水文水资源水环境模糊性分析

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人们为了表达和传递知识而使用的语言广泛渗透着模糊性, 用最少的词汇表达尽可能多的信息。现实世界中的事物在表现形 式和表现程度上均具有某种模糊性。模糊性概念本身是人脑智能 的一种体现,具有一定的主观性,也是对客观事物的真实反映。 Zadeh指出:“当系统的复杂性日趋增长时,我们作出系统特性 的精确且有意义的描述能力将相应降低,直到复杂性超过某个阈 值,精确与有意义性将变成两个几乎相排斥的特性”。这种人类 思维和语言中模糊性和精确性之间的辩证关系,意味着系统的复 杂性越高,有意义的精确化能力便越低,概念上过分的精确反倒 意义模糊,概念上适当的模糊反而意义精确,过分的精确往往带 来数学手段的复杂化,适当的模糊往往意味着数学手段的简单化。 精确性和模糊性是一切系统普遍具有的两重性,科学的方法应是 能真实反映系统,按系统自身演化规律处理问题。精确方法和模 糊方法都可作为科学方法,在一定范围内,精确方法是更科学的 方法,而在另一范围内,模糊方法则是更有效的科学方法。
z
um
~
(
x)

un
~
(
y)
作业
对于
2
~
、6 ~
的截集分别为
[2,5] 1 2 [1.5,5.5] 0.75 ~ [1,6] 0.5

6 2
~~
6 2
~~
6 2
~~
6 / 2
~~
[6,9] 1 6 [5.5,9.5] 0.75 ~ [5,10] 0.5
A
~
的隶属函数,函数值u()称为元素x隶
属于
A
~
的隶属度,表示元素x符合某特定属性的程度。隶属函数承
认论域上的不同元素对同一集合有不同的隶属程度,用以对属于关
系的量的规定性进行度量。
隶属函数是论域中元素与隶属度的对应关系,模糊集由隶属函
数完全确定。模糊集与隶属函数等价,其中一个重要性质是它们能
表示从集合的成员到非成员的渐变过程,这种表示能力具有广泛的
3 常用的模糊隶属函数
(1) 戒上型(偏小型) a 降半型分布
u
A
~
(
x)

e
k
(
x
1
c)
0 xc x c, k 0
b 降半正态分布
u
A
~
(x)


1
e
A
~
的全
体元素间的排序与整体间的关系。
例: E={x1,x2,x3,x4,x5},A~ {漂亮的时装}
已知 u A(x1) 0.7,uA(x2 ) 0.9,uA(x3) 0.6,uA(x4 ) 0.4,uA(x1) 0.0
~
~
~
~
~

A
~

0.7 x1

0.9 x2

0.6 x3
1 模糊集(Fuzzy Set)
同本质属性的全体事物的总和,构成集合,A。模糊集是 清晰集合在概念上的拓广,清晰集合是模糊集的一种特殊形 式。集合实质上规定了所讨论对象与所研究属性之间的一种 关系。
(1) 数学定义
经典集合论中一个元素属于或不属于某一集合,用特征 函数来表示。设E为论域,A为E中的一个子集。集合A的特
a. 系统非常复杂,各要素间存在多种关系,包括各种不确定 性,其中就有模糊性;
b. 对水文系统进行精确地刻画。系统愈复杂,描述的精确性 愈差。形成一对矛盾。对系统进行模糊性描述,有助于解决这一 矛盾。
2) 水文水资源系统中的模糊现象 a. 汛期划分
非汛期
汛期
非汛期
1月1日 5月1日
10月31日 12月31日
应用价值,使得我们能用很自然的语言来概括要表达本来是非常不
精确的含义。可见,隶属函数对将经典集合推广为模糊集合起到了
十分重要的作用。
uA : E [0,1]
~
x uA(x)
~
元素x隶属于模糊集
A
~
的程度,简称隶属度。
模糊集 A~ 的隶属函数
u A ( x)
1~
x
(2) 含义
模糊集 A 完全由隶属度 uA(x) 确定。
~
~

0
u
A
~
(
x)

1


x
50 5
2

1
0 x 50 50 x 200
u A ( x)
~
1
50
100 x

1
u
B
~
(
x)

1


x
25 5
2

1
0 x 25 25 x 200
征函数记为A:E{0,1} (或称E到{0,1}的映射)

