上海市交大附中08-09学年第二学期高二期中考试(数学)
2023年上海交通大学附属中学高二下期中数学试卷及答案
上海市交通大学附属中学2022-2023学年高二下期中数学试卷一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合{}2|680A x x x =-+≤，{||1|2,Z}B x x x =-<∈，则A B = ___________.2.已知(1,0)a = ，(3,4)b = ，则向量a 在向量b 方向上的数量投影为___________.3.已知直线1:10l mx y -+=，直线2:420l x my -+=，若12//l l ，则m =_____________．4.已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则z =___________.5.函数2y =的最小值是______．6.母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为___________.7.直线l 过点(2,3)P ，当原点到直线l 的距离最大时，直线l 的方程为___________.8.设常数a使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同的解123,,x x x ，则实数a 的取值为___________.9.设随机变量()12,X B p ~，若()8E X ≤，则()D X 的最大值为___________.10.研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若()415P A =，()215P B =，()710P C =，则()P B A =______．11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．12.如图，探测机器人从O 点出发，准备探测道路OA 和OB 所围的三角危险区域.已知机器人在道路OA 和OB 上探测速度可达每分钟2米，60AOB ∠=︒，在AOB ∠内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为___________.二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）13.已知222:O x y r += ，直线223l x y r +=：，若l 与⊙O 相离，则（）A.点(2,3)P 在l 上B.点(2,3)P 在O 上C.点(2,3)P 在O 内D.点(2,3)P 在O 外14.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：()0e ktR t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（）（参考数据：lg20.3010≈）A.9B.10C.11D.1215.给定下列四个命题：①图像不经过点(1,1)-的幂函数一定不是偶函数；②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；④设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列；以上命题是真命题的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①③16.等轴双曲线Γ的焦点(,0)c ±，圆222:()C x c y r -+=(0,0)r c >>，则（）A.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点B.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有三个公共点C.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至少有一个公共点D.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点三、解答题（本大题共5道小题，共78分）17.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A 处有一栋大楼，某学生选（与A 在同一水平面的）B ､C 两处作为测量点，测得BC 的距离为50m ，=45ABC ∠︒，105BCA ∠=︒，在C 处测得大楼楼顶D 的仰角α为75︒.（1）求,A C 两点间的距离；（2）求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m ）18.已知双曲线22:1C x y -=，及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 有且只有一个公共点，求实数k 的值；（2）若l 与C 的左右两支分别交于A 、B 两点，且OAB ，求实数k 的值.19.设a 为实数，函数2()||1,f x x x a x R =+-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性并说明理由；（2）求()f x 的最小值.20.直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点．（1）求证：直线l 过定点；（2）求AB 中点的轨迹方程；（3）设()6,0M ，求22MP MQ +的最小值．21.已知ABC 的三个顶点都在椭圆22:143x y Γ+=上.（1）设它的三条线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.点O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和1.求证：123111k k k ++为定值；（2）当O 是ABC 的重心时，求证：ABC 的面积是定值；（3）如图，设ABC 的边AB 所在直线与x 轴垂直，垂足为椭圆右焦点F ，过点F 分别作直线12,l l 与椭圆交于,,,C D E G （不同于A ，B 两点），连接,CG DE 与AB 分别交于,M N ，求证：FM FN =.上海市交通大学附属中学2022-2023学年高二下期中数学试卷一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合{}2|680A x x x =-+≤，{||1|2,Z}B x x x =-<∈，则A B = ___________.【答案】{}2【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再解含绝对值符号的不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式2680x x -+≤，得(2)(4)0x x --≤，解得24x ≤≤，即{|24}A x x =≤≤，解不等式|1|2x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，即{0,1,2}B =,所以{2}A B = .故答案为：{}22.已知(1,0)a = ，(3,4)b = ，则向量a在向量b 方向上的数量投影为___________.【答案】35##0.6【解析】【分析】利用向量的数量积转化求解向量a ，b在方向上的数量投影即可．【详解】解：设向量a 与b 的夹角是θ，则向量a 在b方向上的数量投影为：3||cos 5||a b a b θ⋅==．故答案为：353.已知直线1:10l mx y -+=，直线2:420l x my -+=，若12//l l ，则m =_____________．【答案】2-【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件求解．【详解】因为12//l l ，所以2424m m ⎧-=-⎨≠⎩，解得2m =-．故答案为：2-4.已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则z =___________.【答案】5【解析】【分析】根据复数的除法运算和共轭复数、模长的定义求解即可.【详解】由i 34i z =+可得()2i 34i 34i 43i i iz ++===-，所以43i z =+，5z ==，故答案为：55.函数2y =的最小值是______．【答案】2【解析】【分析】将函数化为y =++，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，x 的取值要一致，即可得到所求最小值．【详解】解：函数22y ====++= ．当且仅当=0x =，取得等号．则函数的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．6.母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为___________.【答案】128π【解析】【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，所以侧面展开图的弧长为：810π16π5⨯=.设该圆锥的底面圆的半径为r ，所以2π16πr =，解得8r =，所以该圆锥的高6h ==，所以该圆锥的体积2211ππ86128π33V r h ==⨯⨯=.故答案为：128π.7.直线l 过点(2,3)P ，当原点到直线l 的距离最大时，直线l 的方程为___________.【答案】23130x y +-=【解析】【分析】作图分析可知，当原点到直线l 的距离最大时，OP l ⊥，求出l 的斜率，根据点斜式即可求出直线l 的方程.【详解】由题意知，OP l ⊥，32OP k =，所以直线l 的斜率23k =-，所以直线l 的方程为：()2323y x -=--，即23130x y +-=.故答案为：23130x y +-=.8.设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同的解123,,x x x ，则实数a 的取值为___________.【解析】【分析】利用辅助角公式得到方程的解的个数即为在[]0,2π上直线y a =与三角函数π2sin3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的交点的个数，画出图象，数形结合得到当且仅当a =与三角函数图象恰有三个交点，得到答案.【详解】∵13πsin 2sin 2sin 223x x x x x a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴方程的解即为在[]0,2π上直线y a =与三角函数π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的交点的横坐标，∵[]0,2πx ∈，∴ππ7π,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令π3z x =+，画出函数2sin y z =在π7π,33z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，如下：由图象可知当且仅当a =.9.设随机变量()12,X B p ~，若()8E X ≤，则()D X 的最大值为___________.【答案】3【解析】【分析】根据二项分布的数学期望得p 的范围，再根据方差运算公式结合基本不等式求得()D X 的最大值.【详解】随机变量()12,X B p ~，由()8E X ≤可得0128p <≤，所以203p <≤又()()211211232p p D X p p +-⎛⎫=-≤⨯= ⎪⎝⎭当且仅当12p =时，“”=成立，故()D X 的最大值为3.故答案为：3.10.研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若()415P A =，()215P B =，()710P C =，则()P B A =______．【答案】38##0.375【解析】【分析】求出()P A B ，结合()()()()P A B P A P B P AB =+- 求出()P AB ，进而利用求条件概率公式求出答案.【详解】由题意可知()()710P C P A B =⋂=，则()()73111010P A B P A B ⋃=-⋂=-=．又()()()()P A B P A P B P AB =+- ，所以()()()()423115151010P AB P A P B P A B =+-⋃=+-=，则()()()13104815P AB P B A P A ===．故答案为：3811.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，利用弦长公式求得138c =，得1324a c ==，根据对称性将ADE V 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a =.【详解】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为33，直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴12226461313cDE y =-=⨯=⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.12.如图，探测机器人从O 点出发，准备探测道路OA 和OB 所围的三角危险区域.已知机器人在道路OA 和OB 上探测速度可达每分钟2米，60AOB ∠=︒，在AOB ∠内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为___________.【答案】5033【解析】【分析】讨论机器人探测的路线，结合直线与圆的关系计算三角形面积即可.【详解】如图所示，机器人只在道路上前进可到达AB 点，则OA =OB =10米，作AOB ∠的角平分线OC ，过A 作AD ⊥OB ，垂足为D 点，交OC 于C 点，设机器人先在道路OA 上前进t 分钟到达P 点,此时2OP t =，AP=102t -，后进入危险区域，其能探测到达的点组成以P 为圆心，以()5t -为半径的圆弧 QR，由题意可知：1sin 2r OAD AP ==∠，即AD 与该圆弧相切，设切点为E ，故随P 点从O 移动到A ，机器人可探测的区域为OAD △，结合对称性，机器人5分钟能到达的点围成区域有OAD △与OBF ，即图中阴影部分，其面积为2OAC S ，易知OAC 为含120°的等腰三角形，所以区域面积为：215032sin12023OA ⨯⨯⨯=.