2017年春季新版湘教版九年级数学下学期2.3、垂径定理课件2
2017年春季新版湘教版九年级数学下学期2.3、垂径定理学案2
课题：垂径定理【学习目标】1．理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证． 2．理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算． 【学习重点】垂径定理及其推论的理解与运用． 【学习难点】垂径定理及其推论的理解与应用．情景导入 生成问题旧知回顾：1．圆是轴对称图形吗？其对称轴是什么？答：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线．2．如图，将⊙O 沿直径AB 对折后，再折一条与直径垂直的弦CD ，展示如图，观察图中有哪些相等的线段？相等的弧？答：CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.自学互研 生成能力知识模块一 垂径定理阅读教材P 58～P 59，完成下列问题： 垂径定理的内容是什么？答：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．【例1】 如图，⊙O 的直径AB 垂直CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是( D )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm【变例1】 (潍坊中考)如图，⊙O 的直径AB ＝12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP∶AP＝1∶5，则CD 的长为( D )A ．4 2B ．8 2C ．2 5D ．4 5(变例1图) (变例2图) (变例3图)【变例2】 (成都中考)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，若AB ＝23，OC ＝1，则半径OB 的长为__2__．【变例3】 如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为__(6，0)__．知识模块二 垂径定理的应用【例2】 (南宁中考)一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O 是这条弧所在圆的圆心，点C 是AB ︵的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB ＝120m ，CD ＝20m ，这段弯道的半径是( C )A ．200mB ．2003mC ．100mD ．1003m【变例1】 (张家界中考)如图，AB ，CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 是EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为【变例2】 (陕西中考)如图，在半径为5的⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB ＝CD ＝8，则OP 的长为( C )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 垂径定理 知识模块二 垂径定理的应用检测反馈 达成目标1．⊙O 直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 为弦AB 上一动点，若OP 长度为整数，则满足条件的点P 有( D )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．(黄冈中考)如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD ＝4，EM ＝8，则CED ︵所在圆的半径为__174__．3．(长沙中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为__4__．4．(贵州中考)如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( C )A ．2cmB .3cmC ．23cmD ．25cm 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑： ______________________________________________________。
垂径定理课件数学湘教版九年级下册
什么？
解：AC = BD. 理由：过 O 作OE⊥AB，垂足为 E，
则AE ＝ BE，CE ＝ DE， ∴ AE－CE ＝ BE－DE，
O. E
AC
DB
即 AC ＝ BD.
4. 如图，在☉O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证四边形 ADOE 是正方形．
（5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
垂径定理
内容 推论
垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧.
一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦(不是直径); ④平分弦所对的 优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两 个条件就可以推出其它三个结论(“知 二推三”).
辅 助 线 两条辅助线：连半径，作弦心距
图b
2.(分类讨论题)已知☉O 的半径为 10 cm，弦MN//EF， 且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和弦 EF 之间的 距离为 14 cm 或 2 cm .
3. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦
AB 交小圆于C，D 两点.你认为 AC 和 BD 有什么关系？为
证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA=OB， 即 △AOB 是等腰三角形.
∵P 是 AB 的中点，即AP = BP， ∴AB⊥CD. ∵ CD 是直径，CD⊥AB，
∴ AC BC ，AD BD.
D
·O
P
A
B
C
垂径定理的推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对
的两条弧.
C h
aD r 2d
O
·O
AC
B
B
1.如图，OE⊥AB 于 E，若 ☉O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm， 则 AB = 16 cm.
九年级数学下册第2章圆2.3垂径定理课件湘教版
【新知预习】阅读教材P58-59,学习垂径定理及其推论 并填空: 1.如图是一个圆形的纸片,把该纸片沿直径CD折叠,其 中点A和点B是一组对称点.
(1)∵OA=OB,___O_M_=_O_M_,_M_A_=_M_B___,∴△OAM≌△OBM, ∴∠OMA=___∠__O_M_B___=___9_0_°____,∴CD和AB的位置关系 是___垂__直____. (2)又∵点A和点B是一组对称点,∴AM=___B_M___,即点M 是AB的中点. (3)根据折叠可得: D»A=_D»__B_, C»A =__C»_B_.
2.方程的思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时, 常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x 的方程解决问题.这是一种用代数方法解决几何问题的 解题思路.
