高中数学：1.3.2《球的表面积和体积》课件(新人教A版必修2)
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高中数学1.3.2球的体积和表面积课件新人教A版必修)
3 4 3 解析： V＝ Sh＝ πr h＝ πR ， R＝ 64× 27＝ 12. 3
2
答案：12
能力提升 7．(2009 年中山市学业水平测试)把一个铁制的底面半径为 r，高为 h 的实心圆锥熔化后 铸成一个铁球，则这个铁球的半径为 ( C ) 2 3 2 2 r h rh rh rh (A) (B) (C) (D) 2 4 4 2
球的截面问题 【例 1】 已知球的两平行截面的面积为 5π 和 8π，它们位于球心的同一侧，且相距为 1， 求这个球的表面积和体积．
思路点拨：要求球的表面积和体积，只需求出球的半径，因此要抓住球的截面这个条件．
解：如图所示，设以 r1 为半径的截面面积为 5π，圆心为 O1 ，以 r2 为半径的截面面积为 8π，圆心为 O2， O1 O2＝ 1，球的半径为 R，设 OO2＝ x，可得下列关系式： 2 2 2 2 2 2 r2 ＝ R － x ， πr2 ＝ π(R － x )＝ 8π， r1 2 ＝ R2－ (x＋ 1)2，πr1 2＝ π[R2－ (x＋ 1)2 ]＝ 5π， ∴ R2－ x2＝ 8， R2 －(x＋ 1)2＝ 5，解得 R＝ 3. 球的表面积为 S＝ 4πR2＝ 4π× 32＝ 36π， 4 3 4 3 球的体积为 V＝ πR ＝ π× 3 ＝ 36π. 3 3 有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面当中圆的有 关问题解决，此题要注意分截面在球心的同侧和两侧讨论．
2．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则 这个球的表面积是 ( B ) (A)25π (B)50π (C)125π (D)以上都不对
解析：长方体的体对角线是球的直径，体对角线长 l＝ 32＋ 42＋ 52＝ 5 2，2R＝ 5 2，R 5 2 2 ＝ ， S＝ 4πR ＝ 50π. 2
高一数学人教A版必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积
多得10分,是考试中最不该失分的地方.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
高中数学人教A版必修二1.3.2《球的体积和表面积》ppt课件
《考向标》P18－ P20
编后语
果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
研读教材P23 思考部分 1. 球的体积与表面积公式；
2. 完成P27例4的证明，体会公式的运用； “圆柱的底面直径与高都等于球的直径， 求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积。”
3. 自我检测：P28 练习 T1，T2
例1：已知⊙O1是半径为R的球O的小圆，且⊙O1的
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
高中数学：1.3.2《球的表面积和体积》课件(新人教A版必修2)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1 :
4 倍.
4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1 : 2 2 .
高中数学பைடு நூலகம்1.3.2《球的表 面积和体积》课件（新人 教A版必修2）
1.3.2球的表面积和体积
球
人类的家－－地球
人类未来的家－－火星
探索火星的航天飞船
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且 涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？ 为什么？
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则 哪一个球充入的气体较多？为什么？
3
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
知识小结 1.球的体积和表面积的推导方法： 分割 求近似和
化为准确和
2.影响球的表面积及体积的只有一个元 素，就是球的半径.
球的体积 已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A A
r3
B2
O
O
C2
r2
r1
r1
2R 2 R 2 2 R R, r2 R ( ) , r3 R ( ) . n n
2
2
球的体积 A
ri
O
R ( i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
提出问题
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
人教A版高中数学必修二 1.3.2球的表面积和体积 课件
的玻璃小球浸没于容器的水中。若同时取出这两个小
球，则容器中的水面将下降
5
cm.
3
5、半径为R的三个小球两两外切放在桌面上，与这三 个小球都外切的第四个小球与桌面也相切，求这个小 球的半径。
6、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们截得
的面积分别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积。
7.如图是一个奖杯的三视图,单位是cm，
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
练一练
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍2 .
