第一章 光波的基本性质

二 时谐均匀平面波
光波是电磁振动在空间的传播。某一时刻，振动状态（相位、振动方向、振动位置）相 同的点所组成的面叫作波面。 波面形状为平面的光波称为平面波， 波面上的场矢量都相等的
4
平面波称为均匀平面波。 如果均匀平面波的空间各点的电磁振动都是以同一频率随时间作正弦或余弦变化(简谐 振动)，这样的光波就叫作时谐均匀平面波，简称时谐平面波。 波动方程最简单又最重要的解是时谐平面波解。 我们将看到， 虽然实际光源所发出的光 波或光波在传播过程中的情形很复杂，但根据傅里叶分解的数学方法，总可以把一般的、复 杂的波看成由许多不同频率的时谐平面波叠加而成。 因此， 时谐均匀平面波是研究光波的基 础，了解时谐平面波的表达式及其特征是很重要的。
利用矢量恒等式
( E ) ( E ) 2 E 2 式中， 称为拉普拉斯(Laplace)算符，在直角坐标系中的表达为 2 2 2 2 x2 y2 z2
并考虑到（1.2.1）式中的第一式，可得
2E E 2 0 t
第1章
光波的基ຫໍສະໝຸດ Baidu性质
19 世纪 70 年代，麦克斯韦(Maxwell)在总结电磁学中安培 (Ampere)定理、高斯 (Gauss) 定理、法拉第(Faraday)电磁感应定理等的基础上，提出了描述电磁现象普遍规律的麦克斯韦 方程组。 麦克斯韦建立的电磁理论， 不仅揭示了电磁现象的内在联系， 同时预言了电磁波(即 电磁扰动在空间的传播)的存在，而且把光学现象和电磁现象联系起来，指出光波是一种电 磁波。麦克斯韦的预言经过多次间接和直接的实验验证后，最终确立了光的电磁理论。 光的电磁理论相当精确地描述了光的传播，或者说完美地描述了光所表现出的波动本 性。本章基于光的电磁理论，介绍光波的基本特性、光在各向同性介质中的传播特性、光在 介质分界面上的反射和折射特性，以及光波的数学描述。





由于光的频率很高(例如可见光的频率为 10 Hz 量级)，所以 S 的大小随时间的变化很
14
S EH
（1.1.7）
快。而目前光探测器的响应时间都较慢 ( 例如响应最快的光电二极管，其响应时间也仅为
10 9 ~ 10 8 s )，远远跟不上光能量的瞬时变化，只能给出 S 的平均值。所以，实际上都利 用能流密度的时间平均值来表征光波的能量传播，称这个时间平均值为光强度，以 I 表示。
上式将描述介质光学性质的常数和描述介质电磁学性质的常数联系在一起了。 对于一般的非铁磁物质， r 1 。因此，折射率可表示为
n r
（1.2.8）
需要说明的是，对于一般介质， n 和 r 都是频率的函数，这将导致光的色散现象。 波动方程给出了每一个场矢量本身(比如电场强度 E )随时间和空间变化的规律。 每个波 动方程是由三个标量方程组成，只有解出 E x 、 E y 、 E z 后，才能由它们构成电矢量 E 。 若在所讨论的问题中， E 只含有一个分量，那么，矢量场的问题就可以完全转化成标 量场来处理了。在讨论光的干涉和衍射现象时，一般不必考虑光的振动方向，而只要知道振 幅的大小， 因而光波可以用标量波来表示。 在讨论光的偏振现象时， 要考虑光波的振动方向， 因而光波只能用矢量波来表示。
2
§2
光波的波函数
一 波动方程
麦克斯韦方程组描述了电磁现象的变化规律， 指出随时间变化的电场将在周围空间产生 变化的磁场， 随时间变化的磁场将在周围空间产生变化的电场， 变化的电场和磁场之间相互 联系、相互激发，并且以一定速度向周围空间传播。因此，时变电磁场就是在空间以一定速 度由近及远传播的电磁波。 从麦克斯韦方程组出发， 可导出电磁波的波动方程。 在无界的均匀透明介质中( 、 为 常数， 为零)，在远离辐射源的无源区域( 、 J 为零)，结合物质方程，可将麦克斯韦方 程组化简为
1
二 物质方程
光波在各种媒质中的传播过程实际上就是光与媒质相互作用的过程。 因此， 在运用麦克 斯韦方程组处理光的传播特性时，必须考虑媒质的属性，以及媒质对电磁场量的影响。描述 媒质特性对电磁场量影响的方程，即是物质方程：
D E H （1.1.3） B J E 其 中 ， 0 r 为 介 电 常 数 ， 描 述 媒 质 的 电 学 性 质 ， 0 是 真 空 中 介 电 常 数
2
（1.2.2）
令
v
则有
1