A
(
x)

1 0
x A x A
仿照经典集合论,模糊集可以定义为:设E为论域,它确定了
一个模糊子集 A 。E到闭区间[0,1]的任一映射 uA :
~
~
uA : E [0,1]
~
x uA(x)
~
式中,函数u()称为模糊集
a. 模糊数学; b. 模糊评价; c. 模糊预测;d. 模糊控制; e.人工智能(模糊推理、专家系统和计算机的结合)。
3) 完善 a. 模糊与神经网络结合; b. 模糊与混沌结合; c. 模糊与灰色、随机结合。
4 模糊水文学 1) 水文水资源系统具有模糊性
水文学
工程水文学
资源水文学 (为自然、社会、技术、经济服务)
三、隶属函数
1 模糊统计法
以汛期为例
对降雨资料逐年统计。设时间t 被汛期的覆盖次数为mt, 则t 对汛期 的隶属A 频率或统计隶属度为
~
u A (t )
~

mt n
其中,n 为样本数。
2 专家经验法
根据专家的经验确定。 这是一种以专家的主观判断为基础的方法,常用的方法有评分法、
分等方法、德尔菲法、加权评分法、优序法等。这类方法一般也是经 过长期积累、能近似反映事物客观规律的方法,具有一定的科学性, 又由于比较简单,因而得到了广泛的应用。其优点是简单方便,易于 使用;不足之处是该类方法主观性太强。因此,该类方法往往用于确 定一些不太复杂的模糊集。
第三讲 水文水资源水环境中的模糊分析法
• 基本概念 • 模糊分析的数学知识 • 隶属度函数 • 模糊关系分析 • 模糊评价 • 模糊预测
一、基本概念
1 模糊性
经典集合论中,一个元素属于或不属于某一集合是确 定的。事实上,由于人们认识的不确定性,或者概念、边 界的不确定性,某一元素是否属于某一集合并不是确定的。 这种不确定性称为模糊性。
~ ~ ~ ~~ ~
4 截集
(1) 定义
设论域E,A~ 为E中的一模糊集。对于[0,1]有
( A)
~

A


x
|
u
A
~
(
x)


,
x

E

则称A为
A
~
的截集或水平集。
A为清晰集合。
u A ( x)
1~

(2) 意义
x
将模糊集与清晰集合建立一种联系。隶属函数和模糊集的截集
~
~
u A ( x)
~
越大,表示x属于模糊集
A
~
的程度越大。反之亦然。
它是模糊集合论的基石。
2 模糊集的表示
(1) Zadeh表示法 设E={x1,x2,…,xn}
uA(x1) uA(x2 )
uA(xn )
A ~
~
~
~
x1
x2
xn
不代表分子式,表示一种对应关系。
表示论域上组成模糊集
模糊性已日益成为重要的水文水资源系统复杂性特征,对这 些模糊性的定量处理也日益成为水文水资源学科理论与实践研究 的前沿领域。
模糊集分析方法在水文水资源学中得 到了广泛的研究和应用,取得了显著进展。 目前的主要内容有:
水文模糊模式识别 模糊聚类 糊综合评价 模糊决策分析 模糊预测和模糊推理
二、模糊分析的数学知识

0.4 x4

0.0 x5
可以不写
(2) 矢量表示法
A
~


u
A
~
(
x1
),
u
A
~
(
x2
),,
u
A
~
(
xn
)

上例中,A 0.7,0.9,0.6,0.4,0
~
必须写
(3) 函数描述法
用隶属函数表示。
例:年龄作为论域,即E=[0,200]。设 A {年老} ,B {年轻} ,则
uB (x)
1~
3 模糊集的运算
25
x
(1) A B uAB (x) uA(x) uB (x) 表示取“最小值”
~~
~~
~
~
(2) A B
~~
uAB (x) uA(x) uB (x)
~~
~
~
表示取“最大值”
(3)
Ac
~

