C
2
(3 1) ( 4 2 )
2 2
2
8
（5 1 0 2） ） （
20
（5 3 0 4） ） （
2 2
20
因为|AC|=|BC|，且A，B，C不共线， 所以△ABC是等腰三角形。
二. 坐标法
2-1-5平面直角坐标系中的距离公式课件(北师大版必修二)
自学导引 1．两点间距离公式 一般地，若平面上两点 P1、P2 的坐标分别为 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，则 P1、P2 两点间的距离公式为|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12. 特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离为|OP|＝ x2＋y2.
2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤 第一步： 建立坐标系，用坐标表示有关的量 第二步： 进行有关代数运算 ． 第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何关系 ． 想一想：平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关吗？ 提示 无关．在计算公式中 x2 与 x1，y2 与 y1 的位置可以互换， 不影响计算结果． ．
题型四 距离公式的综合应用 【例 4】 (12 分)直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2， 且 l1 与 l2 的距离为 5，求 l1、l2 的方程． 审题指导 分类讨论是数学中常用的思想方法之一，特别是涉及 到直线的斜率问题，应注意是否需要对斜率进行分类讨论． 由距离公式得 【解题流程】 设所求方程 → → 求出k → 写出方程 关于k的方程
|2＋1| 由点到直线的距离公式，得 d＝ 2 ＝3. 0 ＋12
法二
∵y＝－1 平行于 x 轴，y 轴的方程为 x＝0，
由点到直线的距离公式得， |1＋0＋0| d3＝ 2 2 ＝1. 1 ＋0 法二 由图可知，d3＝|1－0|＝1.
规律方法 (1)如果给出的方程不是一般式，应将方程化成一般 式方程． (2)若点 P 在直线上，d＝0，距离公式仍成立．
规律方法
(1)求平行线间的距离，通常转化为其中一条直线上
任意一点到另一条直线的距离，且两平行线间的距离与在其中 一条直线上的点的选取无关； (2)本题也可利用两平行线间的距离公式直接推导得出． 一般地，已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋ C2＝0(C1≠C2)， P(x0， 0)是直线 l2 上的任意一点， Ax0＋By0 设 y 则 ＋C2＝0，即 Ax0＋By0＝－C2，于是 P(x0，y0)到直线 l1：Ax＋By |Ax0＋By0＋C1| |C1－C2| ＋C1＝0 的距离 d＝ ＝ 2 2 2 2. A ＋B A ＋B
2-1-5平面直角坐标系中的距离公式课件(北师大版必修二)(2)
【变式 2】 若点(－2,2)到直线 3x＋4y＋c＝0 的距离为 3，求 c 的值． 解 由点(－2,2)到直线 3x＋4y＋c＝0 的距离为 3， |3×－2＋4×2＋c| |2＋c| 可得 d＝ ＝ ＝3， 2 2 5 3 ＋4 解得 c＝13 或 c＝－17.
题型三
两平行线间的距离
【例 3】 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为 2 的 直线方程． [思路探索] 根据两条直线平行可设出所求直线方程 5x－12y＋ c＝0，再根据两直线间的距离求 c. 解 法一 设所求直线的方程为 5x－12y＋c＝0.
法二
6－1 5 ∵kAC＝ ＝4， 2－－2
－3－1 4 kAB＝ ＝－ ， 5 3－－2 ∴kAC·AB＝－1，即 AB⊥AC. k ∵|AB|＝ 3＋22＋－3－12＝ 41， |AC|＝ 2＋22＋6－12＝ 41， ∴|AB|＝|AC|， 因此△ABC 是等腰直角三角形．
|2＋1| 由点到直线的距离公式，得 d＝ 2 ＝3. 0 ＋12
法二
∵y＝－1 平行于 x 轴，如图，
∴d2＝|－1－2|＝3. (3)法一 y 轴的方程为 x＝0，
由点到直线的距离公式得， |1＋0＋0| d3＝ 2 2 ＝1. 1 ＋0 法二 由图可知，d3＝|1－0|＝1.
规律方法 (1)如果给出的方程不是一般式，应将方程化成一般 式方程． (2)若点 P 在直线上，d＝0，距离公式仍成立．
②若 l 过 AB 中点 N(1,1)，则直线方程为 y＝1， ∴所求直线方程为 y＝1 或 x＋2y＝0.