（1.2.3）
2 1 E 2E 2 0 v t2 1 2H H 2 0 v t2
2
（1.2.4）
用同样的方法可得
（1.2.5）
上面（1.2.2）和（1.2.5）式为描述电磁波传播的波动方程。这是典型的波动方程，表明了时 变电磁场是以速度 v 传播的电磁波动。 在真空中，电磁波的传播速度为
因此，边界条件可表示为
n ( D1 D2 ) 0 D1n D2 n B B n ( B1 B2 ) 0 1n 2n 或 （1.1.5） E E n ( E E ) 0 1 t 2 t 1 2 H 1t H 2t n ( H 1 H 2 ) 0 其中，下标 n 表示分界面的法向分量，下标 t 表示分界面的切向分量。 由前面四式可知， 在两种电介质的分界面上电磁场量不连续， 但 H 和 E 的切向分量、B 和 D 的法向分量则是连续的。
§1
电磁场基本方程
一 麦克斯韦方程组
D dS dV V S B dS 0 S （1.1.1） E dl B dS S t C D H dl ( J ) dS S t C 其中， E 、 D 、 B 、 H 分别表示电场强度、电感应强度(电位移矢量)、磁感应强度、磁场 强度， 是电荷体密度， J 是电流密度。 上述麦克斯韦方程组表达了任一封闭面 S 或闭合路径 C 上场的分布规律，其中包含着 电磁场中任一场量( E 、 D 、 B 、 H )彼此之间以及与电荷、电流分布( 、 J )之间在空间
( 8.8542 10
12
F m 1 )， r 是相对介电常数； 0 r 为介质磁导率，描述媒质的磁学
7
性质， 0 是真空中磁导率( 4 10
H m 1 )， r 是相对磁导率； 为电导率，描述媒质 的导电特性。对于理想导体， ；对于理想电介质（绝缘体） ， 0 。对于非铁磁性 物质， r 1 。对于各向同性介质， r 为一标量；而在各向异性介质中，比如晶体中， r 为一张量， D 与 E 一般不再同向。
和时间变化上的确定关系。 利用矢量分析和场论的一些定理，可以把这些积分形式的方程转换为对应的微分形式： 光波是一种时变电磁场， 时变电磁场的基本方程是麦克斯韦电磁方程组， 其积分形式为
D B 0 B E t D H J t 其中， 为梯度（nabla）算符，在直角坐标系下的表达式为 x0 y0 z0 x y z
在线性光学范畴内（弱光） ，介质的光学性质与光场强无关。当光强度较强时，光与介 质的相互作用过程会表现出非线性光学特性， 因而描述媒质光学特性的量不再是常数， 而应 是与光场强度有关的量， 例如介电常数应为 ( E ) 。 这种情况下的光学规律称为非线性光学， 它是现代光学的一个分支。

