淮安、徐州、宿迁、连云港四市2009年高三期末调查测试卷(答案)

淮安、徐州、宿迁、连云港四市2008—2009学年度高三期末调查测试卷数学试题一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1.已知集合A={x|x=2n —l ，n ∈Z}，B={x |x 2一4x<0}，则A ∩B= . 2.在复平面内，复数z=1i i+(i 是虚数单位)对应的点位于第 象限·3.若命题“∃x ∈R ，x 2+a x +1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是 .4.已知向量a =(sinx,cosx)，b =(1，一2)，且a ⊥b ，则tan2x= .5.如果实数x ，y 满足不等式组110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则z=x+2y 最小值为 .6.若函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为 . 7.已知一个棱长为6cm 的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm 的钢球，则球心到盒底的距离为 cm.8.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T 为 .注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本斌卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位；置作答一律无效．4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.T ←1 I ←3While I<50 T ←T +I I ←I +2 End While Print T ABCDE第10题第8题第9题9.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝1200，AB ＝AC ＝2，D 为BC 边上的点，且0AD BC = ，2CE EB =，则AD AE =.10.如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且过C ，D 两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为 . 11.已知函数f(x)= ()2f π'sinx+cosx ，则()4f π= .12.如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的 小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 .13.已知数列｛a n ｝共有m 项，记｛a n ｝的所有项和为s(1)，第二项及以后所有项和为s(2)，第三项及以后所有项和为s(3)，…，第n 项及以后所有项和为s(n)，若s(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当n<m 时，a n = .14.设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩,方程f(x)＝x+a 有且只有两相不等实数根，则实a 的取值范围为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分14分)(1)从x ,y 中各取一个数，求x+y ≥10的概率；(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为113y x =+与1122y x =+，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好. 16.(本小题满分14分)如图，四边形ABCD 为矩形，BC 上平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证：AE ⊥BE ；(2)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点． 求证：MN ∥平面DAE ．AB CDFM 第16题N17.(本小题满分14分)在直角坐标系xoy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y=x (x ≥0). (1)求sin()6πα+的值；(2)若点P ，Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标．18.(本小题满分16分) 设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 且与AF 垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF 平行.(1)求椭圆的离心率；(2)设入射光线与右准线的交点为B ，过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线3x 一y+3=0相切，求椭圆的方程.19.(本题满分16分)已知函数f(x)=a lnx+x 2(a 为实常数).(1)若a =－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x 值；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f(x )≤(a +2)x 成立，求实数a 的取值范围. 20.(本小题满分16分)已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N ﹡，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ； (3)若321ma =- (m ∈N ﹡)，试求数列{}n a 的前4m+2项的和42m s +.淮安、徐州、宿迁、连云港四市2008—2009学年度高三期末调查数学附加题21.【选做题】在A 、B 、c 、D 四道题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4一l ：几何证明选讲在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ．若AC=12AB ，求证：BN=2AM ．B.选修4—2：矩阵与变换 设a ,b ∈R ，若矩阵A=01a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦把直线l ：2x+y 一7=0变换为另一直线l '：9x+y 一91=0,试 求a ,b 的值.C.选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系x0y 内，直线l 的参数方程为22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)．以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系.D ．选修4—5：不等式选讲设x,y,z 为正数，证明：2(x 3+y 3+z 3)≥x 2(y+z)+ y 2(x+z)+ z 2(x+y).注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本斌卷共2页，包含选做题(第21题中A 、B 、C 、D 四小题)、必做题(第22题、第23题)两部分．本试卷满分40分，考试时间为30分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位；置作答一律无效．4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.第21－A 题【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 是BC 的中点，点E 在D 1C 1上，且D 1E=14D 1C 1,试求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值.23.(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为S ，求拿的分布列及其数学期望E(S).淮安市2008～2009学年度高三年级第二次调研考试 淮安、徐州、宿迁、连云港四市2008—2009学年度高三期末调查BCDF A 1B 1C 1ED 1图一图二答案及评分标准必做题部分一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70 分。

1．{}13, 2．一 3．)2,(--∞ ∪),2(∞+ 4．34- 5．5 6．43 7．108．625 9．1 10．2213-=yx 11．0 12．8177 13．12--n 14．[)3,4二、 解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。