故答案为：5033【点睛】本题关键在于对题意的理解，然后结合直线与圆的位置关系，利用角的对称性得出区域形状，再解三角形求区域面积，极容易出错，需要仔细审题.二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）13.已知222:O x y r += ，直线223l x y r +=：，若l 与⊙O 相离，则（）A.点(2,3)P 在l 上B.点(2,3)P 在O 上C.点(2,3)P 在O 内D.点(2,3)P 在O 外【答案】C 【解析】【分析】根据l 与O2r >，即可推出||r OP >，即可得答案.【详解】由已知l 与O 相离,可知圆心到直线的距离大于半径，不妨设r 为222:O x y r +=22r =>，故r >，由于(2,3)P，则OP =||r OP >,则点(2,3)P 在O 内，故选：C ．14.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：()0e ktR t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（）（参考数据：lg20.3010≈）A.9 B.10 C.11D.12【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得()ln105e 100t R t =，结合()20000R t >及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果.【详解】由题设0050(0)e 100(5)e 1000kR R R R ⎧==⎨==⎩，可得0100ln105R k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()ln105e100R t =，则ln105e10020000t >，故5ln 2005lg 2005(lg 22)11.50511ln10t ===⨯+≈>，所以教师用户超过20000名至少经过12天.故选：D15.给定下列四个命题：①图像不经过点(1,1)-的幂函数一定不是偶函数；②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；④设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列；以上命题是真命题的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①③【答案】D 【解析】【分析】对①利用幂函数和偶函数特点即可判断，对②和④举反例即可，对③利用线面垂直的判定结合直棱柱的定义即可判断.【详解】对①， 幂函数的图象都过(1,1)，偶函数的图象关于y 轴对称，∴图象不经过点(1,1)-的莫函数一定不是偶函数，故①正确；对②，若平面内的无数条直线互相平行，则这条直线可以不垂直这个平面，故②错误；对③，若有两个相邻的侧面是矩形，则两侧面的交线即一条侧棱垂直于底面两相交的直线，则这条侧棱垂直于底面，根据棱柱侧棱互相平行，则所有侧棱均垂直于底面，则棱柱为直棱柱，故③正确；对④，当7n a n =-时,满足数列{}n a 是递增数列，116S a ==-，2126511S a a =+=--=-，则12S S >，不满足数列{}n S 是递增数列，故④不正确；故选：D.16.等轴双曲线Γ的焦点(,0)c ±，圆222:()C x c y r -+=(0,0)r c >>，则（）A.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点B.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有三个公共点C.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至少有一个公共点D.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点【答案】AD 【解析】【分析】联立方程可得2224420x cx c r -+-=，构建()222442f x x cx c r =-+-，根据二次函数讨论()f x 在[],c r c r -+上的零点分布，并结合对称性分析C 与Γ右支的交点个数.【详解】设双曲线方程为：2222c x y -=，联立方程()2222222c x y x c y r ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得2224420x cx c r -+-=，由圆222:()C x c y r -+=可知：x 的取值范围为[],c r c r -+，构建()222442f x x cx c r =-+-，[],x c r c r ∈-+，则()f x 的对称轴2cx c c r =<<+，且()()()222222,20,2402c f c r r c c f r f c r r cr c ⎛⎫-=--=-<+=++>⎪⎝⎭，当()02f c r c c r ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩即2122c c r ⎛-<≤ ⎝⎭时()f x 有且只有一个零点()0,x c r c r ∈-+，当()02f c r c c r ⎧-=⎪⎨-≥⎪⎩即212r c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 有且只有一个零点0212x c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.当()02f c r c c r ⎧->⎪⎨-≥⎪⎩即2012r c ⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 无零点.当()02f c r c c r ⎧->⎪⎨-<⎪⎩即212r c ⎛⎫>+ ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 有且只有两个零点()01,,x x c r c r ∈-+.当()02f c r c c r ⎧-=⎪⎨-<⎪⎩即12r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时()f x有且只有两个零点()011,,2x c x c r c r ⎛⎫=+∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭.当()02f c r c c r ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩即2122c r c ⎛⎫<<+ ⎪ ⎪⎝⎭时有且只有一个零点()0,x c r c r ∈-+.注意到当212r c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，C 与Γ的交点坐标为21,02c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当212r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时，C 与Γ的交点坐标有21,02c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即会出现交点在对称轴上，结合C 与Γ的对称性可得：当012r c ⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ没有公共点，即C 与Γ的右支没有公共点；当212r c ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ有且仅有一个公共点，即C 与Γ的右支有且仅有一个公共点；当221122c r c ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，使C 与Γ有两个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点；当12r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ有三个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点；当212r c ⎛⎫>+ ⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ有四个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点.对A ：对于任意r ，存在c ，使得212r c ⎛⎫>-⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点，A 正确；对B ：对于任意r ，存在c ，使得12r c ⎛⎫>-⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点，B 错误；对C ：存在c ，使对于任意r ，使得212r c ⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支没有公共点，C 错误；对D ：存在c ，使对于任意r ，使得12r c ⎛⎫>- ⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点，D 正确.故选：AD.三、解答题（本大题共5道小题，共78分）17.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A 处有一栋大楼，某学生选（与A 在同一水平面的）B ､C 两处作为测量点，测得BC 的距离为50m ，=45ABC ∠︒，105BCA ∠=︒，在C 处测得大楼楼顶D 的仰角α为75︒.（1）求,A C 两点间的距离；（2）求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m ）【答案】（1）m （2）264m 【解析】【分析】（1）根据题意，先求出BAC ∠，然后利用正弦定理计算即可求解；（2）根据题意结合（1）的结果可直接求出AD = ，然后利用两角和的正切公式计算即可.【小问1详解】由已知得1801054530BAC ∠=︒-︒-︒=︒，在ABC 中，因为sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，即50sin30sin45AC︒︒=，所以AC =，所以,A C两点间的距离为m.【小问2详解】在DCA △中，因为90,tan ADDAC AC∠α==，所以tan75AD AC == ，又因为()tan75tan 4530=+31tan45tan30321tan45tan3033++==+-所以2AD =+=141.4122.45263.85264≈+=≈，答：楼高约为264m .18.已知双曲线22:1C x y -=，及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 有且只有一个公共点，求实数k 的值；（2）若l 与C 的左右两支分别交于A 、B 两点，且OAB，求实数k 的值.【答案】（1）1k =±或k =（2）0k =【解析】【分析】（1）联立方程组，消元后得到()221220k xkx -+-=，分210k -=、210k -≠两种情况求解即可；（2）先由题意可得11k -<<，令直线l 与y 轴交于点(0,1)D -，从而得到1212111222=+=+=-= OAB OAD OBD S S S x x x x .【小问1详解】由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y ，得()221220k x kx -+-=①，当210k -=，即1k =±时，方程①有一解，l 与C 仅有一个交点（与渐近线平行时）.当()22210,Δ4810k k k ⎧-≠⎪⎨=+-=⎪⎩，得22,==k k l 与C 也只有一个交点（与双曲线相切时），综上得k 的取值是1k =±或k =【小问2详解】设交点()()1122,,,A x y B x y ，由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y ，得()221220k x kx -+-=，首先由()22210,Δ4810k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩，得k <<且1k ≠±，并且12122222,11--+==--k x x x x k k ，又因为l 与C 的左右两支分别交于A ､B 两点，所以120x x <，即22020,11k k-<->-，解得11k -<<，故11k -<<.因为直线l 与y 轴交于点(0,1)D -，所以1212111222=+=+=-= OAB OAD OBD S S S x x x x ，故22121212222248,4811--⎛⎫⎛⎫-=∴+-=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭k x x x x x x k k .解得0k =或62k =±.因为11k -<<，所以0k =.19.设a 为实数，函数2()||1,f x x x a x R =+-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性并说明理由；（2）求()f x 的最小值.【答案】（1）当0a =时，函数是偶函数，当0a ≠时，函数是非奇非偶函数；（2）当12a 时，min 3()4f x a =-；当1122a -<<时，2min ()1f x a =+；当12a 时，min 3()4f x a =+.【解析】【分析】（1）考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；（2）先判断函数的单调性再求最值．【详解】解：（1）当0a =时，函数2()()||1()f x x x f x -=-+-+=此时，()f x 为偶函数当0a ≠时，()21f a a =+，2()2||1f a a a -=++，()()f a f a ≠-，()()f a f a ≠--此时()f x 既不是奇函数，也不是偶函数（2）①当x a时，2213()1(24f x x x a x a =-++=-++当12a ，则函数()f x 在(-∞，]a 上单调递减，从而函数()f x 在(-∞，]a 上的最小值为()21f a a =+．