三 边界条件
2
四 电磁波的能流密度矢量
电磁场是一种特殊的物质。电磁场的能量密度为
w we wm
1 1 ED H B 2 2
（1.1.6）
伴随着电磁波在空间传播必定有能量的流动。 为了描述电磁能量的流动， 引入电磁能流 密度矢量——坡印廷(PoyniIlg) 矢量 S 。 S 的值表示在任一点处垂直于传播方向上的单位面 积上、 在单位时间内流过的能量， 在空间某点处 S 的方向就是该点处电磁波能量流动的方向。 运用能量守恒原理并根据麦克斯韦方程组，可得到 S 与场量 E 和 H 之间的关系：
c
1
0 0
2.99792 10 8 m / s
（1.2.6）
这个数值与实验中测出的真空中光速的数值非常接近。 历史上， 麦克斯韦正是以此作为重要 依据之一预言了光是一种电磁波。 光波在真空中的速度与在介质中的速度之比称为介质的折射率，记为 n ，即
n
c r r v
（1.2.7）
（1.1.2）
微分形式的麦克斯韦方程组将空间任一点的电场、磁场量与源量(电荷密度、电流密度 矢量)联系在一起，可以确定空间任一点的电、磁场。但是，微分形式只在媒质的物理性质 连续的区域内成立，在不连续的分界面上，应采用麦克斯韦方程组的积分形式。 由麦克斯韦方程组可知： 不仅电荷和电流是产生电磁场的源， 而且时变电场和时变磁场 互相激励，因此，时变电场和时变磁场构成了不可分割的统一整体——电磁场。一旦场源激 起了时变电磁场，电磁场将以有限的速度向远处传播，形成电磁波。 麦克斯韦方程组是电磁理论的核心， 是研究各种宏观电磁现象的理论基础。 从麦克斯韦 方程组出发，结合具体的边界条件及初始条件，可以定量地研究光的各种传播特性。

E 0 H 0 B H E t t H D E t t
（1.2.1）
将（1.2.1）第三式两边取旋度，并将第四式代入得
3
H E 2E ( E ) ( H ) ( ) 2 t t t t t
假设光探测器的响应时间为 ，则
I
1



0
1 Sdt E Hdt

0
（1.1.8）
光强的单位为 W / m 。 光波作为信息的载体有其特殊的灵活性， 它不仅可以进行强度调制， 也可以进行偏振态 调制和相位调制；而且，除了可以按时间为序传递信息外，还可以进行二维的空间调制，从 而直接传递整幅图像的信息。基于激光的“光信息处理”研究，近年来已取得很大进展，并 在航天技术和军事上获得较重要的应用。然而，光波的强度、偏振态、相位、频率的变化虽 然都反映了一定的信息，但对于光波中所包含的信息的检测目前只能通过光强的测量来实 现。例如，光波中相位的变化，将在光的干涉现象中反映为光强在空间位置上的变化；偏振 态的改变将使光强在空间方向上的分配产生变更； 光波频率的改变则会使光强在频谱图上的 分布改变；而光波的瞬态变化则可以利用傅里叶变换使之转换成频率域中的变化而测量之。 总之， 光波中的各种信息都是利用光强的变化来测量的， 这是目前进行光学研究和光学测量 中的最具有特殊性的特点。
在物理性质不连续的两种媒质的分界面上，电磁场量不再连续，但存在一定的关系。利 用麦克斯韦方程组的积分形式可以得到场量应满足的边界条件。 边界条件实质上是场方程在 边界上所取的特殊形式。 由积分形式的麦克斯韦方程组可导出时变电磁场在两媒质分界面上边界条件的一般形 式：
n ( D1 D2 ) S n ( B1 B2 ) 0 （1.1.4） n ( E1 E 2 ) 0 n ( H 1 H 2 ) J S 式中， n 为在分界面上由第二媒质指向第一媒质的单位法向矢量， S 为分界面上面电荷密 度， J S 为分界面上面电流密度。 在光学中， 常见的是两种电介质的分界面。 在两种电介质的分界面， 有 JS 0 ， S 0 。