最新人教版高中数学选修4-4课件：1.2极坐标系 第一课时.1

则
6
2 3
5，
2 6cos( 3 6)3
2，
故线段A2B中点12M的极坐标为2
(3 2，5 ).
12
【方法技巧】点与极坐标的对应关系以及两点间的距 离公式 (1)在极坐标系中,点的极坐标不唯一,这是由于与角 θ1的终边相同的角的集合为{θ|θ=θ1+2kπ,k∈Z}. 如果限定ρ≥0,θ∈[0,2π),那么,除极点外,点与有 序数对(ρ,θ)可以建立一一对应关系.
二 极坐标系 第1课时 极坐标系的概念
【自主预习】
1.极坐标系
(1)取极点:平面内取一个______. 定点O
(2)作极轴:自极点引一条射线Ox.
(3)定单位:选定一个长度单位,一个角度单位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).
2.点的极坐标
(1)定义:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为
【变式训练】1.在极坐标系中,极轴的反向延长线上一 点M与极点的距离为2,则点M的极坐标的下列表示: ①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z). 其中,正确表示的序号为____________.
【解析】由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离 为2,极角的始边为Ox,终边与平角的终边相同,故点M的 极坐标为(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正确. 答案:②③
【变式训练】1.(2016·南昌高二检测)在极坐标系中,
两点 A(5,5)，B(7,7)间的距离是 ( )
A.
B.4 C1.26
D. 4
41
39
【解析】选B.|AB|= 1 2 2 2 2 1 2 c o s( 1 2 )3 9 .
2.在极坐标系中,若△ABC的三个顶点为 A(5， 5)，B(8， 5)，
【解析】选D.点(1,π)的极径为1,极角为π,由终边相 同的角的概念得,点(1,π)与点(1,2017π)相同.
2.点M的直角坐标是(-1, ),则点M的极点坐标为
3
()
A.(2， ) 3
C.(2,2) 3
B.(2,) 3
D.(2,2k)(kZ) 3
【解析】选C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,
【归纳总结】 1.极坐标系的四要素 ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向. 四者缺一不可. 2.在极坐标系中找点的位置,应先确定极角,再确定极 径,最终确定点的位置.
特别提醒:若已知点的极坐标(ρ,θ),则点是确定的, 反之,若已知点,则其极坐标不确定.
类型一 极坐标系与点的极坐标
【典例】在极坐标系中,点P ( 2 ， ) 到极点的距离为
________,点P
到极轴的距6离为________.
(2， )
6
【解题探究】怎样求点到极点和极轴的距离? 提示:点到极点的距离等于极径,点到极轴的距离转化 为三角函数计算.
【解析】因为在极坐标系中,点P ( 2 ， ) ,ρ=2,θ= ,所
2.极坐标系中,点的极坐标唯一吗?
提示:(1)由于极坐标系中,对于给定的有序数对(ρ,θ)都 有唯一确定的点与之对应,但是,对于给定一点M,可以 有无数个有序数对(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应,所以极 坐标系中的点与极坐标不能建立一一对应关系. (2)如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外的任意一点 都有唯一的极坐标(ρ,θ)与之对应,反之亦然.
(2)在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么
两点间的距离公式
的两种
特殊情形为:
|P 1 P 2| 1 2 2 2 － 2 1 2 c o s( 1 － 2 )
①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|; ②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1+ρ2|.
【解析】因为 2 ，
3 62
故∠AOB=90°,故 AB 626262.
【延伸探究】 1.本例已知条件不变,试求△AOB的面积.
【解析】因为 2 故 ∠，AOB=90°, 3 62
所以S△AOB=1 6 6 18. 2
2.本例已知条件不变,试求线段AB中点的极坐标.
【解析】设线段AB中点M的极坐标为(ρ,θ),
2.如图,在极坐标系中, (1)作出以下各点: A (5 ， 0 )， B (3 ， )， C (4 ， 3 )， D (2 ， － 3 ). (2)求点E,F的6极坐标2 (ρ,θ)(ρ2 ≥0,θ∈R).
【解析】(1)如图,在极坐标系中,点A,B,C,D的位置是 确定的. (2)由于点E的极径为4, 在θ∈[0,2π)内,极角 又因为点的极坐标为(ρ,θ)(7ρ6 ≥， 0,θ∈R),
所以点E的极坐标为 (4， 2k7)kZ.
6
同理,点F的极坐标为 (3， 2k2)kZ.
3
类型二 极坐标系中两点间的距离
【典例】在极坐标系中,点O为极点,已知点 A (6 ， )，
求|AB|的值.
6
B (6，2 )，
3
【解题探究】根据点A,B在极坐标系中的位置关系,可 得∠AOB为多少度? 提示:∠AOB=90°.
6
6
以点P到极点的距离为2,点P到极轴的距离为2sin =1.
答案:2 1
6
【方法技巧】确定点的极坐标的方法 点P的极坐标的一般形式为(ρ,θ+2kπ),k∈Z,则 (1)ρ为点P到极点的距离,是个定值. (2)极角为满足θ+2kπ,k∈Z的任意角,不唯一,其中θ 是始边在极轴上,终边过OP的任意一个角,一般取绝对 值较小的角.
_________. M(ρ,θ) (2)意义:ρ=_____,即极点O与点M的距离(ρ≥0). θ=______,即|以OM极| 轴Ox为始边,射线OM为终边的角.
∠xOM
【即时小测】
1.极坐标系中,下列与点(1,π)相同的点为 ( )
A.(1,0)
B.(2,π)
C.(1,2016π)
D.(1,2017π)
则ρcosθ=x得:cosθ=- ,1
结合点在第二象限得:θ= 2 , 2
则点M的极坐标为
3
( 2 ，2 ). 3
【知识探究】 探究点 极坐标系 1.平面的区别是直角坐标系有原 点,x轴,y轴,极坐标系有极点、极轴. (2)点的直角坐标是有序实数对(x,y),点的极坐标是 (ρ,θ).