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4倍.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2. 2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3. 4
所以这个奖杯的体积为
V=1828.76cm3
8、如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直 径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求 该几何体的表面积和体积。 (其中BAC 30 )
A
O C
B
A
O
O1
C
B
R
R
r
l
R
A O1 l B
o
O
＝ 1
2 V球
R2 R 1 R2 R
3
球的体积计算公式：
V球
4
3
球的表面积公式
S1
R
4 R3
3
V球
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
1 3
RS球面
S球面 4R2
例1：某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径 等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实 心的还是空心的．如果是空心的，请你计算出 它的内径（π取3.14，结果精确到1cm）．
1.3.2 球的体积和表面积课件新人教A版必修2高中数学
2
)
7 2 B. πa 3 D．5πa2
11 2 C. πa 3
解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与 底面边长相等，均为 a.如图，P 为三棱柱上底面的 2 3 3 中心，O 为球心，易知 AP＝ × a＝ a，OP＝ 3 2 3
3 1 7 2 2 1 2 2 a，所以球的半径 R＝OA 满足 R ＝ a ＋ 2a ＝ a ，故 2 12 3
解：(1)∵直径为 2，∴半径 r＝1，∴表面积 S 球＝4πr2＝ 4 3 4 4 3 4π×1 ＝4π，体积 V 球＝ πr ＝ π×1 ＝ π. 3 3 3
2
4 3 108 (2)∵V 球＝ πr ＝ π，∴r3＝27，r＝3，∴S 球＝4π×32＝ 3 3 36π.
2．两个球的半径之比为 1∶3，那么两个球的表面积之比为( A．1∶9 C．1∶3 B．1∶27 D．1∶1
答案：16π
1.探究与球有关的组合问题
[典例] 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且
一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为 ________．
[解析]
长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，
即 2R＝ 12＋22＋32＝ 14，所以球的表面积 S＝4πR2＝14π.
[答案]
∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S 球＝4πR2＝4πh2， S圆锥侧 2 5πh2 5 ∴ ＝ ＝ . 4πh2 2 S球
球的截面问题
[例 3] 已知球的两平行截面的面积为 5π 和 8π，它们位
于球心的同一侧，且相距为 1，求这个球的表面积．
[解] 如图所示，设以 r1 为半径的截面面积为 5π，以 r2
)
7 2 B. πa 3 D．5πa2
11 2 C. πa 3
解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与 底面边长相等，均为 a.如图，P 为三棱柱上底面的 2 3 3 中心，O 为球心，易知 AP＝ × a＝ a，OP＝ 3 2 3
3 1 7 2 2 1 2 2 a，所以球的半径 R＝OA 满足 R ＝ a ＋ 2a ＝ a ，故 2 12 3
解：(1)∵直径为 2，∴半径 r＝1，∴表面积 S 球＝4πr2＝ 4 3 4 4 3 4π×1 ＝4π，体积 V 球＝ πr ＝ π×1 ＝ π. 3 3 3
2
4 3 108 (2)∵V 球＝ πr ＝ π，∴r3＝27，r＝3，∴S 球＝4π×32＝ 3 3 36π.
2．两个球的半径之比为 1∶3，那么两个球的表面积之比为( A．1∶9 C．1∶3 B．1∶27 D．1∶1
答案：16π
1.探究与球有关的组合问题
[典例] 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且
一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为 ________．
[解析]
长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，
即 2R＝ 12＋22＋32＝ 14，所以球的表面积 S＝4πR2＝14π.