若12a >，则函数()f x 在(-∞，]a 上的最小值为13(24f a =+，且1(()2f f a．②当x a时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+若12-a ，则函数()f x 在[a ，)∞+上的最小值为13()24f a -=-；若12a >-，则函数()f x 在[a ，)∞+上单调递增，从而函数()f x 在[a ，)∞+上的最小值为()21f a a =+．综上，当12-a 时，函数()f x 的最小值为34a -当1122a -< 时，函数()f x 的最小值为21a +当12a >时，函数()f x 的最小值为34a +．【点睛】本题为函数的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知识点之一；而求最值时需要注意的是先判断函数的单调性．20.直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点．（1）求证：直线l 过定点；（2）求AB 中点的轨迹方程；（3）设()6,0M ，求22MP MQ +的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）2142x y =+；（3）10．【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为x my t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可知0OA OB ⋅=，利用平面向量的数量积的坐标运算并结合韦达定理求出t 的值，即可证得结论成立；（2）设线段AB 的中点为(),N x y ，可得出2242x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 可得出线段AB 的中点的轨迹方程；（3）利用平面向量的数量积推导出()222224MP MQMO PQ '+=+，结合两点间的距离公式以及二次函数的基本性质可求得22MP MQ +的最小值.【详解】（1）设直线AB 的方程为x my t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，所以()()22141606t m t m∆++==>，所以124y ym +=，124y y t =-，所以()21212242x x m y y t m t +=++=+，222121216y y x x t ⋅==，因为直线OA 、OB 的斜率之积为1-，所以0OA OB ⋅=，所以2121240x x y y t t +=-=，所以4t =，所以直线AB 的方程为4x my =+，过定点()4,0；（2）21248x x m +=+ ，直线l 中点为圆心()224,2O m m +'，设线段AB 的中点为(),N x y ，可得2242x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 得228y x =-，因此，线段AB 的中点的轨迹方程为2142x y =+；（3）如下图所示，易知圆心O '为线段PQ 的中点，()()111222MO MP PO MP PQ MP MQ MP MQ MP ''=+=+=+-=+ ，所以，2MO MP MQ '=+ ，所以，()()222222422MO PQ MQ MP MQ MP MQ MP '+=++-=+ ，即()(222222244MP MQMO PQ MO ''+=+=+()()2222422144148161816202m m m m m ⎛⎫⎡⎤=-++=-++=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以222218102MP MQ m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以当22m =±时，22MP MQ +的最小值为10．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21.已知ABC 的三个顶点都在椭圆22:143x y Γ+=上.（1）设它的三条线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.点O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和1.求证：123111k k k ++为定值；（2）当O 是ABC 的重心时，求证：ABC 的面积是定值；（3）如图，设ABC 的边AB 所在直线与x 轴垂直，垂足为椭圆右焦点F ，过点F 分别作直线12,l l 与椭圆交于,,,C D E G （不同于A ，B 两点），连接,CG DE 与AB 分别交于,M N ，求证：FM FN =.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设出点的坐标，代入椭圆方程，利用点差法得出斜率与中点坐标的关系即可得证；（2）点的坐标代入椭圆方程，化简得1212346x x y y +=-，再由椭圆的参数方程化简可得cos()αβ-，再由重心可得3ABC AOB S S = 求证即可；（3）根据直线CD 、EG 的方程及点在椭圆上可得曲线系()()2211221043x y y k x k y k x k λ+-+-+-+=，取1x =，可由方程根的关系得证.【小问1详解】设()()()()()()112233112233,,,,,,,,,,,A x y B x y C x y D s t E s t M s t ，因为,A B 在椭圆上，所以222211221,14343x y x y +=+=，两式相减得：121211*********y y x x s k x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-，同理可得3222334411,33t t k s k s =-=-，则31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD OE OM ､､的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-，即123111k k k ++为定值.【小问2详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 因为ABC 的重心为O ，故1231230x x x y y y ++=++=又A B C ､､都在椭圆22143x y +=上，故()()222222121211221,1,1434343x x y y x y x y +++=+=+=化简得1212346x x y y +=-，设11222cos ,,2cos ,x y x y ααββ====，代入上式可得：2cos cos 2sin sin 1αβαβ+=-，即()1cos 2αβ-=-，()122139322ABC AOB S S x y x y αβ==-=-=△△，即ABC 的面积为定值92.【小问3详解】设直线CD 方程为：()11y k x =-，直线EG 的方程为：()21y k x =-，直线CD 与直线EG 上所有点对应的曲线方程为：()()11220y k x k y k x k -+-+=，又C D E G ､､､都在椭圆上，则同时过C D E G ､､､的二次曲线系可设为：()()2211221043x y y k x k y k x k λ+-+-+-+=，取1x =，得213034y λ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，易知该方程的两根分别为,M N y y ，由韦达定理可知，0M N y y +=，则FM FN =.【点睛】关键点点睛：根据点在椭圆上，结合重心化简得1212346x x y y +=-，利用椭圆的参数方程，结合重心的性质找出3ABC AOB S S = ，并且能应用三角函数求出AOB S 的大小，是研究三角形面积为定值的关键，本题困难，不易解答.。
上海交通大学附属中学高二下学期质量检测一数学试题
交大附中 高二年级 第二学期 质量检测一2017.03.14一、填空题（1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）1、直线032=-+y x 的倾斜角为_______2、增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-411211k k 的方程中，若解x 与y 相等，则k 的值为______ 3、抛物线x y 162=的焦点与双曲线19222=-y a x 的一个焦点重合，则双曲线的实轴长为____ 4、已知复数233)3(2)()1(i a i a i z --+=（i 为虚数单位），且32||=z ，则实数a 的值为______ 5、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=21cos log 21sin 2ααi z ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则____=α 6、若点),(y x P 在直线042=-+y x 上，则y x --+42的最小值是_____7、若1||=z ，则|1|i z -+的最大值为_______8、如图，六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，则正方体中，直线AB 与CD 所成角的大小为______9、设函数⎩⎨⎧>+-≤<=51050)(ln x x x e x f x ，若方程k x f =)(（k 为常数）有三个不同的实数解c b a ,,，且c b a <<，则abc 的取值范围是_______10、在复数范围内写出求方程z z 22=的解集_______11、设),(n n n y x P 是直线))(1(23*N n x n y ∈-=+与椭圆13422=+y x 在第一象限的交点，则极限_____123lim =--∞→n n n x y 12、已知复数集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≤≤≤=1|)Im(|2)Re(0z z z U ，集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-≤≤≤=1|1|,|)Re(||)Re(|)Re()Re(0w w z w z z M ，则集合M C U 在复平面上表示区域的面积为________二、选择题（每小题5分，共20分）12、两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C 的公切线有且仅有 （ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条14、如图，D C B A ,,,是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD的位置关系是 （ ）A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直15、设21,z z 均是复数，则下列命题中的真命题是 （ ）A. “21z z >”是“021>-z z ”的必要不充分条件B. “121>z ”是“),1()1,(1+∞--∞∈ z ”的充分必要条件C. “02221=+z z ”是“021==z z ”的充分非必要条件D. “R z z ∈+21”是“21z z =”的既不充分也不必要条件 16、已知曲线Γ的参数方程为⎩⎨⎧++=-=)1ln(cot 23t t y t t t x ，其中参数R t ∈，则曲线Γ （ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 没有对称性三、解答题（共5大题，共76分）17、（第1小题7分，第2小题7分，共14分）已知关于t 的方程)(0342C z i zt t ∈=++-有实数根；（1）设)(,5R a ai z ∈+=，求a 的值；（2）求||z 的取值范围；18、（第1小题7分，第2小题7分，共14分）已知数列}{n a 中，211=a ，点)2,(1n n a a n -+在直线x y =上，其中,...3,2,1=n ； （1）令11--=+n n n a a b ，求证：数列}{n b 是等比数列；（2）求数列}{n a 的通项；19、（第1小题6分，第2小题8分，共14分）如图，空间四边形ABCD 中，H G F E CD AB ,,,,8==分别是线段DB AD CA BC ,,,的中点，6=FH ；（1）求证：直线EG 与直线FH 相互垂直；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；已知10,z z 均为复数，且00111z z z -+=，记10,z z 在复平面上对应的点分别为Q P ,； （1）若10z z =，求0z 的值；（2）若点P 在y 轴上运动，求点Q 的轨迹方程；（3）点P 在圆)0()1(:2221>=+-r r y x C 上运动，点Q 的轨迹记为曲线D ，求r 的值，使得圆C 与曲线D 只有一个公共点；设椭圆)0,(1:2222>=+Γb a by a x 过点)1,6(),2,2(N M ； （1）求椭圆Γ的方程；（2）21,F F 为椭圆的左、右焦点，直线l 过1F 与椭圆交于B A ,两点，求AB F 2∆面积的最大值；。
上海市交通大学附属中学高二下学期期中数学试题
【答案】C
三、解答题
17.已知 集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）设 ； ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
18.直三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形， ， ， ， 是侧棱 上一点，设 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】8
5.某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是________.