15．（1）从x,y 各取一个数组成数对(x ,y )，共有25对，……………………………………………2分 其中满足10≥+y x 的有)5,8(),4,8(),3,8(),2,8(),5,7(),4,7(),3,7(),5,6(),4,6(，共9对……………5分 故所求概率为259=P ，所以使10≥+y x 的概率为259．………………………………………… 7分（2）用131+=x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为37)5311()4310()33()22()134(222221=-+-+-+-+-=S ．……………………………………10分用2121+=x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为21)529()44()327()22()11(222222=-+-+-+-+-=S ．………………………………………12分12S S < ，故用直线2121+=x y 拟合程度更好．………………………………………………14分16．（1）证明：因为ABE BC 平面⊥，ABE AE 平面⊂， 所以BC AE ⊥，………………………………………………2分 又ACE BF 平面⊥，ACE AE 平面⊂，所以BF AE ⊥， ……………………………………………4分又B F B C B = ，所以BCE AE 平面⊥………………………………………………………………………6分 又BCE BE 平面⊂，所以BE AE ⊥． ………………………………………………………………8分 （2）取DE 的中点P ，连接PN PA ,，因为点N 为线段C E 的中点． 所以PN ||DC ，且DC PN 21=， ……………………………………………………………………………10分又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以AM ||DC ，且DC AM 21=，所以PN ||AM ，且AM PN =，故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ||AP …………12分而⊂AP 平面DAE ，⊄MN 平面DAE ，所以M N ∥平面D AE ． ………………………………14分 17．(1)由射线l的方程为y =，可得31cos ,322sin ==αα， ………………………2分故sin()6πα+＝1132326⨯=………………………………………………………4分(2)设()()()0,022,,0,>>b a b b Q a P . 在POQ ∆中因为()168222=+-=bb a PQ， …………………………………………………………6分即ab ab ab ab b a 426291622=-≥-+=，所以ab ≤4 …………………………………………8分∆∴=≤POQ S b a 3=，即332,32==b a 取得等号. ……………………10分所以POQ ∆面积最大时，点,P Q 的坐标分别为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛364,332,0,32Q P ．……………………14分 18．⑴因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为︒45， …………………2分 即︒=∠45FAO ，所以b c =2． ………………………………………………6分⑵由⑴知,==b c a ，可得()()0,,2,A c B c c -，又AF AB ⊥，所以过,,A B F 三点的圆的圆心坐标为,22cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径122r FB ==， …………………………………………………………………………8分因为过,,A B F 三点的圆恰好与直线330x y -+=相切，…………………………………………10分所以圆心到直线330x y -+=的距离等于半径r2=，得1c =， …………14分所以1,b a ==，所以椭圆的方程为2212xy +=． ………………………………………………………16分19．（1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='xxx f ，故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………………………………………………4分 （2）)0(2)(2>+='x xaxx f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x++∈+．若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ． ……………………………………………………………6分若222-<<-a e ，当2a x -=时，0)(='x f ；当21a x -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f是减函数； 当e x a ≤<-2时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(a f -2)2ln(2a a a --=．若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．………………………………………………………8分综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f的最小值为2)2ln(2a a a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +，相应的x 值为e ．……………………………………………………………………………………10分 （3）不等式x a x f )2()(+≤， 可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ， 因而x x xxa ln 22--≥（],1[e x ∈）…………………………………………………………………………12分令xx xxx g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，………………………………14分当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． …………………………………16分 20．（1）当]3,0(∈n a 时，则∈=+n n a a 21]6,0(，当]6,3(∈n a 时，则]3,0(31∈-=+n n a a , 故]6,0(1∈+n a ，所以当60≤<n a 时，总有601≤<+n a ． ……………………………………4分 （2）①当1=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的∈=t t k ,3N*．同理可得，当2=a 或4时，满足题意的∈=t t k ,3N*．当3=a 或6时，满足题意的∈=t t k ,2N*．②当5=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的k 不存在． ③当7≥a 时，由（1）知，满足题意的k 不存在． 综上得：当421，，a =时，满足题意的∈=t t k ,3N*；当63，a =时，满足题意的∈=t t k ,2N*． ………………………………………10分（3）由m ∈N *，可得112≥-m ，故3123≤-=ma ,当m k ≤<1时，3223)12(223122321111111=⨯<-+⨯=-⨯≤-------m m m m m mm k a ．故a a k k 12-=且a a mm 21=+．又312231>-⨯=+mmm a ，所以a a a a mm m m m =--⋅=-=-=++3123232312．故4434)1(424++++--=m m m m a a S S=4a a a a m m m )22()(1121+-+⋅++-+=4a a a a m m m m 11123)12(423)221(-+-⨯--=⨯-+++=1212239)2342(113--⨯=⨯----+mm m m a ． ………………………………………16分附加试题21．A 证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线,所以A C A M B C B M =．又已知12A C AB =，所以2A B A MB CB M=…①…………………… 4分又因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以B M B A B N B C ⋅=⋅，即B A B N B CB M=……② ………………………………8分由①、②可知，2A M B N B MB M=，所以BN =2AM ． ………………………………10分B 取l 上两点（0,7）和（3.5，0）， …………………………………………………………2分则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b b a 707010，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.35.305.310a b a， ………………………………………6分由题意知)5.3,5.3(),7,0(-a b 在直线'l ：9x ＋y －91＝0上， ∴791031.5 3.5910b a -=⎧⎨--=⎩ …………………………………………………………………………8分解得 3,13a b == (10)分C （1）消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为23y x =-； ………………………………4分)4(sin 22πθρ+=,即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-= ………………………8分（2）圆心C 到直线l的距离5d ==<l 和⊙C 相交．…………10分D 因为2220x y xy +≥≥ ………………………………………………………2分 所以()()()3322x y x y x xy y xy x y +=+-+≥+ …………………………………………………4分 同理()33y z yz y z +≥+,()33z x zx z x +≥+ …………………………………………………8分 三式相加即可得()()()()3332x y z xy x y yz y z zx z x ++≥+++++ 又因为()()()()()()222xy x y yz y z zx z x x y z y x z z x y +++++=+++++所以()()()()3332222x y z x y z y x z z x y ++≥+++++ ………………………………………10分 22．设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系xyz D -，则各点的坐标分别为()1,1,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41,0E , ⎪⎭⎫⎝⎛0,1,21F ，………………………………………………2分 所以)1,1,1(1=DB ，)1,43,21(-=EF ， ……………………4分1DB 为平面AC D 1的法向量，8787116941311431211,cos 111=++⨯⨯-⨯+⨯=>=<F E DB .……8分所以直线EF 与平面AC D 1所成角的正弦值为8787.………………………………………………10分23．（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：432248⨯⨯⨯=种．……………………2分（2）① 设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图二，当区域A 、D 同色时，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种；当区域A 、D 不同色时，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.……………………………………………4分 (由于只有A 、D ，B 、E 可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为3455552420A A A ++=种） 它们是等可能的。