水文水资源水环境模糊性分析

3 模糊性分析方法
1) 形成
1965年美国著名教授Zadeh首次提出了模糊数学和模 糊控制的概念，并给出了模糊集(Fuzzy Sets)、模糊算法 (Fuzzy Algorithm)、模糊控制(Fuzzy Control)等相关理论。
2) 发展
20世纪60年代末到90年代初，短短20多年，形成一支 独秀的模糊系统分析方法，并在各个领域得到了广泛的 应用。其内容包括：
表示补
例：论域E={x1,x2,x3,x4,x5}。E上有两个模糊子集
A,
~
B
~
A 0.85 0.93 0.89 0.91 0.96 ~ x1 x2 x3 x4 x5
B 0.92 0.96 0.87 0.93 0.94 ~ x1 x2 x3 x4 x5
求 A B A B Ac Bc
例如：“高”这个概念，某人身高170cm，它属于高的 范畴吗？又如：“汛期”这个集合，5月1日属于汛期吗？
“模糊”是人类感知万物、获取知识、思维推力、决 策实施的重要特征。“模糊”无处不在。其根源在于客观 事物的差异之间存在着中介过渡的“亦此亦彼”性。经典 集合论是一种简单处理方式，即给出确定的范围。
A
~
的隶属函数，函数值u()称为元素x隶
属于
A
~
的隶属度，表示元素x符合某特定属性的程度。隶属函数承
认论域上的不同元素对同一集合有不同的隶属程度，用以对属于关
系的量的规定性进行度量。
隶属函数是论域中元素与隶属度的对应关系，模糊集由隶属函
数完全确定。模糊集与隶属函数等价，其中一个重要性质是它们能
表示从集合的成员到非成员的渐变过程，这种表示能力具有广泛的
A
~
的全
体元素间的排序与整体间的关系。
例： E={x1,x2,x3,x4,x5}，A~ {漂亮的时装}
已知 u A(x1) 0.7，uA(x2 ) 0.9，uA(x3) 0.6，uA(x4 ) 0.4，uA(x1) 0.0
~
~
~
~
~
则
A
~

0.7 x1

0.9 x2

0.6 x3
运算，就关于模糊性与精确性在一定条件下彼此相互转换过程中充 当了桥梁作用。
5 模糊数
(1) 定义
截集构成的闭区间数，称为模糊数，记为 x 。
~
如右图所示，=0.3时的模糊数为：
x0.3 [1.5,4.5]
~
(2) 运算
有四种运算：
,
~
,
~
,
~
/
~
1 uA(x)
~
0.3
1.5
4.5 x
三、隶属函数
1 模糊统计法
以汛期为例
对降雨资料逐年统计。设时间t 被汛期的覆盖次数为mt， 则t 对汛期 的隶属A 频率或统计隶属度为
~
u A (t )
~

mt n
其中，n 为样本数。
2 专家经验法
根据专家的经验确定。 这是一种以专家的主观判断为基础的方法，常用的方法有评分法、
分等方法、德尔菲法、加权评分法、优序法等。这类方法一般也是经 过长期积累、能近似反映事物客观规律的方法，具有一定的科学性， 又由于比较简单，因而得到了广泛的应用。其优点是简单方便，易于 使用；不足之处是该类方法主观性太强。因此，该类方法往往用于确 定一些不太复杂的模糊集。
第三讲 水文水资源水环境中的模糊分析法
• 基本概念 • 模糊分析的数学知识 • 隶属度函数 • 模糊关系分析 • 模糊评价 • 模糊预测
一、基本概念
1 模糊性
经典集合论中，一个元素属于或不属于某一集合是确 定的。事实上，由于人们认识的不确定性，或者概念、边 界的不确定性，某一元素是否属于某一集合并不是确定的。 这种不确定性称为模糊性。
,
~~
um
~
n
~~
(z)


x y
z
um
~
(x)

un
~
(
y)



um
~
n
~~
(z)


x y
z
um
~
(
x)

un
~
(
y)