【答案】
6.在长方体 中， ， ，则直线 与 所成的角的余弦值等于______．
【答案】
7.已知集合 ， ， ， ，则 ______．
【答案】
8.已知 ，则 的值为__________.
（3）如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条（注意有一段 不通），一邮电员从该地东北角的邮 局出发，送信到西南角的 地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？
（4）如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知 地（十字路口）在修路，无法通行，且有一段路程 无法通行，一邮递员该地东北角的邮局 出发，送信到西南角的 地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法？
【答案】（1）13；（2）0；（3） ．
附加题
22.在 的展开式中，把 ， ， ，…， 叫做三项式的 次系数列．
（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列；
（2）列出杨辉三角形类似 表（ ， ），用三项式的 次系数表示 ， ， ；
（3）用二项式系数表示 ．
【答案】（1） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；（2） ， ， ；（3） .
{高中试卷}上海交大附中高二下学期期中考试(数学含答案)[仅供参考]
![{高中试卷}上海交大附中高二下学期期中考试(数学含答案)[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/f76d6a75b0717fd5370cdc6d.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：上海交通大学附属中学20XX-20XX 学年度第二学期高二数学期中试卷本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上命题：宋向平 审核：杨逸峰一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1. 在4(1+的展开式中，x 的系数为 (用数字作答).2. 直线12:10:20l x my l x y ++=-+=与垂直，则m =____________.3. 已知点A （3,2），B （-2,7），若直线y=kx-3与线段AB 相交，则k 的取值范围为_____________4. 直线经过点A （2，1），B （1，m 2）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角取值范围是 . 5. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．6. 由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则直线1y x =+上的点与切点之间的线段长的最小值为 .7. 已知两圆0822:,024102:222221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是.8. 椭圆(1－m )x 2－my 2=1的长轴长是.9. 已知三角形ABC 三个顶点为(1,1),(1(1A B C --，则角A 的内角平分线所在的直线方程为 . 10. 曲线()142≤--=x xy 的长度是 .11. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值k ，那么甲的面积是乙的面积的k倍，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形ABCD 、乙：小矩形EFCB ）、②（甲：大直角三角形ABC 乙：小直角三角形DBC ）中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是22221(0)x y a b a b +=>>与222x y a +=，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为．12. 已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴，若把该长轴20XX 等分，过每个等分点作AB 的垂线，依次交椭圆的上半部分于点122009P ,P ,P ，设左焦点为1F ，则()111121200911F A F P F P F P F B 2010+++++=二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。
上海交大附中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
上海交通大学附属中学2023-2024学年度第二学期高二数学期中考试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设函数()()sin 12f x x =+，则()f x ′=__________.2.4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答）3.设事件A B ､是互斥事件，且()()14P A P B ==，则()P A B ∪=__________. 4.已知函数()2ln f x ax x =+的导函数()f x ′满足()13f ′=，则a 的值为__________. 5.若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是__________. 6.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，每门课都要开，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为__________.7.一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是__________.8.某篮球运动员的罚球命中率为80%，假设每次罚球的结果是独立的，则他在3次罚球中至少进1球的概率是__________.9.设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x ′为其导函数，()20240f =，当0x >时，有()()xf x f x ′>恒成立，则不等式()0xf x >的解集为__________.10.小张一次买了三电冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一电只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）11.为庆祝70周年校庆，学校开设A B C ､､三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､已六位同学题名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有__________种.12.设点P 在曲线()Γ:ln 22x y x =+上，点Q 在直线:1l y x =−上，平面上一点M 满足13QM MP = ，则M 到坐标原点O 的距离的最小值为__________.二､题题题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.13.抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）A.大量的试验中，出现正面的频率为0.5.B.不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5C.试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5D.试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.514.某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A.47CB.48CC.49CD.48P15.抛一枚骰子，记事件A 表示事件“出现奇数点”，事件B 表示事件“出现4点或5点”，事件C 表示事件“点数不超过3”，事件D 表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件A 与B 是独立事件；②事件B 与C 是互斥事件；③事件C 与D 是对立事件；③D A B ⊆∩；其中正确的结论是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④16.对于函数()y f x =和()y g x =，及区间D ，若存在实数k b ､，使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意x D ∈恒成立，则称()y f x =在区间D 上“优于”()y g x =.有以下两个结论：①()2log f x x =在区间[]1,2D =上优于()2(1)g x x =−； ②()32f x x =+在区间[]1,1D −上优于()e x g x =.那么（ ）A.①､②均正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①､②均错误三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，D 是AC 的中点.（1）证明：1AB ∥平面1BC D .（2）若1,90,45AB BC ABC B AB ∠∠===，求二面角11B C D B −−的余弦值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()22ln f x a x x ax =−+−. （1）当3a =时，求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间[]1,e 上恰有一个零点，求a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为p ，乙同学答对每题的概率均为()q p q >，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同题答题的概率为12，恰有一人答对的概率为512. （1）求p 和q 的值； （2）设事件i A =“甲同学答对了i 道题”，事件i B =“乙同学答对了i 道题”，其中0,1,2i =，试求甲答对的题数比乙多的概率.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，P 是椭圆C 短轴的一个顶点，已知12PF F1213F PF ∠=.如图，,,M NG 是椭圆上不重合的三个点，原点O 是MNG 的重心.（1）求椭圆C 的方程；（2）求点M 到直线NG 的距离的最大值；（3）判断MNG 的面积是否为定值，并说明理由.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()e 2e x x f x a −=++.（1）若直线3y x =+是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（2）若()21f x x x ≥−+对任意实数x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若12e e 3x x +=，且()()()12123f x f x x x k ⋅≥++，求实数k 的最大值.。
上海市交大附中08-09学年高二上学期期终考试(数学)
上海交通大学附属中学2008-2009学年度第一学期高二数学期终试卷（满分100分，90分钟完成。
答案请写在答题纸上。
）命题：曹建华审核：杨逸峰一．(36分)填空题：1．计算2212lim 230n n n n →∞+-= ______12________.2．计算100111002⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= _____01102-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭_________. 3．已知a b 、是两个非零向量，且 ||4b =，a b 与的夹角为1200，则向量b 在向量a 的方向上的投影为_____-2_________. 4．若1PP =322PP ，且设2P P =λ12PP ，则实数λ=____35-__________. 5．直线ax+3y+4=0与直线2x+(a+1)y+1=0平行，则实数a 的值是____-3或2_________. 610y ++=与直线kx-y+3=0的夹角为为600，则实数k= _0_____.7．三阶行列式111222333a b c a b c a b c 的展开式中含有2a 的项为231213a b c a b c - _. 8．右边的程序框图（如图所示），能判断任意输入的整数x 是奇数 或是偶数.其中判断框内的条件 是_____m=0___________.9．已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++,如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要(3)2n n + 次运算．10．过点(1,1)P 与圆22430x y x +--=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线 方程是__x+y-2=0____________. 11．受2008年国际金融危机的影响，某企业单位在人事制度改革中对员工进行分流，被分流的入员当年可在原单位领取原工资的100%，从第二年起每年只在原单位领取前一年工资的23.同时，分流人员另创经济实体，第一年无利润，第二年每人在经济实体收入b 元，第三年起每人每年在经济实体内的收入在上一年的基础上递增50%.若分流前某员工工资为a元，分流后第n 年总收入为n a ，且b=827a .则此员工在第_______3_____年收入最少.12．用向量方法可以证明：若P 为正三角形内切圆上任意一点，则点P 到三角形三个顶点距离的平方和为定值.请你针对这个问题进行研究,写出一个推广后的正确命题:________________________________________________________________________. ①若P 为正三角形外接圆上任意一点，则点P 到三角形三个顶点距离的平方和为定值. ②若正三角形123A A A 外接圆的圆心为O,半径为R, P 为平面上任意一点，则21||PA +22||PA +23||PA =32||PO +3R 2.③若P 为正多边形内切圆上任意一点，则点P 到各个顶点距离的平方和为定值. ④若P 为正多边形外接圆上任意一点，则点P 到各个顶点距离的平方和为定值. 二．(12分)选择题：13．设凸k 边形的内角和为f (k ),则凸k +1边形的内角和f (k +1)=f (k )+ ( B ) （A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）3π 14、如图所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则实数a + b 的值为 ( C )（A ）18 （B ）38 （C ）78 （D ）9815．当1-≠m 时，关于x,y 的方程组⎩⎨⎧=++=+mmy x m y mx 21有（ C ）（A ）唯一解 （B ）无解或无穷多解 （C ）唯一解或无穷多解 （D ）唯一解或无解16．