方法技巧
数形结合思想在距离中的应用
数形结合思想包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，运 用数形结合时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突 破口，恰当设参数，做好转化；三是要挖掘隐含条件，准确界 定参变量的取值范围，本节数形结合主要应用是借助图形来分 析点、线之间的位置关系．
1.5平面直角坐标系中的距离公式
1.5平面直角坐标系中的距离公式
一、教材的地位与作用
距离问题是本节教材“两直线的位置关系”的最后一个内容，在解决实际生活问题中以及代数、解析几何、立体几何中都有着重要而广泛的应用。
两点间的距离与点到直线的距离在直线方程中占有重要位置，在使学生形成完整的直线这部分知识的结构体系同时，同时迈出探究几何学知识的第一步，在“数”和“形”之间建立联系.
二、教学目标
1.知识与技能：（1）了解平面直角坐标系中两点间的距离和点到直线距离公式
的推导过程；
（2）理解平面直角坐标系中两点间的距离公式和和点到直线距
离公式，能熟练应用公式解决相关问题.
2.过程与方法：通过公式的推导过程，让学生领会“数形结合”的数学思想与
方法和从特殊到一般的认知规律.
3.情感态度与价值观：让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，提高学生
的数学素养
三、教学重难点
教学重点：两点间的距离和点到直线距离公式
教学难点：两点间的距离和点到直线距离公式的应用
四、教法学法与教具
针对本节课内容难度不高，但知识点之间的衔接不够紧凑，对初学者来说容易产生杂乱无章的感觉.使学生通过观察、思考、猜想、验证、应用等方式，经历知识的形成过程，同时在教师的指引下寻求知识间的联系，理清众多的思路，从而顺利地突破重、难点.
教具：多媒体
五、教学过程
课堂设问一：回忆数轴上两点间距离公式，同学们能否用以前所学的知识解决以下问题
x
A。
1.5 平面直角坐标系中的距离公式
（2）两平行直线间的距离： d C2 C1 ， A2 B2
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
作业:
A2 B2 d AB Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
A
B
y
l R
Q
O
P d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
注： 在使用该公式前，须将 A=0或B=0，此公式也成立， 直线方程化为一般式． 但当A=0或B=0时一般不用此
例2、已知点A（1，3），B（3，1）， C（-1,0），求三角形ABC的面积.
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
y
O
l1:2x-7y+8=0 P(3l2,:0)2xx-7y-6=0
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1
A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
d Q
x1
By0 C A
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
作业:
A2 B2 d AB Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
A
B
y
l R
Q
O
P d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
注： 在使用该公式前，须将 A=0或B=0，此公式也成立， 直线方程化为一般式． 但当A=0或B=0时一般不用此
例2、已知点A（1，3），B（3，1）， C（-1,0），求三角形ABC的面积.
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
y
O
l1:2x-7y+8=0 P(3l2,:0)2xx-7y-6=0
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1
A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
d Q
x1
By0 C A
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
1.5平面直角坐标系中的距离公式
2x5pb4x11由papb得x1所以所求点为p10且pa两点间距离公式的应用已知abc中a21b33c26试判断abc思路探究求出abc的三条边长分析边长之间的关系确定abc的形状41ac41又bc且abac因此abc是等腰直角三角形
1．5 平面直角坐标系中的距离公式
泗县二中 许利虎
[问题] 在某铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路将两者连接 起来，那么怎样设计才能使公路最短？最短路程又是多少呢？
两平行线间的距离