[答案]
∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S 球＝4πR2＝4πh2， S圆锥侧 2 5πh2 5 ∴ ＝ ＝ . 4πh2 2 S球
球的截面问题
[例 3] 已知球的两平行截面的面积为 5π 和 8π，它们位
于球心的同一侧，且相距为 1，求这个球的表面积．
[解] 如图所示，设以 r1 为半径的截面面积为 5π，以 r2
人教版必修二数学课件：1.3 球表面积和体积 (共14张PPT)
y-3 y-2 y 3b y y1-y2 x1+x2 (x1+x2)(y1-y2) y1-y2 y-4 16 x1-x2 0-4 0-3 -4-2 -2 2 x-4 x1-x2 2
AM PC BB BB BB BB MN MN MN MN a b a b a b AB AB PA· PB=0 AB'×PC PB×PC AM PC m n m n BM· PC m· n EC· n PM· n | |· · · ① 则 sin=| 则cos = |m|· 则 d=| |· · · ① |· · · ① · · · ① |BM|· |PC| | n| |n| |PM|· |n| a· b · m| · y = y = B 甲= b= b= b=b= 则d=| AB · · ① | m| |a|· |b| 8 8 8 0 Lim 8 8 8 | -1 △x→∞ 5 2= x i i=1
例3. 两个平行的球小圆面积为49 和400 , 它们之间的距离为9, 求球的半径. r1 o1 A 2 解: r1 =49 => r1=7 r2 o2 B o r22=400 => r2=20
① O1O2=9 => O1O - O2O=9 R2 -72 - R2 -202 =9, R=25 ② O1O2=9 => O1O+O2O=9 R2 -72 + R2 -202 =9, 无解 r1 o1 A B
$5.球的表面积和体积
1. 球的表面积: S球=4 R2 4 2. 球的体积: V球= 3 R3
例1. ①圆柱形玻璃瓶的内径为6cm, 内装有 8cm 高的水, 浸入一个铁球后 水面升高到 8.5 cm, 求铁球的表面积.
3 r 解: V柱=V球 => R2h= 4 3 3 => r= 3 32· 0.5=4 r · 2 3 S球= 4 r2 =9 (cm2)
高中数学人教版必修二：1.3.2《球的体积与表面积》课件
D1
C1
A1
B1
表面积为 4 ( 3 a) 2 3 a 2 2
典例展示
由三视图求几何体的体积和表面积 2r
例5.（2015年新课标I）圆柱被一 个平面截去一部分后与半球(半 径为r)组成一个几何体，该几何 体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则r=（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 8
正视图
侧视图
1 （ A） 8 1 （ C） 6
1 （B） 7 1 （ D） 5
俯视图
【解析】由三视图得，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，截去四面体 A A1B1D1，如图所示， 设正方体棱长为 a 则 VA A B D
1 1 1
D1
C1
A1
B1
【答案】D
1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5
2 V球 = V柱 3
与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.
典例展示
例3.求棱长为
a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1
分析：正方体的中心为球的球心， 正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为
4 3 所以球的体积为 a . 3
1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a a a 6 6
3
1 1 3 1 3 a a 3 2 6
一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表 面积 展开图
圆柱 S 2r (r l ) 圆台S (r2 r 2 rl rl )
圆锥 S r (r l )
球的表面积和体积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
球表面积公式：
球体积公式：
解 设球的半径为R，则4πR2＝4π，解得R＝1，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.
c
题型一 球的表面积与体积
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍.(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 倍.(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 .(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 .
正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。
三、正方体的外接球
例4、一个球过这个棱长为2的正方体的各个顶点，求这个球的表面积.
正方体的内切球，棱切球，外接球
三个球心合一
半径之比为：
长方体的外ห้องสมุดไป่ตู้球
对角面
例5、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A．25π B． 50π C． 125π D．都不对
练习
随堂练习
影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.
球半径的求法
方法一：直接法方法二：构造直角三角形方法三：补形
一、直接法
正方体的内切球, 棱切球,外接球
正方体与球
切点：球心：直径：
球的直径等于正方体棱长。
一、正方体的内切球
各个面的中心。
正方体的中心。
相对两个面中心连线。
例题2 (2015年全国卷改编)一个球内切于棱长为2的正方体，求它的表面积。
题型三 球的切接问题
大显身手我最棒
二、正方体的棱与球相切（棱切球）
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
切点：球心：直径：
各棱的中点。
正方体的中心。
“对棱”中点连线
球体积公式：
解 设球的半径为R，则4πR2＝4π，解得R＝1，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.
c
题型一 球的表面积与体积
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍.(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 倍.(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 .(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 .
正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。
三、正方体的外接球
例4、一个球过这个棱长为2的正方体的各个顶点，求这个球的表面积.