经济学中的“蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l 1,“供给—价格”函数的图象为直线l 2，它们的斜率分别为k 1、k 2，l 1与l 2的交点P 为“供给—需求”均衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P ，与直线l 1、 l 2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为（ A ）（A）k1+k2>0 （B）k1+k2=0 （C）k1+k2<0 （D）k1+k2可取任意实数三．解答题：17．(10分)已知向量(0,1)a=-，1(,1)2b=，直线l经过定点A(0,3)且以2a b+为方向向量.又圆C的方程为22()(2)4(0)x m y m-+-=>.（1）求直线l的方程；（2）当直线l被圆C截得的弦长为m的值.解：（1）2a b+=（1，1）2分所以，直线l的点方向式方程为311x y-=，x-y=3=0. 5分（2）又题意234+=8分解得1. 10分18．( 12分)已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足111n na S=-（n为正整数）. （1）求数列{}n a的通项公式；（2）记++++=naaaS21.试比较(1)nS n a+与的大小关系，并证明你的结论.解：（1）1n na S+=，111n na S--+=以上两式相减得到11()0n n n na a S S---+-=，即1n n na a a--+=3分所以112nnaa-=，数列{}n a是公比为12等比数列，又111a S+=，112a=，所以1111()()222n nna-==. 6分（2）121112S==-，1(1)2n nnn a++=8分设1()2n n f n +=，则12(1)2n n f n +++=，12(1)()2n n f n f n +++-=12n n +-=12n n+-<0 所以，函数f （n ）在n ∈N *上单调递减，所以f （n ）的最大值是f （1）=1， 所以(1)n S n a ≥+. 12分 19．(12分)已知定点A （0，1），B （0，-1），C （1，0），动点P 满足：2||AP BP k PC ⋅= （1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型； （2），求||AP BP +的取值范围.解：（1）设动点P （x ，y ），则(,1),(,1),(1,)AP x y BP x y PC x y =-=+=--， 由2||AP BP k PC ⋅=得x 2+y 2-1=22(1)k x ky -+化简得22(1)(1)2(1)0k x k y kx k -+-+-+= 4分 当k=1时，方程为x=1，表示直线； 5分 当k ≠1时，方程为2221()()11k x y k k -+=--，表示以1(,0)1|1|k k k --为圆心，为半径的圆. 7分 （2）当k=2时，点P 的轨迹方程为22(1)1x y -+=，||AP BP +[1,3]x ∈， 10分所以2≤||AP BP +≤6 12分 20.(18分)在平面直角坐标系中，已知三个点列{}{}{}n n n C B A ,,，其中)0,1(),,(),,(-n C b n B a n A n n n n n ，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 平行，并且点列{}n B 在斜率为6的同一直线上， ,3,2,1=n 。
2008-2009学年上外附中高二年级第二学期期中数学试卷
2008-2009学年上外附中高二年级第二学期期中数学试卷命题：黄诚一.填空题36%(每题3分)1. 过点)1,3(P ,与向量)3,2(-=d 平行的直线的点方向式方程为______________.2. 直线0)1(2)1(3=+++y x 的一个法向量为)2,(-m m ,则m 的值是________.3. 若三点)1,2(-A 、)1,3(B 、),1(t C -共线,则t 的值为_________.4. 直线l 过)3,(m -、),5(m -,且直线l 的倾斜角为2arctan -π,则m 的值是_____.5. 若直线l 的倾斜角⎥⎦⎤⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈43,22,4ππππθ,则其斜率k 的取值范围是_________. 6. 圆16)3()1(22=++-y x 关于直线01=++y x 对称的圆的方程是__________. 7. 与圆2522=+y x 外切于点)3,4(P 且半径为1的圆的标准方程为_____________.8. 方程132222=+-y m m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是_________. 9. 设P 是椭圆14922=+y x 上任意一点,21,F F 是椭圆的两个焦点,则21cos PF F ∠的最小值为___________.10. 圆222r y x =+经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点21,F F ,且与该椭圆有四个不同的交点,设P 是其中的一个交点,若21F PF ∆的面积为26,椭圆的长轴为15,焦距为c 2,则.____________=++c b a 11. 直线2sin cos=+θθy x 与曲线6322=+y x 有公共点,其中[]πθ,0∈,则θ的取值范围是__________________________.12．过直线07075:=--y x l 上的点P 作椭圆192522=+y x 的切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ，当点P 在直线l 上运动时，直线MN 恒过定点Q （＿，＿）．二.选择题12%(每题3分,每题只有一个正确答案)12. 方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是 ( ) (A)141<<m ； (B)41<m 或1>m ； (C)41<m ； (D)1>m 14.已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的交角为4π，那么m 的值为 ( ) (A)331--or ； (B)331or ； (C)331or -； (D)331-or15.当曲线241x y -+=与直线5)2(+-=x k y 有2个相异交点时，实数k 的取值范围是 ( ) (A)⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125； (B)⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125； (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0； (D)⎥⎦⎤ ⎝⎛1,43 16.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为 ( ) (A)131324； (B)131312； (C)131316； (D)131328三．解答题52%（本大题共有5小题，解答下列各题必须写出必要的步骤）17．(9分)已知ABC ∆三边所在的直线方程分别为017618:=-+y x l AB ,015714:=+-y x l BC ,09105:=-+y x l AC ,求ABC ∆的三个内角的大小.18. (8分)设过点),(y x P 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅，求P 点的轨迹方程.19. （8分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求⋅的取值范围．20. (7分)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径34=R 百公里）的中心F 为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 的距离为ab 百公里时进行变轨，其中a 、b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.21.(10分)在ABC ∆中,C B A ∠∠∠,,所对应的边分别为c b a ,,.且10=c ,34cos cos ==a b B A ,P 为ABC ∆的内切圆上的动点,求222PC PB PA ++的取值范围.22.(10分)设P 为椭圆13422=+y x 上的一个动点，过点P 作椭圆的切线与圆O :1222=+y x 相交于N M ,两点，圆O 在N M ,两点处的切线相交于点Q .（1）求点Q 的轨迹方程；（2）若P 是第一象限内的点，求OPQ ∆面积的最大值.2008-2009学年上外附中高二年级第二学期期中数学试卷答题纸二.选择题12%13._______B_______；14._______C______；15._______D_____；16.________A______； 三.解答题，3(AB =-， 由点Q 与点P 关于，OQ =(,x -则33(,)OQ AB x y ⋅=--=所以P 点的轨迹方程为学校_________________ 班级 姓名 学号………………………………………...装 订 线 内 请 勿 答 题…………………………………………………………………………………………上， 1342220=+∴y x 处的切线方程为13400=+yy x x 所引的圆O ：1222=+y x 的两条切线，学校_________________ 班级 姓名 学号…………………………………………...装 订 线 内 请 勿 答 题…………………………………………………………………………………………。
上海市交大附中高二期中数学学科考试试卷(含答案)(2019.04)
交大附中高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线可确定 个平面2. 已知球的体积为36π，则该主视图的面积等于3. 若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a =4. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线均为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u r 的坐标是5. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）6. 已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r= 7. 已知△ABC 三个顶点到平面α的距离分别是3、3、6，则其重心到平面α的距离为 （写出所有可能值）8. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段上1BD 运动，则DC AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是9. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去△AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为10. 某三棱锥的三视图如图所示，且这个三角形均为直线三角形，则34x y +的最大值为11. 已知A 、B 、C 、P 为半径R 的球面上的四点，其中AB 、AC 、BC 间的球面距离分别为3R π、2R π、2R π，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中O 为球心，则x y z ++的最大 值是12. 如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过EF 任作一个平面α分别与直线BC 、AD 相交于点G 、H ，则下列结论正确的是① 对于任意的平面α，都有直线GF 、EH 、BD 相交于同一点；② 存在一个平面α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③ 对于任意的平面α，都有EFG EFH S S =V V ；④ 对于任意的平面α，当G 、H 在线段BC 、AD 上时，几何体AC EFGH -的体积是一个定值.二. 选择题13. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A. 23π B. 423π C. 22π D. 42π 14. 如图，在大小为45°的二面角A EF D --中，四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 点间的距离是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 32-15. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成 一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积V 的近似公式2136V L h ≈， 它实际上是将圆锥体积公式的圆周率π近似取3，那么近似公式2272V L h ≈相当于将圆锥体 积公式中的π近似取为（ ）A. 227B. 258C. 15750D. 35511316. 在正方形ABCD A B C D ''''-中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 和AC '所成角为45°的点P 有（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个三. 解答题17. 现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a ，高是b ；2号容器的底面边长是b ，高是a ；3号容器的底面边长是a ，高是a ；4号容器的底面边长是b ，高是b ，假设a b ≠，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a 、b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.18. 如图，已知圆锥底面半径20r cm =，点Q 为半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点，PQ 与SO 所成角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P 、Q 两点在圆锥侧面上的最短距离.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB ∥CD ，222AD CD AB PA ====，E 、F 分别为PC 、CD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面BEF ；（2）求BC 与平面BEF 所成角的大小；（3）求三棱锥P DBE -的体积.20. 如图，P ABC -是底面边长为1的正三棱锥，D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点，截面DEF ∥底面ABC ，且棱台DEF ABC -与棱锥P ABC -的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：P ABC -为正四面体；（2）若12PD PA =，求二面角D BC A --的大小（结果用反三角函数值表示）； （3）设棱台DEF ABC -的体积为V ，是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF ABC -有相同的棱长和？若存在，请具体构造这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P ABC -的体积减去棱锥P DEF -的体积）21. 