已知直线 l1 与 l2 的方程分别为 7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线 l d1 1
平行于 l1，直线 l 与 l1 的距离为 d1，与 l2 的距离为 d2，且d2＝2，求直线 l 的方程． [思路探究] 设 P 为 l 上任一点，根据点到直线的距离公式求出 d1，d2，代入
2．点(2,1)到直线 l：x－2y＋2＝0 的距离为( )
2
2
A.5
B．5 5
6 C.5 5
D．0
答案： B
3．两条平行线y＝2x＋3与y＝2x－4间的距离为________． 解析： 在直线 y＝2x＋3＝0 上取点 P(0,3)，则 P 点到直线 y＝2x－4 的距离 |－3－4| 7 5 d＝ 5 ＝ 5 就是两平行线间的距离．
状．
两点间距离公式的应用 已知△ABC 中，A(－2,1)，B(3，－3)，C(2,6)，试判断△ABC 的形
求出△ABC 分析边长之 确定△ABC [思路探究] 的三条边长 ―→ 间的关系 ―→ 的形状
[边听边记] 方法一：∵|AB|＝ 3＋22＋－3－12 ＝ 41， |AC|＝ 2＋22＋6－12＝ 41， 又|BC|＝ 3－22＋－3－62＝ 82， ∴( 41)2＋( 41)2＝( 82)2 即|AB|2＋|AC|2＝|BC|2 且|AB|＝|AC|， 因此△ABC 是等腰直角三角形．
1．5 平面直角坐标系中的距离公式
泗县二中 许利虎
[问题] 在某铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路将两者连接 起来，那么怎样设计才能使公路最短？最短路程又是多少呢？
两平行线间的距离
已知直线 l1 与 l2 的方程分别为 7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线 l d1 1
平行于 l1，直线 l 与 l1 的距离为 d1，与 l2 的距离为 d2，且d2＝2，求直线 l 的方程． [思路探究] 设 P 为 l 上任一点，根据点到直线的距离公式求出 d1，d2，代入
2．点(2,1)到直线 l：x－2y＋2＝0 的距离为( )
2
2
A.5
B．5 5
6 C.5 5
D．0
答案： B
3．两条平行线y＝2x＋3与y＝2x－4间的距离为________． 解析： 在直线 y＝2x＋3＝0 上取点 P(0,3)，则 P 点到直线 y＝2x－4 的距离 |－3－4| 7 5 d＝ 5 ＝ 5 就是两平行线间的距离．
状．
两点间距离公式的应用 已知△ABC 中，A(－2,1)，B(3，－3)，C(2,6)，试判断△ABC 的形
求出△ABC 分析边长之 确定△ABC [思路探究] 的三条边长 ―→ 间的关系 ―→ 的形状
[边听边记] 方法一：∵|AB|＝ 3＋22＋－3－12 ＝ 41， |AC|＝ 2＋22＋6－12＝ 41， 又|BC|＝ 3－22＋－3－62＝ 82， ∴( 41)2＋( 41)2＝( 82)2 即|AB|2＋|AC|2＝|BC|2 且|AB|＝|AC|， 因此△ABC 是等腰直角三角形．
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 课件(北师大必修2)
2
[研一题] [例2] 求点P(1,2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3； (2)l2：y＝－1； (3)y轴．
[自主解答] (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， |1－2－3| 由点到直线的距离公式得d1＝ 2 2＝2 2. 1 ＋－1
(2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式得 |2＋1| d2＝ 2 2＝3. 0 ＋1 法二：如图，∵y＝－1 平行于 x 轴， ∴d2＝|－1－2|＝3.
[自主解答]
设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，
b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得 b 4 a·－3＝－1， a b 8× ＋6× ＝25， 2 2 ∴A 的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3)， 又由反射光线过 P(－4,3)，两点纵坐标相等， 故直角边AB，AC所在直线 为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
因为斜边BC的中点为M， 0＋b 0＋c b c 所以点M的坐标为( ， )，即( ， )． 2 2 2 2 由两点间距离公式得 |BC|＝ 0－b2＋c－02＝ b2＋c2， |AM|＝ b c 1 0－ 2＋0－ 2＝ 2 2 2 b2＋c2，
x－22＋y2，
∴P点坐标为(0,1)．
法二：设 P(x，y)，两点 A(1，－1)，B(2,0) 连线所得线段的中垂线方程为 x＋y－1＝0.① 又 3x－y＋1＝0，②
3x－y＋1＝0， 解由①、②组成的方程组 x＋y－1＝0， x＝0， 得 y＝1.