, /
~~


um
~
n
~~
(z)


x y
z
um
~
(
x)

un
~
(
y)


um
~
/n
~~
(
z)

x

/ y
z
um
~
(
x)

un
~
(
y)
作业
对于
2
~
、6 ~
的截集分别为
[2,5] 1 2 [1.5,5.5] 0.75 ~ [1,6] 0.5
求
6 2
~~
6 2
~~
6 2
~~
6 / 2
~~
[6,9] 1 6 [5.5,9.5] 0.75 ~ [5,10] 0.5
~ ~ ~ ~~ ~
4 截集
(1) 定义
设论域E，A~ 为E中的一模糊集。对于[0,1]有
( A)
~

A


x
|
u
A
~
(
x)


,
x

E

则称A为
A
~
的截集或水平集。
A为清晰集合。
u A ( x)
1~

(2) 意义
x
将模糊集与清晰集合建立一种联系。隶属函数和模糊集的截集
f. 干净、脏。 “模糊”比“清晰”所拥有更多的信息量，内涵更丰
富2。哲学基础
差异都在中间阶段融合，对立都在中间阶段相互过渡。
过渡
对立 一方
对立 另一
方
概念的外延不一定精确的性质称为单一概念的模糊性，两客观事物 或两概念处于共维条件下的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼”性 称为概念之间的模糊性。具有模糊性的现象称为模糊现象。模糊性是排 中律的破缺而造成的不确定性。模糊性来源于事物类属的不确定性，事 物类属的不确定性来源于事物性态的不确定性（事物在一定程度上具有 某种性态，又不完全具有那种性态，对象资格程度具有渐变性）。恩格 斯在《自然辩证法》在论述自然系统演化过程中指出：“一切差异都在 中间阶段融合，一切对立都经过中间环节而互相过渡。辩证法不知道什 么绝对分明的和固定不变的界限，不知道什么无条件的普遍有效的‘非 此即彼。在适当的地方承认‘亦此亦彼’，并且使对立互为中介”。从 差异的一方到差异的另一方，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡 的过程。这种现象称为差异的中介过渡性，由这种中介过渡性导致划分 上的不确定性就是模糊性。自然界中中介过渡性是普遍存在的。恩格斯 的这些论述深刻揭示了不同类属之间的区别标志都是相对的、不确定的， 类与类之间界限都是模糊的和可变的，深刻揭示了模糊性的客观性、普 遍性。现实世界中这些普遍存在着大量的模糊性现象和模糊信息，反映 在人的认识上则普遍存在着模糊的语言、概念和思维。

0.4 x4

0.0 x5
可以不写
(2) 矢量表示法
A
~


u
A
~
(
x1
),
u
A
~
(
x2
),,
u
A
~
(
xn
)

上例中，A 0.7,0.9,0.6,0.4,0
~
必须写
(3) 函数描述法
用隶属函数表示。
例：年龄作为论域，即E=[0,200]。设 A {年老} ，B {年轻} ，则
应用价值，使得我们能用很自然的语言来概括要表达本来是非常不
精确的含义。可见，隶属函数对将经典集合推广为模糊集合起到了
十分重要的作用。
uA : E [0,1]
~
x uA(x)
~
元素x隶属于模糊集
A
~
的程度，简称隶属度。
模糊集 A~ 的隶属函数
u A ( x)
1~
x
(2) 含义
模糊集 A 完全由隶属度 uA(x) 确定。
uB (x)
1~
3 模糊集的运算
25
x
(1) A B uAB (x) uA(x) uB (x) 表示取“最小值”
~~
~~
~
~
(2) A B
~~
uAB (x) uA(x) uB (x)
~~
~
~
表示取“最大值”
(3)
Ac
~