火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳构筑物，建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却容器中排出的热水在其冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线冷却塔，此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75~150米，底边直径65~120米，双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但形体高大，施工复杂，造价较高.（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际请忽略）（1）右下图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径 大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m ，俯视图为 三个同心圆，其半径分别为40m 、60147m 、30m ，试根据上述尺寸计算主视图中该双 曲线的标准方程（m 为长度单位米）.（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线： 22221x y a b -=，0y =，y h =，绕y 轴旋转形成的旋转体的体积为________（用a 、b 、h 表 示）（用积分计算不得分）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m （底部），最薄处厚度为0.3m （喉部，即左右顶点处），试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是________________，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是_________3m （计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和其他设备等施工费用不在本题计算范围内，超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加，现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元，试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）.参考答案一. 填空题1. 12. 9π3. 44. (4,3,2)-5. 1arccos 3 6. 7. 0，2，4 8. [0,1]9. 3 10. 11. 3 12. ③④二. 选择题13. B 14. D 15. B 16. C三. 解答题17. 3322a b a b b a +>+，必胜方案为选择3号、4号容器18.（1）600π；（2）19.（1）略；（2）1arctan 2；（3）1320.（1）略；（2）arcsin 3；（3）存在21.（1）2219006300x y -=；（2）23223a h a h b ππ+，221882.096300x y +=，6728；（3）1516。
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年下学期高二期中数学试题(详解)
交大附中高二期中数学试卷2020.05一. 填空题1. 平面上有5个不同的点，其中有且只有一组三点共线，则由这些点可确定直线的条数是 （数字作答）2. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -各个表面的对角线所在直线中，与直线1AD 异面且所成角为60°的直线的条数是3. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 与对角面11ACC A 所在平面所成的角的大小是4. 在四面体ABCD 中，6AB CD ==且棱AB 与CD 所成角为60°，点M 、N 分别为棱BC 、AD 的中点，则MN =5. 半径为9的地球仪的北纬60度圈上有两点A 和B ，且线段AB 为此纬度圈的一条直径，则点A 和B 在此地球仪上的球面距离是6. 一个半径为1的圆柱被一个平面截去一部分，如图所示，剩下这部分的母线的最大长度为2，最小长度为1，则剩下这部分的体积是第6题 第7题7. 如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为8. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确命题的序号） ① 能构成矩形；② 能构成不是矩形的平行四边形；③ 能构成每个面都是等边三角形的四面体； ④ 能构成每个面都是直角三角形的四面体； ⑤ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体：9. 已知圆锥的母线长为l ，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为212l ，则此圆锥底面半径r 与母线长l 的比rl的取值范围是 10. 空间直角坐标中，点O 为坐标原点，点(,,)P x y z 满足{(,,)|,,{1,2,3}}x y z x y z ∈，且直线OP 与x 轴的夹角不超过60°，满足条件的点P 的个数是11. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为三角形1D AC 内部任意一点（包含边界）点E 到平面ABCD 、平面11ADD A 及平面11DCC D 的距离的平方和为m ，则m 的最小值为12. 牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于微元法，由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖，当一正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分就是牟合方盖。
上海交大附属中学度第二学期高二期中数学试卷
上海交通大学附属中学2015-2016学年度第二学期高二数学期中考试一、填空题（本大题满分56分）1.抛物线2y x =的准线方程为___________. 2.计算232016232016i i i i ++++=___________.3.异面直线,a b 成60︒，直线c a ⊥，则直线b 与c 所成的角的范围为___________.4.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和11C B 的中点， 那么直线AM 与所成角的余弦值______________.5.已知AOB ∆内接于抛物线24y x =，焦点F 是AOB ∆的垂心，则点,A B 的坐标_____________. 6.在下图中，,,,G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图像有___________.(填写所有的正确答案的序号)7.设12,z z 为复数，21z =，则21121z z z z -=-___________.8.三个平面会把空间分割成_________个部分（答出所有可能得分）. 9.已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-____________.10.若复数12,z z满足12121,z z z z ==+=122z z -的值是____________.11、二面角l αβ--的平面角为0120，在α内AB l ⊥与B ，2AB =，在β内CD l ⊥与D ，3,1CD BD ==，M 是棱l 上的一个动点，则AM CM +的最小值是________12、已知虚数()(2),z x yi x y R =-+∈，若1z =，则yx的取值范围是_______ ABD1A 1B 1D MN MNGHMGHNGMHNMNGH①②③④13、已知F 是抛物线2:4C y x =的动点，,A B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为(2,2)M ，则ABF ∆的面积等于________14、如图，直线12y x =与抛物线2148y x =-交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5y =-交于Q 点，当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含,A B ）的动点时，则OPQ ∆面积的最大值为______.二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15、在正方体1AC 中，,E F 分别是线段1,BC CD 的中点，则直线1A B 与直线EF 的位置关系是（ ）.A 相交 .B 异面 .C 平行 .D 垂直16、（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数(,)a bi a b R +∈是某一元二次方程的根，则a bi -是也一定是这个方程的根；（4）若z 为虚数，则z 的平方根为虚数，其中正确的个数为 （ ）.A 3 .B 2 .C 1 .D 017、在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线形状为（ ）18.设P 表示一个点，,a b 表示两条直线，,αβ表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题A BCD1A 1B 1C 1DE FAA 1AA 1AA 1AA 1ABCD是（ ）①,P a P a αα∈∈⇒⊂；②,a b P b a ββ=⊂⇒⊂；③,,,a b a P b P a P αα⊂∈∈⇒⊂；④,,b P P P b αβαβ=∈∈⇒∈..A ①② .B ②③ .C ①④ .D ③④三、解答题（满分76分）19.（满分12分）已知复数),()13(2,)3(23221是虚数单位i R a i a z i a a z ∈++=-++=. （1）若复数21z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围.（2）若虚数1z 是实系数一元二次方程062=+-m x x 的根，求实数m 的值.20.（满分14分）如图，已知直四棱柱1111D C B A ABCD -，ABCD ABCD DD 底面底面,1⊥为平行四边形，045=∠DAB ，且1,,AA AB AD 三条棱的长组成公比为2的等比数列，（1）求异面直线BD AD 与1所成角的大小; （2）求二面角D AD B --1的大小.21.（满分14分）已知z 为复数，zz 9+=ω为纯虚数， （1）当Z ，求点102<<-ω的轨迹方程； （2）当)0(,24>+-=<<-αααωzzu 若时为纯虚数，求：α的值和u 的取值范围.ABCD1A 1B 1C 1D22.（满分16分）动圆1)1(22=+-y x M 与圆相外切且与y 轴相切，则动圆M 的圆心的轨迹记C ， （1）求轨迹C 的方程；（2）定点)0,3(A 到轨迹（1）C 上任意一点的距离MA 的最小值;（3）经过定点)1,2(-B 的直线m ，试分析直线m 与轨迹C 的公共点个数，并指明相应的直线m 的斜率k 是否存在，若存在求k 的取值或取值范围情况[]论分方程只有结论的只得结要有解题过程，没解题23.（满分18分）条件0)()()(:231232221=---+-z z z z z z P（1）条件321:z z z q ==复数，指明q P 是的说明条件？ 若)(3232214z z z z z z z ≠--=满足条件P ，记),(4R n m ni m z ∈+=，求4z（2）若上问中4z ，记0Im 4>z 时的4z 在平面直角坐标系的点),(n m A 存在过A 点的抛物线C 顶点在原点，对称轴为坐标轴，求抛物线的解析式。
上海市交通大学附属中学高二数学下学期期中试卷 新人教A版
上海市交通大学附属中学高二数学下学期期中试卷新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.平面α与β外的直线l 满足,l m l n ⊥⊥,则（ ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l 【答案】D 【解析】试题分析：若βα//，由⊥m 平面α,⊥n 平面β得n m //，与n m ,为异面直线相矛盾，A 错；若βα⊥,且β⊥l 结合条件则β⊂l 或β//l ，B 错；若α与β相交结合条件可证交线平行于l ，故选D 。
考点：（1）线面平行、面面平行性质及判定定理的应用；（2）面面垂直性质及判定定理的应用。
2．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （ ）A ．35003cm πB ．38663cm πC ．313723cm π D ．320483cm π【答案】A【解析】试题分析：设球的半径为r ，由球的截面性质得2216)2(r r =+-，解得5=r ，故球的体积为ππ35005343=⨯⨯。
考点：（1）球的截面性质；（2）球的体积公式。
3．三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为（ ） A ．20029 B ．257 C ．27100D ．187 【答案】B 【解析】试题分析：这是一个古典概型，每个人选车厢有10种情况，则基本事件总数有310101010=⨯⨯种，2人上了同一车厢有270911023=⨯⨯C C ，3人上了同一车厢有10种情况，故至少有2人上了同一车厢的概率为257102803=。
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年下学期高二期中数学试题(含详解)
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19. 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，阴影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A 、 B 、 C 、 D 四点重合于 图中的点 P ，正好形成一个四棱柱形状的包装盒，点 E 、 F 在线段 AB 上是被切去的等腰 直角三角形斜边的两个端点，设 AE = BF = xcm . （1）设广告商要求包装盒侧面积 S （ cm2 ）最大，试问 x 应取何值？并求 S 的最大值； （2）若广告商要求包装盒容积V （ cm3 ）最大，试问 x 应取何值？并求出包装盒的高与底 面边长.（提示：对于正数 a 、b 、c 恒有 abc ( a + b + c)3 成立，当且仅当 a = b = c 时等号
1
⑤ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体：
9. 已知圆锥的母长为 l ，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为 1 l 2 ，则此圆锥底面半 2
径 r 与母线长 l 的比 r 的取值范围是 l
10. 空间直角坐标中，点 O 为坐标原点，点 P(x, y, z) 满足{(x, y, z) | x, y, z {1,2,3}} ， 且直线 OP 与 x 轴的夹角不超过 60°，满足条件的点 P 的个数是 11. 在棱长为 a 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，点 E 为三角形 D1AC 内部任意一点（包含边 界）点 E 到平面 ABCD 、平面 ADD1A1 及平面 DCC1D1 的距离的平方和为 m ，则 m 的最小
3 成立）
20. 长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，棱长 AB = 3 ， AA1 = 1 ，截面 AB1C1D 为正方形. （1）求异面直线 BC1 与 AD 所成角的大小； （2）求点 B1 到平面 DBC1 的距离； （3）求二面角 B1 − C1D − B 的大小.