所以所求的点为 P(0,1)．
3．建系原则 (1)使尽可能多的点在坐标轴上； (2)充分利用图形的对称性．
[研一题] [例2] 求点P(1,2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3； (2)l2：y＝－1； (3)y轴．
[自主解答] (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， |1－2－3| 由点到直线的距离公式得d1＝ 2 2＝2 2. 1 ＋－1
(2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式得 |2＋1| d2＝ 2 2＝3. 0 ＋1 法二：如图，∵y＝－1 平行于 x 轴， ∴d2＝|－1－2|＝3.
[自主解答]
设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，
b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得 b 4 a·－3＝－1， a b 8× ＋6× ＝25， 2 2 ∴A 的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3)， 又由反射光线过 P(－4,3)，两点纵坐标相等， 故直角边AB，AC所在直线 为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
因为斜边BC的中点为M， 0＋b 0＋c b c 所以点M的坐标为( ， )，即( ， )． 2 2 2 2 由两点间距离公式得 |BC|＝ 0－b2＋c－02＝ b2＋c2， |AM|＝ b c 1 0－ 2＋0－ 2＝ 2 2 2 b2＋c2，
x－22＋y2，
∴P点坐标为(0,1)．
法二：设 P(x，y)，两点 A(1，－1)，B(2,0) 连线所得线段的中垂线方程为 x＋y－1＝0.① 又 3x－y＋1＝0，②
3x－y＋1＝0， 解由①、②组成的方程组 x＋y－1＝0， x＝0， 得 y＝1.
所以所求的点为 P(0,1)．
3．建系原则 (1)使尽可能多的点在坐标轴上； (2)充分利用图形的对称性．
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1 3 ，试判断三角形的 ) , 2 2
练习4:用坐标法解决一些几何问题
1.求证:直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半. 已知:Rt△ABC中，D是斜边BC上的中点. B
1 求证:AD= BC . 2
D C A
2.已知:△ABC中，D是BC边上的中点. 求证: AB + AC = 2( AD + BD ) B
问题提出：
一只蚂蚁由A爬行至B,则爬行的 距离是多少？ 你能用坐标来表示这 个距离吗？
平面内任意两点距离公式
平面内有任意两点A(x1,y1)和B(x2,y2), 则AB的距离|AB|= ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) .
2 2
练习1:求两点距离
1.已知平面内A、B两点,求这两点的距离:
46 a=2 或 a = 3
2.求两平行直线 2x2.求两平行直线l1: 2x-7y+8=0 求两平行直线 l2: 2x-7y-6=0 间的距离. 2x-7y间的距离.
y l1:2x－7y+8=0 x l2: 2x－7y－6=0
O
两平行直线间的距离转化为点到直线的距离
3. 等腰三角形底边所在直线上一点到 两腰所在直线的距离之差与一腰上的高 有何关系? 有何关系 D F B C E A
求点P与点 的 求点 与点H的 与点 点P 点 l的 的 d
点到直线的距离公式
已知点P(x 和直线l:Ax+By+C=0. 已知点 0, y0)和直线 和直线 的距离d 则P点到直线 l 的距离d为:
d=
Ax0 + ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy0 + C A +B
2 2
求下列点到相应直线的距离d: 求下列点到相应直线的距离
2 2 2 2
D C A
*思考题
用坐标法证明： 三角形内，重心到三个顶点的 距离的平方和最小。
铁路
仓库
l
仓库
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. P(x0,y0)
o x
确定直线l的斜率k 确定直线 的斜率k 的斜率
算 法 流 程 图
求与l垂直直线的斜率 求与 垂直直线的斜率k′ 垂直直线的斜率 求过点P垂直于 的直线 的直线l 求过点P垂直于l的直线 ′的方程 求l与l ′的 与 点H 点
(1) P(0,0) l: 3x－2y+4=0 直线 的方 程应 化为 一般 式！