正方体的内切球，棱切球，外接球
三个球心合一
半径之比为：
长方体的外ห้องสมุดไป่ตู้球
对角面
例5、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A．25π B． 50π C． 125π D．都不对
练习
随堂练习
影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.
球半径的求法
方法一：直接法方法二：构造直角三角形方法三：补形
一、直接法
正方体的内切球, 棱切球,外接球
正方体与球
切点：球心：直径：
球的直径等于正方体棱长。
一、正方体的内切球
各个面的中心。
正方体的中心。
相对两个面中心连线。
例题2 (2015年全国卷改编)一个球内切于棱长为2的正方体，求它的表面积。
题型三 球的切接问题
大显身手我最棒
二、正方体的棱与球相切（棱切球）
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
切点：球心：直径：
各棱的中点。
正方体的中心。
“对棱”中点连线
新课标人教A版数学必修2全部课件：1.3.2球的表面积
h i 的值就趋向于球的半径R
Si
R
O
Vi
3 1 1 V S i R S 2 R S 3 R ... S n R 3 3 3 3
1 1
1 3 R ( S i S 2 S 3 ... S n ) 1 3 RS
①
Vi
复习回顾
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积： V
推导方法：
4 3
R
3
分割
求近似和
化为准确和
2、球的表面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S 1， S 2， S 3 ... S n
O
则球的表面积： S S 1 S 2 S 3 ... S n
V 设“小锥体”的体积为： i 则球的体积为：
Si
O
Vi
V V 1 V 2 V 3 ... V n
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi 1 3
Vi
S i hi
2 2
3 2
a
S 4 R 3 a
2
2
a 2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。 2 a
2
关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空 的。如果是空心的，请你计算出它的内径（π 取3.14，结果精确到1cm）。
1: 3 4
Si
R
O
Vi
3 1 1 V S i R S 2 R S 3 R ... S n R 3 3 3 3
1 1
1 3 R ( S i S 2 S 3 ... S n ) 1 3 RS
①
Vi
复习回顾
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积： V
推导方法：
4 3
R
3
分割
求近似和
化为准确和
2、球的表面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S 1， S 2， S 3 ... S n
O
则球的表面积： S S 1 S 2 S 3 ... S n
V 设“小锥体”的体积为： i 则球的体积为：
Si
O
Vi
V V 1 V 2 V 3 ... V n
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi 1 3
Vi
S i hi
2 2
3 2
a
S 4 R 3 a
2
2
a 2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。 2 a
2
关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空 的。如果是空心的，请你计算出它的内径（π 取3.14，结果精确到1cm）。
1: 3 4
新课标高中数学人教A版必修二全册课件1.3.2球的体积和表面积
一个正方体的
顶点都在球面上， 它的棱长是a cm，
求球的体积．
第十五页，编辑于星期日：十三点 十五分。
练习
1. 教科书P.28 练习 第1、3题 2. 教科书P.28 练习 第2题
一个正方体的 顶点都在球面上，
它的棱长是a cm， 求球的体积．
第十六页，编辑于星期日：十三点 十五分。
探究 若正方体的棱长为a，则 ⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝
课后作业
1．阅读教材P.27到P.28； 2. 《习案》第七课时.
第二十二页，编辑于星期日：十三点 十五分。
2. 球的表面积
半径是R的球的表面积是
S＝4R2
第九页，编辑于星期日：十三点 十五分。
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
第十页，编辑于星期日：十三点 十五分。
3 3
第十一页，编辑于星期日：十三点 十五分。
例1 有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
第十九页，编辑于星期日：十三点 十五分。
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
第二十页，编辑于星期日：十三点 十五分。
课堂小结
1. 球的表面积公式； 2. 球的体积公式； 3. 球的表面积公式与
体积公式的应用.
第二十一页，编辑于星期日：十三点 十五分。
第十二页，编辑于星期日：十三点 十五分。
例2 圆柱的底面直径与高都等于球
的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
顶点都在球面上， 它的棱长是a cm，
求球的体积．
第十五页，编辑于星期日：十三点 十五分。
练习
1. 教科书P.28 练习 第1、3题 2. 教科书P.28 练习 第2题
一个正方体的 顶点都在球面上，
它的棱长是a cm， 求球的体积．
第十六页，编辑于星期日：十三点 十五分。
探究 若正方体的棱长为a，则 ⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝
课后作业
1．阅读教材P.27到P.28； 2. 《习案》第七课时.