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上海交大附中高二上学期期中考试（数学）（本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟，答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1.在数列21121,0,,,,,98n n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，225是它的第_________项。
2.方程22310x x -+=两根的等比中项是___________。
3．ABC ∆中，AB BC CA ++=_______________。
4．已知21110011(2)101n m n n n a n n -⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪+>⎪⎩（正整数m 为常数），则lim n n a →∞= 。
5. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k =_________。
6. 在1，2之间插入n 个正数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等比数列，则123n a a a a ⋅⋅⋅=_________。
7. 给出以下命题（1）若非零向量a 与b 互为负向量，则//a b ；（2）0a =是0a =的充要条件；（3）若a b =，则a b =±；（4）物理学中的作用力和反作用力互为负向量。
其中为真命题的是___________________。
8．有纯酒精倒出3升后，以水补足，这叫第一次操作，第二次操作再倒出3升，再以水补足如此继续下去，则至少操作______次，该酒精浓度降到30%以下。
9.设111()123f n n=+++⋅⋅⋅+，那么1(2)(2)k k f f +-=_____________________。
10. 已知数列{n a }的前n 项和S n =n 2-9n ，若它的第k 项满足5<a k <8，则k= 。
11．设数列{a n }是首项为50，公差为2的等差数列；{b n }是首项为10，公差为4的等差数列，以a k 、b k 为相邻两边的矩形内最大圆面积记为S k ，若k ≤21，那么S k 等于______________12．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。
上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=．2．不等式21233x x ≤-的解集为.3．函数2log (32)y x =-的定义域是▲．4．直线210x y --=的倾斜角的大小是（用arctan 表示）.5．若直线20x y a +-=与圆222x y +=相切.则实数a =.6．设椭圆22221x y a b +=的焦距为2c .若a ，b ，c 依次成等比数列，则该椭圆的离心率e =.7．已知单位向量1e 与2e 的夹角为1arccos 3，向量1232a e e =- 与123b e e =- 的夹角为α，则cos α=.8．若关于x 的方程353x a a +=-有负根，则实数a 的取值范围是.9．设()21f x x =-，对任意[)1,x ∞∈+，()()()2414m f x f x f m -≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是.10．平面直角坐标系中的点集(){},cos sin 4sin 2cos ,R x y x y θθθθθΩ=+=++∈∣，则集合Ω中任意一点到坐标原点距离的最小值为.11．某房地产公司要在荒地ABCDE （如图）上划出一块矩形地块PQDR （不改变方位）建造一幢公寓（P 、Q 、R 分别在线段AB 、CD 、DE 上），若70BC =米，80CD =米，100DE =米，60EA =米，且π2AED EDC DCB ∠=∠=∠=，则该矩形地块的面积最大值为平方米.（结果精确到1平方米）12．若{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列；{}n b 是以1b 为首项，q 为公比的等比数列.则下列说法正确的是①存在实数1a ，使得不存在实数0d ≠，满足数列(){}sin n a 是常数列；②存在实数0d ≠，使得对任意实数1a ，满足数列(){}sin n a 都是常数列：③存在实数10b ≠，使得不存在实数1,0q ≠，满足数列(){}sin n b 是常数列：④存在实数10b ≠，使得有无穷多个实数1,0q ≠，满足数列(){}sin n b 是常数列；二、单选题13．在复平面内，复数()i 12i z =+对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．若α：π22π2x k =+（Z k ∈），β：tan 1x =，则α是β的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．下列命题（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；其中真命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．若动点P （x ，y ）以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点()222,Q xy y x --的运动方程是（）．A ．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B ．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C ．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D ．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动三、解答题17．已知a 、b 为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线1l ，40ax by ++=，2l ：()120a x y -+-=，3l ：230x y ++=.(1)若12l l ⊥，且1l 经过点−1,1，求实数a ，b 的值；(2)若12//l l 且13l l ⊥，求实数a ，b 的值.18．已知数列{}n a 的各项均为正实数，13a =，且143n n a a -=+（2n ≥）.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列；(2)若数列{}n b 满足()41,1,log 1,21n n n b a n n =⎧⎪=+⎨≥⎪-⎩，求数列{}n b 中的最大项与最小项.19．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）已知10PA PB ==（米），4AOP BOP π∠=∠=，OAP OBP ∠=∠，设OAP θ∠=，四边形OAPB的面积为S .（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.20．已知椭圆Γ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 与椭圆Γ相交于P 、Q 两点．（1）求1F PQ ∆的周长；（2）设点A 为椭圆Γ的上顶点，点P 在第一象限，点M 在线段2AF 上．若1123F M F P = ，求点P 的横坐标；（3）设直线l 不平行于坐标轴，点R 为点P 关于x 轴的对称点，直线QR 与x 轴交于点N ．求2QF N ∆面积的最大值．21．在平面直角坐标系中，若点()00,P x y 满足0x ，0y 都是整数，则称点P 为格点.(1)指出椭圆22182x y +=上的所有格点；(2)设A 、B 是抛物线2y x =上的两个不同的格点，且线段AB 的长度是正整数.求直线AB 的斜率的所有可能值组成的集合；(3)设m （N m ∈且3m ≥）项的数列{}n a 满足：点()1,n n n Q a a +是函数y =的格点（1,2,,1n m =⋅⋅⋅-）.则是否存在正整数b ，使得数列{}n a 为等差数列；若存在，请求出正整数b 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形轮子.(1)如图，平面直角坐标系内有一个边长为1的正方形ABCD ，其初始位置为()0,0A ，()1,0B ，()1,1C ，0,1.①将整个正方形ABCD 绕点B 顺时针旋转，使点C 首次旋转到x 轴正半轴上停止：②再将整个正方形ABCD 绕点C 顺时针旋转，使点D 首次选择到x 轴正半轴上停止；③再将整个正方形ABCD 绕点D 顺时针旋转，使点A 首次选择到x 轴正半轴上停止；④再将整个正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转，使点B 首次选择到x 轴正半轴上停止.我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形ABCD “滚动”一周.为使点B 向x 轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形ABCD “滚动”______周，在这个过程中，点A 经过的路径总长度为______个单位长度；(2)如果制造一个正n 边形的“轮子”，该正n 边形的中心到任意一个顶点的距离为1，并将该正n 边形的“轮子”滚动一周，求点P 经过的路径总长度；(3)根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度是多少？（不必说明理由）。
(整理版)交通大学附属第二学期高二数学期中
交通大学附属- 度第二学期高二数学期中试卷本试卷共有22道试题，总分值100分，考试时间90分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题纸上一、填空题〔本大题总分值36分〕本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分。
1．两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于,A B 两点，那么直线AB 的方程是__________.2．圆心在x 轴上，半径为5，以A 〔2，-3〕为中点的弦长是27的圆的方程为 。
3．在直角坐标系xOy 中,有一定点A 〔2，1〕。
假设线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，那么该抛物线的准线方程是 。
4．双曲线22145x y -=，那么以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 。
5．将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x 〔θ为参数〕化为普通方程，所得方程是_________ 。
6．假设,a b ①10a a+≠； ②()2222a b a ab b +=++； ③假设a b =，那么a b =±； ④假设2a ab =，那么a b =。
那么对于任意非零复数,a b ，。
7． R m ∈，复数i m m m m m z )32(1)2(2-++-+=，假设i z 421+=，那么=m 。
8．5 4log 21≥+i x ，那么实数x 的取值范围是_______。
9．2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，那么p q +的值为 。
10．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 。
