2015高三第一轮复习一次函数二次及函数与幂函数的最值恒成立及根的分布

[答案] －1
[小题能否全取]
1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应 正确的是 ( )
A．① y＝ x ，② y＝ x2，③ y＝ x ，④ y＝ x－1 B．① y＝ x3，② y＝ x2，③ y＝ x ，④ y＝ x－1 C．① y＝ x2，② y＝ x3，③ y＝ x ，④ y＝ x－ 1 D．① y＝ x ，② y＝ x ，③ y＝ x2，④ y＝ x－1
1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较 复杂，一般从两个方面考查：
(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象
限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的 图象下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；
0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选
1 3
(
)
解析：当 0<x<1 时，x >x，当 ห้องสมุดไป่ตู้>1 时，x <x，知只有 B 符合．
1 3
1 3
答案：B
3．(教材习题改编)设α∈
1 －1，1， ，3 2
，则使函数y＝ ( )
xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为
A．1,3 C．－1,3
B．－1,1 D．－1,1,3
[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质 函数 特征 y＝x y＝x2 y＝x3 性质
y＝x
1 2
y＝x－1
图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
函数
特征 性质
值域 奇偶性 单调性 公共点
y＝ x
y ＝ x2
y＝ x 3
y＝ x
1 2
y＝ x－ 1
R 奇
{y|y≥0} 偶
R 奇 增 (1,1)
奇偶性
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
a＞0
b 在x∈－∞，－2a
a＜0
b 在x∈－∞，－2a上
单调性
上是 减少的 ；
b 在x∈－2a，＋∞
是 增加的 ；
b 在x∈－2a，＋∞上
上是 增加的 ； b 当x＝－ 时， 2a

三、两实根由三个量来控制
. . .
m n p

f (m) 0 f (n) 0 f ( p) 0
四、两实根由四个量来控制
p q n m x2 x1
mn pq
x1 (m, n), x2 ( p, q)

f ( m) 0 f ( n) 0 f ( p) 0 f (q) 0
4 2
a
x
上恒为正值。其充要条件为：
O
O
f (0) 0 a 2 0 2
或
a2 0 2 0
1 a5 即 2
1 2 a 5 或 a2 2
2．二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布 讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一 般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的 符号；③对称轴与区间的相对位置． 在讨论过程中，注意应用数形结合的思想．
∴当 a<2 时，f(x)在[2,4] 上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当 a>4 时，f(x)在[2,4] 上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 当 2≤a≤4 时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
2
解析：若 a<0，则幂函数 y＝xa 在(0，＋∞)上是减函数，
a 1a a 1a 所以(0.2) > >0.所以(0.2) > >2a.
2
2
[答案]
B
二、二次函数的表示形式 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物 线顶点坐标； 3．零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是 抛物线与x轴交点的横坐标．
x1

x2
x1
x2 m

f (m) 0

两根均大于m
两根均小于m
f ( m) 0 0 b m 2a
f ( m) 0 0 b m 2a
二、两实根由二个量来控制
m
x1 x2

n
x1
m n
x2
x1 , x2 (m, n)
三、二次函数的图像及其性质 a＞0 a＜0
图像
定义域 值域
R
4ac－b2 ，＋∞ 4a
R
2 4 ac － b －∞， 4a
a＞0
对称轴
b x＝－ 2a
2 4 ac － b b － ， 2a 4a
a＜0
顶点坐标
f ( m) 0 f ( n) 0 0 b n m 2a
一根小于m， 另一根大于n
f ( m) 0 f ( n) 0

x1 x2 m n
x1 x2 m n
f ( m) 0 f ( n) 0 f ( m) 0 f ( n) 0
2a＝2， 所以 a＋b＝0， a＝1， 解得 b＝－1.
因此，f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m 等价于 x2－x＋1>2x＋m，即 x2－3x＋1－ m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数 g(x) ＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于 0 即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1， 由－m－1>0 得，m<－1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(－∞，－1)．
－
α
3＝
3 α ，得 α 3
答案：y＝x－2
(2)(2013· 淄博模拟)若a<0，则下列不等式成立的是(
1 A．2a>2a>(0.2)a 1 C.2a>(0.2)a>2a
a 1a B．(0.2) > >2a
)
2
a 1a D．2a>(0.2) >
2
1
3p 9 0 3 p 3 或 p 2
3 3 p 2
y 6 x x 2 的定义域为A， 2 函数 y lg(kx 4 x k 3)的定义域为B，当B A求实数
例3.已知函数
的取值范围。 k
A {x | 2 x 3} B {x | kx 4x k 3 0} 2 B A k 0 且函数 f ( x) kx 4x k 3
例1.关于
x的方程 2kx2 2x 3k 2 0 的两实根一个小于1，
x1
典型例题
(,4) (0,) 。 另一个大于1，则实数 k 的取值范围是______________________
1 3k 2 x x 0 k 2k 1 3k 2 f (1) 1 0 k 2k
1 3 1 2 1 2 1 2
1 3
1 2
1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是 (
A．f(x)＝x2－1 C．f(x)＝－x2 B．f(x)＝5x2 D．f(x)＝x2
)
解析：形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数． 答案：D
2．(2011· 陕西高考)函数 y＝x 的图像是
一元二次方程的根分布问题
ax2 bx c 0(a, b, c R, a 0)
设此方程的两实根分别为 x1 , x2 ( x1 一、两实根由一个量来控制
x2 ) 2 构造二次函数 f ( x) ax bx c(a 0) x1
m
x2
一根大于m， 另一根小于m
m
2
m
f (m) 0
x2
2 2 f ( x ) 4 x 2 ( p 2 ) x 2 p p 1 在 例2.若二次函数 区间[1,1] 内至少存在一点 c ，使 f (c) 0 ，求实数 p 的取值范围。

1
一根大于m， 另一根小于m
{ f (1) 2 p
f (1) 2 p 2 p 1 0
y
y
x=6
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
4.
1 2 3 4 5
1 2 y x 6 4, x 9,11 4
x=6 6 7 8 9 10 11 x
y
x=6
O
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
2.求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最小值．
解 ∵函数图象的对称轴是 x＝a，
择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个
幂函数的图象和性质是解题的关键．
[例1]
已知函数f(x)＝(m2－m－1)x^(－5m－3)，m
＝____时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？
[自主解答]
∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂
函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0， ＋∞)上是减函数； 当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞) 上是增函数． ∴m＝－1.