第二十二页，编辑于星期日：十三点 十五分。
2. 球的表面积
半径是R的球的表面积是
S＝4R2
第九页，编辑于星期日：十三点 十五分。
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
第十页，编辑于星期日：十三点 十五分。
3 3
第十一页，编辑于星期日：十三点 十五分。
例1 有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
第十九页，编辑于星期日：十三点 十五分。
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
第二十页，编辑于星期日：十三点 十五分。
课堂小结
1. 球的表面积公式； 2. 球的体积公式； 3. 球的表面积公式与
体积公式的应用.
第二十一页，编辑于星期日：十三点 十五分。
第十二页，编辑于星期日：十三点 十五分。
例2 圆柱的底面直径与高都等于球
的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
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一个几何体各个面分别与另一个几
何体各条棱相切。
课堂练习3
1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个 顶点上的三条棱的长分别为1､2､3,则此球的表面积
14π 为________.
解析:设球的半径为r,则(2r)2=12+22+32,∴
∴球的表面积S=4πr2=14π.
14 r . 4
2
规律技巧:正方体内切球的直径等于正方体 的棱长.正方体的外接球的直径等于正方体的 体对角线长.
4cm 高9 cm,则这个铜球的半径为________.
解析:设铜球的半径为r,依题意得
3
4 3 r 42 9. r 3 4cm. 3
2 倍,所以球的体积扩大为原来的2 2 倍.
答案:C
课堂练习1
1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V R ( ) cm 3 3 3 2 6
2.三个球的半径之比为1:2:3,那么最大的 球的体积是其它两个球的体积和的( ) A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍
∴冰激凌化了,不会溢出杯子.
例题讲解
例2:有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方 体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个
球的表面积之比.
图3
图4 图5
图3
图4 图5
球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 多面体的内切球 。 棱切：
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且 涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？ 为什么？
实际问题
如右图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的 冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?
实验方法
实验：排液法测小球的体积
h
实验方法
实验：排液法测小球的体积
H
h
它 排 小 开 球 液 等 的 体 于 体 的 积 体 积
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心 2、球心和截面圆心的连线垂直于截面
3、球心到截面的距离与 球的半径R及截面的半 径的关系： O
r R d
2
2
B C
d R O1 r
D A
7.将一铜球放入底面半径为4 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升
2.三个球的半径之比为1:2:3,那么最大的球的体积是 其它两个球的体积和的( A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍
解析:记三个球的半径分别为1,2,3,则大球的体积V3= π×33=36π, 两个小球的体积和V1+V2= 4 π(13+23)=12π. 3 ∴最大球的体积是其它两个球的体积和的3倍. 答案:C
4 3
)
课堂练习2
练习二
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___ 2 倍.
4 倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___
1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
3 1 : 4. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______
影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.
实际问题
如右图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的 冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?
解:由图可知,半球的半径为4 cm, 圆锥的高为12 cm. ∴V半球 1 4 43 128 cm3 , 2 3 3 V圆锥 1 π·42·12=64π cm3, 3
128 64 3
∴它的表面积S=4πr2=12π.
规律技巧:在球的有关运算中,主要是对半径r 的运算,通常可以列出关于r的方程,解方程求 出r.也可以画轴截面,利用平面几何知识求出r.
例题讲解
例2.若球的大圆面积扩大为原来的2倍,球的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ积扩大为原来 的( A.8倍 C.2 2倍 ) B.4倍 D.2倍
解析:球的大圆面积扩大为原来的2倍,半径扩大为原来的
曹冲称象
课前热身
4 V R3 1.半径为R的球的体积是________. 3
2 S=4πR 2.半径为R的球的表面积是________.
例题讲解
例1.若一个球的体积为4 12π π, 则它的表面积为 ________. 3
4 3 解析:设球的半径为r,则 r 4 3 , 3
r 3 3 3,r 3.