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种11．把1＋〔1＋x 〕＋(1＋x)2＋…＋〔1＋x 〕n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，那么112lim --∞→nn n a a 等于 。
上海市交大附中-2021学年高二数学下学期期中试题(含解析)
上海市宝山区交大附中2021学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、填空题：本大题共12个小题,满分54分. 将答案填在答题纸上1.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定_________个平面.【答案】1【解析】【分析】两条平行直线确定1个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果. 【详解】两条平行直线可确定1个平面 直线与两条平行直线交于不同的两点 ∴该直线也位于该平面上∴这三条直线可确定1个平面本题正确结果：1【点睛】本题考查空间中直线与平面的关系，属于基础题.2.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________【答案】9π【解析】 由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=. 3.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．【答案】4【解析】试题分析：24V a a =⨯=4a =． 考点：棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．4.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为________【答案】(4,3,2)-【解析】如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB 的坐标为(4,3,2)，所以(4,0,0),(0,3,2)A C ,所以1(4,3,2)AC =-.5.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3. 【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.6.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，,A B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与OB 所成角的大小为6π，则1r=__________【答案】【解析】 试题分析：如图，过A 作与BC 平行的母线AD ，连接OD ，则∠OAD 为直线OA 与BC 所成的角，大小为，在直角三角形ODA 中，因为∠OAD=，所以，故答案为。
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上海市交大附中08-09学年高二下学期期中考试
数学
（满分100分，90分钟完成。
答案请写在答题纸上。
）
一、填空题：
1、i1+i2+i3+…+i2000=__________________。
2、已知方程x2+bx+c=0(b、c∈R)有一根为1-2i，则b=__________________。
3、已知复数Z满足|Z|=1，则复数Z-i的模的取值范围是__________________。
4、已知复数Z1满足(Z1-2)i=1+i，复数Z2的虚部为2，且Z1Z2是实数，则Z2=______________。
5、已知方程
22
1
712
x y
k k
-=
--
表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_________。
6、已知双曲线的方程为
22
1
205
x y
-=，那么它的焦距是__________________。
7、与双曲线
2
21
4
y
x-=有共同渐近线，且过点M(2,2)的双曲线的标准方程为
__________________。
8、抛物线21 4
x y
=上到直线y=4x-5的距离最短的点为__________________。
9、已知复数Z满足|Z|=1，则W=1+2Z所对应的点的轨迹是__________________。
10、已知双曲线
22
1
124
x y
-=的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交
点，则此直线的斜率的取值范围是__________________。
11、已知ABC的三个顶点A、B、C都在抛物线y2=32x上，点A(2,8)，且这三角形的重心G是抛物线的焦点，则BC边所在直线的方程是__________________。
12、设复数Z满足|Z|=2，且(Z-a)2=a，则实数a的值为__________________。
二．选择题：
13、若Z1，Z2为复数，则Z12+Z22=0是Z1=0且Z2=0的（）
A、充分非必要条件
B、必要非充分条件
C、充要条件
D、既非充分又非必要条件
14、下面给出4个式子，其中正确的是（）
A、3i>2i
B、|2+3 i|>|1-4i|
C、|2-i|>2i4
D、i2>-i
150
y
+=与直线kx-y+1=0的夹角为60°，则k的值为（）
A或0 B、或0 C0 D、0
16、曲线1
y=y=k(x-2)+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）
A、
53
(,]
124
B、
5
(,)
12
+∞C、
5
(0,)
12
D、
13
(,)
34
三．解答题：
17、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。
18、已知Z=1+i，（1）设234
W Z Z
=+-，求W；（2）如果
2
2
1
1
Z aZ b
i
Z Z
++
=-
-+
，求实数a和
b的值。
19、求与直线x+2y-1=0切于点A(1,0)，且过点B(2,-3)的圆的方程。
20、已知双曲线
2
21
2
y
x-=，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使直线l与双曲线交于A、B，
且M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由。
21、我们把由半椭圆
22
22
1(0)
x y
x
a b
+=≥与半椭圆
22
22
1(0)
y x
x
b c
+=≤合成的曲线称作“果圆”，
其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0。
如图，点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“果圆”与x轴，y轴的交点。
（1）若F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）当|A1A2|>|B1B2|时，求b
a
的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦。
试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由。
高二数学期中答案
一、填空 1、0 2、-2
3、[0,2]
4、6+2i
5、(7,
192
) 6、10
7、22
1312
x y -=
8、(12
,1) 9、以(1,0)为圆心，2为半径的圆
10、[ 11、4x +y -40=0
12、1或4
二、选择题：3分 13—16 B C A A 三、解答题：（8+10+10+10+14） 17、解：设方程为)0(22
>-=P px y
准线2
p x =
由定义
5)3(2
=--p
4=p x y 82-= 将)8,3(-m 代入，62±=m
18、解（1）i z +=1
2234(1)3(1)41w z z i i i ∴=+-=+++-=--
（2）i z +=1 ，i z z b
az z -=+-++112
2 i i i b
i a i -=++-+++++∴
11
)1()1()1()1(22 ()(2)1a b a i
i i
+++∴
=-
i i i i a b a +=-=+++∴1)1()2()( ⎩⎨
⎧=+=+∴112b a a 得 ⎩⎨⎧=-=∴2
1
b a
2,1=-=∴b a
19、解：设所求圆的方程为)0()()(2
22>=-+-r r b y a x
由题设知：⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=--+-=+-=-2
222
22)3()2()1(21r b a r b a a b 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==520r b a 故所求圆的方程为5)2(2
2
=++y x
20、解：设过点M （1，1）的直线方程为y =k (x -1)+1或x =1
（1）当k 存在时有⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+-=121)1(22y x x k y
得032)22()2(2
2
2
2
=-+--+-k k x k k x k （1） 当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
0)32)(2(4)22(2
2
2
2
>-+----=∆k k k k k 2
3
<k 又方程（1）的两个不同的根是两交点A 、B 的横坐标
22212)
(2k k k x x --=+∴ 又M （1，1）为线段AB 的中点
12
2
1=+∴x x 即122
2=--k k k 2=k 0222
≠-=∴k k 使但使0<∆
因此当k =2时，方程（1）无实数解
故过点m (1,1)与双曲线交于两点A 、B 且M 为线段AB 中点的直线不存在。
（2）当x =1时，直线经过点M 但不满足条件， 综上，符合条件的直线l 不存在
21、这是两个半椭圆拼装题
（1）应用椭圆的定义和性质容易求出“果圆”方程为222244
1(0),1(0)73
x y x y x x +=≥+=≤
（2）由题意，得a +c >2b
2b a >-
2222222(2),(2)b b c a a b b a >+=∴->-，得
45
b a < 又b 2>
c 2=a 2-b 2,
221
2b a
∴>
.4)5b a ∴∈
（3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22
221(0)y x x b c
+=≤
记平行弦的斜率为k 。
当k =0时，直线y =t (b t b -≤≤)与半椭圆22
221(0)x y x a b +=≥
的交点是()P t ，与
半椭圆22
221(0)y x x b c
+=≤
的交点是()Q t -。
∴P 、Q 的中点M (x ,y )
满足x y t ⎧⎪=⎨⎪=⎩，得22221()2
x y a c b +=-。
2a b <，222(
)22a c a c b b ---∴-=202
a c b
-+⋅≠
综上所述，当k =0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上。
当k >0时，以k 为斜率过B 1的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是2223
2222222(,)ka b k a b b k a b k a b -++
由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线2
2b y x ka
=-上，即不在某一椭
圆上。
当k <0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上。