u Ac
~
( x)
1 uA(x)
~
模糊翻译于“Fuzzy”。英文是这样来解释的： Indistinct in shape or outline
(1) 定义 概念、边界外延的不确定性。
(2) 举例 a. 身材较高，概念不明确； b. 年老、年轻；杜甫在《曲江》有诗为证：“酒债寻
常行处有，人生七十古来稀”; c. 可靠、不可靠； d. 爱； e.径流丰中枯、洪水大中小；
~
~
u A ( x)
~
越大，表示x属于模糊集
A
~
的程度越大。反之亦然。
它是模糊集合论的基石。
2 模糊集的表示
(1) Zadeh表示法 设E={x1,x2,…,xn}
uA(x1) uA(x2 )
uA(xn )
A ~
~
~
~
x1
x2
xn
不代表分子式，表示一种对应关系。
表示论域上组成模糊集
汛期是一个边界模糊不确定的概念,河流由非汛期开始逐步过渡 到汛期，再由汛期逐渐过渡至非汛期，其间存在着两个过渡阶段(十 字星处)。
b. 水质分类
c. 径流丰、枯分类
d. 干旱分类
湿润
干旱
e. 洪水分类
大洪水
中洪水 小洪水
3) 模糊水文学
研究水文水资源现象模糊性的一门学科。 大连理工大学陈守煜教授作了开创性工作，取得了大量的 成果。形成了模糊水文学。 模糊水文学具有坚实的数学基础。
人们为了表达和传递知识而使用的语言广泛渗透着模糊性， 用最少的词汇表达尽可能多的信息。现实世界中的事物在表现形 式和表现程度上均具有某种模糊性。模糊性概念本身是人脑智能 的一种体现，具有一定的主观性，也是对客观事物的真实反映。 Zadeh指出：“当系统的复杂性日趋增长时，我们作出系统特性 的精确且有意义的描述能力将相应降低，直到复杂性超过某个阈 值，精确与有意义性将变成两个几乎相排斥的特性”。这种人类 思维和语言中模糊性和精确性之间的辩证关系，意味着系统的复 杂性越高，有意义的精确化能力便越低，概念上过分的精确反倒 意义模糊，概念上适当的模糊反而意义精确，过分的精确往往带 来数学手段的复杂化，适当的模糊往往意味着数学手段的简单化。 精确性和模糊性是一切系统普遍具有的两重性，科学的方法应是 能真实反映系统，按系统自身演化规律处理问题。精确方法和模 糊方法都可作为科学方法，在一定范围内，精确方法是更科学的 方法，而在另一范围内，模糊方法则是更有效的科学方法。
3 常用的模糊隶属函数
(1) 戒上型(偏小型) a 降半型分布
u
A
~
(
x)

e
k
(
x
1
c)
0 xc x c, k 0
b 降半正态分布
u
A
~
(x)


1
e
~
~

0
u
A
~
(
x)

1


x
50 5
2

1
0 x 50 50 x 200
u A ( x)
~
1
50
100 x

1
u
B
~
(
x)

1


x
25 5
2

1
0 x 25 25 x 200
a. 模糊数学； b. 模糊评价； c. 模糊预测；d. 模糊控制； e.人工智能(模糊推理、专家系统和计算机的结合)。
3) 完善 a. 模糊与神经网络结合； b. 模糊与混沌结合； c. 模糊与灰色、随机结合。
4 模糊水文学 1) 水文水资源系统具有模糊性
水文学
百度文库工程水文学
资源水文学 (为自然、社会、技术、经济服务)
征函数记为A：E{0,1} (或称E到{0,1}的映射)

A
(
x)

1 0
x A x A
仿照经典集合论，模糊集可以定义为：设E为论域，它确定了
一个模糊子集 A 。E到闭区间[0,1]的任一映射 uA :
~
~
uA : E [0,1]
~
x uA(x)
~
式中，函数u()称为模糊集
模糊性已日益成为重要的水文水资源系统复杂性特征，对这 些模糊性的定量处理也日益成为水文水资源学科理论与实践研究 的前沿领域。
模糊集分析方法在水文水资源学中得 到了广泛的研究和应用，取得了显著进展。 目前的主要内容有：
水文模糊模式识别 模糊聚类 糊综合评价 模糊决策分析 模糊预测和模糊推理
二、模糊分析的数学知识
1 模糊集（Fuzzy Set）
同本质属性的全体事物的总和，构成集合，A。模糊集是 清晰集合在概念上的拓广，清晰集合是模糊集的一种特殊形 式。集合实质上规定了所讨论对象与所研究属性之间的一种 关系。
(1) 数学定义
经典集合论中一个元素属于或不属于某一集合，用特征 函数来表示。设E为论域，A为E中的一个子集。集合A的特
a. 系统非常复杂，各要素间存在多种关系，包括各种不确定 性，其中就有模糊性；
b. 对水文系统进行精确地刻画。系统愈复杂，描述的精确性 愈差。形成一对矛盾。对系统进行模糊性描述，有助于解决这一 矛盾。
2) 水文水资源系统中的模糊现象 a. 汛期划分
非汛期
汛期
非汛期
1月1日 5月1日
10月31日 12月31日