【题组训练】 1.下列说法正确的是 ( C ) A.平分弦的直径垂直于弦 B.垂直于弦的直线必过圆心 C.垂直于弦的直径平分弦 D.平分弦的直径平分弦所对的弧
B.10
C.8
D.6
3.如图,在☉O中,直径CD垂直于弦AB,若∠C=25°,则 ∠BOD的度数是 ( D )
A.25° B.30° C.40° D.50°
知识点一 垂径定理 (P59例2拓展) 【典例1】已知☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥ CD,垂足为M,且AB=8 cm,则AC的长为( C )
2
【题组训练】 1.把球放在长方体纸盒内,球的一部分 露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD =4 cm,则球的半径长是 世纪金榜导学 号( B ) A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.4 cm
★2.(生活情境题)如图,王强为了帮助爸爸确定残破轮 子的直径,先在轮子上画出一个弓形(如图中阴影部分), 然后量得弦AB的长为4 cm,这个弓形的高为1 cm,则这 个轮子的直径长为___5___cm.
九年级下册数学课件(湘教版)垂径定理
C
弓形中重要数量关系
h
A
aD
B
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r
r 2d
之间有以下关系：d+h=r
r2
d
2
a 2
2
O
练一练
如图a、b,一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的
圆的半径为7cm，则弓形的高为＿2c＿m＿或_1_2_c_m＿.
C C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
典例精析
在Rt△AOF中，由勾股定理可知：
AO2=AF2+OF2， 即r2=32+（r-2）2，解得r=
13 143 4
m．
即，AB所在圆O的半径为 m．
1.如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm, 则AB= 16 cm.
·O
AE
B
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条 弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是 正方形．
第2章 圆 2.3 垂径定理
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆的对称性. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它 解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
问题引入 问题1圆是轴对称图形吗？
圆是轴对称图形 问题2它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
∵OA2 AD2 OD2 R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆
九年级数学湘教版下册课件：2.3 垂径定理 (共10张PPT)
CD为
｝ 直径
｛ CD⊥A
B 过圆心
｝｛ 垂直于
CD平分弦
点CA平B分A C B 弧点D平分AD B
弧 平分弦
平分弦所对的
优弧
弦
平分弦所对的
劣弧
C
O
A
B
D
【例1】如图，弦AB=8 cm，CD是⊙O的直
径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2 cm，求⊙O
的 解直：径连C接DO的A.长.（cm）.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二2021/9/72021/9/72021/9/7 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/7
第二章 圆
*2.3垂径定理
思
如图考，在⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O
的直径，且CD⊥AB，垂足为E. 试问：AE与BA CE，B C 与A D B，D 与
C
分别
相等吗？
O
A
B
D
因为圆是轴对称图形，将 ⊙O沿直径CD对折，如图，
初三下数学课件(湘教版)-垂径定理
OA2＝OE2＋AE2
即 r2＝(r－2)2＋42
解得 r＝5
∴CD＝2r＝10(cm)
【例2】证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等
已知：如图，在 ⊙O中，弦AB与弦CD平行
︵︵
求证：AC＝BD
证明：作直径 EF⊥AB
︵︵ ∴AE＝BE
又∵AB∥CD，EF⊥AB.
∴EF⊥CD
二、情境导入 1．什么叫弦？直径与弦的关系？ 2．圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？ 3．观察并回答： (1)两条直径的位置关系？ (2)若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定 被直径CD平分？
三、新知探究 探究1 垂径定理 1．从上面第3个图可以得出哪些结论？
︵︵︵︵ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD，即直径 CD 平分弦 AB，并且 ︵︵ 平分AB及ADB.
进一步，我们还可以得到结论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
四、点点对接
【例1】如图，弦AB＝8cm，CD是⊙O的直径
，CD⊥AB，垂是为E，DE＝2cm，求⊙O的直
径CD的长． 【解】连接OA
设OA＝rcm，则OE＝r－2(cm)
∵CD⊥AB
由垂径定理得 AE＝A2B＝4(cm)
这样，我们就得到下面的结论： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．引导学生证明上面结论的正确性． 已知：直径CD、弦︵AB，︵且CD︵⊥AB︵垂足为M. 求证：AM＝BM，AC＝BC，AD＝BD.
分析：要证AM＝BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全 等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．
证明：如图，连结OA、OB，则OA＝OB