(2) P(－1,2) l: 3 x－ y =－ 3 (3) P(3,－5) l: x = －1
应用理解
1.点A( ,6)到直线3x 4y=2的距 ,6)到直线3x1.点A(a,6)到直线3x-4y=2的距 离等于4,求 的值 的值. 离等于4,求a的值. 4,
(1) A(-1,3), (2) A(-1,3), (3) A(-1,3),
B(2,3) B(-1,-7) B(2,-1)
练习2:两点距离公式逆应用
2
3
①已知点A(x,0)和 B(2,3)的距离为 ,求x的值。若|AB|为3或者2呢？
练习3:应用—判定三角形的形状
已知△ABC的三个顶点是A(-1,0)、B （1，0）、C ( 形状。
.P
等腰三角形底边延长线上一点到两 腰所在直线的距离之差等于一腰上的高. 腰所在直线的距离之差等于一腰上的高 A D F B C E
.P
1. 求平行于直线 －y－2=0 求平行于直线x－ －
作 业
的直线方程. 且与它距离为2 2 的直线方程
2. 用解析法证明 等腰三角形底边上一 用解析法证明: 点到两腰所在直线的距离之和等于一腰上的 高. 3. 求平行直线 l1: Ax+By+C1=0 l2: Ax+By+C2=0 的距离. 的距离
练习4:用坐标法解决一些几何问题
1.求证:直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半. 已知:Rt△ABC中，D是斜边BC上的中点. B
1 求证:AD= BC . 2
D C A
2.已知:△ABC中，D是BC边上的中点. 求证: AB + AC = 2( AD + BD ) B
问题提出：
一只蚂蚁由A爬行至B,则爬行的 距离是多少？ 你能用坐标来表示这 个距离吗？
平面内任意两点距离公式
平面内有任意两点A(x1,y1)和B(x2,y2), 则AB的距离|AB|= ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) .
2 2
练习1:求两点距离
1.已知平面内A、B两点,求这两点的距离:
46 a=2 或 a = 3
2.求两平行直线 2x2.求两平行直线l1: 2x-7y+8=0 求两平行直线 l2: 2x-7y-6=0 间的距离. 2x-7y间的距离.
y l1:2x－7y+8=0 x l2: 2x－7y－6=0
O
两平行直线间的距离转化为点到直线的距离
3. 等腰三角形底边所在直线上一点到 两腰所在直线的距离之差与一腰上的高 有何关系? 有何关系 D F B C E A
求点P与点 的 求点 与点H的 与点 点P 点 l的 的 d
点到直线的距离公式
已知点P(x 和直线l:Ax+By+C=0. 已知点 0, y0)和直线 和直线 的距离d 则P点到直线 l 的距离d为:
d=
Ax0 + ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy0 + C A +B
2 2
求下列点到相应直线的距离d: 求下列点到相应直线的距离
2 2 2 2
D C A
*思考题
用坐标法证明： 三角形内，重心到三个顶点的 距离的平方和最小。
铁路
仓库
l
仓库
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. P(x0,y0)
o x
确定直线l的斜率k 确定直线 的斜率k 的斜率
算 法 流 程 图
求与l垂直直线的斜率 求与 垂直直线的斜率k′ 垂直直线的斜率 求过点P垂直于 的直线 的直线l 求过点P垂直于l的直线 ′的方程 求l与l ′的 与 点H 点
(1) P(0,0) l: 3x－2y+4=0 直线 的方 程应 化为 一般 式！
(2) P(－1,2) l: 3 x－ y =－ 3 (3) P(3,－5) l: x = －1
应用理解
1.点A( ,6)到直线3x 4y=2的距 ,6)到直线3x1.点A(a,6)到直线3x-4y=2的距 离等于4,求 的值 的值. 离等于4,求a的值. 4,
(1) A(-1,3), (2) A(-1,3), (3) A(-1,3),
B(2,3) B(-1,-7) B(2,-1)
练习2:两点距离公式逆应用
2
3
①已知点A(x,0)和 B(2,3)的距离为 ,求x的值。若|AB|为3或者2呢？
练习3:应用—判定三角形的形状
已知△ABC的三个顶点是A(-1,0)、B （1，0）、C ( 形状。
.P
等腰三角形底边延长线上一点到两 腰所在直线的距离之差等于一腰上的高. 腰所在直线的距离之差等于一腰上的高 A D F B C E
.P
1. 求平行于直线 －y－2=0 求平行于直线x－ －
作 业
的直线方程. 且与它距离为2 2 的直线方程
2. 用解析法证明 等腰三角形底边上一 用解析法证明: 点到两腰所在直线的距离之和等于一腰上的 高. 3. 求平行直线 l1: Ax+By+C1=0 l2: Ax+By+C2=0 的距离. 的距离