u Ac
~
( x)
1 uA(x)
~
3 模糊性分析方法
1) 形成
1965年美国著名教授Zadeh首次提出了模糊数学和模 糊控制的概念,并给出了模糊集(Fuzzy Sets)、模糊算法 (Fuzzy Algorithm)、模糊控制(Fuzzy Control)等相关理论。
2) 发展
20世纪60年代末到90年代初,短短20多年,形成一支 独秀的模糊系统分析方法,并在各个领域得到了广泛的 应用。其内容包括:
模糊翻译于“Fuzzy”。英文是这样来解释的: Indistinct in shape or outline
(1) 定义 概念、边界外延的不确定性。
(2) 举例 a. 身材较高,概念不明确; b. 年老、年轻;杜甫在《曲江》有诗为证:“酒债寻
常行处有,人生七十古来稀”; c. 可靠、不可靠; d. 爱; e.径流丰中枯、洪水大中小;
汛期是一个边界模糊不确定的概念,河流由非汛期开始逐步过渡 到汛期,再由汛期逐渐过渡至非汛期,其间存在着两个过渡阶段(十 字星处)。
b. 水质分类
c. 径流丰、枯分类
d. 干旱分类
湿润
干旱
e. 洪水分类
大洪水
中洪水 小洪水
3) 模糊水文学
研究水文水资源现象模糊性的一门学科。 大连理工大学陈守煜教授作了开创性工作,取得了大量的 成果。形成了模糊水文学。 模糊水文学具有坚实的数学基础。
表示补
例:论域E={x1,x2,x3,x4,x5}。E上有两个模糊子集
A,
~
B
~
A 0.85 0.93 0.89 0.91 0.96 ~ x1 x2 x3 x4 x5
B 0.92 0.96 0.87 0.93 0.94 ~ x1 x2 x3 x4 x5
求 A B A B Ac Bc
,
~~
um
~
n
~~
(z)


x y
z
um
~
(x)

un
~
(
y)



um
~
n
~~
(z)


x y
z
um
~
(
x)

un
~
(
y)

, /
~~


um
~
n
~~
(z)


x y
z
um
~
(
x)

un
~
(
y)


um
~
/n
~~
(Leabharlann z)x/ y
f. 干净、脏。 “模糊”比“清晰”所拥有更多的信息量,内涵更丰
富2。哲学基础
差异都在中间阶段融合,对立都在中间阶段相互过渡。
过渡
对立 一方
对立 另一

概念的外延不一定精确的性质称为单一概念的模糊性,两客观事物 或两概念处于共维条件下的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼”性 称为概念之间的模糊性。具有模糊性的现象称为模糊现象。模糊性是排 中律的破缺而造成的不确定性。模糊性来源于事物类属的不确定性,事 物类属的不确定性来源于事物性态的不确定性(事物在一定程度上具有 某种性态,又不完全具有那种性态,对象资格程度具有渐变性)。恩格 斯在《自然辩证法》在论述自然系统演化过程中指出:“一切差异都在 中间阶段融合,一切对立都经过中间环节而互相过渡。辩证法不知道什 么绝对分明的和固定不变的界限,不知道什么无条件的普遍有效的‘非 此即彼。在适当的地方承认‘亦此亦彼’,并且使对立互为中介”。从 差异的一方到差异的另一方,中间经历了一个从量变到质变的连续过渡 的过程。这种现象称为差异的中介过渡性,由这种中介过渡性导致划分 上的不确定性就是模糊性。自然界中中介过渡性是普遍存在的。恩格斯 的这些论述深刻揭示了不同类属之间的区别标志都是相对的、不确定的, 类与类之间界限都是模糊的和可变的,深刻揭示了模糊性的客观性、普 遍性。现实世界中这些普遍存在着大量的模糊性现象和模糊信息,反映 在人的认识上则普遍存在着模糊的语言、概念和思维。
例如:“高”这个概念,某人身高170cm,它属于高的 范畴吗?又如:“汛期”这个集合,5月1日属于汛期吗?
“模糊”是人类感知万物、获取知识、思维推力、决 策实施的重要特征。“模糊”无处不在。其根源在于客观 事物的差异之间存在着中介过渡的“亦此亦彼”性。经典 集合论是一种简单处理方式,即给出确定的范围。
运算,就关于模糊性与精确性在一定条件下彼此相互转换过程中充 当了桥梁作用。
5 模糊数
(1) 定义
截集构成的闭区间数,称为模糊数,记为 x 。
~
如右图所示,=0.3时的模糊数为:
x0.3 [1.5,4.5]
~
(2) 运算
有四种运算:
,
~
,
~
,
~
/
~
1 uA(x)
~
0.3
1.5
4.5 x
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